אנליזה וקטורית – ויקיפדיה

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="he" dir="rtl"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>אנליזה וקטורית – ויקיפדיה</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )hewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":["",""],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy" ,"wgMonthNames":["","ינואר","פברואר","מרץ","אפריל","מאי","יוני","יולי","אוגוסט","ספטמבר","אוקטובר","נובמבר","דצמבר"],"wgRequestId":"30723335-e9f1-4ccc-8592-0c25b278cec5","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"אנליזה_וקטורית","wgTitle":"אנליזה וקטורית","wgCurRevisionId":39733389,"wgRevisionId":39733389,"wgArticleId":27218,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["ויקיפדיה: השלמה - מדעי הטבע","ערכים עם תבנית בריטניקה","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NDL","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NKC","אנליזה וקטורית","אנליזה מתמטית"],"wgPageViewLanguage":"he","wgPageContentLanguage":"he","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"אנליזה_וקטורית","wgRelevantArticleId":27218, "wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"he","pageLanguageDir":"rtl","pageVariantFallbacks":"he"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q200802","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false, "wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false,"wgSiteNoticeId":"2.254"};RLSTATE={"ext.gadget.ExternalLinkIcon":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.relatedArticles.styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready","ext.dismissableSiteNotice.styles":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.EditToolbar","ext.gadget.TemplateParamWizard", "ext.gadget.Summarieslist","ext.gadget.refsToLeft","ext.gadget.Wdsearch","ext.gadget.catSexSelector","ext.gadget.feedback","ext.gadget.wikibugs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.relatedArticles.readMore.bootstrap","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking","ext.dismissableSiteNotice"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=ext.dismissableSiteNotice.styles%7Cext.math.styles%7Cext.relatedArticles.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=he&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=ext.gadget.ExternalLinkIcon&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="אנליזה וקטורית – ויקיפדיה"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//he.m.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="עריכה" href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="ויקיפדיה"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//he.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.he"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="הזנת Atom של ויקיפדיה" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%90%D7%97%D7%A8%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki rtl sitedir-rtl mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-אנליזה_וקטורית rootpage-אנליזה_וקטורית skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">לדלג לתוכן</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="אתר"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="תפריט ראשי" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">תפריט ראשי</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">תפריט ראשי</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">הסתרה</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> ניווט </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" title="ביקור בעמוד הראשי [z]" accesskey="z"><span>עמוד ראשי</span></a></li><li id="n-welcomepage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%91%D7%90%D7%99%D7%9D"><span>ברוכים הבאים</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%90%D7%97%D7%A8%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D" title="רשימת השינויים האחרונים באתר [r]" accesskey="r"><span>שינויים אחרונים</span></a></li><li id="n-featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%9C%D7%A6%D7%99%D7%9D"><span>ערכים מומלצים</span></a></li><li id="n-portals" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C%D7%99%D7%9D"><span>פורטלים</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%90%D7%A7%D7%A8%D7%90%D7%99" title="טעינת דף אקראי [x]" accesskey="x"><span>ערך אקראי</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-community" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-community" > <div class="vector-menu-heading"> קהילה </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A9%D7%A2%D7%A8_%D7%94%D7%A7%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%94" title="אודות המיזם, איך אפשר לעזור, איפה למצוא דברים"><span>שער הקהילה</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%AA%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%98_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" title="המקום למצוא מידע"><span>עזרה</span></a></li><li id="n-Ask-q" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%99%D7%99%D7%A2%D7%95%D7%A5" title="דפים להתייעצות טכנית, לשונית וכו'"><span>ייעוץ</span></a></li><li id="n-village-pump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9E%D7%96%D7%A0%D7%95%D7%9F" title="דיוני מדיניות ודיונים כלליים על ויקיפדיה"><span>מזנון</span></a></li><li id="n-Town-square" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%99%D7%9B%D7%A8_%D7%94%D7%A2%D7%99%D7%A8" title="המקום בוויקיפדיה לשתף את הקהילה בדעותיכם בנושאים שאינם קשורים ישירות לוויקיפדיה"><span>כיכר העיר</span></a></li><li id="n-news" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%97%D7%93%D7%A9%D7%95%D7%AA" title="חדשות בנושאי ויקיפדיה שונים"><span>חדשות</span></a></li><li id="n-notice-board" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%A2%D7%95%D7%AA" title="לוח מודעות להפניית הוויקיפדים לדיונים בדפי שיחה שלא זכו לתשומת לב מספקת"><span>לוח מודעות</span></a></li><li id="n-contactUs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%99%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%AA_%D7%A7%D7%A9%D7%A8" title="איך ליצור קשר עם ויקיפדיה לצורך תיקונים, בירורים או שאלות אחרות"><span>יצירת קשר</span></a></li><li id="n-guestbook" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%97%D7%99%D7%9D" title="שתפו אותנו במשוב כללי על התרשמותכם מוויקיפדיה ומידת שביעות רצונכם ממנה"><span>ספר אורחים</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="ויקיפדיה" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-he.svg" style="width: 7.5em; height: 1.75em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="האנציקלופדיה החופשית" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-he.svg" width="120" height="12" style="width: 7.5em; height: 0.75em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%97%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%A9" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="‏חיפוש בוויקיפדיה‏ [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>חיפוש</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="חיפוש בוויקיפדיה" aria-label="חיפוש בוויקיפדיה" autocapitalize="sentences" title="‏חיפוש בוויקיפדיה‏ [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="מיוחד:חיפוש"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">חיפוש</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="כלים אישיים"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="מראה"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="שינוי המראה של גודל הגופן, הרוחב והצבע של הדף" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="מראה" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">מראה</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_he.wikipedia.org&uselang=he" class=""><span>תרומה לוויקיפדיה</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A8%D7%A9%D7%9E%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94+%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מומלץ ליצור חשבון ולהיכנס אליו, אך אין חובה לעשות זאת" class=""><span>יצירת חשבון</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9B%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94+%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מומלץ להיכנס לחשבון, אך אין חובה לעשות זאת [o]" accesskey="o" class=""><span>כניסה לחשבון</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="אפשרויות נוספות" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="כלים אישיים" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">כלים אישיים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="תפריט משתמש" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_he.wikipedia.org&uselang=he"><span>תרומה לוויקיפדיה</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A8%D7%A9%D7%9E%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94+%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מומלץ ליצור חשבון ולהיכנס אליו, אך אין חובה לעשות זאת"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>יצירת חשבון</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9B%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94+%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מומלץ להיכנס לחשבון, אך אין חובה לעשות זאת [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>כניסה לחשבון</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון <a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%91%D7%90%D7%99%D7%9D" aria-label="מידע נוסף על עריכה"><span>מידע נוסף</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C%D7%99" title="רשימת העריכות שנעשו מכתובת IP זו [y]" accesskey="y"><span>תרומות</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94_%D7%A9%D7%9C%D7%99" title="דיון על העריכות שנעשו מכתובת IP זו [n]" accesskey="n"><span>שיחה</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"><div id="mw-dismissablenotice-anonplace"></div><script>(function(){var node=document.getElementById("mw-dismissablenotice-anonplace");if(node){node.outerHTML="\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice\"\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-close\"\u003E[\u003Ca tabindex=\"0\" role=\"button\"\u003Eהסתרה\u003C/a\u003E]\u003C/div\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-body\"\u003E\u003C!-- CentralNotice --\u003E\u003Cdiv id=\"localNotice\" data-nosnippet=\"\"\u003E\u003Cdiv class=\"anonnotice\" lang=\"he\" dir=\"rtl\"\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003Eתמיד רציתם לכתוב בוויקיפדיה אבל לא ידעתם איך? אתם מוזמנים לסדנת עריכה בוויקיפדיה. הסדנה תתקיים בספרייה הלאומית (בבניינה החדש) בירושלים ביום שישי, 06.12.24, בשעה 09:00. להרשמה לחצו \u003Ca href=\"/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%9E%D7%99_%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94/%D7%92%D7%9C%D7%90%D7%9D/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA/%D7%90%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%A2%D7%99%D7%9D/%D7%A1%D7%93%D7%A0%D7%AA_%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%94_%D7%93%D7%A6%D7%9E%D7%91%D7%A8_2024\" title=\"ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/גלאם/הספרייה הלאומית/אירועים/סדנת עריכה דצמבר 2024\"\u003Eכאן\u003C/a\u003E.\u003C/b\u003E\n\u003C/p\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E";}}());</script></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="אתר"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="תוכן עניינים" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">תוכן עניינים</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">הסתרה</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">התחלה</div> </a> </li> <li id="toc-פעולות_בין_וקטורים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#פעולות_בין_וקטורים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>פעולות בין וקטורים</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-פעולות_בין_וקטורים-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק פעולות בין וקטורים</span> </button> <ul id="toc-פעולות_בין_וקטורים-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-וקטורים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#וקטורים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>וקטורים</span> </div> </a> <ul id="toc-וקטורים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-חיבור" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#חיבור"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>חיבור</span> </div> </a> <ul id="toc-חיבור-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-כפל" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#כפל"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>כפל</span> </div> </a> <ul id="toc-כפל-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-הטופולוגיה_של_המרחב_האוקלידי" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#הטופולוגיה_של_המרחב_האוקלידי"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>הטופולוגיה של המרחב האוקלידי</span> </div> </a> <ul id="toc-הטופולוגיה_של_המרחב_האוקלידי-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-פונקציות_ואופרטורים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#פונקציות_ואופרטורים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>פונקציות ואופרטורים</span> </div> </a> <ul id="toc-פונקציות_ואופרטורים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-שדות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#שדות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>שדות</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-שדות-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק שדות</span> </button> <ul id="toc-שדות-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-שדה_סקלרי" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#שדה_סקלרי"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>שדה סקלרי</span> </div> </a> <ul id="toc-שדה_סקלרי-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-שדה_וקטורי" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#שדה_וקטורי"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>שדה וקטורי</span> </div> </a> <ul id="toc-שדה_וקטורי-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-נגזרות_וקטוריות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#נגזרות_וקטוריות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>נגזרות וקטוריות</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-נגזרות_וקטוריות-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק נגזרות וקטוריות</span> </button> <ul id="toc-נגזרות_וקטוריות-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-מבוא" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#מבוא"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>מבוא</span> </div> </a> <ul id="toc-מבוא-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-גרדיאנט" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#גרדיאנט"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>גרדיאנט</span> </div> </a> <ul id="toc-גרדיאנט-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-נגזרת_כיוונית" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#נגזרת_כיוונית"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2.1</span> <span>נגזרת כיוונית</span> </div> </a> <ul id="toc-נגזרת_כיוונית-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-דיברגנץ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#דיברגנץ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>דיברגנץ</span> </div> </a> <ul id="toc-דיברגנץ-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-שטף" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#שטף"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3.1</span> <span>שטף</span> </div> </a> <ul id="toc-שטף-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-הגדרת_הדיברגנץ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#הגדרת_הדיברגנץ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3.2</span> <span>הגדרת הדיברגנץ</span> </div> </a> <ul id="toc-הגדרת_הדיברגנץ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-רוטור_(Curl)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#רוטור_(Curl)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>רוטור (Curl)</span> </div> </a> <ul