アインシュタインテンソル

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<span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="目次" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span 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class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%A0%D7%96%D7%95%D7%A8_%D7%90%D7%99%D7%99%D7%A0%D7%A9%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9F" title="ヘブライ語: טנזור איינשטיין" lang="he" hreflang="he" data-title="טנזור איינשטיין" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Einstein-tenzor" title="ハンガリー語: Einstein-tenzor" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Einstein-tenzor" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_di_Einstein" title="イタリア語: Tensore di Einstein" lang="it" hreflang="it" data-title="Tensore di Einstein" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" 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id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&oldid=101858694" title="このページのこの版への固定リンク"><span>この版への固定リンク</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=info" title="このページについての詳細情報"><span>ページ情報</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%81%93%E3%81%AE%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%82%92%E5%BC%95%E7%94%A8&page=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&id=101858694&wpFormIdentifier=titleform" title="このページの引用方法"><span>このページを引用</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a 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class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q550929" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g"><span>ウィキデータ項目</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" 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href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="微分幾何学">微分幾何学</a>において、<b>アインシュタインテンソル</b>（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">Einstein tensor</span>）とは、<a href="/wiki/%E6%93%AC%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="擬リーマン多様体">擬リーマン多様体</a>の<a href="/wiki/%E6%9B%B2%E7%8E%87" title="曲率">曲率</a>を表現することに用いられる。<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3" title="アルベルト・アインシュタイン">アルベルト・アインシュタイン</a>の名前に因み、<b>逆トレース<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="リッチテンソル">リッチテンソル</a></b>としても知られている。アインシュタインテンソルは<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96" class="mw-redirect" title="一般相対論">一般相対論</a>において基本的な物理量であり、その基礎方程式である<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="アインシュタイン方程式">アインシュタイン方程式</a>に現れる。これは、エネルギー・運動量の保存則と整合するように<a href="/wiki/%E6%99%82%E7%A9%BA" title="時空">時空</a>の曲率を用いて<a href="/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B" title="重力">重力</a>を記述するものである。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>アインシュタインテンソル <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {G} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">G</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {G} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d9c60d3cf462a9812e9a9d021d17c7bc272a5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {G} }"></span> は、<a href="/wiki/%E6%93%AC%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="擬リーマン多様体">擬リーマン多様体</a>上に定義されたランク 2 の<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="テンソル">テンソル</a>であり、添字のない記法では、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">G</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">g</mi> </mrow> <mi>R</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82d91bbfc974169e30988c9a2bb6c88a728e486" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.789ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>として定義される。ここに <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de85fcc2a00d8ba14aae84aeef812d7fef4b3d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.003ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} }"></span> は<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="リッチテンソル">リッチテンソル</a>であり、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {g} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">g</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {g} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cdf843789e9564a867aee3ff184453b72ecbafe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.337ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {g} }"></span> は<a href="/wiki/%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="計量テンソル">計量テンソル</a>であり、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> は<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%8E%87" title="スカラー曲率">スカラー曲率</a>である。成分を持つ形で表すと、上記方程式は、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da62337e1ee6f4c3fc7c7e6eff5160b67b238a24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.332ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>のようになる。 </p><p>アインシュタインテンソルは、<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC%E3%83%BB%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="エネルギー・運動量テンソル">ストレス・エネルギーテンソル</a>と同じ性質を持っている。つまり、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a73731cde58c1cc0286e5c824fce86161aecb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>と対称テンソルであって、さらに </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>;</mo> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be034a896cf7bf7486b033dc38d44500f70027fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.743ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>と共変な意味での<a href="/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="発散 (ベクトル解析)">発散</a>がない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="明示的な形"><span id=".E6.98.8E.E7.A4.BA.E7.9A.84.E3.81.AA.E5.BD.A2"></span>明示的な形</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&section=2" title="節を編集: 明示的な形"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="リッチテンソル">リッチテンソル</a>は<a href="/wiki/%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="計量テンソル">計量テンソル</a>のみにより与えられるので、アインシュタインテンソルは計量テンソルから直接的に定義することができる。