แฟกทอเรียล - วิกิพีเดีย

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available" lang="th" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>แฟกทอเรียล - วิกิพีเดีย</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )thwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":["",""],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"thai", "wgMonthNames":["","มกราคม","กุมภาพันธ์","มีนาคม","เมษายน","พฤษภาคม","มิถุนายน","กรกฎาคม","สิงหาคม","กันยายน","ตุลาคม","พฤศจิกายน","ธันวาคม"],"wgRequestId":"3404032d-9cd1-4ab9-9073-71ab373d21de","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"แฟกทอเรียล","wgTitle":"แฟกทอเรียล","wgCurRevisionId":11957750,"wgRevisionId":11957750,"wgArticleId":7205,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["CS1 แหล่งที่มาภาษาฝรั่งเศส (fr)","หน้าที่ใช้ลิงก์พิเศษ ISBN","บทความที่มีลิงก์ไปภาษาอื่นในส่วนเนื้อหา", "บทความที่มีข้อความภาษาอังกฤษ","คณิตศาสตร์เชิงการจัด","ทฤษฎีจำนวน","ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันอื่นที่เกี่ยวข้อง"],"wgPageViewLanguage":"th","wgPageContentLanguage":"th","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"แฟกทอเรียล","wgRelevantArticleId":7205,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"th","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"th"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength": 40000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q120976","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.charinsert-styles":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.ReferenceTooltips","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=th&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=th&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=th&modules=ext.gadget.charinsert-styles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=th&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.15"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="แฟกทอเรียล - วิกิพีเดีย"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//th.m.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="แก้ไข" href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="วิกิพีเดีย (th)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//th.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.th"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="ฟีดอะตอม วิกิพีเดีย" href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-แฟกทอเรียล rootpage-แฟกทอเรียล skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">ข้ามไปเนื้อหา</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="ไซต์"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" title="เมนูหลัก" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="เมนูหลัก" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">เมนูหลัก</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">เมนูหลัก</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">ย้ายเมนูไปที่แถบด้านข้าง</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ซ่อน</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> การนำทาง </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81" title="เยี่ยมชมหน้าหลัก [z]" accesskey="z"><span>หน้าหลัก</span></a></li><li id="n-ask" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%96%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%B3%E0%B8%96%E0%B8%B2%E0%B8%A1"><span>ถามคำถาม</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%96%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2:%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%95%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%9B%E0%B8%B1%E0%B8%88%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="ค้นหาข้อมูลเบื้องหลังในเหตุการณ์ปัจจุบัน"><span>เหตุการณ์ปัจจุบัน</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1" title="โหลดหน้าแบบสุ่ม [x]" accesskey="x"><span>สุ่มบทความ</span></a></li><li id="n-about" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="ทำความรู้จักวิกิพีเดีย"><span>เกี่ยวกับวิกิพีเดีย</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD" title="วิธีการติดต่อวิกิพีเดีย"><span>ติดต่อเรา</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-interaction" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-interaction" > <div class="vector-menu-heading"> มีส่วนร่วม </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89:%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%8D" title="ข้อแนะนำการใช้และแก้ไขวิกิพีเดีย"><span>คำอธิบาย</span></a></li><li id="n-introduction" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B8%87%E0%B8%B2%E0%B8%99"><span>เริ่มต้นเขียน</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%A1" title="เกี่ยวกับโครงการ สิ่งที่คุณทำได้ และวิธีการค้นหา"><span>ศาลาประชาคม</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94" title="รายการเปลี่ยนแปลงล่าสุดในวิกินี้ [r]" accesskey="r"><span>ปรับปรุงล่าสุด</span></a></li><li id="n-discord" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%94%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%94"><span>ดิสคอร์ด</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="วิกิพีเดีย" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-th.svg" style="width: 6.4375em; height: 1.6875em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="สารานุกรมเสรี" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-th.svg" width="100" height="18" style="width: 6.25em; height: 1.125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%84%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%AB%E0%B8%B2" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="ค้นหาวิกิ [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>ค้นหา</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="ค้นหาใน วิกิพีเดีย" aria-label="ค้นหาใน วิกิพีเดีย" autocapitalize="sentences" title="ค้นหาวิกิ [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="พิเศษ:ค้นหา"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">ค้นหา</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="เครื่องมือส่วนตัว"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="หน้าตา"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="หน้าตา" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">หน้าตา</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=th.wikipedia.org&uselang=th" class=""><span>บริจาคให้วิกิพีเดีย</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%9C%E0%B8%B9%E0%B9%89%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B9%83%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B9%88&returnto=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" title="แนะนำให้คุณสร้างบัญชีและเข้าสู่ระบบ แต่ไม่บังคับ" class=""><span>สร้างบัญชี</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%A5%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%99&returnto=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" title="แนะนำให้คุณเข้าสู่ระบบ แต่ไม่บังคับ [o]" accesskey="o" class=""><span>เข้าสู่ระบบ</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="ตัวเลือกเพิ่มเติม" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="เครื่องมือส่วนตัว" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">เครื่องมือส่วนตัว</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="เมนูผู้ใช้" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=th.wikipedia.org&uselang=th"><span>บริจาคให้วิกิพีเดีย</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%9C%E0%B8%B9%E0%B9%89%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B9%83%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B9%88&returnto=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" title="แนะนำให้คุณสร้างบัญชีและเข้าสู่ระบบ แต่ไม่บังคับ"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>สร้างบัญชี</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%A5%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%99&returnto=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" title="แนะนำให้คุณเข้าสู่ระบบ แต่ไม่บังคับ [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>เข้าสู่ระบบ</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> หน้าสำหรับผู้แก้ไขที่ออกจากระบบ <a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B8%B3" aria-label="เรียนรู้เพิ่มเกี่ยวกับการแก้ไข"><span>เรียนรู้เพิ่มเติม</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%89%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="รายการการแก้ไขจากเลขที่อยู่ไอพีนี้ [y]" accesskey="y"><span>ส่วนร่วม</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%B9%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%A2%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%89%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="อภิปรายเกี่ยวกับการแก้ไขจากเลขที่อยู่ไอพีนี้ [n]" accesskey="n"><span>คุย</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="ไซต์"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="สารบัญ" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">สารบัญ</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">ย้ายเมนูไปที่แถบด้านข้าง</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ซ่อน</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">บทนำ</div> </a> </li> <li id="toc-นิยาม" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#นิยาม"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>นิยาม</span> </div> </a> <ul id="toc-นิยาม-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-การประยุกต์" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#การประยุกต์"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>การประยุกต์</span> </div> </a> <ul id="toc-การประยุกต์-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ทฤษฎีจำนวน" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#ทฤษฎีจำนวน"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>ทฤษฎีจำนวน</span> </div> </a> <ul id="toc-ทฤษฎีจำนวน-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ_n_มีขนาดใหญ่" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ_n_มีขนาดใหญ่"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ <i>n</i> มีขนาดใหญ่</span> </div> </a> <ul id="toc-อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ_n_มีขนาดใหญ่-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Toggle การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม subsection</span> </button> <ul id="toc-การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย</span> </div> </a> <ul id="toc-ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา</span> </div> </a> <ul id="toc-การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Toggle ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล subsection</span> </button> <ul id="toc-ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-มัลติแฟกทอเรียล" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#มัลติแฟกทอเรียล"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>มัลติแฟกทอเรียล</span> </div> </a> <ul id="toc-มัลติแฟกทอเรียล-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ซูเปอร์แฟกทอเรียล" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ซูเปอร์แฟกทอเรียล"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>ซูเปอร์แฟกทอเรียล</span> </div> </a> <ul id="toc-ซูเปอร์แฟกทอเรียล-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-อ้างอิง" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#อ้างอิง"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>อ้างอิง</span> </div> </a> <ul id="toc-อ้างอิง-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="สารบัญ" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="สารบัญ" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Toggle the table of contents" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Toggle the table of contents</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">แฟกทอเรียล</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="ไปที่บทความในภาษาอื่น ซึ่งมีใน 80 ภาษา" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-80" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">80 ภาษา</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Fakulteit_(wiskunde)" title="Fakulteit (wiskunde) – แอฟริกานส์" lang="af" hreflang="af" data-title="Fakulteit (wiskunde)" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="แอฟริกานส์" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8D%8B%E1%8A%AD%E1%89%B6%E1%88%AA%E1%8B%AB%E1%88%8D" title="ፋክቶሪያል – อัมฮารา" lang="am" hreflang="am" data-title="ፋክቶሪያል" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="อัมฮารา" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%A7%D9%85%D9%84%D9%8A" title="عاملي – อาหรับ" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عاملي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="อาหรับ" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial – อัสตูเรียส" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Factorial" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="อัสตูเรียส" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial – อาเซอร์ไบจาน" lang="az" hreflang="az" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="อาเซอร์ไบจาน" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Факториал – บัชคีร์" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Факториал" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="บัชคีร์" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%8F%D0%BB" title="Фактарыял – เบลารุส" lang="be" hreflang="be" data-title="Фактарыял" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="เบลารุส" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BB" title="Факториел – บัลแกเรีย" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Факториел" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="บัลแกเรีย" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%8C%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%95" title="গৌণিক – บังกลา" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গৌণিক" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="บังกลา" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Faktorijel" title="Faktorijel – บอสเนีย" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Faktorijel" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="บอสเนีย" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial – คาตาลัน" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Factorial" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="คาตาลัน" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%DA%A9%D8%AA%DB%86%D8%B1%DB%8C%DB%8E%D9%84" title="فاکتۆریێل – เคิร์ดตอนกลาง" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فاکتۆریێل" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="เคิร์ดตอนกลาง" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Faktori%C3%A1l" title="Faktoriál – เช็ก" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Faktoriál" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="เช็ก" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Факториал – ชูวัช" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Факториал" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="ชูวัช" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematik)" title="Fakultet (matematik) – เดนมาร์ก" lang="da" hreflang="da" data-title="Fakultet (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="เดนมาร์ก" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)" title="Fakultät (Mathematik) – เยอรมัน" lang="de" hreflang="de" data-title="Fakultät (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="เยอรมัน" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C" title="Παραγοντικό – กรีก" lang="el" hreflang="el" data-title="Παραγοντικό" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="กรีก" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="บทความคุณภาพ"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial – อังกฤษ" lang="en" hreflang="en" data-title="Factorial" data-language-autonym="English" data-language-local-name="อังกฤษ" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Faktorialo" title="Faktorialo – เอสเปรันโต" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Faktorialo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="เอสเปรันโต" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial – สเปน" lang="es" hreflang="es" data-title="Factorial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="สเปน" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Faktoriaal" title="Faktoriaal – เอสโตเนีย" lang="et" hreflang="et" data-title="Faktoriaal" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="เอสโตเนีย" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial – บาสก์" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="บาสก์" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%DA%A9%D8%AA%D9%88%D8%B1%DB%8C%D9%84" title="فاکتوریل – เปอร์เซีย" lang="fa" hreflang="fa" data-title="فاکتوریل" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="เปอร์เซีย" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kertoma" title="Kertoma – ฟินแลนด์" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kertoma" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="ฟินแลนด์" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle" title="Factorielle – ฝรั่งเศส" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Factorielle" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="ฝรั่งเศส" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial – กาลิเซีย" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Factorial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="กาลิเซีย" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A2%D7%A6%D7%A8%D7%AA_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="עצרת (מתמטיקה) – ฮิบรู" lang="he" hreflang="he" data-title="עצרת (מתמטיקה)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ฮิบรู" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="क्रमगुणित – ฮินดี" lang="hi" hreflang="hi" data-title="क्रमगुणित" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ฮินดี" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Faktorijel" title="Faktorijel – โครเอเชีย" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Faktorijel" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="โครเอเชีย" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Faktori%C3%A1lis" title="Faktoriális – ฮังการี" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Faktoriális" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ฮังการี" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%A1%D5%AF%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1%D5%AC" title="Ֆակտորիալ – อาร์เมเนีย" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆակտորիալ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="อาร์เมเนีย" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial – อินเตอร์ลิงกัว" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Factorial" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="อินเตอร์ลิงกัว" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial – อิบาน" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="อิบาน" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial – อินโดนีเซีย" lang="id" hreflang="id" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="อินโดนีเซีย" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Faktorialo" title="Faktorialo – อีโด" lang="io" hreflang="io" data-title="Faktorialo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="อีโด" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/A%C3%B0feldi" title="Aðfeldi – ไอซ์แลนด์" lang="is" hreflang="is" data-title="Aðfeldi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ไอซ์แลนด์" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale" title="Fattoriale – อิตาลี" lang="it" hreflang="it" data-title="Fattoriale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="อิตาลี" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97" title="階乗 – ญี่ปุ่น" lang="ja" hreflang="ja" data-title="階乗" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="ญี่ปุ่น" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%A4%E1%83%90%E1%83%A5%E1%83%A2%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%98" title="მათემატიკური ფაქტორიალი – จอร์เจีย" lang="ka" hreflang="ka" data-title="მათემატიკური ფაქტორიალი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="จอร์เจีย" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Факториал – คาซัค" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Факториал" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="คาซัค" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%95%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B2%AE%E0%B2%97%E0%B3%81%E0%B2%A3%E0%B2%BF%E0%B2%A4" title="ಕ್ರಮಗುಣಿತ – กันนาดา" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಕ್ರಮಗುಣಿತ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="กันนาดา" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%84%EC%8A%B9_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="계승 (수학) – เกาหลี" lang="ko" hreflang="ko" data-title="계승 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="เกาหลี" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Factorialis" title="Factorialis – ละติน" lang="la" hreflang="la" data-title="Factorialis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ละติน" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fatorial" title="Fatorial – ลอมบาร์ด" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fatorial" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ลอมบาร์ด" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Faktorialas" title="Faktorialas – ลิทัวเนีย" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Faktorialas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="ลิทัวเนีย" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Faktori%C4%81ls" title="Faktoriāls – ลัตเวีย" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Faktoriāls" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ลัตเวีย" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BB" title="Факториел – มาซิโดเนีย" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Факториел" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="มาซิโดเนีย" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%AE%E0%B4%97%E0%B5%81%E0%B4%A3%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="ക്രമഗുണിതം – มาลายาลัม" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ക്രമഗുണിതം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="มาลายาลัม" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="क्रमगुणित – มราฐี" lang="mr" hreflang="mr" data-title="क्रमगुणित" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="มราฐี" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial – มาเลย์" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="มาเลย์" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Faculteit_(wiskunde)" title="Faculteit (wiskunde) – ดัตช์" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Faculteit (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="ดัตช์" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Fakultet_i_matematikk" title="Fakultet i matematikk – นอร์เวย์นีนอสก์" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Fakultet i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="นอร์เวย์นีนอสก์" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematikk)" title="Fakultet (matematikk) – นอร์เวย์บุคมอล" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Fakultet (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="นอร์เวย์บุคมอล" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Factoriala" title="Factoriala – อ็อกซิตัน" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Factoriala" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="อ็อกซิตัน" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A8%AE%E0%A8%97%E0%A9%81%E0%A8%A3%E0%A8%BF%E0%A8%A4" title="ਕ੍ਰਮਗੁਣਿਤ – ปัญจาบ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਕ੍ਰਮਗੁਣਿਤ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="ปัญจาบ" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Silnia" title="Silnia – โปแลนด์" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Silnia" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="โปแลนด์" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Fatorial" title="Fatorial – พีดมอนต์" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fatorial" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="พีดมอนต์" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fatorial" title="Fatorial – โปรตุเกส" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Fatorial" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="โปรตุเกส" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial – โรมาเนีย" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Factorial" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="โรมาเนีย" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Факториал – รัสเซีย" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Факториал" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="รัสเซีย" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Fatturiali" title="Fatturiali – ซิซิลี" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Fatturiali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="ซิซิลี" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Faktorijel" title="Faktorijel – เซอร์โบ-โครเอเชีย" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Faktorijel" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="เซอร์โบ-โครเอเชีย" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9A%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B6%B8%E0%B7%8F%E0%B6%BB%E0%B7%9D%E0%B6%B4%E0%B7%92%E0%B6%AD%E0%B6%BA" title="ක්‍රමාරෝපිතය – สิงหล" lang="si" hreflang="si" data-title="ක්‍රමාරෝපිතය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="สิงหล" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Factorial" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Faktori%C3%A1l" title="Faktoriál – สโลวัก" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Faktoriál" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="สโลวัก" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Fakulteta_(funkcija)" title="Fakulteta (funkcija) – สโลวีเนีย" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Fakulteta (funkcija)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="สโลวีเนีย" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Faktoriali" title="Faktoriali – แอลเบเนีย" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Faktoriali" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="แอลเบเนีย" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B5%D0%BB" title="Факторијел – เซอร์เบีย" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Факторијел" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="เซอร์เบีย" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematik)" title="Fakultet (matematik) – สวีเดน" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Fakultet (matematik)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="สวีเดน" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AF%8A%E0%AE%9F%E0%AE%B0%E0%AF%8D_%E0%AE%AA%E0%AF%86%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="தொடர் பெருக்கம் – ทมิฬ" lang="ta" hreflang="ta" data-title="தொடர் பெருக்கம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="ทมิฬ" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Paktoryal" title="Paktoryal – ตากาล็อก" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Paktoryal" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="ตากาล็อก" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fakt%C3%B6riyel" title="Faktöriyel – ตุรกี" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Faktöriyel" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="ตุรกี" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB" title="Факторіал – ยูเครน" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Факторіал" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ยูเครน" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%A7%D9%85%D9%84%DB%8C%DB%81" title="عاملیہ – อูรดู" lang="ur" hreflang="ur" data-title="عاملیہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="อูรดู" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial – อุซเบก" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="อุซเบก" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Giai_th%E1%BB%ABa" title="Giai thừa – เวียดนาม" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Giai thừa" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="เวียดนาม" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E9%98%B6%E4%B9%98" title="阶乘 – จีนอู๋" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="阶乘" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="จีนอู๋" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98" title="階乘 – จีน" lang="zh" hreflang="zh" data-title="階乘" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="จีน" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98" title="階乘 – จีนคลาสสิก" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="階乘" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="จีนคลาสสิก" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98" title="階乘 – กวางตุ้ง" lang="yue" hreflang="yue" data-title="階乘" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="กวางตุ้ง" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q120976#sitelinks-wikipedia" title="แก้ไขลิงก์ข้ามภาษา" class="wbc-editpage">แก้ไขลิงก์</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="เนมสเปซ"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" title="ดูหน้าเนื้อหา [c]" accesskey="c"><span>บทความ</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B9%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%A2:%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" rel="discussion" title="อภิปรายเกี่ยวกับหน้าเนื้อหา [t]" accesskey="t"><span>อภิปราย</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="เปลี่ยนรูปแบบภาษา" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">ไทย</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="ดู"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5"><span>อ่าน</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit" title="แก้ไขรหัสต้นฉบับของหน้านี้ [e]" accesskey="e"><span>แก้ไข</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=history" title="แก้ไขเก่าของหน้านี้ [h]" accesskey="h"><span>ดูประวัติ</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="หน้าเครื่องมือ"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="เครื่องมือ" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">เครื่องมือ</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">เครื่องมือ</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">ย้ายเมนูไปที่แถบด้านข้าง</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ซ่อน</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="ตัวเลือกเพิ่มเติม" > <div class="vector-menu-heading"> การกระทำ </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5"><span>อ่าน</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit" title="แก้ไขรหัสต้นฉบับของหน้านี้ [e]" accesskey="e"><span>แก้ไข</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=history"><span>ดูประวัติ</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> ทั่วไป </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%82%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%A1%E0%B8%B2/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" title="รายการหน้าวิกิทุกหน้าที่ลิงก์มาที่นี่ [j]" accesskey="j"><span>หน้าที่ลิงก์มา</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%82%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%A1%E0%B8%B2/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" rel="nofollow" title="รายการเปลี่ยนแปลงล่าสุดในหน้าที่ลิงก์จากหน้านี้ [k]" accesskey="k"><span>การเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวโยง</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//th.wikipedia.org/wiki/วิกิพีเดีย:อัปโหลด" title="อัปโหลดไฟล์ [u]" accesskey="u"><span>อัปโหลดไฟล์</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9" title="รายการหน้าพิเศษทั้งหมด [q]" accesskey="q"><span>หน้าพิเศษ</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&oldid=11957750" title="ลิงก์ถาวรมารุ่นนี้ของหน้านี้"><span>ลิงก์ถาวร</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=info" title="ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหน้านี้"><span>สารสนเทศหน้า</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AD%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%87&page=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&id=11957750&wpFormIdentifier=titleform" title="สารสนเทศเกี่ยวกับวิธีการอ้างอิงหน้านี้"><span>อ้างอิงบทความนี้</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fth.