Fonction holomorphe — Wikipédia

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id="toc-Dérivée_complexe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Dérivée_complexe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Dérivée complexe</span> </div> </a> <ul id="toc-Dérivée_complexe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Propriétés" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriétés"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Propriétés</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Propriétés-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Propriétés</span> </button> <ul id="toc-Propriétés-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Équations_de_Cauchy-Riemann" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Équations_de_Cauchy-Riemann"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Équations de Cauchy-Riemann</span> </div> </a> <ul id="toc-Équations_de_Cauchy-Riemann-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_entre_fonctions_holomorphes_et_fonctions_harmoniques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_entre_fonctions_holomorphes_et_fonctions_harmoniques"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Liens entre fonctions holomorphes et fonctions harmoniques</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_entre_fonctions_holomorphes_et_fonctions_harmoniques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorème_intégral_de_Cauchy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorème_intégral_de_Cauchy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Théorème intégral de Cauchy</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorème_intégral_de_Cauchy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Primitive_d'une_fonction_holomorphe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Primitive_d'une_fonction_holomorphe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>Primitive d'une fonction holomorphe</span> </div> </a> <ul id="toc-Primitive_d'une_fonction_holomorphe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Formule_intégrale_de_Cauchy_et_applications" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Formule_intégrale_de_Cauchy_et_applications"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Formule intégrale de Cauchy et applications</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Formule_intégrale_de_Cauchy_et_applications-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Formule intégrale de Cauchy et applications</span> </button> <ul id="toc-Formule_intégrale_de_Cauchy_et_applications-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Formule_intégrale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Formule_intégrale"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Formule intégrale</span> </div> </a> <ul id="toc-Formule_intégrale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Représentation_en_série_entière" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Représentation_en_série_entière"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Représentation en série entière</span> </div> </a> <ul id="toc-Représentation_en_série_entière-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Propriété_de_la_moyenne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriété_de_la_moyenne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Propriété de la moyenne</span> </div> </a> <ul id="toc-Propriété_de_la_moyenne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Principe_du_maximum" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Principe_du_maximum"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>Principe du maximum</span> </div> </a> <ul id="toc-Principe_du_maximum-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Suites_convergentes_de_fonctions_holomorphes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Suites_convergentes_de_fonctions_holomorphes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.5</span> <span>Suites convergentes de fonctions holomorphes</span> </div> </a> <ul id="toc-Suites_convergentes_de_fonctions_holomorphes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Développement_de_Laurent_autour_d'un_point_singulier" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Développement_de_Laurent_autour_d'un_point_singulier"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Développement de Laurent autour d'un point singulier</span> </div> </a> <ul id="toc-Développement_de_Laurent_autour_d'un_point_singulier-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fonctions_méromorphes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Fonctions_méromorphes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Fonctions méromorphes</span> </div> </a> <ul id="toc-Fonctions_méromorphes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Anti-holomorphie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Anti-holomorphie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Anti-holomorphie</span> </div> </a> <ul id="toc-Anti-holomorphie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.1</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lien_externe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lien_externe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.2</span> <span>Lien externe</span> </div> </a> <ul id="toc-Lien_externe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fonction holomorphe</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 46 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-46" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">46 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D8%AA%D8%A7%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%B4%D9%83%D9%84" title="دالة تامة التشكل – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة تامة التشكل" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfa" title="Función holomorfa – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Función holomorfa" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BB%D1%8B_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Голоморфлы функция – bachkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Голоморфлы функция" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bachkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Холоморфна функция – bulgare" lang="bg" 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href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Holomorfn%C3%AD_funkce" title="Holomorfní funkce – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Holomorfní funkce" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualité"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Holomorphe Funktion" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE%BB%CF%8C%CE%BC%CE%BF%CF%81%CF%86%CE%B7_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Ολόμορφη συνάρτηση – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Ολόμορφη συνάρτηση" 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hreflang="lmo" data-title="Funziú ulumorfa" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Holomorfin%C4%97_funkcija" title="Holomorfinė funkcija – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Holomorfinė funkcija" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Holomorfe_functie" title="Holomorfe functie – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Holomorfe functie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Holomorf_funksjon" title="Holomorf funksjon – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Holomorf funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Foncion_olom%C3%B2rfa" title="Foncion olomòrfa – occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Foncion olomòrfa" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitan" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_holomorficzna" title="Funkcja holomorficzna – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Funkcja holomorficzna" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_holomorfa" title="Função holomorfa – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função holomorfa" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C8%9Bie_olomorf%C4%83" title="Funcție olomorfă – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Funcție olomorfă" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Голоморфная функция – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Голоморфная функция" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Funzioni_olomorfa" title="Funzioni olomorfa – sicilien" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Funzioni olomorfa" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilien" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function" title="Holomorphic function – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Holomorphic function" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Holomorfn%C3%A1_funkcia" title="Holomorfná funkcia – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Holomorfná funkcia" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Holomorfna_funkcija" title="Holomorfna funkcija – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Holomorfna funkcija" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni_holomorfik" title="Funksioni holomorfik – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni holomorfik" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Holomorfna_funkcija" title="Holomorfna funkcija – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Holomorfna funkcija" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Analytisk_funktion" title="Analytisk funktion – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Analytisk funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%B5%E0%AE%9A%E0%AF%8D_%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="முற்றுருவச் சார்பியம் – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="முற்றுருவச் சார்பியம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Holomorf_fonksiyon" title="Holomorf fonksiyon – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Holomorf fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Голоморфна функція – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Голоморфна функція" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_ch%E1%BB%89nh_h%C3%ACnh" title="Hàm chỉnh hình – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hàm chỉnh