Rotación - Wikipedia

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id="toc-Exa_de_rotación" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Exa_de_rotación"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4</span> <span>Exa de rotación</span> </div> </a> <ul id="toc-Exa_de_rotación-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Rotación_en_matemátiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Rotación_en_matemátiques"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Rotación en matemátiques</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Rotación_en_matemátiques-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Rotación en matemátiques</span> </button> <ul id="toc-Rotación_en_matemátiques-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Introducción_matemática" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Introducción_matemática"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Introducción matemática</span> </div> </a> <ul id="toc-Introducción_matemática-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Rotaciones_nel_planu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Rotaciones_nel_planu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Rotaciones nel planu</span> </div> </a> <ul id="toc-Rotaciones_nel_planu-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Espresión_matricial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Espresión_matricial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.1</span> <span>Espresión matricial</span> </div> </a> <ul id="toc-Espresión_matricial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espresión_por_aciu_númberos_complexos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Espresión_por_aciu_númberos_complexos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.2</span> <span>Espresión por aciu númberos complexos</span> </div> </a> <ul id="toc-Espresión_por_aciu_númberos_complexos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Teorema_de_rotación_de_Euler" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teorema_de_rotación_de_Euler"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Teorema de rotación de Euler</span> </div> </a> <ul id="toc-Teorema_de_rotación_de_Euler-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Rotaciones_nel_espaciu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Rotaciones_nel_espaciu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Rotaciones nel espaciu</span> </div> </a> <ul id="toc-Rotaciones_nel_espaciu-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Espresión_vectorial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Espresión_vectorial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4.1</span> <span>Espresión vectorial</span> </div> </a> <ul id="toc-Espresión_vectorial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espresiones_matriciales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Espresiones_matriciales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4.2</span> <span>Espresiones matriciales</span> </div> </a> <ul id="toc-Espresiones_matriciales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espresiones_vectoriales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Espresiones_vectoriales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4.3</span> <span>Espresiones vectoriales</span> </div> </a> <ul id="toc-Espresiones_vectoriales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ángulos_de_Euler" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Ángulos_de_Euler"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4.4</span> <span>Ángulos de Euler</span> </div> </a> <ul id="toc-Ángulos_de_Euler-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Parámetros_de_Euler-Rodrigues_y_cuaterniones" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Parámetros_de_Euler-Rodrigues_y_cuaterniones"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4.5</span> <span>Parámetros de Euler-Rodrigues y cuaterniones</span> </div> </a> <ul id="toc-Parámetros_de_Euler-Rodrigues_y_cuaterniones-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Teoría_de_grupos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoría_de_grupos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Teoría de grupos</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoría_de_grupos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Rotaciones_frente_a_traslaciones" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Rotaciones_frente_a_traslaciones"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5.1</span> <span>Rotaciones frente a traslaciones</span> </div> </a> <ul id="toc-Rotaciones_frente_a_traslaciones-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Rotaciones_frente_a_reflexones_ya_inversiones" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Rotaciones_frente_a_reflexones_ya_inversiones"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5.2</span> <span>Rotaciones frente a reflexones ya inversiones</span> </div> </a> <ul id="toc-Rotaciones_frente_a_reflexones_ya_inversiones-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Perceición_de_les_rotaciones" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Perceición_de_les_rotaciones"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Perceición de les rotaciones</span> </div> </a> <ul id="toc-Perceición_de_les_rotaciones-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ver_tamién" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_tamién"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Ver tamién</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_tamién-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencies" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencies"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Referencies</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Referencies-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Referencies</span> </button> <ul id="toc-Referencies-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteníu" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Rotación</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 76 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-76" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">76 llingües</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D9%88%D8%B1%D8%A7%D9%86" title="دوران – árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دوران" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8A%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B5" title="Въртене – búlgaru" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Въртене" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaru" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%98%E0%A5%82%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A3%E0%A4%A8" title="घूर्णन – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="घूर्णन" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%98%E0%A7%82%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%A3%E0%A6%A8" title="ঘূর্ণন – bengalín" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ঘূর্ণন" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalín" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%A0%E0%BD%81%E0%BD%BC%E0%BD%A2%E0%BC%8B%E0%BD%A0%E0%BD%82%E0%BE%B2%E0%BD%BC%E0%BD%A6%E0%BC%8D" title="འཁོར་འགྲོས། – tibetanu" lang="bo" hreflang="bo" data-title="འཁོར་འགྲོས།" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="tibetanu" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Rotacija" title="Rotacija – bosniu" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Rotacija" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosniu" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3" title="Rotació – catalán" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Rotació" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D9%88%D9%84%D8%A7%D9%86%DB%95%D9%88%DB%95" title="خولانەوە – kurdu central" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="خولانەوە" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdu central" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Ot%C3%A1%C4%8Den%C3%AD" title="Otáčení – checu" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Otáčení" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checu" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%C3%87%D0%B0%D0%B2%D1%80%C4%83%D0%BD%D1%83" title="Çаврăну – chuvash" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Çаврăну" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvash" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Rotation" title="Rotation – danés" lang="da" hreflang="da" data-title="Rotation" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_(Physik)" title="Rotation (Physik) – alemán" lang="de" hreflang="de" data-title="Rotation (Physik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%86%CE%AE" title="Περιστροφή – griegu" lang="el" hreflang="el" data-title="Περιστροφή" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="griegu" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation" title="Rotation – inglés" lang="en" hreflang="en" data-title="Rotation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Rotacio" title="Rotacio – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Rotacio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n" title="Movimiento de rotación – español" lang="es" hreflang="es" data-title="Movimiento de rotación" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="español" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/P%C3%B6%C3%B6rlemine" title="Pöörlemine – estoniu" lang="et" hreflang="et" data-title="Pöörlemine" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoniu" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Errotazio" title="Errotazio – vascu" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Errotazio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="vascu" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D9%88%D8%B1%D8%A7%D9%86_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87)" title="دوران (هندسه) – persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="دوران (هندسه)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Py%C3%B6rimisliike" title="Pyörimisliike – finlandés" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Pyörimisliike" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_(physique)" title="Rotation (physique) – francés" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Rotation (physique)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Rothl%C3%BA" title="Rothlú – irlandés" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Rothlú" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3n" title="Rotación – gallegu" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Rotación" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallegu" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%91%D7%95%D7%91" title="סיבוב – hebréu" lang="he" hreflang="he" data-title="סיבוב" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebréu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%98%E0%A5%82%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A3%E0%A4%A8" title="घूर्णन – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="घूर्णन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Vrtnja" title="Vrtnja – croata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Vrtnja" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Forg%C3%B3mozg%C3%A1s" title="Forgómozgás – húngaru" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Forgómozgás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaru" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Perputaran" title="Perputaran – indonesiu" lang="id" hreflang="id" data-title="Perputaran" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesiu" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Rotaco" title="Rotaco – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Rotaco" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione" title="Rotazione – italianu" lang="it" hreflang="it" data-title="Rotazione" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italianu" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2" title="回転 – xaponés" lang="ja" hreflang="ja" data-title="回転" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="xaponés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Rotasi" title="Rotasi – xavanés" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Rotasi" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="xavanés" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%83" title="Айналу – kazaquistanín" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Айналу" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazaquistanín" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%AA%E0%B2%B0%E0%B2%BF%E0%B2%AD%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B2%AE%E0%B2%A3" title="ಪರಿಭ್ರಮಣ – canarés" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಪರಿಭ್ರಮಣ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="canarés" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%9A%8C%EC%A0%84" title="회전 – coreanu" lang="ko" hreflang="ko" data-title="회전" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreanu" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Rotatio" title="Rotatio – llatín" lang="la" hreflang="la" data-title="Rotatio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="llatín" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Rot%C4%81cija" title="Rotācija – letón" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Rotācija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letón" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%80%D1%82%D0%B5%D1%9A%D0%B5" title="Вртење – macedoniu" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Вртење" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoniu" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AD%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%AE%E0%B4%A3%E0%B4%82" title="ഭ്രമണം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഭ്രമണം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%80%D0%B3%D1%8D%D0%BB%D1%82" title="Эргэлт – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Эргэлт" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7" title="अक्ष – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="अक्ष" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Putaran" title="Putaran – malayu" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Putaran" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayu" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%9C%E1%80%BE%E1%80%8A%E1%80%B7%E1%80%BA%E1%80%9C%E1%80%8A%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%BE%E1%80%AF" title="လှည့်လည်မှု – birmanu" lang="my" hreflang="my" data-title="လှည့်လည်မှု" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmanu" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Rotatschoon_(Physik)" title="Rotatschoon (Physik) – baxu alemán" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Rotatschoon (Physik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="baxu alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Rotatie_(natuurkunde)" title="Rotatie (natuurkunde) – neerlandés" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Rotatie (natuurkunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Rotasjon" title="Rotasjon – noruegu Nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Rotasjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruegu Nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Rotasjon" title="Rotasjon – noruegu Bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Rotasjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruegu Bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Sochiin_Maraamarto" title="Sochiin Maraamarto – oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Sochiin Maraamarto" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%97%E0%A9%87%E0%A9%9C%E0%A8%BE" title="ਗੇੜਾ – punyabí" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਗੇੜਾ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="punyabí" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Obr%C3%B3t" title="Obrót – polacu" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Obrót" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polacu" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Movimento_de_rota%C3%A7%C3%A3o" title="Movimento de rotação – portugués" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Movimento de rotação" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Rota%C8%9Bie" title="Rotație – rumanu" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Rotație" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumanu" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Вращение – rusu" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Вращение" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rusu" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Rutazzioni" title="Rutazzioni – sicilianu" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Rutazzioni" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilianu" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Rotacija" title="Rotacija – serbo-croata" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Rotacija" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B7%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B6%B8%E0%B6%AB%E0%B6%BA" title="භ්‍රමණය – cingalés" lang="si" hreflang="si" data-title="භ්‍රමණය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalés" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Rotation" title="Rotation – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Rotation" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Vrtenje" title="Vrtenje – eslovenu" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Vrtenje" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="eslovenu" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Dendera" title="Dendera – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Dendera" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Wareega_Meere" title="Wareega Meere – somalín" lang="so" hreflang="so" data-title="Wareega Meere" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somalín" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Rotaciono_kretanje_%C4%8Dvrstog_tela" title="Rotaciono kretanje čvrstog tela – serbiu" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Rotaciono kretanje čvrstog tela" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbiu" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Puteran" title="Puteran – sondanés" lang="su" hreflang="su" data-title="Puteran" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sondanés" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Rotation" title="Rotation – suecu" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Rotation" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suecu" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Kujizungusha" title="Kujizungusha – suaḥili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Kujizungusha" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suaḥili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AF%81%E0%AE%B4%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%9A%E0%AE%BF" title="சுழற்சி – tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சுழற்சி" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%AD%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B0%AE%E0%B0%A3%E0%B0%82" title="భ్రమణం – telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="భ్రమణం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%99" title="การหมุน – tailandés" lang="th" hreflang="th" data-title="การหมุน" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandés" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pag-ikot" title="Pag-ikot – tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pag-ikot" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/D%C3%B6nme" title="Dönme – turcu" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Dönme" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turcu" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обертання – ucraín" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Обертання" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraín" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Quay" title="Quay – vietnamín" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Quay" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamín" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E8%BD%AC%E5%8A%A8" title="转动 – chinu wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="转动" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chinu wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/Ukujikeleza_ndawonye" title="Ukujikeleza ndawonye – xhosa" lang="xh" hreflang="xh" data-title="Ukujikeleza ndawonye" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="xhosa" class="interlanguage-link-target"><span>IsiXhosa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BD%AC%E5%8A%A8" title="转动 – chinu" lang="zh" hreflang="zh" data-title="转动" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinu" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E8%BD%89" title="自轉 – chinu lliterariu" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="自轉" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chinu lliterariu" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E8%BD%89%E5%8B%95" title="轉動 – cantonés" lang="yue" hreflang="yue" data-title="轉動" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q107617#sitelinks-wikipedia" title="Editar los enllaces d'interllingua" class="wbc-editpage">Editar los enllaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nome"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul 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mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit" title="Editar el códigu fonte d'esta páxina [e]" accesskey="e"><span>Editar la fonte</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=history" title="Versiones antigües d'esta páxina [h]" accesskey="h"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramientes de páxina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ferramientes" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled 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mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=history"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Xeneral </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:LoQueEnlazaAqu%C3%AD/Rotaci%C3%B3n" title="Llista de toles páxines wiki qu'enllacien equí [j]" accesskey="j"><span>Lo qu'enllaza equí</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:CambiosEnEnlazadas/Rotaci%C3%B3n" rel="nofollow" title="Cambios recientes nes páxines enllazaes dende esta [k]" accesskey="k"><span>Cambios rellacionaos</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=ast" title="Xubir ficheros [u]" accesskey="u"><span>Xubir ficheru</span></a></li><li id="t-specialpages" 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id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fast.wikipedia.org%2Fwiki%2FRotaci%25C3%25B3n"><span>Xenerar códigu QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprentar/esportar </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=book_creator&referer=Rotaci%C3%B3n"><span>Crear un llibru</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=Rotaci%C3%B3n&action=show-download-screen"><span>Descargar como PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&printable=yes" title="Versión imprentable d'esta páxina [p]" accesskey="p"><span>Versión pa imprentar</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> N'otros proyeutos </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rotation" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q107617" title="Enllaz al elementu del depósitu de datos coneutáu [g]" accesskey="g"><span>Elementu de Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramientes de páxina"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apariencia"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apariencia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover a la barra llateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">despintar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-tradubot" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><span typeof="mw:File"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n" title="Esti artículu foi traducíu automáticamente y precisa revisase manualmente"><img alt="Esti artículu foi traducíu automáticamente y precisa revisase manualmente" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Robot_icon.svg/16px-Robot_icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Robot_icon.svg/24px-Robot_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Robot_icon.svg/32px-Robot_icon.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ast" dir="ltr"><table class="infobox plantia-xeografia" style="font-size:90%;width:25em"><tbody><tr><th colspan="2" style="text-align:center;font-size:125%;font-weight:bold;background-color: #d9b38c">Rotación</th></tr><tr><td colspan="2" style="text-align:center"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheru:Rotating_earth_(large).gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Rotating_earth_%28large%29.gif/280px-Rotating_earth_%28large%29.gif" decoding="async" width="280" height="280" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Rotating_earth_%28large%29.gif 1.5x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a></span></td></tr><tr><th colspan="2" style="text-align:center;background-color: #d9b38c">Situación</th></tr><tr><th colspan="2" style="text-align:center;background-color: #d9b38c">Datos</th></tr><tr><td colspan="2" style="text-align:right"><span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q107617" title="Cambiar los datos en Wikidata"><img alt="Cambiar los datos en Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/12px-Arbcom_ru_editing.svg.png" decoding="async" width="12" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/18px-Arbcom_ru_editing.