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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script 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href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.SS1" title="In 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Weyl calculus and the Moyal star product</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.SS2" title="In 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Definition of Bopp operators</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.SS3" title="In 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.3 </span>The intertwiners <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>U</mi><mi>ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝑈</ci><ci>italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and their properties</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3" title="In Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>The Care of Density Operators</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.SS1" title="In 3 The Care of Density Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>Density operators on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁢</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>ℝ</mi><mi>n</mi></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><times></times><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><ci>𝐿</ci><cn type="integer">2</cn></apply><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><ci>ℝ</ci><ci>𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.SS2" title="In 3 The Care of Density Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Bopp quantization of the density operator</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S4" title="In Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Deformation Quantization of the Density Operator</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S5" title="In Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Perspectives</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Maurice de Gosson <br class="ltx_break"/>Austrian Academy of Sciences <br class="ltx_break"/>Acoustics Research Institute <br class="ltx_break"/>1010, Vienna, AUSTRIA </span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.id1">Bopp shifts were introduced in 1956 in the study of statistical interpretations of quantum mechanics. They lead to a phase space view of quantum mechanics closely related to the Moyal star product and its interpretation as a deformation quantization. In the present paper we pursue our study of Bopp quantization by initiated in previous work and apply it to give a new phase space description of the density operator, that is of the mixed states of quantum mechanics.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.2">In a series of papers <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib12" title="">12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib15" title="">15</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite> (also see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>, Chapters 18 and 19) we developed a rigorous theory of phase space quantization which we named “Bopp quantization” in honor of the Germane mathematician Fritz Bopp who was the first to consider this kind of quantization in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. Bopp suggested to replace the standard quantization rules <math alttext="\widehat{x}=x" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.p1.1.m1.1.1.2.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">\widehat{x}=x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_x end_ARG = italic_x</annotation></semantics></math>and <math alttext="\widehat{p}=-i\hbar\partial_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.3a" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">ℏ</mi><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1a" lspace="0em" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.cmml"><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.2.cmml">∂</mo><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.3" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2"><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.1">^</ci><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3"><minus id="S1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3"></minus><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2"><times id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.2"></partialdiff><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">\widehat{p}=-i\hbar\partial_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_p end_ARG = - italic_i roman_ℏ ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{x}=x+\frac{i\hbar}{2}\partial_{p}\text{ \ }\widetilde{p}=p-\frac{i% \hbar}{2}\partial_{x}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E1.m1.1"><semantics id="S1.E1.m1.1a"><mrow id="S1.E1.m1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.E1.m1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S1.E1.m1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.4" xref="S1.E1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.4.2" xref="S1.E1.m1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.4.1" xref="S1.E1.m1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.4.3" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.cmml"><mfrac id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S1.E1.m1.1.1.4.3.1" lspace="0em" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.cmml"><msub id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.2" rspace="0em" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.3.cmml">p</mi></msub><mrow id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.cmml"><mtext id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.2a.cmml"> </mtext><mo id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.1" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.5" xref="S1.E1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.6" xref="S1.E1.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.6.2" xref="S1.E1.m1.1.1.6.2.cmml">p</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.6.1" xref="S1.E1.m1.1.1.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.6.3" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.cmml"><mfrac id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S1.E1.m1.1.1.6.3.1" lspace="0em" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.E1.m1.1.1.6.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.2.cmml">∂</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.1b"><apply id="S1.E1.m1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1"><and id="S1.E1.m1.1.1a.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1"></and><apply id="S1.E1.m1.1.1b.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1"><eq id="S1.E1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.3"></eq><apply id="S1.E1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.2"><ci id="S1.E1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.4.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4"><plus id="S1.E1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.1"></plus><ci id="S1.E1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.2">𝑥</ci><apply id="S1.E1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3"><times id="S1.E1.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2"><divide id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2"></divide><apply id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2"><times id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.1"></times><ci id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3"><apply id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.2"></partialdiff><ci id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2"><times id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.1"></times><ci id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.2a.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.2"><mtext id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.2"> </mtext></ci><apply id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3"><ci id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.1">~</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.4.3.3.2.3.2">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1c.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1"><eq id="S1.E1.m1.1.1.5.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S1.E1.m1.1.1.4.cmml" id="S1.E1.m1.1.1d.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1"></share><apply id="S1.E1.m1.1.1.6.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6"><minus id="S1.E1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.1"></minus><ci id="S1.E1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.2">𝑝</ci><apply id="S1.E1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3"><times id="S1.E1.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.1"></times><apply id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2"><divide id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2"></divide><apply id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2"><times id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.1"></times><ci id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.3">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.2"></partialdiff><ci id="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.6.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.1c">\widetilde{x}=x+\frac{i\hbar}{2}\partial_{p}\text{ \ }\widetilde{p}=p-\frac{i% \hbar}{2}\partial_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.1d">over~ start_ARG italic_x end_ARG = italic_x + divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_p end_ARG = italic_p - divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.6">where <math alttext="\partial_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m1.1"><semantics id="S1.p1.3.m1.1a"><msub id="S1.p1.3.m1.1.1" xref="S1.p1.3.m1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.3.m1.1.1.2" xref="S1.p1.3.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S1.p1.3.m1.1.1.3" xref="S1.p1.3.m1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m1.1b"><apply id="S1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m1.1.1.2"></partialdiff><ci id="S1.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.3.m1.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m1.1c">\partial_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m1.1d">∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\partial_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m2.1"><semantics id="S1.p1.4.m2.1a"><msub id="S1.p1.4.m2.1.1" xref="S1.p1.4.m2.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.4.m2.1.1.2" xref="S1.p1.4.m2.1.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S1.p1.4.m2.1.1.3" xref="S1.p1.4.m2.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m2.1b"><apply id="S1.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m2.1.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.4.m2.1.1.2"></partialdiff><ci id="S1.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.4.m2.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m2.1c">\partial_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m2.1d">∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the gradient operators in the position and momentum variables <math alttext="x=(x_{1},...,x_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m3.3"><semantics id="S1.p1.5.m3.3a"><mrow id="S1.p1.5.m3.3.3" xref="S1.p1.5.m3.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.5.m3.3.3.4" xref="S1.p1.5.m3.3.3.4.cmml">x</mi><mo id="S1.p1.5.m3.3.3.3" xref="S1.p1.5.m3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.3.cmml"><mo id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1" xref="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.4" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.5.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p1.5.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.5" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.2" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.3" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m3.3b"><apply id="S1.p1.5.m3.3.3.cmml" xref="S1.p1.5.m3.3.3"><eq id="S1.p1.5.m3.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.5.m3.3.3.3"></eq><ci id="S1.p1.5.m3.3.3.4.cmml" xref="S1.p1.5.m3.3.3.4">𝑥</ci><vector id="S1.p1.5.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.2"><apply id="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.5.m3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m3.1.1">…</ci><apply id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.5.m3.3.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m3.3c">x=(x_{1},...,x_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m3.3d">italic_x = ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="p=(p_{1},...,p_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.6.m4.3"><semantics id="S1.p1.6.m4.3a"><mrow id="S1.p1.6.m4.3.3" xref="S1.p1.6.m4.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.6.m4.3.3.4" xref="S1.p1.6.m4.3.3.4.cmml">p</mi><mo id="S1.p1.6.m4.3.3.3" xref="S1.p1.6.m4.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.3.cmml"><mo id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1" xref="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">p</mi><mn id="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.4" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.6.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p1.6.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.5" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.2" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.3" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.6.m4.3b"><apply id="S1.p1.6.m4.3.3.cmml" xref="S1.p1.6.m4.3.3"><eq id="S1.p1.6.m4.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.6.m4.3.3.3"></eq><ci id="S1.p1.6.m4.3.3.4.cmml" xref="S1.p1.6.m4.3.3.4">𝑝</ci><vector id="S1.p1.6.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.2"><apply id="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.6.m4.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m4.1.1">…</ci><apply id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.6.m4.3.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.6.m4.3c">p=(p_{1},...,p_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.6.m4.3d">italic_p = ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. The “Bopp shifts”, as they are sometimes called, satisfy the same canonical commutation relations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="[\widetilde{x}_{j},\widetilde{p}_{k}]=i\hbar\delta_{jk}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex1.m1.2"><semantics id="S1.Ex1.m1.2a"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.4" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.4" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.4.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.2.cmml">i</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.4.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.3.cmml">ℏ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.4.1a" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex1.m1.2b"><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2"><eq id="S1.Ex1.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.3"></eq><interval closure="closed" id="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2"><apply id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2"><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.4.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4"><times id="S1.Ex1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.1"></times><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.2">𝛿</ci><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3"><times id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.1"></times><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.4.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex1.m1.2c">[\widetilde{x}_{j},\widetilde{p}_{k}]=i\hbar\delta_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex1.m1.2d">[ over~ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ] = italic_i roman_ℏ italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.8">as <math alttext="\widehat{x_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.7.m1.1"><semantics id="S1.p1.7.m1.1a"><mover accent="true" id="S1.p1.7.m1.1.1" xref="S1.p1.7.m1.1.1.cmml"><msub id="S1.p1.7.m1.1.1.2" xref="S1.p1.7.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.7.m1.1.1.2.2" xref="S1.p1.7.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S1.p1.7.m1.1.1.2.3" xref="S1.p1.7.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.p1.7.m1.1.1.1" xref="S1.p1.7.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.7.m1.1b"><apply id="S1.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m1.1.1"><ci id="S1.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m1.1.1.1">^</ci><apply id="S1.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.7.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.7.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.7.m1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.p1.7.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.7.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.7.m1.1c">\widehat{x_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.7.m1.1d">over^ start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{p_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.8.m2.1"><semantics id="S1.p1.8.m2.1a"><mover accent="true" id="S1.p1.8.m2.1.1" xref="S1.p1.8.m2.1.1.cmml"><msub id="S1.p1.8.m2.1.1.2" xref="S1.p1.8.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.8.m2.1.1.2.2" xref="S1.p1.8.m2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S1.p1.8.m2.1.1.2.3" xref="S1.p1.8.m2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.p1.8.m2.1.1.1" xref="S1.p1.8.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.8.m2.1b"><apply id="S1.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.8.m2.1.1"><ci id="S1.p1.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.8.m2.1.1.1">^</ci><apply id="S1.p1.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.8.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.8.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.8.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.8.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.8.m2.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S1.p1.8.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.8.m2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.8.m2.1c">\widehat{p_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.8.m2.1d">over^ start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. Bopp’s rules where heuristic but they can be justified by noting that they intertwine the standard rules by the cross-Wigner transform</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W(\psi,\phi)(x,p)=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int e^{--\frac{i}{% \hbar}py}\psi(x+\tfrac{1}{2}y)\phi^{\ast}(x-\tfrac{1}{2}y)dy." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E2.m1.6"><semantics id="S1.E2.m1.6a"><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.2.cmml">W</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.1.1" xref="S1.E2.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.2.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E2.m1.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.1a" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.2.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E2.m1.4.4" xref="S1.E2.m1.4.4.cmml">p</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msup id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.2.2" xref="S1.E2.m1.5.5.cmml"><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.2.2.1" xref="S1.E2.m1.5.5.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S1.E2.m1.5.5" xref="S1.E2.m1.5.5.cmml"><mfrac id="S1.E2.m1.5.5a" xref="S1.E2.m1.5.5.cmml"><mn id="S1.E2.m1.5.5.2" xref="S1.E2.m1.5.5.2.cmml">1</mn><mrow id="S1.E2.m1.5.5.3" xref="S1.E2.m1.5.5.3.cmml"><mn id="S1.E2.m1.5.5.3.2" xref="S1.E2.m1.5.5.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E2.m1.5.5.3.1" xref="S1.E2.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.5.5.3.3" xref="S1.E2.m1.5.5.3.3.cmml">π</mi><mo id="S1.E2.m1.5.5.3.1a" xref="S1.E2.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.5.5.3.4" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m1.5.5.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.2.2.2" xref="S1.E2.m1.5.5.cmml">)</mo></mrow><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml"></mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3a" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.cmml"><mfrac id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.2.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.2.2.cmml">i</mi><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.3.cmml">p</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.1a" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.4" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.2.4.cmml">y</mi></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.5" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.5.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3a" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3b" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3c" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2a" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3d" lspace="0em" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.7" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.7.cmml"><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.7.1" rspace="0em" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.7.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.7.2" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.7.2.cmml">y</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.6b"><apply id="S1.E2.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1"><eq id="S1.E2.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4"><times id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.1"></times><ci id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.3.2"><ci id="S1.E2.m1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S1.E2.m1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval><interval closure="open" id="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.4.4.2"><ci id="S1.E2.m1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3">𝑥</ci><ci id="S1.E2.m1.4.4.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4">𝑝</ci></interval></apply><apply id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2"><times id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.3"></times><apply id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S1.E2.m1.5.5.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.2.2"><divide id="S1.E2.m1.5.5.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.4.2.2"></divide><cn id="S1.E2.m1.5.5.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.5.5.2">1</cn><apply id="S1.E2.m1.5.5.3.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.3"><times id="S1.E2.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.3.1"></times><cn id="S1.E2.m1.5.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.5.5.3.2">2</cn><ci id="S1.E2.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.3.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.E2.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.3.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply></apply><ci 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xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6">superscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.2.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.2">italic-ϕ</ci><ci id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.3.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.3">∗</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1"><minus id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2"><divide 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encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.6d">italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) ( italic_x , italic_p ) = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_p italic_y end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ ( italic_x + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_y ) italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_y ) italic_d italic_y .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.22">In fact, a straightforward calculation shows that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W(\widehat{x}\psi,\phi)=\widetilde{x}W(\psi,\phi)\text{ },\text{ }W(\widehat{p}\psi,\phi)=\widetilde{p}W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E3.m1.8"><semantics id="S1.E3.m1.8a"><mrow id="S1.E3.m1.8.8.2" xref="S1.E3.m1.8.8.3.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">W</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1a" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.2.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.3.3" xref="S1.E3.m1.3.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1b" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.5" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.5a.cmml"> </mtext></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.3" xref="S1.E3.m1.8.8.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E3.m1.8.8.2.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.cmml"><mtext id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.3" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.3a.cmml"> </mtext><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.4" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.4.cmml">W</mi><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.2a" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.4.4" xref="S1.E3.m1.4.4.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.1" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.1" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.3" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.3.cmml">W</mi><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.1a" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.5.5" xref="S1.E3.m1.5.5.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.2.2" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.6.6" xref="S1.E3.m1.6.6.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E3.m1.8b"><apply id="S1.E3.m1.8.8.3.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.8.8.3a.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1"><eq id="S1.E3.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.2"></eq><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1"><times id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1">italic-ϕ</ci></interval></apply><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3"><times id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2"><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.4.2"><ci id="S1.E3.m1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2">𝜓</ci><ci id="S1.E3.m1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.3.3">italic-ϕ</ci></interval><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.5a.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.5"><mtext id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.5.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.5"> </mtext></ci></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2"><eq id="S1.E3.m1.8.8.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.2"></eq><apply id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1"><times id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.2"></times><ci id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.3a.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.3"><mtext id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.3"> </mtext></ci><ci id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.4.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1"><apply id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1"><times id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.4.4.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4">italic-ϕ</ci></interval></apply><apply id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3"><times id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.1"></times><apply id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2"><ci id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.1.cmml" xref="S1.E3.m1.8.8.2.2.3.4.2"><ci id="S1.E3.m1.5.5.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5">𝜓</ci><ci id="S1.E3.m1.6.6.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6">italic-ϕ</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E3.m1.8c">W(\widehat{x}\psi,\phi)=\widetilde{x}W(\psi,\phi)\text{ },\text{ }W(\widehat{p}\psi,\phi)=\widetilde{p}W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E3.m1.8d">italic_W ( over^ start_ARG italic_x end_ARG italic_ψ , italic_ϕ ) = over~ start_ARG italic_x end_ARG italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) , italic_W ( over^ start_ARG italic_p end_ARG italic_ψ , italic_ϕ ) = over~ start_ARG italic_p end_ARG italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.9">for all <math alttext="\psi,\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.9.m1.2"><semantics id="S1.p1.9.m1.2a"><mrow id="S1.p1.9.m1.2.3.2" xref="S1.p1.9.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S1.p1.9.m1.1.1" xref="S1.p1.9.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S1.p1.9.m1.2.3.2.1" xref="S1.p1.9.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.9.m1.2.2" xref="S1.p1.9.m1.2.2.cmml">ϕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.9.m1.2b"><list id="S1.p1.9.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.9.m1.2.3.2"><ci id="S1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.9.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S1.p1.9.m1.2.2.cmml" xref="S1.p1.9.m1.2.2">italic-ϕ</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.9.m1.2c">\psi,\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.9.m1.2d">italic_ψ , italic_ϕ</annotation></semantics></math> or, somewhat more explicitly,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx1"> <tbody id="S1.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle W(x_{j}\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E4.m1.2"><semantics id="S1.E4.m1.2a"><mrow id="S1.E4.m1.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.2.2.3" xref="S1.E4.m1.2.2.3.cmml">W</mi><mo id="S1.E4.m1.2.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.E4.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S1.E4.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.E4.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S1.E4.m1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E4.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E4.m1.2b"><apply id="S1.E4.m1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2"><times id="S1.E4.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2"></times><ci id="S1.E4.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E4.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1"><apply id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1"><times id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.1.1.1.3">𝜓</ci></apply><ci id="S1.E4.m1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1">italic-ϕ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E4.m1.2c">\displaystyle W(x_{j}\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E4.m1.2d">italic_W ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(x_{j}+\frac{i\hbar}{2}\partial_{p_{j}})W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E4.m2.3"><semantics id="S1.E4.m2.3a"><mrow id="S1.E4.m2.3.3" xref="S1.E4.m2.3.3.cmml"><mi id="S1.E4.m2.3.3.3" xref="S1.E4.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S1.E4.m2.3.3.2" xref="S1.E4.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E4.m2.3.3.1" xref="S1.E4.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2a" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" 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id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.2"></partialdiff><apply id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S1.E4.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E4.m2.3.3.1.4.1.cmml" xref="S1.E4.m2.3.3.1.4.2"><ci id="S1.E4.m2.1.1.cmml" xref="S1.E4.m2.1.1">𝜓</ci><ci id="S1.E4.m2.2.2.cmml" 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W(-i\hbar\partial_{x_{j}}\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E5.m1.2"><semantics id="S1.E5.m1.2a"><mrow id="S1.E5.m1.2.2" xref="S1.E5.m1.2.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.2.2.3" xref="S1.E5.m1.2.2.3.cmml">W</mi><mo id="S1.E5.m1.2.2.2" xref="S1.E5.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.2.2.1.1" xref="S1.E5.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.E5.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1a" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">ℏ</mi><mo id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.1a" lspace="0em" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.cmml"><msub id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.cmml"><mo id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.2" rspace="0em" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.2.cmml">∂</mo><msub id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.2" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.3" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mi id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.2" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml">ψ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.E5.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S1.E5.m1.1.1" xref="S1.E5.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E5.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E5.m1.2b"><apply id="S1.E5.m1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2"><times id="S1.E5.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.2"></times><ci id="S1.E5.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1"><apply id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2"><times id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><apply id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4"><apply id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.2"></partialdiff><apply id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2.1.1.1.2.4.2">𝜓</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.E5.m1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.1.1">italic-ϕ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E5.m1.2c">\displaystyle W(-i\hbar\partial_{x_{j}}\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E5.m1.2d">italic_W ( - italic_i roman_ℏ ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(p_{j}-\frac{i\hbar}{2}\partial_{x_{j}})W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E5.m2.3"><semantics id="S1.E5.m2.3a"><mrow id="S1.E5.m2.3.3" xref="S1.E5.m2.3.3.cmml"><mi id="S1.E5.m2.3.3.3" xref="S1.E5.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S1.E5.m2.3.3.2" xref="S1.E5.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E5.m2.3.3.1" xref="S1.E5.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2a" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.1" lspace="0em" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.2" rspace="0em" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">∂</mo><msub id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E5.m2.3.3.1.3" xref="S1.E5.m2.3.3.1.3.cmml">W</mi><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.2a" xref="S1.E5.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m2.3.3.1.4.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.4.1.cmml"><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m2.3.3.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m2.1.1" xref="S1.E5.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.4.2.2" xref="S1.E5.m2.3.3.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E5.m2.2.2" xref="S1.E5.m2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E5.m2.3.3.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S1.E5.m2.3.3.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E5.m2.3b"><apply id="S1.E5.m2.3.3.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3"><eq id="S1.E5.m2.3.3.2.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S1.E5.m2.3.3.3.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S1.E5.m2.3.3.1.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1"><times id="S1.E5.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.2"></times><apply id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1"><minus id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" 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xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S1.E5.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.E5.m2.3.3.1.4.1.cmml" xref="S1.E5.m2.3.3.1.4.2"><ci id="S1.E5.m2.1.1.cmml" xref="S1.E5.m2.1.1">𝜓</ci><ci id="S1.E5.m2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m2.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E5.m2.3c">\displaystyle=(p_{j}-\frac{i\hbar}{2}\partial_{x_{j}})W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E5.m2.3d">= ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.11">for <math alttext="1\leq j\leq n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.10.m1.1"><semantics id="S1.p1.10.m1.1a"><mrow id="S1.p1.10.m1.1.1" xref="S1.p1.10.m1.1.1.cmml"><mn id="S1.p1.10.m1.1.1.2" xref="S1.p1.10.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.10.m1.1.1.3" xref="S1.p1.10.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.p1.10.m1.1.1.4" xref="S1.p1.10.m1.1.1.4.cmml">j</mi><mo id="S1.p1.10.m1.1.1.5" xref="S1.p1.10.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.p1.10.m1.1.1.6" xref="S1.p1.10.m1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.10.m1.1b"><apply id="S1.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1"><and id="S1.p1.10.m1.1.1a.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1"></and><apply id="S1.p1.10.m1.1.1b.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1"><leq id="S1.p1.10.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1.3"></leq><cn id="S1.p1.10.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.10.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S1.p1.10.m1.1.1.4.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1.4">𝑗</ci></apply><apply id="S1.p1.10.m1.1.1c.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1"><leq id="S1.p1.10.m1.1.1.5.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S1.p1.10.m1.1.1.4.cmml" id="S1.p1.10.m1.1.1d.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1"></share><ci id="S1.p1.10.m1.1.1.6.cmml" xref="S1.p1.10.m1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.10.m1.1c">1\leq j\leq n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.10.m1.1d">1 ≤ italic_j ≤ italic_n</annotation></semantics></math>. These relations motivate the definition of a pseudodifferential on phase space, associating to a symbol (or observable) <math alttext="a=a(x,p)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.11.m2.2"><semantics id="S1.p1.11.m2.2a"><mrow id="S1.p1.11.m2.2.3" xref="S1.p1.11.m2.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.11.m2.2.3.2" xref="S1.p1.11.m2.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.11.m2.2.3.1" xref="S1.p1.11.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.11.m2.2.3.3" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.11.m2.2.3.3.2" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.11.m2.2.3.3.1" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.2" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.11.m2.1.1" xref="S1.p1.11.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.11.m2.2.2" xref="S1.p1.11.m2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.11.m2.2b"><apply id="S1.p1.11.m2.2.3.cmml" xref="S1.p1.11.m2.2.3"><eq id="S1.p1.11.m2.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.11.m2.2.3.1"></eq><ci id="S1.p1.11.m2.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.11.m2.2.3.2">𝑎</ci><apply id="S1.p1.11.m2.2.3.3.cmml" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3"><times id="S1.p1.11.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.11.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.11.m2.2.3.3.3.2"><ci id="S1.p1.11.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.11.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S1.p1.11.m2.2.2.cmml" xref="S1.p1.11.m2.2.2">𝑝</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.11.m2.2c">a=a(x,p)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.11.m2.2d">italic_a = italic_a ( italic_x , italic_p )</annotation></semantics></math> belonging to some suitable function space an operator</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{A}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})\longrightarrow\mathcal{S}^{\prime}(% \mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex2.m1.2"><semantics id="S1.Ex2.m1.2a"><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S1.Ex2.m1.2.2.4" xref="S1.Ex2.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.4.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.4.2.cmml">A</mi><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.4.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.Ex2.m1.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">𝒮</mi><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex2.m1.2b"><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2"><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.3">:</ci><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.4.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.4"><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.4.1">~</ci><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.4.2">𝐴</ci></apply><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2"><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.3">⟶</ci><apply id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1"><times id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.3">𝒮</ci><apply id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2"><times id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.2">𝒮</ci><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex2.m1.2c">\widetilde{A}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})\longrightarrow\mathcal{S}^{\prime}(% \mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex2.m1.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG : caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟶ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.12">with symbol <math alttext="\widetilde{a}\in(\mathbb{R}^{2n}\times\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.12.m1.1"><semantics id="S1.p1.12.m1.1a"><mrow id="S1.p1.12.m1.1.1" xref="S1.p1.12.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.p1.12.m1.1.1.3" xref="S1.p1.12.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.12.m1.1.1.3.2" xref="S1.p1.12.m1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.12.m1.1.1.3.1" xref="S1.p1.12.m1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S1.p1.12.m1.1.1.2" xref="S1.p1.12.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.12.m1.1b"><apply id="S1.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1"><in id="S1.p1.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.2"></in><apply id="S1.p1.12.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.3"><ci id="S1.p1.12.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S1.p1.12.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.3.2">𝑎</ci></apply><apply id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1"><times id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.2">ℝ</ci><apply id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.12.m1.1c">\widetilde{a}\in(\mathbb{R}^{2n}\times\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.12.m1.1d">over~ start_ARG italic_a end_ARG ∈ ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{a}(x,p;\zeta_{x},\zeta_{p})=a(x-\tfrac{1}{2}\zeta_{p},p+\tfrac{1}{2% }\zeta_{x})." class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex3.m1.3"><semantics id="S1.Ex3.m1.3a"><mrow id="S1.Ex3.m1.3.3.1" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1" 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id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.6" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.7" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.5" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.4" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.4.cmml">a</mi><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1" 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xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.4" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.1" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2a" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml"><mn id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.2" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.2.cmml">ζ</mi><mi id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex3.m1.3b"><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1"><eq id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.5"></eq><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2"><times id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3"></times><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4"><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4.1">~</ci><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4.2">𝑎</ci></apply><vector id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2"><ci id="S1.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S1.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.2.2">𝑝</ci><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝜁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">𝜁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">𝑝</ci></apply></vector></apply><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4"><times id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3"></times><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2"><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1"><minus id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.2"><divide id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3.2">𝜁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2"><plus id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.1"></plus><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2">𝑝</ci><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3"><times id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2"><divide id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2"></divide><cn id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.2">1</cn><cn id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.2">𝜁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex3.m1.3c">\widetilde{a}(x,p;\zeta_{x},\zeta_{p})=a(x-\tfrac{1}{2}\zeta_{p},p+\tfrac{1}{2% }\zeta_{x}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex3.m1.3d">over~ start_ARG italic_a end_ARG ( italic_x , italic_p ; italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_a ( italic_x - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT , italic_p + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.23">This justifies the formal nitration</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{A}=\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)=a(x+\frac{i\hbar}% {2}\partial_{p},p-\frac{i\hbar}{2}\partial_{x})." class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex4.m1.2"><semantics id="S1.Ex4.m1.2a"><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.2.cmml">A</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.6" rspace="0.1389em" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.7" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.4" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">a</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1" lspace="0em" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2" rspace="0em" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">∂</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.4" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.1" lspace="0em" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.2" rspace="0em" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml">∂</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex4.m1.2b"><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1"><and id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1"></and><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1"><eq id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.6"></eq><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5"><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.1">~</ci><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.5.2">𝐴</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="S1.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1"><eq id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.7.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.cmml" id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1"></share><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3"><times id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.3"></times><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2"><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"><plus id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3"><times id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2"><divide id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2"><times id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2"></partialdiff><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2"><minus id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.1"></minus><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2">𝑝</ci><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2"><divide id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2"></divide><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2"><times id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><partialdiff id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.2"></partialdiff><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex4.m1.2c">\widetilde{A}=\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)=a(x+\frac{i\hbar}% {2}\partial_{p},p-\frac{i\hbar}{2}\partial_{x}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex4.m1.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a ) = italic_a ( italic_x + divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT , italic_p - divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.14">A fundamental fact is the the “Bopp operator” <math alttext="\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.13.m1.2"><semantics id="S1.p1.13.m1.2a"><mrow id="S1.p1.13.m1.2.2.1" xref="S1.p1.13.m1.2.2.2.cmml"><munder id="S1.p1.13.m1.2.2.1.1" xref="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="S1.p1.13.m1.2.2.1.2" xref="S1.p1.13.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S1.p1.13.m1.2.2.1.2.1" lspace="0em" stretchy="false" xref="S1.p1.13.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.13.m1.1.1" xref="S1.p1.13.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.13.m1.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.13.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.13.m1.2b"><apply id="S1.p1.13.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.13.m1.2.2.1"><apply id="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.13.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.13.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.13.m1.2.2.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="S1.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.13.m1.1.1">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.13.m1.2c">\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.13.m1.2d">roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> is relate to the usual Weyl operator <math alttext="\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.14.m2.2"><semantics id="S1.p1.14.m2.2a"><mrow id="S1.p1.14.m2.2.2" xref="S1.p1.14.m2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S1.p1.14.m2.2.2.3" xref="S1.p1.14.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.14.m2.2.2.3.2" xref="S1.p1.14.m2.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S1.p1.14.m2.2.2.3.1" xref="S1.p1.14.m2.2.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S1.p1.14.m2.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="S1.p1.14.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.2.cmml"><munder id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.2" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.14.m2.1.1" xref="S1.p1.14.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.14.m2.2b"><apply id="S1.p1.14.m2.2.2.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2"><eq id="S1.p1.14.m2.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.2"></eq><apply id="S1.p1.14.m2.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.3"><ci id="S1.p1.14.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.3.1">^</ci><ci id="S1.p1.14.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S1.p1.14.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.1"><apply id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.14.m2.2.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S1.p1.14.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.14.m2.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.14.m2.2c">\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.14.m2.2d">over^ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> by an infinity of intertwining relations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)U_{\phi}=U_{\phi}\operatorname*{% Op}\nolimits_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex5.m1.4"><semantics id="S1.Ex5.m1.4a"><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4" xref="S1.Ex5.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.1" lspace="0em" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex5.m1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1a" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.cmml">⁡</mo><msub id="S1.Ex5.m1.3.3.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.3.cmml">ϕ</mi></msub></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4.2" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S1.Ex5.m1.4.4.2.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.2" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.2.cmml">U</mi><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.2.2" lspace="0.167em" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex5.m1.2.2" xref="S1.Ex5.m1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex5.m1.4b"><apply id="S1.Ex5.m1.4.4.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4"><eq id="S1.Ex5.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3"></eq><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1"><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="S1.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1">𝑎</ci></apply><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex5.m1.4.4.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2"><times id="S1.Ex5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.2"></times><apply id="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.2">𝑈</ci><ci id="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1"><apply id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S1.Ex5.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.2.2">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex5.m1.4c">\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)U_{\phi}=U_{\phi}\operatorname*{% Op}\nolimits_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex5.m1.4d">roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a ) italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.15">where the “wavepacket transform” <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.15.m1.1"><semantics id="S1.p1.15.m1.1a"><msub id="S1.p1.15.m1.1.1" xref="S1.p1.15.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.15.m1.1.1.2" xref="S1.p1.15.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S1.p1.15.m1.1.1.3" xref="S1.p1.15.m1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.15.m1.1b"><apply id="S1.p1.15.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.15.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.15.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.15.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.15.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.15.m1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S1.p1.15.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.15.m1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.15.m1.1c">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.15.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="U_{\phi}\psi=(2\pi\hbar)^{n/2}W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex6.m1.3"><semantics id="S1.Ex6.m1.3a"><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.cmml"><msub id="S1.Ex6.m1.3.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.3.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.3.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.1.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.3.cmml">W</mi><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.2a" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex6.m1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.2.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Ex6.m1.2.2" xref="S1.Ex6.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex6.m1.3b"><apply id="S1.Ex6.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3"><eq id="S1.Ex6.m1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2"></eq><apply id="S1.Ex6.m1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3"><times id="S1.Ex6.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.1"></times><apply id="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.3.3">𝜓</ci></apply><apply id="S1.Ex6.m1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1"><times id="S1.Ex6.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3"><divide id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1"></divide><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.1.4.2"><ci id="S1.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S1.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex6.m1.3c">U_{\phi}\psi=(2\pi\hbar)^{n/2}W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex6.m1.3d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ = ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n / 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.21">is a partial isometry <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n})\longrightarrow L^{2}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.16.m1.2"><semantics id="S1.p1.16.m1.2a"><mrow id="S1.p1.16.m1.2.2" xref="S1.p1.16.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.p1.16.m1.1.1.1" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S1.p1.16.m1.1.1.1.3" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.2" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.3" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.p1.16.m1.1.1.1.2" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p1.16.m1.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.16.m1.2.2.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S1.p1.16.m1.2.2.2" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.cmml"><msup id="S1.p1.16.m1.2.2.2.3" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.2" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.3" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.p1.16.m1.2.2.2.2" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.16.m1.2b"><apply id="S1.p1.16.m1.2.2.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2"><ci id="S1.p1.16.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.3">⟶</ci><apply id="S1.p1.16.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1"><times id="S1.p1.16.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.16.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S1.p1.16.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2"><times id="S1.p1.16.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.16.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.16.m1.2c">L^{2}(\mathbb{R}^{n})\longrightarrow L^{2}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.16.m1.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟶ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. This property allows to express most properties of <math alttext="\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.17.m2.1"><semantics id="S1.p1.17.m2.1a"><munder id="S1.p1.17.m2.1.1" xref="S1.p1.17.m2.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.17.m2.1.1.2" xref="S1.p1.17.m2.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.p1.17.m2.1.1.3" xref="S1.p1.17.m2.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.17.m2.1b"><apply id="S1.p1.17.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.17.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.17.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.17.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.17.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.17.m2.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.p1.17.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.17.m2.1.1.3">Bopp</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.17.m2.1c">\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.17.m2.1d">roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> using those of <math alttext="\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.18.m3.2"><semantics id="S1.p1.18.m3.2a"><mrow id="S1.p1.18.m3.2.2.1" xref="S1.p1.18.m3.2.2.2.cmml"><munder id="S1.p1.18.m3.2.2.1.1" xref="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.2" xref="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.3" xref="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S1.p1.18.m3.2.2.1.2" xref="S1.p1.18.m3.2.2.2.cmml"><mo id="S1.p1.18.m3.2.2.1.2.1" lspace="0em" stretchy="false" xref="S1.p1.18.m3.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.18.m3.1.1" xref="S1.p1.18.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.18.m3.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.18.m3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.18.m3.2b"><apply id="S1.p1.18.m3.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.18.m3.2.2.1"><apply id="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.18.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.18.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.18.m3.2.2.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S1.p1.18.