CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="ca" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Anàlisi numèrica - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )cawikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","gener","febrer","març","abril","maig","juny","juliol","agost","setembre","octubre","novembre","desembre"],"wgRequestId":"6be81171-d8ff-4f7a-a459-8a1fcfad16d1","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Anàlisi_numèrica","wgTitle":"Anàlisi numèrica","wgCurRevisionId":33790661,"wgRevisionId":33790661,"wgArticleId":640353,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Articles amb enllaços externs no actius","Articles amb referències puntuals demanades","Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata","1.000 articles fonamentals","Ciència (Els 1000 de META)","Control d'autoritats","Anàlisi numèrica"],"wgPageViewLanguage":"ca","wgPageContentLanguage":"ca","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Anàlisi_numèrica","wgRelevantArticleId":640353,"wgIsProbablyEditable":true, "wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ca","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ca"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11216","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled": false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","wikibase.client.data-bridge.externalModifiers":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.UkensKonkurranse","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.AltresViccionari","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.DocTabs","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar", "ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","wikibase.client.data-bridge.init","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.data-bridge.externalModifiers%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ca&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Ybc7289-bw.jpg"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1118"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Ybc7289-bw.jpg"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="746"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="596"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Anàlisi numèrica - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ca.m.wikipedia.org/wiki/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifica" href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Viquipèdia (ca)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ca.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ca.wikipedia.org/wiki/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ca"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Canal de sindicació Atom Viquipèdia" href="/w/index.php?title=Especial:Canvis_recents&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Anàlisi_numèrica rootpage-Anàlisi_numèrica skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Vés al contingut</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menú principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menú principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menú principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navegació </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portada" title="Visiteu la pàgina principal [z]" accesskey="z"><span>Portada</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Article_aleatori" title="Carrega una pàgina a l’atzar [x]" accesskey="x"><span>Article a l'atzar</span></a></li><li id="n-Articles-de-qualitat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Articles_de_qualitat"><span>Articles de qualitat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Comunitat" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Comunitat" > <div class="vector-menu-heading"> Comunitat </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Portal" title="Sobre el projecte, què podeu fer, on trobareu les coses"><span>Portal viquipedista</span></a></li><li id="n-Agenda-d'actes" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Trobades"><span>Agenda d'actes</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Canvis_recents" title="Una llista dels canvis recents al wiki [r]" accesskey="r"><span>Canvis recents</span></a></li><li id="n-La-taverna" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:La_taverna"><span>La taverna</span></a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Contacte"><span>Contacte</span></a></li><li id="n-Xat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Canals_IRC"><span>Xat</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Ajuda" title="El lloc per a saber més coses"><span>Ajuda</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Portada" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Viquipèdia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-ca.svg" style="width: 7.5em; height: 1.4375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'Enciclopèdia Lliure" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-ca.svg" width="120" height="14" style="width: 7.5em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Cerca" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Cerca</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Cerca a Viquipèdia" aria-label="Cerca a Viquipèdia" autocapitalize="sentences" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Cerca"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Cerca</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Eines personals"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aparença" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aparença</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca" class=""><span>Donatius</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=An%C3%A0lisi+num%C3%A8rica" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori" class=""><span>Crea un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=An%C3%A0lisi+num%C3%A8rica" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o" class=""><span>Inicia la sessió</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Més opcions" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines personals" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Eines personals</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú d'usuari" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca"><span>Donatius</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=An%C3%A0lisi+num%C3%A8rica" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crea un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=An%C3%A0lisi+num%C3%A8rica" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Inicia la sessió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pàgines per a editors no registrats <a href="/wiki/Ajuda:Introducci%C3%B3" aria-label="Vegeu més informació sobre l'edició"><span>més informació</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Contribucions_pr%C3%B2pies" title="Una llista de les modificacions fetes des d'aquesta adreça IP [y]" accesskey="y"><span>Contribucions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Discussi%C3%B3_personal" title="Discussió sobre les edicions per aquesta adreça ip. [n]" accesskey="n"><span>Discussió per aquest IP</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Contingut" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Contingut</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">amaga</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inici</div> </a> </li> <li id="toc-Història_[cal_citació]" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Història_[cal_citació]"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Història <sup><span>[<i>cal citació</i>]</span></sup></span> </div> </a> <ul id="toc-Història_[cal_citació]-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Conceptes_generals_[cal_citació]" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Conceptes_generals_[cal_citació]"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Conceptes generals <sup><span>[<i>cal citació</i>]</span></sup></span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Conceptes_generals_[cal_citació]-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Conceptes generals <sup><span>[<i>cal citació</i>]</span></sup></span> </button> <ul id="toc-Conceptes_generals_[cal_citació]-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Integració_de_Discretització_i_numèrica_[cal_citació]" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Integració_de_Discretització_i_numèrica_[cal_citació]"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Integració de Discretització i numèrica <sup><span>[<i>cal citació</i>]</span></sup></span> </div> </a> <ul id="toc-Integració_de_Discretització_i_numèrica_[cal_citació]-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Algorismes_directes_i_algorismes_iteratius_[cal_citació]" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Algorismes_directes_i_algorismes_iteratius_[cal_citació]"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Algorismes directes i algorismes iteratius <sup><span>[<i>cal citació</i>]</span></sup></span> </div> </a> <ul id="toc-Algorismes_directes_i_algorismes_iteratius_[cal_citació]-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Discretització" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Discretització"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Discretització</span> </div> </a> <ul id="toc-Discretització-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Arrodoniment,_truncament_i_error_de_discretització" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Arrodoniment,_truncament_i_error_de_discretització"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Arrodoniment, truncament i error de discretització</span> </div> </a> <ul id="toc-Arrodoniment,_truncament_i_error_de_discretització-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Estabilitat_numèrica_i_problemes_ben_condicionats" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Estabilitat_numèrica_i_problemes_ben_condicionats"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Estabilitat numèrica i problemes ben condicionats</span> </div> </a> <ul id="toc-Estabilitat_numèrica_i_problemes_ben_condicionats-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Aplicacions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplicacions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Aplicacions</span> </div> </a> <ul id="toc-Aplicacions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Problemes_[cal_citació]" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Problemes_[cal_citació]"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Problemes <sup><span>[<i>cal citació</i>]</span></sup></span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Problemes_[cal_citació]-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Problemes <sup><span>[<i>cal citació</i>]</span></sup></span> </button> <ul id="toc-Problemes_[cal_citació]-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Classificació_segons_la_seva_dimensió" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Classificació_segons_la_seva_dimensió"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Classificació segons la seva dimensió</span> </div> </a> <ul id="toc-Classificació_segons_la_seva_dimensió-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Classificació_atenent_la_seva_naturalesa_o_motivació" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Classificació_atenent_la_seva_naturalesa_o_motivació"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Classificació atenent la seva naturalesa o motivació</span> </div> </a> <ul id="toc-Classificació_atenent_la_seva_naturalesa_o_motivació-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Àrees_d'estudi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Àrees_d'estudi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Àrees d'estudi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Àrees_d'estudi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Àrees d'estudi</span> </button> <ul id="toc-Àrees_d'estudi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Càlcul_dels_valors_d'una_funció" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Càlcul_dels_valors_d'una_funció"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Càlcul dels valors d'una funció</span> </div> </a> <ul id="toc-Càlcul_dels_valors_d'una_funció-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Interpolació,_extrapolació_i_regressió" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Interpolació,_extrapolació_i_regressió"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Interpolació, extrapolació i regressió</span> </div> </a> <ul id="toc-Interpolació,_extrapolació_i_regressió-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Resolució_d'equacions_i_sistemes_d'equacions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Resolució_d'equacions_i_sistemes_d'equacions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Resolució d'equacions i sistemes d'equacions</span> </div> </a> <ul id="toc-Resolució_d'equacions_i_sistemes_d'equacions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Descomposició_espectral_i_en_valors_singulars" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Descomposició_espectral_i_en_valors_singulars"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>Descomposició espectral i en valors singulars</span> </div> </a> <ul id="toc-Descomposició_espectral_i_en_valors_singulars-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Optimització" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Optimització"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.5</span> <span>Optimització</span> </div> </a> <ul id="toc-Optimització-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Avaluació_d'integrals" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Avaluació_d'integrals"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.6</span> <span>Avaluació d'integrals</span> </div> </a> <ul id="toc-Avaluació_d'integrals-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Equacions_diferencials" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Equacions_diferencials"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.7</span> <span>Equacions diferencials</span> </div> </a> <ul id="toc-Equacions_diferencials-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Altres_temes_d'anàlisi_numèrica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Altres_temes_d'anàlisi_numèrica"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Altres temes d'anàlisi numèrica</span> </div> </a> <ul id="toc-Altres_temes_d'anàlisi_numèrica-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referències" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referències"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Referències</span> </div> </a> <ul id="toc-Referències-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enllaços_externs" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enllaços_externs"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Enllaços externs</span> </div> </a> <ul id="toc-Enllaços_externs-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contingut" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Commuta la taula de continguts." > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Commuta la taula de continguts.