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/24px-Arbcom_ru_editing.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></td></tr></tbody></table> <p><b>Rotación</b> ye'l movimientu de cambéu d'<a href="/w/index.php?title=Orientaci%C3%B3n_(xeometr%C3%ADa)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Orientación (xeometría) (la páxina nun esiste)">orientación</a> d'un cuerpu o un sistema de referencia de forma que una llinia (llamada <i>exa de rotación</i>) o un puntu permanez fixu. </p><p>La rotación d'un cuerpu representar por aciu un operador qu'afecta a un conxuntu de puntos o vectores. El movimientu rotatoriu representar por aciu el vector <a href="/wiki/Velocid%C3%A1_angular" title="Velocidá angular">velocidá angular</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb8af7a2f64af348e559652b6b1f0d2415ba444" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.669ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}"></span>, que ye un vector de calter esnidiosu y asitiáu sobre la exa de rotación. Cuando la exa pasa pel centru de masa o de gravedá dizse que'l cuerpu «xira sobre sí mesmu». </p> <div class="thumb tmulti tright"><div class="thumbinner" style="width:208px;max-width:208px"><div class="tsingle" style="float:left;margin:1px;width:102px;max-width:102px"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheru:Pendulum_30deg.gif" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Pendulum_30deg.gif/100px-Pendulum_30deg.gif" decoding="async" width="100" height="138" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Pendulum_30deg.gif/150px-Pendulum_30deg.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a2/Pendulum_30deg.gif 2x" data-file-width="200" data-file-height="275" /></a></span></div></div><div class="tsingle" style="float:left;margin:1px;width:102px;max-width:102px"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheru:Pendulum_220deg.gif" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Pendulum_220deg.gif/100px-Pendulum_220deg.gif" decoding="async" width="100" height="138" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Pendulum_220deg.gif/150px-Pendulum_220deg.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Pendulum_220deg.gif 2x" data-file-width="200" data-file-height="275" /></a></span></div></div><div style="clear:left"></div><div class="thumbcaption" style="clear:left;text-align:left;background-color:transparent">La rotación tamién puede ser oscilatoria, como nel pendilexu (<i>esquierda</i>). Los xiros son completos solo cuando la enerxía ye lo suficientemente alta (<i>derecha</i>). El gráficu cimeru amuesa la trayeutoria nel <a href="/w/index.php?title=Espaciu_f%C3%A1sico&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espaciu fásico (la páxina nun esiste)">espaciu fásico</a>.</div></div></div> <p>N'inxeniería mecánica, llámase <b>revolución</b> a una rotación completa d'una pieza sobre la so exa (como na unidá de <i>revoluciones per minutu</i>), ente que n'astronomía usa esta mesma pallabra pa referise al movimientu orbital de traslación d'un cuerpu alredor d'otru (como los planetes alredor del Sol). </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rotación_en_física"><span id="Rotaci.C3.B3n_en_f.C3.ADsica"></span>Rotación en física</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=1" title="Editar seición: Rotación en física" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=1" title="Editar el código fuente de la sección: Rotación en física"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Conceutu_de_rotación_y_revolución"><span id="Conceutu_de_rotaci.C3.B3n_y_revoluci.C3.B3n"></span>Conceutu de rotación y revolución</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=2" title="Editar seición: Conceutu de rotación y revolución" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=2" title="Editar el código fuente de la sección: Conceutu de rotación y revolución"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Orbit2.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Orbit2.gif" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a><figcaption>Animación de dos oxetos <a href="/wiki/%C3%93rbita" title="Órbita">orbitando</a> alredor d'un centru de mases común, exemplu de revolución.</figcaption></figure> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Rotating_Sphere.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Rotating_Sphere.gif" decoding="async" width="100" height="121" class="mw-file-element" data-file-width="100" data-file-height="121" /></a><figcaption>Exemplu de rotación.</figcaption></figure> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Mond_Grafik.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Mond_Grafik.svg/200px-Mond_Grafik.svg.png" decoding="async" width="200" height="150" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Mond_Grafik.svg/300px-Mond_Grafik.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Mond_Grafik.svg/400px-Mond_Grafik.svg.png 2x" data-file-width="362" data-file-height="271" /></a><figcaption>Exemplu de revolución.</figcaption></figure> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Moglfm0506_movimiento_traslacion.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Moglfm0506_movimiento_traslacion.jpg/200px-Moglfm0506_movimiento_traslacion.jpg" decoding="async" width="200" height="217" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Moglfm0506_movimiento_traslacion.jpg 1.5x" data-file-width="232" data-file-height="252" /></a><figcaption>El movimientu de la estructura d'una noría correspuende a un movimientu de rotación. Otra manera, les barquillas de la noria realicen un movimientu de traslación o revolución con trayeutoria circular.</figcaption></figure> <p>N'astronomía ye habitual estremar ente'l movimientu de rotación y el de revolución colos siguientes sentíos: </p> <ul><li>La <b>rotación</b> d'un cuerpu alredor d'un <a href="/w/index.php?title=Exa_(mec%C3%A1nica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Exa (mecánica) (la páxina nun esiste)">exa</a> (esterior o interior al cuerpu) correspuende a un movimientu nel que los distintos puntos del cuerpu presenten velocidaes que son proporcionales a la so distancia a la exa. Los puntos del cuerpu asitiaos sobre la exa (nel casu de qu'ésti sía interior al cuerpu) permanecen en reposu. <ul><li>La orientación del cuerpu nel espaciu camuda de cutio mientres la traslación.</li> <li>Un exemplu de rotación ye'l de la Tierra alredor del so propiu <a href="/wiki/Exa_de_rotaci%C3%B3n" class="mw-redirect" title="Exa de rotación">exa de rotación</a>, con un <a href="/wiki/Periodu_de_rotaci%C3%B3n" title="Periodu de rotación">periodu de rotación</a> d'un <a href="/w/index.php?title=D%C3%ADa_sid%C3%A9reo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Día sidéreo (la páxina nun esiste)">día sidéreo</a>.</li></ul></li> <li>La <b>revolución</b> d'una partícula o d'un cuerpu estensu correspuende a un <a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica_del_s%C3%B3lidu_r%C3%ADxidu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cinemática del sólidu ríxidu (la páxina nun esiste)">movimientu de traslación del cuerpu</a> alredor d'otru.</li></ul> <ul><li><ul><li>Un exemplu de revolución ye'l de la Tierra alredor del Sol, con un <a href="/wiki/%C3%93rbita" title="Órbita">periodo de revolución</a> d'un <a href="/wiki/A%C3%B1u" title="Añu">añu</a>.</li></ul></li></ul> <p>La distinción ente rotación y revolución ta acomuñada cola esistente ente <a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica_del_s%C3%B3lidu_r%C3%ADxidu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cinemática del sólidu ríxidu (la páxina nun esiste)">rotación</a> y <a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica_del_s%C3%B3lidu_r%C3%ADxidu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cinemática del sólidu ríxidu (la páxina nun esiste)">traslación</a> d'un cuerpu estensu. Si la velocidá de traslación ye constante (<b>v</b>=cte), cada unu de los puntos del sólidu va percorrer una <a href="/w/index.php?title=Movimientu_rectilliniu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Movimientu rectilliniu (la páxina nun esiste)">trayeutoria rectillinia</a> con celeridad constante y toes eses trayectories van ser paraleles ente sigo (movimientu de traslación uniforme). Pero, polo xeneral, la velocidá de traslación nun tien por que ser constante y la trayeutoria puede ser <a href="/w/index.php?title=Trayeutoria_curvillinia&action=edit&redlink=1" class="new" title="Trayeutoria curvillinia (la páxina nun esiste)">curvillinia</a>. </p><p>Les trayectories percorríes polos distintos puntos del cuerpu pueden ser circunferencies, toes elles del mesmu radiu (congruentes) anque de distintu centru. Esta situación presentar nuna noria de feria d'exa horizontal, como s'amuesa na figura: l'armadura de la noria xira en redol a la exa (rotación), pero les barquillas suspendíes de dicha armadura, prescindiendo de pequeñes oscilaciones pendulares, esperimenten una traslación con trayectories circulares. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Movimientu_rotatoriu">Movimientu rotatoriu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=3" title="Editar seición: Movimientu rotatoriu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=3" title="Editar el código fuente de la sección: Movimientu rotatoriu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Rotación_infinitesimal"><span id="Rotaci.C3.B3n_infinitesimal"></span>Rotación infinitesimal</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=4" title="Editar seición: Rotación infinitesimal" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=4" title="Editar el código fuente de la sección: Rotación infinitesimal"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Nuna rotación nun ángulu infinitesimal <i>δθ</i>, puede tomase cos <i>δθ</i> ≈ 1 y sen <i>δθ</i> ≈ <i>δθ</i>, de cuenta que la espresión de la rotación plana pasa a ser: </p> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r4219090">.mw-parser-output .ecuacion{padding:5px 10px;background-color:var(--background-color-base);color:var(--color-base);margin-left:30px;margin-bottom:0.8em;margin-top:0.5em;min-width:50%}.mw-parser-output .ecuacion .referencia{float:right;width:10%;text-align:end}.mw-parser-output .ecuacion cite{font-style:normal}</style><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\delta \theta (\mathbf {o} \times \mathbf {r} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\delta \theta (\mathbf {o} \times \mathbf {r} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f1c43b832a43c05a11fb41ddd1064adcb3c9ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.055ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\delta \theta (\mathbf {o} \times \mathbf {r} )}"></span> </p> </blockquote> <p>Si compónense dos rotaciones infinitesimales y, por ello, refúguense los términos d'orde cimeru al primeru, compruébase que tienen la propiedá conmutativa, que nun tienen les rotaciones tridimensionales finitas. </p><p>Matemáticamente el conxuntu de les rotaciones infinitesimales nel espaciu euclideo formen el <a href="/w/index.php?title=%C3%81lxebra_de_Lie&action=edit&redlink=1" class="new" title="Álxebra de Lie (la páxina nun esiste)">álxebra de Lie</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">o</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4f1d3d3bf3da64b92af1a1018ce00545808b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:5.179ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}"></span>, acomuñada al <a href="/w/index.php?title=Grupu_de_Lie&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupu de Lie (la páxina nun esiste)">grupu de Lie</a> <a href="/w/index.php?title=Grupu_ortogonal_especial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupu ortogonal especial (la páxina nun esiste)">SO(3)</a> </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Velocidá_angular"><span id="Velocid.C3.A1_angular"></span>Velocidá angular</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=5" title="Editar seición: Velocidá angular" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=5" title="Editar el código fuente de la sección: Velocidá angular"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r4219085">.mw-parser-output .hatnote{font-style:italic}.mw-parser-output div.hatnote{padding-left:1.6em;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}.mw-parser-output .hatnote+link+.hatnote{margin-top:-0.5em}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .hatnote{display:none!important}}</style><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Artículu principal: <a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica_del_s%C3%B3lidu_r%C3%ADxidu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cinemática del sólidu ríxidu (la páxina nun esiste)">Cinemática del sólidu ríxidu</a></div> <p>Dau un sólidu ríxidu que rota alredor d'una exa, la velocidá llinial <b>v</b> d'una partícula puede espresase a partir de la velocidá angular <b>ω</b>: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e265c7e29242ca1c2b9a4144a572738ba2e33648" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.373ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }"></span> </p> </blockquote> <p>Ente que l'aceleración <b>a</b> ye: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">α</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b6a15088f700426ec84caff01c93fa630dd97d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:31.441ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}"></span> </p> </blockquote> <p>Si'l sólidu ríxidu amás de rotar alredor d'una exa tien un movimientu adicional de traslación con velocidá instantánea <b>V</b> entós les fórmules anteriores deben substituirse por: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {V} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {V} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9856e10692667cd92381926d832cb60db7031f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.233ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {V} }"></span> </p> </blockquote> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {V} +{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">α</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {V} +{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d81d3b355288bddc7926ecdffa909216138596a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:48.884ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {V} +{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dinámica_de_rotación"><span id="Din.C3.A1mica_de_rotaci.C3.B3n"></span>Dinámica de rotación</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=6" title="Editar seición: Dinámica de rotación" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=6" title="Editar el código fuente de la sección: Dinámica de rotación"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La velocidá angular de rotación ta rellacionada col <a href="/wiki/Momentu_angular" title="Momentu angular">momentu angular</a>. Pa producir una variación nel momentu angular ye necesariu actuar sobre'l sistema con fuercies qu'exerzan un momentu de fuercia. La rellación ente'l momentu de les fuercies qu'actúen sobre'l sólidu y l'aceleración angular conozse como <a href="/wiki/Momentu_d%27inercia" title="Momentu d'inercia">momentu d'inercia</a> (<i>I</i>) y representa la inercia o resistencia del sólidu a alteriar el so movimientu de rotación. </p><p>La enerxía cinética de rotación escríbese: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{c}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">I</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{c}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f4c39204ee8f995d558a6e5020178b76673ca5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.232ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle Y_{c}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})}"></span> </p> </blockquote> <p>siendo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {I} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">I</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {I} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee2d8083d14a199174ad09953791f687814447a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {I} }"></span> el <a href="/w/index.php?title=Tensor_d%27inercia&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tensor d'inercia (la páxina nun esiste)">tensor momentu d'inercia</a>. La espresión del <a href="/w/index.php?title=Teorema_del_trabayu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema del trabayu (la páxina nun esiste)">teorema del trabayu</a> en movimientos de rotación puede espresase asina: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta Y_{c}=\mathbf {M} \cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">θ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta Y_{c}=\mathbf {M} \cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5f7ab30b8253f96cf0fb1dd842deb56e7649a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.788ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta Y_{c}=\mathbf {M} \cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}}"></span> </p> </blockquote> <p>de cuenta que, la variación de la enerxía cinética del sólidu ríxidu ye igual al productu angular del momentu de les fuercies pol vector representativu del ángulu xiráu (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b08ad75317619c93fa5ec35bf00c9ea4d219c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.026ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \theta }"></span>). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exa_de_rotación"><span id="Exa_de_rotaci.C3.B3n"></span>Exa de rotación</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=7" title="Editar seición: Exa de rotación" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=7" title="Editar el código fuente de la sección: Exa de rotación"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Magar se define la rotación como un movimientu de rotación alredor d'una exa, tien de tenese presente que dichu exa de rotación puede dir camudando'l so enclín a lo llargo del tiempu. Asina asocede cola exa de rotación terrestre y polo xeneral cola exa de rotación de cualquier sólidu en rotación que non presente <a href="/w/index.php?title=Simetr%C3%ADa_esf%C3%A9rica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Simetría esférica (la páxina nun esiste)">simetría esférica</a>. Pa un planeta, o polo xeneral cualquier sólidu en rotación, sobre'l que nun actúa un <a href="/w/index.php?title=Momentu_de_fuercia_par_de_fuercia&action=edit&redlink=1" class="new" title="Momentu de fuercia par de fuercia (la páxina nun esiste)">momentu de fuercia par de fuercia</a> el momentu angular caltiénse constante, anque eso nun implica que la so exa de rotación sía fixu. Pa una <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lidu_r%C3%ADxidu#Peonza_simétrica" title="Mecánica del sólidu ríxidu">peonza simétrica</a>, esto ye, un sólidu tal que dos de los sos <a href="/wiki/Momentu_d%27inercia" title="Momentu d'inercia">momento d'inercia</a> principales sían iguales y el terceru distintu, la exa de rotación xira alredor de la direición del momentu angular. Los planetes con bien bonu aproximamientu son esferoides esnachaos nos polos, lo cual convertir nuna peonza simétrica, por esa razón la so exa de xiru esperimenta una rotación conocida como <a href="/wiki/Precesi%C3%B3n" title="Precesión">precesión</a>. La velocidá angular de precesión vien dada pol cociente ente'l momentu angular de rotación y el menor de los momentos d'inercia del planeta: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\phi }}_{prec}={\frac {L}{I_{\min }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ϕ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>L</mi> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\phi }}_{prec}={\frac {L}{I_{\min }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d6049de64d577e03649e8de31693c66731d6f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.676ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\phi }}_{prec}={\frac {L}{I_{\min }}}}"></span> </p> </blockquote> <p>L'el casu d'esistencia d'asimetría axial el planeta ye una peonza asimétrica y amás la exa de xiru puede realizar un movimientu de <a href="/wiki/Nutaci%C3%B3n" title="Nutación">nutación</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rotación_en_matemátiques"><span id="Rotaci.C3.B3n_en_matem.C3.A1tiques"></span>Rotación en matemátiques</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=8" title="Editar seición: Rotación en matemátiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=8" title="Editar el código fuente de la sección: Rotación en matemátiques"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Introducción_matemática"><span id="Introducci.C3.B3n_matem.C3.A1tica"></span>Introducción matemática</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=9" title="Editar seición: Introducción matemática" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=9" title="Editar el código fuente de la sección: Introducción matemática"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El tratamientu detalláu de les rotaciones foi oxetu de numberosos trabayos matemáticos, qu'enceten el problema dende diversos puntos de vista y graos de sofisticación: <a href="/w/index.php?title=Cuaterni%C3%B3n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cuaternión (la páxina nun esiste)">cuaterniones</a>, <a href="/w/index.php?title=Matriz_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Matriz (matemática) (la páxina nun esiste)">matrices</a>, <a href="/w/index.php?title=Operador&action=edit&redlink=1" class="new" title="Operador (la páxina nun esiste)">operadores</a> vectoriales, <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Teoría de grupos">teoría de grupos</a>... Toos estos enfoques son matemáticamente equivalentes y pueden derivase unos d'otros, salvu en dellos aspeutos concretu y posible resultancies redundantes, y la eleición d'unu o otru depende del problema concretu. Cola llegada de la robótica y los gráficos informáticos, la matemática de les rotaciones cobró un nuevu impulsu y pasó a ser una materia d'estudiu bien activu, con particular énfasis nel enfoque basáu en cuaterniones. </p><p>En <a href="/wiki/Matem%C3%A1tiques" title="Matemátiques">matemátiques</a> les <b>rotaciones</b> son <a href="/w/index.php?title=Tresformamientos_lliniales&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tresformamientos lliniales (la páxina nun esiste)">tresformamientos lliniales</a> que caltienen les <a href="/w/index.php?title=Norma_vectorial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Norma vectorial (la páxina nun esiste)">normes</a> (esto ye, son <i>isométricas</i>) n'<a href="/wiki/Espaciu_vectorial" title="Espaciu vectorial">espacios vectoriales</a> nos que se definió una operación de <a href="/w/index.php?title=Productu_interior&action=edit&redlink=1" class="new" title="Productu interior (la páxina nun esiste)">productu interior</a> y que la so <a href="/w/index.php?title=Matriz_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Matriz (matemática) (la páxina nun esiste)">matriz</a> tien la propiedá de ser <a href="/w/index.php?title=Matriz_ortogonal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Matriz ortogonal (la páxina nun esiste)">ortogonal</a> y de <a href="/w/index.php?title=Determinante_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Determinante (matemática) (la páxina nun esiste)">determinante</a> igual a ±1. Si'l determinante ye +1 llámase <b>rotación mesma</b> y si ye −1, amás d'una rotación propia hai una inversión o reflexón y fálase de <b>rotación impropia</b>.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>El caltenimientu de la norma ye equivalente al caltenimientu del productu interior, que puede espresase como: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {a} \cdot {\mathcal {R}}\mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {a} \cdot {\mathcal {R}}\mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6049e11f24c2898d024910e157f2043c60ebbfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.968ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {a} \cdot {\mathcal {R}}\mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }"></span> </p> </blockquote> <p>Consecuencia d'ella ye que les distancies y les formes tamién se caltienen. </p><p>Como parámetru que determina la rotación puede usase un vector (que tien calter esnidiosu) de la exa de rotación y de llargor proporcional al ángulu de rotación. Sicasí, lo normal ye dixebrar esti vector nel ángulu y un vector unitariu, lo que nel espaciu da cuatro parámetros.