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.18.m3.1.1">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.18.m3.2c">\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.18.m3.2d">roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math>. It turns out that Bopp operators are closely related to the notion of Moyal starproduct <math alttext="\bigstar_{\hbar}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.19.m4.1"><semantics id="S1.p1.19.m4.1a"><msub id="S1.p1.19.m4.1.1" xref="S1.p1.19.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.19.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.p1.19.m4.1.1.2.cmml">★</mi><mi id="S1.p1.19.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.p1.19.m4.1.1.3.cmml">ℏ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.19.m4.1b"><apply id="S1.p1.19.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.19.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.19.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.19.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.19.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.19.m4.1.1.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.19.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.19.m4.1.1.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.19.m4.1c">\bigstar_{\hbar}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.19.m4.1d">★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In fact, t5ze action of <math alttext="\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.20.m5.2"><semantics id="S1.p1.20.m5.2a"><mrow id="S1.p1.20.m5.2.2.1" xref="S1.p1.20.m5.2.2.2.cmml"><munder id="S1.p1.20.m5.2.2.1.1" xref="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.2" xref="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.3" xref="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="S1.p1.20.m5.2.2.1.2" xref="S1.p1.20.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S1.p1.20.m5.2.2.1.2.1" lspace="0em" stretchy="false" xref="S1.p1.20.m5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.20.m5.1.1" xref="S1.p1.20.m5.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.20.m5.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.20.m5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.20.m5.2b"><apply id="S1.p1.20.m5.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.20.m5.2.2.1"><apply id="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.20.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.20.m5.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.20.m5.2.2.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="S1.p1.20.m5.1.1.cmml" xref="S1.p1.20.m5.1.1">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.20.m5.2c">\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.20.m5.2d">roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> on a function <math alttext="\Psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.21.m6.1"><semantics id="S1.p1.21.m6.1a"><mrow id="S1.p1.21.m6.1.1" xref="S1.p1.21.m6.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.21.m6.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.p1.21.m6.1.1.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S1.p1.21.m6.1.1.2" xref="S1.p1.21.m6.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S1.p1.21.m6.1.1.1" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.21.m6.1.1.1.3" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S1.p1.21.m6.1.1.1.2" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.21.m6.1b"><apply id="S1.p1.21.m6.1.1.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1"><in id="S1.p1.21.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.2"></in><ci id="S1.p1.21.m6.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.3">Ψ</ci><apply id="S1.p1.21.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1"><times id="S1.p1.21.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.2"></times><ci id="S1.p1.21.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.3">𝒮</ci><apply id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.21.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.21.m6.1c">\Psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.21.m6.1d">roman_Ψ ∈ caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is given by the remarkable relation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)\Psi=a\bigstar_{\hbar}\Psi" class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex7.m1.2"><semantics id="S1.Ex7.m1.2a"><mrow id="S1.Ex7.m1.2.2" xref="S1.Ex7.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.Ex7.m1.2.2.1" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2.1" lspace="0em" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex7.m1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.2.2.1a" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.cmml">⁡</mo><mi id="S1.Ex7.m1.2.2.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.2.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.2.2.2" xref="S1.Ex7.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.2.2.3" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.2.2.3.2" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S1.Ex7.m1.2.2.3.1" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.Ex7.m1.2.2.3.3" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.2.cmml">★</mi><mi id="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S1.Ex7.m1.2.2.3.1a" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex7.m1.2.2.3.4" mathvariant="normal" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.4.cmml">Ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex7.m1.2b"><apply id="S1.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2"><eq id="S1.Ex7.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.2"></eq><apply id="S1.Ex7.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1"><apply id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="S1.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.1.1">𝑎</ci></apply><ci id="S1.Ex7.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.1.2">Ψ</ci></apply><apply id="S1.Ex7.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3"><times id="S1.Ex7.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.1"></times><ci id="S1.Ex7.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.2">𝑎</ci><apply id="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S1.Ex7.m1.2.2.3.4.cmml" xref="S1.Ex7.m1.2.2.3.4">Ψ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex7.m1.2c">\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Bopp}}(a)\Psi=a\bigstar_{\hbar}\Psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex7.m1.2d">roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a ) roman_Ψ = italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.2">In the present work we will specialize to the case where <math alttext="\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.2"><semantics id="S1.p2.1.m1.2a"><mrow id="S1.p2.1.m1.2.2.1" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><munder id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S1.p2.1.m1.2.2.1.2" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S1.p2.1.m1.2.2.1.2.1" lspace="0em" stretchy="false" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.p2.1.m1.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.2b"><apply id="S1.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1"><apply id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.2">Op</ci><ci id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.2c">\operatorname*{Op}\nolimits_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.2d">roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> is a density operator. Such operators are just positive semidefinite operators with trace one on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S1.p2.2.m2.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S1.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.2.m2.1b"><apply id="S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1"><times id="S1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.2.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and represent the mixed states of quantum mechanics, where they play a central role. More precisely:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <ul class="ltx_itemize" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.1">In Section 2 we review the basic properties of Bopp pseudodifferential operators and their relation with Weyl calculus and the Moyal product;</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.4">In Section 3 we apply these notions to density operators, and study the properties of <math alttext="\widetilde{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><ci id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1c">\widetilde{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> when <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><ci id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1">^</ci><ci id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> is a density operator on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1"><times id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2"></times><apply id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. We will see that while is not a density operator, its restriction to the Hilbert space <math alttext="\operatorname{Im}U_{\phi}\subset L^{2}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">Im</mi><mo id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub></mrow><mo id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.cmml"><msup id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.2" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.3" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1b"><apply id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1"><subset id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2"></subset><apply id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3"><ci id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.1">Im</ci><apply id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1"><times id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.2"></times><apply id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1c">\operatorname{Im}U_{\phi}\subset L^{2}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i2.p1.4.m4.1d">roman_Im italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is;</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i3.p1.1">In Section 4 we apply the results above to the deformation quantization of density operators, this is made possible using the Moyal product.;</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i4.p1.1">We discuss some possible extensions of our results in Section 5.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">We take in this work a minimalist approach to make the paper as self-contained as possible. For instance, the star product on Hilbert spaces has been studied by Dito <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite> but we do not recourse to this theory explicitly.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">For complete proofs and details the reader can consult Chapters 18 and 19 of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> or Chapter 11 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>Weyl calculus and the Moyal star product</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.2">Traditionally (in particularly in elementary texts) the Weyl operator <math alttext="\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><munder id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2"><eq id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.2c">\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> is defined, for <math alttext="\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1"><in id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2"></in><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3">𝜓</ci><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.3">𝒮</ci><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.1c">\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.1d">italic_ψ ∈ caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{A}\psi(x)=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int e^{\frac{i}{\hbar% }p(x-y)}a(\tfrac{1}{2}(x+y),p)\psi(y)dpdy" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E6.m1.6"><semantics id="S2.E6.m1.6a"><mrow id="S2.E6.m1.6.6" xref="S2.E6.m1.6.6.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.6.6.3" xref="S2.E6.m1.6.6.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.6.6.3.2" xref="S2.E6.m1.6.6.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.6.6.3.2.2" xref="S2.E6.m1.6.6.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.3.2.1" xref="S2.E6.m1.6.6.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E6.m1.6.6.3.1" xref="S2.E6.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.6.6.3.3" xref="S2.E6.m1.6.6.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.3.1a" xref="S2.E6.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.3.4.2" xref="S2.E6.m1.6.6.3.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.2.2" xref="S2.E6.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.6.6.2" xref="S2.E6.m1.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.cmml"><msup id="S2.E6.m1.6.6.1.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.3.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.3.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.3.2.2.1" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E6.m1.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.E6.m1.3.3a" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml"><mn id="S2.E6.m1.3.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E6.m1.3.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S2.E6.m1.3.3.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E6.m1.3.3.3.1" xref="S2.E6.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.3.3.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.3.1a" xref="S2.E6.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.3.3.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E6.m1.3.3.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.3.2.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E6.m1.6.6.1.3.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.3.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E6.m1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.4" xref="S2.E6.m1.1.1.1.4.cmml">p</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.2a" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.4" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.2a" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi 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start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_p ( italic_x - italic_y ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_a ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_x + italic_y ) , italic_p ) italic_ψ ( italic_y ) italic_d italic_p italic_d italic_y</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.7">associating to a linear operator <math alttext="\widehat{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m1.1c">\widehat{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m1.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> to the symbol <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m2.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m2.1d">italic_a</annotation></semantics></math> (belong to some suitable function space, say <math alttext="\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1"><times id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.3">𝒮</ci><apply id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m3.1c">\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m3.1d">caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> to be on the safe side). It highlights the relation between the symbol <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.6.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p1.6.m4.1a"><mi id="S2.SS1.p1.6.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m4.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.6.m4.1b"><ci id="S2.SS1.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m4.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.6.m4.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.6.m4.1d">italic_a</annotation></semantics></math> and the kernel <math alttext="\tfrac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.7.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p1.7.m5.1a"><mfrac id="S2.SS1.p1.7.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.7.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m5.1.1"><divide id="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m5.1.1"></divide><cn id="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.2">1</cn><cn id="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.7.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.7.m5.1c">\tfrac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.7.m5.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math> of a Weyl operator:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx2"> <tbody id="S2.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle K_{\widehat{A}}(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.2"><semantics id="S2.E7.m1.2a"><mrow id="S2.E7.m1.2.3" xref="S2.E7.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.E7.m1.2.3.2" xref="S2.E7.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.2.3.2.2" xref="S2.E7.m1.2.3.2.2.cmml">K</mi><mover accent="true" id="S2.E7.m1.2.3.2.3" xref="S2.E7.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.2.3.2.3.2" xref="S2.E7.m1.2.3.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E7.m1.2.3.2.3.1" xref="S2.E7.m1.2.3.2.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.E7.m1.2.3.1" xref="S2.E7.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m1.2.3.3.2" xref="S2.E7.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E7.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E7.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.E7.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E7.m1.2.2" xref="S2.E7.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.E7.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.2b"><apply id="S2.E7.m1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3"><times id="S2.E7.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3.1"></times><apply id="S2.E7.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3.2.2">𝐾</ci><apply id="S2.E7.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3.2.3"><ci id="S2.E7.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3.2.3.1">^</ci><ci id="S2.E7.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S2.E7.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.E7.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.E7.m1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.2c">\displaystyle K_{\widehat{A}}(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.2d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_A end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int e^{\frac{i}{\hbar}p(x-% y)}a(\frac{1}{2}(x+y),p)\psi(y)dp" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m2.5"><semantics id="S2.E7.m2.5a"><mrow id="S2.E7.m2.5.5" xref="S2.E7.m2.5.5.cmml"><mi id="S2.E7.m2.5.5.3" xref="S2.E7.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="S2.E7.m2.5.5.2" xref="S2.E7.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1" xref="S2.E7.m2.5.5.1.cmml"><msup id="S2.E7.m2.5.5.1.3" xref="S2.E7.m2.5.5.1.3.cmml"><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.3.2.2" xref="S2.E7.m2.2.2.cmml"><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.3.2.2.1" xref="S2.E7.m2.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="S2.E7.m2.2.2" xref="S2.E7.m2.2.2.cmml"><mn id="S2.E7.m2.2.2.2" xref="S2.E7.m2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E7.m2.2.2.3" xref="S2.E7.m2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E7.m2.2.2.3.2" xref="S2.E7.m2.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E7.m2.2.2.3.1" xref="S2.E7.m2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m2.2.2.3.3" xref="S2.E7.m2.2.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E7.m2.2.2.3.1a" xref="S2.E7.m2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m2.2.2.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E7.m2.2.2.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.3.2.2.2" xref="S2.E7.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E7.m2.5.5.1.3.3" xref="S2.E7.m2.5.5.1.3.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7.m2.5.5.1.1" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.1a" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.cmml"><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.3.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E7.m2.1.1.1" xref="S2.E7.m2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E7.m2.1.1.1.3" xref="S2.E7.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E7.m2.1.1.1.3.2" xref="S2.E7.m2.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mi id="S2.E7.m2.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E7.m2.1.1.1.3.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.E7.m2.1.1.1.2" xref="S2.E7.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m2.1.1.1.4" xref="S2.E7.m2.1.1.1.4.cmml">p</mi><mo id="S2.E7.m2.1.1.1.2a" xref="S2.E7.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.4" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2a" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.E7.m2.3.3" xref="S2.E7.m2.3.3.cmml">p</mi><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2b" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.5" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.5.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2c" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.6.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E7.m2.4.4" xref="S2.E7.m2.4.4.cmml">y</mi><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2d" lspace="0em" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.cmml"><mo id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.1" rspace="0em" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.2" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.2.cmml">p</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m2.5b"><apply id="S2.E7.m2.5.5.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5"><eq id="S2.E7.m2.5.5.2.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E7.m2.5.5.3.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.3">absent</csymbol><apply id="S2.E7.m2.5.5.1.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1"><times id="S2.E7.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1.2"></times><apply id="S2.E7.m2.5.5.1.3.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m2.5.5.1.3.1.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E7.m2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1.3.2.2"><divide 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xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S2.E7.m2.3.3.cmml" xref="S2.E7.m2.3.3">𝑝</ci></interval><ci id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.5">𝜓</ci><ci id="S2.E7.m2.4.4.cmml" xref="S2.E7.m2.4.4">𝑦</ci><apply id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7"><csymbol cd="latexml" id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.1.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.2.cmml" xref="S2.E7.m2.5.5.1.1.1.7.2">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m2.5c">\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int e^{\frac{i}{\hbar}p(x-% y)}a(\frac{1}{2}(x+y),p)\psi(y)dp</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m2.5d">= ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG 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id="S2.E8.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E8.m1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E8.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.E8.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.m1.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E8.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.m1.2b"><apply id="S2.E8.m1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.3"><times id="S2.E8.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.3.1"></times><ci id="S2.E8.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.3.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="S2.E8.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.E8.m1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.E8.m1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2">𝑝</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m1.2c">\displaystyle a(x,p)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m1.2d">italic_a ( italic_x , italic_p )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int e^{-\frac{i}{\hbar}py}K_{\widehat{A}}(x+\tfrac{1}{2}y,x-% \tfrac{1}{2}y)dy." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.m2.1"><semantics id="S2.E8.m2.1a"><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.4" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2a" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3a" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.2.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.2.2.cmml">i</mi><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.1" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.3.cmml">p</mi><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.1a" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4.cmml">y</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml">K</mi><mover accent="true" id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml"><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.1" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" 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id="S2.E8.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.m2.1b"><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1"><eq id="S2.E8.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2"><int id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.3"></int><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2"><times id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3"><minus id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" 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id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.2">𝐾</ci><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3"><ci id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.1">^</ci><ci id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.2">𝐴</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2"><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><minus id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2"><divide id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2"></divide><cn id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2">1</cn><cn id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑦</ci></apply></apply></interval><apply id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.E8.m2.1.1.1.1.2.2.6.2">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m2.1c">\displaystyle=\int e^{-\frac{i}{\hbar}py}K_{\widehat{A}}(x+\tfrac{1}{2}y,x-% \tfrac{1}{2}y)dy.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m2.1d">= ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_p italic_y end_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_A end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_y , italic_x - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_y ) italic_d italic_y .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.18">More interesting and useful in our context is to use the harmonic representation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{A}\psi=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int a_{\sigma}(z)% \widehat{T}(z)\psi dz" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E9.m1.3"><semantics id="S2.E9.m1.3a"><mrow id="S2.E9.m1.3.4" xref="S2.E9.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.3.4.2" xref="S2.E9.m1.3.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E9.m1.3.4.2.2" xref="S2.E9.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E9.m1.3.4.2.2.2" xref="S2.E9.m1.3.4.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E9.m1.3.4.2.2.1" xref="S2.E9.m1.3.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E9.m1.3.4.2.1" xref="S2.E9.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.3.4.2.3" xref="S2.E9.m1.3.4.2.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.E9.m1.3.4.1" xref="S2.E9.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.4.3" xref="S2.E9.m1.3.4.3.cmml"><msup id="S2.E9.m1.3.4.3.2" xref="S2.E9.m1.3.4.3.2.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.3.4.3.2.2.2" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.2.2.2.1" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E9.m1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E9.m1.1.1a" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.E9.m1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E9.m1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E9.m1.1.1.3.2" xref="S2.E9.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E9.m1.1.1.3.1" xref="S2.E9.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.1.3.3" xref="S2.E9.m1.1.1.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E9.m1.1.1.3.1a" xref="S2.E9.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E9.m1.1.1.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.2.2.2.2" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E9.m1.3.4.3.2.3" xref="S2.E9.m1.3.4.3.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.1" xref="S2.E9.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.4.3.3" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.1" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml"><msub id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.2" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.3" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.3.2" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E9.m1.2.2" xref="S2.E9.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1a" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.cmml"><mi id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.2" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.1" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1b" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.5.2" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E9.m1.3.3" xref="S2.E9.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1c" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.6" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.6.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1d" lspace="0em" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.1" rspace="0em" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.2" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9.m1.3b"><apply id="S2.E9.m1.3.4.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4"><eq id="S2.E9.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.1"></eq><apply id="S2.E9.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.2"><times id="S2.E9.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S2.E9.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.2.2"><ci id="S2.E9.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E9.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.3.4.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.2.3">𝜓</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.3.4.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3"><times id="S2.E9.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.1"></times><apply id="S2.E9.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E9.m1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.2.2.2"><divide id="S2.E9.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.2.2.2"></divide><cn id="S2.E9.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E9.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.3"><times id="S2.E9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.E9.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.E9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.3.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.3.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply></apply><ci id="S2.E9.m1.3.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3"><int id="S2.E9.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.1"></int><apply id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2"><times id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.1"></times><apply id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2">𝑧</ci><apply id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4"><ci id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.1">^</ci><ci id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.4.2">𝑇</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3">𝑧</ci><ci id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.6.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.6">𝜓</ci><apply id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.4.3.3.2.7.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.m1.3c">\widehat{A}\psi=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int a_{\sigma}(z)% \widehat{T}(z)\psi dz</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.m1.3d">over^ start_ARG italic_A end_ARG italic_ψ = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) over^ start_ARG italic_T end_ARG ( italic_z ) italic_ψ italic_d italic_z</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.9">where <math alttext="a_{\sigma}(=F_{\sigma}a" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS1.p1.8.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.8.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.8.m1.1b"><msub id="S2.SS1.p1.8.m1.1.1"><mi id="S2.SS1.p1.8.m1.1.1.2">a</mi><mi id="S2.SS1.p1.8.m1.1.1.3">σ</mi></msub><mrow id="S2.SS1.p1.8.m1.1.2"><mo id="S2.SS1.p1.8.m1.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S2.SS1.p1.8.m1.1.2.2" lspace="0em">=</mo><msub id="S2.SS1.p1.8.m1.1.2.3"><mi id="S2.SS1.p1.8.m1.1.2.3.2">F</mi><mi id="S2.SS1.p1.8.m1.1.2.3.3">σ</mi></msub><mi id="S2.SS1.p1.8.m1.1.2.4">a</mi></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.8.m1.1c">a_{\sigma}(=F_{\sigma}a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.8.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( = italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_a</annotation></semantics></math> is the symplectic Fourier transform of <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.9.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.9.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p1.9.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.9.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m2.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.9.m2.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.9.m2.1d">italic_a</annotation></semantics></math> (see Appendix B in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>):</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="F_{\sigma}a(z)=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int e^{-\frac{i}{\hbar}% \sigma(z,z^{\prime})}a(z^{\prime})dz^{\prime}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E10.m1.5"><semantics id="S2.E10.m1.5a"><mrow id="S2.E10.m1.5.5" xref="S2.E10.m1.5.5.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.5.5.3" xref="S2.E10.m1.5.5.3.cmml"><msub id="S2.E10.m1.5.5.3.2" xref="S2.E10.m1.5.5.3.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.5.5.3.2.2" xref="S2.E10.m1.5.5.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.E10.m1.5.5.3.2.3" xref="S2.E10.m1.5.5.3.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S2.E10.m1.5.5.3.1" xref="S2.E10.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.5.5.3.3" xref="S2.E10.m1.5.5.3.3.cmml">a</mi><mo id="S2.E10.m1.5.5.3.1a" xref="S2.E10.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.5.5.3.4.2" xref="S2.E10.m1.5.5.3.cmml"><mo id="S2.E10.m1.5.5.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.3.3" xref="S2.E10.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.E10.m1.5.5.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.5.5.2" xref="S2.E10.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E10.m1.5.5.1" xref="S2.E10.m1.5.5.1.cmml"><msup id="S2.E10.m1.5.5.1.3" xref="S2.E10.m1.5.5.1.3.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.5.5.1.3.2.2" xref="S2.E10.m1.4.4.cmml"><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.3.2.2.1" xref="S2.E10.m1.4.4.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E10.m1.4.4" xref="S2.E10.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S2.E10.m1.4.4a" xref="S2.E10.m1.4.4.cmml"><mn id="S2.E10.m1.4.4.2" xref="S2.E10.m1.4.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E10.m1.4.4.3" xref="S2.E10.m1.4.4.3.cmml"><mn id="S2.E10.m1.4.4.3.2" xref="S2.E10.m1.4.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E10.m1.4.4.3.1" xref="S2.E10.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.4.4.3.3" xref="S2.E10.m1.4.4.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E10.m1.4.4.3.1a" xref="S2.E10.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.4.4.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E10.m1.4.4.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.3.2.2.2" 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id="S2.E10.m1.2.2.2.2.4" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.4.cmml">σ</mi><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.2.2a" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.4" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.2b" lspace="0em" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.cmml"><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.1" rspace="0em" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.1.cmml">𝑑</mo><msup id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.2" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.2.2" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.2.3" 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cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E10.m1.4.4.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.3.2.2"><divide id="S2.E10.m1.4.4.1.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.3.2.2"></divide><cn id="S2.E10.m1.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.4.4.2">1</cn><apply id="S2.E10.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.3"><times id="S2.E10.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.3.1"></times><cn id="S2.E10.m1.4.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.4.4.3.2">2</cn><ci id="S2.E10.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.3.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E10.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.3.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply></apply><ci id="S2.E10.m1.5.5.1.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E10.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1"><int id="S2.E10.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.2"></int><apply id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1"><times id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" 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id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1"><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1">𝑧</ci><apply id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply></apply></apply><ci id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.4">𝑎</ci><apply id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.E10.m1.5.5.1.1.1.5.cmml" 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end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_z , italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_a ( italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.10">and <math alttext="\widehat{T}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.10.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.10.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.10.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2"><times id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2"><ci id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.2.2.2">𝑇</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.10.m1.1c">\widehat{T}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.10.m1.1d">over^ start_ARG italic_T end_ARG ( italic_z )</annotation></semantics></math> the Heisenberg–Weyl displacement operator:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{T}(z_{0})\psi(x)=e^{\frac{i}{\hbar}(p_{0}x-\frac{1}{2}p_{0}x_{0})}% \psi(x-x_{0})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E11.m1.3"><semantics id="S2.E11.m1.3a"><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.4" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.4.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.2b" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.5.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E11.m1.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E11.m1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">x</mi><mn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.4.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.2a" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E11.m1.3b"><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1"><eq id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3"><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.4">𝜓</ci><ci id="S2.E11.m1.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2"><times id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.2"></times><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1"><times id="S2.E11.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3"><divide id="S2.E11.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3"></divide><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">0</cn></apply><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑥</ci><cn id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.4">𝜓</ci><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1"><minus id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E11.m1.3c">\widehat{T}(z_{0})\psi(x)=e^{\frac{i}{\hbar}(p_{0}x-\frac{1}{2}p_{0}x_{0})}% \psi(x-x_{0}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E11.m1.3d">over^ start_ARG italic_T end_ARG ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ψ ( italic_x ) = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_x - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ ( italic_x - italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.17">One of the advantages of the harmonic representation is that it allows to describe in a neat way the compose of two Weyl operators. Suppose that <math alttext="\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.11.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p1.11.m1.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.2.cmml"><munder id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.11.m1.2b"><apply id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2"><eq id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.2"></eq><apply id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3"><ci id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1"><apply id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.2.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.11.m1.2c">\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.11.m1.2d">over^ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{B}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.12.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p1.12.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.2.cmml"><munder id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.cmml">b</mi><mo id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.12.m2.2b"><apply id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2"><eq id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2"></eq><apply id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3"><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.2">𝐵</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1"><apply id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1">𝑏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.12.m2.2c">\widehat{B}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.12.m2.2d">over^ start_ARG italic_B end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b )</annotation></semantics></math> are such that <math alttext="\widehat{A}\widehat{B}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.13.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.13.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.13.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1"><times id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2"><ci id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.3.2">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.13.m3.1c">\widehat{A}\widehat{B}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.13.m3.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG over^ start_ARG italic_B end_ARG</annotation></semantics></math> exists (this is the case if, for example, <math alttext="\widehat{B}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\longrightarrow\mathcal{S}(\mathbb{R}^{% n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.14.m4.2"><semantics id="S2.SS1.p1.14.m4.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.14.m4.2b"><apply id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2"><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.3">:</ci><apply id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.4.2">𝐵</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2"><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.3">⟶</ci><apply id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.3">𝒮</ci><apply id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2"><times id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.3">𝒮</ci><apply id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.14.m4.2c">\widehat{B}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\longrightarrow\mathcal{S}(\mathbb{R}^{% n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.14.m4.2d">over^ start_ARG italic_B end_ARG : caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟶ caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>). Then <math alttext="\widehat{A}\widehat{B}=\widehat{C}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(c)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.15.m5.2"><semantics id="S2.SS1.p1.15.m5.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.4.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.2" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.2.cmml">C</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.6" rspace="0.1389em" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.2.cmml"><munder id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.15.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.1.1.cmml">c</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.15.m5.2b"><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2"><and id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2"></and><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2b.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2"><eq id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.4"></eq><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3"><times id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2"><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3"><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.3.3.2">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5"><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.2">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2c.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2"><eq id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.SS1.p1.15.m5.2.2.5.cmml" id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2d.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2"></share><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1"><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.1.1">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.15.m5.2c">\widehat{A}\widehat{B}=\widehat{C}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(c)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.15.m5.2d">over^ start_ARG italic_A end_ARG over^ start_ARG italic_B end_ARG = over^ start_ARG italic_C end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c )</annotation></semantics></math> where <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.16.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p1.16.m6.1a"><mi id="S2.SS1.p1.16.m6.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m6.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.16.m6.1b"><ci id="S2.SS1.p1.16.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m6.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.16.m6.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.16.m6.1d">italic_c</annotation></semantics></math> is the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS1.p1.17.1">Moyal product (or star product) </em><math alttext="a\bigstar_{\hbar}b" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.17.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p1.17.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.1a" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.4" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.4.cmml">b</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.17.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1"><times id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m7.1.1.4">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.17.m7.1c">a\bigstar_{\hbar}b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.17.m7.1d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b</annotation></semantics></math>, defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a\bigstar_{\hbar}b(z)=\left(\tfrac{1}{4\pi\hbar}\right)^{2n}\int e^{\frac{i}{2% \hbar}\sigma(z^{\prime},z^{\prime\prime})}a(z+\tfrac{1}{2}z^{\prime})b(z-% \tfrac{1}{2}z^{\prime\prime})dz^{\prime}dz^{\prime\prime}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E12.m1.6"><semantics id="S2.E12.m1.6a"><mrow id="S2.E12.m1.6.6" xref="S2.E12.m1.6.6.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.6.6.4" xref="S2.E12.m1.6.6.4.cmml"><mi id="S2.E12.m1.6.6.4.2" xref="S2.E12.m1.6.6.4.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.4.1" xref="S2.E12.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E12.m1.6.6.4.3" xref="S2.E12.m1.6.6.4.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.6.6.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E12.m1.6.6.4.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E12.m1.6.6.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E12.m1.6.6.4.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E12.m1.6.6.4.1a" xref="S2.E12.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.6.6.4.4" xref="S2.E12.m1.6.6.4.4.cmml">b</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.4.1b" xref="S2.E12.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.4.5.2" xref="S2.E12.m1.6.6.4.cmml"><mo id="S2.E12.m1.6.6.4.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.3.3" xref="S2.E12.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.4.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.6.6.3" xref="S2.E12.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.cmml"><msup id="S2.E12.m1.6.6.2.4" xref="S2.E12.m1.6.6.2.4.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.4.2.2" xref="S2.E12.m1.4.4.cmml"><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.4.2.2.1" xref="S2.E12.m1.4.4.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E12.m1.4.4" xref="S2.E12.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S2.E12.m1.4.4a" xref="S2.E12.m1.4.4.cmml"><mn id="S2.E12.m1.4.4.2" xref="S2.E12.m1.4.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E12.m1.4.4.3" xref="S2.E12.m1.4.4.3.cmml"><mn id="S2.E12.m1.4.4.3.2" xref="S2.E12.m1.4.4.3.2.cmml">4</mn><mo id="S2.E12.m1.4.4.3.1" xref="S2.E12.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.4.4.3.3" xref="S2.E12.m1.4.4.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E12.m1.4.4.3.1a" xref="S2.E12.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.4.4.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E12.m1.4.4.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.4.2.2.2" xref="S2.E12.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.4.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.4.3.cmml"><mn id="S2.E12.m1.6.6.2.4.3.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.4.3.1" xref="S2.E12.m1.6.6.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.6.6.2.4.3.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.4.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.cmml"><msup id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.4.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E12.m1.2.2.2" xref="S2.E12.m1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E12.m1.2.2.2.4" xref="S2.E12.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E12.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.E12.m1.2.2.2.4.2.cmml">i</mi><mrow id="S2.E12.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.E12.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mn id="S2.E12.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S2.E12.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E12.m1.2.2.2.4.3.1" xref="S2.E12.m1.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.2.2.2.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E12.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.E12.m1.2.2.2.3" xref="S2.E12.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.2.2.2.5" xref="S2.E12.m1.2.2.2.5.cmml">σ</mi><mo id="S2.E12.m1.2.2.2.3a" xref="S2.E12.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S2.E12.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.5" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.5.cmml">a</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3a" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3b" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.6" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.6.cmml">b</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3c" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2a" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">′′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3d" lspace="0em" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.cmml"><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.1" rspace="0em" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.1.cmml">𝑑</mo><msup id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.2.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.2.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.7.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3e" lspace="0em" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.cmml"><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.1" rspace="0em" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.1.cmml">𝑑</mo><msup id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.2.2" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.2.3" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.8.2.3.cmml">′′</mo></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E12.m1.6b"><apply id="S2.E12.m1.6.6.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6"><eq id="S2.E12.m1.6.6.3.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.3"></eq><apply id="S2.E12.m1.6.6.4.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.4"><times id="S2.E12.m1.6.6.4.1.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.4.1"></times><ci id="S2.E12.m1.6.6.4.2.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.4.2">𝑎</ci><apply id="S2.E12.m1.6.6.4.3.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.6.6.4.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.6.6.4.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.4.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E12.m1.6.6.4.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.4.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E12.m1.6.6.4.4.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.4.4">𝑏</ci><ci id="S2.E12.m1.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E12.m1.6.6.2.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2"><times id="S2.E12.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.3"></times><apply id="S2.E12.m1.6.6.2.4.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑧</ci><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.6.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.6">𝑏</ci><apply id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1"><minus id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.2"><divide 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\hbar}\sigma(z^{\prime},z^{\prime\prime})}a(z+\tfrac{1}{2}z^{\prime})b(z-% \tfrac{1}{2}z^{\prime\prime})dz^{\prime}dz^{\prime\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E12.m1.6d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b ( italic_z ) = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG 2 roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_a ( italic_z + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_b ( italic_z - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.19">or, equivalently,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a\bigstar_{\hbar}b(z)=\left(\tfrac{1}{\pi\hbar}\right)^{2n}\int e^{-\frac{2i}{% \hbar}\sigma(u-z,v-z)}a(u)b(v)dudv." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E13.m1.7"><semantics id="S2.E13.m1.7a"><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.7.7.1.1.2.2" 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id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msup id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E13.m1.4.4.cmml"><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E13.m1.4.4.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E13.m1.4.4" xref="S2.E13.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S2.E13.m1.4.4a" xref="S2.E13.m1.4.4.cmml"><mn id="S2.E13.m1.4.4.2" xref="S2.E13.m1.4.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E13.m1.4.4.3" xref="S2.E13.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S2.E13.m1.4.4.3.2" xref="S2.E13.m1.4.4.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.E13.m1.4.4.3.1" xref="S2.E13.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.4.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E13.m1.4.4.3.3.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E13.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.1" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E13.m1.2.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E13.m1.2.2.2a" xref="S2.E13.m1.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E13.m1.2.2.2.2.4" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.2" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.2.cmml"><mn id="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.2.1" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.2.3" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.2.3.cmml">i</mi></mrow><mi id="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.4.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.E13.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.2.2.2.2.5" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.5.cmml">σ</mi><mo id="S2.E13.m1.2.2.2.2.3a" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1a" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.4.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.5.5" xref="S2.E13.m1.5.5.cmml">u</mi><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1b" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.5" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.5.cmml">b</mi><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1c" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.6.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.6.6" xref="S2.E13.m1.6.6.cmml">v</mi><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1d" lspace="0em" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.7" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.cmml"><mo id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.1" rspace="0em" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.2" xref="S2.E13.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.2.cmml">u</mi></mrow><mo 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\hbar}\sigma(u-z,v-z)}a(u)b(v)dudv.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E13.m1.7d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b ( italic_z ) = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 2 italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_u - italic_z , italic_v - italic_z ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_a ( italic_u ) italic_b ( italic_v ) italic_d italic_u italic_d italic_v .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.2">A remarkable property of the Moyal product is its “phase space cyclicity”:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int a\bigstar_{\hbar}b(z)dz=\int a(z)b(z)dz=\int b\bigstar_{\hbar}a(z)dz." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E14.m1.5"><semantics id="S2.E14.m1.5a"><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1a" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml">b</mi><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1b" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.5.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E14.m1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1c" lspace="0em" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.2" 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id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.1b" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.5.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E14.m1.3.3" xref="S2.E14.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.1c" lspace="0em" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.cmml"><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.cmml"><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.1" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1a" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.4" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.4.cmml">a</mi><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1b" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.5.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E14.m1.4.4" xref="S2.E14.m1.4.4.cmml">z</mi><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1c" lspace="0em" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.cmml"><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.2" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E14.m1.5b"><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1"><and id="S2.E14.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1"></and><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1"><eq id="S2.E14.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.3"></eq><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2"><int id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.1"></int><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2"><times id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.4">𝑏</ci><ci id="S2.E14.m1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.2.2.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4"><int id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.1"></int><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2"><times id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.1"></times><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.E14.m1.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2">𝑧</ci><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.4.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.4">𝑏</ci><ci id="S2.E14.m1.3.3.cmml" xref="S2.E14.m1.3.3">𝑧</ci><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.4.2.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1c.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1"><eq id="S2.E14.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E14.m1.5.5.1.1.4.cmml" id="S2.E14.m1.5.5.1.1d.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1"></share><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6"><int id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.1"></int><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2"><times id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.1"></times><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.2">𝑏</ci><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.4.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.4">𝑎</ci><ci id="S2.E14.m1.4.4.cmml" xref="S2.E14.m1.4.4">𝑧</ci><apply id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.1.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.2.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5.1.1.6.2.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E14.m1.5c">\int a\bigstar_{\hbar}b(z)dz=\int a(z)b(z)dz=\int b\bigstar_{\hbar}a(z)dz.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E14.m1.5d">∫ italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b ( italic_z ) italic_d italic_z = ∫ italic_a ( italic_z ) italic_b ( italic_z ) italic_d italic_z = ∫ italic_b ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_a ( italic_z ) italic_d italic_z .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.3">To prove this it suffices to note that in view of formula (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E13" title="In 2.1 Weyl calculus and the Moyal star product ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx3"> <tbody id="S2.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int a\bigstar_{\hbar}b(z)dz" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex8.m1.1"><semantics id="S2.Ex8.m1.1a"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex8.m1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.1.2a" xref="S2.Ex8.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.1.2.1" xref="S2.Ex8.m1.1.2.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.1.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex8.m1.1.2.2.1" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex8.m1.1.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.Ex8.m1.1.2.2.1a" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex8.m1.1.2.2.4" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.4.cmml">b</mi><mo id="S2.Ex8.m1.1.2.2.1b" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.1.2.2.5.2" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.1.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.Ex8.m1.1.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.1.2.2.1c" lspace="0em" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.1.2.2.6" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.2" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex8.m1.1b"><apply id="S2.Ex8.m1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2"><int id="S2.Ex8.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.1"></int><apply id="S2.Ex8.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2"><times id="S2.Ex8.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex8.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.Ex8.m1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.4">𝑏</ci><ci id="S2.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.2.2.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex8.m1.1c">\displaystyle\int a\bigstar_{\hbar}b(z)dz</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex8.m1.1d">∫ italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b ( italic_z ) italic_d italic_z</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\tfrac{1}{\pi\hbar}\right)^{2n}\int\left(e^{\frac{2i}{% \hbar}\sigma(u-z,v-z)}dz\right)a(u)b(v)dudv" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex8.m2.6"><semantics id="S2.Ex8.m2.6a"><mrow id="S2.Ex8.m2.6.6" xref="S2.Ex8.m2.6.6.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.6.6.3" xref="S2.Ex8.m2.6.6.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex8.m2.6.6.2" xref="S2.Ex8.m2.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex8.m2.6.6.1" xref="S2.Ex8.m2.6.6.1.cmml"><msup id="S2.Ex8.m2.6.6.1.3" xref="S2.Ex8.m2.6.6.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m2.6.6.1.3.2.2" xref="S2.Ex8.m2.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex8.m2.6.6.1.3.2.2.1" xref="S2.Ex8.m2.3.3.cmml">(</mo><mfrac id="S2.Ex8.m2.3.3" xref="S2.Ex8.m2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex8.m2.3.3.2" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex8.m2.3.3.3" xref="S2.Ex8.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.3.3.3.2" xref="S2.Ex8.m2.3.3.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.Ex8.m2.3.3.3.1" xref="S2.Ex8.m2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex8.m2.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex8.m2.3.3.3.3.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex8.m2.6.6.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex8.m2.3.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex8.m2.6.6.1.3.3" xref="S2.Ex8.m2.6.6.1.3.3.cmml"><mn 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italic_d italic_z ) italic_a ( italic_u ) italic_b ( italic_v ) italic_d italic_u italic_d italic_v</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int\left(\int e^{-\frac{2i}{2\hbar}\sigma(u-v,z)}dz\right)e^{-% \frac{2i}{\hbar}\sigma(u,v)}a(u)b(v)dudv" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex9.m1.7"><semantics id="S2.Ex9.m1.7a"><mrow id="S2.Ex9.m1.7.7" xref="S2.Ex9.m1.7.7.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.7.7.3" xref="S2.Ex9.m1.7.7.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.2" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex9.m1.7.7.1" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.7.7.1a" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.1.2" rspace="0em" 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xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.2.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">i</mi></mrow><mrow id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.4" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.4.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.2a" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" 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id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.Ex9.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2"><minus id="S2.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2"></minus><apply id="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.4"><times id="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.1"></times><apply id="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.2"><divide id="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.2"></divide><apply id="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.2.2.cmml" 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id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.8.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.8"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.8.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.8.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.8.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.8.2">𝑢</ci></apply><apply id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.9.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.9"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.9.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.9.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.9.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.1.1.9.2">𝑣</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex9.m1.7c">\displaystyle=\int\left(\int e^{-\frac{2i}{2\hbar}\sigma(u-v,z)}dz\right)e^{-% \frac{2i}{\hbar}\sigma(u,v)}a(u)b(v)dudv</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex9.m1.7d">= ∫ ( ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 2 italic_i end_ARG start_ARG 2 roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_u - italic_v , italic_z ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_z ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 2 italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_u , italic_v ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_a ( italic_u ) italic_b ( italic_v ) italic_d italic_u italic_d italic_v</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int\delta(u-v)e^{-\frac{2i}{\hbar}\sigma(u,v)}a(u)b(v)dudv" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex10.m1.5"><semantics id="S2.Ex10.m1.5a"><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5" xref="S2.Ex10.m1.5.5.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex10.m1.5.5.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1a" 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xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.2.2.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2a" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.cmml"><mfrac id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.cmml"><mn id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.1" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.3" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.3.cmml">i</mi></mrow><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.3.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.1a" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.2.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2b" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.5" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.5.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2c" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.6.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex10.m1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2d" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.7" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.7.cmml">b</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2e" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.8.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.8.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex10.m1.4.4" xref="S2.Ex10.m1.4.4.cmml">v</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.8.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2f" lspace="0em" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.1" rspace="0em" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2g" lspace="0em" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.1" rspace="0em" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.2.cmml">v</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex10.m1.5b"><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5"><eq id="S2.Ex10.m1.5.5.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1"><int id="S2.Ex10.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.2"></int><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1"><times id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3">𝛿</ci><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.4.2">𝑒</ci><apply id="S2.Ex10.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2"><minus id="S2.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2"></minus><apply id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4"><times id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.1"></times><apply id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2"><divide id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2"></divide><apply id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2"><times id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.1"></times><cn id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.2">2</cn><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.2.3">𝑖</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.3">𝜎</ci><interval closure="open" id="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.4.4.2"><ci id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1">𝑢</ci><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2">𝑣</ci></interval></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.5">𝑎</ci><ci id="S2.Ex10.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3">𝑢</ci><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.7.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.7">𝑏</ci><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4">𝑣</ci><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.9.2">𝑢</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.10.2">𝑣</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex10.m1.5c">\displaystyle=\int\delta(u-v)e^{-\frac{2i}{\hbar}\sigma(u,v)}a(u)b(v)dudv</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex10.m1.5d">= ∫ italic_δ ( italic_u - italic_v ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 2 italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_u , italic_v ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_a ( italic_u ) italic_b ( italic_v ) italic_d italic_u italic_d italic_v</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int a(u)b(v)du." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex11.m1.3"><semantics id="S2.Ex11.m1.3a"><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.1" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3a" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex11.m1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1a" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.4" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.4.cmml">b</mi><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1b" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.5.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex11.m1.2.2" xref="S2.Ex11.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1c" lspace="0em" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex11.m1.3b"><apply id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3"><int id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.1"></int><apply id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.4.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.4">𝑏</ci><ci id="S2.Ex11.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2">𝑣</ci><apply id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.1.1.3.2.6.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex11.m1.3c">\displaystyle=\int a(u)b(v)du.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex11.m1.3d">= ∫ italic_a ( italic_u ) italic_b ( italic_v ) italic_d italic_u .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.1">One shows that the Moyal product is bounded on <math alttext="L^{1}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.1.m1.1c">L^{1}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>; in fact</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="|a\bigstar_{\hbar}b(z)|\leq||a||_{L^{1}}||b||_{L^{1}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E15.m1.4"><semantics id="S2.E15.m1.4a"><mrow id="S2.E15.m1.4.4.1" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.4.4.1.1" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml">b</mi><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.E15.m1.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msup></msub><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.E15.m1.3.3" xref="S2.E15.m1.3.3.cmml">b</mi><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E15.m1.4b"><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1"><leq id="S2.E15.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.2"></leq><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1"><abs id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4">𝑏</ci><ci id="S2.E15.m1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1">𝑧</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3"><times id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2">𝑎</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.E15.m1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.4.4.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E15.m1.4c">|a\bigstar_{\hbar}b(z)|\leq||a||_{L^{1}}||b||_{L^{1}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E15.m1.4d">| italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b ( italic_z ) | ≤ | | italic_a | | start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | | italic_b | | start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.1">As an example let us calculate the starproduct of two cross-Wigner transform:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Proposition 1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem1.p1.3.3">Let <math alttext="\psi,\psi^{\prime},\phi,\phi^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml">,</mo><msup id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml">,</mo><msup id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4b"><list id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2"><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1">𝜓</ci><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2">𝜓</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3">′</ci></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2">italic-ϕ</ci><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4c">\psi,\psi^{\prime},\phi,\phi^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4d">italic_ψ , italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ϕ , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be in <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1"><times id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})\in L^{2}(\mathbb{R}% ^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5"><semantics id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.cmml"><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.4.cmml">W</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3a" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.2.cmml">★</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3b" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.7" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.7.cmml">W</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3c" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.4" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.4.cmml">∈</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.cmml"><msup id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5b"><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5"><in id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.4"></in><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2"><times id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3"></times><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.5.2"><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">𝜓</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2">italic-ϕ</ci></interval><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.6.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.7.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.7">𝑊</ci><interval closure="open" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2"><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3"><times id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.2"></times><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3"><times id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.1"></times><cn id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5c">W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})\in L^{2}(\mathbb{R}% ^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5d">italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})=\left(\tfrac{1}{2% \pi\hbar}\right)^{n}(\psi^{\prime}|\phi))_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})}W(\psi,\phi^{% \prime})." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.E16.m1.4"><semantics id="S2.E16.m1.4a"><mrow id="S2.E16.m1.4b"><mi id="S2.E16.m1.4.5">W</mi><mrow id="S2.E16.m1.4.6"><mo id="S2.E16.m1.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E16.m1.2.2">ψ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.6.2">,</mo><mi id="S2.E16.m1.3.3">ϕ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="S2.E16.m1.4.7"><mi id="S2.E16.m1.4.7.2" mathvariant="normal">★</mi><mi id="S2.E16.m1.4.7.3" mathvariant="normal">ℏ</mi></msub><mi id="S2.E16.m1.4.8">W</mi><mrow id="S2.E16.m1.4.9"><mo id="S2.E16.m1.4.9.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.E16.m1.4.9.2"><mi id="S2.E16.m1.4.9.2.2">ψ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.9.2.3">′</mo></msup><mo id="S2.E16.m1.4.9.3">,</mo><msup id="S2.E16.m1.4.9.4"><mi id="S2.E16.m1.4.9.4.2">ϕ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.9.4.3">′</mo></msup><mo id="S2.E16.m1.4.9.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E16.m1.4.10">=</mo><msup id="S2.E16.m1.4.11"><mrow id="S2.E16.m1.4.11.2"><mo id="S2.E16.m1.4.11.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E16.m1.4.4"><mfrac id="S2.E16.m1.4.4a"><mn id="S2.E16.m1.4.4.2">1</mn><mrow id="S2.E16.m1.4.4.3"><mn id="S2.E16.m1.4.4.3.2">2</mn><mo id="S2.E16.m1.4.4.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E16.m1.4.4.3.3">π</mi><mo id="S2.E16.m1.4.4.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.E16.m1.4.4.3.4" mathvariant="normal">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E16.m1.4.11.2.2">)</mo></mrow><mi id="S2.E16.m1.4.11.3">n</mi></msup><mrow id="S2.E16.m1.4.12"><mo id="S2.E16.m1.4.12.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.E16.m1.4.12.2"><mi id="S2.E16.m1.4.12.2.2">ψ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.12.2.3">′</mo></msup><mo fence="false" id="S2.E16.m1.4.12.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.E16.m1.4.12.4">ϕ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.12.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E16.m1.4.13" stretchy="false">)</mo><msub id="S2.E16.m1.1.1"><mi id="S2.E16.m1.1.1a"></mi><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1"><msup id="S2.E16.m1.1.1.1.3"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.3.2">L</mi><mn id="S2.E16.m1.1.1.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3">n</mi></msup><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mi id="S2.E16.m1.4.14">W</mi><mo id="S2.E16.m1.4.15" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E16.m1.4.16">ψ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.17">,</mo><msup id="S2.E16.m1.4.18"><mi id="S2.E16.m1.4.18.2">ϕ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.18.3">′</mo></msup><mo id="S2.E16.m1.4.19" stretchy="false">)</mo><mo id="S2.E16.m1.4.20" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E16.m1.4c">W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})=\left(\tfrac{1}{2% \pi\hbar}\right)^{n}(\psi^{\prime}|\phi))_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})}W(\psi,\phi^{% \prime}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E16.m1.4d">italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_ϕ ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.8"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS1.p4.8.1">Proof.</span> Recall that <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> <math alttext="W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.1.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.2.cmml">W</mi><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.1.m1.2b"><apply id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3"><times id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.1.m1.2c">W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.1.m1.2d">italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math> (<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p4.8.2">resp</span>.<math alttext="W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p4.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.4" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.4.cmml">W</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.2.m2.2b"><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2"><times id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3"></times><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.2.m2.2c">W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.2.m2.2d">italic_W ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>) is the Weyl symbol of the operator <math alttext="\widehat{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p4.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1"><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.3.m3.1c">\widehat{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> (<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p4.8.3">resp</span>. <math alttext="\widehat{A}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p4.4.m4.1a"><msup id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2"><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.4.m4.1c">\widehat{A}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) with kernel <math alttext="K=(2\pi\hbar)^{-n}\psi\otimes\phi^{\ast}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p4.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.3.cmml">K</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml">⊗</mo><msup id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1"><eq id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.2"></eq><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.3">𝐾</ci><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3"><minus id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.3">∗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.5.m5.1c">K=(2\pi\hbar)^{-n}\psi\otimes\phi^{\ast}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.5.m5.1d">italic_K = ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ ⊗ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>(<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p4.8.4">resp</span>.<math alttext="K^{\prime}=(2\pi\hbar)^{-n}\psi^{\prime}\otimes\phi^{\prime\ast}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.6.m6.3"><semantics id="S2.SS1.p4.6.m6.3a"><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3a" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3.2.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.2.cmml">⊗</mo><msup id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.2.2" lspace="0.222em" xref="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml">∗</mo></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.6.m6.3b"><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3"><eq id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.2"></eq><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.2">𝐾</ci><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.3.3">′</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1"><times id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3"><minus id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3"></minus><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.1.3.2">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.2">italic-ϕ</ci><list id="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.2"><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.2.2.2.2.1">′</ci><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1.1">∗</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.6.m6.3c">K^{\prime}=(2\pi\hbar)^{-n}\psi^{\prime}\otimes\phi^{\prime\ast}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.6.m6.3d">italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>). It follows that <math alttext="W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.7.m7.4"><semantics id="S2.SS1.p4.7.m7.4a"><mrow id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.4" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.4.cmml">W</mi><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.2" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.2.2" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.2.2" xref="S2.SS1.p4.7.m7.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3a" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.2.cmml">★</mi><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3b" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.7" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.7.cmml">W</mi><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3c" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.4" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.7.m7.4b"><apply id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4"><times id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.3"></times><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.5.2"><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.2.2">italic-ϕ</ci></interval><apply id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.6.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.7.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.7">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2"><apply id="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.4.4.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.7.m7.4c">W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.7.m7.4d">italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the Weyl symbol of <math alttext="\widehat{B}=\widehat{A}\widehat{A}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p4.8.m8.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.1" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.1" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.1" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.8.m8.1b"><apply id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1"><eq id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2"><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.2">𝐵</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3"><times id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2"><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2"><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.8.m8.1c">\widehat{B}=\widehat{A}\widehat{A}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.8.m8.1d">over^ start_ARG italic_B end_ARG = over^ start_ARG italic_A end_ARG over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> whose kernel is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx4"> <tbody id="S2.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle L(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex12.m1.2"><semantics id="S2.Ex12.m1.2a"><mrow id="S2.Ex12.m1.2.3" xref="S2.Ex12.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.2.3.2" xref="S2.Ex12.m1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.Ex12.m1.2.3.1" xref="S2.Ex12.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.2.3.3.2" xref="S2.Ex12.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex12.m1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex12.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.Ex12.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex12.m1.2.2" xref="S2.Ex12.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.Ex12.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex12.m1.2b"><apply id="S2.Ex12.m1.2.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.3"><times id="S2.Ex12.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex12.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.3.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S2.Ex12.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.Ex12.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.Ex12.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex12.m1.2c">\displaystyle L(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex12.m1.2d">italic_L ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int K(x,u)K^{\prime}(u,y)du" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex12.m2.4"><semantics id="S2.Ex12.m2.4a"><mrow id="S2.Ex12.m2.4.5" xref="S2.Ex12.m2.4.5.cmml"><mi id="S2.Ex12.m2.4.5.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.1" xref="S2.Ex12.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex12.m2.4.5.3" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m2.4.5.3a" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.cmml"><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.1" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.2.cmml">K</mi><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex12.m2.1.1" xref="S2.Ex12.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.2.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex12.m2.2.2" xref="S2.Ex12.m2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1a" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.2.cmml">K</mi><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.3" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1b" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.1.cmml"><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex12.m2.3.3" xref="S2.Ex12.m2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.2.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex12.m2.4.4" xref="S2.Ex12.m2.4.4.cmml">y</mi><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1c" lspace="0em" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.cmml"><mo id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.2" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex12.m2.4b"><apply id="S2.Ex12.m2.4.5.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5"><eq id="S2.Ex12.m2.4.5.1.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex12.m2.4.5.2.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.2">absent</csymbol><apply id="S2.Ex12.m2.4.5.3.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3"><int id="S2.Ex12.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.1"></int><apply id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2"><times id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.1"></times><ci id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.2">𝐾</ci><interval closure="open" id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.3.2"><ci id="S2.Ex12.m2.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.Ex12.m2.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m2.2.2">𝑢</ci></interval><apply id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.2">𝐾</ci><ci id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.4.3">′</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.1.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.5.2"><ci id="S2.Ex12.m2.3.3.cmml" xref="S2.Ex12.m2.3.3">𝑢</ci><ci id="S2.Ex12.m2.4.4.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.4">𝑦</ci></interval><apply id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex12.m2.4.5.3.2.6.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex12.m2.4c">\displaystyle=\int K(x,u)K^{\prime}(u,y)du</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex12.m2.4d">= ∫ italic_K ( italic_x , italic_u ) italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u , italic_y ) italic_d italic_u</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{2n}\psi(x)\phi^{\prime\ast}(y% )\int\psi^{\prime}(u)\phi^{\ast}(u)du" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex13.m1.7"><semantics id="S2.Ex13.m1.7a"><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8" xref="S2.Ex13.m1.7.8.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.7.8.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.1" xref="S2.Ex13.m1.7.8.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.cmml"><msup id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.2.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.2.2.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.cmml">(</mo><mfrac id="S2.Ex13.m1.3.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex13.m1.3.3.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex13.m1.3.3.3.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.3.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.3.1a" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.cmml"><mn id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.1" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.3" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.1" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex13.m1.7.8.3.3" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.1a" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.4.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex13.m1.4.4" xref="S2.Ex13.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.1b" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex13.m1.7.8.3.5" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.5.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.7.8.3.5.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.5.2.cmml">ϕ</mi><mrow id="S2.Ex13.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S2.Ex13.m1.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.2.2.2" lspace="0.222em" xref="S2.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex13.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.1c" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.6.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex13.m1.5.5" xref="S2.Ex13.m1.5.5.cmml">y</mi><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.1d" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.cmml"><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7a" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.1" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.cmml"><msup id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.3" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.3.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex13.m1.6.6" xref="S2.Ex13.m1.6.6.cmml">u</mi><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1a" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.3" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1b" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.5.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex13.m1.7.7" xref="S2.Ex13.m1.7.7.cmml">u</mi><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1c" lspace="0em" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.2" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex13.m1.7b"><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8"><eq id="S2.Ex13.m1.7.8.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex13.m1.7.8.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.2">absent</csymbol><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3"><times id="S2.Ex13.m1.7.8.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.1"></times><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.2.2"><divide id="S2.Ex13.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.2.2"></divide><cn id="S2.Ex13.m1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex13.m1.3.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3"><times id="S2.Ex13.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.1"></times><cn id="S2.Ex13.m1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.2">2</cn><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex13.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.3.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply></apply><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3"><times id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.1"></times><cn id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.2">2</cn><ci id="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex13.m1.7.8.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.3">𝜓</ci><ci id="S2.Ex13.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex13.m1.4.4">𝑥</ci><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.5.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.7.8.3.5.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.5">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.7.8.3.5.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.5.2">italic-ϕ</ci><list id="S2.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.2.2"><ci id="S2.Ex13.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.2.2.1">′</ci><ci id="S2.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.1.1.1.1">∗</ci></list></apply><ci id="S2.Ex13.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex13.m1.5.5">𝑦</ci><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7"><int id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.1"></int><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2"><times id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.1"></times><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.2">𝜓</ci><ci id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.Ex13.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex13.m1.6.6">𝑢</ci><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.4.3">∗</ci></apply><ci id="S2.Ex13.m1.7.7.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.7">𝑢</ci><apply id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.7.8.3.7.2.6.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex13.m1.7c">\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{2n}\psi(x)\phi^{\prime\ast}(y% )\int\psi^{\prime}(u)\phi^{\ast}(u)du</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex13.m1.7d">= ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ ( italic_x ) italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ) ∫ italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) italic_d italic_u</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{2n}\psi(x)\phi^{\prime\ast}(y% )(\psi^{\prime}|\phi))_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.Ex14.m1.6"><semantics id="S2.Ex14.m1.6a"><mrow id="S2.Ex14.m1.6b"><mo id="S2.Ex14.m1.6.7">=</mo><msup id="S2.Ex14.m1.6.8"><mrow id="S2.Ex14.m1.6.8.2"><mo id="S2.Ex14.m1.6.8.2.1">(</mo><mfrac id="S2.Ex14.m1.4.4"><mn id="S2.Ex14.m1.4.4.2">1</mn><mrow id="S2.Ex14.m1.4.4.3"><mn id="S2.Ex14.m1.4.4.3.2">2</mn><mo id="S2.Ex14.m1.4.4.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex14.m1.4.4.3.3">π</mi><mo id="S2.Ex14.m1.4.4.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.Ex14.m1.4.4.3.4" mathvariant="normal">ℏ</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex14.m1.6.8.2.2">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex14.m1.6.8.3"><mn id="S2.Ex14.m1.6.8.3.2">2</mn><mo id="S2.Ex14.m1.6.8.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex14.m1.6.8.3.3">n</mi></mrow></msup><mi id="S2.Ex14.m1.6.9">ψ</mi><mrow id="S2.Ex14.m1.6.10"><mo id="S2.Ex14.m1.6.10.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.Ex14.m1.5.5">x</mi><mo id="S2.Ex14.m1.6.10.2" stretchy="false">)</mo></mrow><msup id="S2.Ex14.m1.6.11"><mi id="S2.Ex14.m1.6.11.2">ϕ</mi><mrow id="S2.Ex14.m1.2.2.2.2"><mo id="S2.Ex14.m1.2.2.2.2.1" mathsize="142%">′</mo><mo id="S2.Ex14.m1.2.2.2.2.2" lspace="0.222em">⁣</mo><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1">∗</mo></mrow></msup><mrow id="S2.Ex14.m1.6.12"><mo id="S2.Ex14.m1.6.12.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.Ex14.m1.6.6">y</mi><mo id="S2.Ex14.m1.6.12.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex14.m1.6.13"><mo id="S2.Ex14.m1.6.13.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.Ex14.m1.6.13.2"><mi id="S2.Ex14.m1.6.13.2.2">ψ</mi><mo id="S2.Ex14.m1.6.13.2.3">′</mo></msup><mo fence="false" id="S2.Ex14.m1.6.13.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.Ex14.m1.6.13.4">ϕ</mi><mo id="S2.Ex14.m1.6.13.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex14.m1.6.14" stretchy="false">)</mo><msub id="S2.Ex14.m1.3.3"><mi id="S2.Ex14.m1.3.3a"></mi><mrow id="S2.Ex14.m1.3.3.1"><msup id="S2.Ex14.m1.3.3.1.3"><mi id="S2.Ex14.m1.3.3.1.3.2">L</mi><mn id="S2.Ex14.m1.3.3.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S2.Ex14.m1.3.3.1.2">⁢</mo><mrow id="S2.Ex14.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S2.Ex14.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1"><mi id="S2.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mi id="S2.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.3">n</mi></msup><mo id="S2.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex14.m1.6.15" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex14.m1.6c">\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{2n}\psi(x)\phi^{\prime\ast}(y% )(\psi^{\prime}|\phi))_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex14.m1.6d">= ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ ( italic_x ) italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ) ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_ϕ ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.10">The starproduct <math alttext="W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.9.m1.4"><semantics id="S2.SS1.p4.9.m1.4a"><mrow id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.4" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.4.cmml">W</mi><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.2" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.9.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.9.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.2.2" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p4.9.m1.2.2" xref="S2.SS1.p4.9.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3a" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.2.cmml">★</mi><mi id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3b" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.7" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.7.cmml">W</mi><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3c" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.4" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.9.m1.4b"><apply id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4"><times id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.3"></times><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.5.2"><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval><apply id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.6.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.7.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.7">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2"><apply id="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m1.4.4.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.9.m1.4c">W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.9.m1.4d">italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the Weyl symbol of the operators with kernel <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.10.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p4.10.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p4.10.m2.1.1" xref="S2.SS1.p4.10.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.10.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p4.10.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.10.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.10.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.10.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math>, both are related by formula (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E8" title="In 2.1 Weyl calculus and the Moyal star product ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>), that is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx5"> <tbody id="S2.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex15.m1.5"><semantics id="S2.Ex15.m1.5a"><mrow id="S2.Ex15.m1.5.5" xref="S2.Ex15.m1.5.5.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.5.5.4" xref="S2.Ex15.m1.5.5.4.cmml">W</mi><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.3" xref="S2.Ex15.m1.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.5.5.5.2" xref="S2.Ex15.m1.5.5.5.1.cmml"><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.5.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex15.m1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.5.2.2" xref="S2.Ex15.m1.5.5.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex15.m1.2.2" xref="S2.Ex15.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.5.5.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.3a" xref="S2.Ex15.m1.5.5.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex15.m1.5.5.6" xref="S2.Ex15.m1.5.5.6.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.5.5.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex15.m1.5.5.6.2.cmml">★</mi><mi id="S2.Ex15.m1.5.5.6.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex15.m1.5.5.6.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.3b" xref="S2.Ex15.m1.5.5.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m1.5.5.7" xref="S2.Ex15.m1.5.5.7.cmml">W</mi><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.3c" xref="S2.Ex15.m1.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.4" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.3d" xref="S2.Ex15.m1.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.5.5.8.2" xref="S2.Ex15.m1.5.5.cmml"><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.8.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.5.5.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex15.m1.3.3" xref="S2.Ex15.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.Ex15.m1.5.5.8.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.5.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex15.m1.5b"><apply id="S2.Ex15.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5"><times id="S2.Ex15.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.3"></times><ci id="S2.Ex15.m1.5.5.4.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.Ex15.m1.5.5.5.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.5.2"><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.Ex15.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval><apply id="S2.Ex15.m1.5.5.6.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.5.5.6.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.5.5.6.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.6.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex15.m1.5.5.6.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.6.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.Ex15.m1.5.5.7.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.7">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.Ex15.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.2"><apply id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.5.5.2.2.2.3">′</ci></apply></interval><ci id="S2.Ex15.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.3.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex15.m1.5c">\displaystyle W(\psi,\phi)\bigstar_{\hbar}W(\psi^{\prime},\phi^{\prime})(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex15.m1.5d">italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_z )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int e^{-\frac{i}{\hbar}py}L(x+\tfrac{1}{2}y,x-\tfrac{1}{2}y)dy" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex15.m2.2"><semantics id="S2.Ex15.m2.2a"><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.4" xref="S2.Ex15.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.3" xref="S2.Ex15.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex15.m2.2.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2.2a" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.3" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.cmml"><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3a" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.2.cmml">i</mi><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.1" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.3" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.3.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.1a" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.4" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.4.cmml">y</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.5" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.5.cmml">L</mi><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.3a" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.2a" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.3b" lspace="0em" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.6" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.6.cmml"><mo id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.6.2" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.6.2.cmml">y</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex15.m2.2b"><apply id="S2.Ex15.m2.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2"><eq id="S2.Ex15.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex15.m2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S2.Ex15.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2"><int id="S2.Ex15.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.3"></int><apply id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2"><times id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3"><minus id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3"></minus><apply id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2"><times id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.1"></times><apply id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2"><divide id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2"></divide><ci id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.3">𝑝</ci><ci id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.4.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.4.3.2.4">𝑦</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.5">𝐿</ci><interval closure="open" id="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m2.2.2.2.2.2.2"><apply id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" 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id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mi id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3">n</mi></msup><mo id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex16.m1.4.9"><mo id="S2.Ex16.m1.4.9a">∫</mo></mstyle><mi id="S2.Ex16.m1.4.10">e</mi><msup id="S2.Ex16.m1.4.11"><mi id="S2.Ex16.m1.4.11a"></mi><mrow id="S2.Ex16.m1.4.11.1"><mo id="S2.Ex16.m1.4.11.1a">−</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.4.11.1.2"><mfrac id="S2.Ex16.m1.4.11.1.2.2"><mi id="S2.Ex16.m1.4.11.1.2.2.2">i</mi><mi id="S2.Ex16.m1.4.11.1.2.2.3" mathvariant="normal">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.Ex16.m1.4.11.1.2.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex16.m1.4.11.1.2.3">p</mi><mo id="S2.Ex16.m1.4.11.1.2.1a">⁢</mo><mi id="S2.Ex16.m1.4.11.1.2.4">y</mi></mrow></mrow></msup><mi id="S2.Ex16.m1.4.12">ψ</mi><mo id="S2.Ex16.m1.4.13" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.Ex16.m1.4.14">x</mi><mo id="S2.Ex16.m1.4.15">+</mo><mfrac id="S2.Ex16.m1.4.16"><mn id="S2.Ex16.m1.4.16.2">1</mn><mn id="S2.Ex16.m1.4.16.3">2</mn></mfrac><mi id="S2.Ex16.m1.4.17">y</mi><mo id="S2.Ex16.m1.4.18" stretchy="false">)</mo><mi id="S2.Ex16.m1.4.19">ϕ</mi><msup id="S2.Ex16.m1.3.3"><mi id="S2.Ex16.m1.3.3a"></mi><mrow id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2"><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1" mathsize="142%">′</mo><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.2" lspace="0.222em">⁣</mo><mo id="S2.Ex16.m1.2.2.1.1">∗</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex16.m1.4.20" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.Ex16.m1.4.21">x</mi><mo id="S2.Ex16.m1.4.22">−</mo><mfrac id="S2.Ex16.m1.4.23"><mn id="S2.Ex16.m1.4.23.2">1</mn><mn id="S2.Ex16.m1.4.23.3">2</mn></mfrac><mi id="S2.Ex16.m1.4.24">y</mi><mo id="S2.Ex16.m1.4.25" stretchy="false">)</mo><mi id="S2.Ex16.m1.4.26">d</mi><mi id="S2.Ex16.m1.4.27">y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex16.m1.4c">\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{2n}(\psi^{\prime}|\phi))_{L^{% 2}(\mathbb{R}^{n})}\int e^{-\frac{i}{\hbar}py}\psi(x+\tfrac{1}{2}y)\phi^{% \prime\ast}(x-\tfrac{1}{2}y)dy</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex16.m1.4d">= ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_ϕ ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_p italic_y end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ ( italic_x + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_y ) italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_y ) italic_d italic_y</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}(\psi^{\prime}|\phi))_{L^{2% }(\mathbb{R}^{n})}W(\psi,\phi^{\prime})(z)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.Ex17.m1.2"><semantics id="S2.Ex17.m1.2a"><mrow id="S2.Ex17.m1.2b"><mo id="S2.Ex17.m1.2.3">=</mo><msup id="S2.Ex17.m1.2.4"><mrow id="S2.Ex17.m1.2.4.2"><mo id="S2.Ex17.m1.2.4.2.1">(</mo><mfrac id="S2.Ex17.m1.2.2"><mn id="S2.Ex17.m1.2.2.2">1</mn><mrow id="S2.Ex17.m1.2.2.3"><mn id="S2.Ex17.m1.2.2.3.2">2</mn><mo id="S2.Ex17.m1.2.2.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex17.m1.2.2.3.3">π</mi><mo id="S2.Ex17.m1.2.2.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.Ex17.m1.2.2.3.4" mathvariant="normal">ℏ</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex17.m1.2.4.2.2">)</mo></mrow><mi id="S2.Ex17.m1.2.4.3">n</mi></msup><mrow id="S2.Ex17.m1.2.5"><mo id="S2.Ex17.m1.2.5.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.Ex17.m1.2.5.2"><mi id="S2.Ex17.m1.2.5.2.2">ψ</mi><mo id="S2.Ex17.m1.2.5.2.3">′</mo></msup><mo fence="false" id="S2.Ex17.m1.2.5.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.Ex17.m1.2.5.4">ϕ</mi><mo id="S2.Ex17.m1.2.5.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex17.m1.2.6" stretchy="false">)</mo><msub id="S2.Ex17.m1.1.1"><mi id="S2.Ex17.m1.1.1a"></mi><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1"><msup id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3"><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.2">L</mi><mn id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3">n</mi></msup><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mi id="S2.Ex17.m1.2.7">W</mi><mo id="S2.Ex17.m1.2.8" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.Ex17.m1.2.9">ψ</mi><mo id="S2.Ex17.m1.2.10">,</mo><msup id="S2.Ex17.m1.2.11"><mi id="S2.Ex17.m1.2.11.2">ϕ</mi><mo id="S2.Ex17.m1.2.11.3">′</mo></msup><mo id="S2.Ex17.m1.2.12" stretchy="false">)</mo><mo id="S2.Ex17.m1.2.13" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.Ex17.m1.2.14">z</mi><mo id="S2.Ex17.m1.2.15" stretchy="false">)</mo><mo id="S2.Ex17.m1.2.16" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex17.m1.2c">\displaystyle=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}(\psi^{\prime}|\phi))_{L^{2% }(\mathbb{R}^{n})}W(\psi,\phi^{\prime})(z).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex17.m1.2d">= ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_ϕ ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_z ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.1"><span class="ltx_rule" style="width:5.0pt;height:5.0pt;background:black;display:inline-block;"> </span></p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>Definition of Bopp operators</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.3">Let us replace the symbol <math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">italic_b</annotation></semantics></math> in the Moyal <math alttext="a\bigstar_{\hbar}b" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1a" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.4" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.4.cmml">b</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1"><times id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.4">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.1c">a\bigstar_{\hbar}b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.1d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b</annotation></semantics></math> with <math alttext="\Psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1"><in id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2"></in><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3">Ψ</ci><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1"><times id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.3">𝒮</ci><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.3.m3.1c">\Psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.3.m3.1d">roman_Ψ ∈ caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> (it will play the role of a “phase space function”); the formula (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E13" title="In 2.1 Weyl calculus and the Moyal star product ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) reads</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a\bigstar_{\hbar}\Psi(z)=\left(\tfrac{1}{\pi\hbar}\right)^{2n}\int e^{-\frac{i% }{2\hbar}\sigma(u-z,v-z)}a(u)\Psi(v)dudv." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E17.m1.7"><semantics id="S2.E17.m1.7a"><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.1a" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.4.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.1b" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.5.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.3.3" xref="S2.E17.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msup id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E17.m1.4.4.cmml"><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E17.m1.4.4.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E17.m1.4.4" xref="S2.E17.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S2.E17.m1.4.4a" xref="S2.E17.m1.4.4.cmml"><mn id="S2.E17.m1.4.4.2" xref="S2.E17.m1.4.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E17.m1.4.4.3" xref="S2.E17.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.4.4.3.2" xref="S2.E17.m1.4.4.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.E17.m1.4.4.3.1" xref="S2.E17.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.4.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.4.4.3.3.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.1" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.2.2.2a" xref="S2.E17.m1.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E17.m1.2.2.2.2.4" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.2.cmml">i</mi><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.3" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.3.cmml"><mn id="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.3.1" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.4.3.3.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.2.2.2.2.5" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.5.cmml">σ</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.3a" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1a" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.4.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.5.5" xref="S2.E17.m1.5.5.cmml">u</mi><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1b" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.5" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.5.