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<span>Definición y motivación del concepto</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Definición_y_motivación_del_concepto-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Definición y motivación del concepto</span> </button> <ul id="toc-Definición_y_motivación_del_concepto-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Primer_ejemplo:_el_grupo_aditivo_de_los_enteros" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Primer_ejemplo:_el_grupo_aditivo_de_los_enteros"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Primer ejemplo: el grupo aditivo de los enteros</span> </div> </a> <ul id="toc-Primer_ejemplo:_el_grupo_aditivo_de_los_enteros-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Definición_axiomática" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" 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la investigación sobre teoría de grupos</span> </div> </a> <ul id="toc-Reseña_histórica_y_situación_actual_de_la_investigación_sobre_teoría_de_grupos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_teoría_de_grupos_y_el_estudio_de_simetrías:_campo_de_aplicaciones" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#La_teoría_de_grupos_y_el_estudio_de_simetrías:_campo_de_aplicaciones"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>La teoría de grupos y el estudio de simetrías: campo de aplicaciones</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-La_teoría_de_grupos_y_el_estudio_de_simetrías:_campo_de_aplicaciones-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección La teoría de grupos y el estudio de simetrías: campo de aplicaciones</span> </button> <ul id="toc-La_teoría_de_grupos_y_el_estudio_de_simetrías:_campo_de_aplicaciones-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Segundo_ejemplo:_un_grupo_de_simetría" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Segundo_ejemplo:_un_grupo_de_simetría"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Segundo ejemplo: un grupo de simetría</span> </div> </a> <ul id="toc-Segundo_ejemplo:_un_grupo_de_simetría-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notación_y_nomenclatura_en_teoría_de_grupos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notación_y_nomenclatura_en_teoría_de_grupos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Notación y nomenclatura en teoría de grupos</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Notación_y_nomenclatura_en_teoría_de_grupos-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Notación y nomenclatura en teoría de grupos</span> </button> <ul id="toc-Notación_y_nomenclatura_en_teoría_de_grupos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Axiomática_de_grupos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Axiomática_de_grupos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Axiomática de grupos</span> </div> </a> <ul id="toc-Axiomática_de_grupos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notación_multiplicativa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notación_multiplicativa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Notación multiplicativa</span> </div> </a> <ul id="toc-Notación_multiplicativa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notación_aditiva" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notación_aditiva"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Notación aditiva</span> </div> </a> <ul id="toc-Notación_aditiva-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Conceptos_y_resultados_principales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Conceptos_y_resultados_principales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Conceptos y resultados principales</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Conceptos_y_resultados_principales-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Conceptos y resultados principales</span> </button> <ul id="toc-Conceptos_y_resultados_principales-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Resultados_elementales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Resultados_elementales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Resultados elementales</span> </div> </a> <ul id="toc-Resultados_elementales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Subgrupos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Subgrupos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Subgrupos</span> </div> </a> <ul id="toc-Subgrupos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Orden_del_grupo_y_sus_elementos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Orden_del_grupo_y_sus_elementos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Orden del grupo y sus elementos</span> </div> </a> <ul id="toc-Orden_del_grupo_y_sus_elementos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Homomorfismos_de_grupos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Homomorfismos_de_grupos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>Homomorfismos de grupos</span> </div> </a> <ul id="toc-Homomorfismos_de_grupos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Acciones_de_grupo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Acciones_de_grupo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.5</span> <span>Acciones de grupo</span> </div> </a> <ul id="toc-Acciones_de_grupo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ejemplos_de_algunos_grupos_notables" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ejemplos_de_algunos_grupos_notables"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Ejemplos de algunos grupos notables</span> </div> </a> <ul id="toc-Ejemplos_de_algunos_grupos_notables-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tipos_de_grupos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Tipos_de_grupos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Tipos de grupos</span> </div> </a> <ul id="toc-Tipos_de_grupos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Notas</span> </div> </a> <ul id="toc-Notas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fuentes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Fuentes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Fuentes</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Fuentes-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Fuentes</span> </button> <ul id="toc-Fuentes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.1</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.2</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Referencias_generales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias_generales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.2.1</span> <span>Referencias generales</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias_generales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias_especiales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias_especiales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.2.2</span> <span>Referencias especiales</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias_especiales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias_históricas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias_históricas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.2.3</span> <span>Referencias históricas</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias_históricas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Enlaces_externos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Enlaces_externos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Enlaces externos</span> </div> </a> <ul id="toc-Enlaces_externos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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Disponible en 83 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-83" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">83 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Groep_(wiskunde)" title="Groep (wiskunde) (afrikáans)" lang="af" hreflang="af" data-title="Groep (wiskunde)" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikáans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="زمرة (رياضيات) (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D3%A9%D1%80%D0%BA%D3%A9%D0%BC_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Төркөм (математика) (baskir)" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Төркөм (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baskir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Група (алгебра) (bielorruso)" lang="be" hreflang="be" data-title="Група (алгебра)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorruso" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Група (алгебра) (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Група (алгебра)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%81%E0%A6%AA_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="গ্রুপ (গণিত) (bengalí)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গ্রুপ (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Grup_(matem%C3%A0tiques)" title="Grup (matemàtiques) (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Grup (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%88%D9%BE_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="گرووپ (ماتماتیک) (kurdo sorani)" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="گرووپ (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdo sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="artículo bueno"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Grupa" title="Grupa (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Grupa" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" 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data-title="Gruppe (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik) (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Gruppe (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE%BC%CE%AC%CE%B4%CE%B1" title="Ομάδα (griego)" lang="el" hreflang="el" data-title="Ομάδα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="griego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="artículo destacado"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)" title="Group (mathematics) (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Group (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Grupo_(algebro)" title="Grupo (algebro) (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Grupo (algebro)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/R%C3%BChm_(matemaatika)" title="Rühm (matemaatika) (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Rühm (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu 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class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques) (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Groupe (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Sk%C3%B6%C3%B6l_(Matematiik)" title="Skööl (Matematiik) (frisón septentrional)" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Skööl (Matematiik)" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="frisón septentrional" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BApa_(matamaitic)" title="Grúpa (matamaitic) (irlandés)" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Grúpa (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1ticas)" title="Grupo (matemáticas) (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Grupo (matemáticas)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="חבורה (מבנה אלגברי) (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="חבורה (מבנה אלגברי)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%82%E0%A4%B9_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A4%B6%E0%A4%BE%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0)" title="समूह (गणितशास्त्र) (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="समूह (गणितशास्त्र)" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="Grupa (matematika) (croata)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Csoport_(matematika)" title="Csoport (matematika) (húngaro)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Csoport (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BD%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%A2_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Խումբ (մաթեմատիկա) (armenio)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Խումբ (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Gruppo_(mathematica)" title="Gruppo (mathematica) (interlingua)" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Gruppo (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematika)" title="Grup (matematika) (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Grup (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BApa" title="Grúpa (islandés)" lang="is" hreflang="is" data-title="Grúpa" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandés" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_(matematica)" title="Gruppo (matematica) (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Gruppo (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学) (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="群 (数学)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%AF%E1%83%92%E1%83%A3%E1%83%A4%E1%83%98_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ჯგუფი (მათემატიკა) (georgiano)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ჯგუფი (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tagrumma_(tusnakt)" title="Tagrumma (tusnakt) (cabileño)" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tagrumma (tusnakt)" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="cabileño" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Топ (математика) (kazajo)" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Топ (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazajo" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%97%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B3%82%E0%B2%AA%E0%B3%8D" title="ಗ್ರೂಪ್ (canarés)" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಗ್ರೂಪ್" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="canarés" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%B0_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="군 (수학) (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="군 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Caterva_(mathematica)" title="Caterva (mathematica) (latín)" lang="la" hreflang="la" data-title="Caterva (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latín" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Grupp_(Algeber)" title="Grupp (Algeber) (luxemburgués)" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Grupp (Algeber)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luxemburgués" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matem%C3%A0tica)" title="Grupp (matemàtica) (lombardo)" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Grupp (matemàtica)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardo" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Grup%C4%97_(algebra)" title="Grupė (algebra) (lituano)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Grupė (algebra)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matem%C4%81tika)" title="Grupa (matemātika) (letón)" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Grupa (matemātika)" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letón" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Vory_(matematika)" title="Vory (matematika) (malgache)" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Vory (matematika)" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgache" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%97%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B5%82%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%AA%E0%B5%8D" title="ഗ്രൂപ്പ് (malayálam)" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഗ്രൂപ്പ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayálam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kumpulan_(matematik)" title="Kumpulan (matematik) (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kumpulan (matematik)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matematika)" title="Grupp (matematika) (maltés)" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Grupp (matematika)" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltés" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Groep_(wiskunde)" title="Groep (wiskunde) (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Groep (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_gruppe" title="Matematisk gruppe (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk gruppe" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(matematikk)" title="Gruppe (matematikk) (noruego bokmal)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Gruppe (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruego bokmal" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Grupe_(matematike)" title="Grupe (matematike) (Novial)" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Grupe (matematike)" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="Novial" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Grop_(matematicas)" title="Grop (matematicas) (occitano)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Grop (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka) (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Grupa (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Strop" title="Strop (Piedmontese)" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Strop" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%DB%81_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="گروہ (ریاضی) (Western Punjabi)" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="گروہ (ریاضی)" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática) (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Grupo (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="artículo destacado"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematic%C4%83)" title="Grup (matematică) (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Grup (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Группа (математика) (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Группа (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Gruppu_(matimatica)" title="Gruppu (matimatica) (siciliano)" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Gruppu (matimatica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="siciliano" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="Grupa (matematika) (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)" title="Group (mathematics) (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Group (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="Grupa (matematika) (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Grupa" title="Grupa (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Grupa" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Група (математика) (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Група (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matematik)" title="Grupp (matematik) (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Grupp (matematik)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matymatyka)" title="Grupa (matymatyka) (Silesian)" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Grupa (matymatyka)" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="Silesian" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B2%E0%AE%AE%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="குலம் (கணிதம்) (tamil)" lang="ta" hreflang="ta" data-title="குலம் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%83%D1%80%D3%AF%D2%B3_(%D1%80%D0%B8%D1%91%D0%B7%D0%B8%D1%91%D1%82)" title="Гурӯҳ (риёзиёт) (tayiko)" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Гурӯҳ (риёзиёт)" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tayiko" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%9B_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="กรุป (คณิตศาสตร์) (tailandés)" lang="th" hreflang="th" data-title="กรุป (คณิตศาสตร์)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandés" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matematika)" title="Grupo (matematika) (tagalo)" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Grupo (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematik)" title="Grup (matematik) (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Grup (matematik)" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Група (математика) (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Група (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%DB%81_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="گروہ (ریاضی) (urdu)" lang="ur" hreflang="ur" data-title="گروہ (ریاضی)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="artículo destacado"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%B3m_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Nhóm (toán học) (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Nhóm (toán học)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vls mw-list-item"><a href="https://vls.wikipedia.org/wiki/Groep_(algebra)" title="Groep (algebra) (West Flemish)" lang="vls" hreflang="vls" data-title="Groep (algebra)" data-language-autonym="West-Vlams" data-language-local-name="West Flemish" class="interlanguage-link-target"><span>West-Vlams</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vo mw-list-item"><a href="https://vo.wikipedia.org/wiki/Grup" title="Grup (volapük)" lang="vo" hreflang="vo" data-title="Grup" data-language-autonym="Volapük" data-language-local-name="volapük" class="interlanguage-link-target"><span>Volapük</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4" title="群 (chino wu)" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="群" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chino wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%A8%D7%95%D7%A4%D7%A2_(%D7%9E%D7%90%D7%98%D7%A2%D7%9E%D7%90%D7%98%D7%99%D7%A7)" title="גרופע (מאטעמאטיק) (yidis)" lang="yi" hreflang="yi" data-title="גרופע (מאטעמאטיק)" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yidis" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4" title="群 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="群" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E4%BB%A3%E6%95%B8)" title="群 (代數) (Literary Chinese)" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="群 (代數)" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/K%C3%BBn_(s%C3%B2%CD%98-ha%CC%8Dk)" title="Kûn (sò͘-ha̍k) (chino min nan)" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Kûn (sò͘-ha̍k)" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="chino min nan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A3" title="羣 (cantonés)" lang="yue" hreflang="yue" data-title="羣" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q83478#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/225px-Rubik%27s_cube.svg.png" decoding="async" width="225" height="234" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/338px-Rubik%27s_cube.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/450px-Rubik%27s_cube.svg.png 2x" data-file-width="480" data-file-height="500" /></a><figcaption>Las posibles manipulaciones del <a href="/wiki/Cubo_de_Rubik" title="Cubo de Rubik">Cubo de Rubik</a> forman un grupo.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstracta" title="Álgebra abstracta">álgebra abstracta</a>, un <b>grupo</b> es una <a href="/wiki/Estructura_algebraica" title="Estructura algebraica">estructura algebraica</a> formada por un <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjunto</a> no vacío dotado de una <a href="/wiki/Operaci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Operación (matemáticas)">operación</a> interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades asociativa, de existencia del elemento neutro (también llamado identidad), y de existencia de elementos inversos (en ocasiones llamados simétricos).<sup id="cite_ref-Lenguaje_matemático_1_1-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Lenguaje_matemático_1-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definición_y_motivación_del_concepto"><span id="Definici.C3.B3n_y_motivaci.C3.B3n_del_concepto"></span>Definición y motivación del concepto</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=1" title="Editar sección: Definición y motivación del concepto"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Primer_ejemplo:_el_grupo_aditivo_de_los_enteros">Primer ejemplo: el grupo aditivo de los enteros</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=2" title="Editar sección: Primer ejemplo: el grupo aditivo de los enteros"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Uno de los grupos mejor conocidos es el de la <a href="/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Adición (matemática)">suma</a> de los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_enteros" class="mw-redirect" title="Números enteros">números enteros</a>, denotados por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>.<sup id="cite_ref-FOOTNOTELang2005Apéndice_2,_p._360_3-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTELang2005Apéndice_2,_p._360-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> El conjunto de los enteros está formado por los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">números naturales</a>, sus <a href="/wiki/N%C3%BAmero_negativo" title="Número negativo">negativos</a> y el <a href="/wiki/Cero" title="Cero">cero</a><sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>nota 1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup>. Contiene por tanto a todos los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reales</a> que no tienen <a href="/wiki/N%C3%BAmero_decimal" title="Número decimal">parte decimal</a>. Comúnmente se describe como </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7309d7ba386b58cd3c35d4d0a9c039fae6066f78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.01ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}}"></span>.</dd></dl></dd></dl> <p>Las propiedades de esta operación aritmética ayudarán a ilustrar el concepto de grupo: </p> <ul><li>La suma de dos números enteros es a su vez un número entero: si ninguno de los números tiene parte decimal, su suma tampoco la tiene. A esta propiedad se la denomina <a href="/wiki/Clausura_algebraica" title="Clausura algebraica">clausura algebraica</a>, y se dice que el conjunto de los enteros es <i>cerrado bajo la suma</i>.</li> <li>Se puede prescindir de los paréntesis para indicar la <a href="/wiki/Orden_de_evaluaci%C3%B3n" title="Orden de evaluación">precedencia de las operaciones</a>: aunque la suma se define para cada dos números, no hay ambigüedad en la expresión <i>a+b+c</i>, porque el resultado de las operaciones <i>(a+b) + c</i> es el mismo que el de <i>a + (b+c)</i>. Por tanto, la suma de números enteros verifica la <a href="/wiki/Propiedad_asociativa" class="mw-redirect" title="Propiedad asociativa">propiedad asociativa</a>.</li> <li>Existe un número especial y único, el cero, que sumado a cualquier otro no altera su valor: <i>a+0 = a</i>, sea cual sea <i>a</i>.</li> <li>Para cada entero <i>a</i>, su <a href="/wiki/Elemento_opuesto" class="mw-redirect" title="Elemento opuesto">opuesto</a> <i>(-a)</i> es a su vez entero y tal que <i>a + (-a) = 0</i>.</li></ul> <p>Estas cuatro propiedades también se verifican para una gran variedad de operaciones, no necesariamente numéricas, lo cual da pie a definir un concepto abstracto -el de <b>grupo</b>- en el que se engloben todas ellas. Esa definición, basada en <a href="/wiki/Axioma" title="Axioma">axiomas</a>, permite desarrollar una teoría abstracta -la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Teoría de grupos">teoría de grupos</a>-, cuyos resultados son aplicables a todos los grupos independientemente de su formalización concreta, pues los resultados se derivan únicamente de la estructura algebraica común a todos ellos.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHall19671.1_5-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHall19671.1-5"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>En el caso de la suma de enteros, el orden de los sumandos no es importante, ya que para cualesquiera <i>a</i> y <i>b</i>, se cumple que <i>a+b = b+a</i>. Esta es la <a href="/wiki/Propiedad_conmutativa" class="mw-redirect" title="Propiedad conmutativa">propiedad conmutativa</a>, que sin embargo no se asume como cierta en general para todos los grupos, por lo que en teoría de grupos se presta especial atención al orden de los operandos. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definición_axiomática"><span id="Definici.C3.B3n_axiom.C3.A1tica"></span>Definición axiomática</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=3" title="Editar sección: Definición axiomática"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sean <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> un <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjunto</a> no <a href="/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo" title="Conjunto vacío">vacío</a>, y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span> una <a href="/wiki/Operaci%C3%B3n_binaria" title="Operación binaria">operación binaria</a> definida en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span>. Se dice que el par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,\,\circledast )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>⊛</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,\,\circledast )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e935edcf9f5f2a7030aca14d3f49cc4f0ceb561" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.865ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,\,\circledast )}"></span> es un grupo si se cumplen las siguientes condiciones (llamadas <i>axiomas de grupo</i>):<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHerstein19882.140_6-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHerstein19882.140-6"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <ol><li>La operación binaria <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span> es una <b><a href="/wiki/Operaci%C3%B3n_interna" title="Operación interna">operación interna</a></b>, es decir, toma dos elementos del grupo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> para obtener un tercero también en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span>. En consecuencia, normalmente se simplifica a una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática)">función</a> <br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad \quad \circledast :G\times G\to G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mo>⊛</mo> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo>×</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad \quad \circledast :G\times G\to G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d9222630b88b783792615d6b6ebaadb1e4224b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.325ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \quad \quad \circledast :G\times G\to G}"></span>.</li> <li>La operación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span> verifica la <b><a href="/wiki/Propiedad_asociativa" class="mw-redirect" title="Propiedad asociativa">propiedad asociativa</a></b>: dados tres elementos cualesquiera de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g,h,k\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g,h,k\in G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b08cfdc26b0900f214d26bf4a5855eedec2428" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.401ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g,h,k\in G}"></span>, se cumple que <br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad \quad (g\circledast h)\circledast k=g\circledast (h\circledast k)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>⊛</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊛</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo>⊛</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>⊛</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad \quad (g\circledast h)\circledast k=g\circledast (h\circledast k)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c343f529e0a282c08c3b55a45645289aba1c85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.056ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \quad \quad (g\circledast h)\circledast k=g\circledast (h\circledast k)}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> contiene un elemento distinguido llamado <b><a href="/wiki/Elemento_neutro" title="Elemento neutro">elemento neutro</a></b> o <b> identidad</b>,<sup id="cite_ref-Lenguaje_matemático_2_7-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Lenguaje_matemático_2-7"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> denotado usualmente como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span>, con la siguiente propiedad: para cualquier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\in G}"></span> <br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad \quad e\circledast g=g\circledast e=g.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mi>e</mi> <mo>⊛</mo> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo>⊛</mo> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad \quad e\circledast g=g\circledast e=g.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a0bf62939c745a1a17863abdfaba9685ddbc6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.685ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \quad \quad e\circledast g=g\circledast e=g.}"></span></li> <li>Todo elemento <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\in G}"></span> tiene un <b><a href="/wiki/Elemento_sim%C3%A9trico" title="Elemento simétrico">elemento simétrico</a></b> o <b>inverso</b> en el mismo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span>, que se denota por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae77eeb0200a3b0e26ff4b251fb845ca1b385c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.451ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g^{-1}}"></span>, con la propiedad de que <br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad \quad g\circledast g^{-1}=g^{-1}\circledast g=e.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mi>g</mi> <mo>⊛</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⊛</mo> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad \quad g\circledast g^{-1}=g^{-1}\circledast g=e.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9b76c2d7a8d42346da7416af9a0f6f51fe1d6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:27.387ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \quad \quad g\circledast g^{-1}=g^{-1}\circledast g=e.