id="toc-רוטור_(Curl)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-לפלסיאן" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#לפלסיאן"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.5</span> <span>לפלסיאן</span> </div> </a> <ul id="toc-לפלסיאן-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-לפלסיאן_על_פונקציה_סקלרית" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#לפלסיאן_על_פונקציה_סקלרית"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.5.1</span> <span>לפלסיאן על פונקציה סקלרית</span> </div> </a> <ul id="toc-לפלסיאן_על_פונקציה_סקלרית-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-אינטגרלים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#אינטגרלים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>אינטגרלים</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-אינטגרלים-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק אינטגרלים</span> </button> <ul id="toc-אינטגרלים-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-אינטגרל_מסלולי" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#אינטגרל_מסלולי"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>אינטגרל מסלולי</span> </div> </a> <ul id="toc-אינטגרל_מסלולי-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-אינטגרל_משטחי" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#אינטגרל_משטחי"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>אינטגרל משטחי</span> </div> </a> <ul id="toc-אינטגרל_משטחי-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-אינטגרל_מרובה" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#אינטגרל_מרובה"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>אינטגרל מרובה</span> </div> </a> <ul id="toc-אינטגרל_מרובה-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-משפטי_יסוד_באנליזה_וקטורית" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#משפטי_יסוד_באנליזה_וקטורית"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>משפטי יסוד באנליזה וקטורית</span> </div> </a> <ul id="toc-משפטי_יסוד_באנליזה_וקטורית-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-יישומים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#יישומים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>יישומים</span> </div> </a> <ul id="toc-יישומים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ראו_גם" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#ראו_גם"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>ראו גם</span> </div> </a> <ul id="toc-ראו_גם-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-לקריאה_נוספת" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#לקריאה_נוספת"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>לקריאה נוספת</span> </div> </a> <ul id="toc-לקריאה_נוספת-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-קישורים_חיצוניים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#קישורים_חיצוניים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>קישורים חיצוניים</span> </div> </a> <ul id="toc-קישורים_חיצוניים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="תוכן עניינים" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="מצב תוכן העניינים" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">מצב תוכן העניינים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">אנליזה וקטורית</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="מעבר לערך בשפה אחרת. זמין ב־54 שפות" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-54" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">54 שפות</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus" title="Vector calculus – אנגלית" lang="en" hreflang="en" data-title="Vector calculus" data-language-autonym="English" data-language-local-name="אנגלית" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Vektoranalise" title="Vektoranalise – אפריקאנס" lang="af" hreflang="af" data-title="Vektoranalise" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="אפריקאנס" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8B%A8%E1%8C%A8%E1%88%A8%E1%88%AD_%E1%88%B5%E1%88%8C%E1%89%B5" title="የጨረር ስሌት – אמהרית" lang="am" hreflang="am" data-title="የጨረር ስሌት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="אמהרית" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AA" title="حساب المتجهات – ערבית" lang="ar" hreflang="ar" data-title="حساب المتجهات" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="ערבית" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculu_vectorial" title="Cálculu vectorial – אסטורית" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Cálculu vectorial" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="אסטורית" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Vektor_analizi" title="Vektor analizi – אזרית" lang="az" hreflang="az" data-title="Vektor analizi" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="אזרית" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D1%8B_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Векторлы анализ – בשקירית" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Векторлы анализ" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="בשקירית" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Векторен анализ – בולגרית" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Векторен анализ" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="בולגרית" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%A6%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B0_%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%B2%E0%A6%95%E0%A7%81%E0%A6%B2%E0%A6%BE%E0%A6%B8" title="সদিক রাশির ক্যালকুলাস – בנגלית" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সদিক রাশির ক্যালকুলাস" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="בנגלית" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Vektorska_analiza" title="Vektorska analiza – בוסנית" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Vektorska analiza" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="בוסנית" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/C%C3%A0lcul_vectorial" title="Càlcul vectorial – קטלאנית" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Càlcul vectorial" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="קטלאנית" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Векторла анализ – צ׳ובשית" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Векторла анализ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="צ׳ובשית" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Vektoranalysis" title="Vektoranalysis – גרמנית" lang="de" hreflang="de" data-title="Vektoranalysis" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="גרמנית" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Vektora_kalkulo" title="Vektora kalkulo – אספרנטו" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Vektora kalkulo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="אספרנטו" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial" title="Cálculo vectorial – ספרדית" lang="es" hreflang="es" data-title="Cálculo vectorial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="ספרדית" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Kalkulu_bektorial" title="Kalkulu bektorial – בסקית" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Kalkulu bektorial" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="בסקית" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="حساب برداری – פרסית" lang="fa" hreflang="fa" data-title="حساب برداری" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="פרסית" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Vektorianalyysi" title="Vektorianalyysi – פינית" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Vektorianalyysi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="פינית" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_vectorielle" title="Analyse vectorielle – צרפתית" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Analyse vectorielle" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="צרפתית" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial" title="Cálculo vectorial – גליסית" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Cálculo vectorial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="גליסית" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%A6%E0%A4%BF%E0%A4%B6_%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="सदिश कलन – הינדי" lang="hi" hreflang="hi" data-title="सदिश कलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="הינדי" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Vektorska_analiza" title="Vektorska analiza – קרואטית" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Vektorska analiza" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="קרואטית" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Vektoranal%C3%ADzis" title="Vektoranalízis – הונגרית" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Vektoranalízis" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="הונגרית" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8E%D5%A5%D5%AF%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Վեկտորական հաշիվ – ארמנית" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Վեկտորական հաշիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ארמנית" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor" title="Kalkulus vektor – אינדונזית" lang="id" hreflang="id" data-title="Kalkulus vektor" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="אינדונזית" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Vigurgreining" title="Vigurgreining – איסלנדית" lang="is" hreflang="is" data-title="Vigurgreining" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="איסלנדית" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_vettoriale" title="Calcolo vettoriale – איטלקית" lang="it" hreflang="it" data-title="Calcolo vettoriale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="איטלקית" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="ベクトル解析 – יפנית" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ベクトル解析" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="יפנית" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D1%8B%D2%9B_%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B4%D0%B0%D1%83" title="Векторлық талдау – קזחית" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Векторлық талдау" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="קזחית" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%ED%95%99" title="벡터 미적분학 – קוריאנית" lang="ko" hreflang="ko" data-title="벡터 미적분학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="קוריאנית" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Vektorinis_skai%C4%8Diavimas" title="Vektorinis skaičiavimas – ליטאית" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Vektorinis skaičiavimas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="ליטאית" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0" title="Векторска анализа – מקדונית" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Векторска анализа" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="מקדונית" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor" title="Kalkulus vektor – מלאית" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kalkulus vektor" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="מלאית" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Vectoranalyse" title="Vectoranalyse – הולנדית" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Vectoranalyse" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="הולנדית" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Vektorrekning" title="Vektorrekning – נורווגית חדשה" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Vektorrekning" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="נורווגית חדשה" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Vektoranalyse" title="Vektoranalyse – נורווגית ספרותית" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Vektoranalyse" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="נורווגית ספרותית" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B5%E0%A9%88%E0%A8%95%E0%A8%9F%E0%A8%B0_%E0%A8%95%E0%A9%88%E0%A8%B2%E0%A8%95%E0%A9%81%E0%A8%B2%E0%A8%B8" title="ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ – פנג׳אבי" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="פנג׳אבי" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Analiza_wektorowa" title="Analiza wektorowa – פולנית" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Analiza wektorowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="פולנית" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vetorial" title="Cálculo vetorial – פורטוגזית" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Cálculo vetorial" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="פורטוגזית" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Calcul_vectorial" title="Calcul vectorial – רומנית" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Calcul vectorial" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="רומנית" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Векторный анализ – רוסית" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Векторный анализ" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="רוסית" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Vektorska_analiza" title="Vektorska analiza – סרבו-קרואטית" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Vektorska analiza" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="סרבו-קרואטית" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus" title="Vector calculus – אנגלית פשוטה" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Vector calculus" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="אנגלית פשוטה" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0" title="Векторска анализа – סרבית" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Векторска анализа" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="סרבית" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektoranalys" title="Vektoranalys – שוודית" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Vektoranalys" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="שוודית" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%B8%E0%B0%A6%E0%B0%BF%E0%B0%B6_%E0%B0%B0%E0%B0%BE%E0%B0%B6%E0%B1%81%E0%B0%B2_%E0%B0%B5%E0%B0%BF%E0%B0%B6%E0%B1%8D%E0%B0%B2%E0%B1%87%E0%B0%B7%E0%B0%A3" title="సదిశ రాశుల విశ్లేషణ – טלוגו" lang="te" hreflang="te" data-title="సదిశ రాశుల విశ్లేషణ" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="טלוגו" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="แคลคูลัสเวกเตอร์ – תאית" lang="th" hreflang="th" data-title="แคลคูลัสเวกเตอร์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="תאית" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus" title="Vector calculus – טאגאלוג" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Vector calculus" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="טאגאלוג" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Vekt%C3%B6r_hesab%C4%B1" title="Vektör hesabı – טורקית" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Vektör hesabı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="טורקית" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Векторне числення – אוקראינית" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Векторне числення" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="אוקראינית" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D9%85%D8%AA%DB%8C_%D8%A7%D8%AD%D8%B5%D8%A7" title="سمتی احصا – אורדו" lang="ur" hreflang="ur" data-title="سمتی احصا" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="אורדו" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n_vect%C6%A1" title="Tích phân vectơ – וייטנאמית" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Tích phân vectơ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="וייטנאמית" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E5%88%86%E6%9E%90" title="向量分析 – סינית" lang="zh" hreflang="zh" data-title="向量分析" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="סינית" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86" title="向量微積分 – קנטונזית" lang="yue" hreflang="yue" data-title="向量微積分" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="קנטונזית" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q200802#sitelinks-wikipedia" title="עריכת קישורים בין־לשוניים" class="wbc-editpage">עריכת הקישורים</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="מרחבי שם"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="צפייה בדף התוכן [c]" accesskey="c"><span>ערך</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" rel="discussion" title="שיחה על דף התוכן [t]" accesskey="t"><span>שיחה</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="שינוי הגוון השפה" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">עברית</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="צפיות"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA"><span>קריאה</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit" title="עריכת קוד המקור של הדף הזה [e]" accesskey="e"><span>עריכת קוד מקור</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit" title="עריכת הדף הזה [v]" accesskey="v"><span>עריכה</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=history" title="גרסאות קודמות של דף זה [h]" accesskey="h"><span>גרסאות קודמות</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="כלי דף"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="כלים" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">כלים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">כלים</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">הסתרה</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="אפשרויות נוספות" > <div class="vector-menu-heading"> פעולות </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA"><span>קריאה</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit" title="עריכת קוד המקור של הדף הזה [e]" accesskey="e"><span>עריכת קוד מקור</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit" title="עריכת הדף הזה [v]" accesskey="v"><span>עריכה</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=history"><span>גרסאות קודמות</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> כללי </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%9B%D7%90%D7%9F/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="רשימה של כל דפי הוויקי שמקשרים לדף הזה [j]" accesskey="j"><span>דפים המקושרים לכאן</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%91%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" rel="nofollow" title="השינויים האחרונים בדפים המקושרים מהדף הזה [k]" accesskey="k"><span>שינויים בדפים המקושרים</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93%D7%99%D7%9D" title="רשימה של כל הדפים המיוחדים [q]" accesskey="q"><span>דפים מיוחדים</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&oldid=39733389" title="קישור קבוע לגרסה הזאת של הדף הזה"><span>קישור קבוע</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=info" title="מידע נוסף על הדף הזה"><span>מידע על הדף</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A6%D7%99%D7%98%D7%95%D7%98_%D7%93%D7%A3_%D7%96%D7%94&page=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&id=39733389&wpFormIdentifier=titleform" title="מידע איך לצטט את הדף הזה"><span>ציטוט הדף הזה</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9E%D7%A7%D7%A6%D7%A8_%D7%9B%D7%AA%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&url=https%3A%2F%2Fhe.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D7%2590%25D7%25A0%25D7%259C%25D7%2599%25D7%2596%25D7%2594_%25D7%2595%25D7%25A7%25D7%2598%25D7%2595%25D7%25A8%25D7%2599%25D7%25AA"><span>קבלת כתובת מקוצרת</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:QrCode&url=https%3A%2F%2Fhe.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D7%2590%25D7%25A0%25D7%259C%25D7%2599%25D7%2596%25D7%2594_%25D7%2595%25D7%25A7%25D7%2598%25D7%2595%25D7%25A8%25D7%2599%25D7%25AA"><span>הורדת קוד QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> הדפסה/יצוא </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A1%D7%A4%D7%A8&bookcmd=book_creator&referer=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94+%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA"><span>יצירת ספר</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:DownloadAsPdf&page=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=show-download-screen"><span>הורדה כ־PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&printable=yes" title="גרסה להדפסה של הדף הזה [p]" accesskey="p"><span>גרסה להדפסה</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> במיזמים אחרים </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Vector_calculus" hreflang="en"><span>ויקישיתוף</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q200802" title="קישור לפריט המשויך במאגר הנתונים [g]" accesskey="g"><span>פריט ויקינתונים</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="כלי דף"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="מראה"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">מראה</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">הסתרה</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-rtl mw-parser-output" lang="he" dir="rtl"><table style="float: left; margin: 0 5px 5px 0; border: 1px solid #aaa; border-collapse: collapse;"> <tbody><tr> <td style="text-align: center; background: #3cb371; padding: 5px; border-bottom: 1px solid #aaa;"><b>מערכות צירים וקואורדינטות</b> </td></tr> <tr> <td style="text-align: center; background: #66cdaa; border-bottom: 1px solid #aaa;"><b>מערכות צירים נפוצות</b> </td></tr> <tr> <td style="border-bottom: 1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%AA_%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%A8%D7%98%D7%96%D7%99%D7%AA" title="מערכת צירים קרטזית">קואורדינטות קרטזיות</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%A7%D7%95%D7%98%D7%91%D7%99%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות קוטביות">קואורדינטות קוטביות</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%92%D7%9C%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות גליליות">קואורדינטות גליליות</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%9B%D7%93%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות כדוריות">קואורדינטות כדוריות</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%92%D7%9C%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות גליליות פרבוליות">קואורדינטות גליליות פרבוליות</a></li></ul> </td></tr> <tr> <td style="text-align: center; background: #66cdaa; border-bottom: 1px solid #aaa;"><b>ראו גם</b> </td></tr> <tr> <td style="border-bottom: 1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות">קואורדינטות</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%A4%D7%99%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות גאוגרפיות">קואורדינטות גאוגרפיות</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_(%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94)" title="קואורדינטות (אלגברה)">קואורדינטות (אלגברה)</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%98%D7%A0%D7%96%D7%95%D7%A8" title="טנזור">חשבון טנזורים</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">אנליזה וקטורית</a></li></ul> </td></tr></tbody></table> <table cellpadding="1" style="float: left; clear:both; border: 1px solid #8888aa; background: #f7f8ff; padding: 5px; font-size: 95%; margin: 0.5em 1em 0.5em 0.5em;"> <tbody><tr> <td style="text-align: center;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99" title="סימון מתמטי"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/60px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="60" height="60" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/90px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/120px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span> <p>בערך זה<br />נעשה שימוש<br />בסימנים מוסכמים<br />מתחום המתמטיקה.<br />להבהרת הסימנים<br />ראו <a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99" title="סימון מתמטי">סימון מתמטי</a>. </p> </td></tr></tbody></table> <p><b>אָנָלִיזָה וֶקְטוֹרִית</b> היא תחום של ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94" title="מתמטיקה">מתמטיקה</a> העוסק ב<a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%AA" title="אנליזה מתמטית">אנליזה</a> של <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה">פונקציות</a> המוגדרות מעל <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי">מרחב וקטורי</a>. בדרך כלל, מתמקדת האנליזה הווקטורית ב-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"></span>, הוא <a href="/wiki/%D7%94%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%94%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%99" class="mw-redirect" title="המרחב האוקלידי">המרחב האוקלידי</a> התלת-ממדי, שמתאים לתיאור המציאות הפיזיקלית שלנו ולכן שימושי ביותר ב<a href="/wiki/%D7%A4%D7%99%D7%96%D7%99%D7%A7%D7%94" title="פיזיקה">פיזיקה</a>. האנליזה הווקטורית פותחה על ידי <a href="/wiki/%D7%92%27%D7%95%D7%A1%D7%99%D7%94_%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%90%D7%A8%D7%93_%D7%92%D7%99%D7%91%D7%A1" title="ג'וסיה וילארד גיבס">ג'וסיה וילארד גיבס</a> ו<a href="/wiki/%D7%90%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%91%D7%A8_%D7%94%D7%91%D7%99%D7%A1%D7%99%D7%99%D7%93" title="אוליבר הביסייד">אוליבר הביסייד</a> בסוף המאה ה-19. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="פעולות_בין_וקטורים"><span id=".D7.A4.D7.A2.D7.95.D7.9C.D7.95.D7.AA_.D7.91.D7.99.D7.9F_.D7.95.D7.A7.D7.98.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.9D"></span>פעולות בין וקטורים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=1" title="עריכת קוד המקור של הפרק: פעולות בין וקטורים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=1" title="עריכת פסקה: "פעולות בין וקטורים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>כדי להבין את מושגי היסוד באנליזה וקטורית, יש להכיר את ה<a href="/wiki/%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8_(%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94)" class="mw-redirect" title="וקטור (אלגברה)">ווקטורים</a> ואת הפעולות האפשריות בין הווקטורים עצמם ובין <a href="/wiki/%D7%A1%D7%A7%D7%9C%D7%A8_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="סקלר (מתמטיקה)">סקלרים</a>. פעולות אלה הן הכללה של פעולות ה<a href="/wiki/%D7%97%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8" title="חיבור">חיבור</a> וה<a href="/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%9C" title="כפל">כפל</a> המוגדרות על איברי <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="שדה (מבנה אלגברי)">שדה</a>. </p><p>בפרט, יש להכיר את הנושאים מ<a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="אלגברה ליניארית">אלגברה ליניארית</a> של <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי">מרחב וקטורי</a> ו<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%A4%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%AA" title="מרחב מכפלה פנימית">מרחב מכפלה פנימית</a>. <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%99" title="מרחב אוקלידי">המרחב האוקלידי</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> (ובפרט <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"></span>) הוא מרחב וקטורי עם <a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%A4%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%AA" class="mw-redirect" title="מכפלה פנימית">מכפלה פנימית</a> שמוגדר מעל <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%99%D7%9D" title="שדה המספרים הממשיים">שדה המספרים הממשיים</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="וקטורים"><span id=".D7.95.D7.A7.D7.98.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.9D"></span>וקטורים</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=2" title="עריכת קוד המקור של הפרק: וקטורים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=2" title="עריכת פסקה: "וקטורים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>וקטור ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי">מרחב וקטורי</a> מממד סופי אפשר לכתוב בצורה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {v}}=(v_{1},\dots ,v_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {v}}=(v_{1},\dots ,v_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6484916111df7477d199aaba7bbd38b98edbbbc0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.37ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {v}}=(v_{1},\dots ,v_{n})}"></span>, כאשר המספרים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0222c9355c0b649fb47e0a082944e3c42b0d09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}}"></span> הם ה<b>רכיבים</b> או ה<b><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות">קואורדינטות</a></b> של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d16e49a05ec87c2f5bec1677e09f2d7f601a7ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.756ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {v}}}"></span>. </p><p>במרחב התלת-ממדי הווקטורים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bb973fb297afae295445ccaf8314f7c055da6a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.577ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}"></span> מייצגים את וקטורי <b>הבסיס הסטנדרטי</b>, המתאימים ל<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%AA_%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%A8%D7%98%D7%96%D7%99%D7%AA" title="מערכת צירים קרטזית">מערכת הצירים הקרטזית</a>. בכתיבה לפי רכיבים, הם שווים לווקטורים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b4adc754ca4beb71cc1e9f7b62e5d31e2e444c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.742ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}"></span> בהתאמה. </p><p>למבוא יותר אינטואיטיבי על וקטורים במרחב התלת-ממדי, ראו <b><a href="/wiki/%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8_(%D7%A4%D7%99%D7%96%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="וקטור (פיזיקה)">וקטור (פיזיקה)</a></b>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="חיבור"><span id=".D7.97.D7.99.D7.91.D7.95.D7.A8"></span>חיבור</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=3" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חיבור"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=3" title="עריכת פסקה: "חיבור"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>חיבור וקטורים:</b> מחברים וקטורים לפי רכיבים: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n})=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n})=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0680920a9f40d469dec4c79d81ba3ff361f9dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n})=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n})}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="כפל"><span id=".D7.9B.D7.A4.D7.9C"></span>כפל</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=4" title="עריכת קוד המקור של הפרק: כפל"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=4" title="עריכת פסקה: "כפל"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>בניגוד לחיבור, יש מספר סוגים של פעולות כפל המערבים וקטורים: </p> <ol><li><b><a href="/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%9C_%D7%91%D7%A1%D7%A7%D7%9C%D7%A8" title="כפל בסקלר">כפל בסקלר</a>:</b> אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12aa8b4306b9f09caa343ae4998e37415f4469d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.106ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ c\in \mathbb {R} }"></span> הוא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99" title="מספר ממשי">מספר ממשי</a> ו- <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d16e49a05ec87c2f5bec1677e09f2d7f601a7ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.756ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {v}}}"></span> וקטור, אז <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c{\vec {v}}=(cv_{1},\dots ,cv_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c{\vec {v}}=(cv_{1},\dots ,cv_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c2675a431c7882695f0afcf3d4c90964790b14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ c{\vec {v}}=(cv_{1},\dots ,cv_{n})}"></span> הוא הכפל של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13986081794fa359dd8f21458428d16289e97b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.708ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ v}"></span> בסקלר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f25683198a37f6e98e40127297a5e4d87ffeec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.587ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ c}"></span>.