CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="hy" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Թվաբանություն - Վիքիպեդիա</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )hywikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Հունվար","Փետրվար","Մարտ","Ապրիլ","Մայիս","Հունիս","Հուլիս","Օգոստոս","Սեպտեմբեր","Հոկտեմբեր","Նոյեմբեր","Դեկտեմբեր"],"wgRequestId":"8856fa6d-b805-44ea-a155-66e3b083ac1a","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Թվաբանություն","wgTitle":"Թվաբանություն","wgCurRevisionId":9736922,"wgRevisionId":9736922,"wgArticleId":460498,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["CS1 սպաս․ location missing publisher","CS1 ռուսերեն աղբյուրներով էջեր (ru)","CS1 անգլերեն աղբյուրներով էջեր (en)","Pages using ISBN magic links","Նյութեր Հայկական սովետական հանրագիտարանից", "Չստուգված հոդվածներ ազատ աղբյուրներից","Աուդիո հոդվածներ","Թվաբանություն"],"wgPageViewLanguage":"hy","wgPageContentLanguage":"hy","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Թվաբանություն","wgRelevantArticleId":460498,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"hy","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"hy"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":100000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true, "wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11205","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.relatedIcons":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","mediawiki.page.gallery.styles":"ready","ext.tmh.player.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"}; RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","ext.tmh.player","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.ondemand-pgn","ext.gadget.ArmSpelling","ext.gadget.HotCat","ext.gadget.Provelt","ext.gadget.easyTranslate","ext.gadget.edittop","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hy&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.tmh.player.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.page.gallery.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=hy&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hy&modules=ext.gadget.relatedIcons&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hy&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Arithmetria.jpg"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1912"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Arithmetria.jpg"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="1275"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Arithmetria.jpg/640px-Arithmetria.jpg"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="1020"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Թվաբանություն - Վիքիպեդիա"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//hy.m.wikipedia.org/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Խմբագրել" href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Վիքիպեդիա (hy)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//hy.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.hy"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Վիքիպեդիա Atom Սնուցում" href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D5%8E%D5%A5%D6%80%D5%BB%D5%AB%D5%B6%D6%83%D5%B8%D6%83%D5%B8%D5%AD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A8&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Թվաբանություն rootpage-Թվաբանություն skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Jump to content</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Հիմնական ընտրացանկ" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Հիմնական ընտրացանկ </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Հիմնական ընտրացանկ</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">տեղափոխել կողագոտի</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">թաքցնել</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Նավարկում </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-Գլխավոր-էջ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D4%B3%D5%AC%D5%AD%D5%A1%D5%BE%D5%B8%D6%80_%D5%A7%D5%BB">Գլխավոր էջ</a></li><li id="n-browse" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D6%84%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%A1:%D5%88%D6%80%D5%B8%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%B4_%D5%A8%D5%BD%D5%BF_%D5%AF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB">Կատեգորիաներ</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%A7%D5%BB" title="Այցելեք պատահական էջ [x]" accesskey="x">Պատահական հոդված</a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D5%86%D5%B8%D6%80%D5%A7%D5%BB%D5%A5%D6%80%D5%A8">Նոր էջեր</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D6%84%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%A1:%D4%B8%D5%B6%D5%A9%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%AF_%D5%AB%D6%80%D5%A1%D5%A4%D5%A1%D6%80%D5%B1%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Տեղեկություններ ընթացիկ իրադարձությունների մասին">Ընթացիկ իրադարձություններ</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-participation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-participation" > <div class="vector-menu-heading"> Մասնակցել </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-Էությունը" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D6%84%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%A1:%D4%B7%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A8">Էությունը</a></li><li id="n-Խորհրդարան" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D6%84%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%A1:%D4%BD%D5%B8%D6%80%D5%B0%D6%80%D5%A4%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6">Խորհրդարան</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D5%8E%D5%A5%D6%80%D5%BB%D5%AB%D5%B6%D6%83%D5%B8%D6%83%D5%B8%D5%AD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A8" title="Վիքիում կատարված վերջին փոփոխությունների ցանկը [r]" accesskey="r">Վերջին փոփոխություններ</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%95%D5%A3%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6:%D4%B3%D5%AC%D5%AD%D5%A1%D6%81%D5%A1%D5%B6%D5%AF" title="Վիքիպեդիա նախագծի ուղեցույց">Օգնություն</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%D4%B3%D5%AC%D5%AD%D5%A1%D5%BE%D5%B8%D6%80_%D5%A7%D5%BB" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Վիքիպեդիա" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-hy.svg" style="width: 8.625em; height: 1.375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-hy.svg" width="150" height="15" style="width: 9.375em; height: 0.9375em;"> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D5%88%D6%80%D5%B8%D5%B6%D5%A5%D5%AC" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Որոնել Վիքիպեդիա կայքում [f]" accesskey="f"> Որոնել </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Որոնել Վիքիպեդիա կայքում" aria-label="Որոնել Վիքիպեդիա կայքում" autocapitalize="sentences" title="Որոնել Վիքիպեդիա կայքում [f]" accesskey="f" id="searchInput" > </div> <input type="hidden" name="title" value="Սպասարկող:Որոնել"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Որոնել</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Անձնական գործիքներ"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Արտաքին տեսք"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Արտաքին տեսք" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Արտաքին տեսք </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_hy.wikipedia.org&uselang=hy" class="">Նվիրաբերել</a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:CreateAccount&returnto=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Խորհուրդ է տրվում ստեղծել մասնակցային հաշիվ և մուտք գործել համակարգ, սակայն դա անելը պարտադիր չէ։" class="">Ստեղծել հաշիվ</a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D5%84%D5%A1%D5%BD%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%BF%D6%84&returnto=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Կոչ ենք անում մտնել համակարգ, սակայն դա պարտադիր չէ [o]" accesskey="o" class="">Մտնել</a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Այլ ընտրանքներ" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Անձնական գործիքներ" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Անձնական գործիքներ </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Օգտվողի ընտրացանկ" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_hy.wikipedia.org&uselang=hy">Նվիրաբերել</a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:CreateAccount&returnto=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Խորհուրդ է տրվում ստեղծել մասնակցային հաշիվ և մուտք գործել համակարգ, սակայն դա անելը պարտադիր չէ։"> Ստեղծել հաշիվ</a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D5%84%D5%A1%D5%BD%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%BF%D6%84&returnto=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Կոչ ենք անում մտնել համակարգ, սակայն դա պարտադիր չէ [o]" accesskey="o"> Մտնել</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Էջեր չգրանցված խմբագիրների համար <a href="/wiki/%D5%95%D5%A3%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6:%D4%B3%D5%AC%D5%AD%D5%A1%D6%81%D5%A1%D5%B6%D5%AF" aria-label="Learn more about editing">իմանալ ավելին</a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D4%BB%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A4%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A8" title="A list of edits made from this IP address [y]" accesskey="y">Ներդրումներ</a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D4%BB%D5%B4%D6%84%D5%B6%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A8" title="IP-հասցեից կատարված խմբագրումների քննարկում [n]" accesskey="n">Քննարկում</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Բովանդակություն" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Բովանդակություն</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">տեղափոխել կողագոտի</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">թաքցնել</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Ներածություն</div> </a> </li> <li id="toc-Թվաբանության_առարկան" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Թվաբանության_առարկան"> <div class="vector-toc-text"> 1 Թվաբանության առարկան </div> </a> <ul id="toc-Թվաբանության_առարկան-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Պարզագույն_հասկացություններ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Պարզագույն_հասկացություններ"> <div class="vector-toc-text"> 2 Պարզագույն հասկացություններ </div> </a> <button aria-controls="toc-Պարզագույն_հասկացություններ-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Պարզագույն հասկացություններ subsection </button> <ul id="toc-Պարզագույն_հասկացություններ-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Հաջորդական_հաշվարկ,_բնական_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Հաջորդական_հաշվարկ,_բնական_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 2.1 Հաջորդական հաշվարկ, բնական թվեր </div> </a> <ul id="toc-Հաջորդական_հաշվարկ,_բնական_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Գումարում,_բազմապատկում,_աստիճան_բարձրացում" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Գումարում,_բազմապատկում,_աստիճան_բարձրացում"> <div class="vector-toc-text"> 2.2 Գումարում, բազմապատկում, աստիճան բարձրացում </div> </a> <ul id="toc-Գումարում,_բազմապատկում,_աստիճան_բարձրացում-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Թվաբանության_հիմնական_կանոնները" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Թվաբանության_հիմնական_կանոնները"> <div class="vector-toc-text"> 2.2.1 Թվաբանության հիմնական կանոնները </div> </a> <ul id="toc-Թվաբանության_հիմնական_կանոնները-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Հակառակ_գործողություններ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Հակառակ_գործողություններ"> <div class="vector-toc-text"> 2.3 Հակառակ գործողություններ </div> </a> <ul id="toc-Հակառակ_գործողություններ-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Հանում՝_բացասական_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Հանում՝_բացասական_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 2.3.1 Հանում՝ բացասական թվեր </div> </a> <ul id="toc-Հանում՝_բացասական_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Բաժանում՝_ռացիոնալ_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Բաժանում՝_ռացիոնալ_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 2.3.2 Բաժանում՝ ռացիոնալ թվեր </div> </a> <ul id="toc-Բաժանում՝_ռացիոնալ_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Արմատի_հանում՝_իռացիոնալ_և_կոմպլեքս_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Արմատի_հանում՝_իռացիոնալ_և_կոմպլեքս_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 2.3.3 Արմատի հանում՝ իռացիոնալ և կոմպլեքս թվեր </div> </a> <ul id="toc-Արմատի_հանում՝_իռացիոնալ_և_կոմպլեքս_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Գործնական_թվաբանություն" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Գործնական_թվաբանություն"> <div class="vector-toc-text"> 3 Գործնական թվաբանություն </div> </a> <button aria-controls="toc-Գործնական_թվաբանություն-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Գործնական թվաբանություն subsection </button> <ul id="toc-Գործնական_թվաբանություն-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Ճշգրիտ_մեթոդներ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ճշգրիտ_մեթոդներ"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Ճշգրիտ մեթոդներ </div> </a> <ul id="toc-Ճշգրիտ_մեթոդներ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Համակարգչային_թվաբանություն" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Համակարգչային_թվաբանություն"> <div class="vector-toc-text"> 3.2 Համակարգչային թվաբանություն </div> </a> <ul id="toc-Համակարգչային_թվաբանություն-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Չափում" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Չափում"> <div class="vector-toc-text"> 3.3 Չափում </div> </a> <ul id="toc-Չափում-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Մոտավոր_մեթոդներ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Մոտավոր_մեթոդներ"> <div class="vector-toc-text"> 3.4 Մոտավոր մեթոդներ </div> </a> <ul id="toc-Մոտավոր_մեթոդներ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Թվերի_տեսություն" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Թվերի_տեսություն"> <div class="vector-toc-text"> 4 Թվերի տեսություն </div> </a> <ul id="toc-Թվերի_տեսություն-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Տեսական_թվաբանություն" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Տեսական_թվաբանություն"> <div class="vector-toc-text"> 5 Տեսական թվաբանություն </div> </a> <button aria-controls="toc-Տեսական_թվաբանություն-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Տեսական թվաբանություն subsection </button> <ul id="toc-Տեսական_թվաբանություն-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Բնական_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Բնական_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 Բնական թվեր </div> </a> <ul