hình" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E7%BA%AF%E5%87%BD%E6%95%B0" title="全纯函数 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="全纯函数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E7%B4%94%E5%87%BD%E6%95%B8" title="全純函數 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="全純函數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q207476#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fonction_holomorphe" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Fonction_holomorphe" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" 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class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fonction_holomorphe"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" 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class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Fonction_holomorphe" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" 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d’informations sur cette page"><span>Informations sur la page</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=Fonction_holomorphe&id=215737707&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page"><span>Citer cette page</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FFonction_holomorphe"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FFonction_holomorphe"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li 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title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Cet article concerne les mathématiques. Pour la mycologie, voir <a href="/wiki/Holomorphe_(mycologie)" title="Holomorphe (mycologie)">Holomorphe (mycologie)</a>. </p> </div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Conformal_map.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Conformal_map.svg/220px-Conformal_map.svg.png" decoding="async" width="220" height="385" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Conformal_map.svg/330px-Conformal_map.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Conformal_map.svg/440px-Conformal_map.svg.png 2x" data-file-width="535" data-file-height="937" /></a><figcaption>Une grille et son image par <span class="texhtml"><i>f</i></span> d'une fonction holomorphe. </figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Analyse_complexe" title="Analyse complexe">analyse complexe</a>, une <b>fonction holomorphe</b> est une <a href="/wiki/Fonction_et_application" class="mw-redirect" title="Fonction et application">fonction</a> à valeurs <a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">complexes</a>, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble <a href="/wiki/Ouvert_(topologie)" title="Ouvert (topologie)">ouvert</a> du <a href="/wiki/Plan_complexe" title="Plan complexe">plan complexe</a> ℂ. </p><p>Cette condition est beaucoup plus forte que la <a href="/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e" title="Dérivée">dérivabilité réelle</a>. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est <a href="/wiki/Fonction_analytique" title="Fonction analytique">analytique</a> : elle est <a href="/wiki/Classe_de_r%C3%A9gularit%C3%A9" title="Classe de régularité">infiniment dérivable</a> et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa <a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor" title="Série de Taylor">série de Taylor</a>. Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition"><span id="D.C3.A9finition"></span>Définition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Définition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Définition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Définition</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soient <span class="texhtml"><i>U</i></span> un <a href="/wiki/Ouvert_(topologie)" title="Ouvert (topologie)">ouvert</a> de l'ensemble ℂ des nombres complexes et <span class="texhtml"><i>f</i></span> une application de <span class="texhtml"><i>U</i></span> dans ℂ. </p> <ul><li>On dit que <span class="texhtml"><i>f</i></span> est <i>dérivable (au sens complexe)</i> ou <i>holomorphe</i> en un point <i>z</i><sub>0</sub> de <i>U</i> si la <a href="/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)" title="Limite (mathématiques)">limite</a> suivante, appelée <b>dérivée</b> de <span class="texhtml"><i>f</i></span> en <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> existe : <br /> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edc23cf6eced9fdb28f8bbec5fc8ae222018ba5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.167ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}"></span></center></li> <li>On dit que <span class="texhtml"><i>f</i></span> est <i>holomorphe sur U</i> si elle est holomorphe en <i>tout</i> point de <i>U</i>.</li> <li>En particulier, on appelle <a href="/wiki/Fonction_enti%C3%A8re" title="Fonction entière">fonction entière</a> une fonction holomorphe sur ℂ.</li></ul> </div> <p>On remarquera que certains auteurs<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> exigent de la fonction <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f'}"></span> ainsi obtenue d'être continue. C'est en fait seulement un moyen de simplifier des démonstrations ; en effet, la définition présentée ici implique de toute façon sa continuité (en vertu du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Morera" title="Théorème de Morera">théorème de Morera</a>)<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonctions_rationnelles">Fonctions rationnelles</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Fonctions rationnelles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Fonctions rationnelles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Toute <a href="/wiki/Fonction_polyn%C3%B4me" class="mw-redirect" title="Fonction polynôme">fonction polynomiale</a> à <a href="/wiki/Coefficient" title="Coefficient">coefficients</a> complexes est entière. </p><p>Toute <a href="/wiki/Fonction_rationnelle" title="Fonction rationnelle">fonction rationnelle</a> à coefficients complexes est holomorphe sur le complémentaire de l'ensemble de ses <a href="/wiki/P%C3%B4le_(math%C3%A9matiques)" title="Pôle (mathématiques)">pôles</a> (c'est-à-dire les <a href="/wiki/Z%C3%A9ro_d%27une_fonction_holomorphe" title="Zéro d'une fonction holomorphe">zéros</a> de son dénominateur, quand elle est écrite sous forme irréductible). Par exemple, la fonction inverse <span class="texhtml"><i>z</i> ↦ 1/<i>z</i></span> est holomorphe sur ℂ*. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonctions_définies_par_une_série_entière"><span id="Fonctions_d.C3.A9finies_par_une_s.C3.A9rie_enti.C3.A8re"></span>Fonctions définies par une série entière</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Fonctions définies par une série entière" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Fonctions définies par une série entière"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Soit <span class="texhtml">∑ <sub><i>n</i>≥0</sub> <i>a<sub>n</sub> z<sup>n</sup></i></span> une <a href="/wiki/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re" title="Série entière">série entière</a> à coefficients complexes de <a href="/wiki/Rayon_de_convergence" title="Rayon de convergence">rayon de convergence</a> non nul (fini ou non) ; on note <i>D</i> son disque de convergence.<br />La fonction <span class="texhtml"><i>f</i></span> de <i>D</i> dans ℂ définie par <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>z</i>) = ∑ <sub><i>n</i>≥0</sub> <i>a<sub>n</sub> z<sup>n</sup></i></span> est holomorphe, et pour tout <span class="texhtml"><i>z ∈ D</i></span>, <span class="texhtml"><i>f’</i>(<i>z</i>) = ∑<sub><i>n</i>≥1</sub> <i>na<sub>n</sub> z</i><sup><i>n</i>–1</sup></span>.<br />En fait, cette fonction est indéfiniment dérivable sur <i>D</i>. </p><p>La <a href="/wiki/Exponentielle_complexe" title="Exponentielle complexe">fonction exponentielle</a> est entière. Il en est de même des <a href="/wiki/Fonction_trigonom%C3%A9trique" title="Fonction trigonométrique">fonctions trigonométriques</a> (qui peuvent être définies à partir de la fonction exponentielle au moyen des <a href="/wiki/Formule_d%27Euler" title="Formule d'Euler">formules d'Euler</a>) et des <a href="/wiki/Fonction_hyperbolique" title="Fonction hyperbolique">fonctions hyperboliques</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Logarithme_complexe">Logarithme complexe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Logarithme complexe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Logarithme complexe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Complex_log.png" class="mw-file-description"><img alt="Représentation de la fonction logarithme complexe par coloration de régions." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Complex_log.png/220px-Complex_log.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Complex_log.png/330px-Complex_log.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Complex_log.png/440px-Complex_log.png 2x" data-file-width="2100" data-file-height="2100" /></a><figcaption>Représentation de la fonction logarithme complexe par <a href="/wiki/Coloration_de_r%C3%A9gions" title="Coloration de régions">coloration de régions</a>.