</li> <li><b>מכפלה סקלרית (Dot product):</b> <a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%A1%D7%A7%D7%9C%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מכפלה סקלרית">המכפלה הסקלרית</a> של שני וקטורים היא מספר, המוגדר לפי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (v_{1},\dots ,v_{n})\cdot (w_{1},\dots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\dots +v_{n}w_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (v_{1},\dots ,v_{n})\cdot (w_{1},\dots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\dots +v_{n}w_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092758c3b393d3bf72e1cf94ec848b77372b80f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.995ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (v_{1},\dots ,v_{n})\cdot (w_{1},\dots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\dots +v_{n}w_{n}}"></span>. מספר זה הוא מכפלת האורך של הווקטור הראשון, האורך של הווקטור השני וקוסינוס הזווית שביניהם. כלומר: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}||{\vec {w}}|\cos \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}||{\vec {w}}|\cos \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80317c3938966f882b2f11e3dce0512435f649d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.02ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}||{\vec {w}}|\cos \theta }"></span>. המכפלה הסקלרית מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים.</li> <li><b>מכפלה וקטורית (Cross product):</b> במרחב התלת-ממדי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f5d3ab4274ff721a459b33cbf297676d01d542" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.313ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}"></span> מוגדרת פעולה נוספת, הקרויה <a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מכפלה וקטורית">מכפלה וקטורית</a>. המכפלה הווקטורית של שני וקטורים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {v}},{\vec {w}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {v}},{\vec {w}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74538635513a985fdc2d2cf84344bbc9883570f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.454ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {v}},{\vec {w}}}"></span> היא וקטור המאונך לשניהם, שאורכו הוא כשטח המקבילית הנוצרת ביניהם, כלומר אורך הווקטור הראשון כפול אורך השני כפול סינוס הזווית שביניהם.</li></ol> <p>את כללי החישוב של המכפלה הווקטורית קל לזכור באמצעות סימון ה<a href="/wiki/%D7%93%D7%98%D7%A8%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%A0%D7%98%D7%94" title="דטרמיננטה">דטרמיננטה</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3})\times (w_{1},w_{2},w_{3})={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>|</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3})\times (w_{1},w_{2},w_{3})={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef5cb1f77a47fa9efc1c4fba0a6280aa9ef490b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:43.239ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3})\times (w_{1},w_{2},w_{3})={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}}"></span>.</dd></dl> <p>כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {x}}\,{\hat {y}}\,{\hat {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}\,{\hat {y}}\,{\hat {z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c47e8e3cba1f1482d380ecf335566ea5dc8fd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.702ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}\,{\hat {y}}\,{\hat {z}}}"></span> הן וקטורי היחידה של הצירים X ,Y ,Z בהתאמה. </p><p>בעוד ששתי הפעולות הראשונות מוגדרות בכל ממד, ובפרט בממד-1 מתכנסות לכפל הרגיל, המכפלה הווקטורית מוגדרת רק במרחב האוקלידי מממד 3. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="הטופולוגיה_של_המרחב_האוקלידי"><span id=".D7.94.D7.98.D7.95.D7.A4.D7.95.D7.9C.D7.95.D7.92.D7.99.D7.94_.D7.A9.D7.9C_.D7.94.D7.9E.D7.A8.D7.97.D7.91_.D7.94.D7.90.D7.95.D7.A7.D7.9C.D7.99.D7.93.D7.99"></span>הטופולוגיה של המרחב האוקלידי</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=5" title="עריכת קוד המקור של הפרק: הטופולוגיה של המרחב האוקלידי"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=5" title="עריכת פסקה: "הטופולוגיה של המרחב האוקלידי"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>כדי שנוכל לדבר על <a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%AA" title="אנליזה מתמטית">אנליזה מתמטית</a> במרחב האוקלידי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8153305431f76fa43a14e60bd17fd3d2324723f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.477ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}"></span> עלינו להיות מצוידים במושגים של "<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%94" class="mw-redirect" title="פונקציה רציפה">פונקציות רציפות</a>" ו"נקודות קרובות (באותה <a href="/wiki/%D7%A1%D7%91%D7%99%D7%91%D7%94_(%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94)" class="mw-redirect" title="סביבה (טופולוגיה)">סביבה</a>)". לשם כך, עלינו להגדיר על המרחב <a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94" title="טופולוגיה">טופולוגיה</a>. </p><p>הטופולוגיה שבדרך כלל מוגדרת על <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8153305431f76fa43a14e60bd17fd3d2324723f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.477ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}"></span> היא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99" title="מרחב מטרי">הטופולוגיה המטרית</a> המושרית מה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94" title="מטריקה">מטריקה</a> הבאה שאנו מגדירים על המרחב: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ d({\vec {v}},{\vec {w}})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}-w_{i})^{2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ d({\vec {v}},{\vec {w}})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}-w_{i})^{2}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b15b7919bac003c8c61322786085725eca3fceb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:26.739ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \ d({\vec {v}},{\vec {w}})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}-w_{i})^{2}}}}}"></span></dd></dl> <p>ניתן לראות שמטריקה זו היא בעצם ההכללה של <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A4%D7%99%D7%AA%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%A1" title="משפט פיתגורס">משפט פיתגורס</a> ולכן מהווה הכללה לפונקציית המרחק האוקלידית במישור. </p><p>את המטריקה הזאת ניתן להציג באמצעות המכפלה הסקלרית שהגדרנו קודם: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d({\vec {v}},{\vec {w}})={\sqrt {({\vec {v}}-{\vec {w}})\cdot ({\vec {v}}-{\vec {w}})}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d({\vec {v}},{\vec {w}})={\sqrt {({\vec {v}}-{\vec {w}})\cdot ({\vec {v}}-{\vec {w}})}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8c0ee6e89856f52d5695df3f58633d06e70000" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.978ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle d({\vec {v}},{\vec {w}})={\sqrt {({\vec {v}}-{\vec {w}})\cdot ({\vec {v}}-{\vec {w}})}}}"></span></dd></dl> <p>ובכך המרחב שהגדרנו הוא למעשה <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%A4%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%AA" title="מרחב מכפלה פנימית">מרחב מכפלה פנימית</a> המהווה גם <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%A0%D7%95%D7%A8%D7%9E%D7%99" title="מרחב נורמי">מרחב נורמי</a>. יתרה מכך, המרחב <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8153305431f76fa43a14e60bd17fd3d2324723f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.477ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}"></span> מהווה <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98" title="מרחב הילברט">מרחב הילברט</a> (מממד סופי). </p><p>עבור <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי">מרחב וקטורי</a> V נהוג בדרך כלל להסתכל על <a href="/wiki/%D7%94%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%94%D7%93%D7%95%D7%90%D7%9C%D7%99" class="mw-redirect" title="המרחב הדואלי">המרחב הדואלי</a> שלו </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ V^{*}=\{f\colon V\to \mathbb {R} \ :\ f{\mbox{ is linear }}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> is linear </mtext> </mstyle> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ V^{*}=\{f\colon V\to \mathbb {R} \ :\ f{\mbox{ is linear }}\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc0d6095fec24ed5e36683f65777b1b3ca7b697" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.742ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ V^{*}=\{f\colon V\to \mathbb {R} \ :\ f{\mbox{ is linear }}\}}"></span></dd></dl> <p>זהו מרחב ה<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C" title="פונקציונל">פונקציונלים</a> הליניאריים מ-V לשדה המספרים הממשיים. המרחב הדואלי הוא תמיד מרחב וקטורי, ומאותו ממד כמו של V. כאשר עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים מצמצמים את המרחב הדואלי לאוסף הפונקציונלים הליניאריים הרציפים בלבד, אם כי עבור ממדים סופיים אין הבדל בין ההגדרות. </p><p>מסתבר שביישומים רבים של <a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="אנליזה פונקציונלית">האנליזה הפונקציונלית</a> *V יותר שימושי מ-V. באמצעותו אפשר להגדיר <a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94_%D7%97%D7%9C%D7%A9%D7%94" title="טופולוגיה חלשה">טופולוגיה חלשה</a> על V (פשוט קובעים שכל הפונקציונלים הליניאריים עליו נחשבים כרציפים) ונוח יותר לבצע אינטגרציה לפונקציונל מ-*V מאשר לווקטור מ-V. כאשר לא עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים, יש חשיבות גדולה להבחנות בין המרחבים *V ל-V ולאינטראקציה ביניהם אך עבור מרחב מטרי V שני המרחבים איזומטריים וניתן להתאים לכל וקטור ב-V פונקציונל ב-*V ולהפך (באופן חח"ע ועל) באמצעות ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94" title="מטריקה">מטריקה</a>. במקרה של מרחב הילברט תכונה זו ידועה כ<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%94%D7%94%D7%A6%D7%92%D7%94_%D7%A9%D7%9C_%D7%A8%D7%99%D7%A1" title="משפט ההצגה של ריס">משפט ההצגה של ריס</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="פונקציות_ואופרטורים"><span id=".D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.95.D7.90.D7.95.D7.A4.D7.A8.D7.98.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.9D"></span>פונקציות ואופרטורים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=6" title="עריכת קוד המקור של הפרק: פונקציות ואופרטורים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=6" title="עריכת פסקה: "פונקציות ואופרטורים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>האנליזה הווקטורית עוסקת, כאמור, בווקטורים שהרכיבים שלהם הם מספרים ממשיים או פונקציות. כדי לפשט את הסימונים והחישובים, מוסיפים למערכת את אופרטורי הגזירה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1b28ee7760393d1d4e108a63476b24199660f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.575ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}}"></span>, המסמנים את ה<a href="/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%AA" title="נגזרת חלקית">נגזרת החלקית</a> לפי המשתנים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x,y,z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x,y,z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5644d5dae21a88985f1b72458c9e021cbcd15de0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.222ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ x,y,z}"></span>, בהתאמה. </p><p>כעת אפשר לבנות וקטורים מכמה סוגים: וקטורים קבועים (כמו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (2,3,-2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (2,3,-2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6144c1d00295e135458aeb8313e500a1b23150" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.753ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (2,3,-2)}"></span>), וקטורים של פונקציות (כמו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (x,x^{2},6)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>6</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (x,x^{2},6)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8caa57f93138124e9bbc3e22d0f93cbbbdd9e933" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.334ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (x,x^{2},6)}"></span> או <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (x+y,y-z,z^{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (x+y,y-z,z^{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f5191a892bd31e2fd94053f0d948e7cb4ce6d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.012ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (x+y,y-z,z^{2})}"></span>) וגם וקטורים של אופרטורים, כמו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed385b4241218bc7057b4142c7b319b9e439c72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.419ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ \nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})}"></span>. אפשר לבצע פעולות כמו כפל סקלרי או וקטורי בין וקטורים מכל הסוגים כל עוד הן מתבצעות בצורה נכונה. </p><p>באופן כללי יותר, אפשר לחשוב גם על הפונקציות הסקלריות כעל אופרטורים: הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f(x,y,z)=x+y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f(x,y,z)=x+y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ead7939592d0f4a557c7000af4248bff39be5a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.734ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ f(x,y,z)=x+y}"></span> מתאימה לפעולה של <b>כפל</b> ב- <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x+y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x+y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf83e2980005ce971eb5e6a64d99a3ab4fc395a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.906ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ x+y}"></span>. כעת אפשר להתייחס לסקלרים מכל הסוגים (פונקציות ואופרטורים דיפרנציאליים) באותו אופן: לכפל (משמאל) בפונקציה יש הפירוש הרגיל של כפל, וכפל משמאל באופרטור יש לחשב על-פי כללי הגזירה. נעיר שבהכפלת סקלרים הסדר אינו חשוב, אבל כאשר מערבים אופרטורים דיפרנציאליים ופונקציות, הסדר חשוב. לדוגמה, הכפלת הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5ff7312a01506eee6ecea7dca662763a101c9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ f}"></span> במשתנה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9923068b5684340554217dfc8b2b968523527d9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.91ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ x}"></span> ואחר-כך בנגזרת <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \partial _{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \partial _{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42480282ffb04c55fe07bbb753c5027ff56535a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.988ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \partial _{x}}"></span> מחזירה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f+x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f+x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47db9f68e9b742c044ebab6095182af0344b8ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.488ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \ f+x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}"></span>, בעוד שהכפלה בסדר הפוך מחזירה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2750099993b3b6aa0208197c65b6821435e50474" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.369ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \ x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}"></span>: ההפרש שווה לפונקציה המקורית. אפשר לסכם הבחנה זו בזהות <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \partial _{x}\cdot x-x\cdot \partial _{x}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \partial _{x}\cdot x-x\cdot \partial _{x}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee00b854658f32b074d1b3aab8a791515c97544" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \partial _{x}\cdot x-x\cdot \partial _{x}=1}"></span>. </p><p>היתרון בגישה זו הוא שהיא מאפשרת טיפול אחיד בפונקציות ובאופרטורים, כפי שנראה בהמשך. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="שדות"><span id=".D7.A9.D7.93.D7.95.D7.AA"></span>שדות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=7" title="עריכת קוד המקור של הפרק: שדות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=7" title="עריכת פסקה: "שדות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="שדה_סקלרי"><span id=".D7.A9.D7.93.D7.94_.D7.A1.D7.A7.D7.9C.D7.A8.D7.99"></span>שדה סקלרי</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=8" title="עריכת קוד המקור של הפרק: שדה סקלרי"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=8" title="עריכת פסקה: "שדה סקלרי"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>פונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306c097f43c91dce633d12cde024948d39e73752" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.404ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }"></span> המתאימה לכל <a href="/wiki/%D7%A0%D7%A7%D7%95%D7%93%D7%94_(%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94)" title="נקודה (גאומטריה)">נקודה</a> במרחב <a href="/wiki/%D7%A1%D7%A7%D7%9C%D7%A8_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="סקלר (מתמטיקה)">ערך סקלרי</a> נקראת <b><a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%A7%D7%9C%D7%A8%D7%99" title="שדה סקלרי">שדה סקלרי</a></b> או בהשאלה מ<a href="/wiki/%D7%A4%D7%99%D7%96%D7%99%D7%A7%D7%94" title="פיזיקה">פיזיקה</a> (ובייחוד <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%A7%D7%98%D7%A8%D7%95%D7%9E%D7%92%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA" title="אלקטרומגנטיות">אלקטרומגנטיות</a>): <b><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C_%D7%A1%D7%A7%D7%9C%D7%A8%D7%99" title="פוטנציאל סקלרי">פוטנציאל</a></b>. </p><p>דוגמאות במרחב תלת־ממדי: </p> <ul><li>טמפרטורת המים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאמת ה<a href="/wiki/%D7%98%D7%9E%D7%A4%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%94" title="טמפרטורה">טמפרטורה</a> באותה נקודה (סקלר).</li> <li><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C_%D7%97%D7%A9%D7%9E%D7%9C%D7%99" title="פוטנציאל חשמלי">הפוטנציאל האלקטרוסטטי</a>.</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f(x,y,z)=x^{2}+3yz^{5}-4ze^{(x-y)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>y</mi> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>z</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f(x,y,z)=x^{2}+3yz^{5}-4ze^{(x-y)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee65d62bb8b7108db65a5202d8dee93ae981922" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.817ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ f(x,y,z)=x^{2}+3yz^{5}-4ze^{(x-y)}}"></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="שדה_וקטורי"><span id=".D7.A9.D7.93.D7.94_.D7.95.D7.A7.D7.98.D7.95.D7.A8.D7.99"></span>שדה וקטורי</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=9" title="עריכת קוד המקור של הפרק: שדה וקטורי"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=9" title="עריכת פסקה: "שדה וקטורי"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>פונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb81e097374fde3156efc097ed1548c13fe6385" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.106ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}"></span> המתאימה לכל נקודה במרחב <a href="/wiki/%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8_(%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94)" class="mw-redirect" title="וקטור (אלגברה)">וקטור</a> (ליתר דיוק, וקטור מ<a href="/wiki/%D7%94%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%94%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%A7" title="המרחב המשיק">המרחב המשיק</a> באותה נקודה) נקראת <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="שדה וקטורי">שדה וקטורי</a>. </p><p>דוגמאות במרחב תלת־ממדי: </p> <ul><li>זרימת מים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאם וקטור שכיוונו ככיוון זרימת המים באותה נקודה וגודלו כ<a href="/wiki/%D7%9E%D7%94%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%AA" title="מהירות">מהירות</a> הזרימה.</li> <li><a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%97%D7%A9%D7%9E%D7%9C%D7%99" title="שדה חשמלי">השדה החשמלי</a>.</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {f}}(x,y,z)=\left(xy+42,\ 56\sin(z),\ e^{(y^{2}-xz)}\right)=(xy+42){\hat {x}}\ +\ 56\sin(z){\hat {y}}\ +\ e^{(y^{2}-xz)}{\hat {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>42</mn> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mn>56</mn> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>42</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>+</mo> <mtext> </mtext> <mn>56</mn> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>+</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {f}}(x,y,z)=\left(xy+42,\ 56\sin(z),\ e^{(y^{2}-xz)}\right)=(xy+42){\hat {x}}\ +\ 56\sin(z){\hat {y}}\ +\ e^{(y^{2}-xz)}{\hat {z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4cbdf67c6c379afad3b989d5e131ef3de8733e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:82.34ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {f}}(x,y,z)=\left(xy+42,\ 56\sin(z),\ e^{(y^{2}-xz)}\right)=(xy+42){\hat {x}}\ +\ 56\sin(z){\hat {y}}\ +\ e^{(y^{2}-xz)}{\hat {z}}}"></span></li></ul> <p>השדות בדרך כלל אינם <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פונקציה ליניארית">ליניאריים</a>, ואפילו לא בהכרח <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%94" class="mw-redirect" title="פונקציה רציפה">רציפים</a>. למרות זאת, באנליזה וקטורית מתעניינים בעיקר בפונקציות <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%94" title="פונקציה חלקה">חלקות</a> (שיש להן נגזרות מכל סדר), או בעלות מספר סופי בלבד של נקודות <a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%92%D7%95%D7%9C%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="סינגולריות (מתמטיקה)">סינגולריות</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="נגזרות_וקטוריות"><span id=".D7.A0.D7.92.D7.96.D7.A8.D7.95.D7.AA_.D7.95.D7.A7.D7.98.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.95.D7.AA"></span>נגזרות וקטוריות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=10" title="עריכת קוד המקור של הפרק: נגזרות וקטוריות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=10" title="עריכת פסקה: "נגזרות וקטוריות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>פרק זה דן במרחב הווקטורי (הפיזיקלי) <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f5d3ab4274ff721a459b33cbf297676d01d542" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.313ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}"></span>, שיתואר ב<a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%A7%D7%A8%D7%98%D7%96%D7%99%D7%95%D7%AA" class="mw-redirect" title="קואורדינטות קרטזיות">קואורדינטות קרטזיות</a>, אלא אם כן מצוין במפורש אחרת. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="מבוא"><span id=".D7.9E.D7.91.D7.95.D7.90"></span>מבוא</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=11" title="עריכת קוד המקור של הפרק: מבוא"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=11" title="עריכת פסקה: "מבוא"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>האופרטור הבסיסי במרחב זה הוא <a href="/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A8" title="אופרטור">אופרטור</a> הגזירה (נקרא גם דֶל), המוגדר: </p> <div class="equation-box" style="margin: auto;padding: 6px; border-width:1px; border-style: solid; border-color: black; background-color: white; text-align: center; display: table"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\triangleq {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\triangleq \left(\ \partial _{x}\,\ \partial _{y}\,\ \partial _{z}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>≜</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≜</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mtext> </mtext> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mtext> </mtext> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mtext> </mtext> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}\triangleq {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\triangleq \left(\ \partial _{x}\,\ \partial _{y}\,\ \partial _{z}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59a5928163b6d1c3221743567ad530dc59e812d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.03ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\triangleq {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\triangleq \left(\ \partial _{x}\,\ \partial _{y}\,\ \partial _{z}\right)}"></span> </p> </div> <p>אפשר לקבל את האופרטורים הדיפרנציאליים היסודיים על ידי פעולות הכפל השונות בהן משתתף אופרטור הגזירה: </p> <ol><li>ה<b>גרדיאנט</b> של שדה סקלרי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5ff7312a01506eee6ecea7dca662763a101c9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ f}"></span> הוא שדה וקטורי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6022980f91d8cd0070dff875359a95734d076948" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.795ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}f}"></span> שרכיביו הם ה<a href="/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%AA" title="נגזרת חלקית">נגזרות החלקיות</a> של השדה המקורי.</li> <li>ה<b>דיברגנץ</b> של שדה וקטורי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {f}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2473418ca753b045c4ff74ef67c215fbdfc2db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.245ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {f}}}"></span> הוא שדה סקלרי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {f}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3cc00c0b0f92f317c5764cee566920dcd39b67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.86ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {f}}}"></span> המודד את קצב השינוי במאונך לצירים.</li> <li>ה<b>רוטור</b> (או curl) של שדה וקטורי תלת-ממדי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {f}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2473418ca753b045c4ff74ef67c215fbdfc2db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.245ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {f}}}"></span> הוא שדה וקטורי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times {\vec {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times {\vec {f}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871994b20750b73cd5a918668b1714b6ab2fcee3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.022ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times {\vec {f}}}"></span> המודד את כיוון השינוי של השדה המקורי.</li></ol> <p>המכפלה הסקלרית של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \nabla }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∇</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \nabla }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe62e72ad7fcc54594588043c3ac8c7c12e8efa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.517ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ \nabla }"></span> עם עצמו היא אופרטור חשוב אחר, הנקרא <b>לפלסיאן</b>. </p><p>לעיתים נקרא הסימון המשולש של האופרטור בשם "נבלא" או "<a href="/wiki/%D7%A0%D7%91%D7%9C%D7%94_(%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9F)" title="נבלה (סימן)">נבלה</a>", על שום דמיונו ל<a href="/wiki/%D7%A0%D7%91%D7%9C" title="נבל">נבל</a> (בתחביר <a href="/wiki/LaTex" class="mw-redirect" title="LaTex">LaTex</a> הוא מוצג על ידי הפקודה <code dir="ltr">\nabla</code>). בספרים רבים נהוג לכתוב את המשולש ההפוך של הדל בגופן (פונט) מודגש, במקום לרשום חץ קטן למעלה. מטרת שני הסימונים היא להדגיש שמדובר בווקטור. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="גרדיאנט"><span id=".D7.92.D7.A8.D7.93.D7.99.D7.90.D7.A0.D7.98"></span>גרדיאנט</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=12" title="עריכת קוד המקור של הפרק: גרדיאנט"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=12" title="עריכת פסקה: "גרדיאנט"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Gradient2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Gradient2.svg/220px-Gradient2.svg.png" decoding="async" width="220" height="110" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Gradient2.svg/330px-Gradient2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Gradient2.svg/440px-Gradient2.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="255" /></a><figcaption>המחשה של גרדיאנט. באיורים שלפנינו, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. שימו לב שהחצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.</figcaption></figure> <p><b><a href="/wiki/%D7%92%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%90%D7%A0%D7%98" title="גרדיאנט">גרדיאנט</a></b> הוא אופרטור המקבל פונקציה סקלרית (פונקציית פוטנציאל) ומחזיר פונקציה וקטורית שרכיביה הם ה<a href="/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%AA" title="נגזרת חלקית">נגזרות החלקיות</a> של הפונקציה המקורית. </p><p>המשמעות הגאומטרית של הגרדיאנט היא שהוא מחזיר את השינוי בפוטנציאל (השדה הסקלרי) כתוצאה מ"תזוזה" במרחב. מאחר שמדובר במרחב תלת-ממדי, הכיוון משפיע על השינוי של הפונקציה בנוסף לגודל התזוזה. הכיוון של הווקטור שמחזיר הגרדיאנט הוא הכיוון בו השינוי בפונקציה מקסימלי. </p><p>הגרדיאנט מוגדר באופן הבא: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\,{\mbox{grad}}\ f(x,y,z)\triangleq {\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>grad</mtext> </mstyle> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≜</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\,{\mbox{grad}}\ f(x,y,z)\triangleq {\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b65179eb5a45c6b7e4f96286c119feb7d6f62a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.387ex; width:37.283ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \!\,{\mbox{grad}}\ f(x,y,z)\triangleq {\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {z}}}"></span></dd></dl> <p>באמצעות אופרטור הדל, אפשר פשוט לרשום: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mbox{grad}}\ f\triangleq {\vec {\nabla }}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>grad</mtext> </mstyle> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo>≜</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mbox{grad}}\ f\triangleq {\vec {\nabla }}f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b03b39b1f37f78625a34a0a9e3e0e38755fa35" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.701ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mbox{grad}}\ f\triangleq {\vec {\nabla }}f}"></span> </p><p>כלומר הפעלה של האופרטור הווקטורי דל על הפונקציה הסקלרית בצורה של כפל בסקלר, וקבלה של פונקציה וקטורית. </p><p>עבור כל שדה סקלרי, אופרטור הגרדיאנט מחזיר שדה וקטורי שנקרא "Gradient Field" ובו החצים מכוונים לכיוון בו הפונקציה עולה וגודלם של החצים מייצג את השיפוע של השדה הסקלרי. הכיוון של הגרדיאנט הוא הכיוון שבו יש שינוי מקסימלי בערך של הפונקציה. </p><p><b>דוגמה פיזיקלית:</b> הפוטנציאל האלקטרוסטטי מסומן ב <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\,\phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\,\phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1315e3582db5f2a61f20766851bad6f0860e5069" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.387ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \!\,\phi }"></span>, מחוקי ה<a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%A7%D7%98%D7%A8%D7%95%D7%A1%D7%98%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94" title="אלקטרוסטטיקה">אלקטרוסטטיקה</a> ידוע לנו ש <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\,{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\,{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de195d75660b72acc7b940f7c85f903e350f4556" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.387ex; width:10.391ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \!\,{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi }"></span> כאשר E הוא <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%97%D7%A9%D7%9E%D7%9C%D7%99" title="שדה חשמלי">השדה החשמלי</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="נגזרת_כיוונית"><span id=".D7.A0.D7.92.D7.96.D7.A8.D7.AA_.D7.9B.D7.99.D7.95.D7.95.D7.A0.D7.99.D7.AA"></span>נגזרת כיוונית</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=13" title="עריכת קוד המקור של הפרק: נגזרת כיוונית"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=13" title="עריכת פסקה: "נגזרת כיוונית"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b><a href="/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA_%D7%9B%D7%99%D7%95%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA" title="נגזרת כיוונית">נגזרת כיוונית</a></b> או נגזרת מכוונת של שדה סקלרי היא מספר המתאר כמה השתנתה הפונקציה כאשר הערך שהיא מקבלת השתנה בגודל <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99" class="mw-redirect" title="אינפיניטסימלי">אינפיניטסימלי</a> בכיוון מסוים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d125dccc556f5c8b0bf98a4f3847590b3f353bd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {n}}}"></span>. </p><p>כמו כל <a href="/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA" title="נגזרת">נגזרת</a>, ההגדרה הפורמלית נעשית באמצעות <a href="/wiki/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="גבול (מתמטיקה)">גבול</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\hat {n}}{f({\vec {r}})}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {r}}+h{\vec {n}})-f({\vec {r}})}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\hat {n}}{f({\vec {r}})}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {r}}+h{\vec {n}})-f({\vec {r}})}{h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00da93bb716fc2a53d2ae22295a66be2a7a77852" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:32.224ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\hat {n}}{f({\vec {r}})}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {r}}+h{\vec {n}})-f({\vec {r}})}{h}}}"></span></dd></dl> <p>אם השדה או הפונקציה <a href="/wiki/%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%91%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%95%D7%AA" class="mw-redirect" title="דיפרנציאביליות">דיפרנציאביליים</a> בתחום, אפשר לחשב את הנגזרת הכיוונית בקלות באמצעות הגרדיאנט, על ידי הנוסחה </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\hat {n}}{f({\vec {r}})}={\hat {n}}\cdot \left({\vec {\nabla }}f({\vec {r}})\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\hat {n}}{f({\vec {r}})}={\hat {n}}\cdot \left({\vec {\nabla }}f({\vec {r}})\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38531849a54829683199a864ae83d86ba003c1f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.648ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\hat {n}}{f({\vec {r}})}={\hat {n}}\cdot \left({\vec {\nabla }}f({\vec {r}})\right)}"></span></dd></dl> <p>כאשר ה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"></span> הוא סימון ל<a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%A1%D7%A7%D7%9C%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מכפלה סקלרית">מכפלה סקלרית</a>. </p><p><b>דוגמה:</b> נניח <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\,f(x,y,z)=x+y^{2}+z^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\,f(x,y,z)=x+y^{2}+z^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29af3f6c5cef5fae5567ad961d2702fa9950d376" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.387ex; width:23.584ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \!\,f(x,y,z)=x+y^{2}+z^{3}}"></span>. <br /> אזי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mbox{grad}}\ f=\nabla f=\left(\ 1\,\ 2y\,\ 3z^{2}\ \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>grad</mtext> </mstyle> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mtext> </mtext> <mn>2</mn> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mtext> </mtext> <mn>3</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mbox{grad}}\ f=\nabla f=\left(\ 1\,\ 2y\,\ 3z^{2}\ \right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8127a159d6bedb29572f428ab8700df13d076d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.814ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mbox{grad}}\ f=\nabla f=\left(\ 1\,\ 2y\,\ 3z^{2}\ \right)}"></span> </p><p>ואילו הנגזרת הכיוונית שלה כאשר נעים לאורך האלכסון הראשי של קובייה, כלומר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1,1,1\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1,1,1\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c28a8b50c33e582c16554574da765bc63d1236" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:16.179ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1,1,1\right)}"></span>, היא </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {n}}\cdot \nabla f={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1,1,1\right)\cdot \left(1,2y,3z^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1+2y+3z^{2}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {n}}\cdot \nabla f={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1,1,1\right)\cdot \left(1,2y,3z^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1+2y+3z^{2}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd2ee583c59cfbf662430120d3f1c78aa0460e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:55.755ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {n}}\cdot \nabla f={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1,1,1\right)\cdot \left(1,2y,3z^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1+2y+3z^{2}\right)}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="דיברגנץ"><span id=".D7.93.D7.99.D7.91.D7.A8.D7.92.D7.A0.D7.A5"></span>דיברגנץ</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=14" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דיברגנץ"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=14" title="עריכת פסקה: "דיברגנץ"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ה<b><a href="/wiki/%D7%93%D7%99%D7%91%D7%A8%D7%92%D7%A0%D7%A5" title="דיברגנץ">דיברגנץ</a></b> הוא מעין מדד לכמות ה<a href="/wiki/%D7%A9%D7%98%D7%A3" title="שטף">שטף</a> של שדה וקטורי שיוצא מנקודה כלשהי במרחב. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="שטף"><span id=".D7.A9.D7.98.D7.A3"></span>שטף</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=15" title="עריכת קוד המקור של הפרק: שטף"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=15" title="עריכת פסקה: "שטף"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>יהי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {F}}=F_{x}{\hat {x}}+F_{y}{\hat {y}}+F_{z}{\hat {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {F}}=F_{x}{\hat {x}}+F_{y}{\hat {y}}+F_{z}{\hat {z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c33e7b2ba2f5156b073108ea71cf7f27cea1d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.766ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {F}}=F_{x}{\hat {x}}+F_{y}{\hat {y}}+F_{z}{\hat {z}}}"></span> שדה וקטורי. אזי השטף של השדה F דרך שטח A מוגדר על ידי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\mbox{flux}}=\iint _{A}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>flux</mtext> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∬</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\mbox{flux}}=\iint _{A}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd26f1cab21b91608fd5d3a3a973ecbb45602f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.414ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ {\mbox{flux}}=\iint _{A}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}"></span> . אם השדה F קבוע אזי השטף שווה פשוט ל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b0dc511fd9e44796d3dbcd78d542ef72ebabdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.193ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {A}}}"></span> כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391292ffadc65b0cde3e96f23afcdb811619dd95" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {A}}}"></span> הוא וקטור שגודלו הוא גודל השטח A ובכיוונו הוא ניצב לשטח A (<a href="/wiki/%D7%A0%D7%95%D7%A8%D7%9E%D7%9C" class="mw-redirect" title="נורמל">נורמל</a>). </p><p>כדי להבין אינטואיטיבית את מושג השטף כדאי להשתמש באנלוגיה מתחום ה<a href="/wiki/%D7%A0%D7%95%D7%96%D7%9C" title="נוזל">נוזלים</a> והזרימה ולהסתכל על מרחב בו זורמים מים, ובו יש "ברזים" ו"חורי ניקוז" שיכולים להוסיף או לגרוע מים מהמרחב. </p><p>אם מסתכלים על קובייה דמיונית, ומודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים באופן חיובי ואילו מים שנכנסים פנימה באופן שלילי), ומחשבים את מאזן המים הכולל דרך הקוביה, אפשר לדעת מה סה"כ הספיקה של הברזים או חורי הניקוז. אם למשל יש רק ברזים שווים שמפוזרים, הרי מכל קובייה כזו יהיה שטף חיובי, ויהיה אפשר לדעת בעזרת מדידת השטף דרך דפנות הקובייה מה כמות הברזים הכלואה בה. אפשר לחשב גם את צפיפות ה"ברזים" (או "חורי ניקוז", אם השטף שלילי), על ידי חלוקה בנפח הקובייה. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="הגדרת_הדיברגנץ"><span id=".D7.94.D7.92.D7.93.D7.A8.D7.AA_.D7.94.D7.93.D7.99.D7.91.D7.A8.D7.92.D7.A0.D7.A5"></span>הגדרת הדיברגנץ</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=16" title="עריכת קוד המקור של הפרק: הגדרת הדיברגנץ"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=16" title="עריכת פסקה: "הגדרת הדיברגנץ"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז" - ב<a href="/wiki/%D7%A0%D7%A7%D7%95%D7%93%D7%94_(%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94)" title="נקודה (גאומטריה)">נקודה</a> במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9C" title="אינפיניטסימל">אינפינטסימלית</a> בעלת נפח V, ואז לוקחים את ה<a href="/wiki/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="גבול (מתמטיקה)">גבול</a> כאשר הנפח שלה שואף ל 0, כלומר: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mbox{div}}F=\lim _{V\to 0}{{\frac {1}{V}}\iint {{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>div</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>V</mi> </mfrac> </mrow> <mo>∬</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mbox{div}}F=\lim _{V\to 0}{{\frac {1}{V}}\iint {{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a4d04656f58cc7d5e62bbe33e1aa0bb19b2cf8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.425ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\mbox{div}}F=\lim _{V\to 0}{{\frac {1}{V}}\iint {{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}}}"></span></dd></dl> <p>כאשר ה<a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C" title="אינטגרל">אינטגרל</a> הוא על ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%98%D7%97_(%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94)" title="משטח (טופולוגיה)">משטח</a> (הסגור) העוטף את הנפח V. </p><p>בקואורדינטות קרטזיות, אפשר להראות שאת הדיברגנץ אפשר לחשב על ידי מכפלה סקלרית של אופרטור הדל בשדה: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>div</mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb628efd38d8060715cb970498062a071ccdd77c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.371ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}"></span></dd></dl> <p>כלומר על ידי <b>מכפלה סקלרית</b> סימבולית של האופרטור הווקטורי דל (משמאל) בפונקציה וקטורית (מימין) שנותן פונקציה סקלרית. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="רוטור_(Curl)"><span id=".D7.A8.D7.95.D7.98.D7.95.D7.A8_.28Curl.29"></span>רוטור (Curl)</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=17" title="עריכת קוד המקור של הפרק: רוטור (Curl)"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=17" title="עריכת פסקה: "רוטור (Curl)"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ה<b><a href="/wiki/%D7%A8%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A8_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="רוטור (מתמטיקה)">רוטור</a> (או Curl)</b>, הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת. </p><p>הרוטור מוגדר כך: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {curl} \ {\vec {F}}=\lim _{a_{i}\to 0}{{\frac {1}{a_{i}}}\oint _{c_{i}}{({\vec {F}}\cdot d{\vec {r}})\cdot {\hat {n}}_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>curl</mi> <mo>⁡</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {curl} \ {\vec {F}}=\lim _{a_{i}\to 0}{{\frac {1}{a_{i}}}\oint _{c_{i}}{({\vec {F}}\cdot d{\vec {r}})\cdot {\hat {n}}_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1571c05238cd2c78a650c296cb8282eaa1c32a15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.14ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {curl} \ {\vec {F}}=\lim _{a_{i}\to 0}{{\frac {1}{a_{i}}}\oint _{c_{i}}{({\vec {F}}\cdot d{\vec {r}})\cdot {\hat {n}}_{i}}}}"></span></dd></dl> <p>כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}"></span> מסמל גודל של משטחונים המחלקים שטח פנים של נפח מסוים, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.807ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}}"></span> מסמל את העקומים התוחמים כל אחד ממשטחונים אלו ו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {n}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {n}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30985040a3315335b50c0d59d3fd454a5834ad55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.194ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {n}}_{i}}"></span> מסמל את וקטורי היחידה המאונכים למשטחונים אלו. </p><p>ניתן להראות שבקאורדינטות קרטזיות הרוטור ניתן לחישוב על ידי מכפלה וקטורית של האופרטור דל בשדה: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \operatorname {curl} \ {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\hat {y}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>curl</mi> <mo>⁡</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \operatorname {curl} \ {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\hat {y}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2280fa29409684f944c7003d89e1036e49b917a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:78.228ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \ \operatorname {curl} \ {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\hat {y}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}}"></span></dd></dl> <p>צורת רישום קלה יותר לזכירה של הנוסחה לעיל היא באמצעות ה<a href="/wiki/%D7%93%D7%98%D7%A8%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%A0%D7%98%D7%94" title="דטרמיננטה">דטרמיננטה</a> של ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94" title="מטריצה">מטריצה</a> הבאה: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bb34ac5da04f06ddc7a41ecc5052d3d0f9d458" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.838ex; width:16.328ex; height:10.843ex;" alt="{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right]}"></span></dd></dl> <p>כלומר, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\det \left[{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\det \left[{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a3c8c41a5228c390c87bfdbe2d626af9a50300" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.838ex; width:29.591ex; height:10.