CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="hu" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Fourier-analízis – Wikipédia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )huwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"ymd","wgMonthNames":["","január","február","március","április","május","június","július","augusztus","szeptember","október","november","december"],"wgRequestId":"91358296-aa26-44be-afcf-4f2cf034fde6","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Fourier-analízis","wgTitle":"Fourier-analízis","wgCurRevisionId":26663987,"wgRevisionId":26663987,"wgArticleId":492154,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Wikipédia-szócikkek LCCN-azonosítóval","Wikipédia-szócikkek GND-azonosítóval","Wikipédia-szócikkek BNF-azonosítóval","Fourier-analízis","Matematikatörténet","Digitális jelfeldolgozás"],"wgPageViewLanguage":"hu","wgPageContentLanguage":"hu","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Fourier-analízis","wgRelevantArticleId":492154,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true, "wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":2}}},"wgStableRevisionId":26663987,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"hu","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"hu"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q1365258","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false, "wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.wikiMenuStyles":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.wdsearch","ext.gadget.irclogin", "ext.gadget.ImageAnnotator.loader","ext.gadget.collapsible","ext.gadget.kepdia","ext.gadget.kinai","ext.gadget.poziciosTerkep","ext.gadget.wikiMenu","ext.gadget.wiwosm","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=hu&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=ext.gadget.infobox%2CwikiMenuStyles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.6"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Fourier-analízis – Wikipédia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//hu.m.wikipedia.org/wiki/Fourier-anal%C3%ADzis"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Szerkesztés" href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipédia (hu)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//hu.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Fourier-anal%C3%ADzis"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.hu"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipédia Atom-hírcsatorna" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Friss_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Fourier-analízis rootpage-Fourier-analízis skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Ugrás a tartalomhoz</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Wiki"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Főmenü" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Főmenü</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Főmenü</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">elrejtés</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigáció </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Kezd%C5%91lap" title="A kezdőlap megtekintése [z]" accesskey="z"><span>Kezdőlap</span></a></li><li id="n-sidebar-contents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Tartalom"><span>Tartalom</span></a></li><li id="n-sidebar-featured" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kiemelt_sz%C3%B3cikkek_list%C3%A1ja"><span>Kiemelt szócikkek</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Friss_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok" title="A wikiben történt legutóbbi változtatások listája [r]" accesskey="r"><span>Friss változtatások</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Lap_tal%C3%A1lomra" title="Egy véletlenszerűen kiválasztott lap betöltése [x]" accesskey="x"><span>Lap találomra</span></a></li><li id="n-sidebar-enquiries" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Tudakoz%C3%B3"><span>Tudakozó</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-sidebar-participate" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-sidebar-participate" > <div class="vector-menu-heading"> Részvétel </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-sidebar-basics" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:%C3%9Aj_szerkeszt%C5%91knek"><span>Kezdőknek</span></a></li><li id="n-sidebar-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Seg%C3%ADts%C3%A9g"><span>Segítség</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Port%C3%A1l:K%C3%B6z%C3%B6ss%C3%A9g" title="A projektről, miben segíthetsz, mit hol találsz meg"><span>Közösségi portál</span></a></li><li id="n-sidebar-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kapcsolatfelv%C3%A9tel"><span>Kapcsolatfelvétel</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Kezd%C5%91lap" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipédia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fr.svg" style="width: 7.4375em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-hu.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Keres%C3%A9s" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Keresés a Wikipédián [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Keresés</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Keresés a Wikipédián" aria-label="Keresés a Wikipédián" autocapitalize="sentences" title="Keresés a Wikipédián [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Speciális:Keresés"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Keresés</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Személyes eszközök"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Megjelenés"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Megjelenés" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Megjelenés</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=hu.wikipedia.org&uselang=hu" class=""><span>Adományok</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Szerkeszt%C5%91i_fi%C3%B3k_l%C3%A9trehoz%C3%A1sa&returnto=Fourier-anal%C3%ADzis" title="Arra bíztatunk, hogy hozz létre egy fiókot, és jelentkezz be, azonban ez nem kötelező" class=""><span>Fiók létrehozása</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Bel%C3%A9p%C3%A9s&returnto=Fourier-anal%C3%ADzis" title="Bejelentkezni javasolt, de nem kötelező [o]" accesskey="o" class=""><span>Bejelentkezés</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="További lehetőségek" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Személyes eszközök" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Személyes eszközök</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Felhasználói menü" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=hu.wikipedia.org&uselang=hu"><span>Adományok</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Szerkeszt%C5%91i_fi%C3%B3k_l%C3%A9trehoz%C3%A1sa&returnto=Fourier-anal%C3%ADzis" title="Arra bíztatunk, hogy hozz létre egy fiókot, és jelentkezz be, azonban ez nem kötelező"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Fiók létrehozása</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Bel%C3%A9p%C3%A9s&returnto=Fourier-anal%C3%ADzis" title="Bejelentkezni javasolt, de nem kötelező [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Bejelentkezés</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Lapok kijelentkezett szerkesztőknek <a href="/wiki/Seg%C3%ADts%C3%A9g:Bevezet%C3%A9s" aria-label="Tudj meg többet a szerkesztésről"><span>további információk</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:K%C3%B6zrem%C5%B1k%C3%B6d%C3%A9seim" title="Erről az IP-címről végrehajtott szerkesztések listája [y]" accesskey="y"><span>Közreműködések</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Vit%C3%A1m" title="Az általad használt IP-címről végrehajtott szerkesztések megvitatása [n]" accesskey="n"><span>Vitalap</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Wiki"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Tartalomjegyzék" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Tartalomjegyzék</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">elrejtés</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Bevezető</div> </a> </li> <li id="toc-A_kezdetek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#A_kezdetek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>A kezdetek</span> </div> </a> <ul id="toc-A_kezdetek-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-A_rezgő_húr_problémája" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#A_rezgő_húr_problémája"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>A rezgő húr problémája</span> </div> </a> <ul id="toc-A_rezgő_húr_problémája-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-A_hővezetés_egyenlete" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#A_hővezetés_egyenlete"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>A hővezetés egyenlete</span> </div> </a> <ul id="toc-A_hővezetés_egyenlete-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-A_történelmi_kezdetek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#A_történelmi_kezdetek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>A történelmi kezdetek</span> </div> </a> <ul id="toc-A_történelmi_kezdetek-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fourier-analízis_és_Fourier-szintézis_további_alakulása" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Fourier-analízis_és_Fourier-szintézis_további_alakulása"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Fourier-analízis