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1c" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.6.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.6.6" xref="S2.E17.m1.6.6.cmml">v</mi><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1d" lspace="0em" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.cmml"><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.1" rspace="0em" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1e" lspace="0em" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.cmml"><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.1" rspace="0em" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.2" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.2.cmml">v</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E17.m1.7b"><apply id="S2.E17.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1"><eq id="S2.E17.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2"><times id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.2">𝑎</ci><apply id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.2.4">Ψ</ci><ci id="S2.E17.m1.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3"><times id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E17.m1.4.4.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.2.2"><divide id="S2.E17.m1.4.4.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.2.2.2"></divide><cn id="S2.E17.m1.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.4.4.2">1</cn><apply id="S2.E17.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.E17.m1.4.4.3"><times id="S2.E17.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.4.4.3.1"></times><ci 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id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.5.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.5">Ψ</ci><ci id="S2.E17.m1.6.6.cmml" xref="S2.E17.m1.6.6">𝑣</ci><apply id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7"><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.2.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.7.2">𝑢</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8"><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.1.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.2.cmml" xref="S2.E17.m1.7.7.1.1.3.3.2.8.2">𝑣</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E17.m1.7c">a\bigstar_{\hbar}\Psi(z)=\left(\tfrac{1}{\pi\hbar}\right)^{2n}\int e^{-\frac{i% }{2\hbar}\sigma(u-z,v-z)}a(u)\Psi(v)dudv.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E17.m1.7d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ ( italic_z ) = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG 2 roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_u - italic_z , italic_v - italic_z ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_a ( italic_u ) roman_Ψ ( italic_v ) italic_d italic_u italic_d italic_v .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.4">Performing the change of variables <math alttext="v=z-\frac{1}{2}z_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.4.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.4.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.4.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1"><eq id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3"><minus id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.2">𝑧</ci><apply id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3"><times id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2"><divide id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.2">1</cn><cn id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.2">𝑧</ci><cn id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.4.m1.1c">v=z-\frac{1}{2}z_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.4.m1.1d">italic_v = italic_z - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> this becomes, after some calculations,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a\bigstar_{\hbar}\Psi(z)=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int a_{\sigma}(% z_{0})e^{-\frac{i}{\hbar}\sigma(z,z_{0})}\Psi(z-\frac{1}{2}z_{0})dz_{0}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E18.m1.5"><semantics id="S2.E18.m1.5a"><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.1a" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.4.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.1b" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.5.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E18.m1.3.3" xref="S2.E18.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.2.2" xref="S2.E18.m1.4.4.cmml"><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.2.2.1" xref="S2.E18.m1.4.4.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E18.m1.4.4" xref="S2.E18.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S2.E18.m1.4.4a" xref="S2.E18.m1.4.4.cmml"><mn id="S2.E18.m1.4.4.2" xref="S2.E18.m1.4.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E18.m1.4.4.3" xref="S2.E18.m1.4.4.3.cmml"><mn id="S2.E18.m1.4.4.3.2" xref="S2.E18.m1.4.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E18.m1.4.4.3.1" xref="S2.E18.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.4.4.3.3" xref="S2.E18.m1.4.4.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E18.m1.4.4.3.1a" xref="S2.E18.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.4.4.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.4.4.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.2.2.2" xref="S2.E18.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.2.cmml">a</mi><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3a" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E18.m1.2.2.2" xref="S2.E18.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.2.2.2a" xref="S2.E18.m1.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E18.m1.2.2.2.2" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E18.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mi id="S2.E18.m1.2.2.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">ℏ</mi></mfrac><mo id="S2.E18.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.2.2.2.2.4" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.4.cmml">σ</mi><mo id="S2.E18.m1.2.2.2.2.2a" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3b" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.6.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3c" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3d" lspace="0em" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.cmml"><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.1" rspace="0em" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.1.cmml">𝑑</mo><msub id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.2" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.3" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E18.m1.5b"><apply id="S2.E18.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1"><eq id="S2.E18.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.3"></eq><apply id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4"><times id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.1"></times><ci id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.2">𝑎</ci><apply id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.4.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.4.4">Ψ</ci><ci id="S2.E18.m1.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2"><times id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.3"></times><apply id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E18.m1.4.4.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.4.2.2"><divide id="S2.E18.m1.4.4.1.cmml" 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id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.2">𝑎</ci><ci id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.4.3">𝜎</ci></apply><apply id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.5.2">𝑒</ci><apply id="S2.E18.m1.2.2.2.cmml" 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xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.2">𝑧</ci><cn id="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E18.m1.5.5.1.1.2.2.2.7.2.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E18.m1.5c">a\bigstar_{\hbar}\Psi(z)=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int a_{\sigma}(% z_{0})e^{-\frac{i}{\hbar}\sigma(z,z_{0})}\Psi(z-\frac{1}{2}z_{0})dz_{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E18.m1.5d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ ( italic_z ) = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_z , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ ( italic_z - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.5">We now define the operator <math alttext="\widetilde{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}(a):" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.5.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p1.5.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.2" rspace="0.1389em" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.2.cmml"><munder id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.5.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.2" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.2.cmml">:</mo><mi id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.5.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2"><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.2">:</ci><apply id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1"><eq id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.2"></eq><apply id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3"><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.1">~</ci><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.1">𝑎</ci></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.2.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.5.m1.2c">\widetilde{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}(a):</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.5.m1.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a ) :</annotation></semantics></math>by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{A}\Psi=a\bigstar_{\hbar}\Psi,\text{ }\Psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^% {n})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E19.m1.1"><semantics id="S2.E19.m1.1a"><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1"><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">Ψ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mtext id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2a.cmml"> </mtext><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E19.m1.1b"><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">Ψ</ci></apply><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">Ψ</ci></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2"><in id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.2"></in><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2a.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><mtext id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"> </mtext></ci><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">Ψ</ci></apply><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">𝒮</ci><apply id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E19.m1.1c">\widetilde{A}\Psi=a\bigstar_{\hbar}\Psi,\text{ }\Psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^% {n}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E19.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG roman_Ψ = italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ , roman_Ψ ∈ caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.10">Introducing the “Bopp displacement operator”</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{T}(z_{0})\Psi(z)=^{-\frac{i}{\hbar}\sigma(z,z_{0})}\Psi(z-\frac{1}{% 2}z_{0})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex18.m1.4"><semantics id="S2.Ex18.m1.4a"><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.4.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.2b" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.5.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex18.m1.3.3" xref="S2.Ex18.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3.2" 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id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex18.m1.4b"><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1"><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><eq id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.3.2"></eq><apply id="S2.Ex18.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2"><minus id="S2.Ex18.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2"></minus><apply id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2"><times id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.3"><divide id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.3"></divide><ci id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.4">𝜎</ci><interval closure="open" id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1"><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1">𝑧</ci><apply id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">0</cn></apply></interval></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1"><times id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3"><ci id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝑇</ci></apply><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.1.4">Ψ</ci><ci id="S2.Ex18.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2"><times id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.2"></times><ci id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.3">Ψ</ci><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1"><minus id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3"><times id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2"><divide id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝑧</ci><cn id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex18.m1.4c">\widetilde{T}(z_{0})\Psi(z)=^{-\frac{i}{\hbar}\sigma(z,z_{0})}\Psi(z-\frac{1}{% 2}z_{0}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex18.m1.4d">over~ start_ARG italic_T end_ARG ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Ψ ( italic_z ) = start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG roman_ℏ end_ARG italic_σ ( italic_z , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ ( italic_z - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.11">this definition can be rewritten</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{A}\Psi=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int a_{\sigma}(z_{0})% \widetilde{T}(z_{0})\Psi dz_{0}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E20.m1.3"><semantics id="S2.E20.m1.3a"><mrow id="S2.E20.m1.3.3" xref="S2.E20.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.3.3.4" xref="S2.E20.m1.3.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.E20.m1.3.3.4.2" xref="S2.E20.m1.3.3.4.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.3.3.4.2.2" xref="S2.E20.m1.3.3.4.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E20.m1.3.3.4.2.1" xref="S2.E20.m1.3.3.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E20.m1.3.3.4.1" xref="S2.E20.m1.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E20.m1.3.3.4.3" mathvariant="normal" xref="S2.E20.m1.3.3.4.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S2.E20.m1.3.3.3" xref="S2.E20.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.2" xref="S2.E20.m1.3.3.2.cmml"><msup id="S2.E20.m1.3.3.2.4" xref="S2.E20.m1.3.3.2.4.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.3.3.2.4.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.cmml"><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.4.2.2.1" xref="S2.E20.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E20.m1.1.1" xref="S2.E20.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E20.m1.1.1a" xref="S2.E20.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.E20.m1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E20.m1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E20.m1.1.1.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E20.m1.1.1.3.1" xref="S2.E20.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E20.m1.1.1.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E20.m1.1.1.3.1a" xref="S2.E20.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E20.m1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E20.m1.1.1.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.4.2.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E20.m1.3.3.2.4.3" xref="S2.E20.m1.3.3.2.4.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.3" xref="S2.E20.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.2.2" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.cmml"><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.3" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.2" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.2.cmml">a</mi><mi id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.3" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3a" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.cmml"><mi id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.2" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.1" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3b" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3c" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.6.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3d" lspace="0em" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.cmml"><mo id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.1" rspace="0em" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.1.cmml">𝑑</mo><msub id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.2" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.3" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E20.m1.3b"><apply id="S2.E20.m1.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3"><eq id="S2.E20.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.3"></eq><apply id="S2.E20.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.4"><times id="S2.E20.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.4.1"></times><apply id="S2.E20.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.4.2"><ci id="S2.E20.m1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.4.2.1">~</ci><ci id="S2.E20.m1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.4.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.E20.m1.3.3.4.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.4.3">Ψ</ci></apply><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2"><times id="S2.E20.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.3"></times><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E20.m1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.4.2.2"><divide id="S2.E20.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.4.2.2"></divide><cn id="S2.E20.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E20.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3"><times id="S2.E20.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.E20.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.E20.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply></apply><ci id="S2.E20.m1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.4.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2"><int id="S2.E20.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.3"></int><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2"><times id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.3"></times><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.2">𝑎</ci><ci id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.4.3">𝜎</ci></apply><apply id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5"><ci id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.1">~</ci><ci id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.5.2">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.6.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.6">Ψ</ci><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7"><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.1">differential-d</csymbol><apply id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.2">𝑧</ci><cn id="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.3.3.2.2.2.7.2.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E20.m1.3c">\widetilde{A}\Psi=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}\int a_{\sigma}(z_{0})% \widetilde{T}(z_{0})\Psi dz_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E20.m1.3d">over~ start_ARG italic_A end_ARG roman_Ψ = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π roman_ℏ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∫ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_T end_ARG ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Ψ italic_d italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.9">The linear operator <math alttext="\widetilde{A}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})\longrightarrow\mathcal{S}^{\prime}(% \mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.6.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p1.6.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.1" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.6.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2"><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.3">:</ci><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4"><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.1">~</ci><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.4.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2"><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.3">⟶</ci><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3">𝒮</ci><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2"><times id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2">𝒮</ci><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.6.m1.2c">\widetilde{A}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})\longrightarrow\mathcal{S}^{\prime}(% \mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.6.m1.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG : caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟶ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> defined by the harmonic representation above is called the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS2.p1.9.1">Bopp operator</em> with symbol <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.7.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.7.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p1.7.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m2.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.7.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m2.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.7.m2.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.7.m2.1d">italic_a</annotation></semantics></math> and denote it by <math alttext="\widetilde{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.8.m3.2"><semantics id="S2.SS2.p1.8.m3.2a"><mrow id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.1" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.2.cmml"><munder id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.8.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.8.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.8.m3.2b"><apply id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2"><eq id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.2"></eq><apply id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3"><ci id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.1">~</ci><ci id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1"><apply id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.2.2.1.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m3.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.8.m3.2c">\widetilde{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.8.m3.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> )observe the formal similarity of this definition with <math alttext="\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.9.m4.2"><semantics id="S2.SS2.p1.9.m4.2a"><mrow id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.2.cmml"><munder id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.2.1" lspace="0em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.9.m4.1.1" xref="S2.SS2.p1.9.m4.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.9.m4.2b"><apply id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1"><apply id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.2">Op</ci><ci id="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m4.2.2.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.9.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m4.1.1">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.9.m4.2c">\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.9.m4.2d">roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> given by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E9" title="In 2.1 Weyl calculus and the Moyal star product ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.2">The operator <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> can also be viewed as a Weyl operator <math alttext="\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})\longrightarrow\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.2"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.2.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.2b"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.3">⟶</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3">𝒮</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2"></times><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.2">𝒮</ci><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.2c">\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2n})\longrightarrow\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.2d">caligraphic_S ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟶ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> in view of Schwartz’s kernel theorem; explicitly:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.1.1.1">Proposition 2</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.3.3">We have <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> <math alttext="=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(\widetilde{a})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.3" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><munder id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2"><eq id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.3">absent</csymbol><apply id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1"><apply id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><apply id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2c">=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(\widetilde{a})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2d">= roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( over~ start_ARG italic_a end_ARG )</annotation></semantics></math> where the symbol <math alttext="\widetilde{a}\in\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">𝒮</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1"><in id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2"></in><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3"><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.1">~</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝑎</ci></apply><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1"><times id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2">𝒮</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.3.3">′</ci></apply><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1c">\widetilde{a}\in\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_a end_ARG ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is given by</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{a}(z,\zeta)=a(z-\tfrac{1}{2}J\zeta)\text{ \ },\text{ \ }z=(x,p),% \zeta=(\zeta_{x},\zeta_{p})" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E21.m1.6"><semantics id="S2.E21.m1.6a"><mrow id="S2.E21.m1.6.6.2" xref="S2.E21.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.5.5.1.1" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E21.m1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E21.m1.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.cmml">ζ</mi><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">J</mi><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">ζ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.4" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.4a.cmml"> </mtext></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.3" xref="S2.E21.m1.6.6.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.2a.cmml"> </mtext><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.1" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.1" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E21.m1.3.3" xref="S2.E21.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E21.m1.4.4" xref="S2.E21.m1.4.4.cmml">p</mi><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.4" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.4.cmml">ζ</mi><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.3" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ζ</mi><mi id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E21.m1.6b"><apply id="S2.E21.m1.6.6.3.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.6.6.3a.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E21.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1"><eq id="S2.E21.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3"><times id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2"><ci id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝑎</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2"><ci id="S2.E21.m1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1">𝑧</ci><ci id="S2.E21.m1.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2">𝜁</ci></interval></apply><apply id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1"><times id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.3">𝑎</ci><apply id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐽</ci><ci id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4">𝜁</ci></apply></apply><ci id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.4a.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E21.m1.5.5.1.1.1.4"> </mtext></ci></apply></apply><apply id="S2.E21.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.6.6.2.2.3a.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1"><eq id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2"><times id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.2a.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.2"> </mtext></ci><ci id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.1.1.3.2"><ci id="S2.E21.m1.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3">𝑥</ci><ci id="S2.E21.m1.4.4.cmml" xref="S2.E21.m1.4.4">𝑝</ci></interval></apply><apply id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2"><eq id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.3"></eq><ci id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.4">𝜁</ci><interval closure="open" id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2"><apply id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜁</ci><ci id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜁</ci><ci id="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑝</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E21.m1.6c">\widetilde{a}(z,\zeta)=a(z-\tfrac{1}{2}J\zeta)\text{ \ },\text{ \ }z=(x,p),% \zeta=(\zeta_{x},\zeta_{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E21.m1.6d">over~ start_ARG italic_a end_ARG ( italic_z , italic_ζ ) = italic_a ( italic_z - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_J italic_ζ ) , italic_z = ( italic_x , italic_p ) , italic_ζ = ( italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.4.1">where <math alttext="J=\begin{pmatrix}0&I\\ -I&0\end{pmatrix}\in\operatorname*{Sp}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3"><semantics id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.2" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.2.cmml">J</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.3" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1a" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1b" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1c" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">I</mi></mtd></mtr><mtr id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1d" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1e" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi></mrow></mtd><mtd id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1f" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.4" rspace="0.1389em" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.4.cmml">∈</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.2" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.1.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.2.2.cmml">Sp</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.2.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.1.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.2.1.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.2.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3b"><apply id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4"><and id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4a.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4"></and><apply id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4b.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4"><eq id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.3"></eq><ci id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.2">𝐽</ci><apply id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1"><cn id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">0</cn><ci id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1">𝐼</ci></matrixrow><matrixrow id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1"><apply id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1"></minus><ci id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci></apply><cn id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.1.1.2.2.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4c.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4"><in id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.4.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.4"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#Thmtheorem2.p1.4.1.m1.1.1.cmml" id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4d.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4"></share><apply id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.4.5.2"><ci id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.2.2">Sp</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3c">J=\begin{pmatrix}0&I\\ -I&0\end{pmatrix}\in\operatorname*{Sp}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.4.1.m1.3d">italic_J = ( start_ARG start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARG ) ∈ roman_Sp ( italic_n )</annotation></semantics></math> is the standard symplectic matrix.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS2.p3.1.1">Proof.</span> See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> Thm. 4.2 or <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> Prop. 44. <span class="ltx_rule" style="width:5.0pt;height:5.0pt;background:black;display:inline-block;"> </span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p4.1">Formula (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E21" title="In Proposition 2 ‣ 2.2 Definition of Bopp operators ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>) can be somewhat more explicitly be written</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{a}(x,p;\zeta_{x},\zeta_{p})=a(x-\tfrac{1}{2}\zeta_{p},p+\tfrac{1}{2% }\zeta_{x})" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex19.m1.6"><semantics id="S2.Ex19.m1.6a"><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6" xref="S2.Ex19.m1.6.6.cmml"><mrow id="S2.Ex19.m1.4.4.2" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex19.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.2" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.2.3" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex19.m1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex19.m1.2.2" xref="S2.Ex19.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.5" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.3.cmml">;</mo><msub id="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ζ</mi><mi id="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.6" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.7" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.5" xref="S2.Ex19.m1.6.6.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.4" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.4.4" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.4.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.4.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2a" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.2.cmml">ζ</mi><mi id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.4" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.1" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2a" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.2.cmml">ζ</mi><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex19.m1.6b"><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6"><eq id="S2.Ex19.m1.6.6.5.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.5"></eq><apply id="S2.Ex19.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2"><times id="S2.Ex19.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.3"></times><apply id="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.1">~</ci><ci id="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.4.2">𝑎</ci></apply><vector id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2"><ci id="S2.Ex19.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.Ex19.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.2.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝜁</ci><ci id="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝜁</ci><ci id="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.3">𝑝</ci></apply></vector></apply><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4"><times id="S2.Ex19.m1.6.6.4.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.3"></times><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.4.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2"><apply id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1"><minus id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3"><times id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2"><divide id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.2">𝜁</ci><ci id="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2"><plus id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.1"></plus><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3"><times id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2"><divide id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2"></divide><cn id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.2">1</cn><cn id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.2">𝜁</ci><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.4.2.2.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex19.m1.6c">\widetilde{a}(x,p;\zeta_{x},\zeta_{p})=a(x-\tfrac{1}{2}\zeta_{p},p+\tfrac{1}{2% }\zeta_{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex19.m1.6d">over~ start_ARG italic_a end_ARG ( italic_x , italic_p ; italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_a ( italic_x - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT , italic_p + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p4.2">justifying a posteriori the formal notation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{A}=a(x+\frac{i\hbar}{2}\partial_{p},p-\frac{i\hbar}{2}\partial_{x})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex20.m1.1"><semantics id="S2.Ex20.m1.1a"><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">A</mi><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0em" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" rspace="0em" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" lspace="0em" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2" rspace="0em" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex20.m1.1b"><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4"><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1">~</ci><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.4.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"></partialdiff><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><minus id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2"><divide id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2"></divide><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2"><times id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2"></partialdiff><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex20.m1.1c">\widetilde{A}=a(x+\frac{i\hbar}{2}\partial_{p},p-\frac{i\hbar}{2}\partial_{x}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex20.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG = italic_a ( italic_x + divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT , italic_p - divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p4.3">mentioned in the Introduction. Notice that formulas (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S1.E4" title="In 1 Introduction ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S1.E5" title="In 1 Introduction ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) can be rewritten</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx6"> <tbody id="S2.E22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{j}\bigstar_{\hbar}W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E22.m1.2"><semantics id="S2.E22.m1.2a"><mrow id="S2.E22.m1.2.3" xref="S2.E22.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.E22.m1.2.3.2" xref="S2.E22.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E22.m1.2.3.2.2" xref="S2.E22.m1.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.E22.m1.2.3.2.3" xref="S2.E22.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E22.m1.2.3.1" xref="S2.E22.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E22.m1.2.3.3" xref="S2.E22.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E22.m1.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E22.m1.2.3.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E22.m1.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E22.m1.2.3.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E22.m1.2.3.1a" xref="S2.E22.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E22.m1.2.3.4" xref="S2.E22.m1.2.3.4.cmml">W</mi><mo id="S2.E22.m1.2.3.1b" xref="S2.E22.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E22.m1.2.3.5.2" xref="S2.E22.m1.2.3.5.1.cmml"><mo id="S2.E22.m1.2.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.2.3.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E22.m1.1.1" xref="S2.E22.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E22.m1.2.3.5.2.2" xref="S2.E22.m1.2.3.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E22.m1.2.2" xref="S2.E22.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E22.m1.2.3.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.2.3.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E22.m1.2b"><apply id="S2.E22.m1.2.3.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3"><times id="S2.E22.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.1"></times><apply id="S2.E22.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E22.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.E22.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E22.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E22.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E22.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E22.m1.2.3.4.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.E22.m1.2.3.5.1.cmml" xref="S2.E22.m1.2.3.5.2"><ci id="S2.E22.m1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.E22.m1.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E22.m1.2c">\displaystyle x_{j}\bigstar_{\hbar}W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E22.m1.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(x_{j}+\frac{i\hbar}{2}\partial_{p_{j}})W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E22.m2.3"><semantics id="S2.E22.m2.3a"><mrow id="S2.E22.m2.3.3" xref="S2.E22.m2.3.3.cmml"><mi id="S2.E22.m2.3.3.3" xref="S2.E22.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S2.E22.m2.3.3.2" xref="S2.E22.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E22.m2.3.3.1" xref="S2.E22.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.1" lspace="0em" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.2" rspace="0em" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">∂</mo><msub id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E22.m2.3.3.1.3" xref="S2.E22.m2.3.3.1.3.cmml">W</mi><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.2a" xref="S2.E22.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E22.m2.3.3.1.4.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.4.1.cmml"><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E22.m2.3.3.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E22.m2.1.1" xref="S2.E22.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.4.2.2" xref="S2.E22.m2.3.3.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E22.m2.2.2" xref="S2.E22.m2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E22.m2.3.3.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m2.3.3.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E22.m2.3b"><apply id="S2.E22.m2.3.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3"><eq id="S2.E22.m2.3.3.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E22.m2.3.3.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S2.E22.m2.3.3.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1"><times id="S2.E22.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.2"></times><apply id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1"><plus id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.2"></partialdiff><apply id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.E22.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.E22.m2.3.3.1.4.1.cmml" xref="S2.E22.m2.3.3.1.4.2"><ci id="S2.E22.m2.1.1.cmml" xref="S2.E22.m2.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.E22.m2.2.2.cmml" xref="S2.E22.m2.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E22.m2.3c">\displaystyle=(x_{j}+\frac{i\hbar}{2}\partial_{p_{j}})W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E22.m2.3d">= ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p_{j}\bigstar_{\hbar}W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E23.m1.2"><semantics id="S2.E23.m1.2a"><mrow id="S2.E23.m1.2.3" xref="S2.E23.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.E23.m1.2.3.2" xref="S2.E23.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E23.m1.2.3.2.2" xref="S2.E23.m1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.E23.m1.2.3.2.3" xref="S2.E23.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E23.m1.2.3.1" xref="S2.E23.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E23.m1.2.3.3" xref="S2.E23.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E23.m1.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E23.m1.2.3.3.2.cmml">★</mi><mi id="S2.E23.m1.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E23.m1.2.3.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S2.E23.m1.2.3.1a" xref="S2.E23.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E23.m1.2.3.4" xref="S2.E23.m1.2.3.4.cmml">W</mi><mo id="S2.E23.m1.2.3.1b" xref="S2.E23.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E23.m1.2.3.5.2" xref="S2.E23.m1.2.3.5.1.cmml"><mo id="S2.E23.m1.2.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.2.3.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E23.m1.1.1" xref="S2.E23.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E23.m1.2.3.5.2.2" xref="S2.E23.m1.2.3.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E23.m1.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E23.m1.2.3.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.2.3.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E23.m1.2b"><apply id="S2.E23.m1.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3"><times id="S2.E23.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.1"></times><apply id="S2.E23.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.E23.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E23.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E23.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S2.E23.m1.2.3.4.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.E23.m1.2.3.5.1.cmml" xref="S2.E23.m1.2.3.5.2"><ci id="S2.E23.m1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.E23.m1.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E23.m1.2c">\displaystyle p_{j}\bigstar_{\hbar}W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E23.m1.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(p_{j}-\frac{i\hbar}{2}\partial_{x_{j}})W(\psi,\phi)." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E23.m2.3"><semantics id="S2.E23.m2.3a"><mrow id="S2.E23.m2.3.3.1" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m2.3.3.1.1" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E23.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℏ</mi></mrow><mn id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0em" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" rspace="0em" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">∂</mo><msub id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.2a" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E23.m2.1.1" xref="S2.E23.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E23.m2.2.2" xref="S2.E23.m2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E23.m2.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E23.m2.3b"><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1"><eq id="S2.E23.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E23.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1"><times id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><cn id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2"></partialdiff><apply id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E23.m2.3.3.1.1.1.4.2"><ci id="S2.E23.m2.1.1.cmml" xref="S2.E23.m2.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.E23.m2.2.2.cmml" xref="S2.E23.m2.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E23.m2.3c">\displaystyle=(p_{j}-\frac{i\hbar}{2}\partial_{x_{j}})W(\psi,\phi).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E23.m2.3d">= ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_i roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.3 </span>The intertwiners <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.1.m1.1b"><msub id="S2.SS3.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.m1.1c"><apply id="S2.SS3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.m1.1d">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.m1.1e">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and their properties</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.2">For <math alttext="\phi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1"><in id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.2"></in><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.3">italic-ϕ</ci><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.1.m1.1c">\phi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.1.m1.1d">italic_ϕ ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> we define the mapping <math alttext="U_{\phi}:L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)\longrightarrow}L^{2}(\mathbb{R}^{2n}% \mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.SS3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2"><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.3">:</ci><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2"><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3">⟶</ci><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2"><times id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.2.m2.2c">U_{\phi}:L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)\longrightarrow}L^{2}(\mathbb{R}^{2n}% \mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.2.m2.2d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT : italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟶ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="U_{\phi}\psi=(2\pi\hbar)^{n/2}W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E24.m1.3"><semantics id="S2.E24.m1.3a"><mrow id="S2.E24.m1.3.3" xref="S2.E24.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E24.m1.3.3.3" xref="S2.E24.m1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.E24.m1.3.3.3.2" xref="S2.E24.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E24.m1.3.3.3.2.2" xref="S2.E24.m1.3.3.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E24.m1.3.3.3.2.3" xref="S2.E24.m1.3.3.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.E24.m1.3.3.3.1" xref="S2.E24.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E24.m1.3.3.3.3" xref="S2.E24.m1.3.3.3.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.E24.m1.3.3.2" xref="S2.E24.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E24.m1.3.3.1" xref="S2.E24.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S2.E24.m1.3.3.1.1" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E24.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.2" xref="S2.E24.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E24.m1.3.3.1.3" xref="S2.E24.m1.3.3.1.3.cmml">W</mi><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.2a" xref="S2.E24.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E24.m1.3.3.1.4.2" xref="S2.E24.m1.3.3.1.4.1.cmml"><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E24.m1.3.3.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E24.m1.1.1" xref="S2.E24.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.4.2.2" xref="S2.E24.m1.3.3.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E24.m1.2.2" xref="S2.E24.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E24.m1.3.3.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.E24.m1.3.3.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E24.m1.3b"><apply id="S2.E24.m1.3.3.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3"><eq id="S2.E24.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.2"></eq><apply id="S2.E24.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.3"><times id="S2.E24.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.3.1"></times><apply id="S2.E24.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E24.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E24.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.E24.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.3.3">𝜓</ci></apply><apply id="S2.E24.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1"><times id="S2.E24.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S2.E24.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.1.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.3"><divide id="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.E24.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.3">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.E24.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.4.2"><ci id="S2.E24.m1.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.E24.m1.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E24.m1.3c">U_{\phi}\psi=(2\pi\hbar)^{n/2}W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E24.m1.3d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ = ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n / 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.5">where <math alttext="W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.3.m1.2"><semantics id="S2.SS3.p1.3.m1.2a"><mrow id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.2.cmml">W</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.1" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.2" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.3.m1.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.3.m1.2b"><apply id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3"><times id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.3.m1.2c">W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.3.m1.2d">italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math> is the cross-Wigner transform (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S1.E2" title="In 1 Introduction ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>). We will call <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.4.m2.1a"><msub id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.4.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.4.m2.1c">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.4.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS3.p1.5.1">wavepacket transform with window</em> <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.5.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.5.m3.1a"><mi id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.5.m3.1b"><ci id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.5.m3.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.5.m3.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>. It follows from Moyal’s identity (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>, Prop. 65)</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(W(\psi,\phi)|W(\psi^{\prime},\phi^{\prime}))_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}% }=\left(\tfrac{1}{2\pi\hbar}\right)^{n}(\psi|\psi^{\prime})_{L^{2}(\mathbb{R}^% {n}\mathbb{)}}(\phi|\phi^{\prime})_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E25.m1.9"><semantics id="S2.E25.m1.9a"><mrow id="S2.E25.m1.9.9" xref="S2.E25.m1.9.9.cmml"><msub id="S2.E25.m1.7.7.1" xref="S2.E25.m1.7.7.1.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml">W</mi><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.1" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E25.m1.4.4" xref="S2.E25.m1.4.4.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E25.m1.5.5" xref="S2.E25.m1.5.5.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.4.cmml">W</mi><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E25.m1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.E25.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.E25.m1.9.9.4" xref="S2.E25.m1.9.9.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E25.m1.9.9.3" xref="S2.E25.m1.9.9.3.cmml"><msup id="S2.E25.m1.9.9.3.4" xref="S2.E25.m1.9.9.3.4.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.9.9.3.4.2.2" xref="S2.E25.m1.6.6.cmml"><mo id="S2.E25.m1.9.9.3.4.2.2.1" xref="S2.E25.m1.6.6.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E25.m1.6.6" xref="S2.E25.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S2.E25.m1.6.6a" xref="S2.E25.m1.6.6.cmml"><mn id="S2.E25.m1.6.6.2" xref="S2.E25.m1.6.6.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E25.m1.6.6.3" xref="S2.E25.m1.6.6.3.cmml"><mn id="S2.E25.m1.6.6.3.2" xref="S2.E25.m1.6.6.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E25.m1.6.6.3.1" xref="S2.E25.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E25.m1.6.6.3.3" xref="S2.E25.m1.6.6.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E25.m1.6.6.3.1a" xref="S2.E25.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E25.m1.6.6.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E25.m1.6.6.3.4.cmml">ℏ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E25.m1.9.9.3.4.2.2.2" xref="S2.E25.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E25.m1.9.9.3.4.3" xref="S2.E25.m1.9.9.3.4.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E25.m1.9.9.3.3" xref="S2.E25.m1.9.9.3.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E25.m1.8.8.2.1" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo fence="false" id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msup id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S2.E25.m1.2.2.1.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.E25.m1.2.2.1.3.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.E25.m1.9.9.3.3a" xref="S2.E25.m1.9.9.3.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E25.m1.9.9.3.2" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo fence="false" id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.1.cmml">|</mo><msup id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.3.2" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.3.3" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.9.9.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E25.m1.3.3.1" xref="S2.E25.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S2.E25.m1.3.3.1.3" xref="S2.E25.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.E25.m1.3.3.1.3.2" xref="S2.E25.m1.3.3.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.E25.m1.3.3.1.3.3" xref="S2.E25.m1.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E25.m1.3.3.1.2" xref="S2.E25.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E25.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E25.m1.9b"><apply id="S2.E25.m1.9.9.cmml" xref="S2.E25.m1.9.9"><eq id="S2.E25.m1.9.9.4.cmml" xref="S2.E25.m1.9.9.4"></eq><apply id="S2.E25.m1.7.7.1.cmml" xref="S2.E25.m1.7.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.7.7.1.2.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ | italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.14">that <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.6.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.6.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p1.6.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.6.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.6.m1.1c">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.6.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a partial isometry of <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.7.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.7.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.7.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1"><times id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.7.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.7.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> onto a closed subspace <math alttext="\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.8.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.8.m3.1a"><msub id="S2.SS3.p1.8.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.8.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m3.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.8.m3.1c">\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.8.m3.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.9.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p1.9.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.9.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1"><times id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.9.m4.