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\det \left[{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right]}"></span></dd></dl> <p>בתנאי שמפתחים לפי השורה הראשונה. יש להדגיש כי זהו סימון שגוי מבחינה מתמטית (שהרי אופרטור גזירה אינו יכול להיות איבר במטריצה). </p><p>צורה אחרת היא באמצעות <a href="/wiki/%D7%98%D7%A0%D7%96%D7%95%D7%A8_%D7%9C%D7%95%D7%99-%D7%A6%27%D7%99%D7%95%D7%99%D7%98%D7%94" class="mw-redirect" title="טנזור לוי-צ'יויטה">טנזור לוי-צ'יויטה</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{i}(\partial _{j}F_{k})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{i}(\partial _{j}F_{k})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765a830d3e72438c4897bc57d61361239d34805e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.551ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{i}(\partial _{j}F_{k})}"></span></dd></dl> <p>כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon _{xyz}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon _{xyz}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16214a1837bd2179d61ec5daf20c1aafe290b8a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.964ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \epsilon _{xyz}=1}"></span> ושומר סימן לכל <a href="/wiki/%D7%AA%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="תמורה (מתמטיקה)">תמורה</a> ציקלית של האינדקסים, הופך סימן עבור <a href="/w/index.php?title=%D7%AA%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%90%D7%99-%D7%96%D7%95%D7%92%D7%99%D7%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="תמורה אי-זוגית (הדף אינו קיים)">תמורה אי-זוגית</a> של האינדקסים ומקבל את הערך אפס אם יש שני אינדקסים זהים. כמו כן, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{j}:={\frac {\partial }{\partial r_{j}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{j}:={\frac {\partial }{\partial r_{j}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd07addb0aaa2f9359eb4ae7b0f38ec94d422f8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:10.002ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \partial _{j}:={\frac {\partial }{\partial r_{j}}}}"></span></dd></dl> <p>הוא סימון מקוצר ל<a href="/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%AA" title="נגזרת חלקית">נגזרת החלקית</a> (למשל: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{r_{1}}=\partial _{r_{x}}=\partial _{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{r_{1}}=\partial _{r_{x}}=\partial _{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb035eee14abc1047e79baa43893e99fdd272fcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.779ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{r_{1}}=\partial _{r_{x}}=\partial _{x}}"></span> היא גזירה לפי x כאשר y ו-z מוחזקים כקבועים). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="לפלסיאן"><span id=".D7.9C.D7.A4.D7.9C.D7.A1.D7.99.D7.90.D7.9F"></span>לפלסיאן</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=18" title="עריכת קוד המקור של הפרק: לפלסיאן"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=18" title="עריכת פסקה: "לפלסיאן"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ה<a href="/wiki/%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1%D7%99%D7%90%D7%9F" title="לפלסיאן">לפלסיאן</a> הכללי מוגדר בקואורדינטות קרטזיות: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eefc48affee32bd8f34ccd7020bb48f8d70fb40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.556ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \ \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>כיוון שזהו אופרטור סקלרי הוא יכול לפעול הן על פונקציה סקלרית (על ידי כפל סימבולי רגיל משמאל), והן על פונקציה וקטורית (על ידי כפל בסקלר סימבולי משמאל). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="לפלסיאן_על_פונקציה_סקלרית"><span id=".D7.9C.D7.A4.D7.9C.D7.A1.D7.99.D7.90.D7.9F_.D7.A2.D7.9C_.D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.94_.D7.A1.D7.A7.D7.9C.D7.A8.D7.99.D7.AA"></span>לפלסיאן על פונקציה סקלרית</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=19" title="עריכת קוד המקור של הפרק: לפלסיאן על פונקציה סקלרית"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=19" title="עריכת פסקה: "לפלסיאן על פונקציה סקלרית"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>כאשר הלפלסיאן מופעל על פונקציה סקלרית ניתן להביע אותו גם כ </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}f=\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} \ f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>div</mi> <mo>⋅</mo> <mi>grad</mi> <mo>⁡</mo> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}f=\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} \ f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4dadbb8e7222f095a37c6d1346c08cd319ff54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:29.239ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}f=\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} \ f}"></span></dd></dl> <p>כלומר הדיברגנץ של הגרדיאנט של הפונקציה. </p><p>ב<a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA" class="mw-redirect" title="קואורדינטות פולריות">קואורדינטות פולריות</a> (קוטביות), </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dcb23c9835de2832f9846e20461f8801253425f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:31.023ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}}"></span> </p><p>ב<a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%9B%D7%93%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות כדוריות">קואורדינטות כדוריות (ספריות)</a>, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306208d660fe3fa51b1a87ca7a4b6098a6b74be5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:64.9ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>ביטוי זה נכון רק כשהוא פועל על פונקציה סקלרית. </p><p>פונקציה שהלפלסיאן שלה שווה לאפס ב<a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94_%D7%A4%D7%AA%D7%95%D7%97%D7%94" title="קבוצה פתוחה">קבוצה פתוחה</a> כלשהי נקראת <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%A8%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA" title="פונקציה הרמונית">פונקציה הרמונית</a> על קבוצה זו. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="אינטגרלים"><span id=".D7.90.D7.99.D7.A0.D7.98.D7.92.D7.A8.D7.9C.D7.99.D7.9D"></span>אינטגרלים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=20" title="עריכת קוד המקור של הפרק: אינטגרלים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=20" title="עריכת פסקה: "אינטגרלים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ה<a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C" title="אינטגרל">אינטגרל</a> של שדה סקלרי או שדה וקטורי. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="אינטגרל_מסלולי"><span id=".D7.90.D7.99.D7.A0.D7.98.D7.92.D7.A8.D7.9C_.D7.9E.D7.A1.D7.9C.D7.95.D7.9C.D7.99"></span>אינטגרל מסלולי</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=21" title="עריכת קוד המקור של הפרק: אינטגרל מסלולי"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=21" title="עריכת פסקה: "אינטגרל מסלולי"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/25px-Postscript-viewer-blue.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/38px-Postscript-viewer-blue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/50px-Postscript-viewer-blue.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></span></span> ערך מורחב – <b><a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C_%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%99" title="אינטגרל קווי">אינטגרל קווי</a></b><br /></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="אינטגרל_משטחי"><span id=".D7.90.D7.99.D7.A0.D7.98.D7.92.D7.A8.D7.9C_.D7.9E.D7.A9.D7.98.D7.97.D7.99"></span>אינטגרל משטחי</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=22" title="עריכת קוד המקור של הפרק: אינטגרל משטחי"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=22" title="עריכת פסקה: "אינטגרל משטחי"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="plainlinks" style="border: 1px solid #ddd;font-size:smaller; text-align: right; padding:5px 1em 5px 1em; width: auto;">פרק זה לוקה בחסר. אנא <a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%91%D7%90%D7%99%D7%9D#כתיבה_לוויקיפדיה" title="ויקיפדיה:ברוכים הבאים">תרמו</a> לוויקיפדיה ו<a class="external text" href="https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit">השלימו אותו</a>. ייתכן שתמצאו פירוט ב<a href="/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA#כן" title="שיחה:אנליזה וקטורית">דף השיחה</a>. </div> <dl><dd><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/25px-Postscript-viewer-blue.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/38px-Postscript-viewer-blue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/50px-Postscript-viewer-blue.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></span></span> ערך מורחב – <b><a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C_%D7%9E%D7%A9%D7%98%D7%97%D7%99" title="אינטגרל משטחי">אינטגרל משטחי</a></b><br /></dd></dl> <p>באנליזה וקטורית ישנם שני סוגי <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C_%D7%9E%D7%A9%D7%98%D7%97%D7%99" title="אינטגרל משטחי">אינטגרל משטחי</a>: </p> <ol><li>אינטגרל משטחי מסוג ראשון: <dl><dd>אינטגרל של שדה סקלרי: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{S}f({\vec {r}})\,\mathrm {d} S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{S}f({\vec {r}})\,\mathrm {d} S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23447537212c1037731250c5eebd073358f9d685" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:10.462ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{S}f({\vec {r}})\,\mathrm {d} S}"></span></dd></dl></li> <li>אינטגרל משטחי מסוג שני: <dl><dd>אינטגרל של שדה וקטורי: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b744ff561d04b28b3906e02db8b5d5623b7030" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.025ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} S}"></span></dd></dl></li></ol> <p>כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}={\hat {n}}\,\mathrm {d} S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}={\hat {n}}\,\mathrm {d} S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05de69604e92763f9361eb883c4d99e85d6bf257" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.503ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}={\hat {n}}\,\mathrm {d} S}"></span> הוא וקטור משטח אינפיניטסימלי שגודלו כגודל השטח האיפיניטסימלי וכיווני ניצב למשטח (הווקטור <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d125dccc556f5c8b0bf98a4f3847590b3f353bd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {n}}}"></span> הוא <a href="/wiki/%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%A0%D7%95%D7%A8%D7%9E%D7%9C" class="mw-redirect" title="וקטור נורמל">וקטור יחידה נורמל</a> הניצב למשטח). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="אינטגרל_מרובה"><span id=".D7.90.D7.99.D7.A0.D7.98.D7.92.D7.A8.D7.9C_.D7.9E.D7.A8.D7.95.D7.91.D7.94"></span>אינטגרל מרובה</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=23" title="עריכת קוד המקור של הפרק: אינטגרל מרובה"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=23" title="עריכת פסקה: "אינטגרל מרובה"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/25px-Postscript-viewer-blue.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/38px-Postscript-viewer-blue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/50px-Postscript-viewer-blue.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></span></span> ערכים מורחבים – <b><a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C_%D7%9B%D7%A4%D7%95%D7%9C" class="mw-redirect" title="אינטגרל כפול">אינטגרל כפול</a>, <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%9C%D7%A9" class="mw-redirect" title="אינטגרל משולש">אינטגרל משולש</a></b><br /></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="משפטי_יסוד_באנליזה_וקטורית"><span id=".D7.9E.D7.A9.D7.A4.D7.98.D7.99_.D7.99.D7.A1.D7.95.D7.93_.D7.91.D7.90.D7.A0.D7.9C.D7.99.D7.96.D7.94_.D7.95.D7.A7.D7.98.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.AA"></span>משפטי יסוד באנליזה וקטורית</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=24" title="עריכת קוד המקור של הפרק: משפטי יסוד באנליזה וקטורית"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=24" title="עריכת פסקה: "משפטי יסוד באנליזה וקטורית"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="זהויות של נגזרות וקטוריות (הדף אינו קיים)">זהויות של נגזרות וקטוריות</a> <ol><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}f)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}f)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7553ee70e220f31736a3ae5f226ed8c168977f40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.642ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}f)=0}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bec3a3bd24ee764e7ae001bddc95e050346b552" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.813ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})=0}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}f)=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }})f=\nabla ^{2}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}f)=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }})f=\nabla ^{2}f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387be626f5b815d24b5be5215bceedad4aedcf7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.324ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}f)=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }})f=\nabla ^{2}f}"></span></li></ol></li> <li><a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%94%D7%92%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%90%D7%A0%D7%98" title="משפט הגרדיאנט">משפט הגרדיאנט</a> <dl><dd>אינטגרל מסלולי מנקודה a לנקודה b של גרדיאנט של פונקציה סקלרית מקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{C}{{\vec {\nabla }}f({\vec {r}})\cdot d{\vec {l}}}=f({\vec {b}})-f({\vec {a}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{C}{{\vec {\nabla }}f({\vec {r}})\cdot d{\vec {l}}}=f({\vec {b}})-f({\vec {a}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3ea04c6cf3accc2497247508ea8f25e8e40ff4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.028ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{C}{{\vec {\nabla }}f({\vec {r}})\cdot d{\vec {l}}}=f({\vec {b}})-f({\vec {a}})}"></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%A1" title="משפט גאוס">משפט גאוס</a> (משפט הדיברגנץ): <dl><dd>האינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי של דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח. כלומר: <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \oint _{\partial V}{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}=\int _{V}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}\ \mathrm {d} V}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \oint _{\partial V}{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}=\int _{V}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}\ \mathrm {d} V}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606b02106ddfe4006a92b80203646a89601a525e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.881ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ \oint _{\partial V}{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}=\int _{V}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}\ \mathrm {d} V}}"></span></dd></dl></dd></dl></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A1%D7%98%D7%95%D7%A7%D7%A1" title="משפט סטוקס">משפט סטוקס</a> <dl><dd>האינטגרל המסלולי של פונקציה וקטורית על מסלול סגור שמהווה שפת משטח שווה לאינטגרל המשטחי של רוטור אותה פונקציה על המשטח. <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \oint _{\partial A}{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}=\int _{A}{({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \oint _{\partial A}{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}=\int _{A}{({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514720b442b27fa816f3ed9912151aa157975d33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.324ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ \oint _{\partial A}{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}=\int _{A}{({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}}"></span></dd></dl></dd></dl></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="יישומים"><span id=".D7.99.D7.99.D7.A9.D7.95.D7.9E.D7.99.D7.9D"></span>יישומים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=25" title="עריכת קוד המקור של הפרק: יישומים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=25" title="עריכת