id="toc-Բնական_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ամբողջ_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ամբողջ_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 Ամբողջ թվեր </div> </a> <ul id="toc-Ամբողջ_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ռացիոնալ_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ռացիոնալ_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 5.3 Ռացիոնալ թվեր </div> </a> <ul id="toc-Ռացիոնալ_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Իրական_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Իրական_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 5.4 Իրական թվեր </div> </a> <ul id="toc-Իրական_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Կոմպլեքս_թվեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Կոմպլեքս_թվեր"> <div class="vector-toc-text"> 5.5 Կոմպլեքս թվեր </div> </a> <ul id="toc-Կոմպլեքս_թվեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ֆորմալ_թվաբանություն" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ֆորմալ_թվաբանություն"> <div class="vector-toc-text"> 6 Ֆորմալ թվաբանություն </div> </a> <ul id="toc-Ֆորմալ_թվաբանություն-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Պատմական_ակնարկ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Պատմական_ակնարկ"> <div class="vector-toc-text"> 7 Պատմական ակնարկ </div> </a> <button aria-controls="toc-Պատմական_ակնարկ-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Պատմական ակնարկ subsection </button> <ul id="toc-Պատմական_ակնարկ-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Հին_մաթեմատիկական_տեքստեր_և_հաշվարկման_համակարգեր" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Հին_մաթեմատիկական_տեքստեր_և_հաշվարկման_համակարգեր"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 Հին մաթեմատիկական տեքստեր և հաշվարկման համակարգեր </div> </a> <ul id="toc-Հին_մաթեմատիկական_տեքստեր_և_հաշվարկման_համակարգեր-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Թվաբանությունը_միջնադարում" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Թվաբանությունը_միջնադարում"> <div class="vector-toc-text"> 7.2 Թվաբանությունը միջնադարում </div> </a> <ul id="toc-Թվաբանությունը_միջնադարում-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Նոր_ժամանակների_թվաբանություն" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Նոր_ժամանակների_թվաբանություն"> <div class="vector-toc-text"> 7.3 Նոր ժամանակների թվաբանություն </div> </a> <ul id="toc-Նոր_ժամանակների_թվաբանություն-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Թվաբանությունը_կրթության_մեջ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Թվաբանությունը_կրթության_մեջ"> <div class="vector-toc-text"> 8 Թվաբանությունը կրթության մեջ </div> </a> <ul id="toc-Թվաբանությունը_կրթության_մեջ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Թվաբանությունը_փիլիսոփայության_և_արվեստի_մեջ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Թվաբանությունը_փիլիսոփայության_և_արվեստի_մեջ"> <div class="vector-toc-text"> 9 Թվաբանությունը փիլիսոփայության և արվեստի մեջ </div> </a> <ul id="toc-Թվաբանությունը_փիլիսոփայության_և_արվեստի_մեջ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Գրականություն" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Գրականություն"> <div class="vector-toc-text"> 10 Գրականություն </div> </a> <ul id="toc-Գրականություն-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ծանոթագրություններ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ծանոթագրություններ"> <div class="vector-toc-text"> 11 Ծանոթագրություններ </div> </a> <ul id="toc-Ծանոթագրություններ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Արտաքին_հղումներ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Արտաքին_հղումներ"> <div class="vector-toc-text"> 12 Արտաքին հղումներ </div> </a> <ul id="toc-Արտաքին_հղումներ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Բովանդակություն" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Toggle the table of contents" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Toggle the table of contents </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Թվաբանություն</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Go to an article in another language. Available in 160 languages" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-160" aria-hidden="true" > 160 լեզու </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ab mw-list-item"><a href="https://ab.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – աբխազերեն" lang="ab" hreflang="ab" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Аԥсшәа" data-language-local-name="աբխազերեն" class="interlanguage-link-target">Аԥсшәа</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Rekenkunde" title="Rekenkunde – աֆրիկաանս" lang="af" hreflang="af" data-title="Rekenkunde" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="աֆրիկաանս" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Arithmetik" title="Arithmetik – շվեյցարական գերմաներեն" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Arithmetik" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="շվեյցարական գերմաներեն" class="interlanguage-link-target">Alemannisch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%A5%E1%8A%90_%E1%89%81%E1%8C%A5%E1%88%AD" title="ሥነ ቁጥር – ամհարերեն" lang="am" hreflang="am" data-title="ሥነ ቁጥር" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="ամհարերեն" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Aritmetica" title="Aritmetica – արագոներեն" lang="an" hreflang="an" data-title="Aritmetica" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="արագոներեն" class="interlanguage-link-target">Aragonés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-anp mw-list-item"><a href="https://anp.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="अंकगणित – անգիկա" lang="anp" hreflang="anp" data-title="अंकगणित" data-language-autonym="अंगिका" data-language-local-name="անգիկա" class="interlanguage-link-target">अंगिका</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D9%8A%D8%A7%D8%AA" title="حسابيات – արաբերեն" lang="ar" hreflang="ar" data-title="حسابيات" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="արաբերեն" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%9F%E0%A7%80%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4" title="পাটীগণিত – ասամերեն" lang="as" hreflang="as" data-title="পাটীগণিত" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="ասամերեն" class="interlanguage-link-target">অসমীয়া</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética – աստուրերեն" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Aritmética" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="աստուրերեն" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Hesab" title="Hesab – ադրբեջաներեն" lang="az" hreflang="az" data-title="Hesab" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="ադրբեջաներեն" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8" title="حساب – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="حساب" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target">تۆرکجه</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="ընտրյալ հոդված"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – բաշկիրերեն" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="բաշկիրերեն" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Ar%C4%97tmet%C4%97ka" title="Arėtmetėka – Samogitian" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Arėtmetėka" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitian" class="interlanguage-link-target">Žemaitėška</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target">Bikol Central</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="լավ հոդված"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%8B%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0" title="Арыфметыка – բելառուսերեն" lang="be" hreflang="be" data-title="Арыфметыка" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="բելառուսերեն" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%BC%D1%8D%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0" title="Арытмэтыка – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Арытмэтыка" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Аритметика – բուլղարերեն" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Аритметика" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="բուլղարերեն" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="अंकगणित – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="अंकगणित" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bi mw-list-item"><a href="https://bi.wikipedia.org/wiki/Arithmetic" title="Arithmetic – բիսլամա" lang="bi" hreflang="bi" data-title="Arithmetic" data-language-autonym="Bislama" data-language-local-name="բիսլամա" class="interlanguage-link-target">Bislama</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4" title="পাটিগণিত – բենգալերեն" lang="bn" hreflang="bn" data-title="পাটিগণিত" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="բենգալերեն" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Aritmetik" title="Aritmetik – բրետոներեն" lang="br" hreflang="br" data-title="Aritmetik" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="բրետոներեն" class="interlanguage-link-target">Brezhoneg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – բոսնիերեն" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="բոսնիերեն" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D1%8D" title="Арифметикэ – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Арифметикэ" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target">Буряад</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A8tica" title="Aritmètica – կատալաներեն" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Aritmètica" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="կատալաներեն" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cbk-zam mw-list-item"><a href="https://cbk-zam.wikipedia.org/wiki/Aritmetica" title="Aritmetica – Chavacano" lang="cbk" hreflang="cbk" data-title="Aritmetica" data-language-autonym="Chavacano de Zamboanga" data-language-local-name="Chavacano" class="interlanguage-link-target">Chavacano de Zamboanga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ceb mw-list-item"><a href="https://ceb.wikipedia.org/wiki/Aritmetik" title="Aritmetik – սեբուերեն" lang="ceb" hreflang="ceb" data-title="Aritmetik" data-language-autonym="Cebuano" data-language-local-name="սեբուերեն" class="interlanguage-link-target">Cebuano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%85%DB%8E%D8%B1%DB%95" title="ژمێرە – սորանի քրդերեն" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ژمێرە" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="սորանի քրդերեն" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-co mw-list-item"><a href="https://co.wikipedia.org/wiki/Aritmetica" title="Aritmetica – կորսիկերեն" lang="co" hreflang="co" data-title="Aritmetica" data-language-autonym="Corsu" data-language-local-name="կորսիկերեն" class="interlanguage-link-target">Corsu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-crh mw-list-item"><a href="https://crh.wikipedia.org/wiki/Esap" title="Esap – ղրիմյան թուրքերեն" lang="crh" hreflang="crh" data-title="Esap" data-language-autonym="Qırımtatarca" data-language-local-name="ղրիմյան թուրքերեն" class="interlanguage-link-target">Qırımtatarca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – չեխերեն" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="չեխերեն" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – չուվաշերեն" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="չուվաշերեն" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhifyddeg" title="Rhifyddeg – ուելսերեն" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhifyddeg" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ուելսերեն" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Aritmetik" title="Aritmetik – դանիերեն" lang="da" hreflang="da" data-title="Aritmetik" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="դանիերեն" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetik" title="Arithmetik – գերմաներեն" lang="de" hreflang="de" data-title="Arithmetik" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="գերմաներեն" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%B7%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE" title="Αριθμητική – հունարեն" lang="el" hreflang="el" data-title="Αριθμητική" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="հունարեն" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="լավ հոդված"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic" title="Arithmetic – անգլերեն" lang="en" hreflang="en" data-title="Arithmetic" data-language-autonym="English" data-language-local-name="անգլերեն" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Aritmetiko" title="Aritmetiko – էսպերանտո" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Aritmetiko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="էսպերանտո" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética – իսպաներեն" lang="es" hreflang="es" data-title="Aritmética" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="իսպաներեն" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Aritmeetika" title="Aritmeetika – էստոներեն" lang="et" hreflang="et" data-title="Aritmeetika" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="էստոներեն" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – բասկերեն" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="բասկերեն" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ext mw-list-item"><a href="https://ext.