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.9.m4.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. It follows that <math alttext="U_{\phi}^{\ast}U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.10.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p1.10.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.10.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1"><times id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.2.3">∗</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m5.1.1.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.10.m5.1c">U_{\phi}^{\ast}U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.10.m5.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the identity on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.11.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p1.11.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.11.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1"><times id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.11.m6.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.11.m6.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and that <math alttext="U_{\phi}U_{\phi}^{\ast}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.12.m7.1"><semantics id="S2.SS3.p1.12.m7.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.12.m7.1b"><apply id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1"><times id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m7.1.1.3.3">∗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.12.m7.1c">U_{\phi}U_{\phi}^{\ast}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.12.m7.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the orthogonal projection onto <math alttext="\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.13.m8.1"><semantics id="S2.SS3.p1.13.m8.1a"><msub id="S2.SS3.p1.13.m8.1.1" xref="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.13.m8.1b"><apply id="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m8.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.13.m8.1c">\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.13.m8.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We call the mappings <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.14.m9.1"><semantics id="S2.SS3.p1.14.m9.1a"><msub id="S2.SS3.p1.14.m9.1.1" xref="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.14.m9.1b"><apply id="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.14.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.14.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.14.m9.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.14.m9.1c">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.14.m9.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> “windowed wavepacket transforms”, their interest in the context of Bopp calculus comes from the following important intertwining result:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.1.1.1">Proposition 3</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.2.2">Let <math alttext="\widetilde{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><munder id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2"><eq id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3"><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.1">~</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1"><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2c">\widetilde{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><munder id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2"><eq id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2"></eq><apply id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3"><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1"><apply id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2c">\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2d">over^ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> . We have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{A}U_{\phi}=U_{\phi}\widehat{A}\text{ \ and \ }U_{\phi}^{\ast}% \widetilde{A}=\widehat{A}U_{\phi}^{\ast}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E26.m1.1"><semantics id="S2.E26.m1.1a"><mrow id="S2.E26.m1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.1.1.2" xref="S2.E26.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E26.m1.1.1.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.2.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.2.2.1" xref="S2.E26.m1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E26.m1.1.1.2.1" xref="S2.E26.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E26.m1.1.1.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.2.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E26.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.2.3.3.cmml">ϕ</mi></msub></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.3" xref="S2.E26.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E26.m1.1.1.4" xref="S2.E26.m1.1.1.4.cmml"><msub id="S2.E26.m1.1.1.4.2" xref="S2.E26.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.4.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.4.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E26.m1.1.1.4.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.4.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.E26.m1.1.1.4.1" xref="S2.E26.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E26.m1.1.1.4.3" xref="S2.E26.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.4.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.4.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.4.3.1" xref="S2.E26.m1.1.1.4.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E26.m1.1.1.4.1a" xref="S2.E26.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.4.4" xref="S2.E26.m1.1.1.4.4a.cmml"> and </mtext><mo id="S2.E26.m1.1.1.4.1b" xref="S2.E26.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E26.m1.1.1.4.5" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.4.5.3" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.E26.m1.1.1.4.1c" xref="S2.E26.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E26.m1.1.1.4.6" xref="S2.E26.m1.1.1.4.6.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.4.6.2" xref="S2.E26.m1.1.1.4.6.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.4.6.1" xref="S2.E26.m1.1.1.4.6.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.5" xref="S2.E26.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E26.m1.1.1.6" xref="S2.E26.m1.1.1.6.cmml"><mover accent="true" id="S2.E26.m1.1.1.6.2" xref="S2.E26.m1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.6.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.6.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.6.2.1" xref="S2.E26.m1.1.1.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E26.m1.1.1.6.1" xref="S2.E26.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E26.m1.1.1.6.3" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.6.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E26.m1.1b"><apply id="S2.E26.m1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1"><and id="S2.E26.m1.1.1a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1"></and><apply id="S2.E26.m1.1.1b.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1"><eq id="S2.E26.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E26.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2"><times id="S2.E26.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E26.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2.2"><ci id="S2.E26.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.4.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4"><times id="S2.E26.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E26.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.2.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.3"><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.3.1">^</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.3.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.4a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.4.4.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.4"> and </mtext></ci><apply id="S2.E26.m1.1.1.4.5.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.4.5.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5">superscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.5.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.5.3">∗</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.4.6.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.6"><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.6.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.6.1">~</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.4.6.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.4.6.2">𝐴</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1c.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1"><eq id="S2.E26.m1.1.1.5.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E26.m1.1.1.4.cmml" id="S2.E26.m1.1.1d.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1"></share><apply id="S2.E26.m1.1.1.6.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6"><times id="S2.E26.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.1"></times><apply id="S2.E26.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.2"><ci id="S2.E26.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.2.1">^</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.E26.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.6.3.3">∗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E26.m1.1c">\widetilde{A}U_{\phi}=U_{\phi}\widehat{A}\text{ \ and \ }U_{\phi}^{\ast}% \widetilde{A}=\widehat{A}U_{\phi}^{\ast}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E26.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_A end_ARG and italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG = over^ start_ARG italic_A end_ARG italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.3.1">and hence</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{A}=U_{\phi}^{\ast}\widetilde{A}U_{\phi}\text{ \ and \ }_{\phi}^{\ast}% \widetilde{A}=U_{\phi}\widetilde{A}U_{\phi}^{\ast}\text{ }" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E27.m1.1"><semantics id="S2.E27.m1.1a"><mrow id="S2.E27.m1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E27.m1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.2.1" xref="S2.E27.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E27.m1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E27.m1.1.1.4" xref="S2.E27.m1.1.1.4.cmml"><msubsup id="S2.E27.m1.1.1.4.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.1" xref="S2.E27.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E27.m1.1.1.4.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.3.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.3.1" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.1a" xref="S2.E27.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E27.m1.1.1.4.4" xref="S2.E27.m1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.4.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.4.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.4.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.4.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.1b" xref="S2.E27.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E27.m1.1.1.4.5" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.2a.cmml"> and </mtext><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.5.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.1c" xref="S2.E27.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E27.m1.1.1.4.6" xref="S2.E27.m1.1.1.4.6.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.6.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.6.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.6.1" xref="S2.E27.m1.1.1.4.6.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S2.E27.m1.1.1.5" xref="S2.E27.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E27.m1.1.1.6" xref="S2.E27.m1.1.1.6.cmml"><msub id="S2.E27.m1.1.1.6.2" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.6.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.6.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.E27.m1.1.1.6.1" xref="S2.E27.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E27.m1.1.1.6.3" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.6.3.2" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.6.3.1" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E27.m1.1.1.6.1a" xref="S2.E27.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E27.m1.1.1.6.4" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.6.4.3" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.E27.m1.1.1.6.1b" xref="S2.E27.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.6.5" xref="S2.E27.m1.1.1.6.5a.cmml"> </mtext></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E27.m1.1b"><apply id="S2.E27.m1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"><and id="S2.E27.m1.1.1a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"></and><apply id="S2.E27.m1.1.1b.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"><eq id="S2.E27.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E27.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2"><ci id="S2.E27.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4"><times id="S2.E27.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.3">∗</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3"><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.1">~</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.4.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.4.2">𝑈</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.4.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.5.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.5.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5">superscript</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.2a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.2"> and </mtext></ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.5.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.5.3">∗</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.6.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.6"><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.6.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.6.1">~</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.6.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.6.2">𝐴</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1c.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"><eq id="S2.E27.m1.1.1.5.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E27.m1.1.1.4.cmml" id="S2.E27.m1.1.1d.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"></share><apply id="S2.E27.m1.1.1.6.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6"><times id="S2.E27.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.1"></times><apply id="S2.E27.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3"><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.1">~</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.6.4.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.6.4.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.4.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.4.3">∗</ci></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.5a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.5"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.6.5.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.5"> </mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E27.m1.1c">\widehat{A}=U_{\phi}^{\ast}\widetilde{A}U_{\phi}\text{ \ and \ }_{\phi}^{\ast}% \widetilde{A}=U_{\phi}\widetilde{A}U_{\phi}^{\ast}\text{ }</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E27.m1.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT and start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS3.p2.1.1">Proof.</span> Using the harmonic representation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E20" title="In 2.2 Definition of Bopp operators ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>) of <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p2.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.1.m1.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> the formulas (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E26" title="In Proposition 3 ‣ 2.3 The intertwiners 𝑈ᵩ and their properties ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) follows from the fact that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{T}(z_{0})U_{\phi}\psi=)U_{\phi}(\widehat{T}(z_{0}\psi)" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.Ex21.m1.1"><semantics id="S2.Ex21.m1.1a"><mrow id="S2.Ex21.m1.1b"><mover accent="true" id="S2.Ex21.m1.1.1"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.2">T</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1">~</mo></mover><mrow id="S2.Ex21.m1.1.2"><mo id="S2.Ex21.m1.1.2.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S2.Ex21.m1.1.2.2"><mi id="S2.Ex21.m1.1.2.2.2">z</mi><mn id="S2.Ex21.m1.1.2.2.3">0</mn></msub><mo id="S2.Ex21.m1.1.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="S2.Ex21.m1.1.3"><mi id="S2.Ex21.m1.1.3.2">U</mi><mi id="S2.Ex21.m1.1.3.3">ϕ</mi></msub><mi id="S2.Ex21.m1.1.4">ψ</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.5" rspace="0em">=</mo><mo id="S2.Ex21.m1.1.6" stretchy="false">)</mo><mi id="S2.Ex21.m1.1.7">U</mi><msub id="S2.Ex21.m1.1.8"><mi id="S2.Ex21.m1.1.8a"></mi><mi id="S2.Ex21.m1.1.8.1">ϕ</mi></msub><mo id="S2.Ex21.m1.1.9" stretchy="false">(</mo><mover accent="true" id="S2.Ex21.m1.1.10"><mi id="S2.Ex21.m1.1.10.2">T</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.10.1">^</mo></mover><mrow id="S2.Ex21.m1.1.11"><mo id="S2.Ex21.m1.1.11.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S2.Ex21.m1.1.11.2"><mi id="S2.Ex21.m1.1.11.2.2">z</mi><mn id="S2.Ex21.m1.1.11.2.3">0</mn></msub><mi id="S2.Ex21.m1.1.11.3">ψ</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.11.4" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex21.m1.1c">\widetilde{T}(z_{0})U_{\phi}\psi=)U_{\phi}(\widehat{T}(z_{0}\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex21.m1.1d">over~ start_ARG italic_T end_ARG ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ = ) italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_T end_ARG ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p2.2">(see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> for details). Formulas (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E27" title="In Proposition 3 ‣ 2.3 The intertwiners 𝑈ᵩ and their properties ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>) immediately follow using the relations <math alttext="U_{\phi}^{\ast}U_{\phi}=I_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.2.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p2.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.3.cmml">ϕ</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.cmml">I</mi><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.2.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1"><eq id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2"><times id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.3">∗</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2">𝐼</ci><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.2.m1.1c">U_{\phi}^{\ast}U_{\phi}=I_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.2.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT = italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. <span class="ltx_rule" style="width:5.0pt;height:5.0pt;background:black;display:inline-block;"> </span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.6">Notice that the Hilbert spaces <math alttext="\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p3.1.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.1.m1.1c">\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.1.m1.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> do not cover <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1"><times id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.2.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. there exist(infinitely many) <math alttext="\Psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p3.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1"><in id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2"></in><ci id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.3">Ψ</ci><apply id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1"><times id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.3.m3.1c">\Psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.3.m3.1d">roman_Ψ ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that there do not exist <math alttext="(\psi,\phi)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.4.m4.3"><semantics id="S2.SS3.p3.4.m4.3a"><mrow id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p3.4.m4.2.2" xref="S2.SS3.p3.4.m4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.2" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.3" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.2" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.4.m4.3b"><apply id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3"><in id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.2"></in><interval closure="open" id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.3.2"><ci id="S2.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.1.1">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p3.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.2.2">italic-ϕ</ci></interval><apply id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1"><times id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.4.m4.3c">(\psi,\phi)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.4.m4.3d">( italic_ψ , italic_ϕ ) ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> <math alttext="\times L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p3.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1"><times id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.2"></times><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1"><times id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.5.m5.1c">\times L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.5.m5.1d">× italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\Psi=U_{\phi}\psi." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.6.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p3.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.3.cmml">ψ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.6.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1"><eq id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.3.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.6.m6.1c">\Psi=U_{\phi}\psi.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.6.m6.1d">roman_Ψ = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ .</annotation></semantics></math> The archetypical examples are given by Gaussians which are too concentrated around their center because such functions violate Hardy’s uncertainty principle <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>. However:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmtheorem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem4.1.1.1">Proposition 4</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem4.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem4.p1.5.5">Let <math alttext="(\psi_{j})_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1c">(\psi_{j})_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1d">( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\phi_{k})_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1c">(\phi_{k})_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1d">( italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be orthonormal bases of <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1"><times id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="(U_{\phi_{k}}\psi_{j})_{jk}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><msub id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.1" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1"><times id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3"><times id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1c">(U_{\phi_{k}}\psi_{j})_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1d">( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an orthonormal basis of <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"><times id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3"><times id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p4.11"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS3.p4.11.1">Proof.</span> (This is a simplified version of the proof of Thm. 441, §19.1 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>.) That <math alttext="(U_{\phi_{k}}\psi)_{jk}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p4.1.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><msub id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply><apply id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.1.m1.1c">(U_{\phi_{k}}\psi)_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.1.m1.1d">( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an orthonormal system in <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p4.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1"><times id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.2.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is clear from Moyal’s identity (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E25" title="In 2.3 The intertwiners 𝑈ᵩ and their properties ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">25</span></a>). To show that the vectors <math alttext="(U_{\phi_{k}}\psi_{j})_{jk}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p4.3.m3.1a"><msub id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><msub id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3"><times id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m3.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.3.m3.1c">(U_{\phi_{k}}\psi_{j})_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.3.m3.1d">( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> span <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p4.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.4.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1"><times id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.4.m4.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.4.m4.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> it suffices to prove that if <math alttext="\Psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p4.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1"><in id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.2"></in><ci id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.3">Ψ</ci><apply id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1"><times id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.5.m5.1c">\Psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.5.m5.1d">roman_Ψ ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> satisfies <math alttext="(\Psi|W(\psi_{j},\phi_{k}))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.6.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p4.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.4.cmml">Ψ</mi><mo fence="false" id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.4.cmml">W</mi><mo id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.6.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1"><eq id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.2"></eq><apply id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.4">Ψ</ci><apply id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply><cn id="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.6.m6.1c">(\Psi|W(\psi_{j},\phi_{k}))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.6.m6.1d">( roman_Ψ | italic_W ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="j,k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.7.m7.2"><semantics id="S2.SS3.p4.7.m7.2a"><mrow id="S2.SS3.p4.7.m7.2.3.2" xref="S2.SS3.p4.7.m7.2.3.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.7.m7.1.1" xref="S2.SS3.p4.7.m7.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.SS3.p4.7.m7.2.3.2.1" xref="S2.SS3.p4.7.m7.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p4.7.m7.2.2" xref="S2.SS3.p4.7.m7.2.2.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.7.m7.2b"><list id="S2.SS3.p4.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.7.m7.2.3.2"><ci id="S2.SS3.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.7.m7.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.SS3.p4.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.7.m7.2.2">𝑘</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.7.m7.2c">j,k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.7.m7.2d">italic_j , italic_k</annotation></semantics></math> then <math alttext="\Psi=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.8.m8.1"><semantics id="S2.SS3.p4.8.m8.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.8.m8.1.1" xref="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.8.m8.1b"><apply id="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.8.m8.1.1"><eq id="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.8.m8.1c">\Psi=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.8.m8.1d">roman_Ψ = 0</annotation></semantics></math>. Let us view <math alttext="\Psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.9.m9.1"><semantics id="S2.SS3.p4.9.m9.1a"><mi id="S2.SS3.p4.9.m9.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.9.m9.1.1.cmml">Ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.9.m9.1b"><ci id="S2.SS3.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.9.m9.1.1">Ψ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.9.m9.1c">\Psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.9.m9.1d">roman_Ψ</annotation></semantics></math> as the Weyl symbol of an operator <math alttext="\widehat{A}_{\Psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.10.m10.1"><semantics id="S2.SS3.p4.10.m10.1a"><msub id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.3.cmml">Ψ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.10.m10.1b"><apply id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2"><ci id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.10.m10.1.1.3">Ψ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.10.m10.1c">\widehat{A}_{\Psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.10.m10.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.11.m11.1"><semantics id="S2.SS3.p4.11.m11.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.11.m11.1b"><apply id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1"><times id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.11.m11.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.11.m11.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.11.m11.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. We have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(\Psi|W(\psi_{j},\phi_{k}))=(\widehat{A}_{\Psi}\psi_{j}|\phi_{k})" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex22.m1.2"><semantics id="S2.Ex22.m1.2a"><mrow id="S2.Ex22.m1.2.2" xref="S2.Ex22.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">Ψ</mi><mo fence="false" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">W</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.2.2.3" xref="S2.Ex22.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">Ψ</mi></msub><mo id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo fence="false" id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex22.m1.2b"><apply id="S2.Ex22.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2"><eq id="S2.Ex22.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.3"></eq><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.4">Ψ</ci><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2"><times id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2"><ci id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.2.3">Ψ</ci></apply><apply id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2.2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex22.m1.2c">(\Psi|W(\psi_{j},\phi_{k}))=(\widehat{A}_{\Psi}\psi_{j}|\phi_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex22.m1.2d">( roman_Ψ | italic_W ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) = ( over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p4.12">(formula (10.8) in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>) hence the relations <math alttext="(\Psi|W(\psi_{j},\phi_{k}))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.12.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p4.12.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">Ψ</mi><mo fence="false" id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">W</mi><mo id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.12.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1"><eq id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.2"></eq><apply id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.4">Ψ</ci><apply id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply><cn id="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.12.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.12.m1.1c">(\Psi|W(\psi_{j},\phi_{k}))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.12.m1.1d">( roman_Ψ | italic_W ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) = 0</annotation></semantics></math> are equivalent to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(\widehat{A}_{\Psi}\psi_{j}|\phi_{k})=0\text{ \ for all }j,k." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex23.m1.2"><semantics id="S2.Ex23.m1.2a"><mrow id="S2.Ex23.m1.2.2.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">Ψ</mi></msub><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo fence="false" id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.3a.cmml"> for all </mtext><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.1a" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.4" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.4.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.2" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex23.m1.1.1" xref="S2.Ex23.m1.1.1.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex23.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex23.m1.2b"><apply id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1"><eq id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3">Ψ</ci></apply><apply id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><list id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1"><apply id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1"><times id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"></times><cn id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.2">0</cn><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.3"><mtext id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.3"> for all </mtext></ci><ci id="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex23.m1.2.2.1.1.2.1.1.4">𝑗</ci></apply><ci id="S2.Ex23.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1">𝑘</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex23.m1.2c">(\widehat{A}_{\Psi}\psi_{j}|\phi_{k})=0\text{ \ for all }j,k.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex23.m1.2d">( over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 for all italic_j , italic_k .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p4.19">Since <math alttext="(\phi_{k})_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.13.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p4.13.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.13.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.13.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.13.m1.1c">(\phi_{k})_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.13.m1.1d">( italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a basis of <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.14.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p4.14.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.14.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1"><times id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.14.m2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.14.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.14.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> this implies <math alttext="\widehat{A}_{\Psi}\psi_{j}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.15.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p4.15.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.1" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.3.cmml">Ψ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.15.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1"><eq id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2"><times id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2"><ci id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.2.3">Ψ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.15.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.15.m3.1c">\widehat{A}_{\Psi}\psi_{j}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.15.m3.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.16.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p4.16.m4.1a"><mi id="S2.SS3.p4.16.m4.1.1" xref="S2.SS3.p4.16.m4.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.16.m4.1b"><ci id="S2.SS3.p4.16.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.16.m4.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.16.m4.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.16.m4.1d">italic_j</annotation></semantics></math> hence <math alttext="\widehat{A}_{\Psi}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.17.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p4.17.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.1" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.17.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1"><eq id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2"><ci id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.2.3">Ψ</ci></apply><cn id="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.17.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.17.m5.1c">\widehat{A}_{\Psi}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.17.m5.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> since <math alttext="(\psi_{j})_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.18.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p4.18.m6.1a"><msub id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.18.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.18.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.18.m6.1c">(\psi_{j})_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.18.m6.1d">( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a basis. Since there is one-to-one correspondence between Weyl operators and their symbols we must have <math alttext="\Psi=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.19.m7.1"><semantics id="S2.SS3.p4.19.m7.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.19.m7.1.1" xref="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.19.m7.1b"><apply id="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.19.m7.1.1"><eq id="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.19.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.19.m7.1c">\Psi=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.19.m7.1d">roman_Ψ = 0</annotation></semantics></math>. <span class="ltx_rule" style="width:5.0pt;height:5.0pt;background:black;display:inline-block;"> </span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p5.1">We have:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmtheorem5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem5.1.1.1">Proposition 5</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem5.p1.14"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem5.p1.14.14">(i) Let <math alttext="\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><munder id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2"><eq id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3"><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.1">^</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1"><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2c">\widehat{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> be a compact operator on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1"><times id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml"><munder id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2"><eq id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3"><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.1">~</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1"><apply id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">Op</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">Bopp</ci></apply><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2c">\widetilde{A}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a )</annotation></semantics></math> the corresponding Bopp operator. (i) <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1"><ci id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1">~</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math>. is self-adjoint if and only <math alttext="\widehat{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1"><ci id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.1">^</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1c">\widehat{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> is (ii) <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1"><ci id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.1">~</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math>; (ii) <math alttext="\widehat{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1"><ci id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.1">^</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1c">\widehat{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1"><ci id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.1">~</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> have the same eigenvalues. (ii) If <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> is an eigenvector of <math alttext="\widehat{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1"><ci id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.1">^</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1c">\widehat{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> corresponding to the eigenvalue <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> then each function <math alttext="\Psi=U_{\phi}\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml"><msub id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.1" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.3" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.3.cmml">ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1"><eq id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.1"></eq><ci id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.2">Ψ</ci><apply id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3"><times id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.1"></times><apply id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1c">\Psi=U_{\phi}\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1d">roman_Ψ = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ</annotation></semantics></math> is an eigenfunctions of <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1"><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1">~</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> for the eigenvalue <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS3.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p6.14"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS3.p6.14.1">Proof.</span> (i) <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p6.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.1.m1.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> is self adjoint if and only its Weyl symbol <math alttext="(z,\zeta)\longmapsto a(z-\frac{1}{2}J\zeta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.2.m2.3"><semantics id="S2.SS3.p6.2.m2.3a"><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.2" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.cmml">ζ</mi><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.2.cmml">⟼</mo><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.3.cmml">a</mi><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.2" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">J</mi><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.4" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.4.cmml">ζ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.2.m2.3b"><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3"><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.2">⟼</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.3.2"><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1">𝑧</ci><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2">𝜁</ci></interval><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1"><times id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.2"></times><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.3">𝑎</ci><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1"><minus id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">𝐽</ci><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.4">𝜁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.2.m2.3c">(z,\zeta)\longmapsto a(z-\frac{1}{2}J\zeta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.2.m2.3d">( italic_z , italic_ζ ) ⟼ italic_a ( italic_z - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_J italic_ζ )</annotation></semantics></math> is a real function, but this is possible if and only if the symbol <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p6.3.m3.1a"><mi id="S2.SS3.p6.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p6.3.m3.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.3.m3.1b"><ci id="S2.SS3.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.3.m3.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.3.m3.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.3.m3.1d">italic_a</annotation></semantics></math> is real, that is if <math alttext="\widehat{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p6.4.m4.1a"><mover accent="true" id="S2.SS3.p6.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.4.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.4.m4.1.1"><ci id="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.1">^</ci><ci id="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.4.m4.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.4.m4.1c">\widehat{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> is self-adjoint. (ii) and (iii) Assume that <math alttext="\widehat{A}\psi=\lambda\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p6.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.1" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.3.cmml">ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1"><eq id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2"><times id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2"><ci id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.2.3">𝜓</ci></apply><apply id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3"><times id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.5.m5.1.1.3.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.5.m5.1c">\widehat{A}\psi=\lambda\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.5.m5.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG italic_ψ = italic_λ italic_ψ</annotation></semantics></math> for <math alttext="\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.6.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p6.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.3.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.6.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1"><in id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.2"></in><ci id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.3">𝜓</ci><apply id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1"><times id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.6.m6.1c">\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.6.m6.1d">italic_ψ ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\psi\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.7.m7.1"><semantics id="S2.SS3.p6.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.7.m7.1.1" xref="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.7.m7.1b"><apply id="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.7.m7.1.1"><neq id="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.1"></neq><ci id="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.7.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.7.m7.1c">\psi\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.7.m7.1d">italic_ψ ≠ 0</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="\widetilde{A}(U_{\phi}\psi)=U_{\phi}(\widehat{A}\psi)=\lambda(U_{\phi}\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.8.m8.3"><semantics id="S2.SS3.p6.8.m8.3a"><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.5" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.6" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.8.m8.3b"><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3"><and id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3a.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3"></and><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3b.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3"><eq id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.5.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.5"></eq><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1"><times id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3"><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2"><times id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.2"></times><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1"><times id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.1.1.1.3">𝜓</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3c.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3"><eq id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.6.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.SS3.p6.8.m8.2.2.2.cmml" id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3d.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3"></share><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3"><times id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.2"></times><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.3">𝜆</ci><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1"><times id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.8.m8.3.3.3.1.1.1.3">𝜓</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.8.m8.3c">\widetilde{A}(U_{\phi}\psi)=U_{\phi}(\widehat{A}\psi)=\lambda(U_{\phi}\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.8.m8.3d">over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ ) = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_A end_ARG italic_ψ ) = italic_λ ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ )</annotation></semantics></math> hence <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.9.m9.1"><semantics id="S2.SS3.p6.9.m9.1a"><mi id="S2.SS3.p6.9.m9.1.1" xref="S2.SS3.p6.9.m9.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.9.m9.1b"><ci id="S2.SS3.p6.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.9.m9.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.9.m9.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.9.m9.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> is an eigenvalue since <math alttext="U_{\phi}\psi\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.10.m10.1"><semantics id="S2.SS3.p6.10.m10.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.10.m10.1b"><apply id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1"><neq id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.1"></neq><apply id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2"><times id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.2.3">𝜓</ci></apply><cn id="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.10.m10.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.10.m10.1c">U_{\phi}\psi\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.10.m10.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ ≠ 0</annotation></semantics></math> because <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.11.m11.1"><semantics id="S2.SS3.p6.11.m11.1a"><msub id="S2.SS3.p6.11.m11.1.1" xref="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.11.m11.1b"><apply id="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.11.m11.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.11.m11.1c">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.11.m11.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is injective. Suppose conversely that <math alttext="\widetilde{A}\Psi=\lambda\Psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.12.m12.1"><semantics id="S2.SS3.p6.12.m12.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.1" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.3.cmml">Ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.12.m12.1b"><apply id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1"><eq id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2"><times id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2"><ci id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.2.3">Ψ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3"><times id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.12.m12.1.1.3.3">Ψ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.12.m12.1c">\widetilde{A}\Psi=\lambda\Psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.12.m12.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG roman_Ψ = italic_λ roman_Ψ</annotation></semantics></math> for <math alttext="\Psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.13.m13.1"><semantics id="S2.SS3.p6.13.m13.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.13.m13.1b"><apply id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1"><in id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.2"></in><ci id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.3">Ψ</ci><apply id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1"><times id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.13.m13.1c">\Psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.13.m13.1d">roman_Ψ ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\Psi\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.14.m14.1"><semantics id="S2.SS3.p6.14.m14.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.14.m14.1.1" xref="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.14.m14.1b"><apply id="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.14.m14.1.1"><neq id="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.1"></neq><ci id="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.14.m14.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.14.m14.1c">\Psi\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.14.m14.1d">roman_Ψ ≠ 0</annotation></semantics></math>. Then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="U_{\phi}^{\ast}(\widetilde{A}\Psi)=\widehat{A}(U_{\phi}^{\ast}\Psi)=\lambda U_% {\phi}^{\ast}\Psi" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex24.m1.2"><semantics id="S2.Ex24.m1.2a"><mrow id="S2.Ex24.m1.2.2" xref="S2.Ex24.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.4" xref="S2.Ex24.m1.2.2.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.2.2.2" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex24.m1.2.2.2.3" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.5" xref="S2.Ex24.m1.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.2.2.6" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.2.2.6.2" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.6.1" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.2" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.3" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.3" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex24.m1.2.2.6.1a" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex24.m1.2.2.6.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.4.cmml">Ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex24.m1.2b"><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2"><and id="S2.Ex24.m1.2.2a.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2"></and><apply id="S2.Ex24.m1.2.2b.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2"><eq id="S2.Ex24.m1.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.4"></eq><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.3.3">∗</ci></apply><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3">Ψ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2"><times id="S2.Ex24.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.3"><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.1">^</ci><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.3.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1"><times id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">∗</ci></apply><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.2.1.1.1.3">Ψ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex24.m1.2.2c.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2"><eq id="S2.Ex24.m1.2.2.5.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.Ex24.m1.2.2.2.cmml" id="S2.Ex24.m1.2.2d.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2"></share><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6"><times id="S2.Ex24.m1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.1"></times><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.2">𝜆</ci><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.3.3">∗</ci></apply><ci id="S2.Ex24.m1.2.2.6.4.cmml" xref="S2.Ex24.m1.2.2.6.4">Ψ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex24.m1.2c">U_{\phi}^{\ast}(\widetilde{A}\Psi)=\widehat{A}(U_{\phi}^{\ast}\Psi)=\lambda U_% {\phi}^{\ast}\Psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex24.m1.2d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG italic_A end_ARG roman_Ψ ) = over^ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ ) = italic_λ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p6.21">so <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.15.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p6.15.m1.1a"><mi id="S2.SS3.p6.15.m1.1.1" xref="S2.SS3.p6.15.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.15.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p6.15.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.15.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.15.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.15.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> is an eigenvalue of <math alttext="\widehat{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.16.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p6.16.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.SS3.p6.16.m2.1.1" xref="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.16.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.16.m2.1.1"><ci id="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.1">^</ci><ci id="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.16.m2.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.16.m2.1c">\widehat{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.16.m2.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> if <math alttext="U_{\phi}^{\ast}\Psi\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.17.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p6.17.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.17.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1"><neq id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.1"></neq><apply id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2"><times id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.2.3">∗</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.2.3">Ψ</ci></apply><cn id="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.17.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.17.m3.1c">U_{\phi}^{\ast}\Psi\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.17.m3.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ ≠ 0</annotation></semantics></math> for at least one window <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.18.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p6.18.m4.1a"><mi id="S2.SS3.p6.18.m4.1.1" xref="S2.SS3.p6.18.m4.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.18.m4.1b"><ci id="S2.SS3.p6.18.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.18.m4.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.18.m4.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.18.m4.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>. Suppose <math alttext="U_{\phi}^{\ast}\Psi=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.19.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p6.19.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.19.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1"><eq id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2"><times id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.2.3">∗</ci></apply><ci id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.2.3">Ψ</ci></apply><cn id="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.19.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.19.m5.1c">U_{\phi}^{\ast}\Psi=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.19.m5.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ = 0</annotation></semantics></math> for every <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.20.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p6.20.m6.1a"><mi id="S2.SS3.p6.20.m6.1.1" xref="S2.SS3.p6.20.m6.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.20.m6.1b"><ci id="S2.SS3.p6.20.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.20.m6.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.20.m6.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.20.m6.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>; then for every <math alttext="\theta\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.21.m7.1"><semantics id="S2.SS3.p6.21.m7.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.3.cmml">θ</mi><mo id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.21.m7.1b"><apply id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1"><in id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.2"></in><ci id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.3">𝜃</ci><apply id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1"><times id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.21.m7.