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> De resultes hai dos formes de representar una única rotación, pos </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}(\theta ,\mathbf {a} )={\mathcal {R}}(-\theta ,-\mathbf {a} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}(\theta ,\mathbf {a} )={\mathcal {R}}(-\theta ,-\mathbf {a} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b169f12cfbdd7c5b66b91b253511e2c8ca4eedf9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.123ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}(\theta ,\mathbf {a} )={\mathcal {R}}(-\theta ,-\mathbf {a} )}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rotaciones_nel_planu">Rotaciones nel planu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=10" title="Editar seición: Rotaciones nel planu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=10" title="Editar el código fuente de la sección: Rotaciones nel planu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Mog_rotacion_vector.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Mog_rotacion_vector.jpg/250px-Mog_rotacion_vector.jpg" decoding="async" width="250" height="223" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Mog_rotacion_vector.jpg 1.5x" data-file-width="285" data-file-height="254" /></a><figcaption>Cambéu de base o rotación d'un vector.</figcaption></figure> <p>Sía un vector <i>A</i> nel <a href="/w/index.php?title=Planu_cartesianu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Planu cartesianu (la páxina nun esiste)">planu cartesianu</a> definíu polos sos componentes <i>x</i> y <i>y</i>, descritu vectorialmente al traviés de los sos componentes: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d108fe64b3514b42e3ebc5ffa98e641f5ab514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.24ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}}"></span> </p> </blockquote> <p>La operación de rotación del puntu señaláu por esti vector alredor d'una exa de xiru puede siempres escribise como l'acción d'un operador llinial (representáu por una matriz) actuando sobre'l vector (multiplicando al vector: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {A} =\mathbf {A} '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {A} =\mathbf {A} '}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24ce538acd38f891663819bbce439466971b559" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.793ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {A} =\mathbf {A} '}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Espresión_matricial"><span id="Espresi.C3.B3n_matricial"></span>Espresión matricial</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=11" title="Editar seición: Espresión matricial" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=11" title="Editar el código fuente de la sección: Espresión matricial"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En dos dimensiones la matriz de rotación pal vector dau puede escribise de la manera siguiente: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fae36f83dcf699048a5535f0142196e00e1764" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.715ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}"></span> </p> </blockquote> <p>Al faer l'aplicación del operador, esto ye, al multiplicar la matriz pol vector, vamos llograr un nuevu vector <i>A'</i> que foi rotado nun ángulu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> en sentíu antihorario: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70aba38f5d0cc29ec9beef76795b95031e5f9f8a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.989ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\end{bmatrix}}}"></span> </p> </blockquote> <p>siendo :<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'_{x}=A_{x}\cos \theta -A_{y}\sin \theta \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'_{x}=A_{x}\cos \theta -A_{y}\sin \theta \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c1a8e36a531cae060637d396b9ad46155fbdb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A'_{x}=A_{x}\cos \theta -A_{y}\sin \theta \,}"></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'_{y}=A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'_{y}=A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42efe7c134b8632360ae9c196a0b7b1b038ff4ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.522ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A'_{y}=A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,}"></span></dd></dl> <p>les componentes del nuevu vector dempués de la rotación. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Espresión_por_aciu_númberos_complexos"><span id="Espresi.C3.B3n_por_aciu_n.C3.BAmberos_complexos"></span>Espresión por aciu númberos complexos</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=12" title="Editar seición: Espresión por aciu númberos complexos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=12" title="Editar el código fuente de la sección: Espresión por aciu númberos complexos"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les rotaciones nel planu pueden tratase igualmente por aciu <a href="/wiki/N%C3%BAmberos_complexos" class="mw-redirect" title="Númberos complexos">númberos complexos</a>, yá que y<sup><i>iα</i></sup> ye una rotación d'ángulu <i>a</i>: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\rightarrow x+iy=\rho y^{i\phi }\in \mathbb {C} {\xrightarrow {\mathrm {rot} }}z=y^{i\alpha }(\rho y^{i\phi })\rightarrow (\mathrm {Re} (z),\mathrm {Im} (z))=y(\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))\in \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>ϕ</mi> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>→</mo> <mpadded width="+0.611em" lspace="0.278em" voffset=".15em"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mpadded> </mover> </mrow> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>ϕ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">I</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>ρ</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\rightarrow x+iy=\rho y^{i\phi }\in \mathbb {C} {\xrightarrow {\mathrm {rot} }}z=y^{i\alpha }(\rho y^{i\phi })\rightarrow (\mathrm {Re} (z),\mathrm {Im} (z))=y(\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))\in \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968633218d1c7b55a484de9876224f9e9834c41b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-top: -0.44ex; width:103.613ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\rightarrow x+iy=\rho y^{i\phi }\in \mathbb {C} {\xrightarrow {\mathrm {rot} }}z=y^{i\alpha }(\rho y^{i\phi })\rightarrow (\mathrm {Re} (z),\mathrm {Im} (z))=y(\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))\in \mathbb {R} ^{2}}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))=(x\cos(\alpha )-y\sin(\alpha ),x\sin(\alpha )+y\cos(\alpha ))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>ρ</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))=(x\cos(\alpha )-y\sin(\alpha ),x\sin(\alpha )+y\cos(\alpha ))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f14d410d6a3478f6871e9cfcfe5864071ce1b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:70.296ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))=(x\cos(\alpha )-y\sin(\alpha ),x\sin(\alpha )+y\cos(\alpha ))}"></span> </p> </blockquote> <p>El grupu de rotaciones en dos dimensiones ye isomorfu al <a href="/w/index.php?title=Grupu_de_Lie&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupu de Lie (la páxina nun esiste)">grupu de Lie</a>, <a href="/w/index.php?title=Grupu_ortogonal_especial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupu ortogonal especial (la páxina nun esiste)">ortogonal especial</a> SO(2) que de la mesma ye isomorfu al <a href="/w/index.php?title=Grupu_unitariu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupu unitariu (la páxina nun esiste)">grupu unitariu</a> O(1). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teorema_de_rotación_de_Euler"><span id="Teorema_de_rotaci.C3.B3n_de_Euler"></span>Teorema de rotación de Euler</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=13" title="Editar seición: Teorema de rotación de Euler" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=13" title="Editar el código fuente de la sección: Teorema de rotación de Euler"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En matemátiques, el <a href="/w/index.php?title=Teorema_de_rotaci%C3%B3n_de_Euler&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema de rotación de Euler (la páxina nun esiste)">teorema de rotación de Euler</a> diz que cualquier rotación o conxuntu de rotaciones socesives puede espresase siempres como una rotación alredor d'una única direición o exa de rotación principal. D'esta miente, toa rotación (o conxuntu de rotaciones socesives) nel espaciu tridimensional pue ser especificada al traviés de la exa de rotación equivalente definíu vectorialmente por trés parámetros y un cuartu parámetru representativu del ángulu rotado. Xeneralmente denominar a estos cuatro parámetros <i>graos de llibertá de rotación</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rotaciones_nel_espaciu">Rotaciones nel espaciu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=14" title="Editar seición: Rotaciones nel espaciu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=14" title="Editar el código fuente de la sección: Rotaciones nel espaciu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Euler2.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Euler2.gif/200px-Euler2.gif" decoding="async" width="200" height="189" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Euler2.gif/300px-Euler2.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Euler2.gif 2x" data-file-width="368" data-file-height="348" /></a><figcaption>Los trés rotaciones planes de los ángulos de Euler. Na primera la exa ye <i>z</i>, qu'apunta escontra riba y xira les exes <i>x</i> y <i>y</i>; na segunda la exa ye <i>x</i>, qu'apunta escontra'l frente y qu'inclina la exa <i>z</i>, y na postrera de nuevu la exa ye <i>z</i>.</figcaption></figure> <p>Les rotaciones tridimensionales revisten especial interés práuticu por correspondese cola xeometría del espaciu físicu en que vivimos (naturalmente siempres que se consideren rexones d'escala mediana, yá que pa distancies grandes la xeometría nun ye puramente euclídea). En tres dimensiones convien estremar ente les rotaciones <b>planes</b> o <b>rectangulares</b>, que son aquelles nes que'l vector rotado y el que determina la exa de xiru formen un ángulu rectu, y les <b>cóniques</b>, nes que l'ángulu ente estos vectores nun ye rectu. Les rotaciones planes son de tratamientu matemáticu más simple, pos pueden amenorgase al casu bidimensional descritu más arriba, ente que les cóniques son muncho más complexes y polo xeneral trátense como una combinación de rotaciones planes (especialmente los <a href="/w/index.php?title=%C3%81ngulos_de_Euler&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ángulos de Euler (la páxina nun esiste)">ángulos de Euler</a> y los <a href="/w/index.php?title=Par%C3%A1metros_de_Euler-Rodrigues&action=edit&redlink=1" class="new" title="Parámetros de Euler-Rodrigues (la páxina nun esiste)">parámetros de Euler-Rodrigues</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Espresión_vectorial"><span id="Espresi.C3.B3n_vectorial"></span>Espresión vectorial</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=15" title="Editar seición: Espresión vectorial" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=15" title="Editar el código fuente de la sección: Espresión vectorial"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La espresión vectorial de les rotaciones cóniques ye: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} \cos \theta +(\mathbf {o} \times \mathbf {r} )\sin \theta +\mathbf {o} (\mathbf {o} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} \cos \theta +(\mathbf {o} \times \mathbf {r} )\sin \theta +\mathbf {o} (\mathbf {o} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac057053d1d9facdec74bd2d1752be282ad01ea7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.117ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} \cos \theta +(\mathbf {o} \times \mathbf {r} )\sin \theta +\mathbf {o} (\mathbf {o} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )}"></span> </p> </blockquote> <p>onde: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {r} '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {r} '}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b988f38bff58e80a9bfff800720fc30681f1101" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.923ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {r} '}"></span> representen los vectores posición d'un puntu antes y dempués de la operación de rotación.</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {o} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {o} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd153c5c9db162ee93e4d2aabba61d032da3af9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {o} }"></span> ye un vector unitariu que coincide cola direición d'exa de xiru.