és Fourier-szintézis további alakulása</span> </div> </a> <ul id="toc-Fourier-analízis_és_Fourier-szintézis_további_alakulása-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Jegyzetek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Jegyzetek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Jegyzetek</span> </div> </a> <ul id="toc-Jegyzetek-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Források" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Források"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Források</span> </div> </a> <ul id="toc-Források-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Tartalomjegyzék" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Tartalomjegyzék kinyitása/becsukása" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Tartalomjegyzék kinyitása/becsukása</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fourier-analízis</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ugrás egy más nyelvű szócikkre. Elérhető 36 nyelven" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-36" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">36 nyelv</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis" title="Fourier analysis – angol" lang="en" hreflang="en" data-title="Fourier analysis" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angol" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D9%81%D9%88%D8%B1%D9%8A%D9%8A%D9%87" title="تحليل فورييه – arab" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تحليل فورييه" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arab" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%8B" title="Фурье анализы – baskír" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Фурье анализы" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baskír" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%BD%D0%B0_%D0%A4%D1%83%D1%80%D0%B8%D0%B5" title="Анализ на Фурие – bolgár" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Анализ на Фурие" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bolgár" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AB%E0%A7%81%E0%A6%B0%E0%A6%BF%E0%A6%AF%E0%A6%BC%E0%A7%87_%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%B7%E0%A6%A3" title="ফুরিয়ে বিশ্লেষণ – bangla" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ফুরিয়ে বিশ্লেষণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bangla" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/An%C3%A0lisi_de_Fourier" title="Anàlisi de Fourier – katalán" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Anàlisi de Fourier" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="katalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%B4%DB%8C%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C%DB%8C_%D9%81%D9%88%D9%88%D8%B1%DB%8C%DB%8E" title="شیکاریی فووریێ – közép-ázsiai kurd" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="شیکاریی فووریێ" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="közép-ázsiai kurd" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Analysis" title="Fourier-Analysis – német" lang="de" hreflang="de" data-title="Fourier-Analysis" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="német" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BD%CE%AC%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7_%CE%A6%CE%BF%CF%85%CF%81%CE%B9%CE%AD" title="Ανάλυση Φουριέ – görög" lang="el" hreflang="el" data-title="Ανάλυση Φουριέ" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="görög" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Furiera_analitiko" title="Furiera analitiko – eszperantó" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Furiera analitiko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="eszperantó" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_Fourier" title="Análisis de Fourier – spanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Análisis de Fourier" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="spanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Fourier%27_anal%C3%BC%C3%BCs" title="Fourier' analüüs – észt" lang="et" hreflang="et" data-title="Fourier' analüüs" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="észt" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Fourierren_analisia" title="Fourierren analisia – baszk" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Fourierren analisia" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baszk" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A2%D9%86%D8%A7%D9%84%DB%8C%D8%B2_%D9%81%D9%88%D8%B1%DB%8C%D9%87" title="آنالیز فوریه – perzsa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="آنالیز فوریه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perzsa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_de_Fourier" title="Analyse de Fourier – francia" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Analyse de Fourier" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francia" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_de_Fourier" title="Análise de Fourier – gallego" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Análise de Fourier" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A5%81%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%85%E0%A4%B0_%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%B6%E0%A5%8D%E0%A4%B2%E0%A5%87%E0%A4%B7%E0%A4%A3" title="फुरिअर विश्लेषण – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="फुरिअर विश्लेषण" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_Fourier" title="Analisis Fourier – indonéz" lang="id" hreflang="id" data-title="Analisis Fourier" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonéz" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_di_Fourier" title="Analisi di Fourier – olasz" lang="it" hreflang="it" data-title="Analisi di Fourier" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="olasz" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%90%86%E8%AB%96" title="フーリエ理論 – japán" lang="ja" hreflang="ja" data-title="フーリエ理論" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japán" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%91%B8%EB%A6%AC%EC%97%90_%ED%95%B4%EC%84%9D%ED%95%99" title="푸리에 해석학 – koreai" lang="ko" hreflang="ko" data-title="푸리에 해석학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreai" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Furj%C4%97_analiz%C4%97" title="Furjė analizė – litván" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Furjė analizė" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litván" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Analisis_Fourier" title="Analisis Fourier – maláj" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Analisis Fourier" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="maláj" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Fourieranalyse" title="Fourieranalyse – holland" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Fourieranalyse" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="holland" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Fourieranalyse" title="Fourieranalyse – norvég (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Fourieranalyse" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvég (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Analiza_fourierowska" title="Analiza fourierowska – lengyel" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Analiza fourierowska" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="lengyel" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_de_Fourier" title="Análise de Fourier – portugál" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Análise de Fourier" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugál" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5" title="Анализ Фурье – orosz" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Анализ Фурье" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="orosz" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis" title="Fourier analysis – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Fourier analysis" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Furijeova_analiza" title="Furijeova analiza – szerb" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Furijeova analiza" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="szerb" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Analisis_Fourier" title="Analisis Fourier – szundanéz" lang="su" hreflang="su" data-title="Analisis Fourier" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="szundanéz" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fourier_analizi" title="Fourier analizi – török" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Fourier analizi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="török" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%A4%D1%83%D1%80%27%D1%94" title="Аналіз Фур'є – ukrán" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Аналіз Фур'є" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrán" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_Fourier" title="Giải tích Fourier – vietnámi" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Giải tích Fourier" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnámi" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%88%86%E6%9E%90" title="傅里叶分析 – kínai" lang="zh" hreflang="zh" data-title="傅里叶分析" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="kínai" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E5%88%86%E6%9E%90" title="傅利葉分析 – kantoni" lang="yue" hreflang="yue" data-title="傅利葉分析" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoni" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1365258#sitelinks-wikipedia" title="Nyelvközi hivatkozások szerkesztése" class="wbc-editpage">Hivatkozások szerkesztése</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Névterek"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fourier-anal%C3%ADzis" title="A lap megtekintése [c]" accesskey="c"><span>Szócikk</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Vita:Fourier-anal%C3%ADzis" rel="discussion" title="Az oldal tartalmának megvitatása [t]" accesskey="t"><span>Vitalap</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Nyelvvariáns váltása" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">magyar</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Nézetek"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fourier-anal%C3%ADzis"><span>Olvasás</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit" title="Az oldal forráskódjának szerkesztése [e]" accesskey="e"><span>Szerkesztés</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=history" title="A lap korábbi változatai [h]" accesskey="h"><span>Laptörténet</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Oldal eszközök"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eszközök" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eszközök</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eszközök</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">elrejtés</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="További lehetőségek" > <div class="vector-menu-heading"> Műveletek </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Fourier-anal%C3%ADzis"><span>Olvasás</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit" title="Az oldal forráskódjának szerkesztése [e]" accesskey="e"><span>Szerkesztés</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=history"><span>Laptörténet</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Általános </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Mi_hivatkozik_erre/Fourier-anal%C3%ADzis" title="Az erre a lapra hivatkozó más lapok listája [j]" accesskey="j"><span>Mi hivatkozik erre?</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Kapcsol%C3%B3d%C3%B3_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok/Fourier-anal%C3%ADzis" rel="nofollow" title="Az erről a lapról hivatkozott lapok utolsó változtatásai [k]" accesskey="k"><span>Kapcsolódó változtatások</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Speci%C3%A1lis_lapok" title="Az összes speciális lap listája [q]" accesskey="q"><span>Speciális lapok</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&oldid=26663987" title="Állandó hivatkozás ezen lap ezen változatához"><span>Hivatkozás erre a változatra</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=info" title="További információk erről a lapról"><span>Lapinformációk</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Hivatkoz%C3%A1s&page=Fourier-anal%C3%ADzis&id=26663987&wpFormIdentifier=titleform" title="Információk a lap idézésével kapcsolatban"><span>Hogyan hivatkozz erre a lapra?</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:UrlQ%C4%B1sald%C4%B1c%C4%B1s%C4%B1&url=https%3A%2F%2Fhu.wikipedia.org%2Fwiki%2FFourier-anal%25C3%25ADzis"><span>Rövidített URL készítése</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:QrKodu&url=https%3A%2F%2Fhu.wikipedia.org%2Fwiki%2FFourier-anal%25C3%25ADzis"><span>QR-kód letöltése</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Nyomtatás/exportálás </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:K%C3%B6nyv&bookcmd=book_creator&referer=Fourier-anal%C3%ADzis"><span>Könyv készítése</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:DownloadAsPdf&page=Fourier-anal%C3%ADzis&action=show-download-screen"><span>Letöltés PDF-ként</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&printable=yes" title="A lap nyomtatható változata [p]" accesskey="p"><span>Nyomtatható változat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Társprojektek </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Fourier_analysis" hreflang="en"><span>Wikimédia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1365258" title="Kapcsolt adattárelem [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-adatlap</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Oldal eszközök"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Megjelenés"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Megjelenés</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">elrejtés</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-indicator-fr-review-status" class="mw-indicator"><indicator name="fr-review-status" class="mw-fr-review-status-indicator" id="mw-fr-revision-toggle"><span class="cdx-fr-css-icon-review--status--stable"></span><b>Ellenőrzött</b></indicator></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><div id="mw-fr-revision-messages"><div id="mw-fr-revision-details" class="mw-fr-revision-details-dialog" style="display:none;"><div tabindex="0"></div><div class="cdx-dialog cdx-dialog--horizontal-actions"><header class="cdx-dialog__header cdx-dialog__header--default"><div class="cdx-dialog__header__title-group"><h2 class="cdx-dialog__header__title">Változat állapota</h2><p class="cdx-dialog__header__subtitle">Ez a lap egy ellenőrzött változata</p></div><button class="cdx-button cdx-button--action-default cdx-button--weight-quiet
							cdx-button--size-medium cdx-button--icon-only cdx-dialog__header__close-button" aria-label="Close" onclick="document.getElementById("mw-fr-revision-details").style.display = "none";" type="submit"><span class="cdx-icon cdx-icon--medium
							cdx-fr-css-icon--close"></span></button></header><div class="cdx-dialog__body">Ez a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Jel%C3%B6lt_lapv%C3%A1ltozatok" title="Wikipédia:Jelölt lapváltozatok">közzétett változat</a>, <a class="external text" href="https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Rendszernapl%C3%B3k&type=review&page=Fourier-anal%C3%ADzis">ellenőrizve</a>: <i>2023. december 3.</i><p><table id="mw-fr-revisionratings-box" class="flaggedrevs-color-1" style="margin: auto;" cellpadding="0"><tr><td class="fr-text" style="vertical-align: middle;">Pontosság</td><td class="fr-value40" style="vertical-align: middle;">ellenőrzött</td></tr></table></p></div></div><div tabindex="0"></div></div></div></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="hu" dir="ltr"><p>A <a href="/wiki/Fourier-sor" title="Fourier-sor">Fourier-sorok</a> vizsgálata nagyban hozzájárult az <a href="/wiki/Matematikai_anal%C3%ADzis" title="Matematikai analízis">analízis</a> fejlődéséhez. W. R. Wade amerikai professzor egy magyar nyelven megjelent nyilatkozatában a következőt mondta a <b>Fourier-analízis</b>sel kapcsolatban: <i>„A klasszikus harmonikus analízis, a Fourier-analízis gyökerei mélyre nyúlnak. Mondhatnám, <a href="/wiki/Isten" title="Isten">Isten</a> volt az első, aki Fourier-analízist művelt, amikor fülünkbe beépített egy Fourier-analizátort. Ugyanis már a gyermek is képes arra, hogy különbséget tegyen például a hegedű és a harsona hangja között. Annak ellenére, hogy a hangjegyek, amelyekkel a dallamot leírjuk, ugyanazok. Mi akkor a különbség a két hang között? Az, hogy amikor megszólaltatunk egy hangot, az sosem csupán tiszta hang, hanem több felhangból álló együttes. Kissé általánosabban fogalmazva: minden függvényben, ami egy hangzásnak megfelel, sok rejtett információ van, amit észlelni kell, s fülünk észlelni is tudja.”</i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="A_kezdetek">A kezdetek</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit&section=1" title="Szakasz szerkesztése: A kezdetek"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Már a differenciál- és <a href="/wiki/Integr%C3%A1lsz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1s" class="mw-redirect" title="Integrálszámítás">integrálszámítás</a> XVII. századi kialakulásában is döntő szerepet játszottak bizonyos fizikai problémák. A fizika kulcsszerepe az analízis további fejlődésében is megmaradt. A XVIII. században és a XIX. század elején a fizika több olyan problémát is felvetett, amelyek elősegítették új matematikai elméletek megalkotását. A Fourier-sorok elméletének kialakulásában is két fizikai probléma játszott főszerepet: a rezgő húr problémája, és a <a href="/wiki/H%C5%91vezet%C3%A9s" title="Hővezetés">hővezetés</a> egyenlete. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="A_rezgő_húr_problémája"><span id="A_rezg.C5.91_h.C3.BAr_probl.C3.A9m.C3.A1ja"></span>A rezgő húr problémája</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit&section=2" title="Szakasz szerkesztése: A rezgő húr problémája"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A <a href="/wiki/18._sz%C3%A1zad" title="18. század">18. században</a> vita folyt az akkori kor három vezető matematikusa <a href="/wiki/Jean_le_Rond_d%E2%80%99Alembert" title="Jean le Rond d’Alembert">d'Alembert</a>, <a href="/wiki/Daniel_Bernoulli" title="Daniel Bernoulli">Bernoulli</a> és <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> között egy mechanikai probléma, a két végpontjában rögzített, kifeszített rugalmas húr rezgésének matematikai leírásáról. Meg is született a probléma egy mai szemmel nézve is korrekt megoldása, de ez nem vált széles körben elfogadottá. </p><p> Tegyük fel, hogy a számegyenes 0 és L pontjai között ki van feszítve egy húr. A kérdés az, hogyan írhatjuk le a rezgésbe hozott húr mozgását. Taylor már 1715-ben felfedezte azt a mozgásegyenletet, amelyet a húrnak ki kell elégítenie. Feltesszük, hogy a húr minden részecskéje csak kicsiny függőleges irányú elmozdulást végez. <a href="/wiki/Newton_t%C3%B6rv%C3%A9nyei" title="Newton törvényei">Newton törvénye</a> szerint egy részecske gyorsulása arányos a rá ható erővel. A részecskére ható erő onnan származik, hogy a húr "ki akar egyenesedni", ezért a görbületével arányos erőt fejt ki a részecskére. A húr görbülete az érintő meredekségének változása, vagyis a húr alakját megadó függvény második <a href="/wiki/Deriv%C3%A1lt" title="Derivált">deriváltja</a>. A húr mozgását <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0132f5af819af1b8c97d5e9794200c6f0a6706b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"></span> függvény írja le abban az értelemben, hogy a t időpontban a húr alakját az <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\rightarrow c(t)\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\rightarrow c(t)\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f2562bdbe1b8944dcfa27363ddfa001cd5f496" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.696ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\rightarrow c(t)\cdot f(x)}"></span> (ahol x eleme a [0,L] intervallumnak) függvény grafikonja adja meg. Ekkor (x,0) pont fölötti részecske gyorsulása <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c''(t)\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c''(t)\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd5850d6ddb98015e6dd3e5bfca0299d2da441c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.89ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c''(t)\cdot f(x)}"></span>, míg a húr görbülete <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot f''(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot f''(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e4160ce69d46cf0ae6f854bcf64c37e03aeaa3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.932ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot f''(x)}"></span>. Így a fenti gondolatmenet szerint <br /></p><center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c''(t)\cdot f(x)=\rho \cdot c(t)\cdot f''(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c''(t)\cdot f(x)=\rho \cdot c(t)\cdot f''(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dd7e6ac8aedaad11deedf4112ab72158a5a02e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.801ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c''(t)\cdot f(x)=\rho \cdot c(t)\cdot f''(x)}"></span></center><p>ahol ρ≠0 konstans. </p><p>Mivel a húr végpontjai rögzítve vannak, ezért <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot f(0)=c(t)\cdot f(L)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot f(0)=c(t)\cdot f(L)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a4d8198e7ae685318709785b2946c340d79812" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.95ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot f(0)=c(t)\cdot f(L)=0}"></span> minden t-re. <br />Feltehetjük, hogy c nem azonosan 0. Így <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad f(0)=f(L)=0\quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad f(0)=f(L)=0\quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb493d840e35980ff3557b6555823211a2cb17a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \quad f(0)=f(L)=0\quad }"></span>. Rögzítsünk egy olyan t-t,amelyre <tt>c(t)≠0</tt>. Ekkor a fent leírtak alapján f kielégíti az <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)=b\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=b\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5399d07989a3e963e6ea5588360acbe134bad411" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.789ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x)=b\cdot f(x)}"></span> <a href="/wiki/Differenci%C3%A1legyenlet" title="Differenciálegyenlet">differenciálegyenletet</a>, minden <tt>x∈[0,L]</tt>-re, ahol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b={\frac {c''(t)}{\rho \cdot c(t)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\frac {c''(t)}{\rho \cdot c(t)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f13bb53f67d9da7287015cc98169ef31d789619" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.469ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle b={\frac {c''(t)}{\rho \cdot c(t)}}}"></span>. Ha b=0, akkor f lineáris, tehát a kezdeti feltétel alapján f azonosan 0. Ezt az esetet (ami annak felel meg, hogy a húr nyugalomban van) tehát kizárhatjuk. Ha <tt>b>0,b=a<sup>2</sup></tt>, akkor az egyenletet kielégítő f függvény a következő alakba írható:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot e^{ax}+\beta \cdot e^{-ax}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot e^{ax}+\beta \cdot e^{-ax}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f12f94038a6bcc43570fd550ffdb01acc7d515" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.064ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot e^{ax}+\beta \cdot e^{-ax}}"></span>. Ez a megoldás a kezdeti feltételt csak az <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\beta =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\beta =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7434b2c28160128e0a0c5a11c97635c26423c7c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.179ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\beta =0}"></span> esetben elégíti ki, tehát szintén kizárhatjuk. Így szükségképpen <tt>b<0,b=-a<sup>2</sup></tt>. Ekkor az egyenletet kielégítő f függvény a következő alakba írható: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot \sin(ax)+\beta \cdot \cos(ax)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>⋅</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot \sin(ax)+\beta \cdot \cos(ax)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9f9d5a3d9a3c2a870ae734b6d11726618f3b98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.239ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot \sin(ax)+\beta \cdot \cos(ax)}"></span> Mivel f(0)=0, ezért <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b5e78663eba7ba08e0dd4915251e6261f4f35c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =0}"></span>, tehát f(L)=0 alapján <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aL=n\pi \quad n\in \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>π</mi> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aL=n\pi \quad n\in \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f20ad00576a2680b9917bfef80ac2e1108ff3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.746ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle aL=n\pi \quad n\in \mathbb {Z} }"></span>. Azt kaptuk tehát, hogy ha a húr mozgását egy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0132f5af819af1b8c97d5e9794200c6f0a6706b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"></span> alakú kifejezés írja le, akkor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\sin {\frac {n\pi }{L}}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mi>π</mi> </mrow> <mi>L</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\sin {\frac {n\pi }{L}}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ffa776f5067fdc482541308602063eb4e914800" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.651ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\sin {\frac {n\pi }{L}}x}"></span> és c(t) kielégíti a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c''(t)=(-\rho a^{2})\cdot c(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>ρ</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c''(t)=(-\rho a^{2})\cdot c(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7039bb222f7f676a31a2b0fde386a2aeb9046e5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.33ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c''(t)=(-\rho a^{2})\cdot c(t)}"></span> differenciálegyenletet. Taylor felvetette,hogy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot \sin {\frac {n\pi }{L}}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mi>π</mi> </mrow> <mi>L</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot \sin {\frac {n\pi }{L}}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f581b9266ecd69d8cf268aa79ed8e736d4f0e4f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.47ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot \sin {\frac {n\pi }{L}}x}"></span> alakú megoldások a megszólaló hang n-edik felhangjának felelnek meg (vagyis n=1 esetén az alaphangnak, n=2 esetén az <a href="/wiki/Okt%C3%A1v" title="Oktáv">oktávnak</a> stb.). </p><p>1747-ben d'Alembert felfedezte,hogy ha <tt>φ</tt> egy <tt>2L</tt> szerint periodikus függvény, akkor a <tt>φ(at+x)-φ(at-x)</tt> függvény az <tt>x=0</tt> és <tt>x=L</tt> pontokban nulla, továbbá szintén kielégíti a Taylor által megadott mozgásegyenletet abban az értelemben, hogy a <tt>t</tt> szerinti második deriváltja egyenlő az <tt>x</tt> szerinti második derivált konstansszorosával. Ebből d'Alembert arra következtetett, hogy <tt>φ(at+x)-φ(at-x)</tt> kifejezések írják le a rezgő húr mozgását, ahol <tt>φ</tt> tetszőleges <tt>2L</tt> szerint periodikus függvény. </p><p>1753-ban <a href="/wiki/Daniel_Bernoulli" title="Daniel Bernoulli">Daniel Bernoulli</a> Taylor gondolatmenetét folytatva, valamint abból a fizikai tényből kiindulva, hogy tetszőleges hang a felhangjaiból tevődik össze, amellett érvelt, hogy a rezgő húr mozgását a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(t)\sin {\frac {n\pi }{L}}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mi>π</mi> </mrow> <mi>L</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(t)\sin {\frac {n\pi }{L}}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239c51af5e0fee1f331c2d7970c39486c588dbdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.139ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(t)\sin {\frac {n\pi }{L}}x}"></span> alakú kifejezések írják le alkalmas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62526fcd66d849ffdba1f489c6e5639cc1d66d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.874ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c_{n}(t)}"></span> együtthatófüggvényekkel. Ezt az állítást azonban d'Alembert nem fogadta el, mondván, hogy ebből az ő megoldása alapján az következne, hogy minden periodikus függvényt előállíthatnánk trigonometrikus összegként, ami nyilván lehetetlen. A vitába a kor számos matematikusa (így <a href="/wiki/Euler" class="mw-redirect" title="Euler">Euler</a> és <a href="/wiki/Lagrange" class="mw-redirect" title="Lagrange">Lagrange</a>) is bekapcsolódott. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="A_hővezetés_egyenlete"><span id="A_h.C5.91vezet.C3.A9s_egyenlete"></span>A hővezetés egyenlete</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit&section=3" title="Szakasz szerkesztése: A hővezetés egyenlete"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Nem törődve a kor kételyeivel <a href="/wiki/Joseph_Fourier" title="Joseph Fourier">Joseph Fourier</a> francia matematikus az 1800-as évek elején igen sikeresen alkalmazta a három matematikus által kidolgozott, illetve vitatott módszert a hő terjedésének matematikai leírására. </p><p><a href="/wiki/1822" title="1822">1822</a>-ben jelent meg Fourier könyve, amelyben a következő kérdést vizsgálta. </p><p>Adott egy homogén rúd, amely a környezetétől el van szigetelve, tehát a hő csak a rúdban áramlik; a rúd és a környezete között nem. A kérdés az, hogyan írhatjuk le a rúd belsejében zajló hőmérséklet-változást. Egy test által tárolt hőmennyiség a test tömegétől és hőmérsékletétől függ: minél nagyobb a hőmérséklet, annál nagyobb a hőmennyiség. Pontosabban, a hőmennyiség arányos a tömeggel és a hőmérséklettel, vagyis egy m tömegű test hőmennyisége <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \cdot m\cdot T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \cdot m\cdot T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f650f6fab359dfa711ed6f62ef9b59f746dba26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.522ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \cdot m\cdot T}"></span>, ahol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span> egy konstans és T a hőmérséklet. </p><p>Fourier problémájára visszatérve, a rúd homogenitása azt jelenti, hogy a rúd bármely [a,b] szakaszának a tömege <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \cdot (b-a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \cdot (b-a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77c351e62390ba244d386a14a0c7a4d47596e53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.818ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma \cdot (b-a)}"></span>, ahol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }"></span> egy konstans. Így az [a,b] szakasz hőmennyisége <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta \cdot (b-a)\cdot T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \cdot (b-a)\cdot T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d7f7380c0e749ecfc165d9c4b0933cdc7e21ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.92ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta \cdot (b-a)\cdot T}"></span>, ahol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta =\alpha \cdot \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta =\alpha \cdot \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad7c1855211e610ecc28d25d6e18c0ad69ceb9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.576ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta =\alpha \cdot \gamma }"></span>. Ha a szakasz mentén a hőmérséklet változik (az x pontban a hőmérséklet T(x)), akkor belátható, hogy az [a,b] szakasz hőmennyisége <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}\delta \cdot T(x)\mathrm {d} x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>δ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}\delta \cdot T(x)\mathrm {d} x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4609221b74f51b04046b76a64ddb391bc6a36c5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.914ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}\delta \cdot T(x)\mathrm {d} x}"></span>. </p><p> Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a rúd hőmérsékletét a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0132f5af819af1b8c97d5e9794200c6f0a6706b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"></span> függvény írja le abban az értelemben, hogy a t időpontban a rúd x pontjában a hőmérséklet <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0132f5af819af1b8c97d5e9794200c6f0a6706b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"></span>. Ekkor egy t időpontban az [a,b] szakasz hőmennyisége <br /></p><center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=\int _{a}^{b}\delta \cdot c(t)\cdot f(x)\mathrm {d} x=\delta \cdot c(t)\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>δ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>δ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=\int _{a}^{b}\delta \cdot c(t)\cdot f(x)\mathrm {d} x=\delta \cdot c(t)\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a998fff2224461fb052930874c3a2b59f8ad1bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:46.043ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle H=\int _{a}^{b}\delta \cdot c(t)\cdot f(x)\mathrm {d} x=\delta \cdot c(t)\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}"></span></center><p> Az [a,b] szakasz hőmennyisége azért változik, mert a szakasz a végpontokban hőt ad le vagy hőt vesz fel. Fourier feltételezte (helyesen), hogy a b pontbeli hőáramlás sebessége arányos a hőmérséklet b pontbeli deriváltjával, tehát itt a hőáramlás sebessége <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa \cdot c(t)\cdot f'(b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa \cdot c(t)\cdot f'(b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc7040428da9d1d0f52239e1ff3ae33430f9739" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.165ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \kappa \cdot c(t)\cdot f'(b)}"></span>, ahol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa }"></span> egy pozitív konstans. Az a végpontban a hőáramlás ellentétes, így itt a sebesség <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\kappa \cdot c(t)\cdot f'(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>κ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\kappa \cdot c(t)\cdot f'(a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7abac94df74ab8ae0d8a1d09a545f5dddfa133c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.205ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle -\kappa \cdot c(t)\cdot f'(a)}"></span>. Végül is azt kaptuk tehát, hogy a H hőmennyiség változásának sebessége <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa \cdot c(t)\cdot f'(b)-\kappa \cdot c(t)\cdot f'(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>κ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa \cdot c(t)\cdot f'(b)-\kappa \cdot c(t)\cdot f'(a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd080c2d54c1f1cffa32ff856ead0495aa5075b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.403ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \kappa \cdot c(t)\cdot f'(b)-\kappa \cdot c(t)\cdot f'(a)}"></span>, azaz <br /></p><center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta \cdot c'(t)\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\kappa \cdot c(t)\cdot (f'(b)-f'(a))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>κ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \cdot c'(t)\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\kappa \cdot c(t)\cdot (f'(b)-f'(a))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be83022c876a045cd09d8f5b31fa47e50c396614" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:45.533ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \delta \cdot c'(t)\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\kappa \cdot c(t)\cdot (f'(b)-f'(a))}"></span>. </center><p> Itt b-a-val leosztva, majd b-vel a-hoz tartva azt kapjuk, hogy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta \cdot c'(t)\cdot f(a)=\kappa \cdot c(t)\cdot f''(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>κ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \cdot c'(t)\cdot f(a)=\kappa \cdot c(t)\cdot f''(a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d8ac1402bd2e60558cf53b6e975d2b1d624bb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.013ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \delta \cdot c'(t)\cdot f(a)=\kappa \cdot c(t)\cdot f''(a)}"></span>. Ez minden a-ra igaz, tehát </p><center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c'(t)\cdot f(x)=\rho \cdot c(t)\cdot f''(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c'(t)\cdot