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.21.m7.1c">\theta\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.21.m7.1d">italic_θ ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(U_{\phi}^{\ast}\Psi|\theta)_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=(U_{\phi}^{\ast}% \Psi|\theta)_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=(\Psi|U_{\phi}\varkappa)_{L^{2}(% \mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex25.m1.6"><semantics id="S2.Ex25.m1.6a"><mrow id="S2.Ex25.m1.6.6" xref="S2.Ex25.m1.6.6.cmml"><msub id="S2.Ex25.m1.4.4.1" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo fence="false" id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex25.m1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex25.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex25.m1.6.6.5" xref="S2.Ex25.m1.6.6.5.cmml">=</mo><msub id="S2.Ex25.m1.5.5.2" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo fence="false" id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.5.5.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S2.Ex25.m1.2.2.1.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.Ex25.m1.2.2.1.3.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex25.m1.6.6.6" xref="S2.Ex25.m1.6.6.6.cmml">=</mo><msub id="S2.Ex25.m1.6.6.3" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo fence="false" id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.3.cmml">ϰ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex25.m1.3.3.1" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S2.Ex25.m1.3.3.1.3" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.2" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.3" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex25.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex25.m1.6.6.7" xref="S2.Ex25.m1.6.6.7.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex25.m1.6.6.8" xref="S2.Ex25.m1.6.6.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex25.m1.6b"><apply id="S2.Ex25.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6"><and id="S2.Ex25.m1.6.6a.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6"></and><apply id="S2.Ex25.m1.6.6b.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6"><eq id="S2.Ex25.m1.6.6.5.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.5"></eq><apply 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id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3">∗</ci></apply><ci id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">Ψ</ci></apply><ci id="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝜃</ci></apply><apply id="S2.Ex25.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex25.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci 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xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex25.m1.6.6c.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6"><eq id="S2.Ex25.m1.6.6.6.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.Ex25.m1.5.5.2.cmml" id="S2.Ex25.m1.6.6d.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6"></share><apply id="S2.Ex25.m1.6.6.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3"><times id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.3.1.1.1.3.3">italic-ϰ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex25.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1"><times id="S2.Ex25.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex25.m1.6.6e.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6"><eq id="S2.Ex25.m1.6.6.7.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.Ex25.m1.6.6.3.cmml" id="S2.Ex25.m1.6.6f.cmml" xref="S2.Ex25.m1.6.6"></share><cn id="S2.Ex25.m1.6.6.8.cmml" type="integer" xref="S2.Ex25.m1.6.6.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex25.m1.6c">(U_{\phi}^{\ast}\Psi|\theta)_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=(U_{\phi}^{\ast}% \Psi|\theta)_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=(\Psi|U_{\phi}\varkappa)_{L^{2}(% \mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex25.m1.6d">( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ | italic_θ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ | italic_θ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT = ( roman_Ψ | italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ϰ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p6.30">but this implies <math alttext="\Psi=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.22.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p6.22.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.22.m1.1.1" xref="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.22.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.22.m1.1.1"><eq id="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.22.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.22.m1.1c">\Psi=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.22.m1.1d">roman_Ψ = 0</annotation></semantics></math> in view of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#Thmtheorem4" title="Proposition 4 ‣ 2.3 The intertwiners 𝑈ᵩ and their properties ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> above: let <math alttext="(\phi_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.23.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p6.23.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.23.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.23.m2.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.23.m2.1c">(\phi_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.23.m2.1d">( italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\varkappa_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.24.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p6.24.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.2.cmml">ϰ</mi><mi id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.24.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.2">italic-ϰ</ci><ci id="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.24.m3.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.24.m3.1c">(\varkappa_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.24.m3.1d">( italic_ϰ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> be orthonormal bases of <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.25.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p6.25.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.25.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1"><times id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.25.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.25.m4.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.25.m4.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, then <math alttext="(U_{\phi_{j}}\varkappa_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.26.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p6.26.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><msub id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.2.cmml">ϰ</mi><mi id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.26.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1"><times id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.2">italic-ϰ</ci><ci id="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.26.m5.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.26.m5.1c">(U_{\phi_{j}}\varkappa_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.26.m5.1d">( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ϰ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is an orthonormal basis of <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.27.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p6.27.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.27.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1"><times id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.27.m6.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.27.m6.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.27.m6.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and the relations <math alttext="(\Psi|U_{\phi_{j}}\varkappa_{k})_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.28.m7.2"><semantics id="S2.SS3.p6.28.m7.2a"><mrow id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo fence="false" id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><msub id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϰ</mi><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.2" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.28.m7.2b"><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2"><eq id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.2"></eq><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.2">italic-ϰ</ci><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1"><times id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.28.m7.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.28.m7.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.28.m7.2c">(\Psi|U_{\phi_{j}}\varkappa_{k})_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.28.m7.2d">( roman_Ψ | italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ϰ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="j,k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.29.m8.2"><semantics id="S2.SS3.p6.29.m8.2a"><mrow id="S2.SS3.p6.29.m8.2.3.2" xref="S2.SS3.p6.29.m8.2.3.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.29.m8.1.1" xref="S2.SS3.p6.29.m8.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.SS3.p6.29.m8.2.3.2.1" xref="S2.SS3.p6.29.m8.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p6.29.m8.2.2" xref="S2.SS3.p6.29.m8.2.2.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.29.m8.2b"><list id="S2.SS3.p6.29.m8.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.29.m8.2.3.2"><ci id="S2.SS3.p6.29.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.29.m8.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.SS3.p6.29.m8.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.29.m8.2.2">𝑘</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.29.m8.2c">j,k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.29.m8.2d">italic_j , italic_k</annotation></semantics></math> imply <math alttext="\Psi=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.30.m9.1"><semantics id="S2.SS3.p6.30.m9.1a"><mrow id="S2.SS3.p6.30.m9.1.1" xref="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.30.m9.1b"><apply id="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.30.m9.1.1"><eq id="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.30.m9.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.30.m9.1c">\Psi=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.30.m9.1d">roman_Ψ = 0</annotation></semantics></math> which is a contradiction. <span class="ltx_rule" style="width:5.0pt;height:5.0pt;background:black;display:inline-block;"> </span></p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>The Care of Density Operators</h2> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>Density operators on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.1.m1.1b"><mrow id="S3.SS1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.m1.1c"><apply id="S3.SS1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1"><times id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.m1.1d">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.m1.1e">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.15">For a detailed study sand proofs see Chapter 14 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>. A density operator (also called density matrix) <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1"><times id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is a positive semidefinite operator <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> <math alttext="\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1"><geq id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1"></geq><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2">absent</csymbol><cn id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m4.1c">\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m4.1d">≥ 0</annotation></semantics></math> with trace one: <math alttext="\operatorname*{Tr}\widehat{\rho}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml">Tr</mo><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.1">Tr</ci><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.2">𝜌</ci></apply></apply><cn id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m5.1c">\operatorname*{Tr}\widehat{\rho}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m5.1d">roman_Tr over^ start_ARG italic_ρ end_ARG = 1</annotation></semantics></math>. It is thus a self-adjoint compact operator on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1"><times id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m6.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m6.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. In physics density operators are identified with mixed quantum states, that is classical mixtures <math alttext="(\psi_{j},\alpha_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.7.m7.2"><semantics id="S3.SS1.p1.7.m7.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.7.m7.2b"><interval closure="open" id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2"><apply id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.7.m7.2c">(\psi_{j},\alpha_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.7.m7.2d">( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\psi_{j}\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.SS1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1"><in id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.2"></in><apply id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1"><times id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.8.m8.1c">\psi_{j}\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.8.m8.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\alpha_{j}\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.9.m9.1"><semantics id="S3.SS1.p1.9.m9.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.9.m9.1b"><apply id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1"><geq id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.1"></geq><apply id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.9.m9.1c">\alpha_{j}\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.9.m9.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≥ 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="\sum_{j}\alpha_{j}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.10.m10.1"><semantics id="S3.SS1.p1.10.m10.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.2" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.3" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.3.cmml">j</mi></msub><msub id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.10.m10.1b"><apply id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2"><apply id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.2"></sum><ci id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.10.m10.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.10.m10.1c">\sum_{j}\alpha_{j}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.10.m10.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> of pure (normed) states Such a state is identified with the operator <math alttext="\widehat{\rho}=\sum_{j}\alpha_{j}\Pi_{\psi_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.11.m11.1"><semantics id="S3.SS1.p1.11.m11.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.2" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.3" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></msub><mrow id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.1" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.2.cmml">Π</mi><msub id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.11.m11.1b"><apply id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3"><apply id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2"><times id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.2">Π</ci><apply id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.11.m11.1c">\widehat{\rho}=\sum_{j}\alpha_{j}\Pi_{\psi_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.11.m11.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. One shows (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>, §1.4.) that <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.12.m12.1"><semantics id="S3.SS1.p1.12.m12.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.12.m12.1.1" xref="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.12.m12.1b"><apply id="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m12.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m12.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.12.m12.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.12.m12.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> is a density operator. In fact, it follows from the spectral theorem for compact self-adjoint operators, that, conversely, always exist a sequence of orthonormal functions <math alttext="(\psi_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.13.m13.1"><semantics id="S3.SS1.p1.13.m13.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.13.m13.1b"><apply id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.13.m13.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.13.m13.1c">(\psi_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.13.m13.1d">( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> in <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.14.m14.1"><semantics id="S3.SS1.p1.14.m14.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.14.m14.1b"><apply id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1"><times id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.14.m14.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.14.m14.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and a sequence of real numbers <math alttext="(\lambda_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.15.m15.1"><semantics id="S3.SS1.p1.15.m15.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.15.m15.1b"><apply id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m15.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.15.m15.1c">(\lambda_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.15.m15.1d">( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\rho}=\sum_{j}\lambda_{j}\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\text{ \ },\text{ \ }\lambda_{j}\geq 0\text{ \ },\text{ \ }\sum_{j}\lambda_{j}=1" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E28.m1.2"><semantics id="S3.E28.m1.2a"><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></munder><mrow id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.4a.cmml"> </mtext></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mtext id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2a.cmml"> </mtext><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">0</mn><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.3a.cmml"> </mtext></mrow></mrow><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mtext id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.2a.cmml"> </mtext><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><munder id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.3.cmml">j</mi></munder><msub id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E28.m1.2b"><apply id="S3.E28.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1"><eq id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3"><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">Π</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.4a.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.4"><mtext id="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.3.2.4"> </mtext></ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1"><geq id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.1"></geq><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S3.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" 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</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2"><eq id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"><mtext id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"> </mtext></ci><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.2"></sum><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≥ 0 , ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.28">where <math alttext="\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.16.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.16.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.16.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.2.2">Π</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.16.m1.1c">\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.16.m1.1d">over^ start_ARG roman_Π end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the orthogonal projection onto the ray spanned by <math alttext="\psi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.17.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.17.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.17.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.17.m2.1c">\psi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.17.m2.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>: <math alttext="\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\psi=(\psi|\psi_{j})\psi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.18.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.18.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo fence="false" id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.18.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.2"></eq><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.2.2">Π</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.3.3">𝜓</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1"><times id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.18.m3.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.18.m3.1c">\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\psi=(\psi|\psi_{j})\psi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.18.m3.1d">over^ start_ARG roman_Π end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ = ( italic_ψ | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The numbers <math alttext="\lambda_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.19.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.19.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p1.19.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.19.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.19.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.19.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.19.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.19.m4.1c">\lambda_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.19.m4.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the eigenvalues of <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.20.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p1.20.m5.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.20.m5.1.1" xref="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.20.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.20.m5.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.20.m5.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.20.m5.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.20.m5.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> and are of finite multiplicity and <math alttext="\lim_{j\rightarrow\infty}\lambda_{j}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.21.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p1.21.m6.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.2" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><msub id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.21.m6.1b"><apply id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2"><apply id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1">subscript</csymbol><limit id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.2"></limit><apply id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3"><ci id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.2">𝑗</ci><infinity id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.21.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.21.m6.1c">\lim_{j\rightarrow\infty}\lambda_{j}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.21.m6.1d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_j → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. The <math alttext="\psi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.22.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p1.22.m7.1a"><msub id="S3.SS1.p1.22.m7.1.1" xref="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.22.m7.1b"><apply id="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.22.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.22.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.22.m7.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.22.m7.1c">\psi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.22.m7.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the corresponding eigenfunctions. Since <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.23.m8.1"><semantics id="S3.SS1.p1.23.m8.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.23.m8.1.1" xref="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.23.m8.1b"><apply id="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.23.m8.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.23.m8.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.23.m8.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.23.m8.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> is a continuous mapping <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)\longrightarrow}L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.24.m9.2"><semantics id="S3.SS1.p1.24.m9.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.24.m9.2b"><apply id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.3">⟶</ci><apply id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1"><times id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2"><times id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.24.m9.2.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.24.m9.2c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)\longrightarrow}L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.24.m9.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟶ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> it follows from Schwartz’s kernel theorem that <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.25.m10.1"><semantics id="S3.SS1.p1.25.m10.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.25.m10.1.1" xref="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.25.m10.1b"><apply id="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.25.m10.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.25.m10.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.25.m10.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.25.m10.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> is a Weyl operator, it symbol is <math alttext="(2\pi\hbar)^{n}\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.26.m11.1"><semantics id="S3.SS1.p1.26.m11.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.26.m11.1b"><apply id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1"><times id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.26.m11.1.1.3">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.26.m11.1c">(2\pi\hbar)^{n}\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.26.m11.1d">( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ</annotation></semantics></math> where <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.27.m12.1"><semantics id="S3.SS1.p1.27.m12.1a"><mi id="S3.SS1.p1.27.m12.1.1" xref="S3.SS1.p1.27.m12.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.27.m12.1b"><ci id="S3.SS1.p1.27.m12.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.27.m12.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.27.m12.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.27.m12.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> (the Wigner distribution of <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.28.m13.1"><semantics id="S3.SS1.p1.28.m13.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.28.m13.1.1" xref="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.28.m13.1b"><apply id="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.28.m13.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.28.m13.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.28.m13.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.28.m13.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math>) is the function defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho(z)=\sum_{j}\lambda_{j}W\psi_{j}(z)" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E29.m1.2"><semantics id="S3.E29.m1.2a"><mrow id="S3.E29.m1.2.3" xref="S3.E29.m1.2.3.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.2.3.2" xref="S3.E29.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E29.m1.2.3.2.2" xref="S3.E29.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E29.m1.2.3.2.1" xref="S3.E29.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E29.m1.2.3.2.3.2" xref="S3.E29.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S3.E29.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E29.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E29.m1.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.E29.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E29.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E29.m1.2.3.1" rspace="0.111em" xref="S3.E29.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E29.m1.2.3.3" xref="S3.E29.m1.2.3.3.cmml"><munder id="S3.E29.m1.2.3.3.1" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E29.m1.2.3.3.1.3" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1.3.cmml">j</mi></munder><mrow id="S3.E29.m1.2.3.3.2" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="S3.E29.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.3" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.2.1" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E29.m1.2.3.3.2.3" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.3.cmml">W</mi><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.2.1a" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E29.m1.2.3.3.2.4" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.2" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.3" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.2.1b" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E29.m1.2.3.3.2.5.2" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E29.m1.2.2" xref="S3.E29.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E29.m1.2b"><apply id="S3.E29.m1.2.3.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3"><eq id="S3.E29.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.1"></eq><apply id="S3.E29.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.2"><times id="S3.E29.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S3.E29.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S3.E29.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3"><apply id="S3.E29.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E29.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1.2"></sum><ci id="S3.E29.m1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E29.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2"><times id="S3.E29.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.E29.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.3">𝑊</ci><apply id="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.2">𝜓</ci><ci id="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.E29.m1.2.3.3.2.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.E29.m1.2.2.cmml" xref="S3.E29.m1.2.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E29.m1.2c">\rho(z)=\sum_{j}\lambda_{j}W\psi_{j}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E29.m1.2d">italic_ρ ( italic_z ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_W italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.32">where <math alttext="W\psi_{j}=W(\psi_{j},\psi_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.29.m1.2"><semantics id="S3.SS1.p1.29.m1.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.2" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.1" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.2" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.3" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.4.cmml">W</mi><mo id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.29.m1.2b"><apply id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2"><eq id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4"><times id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.2">𝑊</ci><apply id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2"><times id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.4">𝑊</ci><interval closure="open" id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.29.m1.2.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.29.m1.2c">W\psi_{j}=W(\psi_{j},\psi_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.29.m1.2d">italic_W italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_W ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the usual Wigner transform of <math alttext="\psi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.30.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.30.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p1.30.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.30.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.30.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.30.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.30.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.30.m2.1c">\psi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.30.m2.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. If <math alttext="\rho\in^{1}(\mathbb{R}^{2n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.31.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.31.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.3.cmml">ρ</mi><msup id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.2.cmml">∈</mo><mn id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mrow id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.31.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2">superscript</csymbol><in id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.2"></in><cn id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.3">𝜌</ci><apply id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.31.m3.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.31.m3.1c">\rho\in^{1}(\mathbb{R}^{2n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.31.m3.1d">italic_ρ ∈ start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> then <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.32.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.32.m4.1a"><mi id="S3.SS1.p1.32.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.32.m4.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.32.m4.1b"><ci id="S3.SS1.p1.32.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.32.m4.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.32.m4.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.32.m4.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> is a quasi improbability distribution in the sense that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\operatorname*{Tr}\widehat{\rho}=\int_{\mathbb{R}^{2n}}\rho(z)dz=1." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E30.m1.2"><semantics id="S3.E30.m1.2a"><mrow id="S3.E30.m1.2.2.1" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.2.2.1.1" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">Tr</mo><mover accent="true" id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.cmml"><msub id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.cmml"><mn id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.1" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.3" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></msub><mrow id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.1" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.3.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.cmml"><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E30.m1.1.1" xref="S3.E30.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.1a" lspace="0em" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.cmml"><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.1.5" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S3.E30.m1.2.2.1.1.6" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E30.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E30.m1.2b"><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1"><and id="S3.E30.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1"></and><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1"><eq id="S3.E30.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2"><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.1">Tr</ci><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2"><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4"><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1">subscript</csymbol><int id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.2"></int><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3"><times id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.1"></times><cn id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.2">2</cn><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2"><times id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.1"></times><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.E30.m1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.4.2.4.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1"><eq id="S3.E30.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.E30.m1.2.2.1.1.4.cmml" id="S3.E30.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1"></share><cn id="S3.E30.m1.2.2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E30.m1.2c">\operatorname*{Tr}\widehat{\rho}=\int_{\mathbb{R}^{2n}}\rho(z)dz=1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E30.m1.2d">roman_Tr over^ start_ARG italic_ρ end_ARG = ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ( italic_z ) italic_d italic_z = 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.35">When <math alttext="\psi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.33.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.33.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p1.33.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.33.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.33.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.33.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.33.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.33.m1.1c">\psi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.33.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and its Fourier transform <math alttext="\widehat{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.34.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.34.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.34.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.34.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.34.m2.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.34.m2.1.1.2">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.34.m2.1c">\widehat{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.34.m2.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG</annotation></semantics></math> are in <math alttext="L^{1}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)\cap}L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.35.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p1.35.m3.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.35.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.3.cmml">∩</mo><mrow id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.35.m3.2b"><apply id="S3.SS1.p1.35.m3.2.2.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.35.m3.2c">L^{1}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)\cap}L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.35.m3.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) ∩ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> the marginal properties</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx7"> <tbody id="S3.E31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho(x,p)dp" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E31.m1.2"><semantics id="S3.E31.m1.2a"><mrow id="S3.E31.m1.2.3" xref="S3.E31.m1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E31.m1.2.3.1" 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id="S3.E31.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S3.E31.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.3.2.2">𝜌</ci><interval closure="open" id="S3.E31.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E31.m1.2.3.2.3.2"><ci id="S3.E31.m1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.E31.m1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2">𝑝</ci></interval><apply id="S3.E31.m1.2.3.2.4.cmml" xref="S3.E31.m1.2.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E31.m1.2.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E31.m1.2.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E31.m1.2.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.3.2.4.2">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E31.m1.2c">\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho(x,p)dp</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E31.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ( italic_x , italic_p ) italic_d italic_p</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j}\lambda_{j}|\psi_{j}(x)|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E31.m2.2"><semantics id="S3.E31.m2.2a"><mrow id="S3.E31.m2.2.2" xref="S3.E31.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.E31.m2.2.2.3" xref="S3.E31.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S3.E31.m2.2.2.2" xref="S3.E31.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E31.m2.2.2.1" xref="S3.E31.m2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E31.m2.2.2.1.2" xref="S3.E31.m2.2.2.1.2.cmml"><munder id="S3.E31.m2.2.2.1.2a" xref="S3.E31.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m2.2.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E31.m2.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E31.m2.2.2.1.2.3" xref="S3.E31.m2.2.2.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.E31.m2.2.2.1.1" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E31.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E31.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E31.m2.1.1" xref="S3.E31.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E31.m2.2b"><apply id="S3.E31.m2.2.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2"><eq id="S3.E31.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E31.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S3.E31.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1"><apply id="S3.E31.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E31.m2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.2.2"></sum><ci id="S3.E31.m2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E31.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1"><times id="S3.E31.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.E31.m2.1.1.cmml" xref="S3.E31.m2.1.1">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E31.m2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E31.m2.2c">\displaystyle=\sum_{j}\lambda_{j}|\psi_{j}(x)|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E31.m2.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho(x,p)dx" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E32.m1.2"><semantics id="S3.E32.m1.2a"><mrow id="S3.E32.m1.2.3" xref="S3.E32.m1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E32.m1.2.3.1" xref="S3.E32.m1.2.3.1.cmml"><msub id="S3.E32.m1.2.3.1a" xref="S3.E32.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.2.3.1.2" xref="S3.E32.m1.2.3.1.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.E32.m1.2.3.1.3" xref="S3.E32.m1.2.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E32.m1.2.3.1.3.2" xref="S3.E32.m1.2.3.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.E32.m1.2.3.1.3.3" xref="S3.E32.m1.2.3.1.3.3.cmml">n</mi></msup></msub></mstyle><mrow id="S3.E32.m1.2.3.2" xref="S3.E32.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E32.m1.2.3.2.2" xref="S3.E32.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E32.m1.2.3.2.1" xref="S3.E32.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.2.3.2.3.2" xref="S3.E32.m1.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.2.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E32.m1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E32.m1.2.3.2.3.2.2" xref="S3.E32.m1.2.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E32.m1.2.2" xref="S3.E32.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E32.m1.2.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.2.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E32.m1.2.3.2.1a" lspace="0em" xref="S3.E32.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.2.3.2.4" xref="S3.E32.m1.2.3.2.4.cmml"><mo id="S3.E32.m1.2.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.E32.m1.2.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E32.m1.2.3.2.4.2" xref="S3.E32.m1.2.3.2.4.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E32.m1.2b"><apply id="S3.E32.m1.2.3.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3"><apply id="S3.E32.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.E32.m1.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.1.2"></int><apply id="S3.E32.m1.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.2.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E32.m1.2.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S3.E32.m1.2.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.E32.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.2"><times id="S3.E32.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S3.E32.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.2.2">𝜌</ci><interval closure="open" id="S3.E32.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.2.3.2"><ci id="S3.E32.m1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.E32.m1.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2">𝑝</ci></interval><apply id="S3.E32.m1.2.3.2.4.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E32.m1.2.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E32.m1.2.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.3.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E32.m1.2c">\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho(x,p)dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E32.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ( italic_x , italic_p ) italic_d italic_x</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j}\lambda_{j}|\widehat{\psi}_{j}(p)|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E32.m2.2"><semantics id="S3.E32.m2.2a"><mrow id="S3.E32.m2.2.2" xref="S3.E32.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.E32.m2.2.2.3" xref="S3.E32.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S3.E32.m2.2.2.2" xref="S3.E32.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E32.m2.2.2.1" xref="S3.E32.m2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E32.m2.2.2.1.2" xref="S3.E32.m2.2.2.1.2.cmml"><munder id="S3.E32.m2.2.2.1.2a" xref="S3.E32.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E32.m2.2.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E32.m2.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E32.m2.2.2.1.2.3" xref="S3.E32.m2.2.2.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.E32.m2.2.2.1.1" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E32.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E32.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E32.m2.1.1" xref="S3.E32.m2.1.1.cmml">p</mi><mo id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E32.m2.2b"><apply id="S3.E32.m2.2.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2"><eq id="S3.E32.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E32.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1"><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E32.m2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.2.2"></sum><ci id="S3.E32.m2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1"><times id="S3.E32.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><ci id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.E32.m2.1.1.cmml" xref="S3.E32.m2.1.1">𝑝</ci></apply></apply><cn id="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E32.m2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E32.m2.2c">\displaystyle=\sum_{j}\lambda_{j}|\widehat{\psi}_{j}(p)|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E32.m2.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_p ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.1">hold.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>Bopp quantization of the density operator</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.9">Let <math alttext="\widehat{\rho}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}((2\pi\hbar)^{n}\rho)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.3" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><munder id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">Weyl</mi></munder><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4"><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.4.2">𝜌</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">Weyl</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.3">𝑛</ci></apply><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.2c">\widehat{\rho}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Weyl}}((2\pi\hbar)^{n}\rho)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Weyl end_POSTSUBSCRIPT ( ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ )</annotation></semantics></math> be a density operator on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1"><times id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{\rho}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}((2\pi\hbar)^{n}\rho)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.SS2.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.3" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><munder id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">Op</mo><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">Bopp</mi></munder><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2"><eq id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4"><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.4.2">𝜌</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">Op</ci><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">Bopp</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1"><times id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.1.3">𝑛</ci></apply><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.3.m3.2c">\widetilde{\rho}=\operatorname*{Op}_{\mathrm{Bopp}}((2\pi\hbar)^{n}\rho)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.3.m3.2d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG = roman_Op start_POSTSUBSCRIPT roman_Bopp end_POSTSUBSCRIPT ( ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ )</annotation></semantics></math> the corresponding Bopp operator The operators <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p1.4.m4.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1"><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.4.m4.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p1.5.m5.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1"><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.5.m5.1c">\widetilde{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.5.m5.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> have the same eigenvalues, but <math alttext="\widetilde{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p1.6.m6.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1"><ci id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.6.m6.1c">\widetilde{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.6.m6.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> cannot be a density a density operator; this is immediately visible if one recalls that the Weyl symbol <math alttext="\widetilde{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p1.7.m7.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.7.m7.1b"><apply id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1"><ci id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.2">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.7.m7.1c">\widetilde{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.7.m7.1d">over~ start_ARG italic_a end_ARG</annotation></semantics></math> of <math alttext="\widetilde{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.SS2.p1.8.m8.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.8.m8.1.1" xref="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.8.m8.1b"><apply id="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.8.m8.1.1"><ci id="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.8.m8.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.8.m8.1c">\widetilde{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.8.m8.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> is <math alttext="\widetilde{\rho}(z,\varsigma)=\rho(z-\frac{1}{2}J\varsigma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.9.m9.3"><semantics id="S3.SS2.p1.9.m9.3a"><mrow id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.1" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.1" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p1.9.m9.1.1" xref="S3.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p1.9.m9.2.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.2.2.cmml">ς</mi><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.3" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">J</mi><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.4" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.4.cmml">ς</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.9.m9.3b"><apply id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3"><eq id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.2"></eq><apply id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3"><times id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2"><ci id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.2.2">𝜌</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.3.3.2"><ci id="S3.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.1.1">𝑧</ci><ci id="S3.SS2.p1.9.m9.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.2.2">𝜍</ci></interval></apply><apply id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1"><times id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.2"></times><ci id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.3">𝜌</ci><apply id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1"><minus id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.3">𝐽</ci><ci id="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.4">𝜍</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.9.m9.3c">\widetilde{\rho}(z,\varsigma)=\rho(z-\frac{1}{2}J\varsigma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.9.m9.3d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG ( italic_z , italic_ς ) = italic_ρ ( italic_z - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_J italic_ς )</annotation></semantics></math> and can thus not have finite integral as expected from a quasi-distribution; in fact, in general,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{\mathbb{R}^{4n}}\widetilde{\rho}(z,\varsigma)=\left(\int_{\mathbb{R}^{2n% }}\int_{\mathbb{R}^{2n}}\rho(z-\frac{1}{2}J\varsigma)dz\right)d\varsigma=\infty." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex26.m1.3"><semantics id="S3.Ex26.m1.3a"><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></msub><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex26.m1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex26.m1.2.2" xref="S3.Ex26.m1.2.2.cmml">ς</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></msub><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></msub><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">J</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">ς</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.4" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.4.cmml">ς</mi></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.5" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.6.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex26.m1.3b"><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"><and id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"></and><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3"><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.2"></int><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml" 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xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><cn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜌</ci><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐽</ci><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝜍</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.4">𝜍</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.cmml" id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"></share><infinity id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.6"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex26.m1.3c">\int_{\mathbb{R}^{4n}}\widetilde{\rho}(z,\varsigma)=\left(\int_{\mathbb{R}^{2n% }}\int_{\mathbb{R}^{2n}}\rho(z-\frac{1}{2}J\varsigma)dz\right)d\varsigma=\infty.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex26.m1.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 4 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_ρ end_ARG ( italic_z , italic_ς ) = ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ( italic_z - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_J italic_ς ) italic_d italic_z ) italic_d italic_ς = ∞ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.10">However:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmtheorem6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem6.1.1.1">Proposition 6</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem6.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem6.p1.5.5">For every window <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math> the restriction <math alttext="\widetilde{\rho}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.1" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2"><ci id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1c">\widetilde{\rho}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="\widetilde{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1"><ci id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.1">~</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1c">\widetilde{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> to the Hilbert space <math alttext="\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.2">ℋ</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1c">\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a density operator on <math alttext="\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1a"><msub id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.2">ℋ</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1c">\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> given by</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{\rho}_{\phi}=\sum_{j}\lambda_{j}\widetilde{\Pi}_{\Psi_{j}}\text{ \ when }\widehat{\rho}=\sum_{j}\lambda\widehat{\Pi}_{\psi_{{}_{j}}}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E33.m1.1"><semantics id="S3.E33.m1.1a"><mrow id="S3.E33.m1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.E33.m1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E33.m1.1.1.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.2.2.1" xref="S3.E33.m1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E33.m1.1.1.2.3" xref="S3.E33.m1.1.1.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.E33.m1.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.E33.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.4" xref="S3.E33.m1.1.1.4.cmml"><munder id="S3.E33.m1.1.1.4.1" xref="S3.E33.m1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E33.m1.1.1.4.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E33.m1.1.1.4.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.4.1.3.cmml">j</mi></munder><mrow id="S3.E33.m1.1.1.4.2" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.cmml"><msub id="S3.E33.m1.1.1.4.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.3" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E33.m1.1.1.4.2.1" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.1" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.3" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S3.E33.m1.1.1.4.2.1a" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E33.m1.1.1.4.2.4" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.4a.cmml"> when </mtext><mo id="S3.E33.m1.1.1.4.2.1b" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E33.m1.1.1.4.2.5" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.2" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.1" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S3.E33.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.6" xref="S3.E33.m1.1.1.6.cmml"><munder id="S3.E33.m1.1.1.6.1" xref="S3.E33.m1.1.1.6.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.6.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E33.m1.1.1.6.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E33.m1.1.1.6.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.6.1.3.cmml">j</mi></munder><mrow id="S3.E33.m1.1.1.6.2" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.6.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.6.2.1" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.1" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.2" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><msub id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3a" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3.cmml"></mi><mi id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3.1" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3.1.cmml">j</mi></msub></msub></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E33.m1.1b"><apply id="S3.E33.m1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1"><and id="S3.E33.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1"></and><apply id="S3.E33.m1.1.1b.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1"><eq id="S3.E33.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.3"></eq><apply id="S3.E33.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E33.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.2.2"><ci id="S3.E33.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E33.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.2.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.E33.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4"><apply id="S3.E33.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E33.m1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.1.2"></sum><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2"><times id="S3.E33.