</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6198e2678333f87b41d13a47e94c7b2567d8ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.173ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}"></span> ye'l valor del ángulu xiráu.</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot ,\times }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>×</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot ,\times }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85df72e1f658db9807b522a3de7308ade02860bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.489ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \cdot ,\times }"></span>, denotan respeutivamente el <a href="/w/index.php?title=Productu_angular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Productu angular (la páxina nun esiste)">productu angular</a> y el <a href="/wiki/Productu_vectorial" title="Productu vectorial">productu vectorial</a>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Espresiones_matriciales">Espresiones matriciales</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=16" title="Editar seición: Espresiones matriciales" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=16" title="Editar el código fuente de la sección: Espresiones matriciales"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Matricialmente esti productu puede escribise de delles maneres, bien como matriz ortogonal: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} '={\mathcal {R}}_{\theta ,\mathbf {o} }(\mathbf {r} )\quad \Leftrightarrow \quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} '={\mathcal {R}}_{\theta ,\mathbf {o} }(\mathbf {r} )\quad \Leftrightarrow \quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00b8799be56701037aea7cf811e9baf668f95fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.787ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} '={\mathcal {R}}_{\theta ,\mathbf {o} }(\mathbf {r} )\quad \Leftrightarrow \quad }"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C^{2}+S^{2}(o_{x}^{2}-o_{y}^{2}-o_{z}^{2})&2S(Elso_{x}o_{y}-Co_{z})&2S(So_{x}o_{z}+Co_{y})\\2S(So_{x}o_{y}+Co_{z})&C^{2}+S^{2}(o_{y}^{2}-o_{x}^{2}-o_{z}^{2})&2S(So_{y}o_{z}-Co_{x})\\2S(So_{x}o_{z}-Co_{y})&2S(So_{y}o_{z}+Co_{x})&C^{2}+S^{2}(o_{z}^{2}-o_{x}^{2}-o_{y}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>z</mi> <mo>′</mo> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>C</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>C</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>C</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C^{2}+S^{2}(o_{x}^{2}-o_{y}^{2}-o_{z}^{2})&2S(Elso_{x}o_{y}-Co_{z})&2S(So_{x}o_{z}+Co_{y})\\2S(So_{x}o_{y}+Co_{z})&C^{2}+S^{2}(o_{y}^{2}-o_{x}^{2}-o_{z}^{2})&2S(So_{y}o_{z}-Co_{x})\\2S(So_{x}o_{z}-Co_{y})&2S(So_{y}o_{z}+Co_{x})&C^{2}+S^{2}(o_{z}^{2}-o_{x}^{2}-o_{y}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7b9f71fd1629511391d9b1d3a4f72c86ecf37a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.286ex; margin-bottom: -0.219ex; width:89.911ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C^{2}+S^{2}(o_{x}^{2}-o_{y}^{2}-o_{z}^{2})&2S(Elso_{x}o_{y}-Co_{z})&2S(So_{x}o_{z}+Co_{y})\\2S(So_{x}o_{y}+Co_{z})&C^{2}+S^{2}(o_{y}^{2}-o_{x}^{2}-o_{z}^{2})&2S(So_{y}o_{z}-Co_{x})\\2S(So_{x}o_{z}-Co_{y})&2S(So_{y}o_{z}+Co_{x})&C^{2}+S^{2}(o_{z}^{2}-o_{x}^{2}-o_{y}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}"></span> </p> </blockquote> <p>Onde: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z),\mathbf {r} '=(x',y',z')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>z</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z),\mathbf {r} '=(x',y',z')}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f1340d621916a64fc6daeee17462f8f0c3b9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.082ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z),\mathbf {r} '=(x',y',z')}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y},o_{z})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y},o_{z})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcada02afb4ed170b9504db1bd9d7fa9dd2b2c68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.919ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y},o_{z})}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C=\cos(\theta /2),S=\sin(\theta /2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C=\cos(\theta /2),S=\sin(\theta /2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c69ee726b96cd2db455627e954fadfc190f7e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.912ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C=\cos(\theta /2),S=\sin(\theta /2)}"></span></dd></dl> <p>Puede comprobase con un pocu d'álxebra rutinaria que la matriz anterior tien como <a href="/w/index.php?title=Autovalor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Autovalor (la páxina nun esiste)">autovalores</a>: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,C+iS,C-iS\}=\{1,y^{i\theta },y^{-i\theta }\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>S</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,C+iS,C-iS\}=\{1,y^{i\theta },y^{-i\theta }\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fad9e84a4b752b5d8482eca905fdf19504a5e40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.767ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \{1,C+iS,C-iS\}=\{1,y^{i\theta },y^{-i\theta }\}}"></span> </p> </blockquote> <p>La <a href="/w/index.php?title=Direici%C3%B3n_principal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Direición principal (la páxina nun esiste)">direición principal</a> (recta xenerada por un <a href="/w/index.php?title=Vector_propiu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Vector propiu (la páxina nun esiste)">vector propiu</a>) asociaciada al autovalor 1 ye precisamente'l vector <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {o} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {o} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849493b30f0d47a04b8a963263c965868609751d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.945ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {o} }"></span> que da la direición d'exa de xiru. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Espresiones_vectoriales">Espresiones vectoriales</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=17" title="Editar seición: Espresiones vectoriales" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=17" title="Editar el código fuente de la sección: Espresiones vectoriales"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Puede describise el movimientu de rotación cónica con operadores vectoriales que, al contrariu que les espresiones matriciales, son independientes de les coordenaes. Asina,<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} '=((1-\cos \theta )\mathbf {uu} +\cos \theta +\mathop {\mathrm {sen} } \theta {\tilde {\mathbf {o} }})\cdot \mathbf {r} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> </mrow> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} '=((1-\cos \theta )\mathbf {uu} +\cos \theta +\mathop {\mathrm {sen} } \theta {\tilde {\mathbf {o} }})\cdot \mathbf {r} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a06cdb7c5cf5ab76a5670d271a6aa463a743cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.172ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} '=((1-\cos \theta )\mathbf {uu} +\cos \theta +\mathop {\mathrm {sen} } \theta {\tilde {\mathbf {o} }})\cdot \mathbf {r} }"></span> </p> </blockquote> <p>onde la espresión ente paréntesis funciona como operador y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}=\mathbf {I} \times \mathbf {o} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">I</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}=\mathbf {I} \times \mathbf {o} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2413594e67c1085cc880c1300276690d66b1549" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.626ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}=\mathbf {I} \times \mathbf {o} }"></span>, de cuenta que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}\cdot \mathbf {r} =\mathbf {o} \times \mathbf {r} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}\cdot \mathbf {r} =\mathbf {o} \times \mathbf {r} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54c36c9ff797bf8e87e40384c6bf45db962265a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.495ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}\cdot \mathbf {r} =\mathbf {o} \times \mathbf {r} }"></span>.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Hai ciertos casos especiales d'esti operador: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f530a27047a68802c82222cc70986aa8d5e5bf4c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}}"></span> ye una rotación plana de (1/2)<i>π</i> rad. L'aplicación socesiva d'esti operador da <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{2}=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{2}=-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb83b269321a90d0a5b6d449f70446ee47471723" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.46ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{2}=-1}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{3}=-{\tilde {\mathbf {o} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{3}=-{\tilde {\mathbf {o} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc0da48ee73306d9833a576a1bf13bf670195f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.634ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{3}=-{\tilde {\mathbf {o} }}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{4}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{4}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73ca2aaca6c8d680495276e948fe68676300f15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{4}=1}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{5}={\tilde {\mathbf {o} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{5}={\tilde {\mathbf {o} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a381f09052b03d49447760afbedc74a597942dce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.826ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{5}={\tilde {\mathbf {o} }}}"></span>, etc., con un comportamientu paecíu a la unidá imaxinaria (<i>i</i>).<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Ye un operador <a href="/w/index.php?title=Matriz_antisim%C3%A9trica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Matriz antisimétrica (la páxina nun esiste)">hemisimétrico</a> y en coordenaes castesianas la so matriz ye:</li></ul> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}{0}&-o_{z}&o_{y}\\o_{z}&{0}&-o_{x}\\-o_{y}&o_{x}&{0}\\\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}{0}&-o_{z}&o_{y}\\o_{z}&{0}&-o_{x}\\-o_{y}&o_{x}&{0}\\\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43592564ce8cd6c151923893bd0e4ef5d511bf6a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:21.494ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}{0}&-o_{z}&o_{y}\\o_{z}&{0}&-o_{x}\\-o_{y}&o_{x}&{0}\\\end{pmatrix}}}"></span> </p> </blockquote> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \theta +\sin \theta {\tilde {\mathbf {o} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \theta +\sin \theta {\tilde {\mathbf {o} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7771ff6717c8014fb53798439eeceaf17b6ea6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.099ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \cos \theta +\sin \theta {\tilde {\mathbf {o} }}}"></span> ye una rotación plana d'ángulu <i>θ</i>. Una notación alternativa ye <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {y} ^{{\tilde {\mathbf {o} }}\theta }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {y} ^{{\tilde {\mathbf {o} }}\theta }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1388d66a8df023a8072c904724a9f4ce5e54e0b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.176ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {y} ^{{\tilde {\mathbf {o} }}\theta }}"></span> (por semeyanza colos númberos complexos). La forma matricial d'esti operador nes exes cartesianes principales ye particularmente senciella; por casu, pa <b>i</b> ye:</li></ul> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32ac9a9b140f8436f0ada404f86da89f694b993" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:25.846ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}"></span> </p> </blockquote> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\mathbf {uu} -1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\mathbf {uu} -1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b18d006bb8bfe01fc7a6eda41d968873347c7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.136ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2\mathbf {uu} -1}"></span> ye una rotación cónica binaria (de <i>π</i> rad). Una rotación cónica arbitraria d'ángulu <i>θ</i> puede