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25E0%25B9%2581%25E0%25B8%259F%25E0%25B8%2581%25E0%25B8%2597%25E0%25B8%25AD%25E0%25B9%2580%25E0%25B8%25A3%25E0%25B8%25B5%25E0%25B8%25A2%25E0%25B8%25A5"><span>รับยูอาร์แอลแบบสั้น</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:QrCode&url=https%3A%2F%2Fth.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25E0%25B9%2581%25E0%25B8%259F%25E0%25B8%2581%25E0%25B8%2597%25E0%25B8%25AD%25E0%25B9%2580%25E0%25B8%25A3%25E0%25B8%25B5%25E0%25B8%25A2%25E0%25B8%25A5"><span>ดาวน์โหลดคิวอาร์โค้ด</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> พิมพ์/ส่งออก </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD&bookcmd=book_creator&referer=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5"><span>สร้างหนังสือ</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:DownloadAsPdf&page=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=show-download-screen"><span>ดาวน์โหลดเป็น PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&printable=yes" title="รุ่นที่พร้อมพิมพ์ของหน้านี้ [p]" accesskey="p"><span>รุ่นพร้อมพิมพ์</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> ในโครงการอื่น </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Factorial_(function)" hreflang="en"><span>วิกิมีเดียคอมมอนส์</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikifunctions mw-list-item"><a href="https://www.wikifunctions.org/wiki/Z13667" hreflang="en"><span>วิกิฟังก์ชัน</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q120976" title="ลิงก์ไปยังสิ่งนี้ในคลังซึ่งเชื่อมโยงข้อมูลต่าง ๆ เข้าด้วยกัน [g]" accesskey="g"><span>สิ่งนี้ในวิกิสนเทศ</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="หน้าเครื่องมือ"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="หน้าตา"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">หน้าตา</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">ย้ายเมนูไปที่แถบด้านข้าง</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ซ่อน</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="th" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10224066">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}</style><table class="plainlinks metadata ambox ambox-notice" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div class="mbox-image-div"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/40px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/60px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/80px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><span style="color:#3366BB;">ลิงก์ข้ามภาษา</span>ในบทความนี้ มีไว้ให้ผู้อ่านและผู้ร่วมแก้ไขบทความศึกษาเพิ่มเติมโดยสะดวก เนื่องจาก<a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B9%84%E0%B8%97%E0%B8%A2" title="วิกิพีเดียภาษาไทย">วิกิพีเดียภาษาไทย</a>ยังไม่มีบทความดังกล่าว กระนั้น ควรรีบสร้างเป็นบทความโดยเร็วที่สุด</div></td></tr></tbody></table> <table class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"> <caption>ตัวอย่างแฟกทอเรียล; ค่าในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ทำการย่อไว้ </caption> <tbody><tr> <th><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> </th> <th><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae971720be3cc9b8d82f4cdac89cb89877514a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.042ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n!}"></span> </th></tr> <tr> <td>0</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td>1</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td>2</td> <td>2 </td></tr> <tr> <td>3</td> <td>6 </td></tr> <tr> <td>4</td> <td>24 </td></tr> <tr> <td>5</td> <td>120 </td></tr> <tr> <td>6</td> <td>720 </td></tr> <tr> <td>7</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7003504000000000000♠"></span>5<span style="margin-left:.25em;">040</span></span> </td></tr> <tr> <td>8</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7004403200000000000♠"></span>40<span style="margin-left:.25em;">320</span></span> </td></tr> <tr> <td>9</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7005362880000000000♠"></span>362<span style="margin-left:.25em;">880</span></span> </td></tr> <tr> <td>10</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7006362880000000000♠"></span>3<span style="margin-left:.25em;">628</span><span style="margin-left:.25em;">800</span></span> </td></tr> <tr> <td>11</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7007399168000000000♠"></span>39<span style="margin-left:.25em;">916</span><span style="margin-left:.25em;">800</span></span> </td></tr> <tr> <td>12</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7008479001600000000♠"></span>479<span style="margin-left:.25em;">001</span><span style="margin-left:.25em;">600</span></span> </td></tr> <tr> <td>13</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7009622702080000000♠"></span>6<span style="margin-left:.25em;">227</span><span style="margin-left:.25em;">020</span><span style="margin-left:.25em;">800</span></span> </td></tr> <tr> <td>14</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7010871782912000000♠"></span>87<span style="margin-left:.25em;">178</span><span style="margin-left:.25em;">291</span><span style="margin-left:.25em;">200</span></span> </td></tr> <tr> <td>15</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7012130767436800000♠"></span>1<span style="margin-left:.25em;">307</span><span style="margin-left:.25em;">674</span><span style="margin-left:.25em;">368</span><span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td></tr> <tr> <td>16</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7013209227898880000♠"></span>20<span style="margin-left:.25em;">922</span><span style="margin-left:.25em;">789</span><span style="margin-left:.25em;">888</span><span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td></tr> <tr> <td>17</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7014355687428096000♠"></span>355<span style="margin-left:.25em;">687</span><span style="margin-left:.25em;">428</span><span style="margin-left:.25em;">096</span><span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td></tr> <tr> <td>18</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7015640237370572800♠"></span>6<span style="margin-left:.25em;">402</span><span style="margin-left:.25em;">373</span><span style="margin-left:.25em;">705</span><span style="margin-left:.25em;">728</span><span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td></tr> <tr> <td>19</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7017121645100408832♠"></span>121<span style="margin-left:.25em;">645</span><span style="margin-left:.25em;">100</span><span style="margin-left:.25em;">408</span><span style="margin-left:.25em;">832</span><span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td></tr> <tr> <td>20</td> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7018243290200817664♠"></span>2<span style="margin-left:.25em;">432</span><span style="margin-left:.25em;">902</span><span style="margin-left:.25em;">008</span><span style="margin-left:.25em;">176</span><span style="margin-left:.25em;">640</span><span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td></tr> <tr> <td>25 </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="7025155112100400000♠"></span>1.551<span style="margin-left:.25em;">121</span><span style="margin-left:.25em;">004</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>25</sup></span> </td></tr> <tr> <td>50 </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="7064304140932000000♠"></span>3.041<span style="margin-left:.25em;">409</span><span style="margin-left:.25em;">320</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>64</sup></span> </td></tr> <tr> <td>70 </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="7100119785716700000♠"></span>1.197<span style="margin-left:.25em;">857</span><span style="margin-left:.25em;">167</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>100</sup></span> </td></tr> <tr> <td>100 </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="7157933262154400000♠"></span>9.332<span style="margin-left:.25em;">621</span><span style="margin-left:.25em;">544</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>157</sup></span> </td></tr> <tr> <td>450 </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="9000000000000000000♠"></span>1.733<span style="margin-left:.25em;">368</span><span style="margin-left:.25em;">733</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>1<span style="margin-left:.25em;">000</span></sup></span> </td></tr> <tr> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7003100000000000000♠"></span>1<span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="9000000000000000000♠"></span>4.023<span style="margin-left:.25em;">872</span><span style="margin-left:.25em;">601</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>2<span style="margin-left:.25em;">567</span></sup></span> </td></tr> <tr> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7003324900000000000♠"></span>3<span style="margin-left:.25em;">249</span></span> </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="9000000000000000000♠"></span>6.412<span style="margin-left:.25em;">337</span><span style="margin-left:.25em;">688</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>10<span style="margin-left:.25em;">000</span></sup></span> </td></tr> <tr> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7004100000000000000♠"></span>10<span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="9000000000000000000♠"></span>2.846<span style="margin-left:.25em;">259</span><span style="margin-left:.25em;">681</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>35<span style="margin-left:.25em;">659</span></sup></span> </td></tr> <tr> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7004252060000000000♠"></span>25<span style="margin-left:.25em;">206</span></span> </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="9000000000000000000♠"></span>1.205<span style="margin-left:.25em;">703</span><span style="margin-left:.25em;">438</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>100<span style="margin-left:.25em;">000</span></sup></span> </td></tr> <tr> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7005100000000000000♠"></span>100<span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="9000000000000000000♠"></span>2.824<span style="margin-left:.25em;">229</span><span style="margin-left:.25em;">408</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>456<span style="margin-left:.25em;">573</span></sup></span> </td></tr> <tr> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7005205023000000000♠"></span>205<span style="margin-left:.25em;">023</span></span> </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="9000000000000000000♠"></span>2.503<span style="margin-left:.25em;">898</span><span style="margin-left:.25em;">932</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>1<span style="margin-left:.25em;">000</span><span style="margin-left:.25em;">004</span></sup></span> </td></tr> <tr> <td><span class="nowrap"><span data-sort-value="7006100000000000000♠"></span>1<span style="margin-left:.25em;">000</span><span style="margin-left:.25em;">000</span></span> </td> <td style="text-align:left"><span class="nowrap"><span data-sort-value="9000000000000000000♠"></span>8.263<span style="margin-left:.25em;">931</span><span style="margin-left:.25em;">688</span><span style="margin-left:0.25em;margin-right:0.15em;">×</span>10<sup>5<span style="margin-left:.25em;">565</span><span style="margin-left:.25em;">708</span></sup></span> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Googol" class="mw-redirect" title="Googol"><span class="nowrap"><span data-sort-value="7100100000000000000♠"></span>10<sup>100</sup></span></a></td> <td>10<sup><span class="nowrap"><span data-sort-value="7101995657055180894♠"></span>10<sup>101.998<span style="margin-left:.25em;">109</span><span style="margin-left:.25em;">775</span><span style="margin-left:.25em;">4820</span></sup></span></sup> </td></tr></tbody></table> <p>ในทาง<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="คณิตศาสตร์">คณิตศาสตร์</a> <b>แฟกทอเรียล</b> (<a href="/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A4%E0%B8%A9" title="ภาษาอังกฤษ">อังกฤษ</a>: <span lang="en">factorial</span>) ของ<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99%E0%B8%A5%E0%B8%9A" class="mw-redirect" title="จำนวนเต็มไม่เป็นลบ">จำนวนเต็มไม่เป็นลบ</a> <i>n</i> คือ<a href="/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" class="mw-disambig" title="ผลคูณ">ผลคูณ</a>ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ <i>n</i> เขียนแทนด้วย <i>n</i>! (อ่านว่า <i>n</i> แฟกทอเรียล) </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo>⋯</mo> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f850a56fb2d948805be9a7eb87b7b0bbeacb1c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.154ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1\,.}"></span></dd></dl> <p>ตัวอย่างเช่น </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mo>×</mo> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>120</mn> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8e40f24e608a71fe8999ce1a9b9830d4dc918c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:29.313ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\;}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของ<a href="/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87" title="ผลคูณว่าง">ผลคูณว่าง</a> <sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94" title="คณิตศาสตร์เชิงการจัด">คณิตศาสตร์เชิงการจัด</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95" title="พีชคณิต">พีชคณิต</a> และ<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C" title="คณิตวิเคราะห์">คณิตวิเคราะห์</a> การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน <i>n</i> สิ่งสามารถทำได้ <i>n</i>! วิธี (<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="การเรียงสับเปลี่ยน">การเรียงสับเปลี่ยน</a>ของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย <sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> นอกจากนี้ <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99_%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="คริสเตียน แครมป์ (ไม่มีหน้านี้)">คริสเตียน แครมป์</a> (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ <i>n</i>! เมื่อ <a href="/wiki/%E0%B8%84.%E0%B8%A8._1808" class="mw-redirect" title="ค.ศ. 1808">ค.ศ. 1808</a> (พ.