</figcaption></figure> <p>On appelle détermination du <a href="/wiki/Logarithme_complexe" title="Logarithme complexe">logarithme complexe</a> sur un ouvert <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> de ℂ* toute fonction holomorphe <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">L</span> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> dans ℂ telle que pour tout <span class="texhtml"><i>z</i> ∈ <i>U</i></span>, <span class="texhtml">exp(<i>L</i>(<i>z</i>)) = <i>z</i></span> ou ce qui est équivalent (dans le cas d'un ouvert <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexe</a>), toute fonction <span class="texhtml"><i>L</i></span> holomorphe sur <i>U</i> de dérivée <span class="texhtml"><i>z</i>↦1/<i>z</i></span> et pour laquelle il existe <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub> ∈ <i>U</i></span> tel que <span class="texhtml">exp(<i>L</i>(<i>z</i><sub>0</sub>)) = <i>z</i><sub>0</sub></span>. </p><p>Sur tout ouvert <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> de ℂ* où existe une détermination <span class="texhtml"><i>L</i></span> du logarithme, on peut définir, pour tout <a href="/wiki/Entier_relatif" title="Entier relatif">entier relatif</a> <span class="texhtml"><i>k</i></span>, la fonction <span class="texhtml"><i>z ↦ L</i>(<i>z</i>) + 2<i>k</i>πi</span>. Chacune de ces fonctions est une détermination du logarithme sur <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>, et si <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> est <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexe</a>, ce sont les seules. </p><p>Il n'existe pas de détermination du logarithme sur l'ouvert ℂ*. </p><p>Il existe une détermination du logarithme sur n'importe quel ouvert du type ℂ*\<i>D</i> où <i>D</i> est une <a href="/wiki/Demi-droite" title="Demi-droite">demi-droite</a> de ℂ d'extrémité 0 (on parle de « <a href="/wiki/Point_de_branchement" title="Point de branchement">coupure</a> »), en particulier sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs ou nuls. Parmi toutes les déterminations du logarithme sur cet ouvert, il en existe une et une seule qui prolonge le <a href="/wiki/Logarithme_n%C3%A9p%C3%A9rien" title="Logarithme népérien">logarithme népérien</a> réel. </p><p>Plus généralement, il existe une détermination du logarithme sur tout ouvert <a href="/wiki/Simplement_connexe" class="mw-redirect" title="Simplement connexe">simplement connexe</a> ne contenant pas 0. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonctions_puissance_et_racine_n-ième"><span id="Fonctions_puissance_et_racine_n-i.C3.A8me"></span>Fonctions puissance et racine n-ième</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Fonctions puissance et racine n-ième" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Fonctions puissance et racine n-ième"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sur tout ouvert <i>U</i> de ℂ* où existe une détermination <span class="texhtml"><i>L</i></span> du logarithme, on peut définir, pour tout nombre complexe <span class="texhtml"><i>a</i></span>, une détermination holomorphe sur <i>U</i> de la puissance d'exposant <span class="texhtml"><i>a</i></span> en posant, pour tout <span class="texhtml"><i>z</i> ∈ <i>U</i></span>, <span class="texhtml"><i>z<sup>a</sup></i> = exp(<i>a L</i>(<i>z</i>))</span>. </p><p>En particulier, pour tout entier <span class="texhtml"><i>n</i> > 0</span>, la fonction <span class="texhtml"><i>z</i> ↦ <i>z</i><sup>1/<i>n</i></sup> = exp((1/<i>n</i>) <i>L</i>(<i>z</i>))</span> vérifie l'identité <span class="texhtml">∀<i>z</i> ∈ <i>U</i>, (<i>z</i><sup>1/<i>n</i></sup>)<sup><i>n</i></sup> = <i>z</i></span>. On dit que cette fonction est une détermination sur <i>U</i> de la <a href="/wiki/Racine_n-i%C3%A8me" class="mw-redirect" title="Racine n-ième">racine <span class="texhtml"><i>n</i></span>-ième</a>. On peut noter <i><span class="racine texhtml"><sup style="margin-right: -0.5em; vertical-align: 0.8em;">n</sup>√<span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">z</span></span></i> au lieu de <span class="texhtml"><i>z</i><sup>1/<i>n</i></sup></span> (si des réels strictement positifs appartiennent à <i>U</i>, il se peut qu'il y ait alors conflit entre cette notation et sa signification habituelle, servant à désigner la racine <span class="texhtml"><i>n</i></span>-ième positive). </p><p>Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manière des coupures et sont holomorphes partout sauf aux coupures. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dérivée_complexe"><span id="D.C3.A9riv.C3.A9e_complexe"></span>Dérivée complexe</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Dérivée complexe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Dérivée complexe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les règles de calcul des <a href="/wiki/Analyse_complexe#Dérivée_complexe" title="Analyse complexe">dérivées au sens complexe</a> sont identiques à <a href="/wiki/Op%C3%A9rations_sur_les_d%C3%A9riv%C3%A9es" title="Opérations sur les dérivées">celles des dérivées des fonctions d'une variable réelle</a> : <a href="/wiki/Application_lin%C3%A9aire" title="Application linéaire">linéarité</a>, <a href="/wiki/R%C3%A8gle_du_produit" title="Règle du produit">dérivée d'un produit</a>, d'un quotient, d'une fonction composée. Il en résulte que les sommes, produits ou composées de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe sur tout ouvert où le dénominateur ne s'annule pas. </p><p>Une fonction holomorphe en un point est <i>a fortiori</i> <a href="/wiki/Continuit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Continuité (mathématiques)">continue</a> en ce point. </p><p>Près d'un point <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> où la dérivée d'une fonction holomorphe <span class="texhtml"><i>f</i></span> est non nulle, <span class="texhtml"><i>f</i></span> est une <a href="/wiki/Transformation_conforme" title="Transformation conforme">transformation conforme</a>, c'est-à-dire qu'elle préserve les angles (orientés) et les formes de petites figures (mais pas les longueurs, en général). </p><p>En effet, sa <a href="/wiki/Diff%C3%A9rentielle" title="Différentielle">différentielle</a> au point <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> est l'application ℂ-linéaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} f_{z_{0}}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,u\mapsto A\,u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} f_{z_{0}}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,u\mapsto A\,u}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8201493dfc1e8515bbf507fffb6b87123770fcf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.992ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} f_{z_{0}}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,u\mapsto A\,u}"></span>, où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=f'(z_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=f'(z_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28117dc3cf5c343deac42834d8306e6639801745" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.791ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A=f'(z_{0})}"></span> : la différentielle s'identifie donc à une <a href="/wiki/Similitude_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Similitude (géométrie)">similitude</a> directe du plan, puisque <i>A</i> est non nul. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Propriétés</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Propriétés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Propriétés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Équations_de_Cauchy-Riemann"><span id=".C3.89quations_de_Cauchy-Riemann"></span>Équations de Cauchy-Riemann</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Équations de Cauchy-Riemann" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Équations de Cauchy-Riemann"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/%C3%89quations_de_Cauchy-Riemann" title="Équations de Cauchy-Riemann">équations de Cauchy-Riemann</a>.</div></div> <p>Si l'on identifie ℂ à ℝ<sup>2</sup>, alors les fonctions holomorphes sur un ouvert de ℂ coïncident avec les fonctions de deux variables réelles qui sont <a href="/wiki/Fonction_d%27une_variable_complexe_diff%C3%A9rentiable_au_sens_r%C3%A9el" title="Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel">ℝ-différentiables</a> sur cet ouvert et y vérifient les <a href="/wiki/%C3%89quations_de_Cauchy-Riemann" title="Équations de Cauchy-Riemann">équations de Cauchy-Riemann</a>, un système de deux <a href="/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" title="Équation aux dérivées partielles">équations aux dérivées partielles</a> : </p><p>On considère une fonction <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a9baac865b214fba8fce6842fb374f7e740361" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.29ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }"></span> d'une variable complexe, où <span class="texhtml"><i>U</i></span> est un ouvert du <a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">plan complexe</a> ℂ. On utilise ici les notations suivantes : </p> <ul><li>la variable complexe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"></span> est notée <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+{\rm {i}}\,y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+{\rm {i}}\,y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2344c969496ffafd35a5e3de11cfb337704eadfc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.36ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x+{\rm {i}}\,y}"></span>, où <i>x</i>, <i>y</i> sont réels ;</li> <li>les <a href="/wiki/Partie_r%C3%A9elle" title="Partie réelle">parties réelle</a> et imaginaire de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=f(x+{\rm {i}}\,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=f(x+{\rm {i}}\,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cfbe4b8547c50a0c6d8eb79d7d6267ba9f8f81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.722ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z)=f(x+{\rm {i}}\,y)}"></span> sont notées respectivement <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b3d8f37f5458c22b61eaf26e5af0523acb63e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.074ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,y)}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a151e980598f776e01ae247354ba03cf8e8143" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(x,y)}"></span>, c'est-à-dire : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=P(x,y)+{\rm {i}}\,Q(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=P(x,y)+{\rm {i}}\,Q(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14b0cb3db36c584de166100df0039f42d14db54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z)=P(x,y)+{\rm {i}}\,Q(x,y)}"></span>, où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P,\,Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P,\,Q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279499ed9e49a00127c6124c101c630a125eb256" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P,\,Q}"></span> sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.