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2"><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.2.2">Π</ci></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.4a.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E33.m1.1.1.4.2.4.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.4"> when </mtext></ci><apply id="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.5"><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.1">^</ci><ci id="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.4.2.5.2">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1c.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1"><eq id="S3.E33.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.E33.m1.1.1.4.cmml" id="S3.E33.m1.1.1d.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1"></share><apply id="S3.E33.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6"><apply id="S3.E33.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E33.m1.1.1.6.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.1.2"></sum><ci id="S3.E33.m1.1.1.6.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2"><times id="S3.E33.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.1"></times><ci id="S3.E33.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2"><ci id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.2.2">Π</ci></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.2">𝜓</ci><apply id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3"><ci id="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.6.2.3.3.3.1">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E33.m1.1c">\widetilde{\rho}_{\phi}=\sum_{j}\lambda_{j}\widetilde{\Pi}_{\Psi_{j}}\text{ \ when }\widehat{\rho}=\sum_{j}\lambda\widehat{\Pi}_{\psi_{{}_{j}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E33.m1.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG roman_Π end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT when over^ start_ARG italic_ρ end_ARG = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_λ over^ start_ARG roman_Π end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT start_FLOATSUBSCRIPT italic_j end_FLOATSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem6.p1.10"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem6.p1.10.5">where the <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.6.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> ar4e the eigenvalues of <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1"><ci id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.1">^</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.7.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{\Pi}_{\Psi_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1a"><msub id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.1" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2"><ci id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.2.2">Π</ci></apply><apply id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1c">\widetilde{\Pi}_{\Psi_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.8.3.m3.1d">over~ start_ARG roman_Π end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the orthogonal projection in <math alttext="\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1a"><msub id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.2">ℋ</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1c">\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.9.4.m4.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on on the eigenfunctions <math alttext="\Psi_{j}=U_{\phi}\psi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.3" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.1" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1"><eq id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.2">Ψ</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3"><times id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.1"></times><apply id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.2">𝜓</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1c">\Psi_{j}=U_{\phi}\psi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.10.5.m5.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS2.p2.3.1">Proof.</span> Let <math alttext="\Psi\in\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1"><in id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2">ℋ</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">\Psi\in\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">roman_Ψ ∈ caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>: we have <math alttext="\Psi=U_{\phi}\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">\Psi=U_{\phi}\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">roman_Ψ = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ</annotation></semantics></math> for some <math alttext="\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">ψ</mi><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1"><in id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2"></in><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3">𝜓</ci><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1"><times id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">italic_ψ ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> hence</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi=\widetilde{\rho}U_{\phi}\psi=U_{\phi}(\widehat{% \rho}\psi)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex27.m1.1"><semantics id="S3.Ex27.m1.1a"><mrow id="S3.Ex27.m1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.1a" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.4" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.4.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.1.1.1.2" lspace="0em" 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xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.3.3">Ψ</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5"><times id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.1"></times><apply id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2"><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.2.2">𝜌</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.3.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.4">𝜓</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.Ex27.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex27.m1.1c">\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi=\widetilde{\rho}U_{\phi}\psi=U_{\phi}(\widehat{% \rho}\psi).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex27.m1.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ = over~ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ψ ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.4">The operator <math alttext="\widetilde{\rho}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m1.1c">\widetilde{\rho}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m1.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is positive semidefinite (and hence self-adjoint) for we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx8"> <tbody id="S3.Ex28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi|\Psi)_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{% )}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex28.m1.2"><semantics id="S3.Ex28.m1.2a"><msub id="S3.Ex28.m1.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">Ψ</mi></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex28.m1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex28.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex28.m1.2b"><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2"><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3">Ψ</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3">Ψ</ci></apply><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex28.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex28.m1.2c">\displaystyle(\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi|\Psi)_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{% )}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex28.m1.2d">( over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ | roman_Ψ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(U_{\phi}(\widehat{\rho}\psi)|U_{\phi}\psi)_{L^{2}(\mathbb{R}^{2% n}\mathbb{)}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex28.m2.2"><semantics id="S3.Ex28.m2.2a"><mrow id="S3.Ex28.m2.2.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.2.2.3" xref="S3.Ex28.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.2.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex28.m2.2.2.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">ψ</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex28.m2.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex28.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex28.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex28.m2.2b"><apply id="S3.Ex28.m2.2.2.cmml" 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xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝜓</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex28.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1"><times id="S3.Ex28.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex28.m2.2c">\displaystyle=(U_{\phi}(\widehat{\rho}\psi)|U_{\phi}\psi)_{L^{2}(\mathbb{R}^{2% n}\mathbb{)}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex28.m2.2d">= ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ψ ) | italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\widehat{\rho}\psi|\psi)_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}\geq 0." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex29.m1.2"><semantics id="S3.Ex29.m1.2a"><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex29.m1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex29.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex29.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.5" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.5.cmml">≥</mo><mn id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.6" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex29.m1.2b"><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1"><and id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜓</ci></apply><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex29.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1"><geq id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.5"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.cmml" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1"></share><cn id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex29.m1.2c">\displaystyle=(\widehat{\rho}\psi|\psi)_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}\geq 0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex29.m1.2d">= ( over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ψ | italic_ψ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ≥ 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.13">Let us show that <math alttext="\widetilde{\rho}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m1.1c">\widetilde{\rho}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m1.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is of trace class, for this it suffices to show that if <math alttext="((\Psi_{j}),(\Phi_{k}))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m2.2"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.2">Φ</ci><ci id="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m2.2.2.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m2.2c">((\Psi_{j}),(\Phi_{k}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m2.2d">( ( roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math> is a pair of orthonormal basis of <math alttext="\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.7.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.7.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p2.7.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.7.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m3.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.7.m3.1c">\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.7.m3.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> then the series <math alttext="\sum_{j,k}(\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi_{j}|\Phi_{k})_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}% \mathbb{)}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.8.m4.4"><semantics id="S3.SS2.p2.8.m4.4a"><mrow id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.4.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><msub id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo fence="false" id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.8.m4.4b"><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4"><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2">subscript</csymbol><sum id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.2.2"></sum><list id="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.4"><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.4.4.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1"><times id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m4.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.8.m4.4c">\sum_{j,k}(\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi_{j}|\Phi_{k})_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}% \mathbb{)}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.8.m4.4d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is absolutely convergent. We have <math alttext="\Psi_{j}=U_{\phi}\psi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.9.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.9.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.9.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.2">Ψ</ci><ci id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m5.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.9.m5.1c">\Psi_{j}=U_{\phi}\psi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.9.m5.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Phi_{k}=U\phi_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.10.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p2.10.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.10.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.2">Φ</ci><ci id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m6.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.10.m6.1c">\Phi_{k}=U\phi_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.10.m6.1d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_U italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="\psi_{j})" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.SS2.p2.11.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p2.11.m7.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.11.m7.1b"><msub id="S3.SS2.p2.11.m7.1.1"><mi id="S3.SS2.p2.11.m7.1.1.2">ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.11.m7.1.1.3">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.11.m7.1.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.11.m7.1c">\psi_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.11.m7.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\phi_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.12.m8.1"><semantics id="S3.SS2.p2.12.m8.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.12.m8.1b"><apply id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.12.m8.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.12.m8.1c">(\phi_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.12.m8.1d">( italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are orthonormal bases of <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.13.m9.1"><semantics id="S3.SS2.p2.13.m9.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.13.m9.1b"><apply id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1"><times id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.13.m9.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.13.m9.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.13.m9.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and the claim follows from the equality</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx9"> <tbody id="S3.Ex30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{j,k}|(\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi_{j}|\Phi_{k})_{L^{2}(% \mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}}|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex30.m1.3"><semantics id="S3.Ex30.m1.3a"><mrow id="S3.Ex30.m1.3b"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex30.m1.3.4"><munder id="S3.Ex30.m1.3.4a"><mo id="S3.Ex30.m1.3.4.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.2.2.2.4"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1">j</mi><mo id="S3.Ex30.m1.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2">k</mi></mrow></munder></mstyle><mo fence="false" id="S3.Ex30.m1.3.5" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.Ex30.m1.3.6"><mrow id="S3.Ex30.m1.3.6.2"><mo id="S3.Ex30.m1.3.6.2.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex30.m1.3.6.2.2"><mover accent="true" id="S3.Ex30.m1.3.6.2.2.2"><mi id="S3.Ex30.m1.3.6.2.2.2.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex30.m1.3.6.2.2.2.1">~</mo></mover><mi id="S3.Ex30.m1.3.6.2.2.3">ϕ</mi></msub><msub id="S3.Ex30.m1.3.6.2.3"><mi id="S3.Ex30.m1.3.6.2.3.2" mathvariant="normal">Ψ</mi><mi id="S3.Ex30.m1.3.6.2.3.3">j</mi></msub><mo fence="false" id="S3.Ex30.m1.3.6.2.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.Ex30.m1.3.6.2.5"><mi id="S3.Ex30.m1.3.6.2.5.2" mathvariant="normal">Φ</mi><mi id="S3.Ex30.m1.3.6.2.5.3">k</mi></msub><mo id="S3.Ex30.m1.3.6.2.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex30.m1.3.3.1"><msup id="S3.Ex30.m1.3.3.1.3"><mi id="S3.Ex30.m1.3.3.1.3.2">L</mi><mn id="S3.Ex30.m1.3.3.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex30.m1.3.3.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1.1.3"><mn id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">2</mn><mo id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex30.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S3.Ex30.m1.3.7" stretchy="false">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex30.m1.3c">\displaystyle\sum_{j,k}|(\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi_{j}|\Phi_{k})_{L^{2}(% \mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex30.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ( over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j,k}|(U_{\phi}(\widehat{\rho}\psi_{j})|U_{\phi}(\widehat{% \rho}\phi_{k}))_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}}|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex30.m2.3"><semantics id="S3.Ex30.m2.3a"><mrow id="S3.Ex30.m2.3b"><mo id="S3.Ex30.m2.3.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex30.m2.3.5"><munder id="S3.Ex30.m2.3.5a"><mo id="S3.Ex30.m2.3.5.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex30.m2.2.2.2.4"><mi id="S3.Ex30.m2.1.1.1.1">j</mi><mo id="S3.Ex30.m2.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S3.Ex30.m2.2.2.2.2">k</mi></mrow></munder></mstyle><mo fence="false" id="S3.Ex30.m2.3.6" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.Ex30.m2.3.7"><mrow id="S3.Ex30.m2.3.7.2"><mo id="S3.Ex30.m2.3.7.2.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex30.m2.3.7.2.2"><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.2.2">U</mi><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.2.3">ϕ</mi></msub><mrow id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3"><mo id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3.1" stretchy="false">(</mo><mover accent="true" id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3.2"><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3.2.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3.2.1">^</mo></mover><msub id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3.3"><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3.3.2">ψ</mi><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3.3.3">j</mi></msub><mo id="S3.Ex30.m2.3.7.2.3.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex30.m2.3.7.2.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.Ex30.m2.3.7.2.5"><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.5.2">U</mi><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.5.3">ϕ</mi></msub><mrow id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6"><mo id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6.1" stretchy="false">(</mo><mover accent="true" id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6.2"><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6.2.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6.2.1">^</mo></mover><msub id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6.3"><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6.3.2">ϕ</mi><mi id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6.3.3">k</mi></msub><mo id="S3.Ex30.m2.3.7.2.6.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex30.m2.3.7.2.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex30.m2.3.3.1"><msup id="S3.Ex30.m2.3.3.1.3"><mi id="S3.Ex30.m2.3.3.1.3.2">L</mi><mn id="S3.Ex30.m2.3.3.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex30.m2.3.3.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1"><mo id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.3"><mn id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.3.2">2</mn><mo id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S3.Ex30.m2.3.8" stretchy="false">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex30.m2.3c">\displaystyle=\sum_{j,k}|(U_{\phi}(\widehat{\rho}\psi_{j})|U_{\phi}(\widehat{% \rho}\phi_{k}))_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex30.m2.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) | italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j,k}|(\widehat{\rho}\psi_{j}|\widehat{\rho}\phi_{k}))_{L^{% 2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}|<\infty" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex31.m1.3"><semantics id="S3.Ex31.m1.3a"><mrow id="S3.Ex31.m1.3b"><mo id="S3.Ex31.m1.3.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex31.m1.3.5"><munder id="S3.Ex31.m1.3.5a"><mo id="S3.Ex31.m1.3.5.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.2.2.2.4"><mi id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1">j</mi><mo id="S3.Ex31.m1.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S3.Ex31.m1.2.2.2.2">k</mi></mrow></munder></mstyle><mo fence="false" id="S3.Ex31.m1.3.6" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.3.7"><mo id="S3.Ex31.m1.3.7.1" stretchy="false">(</mo><mover accent="true" id="S3.Ex31.m1.3.7.2"><mi id="S3.Ex31.m1.3.7.2.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex31.m1.3.7.2.1">^</mo></mover><msub id="S3.Ex31.m1.3.7.3"><mi id="S3.Ex31.m1.3.7.3.2">ψ</mi><mi id="S3.Ex31.m1.3.7.3.3">j</mi></msub><mo fence="false" id="S3.Ex31.m1.3.7.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mover accent="true" id="S3.Ex31.m1.3.7.5"><mi id="S3.Ex31.m1.3.7.5.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex31.m1.3.7.5.1">^</mo></mover><msub id="S3.Ex31.m1.3.7.6"><mi id="S3.Ex31.m1.3.7.6.2">ϕ</mi><mi id="S3.Ex31.m1.3.7.6.3">k</mi></msub><mo id="S3.Ex31.m1.3.7.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.3.8" stretchy="false">)</mo><msub id="S3.Ex31.m1.3.3"><mi id="S3.Ex31.m1.3.3a"></mi><mrow id="S3.Ex31.m1.3.3.1"><msup id="S3.Ex31.m1.3.3.1.3"><mi id="S3.Ex31.m1.3.3.1.3.2">L</mi><mn id="S3.Ex31.m1.3.3.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex31.m1.3.3.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mi id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.3">n</mi></msup><mo id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S3.Ex31.m1.3.9" stretchy="false">|</mo><mo id="S3.Ex31.m1.3.10" lspace="0.167em"><</mo><mi id="S3.Ex31.m1.3.11" mathvariant="normal">∞</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex31.m1.3c">\displaystyle=\sum_{j,k}|(\widehat{\rho}\psi_{j}|\widehat{\rho}\phi_{k}))_{L^{% 2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}|<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex31.m1.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ( over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT | < ∞</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.18">since <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.14.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.14.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.14.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.14.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.14.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.14.m1.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.14.m1.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.14.m1.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> is of trace class. Let <math alttext="(\Psi_{j})=(U_{\phi}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.SS2.p2.15.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.15.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.15.m2.1b"><mrow id="S3.SS2.p2.15.m2.1.1"><mo id="S3.SS2.p2.15.m2.1.1.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.SS2.p2.15.m2.1.1.2"><mi id="S3.SS2.p2.15.m2.1.1.2.2" mathvariant="normal">Ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.15.m2.1.1.2.3">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.15.m2.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p2.15.m2.1.2">=</mo><mrow id="S3.SS2.p2.15.m2.1.3"><mo id="S3.SS2.p2.15.m2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.SS2.p2.15.m2.1.3.2"><mi id="S3.SS2.p2.15.m2.1.3.2.2">U</mi><mi id="S3.SS2.p2.15.m2.1.3.2.3">ϕ</mi></msub></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.15.m2.1c">(\Psi_{j})=(U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.15.m2.1d">( roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="\psi_{j}(" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.SS2.p2.16.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.16.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.16.m3.1b"><msub id="S3.SS2.p2.16.m3.1.1"><mi id="S3.SS2.p2.16.m3.1.1.2">ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.16.m3.1.1.3">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.16.m3.1.2" stretchy="false">(</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.16.m3.1c">\psi_{j}(</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.16.m3.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT (</annotation></semantics></math> be an orthonormal basis of <math alttext="\mathcal{H}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.17.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.17.m4.1a"><msub id="S3.SS2.p2.17.m4.1.1" xref="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.17.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.17.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.17.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.17.m4.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.17.m4.1c">\mathcal{H}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.17.m4.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; the trace of <math alttext="\widetilde{\rho}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.18.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.18.m5.1a"><msub id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.18.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2"><ci id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.18.m5.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.18.m5.1c">\widetilde{\rho}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.18.m5.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx10"> <tbody id="S3.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\operatorname*{Tr}\widetilde{\rho}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex32.m1.1"><semantics id="S3.Ex32.m1.1a"><mrow id="S3.Ex32.m1.1.1" xref="S3.Ex32.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex32.m1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.Ex32.m1.1.1.1.cmml">Tr</mo><msub id="S3.Ex32.m1.1.1.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex32.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.3.cmml">ϕ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex32.m1.1b"><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1"><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.1">Tr</ci><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex32.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex32.m1.1c">\displaystyle\operatorname*{Tr}\widetilde{\rho}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex32.m1.1d">roman_Tr over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j}|(\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi_{j}|\Psi_{j}))_{L^{2}(% \mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}})=\sum_{j}(U_{\phi}(\widehat{\rho}\psi_{j})|U_{\phi}% \psi_{j}))_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}})" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex32.m2.2"><semantics id="S3.Ex32.m2.2a"><mrow id="S3.Ex32.m2.2b"><msub id="S3.Ex32.m2.2.3"><mrow id="S3.Ex32.m2.2.3.2"><mrow id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1"><msub id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1"><mrow id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2"><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.1">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.2"><munder id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.2a"><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.2.3">j</mi></munder></mstyle><mo fence="false" id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mrow id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4"><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.2"><mover accent="true" id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.2.2"><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.2.2.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.2.2.1">~</mo></mover><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.2.3">ϕ</mi></msub><msub id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.3"><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.3.2" mathvariant="normal">Ψ</mi><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.3.3">j</mi></msub><mo fence="false" id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.5"><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.5.2" mathvariant="normal">Ψ</mi><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.5.3">j</mi></msub><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.4.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.1.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1.1"><msup id="S3.Ex32.m2.1.1.1.3"><mi id="S3.Ex32.m2.1.1.1.3.2">L</mi><mn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.1.3"><mn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">2</mn><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.1.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.2">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex32.m2.2.3.2.3"><munder id="S3.Ex32.m2.2.3.2.3a"><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.3.2" movablelimits="false">∑</mo><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.3.3">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4"><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.2"><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.2.2">U</mi><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.2.3">ϕ</mi></msub><mrow id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3"><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mover accent="true" id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3.2"><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3.2.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3.2.1">^</mo></mover><msub id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3.3"><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3.3.2">ψ</mi><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3.3.3">j</mi></msub><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.3.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.5"><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.5.2">U</mi><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.5.3">ϕ</mi></msub><msub id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.6"><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.6.2">ψ</mi><mi id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.6.3">j</mi></msub><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.4.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex32.m2.2.3.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex32.m2.2.2.1"><msup id="S3.Ex32.m2.2.2.1.3"><mi id="S3.Ex32.m2.2.2.1.3.2">L</mi><mn id="S3.Ex32.m2.2.2.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex32.m2.2.2.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1"><mo id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1.1.3"><mn id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">2</mn><mo id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex32.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex32.m2.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex32.m2.2c">\displaystyle=\sum_{j}|(\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi_{j}|\Psi_{j}))_{L^{2}(% \mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}})=\sum_{j}(U_{\phi}(\widehat{\rho}\psi_{j})|U_{\phi}% \psi_{j}))_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex32.m2.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | ( over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) | italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j}(\widehat{\rho}\psi_{j})|\psi_{j}))_{L^{2}(\mathbb{R}^{n% }\mathbb{)}}=\operatorname*{Tr}\widehat{\rho}=1." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex33.m1.1"><semantics id="S3.Ex33.m1.1a"><mrow id="S3.Ex33.m1.1b"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.2"><mo id="S3.Ex33.m1.1.2.1">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex33.m1.1.2.2"><munder id="S3.Ex33.m1.1.2.2a"><mo id="S3.Ex33.m1.1.2.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mi id="S3.Ex33.m1.1.2.2.3">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex33.m1.1.2.3"><mo id="S3.Ex33.m1.1.2.3.1" stretchy="false">(</mo><mover accent="true" id="S3.Ex33.m1.1.2.3.2"><mi id="S3.Ex33.m1.1.2.3.2.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex33.m1.1.2.3.2.1">^</mo></mover><msub id="S3.Ex33.m1.1.2.3.3"><mi id="S3.Ex33.m1.1.2.3.3.2">ψ</mi><mi id="S3.Ex33.m1.1.2.3.3.3">j</mi></msub><mo id="S3.Ex33.m1.1.2.3.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex33.m1.1.2.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.Ex33.m1.1.2.5"><mi id="S3.Ex33.m1.1.2.5.2">ψ</mi><mi id="S3.Ex33.m1.1.2.5.3">j</mi></msub><mo id="S3.Ex33.m1.1.2.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.3" stretchy="false">)</mo><msub id="S3.Ex33.m1.1.1"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1a"></mi><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1"><msup id="S3.Ex33.m1.1.1.1.3"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.3.2">L</mi><mn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</mi><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3">n</mi></msup><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex33.m1.1.4" rspace="0.1389em">=</mo><mo id="S3.Ex33.m1.1.5" lspace="0.1389em" rspace="0.167em">Tr</mo><mover accent="true" id="S3.Ex33.m1.1.6"><mi id="S3.Ex33.m1.1.6.2">ρ</mi><mo id="S3.Ex33.m1.1.6.1">^</mo></mover><mo id="S3.Ex33.m1.1.7">=</mo><mn id="S3.Ex33.m1.1.8">1</mn><mo id="S3.Ex33.m1.1.9" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex33.m1.1c">\displaystyle=\sum_{j}(\widehat{\rho}\psi_{j})|\psi_{j}))_{L^{2}(\mathbb{R}^{n% }\mathbb{)}}=\operatorname*{Tr}\widehat{\rho}=1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex33.m1.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ρ end_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT = roman_Tr over^ start_ARG italic_ρ end_ARG = 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.19">The proof of formula (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.E33" title="In Proposition 6 ‣ 3.2 Bopp quantization of the density operator ‣ 3 The Care of Density Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>) goes as follows. assume that <math alttext="\widehat{\rho}=\sum_{j}\lambda\widehat{\Pi}_{\psi_{{}_{j}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.19.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.19.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.2" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.3" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></msub><mrow id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.1" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><msub id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3a" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml"></mi><mi id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3.1" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml">j</mi></msub></msub></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.19.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3"><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2"><times id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.2.2">Π</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.2">𝜓</ci><apply id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3"><ci id="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.19.m1.1.1.3.2.3.3.3.1">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.19.m1.1c">\widehat{\rho}=\sum_{j}\lambda\widehat{\Pi}_{\psi_{{}_{j}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.19.m1.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_λ over^ start_ARG roman_Π end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT start_FLOATSUBSCRIPT italic_j end_FLOATSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx11"> <tbody id="S3.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle U_{\phi}(\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex34.m1.1"><semantics id="S3.Ex34.m1.1a"><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex34.m1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex34.m1.1b"><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1"><times id="S3.Ex34.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">Π</ci></apply><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex34.m1.1c">\displaystyle U_{\phi}(\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex34.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG roman_Π end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(2\pi\hbar)^{n/2}W(\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex34.m2.3"><semantics id="S3.Ex34.m2.3a"><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.4" xref="S3.Ex34.m2.3.3.4.cmml"></mi><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.2.cmml"><msup id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo 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xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3"><divide id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex35.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.Ex35.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex35.m1.5.5.3.5.cmml" xref="S3.Ex35.m1.5.5.3.5">𝑊</ci><interval closure="open" id="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1"><apply id="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.5.5.3.3.1.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex35.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.5c">\displaystyle=(2\pi\hbar)^{n/2}(\psi|\psi_{j})_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}% }W(\psi_{j},\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.5d">= ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\psi|\psi_{j})_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}U_{\phi}\psi_{j}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex36.m1.2"><semantics id="S3.Ex36.m1.2a"><mrow id="S3.Ex36.m1.2.2.1" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.3" 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id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex36.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex36.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex36.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.Ex36.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex36.m1.2c">\displaystyle=(\psi|\psi_{j})_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}U_{\phi}\psi_{j}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex36.m1.2d">= ( italic_ψ | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.21">Since <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.20.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.20.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p2.20.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.20.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.20.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.20.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.20.m1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.20.m1.1c">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.20.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a partial isometry we have <math alttext="(\psi|\psi_{j})_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=(U_{\phi}\psi|U_{\phi}\psi_{j% })_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.21.m2.4"><semantics id="S3.SS2.p2.21.m2.4a"><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo fence="false" id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.3.cmml">=</mo><msub id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo fence="false" id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.21.m2.4b"><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4"><eq id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.3"></eq><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1"><times id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2"><times id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.2.3">𝜓</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.4.4.2.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1"><times id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.21.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.21.m2.4c">(\psi|\psi_{j})_{L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}}=(U_{\phi}\psi|U_{\phi}\psi_{j% })_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}\mathbb{)}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.21.m2.4d">( italic_ψ | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ | italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> hence</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="U_{\phi}(\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\psi)=(\Psi|\Psi_{j})_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}% \mathbb{)}}\Psi" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex37.m1.3"><semantics id="S3.Ex37.m1.3a"><mrow id="S3.Ex37.m1.3.3" xref="S3.Ex37.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex37.m1.2.2.1" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S3.Ex37.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S3.Ex37.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex37.m1.3.3.3" xref="S3.Ex37.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex37.m1.3.3.2" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo fence="false" id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex37.m1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex37.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex37.m1.3.3.2.2" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex37.m1.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.3.cmml">Ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex37.m1.3b"><apply id="S3.Ex37.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3"><eq id="S3.Ex37.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.3"></eq><apply id="S3.Ex37.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1"><times id="S3.Ex37.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">Π</ci></apply><apply id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex37.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2"><times id="S3.Ex37.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.2"></times><apply id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex37.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex37.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex37.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.3.3.2.3">Ψ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex37.m1.3c">U_{\phi}(\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\psi)=(\Psi|\Psi_{j})_{L^{2}(\mathbb{R}^{2n}% \mathbb{)}}\Psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex37.m1.3d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG roman_Π end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ ) = ( roman_Ψ | roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.22">which proves (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.E33" title="In Proposition 6 ‣ 3.2 Bopp quantization of the density operator ‣ 3 The Care of Density Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>). <span class="ltx_rule" style="width:5.0pt;height:5.0pt;background:black;display:inline-block;"> </span></p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Deformation Quantization of the Density Operator</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">Deformation quantization is a mathematical framework that allows the transition from classical to quantum mechanics by ”deforming” the classical algebra of observables into a non-commutative algebra, reflecting the quantum nature of observables. The Moyal product is the simple4st example of deformation quantization and serves as a prime example of this approach.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.2">One starts with the algebra <math alttext="C^{\infty}(\mathbb{R}^{2n},\mathbb{R})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.2"><semantics id="S4.p2.1.m1.2a"><mrow id="S4.p2.1.m1.2.2" xref="S4.p2.1.m1.2.2.cmml"><msup id="S4.p2.1.m1.2.2.3" xref="S4.p2.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.p2.1.m1.2.2.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.p2.1.m1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.p2.1.m1.2.2.3.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S4.p2.1.m1.2.2.2" xref="S4.p2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.2b"><apply id="S4.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2"><times id="S4.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p2.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.3.2">𝐶</ci><infinity id="S4.p2.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.3.3"></infinity></apply><interval closure="open" id="S4.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1">ℝ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.2c">C^{\infty}(\mathbb{R}^{2n},\mathbb{R})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.2d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , blackboard_R )</annotation></semantics></math> of classical observables endowed with the Poisson bracket <math alttext="P=\{\cdot,\cdot\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.2.m2.2"><semantics id="S4.p2.2.m2.2a"><mrow id="S4.p2.2.m2.2.3" xref="S4.p2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.2.m2.2.3.2" xref="S4.p2.2.m2.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.1" xref="S4.p2.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">{</mo><mo id="S4.p2.2.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.p2.2.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.3.2.2" rspace="0em" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mo id="S4.p2.2.m2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.p2.2.m2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.2.m2.2b"><apply id="S4.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3"><eq id="S4.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3.1"></eq><ci id="S4.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3.2">𝑃</ci><set id="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1">⋅</ci><ci id="S4.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.2">⋅</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.2.m2.2c">P=\{\cdot,\cdot\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.2.m2.2d">italic_P = { ⋅ , ⋅ }</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(a,b)=\{a,b\}=\sum_{j}\frac{\partial a}{\partial x_{j}}\frac{\partial b}{% \partial p_{j}}-\frac{\partial a}{\partial p_{j}}\frac{\partial b}{\partial x_% {j}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex38.m1.5"><semantics id="S4.Ex38.m1.5a"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex38.m1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex38.m1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">{</mo><mi id="S4.Ex38.m1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex38.m1.4.4" xref="S4.Ex38.m1.4.4.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.cmml"><munder id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.1.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.1.3.cmml">j</mi></munder><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.2.2.cmml">a</mi></mrow><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2.1" rspace="0em" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2.2.cmml">b</mi></mrow><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.3" 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id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.3.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.6.3.3.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex38.m1.5c">P(a,b)=\{a,b\}=\sum_{j}\frac{\partial a}{\partial x_{j}}\frac{\partial b}{% \partial p_{j}}-\frac{\partial a}{\partial p_{j}}\frac{\partial b}{\partial x_% {j}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex38.m1.5d">italic_P ( italic_a , italic_b ) = { italic_a , italic_b } = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ italic_a end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG ∂ italic_b end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - divide start_ARG ∂ italic_a end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG ∂ italic_b end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.3">It can be expressed in terms of the standard symplectic matrix <math alttext="J=(J_{\alpha\beta})_{1\leq\alpha,\beta\leq n}=\begin{pmatrix}0&I\\ -I&0\end{pmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.3.m1.4"><semantics id="S4.p2.3.m1.4a"><mrow id="S4.p2.3.m1.4.4" xref="S4.p2.3.m1.4.4.cmml"><mi id="S4.p2.3.m1.4.4.3" xref="S4.p2.3.m1.4.4.3.cmml">J</mi><mo id="S4.p2.3.m1.4.4.4" xref="S4.p2.3.m1.4.4.4.cmml">=</mo><msub id="S4.p2.3.m1.4.4.1" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">J</mi><mrow id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.3" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.1" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S4.p2.3.m1.4.4.5" xref="S4.p2.3.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.p2.3.m1.1.1.3" xref="S4.p2.3.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.3.m1.1.1.3.1" xref="S4.p2.3.m1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1a" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1b" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1c" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">I</mi></mtd></mtr><mtr id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1d" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1e" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi></mrow></mtd><mtd id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1f" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.p2.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.p2.3.m1.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.3.m1.4b"><apply id="S4.p2.3.m1.4.4.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4"><and id="S4.p2.3.m1.4.4a.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4"></and><apply id="S4.p2.3.m1.4.4b.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4"><eq id="S4.p2.3.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.4"></eq><ci id="S4.p2.3.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.3">𝐽</ci><apply id="S4.p2.3.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.3.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝐽</ci><apply id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3"><times id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S4.p2.3.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.3.m1.3.3.2.3a.cmml" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1"><leq id="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.1"></leq><cn id="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><apply id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2"><leq id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.1"></leq><ci id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.3.m1.3.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.p2.3.m1.4.4c.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4"><eq id="S4.p2.3.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S4.p2.3.m1.4.4.1.cmml" id="S4.p2.3.m1.4.4d.cmml" xref="S4.p2.3.m1.4.4"></share><apply id="S4.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.p2.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1"><cn id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.1.2.1">𝐼</ci></matrixrow><matrixrow id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1"><apply id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1"></minus><ci id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci></apply><cn id="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.3.m1.4c">J=(J_{\alpha\beta})_{1\leq\alpha,\beta\leq n}=\begin{pmatrix}0&I\\ -I&0\end{pmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.3.m1.4d">italic_J = ( italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_α , italic_β ≤ italic_n end_POSTSUBSCRIPT = ( start_ARG start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARG )</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(a,b)=\sum_{1\leq\alpha,\beta\leq n}J_{\alpha\beta}\frac{\partial a}{\partial z% _{\alpha}}\frac{\partial b}{\partial z_{\beta}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex39.m1.4"><semantics id="S4.Ex39.m1.4a"><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5" xref="S4.Ex39.m1.4.5.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.2.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.2.1" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex39.m1.3.3" xref="S4.Ex39.m1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex39.m1.4.4" xref="S4.Ex39.m1.4.4.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S4.Ex39.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.3" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.cmml"><munder id="S4.Ex39.m1.4.5.3.1" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></munder><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.1" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.1" rspace="0em" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.2.cmml">a</mi></mrow><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.3.cmml">α</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.1a" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.1" rspace="0em" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.2.cmml">b</mi></mrow><mrow id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex39.m1.4b"><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5"><eq id="S4.Ex39.m1.4.5.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.1"></eq><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2"><times id="S4.Ex39.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.1"></times><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.2">𝑃</ci><interval closure="open" id="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.2.3.2"><ci id="S4.Ex39.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.3.3">𝑎</ci><ci id="S4.Ex39.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.4">𝑏</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3"><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex39.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.1.2"></sum><apply id="S4.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1"><leq id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2"><leq id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.1"></leq><ci id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.2.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2"><times id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.2">𝐽</ci><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3"><times id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3"><divide id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3"></divide><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2"><partialdiff id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.1"></partialdiff><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.2.2">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3"><partialdiff id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.3.3.2.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4"><divide id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4"></divide><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2"><partialdiff id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.1"></partialdiff><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.2.2">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3"><partialdiff id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.4.5.3.2.4.3.2.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex39.m1.4c">P(a,b)=\sum_{1\leq\alpha,\beta\leq n}J_{\alpha\beta}\frac{\partial a}{\partial z% _{\alpha}}\frac{\partial b}{\partial z_{\beta}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex39.m1.4d">italic_P ( italic_a , italic_b ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_α , italic_β ≤ italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ italic_a end_ARG start_ARG ∂ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG ∂ italic_b end_ARG start_ARG ∂ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.7">where we have set <math alttext="z_{\alpha}=x_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.4.m1.1"><semantics id="S4.p2.4.m1.1a"><mrow id="S4.p2.4.m1.1.1" xref="S4.p2.4.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.p2.4.m1.1.1.2" xref="S4.p2.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p2.4.m1.1.1.2.2" xref="S4.p2.4.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="S4.p2.4.m1.1.1.2.3" xref="S4.p2.4.m1.1.1.2.3.cmml">α</mi></msub><mo id="S4.p2.4.m1.1.1.1" xref="S4.p2.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S4.p2.4.m1.1.1.3" xref="S4.p2.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.4.m1.1.1.3.2" xref="S4.p2.4.m1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p2.4.m1.1.1.3.3" xref="S4.p2.4.m1.1.1.3.3.cmml">α</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.4.m1.1b"><apply id="S4.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1"><eq id="S4.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="S4.p2.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S4.p2.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.p2.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p2.4.m1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.4.m1.1c">z_{\alpha}=x_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.4.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> if <math alttext="1\leq\alpha\leq n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.5.m2.1"><semantics id="S4.p2.5.m2.1a"><mrow id="S4.p2.5.m2.1.1" xref="S4.p2.5.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.p2.5.m2.1.1.2" xref="S4.p2.5.m2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.5.m2.1.1.3" xref="S4.p2.5.m2.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.p2.5.m2.1.1.4" xref="S4.p2.5.m2.1.1.4.cmml">α</mi><mo id="S4.p2.5.m2.1.1.5" xref="S4.p2.5.m2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.p2.5.m2.1.1.6" xref="S4.p2.5.m2.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.5.m2.1b"><apply id="S4.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1"><and id="S4.p2.5.m2.1.1a.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1"></and><apply id="S4.p2.5.m2.1.1b.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1"><leq id="S4.p2.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1.3"></leq><cn id="S4.p2.5.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p2.5.m2.1.1.2">1</cn><ci id="S4.p2.5.m2.1.1.4.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1.4">𝛼</ci></apply><apply id="S4.p2.5.m2.1.1c.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1"><leq id="S4.p2.5.m2.1.1.5.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S4.p2.5.m2.1.1.4.cmml" id="S4.p2.5.m2.1.1d.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1"></share><ci id="S4.p2.5.m2.1.1.6.cmml" xref="S4.p2.5.m2.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.5.m2.1c">1\leq\alpha\leq n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.5.m2.1d">1 ≤ italic_α ≤ italic_n</annotation></semantics></math> and <math alttext="z_{\alpha}=p_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.6.m3.1"><semantics id="S4.p2.6.m3.1a"><mrow id="S4.p2.6.m3.1.1" xref="S4.p2.6.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.p2.6.m3.1.1.2" xref="S4.p2.6.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p2.6.m3.1.1.2.2" xref="S4.p2.6.m3.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="S4.p2.6.m3.1.1.2.3" xref="S4.p2.6.m3.1.1.2.3.cmml">α</mi></msub><mo id="S4.p2.6.m3.1.1.1" xref="S4.p2.6.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S4.p2.6.m3.1.1.3" xref="S4.p2.6.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.6.m3.1.1.3.2" xref="S4.p2.6.m3.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S4.p2.6.m3.1.1.3.3" xref="S4.p2.6.m3.1.1.3.3.cmml">α</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.6.m3.1b"><apply id="S4.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1"><eq id="S4.p2.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.p2.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="S4.p2.6.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S4.p2.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.6.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.6.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.p2.6.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p2.6.m3.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.6.m3.1c">z_{\alpha}=p_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.6.m3.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> if if <math alttext="n+1\leq\alpha\leq 2n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.7.m4.1"><semantics id="S4.p2.7.m4.1a"><mrow id="S4.p2.7.m4.1.1" xref="S4.p2.7.m4.1.1.cmml"><mrow id="S4.p2.7.m4.1.1.2" xref="S4.p2.7.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p2.7.m4.1.1.2.2" xref="S4.p2.7.m4.1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p2.7.m4.1.1.2.1" xref="S4.p2.7.m4.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p2.7.m4.1.1.2.3" xref="S4.p2.7.m4.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p2.7.m4.1.1.3" xref="S4.p2.7.m4.