しかしながら、この表現は煩雑で、教科書でも具体的に与えられることは稀である。まずは、<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E8%A8%98%E5%8F%B7" title="クリストッフェル記号">クリストッフェル記号</a>を用いて表すと、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma })\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ζ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ζ</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ζ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ζ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ζ</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ζ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ζ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ζ</mi> <mo>,</mo> <mi>ϵ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>,</mo> <mi>ζ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ζ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ζ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma })\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16199ba93484598fb58c10c7d0e39e8f5be64a9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.171ex; width:58.001ex; height:21.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma })\end{aligned}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>となる。ここで、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490ba2fb1e7d7295cbef7b50b5494f3f49c22774" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.338ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}"></span> は<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF" title="クロネッカーのデルタ">クロネッカーのデルタ</a>でクリストッフェル記号 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a158e5d11243983ae8f632a8e22f440c7774bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.52ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }}"></span> は計量を用いて、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon })}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>,</mo> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon })}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1846046fd7cad852eca8fa348b067a94fe327a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.079ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon })}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>と定義される。 </p><p>この公式は、項の縮約前は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>6</mn> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>60</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0adb4316657327cf9c4f1e2bb0531e7e491373e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.407ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}"></span> 個の項からなる。縮約により項の数は<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r86009555">@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}</style><span class="fix-domain" title="正確にはどのくらいなのか？（2023年11月）">若干</span><sup class="noprint Inline-Template nowrap">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:%E8%A8%80%E8%91%89%E3%82%92%E6%BF%81%E3%81%95%E3%81%AA%E3%81%84" title="Wikipedia:言葉を濁さない"><span title="正確にはどのくらいなのか？（2023年11月）">要追加記述</span></a></i>]</sup>減る。 </p><p>一点の近くの局所<a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" class="mw-redirect" title="慣性座標系">慣性座標系</a>の特殊な場合には、計量テンソルの一階微分が 0 となり、アインシュタインテンソルの成分による表示はかなり単純化される。 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">[</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>μ</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>μ</mi> <mo>,</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>σ</mi> <mo>,</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>μ</mi> <mo>,</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>σ</mi> <mo>,</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f60517bea58ad5c0b2aa85d159228f454c849a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.485ex; margin-bottom: -0.187ex; width:57.291ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ここで、角括弧は慣例的に括弧付き添字に関する<a href="/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="反対称テンソル">反対称性</a>を表す。つまり </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon })}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon })}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131f9b3ef1f5971733d25443673f90b6e0da5fd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.107ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon })}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="トレース"><span id=".E3.83.88.E3.83.AC.E3.83.BC.E3.82.B9"></span>トレース</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&section=3" title="節を編集: トレース"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>アインシュタインテンソルの<a href="/wiki/%E8%B7%A1_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="跡 (線型代数学)">トレース</a>は、<a href="/wiki/%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="計量テンソル">計量テンソル</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g^{\mu \nu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{\mu \nu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a5070ab85fb1f8797a669a98003bcfcc62182d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.213ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle g^{\mu \nu }}"></span> をその定義の中に持つ方程式を<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%B8%AE%E7%B4%84" title="テンソルの縮約">縮約</a>することにより計算される。（任意符号の） <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> 次元では、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>G</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>G</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>R</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55249ba328798cb6be93807407f071b40adf5ac8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.192ex; margin-bottom: -0.313ex; width:31.075ex; height:16.