</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Anàlisi numèrica</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Vés a un article en una altra llengua. Disponible en 88 llengües" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-88" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">88 llengües</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Numeriese_analise" title="Numeriese analise - afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Numeriese analise" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik - alemany suís" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Numerische Mathematik" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alemany suís" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Anal%C3%ADs_numerica" title="Analís numerica - aragonès" lang="an" hreflang="an" data-title="Analís numerica" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonès" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D9%8A" title="تحليل عددي - àrab" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تحليل عددي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="àrab" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%BE%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%B7%E0%A6%A3" title="সাংখ্যিক বিশ্লেষণ - assamès" lang="as" hreflang="as" data-title="সাংখ্যিক বিশ্লেষণ" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="assamès" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Anal%C3%ADs_numb%C3%A9ricu" title="Analís numbéricu - asturià" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Analís numbéricu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturià" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C6%8Fd%C9%99di_analiz" title="Ədədi analiz - azerbaidjanès" lang="az" hreflang="az" data-title="Ədədi analiz" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaidjanès" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D2%BA%D0%B0%D0%BD%D0%BB%D1%8B_%D1%8B%D1%81%D1%83%D0%BB%D0%B4%D0%B0%D1%80" title="Һанлы ысулдар - baixkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Һанлы ысулдар" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baixkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BA%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%B4%D1%8B" title="Лікавыя метады - belarús" lang="be" hreflang="be" data-title="Лікавыя метады" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="belarús" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BA%D0%B0%D0%B2%D1%8B_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Лікавы аналіз - Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Лікавы аналіз" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Числен анализ - búlgar" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Числен анализ" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgar" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%BE%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%B7%E0%A6%A3" title="সাংখ্যিক বিশ্লেষণ - bengalí" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সাংখ্যিক বিশ্লেষণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Numeri%C4%8Dka_analiza" title="Numerička analiza - bosnià" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Numerička analiza" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnià" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%B4%DB%8C%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C%DB%8C_%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95%DB%8C%DB%8C" title="شیکاریی ژمارەیی - kurd central" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="شیکاریی ژمارەیی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurd central" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Numerick%C3%A1_matematika" title="Numerická matematika - txec" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Numerická matematika" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="txec" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Dadansoddiad_rhifiadol" title="Dadansoddiad rhifiadol - gal·lès" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Dadansoddiad rhifiadol" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gal·lès" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Numerisk_analyse" title="Numerisk analyse - danès" lang="da" hreflang="da" data-title="Numerisk analyse" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danès" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik - alemany" lang="de" hreflang="de" data-title="Numerische Mathematik" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemany" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%B7%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7" title="Αριθμητική ανάλυση - grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Αριθμητική ανάλυση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis" title="Numerical analysis - anglès" lang="en" hreflang="en" data-title="Numerical analysis" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglès" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Cifereca_analitiko" title="Cifereca analitiko - esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Cifereca analitiko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico" title="Análisis numérico - espanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Análisis numérico" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Arvutusmatemaatika" title="Arvutusmatemaatika - estonià" lang="et" hreflang="et" data-title="Arvutusmatemaatika" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonià" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zenbakizko_analisi" title="Zenbakizko analisi - basc" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbakizko analisi" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basc" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A2%D9%86%D8%A7%D9%84%DB%8C%D8%B2_%D8%B9%D8%AF%D8%AF%DB%8C" title="آنالیز عددی - persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="آنالیز عددی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Numeerinen_analyysi" title="Numeerinen analyysi - finès" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Numeerinen analyysi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finès" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_num%C3%A9rique" title="Analyse numérique - francès" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Analyse numérique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francès" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Numeerisk_matematiik" title="Numeerisk matematiik - frisó septentrional" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Numeerisk matematiik" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="frisó septentrional" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Anail%C3%ADs_uimhri%C3%BAil" title="Anailís uimhriúil - irlandès" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Anailís uimhriúil" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandès" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica - gallec" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Análise numérica" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallec" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="אנליזה נומרית - hebreu" lang="he" hreflang="he" data-title="אנליזה נומרית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A4%95_%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%B6%E0%A5%8D%E0%A4%B2%E0%A5%87%E0%A4%B7%E0%A4%A3" title="संख्यात्मक विश्लेषण - hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="संख्यात्मक विश्लेषण" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis" title="Numerical analysis - hindi de Fiji" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Numerical analysis" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi de Fiji" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Numeri%C4%8Dka_analiza" title="Numerička analiza - croat" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Numerička analiza" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croat" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Numerikus_anal%C3%ADzis" title="Numerikus analízis - hongarès" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Numerikus analízis" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongarès" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B4%D5%A5%D5%A9%D5%B8%D5%A4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Թվային մեթոդներ - armeni" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Թվային մեթոդներ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armeni" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_numerik" title="Analisis numerik - indonesi" lang="id" hreflang="id" data-title="Analisis numerik" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesi" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/T%C3%B6luleg_greining" title="Töluleg greining - islandès" lang="is" hreflang="is" data-title="Töluleg greining" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandès" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_numerica" title="Analisi numerica - italià" lang="it" hreflang="it" data-title="Analisi numerica" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italià" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="数値解析 - japonès" lang="ja" hreflang="ja" data-title="数値解析" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonès" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98%E1%83%97%E1%83%98_%E1%83%90%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%98%E1%83%96%E1%83%98" title="რიცხვითი ანალიზი - georgià" lang="ka" hreflang="ka" data-title="რიცხვითი ანალიზი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgià" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D1%81%D0%B5%D0%BF%D1%82%D0%B5%D1%83_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%81%D1%8B" title="Есептеу математикасы - kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Есептеу математикасы" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%98%EC%B9%98%ED%95%B4%EC%84%9D%ED%95%99" title="수치해석학 - coreà" lang="ko" hreflang="ko" data-title="수치해석학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreà" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Analysis_numerica" title="Analysis numerica - llatí" lang="la" hreflang="la" data-title="Analysis numerica" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="llatí" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Numeresch_Mathematik" title="Numeresch Mathematik - luxemburguès" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Numeresch Mathematik" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luxemburguès" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Skai%C4%8Diavimo_metodai" title="Skaičiavimo metodai - lituà" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Skaičiavimo metodai" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituà" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Skait%C4%BCo%C5%A1anas_matem%C4%81tika" title="Skaitļošanas matemātika - letó" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Skaitļošanas matemātika" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letó" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%BE%D1%98%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0" title="Бројчена анализа - macedoni" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Бројчена анализа" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoni" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%BE%E0%B4%B5%E0%B4%BF%E0%B4%B6%E0%B4%95%E0%B4%B2%E0%B4%A8%E0%B4%82" title="സംഖ്യാവിശകലനം - malaiàlam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സംഖ്യാവിശകലനം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malaiàlam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BE%D0%BD_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Тоон анализ - mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Тоон анализ" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Analisis_berangka" title="Analisis berangka - malai" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Analisis berangka" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malai" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Numerieke_wiskunde" title="Numerieke wiskunde - neerlandès" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Numerieke wiskunde" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandès" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Numerisk_analyse" title="Numerisk analyse - noruec nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Numerisk analyse" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruec nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Numerisk_analyse" title="Numerisk analyse - noruec bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Numerisk analyse" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruec bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Analisi_numerica" title="Analisi numerica - occità" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Analisi numerica" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occità" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%85%E0%A9%B0%E0%A8%95%E0%A9%80_%E0%A8%B5%E0%A8%BF%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A8%B2%E0%A9%87%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A8%A3" title="ਅੰਕੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ - panjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਅੰਕੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="panjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Analiza_numeryczna" title="Analiza numeryczna - polonès" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Analiza numeryczna" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonès" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D9%85%D8%A8%D8%B1%DB%8C_%D8%A7%D9%86%DB%8C%D9%84%DB%8C%D8%B3%D8%B2" title="نمبری انیلیسز - Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="نمبری انیلیسز" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica - portuguès" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Análise numérica" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portuguès" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Analiz%C4%83_numeric%C4%83" title="Analiză numerică - romanès" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Analiză numerică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romanès" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B" title="Численные методы - rus" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Численные методы" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rus" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sc mw-list-item"><a href="https://sc.wikipedia.org/wiki/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica" title="Anàlisi numèrica - sard" lang="sc" hreflang="sc" data-title="Anàlisi numèrica" data-language-autonym="Sardu" data-language-local-name="sard" class="interlanguage-link-target"><span>Sardu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis" title="Numerical analysis - escocès" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Numerical analysis" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="escocès" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Numeri%C4%8Dka_analiza" title="Numerička analiza - serbocroat" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Numerička analiza" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroat" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B7%83%E0%B6%82%E0%B6%9B%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B6%B8%E0%B6%BA_%E0%B7%80%E0%B7%92%E0%B7%81%E0%B7%8A%E0%B6%BD%E0%B7%9A%E0%B7%82%E0%B6%AB%E0%B6%BA" title="සංඛ්‍යාමය විශ්ලේෂණය - singalès" lang="si" hreflang="si" data-title="සංඛ්‍යාමය විශ්ලේෂණය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="singalès" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis" title="Numerical analysis - Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Numerical analysis" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Numerick%C3%A1_matematika" title="Numerická matematika - eslovac" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Numerická matematika" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovac" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Numeri%C4%8Dna_matematika" title="Numerična matematika - eslovè" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Numerična matematika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="eslovè" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Analiza_numerike" title="Analiza numerike - albanès" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Analiza numerike" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanès" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%83%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0" title="Нумеричка анализа - serbi" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Нумеричка анализа" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbi" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Analisis_numeris" title="Analisis numeris - sondanès" lang="su" hreflang="su" data-title="Analisis numeris" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sondanès" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Numerisk_analys" title="Numerisk analys - suec" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Numerisk analys" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suec" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Uchambuzi_namba" title="Uchambuzi namba - suahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Uchambuzi namba" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D_%E0%AE%AA%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%B2%E0%AF%8D" title="எண்சார் பகுப்பியல் - tàmil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="எண்சார் பகுப்பியல்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tàmil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82" title="การวิเคราะห์เชิงตัวเลข - tai" lang="th" hreflang="th" data-title="การวิเคราะห์เชิงตัวเลข" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tai" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pagsusuring_pambilang" title="Pagsusuring pambilang - tagal" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pagsusuring pambilang" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagal" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Say%C4%B1sal_analiz" title="Sayısal analiz - turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Sayısal analiz" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tum mw-list-item"><a href="https://tum.wikipedia.org/wiki/Kusanthula_Vipendero" title="Kusanthula Vipendero - tumbuka" lang="tum" hreflang="tum" data-title="Kusanthula Vipendero" data-language-autonym="ChiTumbuka" data-language-local-name="tumbuka" class="interlanguage-link-target"><span>ChiTumbuka</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8" title="Чисельні методи - ucraïnès" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Чисельні методи" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraïnès" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF%DB%8C_%D8%AA%D8%AD%D9%84%DB%8C%D9%84" title="عددی تحلیل - urdú" lang="ur" hreflang="ur" data-title="عددی تحلیل" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdú" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Hisoblash_matematikasi" title="Hisoblash matematikasi - uzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Hisoblash matematikasi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_s%E1%BB%91" title="Giải tích số - vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Giải tích số" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Ihapnon_nga_analisis" title="Ihapnon nga analisis - waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Ihapnon nga analisis" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E6%9E%90" title="数值分析 - xinès wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="数值分析" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="xinès wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%A9%D7%A2%D7%A8_%D7%90%D7%A0%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%96" title="נומערישער אנאליז - ídix" lang="yi" hreflang="yi" data-title="נומערישער אנאליז" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="ídix" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E6%9E%90" title="数值分析 - xinès" lang="zh" hreflang="zh" data-title="数值分析" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="xinès" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%B2%CD%98-ta%CC%8Dt_k%C3%A1i-sek" title="Sò͘-ta̍t kái-sek - xinès min del sud" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Sò͘-ta̍t kái-sek" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="xinès min del sud" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B8%E5%80%BC%E5%88%86%E6%9E%90" title="數值分析 - cantonès" lang="yue" hreflang="yue" data-title="數值分析" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonès" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11216#sitelinks-wikipedia" title="Modifica enllaços interlingües" class="wbc-editpage">Modifica els enllaços</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espais de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica" title="Vegeu el contingut de la pàgina [c]" accesskey="c"><span>Pàgina</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussi%C3%B3:An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica" rel="discussion" title="Discussió sobre el contingut d'aquesta pàgina [t]" accesskey="t"><span>Discussió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Canvia la variant de llengua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">català</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistes"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=history" title="Versions antigues d'aquesta pàgina [h]" accesskey="h"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eines</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eines</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Més opcions" > <div class="vector-menu-heading"> Accions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=history"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Enlla%C3%A7os/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica" title="Una llista de totes les pàgines wiki que enllacen amb aquesta [j]" accesskey="j"><span>Què hi enllaça</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Seguiment/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica" rel="nofollow" title="Canvis recents a pàgines enllaçades des d'aquesta pàgina [k]" accesskey="k"><span>Canvis relacionats</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A0gines_especials" title="Llista totes les pàgines especials [q]" accesskey="q"><span>Pàgines especials</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&oldid=33790661" title="Enllaç permanent a aquesta revisió de la pàgina"><span>Enllaç permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=info" title="Més informació sobre aquesta pàgina"><span>Informació de la pàgina</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Citau&page=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&id=33790661&wpFormIdentifier=titleform" title="Informació sobre com citar aquesta pàgina"><span>Citau aquest article</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FAn%25C3%25A0lisi_num%25C3%25A8rica"><span>Obtén una URL abreujada</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FAn%25C3%25A0lisi_num%25C3%25A8rica"><span>Descarrega el codi QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimeix/exporta </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Llibre&bookcmd=book_creator&referer=An%C3%A0lisi+num%C3%A8rica"><span>Crea un llibre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=show-download-screen"><span>Baixa com a PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&printable=yes" title="Versió per a impressió d'aquesta pàgina [p]" accesskey="p"><span>Versió per a impressora</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En altres projectes </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Numerical_analysis" hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11216" title="Enllaç a l'element del repositori de dades connectat [g]" accesskey="g"><span>Element a Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aparença</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">amaga</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-ind-100" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Llista_dels_1000_articles_fonamentals" title="Els 1.000 fonamentals de la Viquipèdia"><img alt="Els 1.000 fonamentals de la Viquipèdia" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/30px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png" decoding="async" width="30" height="36" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/45px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/60px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png 2x" data-file-width="2408" data-file-height="2896" /></a></span></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ca" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Ybc7289-bw.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Ybc7289-bw.jpg/220px-Ybc7289-bw.jpg" decoding="async" width="220" height="205" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Ybc7289-bw.jpg/330px-Ybc7289-bw.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Ybc7289-bw.jpg 2x" data-file-width="338" data-file-height="315" /></a><figcaption>Tauleta d'argila babilònica Ybc 7289 (circa. 