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética – Extremaduran" lang="ext" hreflang="ext" data-title="Aritmética" data-language-autonym="Estremeñu" data-language-local-name="Extremaduran" class="interlanguage-link-target">Estremeñu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8" title="حساب – պարսկերեն" lang="fa" hreflang="fa" data-title="حساب" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="պարսկերեն" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Aritmetiikka" title="Aritmetiikka – ֆիններեն" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Aritmetiikka" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="ֆիններեն" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Arvokunst" title="Arvokunst – վորո" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Arvokunst" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="վորո" class="interlanguage-link-target">Võro</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Maqusa" title="Maqusa – ֆիջիերեն" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Maqusa" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="ֆիջիերեն" class="interlanguage-link-target">Na Vosa Vakaviti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique" title="Arithmétique – ֆրանսերեն" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Arithmétique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="ֆրանսերեն" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Aritmeetik" title="Aritmeetik – հյուսիսային ֆրիզերեն" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Aritmeetik" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="հյուսիսային ֆրիզերեն" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Uimhr%C3%ADocht" title="Uimhríocht – իռլանդերեն" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Uimhríocht" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="իռլանդերեն" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93" title="算術 – Gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="算術" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="Gan" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tik" title="Aritmétik – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Aritmétik" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/%C3%80ireamhachd" title="Àireamhachd – շոտլանդական գաելերեն" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Àireamhachd" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="շոտլանդական գաելերեն" class="interlanguage-link-target">Gàidhlig</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética – գալիսերեն" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Aritmética" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="գալիսերեն" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gom mw-list-item"><a href="https://gom.wikipedia.org/wiki/Ank%E2%80%8Cgonnit" title="Ank‌gonnit – Goan Konkani" lang="gom" hreflang="gom" data-title="Ank‌gonnit" data-language-autonym="गोंयची कोंकणी / Gõychi Konknni" data-language-local-name="Goan Konkani" class="interlanguage-link-target">गोंयची कोंकणी / Gõychi Konknni</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%85%E0%AA%82%E0%AA%95%E0%AA%97%E0%AA%A3%E0%AA%BF%E0%AA%A4" title="અંકગણિત – գուջարաթի" lang="gu" hreflang="gu" data-title="અંકગણિત" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="գուջարաթի" class="interlanguage-link-target">ગુજરાતી</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94" title="אריתמטיקה – եբրայերեն" lang="he" hreflang="he" data-title="אריתמטיקה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="եբրայերեն" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="अंकगणित – հինդի" lang="hi" hreflang="hi" data-title="अंकगणित" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="հինդի" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Arithmetic" title="Arithmetic – Fiji Hindi" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Arithmetic" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="Fiji Hindi" class="interlanguage-link-target">Fiji Hindi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – խորվաթերեն" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="խորվաթերեն" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A1mtan" title="Számtan – հունգարերեն" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Számtan" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="հունգարերեն" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D4%B9%D5%B8%D6%82%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%AB%D6%82%D5%B6" title="Թուաբանութիւն – Western Armenian" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Թուաբանութիւն" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="Western Armenian" class="interlanguage-link-target">Արեւմտահայերէն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Arithmetica" title="Arithmetica – ինտերլինգուա" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Arithmetica" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="ինտերլինգուա" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Aritmetik" title="Aritmetik – իբաներեն" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Aritmetik" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="իբաներեն" class="interlanguage-link-target">Jaku Iban</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – ինդոնեզերեն" lang="id" hreflang="id" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="ինդոնեզերեն" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ilo mw-list-item"><a href="https://ilo.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – իլոկերեն" lang="ilo" hreflang="ilo" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Ilokano" data-language-local-name="իլոկերեն" class="interlanguage-link-target">Ilokano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Aritmetiko" title="Aritmetiko – իդո" lang="io" hreflang="io" data-title="Aritmetiko" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="իդո" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Talnareikningur" title="Talnareikningur – իսլանդերեն" lang="is" hreflang="is" data-title="Talnareikningur" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="իսլանդերեն" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica" title="Aritmetica – իտալերեն" lang="it" hreflang="it" data-title="Aritmetica" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="իտալերեն" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93" title="算術 – ճապոներեն" lang="ja" hreflang="ja" data-title="算術" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="ճապոներեն" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Aritmitik" title="Aritmitik – Jamaican Creole English" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Aritmitik" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/sapme%27ocmaci" title="sapme'ocmaci – լոժբան" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="sapme'ocmaci" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="լոժբան" class="interlanguage-link-target">La .lojban.</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Ng%C3%A8lmu_%C3%A9tung" title="Ngèlmu étung – ճավայերեն" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Ngèlmu étung" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="ճավայերեն" class="interlanguage-link-target">Jawa</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%97%E1%83%9B%E1%83%94%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90" title="არითმეტიკა – վրացերեն" lang="ka" hreflang="ka" data-title="არითმეტიკა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="վրացերեն" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kaa mw-list-item"><a href="https://kaa.wikipedia.org/wiki/Arifmetika" title="Arifmetika – Kara-Kalpak" lang="kaa" hreflang="kaa" data-title="Arifmetika" data-language-autonym="Qaraqalpaqsha" data-language-local-name="Kara-Kalpak" class="interlanguage-link-target">Qaraqalpaqsha</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kg mw-list-item"><a href="https://kg.wikipedia.org/wiki/Kutanga" title="Kutanga – Kongo" lang="kg" hreflang="kg" data-title="Kutanga" data-language-autonym="Kongo" data-language-local-name="Kongo" class="interlanguage-link-target">Kongo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – ղազախերեն" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="ղազախերեն" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kl mw-list-item"><a href="https://kl.wikipedia.org/wiki/Aritmetikki" title="Aritmetikki – կալաալիսուտ" lang="kl" hreflang="kl" data-title="Aritmetikki" data-language-autonym="Kalaallisut" data-language-local-name="կալաալիսուտ" class="interlanguage-link-target">Kalaallisut</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%85%E0%B2%82%E0%B2%95%E0%B2%97%E0%B2%A3%E0%B2%BF%E0%B2%A4" title="ಅಂಕಗಣಿತ – կաննադա" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಅಂಕಗಣಿತ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="կաննադա" class="interlanguage-link-target">ಕನ್ನಡ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%B0%EC%88%A0" title="산술 – կորեերեն" lang="ko" hreflang="ko" data-title="산술" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="կորեերեն" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Niveronieth" title="Niveronieth – կոռներեն" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Niveronieth" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="կոռներեն" class="interlanguage-link-target">Kernowek</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – ղրղզերեն" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="ղրղզերեն" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="ընտրյալ հոդված"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Arithmetica" title="Arithmetica – լատիներեն" lang="la" hreflang="la" data-title="Arithmetica" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="լատիներեն" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lad mw-list-item"><a href="https://lad.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – լադինո" lang="lad" hreflang="lad" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Ladino" data-language-local-name="լադինո" class="interlanguage-link-target">Ladino</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Aritmetica" title="Aritmetica – Lingua Franca Nova" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Aritmetica" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target">Lingua Franca Nova</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Aritmetega" title="Aritmetega – Lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Aritmetega" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Lombard" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – լիտվերեն" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="լիտվերեն" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Aritm%C4%93tika" title="Aritmētika – լատվիերեն" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Aritmētika" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="լատվիերեն" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – մալգաշերեն" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="մալգաշերեն" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Аритметика – մակեդոներեն" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Аритметика" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="մակեդոներեն" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%85%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B4%97%E0%B4%A3%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="അങ്കഗണിതം – մալայալամ" lang="ml" hreflang="ml" data-title="അങ്കഗണിതം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="մալայալամ" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="अंकगणित – մարաթի" lang="mr" hreflang="mr" data-title="अंकगणित" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="մարաթի" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Aritmetik" title="Aritmetik – մալայերեն" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Aritmetik" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="մալայերեն" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mwl mw-list-item"><a href="https://mwl.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética – միրանդերեն" lang="mwl" hreflang="mwl" data-title="Aritmética" data-language-autonym="Mirandés" data-language-local-name="միրանդերեն" class="interlanguage-link-target">Mirandés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%82%E1%80%8F%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B9%E1%80%81%E1%80%BB%E1%80%AC" title="ဂဏန်းသင်္ချာ – բիրմայերեն" lang="my" hreflang="my" data-title="ဂဏန်းသင်္ချာ" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="բիրմայերեն" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nah mw-list-item"><a href="https://nah.wikipedia.org/wiki/Tlap%C5%8Dhuall%C5%8Dtl" title="Tlapōhuallōtl – Nahuatl" lang="nah" hreflang="nah" data-title="Tlapōhuallōtl" data-language-autonym="Nāhuatl" data-language-local-name="Nahuatl" class="interlanguage-link-target">Nāhuatl</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nap mw-list-item"><a href="https://nap.wikipedia.org/wiki/Artemeteca" title="Artemeteca – նեապոլերեն" lang="nap" hreflang="nap" data-title="Artemeteca" data-language-autonym="Napulitano" data-language-local-name="նեապոլերեն" class="interlanguage-link-target">Napulitano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Arithmetik" title="Arithmetik – ստորին գերմաներեն" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Arithmetik" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="ստորին գերմաներեն" class="interlanguage-link-target">Plattdüütsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%95_%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="अङ्क गणित – նեպալերեն" lang="ne" hreflang="ne" data-title="अङ्क गणित" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="նեպալերեն" class="interlanguage-link-target">नेपाली</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="अंकगणित – նեվարերեն" lang="new" hreflang="new" data-title="अंकगणित" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="նեվարերեն" class="interlanguage-link-target">नेपाल भाषा</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nia mw-list-item"><a href="https://nia.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – նիասերեն" lang="nia" hreflang="nia" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Li Niha" data-language-local-name="նիասերեն" class="interlanguage-link-target">Li Niha</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Rekenen" title="Rekenen – հոլանդերեն" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Rekenen" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="հոլանդերեն" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Aritmetikk" title="Aritmetikk – նոր նորվեգերեն" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Aritmetikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="նոր նորվեգերեն" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Aritmetikk" title="Aritmetikk – գրքային նորվեգերեն" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Aritmetikk" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="գրքային նորվեգերեն" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Aritmetike" title="Aritmetike – Novial" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Aritmetike" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="Novial" class="interlanguage-link-target">Novial</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Aritmetica" title="Aritmetica – օքսիտաներեն" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Aritmetica" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="օքսիտաներեն" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Lakxii" title="Lakxii – օրոմո" lang="om" hreflang="om" data-title="Lakxii" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="օրոմո" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-os mw-list-item"><a href="https://os.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%C3%A6" title="Арифметикæ – օսերեն" lang="os" hreflang="os" data-title="Арифметикæ" data-language-autonym="Ирон" data-language-local-name="օսերեն" class="interlanguage-link-target">Ирон</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%85%E0%A9%B0%E0%A8%95_%E0%A8%97%E0%A8%A3%E0%A8%BF%E0%A8%A4" title="ਅੰਕ ਗਣਿਤ – փենջաբերեն" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਅੰਕ ਗਣਿਤ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="փենջաբերեն" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pap mw-list-item"><a href="https://pap.