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.p2.7.m4.1.1.4" xref="S4.p2.7.m4.1.1.4.cmml">α</mi><mo id="S4.p2.7.m4.1.1.5" xref="S4.p2.7.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.p2.7.m4.1.1.6" xref="S4.p2.7.m4.1.1.6.cmml"><mn id="S4.p2.7.m4.1.1.6.2" xref="S4.p2.7.m4.1.1.6.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p2.7.m4.1.1.6.1" xref="S4.p2.7.m4.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.7.m4.1.1.6.3" xref="S4.p2.7.m4.1.1.6.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.7.m4.1b"><apply id="S4.p2.7.m4.1.1.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1"><and id="S4.p2.7.m4.1.1a.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1"></and><apply id="S4.p2.7.m4.1.1b.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1"><leq id="S4.p2.7.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.3"></leq><apply id="S4.p2.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.2"><plus id="S4.p2.7.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.2.1"></plus><ci id="S4.p2.7.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.2.2">𝑛</ci><cn id="S4.p2.7.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.7.m4.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.p2.7.m4.1.1.4.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.4">𝛼</ci></apply><apply id="S4.p2.7.m4.1.1c.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1"><leq id="S4.p2.7.m4.1.1.5.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S4.p2.7.m4.1.1.4.cmml" id="S4.p2.7.m4.1.1d.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1"></share><apply id="S4.p2.7.m4.1.1.6.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.6"><times id="S4.p2.7.m4.1.1.6.1.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.6.1"></times><cn id="S4.p2.7.m4.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S4.p2.7.m4.1.1.6.2">2</cn><ci id="S4.p2.7.m4.1.1.6.3.cmml" xref="S4.p2.7.m4.1.1.6.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.7.m4.1c">n+1\leq\alpha\leq 2n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.7.m4.1d">italic_n + 1 ≤ italic_α ≤ 2 italic_n</annotation></semantics></math>. With this notation the Poisson bracket can be written concisely in terms of the symplectic form as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(a,b)=\sigma(\partial_{z}a,\partial_{z}b)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E34.m1.4"><semantics id="S4.E34.m1.4a"><mrow id="S4.E34.m1.4.4" xref="S4.E34.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E34.m1.4.4.4" xref="S4.E34.m1.4.4.4.cmml"><mi id="S4.E34.m1.4.4.4.2" xref="S4.E34.m1.4.4.4.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E34.m1.4.4.4.1" xref="S4.E34.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E34.m1.4.4.4.3.2" xref="S4.E34.m1.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.E34.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E34.m1.4.4.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E34.m1.1.1" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.E34.m1.4.4.4.3.2.2" xref="S4.E34.m1.4.4.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E34.m1.2.2" xref="S4.E34.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.E34.m1.4.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E34.m1.4.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E34.m1.4.4.3" xref="S4.E34.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E34.m1.4.4.2" xref="S4.E34.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S4.E34.m1.4.4.2.4" xref="S4.E34.m1.4.4.2.4.cmml">σ</mi><mo id="S4.E34.m1.4.4.2.3" xref="S4.E34.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mi id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">a</mi></mrow><mo id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.cmml">z</mi></msub><mi id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E34.m1.4b"><apply id="S4.E34.m1.4.4.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4"><eq id="S4.E34.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.3"></eq><apply id="S4.E34.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.4"><times id="S4.E34.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.4.1"></times><ci id="S4.E34.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.4.2">𝑃</ci><interval closure="open" id="S4.E34.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.4.3.2"><ci id="S4.E34.m1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.E34.m1.2.2.cmml" xref="S4.E34.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply><apply id="S4.E34.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2"><times id="S4.E34.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.3"></times><ci id="S4.E34.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.4">𝜎</ci><interval closure="open" id="S4.E34.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2"><apply id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><ci id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply><ci id="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E34.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑎</ci></apply><apply id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2"><apply id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.2"></partialdiff><ci id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.1.3">𝑧</ci></apply><ci id="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E34.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝑏</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E34.m1.4c">P(a,b)=\sigma(\partial_{z}a,\partial_{z}b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E34.m1.4d">italic_P ( italic_a , italic_b ) = italic_σ ( ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_a , ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_b )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.10">where <math alttext="\partial_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.8.m1.1"><semantics id="S4.p2.8.m1.1a"><msub id="S4.p2.8.m1.1.1" xref="S4.p2.8.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.p2.8.m1.1.1.2" xref="S4.p2.8.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.p2.8.m1.1.1.3" xref="S4.p2.8.m1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.8.m1.1b"><apply id="S4.p2.8.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.1.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.p2.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.1.1.2"></partialdiff><ci id="S4.p2.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.8.m1.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.8.m1.1c">\partial_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.8.m1.1d">∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the gradient in the variolas <math alttext="z_{1},...,z_{2n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.9.m2.3"><semantics id="S4.p2.9.m2.3a"><mrow id="S4.p2.9.m2.3.3.2" xref="S4.p2.9.m2.3.3.3.cmml"><msub id="S4.p2.9.m2.2.2.1.1" xref="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p2.9.m2.3.3.2.3" xref="S4.p2.9.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.9.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p2.9.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p2.9.m2.3.3.2.4" xref="S4.p2.9.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.2" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.2" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.1" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.9.m2.3b"><list id="S4.p2.9.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2"><apply id="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.9.m2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p2.9.m2.1.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.1.1">…</ci><apply id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.2">𝑧</ci><apply id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3"><times id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.3.3.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.9.m2.3c">z_{1},...,z_{2n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.9.m2.3d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The algebra <math alttext="C^{\infty}(\mathbb{R}^{2n},\mathbb{R}),\{\cdot,\cdot\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.10.m3.5"><semantics id="S4.p2.10.m3.5a"><mrow id="S4.p2.10.m3.5.5.2" xref="S4.p2.10.m3.5.5.3.cmml"><mrow id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.cmml"><msup id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.2" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.2" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.10.m3.1.1" xref="S4.p2.10.m3.1.1.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p2.10.m3.5.5.2.3" xref="S4.p2.10.m3.5.5.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.2" xref="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.1.cmml"><mo id="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.1.cmml">{</mo><mo id="S4.p2.10.m3.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.p2.10.m3.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.1.cmml">,</mo><mo id="S4.p2.10.m3.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.p2.10.m3.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.10.m3.5b"><list id="S4.p2.10.m3.5.5.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.5.5.2"><apply id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1"><times id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.2"></times><apply id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.2">𝐶</ci><infinity id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.3.3"></infinity></apply><interval closure="open" id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1"><apply id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.p2.10.m3.1.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.1.1">ℝ</ci></interval></apply><set id="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.2"><ci id="S4.p2.10.m3.2.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.2.2">⋅</ci><ci id="S4.p2.10.m3.3.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.3.3">⋅</ci></set></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.10.m3.5c">C^{\infty}(\mathbb{R}^{2n},\mathbb{R}),\{\cdot,\cdot\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.10.m3.5d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , blackboard_R ) , { ⋅ , ⋅ }</annotation></semantics></math> is an infinitely dimensional Lie algebra.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.3">In deformation quantization one uses the vector space <math alttext="C^{\infty}(\mathbb{R}^{2n},\mathbb{R})[\hbar]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.3"><semantics id="S4.p3.1.m1.3a"><mrow id="S4.p3.1.m1.3.3" xref="S4.p3.1.m1.3.3.cmml"><msup id="S4.p3.1.m1.3.3.3" xref="S4.p3.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.3.3.3.2" xref="S4.p3.1.m1.3.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.p3.1.m1.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.p3.1.m1.3.3.3.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S4.p3.1.m1.3.3.2" xref="S4.p3.1.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p3.1.m1.3.3.2a" xref="S4.p3.1.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.3.3.4.2" xref="S4.p3.1.m1.3.3.4.1.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.3.3.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.p3.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.1.m1.2.2.cmml">ℏ</mi><mo id="S4.p3.1.m1.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.3.3.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.3b"><apply id="S4.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3"><times id="S4.p3.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.2"></times><apply id="S4.p3.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.3.2">𝐶</ci><infinity id="S4.p3.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.3.3"></infinity></apply><interval closure="open" id="S4.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1"><apply id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1">ℝ</ci></interval><apply id="S4.p3.1.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.1.m1.3.3.4.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.3.3.4.2.1">delimited-[]</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.3c">C^{\infty}(\mathbb{R}^{2n},\mathbb{R})[\hbar]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.3d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , blackboard_R ) [ roman_ℏ ]</annotation></semantics></math> of formal series <math alttext="a(\hbar)=\sum_{r}\hbar^{r}a_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.p3.2.m2.1a"><mrow id="S4.p3.2.m2.1.2" xref="S4.p3.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S4.p3.2.m2.1.2.2" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p3.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.p3.2.m2.1.2.2.1" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S4.p3.2.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p3.2.m2.1.1.cmml">ℏ</mi><mo id="S4.p3.2.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p3.2.m2.1.2.1" rspace="0.111em" xref="S4.p3.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p3.2.m2.1.2.3" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.cmml"><msub id="S4.p3.2.m2.1.2.3.1" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.2" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.3" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.3.cmml">r</mi></msub><mrow id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.cmml"><msup id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.2.cmml">ℏ</mi><mi id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.3" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.1" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.2" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.2.cmml">a</mi><mi id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.3" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2"><eq id="S4.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="S4.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2"><times id="S4.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2.1"></times><ci id="S4.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.2.2">𝑎</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S4.p3.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3"><apply id="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.2"></sum><ci id="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.3.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2"><times id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.1"></times><apply id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2">superscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><ci id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.2.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m2.1c">a(\hbar)=\sum_{r}\hbar^{r}a_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m2.1d">italic_a ( roman_ℏ ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where the <math alttext="a_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.p3.3.m3.1a"><msub id="S4.p3.3.m3.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.2" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.3" xref="S4.p3.3.m3.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.3.m3.1c">a_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.3.m3.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are classical observables equipped with the obvious vector space laws; it becomes a commutative and associative algebra when endowed with the multiplicative law</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a(\hbar)b(\hbar)=\sum_{r\geq 0}\hbar^{r}\left(\sum_{i+j=r}aib_{j}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex40.m1.3"><semantics id="S4.Ex40.m1.3a"><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex40.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Ex40.m1.1.1.cmml">ℏ</mi><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.1b" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.5.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex40.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex40.m1.2.2.cmml">ℏ</mi><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.cmml"><munder id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow></munder><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">ℏ</mi><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></mrow></munder><mrow id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex40.m1.3b"><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3"><times id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.2">𝑎</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.1.1">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.3.4">𝑏</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.2.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3"><geq id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.1"></geq><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></sum><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><eq id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></eq><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci><apply id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex40.m1.3c">a(\hbar)b(\hbar)=\sum_{r\geq 0}\hbar^{r}\left(\sum_{i+j=r}aib_{j}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex40.m1.3d">italic_a ( roman_ℏ ) italic_b ( roman_ℏ ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r ≥ 0 end_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i + italic_j = italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_a italic_i italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.4">With this multiplicative law <math alttext="C^{\infty}(\mathbb{R}^{2n},\mathbb{R})[\hbar]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.4.m1.3"><semantics id="S4.p3.4.m1.3a"><mrow id="S4.p3.4.m1.3.3" xref="S4.p3.4.m1.3.3.cmml"><msup id="S4.p3.4.m1.3.3.3" xref="S4.p3.4.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p3.4.m1.3.3.3.2" xref="S4.p3.4.m1.3.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.p3.4.m1.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.p3.4.m1.3.3.3.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S4.p3.4.m1.3.3.2" xref="S4.p3.4.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p3.4.m1.1.1" xref="S4.p3.4.m1.1.1.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p3.4.m1.3.3.2a" xref="S4.p3.4.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.4.m1.3.3.4.2" xref="S4.p3.4.m1.3.3.4.1.cmml"><mo id="S4.p3.4.m1.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.p3.4.m1.3.3.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.p3.4.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.4.m1.2.2.cmml">ℏ</mi><mo id="S4.p3.4.m1.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.p3.4.m1.3.3.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.4.m1.3b"><apply id="S4.p3.4.m1.3.3.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3"><times id="S4.p3.4.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.2"></times><apply id="S4.p3.4.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.4.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.4.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.3.2">𝐶</ci><infinity id="S4.p3.4.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.3.3"></infinity></apply><interval closure="open" id="S4.p3.4.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1"><apply id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m1.1.1">ℝ</ci></interval><apply id="S4.p3.4.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.4.m1.3.3.4.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m1.3.3.4.2.1">delimited-[]</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.4.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.4.m1.2.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.4.m1.3c">C^{\infty}(\mathbb{R}^{2n},\mathbb{R})[\hbar]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.4.m1.3d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , blackboard_R ) [ roman_ℏ ]</annotation></semantics></math> becomes an algebra, the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S4.p3.4.1">algebra of quantum observables</em>. The following result makes the connection between formal series and the Moyal star product (Bayen <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.p3.4.2">et al</span>. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>):</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmtheorem7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem7.1.1.1">Proposition 7</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem7.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem7.p1.1.1">The Moyal product <math alttext="a\bigstar_{\hbar}b" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">★</mi><mi id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.1a" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">b</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1"><times id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1c">a\bigstar_{\hbar}b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.1.1.m1.1d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b</annotation></semantics></math> is identified with the formal series</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a\bigstar_{\hbar}b=\sum_{r\geq 0}\frac{\hbar^{r}}{r!}P^{r}(a,b)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E35.m1.2"><semantics id="S4.E35.m1.2a"><mrow id="S4.E35.m1.2.3" xref="S4.E35.m1.2.3.cmml"><mrow id="S4.E35.m1.2.3.2" xref="S4.E35.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E35.m1.2.3.2.2" xref="S4.E35.m1.2.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.E35.m1.2.3.2.1" xref="S4.E35.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E35.m1.2.3.2.3" xref="S4.E35.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E35.m1.2.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E35.m1.2.3.2.3.2.cmml">★</mi><mi id="S4.E35.m1.2.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E35.m1.2.3.2.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S4.E35.m1.2.3.2.1a" xref="S4.E35.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E35.m1.2.3.2.4" xref="S4.E35.m1.2.3.2.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S4.E35.m1.2.3.1" rspace="0.111em" xref="S4.E35.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E35.m1.2.3.3" xref="S4.E35.m1.2.3.3.cmml"><munder id="S4.E35.m1.2.3.3.1" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E35.m1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E35.m1.2.3.3.1.3" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.2" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.1" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.3" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></munder><mrow id="S4.E35.m1.2.3.3.2" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.cmml"><msup id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml">ℏ</mi><mi id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.3" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml">r</mi></msup><mrow id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.2" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.1" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E35.m1.2.3.3.2.1" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E35.m1.2.3.3.2.3" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.3" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.E35.m1.2.3.3.2.1a" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.2" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.1.cmml"><mo id="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E35.m1.1.1" xref="S4.E35.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.2.2" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E35.m1.2.2" xref="S4.E35.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E35.m1.2b"><apply id="S4.E35.m1.2.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3"><eq id="S4.E35.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.1"></eq><apply id="S4.E35.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.2"><times id="S4.E35.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S4.E35.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.E35.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E35.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E35.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.2.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E35.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.2.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S4.E35.m1.2.3.2.4.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.2.4">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E35.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3"><apply id="S4.E35.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E35.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E35.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.2"></sum><apply id="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.3"><geq id="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.1"></geq><ci id="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E35.m1.2.3.3.1.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.E35.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2"><times id="S4.E35.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2"><divide id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2"></divide><apply id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><ci id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3"><factorial id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.1"></factorial><ci id="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.2.3.2">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.3.3">𝑟</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S4.E35.m1.2.3.3.2.4.2"><ci id="S4.E35.m1.1.1.cmml" xref="S4.E35.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.E35.m1.2.2.cmml" xref="S4.E35.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E35.m1.2c">a\bigstar_{\hbar}b=\sum_{r\geq 0}\frac{\hbar^{r}}{r!}P^{r}(a,b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E35.m1.2d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r ≥ 0 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG roman_ℏ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_r ! end_ARG italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_a , italic_b )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem7.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem7.p1.3.2">where the operator <math alttext="P^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1a"><msup id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1c">P^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.2.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.3.2.m2.1d">italic_r</annotation></semantics></math>-th power of the Poisson bracket, defined by</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P^{r}(a,b)(z)=\left.\sum_{i=1}^{r}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}% \partial p_{i}^{\prime}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{\prime}\partial p% _{i}}\right)^{r}a(z)b(z^{\prime})\right|_{z=z^{\prime}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex41.m1.6"><semantics id="S4.Ex41.m1.6a"><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex41.m1.2.2" xref="S4.Ex41.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.1a" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex41.m1.3.3" xref="S4.Ex41.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></munderover><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" lspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" lspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex41.m1.4.4" xref="S4.Ex41.m1.4.4.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3b" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.6" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3c" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.Ex41.m1.5.5.1" xref="S4.Ex41.m1.5.5.1.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.5.5.1.2" xref="S4.Ex41.m1.5.5.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex41.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex41.m1.5.5.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.Ex41.m1.5.5.1.3" xref="S4.Ex41.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.5.5.1.3.2" xref="S4.Ex41.m1.5.5.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex41.m1.5.5.1.3.3" xref="S4.Ex41.m1.5.5.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex41.m1.6b"><apply id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1"><eq id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3"><times id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci 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cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><partialdiff id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" 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_{i}}\right)^{r}a(z)b(z^{\prime})\right|_{z=z^{\prime}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex41.m1.6d">italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_a , italic_b ) ( italic_z ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∂ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∂ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_a ( italic_z ) italic_b ( italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) | start_POSTSUBSCRIPT italic_z = italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.1">In particular</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a\bigstar_{\hbar}b=ab+\hbar\{a,b\}\sum_{r\geq 2}\frac{\hbar^{r}}{r!}P^{r}(a,b)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex42.m1.5"><semantics id="S4.Ex42.m1.5a"><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">★</mi><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.1a" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.4" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">ℏ</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex42.m1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.1a" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.cmml"><munder id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></munder><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.2.cmml">ℏ</mi><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.3.cmml">r</mi></msup><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.1" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.1a" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex42.m1.3.3" xref="S4.Ex42.m1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.2.2" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex42.m1.4.4" xref="S4.Ex42.m1.4.4.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex42.m1.5b"><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1"><eq id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2"><times id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.2.4">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3"><plus id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3"><times id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><set id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.3.2"><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2">𝑏</ci></set><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4"><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.2"></sum><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3"><geq id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.1"></geq><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2"><times id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.1"></times><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2"><divide id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2"></divide><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2">superscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3"><factorial id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.1"></factorial><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.2.3.2">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.3.3">𝑟</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.5.5.1.1.3.3.4.2.4.2"><ci id="S4.Ex42.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.3.3">𝑎</ci><ci id="S4.Ex42.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex42.m1.4.4">𝑏</ci></interval></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex42.m1.5c">a\bigstar_{\hbar}b=ab+\hbar\{a,b\}\sum_{r\geq 2}\frac{\hbar^{r}}{r!}P^{r}(a,b).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex42.m1.5d">italic_a ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_b = italic_a italic_b + roman_ℏ { italic_a , italic_b } ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r ≥ 2 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG roman_ℏ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_r ! end_ARG italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_a , italic_b ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.1">Combining the definitions above with the study of the Bopp operators we have the following characterization of deformation quantization of the density operator:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmtheorem8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem8.1.1.1">Proposition 8</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem8.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem8.p1.7.7">Assume that the density operator <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math> on <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1"><times id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.2.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is given by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S3.E28" title="In 3.1 Density operators on 𝐿²⁢(ℝ^𝑛) ‣ 3 The Care of Density Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>).Let <math alttext="\widetilde{\rho}_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.1" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2"><ci id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1c">\widetilde{\rho}_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.3.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the associated Bopp phase space density operator for some window <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.4.4.m4.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\Psi=U_{\phi}\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.1" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1"><eq id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.2">Ψ</ci><apply id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3"><times id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.1"></times><apply id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1.1.3.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1c">\Psi=U_{\phi}\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.5.5.m5.1d">roman_Ψ = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ</annotation></semantics></math>, <math alttext="\psi\in" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1"><in id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.1"></in><ci id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.2">𝜓</ci><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1c">\psi\in</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.6.6.m6.1d">italic_ψ ∈</annotation></semantics></math> <math alttext="L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.2" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.3" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1"><times id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1c">L^{2}(\mathbb{R}^{n}\mathbb{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.7.7.m7.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. We have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi=(2\pi\hbar)^{3n/2}\sum_{r\geq 0}\frac{\hbar^{r}}{r% !}P^{r}(\rho,W(\psi,\phi)" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.Ex43.m1.3"><semantics id="S4.Ex43.m1.3a"><mrow id="S4.Ex43.m1.3b"><msub id="S4.Ex43.m1.3.4"><mover accent="true" id="S4.Ex43.m1.3.4.2"><mi id="S4.Ex43.m1.3.4.2.2">ρ</mi><mo id="S4.Ex43.m1.3.4.2.1">~</mo></mover><mi id="S4.Ex43.m1.3.4.3">ϕ</mi></msub><mi id="S4.Ex43.m1.3.5" mathvariant="normal">Ψ</mi><mo id="S4.Ex43.m1.3.6">=</mo><msup id="S4.Ex43.m1.3.7"><mrow id="S4.Ex43.m1.3.7.2"><mo id="S4.Ex43.m1.3.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex43.m1.3.7.2.2">2</mn><mi id="S4.Ex43.m1.3.7.2.3">π</mi><mi id="S4.Ex43.m1.3.7.2.4" mathvariant="normal">ℏ</mi><mo id="S4.Ex43.m1.3.7.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex43.m1.3.7.3"><mrow id="S4.Ex43.m1.3.7.3.2"><mn id="S4.Ex43.m1.3.7.3.2.2">3</mn><mo id="S4.Ex43.m1.3.7.3.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex43.m1.3.7.3.2.3">n</mi></mrow><mo id="S4.Ex43.m1.3.7.3.1">/</mo><mn id="S4.Ex43.m1.3.7.3.3">2</mn></mrow></msup><munder id="S4.Ex43.m1.3.8"><mo id="S4.Ex43.m1.3.8.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.3.8.3"><mi id="S4.Ex43.m1.3.8.3.2">r</mi><mo id="S4.Ex43.m1.3.8.3.1">≥</mo><mn id="S4.Ex43.m1.3.8.3.3">0</mn></mrow></munder><mfrac id="S4.Ex43.m1.3.9"><msup id="S4.Ex43.m1.3.9.2"><mi id="S4.Ex43.m1.3.9.2.2" mathvariant="normal">ℏ</mi><mi id="S4.Ex43.m1.3.9.2.3">r</mi></msup><mrow id="S4.Ex43.m1.3.9.3"><mi id="S4.Ex43.m1.3.9.3.2">r</mi><mo id="S4.Ex43.m1.3.9.3.1">!</mo></mrow></mfrac><msup id="S4.Ex43.m1.3.10"><mi id="S4.Ex43.m1.3.10.2">P</mi><mi id="S4.Ex43.m1.3.10.3">r</mi></msup><mrow id="S4.Ex43.m1.3.11"><mo id="S4.Ex43.m1.3.11.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex43.m1.3.3">ρ</mi><mo id="S4.Ex43.m1.3.11.2">,</mo><mi id="S4.Ex43.m1.3.11.3">W</mi><mrow id="S4.Ex43.m1.3.11.4"><mo id="S4.Ex43.m1.3.11.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex43.m1.1.1">ψ</mi><mo id="S4.Ex43.m1.3.11.4.2">,</mo><mi id="S4.Ex43.m1.2.2">ϕ</mi><mo id="S4.Ex43.m1.3.11.4.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex43.m1.3c">\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi=(2\pi\hbar)^{3n/2}\sum_{r\geq 0}\frac{\hbar^{r}}{r% !}P^{r}(\rho,W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex43.m1.3d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ = ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 italic_n / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r ≥ 0 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG roman_ℏ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_r ! end_ARG italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ρ , italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem8.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem8.p1.9.2">where <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.8.1.m1.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> is the Wigner distribution of <math alttext="\widehat{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1"><ci id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.1">^</ci><ci id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1.1.2">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1c">\widehat{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.9.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p6.4.1">Proof.</span> We gave</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\rho}=\sum_{j}\lambda_{j}\widehat{\Pi}_{\psi_{j}}\ ,\ \lambda_{j}\geq 0% \ ,\ \sum_{j}\lambda_{j}=1." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex44.m1.1"><semantics id="S4.Ex44.m1.1a"><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></munder><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" lspace="0.500em" rspace="0.500em" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><munder id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></munder><msub id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" 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display="inline" id="S4.p6.1.m1.2"><semantics id="S4.p6.1.m1.2a"><mrow id="S4.p6.1.m1.2.3" xref="S4.p6.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S4.p6.1.m1.2.3.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.1" rspace="0.111em" xref="S4.p6.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p6.1.m1.2.3.3" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.cmml"><msub id="S4.p6.1.m1.2.3.3.1" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.3" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.3.cmml">j</mi></msub><mrow id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.3" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.3" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.3.cmml">W</mi><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1a" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.2.cmml">ψ</mi><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.3" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1b" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.5.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p6.1.m1.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.1.m1.2b"><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3"><eq id="S4.p6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2"><times id="S4.p6.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.2">𝜌</ci><ci id="S4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3"><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.2"></sum><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2"><times id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.3">𝑊</ci><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.2">𝜓</ci><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.1.m1.2c">\rho(z)=\sum_{j}\lambda_{j}W\psi_{j}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.1.m1.2d">italic_ρ ( italic_z ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_W italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math>. In view of the definitions of the intertwiners <math alttext="U_{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.p6.2.m2.1a"><msub id="S4.p6.2.m2.1.1" xref="S4.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.p6.2.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S4.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S4.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.2.m2.1c">U_{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.2.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E24" title="In 2.3 The intertwiners 𝑈ᵩ and their properties ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>) and of the Bopp operators <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S2.E19" title="In 2.2 Definition of Bopp operators ‣ 2 Weyl and Bopp Pseudodifferential Operators ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx12"> <tbody id="S4.Ex45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex45.m1.1"><semantics id="S4.Ex45.m1.1a"><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex45.m1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex45.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex45.m1.1.1.3.cmml">Ψ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex45.m1.1b"><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.3">Ψ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex45.m1.1c">\displaystyle\widetilde{\rho}_{\phi}\Psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex45.m1.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\widetilde{\rho}(U_{\phi}\psi)=(2\pi\hbar)^{n/2}\rho\bigstar_{% \hbar}W(\psi,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex45.m2.4"><semantics id="S4.Ex45.m2.4a"><mrow id="S4.Ex45.m2.4.4" xref="S4.Ex45.m2.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex45.m2.4.4.4" xref="S4.Ex45.m2.4.4.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.5" xref="S4.Ex45.m2.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex45.m2.3.3.1" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex45.m2.3.3.1.3" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.1" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Ex45.m2.3.3.1.2" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.6" xref="S4.Ex45.m2.4.4.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex45.m2.4.4.2" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.cmml"><msup id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.2" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.1" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.3" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.2" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m2.4.4.2.3" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.3.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.2a" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex45.m2.4.4.2.4" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.2.cmml">★</mi><mi id="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.2b" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m2.4.4.2.5" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.5.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.2c" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.2" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.1.cmml"><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex45.m2.1.1" xref="S4.Ex45.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.2.2" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex45.m2.2.2" xref="S4.Ex45.m2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex45.m2.4b"><apply id="S4.Ex45.m2.4.4.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4"><and id="S4.Ex45.m2.4.4a.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4"></and><apply id="S4.Ex45.m2.4.4b.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4"><eq id="S4.Ex45.m2.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex45.m2.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex45.m2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1"><times id="S4.Ex45.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.2"></times><apply id="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.3"><ci id="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.1">~</ci><ci id="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.3.2">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1"><times id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m2.3.3.1.1.1.1.3">𝜓</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex45.m2.4.4c.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4"><eq id="S4.Ex45.m2.4.4.6.cmml" 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id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.1"></divide><ci id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex45.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.3">𝜌</ci><apply id="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.4.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S4.Ex45.m2.4.4.2.5.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.5">𝑊</ci><interval closure="open" id="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.4.4.2.6.2"><ci id="S4.Ex45.m2.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m2.1.1">𝜓</ci><ci id="S4.Ex45.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m2.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex45.m2.4c">\displaystyle=\widetilde{\rho}(U_{\phi}\psi)=(2\pi\hbar)^{n/2}\rho\bigstar_{% \hbar}W(\psi,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex45.m2.4d">= over~ start_ARG italic_ρ end_ARG ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ ) = ( 2 italic_π roman_ℏ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n / 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(2\pi\hbar)^{n/2}\sum_{j}\lambda_{j}W\psi_{j}\bigstar_{\hbar}W(% \psi,\phi)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex46.m1.3"><semantics id="S4.Ex46.m1.3a"><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">ℏ</mi></mrow><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.2.cmml">ψ</mi><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1b" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.2.cmml">★</mi><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1c" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.6" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.6.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1d" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.7.2" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.7.1.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.7.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.7.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex46.m1.1.1" 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id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.2">𝜓</ci><ci id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.5.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.6.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.6">𝑊</ci><interval closure="open" id="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.7.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.7.2"><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.cmml" 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the Density Operator ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>) above have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{j}W\psi_{j}\bigstar_{\hbar}W(\psi,\phi)=\lambda_{j}\sum_{r\geq 0}% \frac{\hbar^{r}}{r!}P^{r}(W\psi_{j},W(\psi,\phi))" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex47.m1.6"><semantics id="S4.Ex47.m1.6a"><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6" xref="S4.Ex47.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.4" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.6.6.4.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.4.1" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.4.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.3.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.4.1a" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex47.m1.6.6.4.4" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.2.cmml">ψ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.4.1b" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex47.m1.6.6.4.5" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.2.cmml">★</mi><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.3.cmml">ℏ</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.4.1c" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.4.6" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.6.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.4.1d" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.1.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex47.m1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.2.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex47.m1.2.2" xref="S4.Ex47.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.6.6.2.4" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.cmml"><munder id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.3.cmml">0</mn></mrow></munder><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.cmml"><msup id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.2.cmml">ℏ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.3.cmml">r</mi></msup><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.3" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.3a" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex47.m1.3.3" xref="S4.Ex47.m1.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex47.m1.4.4" xref="S4.Ex47.m1.4.4.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex47.m1.6b"><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6"><eq id="S4.Ex47.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.3"></eq><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.4.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4"><times id="S4.Ex47.m1.6.6.4.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.1"></times><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.2">𝜆</ci><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.4.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.3">𝑊</ci><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.2">𝜓</ci><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.2">★</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.5.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.4.6.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.6">𝑊</ci><interval closure="open" id="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.4.7.2"><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1">𝜓</ci><ci id="S4.Ex47.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2"><times id="S4.Ex47.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.3"></times><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.2">𝜆</ci><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2"><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.2"></sum><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3"><geq id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.1"></geq><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.3.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2"><times id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4"><divide id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4"></divide><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2">superscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3"><factorial id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.1"></factorial><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.4.3.2">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.5.3">𝑟</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.3.2"><ci id="S4.Ex47.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.3.3">𝜓</ci><ci id="S4.Ex47.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex47.m1.4.4">italic-ϕ</ci></interval></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex47.m1.6c">\lambda_{j}W\psi_{j}\bigstar_{\hbar}W(\psi,\phi)=\lambda_{j}\sum_{r\geq 0}% \frac{\hbar^{r}}{r!}P^{r}(W\psi_{j},W(\psi,\phi))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex47.m1.6d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_W italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ★ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℏ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r ≥ 0 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG roman_ℏ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_r ! end_ARG italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_W ( italic_ψ , italic_ϕ ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p6.3">hence the result summing over the indices <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.3.m1.1"><semantics id="S4.p6.3.m1.1a"><mi id="S4.p6.3.m1.1.1" xref="S4.p6.3.m1.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.3.m1.1b"><ci id="S4.p6.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.p6.3.m1.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.3.m1.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.3.m1.1d">italic_j</annotation></semantics></math>. <span class="ltx_rule" style="width:5.0pt;height:5.0pt;background:black;display:inline-block;"> </span></p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Perspectives</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.9">We have studied an elementary case of deformation quantization (the Moyal star product) within the framework of the Weyl formalism, which is the most used quantization procedure used by physicists. This popularity is due to many factors, some being historical, others being due to its relative simplicity. But the main advantage of Weyl quantization comes from that it is the only pseudodifferential calculus satisfying the property of symplectic covariance: It would however be interesting to adapt this theory to other possible quantizations, in particular the Born–Jordan procedure we have developed rigorously in previous work. In his deep but not so well-known work <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite> Leray introduces a class of functions on a Lagrangian submanifold <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.1d">italic_V</annotation></semantics></math> of <math alttext="(\mathbb{R}^{2n},\sigma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.2.m2.2"><semantics id="S5.p1.2.m2.2a"><mrow id="S5.p1.2.m2.2.2.1" xref="S5.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.p1.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><msup id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S5.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S5.p1.2.m2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.2.m2.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S5.p1.2.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.p1.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S5.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1"><apply id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3"><times id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1">𝜎</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.2.m2.2c">(\mathbb{R}^{2n},\sigma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.2.m2.2d">( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , italic_σ )</annotation></semantics></math>. These functions, which Leray calls “Lagrangian functions” are formal series defined on the universal covering <math alttext="\check{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.p1.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S5.p1.3.m3.1.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.1.cmml">ˇ</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1"><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.1">ˇ</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.3.m3.1c">\check{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.3.m3.1d">overroman_ˇ start_ARG italic_V end_ARG</annotation></semantics></math> of <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.p1.4.m4.1a"><mi id="S5.p1.4.m4.1.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.4.m4.1b"><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.4.m4.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.4.m4.1d">italic_V</annotation></semantics></math>, and are characterized by their phase <math alttext="\varphi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.p1.5.m5.1a"><mi id="S5.p1.5.m5.1.1" xref="S5.p1.5.m5.1.1.cmml">φ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.5.m5.1b"><ci id="S5.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1">𝜑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.5.m5.1c">\varphi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.5.m5.1d">italic_φ</annotation></semantics></math>, defined by <math alttext="d\varphi=pdx" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.6.m6.1"><semantics id="S5.p1.6.m6.1a"><mrow id="S5.p1.6.m6.1.1" xref="S5.p1.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S5.p1.6.m6.1.1.2" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.p1.6.m6.1.1.2.1" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">φ</mi></mrow><mo id="S5.p1.6.m6.1.1.1" xref="S5.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p1.6.m6.1.1.3" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S5.p1.6.m6.1.1.3.1" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.p1.6.m6.1.1.3.1a" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.3.4" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.4.cmml">x</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.6.m6.1b"><apply id="S5.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1"><eq id="S5.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S5.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2"><times id="S5.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.1"></times><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.3">𝜑</ci></apply><apply id="S5.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3"><times id="S5.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.4">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.6.m6.1c">d\varphi=pdx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.6.m6.1d">italic_d italic_φ = italic_p italic_d italic_x</annotation></semantics></math> on <math alttext="\check{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.p1.7.m7.1a"><mover accent="true" id="S5.p1.7.m7.1.1" xref="S5.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.7.m7.1.1.2" xref="S5.p1.7.m7.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S5.p1.7.m7.1.1.1" xref="S5.p1.7.m7.1.1.1.cmml">ˇ</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.7.m7.1b"><apply id="S5.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m7.1.1"><ci id="S5.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m7.1.1.1">ˇ</ci><ci id="S5.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.7.m7.1.1.2">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.7.m7.1c">\check{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.7.m7.1d">overroman_ˇ start_ARG italic_V end_ARG</annotation></semantics></math>. These Lagrangian functions become functions on <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.p1.8.m8.1a"><mi id="S5.p1.8.m8.1.1" xref="S5.p1.8.m8.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.8.m8.1b"><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.8.m8.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.8.m8.1d">italic_V</annotation></semantics></math> if one imposes a certain quantization condition on this manifold. It turns out that Leray’s Lagrangian functions appear to be more general objects than the deformation quantization formal series (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14391v1#S4.E35" title="In Proposition 7 ‣ 4 Deformation Quantization of the Density Operator ‣ Phase Space Representation of the Density Operator: Bopp Pseudodifferential Calculus and Moyal Product"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>), to which they reduce when <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.9.m9.1"><semantics id="S5.p1.9.m9.1a"><mi id="S5.p1.9.m9.1.1" xref="S5.p1.9.m9.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.9.m9.1b"><ci id="S5.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.9.m9.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.9.m9.1d">italic_V</annotation></semantics></math> is flat. It would certainly be interesting to study deformation quantization from the perspective of Leray’s constructions. Bopp pseudodifferential operators could play an important role in this perspective.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_acknowledgement" id="Thmtheorem9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem9.1.1.1">Acknowledgement 9</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem9.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem9.p1.1.1">This work has been financed by the Austrian Research Foundation FWF (Grant number PAT 2056623). It was done during a stay of the author at the Acoustics Research Institute group at the Austrian Academy of Sciences. We thank the director of the Acoustics Research Institute, Professor Peter Balasz, for his kind hospitality. I also thank Guiseppe Dito for having provided me with some useful references about deformation quantization.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock">V. I. Arnold, <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">Mathematical Methods of Classical Mechanics</span>. Graduate Texts in Mathematics, second edition, Springer-Verlag, 1989 </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock">F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Sternheimer, Deformation Theory and Quantization. I. 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