f(x)=\rho \cdot c(t)\cdot f''(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3a16837eda13260a72e0e47d5e3cdc5a87f016" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.348ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c'(t)\cdot f(x)=\rho \cdot c(t)\cdot f''(x)}"></span></center><p> minden x-re, ahol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho >0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho >0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bd697f113e3e1bd7c76f2f441fd102eca99cab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.463ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \rho >0}"></span> konstans. Most Fourier-t követve tegyünk egy további egyszerűsítést: tegyük fel, hogy a rúd végpontjaiban a hőmérséklet 0 fok. (Ezt úgy kell elképzelnünk, hogy a rúd végpontjai egy nagy, 0 fokos tartályhoz csatlakoznak, amely a végpontokban fenntartja az állandó 0 fokos hőmérsékletet.) Ha a rúd hossza L, akkor az azt jelenti, hogy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot f(0)=c(t)\cdot f(L)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot f(0)=c(t)\cdot f(L)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a4d8198e7ae685318709785b2946c340d79812" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.95ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot f(0)=c(t)\cdot f(L)=0}"></span> minden t-re. Feltehetjük, hogy c nem azonosan nulla, így </p><center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad f(0)=f(L)=0\quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad f(0)=f(L)=0\quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb493d840e35980ff3557b6555823211a2cb17a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \quad f(0)=f(L)=0\quad }"></span>.</center><p> Ezt az egyenletet a rezgő húr problémájánál látott módszerrel oldhatjuk meg. Rögzítsünk egy olyan t-t, amelyre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f4ef77db91f59ebfcef358ea8412bc73e217fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.917ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)\neq 0}"></span>. Ekkor az előbb kapott egyenlet alapján f kielégíti az <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)=b\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=b\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5399d07989a3e963e6ea5588360acbe134bad411" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.789ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x)=b\cdot f(x)}"></span> differenciálegyenletet minden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in [0,L]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in [0,L]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35e3fa30fa9d0e9f57923fb0101848d4fea625a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.243ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in [0,L]}"></span> -re, ahol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b={\frac {c'(t)}{\rho \cdot c(t)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\frac {c'(t)}{\rho \cdot c(t)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d42e3f9d9a53cde564d2f7f5f3618a4a001a711" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.469ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle b={\frac {c'(t)}{\rho \cdot c(t)}}}"></span>. Ha <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19206e7d4dab695ccb34c502eff0741e98dbdfc2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=0}"></span>, akkor f lineáris, tehát a kezdeti feltételek alapján azonosan 0. Ezt az esetet (ami annak felel meg, hogy a rúd hőmérséklete folyamatosan azonosan 0) kizárhatjuk. Ha <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>0}"></span> és <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=a^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419f48c832519a6d963ace700030c60357f0145c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.38ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b=a^{2}}"></span>, akkor a differenciálegyenlet megoldása: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot e^{ax}+\beta \cdot e^{-ax}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot e^{ax}+\beta \cdot e^{-ax}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f12f94038a6bcc43570fd550ffdb01acc7d515" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.064ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\alpha \cdot e^{ax}+\beta \cdot e^{-ax}}"></span>. Ez a megoldás a kezdeti feltételt csak a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\beta =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\beta =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7434b2c28160128e0a0c5a11c97635c26423c7c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.179ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\beta =0}"></span> esetben elégíti ki, tehát szintén kizárhatjuk. Így szükségképpen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b<0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1319de18afa795d6489f49303614c84472f6d1ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b<0}"></span> és <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=-a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=-a^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef28a2457b76bfcd2b190eddb269f8bac9fc8dc7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.188ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b=-a^{2}}"></span>. Ekkor a differenciálegyenlet megoldása a következő: </p><center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad f(x)=\alpha \sin(ax)+\beta \cos(ax)\quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad f(x)=\alpha \sin(ax)+\beta \cos(ax)\quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f9005d6f433d289a0e381cf151646fdb1b199a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \quad f(x)=\alpha \sin(ax)+\beta \cos(ax)\quad }"></span>.</center><p> Mivel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d308c32c9894b88115262081194321ae7d9bbf3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=0}"></span>, ezért <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b5e78663eba7ba08e0dd4915251e6261f4f35c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =0}"></span>, tehát <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=L}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f024b017e24b404d1ea2df82b8b4dd4338ac61b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.932ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=L}"></span> alapján <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad aL=n\pi \quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>π</mi> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad aL=n\pi \quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fef860d8436c1749056412c6c2cf1d5c8fd033" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.283ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \quad aL=n\pi \quad }"></span>, ahol n egész szám. Azt kaptuk tehát, hogy ha a rúd hőmérsékletét egy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0132f5af819af1b8c97d5e9794200c6f0a6706b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)\cdot f(x)}"></span> alakú kifejezés írja le, </p><center>akkor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\sin {\frac {n\pi }{L}}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mi>π</mi> </mrow> <mi>L</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\sin {\frac {n\pi }{L}}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ffa776f5067fdc482541308602063eb4e914800" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.651ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\sin {\frac {n\pi }{L}}x}"></span> és c kielégíti a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c'(t)=(-\rho a^{2})\cdot c(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>ρ</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c'(t)=(-\rho a^{2})\cdot c(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0050e204cebf9dd20242dfa3b450d2fa4a2fad8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.877ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c'(t)=(-\rho a^{2})\cdot c(t)}"></span> differenciálegyenletet.</center> <p>Ebből a gondolatmenetből kiindulva Fourier arra következtetett, hogy a rúd hőmérsékletét általános esetben <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(t)\sin {\frac {n\pi }{L}}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mi>π</mi> </mrow> <mi>L</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(t)\sin {\frac {n\pi }{L}}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbb749cacd96c134a7caf8ed4153bb386da8235" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.139ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(t)\sin {\frac {n\pi }{L}}x}"></span> alakú függvények írják le, éppúgy mint a rezgő húr problémájának esetében. Ezért Fourier <a href="/wiki/Daniel_Bernoulli" title="Daniel Bernoulli">Bernoulli</a> véleményét osztva azt állította, hogy minden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }"></span> szerint periodikus függvény előállítható <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2030283ea2c1743220a5f48c5e444840ff3b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.633ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}"></span> alakban. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="A_történelmi_kezdetek"><span id="A_t.C3.B6rt.C3.A9nelmi_kezdetek"></span>A történelmi kezdetek</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit&section=4" title="Szakasz szerkesztése: A történelmi kezdetek"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A trigonometrikus sorokkal kapcsolatos vitában, melyet a matematikatörténet leghíresebb és legnagyobb horderejű polémiájaként tartunk számon, sok minden keveredett. Mindenekelőtt tisztázatlan volt a függvény fogalma. Fourier műveiben tetten érhető, hogy milyen hatalmas gondolati nehézséget jelentett a függvénytől mint formulától eljutni a függvényhez mint hozzárendeléshez. Fourier egy helyen ezt írja: <i>„Figyelemre méltó, hogy olyan görbék és felületek ordinátáit is ki tudjuk fejezni konvergens sorok segítségével, amelyek nincsenek folytonos szabálynak alávetve.”</i> Másutt így fogalmaz: <i>„Egy függvény egészen tetszőleges lehet, azaz adott értékek olyan egymásutánja, melyek az x értékeinek felelnek meg és nem feltétlenül vannak alávetve egy közös szabálynak... Az f(x) függvény az ordináta értékeinek egymásutánját jelenti, amely értékek mindegyike tetszőleges... Ezek bármilyen módon követhetik egymást, és mindegyik úgy van megadva, mintha különálló mennyiségek volnának.”</i> </p><p>Mégis, egyéb részletekből és a bizonyításokból (amelyek általában nélkülöznek minden precizitást) világosan kiderül, hogy a Fourier által elképzelhető legáltalánosabb függvények nem egy, hanem több képlet által vannak definiálva néhány egymáshoz csatlakozó intervallumon. Tehát csak annyit jelent, hogy az <i>értékek nincsenek alávetve egy közös szabálynak.</i> </p><p> A másik tisztázatlan fogalom a folytonosság volt. <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> azokat a függvényeket nevezte folytonosnak, amelyek „analitikus képlettel” vannak megadva. Azokat a függvényeket pedig, amelyek grafikonját „szabadon mozgó kézzel” felrajzolhatunk, összefüggőnek nevezte. Végül <a href="/wiki/Augustin_Cauchy" title="Augustin Cauchy">Cauchy</a> tisztázta a folytonosság (mai értelemben vett) fogalmát. Viszont Cauchy úgy vélte (be is bizonyította, de ma már tudjuk, hogy hibásan), hogy folytonos függvények végtelen összege is szükségképpen folytonos. Ez további komplikációt jelentett, mert többen felfedezték, hogy a </p><center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin x+{\frac {\sin 3x}{3}}+{\frac {\sin 5x}{5}}+\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mn>5</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin x+{\frac {\sin 3x}{3}}+{\frac {\sin 5x}{5}}+\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbff7218bc0e088b6e5b14366054788d32b5c4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.959ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \sin x+{\frac {\sin 3x}{3}}+{\frac {\sin 5x}{5}}+\dots }"></span></center><p> trigonometrikus sor összege a ( 0,<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> ) intervallumban a konstans <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span>\4 függvény, a (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ,2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ,2\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e43b178aa8860fe25eee470ec904af5feaf7db1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.86ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pi ,2\pi }"></span>) intervallumban pedig a konstans -<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span>\4 függvény. <a href="/wiki/Charles_Fourier" title="Charles Fourier">Fourier</a> ezen úgy próbált segíteni, hogy azt mondta: ennek a függvénynek a grafikonja k<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> pontokban függőleges szakaszokat tartalmaz, tehát a függvény mégis folytonos. Végül <a href="/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Dirichlet</a> volt az, aki tiszta vizet öntött a pohárba. 1829-ben írt korszakalkotó dolgozatában egyrészt bevezette a függvény (= hozzárendelés) mai fogalmát, és ezt az immár Dirichlet nevét viselő függvénnyel illusztrálta, másrészt precízen bebizonyította a Fourier-sorok első konvergenciatételeit. A Fourier-sorok matematika elmélete valójában tehát Dirichlet-vel kezdődik. </p><p>Végső soron a <a href="/wiki/Halmazelm%C3%A9let" title="Halmazelmélet">halmazelmélet</a> is a Fourier-soroknak köszönheti a létét. Amikor <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Cantor</a> 1870-ben bebizonyította, hogy minden függvény legfeljebb egyféleképpen állítható elő trigonometrikus sor összegeként, akkor azon kezdett gondolkozni, hogy mi mondható abban az esetben, amikor az előállítás csak a bizonyos pontok kivételével igaz. Ezeknek a kivételes halmazoknak a vizsgálata vezette el Cantort a rendszámok, a megszámlálható halmazok és végül a halmazelmélet felfedezéséhez. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fourier-analízis_és_Fourier-szintézis_további_alakulása"><span id="Fourier-anal.C3.ADzis_.C3.A9s_Fourier-szint.C3.A9zis_tov.C3.A1bbi_alakul.C3.A1sa"></span>Fourier-analízis és Fourier-szintézis további alakulása</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit&section=5" title="Szakasz szerkesztése: Fourier-analízis és Fourier-szintézis további alakulása"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Egy adott f függvényt bizonyos értelemben jellemzik a Fourier-együtthatói. Ennek alapján lehetőség van arra, hogy az általában bonyolultabb f függvényt (időben változó jelet) egy sok vonatkozásban egyszerűbb számsorozattal adjunk meg. Ezt a műveletet Fourier-analízisnek nevezzük: áttérünk az időtartományból a frekvenciatartományba. A fordított eljárást – amikor az együtthatókból rekonstruáljuk a függvényt – Fourier-szintézisnek nevezzük. </p><p>Mint az az előző részből is látható, a matematikusok rengeteg átgondolni valót kaptak a Fourier-analízissel, és -szintézissel kapcsolatban. Akadtak évtizedekig nyitott kérdések, elméleti problémák; gyakorlati alkalmazásokban is fontos szerepet játszó módszerek, technikák születtek. Ebben a szakaszban összefoglaljuk a Fourier-analízis elmélete történetének fontosabb alakjait, kérdéseit és válaszait. </p><p>A Fourier-szintézissel kapcsolatban már a kezdet kezdetén is számos kérdés vetődött fel, s ezek jelentős mértékben megszabták az elméleti kutatások irányát. Ahogy már fent is említettük, Dirichlet 1829-ben bebizonyította, hogy szakaszonként monoton függvények trigonometrikus Fourier-sora előállítja a függvényt. Ezzel igazolást nyert, hogy egy fontos függvényosztály elemei rekonstruálhatók Fourier-együtthatóikból, ha a végtelen sor összegét a szokásos módon (a részletösszegek sorozatának határértékeként) definiáljuk. Ugyanakkor egy másik fontos függvényosztály elemeire, a folytonos függvényekre ez általában már nem mondható el. <a href="/w/index.php?title=Du_Bois-Reymond&action=edit&redlink=1" class="new" title="Du Bois-Reymond (a lap nem létezik)">Du Bois-Reymond</a> 1876-ban olyan folytonos függvényt konstruált, amelynek Fourier-sora egy pontban divergens. <a href="/wiki/Andrej_Nyikolajevics_Kolmogorov" title="Andrej Nyikolajevics Kolmogorov">Kolmogorov</a> 1926-ban megmutatta, hogy létezik olyan integrálható függvény, amelynek Fourier-sora mindenütt divergens. Folytonos függvényekkel kapcsolatban korábban több olyan konstrukció is született, ahol a Fourier-sor divergenciahalmaza végtelen sok pontból áll, de a halmaz mértéke minden esetben nulla. </p><p>Ezekből a tapasztalatokból kiindulva Luzin, az orosz függvénytani iskola megteremtője 1906-ban, doktori disszertációjában megfogalmazta híres sejtését: folytonos függvények esetén a trigonometrikus Fourier-sor legfeljebb egy nullmértékű halmaz pontjait kivéve előállítja a függvényt. Számos matematikus sok gyümölcsöző kutatása után végül 1966-ban <a href="/w/index.php?title=Carleson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Carleson (a lap nem létezik)">Carleson</a> svéd matematikus bebizonyította a <a href="/w/index.php?title=Luzin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Luzin (a lap nem létezik)">Luzin</a>-féle sejtést. </p><p>A Fourier-szintézissel kapcsolatos nehézségek áthidalására már a század elején több, később alapvetőnek bizonyult eljárást vezettek be, amelyek azóta az analízis egy-egy önálló ágává váltak. Ezek közül a következő három irány kidolgozásában a magyar matematikusoknak döntő szerepük volt. Az első <a href="/wiki/P%C3%A9cs" title="Pécs">Pécs</a> város világhírű szülöttjének, <a href="/wiki/Fej%C3%A9r_Lip%C3%B3t" title="Fejér Lipót">Fejér Lipótnak</a> a munkásságával indult el, aki bebizonyította, hogy a Fourier-sor részletösszegei helyett azok <a href="/wiki/Sz%C3%A1mtani_k%C3%B6z%C3%A9p" title="Számtani közép">számtani közepeit</a> véve egy a kifejtett függvényhez konvergáló sorozatot kapunk. Ez számos közelítő eljárás alapjául szolgált, melyek vizsgálata az approximációelmélet, az analízis egy napjainkban is fejlődő ágának témakörébe tartozik. A második <a href="/wiki/Riesz_Frigyes" title="Riesz Frigyes">Riesz Frigyes</a> működésével, az ennek nyomán kialakuló funkcionálanalízissel kapcsolatos. A harmadik egy <a href="/wiki/Haar_Alfr%C3%A9d" title="Haar Alfréd">Haar Alfréd</a> által bevezetett ortogonális rendszerrel függ össze, amely a napjainkban kiteljesedő és széles körben felhasználásra kerülő <b>wavelet sorfejtés</b>eknek a kiindulópontja. </p><p>A trigonometrikus Fourier-együtthatók elegáns kiszámítását az a felismerés tette lehetővé, hogy a trigonometrikus rendszer bármely két különböző tagjának szorzatintegrálja nulla. Ha két függvény szorzatának integrálját a két függvény <a href="/wiki/Skal%C3%A1ris_szorzat" title="Skaláris szorzat">skaláris szorzatának</a> tekintjük, akkor