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tika" title="Aritmétika – պապյամենտո" lang="pap" hreflang="pap" data-title="Aritmétika" data-language-autonym="Papiamentu" data-language-local-name="պապյամենտո" class="interlanguage-link-target">Papiamentu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyka" title="Arytmetyka – լեհերեն" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Arytmetyka" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="լեհերեն" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética – պիեմոնտերեն" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Aritmética" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="պիեմոնտերեն" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8" title="حساب – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="حساب" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8" title="حساب – փուշթու" lang="ps" hreflang="ps" data-title="حساب" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="փուշթու" class="interlanguage-link-target">پښتو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética – պորտուգալերեն" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Aritmética" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="պորտուգալերեն" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Yupa_hap%27ichiy" title="Yupa hap'ichiy – կեչուա" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Yupa hap'ichiy" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="կեչուա" class="interlanguage-link-target">Runa Simi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Aritmetic%C4%83" title="Aritmetică – ռումիներեն" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Aritmetică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ռումիներեն" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="ընտրյալ հոդված"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – ռուսերեն" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ռուսերեն" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%96%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%96%D0%BA%D0%B0" title="Аріфметіка – ռուսիներեն" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Аріфметіка" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="ռուսիներեն" class="interlanguage-link-target">Русиньскый</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sa mw-list-item"><a href="https://sa.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A4%AE%E0%A5%8D" title="अङ्कगणितम् – սանսկրիտ" lang="sa" hreflang="sa" data-title="अङ्कगणितम्" data-language-autonym="संस्कृतम्" data-language-local-name="սանսկրիտ" class="interlanguage-link-target">संस्कृतम्</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – յակուտերեն" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="յակուտերեն" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sc mw-list-item"><a href="https://sc.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A8tica" title="Aritmètica – սարդիներեն" lang="sc" hreflang="sc" data-title="Aritmètica" data-language-autonym="Sardu" data-language-local-name="սարդիներեն" class="interlanguage-link-target">Sardu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Aritmetica" title="Aritmetica – սիցիլիերեն" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Aritmetica" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="սիցիլիերեն" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Arithmetic" title="Arithmetic – շոտլանդերեն" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Arithmetic" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="շոտլանդերեն" class="interlanguage-link-target">Scots</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – սերբա-խորվաթերեն" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="սերբա-խորվաթերեն" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Arithmetic" title="Arithmetic – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Arithmetic" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – սլովակերեն" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="սլովակերեն" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – սլովեներեն" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="սլովեներեն" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Huwandu" title="Huwandu – շոնա" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Huwandu" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="շոնա" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – ալբաներեն" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="ալբաներեն" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Аритметика – սերբերեն" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Аритметика" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="սերբերեն" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Aritmetik" title="Aritmetik – շվեդերեն" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Aritmetik" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="շվեդերեն" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Hesabu" title="Hesabu – սուահիլի" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Hesabu" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="սուահիլի" class="interlanguage-link-target">Kiswahili</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="எண்கணிதம் – թամիլերեն" lang="ta" hreflang="ta" data-title="எண்கணிதம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="թամիլերեն" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D2%B2%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B1" title="Ҳисоб – տաջիկերեն" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Ҳисоб" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="տաջիկերեն" class="interlanguage-link-target">Тоҷикӣ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95" title="เลขคณิต – թայերեն" lang="th" hreflang="th" data-title="เลขคณิต" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="թայերեն" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika – տագալերեն" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Aritmetika" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="տագալերեն" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tly mw-list-item"><a href="https://tly.wikipedia.org/wiki/Hisob" title="Hisob – թալիշերեն" lang="tly" hreflang="tly" data-title="Hisob" data-language-autonym="Tolışi" data-language-local-name="թալիշերեն" class="interlanguage-link-target">Tolışi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Aritmetik" title="Aritmetik – թուրքերեն" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Aritmetik" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="թուրքերեն" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ts mw-list-item"><a href="https://ts.wikipedia.org/wiki/Tinhlayo-tinomboro" title="Tinhlayo-tinomboro – ցոնգա" lang="ts" hreflang="ts" data-title="Tinhlayo-tinomboro" data-language-autonym="Xitsonga" data-language-local-name="ցոնգա" class="interlanguage-link-target">Xitsonga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – թաթարերեն" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="թաթարերեն" class="interlanguage-link-target">Татарча / tatarça</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ug mw-list-item"><a href="https://ug.wikipedia.org/wiki/%D8%A6%D8%A7%D8%B1%D9%89%D9%81%D9%85%DB%90%D8%AA%D9%89%D9%83%D8%A7" title="ئارىفمېتىكا – ույղուրերեն" lang="ug" hreflang="ug" data-title="ئارىفمېتىكا" data-language-autonym="ئۇيغۇرچە / Uyghurche" data-language-local-name="ույղուրերեն" class="interlanguage-link-target">ئۇيغۇرچە / Uyghurche</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – ուկրաիներեն" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ուկրաիներեն" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8" title="حساب – ուրդու" lang="ur" hreflang="ur" data-title="حساب" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ուրդու" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Arifmetika" title="Arifmetika – ուզբեկերեն" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Arifmetika" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ուզբեկերեն" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A8tega" title="Aritmètega – վենետերեն" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Aritmètega" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="վենետերեն" class="interlanguage-link-target">Vèneto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Arifmetik" title="Arifmetik – վեպսերեն" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Arifmetik" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="վեպսերեն" class="interlanguage-link-target">Vepsän kel’</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc" title="Số học – վիետնամերեն" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Số học" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="վիետնամերեն" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vo mw-list-item"><a href="https://vo.wikipedia.org/wiki/Kalkulav" title="Kalkulav – վոլապյուկ" lang="vo" hreflang="vo" data-title="Kalkulav" data-language-autonym="Volapük" data-language-local-name="վոլապյուկ" class="interlanguage-link-target">Volapük</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Aritmetik%C3%A1" title="Aritmetiká – վարայերեն" lang="war" hreflang="war" data-title="Aritmetiká" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="վարայերեն" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF" title="算术 – վու չինարեն" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="算术" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="վու չինարեն" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Арифметика – կալմիկերեն" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Арифметика" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="կալմիկերեն" class="interlanguage-link-target">Хальмг</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/I-arithmetic" title="I-arithmetic – քոսա" lang="xh" hreflang="xh" data-title="I-arithmetic" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="քոսա" class="interlanguage-link-target">IsiXhosa</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xmf mw-list-item"><a href="https://xmf.wikipedia.org/wiki/%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%97%E1%83%9B%E1%83%94%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90" title="არითმეტიკა – Mingrelian" lang="xmf" hreflang="xmf" data-title="არითმეტიკა" data-language-autonym="მარგალური" data-language-local-name="Mingrelian" class="interlanguage-link-target">მარგალური</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%9E%D7%A2%D7%98%D7%99%D7%A7" title="אריטמעטיק – իդիշ" lang="yi" hreflang="yi" data-title="אריטמעטיק" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="իդիշ" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/%C3%8C%E1%B9%A3%C3%ADr%C3%B2" title="Ìṣírò – յորուբա" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Ìṣírò" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="յորուբա" class="interlanguage-link-target">Yorùbá</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zea mw-list-item"><a href="https://zea.wikipedia.org/wiki/Rekenen" title="Rekenen – զեյլանդերեն" lang="zea" hreflang="zea" data-title="Rekenen" data-language-autonym="Zeêuws" data-language-local-name="զեյլանդերեն" class="interlanguage-link-target">Zeêuws</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF" title="算术 – չինարեն" lang="zh" hreflang="zh" data-title="算术" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="չինարեն" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93" title="算術 – Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="算術" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/So%C3%A0n-su%CC%8Dt" title="Soàn-su̍t – Minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Soàn-su̍t" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="Minnan" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93" title="算術 – կանտոներեն" lang="yue" hreflang="yue" data-title="算術" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="կանտոներեն" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zu mw-list-item"><a href="https://zu.wikipedia.org/wiki/Ubuphicinani" title="Ubuphicinani – զուլուերեն" lang="zu" hreflang="zu" data-title="Ubuphicinani" data-language-autonym="IsiZulu" data-language-local-name="զուլուերեն" class="interlanguage-link-target">IsiZulu</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11205#sitelinks-wikipedia" title="Խմբագրել միջլեզվային հղումները" class="wbc-editpage">Փոխել հղումները</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Անվանատարածքներ"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Դիտել հոդվածը [c]" accesskey="c">Հոդված</a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%94%D5%B6%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4:%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" rel="discussion" title="Քննարկումներ այս էջի բովանդակության մասին [t]" accesskey="t">քննարկում</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Change language variant" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >հայերեն </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Դիտումները"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6">Կարդալ</a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit" title="Խմբագրել այս էջը [v]" accesskey="v">Խմբագրել</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit" title="Խմբագրել այս էջի ելատեքստը [e]" accesskey="e">Խմբագրել կոդը</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=history" title="Այս էջի խմբագրումների պատմությունը [h]" accesskey="h">Դիտել պատմությունը</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Page tools"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Գործիքներ" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Գործիքներ </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Գործիքներ</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">տեղափոխել կողագոտի</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">թաքցնել</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Այլ ընտրանքներ" > <div class="vector-menu-heading"> Գործողություններ </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6">Կարդալ</a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit" title="Խմբագրել այս էջը [v]" accesskey="v">Խմբագրել</a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit" title="Խմբագրել այս էջի ելատեքստը [e]" accesskey="e">Խմբագրել կոդը</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=history">Դիտել պատմությունը</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ընդհանուր </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D4%B1%D5%B5%D5%BD%D5%BF%D5%A5%D5%B2%D5%B0%D5%B2%D5%BE%D5%B8%D5%B2%D5%A7%D5%BB%D5%A5%D6%80%D5%A8/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Այս էջին հղվող բոլոր վիքի էջերի ցանկը [j]" accesskey="j">Այստեղ հղվող էջերը</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D4%BF%D5%A1%D5%BA%D5%BE%D5%A1%D5%AE%D5%A7%D5%BB%D5%A5%D6%80%D5%AB%D6%83%D5%B8%D6%83%D5%B8%D5%AD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A8/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" rel="nofollow" title="Այս էջից կապված էջերի վերջին փոփոխությունները [k]" accesskey="k">Կապված փոփոխություններ</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2%D5%A7%D5%BB%D5%A5%D6%80%D5%A8" title="Բոլոր սպասարկող էջերի ցանկը [q]" accesskey="q">Սպասարկող էջեր</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&oldid=9736922" title="Էջի այս տարբերակի մշտական հղում">Մշտական հղում</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=info" title="Վիճակագրական տվյալներ էջի մասին">Էջի վիճակագրություն</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:CiteThisPage&page=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&id=9736922&wpFormIdentifier=titleform" title="Տեղեկատվություն, թե ինչպես պետք է մեջբերել այս էջը">Մեջբերել այս էջը</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fhy.