}"></span></li></ol> <p>A veces, para simplificar el discurso se dice <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> es un grupo cuando deseamos indicar que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,\,\circledast )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>⊛</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,\,\circledast )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e935edcf9f5f2a7030aca14d3f49cc4f0ceb561" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.865ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,\,\circledast )}"></span> es un grupo.<sup id="cite_ref-Lenguaje_matemático_1_1-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-Lenguaje_matemático_1-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Un grupo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> se denomina <a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">abeliano</a> (o conmutativo) si además se satisface la <a href="/wiki/Propiedad_conmutativa" class="mw-redirect" title="Propiedad conmutativa">propiedad conmutativa</a> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall g,h\in G:\ g\circledast h=h\circledast g,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mi>g</mi> <mo>⊛</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo>⊛</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall g,h\in G:\ g\circledast h=h\circledast g,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23996a65c717eed6c7f3b12d0ce5e5d101a380b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.303ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall g,h\in G:\ g\circledast h=h\circledast g,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>la cual, sin embargo, no es un requisito imprescindible: existen grupos no abelianos. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Estructuras_algebraicas_asociadas">Estructuras algebraicas asociadas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=4" title="Editar sección: Estructuras algebraicas asociadas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Magma_to_group_algebra.PNG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Magma_to_group_algebra.PNG/220px-Magma_to_group_algebra.PNG" decoding="async" width="220" height="204" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/Magma_to_group_algebra.PNG 1.5x" data-file-width="306" data-file-height="284" /></a><figcaption>Construcción por adición progresiva de los axiomas grupo: <b>a</b> (asociatividad), <b>d</b> (divisibilidad), <b>e</b> (existencia del neutro) e <b>i</b> (existencia de inversos). Las estructuras resultantes son <b>M</b> (magma), <b>Q</b> (cuasigrupo), <b>S</b> (semigrupo), <b>L</b> (bucle), <b>N</b> (monoide) y <b>G</b> (grupo).</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstracta" title="Álgebra abstracta">álgebra abstracta</a> se estudian <a href="/wiki/Estructura_algebraica" title="Estructura algebraica">estructuras algebraicas</a> alternativas del tipo <b>(E, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span>)</b>, siendo <b>E</b> un conjunto no nulo y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span> una operación binaria interna, que puede ser total (definida para todo par de elementos) o no. La mayoría de ellas se definen por los axiomas de grupo que verifican.<sup id="cite_ref-MacLane_8-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-MacLane-8"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-9" class="reference separada"><a href="#cite_note-9"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>La más básica de todas es el <a href="/wiki/Magma_(%C3%A1lgebra)" title="Magma (álgebra)">magma</a>: un par (<b>E</b>,<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span>) es un magma si la operación binaria <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span> es total, y por tanto satisface el primer axioma de grupo. Un magma cuya operación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span> sea asociativa se denomina <a href="/wiki/Semigrupo" title="Semigrupo">semigrupo</a>. En consecuencia, un semigrupo satisface los dos primeros axiomas de grupo. Si verifica también el tercero (existencia del neutro) entonces es un <a href="/wiki/Monoide" title="Monoide">monoide</a>. Las definiciones anteriores no son excluyentes: un grupo satisface todos los axiomas, y por tanto, todo grupo es un magma, un semigrupo y un monoide.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEBourbaki1975;2014_10-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEBourbaki1975;2014-10"><span class="corchete-llamada">[</span>9<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-FOOTNOTERomanowskaSmith20021.1.3_Semigroups_and_monoids_11-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTERomanowskaSmith20021.1.3_Semigroups_and_monoids-11"><span class="corchete-llamada">[</span>10<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Nótese que para poder hablar de elementos inversos es preciso que exista el elemento identidad. No obstante, en ausencia de un elemento neutro se puede definir el concepto de división: dados <i>a</i> y <i>b</i> se dice que <i>b</i> es divisible por <i>a</i> si existen elementos <i>x</i> e <i>y</i>, únicos tales que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\circledast x=b\quad ,\quad y\circledast a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⊛</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mspace width="1em" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>y</mi> <mo>⊛</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\circledast x=b\quad ,\quad y\circledast a=b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52617507e654c2c012f35c3fdb7162f6e8ef6266" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.497ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\circledast x=b\quad ,\quad y\circledast a=b}"></span>.</dd></dl> <p>En tal caso se define la división por la izquierda como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=a\setminus b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=a\setminus b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783fa57607e4fa8e98275abacb54ca0da463c856" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.85ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=a\setminus b}"></span> y la división por la derecha como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=b/a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=b/a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5c35e103e65909113d9d5a2fcb7a8d25a3acde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=b/a}"></span>. Un magma con división (entre cualquier pareja de elementos) se denomina <a href="/wiki/Cuasigrupo" title="Cuasigrupo">cuasigrupo</a>. Si además tiene un elemento identidad, se convierte en un <a href="/wiki/Cuasigrupo#Bucle" title="Cuasigrupo">bucle</a>. Un bucle asociativo es, por tanto, un grupo. </p><p>En el caso de que la operación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span> no sea total, la estructura más sencilla es el <a href="/wiki/Semigrupoide" title="Semigrupoide">semigrupoide</a>, que solo cumple la asociatividad. Si además tiene identidad, se convierte en una <a href="/wiki/Categor%C3%ADa_(matem%C3%A1ticas)" title="Categoría (matemáticas)">categoría pequeña</a>. Finalmente, una categoría pequeña con divisibilidad se denomina <a href="/wiki/Grupoide" title="Grupoide">grupoide</a>. Este tipo de estructuras se estudian en el ámbito de la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_categor%C3%ADas" title="Teoría de categorías">teoría de categorías</a>. </p><p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Reseña_histórica_y_situación_actual_de_la_investigación_sobre_teoría_de_grupos"><span id="Rese.C3.B1a_hist.C3.B3rica_y_situaci.C3.B3n_actual_de_la_investigaci.C3.B3n_sobre_teor.C3.ADa_de_grupos"></span>Reseña histórica y situación actual de la investigación sobre teoría de grupos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=5" title="Editar sección: Reseña histórica y situación actual de la investigación sobre teoría de grupos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El concepto de un grupo surgió del estudio de <a href="/wiki/Polinomio" title="Polinomio">ecuaciones algebraicas en una incógnita</a>, comenzando con <a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a> durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros" title="Teoría de números">teoría de números</a> y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. </p><p>La definición de grupo (G, *) usando: la asociatividad, la existencia de elemento neutro, de elemento inverso y la noción de operación binaria, fue formulada por F.G. Frobenius, por primera vez en 1887, advirtiendo que los teoremas que los demostraba dependían únicamente de los axiomas propuestos y sin tener que acudir al aparato de los grupos de permutaciones, que empleaban sus antecesores Cauchy, Jordan y Sylow.<sup id="cite_ref-12" class="reference separada"><a href="#cite_note-12"><span class="corchete-llamada">[</span>11<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Los grupos conmutativos son los que, además verifican la <a href="/wiki/Propiedad_conmutativa" class="mw-redirect" title="Propiedad conmutativa">propiedad conmutativa</a>, son habitualmente denominados como grupos abelianos en honor al matemático danés <a href="/wiki/Niels_Henrik_Abel" title="Niels Henrik Abel">Niels Henrik Abel</a> que en su importantísima aportación, demostró la irresolución de la quíntica mediante radicales en 1846 a partir de <a href="/wiki/Ruffini" class="mw-disambig" title="Ruffini">Ruffini</a> en lo que se denomina <a href="/wiki/Teorema_de_Abel-Ruffini" title="Teorema de Abel-Ruffini">teorema de Abel-Ruffini</a> y debido al uso reiterado de grupos conmutativos en sus investigaciones. Posteriormente <a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a> probó con sus nuevas <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galois" title="Teoría de Galois">teorías</a> que la irresolución del grupo S<sub>5</sub> implicaría la demostración fehaciente de lo que Abel descubrió sobre la irresolubilidad de la ecuación de quinto grado mediante el uso de radicales. </p><p>Debido a que los primeros grupos estudiados en la historia fueron los multiplicativos, su nomenclatura y notación se llegó a utilizar de forma extendida en la generalización de las definiciones axiomáticas y abstractas en <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Teoría de grupos">teoría de grupos</a>; aunque es necesariamente recomendable, utilizar la notación y nomenclatura propias del álgebra abstracta. </p><p>La <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Teoría de grupos">moderna teoría de grupos</a> (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos en sí.<sup id="cite_ref-13" class="reference separada"><a href="#cite_note-13"><span class="corchete-llamada">[</span>nota 2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en subsistemas más pequeños, más comprensibles, como <a href="/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo">subgrupos</a>, <a href="/wiki/Grupo_cociente" title="Grupo cociente">grupos cociente</a> y <a href="/wiki/Grupo_simple" title="Grupo simple">grupos simples</a>. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus <a href="/wiki/Representaci%C3%B3n_de_grupo" title="Representación de grupo">representaciones de grupo</a>), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional. Una teoría especialmente rica fue desarrollada para grupos finitos y culminó con la <a href="/wiki/Teorema_de_clasificaci%C3%B3n_de_grupos_simples" title="Teorema de clasificación de grupos simples">clasificación de los grupos simples finitos</a> completada en 1983.<sup id="cite_ref-14" class="reference separada"><a href="#cite_note-14"><span class="corchete-llamada">[</span>nota 3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Asimismo, desde mediados de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos de generación finita como <a href="/wiki/Cuerpo_geom%C3%A9trico" class="mw-redirect" title="Cuerpo geométrico">objetos geométricos</a>, se ha convertido en un área particularmente activa en la amplia teoría de grupos. </p><p>La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> como en <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Matemática">matemática</a> radica en que los <a href="/wiki/Isomorfismo" title="Isomorfismo">isomorfismos</a> de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificación de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a>, es un punto culminante de la matemática europea, solo comparable a la construcción de los 5 poliedros regulares realizada por la matemática griega. Al igual que esta última es la determinación de todas las figuras geométricas simétricas posibles, la clasificación de grupos es la determinación de todas las posibles simetrías de cualquier estructura. Así, podemos conocer <i>a priori</i> los grupos de <a href="/wiki/Automorfismo" title="Automorfismo">automorfismos</a> de cualquier teoría geométrica. Además, de acuerdo con el <i><a href="/wiki/Programa_de_Erlangen" title="Programa de Erlangen">Programa de Erlangen</a></i> de <a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Felix Klein</a>, este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teoría geométrica. </p><p>Algo parecido sucede en física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías del <a href="/wiki/Lagrangiano" title="Lagrangiano">lagrangiano</a> de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las partículas elementales de dicho sistema. La clasificación de grupos de Lie proporciona la lista de los posibles grupos existentes de simetrías infinitesimales, válidos para eventuales y futuros modelos científicos. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_teoría_de_grupos_y_el_estudio_de_simetrías:_campo_de_aplicaciones"><span id="La_teor.C3.ADa_de_grupos_y_el_estudio_de_simetr.C3.ADas:_campo_de_aplicaciones"></span>La teoría de grupos y el estudio de simetrías: campo de aplicaciones</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=6" title="Editar sección: La teoría de grupos y el estudio de simetrías: campo de aplicaciones"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La teoría de grupos comparte un parentesco fundamental con la noción de <a href="/wiki/Simetr%C3%ADa" title="Simetría">simetría</a>. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa" title="Geometría">objeto geométrico</a>: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan invariante el objeto y la operación de combinar dos de estas transformaciones. </p> <ol><li>Tales grupos de simetría y en especialmente los <a href="/wiki/Grupos_de_Lie" class="mw-redirect" title="Grupos de Lie">grupos de Lie</a> diferenciables, tienen un papel importante en <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">topología</a> y otras ramas de la <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Matemática">matemática</a> como los grupos matriciales y operadores.</li> <li>En <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> son utilizados para entender las leyes físicas fundamentales en las que se basa la <a href="/wiki/Relatividad_de_escala" title="Relatividad de escala">relatividad</a>, también se utilizan en campos de la física muy diversos como la <a href="/wiki/F%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas" title="Física de partículas">física de partículas</a>, <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_campos" title="Teoría de campos">teoría de campos</a>, <a href="/wiki/F%C3%ADsica_cu%C3%A1ntica" class="mw-redirect" title="Física cuántica">física cuántica</a> e incluso los nuevos campos de la física actual como las teorías unificadoras (<a href="/wiki/Teor%C3%ADa_M" title="Teoría M">teoría M</a> y teoría de cuerdas) entre otras muchas aplicaciones.</li> <li>En <a href="/wiki/Qu%C3%ADmica" title="Química">química</a> los estudios relacionados con la teoría de enlace, <a href="/wiki/Simetr%C3%ADa_molecular" title="Simetría molecular">simetría molecular</a>, simetría atómica e incluso <a href="/wiki/Radiactividad" title="Radiactividad">radiactividad</a>.</li> <li>En <a href="/wiki/Geolog%C3%ADa" title="Geología">geología</a> y más concretamente en <a href="/wiki/Cristalograf%C3%ADa" title="Cristalografía">cristalografía</a>.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Segundo_ejemplo:_un_grupo_de_simetría"><span id="Segundo_ejemplo:_un_grupo_de_simetr.C3.ADa"></span>Segundo ejemplo: un grupo de simetría</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=7" title="Editar sección: Segundo ejemplo: un grupo de simetría"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Las <a href="/wiki/Simetr%C3%ADa" title="Simetría">simetrías</a> (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un <a href="/wiki/Cuadrado" title="Cuadrado">cuadrado</a> forman un grupo llamado <a href="/wiki/Grupo_di%C3%A9drico" title="Grupo diédrico">diédrico</a>, y se expresa como D<sub>4</sub>. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son: </p> <table class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"> <tbody><tr> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Group_D8_id.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Group_D8_id.svg/140px-Group_D8_id.svg.png" decoding="async" width="140" height="118" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Group_D8_id.svg/210px-Group_D8_id.