</li></ul> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Équations de Cauchy-Riemann</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Si <span class="texhtml"><i>f</i></span> est ℝ-différentiable en un point <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> de <span class="texhtml"><i>U</i></span>, les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : </p> <ul><li><span class="texhtml"><i>f</i></span> est holomorphe en <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})={\rm {i}}\,{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})={\rm {i}}\,{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7df6488cec4b8d9aa9a23afd5ef6c39f7623b99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.938ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})={\rm {i}}\,{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>Q</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999b8aefb3bbb7b886477263b4c2e19fa0b7f17f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.832ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=-{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>Q</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=-{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7616c16eb716acb0070cca4f20e770554e26bb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.64ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=-{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\partial }}f(z_{0})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\partial }}f(z_{0})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e28244b2db2b20db7fa069ed4e78abeb0fd6e91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.972ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\partial }}f(z_{0})=0}"></span>, où l'<a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_diff%C3%A9rentiel" title="Opérateur différentiel">opérateur différentiel</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\partial }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\partial }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd5dfe63f32552004b0d29d5ef7e8b046dda0e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.487ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\partial }}}"></span> est, par définition, égal à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7139eeeb442e150fc01dd9ac58526d30f6cb2dff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.088ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}"></span>.</li></ul> </div> <p>Remarque, lorsque <span class="texhtml"><i>f</i></span> est holomorphe en <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f'(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-{\rm {i}}\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f'(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-{\rm {i}}\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd7a83e0cecbba0b214297bca4feb2275e7c995" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.376ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \ f'(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-{\rm {i}}\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}"></span></center> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(z_{0})=\partial f(z_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(z_{0})=\partial f(z_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246a7d853c1a2b6bf94ba8646ee561cae276a19f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.59ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(z_{0})=\partial f(z_{0})}"></span>, où l'opérateur différentiel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∂</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b4e7c1cedb9564609aefd2aa2309972f455c24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.318ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \partial }"></span> est, par définition, égal à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fdd9408949d46db4c441e31e3eb960923214ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.088ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}"></span>.</center> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_entre_fonctions_holomorphes_et_fonctions_harmoniques">Liens entre fonctions holomorphes et fonctions harmoniques</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Liens entre fonctions holomorphes et fonctions harmoniques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Liens entre fonctions holomorphes et fonctions harmoniques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On montre plus loin que les fonctions holomorphes sont de classe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\infty }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\infty }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.673ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{\infty }}"></span> (voir <a href="/wiki/Formule_int%C3%A9grale_de_Cauchy" title="Formule intégrale de Cauchy">formule intégrale de Cauchy</a>). </p><p>Une conséquence des équations de Cauchy-Riemann est que les <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_laplacien" title="Opérateur laplacien">laplaciens</a> de la partie réelle et de la partie imaginaire d'une fonction holomorphe <span class="texhtml"><i>f</i></span> sont nuls : </p><p>Si les parties réelle et imaginaire de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=f(x+{\rm {i}}\,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=f(x+{\rm {i}}\,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cfbe4b8547c50a0c6d8eb79d7d6267ba9f8f81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.722ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z)=f(x+{\rm {i}}\,y)}"></span> sont notées respectivement <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b3d8f37f5458c22b61eaf26e5af0523acb63e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.074ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,y)}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a151e980598f776e01ae247354ba03cf8e8143" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(x,y)}"></span>, c'est-à-dire si : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=P(x,y)+{\rm {i}}\,Q(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=P(x,y)+{\rm {i}}\,Q(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14b0cb3db36c584de166100df0039f42d14db54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z)=P(x,y)+{\rm {i}}\,Q(x,y)}"></span>, où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P,\,Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P,\,Q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279499ed9e49a00127c6124c101c630a125eb256" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P,\,Q}"></span> sont deux fonctions réelles de deux variables réelles, on a : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \Delta P=\Delta Q=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \Delta P=\Delta Q=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9badb492b3f5acced11eaef9842e342ac0ef384" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.396ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \Delta P=\Delta Q=0}"></span></center> <p>On dit que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"></span> sont des <a href="/wiki/Fonction_harmonique" title="Fonction harmonique">fonctions harmoniques</a>. </p><p>On a également : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}+{\frac {\partial P}{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>Q</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>Q</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}+{\frac {\partial P}{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e51496b99d9141a173765e60c828268ff04a1c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.886ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}+{\frac {\partial P}{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}=0}"></span></center> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"></span> sont dites <i>harmoniques conjuguées</i>. </p><p>On a une réciproque :<br /> toute fonction harmonique réelle de la variable complexe est <a href="/wiki/Propri%C3%A9t%C3%A9_locale" title="Propriété locale">localement</a> la partie réelle d'une fonction holomorphe. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_intégral_de_Cauchy"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8me_int.C3.A9gral_de_Cauchy"></span>Théorème intégral de Cauchy</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Théorème intégral de Cauchy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Théorème intégral de Cauchy"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_int%C3%A9gral_de_Cauchy" title="Théorème intégral de Cauchy">Théorème intégral de Cauchy</a>.</div></div> <p>Les équations de Cauchy-Riemann permettent de démontrer le <a href="/wiki/Lemme_de_Goursat_(analyse_complexe)" title="Lemme de Goursat (analyse complexe)">lemme de Goursat</a>, qui est essentiellement le théorème intégral de Cauchy ci-dessous dans le cas particulier d'un lacet polygonal, et d'en déduire : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème intégral de Cauchy</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soient <span class="texhtml">γ</span> un <a href="/wiki/Lacet_(math%C3%A9matiques)" title="Lacet (mathématiques)">lacet</a> <a href="/wiki/Courbe_rectifiable" class="mw-redirect" title="Courbe rectifiable">rectifiable</a> dans ℂ et <span class="texhtml"><i>f</i></span> une fonction holomorphe sur un ouvert <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_simple" title="Connexité simple">simplement connexe</a> contenant <span class="texhtml">γ</span>, alors l'<a href="/wiki/Int%C3%A9grale_curviligne" title="Intégrale curviligne">intégrale curviligne</a> de <span class="texhtml"><i>f</i></span> sur <span class="texhtml">γ</span> est nulle : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2266ac5e6c7ade5ffd3557fa481983366240ef2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.85ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=0.