ศ. 2351) <sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบน<a href="#การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม">อาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม</a>ได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์ </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="นิยาม"><span id=".E0.B8.99.E0.B8.B4.E0.B8.A2.E0.B8.B2.E0.B8.A1"></span>นิยาม</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=1" title="แก้ไขส่วน: นิยาม"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>k</mi> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a12207f0e8e25f965ea13b2562f8d58a9f01520" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; margin-right: -0.345ex; width:9.666ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>หรือนิยามแบบ<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%94" class="mw-redirect" title="เวียนเกิด">เวียนเกิด</a>ได้ดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>if </mtext> </mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>if </mtext> </mrow> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d15a5799811194cc36a3ac81dc2608b5443964d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.641ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0!=1\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0!=1\;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d11caf2d24a6040adf3a9bdb1218669952482fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.715ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0!=1\;}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก </p> <ul><li>การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)</li> <li>ความสัมพันธ์เวียนเกิด <span class="nowrap">(<i>n</i> + 1)! = <i>n</i>! × (<i>n</i> + 1)</span> ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ <i>n</i> > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี <i>n</i> = 0 ได้ด้วย</li> <li>นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่น<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง">ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</a>ในรูปแบบอนุกรมกำลัง <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a9298efa55f8da4b31868da8e08f68e6bc2ae2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.481ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}"></span></dd></dl></li> <li>เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจาก<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87" title="เซตว่าง">เซตว่าง</a>เท่ากับ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tbinom {0}{0}}={\tfrac {0!}{0!0!}}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mn>0</mn> <mn>0</mn> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>0</mn> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> <mo>!</mo> <mn>0</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tbinom {0}{0}}={\tfrac {0!}{0!0!}}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e984caf1cbfafd5967a9ef23e42f170c7516b15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.706ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tbinom {0}{0}}={\tfrac {0!}{0!0!}}=1}"></span> หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) <i>n</i> ตัวจากเซตที่มีขนาด <i>n</i> เท่ากับ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mn>0</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce360e76633ddad56958efbcaea2040e1e286464" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:14.035ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1}"></span></li></ul> <p>ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียด<a href="#การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม">ด้านล่าง</a> ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ใน<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82" title="เครื่องคิดเลข">เครื่องคิดเลข</a>ระดับสูงและ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%8B%E0%B8%AD%E0%B8%9F%E0%B8%95%E0%B9%8C%E0%B9%81%E0%B8%A7%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์ (ไม่มีหน้านี้)">ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์</a>อาทิ<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="เมเพิล (ไม่มีหน้านี้)">เมเพิล</a>หรือ<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="แมเทอแมติกา (ไม่มีหน้านี้)">แมเทอแมติกา</a> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="การประยุกต์"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.A2.E0.B8.B8.E0.B8.81.E0.B8.95.E0.B9.8C"></span>การประยุกต์</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=2" title="แก้ไขส่วน: การประยุกต์"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>แม้ว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลมีที่มาจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด แต่สูตรที่เกี่ยวข้องกับแฟกทอเรียลก็ปรากฏในคณิตศาสตร์หลายสาขา </p> <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="การเรียงสับเปลี่ยน">การเรียงสับเปลี่ยน</a> (permutation) โดยพื้นฐานคือการเรียงลำดับวัตถุ <i>n</i> สิ่งที่แตกต่างกัน ซึ่งสามารถทำได้ <i>n</i>! วิธี</li> <li>บ่อยครั้งที่แฟกทอเรียลปรากฏเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99" title="ตัวส่วน">ตัวส่วน</a>ในสูตรเพื่ออธิบายว่า การเรียงลำดับของวัตถุไม่มีความสำคัญและถูกเพิกเฉย ตัวอย่างตามแบบฉบับเช่น <a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88" title="การจัดหมู่">การจัดหมู่</a> (combination) วัตถุ <i>k</i> สิ่งจากเซตของวัตถุ <i>n</i> สิ่ง เราอาจจัดหมู่โดยการเรียงสับเปลี่ยนวัตถุ <i>k</i> สิ่ง หมายความว่าเลือกวัตถุสิ่งหนึ่งออกจากเซตทีละครั้งเป็นจำนวน <i>k</i> ครั้ง กระทั่งได้จำนวนวิธีรวมเท่ากับ</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8edddc122177240d34baebd656f49c30b6f80832" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.148ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}"></span></dd></dl></dd> <dd>อย่างไรก็ตาม การเรียงลำดับของวัตถุที่ถูกเลือกในการจัดหมู่ไม่มีความสำคัญ และเนื่องจากการเรียงลำดับวัตถุ <i>k</i> สิ่งสามารถกระทำได้แตกต่างกัน <i>k</i>! วิธี เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีของการจัดหมู่วัตถุ <i>k</i> สิ่งจากเซตของวัตถุ <i>n</i> สิ่งที่ถูกต้องจึงควรเท่ากับ <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋯</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6e6e7afa7cacaa3fee5544a674df37410fe026" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:37.82ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}"></span></dd></dl></dd> <dd>ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักในชื่อ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="สัมประสิทธิ์ทวินาม (ไม่มีหน้านี้)">สัมประสิทธิ์ทวินาม</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206415d3742167e319b2e52c2ca7563b799abad7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.116ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}"></span> เพราะว่ามันเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B9%8C" title="สัมประสิทธิ์">สัมประสิทธิ์</a>ของพจน์ <i>X</i><sup><i>k</i></sup> ในการกระจาย <span class="nowrap">(1 + <i>X</i>)<sup><i>n</i></sup></span></dd></dl> <ul><li>แฟกทอเรียลปรากฏในพีชคณิตด้วยเหตุผลหลายประการ ตัวอย่างเช่นสัมประสิทธิ์ของ<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" class="mw-redirect" title="สูตรทวินาม">สูตรทวินาม</a>ดังที่กล่าวแล้ว หรือ<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%89%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2" class="mw-redirect" title="การเฉลี่ย">การเฉลี่ย</a>บนการเรียงสับเปลี่ยนเพื่อ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%B3%E0%B9%83%E0%B8%AB%E0%B9%89%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทำให้สมมาตร (ไม่มีหน้านี้)">การทำให้สมมาตร</a> (symmetrization) ของการดำเนินการเฉพาะอย่าง</li> <li>แฟกทอเรียลก็มีใช้ใน<a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="แคลคูลัส">แคลคูลัส</a> ตัวอย่างเช่นตัวส่วนของพจน์ใน<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมเทย์เลอร์ (ไม่มีหน้านี้)">อนุกรมเทย์เลอร์</a> (Taylor series) เพื่อชดเชยข้อเท็จจริงโดยพื้นฐานว่าอนุพันธ์ชั้นที่ <i>n</i> ของ <i>x</i><sup><i>n</i></sup> คือ <i>n</i>!</li> <li>แฟกทอเรียลก็มีใช้อย่างกว้างขวางใน<a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99" title="ทฤษฎีความน่าจะเป็น">ทฤษฎีความน่าจะเป็น</a></li> <li>แฟกทอเรียลมีประโยชน์ทำให้การจัดดำเนินการนิพจน์สะดวกขึ้น ตัวอย่างเช่นจำนวนวิธีของการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ <i>k</i> สิ่งจากวัตถุ <i>n</i> สิ่ง สามารถเขียนได้เป็น</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3cdb0269887c7eb618c8b98c7bd60a1f2142479" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.322ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}"></span></dd></dl></dd> <dd>มันอาจถูกใช้เพื่อพิสูจน์สมบัติสมมาตรของสัมประสิทธิ์ทวินาม ในกรณีที่ไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเช่นนั้นได้ <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5bdaecca5655f7e589176fef6fac1b5679b9e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:48.734ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ทฤษฎีจำนวน"><span id=".E0.B8.97.E0.B8.A4.E0.B8.A9.E0.B8.8E.E0.B8.B5.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99"></span>ทฤษฎีจำนวน</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=3" title="แก้ไขส่วน: ทฤษฎีจำนวน"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>แฟกทอเรียลมีการใช้งานหลายอย่างใน<a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99" title="ทฤษฎีจำนวน">ทฤษฎีจำนวน</a> โดยเฉพาะอย่างยิ่ง <i>n</i>! สามารถหารด้วย<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%89%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%B0" title="จำนวนเฉพาะ">จำนวนเฉพาะ</a>ทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ <i>n</i> ได้ลงตัว ผลสรุปที่ตามมาคือ <i>n</i> > 5 จะเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A" title="จำนวนประกอบ">จำนวนประกอบ</a>ก็ต่อเมื่อ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mtext> </mtext> <mo>≡</mo> <mtext> </mtext> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f3ff68119244759998b16f292b73bac433c7b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.355ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%A5%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีของวิลสัน (ไม่มีหน้านี้)">ทฤษฎีของวิลสัน</a> (Wilson's theorem) ได้กล่าวถึงผลสรุปที่เคร่งครัดมากกว่าดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mtext> </mtext> <mo>≡</mo> <mtext> </mtext> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cb0e4827d20aac7f6fb67f16494ec4bb959cda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.744ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ก็ต่อเมื่อ <i>p</i> เป็นจำนวนเฉพาะ </p><p><a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%87-%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B5_%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%8C%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%94%E0%B8%A3%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์">อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์</a> (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ <i>p</i> ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ <i>n</i>! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495345a91979fe971b1c68d68e7bd9a74990ae83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:9.258ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ <i>p</i> ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง <i>n</i>; จำนวนพหุคูณของ <i>p</i> ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง <i>n</i> สามารถพิจารณาได้จากสูตร <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>p</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2575c60543b58c4ab2c0f5aefb18149a134ec02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:4.277ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }"></span> อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ <i>p</i> เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ee3d2411bc3c55588fcc6500d96a6643ec0265" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:4.95ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor }"></span> ตัวของ <i>p</i> ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก <i>p</i><sup><i>i</i></sup> สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ <i>n</i> สำหรับ <i>i</i> หลายค่าอย่างจำกัด และ<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%9E%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%99" class="mw-redirect" title="ฟังก์ชันพื้น">ฟังก์ชันพื้น</a>จะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ <i>p</i><sup><i>i</i></sup> > <i>n</i> </p><p>แฟกทอเรียลที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วยมีจำนวนเดียวคือ 2 แต่ก็มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่อยู่ในรูปแบบ <i>n</i>! ± 1 เรียกว่า<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%89%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="จำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล (ไม่มีหน้านี้)">จำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล</a> (factorial prime) </p><p>แฟกทอเรียลที่มากกว่า 0! และ 1! เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B9%88" class="mw-redirect" title="จำนวนคู่">จำนวนคู่</a>ทั้งหมด เพราะว่าเป็นพหุคูณของ 2 นอกจากนี้แฟกทอเรียลที่มากกว่า 5! ก็เป็นพหุคูณของ 10 (และทำให้มี<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A8%E0%B8%B9%E0%B8%99%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B8%A5%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="ศูนย์ลงท้าย (ไม่มีหน้านี้)">ศูนย์ลงท้าย</a>ในหลักสุดท้ายเป็นต้นไป) เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 5 กับ 2 </p><p>อนุกรมที่มีแต่ละพจน์เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%9A" class="mw-redirect" title="ส่วนกลับ">ส่วนกลับ</a>ของแฟกทอเรียล ทำให้เกิด<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%A5%E0%B8%B9%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมลู่เข้า (ไม่มีหน้านี้)">อนุกรมลู่เข้า</a>และมีค่าเท่ากับ <a href="/wiki/E_(%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7)" title="E (ค่าคงตัว)">e</a> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\ldots =e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>120</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\ldots =e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a42375509fdc9ec2dc2dd00e40f8a4c735b335" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:49.145ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\ldots =e}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ_n_มีขนาดใหญ่"><span id=".E0.B8.AD.E0.B8.B1.E0.B8.95.E0.B8.A3.E0.B8.B2.E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B8.B4.E0.B8.9A.E0.B9.82.E0.B8.95.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.A1.E0.B8.B2.E0.B8.93.E0.B9.80.E0.B8.A1.E0.B8.B7.E0.B9.88.E0.B8.AD_n_.E0.B8.A1.E0.B8.B5.E0.B8.82.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.94.E0.B9.83.E0.B8.AB.E0.B8.8D.E0.B9.88"></span>อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ <i>n</i> มีขนาดใหญ่</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=4" title="แก้ไขส่วน: อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ n มีขนาดใหญ่"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:Log-factorial.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Log-factorial.svg/300px-Log-factorial.svg.png" decoding="async" width="300" height="240" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Log-factorial.svg/450px-Log-factorial.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Log-factorial.svg/600px-Log-factorial.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="480" /></a><figcaption>การลงจุดของลอการิทึมธรรมชาติของแฟกทอเรียล</figcaption></figure> <p>เมื่อ <i>n</i> มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า <i>n</i>! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่า<a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" title="พหุนาม">พหุนาม</a>และ<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง">ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</a>ทั้งหมดที่มี <i>n</i> ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่า<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น</a>) </p><p>การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดของ <i>n</i>! ใช้พื้นฐานบน<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B8%98%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="ลอการิทึมธรรมชาติ">ลอการิทึมธรรมชาติ</a>ดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9575e414bc02550923f7c2b0e9b2fbbd069f15b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.929ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>กราฟของฟังก์ชัน <i>f</i>(<i>n</i>) = log <i>n</i>! แสดงไว้ในภาพด้านขวา ลักษณะของกราฟดูเหมือนเป็นเส้นตรง (<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99" title="ฟังก์ชันเชิงเส้น">ฟังก์ชันเชิงเส้น</a>) สำหรับทุกค่าของ <i>n</i> ที่เป็นไปได้ แต่ความจริงมันไม่ใช่เส้นตรง เราอาจประมาณค่า log <i>n</i>! อย่างง่ายโดยกำหนดขอบเขตบนและล่างด้วย<a href="/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="ปริพันธ์">ปริพันธ์</a> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>≤</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>≤</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e100f22ce6dfad176a69c71317127426c4edc52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:43.434ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ซึ่งจะได้การประมาณค่าดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≤</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622260fd68791b030745b1362e868d0282d5c0fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:49.584ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>เนื่องจากการคำนวณ log <i>n</i>! มีประสิทธิภาพเป็น <a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%AD%E0%B9%83%E0%B8%AB%E0%B8%8D%E0%B9%88" title="สัญกรณ์โอใหญ่">Θ</a>(<i>n</i> log <i>n</i>) สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%8B%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B9%83%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%93" class="mw-redirect" title="ความซับซ้อนในการคำนวณ">ความซับซ้อนในการคำนวณ</a>ของ<a href="/wiki/%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="ขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ">ขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ</a> (ดูเพิ่มที่<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ (ไม่มีหน้านี้)">การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ</a>) </p><p>จากขอบเขตของ log <i>n</i>! ที่ได้ สามารถลดรูปจนเหลือเพียง </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≤</mo> <mi>e</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80e19195d22f354c8bd22c4030e2a507ed4ffb7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.604ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>การใช้สูตรดังกล่าวในทางปฏิบัติบางครั้งสามารถประมาณได้ง่ายกว่าแต่ไม่เคร่งครัด สูตรดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า สำหรับทุกค่าของ <i>n</i> จะได้ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n/3)^{n}<n!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo><</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n/3)^{n}<n!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f6771ceff4d8cf9e3a7fcd59accce57f2fe8bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.887ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n/3)^{n}<n!}"></span> และสำหรับ <i>n</i> ≥ 6 จะได้ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!<(n/2)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo><</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!<(n/2)^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5ce5bee9edc94483a3de48989d8260734dbd0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.887ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!<(n/2)^{n}}"></span> เป็นต้น </p><p>เมื่อ <i>n</i> เป็นจำนวนขนาดใหญ่ เรามีวิธีการประมาณค่า <i>n</i>! ที่ดีกว่าโดยใช้<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%93%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="การประมาณของสเตอร์ลิง (ไม่มีหน้านี้)">การประมาณของสเตอร์ลิง</a> (Stirling's approximation) </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7136fede6a5ec27a99e73f47a17234df0f4bd94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.19ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่าของ <i>n</i> สูตรดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338a36e7f3ffc05de8d4886288a64db6ccd619e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.19ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>การประมาณค่า log <i>n</i>! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย <a href="/wiki/%E0%B8%A8%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B0_%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%99" class="mw-redirect" title="ศรีนิวาสะ รามานุจัน">ศรีนิวาสะ รามานุจัน</a> ดังนี้ <sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\log(\pi )}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≈</mo> <mi>n</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\log(\pi )}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa2ac5fa80025f28b1d15255a267fee6a2af706" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:55.65ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\log(\pi )}{2}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.82.E0.B8.A2.E0.B8.B2.E0.B8.A2.E0.B9.81.E0.B8.9F.E0.B8.81.E0.B8.97.E0.B8.AD.E0.B9.80.E0.B8.A3.E0.B8.B5.E0.B8.A2.E0.B8.A5.E0.B9.84.E0.B8.9B.E0.B8.A2.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AD.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B9.8C.E0.B8.81.E0.B8.B4.E0.B8.A7.E0.B9.80.E0.B8.A1.E0.B8.99.E0.B8.95.E0.B9.8C.E0.B8.97.E0.B8.B5.E0.B9.88.E0.B9.84.E0.B8.A1.E0.B9.88.E0.B9.80.E0.B8.9B.E0.B9.87.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B9.87.E0.B8.A1"></span>การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=5" title="แก้ไขส่วน: การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย"><span id=".E0.B8.9F.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B9.8C.E0.B8.8A.E0.B8.B1.E0.B8.99.E0.B9.81.E0.B8.81.E0.B8.A1.E0.B8.A1.E0.B8.B2.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.9F.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B9.8C.E0.B8.8A.E0.B8.B1.E0.B8.99.E0.B8.9E.E0.B8.B2.E0.B8.A2"></span>ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=6" title="แก้ไขส่วน: ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r9751016">.mw-parser-output .hatnote{font-style:italic}.mw-parser-output div.hatnote{padding-left:1.6em;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}.mw-parser-output .hatnote+link+.hatnote{margin-top:-0.5em}</style><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B2" title="ฟังก์ชันแกมมา">ฟังก์ชันแกมมา</a></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:Generalized_factorial_function.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Generalized_factorial_function.svg/325px-Generalized_factorial_function.svg.png" decoding="async" width="325" height="205" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Generalized_factorial_function.svg/488px-Generalized_factorial_function.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Generalized_factorial_function.svg/650px-Generalized_factorial_function.svg.png 2x" data-file-width="500" data-file-height="315" /></a><figcaption>ฟังก์ชันแฟกทอเรียลที่วางนัยทั่วไปบนจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง 0! = 1! = 1, (−0.5)! = √<i>π</i>, (0.5)! = √<i>π</i>/2</figcaption></figure> <p>นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจาก<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C" title="คณิตวิเคราะห์">คณิตวิเคราะห์</a> ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่า<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B2" title="ฟังก์ชันแกมมา">ฟังก์ชันแกมมา</a> (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ(<i>z</i>) ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน <i>z</i> ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ <i>z</i> เป็นจำนวนบวก ดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a480a5ec57bcb9dd3760e099241faecdf8d048e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.824ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมากับแฟกทอเรียลเมื่อ <i>n</i> เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183d6e706dfd1673395942dd53aecaa0fe336bb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.187ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>สูตรดั้งเดิมของ<a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="ออยเลอร์">ออยเลอร์</a>สำหรับนิยามฟังก์ชันแกมมาคือ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c117e34c9c7fd2451a15df988dae61b51f270950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.838ex; width:22.863ex; height:10.343ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ยังมีสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่งซึ่ง<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B9%8C" title="เกาส์">เกาส์</a>เป็นผู้คิดค้นและบางครั้งก็ถูกใช้เช่นกัน นั่นคือ <i>ฟังก์ชันพาย</i> (Pi function) เขียนแทนด้วย Π(<i>z</i>) นิยามไว้สำหรับจำนวนจริง <i>z</i> ที่ไม่น้อยกว่า 0 ดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af7aa6991d44264ac136c8172abbfe3bdb6053b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.014ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>หากเทียบกับฟังก์ชันแกมมาจะได้ว่า </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779b94db570a34af2f8ed9caf96394faaa77c684" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.479ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ฟังก์ชันพายเป็นการขยายแนวคิดแฟกทอเรียลอย่างแท้จริงดังนี้ </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi (n)=n!{\text{ for }}n\in \mathbf {N} \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> for </mtext> </mrow> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi (n)=n!{\text{ for }}n\in \mathbf {N} \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afcdff95efb6d93634e6ec7283fa3fea824586b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.748ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi (n)=n!{\text{ for }}n\in \mathbf {N} \,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน <i>z</i> ทุกจำนวนที่นิยาม </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86802fd6cd2500a7baf3507650b1159e7f3c4919" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.858ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ใน<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="สมการเชิงฟังก์ชัน">สมการเชิงฟังก์ชัน</a> เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f791185416afb2f260045905d079b288700018b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.197ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>เนื่องจากแฟกทอเรียลถูกขยายโดยฟังก์ชันพาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อน <i>z</i> ทุกจำนวนที่นิยาม เราจึงสามารถเขียนว่า </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z!=\Pi (z)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z!=\Pi (z)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e30c6ba885b962a5962d625c52fe8b877ce156" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.861ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z!=\Pi (z)\,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B6%E0%B9%88%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="จำนวนเต็มครึ่ง (ไม่มีหน้านี้)">จำนวนเต็มครึ่ง</a> (half-integer) สามารถพิจารณาได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยพื้นฐานเราทราบว่า </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7cddd4f9bee55df6464a38c90d7d5571c0ae2ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.056ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>เมื่อ <i>n</i> เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้สูตร </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2k-1 \over 2}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!}{\sqrt {\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2k-1 \over 2}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!}{\sqrt {\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d468d95df4628c3530a06b58c1ba6104a747e816" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:93.293ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2k-1 \over 2}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!}{\sqrt {\pi }}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ตัวอย่าง </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={7! \over 2^{7}3!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3.5</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mn>4</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>7</mn> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>105</mn> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>11.63</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={7! \over 2^{7}3!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f09f0c7bef98b262f6248b47aa9e4994c2c25d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:84.288ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={7! \over 2^{7}3!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>และอีกสูตรหนึ่ง </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2 \over 1-2k}={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2 \over 1-2k}={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99094403b47c0276eeba42f4d08a1289e97ca55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:75.96ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2 \over 1-2k}={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ตัวอย่าง </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2.5</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>3.5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>3.5</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>15</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mo>−</mo> <mn>0.9453</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e078786b680d01165bbc26f92c24691ede62b5fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:89.273ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันวิเคราะห์ (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันวิเคราะห์</a> (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น <a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%9A%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C-%E0%B9%82%E0%B8%A1%E0%B8%A5%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9B" title="ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัป">ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัป</a>ระบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ(<i>n</i> + 1) = <i>n</i>Γ(<i>n</i>), เป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%9F%E0%B8%B4%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก</a> (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม</a> (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π(<i>n</i>) = <i>n</i>Π(<i>n</i> − 1) </p><p>อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%8C%E0%B8%B1%E0%B8%81_%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%94%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฌัก อาดามาร์ (ไม่มีหน้านี้)">ฌัก อาดามาร์</a> (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B9%88%E0%B8%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันทั่ว (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันทั่ว</a> (entire function) <sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>ออยเลอร์ยังได้สร้างสูตรสำหรับการประมาณค่าด้วยผลคูณลู่เข้าสำหรับแฟกทอเรียลที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรของฟังก์ชันแกมมาที่ได้กล่าวไว้แล้ว </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋯</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1664509f7b6a686c0aa4ffd5b2b28f27bb4bbf0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; width:63.802ex; height:13.343ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>อย่างไรก็ดี สูตรนี้ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันพายหรือฟังก์ชันแกมมา เนื่องด้วยอัตราการลู่เข้าของมันนั้นช้า </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.A2.E0.B8.B8.E0.B8.81.E0.B8.95.E0.B9.8C.E0.B9.83.E0.B8.8A.E0.B9.89.E0.B8.9F.