az imént említett tulajdonság azt jelenti, hogy ezek a függvények páronként merőlegesek (ortogonálisak) egymásra, ortogonális rendszert alkotnak. A függvény Fourier-sora pedig felfogható ezen végtelen dimenziós koordináta-rendszerben való felírásának. Ezen szemléletből kiindulva kezdték el vizsgálni a skaláris szorzattal ellátott vektortereket, s ezek fontos osztályát <a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> német matematikusról nevezték el. Minden ilyen térben tetszőleges lineárisan független rendszerből kiindulva egységvektorokból álló derékszögű koordináta-rendszert szerkeszthetünk. Kitüntetett szerepet játszanak a teljes rendszerek. <a href="/wiki/Riesz_Frigyes" title="Riesz Frigyes">Riesz Frigyes</a> és Fischer 1907-ben egymástól függetlenül megmutatták, hogy minden vektor rekonstruálható bármely teljes rendszer szerinti Fourier-sorából, ha a tér normájában vett konvergenciát vesszük alapul. Ezek az eredmények is hozzájárultak a matematika egy új fejezetének, a <a href="/wiki/Funkcion%C3%A1lanal%C3%ADzis" title="Funkcionálanalízis">funkcionálanalízisnek</a> a kialakulásához. Fontos vizsgálatokat folytattak a különböző térstruktúrákkal, bázisokkal kapcsolatban is. </p><p>Hilbert a trigonometrikus rendszer szerinti Fourier-szintézis problémáival összefüggésben feltette a kérdést, hogy egyáltalán létezik-e olyan teljes ortogonális rendszer, mely szerinti Fourier-sorfejtés minden folytonos függvény esetében konvergens. <a href="/wiki/Haar_Alfr%C3%A9d" title="Haar Alfréd">Haar Alfréd</a> 1910-ben igenlő választ adott erre a kérdésre. Az általa konstruált rendszerről csak jóval később derült ki, hogy milyen kitüntetett szerepe van az ortogonális rendszerek között. A Haar-rendszert véve mintául az 1980-as évektől kezdve többen is konstruáltak a jelfeldolgozásban fontos szerepet játszó ortogonális rendszereket. Ebben a témakörben nélkülözhetetlen ötletek fűződnek <a href="/w/index.php?title=Ingrid_Daubechies&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ingrid Daubechies (a lap nem létezik)">Ingrid Daubechies</a> és <a href="/wiki/G%C3%A1bor_D%C3%A9nes_(fizikus)" title="Gábor Dénes (fizikus)">Gábor Dénes</a> nevéhez is. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Jegyzetek">Jegyzetek</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit&section=6" title="Szakasz szerkesztése: Jegyzetek"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="ref-1col"><div style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -webkit-column-gap: 3em; -moz-column-gap: 3em; column-gap: 3em;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">(Hit, zene, matematika. Interjú W. R. Wade professzorral. Természet Világa 11 (114), 1986).</span> </li> </ol></div></div><div class="ref-1col"><div style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -webkit-column-gap: 3em; -moz-column-gap: 3em; column-gap: 3em;"></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Források"><span id="Forr.C3.A1sok"></span>Források</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&action=edit&section=7" title="Szakasz szerkesztése: Források"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Laczkovich Miklós- T. Soós Vera: Analízis II.</li> <li>Schipp Ferenc: Fouriertől a komputer tomográfiáig</li></ul> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r26593303">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r26641489">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{width:100%;line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r26643308">@media screen and (max-width:719px){.mw-parser-output div.navbox.authoritycontrol{display:block}.mw-parser-output .authoritycontrol tbody,.mw-parser-output .authoritycontrol tr,.mw-parser-output .authoritycontrol th,.mw-parser-output .authoritycontrol td,.mw-parser-output .authoritycontrol .navbox-row>th+td{display:block;text-align:center}.mw-parser-output .authoritycontrol .navbox-list-with-group{border:none}}</style><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r26593303"></div><div role="navigation" class="navbox authoritycontrol" aria-labelledby="Nemzetközi_katalógusok" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Nemzetközi_katalógusok" scope="row" class="navbox-group" style="width:auto"><a href="/wiki/Sablon:Nemzetk%C3%B6zi_katal%C3%B3gusok/doc" title="Sablon:Nemzetközi katalógusok/doc">Nemzetközi katalógusok</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Kongresszusi_K%C3%B6nyvt%C3%A1r" title="Kongresszusi Könyvtár">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85051088">sh85051088</a></span></li> <li><a href="/wiki/Integr%C3%A1lt_katal%C3%B3gust%C3%A1r" title="Integrált katalógustár">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4023453-8">4023453-8</a></span></li> <li>SUDOC: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/04070890X">04070890X</a></span></li> <li><a href="/wiki/A_Cseh_K%C3%B6zt%C3%A1rsas%C3%A1g_Nemzeti_K%C3%B6nyvt%C3%A1ra" title="A Cseh Köztársaság Nemzeti Könyvtára">NKCS</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph117564&CON_LNG=ENG">ph117564</a></span></li> <li><a href="/wiki/Francia_Nemzeti_K%C3%B6nyvt%C3%A1r" title="Francia Nemzeti Könyvtár">BNF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11942178c">cb11942178c</a></span></li> <li><a href="/wiki/Spanyol_Nemzeti_K%C3%B6nyvt%C3%A1r" title="Spanyol Nemzeti Könyvtár">BNE</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX527483">XX527483</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">A lap eredeti címe: „<a dir="ltr" href="https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fourier-analízis&oldid=26663987">https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fourier-analízis&oldid=26663987</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kateg%C3%B3ri%C3%A1k" title="Wikipédia:Kategóriák">Kategória</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Fourier-anal%C3%ADzis" title="Kategória:Fourier-analízis">Fourier-analízis</a></li><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Matematikat%C3%B6rt%C3%A9net" title="Kategória:Matematikatörténet">Matematikatörténet</a></li><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Digit%C3%A1lis_jelfeldolgoz%C3%A1s" title="Kategória:Digitális jelfeldolgozás">Digitális jelfeldolgozás</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Rejtett kategóriák: <ul><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Wikip%C3%A9dia-sz%C3%B3cikkek_LCCN-azonos%C3%ADt%C3%B3val" title="Kategória:Wikipédia-szócikkek LCCN-azonosítóval">Wikipédia-szócikkek LCCN-azonosítóval</a></li><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Wikip%C3%A9dia-sz%C3%B3cikkek_GND-azonos%C3%ADt%C3%B3val" title="Kategória:Wikipédia-szócikkek GND-azonosítóval">Wikipédia-szócikkek GND-azonosítóval</a></li><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Wikip%C3%A9dia-sz%C3%B3cikkek_BNF-azonos%C3%ADt%C3%B3val" title="Kategória:Wikipédia-szócikkek BNF-azonosítóval">Wikipédia-szócikkek BNF-azonosítóval</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> A lap utolsó módosítása: 2023. december 3., 22:21</li> <li id="footer-info-copyright">A lap szövege <a rel="nofollow" class="external text" href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.hu">Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 4.0</a> licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Felhaszn%C3%A1l%C3%A1si_felt%C3%A9telek" title="Wikipédia:Felhasználási feltételek">felhasználási feltételeket</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Adatvédelmi irányelvek</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:R%C3%B3lunk">A Wikipédiáról</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Jogi_nyilatkozat">Jogi nyilatkozat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Magatartási kódex</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Fejlesztők</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/hu.wikipedia.org">Statisztikák</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Sütinyilatkozat</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//hu.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Fourier-anal%C3%ADzis&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobil nézet</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-699677b5c9-qgrdf","wgBackendResponseTime":234,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.175","walltime":"0.298","ppvisitednodes":{"value":526,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":5122,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":16,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":9,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":10256,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 113.419 1 -total"," 91.87% 104.193 1 Sablon:Nemzetközi_katalógusok"," 8.08% 9.170 1 Sablon:Jegyzetek"," 6.13% 6.950 2 Sablon:References"," 1.81% 2.058 2 Sablon:Hasáb_eleje"," 1.48% 1.683 2 Sablon:Hasáb_vége"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.077","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":955116,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-6b7f745dd4-484md","timestamp":"20241125095420","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Fourier-anal\u00edzis","url":"https:\/\/hu.wikipedia.org\/wiki\/Fourier-anal%C3%ADzis","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1365258","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1365258","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2009-05-13T21:38:05Z"}</script> </body> </html>