representase con dos rotaciones binaries, perpendiculares a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {o} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {o} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd153c5c9db162ee93e4d2aabba61d032da3af9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {o} }"></span> y que formen un ángulu (1/2)<i>θ</i>;<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> la manipulación d'esti par de rotaciones binaries (o, de manera equivalente, de dos cavilgues) puede tomase como la base pa la descripción por aciu los <a href="/w/index.php?title=Par%C3%A1metros_de_Euler-Rodrigues&action=edit&redlink=1" class="new" title="Parámetros de Euler-Rodrigues (la páxina nun esiste)">parámetros de Euler-Rodrigues</a>. Asina, el segundu d'estes exes llograr por aciu una rotación plana del primeru con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}\theta +\mathop {\mathrm {sen} } {\frac {1}{2}}\theta {\tilde {\mathbf {o} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}\theta +\mathop {\mathrm {sen} } {\frac {1}{2}}\theta {\tilde {\mathbf {o} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f06e681be7ced0252dd26377e297dff6a5e31f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.482ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}\theta +\mathop {\mathrm {sen} } {\frac {1}{2}}\theta {\tilde {\mathbf {o} }}}"></span>, que da los cuatro parámetros:</li></ul> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =o_{x}\mathop {\mathrm {sen} } \theta /2\qquad \mu =o_{y}\sin \theta /2\qquad \nu =o_{z}\sin \theta /2\qquad \rho =\cos \theta /2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> </mrow> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mspace width="2em" /> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mspace width="2em" /> <mi>ν</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mspace width="2em" /> <mi>ρ</mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =o_{x}\mathop {\mathrm {sen} } \theta /2\qquad \mu =o_{y}\sin \theta /2\qquad \nu =o_{z}\sin \theta /2\qquad \rho =\cos \theta /2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902b12bded090ab5085e2a44f4336dde1c115828" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:66.561ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \lambda =o_{x}\mathop {\mathrm {sen} } \theta /2\qquad \mu =o_{y}\sin \theta /2\qquad \nu =o_{z}\sin \theta /2\qquad \rho =\cos \theta /2}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ángulos_de_Euler"><span id=".C3.81ngulos_de_Euler"></span>Ángulos de Euler</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=18" title="Editar seición: Ángulos de Euler" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=18" title="Editar el código fuente de la sección: Ángulos de Euler"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219085"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Artículu principal: <a href="/w/index.php?title=%C3%81ngulos_de_Euler&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ángulos de Euler (la páxina nun esiste)">Ángulos de Euler</a></div> <p>Por aciu los <b>ángulos de Euler</b> puede representase una rotación cualesquier con una socesión de tres rotaciones planes alredor de tres eje ortogonales. Nun hai alcuerdu sobre los trés exes concretes y na lliteratura científica apaecen diversos convenios; hai, en concretu, 12 posibilidaes, pero lo más habitual ye que se tomen <b>zyz</b> y <b>zxz</b>. A estos 12 convenios hai qu'añader posibles variaciones nel signu, orientación relativa d'exes (horariu o antihorario) y puntu de vista (operación en vectores o tresformamientu de coordenaes).<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Los ángulos de Euler fueron el sistema más popular nos sieglos XIX y XX pa representar les rotaciones, pos dexen modelizar fácilmente dellos sistemes mecánicos, como los trompos, los xiroscopios, los barcos y los aviones. Nel casu del trompu, les exes corresponder cola precesión, la nutación y la rotación. Nos aviones tómense como exes <b>xyz</b>, de cuenta que se correspuendan col alabeo (o valumbu en barcos), el cabecio y la chisgada; esti conveniu específicu d'exes llámase tamién <b><a href="/w/index.php?title=%C3%81ngulos_de_navegaci%C3%B3n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ángulos de navegación (la páxina nun esiste)">ángulos de navegación</a></b> o <b>de Tait-Bryan</b>. </p><p>Los ángulos de Euler presenten una singularidá cuando l'ángulu del segundu xiru ye 0 o <i>π</i>, pos en tal casu'l primer ángulu y el segundu pasen a quedar indefiníos, y solo ta definida la so suma, si l'ángulu ye 0. Con ello pierde un <a href="/w/index.php?title=Graos_de_llibert%C3%A1_(f%C3%ADsica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Graos de llibertá (física) (la páxina nun esiste)">grau de llibertá</a>, lo que nos dispositivos mecánicos que combinen delles exes, como los <a href="/wiki/Xiroscopiu" title="Xiroscopiu">xiroscopios</a>, puede conducir a un bloquéu del sistema, conocíu como <i><a href="/w/index.php?title=Bloqu%C3%A9u_de_card%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bloquéu de cardán (la páxina nun esiste)">bloquéu de cardán</a></i> (n'inglés, <i>gimbal lock</i>). Matemáticamente, ye posible evitar estes singularidaes con sistemes de cuatro parámetros, como los parámetros de Euler-Rodrigues (o cuaterniones). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Parámetros_de_Euler-Rodrigues_y_cuaterniones"><span id="Par.C3.A1metros_de_Euler-Rodrigues_y_cuaterniones"></span>Parámetros de Euler-Rodrigues y cuaterniones</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=19" title="Editar seición: Parámetros de Euler-Rodrigues y cuaterniones" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=19" title="Editar el código fuente de la sección: Parámetros de Euler-Rodrigues y cuaterniones"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Los cuaterniones apurren un métodu pa representar rotaciones que nun presenten singularidaes a cuenta de ser redundantes. Pueden introducise axiomáticamente o derivase a partir de rotaciones vectoriales, cuantimás por aciu la <i>construcción de Euler-Rodrigues</i>.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Históricamente, los cuatro parámetros que formen los cuaterniones fueron introducíos de manera independiente y con distintos tratamientos matemáticos y xeométricos por Gauss, Rodrigues y Hamilton, ente otros, anque aparentemente Euler, a pesar del nome, desconocer. Rodrigues llegó a ellos por aciu trigonometría esférica como una combinación de reflexones; Hamilton, pocu dempués, formular de manera axomática como una estensión de los númberos complexos. En mecánica cuántica tamién se llegó a ellos coles <a href="/w/index.php?title=Matrices_de_Pauli&action=edit&redlink=1" class="new" title="Matrices de Pauli (la páxina nun esiste)">matrices de Pauli</a>. </p><p>En tres dimensiones esiste una construcción similar a la de los <a href="/wiki/N%C3%BAmberu_complexu" title="Númberu complexu">númberos complexos</a> de módulu unidá pa representar les rotaciones nel planu. La construcción clave mora n'identificar los vectores tridimensionales con <a href="/w/index.php?title=Cuaterni%C3%B3n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cuaternión (la páxina nun esiste)">númberos cuaterniónicos</a> con parte real nula, y usar los trés componentes como coeficientes de la parte non real. La rotación puede representase como un productu conxugáu por un cuaternión unitariu llográu por <a href="/wiki/Exponenciaci%C3%B3n#Exponenciación_de_númberos_cuaterniónicos" class="mw-redirect" title="Exponenciación">exponenciación</a> d'un cuaternión igual al productu del ángulu xiráu pol cuaternión que representa a la exa de xiru. </p><p>Dau un vector tridimensional <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4856e5181b4ddb4046b8120c164dd2cfd463c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }"></span> rerepsentable como un númberu cuaterniónico con parte real nula, y una rotación tridimensional dada por un xiru <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>α</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ede4047eacb0a285fc0eb359181180364962150" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.052ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \alpha }"></span> en redol a la exa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec465648b1d4250049aee93e043d52463491f0f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.05ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} }"></span> puede representase el vector xiráu resultante como: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}\mapsto v=0+v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \in \mathbb {H} \\\mathbf {v} '=R_{\mathbf {n} ,\alpha }(\mathbf {v} )\mapsto y^{\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\cdot v\cdot y^{-\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">i</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">i</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">i</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}\mapsto v=0+v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \in \mathbb {H} \\\mathbf {v} '=R_{\mathbf {n} ,\alpha }(\mathbf {v} )\mapsto y^{\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\cdot v\cdot y^{-\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94345416205fd1a46b58e24e4e6fd6d813b4e6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:55.898ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}\mapsto v=0+v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \in \mathbb {H} \\\mathbf {v} '=R_{\mathbf {n} ,\alpha }(\mathbf {v} )\mapsto y^{\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\cdot v\cdot y^{-\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\end{cases}}}"></span> </p> </blockquote> <p>Esti enfoque ta rellacionáu col <a href="/w/index.php?title=%C3%81lxebra_xeom%C3%A9trica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Álxebra xeométrica (la páxina nun esiste)">álxebra xeométrica</a> y los vectores <b>i</b>, <b>j</b> y <b>k</b> siguen les regles alxebraiques de los cuaterniones (<b>i</b><sup>2</sup> = −1, etc.). El productu de dos rotaciones vien dau, en términos de vectores ordinarios, por:<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,\mathbf {A} ][0,\mathbf {B} ]=[-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ,\mathbf {A} \times \mathbf {B} ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">B</mi> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">B</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">B</mi> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,\mathbf {A} ][0,\mathbf {B} ]=[-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ,\mathbf {A} \times \mathbf {B} ]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efb78417d800bd98fd870ad1d011dd128755147" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.495ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,\mathbf {A} ][0,\mathbf {B} ]=[-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ,\mathbf {A} \times \mathbf {B} ]}"></span> </p> </blockquote> <p>onde [<i>a</i>, <b>b</b>] representa un cuaternión con parte real <i>a</i> y parte non real <b>b</b>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoría_de_grupos"><span id="Teor.C3.ADa_de_grupos"></span>Teoría de grupos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=20" title="Editar seición: Teoría de grupos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=20" title="Editar el código fuente de la sección: Teoría de grupos"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Benzene-aromatic-3D-balls.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Benzene-aromatic-3D-balls.png/180px-Benzene-aromatic-3D-balls.png" decoding="async" width="180" height="199" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Benzene-aromatic-3D-balls.png/270px-Benzene-aromatic-3D-balls.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Benzene-aromatic-3D-balls.png/360px-Benzene-aromatic-3D-balls.png 2x" data-file-width="995" data-file-height="1100" /></a><figcaption>Una rotación d'un sestu de vuelta completa (2<i>π</i>/6) alredor d'una exa que traviesa la pantalla dexa igual la molécula de bencenu, polo qu'hai una simetría rotacional (ente otres).</figcaption></figure> <p>En teoría de grupos, la rotación ye una de los posibles tresformamientos que pueden aplicase a un sistema o una figura xeométrica, que dexen determinar la <a href="/wiki/Simetr%C3%ADa" title="Simetría">simetría</a> de redes cristalográfiques, orbitales atómicos y <a href="/w/index.php?title=Simetr%C3%ADa_molecular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Simetría molecular (la páxina nun esiste)">molécules</a>, y per tanto parte de les sos propiedaes físicu-químiques. Otres tranformaciones son la traslación, la reflexón y l'inversión. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Rotaciones_frente_a_traslaciones">Rotaciones frente a traslaciones</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=21" title="Editar seición: Rotaciones frente a traslaciones" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=21" title="Editar el código fuente de la sección: Rotaciones frente a traslaciones"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica" title="Mecánica">mecánica</a> demuéstrase que'l movimientu del <a href="/w/index.php?title=S%C3%B3lidu_r%C3%ADxidu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sólidu ríxidu (la páxina nun esiste)">sólidu ríxidu</a> puede descomponese nuna rotación y una <a href="/w/index.php?title=Traslaci%C3%B3n_(xeometr%C3%ADa)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Traslación (xeometría) (la páxina nun esiste)">traslación</a>. Dambes tresformaciones son isométricas, como correspuende al fechu de que'l sólidu ye ríxidu, pero na rotación, al contrariu que na traslación, hai siquier un puntu fixu. El conxuntu d'estos tresformamientos forma un grupu llamáu <b><a href="/w/index.php?title=Grupu_de_isometr%C3%ADa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupu de isometría (la páxina nun esiste)">grupu euclidianu</a></b> que ye'l <a href="/w/index.php?title=Grupu_de_isometr%C3%ADa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupu de isometría (la páxina nun esiste)">grupu de isometría</a> del espaciu euclidianu tridimensional. Cada elementu <i>g</i> d'esti grupu euclidianu puede representase de manera única como:<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219090"><blockquote class="ecuacion" style="text-align:left"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\to {\begin{pmatrix}R&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{pmatrix}}\in \mathrm {GL} (4,\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>R</mi> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">d</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\to {\begin{pmatrix}R&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{pmatrix}}\in \mathrm {GL} (4,\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e023c0f651dd2df2db2d91bb7543725959b5440b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.276ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle g\to {\begin{pmatrix}R&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{pmatrix}}\in \mathrm {GL} (4,\mathbb {R} )}"></span> </p> </blockquote> <p>onde <i>R</i> ye una matriz de 3x3 que representa una rotación y <b>d</b> les componentes del vector de trés componentes que representa'l desplazamientu. Por tanto esta manera de representar el grupu ye una <a href="/w/index.php?title=Representaci%C3%B3n_llinial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Representación llinial (la páxina nun esiste)">representación llinial</a> sobre un espaciu vectorial de dimensión cuatro. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Rotaciones_frente_a_reflexones_ya_inversiones">Rotaciones frente a reflexones ya inversiones</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=22" title="Editar seición: Rotaciones frente a reflexones ya inversiones" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=22" title="Editar el código fuente de la sección: Rotaciones frente a reflexones ya inversiones"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Estos trés tresformamientos llámense tranformaciones puntales pos dexen un puntu fixu, y tán estrechamente rellacionaes. Asina, dos cavilgues según dos planos equivalen a una rotación. </p><p>La composición de dos rotaciones tridimensionales ye otra rotación, polo qu'estes formen un grupu, llamáu O(3) y qu'inclúi les reflexones. Les rotaciones propies son un subgrupu, llamáu SO(3), pero non les rotaciones impropies, pos dos d'elles equivalen a una rotación propia. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Perceición_de_les_rotaciones"><span id="Perceici.C3.B3n_de_les_rotaciones"></span>Perceición de les rotaciones</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=23" title="Editar seición: Perceición de les rotaciones" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=23" title="Editar el código fuente de la sección: Perceición de les rotaciones"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:ArtMechanic_Rotation.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/ArtMechanic_Rotation.gif" decoding="async" width="50" height="163" class="mw-file-element" data-file-width="50" data-file-height="163" /></a><figcaption>Resultáu.</figcaption></figure> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:ArtMechanic.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/ArtMechanic.jpg/400px-ArtMechanic.jpg" decoding="async" width="400" height="163" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/ArtMechanic.jpg/600px-ArtMechanic.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/ArtMechanic.jpg 2x" data-file-width="800" data-file-height="325" /></a><figcaption>Imaxe orixinal de la composición.</figcaption></figure> <p>La imaxe amuesa un artificiu pa crear la ilusión d'una rotación en 3D a partir d'una imaxe en 2D. Ta formada per partes acutaes una detrás d'otra, de cuenta que'l nuesu celebru interpreta como una rotación d'alcuerdu a los datos que sobre l'oxetu (la cabeza) retién la nuesa memoria. </p> <div style="clear: both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_tamién"><span id="Ver_tami.C3.A9n"></span>Ver tamién</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=24" title="Editar seición: Ver tamién" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=24" title="Editar el código fuente de la sección: Ver tamién"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Traslaci%C3%B3n_(xeometr%C3%ADa)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Traslación (xeometría) (la páxina nun esiste)">Traslación (xeometría)</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica_del_s%C3%B3lidu_r%C3%ADxidu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cinemática del sólidu ríxidu (la páxina nun esiste)">Cinemática del sólidu ríxidu</a></li> <li><a href="/wiki/Movimientos_de_la_Tierra" title="Movimientos de la Tierra">Movimientos de la Tierra</a></li> <li><a href="/wiki/Nutaci%C3%B3n" title="Nutación">Nutación</a></li> <li><a href="/wiki/Precesi%C3%B3n" title="Precesión">Precesión</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Traslaci%C3%B3n_de_la_Tierra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Traslación de la Tierra (la páxina nun esiste)">Traslación de la Tierra</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Avalumbu_de_Chandler&action=edit&redlink=1" class="new" title="Avalumbu de Chandler (la páxina nun esiste)">Avalumbu de Chandler</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Movimientu_circular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Movimientu circular (la páxina nun esiste)">Movimientu circular</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Datos_de_los_planetes_del_Sistema_Solar&action=edit&redlink=1" class="new" title="Datos de los planetes del Sistema Solar (la páxina nun esiste)">Datos de los planetes del Sistema Solar</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencies">Referencies</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=25" title="Editar seición: Referencies" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=25" title="Editar el código fuente de la sección: Referencies"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r3503771">@media only screen and (max-width:600px){.mw-parser-output .llistaref{column-count:1!important}}</style><div class="llistaref" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Simon L. Altmann, <i>Rotations, quaternions, and double groups</i>, New York, Dover, 2005, p. 52</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Altmann, p 65</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Donald H. Menzel, <i>Mathematical Physics</i>, New York, Dover, 1961, p. 90 (la notación ye daqué distinta)</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Jerrold Y. Marsden, Tudor S. Ratiu, <i>Introduction to Mechanics and Symmetry</i>, Springer, 2010, p. 289 (la notación ye daqué distinta).</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">J. Willard Gibbs, Edwin Bidwell Wilson, <i>Vector Analysis</i>, New Haven, Yale Univ. Press, 1947, p. 299</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Gibbs, Wilson, p. 343-344</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Granino A. Korn, Theresa M. Korn, <i>Mathematical handbook for scientists and engineers</i>, New York, Dover, 2000, p. 476-478</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Simon L. Altmann, <i>Rotations, quaternions, and double groups</i>, New York, Dover, 2005, p. 155-159</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Altamann, p. 203</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">Marsden, Ratio, p.649</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&veaction=edit&section=26" title="Editar seición: Bibliografía" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3n&action=edit&section=26" title="Editar el código fuente de la sección: Bibliografía"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Rotation", <i>Encyclopedia of Mathematics</i>, Springer, <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9781556080104" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-1-55608-010-4</a>.</li></ul> <p><br /> </p><p><br /> </p><p><br /> </p> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r2260362">.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid #c8ccd1;background-color:#eaecf0;color:#222222}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}</style><div class="mw-authority-control navigation-not-searchable"><div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r4075543">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd 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td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Control_d&#039;autoridaes" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Control_d&#039;autoridaes" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Ayuda:Control_d%27autoridaes" title="Ayuda:Control d'autoridaes">Control d'autoridaes</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><b>Proyeutos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q107617" class="extiw" title="wikidata:Q107617">Q107617</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rotation">Rotation</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" class="mw-redirect" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12140829c">12140829c</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb12140829c">(data)</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Integrated_Authority_File" class="mw-redirect" title="Integrated Authority File">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4150619-4">4150619-4</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" class="mw-redirect" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85115493">sh85115493</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Art_%26_Architecture_Thesaurus" title="Art & Architecture Thesaurus">AAT</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.getty.edu/vow/AATFullDisplay?find=&logic=AND&note=&subjectid=300056045">300056045</a></span></li> <li><b>Identificadores médicos</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Medical_Subject_Headings" title="Medical Subject Headings">MeSH</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://meshb.nlm.nih.gov/record/ui?ui=D012399">D012399</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q107617" class="extiw" title="wikidata:Q107617">Q107617</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rotation">Rotation</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Sacáu de «<a dir="ltr" href="https://ast.wikipedia.org/w/index.php?title=Rotación&oldid=4215918">https://ast.wikipedia.org/w/index.php?title=Rotación&oldid=4215918</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categoríes</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_plant%C3%ADes_de_notes_d%27encabezamientu_enllaciando_a_p%C3%A1xines_que_nun_esisten" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con plantíes de notes d'encabezamientu enllaciando a páxines que nun esisten">Wikipedia:Artículos con plantíes de notes d'encabezamientu enllaciando a páxines que nun esisten</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Revisar_traducci%C3%B3n" title="Categoría:Wikipedia:Revisar traducción">Wikipedia:Revisar traducción</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Cinem%C3%A1tica" title="Categoría:Cinemática">Cinemática</a></li><li><a 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