1800-1600 A.d.C.) amb anotacions. L'aproximació de l'<a href="/wiki/Arrel_quadrada_de_2" title="Arrel quadrada de 2">arrel quadrada de 2</a> són quatre xifres <a href="/wiki/Sistema_sexagesimal" title="Sistema sexagesimal">sexagesimals</a>, el seu equivalent en xifres <a href="/wiki/Nombre_decimal" title="Nombre decimal">decimals</a> és: 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60<sup>3</sup> = 1.41421296.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Imatge per Bill Casselman.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></figcaption></figure> <p>L'<b>anàlisi numèrica</b> o <b>càlcul numèric</b> és la branca de les <a href="/wiki/Matem%C3%A0tiques" title="Matemàtiques">matemàtiques</a> que s'encarrega de l'estudi i disseny d'<a href="/wiki/Algorismes" class="mw-redirect" title="Algorismes">algorismes</a> per obtenir solucions numèriques aproximades als problemes de <a href="/wiki/Funci%C3%B3_cont%C3%ADnua" title="Funció contínua">matemàtica contínua</a>. </p><p>A diferència de la <a href="/wiki/Matem%C3%A0tica_discreta" title="Matemàtica discreta">matemàtica discreta</a> els problemes de matemàtica contínua, en general, no admeten una solució numèrica exacta. Per exemple, per expressar numèricament la longitud de la diagonal d'un quadrat que tingui una aresta de llargada unitat requeriria infinits nombres decimals. Per tant, en moltes aplicacions pràctiques, cal treballar amb una aproximació prou exacta. </p><p>Forma part de l'anàlisi numèrica l'estudi de l'eficiència dels algorismes que obtenen aquestes solucions aproximades i de la magnitud dels errors que es comenten. Tracta de determinar els mètodes per garantir que els errors estaran fitats dins de magnituds conegudes i acceptables per les aplicacions que els fan servir. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Història_[cal_citació]"><span id="Hist.C3.B2ria_.5Bcal_citaci.C3.B3.5D"></span>Història <sup title="El text on hi ha aquest avís necessita una citació." class="noprint"><span class="noprint" style="color:blue;">[<a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Citau_les_fonts" title="Viquipèdia:Citau les fonts"><i>cal citació</i></a>]</span></sup></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=1" title="Modifica la secció: Història [cal citació]"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'anàlisi numèrica precedeix la invenció dels ordinadors moderns en molts segles. La <a href="/w/index.php?title=Interpolaci%C3%B3_lineal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interpolació lineal (encara no existeix)">Interpolació lineal</a> es feia servir fa més de 2000 anys. Molts grans matemàtics del passat es varen preocupar per l'anàlisi numèrica, com és obvi dels noms d'algorismes importants com <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Newton" title="Mètode de Newton">mètode de Newton</a>, <a href="/wiki/Polinomi_de_Lagrange" class="mw-redirect" title="Polinomi de Lagrange">interpolació polinòmica de Lagrange</a>, <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_reducci%C3%B3_de_Gauss" title="Mètode de reducció de Gauss">mètode de reducció de Gauss</a>, o <a href="/wiki/M%C3%A8tode_d%27Euler" title="Mètode d'Euler">mètode d'Euler</a>. </p><p>Per facilitar els càlculs a mà, es produïen voluminosos llibres amb fórmules i taules de dades emprats com punts d'interpolació i coeficients de funcions. Utilitzant aquestes taules, sovint compilades per a 16 posicions decimals o més en algunes funcions, es podrien buscar valors per introduir a les fórmules donades i aconseguir molt bones estimacions numèriques d'algunes funcions. El treball clàssic en aquest camp és la publicació <a href="/wiki/NIST" class="mw-redirect" title="NIST">NIST</a> editada per <a href="/w/index.php?title=Abramowitz_and_Stegun&action=edit&redlink=1" class="new" title="Abramowitz and Stegun (encara no existeix)">Abramowitz and Stegun</a>, un llibre de més de 1000 pàgines amb un nombre molt gran de fórmules i funcions emprades habitualment i els seus valors a molts punts. Els valors de funció ja no són gaire útils quan es té un ordinador disponible, però la gran llista de fórmules encara pot ser molt pràctica. </p><p>La <a href="/wiki/Hist%C3%B2ria_dels_ordinadors" title="Història dels ordinadors">calculadora mecànica</a> també es va desenvolupar com a eina per facilitar el càlcul manual. Aquestes calculadores evolucionaren a ordinadors electrònics durant els anys 1940, i es trobava llavors que aquests ordinadors eren també útils per a propòsits administratius. Però la invenció de l'ordinador també influïa al camp d'anàlisi numèrica, donat que ara es podrien fer càlculs més llargs i més complicats. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Conceptes_generals_[cal_citació]"><span id="Conceptes_generals_.5Bcal_citaci.C3.B3.5D"></span>Conceptes generals <sup title="El text on hi ha aquest avís necessita una citació." class="noprint"><span class="noprint" style="color:blue;">[<a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Citau_les_fonts" title="Viquipèdia:Citau les fonts"><i>cal citació</i></a>]</span></sup></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=2" title="Modifica la secció: Conceptes generals [cal citació]"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable" style="float: right; width: 250px; margin-left: 1em;"> <tbody><tr> <td> <p><b>Mètodes directes vs mètodes iteratius</b> </p><p>Considereu el problema de resoldre </p> <dl><dd>3 <i>x</i> <sup>3</sup>+4=28</dd></dl> <p>per a la quantitat desconeguda <i>x</i>. </p> <table style="margin:auto"> <caption>Mètode Directe </caption> <tbody><tr> <td></td> <td>3 <i>x</i> <sup>3</sup> + 4 = 28. </td></tr> <tr> <td><i>Restar 4</i></td> <td>3 <i>x</i> <sup>3</sup> = 24. </td></tr> <tr> <td><i>Dividir entre 3</i></td> <td><i>x</i> <sup>3</sup> = 8. </td></tr> <tr> <td><i>Calcular l'arrel cúbica</i></td> <td><i>x</i> = 2. </td></tr></tbody></table> <p>Per al mètode iteratiu, aplicar el <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_de_bisecci%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode de bisecció (encara no existeix)">mètode de bisecció</a> a <i>f</i> (<i>x</i>) = 3 <i>x</i> <sup>3</sup> - 24. Els valors inicials són <i>a</i> = 0, <i>b</i> = 3, <i>f</i> (<i>a</i>) = -24, <i>f</i> (<i>b</i>) = 57. </p> <table style="margin:auto"> <caption>Mètode Iteratiu </caption> <tbody><tr> <th><i>a</i></th> <th><i>b</i></th> <th>mig</th> <th><i>f</i> (mig) </th></tr> <tr> <td>0</td> <td>3</td> <td>1.5</td> <td>-13.875 </td></tr> <tr> <td>1.5</td> <td>3</td> <td>2.25</td> <td>10.17... </td></tr> <tr> <td>1.5</td> <td>2.25</td> <td>1.875</td> <td>-4.22... </td></tr> <tr> <td>1.875</td> <td>2.25</td> <td>2.0625</td> <td>2.32... </td></tr></tbody></table> <p>Es conclou a partir d'aquesta taula que la solució és entre 1.875 i 2.0625. L'algorisme podria tornar qualsevol nombre en aquest interval amb un error de menys de 0.2. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integració_de_Discretització_i_numèrica_[cal_citació]"><span id="Integraci.C3.B3_de_Discretitzaci.C3.B3_i_num.C3.A8rica_.5Bcal_citaci.C3.B3.5D"></span>Integració de Discretització i numèrica <sup title="El text on hi ha aquest avís necessita una citació." class="noprint"><span class="noprint" style="color:blue;">[<a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Citau_les_fonts" title="Viquipèdia:Citau les fonts"><i>cal citació</i></a>]</span></sup></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=3" title="Modifica la secció: Integració de Discretització i numèrica [cal citació]"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Schumacher_(Ferrari)_in_practice_at_USGP_2005.jpg" class="mw-file-description" title="Cursa"><img alt="Cursa" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Schumacher_%28Ferrari%29_in_practice_at_USGP_2005.jpg/125px-Schumacher_%28Ferrari%29_in_practice_at_USGP_2005.jpg" decoding="async" width="125" height="49" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Schumacher_%28Ferrari%29_in_practice_at_USGP_2005.jpg/188px-Schumacher_%28Ferrari%29_in_practice_at_USGP_2005.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Schumacher_%28Ferrari%29_in_practice_at_USGP_2005.jpg/250px-Schumacher_%28Ferrari%29_in_practice_at_USGP_2005.jpg 2x" data-file-width="1798" data-file-height="700" /></a></span> En una cursa de dues hores, s'ha mesurat la velocitat del cotxe en tres instants i s'han enregistrat a la taula següent. </p> <table style="margin:auto"> <tbody><tr> <th>Temps </th> <td>0:20</td> <td>1:00</td> <td>1:40 </td></tr> <tr> <th> km/h </th> <td>140</td> <td>150</td> <td>180 </td></tr></tbody></table> <p>Una <b>discretització</b> seria dir que la velocitat del cotxe era constant des de 0:00 a 0:40, llavors des de les 0:40 fins a 1:20 i finalment de 1:20 a 2:00. Per exemple, la distància total viatjada en els primers 40 minuts és aproximadament (2/3 h × 140 km/h)=93.3 km. Això permetria calcular la distància total viatjada com 93.3 km + 100 km + 120 km = 313.3 km, que és un exemple de <b><a href="/wiki/Integraci%C3%B3_num%C3%A8rica" title="Integració numèrica">integració numèrica</a></b> (vegeu més avall) es fa servir un <a href="/wiki/Sumatori_de_Riemann" title="Sumatori de Riemann">sumatori de Riemann</a>, perquè el desplaçament és la <a href="/wiki/Integraci%C3%B3" title="Integració">integral</a> de la velocitat. </p><p><b>Problema mal condicionat</b>: S'agafa la funció <i>f</i> (<i>x</i>) = 1/(<i>x</i> − 1). S'observa que <i>f</i>(1.1) = 10 i <i>f</i>(1.001) = 1000: un canvi en <i>x</i> de menys de 0.1 vegades porta a un canvi en <i>f</i>(<i>x</i>) de gairebé 1000. Avaluar <i>f</i>(<i>x</i>) prop de <i>x</i> = 1 és un problema mal condicionat. </p><p><b>Problema ben condicionat</b>: En canvi la funció <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4850536e7a37db22aacbc552b03f195a3eceaa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.782ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}"></span> és contínua i per tan avaluar-la és ben condicionat, com a mínim si <i>x</i> no està a la vora de zero. </p> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algorismes_directes_i_algorismes_iteratius_[cal_citació]"><span id="Algorismes_directes_i_algorismes_iteratius_.5Bcal_citaci.C3.B3.5D"></span>Algorismes directes i algorismes iteratius <sup title="El text on hi ha aquest avís necessita una citació." class="noprint"><span class="noprint" style="color:blue;">[<a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Citau_les_fonts" title="Viquipèdia:Citau les fonts"><i>cal citació</i></a>]</span></sup></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=4" title="Modifica la secció: Algorismes directes i algorismes iteratius [cal citació]"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r30997230">.mw-parser-output .hatnote{font-style:italic}.mw-parser-output div.hatnote{padding-left:1.6em;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}.mw-parser-output .hatnote+link+.hatnote{margin-top:-0.5em}</style><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Algorisme" title="Algorisme">Algorisme</a></div> <p>Els <a href="/wiki/Algorisme" title="Algorisme">algorismes</a> directes calculen la solució a un problema en un nombre finit de passos. Aquests mètodes donarien la resposta precisa si es realitzaven en <a href="/w/index.php?title=Aritm%C3%A8tica_de_precisi%C3%B3_infinita&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aritmètica de precisió infinita (encara no existeix)">aritmètica de precisió infinita</a>. Exemples inclouen el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_reducci%C3%B3_de_Gauss" title="Mètode de reducció de Gauss">mètode de reducció de Gauss</a>, l'<a href="/w/index.php?title=Algorisme_QR&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algorisme QR (encara no existeix)">algorisme QR</a> de factorització per resoldre <a href="/wiki/Sistema_d%27equacions_lineals" title="Sistema d'equacions lineals">sistemes d'equacions lineals</a>, i el <a href="/wiki/Programaci%C3%B3_lineal" title="Programació lineal">mètode símplex</a> en <a href="/wiki/Programaci%C3%B3_lineal" title="Programació lineal">programació lineal</a>. A la pràctica, es fa servir <a href="/wiki/Coma_flotant" title="Coma flotant">precisió finita</a> i el resultat és una aproximació de la veritable solució (suposant <a href="/wiki/Estabilitat_num%C3%A8rica" title="Estabilitat numèrica">estabilitat numèrica</a>). </p><p>Per per contrast als algorismes directes, els <a href="/w/index.php?title=Algorisme_iteratiu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algorisme iteratiu (encara no existeix)">algorismes iteratius</a> no pretenen acabar en un cert nombre de passos. Començant amb un valor inicial aproximat de la solució, els mètodes iteratius formen successives aproximacions que <a href="/wiki/Successi%C3%B3_matem%C3%A0tica" class="mw-redirect" title="Successió matemàtica">convergeixen</a> a la solució exacta només en el límit. S'especifica un <a href="/wiki/Test_de_converg%C3%A8ncia" title="Test de convergència">test de convergència</a> per decidir quan s'ha trobat una solució suficientment acurada. Fins i tot fent servir aritmètica de precisió infinita, aquests mètodes (en general) no arribarien mai a la solució exacta en un nombre finit de passos. Els exemples inclouen el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Newton" title="Mètode de Newton">mètode de Newton</a>, el <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_de_bipartici%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode de bipartició (encara no existeix)">mètode de bipartició</a> i la <a href="/w/index.php?title=Iteraci%C3%B3_de_Jacobi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Iteració de Jacobi (encara no existeix)">iteració de Jacobi</a>. En l'àlgebra de càlcul de matrius, en general els mètodes iteratius es necessiten per a problemes grans. </p><p>Els algorismes iteratius són més comuns que els directes en l'anàlisi numèrica. Alguns algorismes són directes en principi però s'utilitzen normalment com si no ho fossin, p. ex. <a href="/w/index.php?title=GMRES&action=edit&redlink=1" class="new" title="GMRES (encara no existeix)">GMRES</a> i el <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_del_gradient_Conjugat&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode del gradient Conjugat (encara no existeix)">mètode del gradient Conjugat</a>. Per a aquests algorismes el nombre de passos necessitats per obtenir la solució exacta és tan gran que s'accepta una aproximació de la mateixa manera com es fa pels mètodes iteratius. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Discretització"><span id="Discretitzaci.C3.B3"></span>Discretització</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=5" title="Modifica la secció: Discretització"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Els problemes continus s'han de substituir de vegades per un problema discret la solució del qual se sap que aproxima la del problema continu; aquest procés s'anomena <a href="/wiki/Discretitzaci%C3%B3" title="Discretització">discretització</a>. Per exemple, la solució d'una <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial" title="Equació diferencial">equació diferencial</a> és una funció. Aquesta funció s'ha de representar per una quantitat finita de dades, per exemple pel seu valor en un nombre finit de punts al seu domini, encara que aquest domini sigui continu en tingui infinits de punts. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arrodoniment,_truncament_i_error_de_discretització"><span id="Arrodoniment.2C_truncament_i_error_de_discretitzaci.C3.B3"></span>Arrodoniment, truncament i error de discretització</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=6" title="Modifica la secció: Arrodoniment, truncament i error de discretització"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Els <a href="/wiki/Error_d%27arrodoniment" title="Error d'arrodoniment">errors d'arrodoniment</a> sorgeixen perquè és impossible representar tots els <a href="/wiki/Nombres_reals" class="mw-redirect" title="Nombres reals">nombres reals</a> exactament en una màquina amb memòria finita (que és el que són tots els <a href="/w/index.php?title=Ordinador_digitals&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ordinador digitals (encara no existeix)">ordinador digitals</a> pràctics). </p><p>Els errors de <a href="/wiki/Truncament" title="Truncament">truncament</a> es cometen quan s'acaba un mètode iteratiu o s'aproxima un procediment matemàtic, i la solució aproximada difereix de la solució exacta. De manera similar, la discretizació provoca un <a href="/w/index.php?title=Error_de_discretitzaci%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Error de discretització (encara no existeix)">error de discretització</a> perquè la solució del problema discret no coincideix amb la solució del problema continu. Per exemple, en la iteració de l'algorisme del costat per calcular la solució de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3x^{3}+4=28}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>28</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3x^{3}+4=28}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb27471bb2fc45e4efb1852e3563fe0871d8c882" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.973ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3x^{3}+4=28}"></span>, després de 10 iteracions aproximadament, es conclou que l'arrel és aproximadament 1,99 (per exemple). Per això es té un error de truncament de 0,01. </p><p>Finalment, un altre concepte paral·lel a l'anàlisi numèrica és el de la representació, tant dels nombres com d'altres conceptes matemàtics com els <a href="/wiki/Vector_(matem%C3%A0tiques)" title="Vector (matemàtiques)">vectors</a>, <a href="/wiki/Polinomis" class="mw-redirect" title="Polinomis">polinomis</a>, etc. Per exemple, per a la representació en ordinadors de <a href="/wiki/Nombres_reals" class="mw-redirect" title="Nombres reals">nombres reals</a>, s'utilitza el concepte de <a href="/wiki/Coma_flotant" title="Coma flotant">coma flotant</a> que dista molt de l'emprat per la matemàtica convencional. </p><p>El fet de representar els nombres reals emprant nombres de coma flotant s'ha de tenir en compte en el mateix disseny dels algorismes perquè en nombres de coma flotant no es compleixen les lleis clàssiques de l'aritmètica com per exemple la propietat associativa. Així, en general, (a + b) + c ≠ a + (b +c) perquè l'error d'arrodoniment depèn de la magnitud dels nombres que s'estan sumant. Per exemple si es fan servir nombres amb una única xifra de mantissa i una única xifra decimal: </p><p>(5,2 * 10² + 4 * 10<sup>-1</sup>) + 4 * 10<sup>-1</sup> = (5,2 * 10²) + 4 * 10<sup>-1</sup> = 5,2 * 10² </p><p>Perquè en fer cada suma dona 52 + 0,4 = 52,4 però en arrodonir queda 52. </p><p>Mentre que si es fa: </p><p>5,2 * 10² + (4 * 10<sup>-1</sup> + 4 * 10<sup>-1</sup>) = 5,2 * 10² + (8 * 10<sup>-1</sup>) = 5,3 * 10² </p><p>Perquè en sumar 0,4 + 0,4 dona 0,8 i llavors en fer 52 + 0,8 dona 52,8 que s'arrodoneix a 53. En el primer cas l'error és de 0,8 mentre que en el segon és de 0,2 (quatre vegades més petit). </p><p>Una vegada que es genera un error, es propagarà generalment durant el càlcul. Per exemple en multiplicar un nombre per un factor l'error s'amplificarà o en restar dos nombres pot resultar que només quedi l'error. Per exemple si <i>a</i> representa la magnitud exacta i <i>ε</i> i <i>δ</i> representen errors: </p><p>k*(a + ε) = k*a + k*ε </p><p>(a + ε) - (a + δ) = ε - δ </p><p>En el cas que es restin dos nombres diferents el resultat no és que quedi només la diferència d'errors però el mòdul de la diferència dels verdaders valors pot fer-se molt petit mentre que els errors poden ser de signes contraris i augmentar. Llavors el pes relatiu de l'error augmenta. Aquest fenomen es coneix amb el nom de <i>cancel·lació catastròfica</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Estabilitat_numèrica_i_problemes_ben_condicionats"><span id="Estabilitat_num.C3.A8rica_i_problemes_ben_condicionats"></span>Estabilitat numèrica i problemes ben condicionats</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=7" title="Modifica la secció: Estabilitat numèrica i problemes ben condicionats"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A partir d'aquí, apareix un concepte addicional, el d'<a href="/wiki/Error_d%27aproximaci%C3%B3" title="Error d'aproximació">error</a>. Definit l'error, juntament amb l'error admissible, es passa al concepte d'<a href="/wiki/Estabilitat_num%C3%A8rica" title="Estabilitat numèrica">estabilitat</a> dels algorismes. Moltes de les operacions matemàtiques es poden efectuar a través de la generació d'una sèrie de nombres que al seu torn alimenten de nou l'algorisme (<i><a href="/wiki/Feedback" class="mw-redirect" title="Feedback">feedback</a></i>). Això proporciona una potència de càlcul i refinament molt important que a mesura que va completant un cicle va arribant a la solució. El problema passa a ser determinar fins quan haurà de continuar amb el cicle, o si fins i tot l'algorisme s'està allunyant de la solució del problema. </p><p>L'<a href="/wiki/Estabilitat_num%C3%A8rica" title="Estabilitat numèrica">estabilitat numèrica</a> és una idea important en l'anàlisi numèrica. Un algorisme s'anomena <i>numèricament estable</i> si un error, sigui quina sigui la seva causa, no creix gaire més durant el càlcul. Això passa si el problema és <i><a href="/w/index.php?title=Problemes_ben_condicionats&action=edit&redlink=1" class="new" title="Problemes ben condicionats (encara no existeix)">ben condicionat</a></i>, el que significa que la solució canvia només en una quantitat petita si les dades de problema es canvien en una quantitat petita. En canvi, si un problema és <i>mal condicionat</i>, llavors qualsevol error petit en les dades acabarà per ser un error gran. </p><p>Tant el problema original com l'algorisme que es fa servir per resoldre aquell problema poden ser <i>ben condicionats</i> i/o <i>mal condicionats</i>, i qualsevol combinació és possible. </p><p>Així un algorisme que resol un problema ben condicionat pot ser o numèricament estable o numèricament inestable. Un art d'anàlisi numèrica és trobar un algorisme estable per resoldre un problema matemàtic ben condicionat. Per exemple, calcular l'arrel quadrada de 2 (que és aproximadament 1.41421) és un problema ben condicionat. Molts algorismes resolen aquest problema començant amb una aproximació inicial <i>x</i><sub>1</sub> a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"></span>, per exemple <i>x</i><sub>1</sub>=1.4, i llavors calculen aproximacions millorades <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, etc. Un mètode d'aquest tipus és el famós <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_babil%C3%B2nic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode babilònic (encara no existeix)">mètode babilònic</a>, que ve donat per <i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub> = <i>x<sub>k</sub></i>/2 + 1/<i>x<sub>k</sub></i>. Un altre mètode iteratiu, s'anomenarà mètode X, ve donat per <i>x</i><sub><i>k</i> + 1</sub> = (<i>x</i><sub><i>k</i></sub>²−2)² + <i>x</i><sub><i>k</i></sub>.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> S'han calculat unes quantes iteracions de cada mètode en forma de taula a davall, amb valors inicicials <i>x</i><sub>1</sub> = 1.4 i <i>x</i><sub>1</sub> = 1.42. </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>Mètode babilonic </th> <th>Mètode babilonic </th> <th>Mètode X </th> <th>Mètode X </th></tr> <tr> <td><i>x</i><sub>1</sub> = 1,4 </td> <td><i>x</i><sub>1</sub> = 1,42 </td> <td><i>x</i><sub>1</sub> = 1,4 </td> <td><i>x</i><sub>1</sub> = 1,42 </td></tr> <tr> <td><i>x</i>₂ = 1,4142857... </td> <td><i>x</i>₂ = 1,41422535... </td> <td><i>x</i>₂ = 1,4016 </td> <td><i>x</i>₂ = 1,42026896 </td></tr> <tr> <td><i>x</i>₃ = 1,414213564... </td> <td><i>x</i>₃ = 1,41421356242... </td> <td><i>x</i>₃ = 1,4028614... </td> <td><i>x</i>₃ = 1,42056... </td></tr> <tr> <td> </td> <td> </td> <td>... </td> <td>... </td></tr> <tr> <td> </td> <td> </td> <td><i>x</i><sub>1000000</sub> = 1,41421... </td> <td><i>x</i><sub>28</sub> = 7280,2284... </td></tr></tbody></table> <p>Observeu que el mètode babilònic convergeix de pressa independentment del valor de partida, mentre que el mètode X convergeix extremadament lent amb el valor de partida 1,4 i divergeix per al valor de partida 1,42. Per això, el mètode babilònic és numèricament estable, mentre que mètode X és numèricament inestable. </p> <dl><dd>L'<b>Estabilitat numèrica</b> es veu afectada pel nombre de dígits significatius que la màquina manté, si es fa servir una màquina que emmagatzema els primers quatre dígits significatius dels nombres en coma flotant, un bon exemple de problemes d'estabilitat numèrica són aquestes dues funcions equivalents:<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})\quad {\text{i}}\quad g(x)={\frac {x}{({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>i</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})\quad {\text{i}}\quad g(x)={\frac {x}{({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4d5fded6c133e3f90c21b120cd84b6eb3d4691" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.695ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})\quad {\text{i}}\quad g(x)={\frac {x}{({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}}}"></span></dd></dl> <dl><dd>si es comparen els resultats de</dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(500)=500({\sqrt {500+1}}-{\sqrt {500}})=500(22.3830-22.3607)=500(0.0223)=11.1500}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>500</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>500</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>500</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>500</mn> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>500</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>22.3830</mn> <mo>−</mo> <mn>22.3607</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>500</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0.0223</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>11.1500</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(500)=500({\sqrt {500+1}}-{\sqrt {500}})=500(22.3830-22.3607)=500(0.0223)=11.1500}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182ecd300ca68e3b726d859903a40596aa6e89fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:84.713ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(500)=500({\sqrt {500+1}}-{\sqrt {500}})=500(22.3830-22.3607)=500(0.0223)=11.1500}"></span></dd></dl> <dl><dd>i</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}g(500)&={\frac {500}{{\sqrt {501}}+{\sqrt {500}}}}\\&={\frac {500}{22.3830+22.3607}}\\&={\frac {500}{44.7437}}=11.1748\end{alignedat}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 0em 0em 0em 0em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>500</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>500</mn> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>501</mn> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>500</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>500</mn> <mrow> <mn>22.3830</mn> <mo>+</mo> <mn>22.3607</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>500</mn> <mn>44.7437</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>11.1748</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}g(500)&={\frac {500}{{\sqrt {501}}+{\sqrt {500}}}}\\&={\frac {500}{22.3830+22.3607}}\\&={\frac {500}{44.7437}}=11.1748\end{alignedat}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968c37da638dc3c991978cf041b1b33a279af12e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.794ex; margin-bottom: -0.21ex; width:29.44ex; height:17.