}"></span></center> <p>Ce théorème reste valable si, en un nombre fini de points de l'ouvert, la fonction n'est pas supposée holomorphe<sup id="cite_ref-hypfaible_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-hypfaible-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> mais seulement continue. </p> </div> <p>En particulier : </p> <ul><li>si <span class="texhtml">γ</span> est un lacet <a href="/wiki/Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">simple</a> alors, d'après le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Jordan#Théorème_de_Jordan-Schoenflies" title="Théorème de Jordan">théorème de Jordan-Schoenflies</a>, il est la <a href="/wiki/Fronti%C3%A8re_(topologie)" title="Frontière (topologie)">frontière</a> d'un <a href="/wiki/Compacit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Compacité (mathématiques)">compact</a> <i>K</i> connexe et simplement connexe, et le théorème s'applique alors (si <span class="texhtml">γ</span> est rectifiable) à toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant <i>K</i> ;</li> <li>si <span class="texhtml"><i>f</i></span> est holomorphe sur un ouvert <span class="texhtml"><i>U</i></span> et si <span class="texhtml">γ</span> et <span class="texhtml">Γ</span> sont deux <a href="/wiki/Chemin_(topologie)" title="Chemin (topologie)">chemins</a> rectifiables <a href="/wiki/Homotopie#Homotopie_entre_deux_chemins" title="Homotopie">strictement homotopes</a> dans <span class="texhtml"><i>U</i></span> alors les intégrales de <span class="texhtml"><i>f</i></span> sur <span class="texhtml">γ</span> et <span class="texhtml">Γ</span> sont égales.</li></ul> <p>On peut éviter le recours au lemme de Goursat, mais<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> au prix d'une hypothèse supplémentaire : </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration directe sous l'hypothèse <i>supplémentaire</i> que <span class="texhtml"><i>f</i></span> est <a href="/wiki/R%C3%A9gularit%C3%A9_par_morceaux" title="Régularité par morceaux">de classe C<sup>1</sup> par morceaux</a><sup id="cite_ref-hypfaible_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-hypfaible-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Comme dans la preuve utilisant le lemme de Goursat, on se ramène (par <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_int%C3%A9gral_de_Cauchy#Démonstration" title="Théorème intégral de Cauchy">approximation</a> puis <a href="/wiki/Lemme_de_Goursat_(analyse_complexe)#Extension_à_tout_polygone" title="Lemme de Goursat (analyse complexe)">découpage</a>) au cas où le lacet <span class="texhtml">γ</span> est un <a href="/wiki/Polygone_simple" title="Polygone simple">polygone simple</a>. Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Green" title="Théorème de Green">théorème de Green</a>, joint aux <a href="#Équations_de_Cauchy-Riemann">équations de Cauchy-Riemann</a>, permet alors de conclure : si <span class="texhtml"><i>D</i></span> désigne l'intérieur de ce polygone, </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\int _{\gamma }(f\mathrm {d} x+if\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial if}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)~\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{D}0~\mathrm {d} x\mathrm {d} y=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mo>∬</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∬</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\int _{\gamma }(f\mathrm {d} x+if\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial if}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)~\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{D}0~\mathrm {d} x\mathrm {d} y=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11021473767deb6fff333cdc64701649d21e4504" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:75.42ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\int _{\gamma }(f\mathrm {d} x+if\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial if}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)~\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{D}0~\mathrm {d} x\mathrm {d} y=0.}"></span></center> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <p>Ce théorème est généralisé par le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_r%C3%A9sidus" title="Théorème des résidus">théorème des résidus</a> aux fonctions holomorphes possédant des <a href="/wiki/Singularit%C3%A9_isol%C3%A9e" title="Singularité isolée">singularités isolées</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Primitive_d'une_fonction_holomorphe"><span id="Primitive_d.27une_fonction_holomorphe"></span>Primitive d'une fonction holomorphe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Primitive d'une fonction holomorphe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Primitive d'une fonction holomorphe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_int%C3%A9gral_de_Cauchy#Conséquences" title="Théorème intégral de Cauchy">Du théorème ci-dessus on déduit</a> : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <strong class="theoreme-nom">Propriété</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soient <span class="texhtml"><i>f</i></span> une fonction holomorphe sur un ouvert <i>U</i> connexe et simplement connexe, <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> un point de <i>U</i> et <span class="texhtml"><i>F</i></span> la fonction définie sur <i>U</i> par<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(z)=\int _{P(z)}f(\xi )~\mathrm {d} \xi ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ξ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>ξ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(z)=\int _{P(z)}f(\xi )~\mathrm {d} \xi ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88777ffd03e66bd9c430cfa096315b3b5b13646" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:20.6ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle F(z)=\int _{P(z)}f(\xi )~\mathrm {d} \xi ,}"></span></center>où <span class="texhtml"><i>P</i>(<i>z</i>)</span> est n'importe quel chemin rectifiable dans <i>U</i> de <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> à <span class="texhtml"><i>z</i></span>. Alors <span class="texhtml"><i>F</i></span> est une <a href="/wiki/Primitive" title="Primitive">primitive</a> complexe de <span class="texhtml"><i>f</i></span> sur <i>U</i>. <p>Ce théorème reste valable si, en un nombre fini de points de l'ouvert, la fonction n'est pas supposée holomorphe<sup id="cite_ref-hypfaible_3-2" class="reference"><a href="#cite_note-hypfaible-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> mais seulement continue. </p> </div> <p>Il est important que l'ouvert soit simplement connexe, ainsi l'intégrale de <span class="texhtml"><i>f</i></span> entre deux points ne dépend pas du chemin entre ces deux points. </p><p>Par exemple, la fonction <span class="texhtml"><i>h</i> : <i>z</i> ↦ 1/<i>z</i></span> est holomorphe sur ℂ*, qui est connexe mais pas simplement connexe. L'intégrale de <span class="texhtml"><i>h</i></span> sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 (parcouru dans le sens trigonométrique), vaut <span class="texhtml">2πi</span>, mais vaut 0 sur un chemin fermé joignant 1 à lui-même en n'entourant pas 0. On peut en revanche définir une primitive de <span class="texhtml"><i>h</i></span> sur n'importe quel ouvert simplement connexe de ℂ* (cf déterminations du <a href="/wiki/Logarithme_complexe" title="Logarithme complexe">logarithme complexe</a> dans la section « Exemples » <a href="#Exemples">ci-dessus</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formule_intégrale_de_Cauchy_et_applications"><span id="Formule_int.C3.A9grale_de_Cauchy_et_applications"></span>Formule intégrale de Cauchy et applications</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Formule intégrale de Cauchy et applications" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Formule intégrale de Cauchy et applications"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formule_intégrale"><span id="Formule_int.C3.A9grale"></span>Formule intégrale</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Formule intégrale" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Formule intégrale"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Formule_int%C3%A9grale_de_Cauchy" title="Formule intégrale de Cauchy">Formule intégrale de Cauchy</a>.</div></div> <p>Soit <span class="texhtml"><i>f</i></span> une fonction holomorphe sur un ouvert <span class="texhtml"><i>U</i></span> de ℂ, alors si C est un cercle orienté positivement, centré en z et inclus (ainsi que son intérieur) dans U. </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={1 \over 2\pi {\rm {i}}}\int _{C}{f(\xi ) \over \xi -z}~\mathrm {d} \xi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ξ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ξ</mi> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>ξ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={1 \over 2\pi {\rm {i}}}\int _{C}{f(\xi ) \over \xi -z}~\mathrm {d} \xi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad44c7141c6d49de58cb1aec965442d3eca078a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.145ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(z)={1 \over 2\pi {\rm {i}}}\int _{C}{f(\xi ) \over \xi -z}~\mathrm {d} \xi .}"></span></center> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Représentation_en_série_entière"><span id="Repr.C3.A9sentation_en_s.C3.A9rie_enti.C3.A8re"></span>Représentation en série entière</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Représentation en série entière" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Représentation en série entière"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soit <span class="texhtml"><i>f</i></span> une fonction holomorphe sur un ouvert <span class="texhtml"><i>U</i></span> de ℂ, alors <span class="texhtml"><i>f</i></span> est <a href="/wiki/Fonction_analytique" title="Fonction analytique">analytique</a> sur <span class="texhtml"><i>U</i></span> et pour tout point <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> de <span class="texhtml"><i>U</i></span>, en notant <span class="texhtml"><i>R</i></span> la <a href="/wiki/Distance_(math%C3%A9matiques)#Distance_d'un_point_à_une_partie" title="Distance (mathématiques)">distance (euclidienne) de <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> à ℂ\<span class="texhtml"><i>U</i></span></a> : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall z\in D(z_{0},R),~~f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall z\in D(z_{0},R),~~f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b003dfd9648fbba71743802d28cb47570fa409" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.417ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \forall z\in D(z_{0},R),~~f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}"></span></center> <p>avec </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall r\in ]0,R[,\quad c_{n}={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}~\mathrm {d} w.