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D4%25B9%25D5%25BE%25D5%25A1%25D5%25A2%25D5%25A1%25D5%25B6%25D5%25B8%25D6%2582%25D5%25A9%25D5%25B5%25D5%25B8%25D6%2582%25D5%25B6">Ստանալ կարճ URL հասցե</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:QrCode&url=https%3A%2F%2Fhy.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D4%25B9%25D5%25BE%25D5%25A1%25D5%25A2%25D5%25A1%25D5%25B6%25D5%25B8%25D6%2582%25D5%25A9%25D5%25B5%25D5%25B8%25D6%2582%25D5%25B6">Download QR code</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Տպել/արտահանել </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:Book&bookcmd=book_creator&referer=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6">Ստեղծել գիրք</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:DownloadAsPdf&page=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=show-download-screen">Ներբեռնել որպես PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&printable=yes" title="Այս էջի տպելու տարբերակ [p]" accesskey="p">Տպելու տարբերակ</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Այլ նախագծերում </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Arithmetic" hreflang="en">Վիքիպահեստ</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11205" title="Հղում Վիքիտվյալի համապատասխան էջին [g]" accesskey="g">Վիքիտվյալների տարր</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Page tools"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Արտաքին տեսք"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Արտաքին տեսք</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">տեղափոխել կողագոտի</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">թաքցնել</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="hy" dir="ltr"><div class="infobox sisterproject noprint" style="width:312px;"> <div style="text-align:center; padding-bottom: .7em; width: 100%"><a href="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Hy-%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_%28Arithmetic%29.ogg" class="internal" title="Hy-Թվաբանություն (Arithmetic).ogg">Լսել հոդվածի ներածությունը</a> · (<a class="external text" href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Hy-%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(Arithmetic).ogg">տեղ.</a>) <figure class="mw-default-size mw-halign-center" typeof="mw:File"><audio id="mwe_player_0" controls="" preload="none" data-mw-tmh="" class="mw-file-element" width="220" style="width:220px;" data-durationhint="170" data-mwtitle="Hy-Թվաբանություն_(Arithmetic).ogg" data-mwprovider="wikimediacommons"><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/9/9b/Hy-%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_%28Arithmetic%29.ogg/Hy-%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_%28Arithmetic%29.ogg.mp3" type="audio/mpeg" data-transcodekey="mp3" data-width="0" data-height="0" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Hy-%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_%28Arithmetic%29.ogg" type="audio/ogg; codecs="vorbis"" data-width="0" data-height="0" /></audio><figcaption>noicon</figcaption></figure></div> <div style="float:left; margin-left:5px;"><figure class="mw-halign-none" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D6%84%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%A1:%D4%BD%D5%B8%D5%BD%D5%B8%D5%B2_%D5%B0%D5%B8%D5%A4%D5%BE%D5%A1%D5%AE" title="Վիքիպեդիա:Խոսող հոդված"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Exquisite-kmix.png/45px-Exquisite-kmix.png" decoding="async" width="45" height="45" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Exquisite-kmix.png/68px-Exquisite-kmix.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Exquisite-kmix.png/90px-Exquisite-kmix.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a><figcaption></figcaption></figure></div> <div style="font-size:xx-small; line-height:1.6em; margin-left:60px;">Ձայնային ֆայլն ստեղծվել է <a class="external text" href="https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&oldid=6322789">հետևյալ տարբերակի</a> հիման վրա (հունիսի 20, 2019) և չի պարունակում այս ամսաթվից հետո կատարված փոփոխությունները։ Տես նաև <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hy-%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(Arithmetic).ogg" class="extiw" title="commons:File:Hy-Թվաբանություն (Arithmetic).ogg">ֆայլի մասին տեղեկությունները</a> կամ <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Media:Hy-%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(Arithmetic).ogg" class="extiw" title="commons:Media:Hy-Թվաբանություն (Arithmetic).ogg">բեռնիր ձայնագրությունը</a> Վիքիպահեստից։ (<a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:%D4%B1%D5%B8%D6%82%D5%A4%D5%AB%D5%B8_%D5%B0%D5%B8%D5%A4%D5%BE%D5%A1%D5%AE%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Կատեգորիա:Աուդիո հոդվածներ">Գտնել այլ աուդիո հոդվածներ</a>)</div> </div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Arithmetria.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Arithmetria.jpg/200px-Arithmetria.jpg" decoding="async" width="200" height="319" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Arithmetria.jpg/300px-Arithmetria.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Arithmetria.jpg/400px-Arithmetria.jpg 2x" data-file-width="681" data-file-height="1085" /></a><figcaption>Թվաբանություն Հանս Սեբալդ Բեհամ, XVI դար</figcaption></figure> Թվաբանություն (<a href="/wiki/%D5%80%D5%AB%D5%B6_%D5%B0%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%A5%D5%B6" title="Հին հունարեն">հին հունարեն</a>՝ ἀριθμητική, ἀριθμός <a href="/wiki/%D4%B9%D5%AB%D5%BE" title="Թիվ">թվեր</a> բառից), <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Մաթեմատիկա">մաթեմատիկայի</a> բաժին, որն ուսումնասիրում է թվերը, նրանց հատկությունները և հարաբերությունները։ Թվաբանության ուսումնասիրման առարկան թիվ հասկացությունն է, դրա գաղափարների մշակումը (<a href="/wiki/%D4%B2%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բնական թիվ">բնական</a>, <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B4%D5%A2%D5%B8%D5%B2%D5%BB_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Ամբողջ թիվ">ամբողջ</a>, <a href="/wiki/%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Ռացիոնալ թիվ">ռացիոնալ</a>, <a href="/wiki/%D4%BB%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80" class="mw-redirect" title="Իրական թվեր">իրական</a>, <a href="/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%BA%D5%AC%D5%A5%D6%84%D5%BD_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Կոմպլեքս թիվ">կոմպլեքս</a>) և հատկությունների ուսումնասիրությունը։ Թվաբանության մեջ ուսումնասիրվում են <a href="/wiki/%D5%89%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Չափումներ">չափումներ</a>, հաշվողական գործողություններ (<a href="/wiki/%D4%B3%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Գումարում">գումարում</a>, հանում, բազմապատկում, բաժանում) և հաշվարկման մեթոդներ։ Առանձին ամբողջ թվերի ուսումնասիրությամբ զբաղվում է բարձրագույն թվաբանությունը կամ թվերի տեսությունը։ Թվաբանության տեսությունը ուշադրություն է դարձնում թվերի որոշմանը, սահմանմանը և անալիզին, այն դեպքում երբ <a href="/wiki/%D4%B1%D6%84%D5%BD%D5%AB%D5%B8%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF_%D5%B4%D5%A5%D5%A9%D5%B8%D5%A4" title="Աքսիոմատիկ մեթոդ">աքսիոմատիկ</a> թվաբանությունը հենվում է տրամաբանական կառուցվածքների՝ <a href="/wiki/%D5%8A%D6%80%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%BF%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Պրեդիկատների տրամաբանություն">պրեդեկատների</a> և աքսիոմաների վրա։ Թվաբանությունը հնագույն գիտություն է, այն հիմնական մաթեմատիկական գիտություններից մեկն է և սերտ կապված է <a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Երկրաչափություն">երկրաչափության</a>, <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Հանրահաշիվ">հանրահաշվի</a> և <a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Թվերի տեսություն">թվերի տեսության</a> հետ<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a><a href="#cite_note-MathEnc_FormArith-2">[2]</a>։ Թվաբանության առաջացման պատճառ դարձավ հաշվարկի և գումարման գործնական անհրաժեշտությունը, <a href="/wiki/%D4%B3%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B2%D5%A1%D5%BF%D5%B6%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Գյուղատնտեսություն">գյուղատնտեսության</a> կենտրոնացման ժամանակ <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D5%BC%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Հաշվապահական հաշվառում">հաշվապահական հաշվառման</a> հետ կապված։ Խնդիրների լուծման բարդացման հետ գիտությունն ավելի զարգացավ։ Թվաբանության զարգացման մեջ մեծ ավանդ են ունեցել հույն մաթեմատիկոսները, մասնավորապես <a href="/wiki/%D5%93%D5%AB%D5%AC%D5%AB%D5%BD%D5%B8%D6%83%D5%A1" title="Փիլիսոփա">փիլիսոփա</a> պյութագորասականները, որոնք փորձում էին թվերի օգնությամբ հաշվել և նկարագրել աշխարհի բոլոր օրինաչափությունները։ <a href="/wiki/%D5%84%D5%AB%D5%BB%D5%B6%D5%A1%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="Միջնադար">Միջնադարում</a> թվաբանությունը, նեոպլատոնականներից հետո դասվեց այպես կոչվող յոթ <a href="/wiki/%D4%B1%D5%A6%D5%A1%D5%BF_%D5%A1%D6%80%D5%BE%D5%A5%D5%BD%D5%BF%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Ազատ արվեստներ">ազատ արվեստների</a> շարքին։ Այն ժամանակ թվաբանության պրակտիկ օգտագործման հիմնական ոլորտներն էին <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BC%D6%87%D5%BF%D5%B8%D6%82%D6%80" title="Առևտուր">առևտուրը</a>, <a href="/wiki/%D5%87%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Շինարարություն">շինարարությունը</a> և <a href="/wiki/%D5%86%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%A3%D5%B6%D5%A1%D6%81%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Նավագնացություն">նավագնացությունը</a>։ Սրա հետ կապված հատուկ նշանակություն ստացան <a href="/wiki/%D4%BB%D5%BC%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իռացիոնալ թիվ">իռացիոնալ թվերի</a> մոտավոր հաշվարկները, որոնք առաջին հերթին անհրաժեշտ էին երկրաչափական պատկերների կառուցման համար։ Թվաբանությունը հատկապես բուռն զարգացավ <a href="/wiki/%D5%80%D5%B6%D5%A4%D5%AF%D5%A1%D5%BD%D5%BF%D5%A1%D5%B6" title="Հնդկաստան">Հնդկաստանում</a> և արաբական երկրներում, որտեղից էլ մաթեմատիկական մտքի ձեռքբերումները տարածվեցին դեպի <a href="/wiki/%D4%B1%D6%80%D6%87%D5%B4%D5%BF%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D4%B5%D5%BE%D6%80%D5%B8%D5%BA%D5%A1" title="Արևմտյան Եվրոպա">Արևմտյան Եվրոպա</a>։ Նոր ժամանակներում ծովագնացային <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%B2%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Աստղագիտություն">աստղագիտությունը</a>, <a href="/wiki/%D5%84%D5%A5%D5%AD%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Մեխանիկա">մեխանիկան</a>, բարդացող կոմերցիոն հաշվարկները առաջացրեցին <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%B8%D5%B2%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%A5%D5%AD%D5%B6%D5%AB%D5%AF%D5%A1" class="mw-redirect" title="Հաշվողական տեխնիկա">հաշվողական տեխնիկային</a> նոր պահանջներ և զարկ տվեցին թվաբանության հետագա զարգացմանը։ <a href="/wiki/%D5%8B%D5%B8%D5%B6_%D5%86%D5%A5%D6%83%D5%B5%D5%A5%D6%80" title="Ջոն Նեփյեր">Նեփյերը</a> ստեղծեց <a href="/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%A3%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4" title="Լոգարիթմ">լոգարիթմները</a>, որից հետո Ֆերման մշակեց <a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Թվերի տեսություն">թվերի տեսությունը</a>, որպես մաթեմատիկայի առանձին բաժին։ Դարի վերջին <a href="/wiki/%D4%BB%D5%BC%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իռացիոնալ թիվ">իռացիոնալ թվերի</a> մասին պատկերացում ձևավորվեց, որպես ռացիոնալ մոտավորությունների <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%BB%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)">հաջորդականություն</a>, իսկ հաջորդ հարյուրամյակի ընթացքում շնորհիվ <a href="/wiki/%D4%BC%D5%A1%D5%B4%D5%A2%D5%A5%D6%80%D5%BF%D5%AB_%D6%85%D6%80%D5%A5%D5%B6%D6%84" title="Լամբերտի օրենք">Լամբերտի</a>, <a href="/wiki/%D4%BC%D5%A5%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%A4_%D4%B7%D5%B5%D5%AC%D5%A5%D6%80" title="Լեոնարդ Էյլեր">Էյլերի</a> և <a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BC%D5%AC_%D4%B3%D5%A1%D5%B8%D6%82%D5%BD" title="Կառլ Գաուս">Գաուսի</a> ջանքերի, թվաբանությունը ներառեց գործողություններ կոմպլեքս մեծությունների հետ՝ ձեռք բերելով ժամանակակից տեսք։ <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Թվաբանության_առարկան">Թվաբանության առարկան</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=1" title="Խմբագրել բաժինը. Թվաբանության առարկան" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=1" title="Edit section's source code: Թվաբանության առարկան">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Giuseppe_Peano.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Giuseppe_Peano.jpg/200px-Giuseppe_Peano.jpg" decoding="async" width="200" height="253" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Giuseppe_Peano.jpg/300px-Giuseppe_Peano.