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Group_D8_id.svg/280px-Group_D8_id.svg.png 2x" data-file-width="160" data-file-height="135" /></a></span> <br /> id (se mantiene tal y como está)</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Group_D8_90.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Group_D8_90.svg/140px-Group_D8_90.svg.png" decoding="async" width="140" height="118" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Group_D8_90.svg/210px-Group_D8_90.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Group_D8_90.svg/280px-Group_D8_90.svg.png 2x" data-file-width="160" data-file-height="135" /></a></span> <br /> r<sub>1</sub> (rotación de 90° a la derecha)</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Group_D8_180.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Group_D8_180.svg/140px-Group_D8_180.svg.png" decoding="async" width="140" height="118" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Group_D8_180.svg/210px-Group_D8_180.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Group_D8_180.svg/280px-Group_D8_180.svg.png 2x" data-file-width="160" data-file-height="135" /></a></span> <br /> r<sub>2</sub> (rotación de 180° a la derecha)</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Group_D8_270.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Group_D8_270.svg/140px-Group_D8_270.svg.png" decoding="async" width="140" height="118" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Group_D8_270.svg/210px-Group_D8_270.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Group_D8_270.svg/280px-Group_D8_270.svg.png 2x" data-file-width="160" data-file-height="135" /></a></span> <br /> r<sub>3</sub> (rotación de 270° a la derecha) </td></tr> <tr> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Group_D8_fv.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Group_D8_fv.svg/140px-Group_D8_fv.svg.png" decoding="async" width="140" height="118" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Group_D8_fv.svg/210px-Group_D8_fv.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Group_D8_fv.svg/280px-Group_D8_fv.svg.png 2x" data-file-width="160" data-file-height="135" /></a></span> <br /> f<sub>v</sub> (vuelta vertical)</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Group_D8_fh.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Group_D8_fh.svg/140px-Group_D8_fh.svg.png" decoding="async" width="140" height="118" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Group_D8_fh.svg/210px-Group_D8_fh.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Group_D8_fh.svg/280px-Group_D8_fh.svg.png 2x" data-file-width="160" data-file-height="135" /></a></span> <br /> f<sub>h</sub> (vuelta horizontal)</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Group_D8_f13.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Group_D8_f13.svg/140px-Group_D8_f13.svg.png" decoding="async" width="140" height="118" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Group_D8_f13.svg/210px-Group_D8_f13.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Group_D8_f13.svg/280px-Group_D8_f13.svg.png 2x" data-file-width="160" data-file-height="135" /></a></span> <br /> f<sub>d</sub> (vuelta diagonal)</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Group_D8_f24.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Group_D8_f24.svg/140px-Group_D8_f24.svg.png" decoding="async" width="140" height="118" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Group_D8_f24.svg/210px-Group_D8_f24.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Group_D8_f24.svg/280px-Group_D8_f24.svg.png 2x" data-file-width="160" data-file-height="135" /></a></span> <br /> f<sub>c</sub> (vuelta contra diagonal) </td></tr> <tr> <td style="text-align:left" colspan="4">Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (D<sub>4</sub>). Los vértices se pintan y se numeran al objeto de poder visualizar las operaciones. </td></tr></tbody></table> <ul><li>La operación identidad que lo deja todo como estaba, se expresa como <i>id</i>.</li> <li>Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a la derecha, expresadas con <i>r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub> y r<sub>3</sub></i>, respectivamente.</li> <li>Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (f<sub>v</sub> y f<sub>h</sub>), o respecto de las dos diagonales (f<sub>d</sub> y f<sub>c</sub>)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notación_y_nomenclatura_en_teoría_de_grupos"><span id="Notaci.C3.B3n_y_nomenclatura_en_teor.C3.ADa_de_grupos"></span>Notación y nomenclatura en teoría de grupos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=8" title="Editar sección: Notación y nomenclatura en teoría de grupos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Axiomática_de_grupos"><span id="Axiom.C3.A1tica_de_grupos"></span>Axiomática de grupos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=9" title="Editar sección: Axiomática de grupos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El par (<b>G</b>,<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span>) representa a un conjunto, no necesariamente numérico, al que denotamos con <b>G</b> (de grupo) y una operación binaria interna «<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circledast }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊛</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circledast }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circledast }"></span>», que no tiene por qué ser una operación aritmética al uso. </p> <ul><li>Se pueden utilizar otras letras mayúsculas para representar a los conjuntos que son grupos, en general, se prefiere el uso de las letras A hasta G inclusive, excepto C (complejos), siendo la primera opción <b>G</b>. <ul><li>En el caso de subgrupos, la primera opción es <b>H</b> y siguientes, exceptuando K (cuerpos), N (naturales), R (reales), I (identidad o irracionales), Q (racionales) y Z (enteros) o cualquier otra que origine falta de claridad expositiva.</li></ul></li> <li>Los elementos de grupo se representan con letras minúsculas: a, b, c, d, f, g... <ul><li>Los elementos simétricos respecto a uno dado, se representan con la misma letra marcados con <a href="/wiki/Macr%C3%B3n" title="Macrón">macrón</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {d}},{\bar {f}},{\bar {g}},...}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {d}},{\bar {f}},{\bar {g}},...}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ba17cb5ce5d31f5efb4240fb1ef31b329b9db5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.114ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {d}},{\bar {f}},{\bar {g}},...}"></span>.</li> <li>El elemento neutro se representa con la letra e.</li></ul></li> <li>Para representar las leyes de composición internas, se suelen emplear los siguientes símbolos:</li></ul> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \odot \;,\quad \circledcirc \;,\quad \oplus \;,\quad \ominus \;,\quad \circledast \;,\quad \otimes \;,\quad \oslash \;.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊙</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⊚</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⊕</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⊖</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⊛</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⊗</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⊘</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \odot \;,\quad \circledcirc \;,\quad \oplus \;,\quad \ominus \;,\quad \circledast \;,\quad \otimes \;,\quad \oslash \;.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7010dc213919c906514abc67a0eb5835e87edac8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.959ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \odot \;,\quad \circledcirc \;,\quad \oplus \;,\quad \ominus \;,\quad \circledast \;,\quad \otimes \;,\quad \oslash \;.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notación_multiplicativa"><span id="Notaci.C3.B3n_multiplicativa"></span>Notación multiplicativa</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=10" title="Editar sección: Notación multiplicativa"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Es la notación más frecuente en los libros de texto: </p> <ul><li>La operación se denomina producto o <a href="/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación">multiplicación</a>. Dependiendo del contexto, se denota con alguno de los símbolos siguientes (entre otros):</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot \;,\quad \bullet \;,\quad \ast \;,\quad \star \;,\quad \odot \;,\quad \times \;,\quad \otimes }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>∙</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>∗</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⋆</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⊙</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>×</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot \;,\quad \bullet \;,\quad \ast \;,\quad \star \;,\quad \odot \;,\quad \times \;,\quad \otimes }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8ccaa1daa7384d1957972150271a005764bda0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:33.569ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \cdot \;,\quad \bullet \;,\quad \ast \;,\quad \star \;,\quad \odot \;,\quad \times \;,\quad \otimes }"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd>Lo más frecuente es la utilización del signo "por" (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"></span>) o su elisión. El producto repetido de un elemento <i>a</i> consigo mismo se denota como <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{veces}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>veces</mtext> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{veces}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bab877c7dd6567c150069a17560e73202ed39b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.732ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{veces}}}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mover> <mrow> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mo>⏞</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cef7124100fc50b5cd8cecd694b0196009e0eb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.028ex; width:18.248ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} }"></span>.</dd></dl></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Elemento_neutro" title="Elemento neutro">Elemento neutro</a> que pasa a denominarse <b>elemento uno</b>, y se denota por <b>1</b> en lugar de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span>. Cuando puede existir confusión entre dos o más grupos, se denota el símbolo del neutro con un subíndice, como en <b>1<sub>G</sub></b>, para referirse específicamente al uno del grupo <b>G</b>.</li> <li><a href="/wiki/Elemento_sim%C3%A9trico" title="Elemento simétrico">Elemento simétrico</a>: En los grupos multiplicativos se denomina <b>elemento inverso</b> y su notación es <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf91609f1a0b7847e108023b015cb6b0d567821" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.662ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{-1}}"></span>. La <a href="/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="División (matemática)">división</a> de dos números, simbolizada por signos como «:» o «/», se define como el producto de un número por el inverso del otro. Las notaciones del tipo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbb66e57f89debc3cde3213de12228971148a93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:2.066ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{b}}}"></span> o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a/b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a/b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1b6c014398323cb45578581a536033fce1b28c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a/b}"></span> suelen reservarse para grupos numéricos (en general, abelianos) pues de otro modo podría dar lugar a confusión entre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\cdot b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\cdot b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a57c12f0c8f7570c2bb67a2d1eaeedf434ec01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.239ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\cdot b}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\cdot a^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\cdot a^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd47fcab898735145f9e796d06f80ae537bd355d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.239ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b\cdot a^{-1}}"></span>, que pueden diferir<sup id="cite_ref-FOOTNOTEArtin1991_15-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEArtin1991-15"><span class="corchete-llamada">[</span>12<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup>. En general, para el inverso es preferible la notación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5709c8d86f7fec8fb86069bf5d15a9eabe564e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.563ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}}"></span>, antes que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77da3744bf9edd650bb5dc02004c95129e2bc826" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/a}"></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notación_aditiva"><span id="Notaci.C3.B3n_aditiva"></span>Notación aditiva</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=11" title="Editar sección: Notación aditiva"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La notación aditiva se emplea exclusivamente para grupos abelianos:<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHatcher200223_16-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHatcher200223-16"><span class="corchete-llamada">[</span>13<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-FOOTNOTELang200517_17-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTELang200517-17"><span class="corchete-llamada">[</span>14<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <ul><li>Como símbolo de la operación se emplea <a href="/wiki/Signos_m%C3%A1s_y_menos" title="Signos más y menos">el de la suma</a> «<b>+</b>». La suma repetida de un elemento <i>a</i> consigo mismo se denota como<sup id="cite_ref-FOOTNOTERotman199412_18-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTERotman199412-18"><span class="corchete-llamada">[</span>15<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{veces}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>veces</mtext> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{veces}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f67c220df2fe28a9822dcfde61c690e83ae717c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.507ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{veces}}}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle na=\overbrace {a+a+a+...+a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mover> <mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mo>⏞</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle na=\overbrace {a+a+a+...+a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69165d0b4f2ab706bf336b7919c66e93d655f72f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; margin-right: -0.028ex; width:23.069ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle na=\overbrace {a+a+a+...+a} }"></span>.</dd></dl> <ul><li>El <a href="/wiki/Elemento_neutro" title="Elemento neutro">elemento neutro</a> para la adición se denota por <b>0</b>, en lugar de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span>, y se denomina <b>cero o elemento nulo</b>. Cuando puede existir confusión entre dos o más grupos, se denota el símbolo del cero con un subíndice, como en <b>0<sub>G</sub></b>, para referirse específicamente al cero del grupo <b>G</b>.</li> <li>El <a href="/wiki/Elemento_sim%C3%A9trico" title="Elemento simétrico">simétrico</a> de un elemento <i>x</i> se denota como <i>-x</i>. En este contexto se le denomina elemento <a href="/wiki/Opuesto" title="Opuesto">opuesto</a> o negativo de <i>x</i>. En aplicación rigurosa de la notación aditiva se debería escribir <i>x + (-y)</i>, pero frecuentemente se utiliza <i>x - y</i>, donde la <a href="/wiki/Resta" title="Resta">resta</a> de dos números se define como la suma del primero más el opuesto del segundo. En cualquier grupo, el opuesto de <i>-x</i> es <i>x</i>, y por tanto se tiene que <i>-(-x) = x</i>.</li></ul> <p>En lo anterior no se asume que <i>x</i> sea <a href="/wiki/N%C3%BAmero_positivo" title="Número positivo">positivo</a> y que <i>-x</i> sea negativo porque, entre otras razones, en algunos grupos en lo que se utiliza la notación aditiva no existe una noción intrínseca del <a href="/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)" title="Signo (matemáticas)">signo del elemento</a>, como por ejemplo en los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complejo" title="Número complejo">números complejos</a> o en los <a href="/wiki/Vector" title="Vector">vectores</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Conceptos_y_resultados_principales">Conceptos y resultados principales</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=12" title="Editar sección: Conceptos y resultados principales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Resultados_elementales">Resultados elementales</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=13" title="Editar sección: Resultados elementales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>De la definición de la estructura de grupo, basada solamente en los cuatro axiomas mencionados antes, se derivan directamente varias consecuencias inmediatas: </p> <ul><li>El elemento neutro del grupo es único.