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>である。 </p><p>物理学における 4次元（3空間次元、1時間次元）という特別な場合では、アインシュタインテンソルのトレース <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f6c4d01b8be460cde4156d1fde6af720f8ff12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.214ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G\,}"></span> は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293563891196765d2d51e0dd54e1ae1000ba9def" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R\,}"></span> の負の部分、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="リッチテンソル">リッチテンソル</a>のトレースとして与えられる。このようにアインシュタインテンソルは、<b>逆トレースリッチテンソル</b>(trace-reversed Ricci tensor)とも呼ばれる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一般相対論の中での使用"><span id=".E4.B8.80.E8.88.AC.E7.9B.B8.E5.AF.BE.E8.AB.96.E3.81.AE.E4.B8.AD.E3.81.A7.E3.81.AE.E4.BD.BF.E7.94.A8"></span>一般相対論の中での使用</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&section=4" title="節を編集: 一般相対論の中での使用"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>アインシュタインテンソルによって、（宇宙項のない）<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="アインシュタイン方程式">アインシュタイン方程式</a>を次の正確な形に書き表すことができる。 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mi>π</mi> <mi>G</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51754f1786e31a82722156d1b0a4a3a9805e4ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.276ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ここで<a href="/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB" class="mw-redirect" title="幾何単位系">幾何単位系</a>（つまり、c = G = 1）とすると、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mi>π</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9983c83a27755cfa0f2175e12c2987ff1657cdea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.354ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>である。 </p><p><a href="#明示的な形">アインシュタインテンソルの明示的な形</a>から、アインシュタインテンソルは計量テンソルの<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E7%B7%9A%E5%9E%8B" class="mw-redirect mw-disambig" title="非線型">非線型</a>函数であるが、計量の 2階の<a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86" title="偏微分">偏微分</a>では線型であることがわかる。対称なランク 2 のテンソルとして、アインシュタインテンソルは 4次元空間内の10 個の独立成分を持つ。このことから、アインシュタイン場の方程式は、計量テンソルの 10 個変数の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="微分方程式のタイプ (存在しないページ)">準線型</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Types_of_differential_equations" class="extiw" title="en:Types of differential equations">英語版</a>）</span></span>(quasilinear)の 2階の偏微分方程式である。 </p><p><a href="/wiki/%E6%9B%B2%E7%8E%87%E5%BD%A2%E5%BC%8F#ビアンキ恒等式" title="曲率形式">ビアンキ恒等式</a>も、アインシュタインテンソルを用いて次のように平易に表現できる。 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a030cd71a1fda487d4f3391145541ece0c04fb3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.988ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ビアンキ恒等式により、曲がった時空の中の<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC%E3%83%BB%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="エネルギー・運動量テンソル">ストレス・エネルギーテンソル</a>の共変性が保存されることが自動的に保証される。つまり、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b323c7848fe786e02b64d9ee2ebb4657a448122" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.882ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>アインシュタイテンソルの物理学的な意味は、この等式により非常に重要であることがわかる。<a href="/wiki/%E3%82%AD%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="キリングベクトル">キリングベクトル</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi ^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi ^{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af230baed6ad669a739e8a90b1ca699fd999c89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.257ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \xi ^{\mu }}"></span> 上で縮約された密度化ストレステンソルの項では、通常の保存則は、 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\mu }({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu })=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mi>g</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\mu }({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu })=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7099666137a15d623f4930c2220200a83e7afc80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:19.96ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\mu }({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu })=0}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一意性"><span id=".E4.B8.80.E6.84.8F.E6.80.A7"></span>一意性</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&section=5" title="節を編集: 一意性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B4%E3%83%AD%E3%83%83%E3%82%AF&action=edit&redlink=1" class="new" title="デーヴィッド・ラヴロック (存在しないページ)">デーヴィッド・ラヴロック</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/David_Lovelock" class="extiw" title="en:David Lovelock">英語版</a>）</span></span>(David Lovelock)は、4次元<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" class="mw-redirect" title="微分可能多様体">微分可能多様体</a>では、アインシュタイテンソルは単にテンソル的で<a href="/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="発散 (ベクトル解析)">発散</a>のない <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{\mu \nu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{\mu \nu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bf4140993a891f5782167dc8a0c236dc7667b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.204ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle g_{\mu \nu }}"></span> の函数であり、高々、一階か二階の偏微分であることを示した<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>しかしながら、以下の 3つの条件を満たすからといって、その基礎方程式が<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="アインシュタイン方程式">アインシュタイン方程式</a>であるとは限らない<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <ol><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E9%87%8D%E5%8A%9B%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ガウスの重力法則 (存在しないページ)">ニュートン・ポアソンの重力方程式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law_for_gravity" class="extiw" title="en:Gauss's law for gravity">英語版</a>）</span></span>(Newton-Poisson gravitational equation)の、類似して、かつ一般化された方程式である。