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Giuseppe_Peano.jpg/400px-Giuseppe_Peano.jpg 2x" data-file-width="580" data-file-height="734" /></a><figcaption>Ջուզեպե Պեանո 1889 թվականին սահմանել է բնական թվերի աքսեոման</figcaption></figure> Թվաբանության առարկա են համարվում՝ թվային <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Բազմություն">բազմությունները</a>, <a href="/wiki/%D4%B9%D5%AB%D5%BE" title="Թիվ">թվերի</a> հատկությունները և գործողությունները թվերի հետ<a href="#cite_note-ebse-3">[3]</a>։ Նրան են վերբերում նաև հարցերը, որոնք կապված են հաշվարկի տեխնիկայի, <a href="/wiki/%D5%89%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Չափումներ">չափումների</a><a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a>, թվի հասկացության առաջացման և զարգացման հետ<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a>։ Թվաբանաությունը առաջին հերթին ուսումնասիրում է <a href="/wiki/%D4%B2%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բնական թիվ">բնական թվերը</a> և <a href="/w/index.php?title=%D4%BF%D5%B8%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Կոտորակներ (դեռ գրված չէ)">կոտորակները</a><a href="#cite_note-bre-5">[5]</a>։ Բնական թվերի բազմությունների <a href="/wiki/%D4%B1%D6%84%D5%BD%D5%AB%D5%B8%D5%B4%D5%A1" class="mw-redirect" title="Աքսիոմա">աքսեոմաների</a> կառուցվածքի հիման վրա իրականացվում է այլ թվային բազմությունների կառուցումը, որոնք են <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B4%D5%A2%D5%B8%D5%B2%D5%BB_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Ամբողջ թիվ">ամբողջ</a>, <a href="/wiki/%D4%B2%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բնական թիվ">բնական</a> և <a href="/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%BA%D5%AC%D5%A5%D6%84%D5%BD_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Կոմպլեքս թիվ">կոմպլեքս</a> թվերը և դրանց վերլուծությունը<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a>։ Երբեմն թվաբանության շրջանակներում ուսումնասիրվում է նաև <a href="/wiki/%D5%94%D5%BE%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D6%80%D5%B6%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Քվատերնիոններ">քվատերնիոնները</a> և <a href="/wiki/%D5%80%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B4%D5%BA%D5%AC%D5%A5%D6%84%D5%BD_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80" title="Հիպերկոմպլեքս թվեր">հիպերկոմպլեքս</a> այլ թվեր։ Սրա հետ մեկտեղ Ֆրոբենիուսի <a href="/wiki/%D4%B9%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A5%D5%B4" title="Թեորեմ">թեորեմից</a> հետևում է, որ թիվ հասկացության տարածումը <a href="/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%BA%D5%AC%D5%A5%D6%84%D5%BD_%D5%B0%D5%A1%D6%80%D5%A9%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Կոմպլեքս հարթություն">կոմպլեքս հարթությունից</a> դուրս առանց նրա որևէ թվաբանական հատկությունների կորստի անհնար է<a href="#cite_note-Арнольд—1938——3—5-6">[6]</a><a href="#cite_note-Понтрягин—1986——4—6-7">[7]</a>։ Թվերի հետ հիմնական գործողություններին են վերաբերում <a href="/wiki/%D4%B3%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Գումարում">գումարումը</a>, հանումը, բազմապատկումն ու բաժանումը<a href="#cite_note-ebse-3">[3]</a>, ոչ հաճախ նաև <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%B6_(%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE)" title="Աստիճան (հանրահաշիվ)">աստիճան</a> բարձրացնելը, <a href="/wiki/%D4%B1%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%BF_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Արմատ (մաթեմատիկա)">արմատ</a> հանելը<a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a> և թվային հավասարումների լուծումը<a href="#cite_note-ebse-3">[3]</a>։ Պատմականորեն թվաբանական գործողությունների ցուցակը իր մեջ ներառում է կրկնապատկումը (բացի բազմապատկումից), երկուսի բաժանումը և մնացորդով բաժանումը, <a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BA%D6%80%D5%B8%D5%A3%D6%80%D5%A5%D5%BD%D5%AB%D5%A1" title="Թվաբանական պրոգրեսիա">թվաբանական</a> և <a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BA%D6%80%D5%B8%D5%A3%D6%80%D5%A5%D5%BD%D5%AB%D5%A1" title="Երկրաչափական պրոգրեսիա">երկրաչափական</a> պրոգրեսիաների գումարի որոշումը<a href="#cite_note-bell-12-8">[8]</a>։ <a href="/wiki/%D5%8B%D5%B8%D5%B6_%D5%86%D5%A5%D6%83%D5%B5%D5%A5%D6%80" title="Ջոն Նեփյեր">Ջոն Նեփյերը</a> իր «Տրամաբանական <a href="/wiki/%D4%B1%D6%80%D5%BE%D5%A5%D5%BD%D5%BF" title="Արվեստ">արվեստ»</a> <a href="/wiki/%D4%B3%D5%AB%D6%80%D6%84" title="Գիրք">գրքում</a> թվաբանական գործողություններն առանձնացրեց աստիճաններով։ Ներքևի <a href="/wiki/%D5%8D%D5%A1%D5%B6%D5%A4%D5%B8%D6%82%D5%B2%D6%84" title="Սանդուղք">սանդուղքին</a> գումարումն ու հանումն է, հաջորդին՝ բաժանումն ու բազմապատկումը, հաջորդին <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%B6_(%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE)" title="Աստիճան (հանրահաշիվ)">աստիճան</a> բարձրացնելն ու <a href="/wiki/%D4%B1%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%BF_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Արմատ (մաթեմատիկա)">արմատ</a> հանելը<a href="#cite_note-Депман—1965——195—199-9">[9]</a>։ Հայտնի մեթոդաբան Արնոլդը սանդուղքի երրորդ խմբի գործողություններին ավելացրեց նաև <a href="/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%A3%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4" title="Լոգարիթմ">լոգարիթմումը</a><a href="#cite_note-Арнольд—1938——151—156-10">[10]</a>։ Սովորաբար թվաբանություն են անվանում տարբեր օբյեկտներով գործողությունները, ինչպես օրինակ «քառակուսային ձևերի թվաբանություն», «մատրիցաների թվաբանություն»<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a>։ Մաթեմատիկական հաշվարկները և <a href="/wiki/%D5%89%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Չափումներ">չափումները</a>, մեզ անհրաժեշտ են նույնիսկ մեր պրակտիկ կարիքների մեջ (չափաբաժիններ, <a href="/wiki/%D5%8F%D5%B8%D5%AF%D5%B8%D5%BD" title="Տոկոս">տոկոսներ</a>), վերաբերում են ցածր կամ պրակտիկ թվաբաությանը<a href="#cite_note-ebse-3">[3]</a>, այն դեպքում երբ տրամաբանական անլիզ թվային հասկացությունը վերաբերում է տեսական թվաբանությանը<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a>։ Ամբողջ թվերի հատկությունները, նրանց մասերի բաժանումները, անընդմիջվող <a href="/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Կոտորակ (մաթեմատիկա)">կոտորակները</a> համարվում են թվերի տեսության մաս<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a>, որը երկար ժամանակ համարվում էին բարձրագույն թվաբանություն<a href="#cite_note-ebse-3">[3]</a>։ Թվաբանությունը սերտ կապված է <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Հանրահաշիվ">հանրահաշվի</a> հետ, որը ուսումնասիրում է հենց գործողությունները առանց թվերի առանձնահատկություններն ու հատկությունները հաշվի առնելու<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a><a href="#cite_note-bse-11">[11]</a>։ Այնպիսի թվաբանական գործողությունները ինչպիսիք են աստիճան բարձրացնելն ու արմատ հանելը, համարվում են հանրահաշվի տեխնիկական մասերը։ Այս պատճառով էլ <a href="/wiki/%D4%BB%D5%BD%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%AF_%D5%86%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%BF%D5%B8%D5%B6" title="Իսահակ Նյուտոն">Նյուտոնից</a> և <a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BC%D5%AC_%D4%B3%D5%A1%D5%B8%D6%82%D5%BD" title="Կառլ Գաուս">Գաուսից</a> հետո, <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Հանրահաշիվ">հանրահաշիվը</a> ընդունված է ընդհանրացնել թվաբանության հետ<a href="#cite_note-ebse-3">[3]</a><a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a>։ Այսպիսով թվաբանության, <a href="/wiki/%D5%8F%D5%A1%D6%80%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Տարրական հանրահաշիվ">տարրական հանրահաշվի</a> և <a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Թվերի տեսություն">թվերի տեսության</a> մեջ հստակ սահմաններ չկան։ <a href="/wiki/%D5%8D%D5%B8%D5%BE%D5%A5%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B4%D5%A5%D5%AE_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6" title="Սովետական մեծ հանրագիտարան">Սովետական մեծ հանրագիտարանում</a> գրված է՝ «հանրահաշիվը ուսումնասիրում է օգտվելով տառային նշանակություններից, համակարգերի ընդհանուր և հավասարումների միջոցով խնդիրների լուծման ընդհանուր հատկություններից, թվաբանությունը զբաղվում է բանաձևերի ընդունմամբ կոնկրետ տրված թվերով, իսկ իր ավելի բարձր ոլորտներում թվերի ավելի կոնկրետ տեսակներով»<a href="#cite_note-bse_algebra-12">[12]</a>։ Ինչպես այլ ակադեմիական կարգավորությունները, թվաբանությունը ևս հանդիպում է սկզբունքային մեթոդոլոգիական խնդիրներ, դրա համար անհրաժեշտ է հարցերի անհակասական հետազոտություններ և <a href="/wiki/%D4%B1%D6%84%D5%BD%D5%AB%D5%B8%D5%B4%D5%A1" class="mw-redirect" title="Աքսիոմա">աքսիոմաներ</a><a href="#cite_note-ebse-3">[3]</a>։ Տրամաբանական կառուցվածքով, ֆորմալ համակարգով և հանրահաշվական աքսեոմաներով զբաղվում է ֆորմալ հանրահաշիվը<a href="#cite_note-MathEnc_FormArith-2">[2]</a>։ Թվաբանության հետագա պատմությունը նշանավորվում է հիմունքների քննադատական վերանայմամբ և <a href="/wiki/%D4%B4%D5%A5%D5%A4%D5%B8%D6%82%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1" title="Դեդուկցիա">դեդուկցիոն</a> մեթոդներով այն հիմնավորելու փորձերով։ Թվերի մասին տեսական հիմնավորված պատկերացումները առաջին հերթին կապված են բնական թվի խիստ որոշմամբ և <a href="/w/index.php?title=%D5%8A%D5%A5%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D5%AB_%D5%A1%D6%84%D5%BD%D5%A5%D5%B8%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Պեանոի աքսեոմաներ (դեռ գրված չէ)">Պեանոի աքսեոմաներով</a>՝ ձևակերպված <a href="/wiki/1889" title="1889">1889</a> թվականին։ Թվաբանության <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%B0%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Անհակասականություն">անհակասականության</a> ֆորմալ կառուցվածքը ցույց է տվել <a href="/w/index.php?title=%D4%B3%D5%A5%D5%B6%D6%81%D5%A5%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Գենցեն (դեռ գրված չէ)">Գենցենը</a> <a href="/wiki/1936" title="1936">1936</a> թվականին։ Թվաբանության հիմունքներին հնուց ի վեր անփոփոխ և մեծ ուշադրություն է դարձվում <a href="/w/index.php?title=%D5%86%D5%A1%D5%AD%D5%A1%D5%A4%D5%BA%D6%80%D5%B8%D6%81%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%AF%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D6%80%D5%AA%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Նախադպրոցական մանկավարժություն (դեռ գրված չէ)">նախդպրոցական կրթության</a> մեջ։ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Պարզագույն_հասկացություններ">Պարզագույն հասկացություններ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=2" title="Խմբագրել բաժինը. Պարզագույն հասկացություններ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=2" title="Edit section's source code: Պարզագույն հասկացություններ">խմբագրել կոդը</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Հաջորդական_հաշվարկ,_բնական_թվեր">Հաջորդական հաշվարկ, բնական թվեր</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=3" title="Խմբագրել բաժինը. Հաջորդական հաշվարկ, բնական թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=3" title="Edit section's source code: Հաջորդական հաշվարկ, բնական թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Three_apples.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Three_apples.svg/100px-Three_apples.svg.png" decoding="async" width="100" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Three_apples.svg/150px-Three_apples.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Three_apples.svg/200px-Three_apples.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="616" /></a><figcaption>Մի խնձոր, երկու խնձոր, երեք խնձոր։ Բնական թվեր</figcaption></figure> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Հիմնական հոդված՝ <a href="/wiki/%D4%B2%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80" class="mw-redirect" title="Բնական թվեր">Բնական թվեր</a></div> Հաջորդական հաշվարկը թվաբանական պարզագույն հասկացություն է։ Որպես հաշվարկման առարկա ծառայում են տարբեր տարրեր կամ դրանց բազմությունը, օրինակ <a href="/wiki/%D4%BD%D5%B6%D5%B1%D5%B8%D6%80" title="Խնձոր">խնձորը</a> և զամբյուղով խնձորները։ Հաջորդական հաշվարկի օգնությամբ կարելի է համարակալել տարրերը և նշել նրանց ընդհանուր քանակը։ Հաջորդական հաշվարկը կապված է այն խմբերի հաշվման հետ, որոնք պարունակում են հարաբերականորեն հավասար քանակի տարրեր, ինչպես օրինակ տասնյակներով խնձորների հաշվարկը։ Սովորաբար, այն համարվում է երկու <a href="/wiki/%D5%81%D5%A5%D5%BC%D6%84" title="Ձեռք">ձեռքերի</a> <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%BF%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Մատներ">մատները</a> (հիմքը ուղիղ 10-ն է), բայց պատմական աղբյուրներում հանդիպում է խմբավորումներ հետևյալ թվերով՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5,11,12,20,40,60,80}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mn>20</mn> <mo>,</mo> <mn>40</mn> <mo>,</mo> <mn>60</mn> <mo>,</mo> <mn>80</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5,11,12,20,40,60,80}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d18337fb53da86fde8af8c209993b44714f083" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.316ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 5,11,12,20,40,60,80}">։ Խմբի մեջ տարրերի քանակը հիմք է հանդիսանում հաշվարկման համակարգի համար<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a>։ Թվային շարքը, որը ստացվում է հաշվարկից, անվանում են բնական, իսկ նրա տարրերը բնական թվեր։ Բնական շարք հասկացությունը առաջին անգամ ի հայտ է եկել <a href="/wiki/%D5%80%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Հույներ">հույն</a> մաթեմատիկոս <a href="/w/index.php?title=%D5%86%D5%AB%D5%AF%D5%B8%D5%B4%D5%A1%D5%AD%D5%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="Նիկոմախի (դեռ գրված չէ)">Նիկոմախի</a> աշխատություններում, մեր թվարկության <a href="/wiki/1-%D5%AB%D5%B6_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="1-ին դար">1-ին դարում</a>, բնական թվի մասին՝ <a href="/wiki/%D5%80%D5%BC%D5%B8%D5%B4" title="Հռոմ">հռոմեացի</a> հեղինակ <a href="/wiki/%D4%B2%D5%B8%D5%A5%D5%BF%D5%AB%D5%B8%D5%BD" title="Բոետիոս">Բոետիոսի</a> մոտ <a href="/wiki/5%E2%80%93%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" class="mw-redirect" title="5–րդ դար">5-րդ դարի</a> վերջին <a href="/wiki/6-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="6-րդ դար">6-րդ</a> դարի սկզբին։ Տերմինի համընդհանուր օգտագործումը սկսվում է <a href="/wiki/%D4%BA%D5%A1%D5%B6_%D4%BC%D5%A8_%D5%8C%D5%B8%D5%B6_%D4%B4%27%D4%B1%D5%AC%D5%A1%D5%B4%D5%A2%D5%A5%D6%80" title="Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբեր">Դ’Ալամբեր</a> աշխատություններից <a href="/wiki/18-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="18-րդ դար">18-րդ դարում</a>։ <a href="/wiki/%D4%B1%D6%80%D6%84%D5%AB%D5%B4%D5%A5%D5%A4%D5%A5%D5%BD" title="Արքիմեդես">Արքիմեդեսը</a> իր աշխատությունում, ասել է, որ թվային շարքը կարելի է շարունակել անվերջ, բայց դրա հետ մեկտեղ նկատել է, որ իրական խնդիրների լուծման համար բավական է նրա միայն մի փոքր մասը<a href="#cite_note-Депман—1965——21—25-13">[13]</a>։ Բնական թվերի բաժանումը <a href="/wiki/%D4%B6%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%A3_%D6%87_%D5%AF%D5%A5%D5%B6%D5%BF_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80" title="Զույգ և կենտ թվեր">զույգ և կենտ թվերի</a> գրել են <a href="/wiki/%D5%8A%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%A1%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Պյութագորասականություն">պյութագորասականները</a>, այն առկա է նաև <a href="/wiki/%D4%B5%D5%A3%D5%AB%D5%BA%D5%BF%D5%B8%D5%BD" title="Եգիպտոս">եգիպտական</a> <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BA%D5%A1%D5%BA%D5%AB%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Մաթեմատիկական պապիրուսներ">Ռինդի</a> <a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BA%D5%AB%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%BD" title="Պապիրուս">պապիրուսում</a>։ Պյութագորասականները հաստատեցին նաև <a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D6%80%D5%A6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Պարզ թիվ">պարզ</a> և <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%A4%D6%80%D5%B5%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բաղադրյալ թիվ">բաղադրյալ թվերը</a><a href="#cite_note-Депман—1965——129—130-14">[14]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Գումարում,_բազմապատկում,_աստիճան_բարձրացում"><span id=".D4.B3.D5.B8.D6.82.D5.B4.D5.A1.D6.80.D5.B8.D6.82.D5.B4.2C_.D5.A2.D5.A1.D5.A6.D5.B4.D5.A1.D5.BA.D5.A1.D5.BF.D5.AF.D5.B8.D6.82.D5.B4.2C_.D5.A1.D5.BD.D5.BF.D5.AB.D5.B3.D5.A1.D5.B6_.D5.A2.D5.A1.D6.80.D5.B1.D6.80.D5.A1.D6.81.D5.B8.D6.82.D5.B4">Գումարում, բազմապատկում, աստիճան բարձրացում</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=4" title="Խմբագրել բաժինը. Գումարում, բազմապատկում, աստիճան բարձրացում" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=4" title="Edit section's source code: Գումարում, բազմապատկում, աստիճան բարձրացում">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Addition01.