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHall19675_19-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHall19675-19"><span class="corchete-llamada">[</span>16<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li></ul> <table class="mw-collapsible wikitable mw-collapsed" width="75%" style="text-align:left; padding:0px; background-color: var(--background-color-neutral-subtle, #f9f9f9); color: var(--color-base, #202122);"> <tbody><tr> <td style="text-align:left; font-weight:bold;">Demostración </td></tr> <tr> <td style="background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align:left; font-size:95%; padding:6px">Sea <b>G</b> un grupo que tiene dos elementos identidad, denotados <i>e<sub>1</sub></i> y <i>e<sub>2</sub></i>. Aplicando la definición, como el primero de ellos es la identidad: <dl><dd><dl><dd><i>e<sub>1</sub>e<sub>2</sub> = e<sub>2</sub></i>.</dd></dl></dd></dl> <p>Pero también el segundo es la identidad, y por tanto </p> <dl><dd><dl><dd><i>e<sub>1</sub>e<sub>2</sub> = e<sub>1</sub></i>.</dd></dl></dd></dl> <p>Como el producto de dos elementos es único, se sigue que <i>e<sub>1</sub> = e<sub>2</sub></i>. </p> </td></tr></tbody></table> <ul><li>Cada elemento de un grupo tiene un único elemento simétrico.</li></ul> <table class="mw-collapsible wikitable mw-collapsed" width="75%" style="text-align:left; padding:0px; background-color: var(--background-color-neutral-subtle, #f9f9f9); color: var(--color-base, #202122);"> <tbody><tr> <td style="text-align:left; font-weight:bold;">Demostración </td></tr> <tr> <td style="background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align:left; font-size:95%; padding:6px">Sea <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb8cd0cfa94e69432c076ca30c3bd6facaabb93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {x}}"></span> un elemento arbitrario de un grupo <b>G</b>. Supongamos que este elemento tiene dos inversos, denotados <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466e03e1c9533b4dab1b9949dad393883f385d80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\bar {x}}}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5c5435030c952a58a756e691ea64f60c1bd240" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}}"></span>. Aplicando la definición de elemento simétrico: <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x}{\bar {x}}=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x}{\bar {x}}=e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00e1ea81177e55765c88cd348fac8b091fe16a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.841ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {x}{\bar {x}}=e}"></span>.</dd></dl></dd></dl> <p>Multiplicando ambos lados de la igualdad por la izquierda por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5c5435030c952a58a756e691ea64f60c1bd240" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}}"></span> se obtiene </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}{x}{\bar {x}}={\tilde {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}{x}{\bar {x}}={\tilde {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3df57a8c1cbdd9ae06e4ba403c1a9219df06efb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.417ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}{x}{\bar {x}}={\tilde {x}}}"></span>.</dd></dl></dd></dl> <p>Pero como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}{x}=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}{x}=e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4444a30192e0efa87d49ecae518d259362c42874" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}{x}=e}"></span>, simplificando estos términos en el lado izquierdo resulta </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {x}}={\tilde {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {x}}={\tilde {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f224229285184466be1ea2ae7594b5b6ad7601" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.758ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\bar {x}}={\tilde {x}}}"></span>,</dd></dl></dd></dl> <p>con lo que ambos inversos son el mismo elemento. </p> </td></tr></tbody></table> <ul><li>Propiedad cancelativa: dados tres elementos arbitrarios <i>a</i>, <i>b</i> y <i>c</i> de un grupo <b>G</b>:<sup id="cite_ref-FOOTNOTEArtin199142_20-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEArtin199142-20"><span class="corchete-llamada">[</span>17<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> <ul><li><i>ac = bc</i> implica que <i>a = b</i>, y</li> <li><i>ab = ac</i> implica que <i>b = c</i>.</li></ul></li></ul> <table class="mw-collapsible wikitable mw-collapsed" width="75%" style="text-align:left; padding:0px; background-color: var(--background-color-neutral-subtle, #f9f9f9); color: var(--color-base, #202122);"> <tbody><tr> <td style="text-align:left; font-weight:bold;">Demostración </td></tr> <tr> <td style="background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align:left; font-size:95%; padding:6px">En la primera igualdad, multiplicando ambos miembros por la derecha por el inverso de <i>c</i> (que existe en <b>G</b>): <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ac\ c^{-1}=bc\ c^{-1}\implies ae=a=b=be}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mtext> </mtext> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mtext> </mtext> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⟹</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ac\ c^{-1}=bc\ c^{-1}\implies ae=a=b=be}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa8ba5bfddee069c7aac14a524639e4497e4e9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:37.483ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ac\ c^{-1}=bc\ c^{-1}\implies ae=a=b=be}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>En la segunda igualdad se obtiene un resultado análogo, al multiplicar por la izquierda por el inverso de <i>a</i>. Este argumento hace uso de la propiedad asociativa al cambiar el orden de evaluación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (ac)\ c^{-1}=a\ (c\ c^{-1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mtext> </mtext> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (ac)\ c^{-1}=a\ (c\ c^{-1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2500b6b9bf453db62a3f46ab6d014ec25d82570a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.612ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (ac)\ c^{-1}=a\ (c\ c^{-1})}"></span>. </p> </td></tr></tbody></table> <ul><li>Dados dos elementos cualesquiera <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> de un grupo <b>G</b>, la ecuación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ax=B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax=B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a6f7e4ea741678b16c4b33a6b48f1b3ee97812" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.935ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ax=B}"></span> tiene solución en <b>G</b> y es única.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHall19675_19-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHall19675-19"><span class="corchete-llamada">[</span>16<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li></ul> <table class="mw-collapsible wikitable mw-collapsed" width="75%" style="text-align:left; padding:0px; background-color: var(--background-color-neutral-subtle, #f9f9f9); color: var(--color-base, #202122);"> <tbody><tr> <td style="text-align:left; font-weight:bold;">Demostración </td></tr> <tr> <td style="background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align:left; font-size:95%; padding:6px">Premultiplicando ambos lados de la ecuación por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ba3a7118652cffd5de466dc439ee9184371d50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.076ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{-1}}"></span> se obtiene <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2a4fcab417e884bb3a2b84ea6aaa71517b75bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.087ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}B}"></span>.</dd></dl></dd></dl> <p>En consecuencia existe una solución <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=A^{-1}B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=A^{-1}B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5109fb71864ffd360994c6ab7092a1f2fe46f779" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.268ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=A^{-1}B}"></span>. Además es única, pues si existe otro elemento <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> tal que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ay=B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ay=B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013b435c462bdd46d0dc4a7664ff06e32a5bf12f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.761ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Ay=B}"></span> entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ax=Ay}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax=Ay}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bbb0097c6e3eb7c2ce413d7fa7d3c0a1da413b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.07ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Ax=Ay}"></span>. Cancelando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> se deduce que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409a91214d63eabe46ec10ff3cbba689ab687366" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x=y}"></span>. </p> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Subgrupos">Subgrupos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=14" title="Editar sección: Subgrupos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo"> Subgrupo</a></i></div> <p>Dado un grupo <b>G</b>, se dice que un subconjunto <b>H</b> es un <a href="/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo">subgrupo</a> de <b>G</b> si, considerando la <a href="/wiki/Restricci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)" title="Restricción (matemáticas)">restricción</a> de la operación en <b>G</b> a los elementos de <b>H</b>, se satisfacen los axiomas de grupo.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHerstein198850_21-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHerstein198850-21"><span class="corchete-llamada">[</span>18<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> En la práctica ello significa que es cerrado (el producto de dos de sus elementos está en el subgrupo) y que contiene los inversos de todos sus elementos.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEArtin199144_22-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEArtin199144-22"><span class="corchete-llamada">[</span>19<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Dado un subgrupo <b>H</b> del grupo <b>G</b>, se definen las <a href="/wiki/Clase_lateral" title="Clase lateral">clases laterales</a> izquierdas de <b>H</b> en <b>G</b> como los conjuntos de la forma </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aH=\{ah\mid h\in H\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <mi>h</mi> <mo>∣</mo> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aH=\{ah\mid h\in H\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d2dc0c23c1555b8cd6cea484f4b3e83fdbb3a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.466ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle aH=\{ah\mid h\in H\}}"></span>.</dd></dl></dd></dl> <p>De manera análoga se definen las clases laterales derechas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ha}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ha}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3d084a053637e8b76d5d2fbdc685887b9e9bcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ha}"></span>. Las clases laterales son <a href="/wiki/Clase_de_equivalencia" title="Clase de equivalencia">clases de equivalencia</a>, y por tanto determinan una <a href="/wiki/Partici%C3%B3n_de_un_conjunto" title="Partición de un conjunto">partición</a> de <b>G</b>. Un subgrupo se denomina <i><a href="/wiki/Subgrupo_normal" title="Subgrupo normal">normal</a></i> si sus clases laterales izquierdas y derechas coinciden.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEArtin19912.6_23-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEArtin19912.6-23"><span class="corchete-llamada">[</span>20<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Orden_del_grupo_y_sus_elementos">Orden del grupo y sus elementos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=15" title="Editar sección: Orden del grupo y sus elementos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Orden_(teor%C3%ADa_de_grupos)" title="Orden (teoría de grupos)"> Orden (teoría de grupos)</a></i></div> <p>Un grupo puede tener <a href="/wiki/Infinito" title="Infinito">infinitos</a> elementos, como por ejemplo, el grupo aditivo de los enteros, o por el contrario tener un número finito de elementos. En un <a href="/wiki/Grupo_finito" title="Grupo finito">grupo finito</a> (cuyo conjunto subyacente es <a href="/wiki/Conjunto_finito" title="Conjunto finito">finito</a>), se define el orden del grupo como el número de sus elementos. Dado un elemento <i>a</i> de un grupo, se define el subgrupo generado por <i>a</i> como el conjunto de elementos obtenidos por multiplicación repetida de <i>a</i> o su inverso. Cuando este subgrupo es finito, de orden <i>k</i>, se dice que el orden de <i>a</i> es <i>k</i>. Este es el menor número positivo tal que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{k}=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{k}=e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c3f47cfcbe91f000ee33947c3dcff930aa64a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.5ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{k}=e}"></span>. En otro caso se dice que <i>a</i> es de orden infinito.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEArtin199147_24-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEArtin199147-24"><span class="corchete-llamada">[</span>21<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>El orden de los elementos y el orden de los subgrupos de un grupo finito divide al orden del grupo (<a href="/wiki/Teorema_de_Lagrange_(teor%C3%ADa_de_grupos)" title="Teorema de Lagrange (teoría de grupos)">teorema de Lagrange</a>). Este resultado es consecuencia de que las clases laterales de un subgrupo tienen todas el mismo <a href="/wiki/N%C3%BAmero_cardinal" title="Número cardinal">cardinal</a>, igual al del subgrupo.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHerstein198841_25-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHerstein198841-25"><span class="corchete-llamada">[</span>22<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Homomorfismos_de_grupos">Homomorfismos de grupos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=16" title="Editar sección: Homomorfismos de grupos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Homomorfismo_de_grupos" title="Homomorfismo de grupos"> Homomorfismo de grupos</a></i></div> <p>De entre todas las <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática)">funciones</a> que se pueden definir entre dos grupos <i>G</i> y <i>H</i>, de especial interés son aquellas compatibles con la operación interna de cada uno de ellos: se dice que una aplicación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \colon G\to H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon G\to H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbc9c98786f3c9adb53d5ea6c3b25cd461746f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.924ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon G\to H}"></span> es un <b>homomorfismo</b> (de grupos) si para todo par de elementos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> se verifica </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1dffaf331c0a7a7b6efedae56d269ec9e14b665" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.524ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>donde se ha utilizado la convención de escribir <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.227ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab}"></span> para indicar la operación de <i>a</i> con <i>b</i> en <i>G</i>, y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi (a)\phi (b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (a)\phi (b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e81e6853c5ea2933be4ab5a0c967b371dfc812b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.617ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (a)\phi (b)}"></span> la operación de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi (a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be9109e4d212f34ff5da0ba1451a67471182e9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (a)}"></span> con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi (b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591cd82f64428399874ae7c2cec10b7f23dc53df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (b)}"></span> en <i>H</i>. </p><p>Un homomorfismo de grupos <a href="/wiki/Biyecci%C3%B3n" class="mw-redirect" title="Biyección">biyectivo</a> se denomina <b>isomorfismo</b>. Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos, se dice que estos son <b>isomorfos</b>, en cuyo caso su estructura es idéntica, y solo se diferencian entre sí por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Acciones_de_grupo">Acciones de grupo</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=17" title="Editar sección: Acciones de grupo"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Acci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Acción (matemática)"> Acción (matemática)</a></i></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ejemplos_de_algunos_grupos_notables">Ejemplos de algunos grupos notables</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=18" title="Editar sección: Ejemplos de algunos grupos notables"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Típicamente, la <a href="/wiki/Suma" class="mw-redirect" title="Suma">suma</a> de <a href="/wiki/N%C3%BAmero" title="Número">números</a> y de otros tipos de objetos matemáticos se puede describir mediante un grupo abeliano: </p> <ul><li>Los grupos aditivos de los números <a href="/wiki/N%C3%BAmero_entero" title="Número entero">enteros</a>, <a href="/wiki/N%C3%BAmero_racional" title="Número racional">racionales</a>, <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">reales</a> y <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complejo" title="Número complejo">complejos</a>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)\subset (\mathbb {Q} ,+)\subset (\mathbb {R} ,+)\subset (\mathbb {C} ,+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)\subset (\mathbb {Q} ,+)\subset (\mathbb {R} ,+)\subset (\mathbb {C} ,+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7440d7f9cb27efd81574bce43d165122dfe2d844" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.615ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)\subset (\mathbb {Q} ,+)\subset (\mathbb {R} ,+)\subset (\mathbb {C} ,+)}"></span>.</dd></dl> <ul><li>Los grupos aditivos de los <a href="/wiki/Vector" title="Vector">vectores</a> libres de dimensión <i>n</i> con componentes reales <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b5fac2a540dde6e3411d3cfdf6ffa4ca7a56e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.548ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}"></span> o complejos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2d35660b66c7e20e53f0c83d53c4e80b25ab99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.548ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},+)}"></span>.</li> <li>Los grupos aditivos de las <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">matrices</a> de orden <i>m x n</i> con entradas en un <a href="/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)" title="Anillo (matemática)">anillo</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"></span> arbitrario: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {A}}^{m\times n},+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {A}}^{m\times n},+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc756aac2677a4cac9a33f6035fc83f525c6f98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.509ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {A}}^{m\times n},+)}"></span>.</li> <li>El grupo aditivo de <a href="/wiki/Sucesi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Sucesión (matemática)">sucesiones</a> de números reales, con la suma término a término: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8eeccc1fd5a6417a075a7d8a11f48f1db5b287" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.748ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },+)}"></span>.</li> <li>Las clases de restos módulo <i>n</i> con la <a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular" title="Aritmética modular">suma módular</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2120ebbc85f91df66c6de5446367bf9fd620844" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.658ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"></span>, forman un grupo finito de orden <i>n</i>. Por ejemplo, el grupo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9707346ee2c503fe166020c1395bd53cc706ff70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.588ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }"></span> representa las horas en la esfera de un <a href="/wiki/Reloj" title="Reloj">reloj</a>, donde <i>12+1=1</i> (<i>12</i> es la identidad del grupo).</li></ul> <p>Igualmente, el <a href="/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación">producto</a> de ciertas entidades matemáticas les dota de estructura de grupo, no siempre abeliano. No obstante, se deben excluir los elementos que carecen de <a href="/wiki/Inverso_multiplicativo" title="Inverso multiplicativo">inverso multiplicativo</a> (como el <a href="/wiki/N%C3%BAmero_cero" title="Número cero">número cero</a>): </p> <ul><li>Los grupos multiplicativos de los números racionales, reales y complejos (excluyendo el cero, lo que se denota con el superíndice <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \square ^{\times }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>◻</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \square ^{\times }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e18a04e5233bc2e763d705b46712885ed1930e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.319ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \square ^{\times }}"></span>):</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {Q} ^{\times },\cdot )\subset (\mathbb {R} ^{\times },\cdot )\subset (\mathbb {C} ^{\times },\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {Q} ^{\times },\cdot )\subset (\mathbb {R} ^{\times },\cdot )\subset (\mathbb {C} ^{\times },\cdot )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e728c587f3a426c88560b0aa1f91169f7bf4c32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {Q} ^{\times },\cdot )\subset (\mathbb {R} ^{\times },\cdot )\subset (\mathbb {C} ^{\times },\cdot )}"></span>.</dd></dl> <ul><li>En los números exteros, el grupo multiplicativo de los enteros que tienen inverso (lo que se denomina en general, en cualquier anillo unitario, su <a href="/wiki/Grupo_de_unidades" title="Grupo de unidades">grupo de unidades</a>):</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(\mathbb {Z} )=(\{-1,1\},\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(\mathbb {Z} )=(\{-1,1\},\cdot )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2effd024e1d55eb215fa9b52ba533adfaf5547ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.223ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(\mathbb {Z} )=(\{-1,1\},\cdot )}"></span>.</dd></dl> <ul><li>Las matrices cuadradas de orden <i>n</i> con coeficientes reales y <a href="/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)" title="Determinante (matemática)">determinante</a> distinto de cero (por tanto invertibles) forman un grupo con el <a href="/wiki/Producto_matricial" class="mw-redirect" title="Producto matricial">producto matricial</a>, que no es conmutativo cuando <i>n>1</i>. Se denomina <a href="/wiki/Grupo_general_lineal" class="mw-redirect" title="Grupo general lineal">grupo general lineal</a> y se denota <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle GL(\mathbb {R} ,n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle GL(\mathbb {R} ,n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96785aee8f51bcbbdd05d9152915efef4c613649" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.326ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle GL(\mathbb {R} ,n)}"></span> o bien <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {GL}_{n}(\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>G</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {GL}_{n}(\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b925cdfb4ad78482ea3e3d55266a72ba68010f0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.115ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {GL}_{n}(\mathbb {R} )}"></span>.</li> <li>Las sucesiones de números reales positivos con el producto término a término <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ((\mathbb {R} ^{+})^{\mathbb {N} },\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ((\mathbb {R} ^{+})^{\mathbb {N} },\cdot )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7f6422157894da0c328472740fb3a548a61d8d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.907ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle ((\mathbb {R} ^{+})^{\mathbb {N} },\cdot )}"></span>.</li> <li>El grupo multiplicativo de los números complejos de <a href="/wiki/M%C3%B3dulo_de_un_n%C3%BAmero_complejo" title="Módulo de un número complejo">módulo</a> 1: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\},\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\},\cdot )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a702c50eca5843fd796b5da4e87d35a47f0e2f55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.002ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\},\cdot )}"></span>.</li> <li>En las clases de restos módulo <i>n</i> con la <a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular" title="Aritmética modular">multiplicación modular</a>, se define su grupo multiplicativo como el conjunto de las clases <a href="/wiki/Coprimo" class="mw-redirect" title="Coprimo">coprimas</a> con <i>n</i>. Por ejemplo, en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>6</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e84bc3701b5f3f6b222f2323369c81541690d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.426ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }"></span>, el grupo multiplicativo está formado por las clases de restos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,5\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,5\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fd85af28be8e349ba8782253c88e650061d35b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.684ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{1,5\}}"></span>. Si <i>n</i> es <a href="/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo">primo</a> entonces el grupo multiplicativo contiene a todos los elementos excepto la identidad, con lo que su orden es <i>n-1</i>.</li></ul> <p>Otros ejemplos de grupos (típicamente no conmutativos) se obtienen al considerar grupos de transformaciones de un espacio <b>X</b> (funciones <a href="/wiki/Biyeccion" class="mw-redirect" title="Biyeccion">biyectivas</a> de <b>X</b> en sí mismo), donde la operación es la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_compuesta" title="Función compuesta">composición</a> de aplicaciones y el elemento neutro es la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_identidad" title="Función identidad">función identidad</a>: </p> <ul><li>El <a href="/wiki/Grupo_sim%C3%A9trico" title="Grupo simétrico">grupo simétrico</a>: el grupo que contiene todas las transformaciones de un espacio <b>X</b>.</li> <li>El grupo de los movimientos del espacio o <a href="/wiki/Grupo_de_isometr%C3%ADa" title="Grupo de isometría">grupo de isometría</a> del <a href="/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" title="Espacio euclídeo">espacio euclídeo</a>.</li> <li>El grupo de las semejanzas del plano o el grupo de las afinidades de una recta (las aplicaciones de la forma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto ax+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto ax+b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7527719a79cc12409d36c3dfef7323548fbdd3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.341ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto ax+b}"></span> con <i>a</i> distinto de cero).</li> <li>El <a href="/wiki/Grupo_de_Galileo" class="mw-redirect" title="Grupo de Galileo">grupo de Galileo</a>, formado por las transformaciones del <a href="/wiki/Espacio-tiempo" title="Espacio-tiempo">espacio-tiempo</a> en <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica" title="Mecánica clásica">mecánica clásica</a>. En la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad" title="Teoría de la relatividad">teoría de la relatividad</a>, el equivalente es el <a href="/wiki/Grupo_de_Lorentz" title="Grupo de Lorentz">grupo de Lorentz</a>, que es a su vez subgrupo del <a href="/wiki/Grupo_de_Poincar%C3%A9" title="Grupo de Poincaré">grupo de Poincaré</a>, este último de interés en <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_cu%C3%A1ntica_de_campos" title="Teoría cuántica de campos">teoría cuántica de campos</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tipos_de_grupos">Tipos de grupos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=19" title="Editar sección: Tipos de grupos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dependiendo de los <a href="/wiki/Conjunto_generador_de_un_grupo" title="Conjunto generador de un grupo">conjuntos generadores de un grupo</a>, se pueden distinguir los grupos finitamente generados, que son aquellos que cuentan con un conjunto generador finito. Un contraejemplo es el grupo de los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reales</a> bajo la suma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b33b2c9358cbd7bad20aa0b18651d3bba582c09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}"></span>, que no está generado por ninguno de sus subconjuntos finitos. Todo <a href="/wiki/Grupo_finito" title="Grupo finito">grupo finito</a> está finitamente generado, pero el recíproco no es cierto, como en el caso de los <a href="/wiki/Grupo_libre" title="Grupo libre">grupos libres</a> o los <a href="/wiki/Grupo_abeliano_libre" title="Grupo abeliano libre">grupos abelianos libres</a>. El grupo finito de menor orden es el <a href="/wiki/Grupo_trivial" title="Grupo trivial">grupo trivial</a>, que contiene un solo elemento, luego necesariamente es la identidad. Todos los grupos contienen al grupo trivial como subgrupo. </p><p>Los grupos finitamente generados más elementales son los <a href="/wiki/Grupo_c%C3%ADclico" title="Grupo cíclico">grupos cíclicos</a>, en los que un solo elemento basta para generar el grupo. Un ejemplo es el grupo aditivo de los enteros <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910eaae0a8267ccb04d4846f6a28f02ce6ab8ac9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.202ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}"></span>, que está generado por el <i>1</i> (o alternativamente por el <i>-1</i>, lo cual muestra que no hay necesariamente un único elemento generador). Salvo isomorfismo, todo grupo cíclico infinito es isomorfo a éste, mientras que los cíclicos finitos son isomorfos a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2120ebbc85f91df66c6de5446367bf9fd620844" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.658ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"></span>, para cierto número natural <i>n</i> igual al orden del grupo. </p><p>Los grupos en los que se verifica la <a href="/wiki/Propiedad_conmutativa" class="mw-redirect" title="Propiedad conmutativa">propiedad conmutativa</a> se denominan <a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">grupos abelianos</a> (o conmutativos). En ellos, el subconjunto de los elementos de orden finito (llamados elementos de <a href="/wiki/Torsi%C3%B3n_(%C3%A1lgebra)" title="Torsión (álgebra)">torsión</a>) forman un subgrupo: el subgrupo de torsión. Cuando ningún elemento distinto de la identidad es de torsión, se dice que es un <i>grupo libre de torsión</i>.<sup id="cite_ref-FOOTNOTERotman1994308_26-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTERotman1994308-26"><span class="corchete-llamada">[</span>23<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> El teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados establece que cualquiera de estos grupos es <a href="/wiki/Producto_directo" title="Producto directo">producto directo</a> de un grupo libre de torsión -producto de varias copias de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>- (salvo que sea finito) y de su subgrupo de torsión (producto de grupos cíclicos finitos o bien trivial). </p><p>Un <a href="/wiki/Grupo_topol%C3%B3gico" title="Grupo topológico">grupo topológico</a> es un <a href="/wiki/Espacio_topol%C3%B3gico" title="Espacio topológico">espacio topológico</a> dotado además de estructura de grupo, compatible con la topología (es decir, que tanto la operación del grupo como la inversión son funciones continuas). Si además tiene estructura de <a href="/wiki/Variedad_diferenciable" title="Variedad diferenciable">variedad diferenciable</a>, entonces se denomina <a href="/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie">grupo de Lie</a>. Otros grupos topológicos son los <a href="/wiki/Grupo_discreto" title="Grupo discreto">grupos dicretos</a>, que son aquellos dotados de la <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa_discreta" title="Topología discreta">topología discreta</a> (en la que cada elemento es aislado). Ejemplos de estos últimos son los <a href="/wiki/Grupo_kleiniano" title="Grupo kleiniano">grupos kleinianos</a>, los <a href="/w/index.php?title=Grupo_fuchsiano&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupo fuchsiano (aún no redactado)">fuchsianos</a> o los <a href="/wiki/Grupo_triangular" title="Grupo triangular">triangulares</a>, entre otros. </p><p>Cuando un grupo carece de subgrupos normales propios se denomina <a href="/wiki/Grupo_simple" title="Grupo simple">grupo simple</a>. En ocasiones (p.e. en los grupos finitos) es posible descomponer un grupo en grupos simples, llamados grupos factores, por medio de una <a href="/wiki/Serie_de_composici%C3%B3n" title="Serie de composición">serie de composición</a>. Cuando existe, esta serie es única, pero dos grupos con la misma serie no son necesariamente isomorfos. Si todos los factores son grupos abelianos se dice que el grupo es <a href="/wiki/Grupo_resoluble" title="Grupo resoluble">resoluble</a>.