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>w</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall r\in ]0,R[,\quad c_{n}={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}~\mathrm {d} w.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc6567a81f1637e2f73d82be3f97c4a5ebcf5dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:46.859ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \forall r\in ]0,R[,\quad c_{n}={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}~\mathrm {d} w.}"></span></center> </div> <p>Par conséquent, <span class="texhtml"><i>f</i></span> est indéfiniment dérivable sur <span class="texhtml"><i>U</i></span>, avec </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall z_{0}\in U,f^{(n)}(z_{0})=c_{n}n!={\frac {n!}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}~\mathrm {d} w.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>w</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall z_{0}\in U,f^{(n)}(z_{0})=c_{n}n!={\frac {n!}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}~\mathrm {d} w.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79a19831d686b026b03137885aee1d0a7c34ad2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:55.7ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \forall z_{0}\in U,f^{(n)}(z_{0})=c_{n}n!={\frac {n!}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}~\mathrm {d} w.}"></span></center> <p>Remarques : </p> <ul><li>La <a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor" title="Série de Taylor">série de Taylor</a> en <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> converge sur tout disque ouvert de centre <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> et inclus dans <span class="texhtml"><i>U</i></span> mais peut bien sûr converger sur un disque plus grand ; par exemple, la série de Taylor de la <a href="#Exemples">détermination principale du logarithme</a> converge sur tout disque ne contenant pas 0, même s'il contient des réels négatifs. C'est la base du principe du <a href="/wiki/Prolongement_analytique" title="Prolongement analytique">prolongement analytique</a>.</li> <li>Il y a équivalence entre holomorphie sur un ouvert et analyticité, l'analyticité impliquant clairement l'holomorphie.</li> <li>Toute fonction holomorphe <i>f</i> est une <a href="/wiki/Fonction_analytique" title="Fonction analytique">fonction analytique</a>, donc le <a href="/wiki/Fonction_enti%C3%A8re#Le_principe_du_maximum" title="Fonction entière">principe du maximum</a>, le principe des zéros isolés, l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Cauchy" title="Inégalité de Cauchy">inégalité de Cauchy</a> sont vérifiés par une fonction holomorphe.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propriété_de_la_moyenne"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9_de_la_moyenne"></span>Propriété de la moyenne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Propriété de la moyenne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Propriété de la moyenne"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>De la formule intégrale de Cauchy, on déduit notamment que toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé est complètement déterminée à l'intérieur de ce disque par ses valeurs sur la frontière de celui-ci : dans la formule ci-dessus pour <span class="texhtml"><i>c</i><sub>0</sub></span>, le changement de paramètre <span class="texhtml"><i>w = z</i><sub>0</sub> + <i>re</i><sup>iθ</sup></span> donne : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })~\mathrm {d} \theta .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })~\mathrm {d} \theta .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18eddc791ef1dbcaab6902cc5812aef20eb440d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:32.103ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })~\mathrm {d} \theta .}"></span></center> <ul><li>L'intérêt de cette formule est dans le calcul numérique. Le calcul d'une intégrale est en effet plus stable que celui de dérivées.</li> <li>Ce résultat reste clairement valable pour la partie réelle et pour la partie imaginaire de <span class="texhtml"><i>f</i></span>, qui sont des <a href="/wiki/Fonction_harmonique" title="Fonction harmonique">fonctions harmoniques</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Principe_du_maximum">Principe du maximum</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Principe du maximum" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Principe du maximum"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Soit <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>. Alors <span class="texhtml">|<span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> |</span> n'admet pas de maximum local sur <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>. Ainsi, si <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> est borné et que <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> est aussi définie sur l’<a href="/wiki/Adh%C3%A9rence_(math%C3%A9matiques)" title="Adhérence (mathématiques)">adhérence</a> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>, le maximum de la fonction <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> sur <span class="texhtml"><span style="text-decoration: overline;"><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span></span></span> est atteint sur la <a href="/wiki/Fronti%C3%A8re_(topologie)" title="Frontière (topologie)">frontière</a> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>. En d'autres termes, en tout point <span class="texhtml"><i>z</i></span> de <span class="texhtml"><i>U</i></span> : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f(z)|\leq \sup\{|f(\omega )|\mid \omega \in \partial U\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>∣</mo> <mi>ω</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>U</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f(z)|\leq \sup\{|f(\omega )|\mid \omega \in \partial U\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df74ae8a03615851005aa694b9c147efe2235f3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.546ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f(z)|\leq \sup\{|f(\omega )|\mid \omega \in \partial U\}}"></span></center> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Soit <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> un point de <span class="texhtml"><i>U</i></span>. La fonction <span class="texhtml"><i>f – f</i>(<i>z</i><sub>0</sub>)</span> n'est pas identiquement nulle donc, par <a href="/wiki/Prolongement_analytique#Unicité_du_prolongement_analytique" title="Prolongement analytique">unicité du prolongement analytique</a>, il existe un entier <span class="texhtml"><i>k</i> > 0</span> et un complexe <span class="texhtml">α</span> non nul tels que </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=f(z_{0})+\alpha (z-z_{0})^{k}+(z-z_{0})^{k}\varepsilon (z),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=f(z_{0})+\alpha (z-z_{0})^{k}+(z-z_{0})^{k}\varepsilon (z),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c6f120e02bd963508cbc72950abfc0a1557876" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.218ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(z)=f(z_{0})+\alpha (z-z_{0})^{k}+(z-z_{0})^{k}\varepsilon (z),}"></span></center> <p>où <span class="texhtml">ε</span> est une fonction de limite nulle en <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span>. </p> <ul><li>Si <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>z</i><sub>0</sub>) = 0</span> alors, au voisinage de <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span>, <span class="texhtml"><i>f</i></span> ne s'annule pas.</li> <li>Si <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>z</i><sub>0</sub>) ≠ 0</span>, soit <span class="texhtml">β</span> une <a href="/wiki/Racine_d%27un_nombre_complexe" title="Racine d'un nombre complexe">racine <span class="texhtml"><i>k</i></span>-ième</a> de <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>z</i><sub>0</sub>)/α</span>. Alors,<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z_{0}+t\beta )=f(z_{0})\left(1+t^{k}+t^{k}\varepsilon _{1}(t)\right),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z_{0}+t\beta )=f(z_{0})\left(1+t^{k}+t^{k}\varepsilon _{1}(t)\right),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824b56d6c0b26779fc05ce036ff9948785b626a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:37.594ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f(z_{0}+t\beta )=f(z_{0})\left(1+t^{k}+t^{k}\varepsilon _{1}(t)\right),}"></span></center>où <span class="texhtml">ε<sub>1</sub></span> est une fonction de limite nulle en 0, donc pour tout réel <span class="texhtml"><i>t</i> > 0</span> assez petit, <span class="texhtml">| <i>f</i>(<i>z</i><sub>0</sub>+<i>t</i>β) | > | <i>f</i>(<i>z</i><sub>0</sub>) |</span>.</li></ul> <p>Ainsi, dans les deux cas, <span class="texhtml">| <i>f</i> |</span> n'admet pas de maximum local en <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span>. </p> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Suites_convergentes_de_fonctions_holomorphes">Suites convergentes de fonctions holomorphes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Suites convergentes de fonctions holomorphes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Suites convergentes de fonctions holomorphes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si une suite (<span class="texhtml"><i>f<sub>j</sub></i></span>) de fonctions holomorphes converge vers une fonction <span class="texhtml"><i>f</i></span>, uniformément sur tout compact de l'ouvert <span class="texhtml"><i>U</i></span> de ℂ, alors <span class="texhtml"><i>f</i></span> est holomorphe et pour tout <span class="texhtml"><i>k</i></span>, la suite (<span class="texhtml"><i>f<sub>j</sub></i><sup>(<i>k</i>)</sup></span>) des dérivées converge vers <span class="texhtml"><i>f<sup>(k)</sup></i></span>, uniformément sur tout compact de <span class="texhtml"><i>U</i></span><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Développement_de_Laurent_autour_d'un_point_singulier"><span id="D.C3.A9veloppement_de_Laurent_autour_d.27un_point_singulier"></span>Développement de Laurent autour d'un point singulier</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Développement de Laurent autour d'un point singulier" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Développement de Laurent autour d'un point singulier"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Couronne.