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Addition01.svg/100px-Addition01.svg.png" decoding="async" width="100" height="182" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Addition01.svg/150px-Addition01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Addition01.svg/200px-Addition01.svg.png 2x" data-file-width="185" data-file-height="336" /></a><figcaption><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3+2=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3+2=5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a0ae799cf5892cdf28c1b8c2502078ce6ada38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3+2=5}"></figcaption></figure> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Հիմնական հոդվածներ՝ <a href="/wiki/%D4%B3%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Գումարում">Գումարում</a>, <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Բազմապատկում">Բազմապատկում</a>, և <a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%B6_%D5%A2%D5%A1%D6%80%D5%B1%D6%80%D5%A1%D6%81%D5%B8%D6%82%D5%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Աստիճան բարձրացում (դեռ գրված չէ)">Աստիճան բարձրացում</a></div> Բնական թվերի համար բնական կերպով որոշված են <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Բազմապատկում">բազմապատկման</a> և գումարման գործողությունները։ Երկու առարկաների որոշակի քանակ պարունակող տարբեր խմբերի միավորումից, առաջացող նոր խումբը կունենա այնքան առարկա, որքան որ կար առաջի երկու խմբերում միասին։ Եթե առաջի խումբը պարունակում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}"> առարկա, իսկ երկրորդը <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"> առարկա, ապա նրանց գումարը կպարունակի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2+3=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2+3=5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f3b4b65853c2c7d0151eed4cd3fb8c235d07a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2+3=5}"> առարկա։ Նշված գործողությունը կոչվում է գումարում և համարվում է պարզ <a href="/w/index.php?title=%D4%B2%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D6%80_%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AE%D5%B8%D5%B2%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Բինար գործողություն (դեռ գրված չէ)">բինար գործողություն</a><a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a>։ Գումարի ճշտությունը ստուգելու համար գումարման աղյուսակը գիտենալ անհրաժեշտ չէ, բավական է վերահաշվել առարկաները<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——23—24-15">[15]</a>։ Նույն տեսակի բազմության տարրերի բազմակի գումարումը կախված չէ այդ բազմության անդամների հաջորդականությունից, սա թույլ տվեց հաստատել մեկ այլ բինար գործողություն՝ բազմապատկումը<a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a>։ Բացի բազմապատկումից, հին ժամանակներում գոյություն է ունեցել այլ թվաբանական գործողություն ևս, կրկնապատկում կամ երկուսով բազմապատկում<a href="#cite_note-Депман—1965——212—232-16">[16]</a>։ Գումարման միջոցով բազմապատկման որոշման համանմանությամբ, բազմակի բազմապատկումը թույլ է տալիս որոշել <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%B6_(%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE)" title="Աստիճան (հանրահաշիվ)">աստիճան</a> բարձրացնելու գործողությունը։ <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Թվաբանության_հիմնական_կանոնները">Թվաբանության հիմնական կանոնները</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=5" title="Խմբագրել բաժինը. Թվաբանության հիմնական կանոնները" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=5" title="Edit section's source code: Թվաբանության հիմնական կանոնները">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Commutativity.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Commutativity.svg/300px-Commutativity.svg.png" decoding="async" width="300" height="176" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Commutativity.svg/450px-Commutativity.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Commutativity.svg/600px-Commutativity.svg.png 2x" data-file-width="568" data-file-height="333" /></a><figcaption>Բազմապատկման տեղափոխական օրենք</figcaption></figure> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Հիմնական հոդվածներ՝ <a href="/wiki/%D5%8F%D5%A5%D5%B2%D5%A1%D6%83%D5%B8%D5%AD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Տեղափոխականություն">Տեղափոխականություն</a>, <a href="/wiki/%D4%B6%D5%B8%D6%82%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AE%D5%B8%D5%B2%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="mw-redirect" title="Զուգորդական գործողություն">Զուգորդական գործողություն</a>, և <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%B7%D5%AD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Բաշխականություն">Բաշխականություն</a></div> Այս գործողությունների հատկությունների մասին ձևակերպվել է հինգ օրենքներ, որնք համարվում են թվաբանության հիմնական օրենքները <a href="#cite_note-Депман—1965——204-17">[17]</a>։ <ul><li><a href="/wiki/%D5%8F%D5%A5%D5%B2%D5%A1%D6%83%D5%B8%D5%AD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Տեղափոխականություն">Տեղափոխական օրենք</a>։ Ըստ գումարման տեղափոխական օրենքի՝ գումարելիների տեղերը փոխելիս գումարը չի փոխվում։ Համանուն օրենքը գործում է նաև բազմապատկման համար՝ արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը չի փոխվում։ Այս օրենքները կարելի է արտահայտել հանրահաշվական բանաձևերի միջոցով, տառային նշանակումների տեսքով՝</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b=b+a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b=b+a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.234ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b=b+a}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4b7dede7493e0231b3ad6ff9b54f4eae954108" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}"></dd></dl> <ul><li>Գումարման <a href="/wiki/%D4%B6%D5%B8%D6%82%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Զուգորդականություն">զուգորդական օրենքն</a> ասում է, որ երկու թվերի գումարին երրորդ թիվն ավելացնելու համար կարելի է առաջին թվին ավելացնել երկրորդի և երրորդի գումարը։ Համանուն օրենքը գործում է նաև բազմապատկման համար՝ երկու թվերի արտադրյալը երրորդ թվով բազմապատկելու համար կարելի է առաջին թիվը բազմապատկել երկրորդ և երրորդ թվերի արտադրյալով։ Այս օրենքները ևս կարելի է ներկայացնել հանրահաշվական տեսքով՝</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b7b8d31d5845966e6abdbb030c73f343c17d4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e48cd711b9a1eb1c3a2372ba01fa48ca7e262a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}"></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%B7%D5%AD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Բաշխականություն">Բաշխական օրենքն</a> ասում է, որ գումարը թվով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թվով բազմապատկել յուրաքանչյուր գումարելին և ստացված արտադրյալները գումարել։ Հանրահաշվական տեսքը հետևյալն է՝</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816c990d7dcd9ff9f933d8b43b4978280fea517b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.101ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}"></dd></dl> Բացի հանրահաշվական հիմնական օրենքներից բնական թվերի համար գործում է նաև գումարման և բազմապատկման<a href="#cite_note-Арифметика—1951——142-18">[18]</a><a href="#cite_note-Клейн—1987——23—26-19">[19]</a> մոնոտոնության օրենքները։ Հանրահաշվական տեսքը հետևյալն է՝ <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b>a+c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b>a+c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be6e285eb693ae7a3ed2c247a6fe95c6f143d75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.243ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b>a+c}"> երբ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb398318abc6051e10f5a03aea7856811c1bbf6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.103ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>c}">,</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b>a\cdot c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b>a\cdot c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6372dd499259b81cd64e1f368478d00ca8af80f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.921ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b>a\cdot c}"> երբ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb398318abc6051e10f5a03aea7856811c1bbf6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.103ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>c}"> և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}"></dd></dl> «Բաշխական» տերմինը տեղափոխական օրենքի համար մտցրել է <a href="/wiki/%D5%96%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%BD%D5%AB%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Ֆրանսիացիներ">ֆրանսիացի</a> մաթեմատիկ <a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%A5%D6%80%D5%BE%D5%B8%D6%82%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Սերվուա (դեռ գրված չէ)">Սերվուան</a> <a href="/wiki/1814" title="1814">1814</a> թվականին, «զուգորդական» տերմինը տեղափոխական օրենքի համար՝ <a href="/wiki/%D5%88%D6%82%D5%AB%D5%AC%D5%B5%D5%A1%D5%B4_%D5%80%D5%A1%D5%B4%D5%AB%D5%AC%D5%BF%D5%B8%D5%B6" title="Ուիլյամ Համիլտոն">Համիլտոնը</a>, <a href="/wiki/1853" title="1853">1853</a> թվականին<a href="#cite_note-Депман—1965——204-17">[17]</a>։ <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B6%D6%80%D5%AB_%D5%8A%D5%B8%D6%82%D5%A1%D5%B6%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A5" title="Անրի Պուանկարե">Պուանկարեն</a> բոլոր հանրահաշվական գործողություններն ու օրենքները ուսումնասիրում էր <a href="/wiki/%D4%BB%D5%B6%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%AB%D6%81%D5%AB%D5%A1" class="mw-redirect" title="Ինտուիցիա">ինտուիցիայի</a> տեսակետից։ Նա պնդում էր, որ օրենքները բացահայտ կերպով իրականացվում են փոքր թվերի վրա, և օգտագործելով <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%AE%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Մակածություն">ինդուկցիայի</a> կանոնը, կարելի է գալ այն եզրակացության, որ նրանք ճիշտ են բոլոր թվերի համար։ Ըստ այլ մոտեցման ինտուտիվ կերպով իրականացվող համարվում են ոչ բոլոր կանոնները, այլ միայն պարզագույնները և այն դեպքում, երբ դրանց հետագա ապացույցները կապված են տրամաբանական կառուցվածքներով<a href="#cite_note-Клейн—1987——26—35-20">[20]</a>։ Ակնհայտ են համրվում տեղափոխական և զուգորդական օրենքները<a href="#cite_note-Депман—1965——204-17">[17]</a>։ Բաշխական օրենքը սկզբնական ժամանակաշրջանում ապացուցել է <a href="/wiki/%D4%B7%D5%BE%D5%AF%D5%AC%D5%AB%D5%A4%D5%A5%D5%BD" title="Էվկլիդես">Էվկլիդեսը</a>, օգտագործելով <a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Երկրաչափություն">երկրաչափական</a> մեթոդը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——77—79-21">[21]</a>։ Աստիճան բարձրացնելու գործողությունը տեղափոխական և զուգորդական չէ, այն ունի իր կանոնները։ Այս գործողության կատարման հիմնական կանոնները դրական աստիճանների դեպքում կապված են նրա ձևակերպումից<a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a>։ Հանրահաշվում այն գրվում է հետևյալ տեսքով՝ <ul><li>Բաշխական օրենքը աստիճան բարձրացնելու գործողության ժամանակ՝</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbd04c33b096a5a9a781ce128be3c9816f3f0cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.621ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m}}"></dd></dl> <ul><li>Բաշխական օրենքը հանման դեպքում ընդունում է կոտորակային տեսք՝</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n-m}={a^{n} \over {a^{m}}},\quad n>m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n-m}={a^{n} \over {a^{m}}},\quad n>m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0fbb4308a7dd5dd3f5826430458c2d04d2b082" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.899ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a^{n-m}={a^{n} \over {a^{m}}},\quad n>m}"></dd></dl> <ul><li>Կրկնակի աստիճան բարձրացումը բացվում է աստիճանների բազմապատկումով՝</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fa6d75846df596ca1d503c98f1b1d791a9f3a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.922ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}">։</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Հակառակ_գործողություններ">Հակառակ գործողություններ</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=6" title="Խմբագրել բաժինը. Հակառակ գործողություններ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=6" title="Edit section's source code: Հակառակ գործողություններ">խմբագրել կոդը</a>]</div> Թվաբանական բոլոր գործողություններն ունեն իրենց հակառակը՝ գումարման հակառակը հանումն է, բազմապատկմանը՝ բաժանումը, աստիճան բարձրացնելունը՝ թվաբանական արմատը և լոգարիթմը։ Չնայած գումարման և բազմապատկման բինար լինելուն, նրանք ունեն մեկական հակադիր գործողություն, սա բացատրվում է նրանց տեղափոխականությամբ։ <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Հանում՝_բացասական_թվեր">Հանում՝ բացասական թվեր</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=7" title="Խմբագրել բաժինը. Հանում՝ բացասական թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=7" title="Edit section's source code: Հանում՝ բացասական թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Հիմնական հոդվածներ՝ <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Հանում">Հանում</a>, <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D6%81%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բացասական թիվ">Բացասական թիվ</a>, և <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B4%D5%A2%D5%B8%D5%B2%D5%BB_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Ամբողջ թիվ">Ամբողջ թիվ</a></div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Subtraction01.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Subtraction01.svg/200px-Subtraction01.svg.png" decoding="async" width="200" height="133" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Subtraction01.svg/300px-Subtraction01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Subtraction01.svg/400px-Subtraction01.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="200" /></a><figcaption><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5-2=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5-2=3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af818743f1347b3aa3ab6b307630bae9d9894c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 5-2=3}"></figcaption></figure> Հանումը դա գումարման հակառակ գործողությունն է, երկու տրված թվերի տարբերությունը՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 5}"> և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"> համարվում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2+?=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mo>?</mo> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2+?