<sup id="cite_ref-FOOTNOTERotman1994102_27-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-FOOTNOTERotman1994102-27"><span class="corchete-llamada">[</span>24<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=20" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Grupo_c%C3%ADclico" title="Grupo cíclico">grupo cíclico</a>.</li> <li><a href="/wiki/Grupo_lineal" title="Grupo lineal">grupo lineal</a>.</li> <li><a href="/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie">grupo de Lie</a>, <a href="/wiki/Grupo_uniparam%C3%A9trico" title="Grupo uniparamétrico">grupo uniparamétrico</a>.</li></ul> <table style="margin:2em; border-right:1px solid Silver; border-bottom:2px solid Silver"> <tbody><tr> <td> <table style="margin:4px; border:2px solid Silver"> <tbody><tr> <td> <table style="margin:1em"> <tbody><tr> <td>Grupo </td> <td> <table style="border-left:4px solid SkyBlue"> <tbody><tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/Monoide" title="Monoide">Monoide</a> </td> <td> <table style="border-left:4px solid SkyBlue"> <tbody><tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/Semigrupo" title="Semigrupo">Semigrupo</a> </td> <td> <table style="border-left:4px solid SkyBlue"> <tbody><tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/Magma_(%C3%A1lgebra)" title="Magma (álgebra)">Magma</a> </td> <td> <table style="border-left:4px solid SkyBlue"> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">Conjunto</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Ley_de_composici%C3%B3n" title="Ley de composición">Ley de composición</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Operaci%C3%B3n_interna" title="Operación interna">Interna</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)" title="Asociatividad (álgebra)">Asociatividad</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Elemento_neutro" title="Elemento neutro">Elemento neutro</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Elemento_sim%C3%A9trico" title="Elemento simétrico">Elemento simétrico</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notas">Notas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=21" title="Editar sección: Notas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r159346827">.mw-parser-output .refbegin{font-size:90%;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul{margin-left:0}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li{margin-left:0;padding-left:3.2em;text-indent:-3.2em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents ul,.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents ul li{list-style:none}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li{padding-left:1.6em;text-indent:-1.6em}}.mw-parser-output .refbegin-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .refbegin-columns ul{margin-top:0}.mw-parser-output .refbegin-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}</style><div class="refbegin refbegin-columns references-column-count references-column-count-2" style="column-count: 2;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Dependiendo del convenio utilizado, el cero puede estar o no incluido en el conjunto de los naturales. Véase el <a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural#Convenios_de_notación" title="Número natural">Número natural#Convenios de notación</a> para más información.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a></span> <span class="reference-text">En <i><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">Mathematical Reviews</a></i> se publican 3 224 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones, escritos durante el año 2005.</span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-14">↑</a></span> <span class="reference-text">La clasificación fue anunciada en 1983, pero las diferencias se encontraron en la prueba. Véase el <a href="/wiki/Teorema_de_clasificaci%C3%B3n_de_grupos_simples" title="Teorema de clasificación de grupos simples">teorema de clasificación de grupos simples</a> para más información.</span> </li> </ol> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fuentes">Fuentes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=22" title="Editar sección: Fuentes"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Referencias">Referencias</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=23" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-Lenguaje_matemático_1-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Lenguaje_matemático_1_1-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Lenguaje_matemático_1_1-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><i>Lenguaje matemático, conjuntos y números</i> (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);<a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788492948307" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-84-92948-30-7</a>; pág.125 y ss.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITAREFHerstein1975">Herstein, 1975</a>, p. §2, p. 26)</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTELang2005Apéndice_2,_p._360-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTELang2005Apéndice_2,_p._360_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFLang2005">Lang, 2005</a>, p. Apéndice 2, p. 360.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEHall19671.1-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHall19671.1_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFHall1967">Hall, 1967</a>, «1.1».</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEHerstein19882.140-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHerstein19882.140_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFHerstein1988">Herstein, 1988</a>, «2.1», p. 40.</span> </li> <li id="cite_note-Lenguaje_matemático_2-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Lenguaje_matemático_2_7-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Lenguaje matemático, conjuntos y números</i> (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);<a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788492948307" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-84-92948-30-7</a>; pág.126</span> </li> <li id="cite_note-MacLane-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-MacLane_8-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFMac_Lane1998">Mac Lane, 1998</a></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFDeneckeWismath2002">Denecke y Wismath, 2002</a></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEBourbaki1975;2014-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEBourbaki1975;2014_10-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFBourbaki1975;2014">Bourbaki, 1975;2014</a>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTERomanowskaSmith20021.1.3_Semigroups_and_monoids-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTERomanowskaSmith20021.1.3_Semigroups_and_monoids_11-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFRomanowskaSmith2002">Romanowska y Smith, 2002</a>, «1.1.3 Semigroups and monoids».</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Introducción a la Teoría de Grupos</i> (2009) Zaldívar, Felipe <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9789683635914" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-968-36-3591-4</a> y otros; pág. 17</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEArtin1991-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEArtin1991_15-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFArtin1991">Artin, 1991</a>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEHatcher200223-16"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHatcher200223_16-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFHatcher2002">Hatcher, 2002</a>, p. 23.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTELang200517-17"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTELang200517_17-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFLang2005">Lang, 2005</a>, p. 17.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTERotman199412-18"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTERotman199412_18-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFRotman1994">Rotman, 1994</a>, p. 12.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEHall19675-19"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-FOOTNOTEHall19675_19-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTEHall19675_19-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFHall1967">Hall, 1967</a>, p. 5.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEArtin199142-20"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEArtin199142_20-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFArtin1991">Artin, 1991</a>, p. 42.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEHerstein198850-21"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHerstein198850_21-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFHerstein1988">Herstein, 1988</a>, p. 50.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEArtin199144-22"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEArtin199144_22-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFArtin1991">Artin, 1991</a>, p. 44.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEArtin19912.6-23"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEArtin19912.6_23-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFArtin1991">Artin, 1991</a>, «2.6».</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEArtin199147-24"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEArtin199147_24-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFArtin1991">Artin, 1991</a>, p. 47.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEHerstein198841-25"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHerstein198841_25-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFHerstein1988">Herstein, 1988</a>, p. 41.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTERotman1994308-26"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTERotman1994308_26-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFRotman1994">Rotman, 1994</a>, p. 308.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTERotman1994102-27"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTERotman1994102_27-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITAREFRotman1994">Rotman, 1994</a>, p. 102.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=24" title="Editar sección: Bibliografía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Referencias_generales">Referencias generales</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=25" title="Editar sección: Referencias generales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="CITAREFArtin1991" class="citation libro"><a href="/wiki/Michael_Artin" title="Michael Artin">Artin, Michael</a> (1991). <i>Algebra</i>. <a href="/w/index.php?title=Prentice_Hall&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prentice Hall (aún no redactado)">Prentice Hall</a>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9780130047632" title="Especial:FuentesDeLibros/9780130047632">9780130047632</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Artin%2C+Michael&rft.aufirst=Michael&rft.aulast=Artin&rft.btitle=Algebra&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=9780130047632&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span> El capítulo 2 contiene una exposición introductoria de los conceptos cubiertos en este artículo.</li> <li><span id="CITAREFBourbaki1975;2014" class="citation">Bourbaki, Nicolas. (1975;2014), <i>Éléments de Mathématique (vol. I) Algèbre: Chapitres 1-3</i>, Springer Paris, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-3-662-43705-6" title="Especial:FuentesDeLibros/978-3-662-43705-6">978-3-662-43705-6</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Bourbaki%2C+Nicolas.&rft.aufirst=Nicolas.&rft.aulast=Bourbaki&rft.btitle=%C3%89l%C3%A9ments+de+Math%C3%A9matique+%28vol.+I%29+Alg%C3%A8bre%3A+Chapitres+1-3&rft.date=1975%3B2014&rft.genre=book&rft.isbn=978-3-662-43705-6&rft.pub=Springer+Paris&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFDevlin2000" class="citation"><a href="/wiki/Keith_Devlin" title="Keith Devlin">Devlin, Keith</a> (2000), <i>The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible</i>, Owl Books, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-8050-7254-9" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-8050-7254-9">978-0-8050-7254-9</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Devlin%2C+Keith&rft.aufirst=Keith&rft.aulast=Devlin&rft.btitle=The+Language+of+Mathematics%3A+Making+the+Invisible+Visible&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-8050-7254-9&rft.pub=Owl+Books&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>., Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.</li> <li><span id="CITAREFHall1967" class="citation libro"><a href="/w/index.php?title=George_G._Hall&action=edit&redlink=1" class="new" title="George G. Hall (aún no redactado)">Hall, George G.</a> (1967). <i>Applied group theory</i>. American Elsevier Publishing Co., Inc., New York. <small><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0219593">0219593</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Hall%2C+George+G.&rft.aufirst=George+G.&rft.aulast=Hall&rft.btitle=Applied+group+theory&rft.date=1967&rft.genre=book&rft.mr=0219593&rft.pub=American+Elsevier+Publishing+Co.%2C+Inc.%2C+New+York&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>, enfocado a la teoría de representación.</li> <li><span id="CITAREFHerstein1988" class="citation libro"><a href="/w/index.php?title=Israel_Nathan_Herstein&action=edit&redlink=1" class="new" title="Israel Nathan Herstein (aún no redactado)">Herstein, Israel Nathan</a> (1988). <i>Álgebra Abstracta</i> (traducción de la 1º edición en ingles (1986) edición). México D.F.: Iberoamérica. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/968-7270-42-X" title="Especial:FuentesDeLibros/968-7270-42-X">968-7270-42-X</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Herstein%2C+Israel+Nathan&rft.aufirst=Israel+Nathan&rft.aulast=Herstein&rft.btitle=%C3%81lgebra+Abstracta&rft.date=1988&rft.edition=traducci%C3%B3n+de+la+1%C2%BA+edici%C3%B3n+en+ingles+%281986%29&rft.genre=book&rft.isbn=968-7270-42-X&rft.place=M%C3%A9xico+D.F.&rft.pub=Iberoam%C3%A9rica&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>.</li> <li><span id="CITAREFHerstein1975" class="citation libro">Herstein, Israel Nathan (1975). <i>Topics in algebra</i> (2nd edición). Lexington, Mass.: Xerox College Publishing. <small><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0356988">0356988</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Herstein%2C+Israel+Nathan&rft.aufirst=Israel+Nathan&rft.aulast=Herstein&rft.btitle=Topics+in+algebra&rft.date=1975&rft.edition=2nd&rft.genre=book&rft.mr=0356988&rft.place=Lexington%2C+Mass.&rft.pub=Xerox+College+Publishing&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>.</li> <li><span id="CITAREFLang2005" class="citation">Lang, Serge (2005), <i>Undergraduate Algebra</i> (3rd edición), Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-387-22025-3" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-387-22025-3">978-0-387-22025-3</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Lang%2C+Serge&rft.aufirst=Serge&rft.aulast=Lang&rft.btitle=Undergraduate+Algebra&rft.date=2005&rft.edition=3rd&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-387-22025-3&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFLedermann1953" class="citation">Ledermann, Walter (1953), <i>Introduction to the theory of finite groups</i>, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, <small><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0054593">0054593</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Ledermann%2C+Walter&rft.aufirst=Walter&rft.aulast=Ledermann&rft.btitle=Introduction+to+the+theory+of+finite+groups&rft.date=1953&rft.genre=book&rft.mr=0054593&rft.pub=Oliver+and+Boyd%2C+Edinburgh+and+London&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFLedermann1973" class="citation">Ledermann, Walter (1973), <i>Introduction to group theory</i>, New York: Barnes and Noble, <small><a href="/wiki/OCLC" title="OCLC">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/oclc/795613">795613</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Ledermann%2C+Walter&rft.aufirst=Walter&rft.aulast=Ledermann&rft.btitle=Introduction+to+group+theory&rft.date=1973&rft.genre=book&rft.place=New+York&rft.pub=Barnes+and+Noble&rft_id=info%3Aoclcnum%2F795613&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li>Murphy-Hernández, Frank y García, Jaime. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://raw.githubusercontent.com/FMurphyHernandez/math/master/doc/AMod.pdf">Notas de Álgebra Moderna 1.