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}g(500)&={\frac {500}{{\sqrt {501}}+{\sqrt {500}}}}\\&={\frac {500}{22.3830+22.3607}}\\&={\frac {500}{44.7437}}=11.1748\end{alignedat}}}"></span></dd></dl> <dl><dd>mirant al dos resultats, s'observa en el primer es produeix el fenomen anomenat <b>cancel·lació catastròfica</b> que té un enorme efecte sobre els resultats, tot i que les dues funcions són equivalents; per veure que són equivalents només cal operar a partir de f(x) i veure que s'arriba a g(x):</dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(x)&=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})\\&=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}){\frac {({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}{({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})}}\\&=x{\frac {(({\sqrt {x+1}})^{2}-({\sqrt {x}})^{2})}{({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}}&={\frac {x}{({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})}}\end{alignedat}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 0em 0em 0em 0em 0em 0em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(x)&=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})\\&=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}){\frac {({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}{({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})}}\\&=x{\frac {(({\sqrt {x+1}})^{2}-({\sqrt {x}})^{2})}{({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}}&={\frac {x}{({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})}}\end{alignedat}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ad9c8217be77acabc5cf21750bef3482d630b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.171ex; width:59.274ex; height:17.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(x)&=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})\\&=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}){\frac {({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}{({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})}}\\&=x{\frac {(({\sqrt {x+1}})^{2}-({\sqrt {x}})^{2})}{({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}})}}&={\frac {x}{({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})}}\end{alignedat}}}"></span></dd></dl> <dl><dd>el valor veritable del resultat és 11.174755...</dd> <dd>que és exactament g(500)=11.1748 després d'arrodonir el resultat a 4 xifres decimals</dd> <dd>ara imagineu que es fan servir desenes de termes com aquestes funcions en un programa, l'error augmentarà mentre es continua executant el programa, llevat que es faci servir la fórmula adequada de les dues funcions cada vegada que s'avalua o f(x), o g(x), l'elecció depèn de la paritat de x.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicacions">Aplicacions</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=8" title="Modifica la secció: Aplicacions"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En general, aquests mètodes s'apliquen quan es necessita un valor numèric com a solució a un problema matemàtic, i els procediments "exactes" o "analítics" (manipulacions algebraiques, teoria d'<a href="/wiki/Equacions_diferencials" class="mw-redirect" title="Equacions diferencials">equacions diferencials</a>, mètodes d'<a href="/wiki/Integraci%C3%B3" title="Integració">integració</a>, etc.) Són incapaços de donar una resposta. A causa d'això, són procediments d'ús freqüent per <a href="/wiki/F%C3%ADsics" class="mw-redirect" title="Físics">físics</a> i <a href="/wiki/Enginyers" class="mw-redirect" title="Enginyers">enginyers</a>, i el desenvolupament s'ha vist afavorit per la necessitat d'aquests d'obtenir solucions, encara que la precisió no sigui completa. Cal recordar que la física experimental, per exemple, mai dona valors exactes sinó <a href="/wiki/Interval_(matem%C3%A0tiques)" title="Interval (matemàtiques)">intervals</a> que engloben la gran majoria de resultats experimentals obtinguts, ja que no és habitual que dues mesures del mateix fenomen donin valors exactament iguals. </p><p>Un altre motiu que ha propiciat l'auge de l'anàlisi numèrica ha estat el desenvolupament dels <a href="/wiki/Ordinadors" class="mw-redirect" title="Ordinadors">ordinadors</a>. L'augment extraordinari de la potència de càlcul ha convertit en possibles i en eficients algorismes que no seria factible realitzar a mà. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Problemes_[cal_citació]"><span id="Problemes_.5Bcal_citaci.C3.B3.5D"></span>Problemes <sup title="El text on hi ha aquest avís necessita una citació." class="noprint"><span class="noprint" style="color:blue;">[<a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Citau_les_fonts" title="Viquipèdia:Citau les fonts"><i>cal citació</i></a>]</span></sup></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=9" title="Modifica la secció: Problemes [cal citació]"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Classificació_segons_la_seva_dimensió"><span id="Classificaci.C3.B3_segons_la_seva_dimensi.C3.B3"></span>Classificació segons la seva dimensió</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=10" title="Modifica la secció: Classificació segons la seva dimensió"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Els problemes d'aquesta disciplina es poden dividir en dos grups fonamentals: </p><p><b>Problemes de dimensió finita</b>: aquells que la resposta són un conjunt finit de nombres, com les <a href="/w/index.php?title=Equacions_algebraiques&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equacions algebraiques (encara no existeix)">equacions algebraiques</a>, els determinants, els problemes de <a href="/wiki/Valors_propis" class="mw-redirect" title="Valors propis">valors propis</a>, etc. </p><p><b>Problemes de dimensió infinita</b>: problemes en els quals la solució o plantejament intervenen elements descrits per una quantitat infinita de nombres, com integració i <a href="/wiki/Derivaci%C3%B3_num%C3%A8rica" title="Derivació numèrica">derivació numèriques</a>, càlcul d'equacions diferencials, <a href="/wiki/Interpolaci%C3%B3" title="Interpolació">interpolació</a>, etc. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Classificació_atenent_la_seva_naturalesa_o_motivació"><span id="Classificaci.C3.B3_atenent_la_seva_naturalesa_o_motivaci.C3.B3"></span>Classificació atenent la seva naturalesa o motivació</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=11" title="Modifica la secció: Classificació atenent la seva naturalesa o motivació"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Així mateix, hi ha una subclassificació d'aquests dos grans apartats en tres categories de problemes, atesa la seva naturalesa o motivació per a emprar el càlcul numèric: </p> <ol><li>Problemes de tal complexitat que no tenen solució analítica.</li> <li>Problemes en els quals hi ha una solució analítica, però aquesta, per complexitat o altres motius, no es pot emprar de forma senzilla a la pràctica.</li> <li>Problemes per als quals existeixen mètodes senzills però que requereixen una quantitat de càlculs excessiva; més gran que la necessària per a un mètode numèric.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Àrees_d'estudi"><span id=".C3.80rees_d.27estudi"></span>Àrees d'estudi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=12" title="Modifica la secció: Àrees d'estudi"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable" style="float: right; width: 250px; clear: right; margin-left: 1em;"> <tbody><tr> <td> <p><b>Interpolació</b>: S'ha observat que la temperatura ha variat de 20º Celsius a la 1:00 fins a 14 graus a les 3:00. Una interpolació lineal d'aquestes dades conclouria que era de 17 graus a les 2:00 i 18.5 graus a la 1:30. </p><p><b>Extrapolació</b>: Si el <a href="/wiki/Producte_interior_brut" title="Producte interior brut">producte interior brut</a> d'un país ha estat creixent una mitjana d'un 5% per any i era de 100.000 milions d'euros el darrer any, es podria extrapolar que serà de 105.000 milions d'euros aquest any. </p><p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Linear-regression.svg" class="mw-file-description" title="Una recta a través de 20 punts"><img alt="Una recta a través de 20 punts" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Linear-regression.svg/100px-Linear-regression.svg.png" decoding="async" width="100" height="80" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Linear-regression.svg/150px-Linear-regression.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Linear-regression.svg/200px-Linear-regression.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="480" /></a></span> </p><p><b>Regressió</b>: En la regressió lineal, donats <i>n</i> punts, es calcula una recta que passa tan a prop com sigui possible als <i>n</i> punts. </p><p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:LemonadeJuly2006.JPG" class="mw-file-description" title="Quant costa un got de llimonada?"><img alt="Quant costa un got de llimonada?" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/LemonadeJuly2006.JPG/100px-LemonadeJuly2006.JPG" decoding="async" width="100" height="107" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/LemonadeJuly2006.JPG/150px-LemonadeJuly2006.JPG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/LemonadeJuly2006.JPG/200px-LemonadeJuly2006.JPG 2x" data-file-width="332" data-file-height="356" /></a></span> </p><p><b>Optimització</b>: Suposant que es ven llimonada en una parada de llimonada, i s'observa que a 1 €, es pot vendre 197 gots de llimonada per dia, i que per a cada augment de 0,01 €, es vendrà un got menys de llimonada per dia. Si es pogués cobrar 1,485 €, es maximitzaria el benefici, però a causa de la restricció d'haver de cobrar un cèntim sencer, el preu de 1,49 € per got produirà els màxims ingressos de $220,52 per dia. </p><p><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Wind-particle.png" class="mw-file-description" title="Direcció del vent en blau, veritable trajectòria en negre, mètode d'Euler en vermell."><img alt="Direcció del vent en blau, veritable trajectòria en negre, mètode d'Euler en vermell." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Wind-particle.png" decoding="async" width="94" height="101" class="mw-file-element" data-file-width="94" data-file-height="101" /></a></span> </p><p><b>Equació diferencial</b>: Si s'engeguen 100 ventiladors bufant aire des d'un extrem de l'habitació cap a l'altre i llavors es deixa caure una ploma al vent, el que passa? La ploma seguirà els corrents d'aire, que poden ser molt complexos. Una aproximació és mesurar la velocitat a la que bufa el vent a prop de la ploma cada segon, i avançar la ploma simulada com si s'estigués movent en línia recta a aquella mateixa velocitat durant un segon, abans de mesurar la velocitat del vent una altra vegada. Això s'anomena el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_d%27Euler" title="Mètode d'Euler">mètode d'Euler</a> per resoldre una equació diferencial ordinària. </p> </td></tr></tbody></table> <p>L'anàlisi numèrica es divideix en diferents disciplines d'acord amb el problema a resoldre. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Càlcul_dels_valors_d'una_funció"><span id="C.C3.A0lcul_dels_valors_d.27una_funci.C3.B3"></span>Càlcul dels valors d'una funció</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=13" title="Modifica la secció: Càlcul dels valors d'una funció"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un dels problemes més senzills és l'avaluació d'una funció en un punt donat. Per polinomis, un dels mètodes més utilitzats és l'<a href="/w/index.php?title=Algorisme_de_Horner&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algorisme de Horner (encara no existeix)">algorisme de Horner</a>, ja que redueix el nombre d'operacions a realitzar. En general, és important estimar i controlar els <a href="/wiki/Error_d%27arrodoniment" title="Error d'arrodoniment">errors d'arrodoniment</a> que es produeixen per l'ús de l'aritmètica de <a href="/wiki/Coma_flotant" title="Coma flotant">coma flotant</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interpolació,_extrapolació_i_regressió"><span id="Interpolaci.C3.B3.2C_extrapolaci.C3.B3_i_regressi.C3.B3"></span>Interpolació, extrapolació i regressió</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=14" title="Modifica la secció: Interpolació, extrapolació i regressió"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Interpolaci%C3%B3" title="Interpolació">interpolació</a> resol el problema següent: donat el valor d'una funció desconeguda en un nombre de punts, quin és el valor de la funció en un punt entre els punts donats? El mètode més senzill és la <a href="/w/index.php?title=Interpolaci%C3%B3_lineal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interpolació lineal (encara no existeix)">interpolació lineal</a>, que assumeix que la funció desconeguda és lineal entre qualsevol parell de punts successius. Aquest mètode pot generalitzar-se a la <a href="/w/index.php?title=Interpolaci%C3%B3_polin%C3%B2mica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interpolació polinòmica (encara no existeix)">interpolació polinòmica</a>, que sol ser més precisa però que pateix l'anomenat <a href="/wiki/Fenomen_de_Runge" title="Fenomen de Runge">fenomen de Runge</a>. Altres mètodes d'interpolació fan servir un altre tipus de funcions interpoladors donant lloc a la interpolació mitjançant <a href="/wiki/Spline" title="Spline">splines</a> i a la <a href="/w/index.php?title=Interpolaci%C3%B3_trigonom%C3%A8trica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interpolació trigonomètrica (encara no existeix)">interpolació trigonomètrica</a>. Altres mètodes d'interpolació utilitzant derivades successives de la funció són mitjançant els <a href="/wiki/Polinomi_de_Taylor" class="mw-redirect" title="Polinomi de Taylor">polinomis de Taylor</a> i l'<a href="/wiki/Aproximant_de_Pad%C3%A9" title="Aproximant de Padé">aproximació de Padé</a>. </p><p>L'<a href="/wiki/Extrapolaci%C3%B3" title="Extrapolació">extrapolació</a> és molt similar a la interpolació, excepte que ara volem trobar el valor de la funció desconeguda en un punt que no està comprès entre els punts donats. </p><p>La <a href="/wiki/Regressi%C3%B3_lineal" title="Regressió lineal">regressió</a> és també similar, però té en compte que les dades són imprecises. Donats alguns punts, i una mesura del valor de la funció en els mateixos (amb un error a causa de la mesura), volem determinar la funció desconeguda. El mètode dels <a href="/wiki/M%C3%ADnims_quadrats" class="mw-redirect" title="Mínims quadrats">mínims quadrats</a> és una forma popular d'aconseguir-ho. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Resolució_d'equacions_i_sistemes_d'equacions"><span id="Resoluci.C3.B3_d.27equacions_i_sistemes_d.27equacions"></span>Resolució d'equacions i sistemes d'equacions</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=15" title="Modifica la secció: Resolució d'equacions i sistemes d'equacions"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un altre problema fonamental és calcular la solució d'una equació o sistema d'equacions donat. Es distingeixen dos casos depenent de si l'equació o sistema d'equacions és o no lineal. Per exemple, l'equació 2x + 5 = 3 és lineal mentre que l'equació 2x² + 5 = 3 no ho és. </p><p>Molt esforç s'ha posat en el desenvolupament de mètodes per a la resolució de sistemes d'<a href="/wiki/Equacions_lineals" class="mw-redirect" title="Equacions lineals">equacions lineals</a>. Mètodes directes, ie, mètodes que utilitzen alguna factorització de la matriu són el mètode d'<a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_reducci%C3%B3_de_Gauss" title="Mètode de reducció de Gauss">eliminació de Gauss</a>, la <a href="/wiki/Descomposici%C3%B3_LU" title="Descomposició LU">descomposició LU</a>, la <a href="/wiki/Descomposici%C3%B3_de_Cholesky" class="mw-redirect" title="Descomposició de Cholesky">descomposició de Cholesky</a> per matrius simètriques (o ermites) definides positives, i la <a href="/wiki/Descomposici%C3%B3_QR" title="Descomposició QR">descomposició QR</a>. <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8todes_iteratius&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètodes iteratius (encara no existeix)">Mètodes iteratius</a> com el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Jacobi" title="Mètode de Jacobi">mètode de Jacobi</a>, el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Gauss-Seidel" title="Mètode de Gauss-Seidel">mètode de Gauss-Seidel</a>, el mètode de les aproximacions successives i el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_del_gradient_conjugat" title="Mètode del gradient conjugat">mètode del gradient conjugat</a> s'utilitzen freqüentment per a grans sistemes. </p><p>En la <a href="/w/index.php?title=Resoluci%C3%B3_num%C3%A8rica_d%27equacions_no_lineals&action=edit&redlink=1" class="new" title="Resolució numèrica d'equacions no lineals (encara no existeix)">resolució numèrica d'equacions no lineals</a> alguns dels mètodes més coneguts són els mètodes de <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_de_bisecci%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode de bisecció (encara no existeix)">bisecció</a>, de la <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_la_secant" title="Mètode de la secant">secant</a> i el de <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_de_regula_falsi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode de regula falsi (encara no existeix)">regula falsi</a>. Si la funció és a més <a href="/wiki/Derivable" class="mw-redirect" title="Derivable">derivable</a> i la derivada es coneix, el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Newton" title="Mètode de Newton">mètode de Newton</a> és molt utilitzat. Aquest mètode és un <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_d%27iteraci%C3%B3_de_punt_fix&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode d'iteració de punt fix (encara no existeix)">mètode d'iteració de punt fix</a>. La <a href="/wiki/Linealitzaci%C3%B3" title="Linealització">linealització</a> és una altra tècnica per a resoldre equacions no lineals. </p><p>Les equacions algebraiques polinomials posseeixen una gran quantitat de mètodes numèrics per enumerar: </p> <ul><li>Mètode de Gräffe (o mètode de Lobachevsky o de Lobachevsky-<a href="/wiki/Germinal_Dandelin" title="Germinal Dandelin">Dandelin</a>-<a href="/wiki/Karl_Heinrich_Gr%C3%A4ffe" title="Karl Heinrich Gräffe">Gräffe</a> o del quadrat de les arrels).</li> <li>Mètode de Lagerre.</li> <li>Mètode de Bairstow (o mètode de Lin-Bairstow).</li> <li>Mètode de Bernoulli.</li> <li>Mètode de Horner.</li> <li><a href="/wiki/Arrel_quadrada_de_2#Mètode_de_Householder" title="Arrel quadrada de 2">Mètode de Householder</a>.</li> <li>Mètode de Newton-Raphson especialitzat per a polinomis.</li> <li>Mètode modificat de Richmond.</li> <li>Mètode de Newton-Horner.</li> <li>Mètode de Birge-Niète.</li> <li>Mètode de Jenkins-Traub.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Descomposició_espectral_i_en_valors_singulars"><span id="Descomposici.C3.B3_espectral_i_en_valors_singulars"></span>Descomposició espectral i en valors singulars</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=16" title="Modifica la secció: Descomposició espectral i en valors singulars"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bastants problemes importants poden ser expressats en termes de <a href="/wiki/Descomposici%C3%B3_espectral" class="mw-redirect" title="Descomposició espectral">descomposició espectral</a> (el càlcul dels <a href="/wiki/Valor_propi,_vector_propi_i_espai_propi" title="Valor propi, vector propi i espai propi">vectors i valors propis</a> d'una matriu) o de <a href="/wiki/Descomposici%C3%B3_en_valors_singulars" title="Descomposició en valors singulars">descomposició en valors singulars</a>. Per exemple, l'<a href="/wiki/An%C3%A0lisi_de_components_principals" title="Anàlisi de components principals">anàlisi de components principals</a> utilitza la descomposició en vectors i valors propis. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Optimització"><span id="Optimitzaci.C3.B3"></span>Optimització</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=17" title="Modifica la secció: Optimització"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Els problemes d'optimització busquen el punt per al qual una funció donada assoleix el seu màxim o mínim. Sovint, el punt també satisfà certa <a href="/wiki/Constricci%C3%B3" title="Constricció">restricció</a>. Exemples de problemes d'optimització són la <a href="/wiki/Programaci%C3%B3_lineal" title="Programació lineal">programació lineal</a> en què tant la funció objectiu com les restriccions són lineals. Un mètode famós de programació lineal és el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_s%C3%ADmplex" title="Mètode símplex">mètode símplex</a>. El mètode dels <a href="/wiki/Multiplicadors_de_Lagrange" title="Multiplicadors de Lagrange">multiplicadors de Lagrange</a> es pot utilitzar per reduir els problemes d'optimització amb restriccions a problemes sense restriccions. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Avaluació_d'integrals"><span id="Avaluaci.C3.B3_d.27integrals"></span>Avaluació d'integrals</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=18" title="Modifica la secció: Avaluació d'integrals"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r30997230"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Integraci%C3%B3_num%C3%A8rica" title="Integració numèrica">Integració numèrica</a></div> <p>La integració numèrica, també coneguda com a quadratura numèrica, busca calcular el valor d'una <a href="/wiki/Integral_definida" class="mw-redirect" title="Integral definida">integral definida</a>. Mètodes populars utilitzen alguna de les <a href="/wiki/F%C3%B3rmules_de_Newton-Cotes" title="Fórmules de Newton-Cotes">fórmules de Newton-Cotes</a> (com la regla del rectangle o la <a href="/wiki/Regla_de_Simpson" class="mw-redirect" title="Regla de Simpson">regla de Simpson</a>) o de <a href="/wiki/Quadratura_de_Gauss" title="Quadratura de Gauss">quadratura gaussiana</a>. Aquests mètodes es basen en una estratègia de "divideix i venceràs", dividint l'interval d'integració en subintervals i calculant la integral com la suma de les integrals en cada subinterval, i es podrà millorar posteriorment el valor de la integral obtingut mitjançant el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Romberg" title="Mètode de Romberg">mètode de Romberg</a>. Per al càlcul d'<a href="/wiki/Integral_m%C3%BAltiple" title="Integral múltiple">integrals múltiples</a> aquests mètodes requereixen massa esforç computacional, sent útil el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Monte_Carlo" class="mw-redirect" title="Mètode de Monte Carlo">mètode de Monte Carlo</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Equacions_diferencials">Equacions diferencials</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=19" title="Modifica la secció: Equacions diferencials"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'anàlisi numèric també pot calcular solucions aproximades d'<a href="/wiki/Equacions_diferencials" class="mw-redirect" title="Equacions diferencials">equacions diferencials</a>, bé <a href="/wiki/Equacions_diferencials_ordin%C3%A0ries" class="mw-redirect" title="Equacions diferencials ordinàries">equacions diferencials ordinàries</a>, bé <a href="/wiki/Equacions_en_derivades_parcials" class="mw-redirect" title="Equacions en derivades parcials">equacions en derivades parcials</a>. Els mètodes utilitzats solen basar-se en discretitzar l'equació corresponent. És útil veure la <a href="/wiki/Derivaci%C3%B3_num%C3%A8rica" title="Derivació numèrica">derivació numèrica</a>. </p><p>Per a la resolució d'equacions diferencials ordinàries els mètodes més utilitzats són el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_d%27Euler" title="Mètode d'Euler">mètode d'Euler</a> i els <a href="/wiki/M%C3%A8todes_de_Runge-Kutta" title="Mètodes de Runge-Kutta">mètodes de Runge-Kutta</a>. </p><p>Les equacions en derivades parcials es resolen primer discretitzar l'equació, portant-la a un subespai de dimensió finita. Això es pot fer mitjançant un <a href="/wiki/M%C3%A8tode_dels_elements_finits" class="mw-redirect" title="Mètode dels elements finits">mètode dels elements finits</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Altres_temes_d'anàlisi_numèrica"><span id="Altres_temes_d.27an.C3.A0lisi_num.C3.A8rica"></span>Altres temes d'anàlisi numèrica</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=20" title="Modifica la secció: Altres temes d'anàlisi numèrica"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Error_d%27aproximaci%C3%B3" title="Error d'aproximació">Error d'aproximació, error absolut i error relatiu</a>. L'error d'aproximació en alguna dada és la discrepància entre un valor exacte i una aproximació a aquest. L'error es pot donar a causa de dos factors: 1) La mesura de les dades no és precisa, a causa dels instruments emprats. 2) S'usen aproximacions en comptes de dades reals (per exemple, 3,14 en comptes de <a href="/wiki/Nombre_Pi" class="mw-redirect" title="Nombre Pi">π</a>).</li> <li><a href="/wiki/Taxa_de_converg%C3%A8ncia" title="Taxa de convergència">Ordre de convèrgencia</a>. En càlcul numèric la velocitat amb la qual una successió convergeix al seu límit s'anomena ordre de convergència. Aquest concepte és, des del punt de vista pràctic, molt important si necessitem treballar amb seqüències de successives aproximacions d'un <a href="/wiki/M%C3%A8tode_iteratiu" title="Mètode iteratiu">mètode iteratiu</a>. Fins i tot pot marcar la diferència entre necessitar deu o un milió d'iteracions.</li> <li><a href="/wiki/Arrodoniment" title="Arrodoniment">Arrodoniment</a>. És el procés mitjançant el qual s'eliminen <a href="/wiki/Decimal" title="Decimal">decimals</a> poc significatius en un <a href="/wiki/Nombre_decimal" title="Nombre decimal">nombre decimal</a>.</li> <li><a href="/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3" title="Sistema de numeració">Sistema de numeració</a>. És un conjunt de símbols i regles de generació que permeten construir tots els nombres vàlids en el sistema.</li> <li><a href="/wiki/Truncament" title="Truncament">Truncament</a>. En el subcamp <a href="/wiki/Matem%C3%A0tica" class="mw-redirect" title="Matemàtica">matemàtic</a> de l'anàlisi numèrica, truncament la reducció del nombre de <a href="/wiki/D%C3%ADgit" class="mw-redirect" title="Dígit">dígits</a> a la dreta del <a href="/wiki/Separador_decimal" title="Separador decimal">separador decimal</a>, descartant els menys significatius.