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Couronne.png/220px-Couronne.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Couronne.png/330px-Couronne.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Couronne.png/440px-Couronne.png 2x" data-file-width="500" data-file-height="500" /></a><figcaption>En vert, la couronne C(Z0,R1,R2). La fonction est également développable en série de Laurent en Z0 sur une couronne comprise entre Z1 et Z0 (non représentée), ou une extérieure à Z3 (en bleu).</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_Laurent" title="Série de Laurent">Série de Laurent</a>.</div></div> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soit <span class="texhtml"><i>f</i></span> une fonction holomorphe sur <span class="texhtml"><i>U</i>\<i>A</i></span> avec <span class="texhtml"><i>U</i></span> un ouvert de ℂ et <span class="texhtml"><i>A</i></span> un sous-ensemble fermé de <i>U</i> dont les éléments sont isolés (A est l'ensemble des points singuliers ou <a href="/wiki/Singularit%C3%A9_isol%C3%A9e" title="Singularité isolée">singularités isolées</a> de <span class="texhtml"><i>f</i></span> dans <span class="texhtml"><i>U</i></span>). </p><p>Alors, autour de chaque point <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> de <span class="texhtml"><i>U</i></span>, <span class="texhtml"><i>f</i></span> admet un <b>développement de Laurent</b> sur une <a href="/wiki/Couronne_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Couronne (mathématiques)">couronne</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(z_{0},R_{1},R_{2})\subset U-A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <mi>U</mi> <mo>−</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(z_{0},R_{1},R_{2})\subset U-A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8658e5ad3e005112713d279d5f26e5ce5670a604" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(z_{0},R_{1},R_{2})\subset U-A}"></span> avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<R_{1}<R_{2}<d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<R_{1}<R_{2}<d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923fffc2b8f5676aa4370d7fe00d68ec61b6caa0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.31ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0<R_{1}<R_{2}<d}"></span> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"></span> désignant la <a href="/wiki/Distance_(math%C3%A9matiques)" title="Distance (mathématiques)">distance</a> euclidienne de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0}}"></span> au complémentaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} -U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} -U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54c62a60bfa4b84baa57a66a94a3a64d3c99a86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.301ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} -U}"></span> de <i>U</i> dans ℂ) : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall z\in C(z_{0},R_{1},R_{2}),~~f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall z\in C(z_{0},R_{1},R_{2}),~~f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20a799c5a0985efc853f1a09e83b2eb065ce9cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:44.997ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \forall z\in C(z_{0},R_{1},R_{2}),~~f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}"></span></center> <p>avec </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,\mathrm {d} w\quad {\text{où}}\quad R_{2}>r>R_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>w</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>où</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>></mo> <mi>r</mi> <mo>></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,\mathrm {d} w\quad {\text{où}}\quad R_{2}>r>R_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca03f253bd4f40bcdb0e2a497e241b35e286a4db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:52.978ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,\mathrm {d} w\quad {\text{où}}\quad R_{2}>r>R_{1}}"></span>.</center> </div> <p><b>Remarques : </b> </p> <ul><li>La notation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fa64e625c31e71545cf26d87c593cde1bc9cff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.891ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}"></span> désigne la somme des deux séries convergentes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4da347f0ed6f470d95d6345260815c4e0d85e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.059ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }c_{-n}(z-z_{0})^{-n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }c_{-n}(z-z_{0})^{-n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470f8d854eef0074d40955d693bb209a944e24ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.616ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }c_{-n}(z-z_{0})^{-n}}"></span>.</li> <li>Dans le cas d'une fonction rationnelle qu'on cherche à développer en zéro, les coefficients <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7e944bcb1be88e9a6a940638f2adce0ec4211a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{n}}"></span> se calculent via un classique développement en série en zéro des <a href="/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples" title="Décomposition en éléments simples">éléments simples</a>.</li> <li>En pratique, le calcul des coefficients (en n'importe quel point) peut également s'effectuer grâce au <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_r%C3%A9sidus" title="Théorème des résidus">théorème des résidus</a>, souvent plus compliqué que de développer en série des fonctions rationnelles, mais qui reste en général plus simple que l'utilisation de la formule directe.</li> <li>Le <a href="/wiki/R%C3%A9sidu_(analyse_complexe)" title="Résidu (analyse complexe)">résidu</a> de <i>f</i> en la singularité <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0}}"></span> est le coefficient <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5291b4b5cdabe0347e6e9d639316b402a00395cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.34ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{-1}}"></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fonctions_méromorphes"><span id="Fonctions_m.C3.A9romorphes"></span>Fonctions méromorphes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Fonctions méromorphes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Fonctions méromorphes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Singularit%C3%A9_isol%C3%A9e" title="Singularité isolée">Singularité isolée</a> et <a href="/wiki/P%C3%B4le_(math%C3%A9matiques)" title="Pôle (mathématiques)">Pôle (mathématiques)</a>.</div></div> <p>Le calcul des <span class="texhtml"><i>c<sub>n</sub></i></span> dans le développement de Laurent peut donner lieu à trois possibilités : </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall n<0,~~c_{n}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>n</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall n<0,~~c_{n}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0839b022741561d9cdb124d794f9f0c86db17f52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.63ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall n<0,~~c_{n}=0}"></span> : alors <span class="texhtml"><i>f</i></span> peut se <a href="/wiki/Prolongement_analytique" title="Prolongement analytique">prolonger en une fonction analytique</a> sur tous les points de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> contenus dans le disque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4a22d74cf486e14c186a8d736b8c81baa57cb3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.721ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}"></span>, et ces points sont dits <i><b>réguliers</b></i>. Exemple d'une fonction présentant de tels coefficients : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={\frac {{\rm {e}}^{z}-1}{z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={\frac {{\rm {e}}^{z}-1}{z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31b543ef114c8cc1371f9f5b67f539c0f1569c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.148ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(z)={\frac {{\rm {e}}^{z}-1}{z}}}"></span> en 0, 0 est un <a href="/wiki/Point_r%C3%A9gulier" title="Point régulier">point régulier</a> de <span class="texhtml"><i>f</i></span>.</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists p\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>p</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists p\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efd855ca85e8020b1cc7d00d9d94f02561b152b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.981ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \exists p\in \mathbb {N} }"></span> tel que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{-p}\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{-p}\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28763c8be8ab20faf7b4d985f084860544d0615" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.605ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c_{-p}\neq 0}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall n<-p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>n</mi> <mo><</mo> <mo>−</mo> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall n<-p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71bafdf36c981cadc2f977c1264eeabeabb6462" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.763ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall n<-p}"></span> on ait <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c_{n}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c_{n}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b694683c959a44778330ba89e1307033b82b2b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.067ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ c_{n}=0}"></span> : alors la fonction <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (z-z_{0})^{p}f(z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (z-z_{0})^{p}f(z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d66b70be58e9732700ceb73456349cc929763a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (z-z_{0})^{p}f(z)}"></span> peut se <a href="/wiki/Prolongement_analytique" title="Prolongement analytique">prolonger en une fonction analytique</a> sur tous les points de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> contenus dans le disque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4a22d74cf486e14c186a8d736b8c81baa57cb3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.721ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}"></span>. Ce cas généralise en fait le premier. Ces points sont des <i><b><a href="/wiki/P%C3%B4le_(math%C3%A9matiques)" title="Pôle (mathématiques)">pôles</a></b></i> d'ordre au plus <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span> de <span class="texhtml"><i>f</i></span>, il peut en exister qui sont réguliers (ordre 0). On dit que <i>f</i> est une <a href="/wiki/Fonction_m%C3%A9romorphe" title="Fonction méromorphe">fonction méromorphe</a> sur <i>U</i> si tous les points de A sont des pôles. Exemples de fonctions présentant de tels coefficients : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={\frac {1}{z^{k}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={\frac {1}{z^{k}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c356e91073874ebc8e1d295aac9000131cf12b25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:10.29ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle f(z)={\frac {1}{z^{k}}}}"></span> en 0 (0 est un pôle d'ordre <i>k</i> de <span class="texhtml"><i>f</i></span>), ou plus généralement les <a href="/wiki/Fonction_rationnelle" title="Fonction rationnelle">fonctions rationnelles</a> en leurs pôles.</li> <li>Dans les autres cas, il existe parmi les points de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> contenus dans le disque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4a22d74cf486e14c186a8d736b8c81baa57cb3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.721ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(z_{0},R_{1})}"></span> au moins un point sur lequel il n'est pas possible de tenter un des prolongements ci-dessus. Un tel point de A est appelé « <b>point singulier essentiel</b> » de <span class="texhtml"><i>f</i></span>. Exemple : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={\rm {e}}^{\frac {1}{z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={\rm {e}}^{\frac {1}{z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54268bf0cbbd17a5dadefdab29683fad76bc3a10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.043ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle f(z)={\rm {e}}^{\frac {1}{z}}}"></span> en 0, 0 est un point singulier essentiel de <span class="texhtml"><i>f</i></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anti-holomorphie">Anti-holomorphie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Anti-holomorphie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Anti-holomorphie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Une fonction <i>f</i>(<i>z</i>) est dite anti-holomorphe sur un ouvert <i>D</i> lorsque <i>f</i> ( <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> ) est holomorphe sur l'ouvert conjugué <span style="text-decoration: overline;"><i>D</i></span>. Elle est donc analytique en <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span>. </p><p>Une fonction à la fois holomorphe et anti-holomorphe sur <i>D</i> est <a href="/wiki/Propri%C3%A9t%C3%A9_locale" title="Propriété locale">localement</a> <a href="/wiki/Fonction_constante" title="Fonction constante">constante</a> sur <i>D</i>, donc <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)#Applications_localement_constantes" title="Connexité (mathématiques)">constante sur tout connexe</a> de <i>D</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Audin"><span class="ouvrage" id="Michèle_Audin">Michèle Audin, <cite class="italique">Analyse Complexe</cite> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://irma.math.unistra.fr/~maudin/analysecomp.pdf">lire en ligne</a>)</small>, page 30<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analyse+Complexe&rft.aulast=Audin&rft.aufirst=Mich%C3%A8le&rft.pages=page+30&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AFonction+holomorphe"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Audin"><span class="ouvrage" id="Michèle_Audin">Michèle Audin, <cite class="italique">Analyse Complexe</cite> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://irma.math.unistra.fr/~maudin/analysecomp.pdf">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 58<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analyse+Complexe&rft.aulast=Audin&rft.aufirst=Mich%C3%A8le&rft.pages=58&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AFonction+holomorphe"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-hypfaible-3"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-hypfaible_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-hypfaible_3-1">b</a> et <a href="#cite_ref-hypfaible_3-2">c</a></sup> </span><span class="reference-text">En fait, on sait (a posteriori) qu'une fonction à valeurs complexes continue sur un ouvert du plan complexe et holomorphe sur le complémentaire d'un sous-ensemble fini est holomorphe sur cet ouvert. On peut même remplacer l'hypothèse de continuité par celle d'être localement bornée.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Cartan"><span class="ouvrage" id="Henri_Cartan"><a href="/wiki/Henri_Cartan" title="Henri Cartan">Henri Cartan</a>, <cite class="italique">Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Fonctions_analytiques_(Cartan)" title="Référence:Fonctions analytiques (Cartan)">détail de l’édition</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Th%C3%A9orie+%C3%A9l%C3%A9mentaire+des+fonctions+analytiques+d%27une+ou+plusieurs+variables+complexes&rft.aulast=Cartan&rft.aufirst=Henri&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AFonction+holomorphe"></span></span></span>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 70.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text">Cette démonstration est extraite de <span class="ouvrage" id="Colmez2009"><span class="ouvrage" id="Pierre_Colmez2009"><a href="/wiki/Pierre_Colmez" title="Pierre Colmez">Pierre Colmez</a>, <cite class="italique">Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)</cite>, Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique, <time>2009</time>, 469 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7302-1563-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7302-1563-3"><span class="nowrap">978-2-7302-1563-3</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.jussieu.fr/~colmez/poly-09.pdf">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 238<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%C3%89l%C3%A9ments+d%27analyse+et+d%27alg%C3%A8bre+%28et+de+th%C3%A9orie+des+nombres%29&rft.place=Palaiseau&rft.pub=%C3%89ditions+de+l%27%C3%89cole+Polytechnique&rft.aulast=Colmez&rft.aufirst=Pierre&rft.date=2009&rft.pages=238&rft.tpages=469&rft.isbn=978-2-7302-1563-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AFonction+holomorphe"></span></span></span>. <span class="ouvrage" id="Rudin"><span class="ouvrage" id="Walter_Rudin"><a href="/wiki/Walter_Rudin" title="Walter Rudin">Walter Rudin</a>, <cite class="italique">Analyse réelle et complexe</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Analyse_(Rudin)" title="Référence:Analyse (Rudin)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analyse+r%C3%A9elle+et+complexe&rft.aulast=Rudin&rft.aufirst=Walter&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AFonction+holomorphe"></span></span></span>, 1977, p. 206, en donne une autre, s'appuyant sur la formule de la moyenne et l'<a href="/wiki/%C3%89galit%C3%A9_de_Parseval" title="Égalité de Parseval">égalité de Parseval</a>, mais signale aussi (p. 209) que le principe du maximum se déduit immédiatement du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27image_ouverte" title="Théorème de l'image ouverte">théorème de l'image ouverte</a>. Pour une autre preuve, voir <a href="#Cartan">Cartan</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 83, et l'exercice p. 142 pour une généralisation aux <a href="/wiki/Fonction_sous-harmonique" title="Fonction sous-harmonique">fonctions sous-harmoniques</a>.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Rudin">Rudin</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 207, th. 10.27 et corollaire.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="wikiversity"><a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_d%27une_variable_complexe" class="extiw" title="v:Fonctions d'une variable complexe">Fonctions d'une variable complexe</a>, <span class="nowrap">sur <span class="project">Wikiversity</span></span></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=24" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=24" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Morera" title="Théorème de Morera">Théorème de Morera</a></li> <li><a href="/wiki/Lemme_de_Borel-Carath%C3%A9odory" title="Lemme de Borel-Carathéodory">Lemme de Borel-Carathéodory</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lien_externe">Lien externe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&veaction=edit&section=25" title="Modifier la section : Lien externe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fonction_holomorphe&action=edit&section=25" title="Modifier le code source de la section : Lien externe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a rel="nofollow" class="external text" href="http://graphes-fonctions-holomorphes.toile-libre.org/">graphes-fonctions-holomorphes</a> - Balades mathématiques parmi les fonctions holomorphes, avec images à l'appui. </p> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Analyse" title="Portail de l'analyse"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/24px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/36px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/48px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Analyse" title="Portail:Analyse">Portail de l'analyse</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; 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Fonction holomorphe — Wikipédia