</a></li> <li><span id="CITAREFRobinson1996" class="citation">Robinson, Derek John Scott (1996), <i>A course in the theory of groups</i>, Berlin, New York: Springer-Verlag, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-387-94461-6" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-387-94461-6">978-0-387-94461-6</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Robinson%2C+Derek+John+Scott&rft.aufirst=Derek+John+Scott&rft.aulast=Robinson&rft.btitle=A+course+in+the+theory+of+groups&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-387-94461-6&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFRotman1994" class="citation libro">Rotman, Joseph J. (1994). <i>An introduction to the theory of groups</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span> (4ª edición). Springer.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Rotman%2C+Joseph+J.&rft.aufirst=Joseph+J.&rft.aulast=Rotman&rft.btitle=An+introduction+to+the+theory+of+groups&rft.date=1994&rft.edition=4%C2%AA&rft.genre=book&rft.pub=Springer&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Referencias_especiales">Referencias especiales</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=26" title="Editar sección: Referencias especiales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="CITAREFArtin1998" class="citation"><a href="/wiki/Emil_Artin" title="Emil Artin">Artin, Emil</a> (1998), <i>Galois Theory</i>, New York: <a href="/wiki/Dover_Publications" title="Dover Publications">Dover Publications</a>, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-486-62342-9" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-486-62342-9">978-0-486-62342-9</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Artin%2C+Emil&rft.aufirst=Emil&rft.aulast=Artin&rft.btitle=Galois+Theory&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-486-62342-9&rft.place=New+York&rft.pub=Dover+Publications&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFAschbacher2004" class="citation"><a href="/wiki/Michael_Aschbacher" title="Michael Aschbacher">Aschbacher, Michael</a> (2004), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf">«The Status of the Classification of the Finite Simple Groups»</a> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(PDF)</span>, <i><a href="/wiki/Notices_of_the_American_Mathematical_Society" title="Notices of the American Mathematical Society">Notices of the American Mathematical Society</a></i> <b>51</b> (7): 736-740</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.atitle=The+Status+of+the+Classification+of+the+Finite+Simple+Groups&rft.au=Aschbacher%2C+Michael&rft.aufirst=Michael&rft.aulast=Aschbacher&rft.date=2004&rft.genre=article&rft.issue=7&rft.jtitle=Notices+of+the+American+Mathematical+Society&rft.pages=736-740&rft.volume=51&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.ams.org%2Fnotices%2F200407%2Ffea-aschbacher.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFBecchi1997" class="citation">Becchi, C. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.atitle=On+the+lattice+of+subgroups+of+finite+groups&rft.au=Suzuki%2C+Michio&rft.aufirst=Michio&rft.aulast=Suzuki&rft.date=1951&rft.genre=article&rft.issue=2&rft.jstor=1990375&rft.jtitle=Transactions+of+the+American+Mathematical+Society&rft.pages=345-371&rft.volume=70&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F1990375&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFWarner1983" class="citation">Warner, Frank (1983), <i>Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups</i>, Berlin, New York: Springer-Verlag, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-387-90894-6" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-387-90894-6">978-0-387-90894-6</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Warner%2C+Frank&rft.aufirst=Frank&rft.aulast=Warner&rft.btitle=Foundations+of+Differentiable+Manifolds+and+Lie+Groups&rft.date=1983&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-387-90894-6&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFWeinberg1972" class="citation"><a href="/wiki/Steven_Weinberg" title="Steven Weinberg">Weinberg, Steven</a> (1972), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0"><i>Gravitation and Cosmology</i></a>, New York: John Wiley & Sons, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-471-92567-5" title="Especial:FuentesDeLibros/0-471-92567-5">0-471-92567-5</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Weinberg%2C+Steven&rft.aufirst=Steven&rft.aulast=Weinberg&rft.btitle=Gravitation+and+Cosmology&rft.date=1972&rft.genre=book&rft.isbn=0-471-92567-5&rft.place=New+York&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fgravitationcosmo00stev_0&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFWelsh1989" class="citation">Welsh, Dominic (1989), <i>Codes and cryptography</i>, Oxford: Clarendon Press, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-19-853287-3" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-19-853287-3">978-0-19-853287-3</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Welsh%2C+Dominic&rft.aufirst=Dominic&rft.aulast=Welsh&rft.btitle=Codes+and+cryptography&rft.date=1989&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-19-853287-3&rft.place=Oxford&rft.pub=Clarendon+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFWeyl1952" class="citation"><a href="/wiki/Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Weyl, Hermann</a> (1952), <i>Symmetry</i>, Princeton University Press, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-691-02374-8" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-691-02374-8">978-0-691-02374-8</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Weyl%2C+Hermann&rft.aufirst=Hermann&rft.aulast=Weyl&rft.btitle=Symmetry&rft.date=1952&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-691-02374-8&rft.pub=Princeton+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Referencias_históricas"><span id="Referencias_hist.C3.B3ricas"></span>Referencias históricas</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=27" title="Editar sección: Referencias históricas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="CITAREFBorel2001" class="citation"><a href="/w/index.php?title=Armand_Borel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Armand Borel (aún no redactado)">Borel, Armand</a> (2001), 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rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140"><i>The collected mathematical papers of Arthur Cayley</i></a>, II (1851–1860), <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Cayley%2C+Arthur&rft.aufirst=Arthur&rft.aulast=Cayley&rft.btitle=The+collected+mathematical+papers+of+Arthur+Cayley&rft.date=1889&rft.genre=book&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.volume=II+%281851%E2%80%931860%29&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hti.umich.edu%2Fcgi%2Ft%2Ftext%2Fpageviewer-idx%3Fc%3Dumhistmath%3Bcc%3Dumhistmath%3Brgn%3Dfull%2520text%3Bidno%3DABS3153.0001.001%3Bdidno%3DABS3153.0001.001%3Bview%3Dimage%3Bseq%3D00000140&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFO'ConnorRobertson1996" class="citation">O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (1996), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html"><i>The development of group theory</i></a></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=O%27Connor%2C+J.J&rft.au=Robertson%2C+E.F.&rft.aufirst=J.J&rft.aulast=O%27Connor&rft.btitle=The+development+of+group+theory&rft.date=1996&rft.genre=book&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-groups.dcs.st-and.ac.uk%2F~history%2FHistTopics%2FDevelopment_group_theory.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFCurtis2003" class="citation"><a href="/w/index.php?title=Charles_W._Curtis&action=edit&redlink=1" class="new" title="Charles W. Curtis (aún no redactado)">Curtis, Charles W.</a> (2003), <i>Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer</i>, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-8218-2677-5" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-8218-2677-5">978-0-8218-2677-5</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Curtis%2C+Charles+W.&rft.aufirst=Charles+W.&rft.aulast=Curtis&rft.btitle=Pioneers+of+Representation+Theory%3A+Frobenius%2C+Burnside%2C+Schur%2C+and+Brauer&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-8218-2677-5&rft.place=Providence%2C+R.I.&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.series=History+of+Mathematics&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFvon_Dyck1882" class="citation"><a href="/wiki/Walther_von_Dyck" title="Walther von Dyck">von Dyck, Walther</a> (1882), «Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies)», <i><a href="/wiki/Mathematische_Annalen" title="Mathematische Annalen">Mathematische Annalen</a></i> <b>20</b> (1): 1-44, <small><a href="/wiki/Digital_object_identifier" class="mw-redirect" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1007%2FBF01443322">10.1007/BF01443322</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.atitle=Gruppentheoretische+Studien+%28Group-theoretical+Studies%29&rft.au=von+Dyck%2C+Walther&rft.aufirst=Walther&rft.aulast=von+Dyck&rft.date=1882&rft.genre=article&rft.issue=1&rft.jtitle=Mathematische+Annalen&rft.pages=1-44&rft.volume=20&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF01443322&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFGalois1908" class="citation"><a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Galois, Évariste</a> (1908), Tannery, Jules, ed., <a rel="nofollow" class="external text" href="http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280"><i>Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts]</i></a>, París: Gauthier-Villars</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Galois%2C+%C3%89variste&rft.aufirst=%C3%89variste&rft.aulast=Galois&rft.btitle=Manuscrits+de+%C3%89variste+Galois+%5B%C3%89variste+Galois%27+Manuscripts%5D&rft.date=1908&rft.genre=book&rft.place=Par%C3%ADs&rft.pub=Gauthier-Villars&rft_id=http%3A%2F%2Fquod.lib.umich.edu%2Fcgi%2Ft%2Ftext%2Ftext-idx%3Fc%3Dumhistmath%3Bidno%3DAAN9280&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>. (Galois work was first published by <a href="/wiki/Joseph_Liouville" title="Joseph Liouville">Joseph Liouville</a> in 1843).</li> <li><span id="CITAREFJordan1870" class="citation"><a href="/wiki/Camille_Jordan" title="Camille Jordan">Jordan, Camille</a> (1870), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF35001297"><i>Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations]</i></a>, París: Gauthier-Villars</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Jordan%2C+Camille&rft.aufirst=Camille&rft.aulast=Jordan&rft.btitle=Trait%C3%A9+des+substitutions+et+des+%C3%A9quations+alg%C3%A9briques+%5BStudy+of+Substitutions+and+Algebraic+Equations%5D&rft.date=1870&rft.genre=book&rft.place=Par%C3%ADs&rft.pub=Gauthier-Villars&rft_id=http%3A%2F%2Fgallica.bnf.fr%2Fnotice%3FN%3DFRBNF35001297&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>.</li> <li><span id="CITAREFKleiner1986" class="citation">Kleiner, Israel (1986), «The evolution of group theory: a brief survey», <i><a href="/wiki/Mathematics_Magazine" title="Mathematics Magazine">Mathematics Magazine</a></i> <b>59</b> (4): 195-215, <small><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=863090">863090</a></small>, <small><a href="/wiki/Digital_object_identifier" class="mw-redirect" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.2307%2F2690312">10.2307/2690312</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.atitle=The+evolution+of+group+theory%3A+a+brief+survey&rft.au=Kleiner%2C+Israel&rft.aufirst=Israel&rft.aulast=Kleiner&rft.date=1986&rft.genre=article&rft.issue=4&rft.jtitle=Mathematics+Magazine&rft.mr=863090&rft.pages=195-215&rft.volume=59&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2690312&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFLie1973" class="citation"><a href="/wiki/Sophus_Lie" title="Sophus Lie">Lie, Sophus</a> (1973), <i>Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1]</i>, New York: Johnson Reprint Corp., <small><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0392459">0392459</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Lie%2C+Sophus&rft.aufirst=Sophus&rft.aulast=Lie&rft.btitle=Gesammelte+Abhandlungen.+Band+1+%5BCollected+papers.+Volume+1%5D&rft.date=1973&rft.genre=book&rft.mr=0392459&rft.place=New+York&rft.pub=Johnson+Reprint+Corp.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFMackey1976" class="citation"><a href="/wiki/George_Mackey" title="George Mackey">Mackey, George Whitelaw</a> (1976), <i>The theory of unitary group representations</i>, <a href="/wiki/University_of_Chicago_Press" title="University of Chicago Press">University of Chicago Press</a>, <small><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0396826">0396826</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Mackey%2C+George+Whitelaw&rft.aufirst=George+Whitelaw&rft.aulast=Mackey&rft.btitle=The+theory+of+unitary+group+representations&rft.date=1976&rft.genre=book&rft.mr=0396826&rft.pub=University+of+Chicago+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>.</li> <li><span id="CITAREFSmith1906" class="citation"><a href="/w/index.php?title=David_Eugene_Smith&action=edit&redlink=1" class="new" title="David Eugene Smith (aún no redactado)">Smith, David Eugene</a> (1906), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gutenberg.org/etext/8746"><i>History of Modern Mathematics</i></a>, Mathematical Monographs, No. 1</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Smith%2C+David+Eugene&rft.aufirst=David+Eugene&rft.aulast=Smith&rft.btitle=History+of+Modern+Mathematics&rft.date=1906&rft.genre=book&rft.series=Mathematical+Monographs%2C+No.+1&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.gutenberg.org%2Fetext%2F8746&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li> <li><span id="CITAREFWussing2007" class="citation">Wussing, Hans (2007), <i>The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory</i>, New York: <a href="/wiki/Dover_Publications" title="Dover Publications">Dover Publications</a>, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-486-45868-7" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-486-45868-7">978-0-486-45868-7</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AGrupo+%28matem%C3%A1tica%29&rft.au=Wussing%2C+Hans&rft.aufirst=Hans&rft.aulast=Wussing&rft.btitle=The+Genesis+of+the+Abstract+Group+Concept%3A+A+Contribution+to+the+History+of+the+Origin+of+Abstract+Group+Theory&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-486-45868-7&rft.place=New+York&rft.pub=Dover+Publications&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</li></ul> <p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&section=28" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/15px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/23px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/30px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></span></span> <a href="/wiki/Wikilibros" title="Wikilibros">Wikilibros</a> alberga un libro o manual sobre <b><a href="https://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Abstracta" class="extiw" title="b:Álgebra Abstracta">Álgebra Abstracta</a></b>. incluyendo un capítulo grupos.</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output 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decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q83478" class="extiw" title="wikidata:Q83478">Q83478</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Group_theory">Group theory</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q83478%22">Q83478</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4022379-6">4022379-6</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Checa" title="Biblioteca Nacional de la República Checa">NKC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph180740">ph180740</a></span></li> <li><b>Diccionarios y enciclopedias</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Brit%C3%A1nica" title="Enciclopedia Británica">Britannica</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/group-mathematics">url</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q83478" class="extiw" title="wikidata:Q83478">Q83478</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Group_theory">Group theory</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q83478%22">Q83478</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_(matemática)&oldid=161455569">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_(matemática)&oldid=161455569</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Categoría:Teoría de grupos">Teoría de grupos</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Simetr%C3%ADa" title="Categoría:Simetría">Simetría</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Estructuras_algebraicas" title="Categoría:Estructuras algebraicas">Estructuras algebraicas</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorías ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1ginas_con_enlaces_m%C3%A1gicos_de_ISBN" title="Categoría:Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN">Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_GND" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores GND">Wikipedia:Artículos con identificadores GND</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 22 jul 2024 a 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