פסקה: "יישומים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%D7%A4%D7%99%D7%96%D7%99%D7%A7%D7%94" title="פיזיקה">פיזיקה</a> ו<a href="/wiki/%D7%94%D7%A0%D7%93%D7%A1%D7%94" title="הנדסה">הנדסה</a> <ul><li><a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%A7%D7%98%D7%A8%D7%95%D7%9E%D7%92%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA" title="אלקטרומגנטיות">אלקטרומגנטיות</a></li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ראו_גם"><span id=".D7.A8.D7.90.D7.95_.D7.92.D7.9D"></span>ראו גם</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=26" title="עריכת קוד המקור של הפרק: ראו גם"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=26" title="עריכת פסקה: "ראו גם"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%D7%93%D7%9C_%D7%91%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%95%D7%AA_%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%AA" title="דל במערכות צירים שונות">דל במערכות צירים שונות</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="גאומטריה דיפרנציאלית">גאומטריה דיפרנציאלית</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="לקריאה_נוספת"><span id=".D7.9C.D7.A7.D7.A8.D7.99.D7.90.D7.94_.D7.A0.D7.95.D7.A1.D7.A4.D7.AA"></span>לקריאה נוספת</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=27" title="עריכת קוד המקור של הפרק: לקריאה נוספת"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=27" title="עריכת פסקה: "לקריאה נוספת"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://youtu.be/_OApmaqgG_I?list=PLW6KNQoisKdsaND4eIPz3Ye9cA4ShlOy8">HIT אנליזה ווקטורית</a> - וידאו עם הסברים אינטואיטיביים בעברית של כלל המושגים</li> <li>מורי ר. שפיגל, <b>אנליזה וקטורית</b>, <a href="/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%AA_%D7%A9%D7%90%D7%95%D7%9D" title="סדרת שאום">סדרת שאום</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2014/10/mathbbe3.html">זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב</a> בבלוג "<a rel="nofollow" class="external text" href="http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/">רשימות בפיזיקה עיונית</a>"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2015/07/02/vector_analysis_intro/">אנליזה וקטורית - מבוא</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2015/07/05/multivariable_derivatives/">אנליזה וקטורית – נגזרת ונגזרת חלקית</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2015/08/19/multivariable_derivative_properties/">אנליזה וקטורית – תכונות בסיסיות של הנגזרת</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2015/10/15/vector_calculus_critical_points/">אנליזה וקטורית – מציאת ערכי קיצון</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2015/10/29/inverse_and_implicit_function/">משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2015/11/09/d-dimensional_integrals/">אינטגרלים כפולים, משולשים ו-d-ממדיים</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2015/12/31/calculus_change_of_variables/">החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ("שיטת ההצבה")</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2016/02/29/improper_integrals/">מידת ז'ורדן ואינטגרלים מוכללים</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2016/04/12/general_change_of_variables/">החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – המשפט הכללי</a>, באתר "לא מדויק"</li> <li>גדי אלכסנדרוביץ', <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gadial.net/2016/08/21/stokes_theorem_overview/">על יריעות ותבניות (מה משפט סטוקס אומר, בגדול)</a>, באתר "לא מדויק"</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="קישורים_חיצוניים"><span id=".D7.A7.D7.99.D7.A9.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.9D_.D7.97.D7.99.D7.A6.D7.95.D7.A0.D7.99.D7.99.D7.9D"></span>קישורים חיצוניים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&action=edit&section=28" title="עריכת קוד המקור של הפרק: קישורים חיצוניים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&veaction=edit&section=28" title="עריכת פסקה: "קישורים חיצוניים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="sistersitebox plainlinks noprint" style="margin: 0 1em 0.5em 0;float: left;"><tbody><tr><th style="text-align:center">מיזמי <a href="/wiki/%D7%A7%D7%A8%D7%9F_%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%9E%D7%93%D7%99%D7%94" title="קרן ויקימדיה">קרן ויקימדיה</a></th></tr><tr><td><div class="sisterwikilinkT"><span typeof="mw:File"><span title="ויקימילון"><img alt="ויקימילון" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wiktionary-logo-he.png/20px-Wiktionary-logo-he.png" decoding="async" width="20" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wiktionary-logo-he.png/30px-Wiktionary-logo-he.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wiktionary-logo-he.png/40px-Wiktionary-logo-he.png 2x" data-file-width="135" data-file-height="135" /></span></span> ערך מילוני בוויקימילון: <b><a href="https://he.wiktionary.org/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" class="extiw" title="wikt:אנליזה וקטורית">אנליזה וקטורית</a></b></div></td></tr><tr><td><div class="sisterwikilinkT"><span typeof="mw:File"><span title="ויקישיתוף"><img alt="ויקישיתוף" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/20px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/40px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span> תמונות ומדיה בוויקישיתוף: <b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Vector_calculus" class="extiw" title="commons:Category:Vector calculus">אנליזה וקטורית</a></b></div></td></tr></tbody></table><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r36773993">.mw-parser-output .sistersitebox{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9}</style> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/vector-analysis">אנליזה וקטורית</a>, באתר <a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%A7%D7%9C%D7%95%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94_%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A0%D7%99%D7%A7%D7%94" title="אנציקלופדיה בריטניקה">אנציקלופדיה בריטניקה</a> <span dir="rtl" class="languageicon">(באנגלית)</span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r36549940">.mw-parser-output .languageicon{font-size:0.95em;font-weight:bold;color:#555}</style></li></ul> <p><br /> </p> <table class="navbox nowraplinks mw-collapsible autocollapse" style="width: 90%; clear: both; margin: 0.5em auto; margin-top: 0.5em; margin-bottom: 0.5em; padding: 0.2em; text-align: right;"> <tbody><tr> <th colspan="3" style="text-align: center; padding-top: 0.1em; padding-bottom: 0.1em; color: black; background:#d1eeee; font-weight: bold;"><a class="mw-selflink selflink">אנליזה וקטורית</a> </th></tr> <tr> <td style="background-color: #F2F3F4; text-align: right; font-weight: bold; padding-left: 5px;">מושגים </td> <td style="padding-right: 5px; text-align: right;"><a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%AA_-_%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%97%D7%99%D7%9D" title="אנליזה מתמטית - מונחים">אנליזה מתמטית - מונחים</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי">מרחב וקטורי</a> • <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%A7%D7%9C%D7%A8%D7%99" title="שדה סקלרי">שדה סקלרי</a> • <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="שדה וקטורי">שדה וקטורי</a> • <a href="/wiki/%D7%92%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%90%D7%A0%D7%98" title="גרדיאנט">גרדיאנט</a> • <a href="/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA_%D7%9B%D7%99%D7%95%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA" title="נגזרת כיוונית">נגזרת כיוונית</a> • <a href="/wiki/%D7%93%D7%99%D7%91%D7%A8%D7%92%D7%A0%D7%A5" title="דיברגנץ">דיברגנץ</a> • <a href="/wiki/%D7%A8%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A8_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="רוטור (מתמטיקה)">רוטור</a> • <a href="/wiki/%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1%D7%99%D7%90%D7%9F" title="לפלסיאן">לפלסיאן</a> • <a href="/wiki/%D7%93%D7%9C_%D7%91%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%95%D7%AA_%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%AA" title="דל במערכות צירים שונות">דל במערכות צירים שונות</a> • <a href="/wiki/%D7%93%27%D7%90%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%A8%D7%98%D7%99%D7%90%D7%9F" title="ד'אלמברטיאן">ד'אלמברטיאן</a> • <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="פוטנציאל וקטורי (מתמטיקה)">פוטנציאל וקטורי</a> </td></tr> <tr> <td style="background-color: #F2F3F4; text-align: right; font-weight: bold; padding-left: 5px;">משפטים </td> <td style="padding-right: 5px; text-align: right;"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%A1" title="משפט גאוס">משפט גאוס</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%9F" title="משפט גרין">משפט גרין</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%94%D7%92%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%90%D7%A0%D7%98" title="משפט הגרדיאנט">משפט הגרדיאנט</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A1%D7%98%D7%95%D7%A7%D7%A1" title="משפט סטוקס">משפט סטוקס</a> </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="background-color: #F2F3F4; text-align: center; font-weight: bold;"><a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%AA" title="אנליזה מתמטית">אנליזה מתמטית</a> • <a class="mw-selflink selflink">אנליזה וקטורית</a> • <a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94" title="טופולוגיה">טופולוגיה</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%91%D7%AA" title="אנליזה מרוכבת">אנליזה מרוכבת</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="אנליזה פונקציונלית">אנליזה פונקציונלית</a> • <a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%9E%D7%99%D7%93%D7%94" title="תורת המידה">תורת המידה</a> • <a href="/wiki/%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="גאומטריה דיפרנציאלית">גאומטריה דיפרנציאלית</a> </td></tr> </tbody></table> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="בקרת_זהויות_15px&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q200802?uselang=he&#124;עריכת_הנתון_בוויקינתונים" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="בקרת_זהויות_15px&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q200802?uselang=he&#124;עריכת_הנתון_בוויקינתונים" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%91%D7%A7%D7%A8%D7%AA_%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA" title="עזרה:בקרת זהויות">בקרת זהויות</a> <span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q200802?uselang=he" title="עריכת הנתון בוויקינתונים"><img alt="עריכת הנתון בוויקינתונים" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/15px-Blue_pencil_RTL.svg.png" decoding="async" width="15" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/23px-Blue_pencil_RTL.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/30px-Blue_pencil_RTL.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-right-width:2px;border-right-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><div dir="ltr"> <ul><li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%93%D7%99%D7%90%D7%98_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA" title="ספריית הדיאט הלאומית">NDL</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00560585">00560585</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%A6%27%D7%9B%D7%99%D7%94" title="הספרייה הלאומית של צ'כיה">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph293195&CON_LNG=ENG">ph293195</a></span></span></li></ul> </div></div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">אוחזר מתוך "<a dir="ltr" href="https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=אנליזה_וקטורית&oldid=39733389">https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=אנליזה_וקטורית&oldid=39733389</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94" title="ויקיפדיה:קטגוריה">קטגוריות</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="קטגוריה:אנליזה וקטורית">אנליזה וקטורית</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%AA" title="קטגוריה:אנליזה מתמטית">אנליזה מתמטית</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">קטגוריות מוסתרות: <ul><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%94_-_%D7%9E%D7%93%D7%A2%D7%99_%D7%94%D7%98%D7%91%D7%A2" title="קטגוריה:ויקיפדיה: השלמה - מדעי הטבע">ויקיפדיה: השלמה - מדעי הטבע</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%AA%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%AA_%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A0%D7%99%D7%A7%D7%94" title="קטגוריה:ערכים עם תבנית בריטניקה">ערכים עם תבנית בריטניקה</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_NDL" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NDL">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NDL</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_NKC" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NKC">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NKC</a></li></ul></div></div> </div> </main> <div id='mw-data-after-content'> <div class="read-more-container"></div> </div> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> דף זה נערך לאחרונה ב־3 באוקטובר 2024, בשעה 16:39.</li> <li id="footer-info-copyright">הטקסט מוגש בכפוף לרישיון <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.he">Creative Commons ייחוס-שיתוף זהה 4.0</a>; ייתכן שישנם תנאים נוספים. ר׳ את <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">תנאי השימוש</a> לפרטים.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">מדיניות פרטיות</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%90%D7%95%D7%93%D7%95%D7%AA">אודות ויקיפדיה</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%94%D7%91%D7%94%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA">הבהרות משפטיות</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">קוד התנהגות</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">מפתחים</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/he.wikipedia.org">סטטיסטיקות</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">הצהרה על עוגיות</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//he.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">תצוגת מכשירים ניידים</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-78f4c97c5d-w4rvs","wgBackendResponseTime":224,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.246","walltime":"0.442","ppvisitednodes":{"value":1250,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":15513,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":2712,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":9,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":3889,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 178.205 1 -total"," 28.80% 51.317 1 תבנית:מיזמים"," 18.58% 33.112 3 תבנית:הפניה_לערך_מורחב"," 18.03% 32.130 1 תבנית:בריטניקה"," 11.35% 20.222 1 תבנית:בקרת_זהויות"," 9.96% 17.749 1 תבנית:אנליזה_וקטורית"," 7.93% 14.140 1 תבנית:ניווט_קבוצות"," 6.24% 11.125 1 תבנית:שם_הדף_בלי_הסוגריים"," 5.54% 9.876 1 תבנית:אנגלית"," 5.16% 9.194 1 תבנית:קידוד_תווים_מיוחדים"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.052","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1414707,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-59856bd7d8-cdg8h","timestamp":"20241119181519","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u05d0\u05e0\u05dc\u05d9\u05d6\u05d4 \u05d5\u05e7\u05d8\u05d5\u05e8\u05d9\u05ea","url":"https:\/\/he.wikipedia.org\/wiki\/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q200802","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q200802","author":{"@type":"Organization","name":"\u05ea\u05d5\u05e8\u05de\u05d9\u05dd \u05dc\u05de\u05d9\u05d6\u05de\u05d9 \u05d5\u05d9\u05e7\u05d9\u05de\u05d3\u05d9\u05d4"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-09-29T13:31:32Z","dateModified":"2024-10-03T14:39:45Z","headline":"\u05ea\u05d7\u05d5\u05dd \u05d1\u05de\u05ea\u05de\u05d8\u05d9\u05e7\u05d4"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

אנליזה וקטורית – ויקיפדיה