</li> <li>すべての座標系へ適用でき、</li> <li>任意の計量テンソルに対しエネルギー運動量テンソルの局所共変性が保存されることを保証する。</li></ol> <p><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E7%90%86%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="アインシュタイン・カルタン理論 (存在しないページ)">アインシュタイン・カルタン理論</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein%E2%80%93Cartan_theory" class="extiw" title="en:Einstein–Cartan theory">英語版</a>）</span></span>(Einstein–Cartan theory)などのように、上の条件をすべて満たす別の理論が多く提案されている。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参照項目"><span id=".E5.8F.82.E7.85.A7.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>参照項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&section=6" title="節を編集: 参照項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output 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style="font-size:100%;"><b><a href="/w/index.php?title=Portal:Physics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Portal:Physics (存在しないページ)">ポータル Physics</a></b></div></div> </div> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="一般相対論の数学">一般相対論の数学</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96%E3%81%AE%E3%83%AA%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%82%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="一般相対論のリソース (存在しないページ)">一般相対論のリソース</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity_resources" class="extiw" title="en:General relativity resources">英語版</a>）</span></span>(General relativity resources)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&section=7" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation journal">Lovelock, D. (1971). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.is/20130224020351/http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v12/i3/p498_s1?isAuthorized=nof">“The Einstein Tensor and Its Generalizations”</a>. <i>Journal of Mathematical Physics</i> <b>12</b> (3): 498–502. <a href="/wiki/Bibcode_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Bibcode (識別子)">Bibcode</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1971JMP....12..498L/abstract">1971JMP....12..498L</a>. <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1063%2F1.1665613">10.1063/1.1665613</a>.  <a rel="nofollow" class="external text" href="http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v12/i3/p498_s1?isAuthorized=nof">オリジナル</a>の2013年2月24日時点におけるアーカイブ。<span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://archive.is/20130224020351/http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v12/i3/p498_s1?isAuthorized=nof">https://archive.is/20130224020351/http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v12/i3/p498_s1?isAuthorized=nof</a></span>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+Einstein+Tensor+and+Its+Generalizations&rft.jtitle=Journal+of+Mathematical+Physics&rft.aulast=Lovelock&rft.aufirst=D.&rft.au=Lovelock%2C%26%2332%3BD.&rft.date=1971&rft.volume=12&rft.issue=3&rft.pages=498%E2%80%93502&rft_id=info:bibcode/1971JMP....12..498L&rft_id=info:doi/10.1063%2F1.1665613&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.is%2F20130224020351%2Fhttp%3A%2F%2Fjmp.aip.org%2Fresource%2F1%2Fjmapaq%2Fv12%2Fi3%2Fp498_s1%3FisAuthorized%3Dnof&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation journal">Lovelock, D. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=General+Relativity%3A+A+First+Course+for+Physicists&rft.aulast=Martin&rft.aufirst=John+Legat&rft.au=Martin%2C%26%2332%3BJohn+Legat&rft.date=1995&rft.series=Prentice+Hall+International+Series+in+Physics+and+Applied+Physics&rft.edition=Revised+edition&rft.pub=%5B%5BPrentice+Hall%5D%5D&rft.isbn=0-13-291196-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="テンソル" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="Template:テンソル"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/wiki/Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="Template‐ノート:テンソル"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="テンソル" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="テンソル">テンソル</a></div></th></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <i><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Glossary_of_tensor_theory&action=edit&redlink=1" class="new" title="Glossary of tensor theory (存在しないページ)">Glossary of tensor theory</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_tensor_theory" class="extiw" title="en:Glossary of tensor theory">英語版</a>）</span></span></i></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">範囲 <span lang="en">(<i>Scope</i>)</span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;font-weight:normal;"><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99" title="座標">座標</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="多重線型代数">多重線型代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="ユークリッド幾何学">ユークリッド幾何学</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="テンソル代数">テンソル代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="微分幾何学">微分幾何学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86" title="外微分">外微分</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="テンソル解析">テンソル解析</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;font-weight:normal;"><a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物理学">物理学</a> • <a