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B9.8C.E0.B8.8A.E0.B8.B1.E0.B8.99.E0.B9.81.E0.B8.81.E0.B8.A1.E0.B8.A1.E0.B8.B2"></span>การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=7" title="แก้ไขส่วน: การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3" title="ปริมาตร">ปริมาตร</a>ของ<a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A1_n_%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="ทรงกลม n มิติ">ทรงกลม <i>n</i> มิติ</a>ที่มี<a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%A8%E0%B8%A1%E0%B8%B5" title="รัศมี">รัศมี</a> <i>R</i> หน่วย คำนวณได้จากสูตร </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ((n/2)+1)}}R^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ((n/2)+1)}}R^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def5bbddb98fcbc1a52d82b52e2ca8b84b26c5d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.285ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ((n/2)+1)}}R^{n}}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล"><span id=".E0.B8.9F.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B9.8C.E0.B8.8A.E0.B8.B1.E0.B8.99.E0.B8.97.E0.B8.B5.E0.B9.88.E0.B8.A1.E0.B8.B5.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.81.E0.B8.A9.E0.B8.93.E0.B8.B0.E0.B8.84.E0.B8.A5.E0.B9.89.E0.B8.B2.E0.B8.A2.E0.B8.81.E0.B8.B1.E0.B8.9A.E0.B9.81.E0.B8.9F.E0.B8.81.E0.B8.97.E0.B8.AD.E0.B9.80.E0.B8.A3.E0.B8.B5.E0.B8.A2.E0.B8.A5"></span>ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=8" title="แก้ไขส่วน: ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="มัลติแฟกทอเรียล"><span id=".E0.B8.A1.E0.B8.B1.E0.B8.A5.E0.B8.95.E0.B8.B4.E0.B9.81.E0.B8.9F.E0.B8.81.E0.B8.97.E0.B8.AD.E0.B9.80.E0.B8.A3.E0.B8.B5.E0.B8.A2.E0.B8.A5"></span>มัลติแฟกทอเรียล</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=9" title="แก้ไขส่วน: มัลติแฟกทอเรียล"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>มัลติแฟกทอเรียล</b> เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น </p><p><i>n</i>!! หมายถึง <b>ดับเบิลแฟกทอเรียล</b> ของ <i>n</i> ซึ่งนิยามโดย </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n=0{\mbox{ or }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{if }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mspace width="1em" /> <mtext> </mtext> </mtd> <mtd /> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>if </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> or </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> </mtd> <mtd /> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>if </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>2.</mn> <mspace width="2em" /> <mspace width="2em" /> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n=0{\mbox{ or }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{if }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d3944e9d22c3769892ea2af27e416da72f756e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.354ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n=0{\mbox{ or }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{if }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}"></span></dd></dl> <p>ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ <i>n</i> = 0, 1, 2,... ได้แก่ </p> <dl><dd>1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...</dd></dl> <p>จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb9b1eea666ff0b0c5144e81bdd5965cd53c73e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.124ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}"></span></dd></dl> <p>ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ <i>n</i> = -1, -3, -5, -7,... คือ </p> <dl><dd>1, -1, <span class="sfrac nowrap" style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center; text-indent:0;"><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">1</span><span style="display:none;">/</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em; border-top:1px solid;">3</span></span>, <span class="sfrac nowrap" style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center; text-indent:0;"><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">-1</span><span style="display:none;">/</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em; border-top:1px solid;">15</span></span>, ...</dd></dl> <p>เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่ </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390e334097db00ee3a2bbd16d2a5651c3fb6f8e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9aa3a51b3a8ff18a4b2e4382e56801d0a1fa612" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.568ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd818f59432abf2064c0b394c4352b241c4e1535" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:35.565ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> </mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149d1da605834aa2e48e70db1a7d1e7c06e2166d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.134ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>!</mo> </mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae239ef795169f674f796c1918f2749ac4d6f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.231ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}"></span></dd></dl> <p>ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <msup> <mo>!</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mspace width="2em" /> <mtext> </mtext> </mtd> <mtd /> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>if </mtext> </mstyle> </mrow> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mo><</mo> <mi>k</mi> <mo>;</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo>!</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> <mtd /> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>if </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mi>k</mi> <mo>.</mo> <mspace width="1em" /> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mspace width="thinmathspace" /> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50cd603014d2052b83030550929930495a19490" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:39.512ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ซูเปอร์แฟกทอเรียล"><span id=".E0.B8.8B.E0.B8.B9.E0.B9.80.E0.B8.9B.E0.B8.AD.E0.B8.A3.E0.B9.8C.E0.B9.81.E0.B8.9F.E0.B8.81.E0.B8.97.E0.B8.AD.E0.B9.80.E0.B8.A3.E0.B8.B5.E0.B8.A2.E0.B8.A5"></span>ซูเปอร์แฟกทอเรียล</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=10" title="แก้ไขส่วน: ซูเปอร์แฟกทอเรียล"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">f</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>k</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adca8de65676f6ad7bb1488c2ed99e1a0641296" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:60.753ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}"></span></dd></dl> <p>เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">f</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>!</mo> <mo>×</mo> <mn>2</mn> <mo>!</mo> <mo>×</mo> <mn>3</mn> <mo>!</mo> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>288</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae96735730a2fed3ddf369ded4f0116b8d4f55d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="อ้างอิง"><span id=".E0.B8.AD.E0.B9.89.E0.B8.B2.E0.B8.87.E0.B8.AD.E0.B8.B4.E0.B8.87"></span>อ้างอิง</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&section=11" title="แก้ไขส่วน: อ้างอิง"><span>แก้</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r12126193">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) <i><a href="/w/index.php?title=Concrete_Mathematics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Concrete Mathematics (ไม่มีหน้านี้)">Concrete Mathematics</a></i>, Addison-Wesley, Reading MA. <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/0201142368" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-201-14236-8</a>, p. 111</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">N. L. Biggs, <i>The roots of combinatorics</i>, Historia Math. 6 (1979) 109−136</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10205087">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite id="CITEREFHiggins2008" class="citation cs2">Higgins, Peter (2008), <i>Number Story: From Counting to Cryptography</i>, New York: Copernicus, p. 12, <a href="/wiki/ISBN_(identifier)" class="mw-redirect" title="ISBN (identifier)">ISBN</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/978-1-84800-000-1" title="พิเศษ:แหล่งหนังสือ/978-1-84800-000-1"><bdi>978-1-84800-000-1</bdi></a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Number+Story%3A+From+Counting+to+Cryptography&rft.place=New+York&rft.pages=12&rft.pub=Copernicus&rft.date=2008&rft.isbn=978-1-84800-000-1&rft.aulast=Higgins&rft.aufirst=Peter&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" class="Z3988"></span> says Krempe though.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFRamanujan1988" class="citation cs2">Ramanujan, Srinivasa (1988), <i>The lost notebook and other unpublished papers</i>, Springer Berlin, p. 339, <a href="/wiki/ISBN_(identifier)" class="mw-redirect" title="ISBN (identifier)">ISBN</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/354018726X" title="พิเศษ:แหล่งหนังสือ/354018726X"><bdi>354018726X</bdi></a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+lost+notebook+and+other+unpublished+papers&rft.pages=339&rft.pub=Springer+Berlin&rft.date=1988&rft.isbn=354018726X&rft.aulast=Ramanujan&rft.aufirst=Srinivasa&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFHadamard1894" class="citation cs2 cs1-prop-foreign-lang-source">Hadamard, M. J. (1894), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardFactorial.pdf"><i>Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière</i></a> <span class="cs1-format">(PDF)</span> (ภาษาฝรั่งเศส), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Sur+L%E2%80%99Expression+Du+Produit+1%C2%B72%C2%B73%C2%B7+%C2%B7+%C2%B7+%C2%B7+%C2%B7%28n%E2%88%921%29+Par+Une+Fonction+Enti%C3%A8re&rft.pub=OEuvres+de+Jacques+Hadamard%2C+Centre+National+de+la+Recherche+Scientifiques%2C+Paris%2C+1968&rft.date=1894&rft.aulast=Hadamard&rft.aufirst=M.+J.&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.luschny.de%2Fmath%2Ffactorial%2Fhadamard%2FHadamardFactorial.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Peter Luschny, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html"><i>Hadamard versus Euler - Who found the better Gamma function?</i></a>.</span> </li> </ol></div></div><div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r12093835">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10791470">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="แคลคูลัส" style="padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r12093835"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r12093841">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-ดู"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A:%E0%B8%AB%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="แม่แบบ:หัวข้อแคลคูลัส"><abbr title="ดูแม่แบบนี้" style=";;background:none transparent;border:none;box-shadow:none;padding:0;">ด</abbr></a></li><li class="nv-คุย"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A:%E0%B8%AB%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="คุยเรื่องแม่แบบ:หัวข้อแคลคูลัส (ไม่มีหน้านี้)"><abbr title="อภิปรายแม่แบบนี้" style=";;background:none transparent;border:none;box-shadow:none;padding:0;">ค</abbr></a></li><li class="nv-แก้"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:EditPage/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A:%E0%B8%AB%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="พิเศษ:EditPage/แม่แบบ:หัวข้อแคลคูลัส"><abbr title="แก้ไขแม่แบบนี้" style=";;background:none transparent;border:none;box-shadow:none;padding:0;">ก</abbr></a></li></ul></div><div id="แคลคูลัส" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="แคลคูลัส">แคลคูลัส</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B9%89%E0%B8%9E%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B3%E0%B8%AB%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="ความรู้พื้นฐานสำหรับแคลคูลัส">ก่อนแคลคูลัส</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%97%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" title="ทฤษฎีบททวินาม">ทฤษฎีบททวินาม</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B9%89%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันเว้า (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันเว้า</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันต่อเนื่อง">ฟังก์ชันต่อเนื่อง</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">แฟกทอเรียล</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="ผลต่างอันตะ (ไม่มีหน้านี้)">ผลต่างอันตะ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="ตัวแปรเสรีและตัวแปรแบบมีขอบเขต (ไม่มีหน้านี้)">ตัวแปรเสรีและตัวแปรแบบมีขอบเขต</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%9F%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="กราฟของฟังก์ชัน">กราฟของฟังก์ชัน</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99" title="ฟังก์ชันเชิงเส้น">ฟังก์ชันเชิงเส้น</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="เรเดียน">เรเดียน</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%82%E0%B8%A3%E0%B8%A5%E0%B8%A5%E0%B9%8C" title="ทฤษฎีบทของโรลล์">ทฤษฎีบทของโรลล์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="เส้นตัด (ไม่มีหน้านี้)">เส้นตัด</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="ความชัน">ความชัน</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="เส้นสัมผัส">เส้นสัมผัส</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95" class="mw-redirect" title="ลิมิต">ลิมิต</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%A2%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="รูปแบบยังไม่กำหนด (ไม่มีหน้านี้)">รูปแบบยังไม่กำหนด</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="ลิมิตของฟังก์ชัน">ลิมิตของฟังก์ชัน</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="ลิมิตข้างเดียว (ไม่มีหน้านี้)">ลิมิตข้างเดียว</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="ลิมิตของลำดับ">ลิมิตของลำดับ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="อันดับของการประมาณ (ไม่มีหน้านี้)">อันดับของการประมาณ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A1(%CE%B5,_%CE%B4)%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="นิยาม(ε, δ)ของลิมิต (ไม่มีหน้านี้)">นิยาม(ε, δ)ของลิมิต</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์">แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="อนุพันธ์">อนุพันธ์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87" title="อนุพันธ์อันดับสอง">อนุพันธ์อันดับสอง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุพันธ์ย่อย (ไม่มีหน้านี้)">อนุพันธ์ย่อย</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ผลต่างเชิงอนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">ผลต่างเชิงอนุพันธ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%B3%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%8A%E0%B8%8C%E0%B8%B4%E0%B8%A1" title="ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม">ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%AA%E0%B8%B3%E0%B8%AB%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">สัญกรณ์</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%84%E0%B8%A5%E0%B8%9B%E0%B9%8C%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="สัญกรณ์ของไลป์นิซ (ไม่มีหน้านี้)">สัญกรณ์ของไลป์นิซ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B3%E0%B8%AB%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">สัญกรณ์ของนิวตัน</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="กฎการหาอนุพันธ์">กฎการหาอนุพันธ์</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="สภาพเชิงเส้นของการหาอนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">สภาพเชิงเส้น</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="กฎยกกำลัง">เลขยกกำลัง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%9A%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B9%83%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="กฎผลบวกในการหาอนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">ผลบวก</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%A5%E0%B8%B9%E0%B8%81%E0%B9%82%E0%B8%8B%E0%B9%88" title="กฎลูกโซ่">ลูกโซ่</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%82%E0%B8%A5%E0%B8%9B%E0%B8%B5%E0%B8%95%E0%B8%B2%E0%B8%A5" title="กฎของโลปีตาล">โลปีตาล</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" title="กฎผลคูณ">ผลคูณ</a> <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B9%84%E0%B8%A5%E0%B8%9A%E0%B9%8C%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%8B%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B9%84%E0%B8%9B" title="กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป">กฎทั่วไปของไลบ์นิทซ์</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3" title="กฎผลหาร">ผลหาร</a></li></ul></li> <li>เทคนิคอื่น ๆ <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B8%A2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="การหาอนุพันธ์โดยปริยาย (ไม่มีหน้านี้)">การหาอนุพันธ์โดยปริยาย</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%9C%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันผกผันและการหารอนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันผกผันและการหารอนุพันธ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B8%A2%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุพันธ์โดยลอการิทึม (ไม่มีหน้านี้)">อนุพันธ์โดยลอการิทึม</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="อัตราสัมพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">อัตราสัมพันธ์</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%94%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="จุดนิ่ง (ไม่มีหน้านี้)">จุดนิ่ง</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B6%E0%B9%88%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ไม่มีหน้านี้)">การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (ไม่มีหน้านี้)">การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94%E0%B8%82%E0%B8%B5%E0%B8%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีบทค่าสุดขีด (ไม่มีหน้านี้)">ทฤษฎีบทค่าสุดขีด</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%B3%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94-%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="ค่าต่ำสุด-สูงสุด (ไม่มีหน้านี้)">ค่าต่ำสุด-สูงสุด</a></li></ul></li> <li>การประยุกต์ใช้ <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="วิธีของนิวตัน (ไม่มีหน้านี้)">วิธีของนิวตัน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีบทเทย์เลอร์ (ไม่มีหน้านี้)">ทฤษฎีบทเทย์เลอร์</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="สมการเชิงอนุพันธ์">สมการเชิงอนุพันธ์</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%8D&action=edit&redlink=1" class="new" title="สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ไม่มีหน้านี้)">สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2" title="สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย">สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%AA%E0%B9%82%E0%B8%95%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="สมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก (ไม่มีหน้านี้)">สมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="แคลคูลัสเชิงปริพันธ์">แคลคูลัสเชิงปริพันธ์</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="ปฏิยานุพันธ์">ปฏิยานุพันธ์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B9%89%E0%B8%87" title="ความยาวส่วนโค้ง">ความยาวส่วนโค้ง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%99%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์แบบรีมันน์ (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์แบบรีมันน์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C#สมบัติ" title="ปริพันธ์">สมบัติพื้นฐาน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%8E%E0%B8%B4%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ค่าคงตัวของการหาปฎิยานุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">ค่าคงตัวของการหาปฎิยานุพันธ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีมูลฐานของแคลคูลัส (ไม่มีหน้านี้)">ทฤษฎีมูลฐานของแคลคูลัส</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%84%E0%B8%A5%E0%B8%9A%E0%B9%8C%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%8B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="กฎปริพันธ์ไลบ์นิทซ์ (ไม่มีหน้านี้)">หาอนุพันธ์ในเครื่องหมายปริพันธ์</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน (ไม่มีหน้านี้)">การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า (ไม่มีหน้านี้)">การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%93%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="การแทนค่าด้วยตรีโกณมิติ (ไม่มีหน้านี้)">ตรีโกณมิติ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="การแทนค่าแบบออยเลอร์ (ไม่มีหน้านี้)">ออยเลอร์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B9%81%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B6%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="การแทนค่าด้วยแทนเจนต์ครึ่งมุม (ไม่มีหน้านี้)">การแทนค่าด้วยแทนเจนต์ครึ่งมุม</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%83%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="เศษส่วนย่อยในการหาปริพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">เศษส่วนย่อยในการหาปริพันธ์</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์กำลังสอง (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์กำลังสอง</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%93%E0%B8%91%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="หลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู (ไม่มีหน้านี้)">หลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู</a></li> <li>ปริมาตรจากการหมุน <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%88%E0%B8%B2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="การหาปริพันธ์จาน (ไม่มีหน้านี้)">วิธีจานและแหวน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%B7%E0%B8%AD%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="การหาปริพันธ์เปลือก (ไม่มีหน้านี้)">วิธีเปลือก</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="สมการเชิงปริพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">สมการเชิงปริพันธ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C-%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="สมการเชิงปริพันธ์-อนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">สมการเชิงปริพันธ์-อนุพันธ์</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="แคลคูลัสเวกเตอร์">แคลคูลัสเวกเตอร์</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li>อนุพันธ์ <ul><li><a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%B4%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A5" title="เคิร์ล">เคิร์ล</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%B8%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B8%A8%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุพันธ์ระบุทิศทาง (ไม่มีหน้านี้)">อนุพันธ์ระบุทิศทาง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%84%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B8%8B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ไดเวอร์เจนซ์ (ไม่มีหน้านี้)">ไดเวอร์เจนซ์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C" title="เกรเดียนต์">เกรเดียนต์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%B3%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="ตัวดำเนินการลาปลาส (ไม่มีหน้านี้)">ลาปลาเชียน</a></li></ul></li> <li>ทฤษฎีบทพื้นฐาน <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%95%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีบทมูลฐานของปริพันธ์ตามเส้น (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์ตามเส้น</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%99" title="ทฤษฎีบทของกรีน">กรีน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B9%82%E0%B8%95%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีบทของสโตกส์ (ไม่มีหน้านี้)">สโตกส์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B9%84%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B8%8B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (ไม่มีหน้านี้)">เกาส์</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A3" title="แคลคูลัสหลายตัวแปร">แคลคูลัสหลายตัวแปร</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B9%84%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B8%8B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (ไม่มีหน้านี้)">ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต (ไม่มีหน้านี้)">เชิงเรขาคณิต</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%AE%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="เมทริกซ์เฮสเซียน (ไม่มีหน้านี้)">เมทริกซ์เฮสเซียน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C%E0%B8%88%E0%B8%B2%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B9%81%E0%B8%99%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="เมทริกซ์จาโคเบียนและดีเทอร์มิแนนต์ (ไม่มีหน้านี้)">เมทริกซ์จาโคเบียนและดีเทอร์มิแนนต์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ตัวคูณลากรานจ์ (ไม่มีหน้านี้)">ตัวคูณลากรานจ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%95%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์ตามเส้น (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์ตามเส้น</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="แคลคูลัสเมทริกซ์ (ไม่มีหน้านี้)">แคลคูลัสเมทริกซ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์หลายชั้น (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์หลายชั้น</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุพันธ์ย่อย (ไม่มีหน้านี้)">อนุพันธ์ย่อย</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%95%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%9C%E0%B8%B4%E0%B8%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์ตามผิว (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์ตามผิว</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%95%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์ตามปริมาตร (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์ตามปริมาตร</a></li> <li>หัวข้อขั้นสูง <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟอร์มเชิงอนุพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">ฟอร์มเชิงอนุพันธ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุพันธ์ภายนอก (ไม่มีหน้านี้)">อนุพันธ์ภายนอก</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B9%82%E0%B8%95%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B9%8C%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%A2%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B9%84%E0%B8%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทฤษฎีบทของสโตกส์วางนัยทั่วไป (ไม่มีหน้านี้)">ทฤษฎีบทของสโตกส์วางนัยทั่วไป</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="แคลคูลัสเทนเซอร์ (ไม่มีหน้านี้)">แคลคูลัสเทนเซอร์</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">ลำดับและอนุกรม</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95-%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (ไม่มีหน้านี้)">ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต</a></li> <li>ชนิดของอนุกรม <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="อนุกรมสลับ">สลับ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมทวินาม (ไม่มีหน้านี้)">ทวินาม</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%9F%E0%B8%B9%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A3%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="อนุกรมฟูเรียร์">ฟูเรียร์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95" title="อนุกรมเรขาคณิต">เรขาคณิต</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AE%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมฮาร์มอนิก (ไม่มีหน้านี้)">ฮาร์มอนิก</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="อนุกรมอนันต์">อนันต์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมกำลัง (ไม่มีหน้านี้)">กำลัง</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมแมคลอริน (ไม่มีหน้านี้)">แมคลอริน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมเทย์เลอร์ (ไม่มีหน้านี้)">เทย์เลอร์</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AA%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมเทเลสโกป (ไม่มีหน้านี้)">เทเลสโกป</a></li></ul></li> <li>การทดสอบการลู่ออก <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบของอาเบล (ไม่มีหน้านี้)">อาเบล</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบอนุกรมสลับ (ไม่มีหน้านี้)">อนุกรมสลับ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%9A%E0%B9%81%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%99%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%8A%E0%B8%B5&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบความควบแน่นโคชี (ไม่มีหน้านี้)">ความควบแน่นโคชี</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%9A%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B8%A2%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%87" title="การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง">เปรียบเทียบโดยตรง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%94%E0%B8%B4%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%8A%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%95%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบของดิริชเลต์ (ไม่มีหน้านี้)">ดิริชเลต์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A5%E0%B8%B9%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบด้วยปริพันธ์เพื่อหาการลู่เข้า (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%9A%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B8%A2%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต (ไม่มีหน้านี้)">เปรียบเทียบลิมิต</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบด้วยอัตราส่วน (ไม่มีหน้านี้)">อัตราส่วน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B8%A2%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="การทดสอบโดยราก (ไม่มีหน้านี้)">ราก</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B8%A2%E0%B8%9E%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="การทดสอบโดยพจน์">พจน์</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">ฟังก์ชันและ<br />ตัวเลขพิเศษ</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%99%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%A5%E0%B8%B5&action=edit&redlink=1" class="new" title="เลขแบร์นูลลี (ไม่มีหน้านี้)">เลขแบร์นูลลี</a></li> <li><a href="/wiki/E_(%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7)" title="E (ค่าคงตัว)">e (ค่าคงตัว)</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง">ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B8%98%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="ลอการิทึมธรรมชาติ">ลอการิทึมธรรมชาติ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%93%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="การประมาณสเตอร์ลิง (ไม่มีหน้านี้)">การประมาณสเตอร์ลิง</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="ประวัติของแคลคูลัส (ไม่มีหน้านี้)">ประวัติของแคลคูลัส</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B9%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ความสมบูรณ์ (ไม่มีหน้านี้)">ความสมบูรณ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9A%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%81_%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="บรูก เทย์เลอร์ (ไม่มีหน้านี้)">บรูก