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referències"><span id="Refer.C3.A8ncies"></span>Referències</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=21" title="Modifica la secció: Referències"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist {{#if: | references-column-count references-column-count-{{{col}}}" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/Ybc7289.html,">Fotografia il·lustració, i descripció de l'<i>arrel de (2)</i> tauleta de la Yale Babylonian Collection</a><sup class="noprint Inline-Template"><span title="" style="white-space: nowrap;"><i>[<a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Enlla%C3%A7os_externs#Manteniment_d'enllaços_externs" title="Viquipèdia:Enllaços externs">Enllaç no actiu</a>]</i></span></sup></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/ybc.html">Ybc 7289, Bill Casselman</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Aquest mètode és una <a href="/w/index.php?title=Iteraci%C3%B3_de_punt_fix&action=edit&redlink=1" class="new" title="Iteració de punt fix (encara no existeix)">iteració de punt fix</a> per a l'equació <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(x^{2}-2)^{2}+x=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(x^{2}-2)^{2}+x=f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ede42f65265feef76c0662d694c6c3a0ce2444" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.365ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x=(x^{2}-2)^{2}+x=f(x)}"></span>, les solucions de la qual inclouen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"></span>. Les iteracions sempre es desplacen cap a la dreta donat que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\geq x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≥</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\geq x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7b27daf9286032e04f9c26d8021405066d4ff5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\geq x}"></span>. Per això <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=1.4<{\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1.4</mn> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=1.4<{\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf28323c0b7ae68daa0e3d30e951711e39aa9a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.651ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=1.4<{\sqrt {2}}}"></span> convergeix i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=1.42>{\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1.42</mn> <mo>></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=1.42>{\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368ce7debfd89ebf6c043f9af67bc603543ffbf6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.813ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=1.42>{\sqrt {2}}}"></span> divergeix.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Exemple tret de Mathew; Numerical methods using matlab, 3a edició.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=22" title="Modifica la secció: Bibliografia"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFGilat2004"><span style="font-variant: small-caps;">Gilat</span>, Amos. <i>MATLAB: An Introduction with Applications</i>. 2a ed..  John Wiley & Sons, 2004. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/0-471-69420-7" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/0-471-69420-7">ISBN 0-471-69420-7</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=MATLAB%3A+An+Introduction+with+Applications&rft.aulast=Gilat&rft.aufirst=Amos&rft.date=2004&rft.edition=2a+ed.&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft.isbn=0-471-69420-7"><span style="display: none;"> </span></span>(en anglès)</li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFGolubVan_Loan1996"><a href="/wiki/Gene_Golub" title="Gene Golub"><span style="font-variant: small-caps;">Golub</span>, Gene</a>; <span style="font-variant: small-caps;">Van Loan</span>, Charles F. <i>Matrix Computations – Third Edition.</i>.  Baltimore: The Johns Hopkins University Press, 1996. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/0-80185413-X" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/0-80185413-X">ISBN 0-80185413-X</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Matrix+Computations+%E2%80%93+Third+Edition.&rft.aulast=Golub&rft.aufirst=Gene&rft.date=1996&rft.pub=The+Johns+Hopkins+University+Press&rft.place=Baltimore&rft.isbn=0-80185413-X"><span style="display: none;"> </span></span>(en anglès)</li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal"><span style="font-variant: small-caps;">Helfrick</span>, Alfred D. <i>Modern Electronic Instrumentation and Measurement Techniques</i>, p. 16. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/81-297-0731-4" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/81-297-0731-4">ISBN 81-297-0731-4</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Modern+Electronic+Instrumentation+and+Measurement+Techniques&rft.aulast=Helfrick&rft.aufirst=Alfred+D&rft.pages=16&rft.isbn=81-297-0731-4"><span style="display: none;"> </span></span>(en anglès)</li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFHildebrand1974"><a href="/w/index.php?title=Francis_B._Hildebrand&action=edit&redlink=1" class="new" title="Francis B. Hildebrand (encara no existeix)"><span style="font-variant: small-caps;">Hildebrand</span>, F. B.</a>. <i>Introduction to Numerical Analysis</i>. 2a ed..  McGraw-Hill, 1974. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/0-070-28761-9" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/0-070-28761-9">ISBN 0-070-28761-9</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Numerical+Analysis&rft.aulast=Hildebrand&rft.aufirst=F.+B.&rft.date=1974&rft.edition=2a+ed.&rft.pub=McGraw-Hill&rft.isbn=0-070-28761-9"><span style="display: none;"> </span></span>(en anglès)</li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFLeader2004"><span style="font-variant: small-caps;">Leader</span>, Jeffery J. <i>Numerical Analysis and Scientific Computation</i>.  Addison Wesley, 2004. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/0-201-73499-0" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/0-201-73499-0">ISBN 0-201-73499-0</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Numerical+Analysis+and+Scientific+Computation&rft.aulast=Leader&rft.aufirst=Jeffery+J.&rft.date=2004&rft.pub=Addison+Wesley&rft.isbn=0-201-73499-0"><span style="display: none;"> </span></span>(en anglès)</li> <li>Trefethen, Lloyd N. (2006). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/NAessay.pdf">"Numerical analysis"</a>, 20 pàgines. A: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), <i>Princeton Companion of Mathematics</i>, Princeton University Press.(en anglès)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enllaços_externs"><span id="Enlla.C3.A7os_externs"></span>Enllaços externs</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&action=edit&section=23" title="Modifica la secció: Enllaços externs"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r33663753">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1;min-width:0}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}.mw-parser-output .side-box-center{clear:both;margin:auto}}</style><div class="side-box metadata side-box-right plainlinks"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist">A <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/P%C3%A0gina_principal?uselang=ca">Wikimedia Commons</a></span> hi ha contingut multimèdia relatiu a: <i><b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Numerical_analysis" class="extiw" title="commons:Category:Numerical analysis">Anàlisi numèrica</a></b></i></div></div> </div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.nr.com/oldverswitcher.html"><i>Numerical Recipes</i></a>, William H. Press (lliure, descarregables les edicions prèvies)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/"><i>Numerical Analysis for Engineering</i></a>, D. W. Harder</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.damtp.cam.ac.uk/user/fdl/people/sd103/lectures/nummeth98/index.htm#L_1_Title_Page">Numerical Methods</a>, Stuart Dalziel <a href="/wiki/University_of_Cambridge" class="mw-redirect" title="University of Cambridge">University of Cambridge</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mechanical-Engineering/2-993JSpring-2005/CourseHome/">Introduction to Numerical Analysis for Engineering</a>, Henrik Schmidt <a href="/wiki/Massachusetts_Institute_of_Technology" title="Massachusetts Institute of Technology">Massachusetts Institute of Technology</a></li></ul> <p><br /> </p> <div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Control_d%27autoritats" title="Control d'autoritats">Registres d'autoritat</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" class="mw-redirect" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11930888x">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4042805-9">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/LCCN" class="mw-redirect" title="LCCN">LCCN</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85093237">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Txeca" title="Biblioteca Nacional de la República Txeca">NKC</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph425906&CON_LNG=ENG">1</a>)</span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtingut de «<a dir="ltr" href="https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Anàlisi_numèrica&oldid=33790661">https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Anàlisi_numèrica&oldid=33790661</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica" title="Categoria:Anàlisi numèrica">Anàlisi numèrica</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categories ocultes: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Articles_amb_enlla%C3%A7os_externs_no_actius" title="Categoria:Articles amb enllaços externs no actius">Articles amb enllaços externs no actius</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Articles_amb_refer%C3%A8ncies_puntuals_demanades" title="Categoria:Articles amb referències puntuals demanades">Articles amb referències puntuals demanades</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:P%C3%A0gines_amb_enlla%C3%A7_commonscat_des_de_Wikidata" title="Categoria:Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata">Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:1.000_articles_fonamentals" title="Categoria:1.000 articles fonamentals">1.000 articles fonamentals</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Ci%C3%A8ncia_(Els_1000_de_META)" title="Categoria:Ciència (Els 1000 de META)">Ciència (Els 1000 de META)</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Control_d%27autoritats" title="Categoria:Control d'autoritats">Control d'autoritats</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La pàgina va ser modificada per darrera vegada el 17 ago 2024 a les 11:41.</li> <li id="footer-info-copyright">El text està disponible sota la <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Text_de_la_llic%C3%A8ncia_de_Creative_Commons_Reconeixement-Compartir_Igual_4.0_No_adaptada" title="Viquipèdia:Text de la llicència de Creative Commons Reconeixement-Compartir Igual 4.0 No adaptada"> Llicència de Creative Commons Reconeixement i Compartir-Igual</a>; es poden aplicar termes addicionals. Vegeu les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/ca">Condicions d'ús</a>. Wikipedia® (Viquipèdia™) és una <a href="/wiki/Marca_comercial" title="Marca comercial">marca registrada</a> de <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">Wikimedia Foundation, Inc</a>.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Política de privadesa</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Quant_a_la_Viquip%C3%A8dia">Quant al projecte Viquipèdia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Av%C3%ADs_d%27exempci%C3%B3_de_responsabilitat">Descàrrec de responsabilitat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codi de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desenvolupadors</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ca.wikipedia.org">Estadístiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaració de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ca.m.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versió per a mòbils</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5c59558b9d-v57nm","wgBackendResponseTime":156,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.185","walltime":"0.344","ppvisitednodes":{"value":2028,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":15176,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":2458,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":2,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":4081,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 196.555 1 -total"," 29.76% 58.501 1 Plantilla:Commonscat"," 25.01% 49.149 1 Plantilla:Sister"," 23.89% 46.959 1 Plantilla:Caixa_lateral"," 18.12% 35.619 2 Plantilla:Article_principal"," 15.55% 30.557 5 Plantilla:Ref-llibre"," 14.49% 28.483 1 Plantilla:1000_Ciència"," 13.99% 27.489 1 Plantilla:Autoritat"," 6.78% 13.328 5 Plantilla:If_both"," 5.54% 10.890 1 Plantilla:Referències"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.051","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1417092,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-59856bd7d8-268n6","timestamp":"20241119200748","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"An\u00e0lisi num\u00e8rica","url":"https:\/\/ca.wikipedia.org\/wiki\/An%C3%A0lisi_num%C3%A8rica","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11216","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11216","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2010-05-05T08:37:52Z","dateModified":"2024-08-17T10:41:05Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/0\/0b\/Ybc7289-bw.jpg","headline":"estudi dels algorismes que utilitzen aproximaci\u00f3 num\u00e8rica per resoldre problemes d'an\u00e0lisi matem\u00e0tica"}</script> </body> </html>