href="/wiki/%E5%B7%A5%E5%AD%A6" title="工学">工学</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="連続体力学">連続体力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B0%97%E5%AD%A6" title="電磁気学">電磁気学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%A7%BB%E5%8B%95%E7%8F%BE%E8%B1%A1%E8%AB%96" title="移動現象論">移動現象論</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" title="一般相対性理論">一般相対性理論</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%93%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3" title="コンピュータビジョン">コンピュータビジョン</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">表記法 <span lang="en">(<i>Notation</i>)</span></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%B7%BB%E5%AD%97%E8%A1%A8%E8%A8%98%E6%B3%95" title="添字表記法">添字表記法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E6%8C%87%E6%95%B0" title="多重指数">多重指数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E7%B8%AE%E7%B4%84%E8%A8%98%E6%B3%95" title="アインシュタインの縮約記法">アインシュタインの縮約記法</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="リッチ計算法 (存在しないページ)">リッチ計算法</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ricci_calculus" class="extiw" title="en:Ricci calculus">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%B3%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%BA%E3%81%AE%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E8%A8%98%E6%B3%95" title="ペンローズのグラフ記法">ペンローズのグラフ記法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BF%9C%E5%8A%9B#応力テンソルの対称性" title="応力">フォークト表記</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E6%B7%BB%E5%AD%97%E8%A8%98%E6%B3%95" title="抽象添字記法">抽象添字記法</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%86%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%89%E8%A1%A8%E8%A8%98&action=edit&redlink=1" class="new" title="テトラド表記 (存在しないページ)">テトラド表記</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/tetrad_(index_notation)" class="extiw" title="en:tetrad (index notation)">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%87%E3%83%B3%E8%A1%A8%E7%A4%BA" title="ファン・デル・ヴェルデン表示">ファン・デル・ヴェルデン表示</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">テンソルの定義</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="テンソル空間">テンソル空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E5%A0%B4" title="テンソル場">テンソル場</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E5%AF%86%E5%BA%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="テンソル密度 (存在しないページ)">テンソル密度</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/tensor_density" class="extiw" title="en:tensor density">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="曲線座標系におけるテンソル (存在しないページ)">曲線座標系におけるテンソル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/tensors_in_curvilinear_coordinates" class="extiw" title="en:tensors in curvilinear coordinates">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%B7%B7%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="混テンソル (存在しないページ)">混テンソル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/mixed_tensor" class="extiw" title="en:mixed tensor">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="反対称テンソル">反対称テンソル</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="対称テンソル">対称テンソル</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="テンソル作用素 (存在しないページ)">テンソル作用素</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/tensor_operator" class="extiw" title="en:tensor operator">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E6%9D%9F&action=edit&redlink=1" class="new" title="テンソル束 (存在しないページ)">テンソル束</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/tensor_bundle" class="extiw" title="en:tensor bundle">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="演算 (数学)">算法</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D" title="テンソル積">テンソル積</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="外積代数">楔積</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%B8%AE%E7%B4%84" title="テンソルの縮約">テンソルの縮約</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97" title="転置行列">行列（2階テンソル）の転置</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%B7%BB%E5%AD%97%E3%81%AE%E4%B8%8A%E3%81%92%E4%B8%8B%E3%81%92&action=edit&redlink=1" class="new" title="添字の上げ下げ (存在しないページ)">添字の上げ下げ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/raising_and_lowering_indices" class="extiw" title="en:raising and lowering indices">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E5%8F%8C%E5%AF%BE" title="ホッジ双対">ホッジ双対</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3-%E3%83%81%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E6%8E%A5%E7%B6%9A" class="mw-redirect" title="レヴィ-チヴィタ接続">共変微分</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86" title="外微分">外微分</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%85%B1%E5%A4%89%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="共変外微分 (存在しないページ)">共変外微分</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/exterior_covariant_derivative" class="extiw" title="en:exterior covariant derivative">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E5%BE%AE%E5%88%86" title="リー微分">リー微分</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">関連事項</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%AC%A1%E5%85%83_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="次元 (数学)">次元</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB#数学・物理学を中心とした数理科学・工学分野" class="mw-disambig" title="ベクトル">ベクトル</a>、<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%A4%9A%E9%87%8D%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="多重ベクトル (存在しないページ)">多重ベクトル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/multivector" class="extiw" title="en:multivector">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%85%B1%E5%A4%89%E6%80%A7%E3%81%A8%E5%8F%8D%E5%A4%89%E6%80%A7" title="ベクトルの共変性と反変性">ベクトルの共変性と反変性</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97" title="行列">行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%AB" title="スピノール">スピノール</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E5%BD%A2%E5%BC%8F_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="カルタン形式 (物理学)">カルタン形式</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="微分形式">微分形式</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%B6%9A%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="接続形式">接続形式</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B8%AC%E5%9C%B0%E7%B7%9A" title="測地線">測地線</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="多様体">多様体</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F" title="ファイバー束">ファイバー束</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9B%B2%E7%8E%87%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="曲率形式">曲率形式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%81%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E6%8E%A5%E7%B6%9A" title="レヴィ・チヴィタ接続">レヴィ・チヴィタ接続</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E6%8E%A5%E7%B6%9A" title="アフィン接続">アフィン接続</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">有名なテンソル</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;font-weight:normal;">数学</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF" title="クロネッカーのデルタ">クロネッカーのデルタ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3" title="エディントンのイプシロン">エディントンのイプシロン</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="計量テンソル">計量テンソル</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E8%A8%98%E5%8F%B7" title="クリストッフェル記号">クリストッフェル記号</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="リッチテンソル">リッチテンソル</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E6%9B%B2%E7%8E%87%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="リーマン曲率テンソル">リーマン曲率テンソル</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="ワイルテンソル (存在しないページ)">ワイルテンソル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_tensor" class="extiw" title="en:Weyl tensor">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E6%8D%A9%E7%8E%87%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="捩率テンソル">捩率テンソル</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;font-weight:normal;">物理学</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="慣性モーメント">慣性モーメント</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BF%9C%E5%8A%9B%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="応力テンソル">応力テンソル</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC%E3%83%BB%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="エネルギー・運動量テンソル">エネルギー・運動量テンソル</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E5%A0%B4%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="電磁場テンソル">電磁場テンソル</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B0%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%82%AA%E3%83%B3%E5%A0%B4%E3%81%AE%E5%BC%B7%E5%BA%A6%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="グルーオン場の強度テンソル (存在しないページ)">グルーオン場の強度テンソル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/gluon_field_strength_tensor" class="extiw" title="en:gluon field strength tensor">英語版</a>）</span></span></li> <li><a class="mw-selflink selflink">アインシュタインテンソル</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB_(%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96)&action=edit&redlink=1" class="new" title="計量テンソル (一般相対論) (存在しないページ)">計量テンソル (一般相対論)</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity)" class="extiw" title="en:Metric tensor (general relativity)">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85" title="数学者">数学者</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">レオンハルト・オイラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9" title="カール・フリードリヒ・ガウス">カール・フリードリヒ・ガウス</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC" title="オーギュスタン＝ルイ・コーシー">オーギュスタン＝ルイ・コーシー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%9E%E3%83%B3" title="ヘルマン・グラスマン">ヘルマン・グラスマン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%AA%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%EF%BC%9D%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD" title="グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ">グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%88%E3%82%A5%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%AA%E3%83%BB%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%EF%BC%9D%E3%83%81%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF" title="トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ">トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Jan_Arnoldus_Schouten&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jan Arnoldus Schouten (存在しないページ)">Jan Arnoldus Schouten</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Jan_Arnoldus_Schouten" class="extiw" title="en:Jan Arnoldus Schouten">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3" title="ベルンハルト・リーマン">ベルンハルト・リーマン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB" title="エルヴィン・クリストッフェル">エルヴィン・クリストッフェル</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%88" title="ヴォルデマール・フォークト">ヴォルデマール・フォークト</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3" title="エリ・カルタン">エリ・カルタン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB" title="ヘルマン・ワイル">ヘルマン・ワイル</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3" title="アルベルト・アインシュタイン">アルベルト・アインシュタイン</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span><a href="/wiki/Category:%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="Category:テンソル">カテゴリ</a></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" 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