เทย์เลอร์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%99_%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="คอลิน แมคลอริน (ไม่มีหน้านี้)">คอลิน แมคลอริน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%A2%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B9%84%E0%B8%9B%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="การวางนัยทั่วไปของพีชคณิต (ไม่มีหน้านี้)">การวางนัยทั่วไปของพีชคณิต</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%97%E0%B8%9F%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%97_%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%A5%E0%B9%80%E0%B8%AE%E0%B9%87%E0%B8%A5%E0%B9%8C%E0%B8%A1_%E0%B9%84%E0%B8%A5%E0%B8%9A%E0%B9%8C%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%8B%E0%B9%8C" title="ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์">ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C" title="กณิกนันต์">กณิกนันต์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B8%81%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="แคลคูลัสกณิกนันต์ (ไม่มีหน้านี้)">แคลคูลัสกณิกนันต์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%AD%E0%B9%81%E0%B8%8B%E0%B8%81_%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="ไอแซก นิวตัน">ไอแซก นิวตัน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟลักเซียน (ไม่มีหน้านี้)">ฟลักเซียน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="กฎของความต่อเนื่อง (ไม่มีหน้านี้)">กฎของความต่อเนื่อง</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%AE%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97_%E0%B8%AD%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์">เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์</a></li> <li><i><a href="/w/index.php?title=Method_of_Fluxions&action=edit&redlink=1" class="new" title="Method of Fluxions (ไม่มีหน้านี้)">Method of Fluxions</a></i></li> <li><i><a href="/wiki/The_Method_of_Mechanical_Theorems" class="mw-redirect" title="The Method of Mechanical Theorems">The Method of Mechanical Theorems</a></i></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">รายการ</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="กฎการหาอนุพันธ์">กฎการหาอนุพันธ์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ไม่มีหน้านี้)">รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%84%E0%B8%AE%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%9A%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก (ไม่มีหน้านี้)">รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%84%E0%B8%AE%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%9A%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผัน (ไม่มีหน้านี้)">รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผัน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%93%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%9C%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (ไม่มีหน้านี้)">รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันอตรรกยะ (ไม่มีหน้านี้)">รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันอตรรกยะ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม (ไม่มีหน้านี้)">รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะ (ไม่มีหน้านี้)">รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะ</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%93%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ">รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์ของฟังก์ชันเซแคนต์ (ไม่มีหน้านี้)">เซแคนต์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์ของเซแคนต์กำลังสาม (ไม่มีหน้านี้)">เซแคนต์กำลังสาม</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการลิมิต (ไม่มีหน้านี้)">รายการลิมิต</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="รายการปริพันธ์ (ไม่มีหน้านี้)">รายการปริพันธ์</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">หัวข้อพิเศษ</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li>แคลคูลัสเชิงซ้อน <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%95%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%A3%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ (ไม่มีหน้านี้)">ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ</a></li></ul></li> <li>เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ <ul><li><a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B9%82%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C" title="แมนิโฟลด์">แมนิโฟลด์</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B9%89%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ความโค้ง (ไม่มีหน้านี้)">ความโค้ง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B9%89%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเส้นโค้ง (ไม่มีหน้านี้)">ของเส้นโค้ง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9C%E0%B8%B4%E0%B8%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของผิว (ไม่มีหน้านี้)">ของผิว</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="เทนเซอร์ (ไม่มีหน้านี้)">เทนเซอร์</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C-%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="สูตรออยเลอร์-แมคลอริน (ไม่มีหน้านี้)">สูตรออยเลอร์-แมคลอริน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="แตรของแกรเบรียล (ไม่มีหน้านี้)">แตรของแกรเบรียล</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%9A%E0%B8%B5&action=edit&redlink=1" class="new" title="อินทีเกรชันบี (ไม่มีหน้านี้)">อินทีเกรชันบี</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87_22/7_%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2_%CF%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="บทพิสูจน์ที่ว่าค่าของ 22/7 มากกว่า π (ไม่มีหน้านี้)">บทพิสูจน์ที่ว่าค่าของ 22/7 มากกว่า π</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%AD%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปัญหามุมมากสุดของเรจีโอมอนมานุส (ไม่มีหน้านี้)">ปัญหามุมมากสุดของเรจีโอมอนมานุส</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%82%E0%B9%87%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B9%84%E0%B8%95%E0%B8%99%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B9%87%E0%B8%97%E0%B8%AA%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ของแข็งสไตน์เม็ทส์ (ไม่มีหน้านี้)">ของแข็งสไตน์เม็ทส์</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">เข้าถึงจาก "<a dir="ltr" href="https://th.wikipedia.org/w/index.php?title=แฟกทอเรียล&oldid=11957750">https://th.wikipedia.org/w/index.php?title=แฟกทอเรียล&oldid=11957750</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88" title="พิเศษ:หมวดหมู่">หมวดหมู่</a>: <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94" title="หมวดหมู่:คณิตศาสตร์เชิงการจัด">คณิตศาสตร์เชิงการจัด</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99" title="หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน">ทฤษฎีจำนวน</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%87" title="หมวดหมู่:ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันอื่นที่เกี่ยวข้อง">ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันอื่นที่เกี่ยวข้อง</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">หมวดหมู่ที่ซ่อนอยู่: <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:CS1_%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%9D%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%AA_(fr)" title="หมวดหมู่:CS1 แหล่งที่มาภาษาฝรั่งเศส (fr)">CS1 แหล่งที่มาภาษาฝรั่งเศส (fr)</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9_ISBN" title="หมวดหมู่:หน้าที่ใช้ลิงก์พิเศษ ISBN">หน้าที่ใช้ลิงก์พิเศษ ISBN</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B9%84%E0%B8%9B%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%99%E0%B9%83%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%AB%E0%B8%B2" title="หมวดหมู่:บทความที่มีลิงก์ไปภาษาอื่นในส่วนเนื้อหา">บทความที่มีลิงก์ไปภาษาอื่นในส่วนเนื้อหา</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A4%E0%B8%A9" title="หมวดหมู่:บทความที่มีข้อความภาษาอังกฤษ">บทความที่มีข้อความภาษาอังกฤษ</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> หน้านี้แก้ไขล่าสุดเมื่อวันที่ 20 พฤศจิกายน 2567 เวลา 02:18 น.</li> <li id="footer-info-copyright"><div>อนุญาตให้เผยแพร่ภายใต้<a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/">สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์ แบบแสดงที่มา-อนุญาตแบบเดียวกัน</a> และอาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ดูรายละเอียดที่ <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/th">ข้อกำหนดการใช้งาน</a><br /> Wikipedia® เป็นเครื่องหมายการค้าจดทะเบียนของ<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">มูลนิธิวิกิมีเดีย</a> องค์กรไม่แสวงผลกำไร</div> <div class="noprint"><br /><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD" title="วิกิพีเดีย:ติดต่อ">ติดต่อเรา</a></div></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">นโยบายความเป็นส่วนตัว</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%9A">เกี่ยวกับวิกิพีเดีย</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%98%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9C%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%8A%E0%B8%AD%E0%B8%9A">ข้อปฏิเสธความรับผิดชอบ</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">จรรยาบรรณ</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">ผู้พัฒนา</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/th.wikipedia.org">สถิติ</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">นโยบายการใช้คุกกี้</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//th.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">มุมมองสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" lang="en" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-header-container vector-sticky-header-container"> <div id="vector-sticky-header" class="vector-sticky-header"> <div class="vector-sticky-header-start"> <div class="vector-sticky-header-icon-start vector-button-flush-left vector-button-flush-right" aria-hidden="true"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-sticky-header-search-toggle" tabindex="-1" data-event-name="ui.vector-sticky-search-form.icon"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>ค้นหา</span> </button> </div> <div role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box"> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail"> <form action="/w/index.php" id="vector-sticky-search-form" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="ค้นหาใน วิกิพีเดีย"> <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="พิเศษ:ค้นหา"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">ค้นหา</button> </form> </div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-context-bar"> <nav aria-label="สารบัญ" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-sticky-header-toc vector-sticky-header-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-sticky-header-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Toggle the table of contents" > <label id="vector-sticky-header-toc-label" for="vector-sticky-header-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Toggle the table of contents</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-sticky-header-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div class="vector-sticky-header-context-bar-primary" aria-hidden="true" ><span class="mw-page-title-main">แฟกทอเรียล</span></div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-end" aria-hidden="true"> <div class="vector-sticky-header-icons"> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-talk-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="talk-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbles mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbles"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-subject-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="subject-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-article mw-ui-icon-wikimedia-article"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-history-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="history-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-history mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-history"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only mw-watchlink" id="ca-watchstar-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="watch-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-star mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-star"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="wikitext-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-wikiText mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-wikiText"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-ve-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-edit mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-edit"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-viewsource-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-protected-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-editLock mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-editLock"></span> <span></span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-buttons"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet mw-interlanguage-selector" id="p-lang-btn-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-language mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-language"></span> <span>80 ภาษา</span> </button> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive" id="ca-addsection-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="addsection-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbleAdd-progressive mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbleAdd-progressive"></span> <span>เพิ่มหัวข้อ</span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-icon-end"> <div class="vector-user-links"> </div> </div> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-85c4475c8c-9nbpt","wgBackendResponseTime":111,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.422","walltime":"0.597","ppvisitednodes":{"value":1286,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":73909,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":271,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":8,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":1,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":23736,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 384.630 1 -total"," 25.57% 98.335 1 แม่แบบ:รายการอ้างอิง"," 21.63% 83.200 1 แม่แบบ:Langx"," 20.65% 79.416 3 แม่แบบ:Citation"," 18.47% 71.036 1 แม่แบบ:หัวข้อแคลคูลัส"," 17.92% 68.913 1 แม่แบบ:Navbox"," 15.35% 59.023 35 แม่แบบ:Val"," 10.21% 39.276 1 แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น"," 9.81% 37.739 1 แม่แบบ:Ambox"," 5.33% 20.517 1 แม่แบบ:บทความหลัก"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.248","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":19029781,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-5f467697bf-xm6vm","timestamp":"20250212081622","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0e41\u0e1f\u0e01\u0e17\u0e2d\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e25","url":"https:\/\/th.wikipedia.org\/wiki\/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q120976","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q120976","author":{"@type":"Organization","name":"\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e21\u0e35\u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e23\u0e48\u0e27\u0e21\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e42\u0e04\u0e23\u0e07\u0e01\u0e32\u0e23\u0e27\u0e34\u0e01\u0e34\u0e21\u0e35\u0e40\u0e14\u0e35\u0e22"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-05-21T19:51:01Z","dateModified":"2024-11-19T19:18:00Z","headline":"\u0e2a\u0e31\u0e0d\u0e25\u0e31\u0e01\u0e29\u0e13\u0e4c\u0e17\u0e32\u0e07\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

แฟกทอเรียล - วิกิพีเดีย