=5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5742a9f0f7c60071202445d2bc37d1b8db3ea3bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.329ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2+?=5}"> հավասարման անհայտը<a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a>։ Հանման գործողությունը նշանակում են «-» նշանով, այն գրվում է հետևյալ տեսքով՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5-2=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5-2=3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af818743f1347b3aa3ab6b307630bae9d9894c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 5-2=3}">։ Գործողության կատարման համար օգտագործվում է երկու եղանակ՝ տարբերությունը հաշվելու համար անհրաժեշտ է նվազելին պակասեցնել հանելիի միավոր արժեքի չափով կամ անհրաժեշտ է գտնել այնպիսի թվի, որի ավելացումը հանելիին հավասար լինի նվազելիին<a href="#cite_note-Депман—1965——212—232-16">[16]</a>։ Հանման գործողությունը, եթե այն կիրառենք բնական թվերի բոլոր զույգերի վրա, այլ ոչ թե միայն նրանց, որոնք կարող են գումարման գործողության շրջանակներում լինել գումար և գումարելի, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական շարքի սահմաններց, այսինքն երկու բնական թվերի տարբերությունը պարտադիր չէ որ լինի բնական թիվ, հանման արդյունքում կարող է ստացվել <a href="/wiki/0_(%D5%A9%D5%AB%D5%BE)" title="0 (թիվ)">զրո</a> կամ ընդհանրապես <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D6%81%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բացասական թիվ">բացասական</a> թիվ։ Բացասական թվերն արդեն հնարավոր չէ դիտարկել որպես իրերի քանակ, <a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%A1%D5%BC%D5%A1%D5%B6%D6%81%D6%84" title="Թվային առանցք">թվային առանցքի</a> վրա նրանք տեղակայված են զրոյից ձախ։ Թվերի բազմությունը, որը ստացվում է բնական թվերին զրո և բացասական թիվ գումարելիս կոչվում է ամբողջ թվերի բազմություն։ Զրոն և բնական թվերի բազմությունը կոչվում են դրական ամբողջ թվեր<a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a>։ Բազմապատկման ժամանակ, որպեսիզի որոշվի տրված թիվը դրական է թե բացասական օգտագործում են «նշանների կանոնը»<a href="#cite_note-Клейн—1987——37—44-22">[22]</a>։ Շատ մաթեմատիկոսներ մինչև <a href="/wiki/19-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="19-րդ դար">19-րդ դարը</a> բացասական թվերը համարվում էին ոչ իրական և անիմաստ, սակայն դա չէր խանգարում նրանց համատարած պայմանական օգտագործմանը։ Բացասական թիվ հասկացությունը առաջին անգամ հայտնվել է Հնդկաստանում, որտեղ այն մեկնաբանում էին որպես «պարտք» (դրական թվեը որպես «ունեցվածք»)։ Բացասական թվերը տարածում ստացան միայն <a href="/wiki/17-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="17-րդ դար">17-րդ դարում</a><a href="#cite_note-Арифметика—1951——157-23">[23]</a>։ «Հանում» տերմինը երևան է եկել դեռևս Բոեցիայի մոտ, «հանելի» և «նվազելի» տերմինները գործածության մեջ է դրել <a href="/wiki/%D5%94%D6%80%D5%AB%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%A1%D5%B6_%D5%8E%D5%B8%D5%AC%D6%86" title="Քրիստիան Վոլֆ">Վոլֆը</a>, <a href="/wiki/1749" title="1749">1749</a> թվականին, «տարբերությունը՝» <a href="/w/index.php?title=%D5%8E%D5%AB%D5%A4%D5%B4%D5%A1%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Վիդման (դեռ գրված չէ)">Վիդմանը</a>, <a href="/wiki/1489" title="1489">1489</a> թվականին<a href="#cite_note-Депман—1965——212—232-16">[16]</a>։ «+» և «−» նշանների ներկայիս նշանակումը ևս մտցվել է Վիդմանի կողմից <a href="/wiki/15-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="15-րդ դար">15-րդ դարի</a> վերջին։ <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Բաժանում՝_ռացիոնալ_թվեր">Բաժանում՝ ռացիոնալ թվեր</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=8" title="Խմբագրել բաժինը. Բաժանում՝ ռացիոնալ թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=8" title="Edit section's source code: Բաժանում՝ ռացիոնալ թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Հիմնական հոդվածներ՝ <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%B4_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Բաժանում (մաթեմատիկա)">Բաժանում (մաթեմատիկա)</a> և <a href="/wiki/%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Ռացիոնալ թիվ">Ռացիոնալ թիվ</a></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Divide20by4.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Divide20by4.svg/200px-Divide20by4.svg.png" decoding="async" width="200" height="240" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Divide20by4.svg/300px-Divide20by4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Divide20by4.svg/400px-Divide20by4.svg.png 2x" data-file-width="500" data-file-height="600" /></a><figcaption>20-ի բաժանումը 4-ի</figcaption></figure> Բազմապատկման հակառակ գործողությունը համարվում է բաժանումը։ Բաժանման առաջին ձևակերպումը դա այն թվի որոնումն է, որը բաժանելիի մեջ կա այնքան անգամ, որքան միավոր որ պարունակվում է բաժանարարը։ Այսպիսի ձևակերպում է տրված <a href="/wiki/14-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="14-րդ դար">14-րդ</a> դարի հանրահաշվի դասագրքերում։ Օրինակ՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 20/4=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>20</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 20/4=5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb59ccc04daec37e43f1aac9fc0fa9a83a34bb34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 20/4=5}">։ Բաժանումը համարվել է շատ բարդ և ծանր գործողություն։ Բաժնման ներկայիս եղանակը՝ քանորդի առանձին կարգերի վրա բաժանարարի արտադրյալի մանակի օգտագործումն է (<a href="/wiki/%D5%8D%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%B8%D5%BE_%D5%A2%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Սյունակով բաժանում">սյունակով բաժանում</a>), ներկայացված իտալական <a href="/wiki/1460" title="1460">1460</a> թվականի <a href="/wiki/%D5%81%D5%A5%D5%BC%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D6%80" title="Ձեռագիր">ձեռագրերում</a><a href="#cite_note-Депман—1965——212—232-16">[16]</a>։ Բնական թվերի համար, որոնք չեն համարվում բազմապատկիչ և արտադրյալ, հայտնի է <a href="/w/index.php?title=%D4%B2%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%B4_%D5%B4%D5%B6%D5%A1%D6%81%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%B8%D5%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="Բաժանում մնացորդով (դեռ գրված չէ)">մնացորդով բաժանում</a> գործողությունը (բաժանումից առաջացած մնացորդը անվանում են նաև մոդուլով բաժանում)։ Գոյություն ունի բազմաթիվ եղանակներ, որոնք պարզեցման են բաժանումը մասնավոր դեպքեում կամ որոնք թույլ են տալիս ստուգել այս կամ այն թվին <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D5%AC%D5%AB%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Բաժանելիություն">բաժանելիությունը</a>։ Օրինակ ըստ <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D5%AC%D5%AB%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B5%D5%BF%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D5%B7%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Բաժանելիության հայտանիշներ">բաժանելիության հայտանիշների</a>՝ <ul><li>թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է երկուսի, եթե նրա վերջի թիվը բաժանվում է երկուսի,</li> <li>թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է երեքի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի,</li> <li>թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է տասի, եթե նրա վերջի թիվը զրո է։</li></ul> Բաժանման գործողությունը՝ եթե բաժանում ենք ոչ միայն այն թվերը, որոնք կարելի է ստանալ բնական թվերի արտադրյալից, և բաժանվում ենք առանց մնացորդ, այնպես ինչպես հանումը, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական թվերի բազմությունից։ Բաժանման ժամանակ կարող են ստացվել <a href="/w/index.php?title=%D4%BF%D5%B8%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Կոտորակներ (դեռ գրված չէ)">կոտորակներ</a>, որոնք անհնար է առանց մնացորդ կրճատել և ստանալ ամբողջ թիվ։ Այս կոտորակներին համապատասխանող թվերը կոչվում են <a href="/wiki/%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Ռացիոնալ թիվ">ռացիոնալ</a>։ Ռացիոնալ թվերի բաժանման գիտակցման հիման վրա տեղի է ունենում արդեն հայտնի թվերի ցանկի ևս մեկ ընդլայնում։ Պատմականորեն առաջինը հայտնվել են կոտորակները, իսկ հետո նոր բացասական թվերը<a href="#cite_note-Клейн—1987——-24">[24]</a>։ Այսպիսի հաջորդականություն է ընդունված նաև դպրոցական դասընթացներում<a href="#cite_note-Арифметика—1951——172—178-25">[25]</a>։ Օգտագործվում է կոտորակների գրառման երկու տարբերակ՝ համարիչի և հայտարարի բաժանումը հորիզոնական կամ շեղակի գծով, որի դեպքում հաճախ կոտորակը կրճատվում է մինչև ամենափոքր թիվը, և կոտորակային մաս պարունակող թվերով, որոնք դիրքային գրառումներում տեղադրվում են ամբողջ և կոտորակային մասի բաժանման նշանից հետո։ Օրինակ 10 բաժանումը 20-ի կարող է գրված լինել հետևյալ կերպ՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {10}{20}}=10/20=5/10=1/2=0{,}5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>10</mn> <mn>20</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>20</mn> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {10}{20}}=10/20=5/10=1/2=0{,}5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f70e703fd73146e23e03f87be3dd2519ebd74f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.476ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {10}{20}}=10/20=5/10=1/2=0{,}5}">։ <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Real_number_line.svg" class="mw-file-description" title="Թվային առանցք"><img alt="Թվային առանցք" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/600px-Real_number_line.svg.png" decoding="async" width="600" height="196" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/900px-Real_number_line.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/1200px-Real_number_line.svg.png 2x" data-file-width="689" data-file-height="225" /></a><figcaption>Թվային առանցք</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Արմատի_հանում՝_իռացիոնալ_և_կոմպլեքս_թվեր"><span id=".D4.B1.D6.80.D5.B4.D5.A1.D5.BF.D5.AB_.D5.B0.D5.A1.D5.B6.D5.B8.D6.82.D5.B4.D5.9D_.D5.AB.D5.BC.D5.A1.D6.81.D5.AB.D5.B8.D5.B6.D5.A1.D5.AC_.D6.87_.D5.AF.D5.B8.D5.B4.D5.BA.D5.AC.D5.A5.D6.84.D5.BD_.D5.A9.D5.BE.D5.A5.D6.80">Արմատի հանում՝ իռացիոնալ և կոմպլեքս թվեր</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=9" title="Խմբագրել բաժինը. Արմատի հանում՝ իռացիոնալ և կոմպլեքս թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=9" title="Edit section's source code: Արմատի հանում՝ իռացիոնալ և կոմպլեքս թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Հիմնական հոդվածներ՝ <a href="/wiki/%D4%B1%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%BF_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Արմատ (մաթեմատիկա)">Արմատ (մաթեմատիկա)</a>, <a href="/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%A3%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4" title="Լոգարիթմ">Լոգարիթմ</a>, <a href="/wiki/%D4%BB%D5%BC%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իռացիոնալ թիվ">Իռացիոնալ թիվ</a>, <a href="/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%BA%D5%AC%D5%A5%D6%84%D5%BD_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Կոմպլեքս թիվ">Կոմպլեքս թիվ</a>, և <a href="/wiki/%D4%BB%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իրական թիվ">Իրական թիվ</a></div> Աստիճան բարձրացնելու գործողության երկու հակառակ գործողություններից մեկը արմատ հանելն է, կամ այն թվի որոնումն է, որը համապատասխան աստիճան բարձրացնելու դեպքում, կստացվի հայտնի արդյունքը։ Այսինքն, հանրահաշվորեն ասած, այն արմատի որոնում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{a}=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{a}=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0c3e1bb88e12c2e86d7ca286377e36fd71fcb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.528ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{a}=b}"> նման հավասարումների համար։ Երկրորդ հակառակ գործողությունը <a href="/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%A3%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4" title="Լոգարիթմ">լոգարիթմների</a> որոնումն է (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{x}=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{x}=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009ac5470a4ecd0afab8866426ad920c494316c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.498ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{x}=b}"> արմատ հետևյալ տեսքի հավասարումների համար)։ Թվաբանությանը, որպես կանոն վերաբերում է միայն <a href="/wiki/%D5%94%D5%A1%D5%BC%D5%A1%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%AB_%D5%A1%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%BF" title="Քառակուսի արմատ">քառակուսի արմատը</a>՝ երկրորդ <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%B6_(%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE)" title="Աստիճան (հանրահաշիվ)">աստիճանի</a> արմատը։ Այլ աստիճանների արմատները և լոգարիթմները թվաբանական գործողություններ չեն համարվում։ Արմատ հանելու գործողությունը, եթե այն կիրառենք ոչ միայն այն թվերի համար որոնք ստացվում են բնական թվերի աստիճան բարձրացնելուց, այնպես ինչպես մյուս հակառակ գործողությունները, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական թվերի բազմությունից։ Թվերը որոնք ստացվում են այս դեպքում, հաճախ չեն կարող ներկայացված լինել վերջավոր ռացիոնալ կոտորակների տեսքով, այս պատճառով էլ կոչվում են <a href="/wiki/%D4%BB%D5%BC%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իռացիոնալ թիվ">իռացիոնալ</a>։ Ռացիոնալ թվերին իռացիոնալ թվերի ավելացումից ստացված թվերի բազմությունը կոչվում է իրական։ Դեռևս <a href="/wiki/%D5%80%D5%AB%D5%B6_%D5%80%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D5%BD%D5%BF%D5%A1%D5%B6" title="Հին Հունաստան">Հին Հունաստանում</a> հայտնի էր անհամաչափելի հատվածների գոյությունը, օրինակ փորձեր էին կատարվում միավոր կողմով քառակուսու կողմերի և անկյունագիծի համար ստանալ ճշգրիտ թվային արժեքներ, ինչը իր արտացոլումը գտավ <a href="/wiki/%D4%B7%D5%BE%D5%AF%D5%AC%D5%AB%D5%A4%D5%A5%D5%BD" title="Էվկլիդես">Էվկլիդեսի</a> <a href="/wiki/%D5%8D%D5%AF%D5%A6%D5%A2%D5%B8%D6%82%D5%B6%D6%84%D5%B6%D5%A5%D6%80" class="mw-redirect" title="Սկզբունքներ">«սկզբունքներում»</a>։ Իրական թվերը ուսումնասիրման առարկա դարձան միայն <a href="/wiki/17-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="17-րդ դար">17</a>-<a href="/wiki/18-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="18-րդ դար">18</a>-րդ դարերում։ <a href="/wiki/19-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="19-րդ դար">19-րդ</a> դարի երկրորդ կեսին <a href="/wiki/%D5%8C%D5%AB%D5%AD%D5%A1%D6%80%D5%A4_%D4%B4%D5%A5%D5%A4%D5%A5%D5%AF%D5%AB%D5%B6%D5%A4" title="Ռիխարդ Դեդեկինդ">Դեդեկինդի</a>, <a href="/wiki/%D4%B3%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A3_%D4%BF%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%B8%D6%80" title="Գեորգ Կանտոր">Կանտորի</a> և <a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BC%D5%AC_%D5%8E%D5%A1%D5%B5%D5%A5%D6%80%D5%B7%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%BD" title="Կառլ Վայերշտրաս">Վայերշտրասը</a> ձևակերպեցին իրենց իրական թվերի որոշման կառուցվածքային մեթոդը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——188—201-26">[26]</a>։ Արմատ հանելու գործողության համար հայտնի է հետևյալ կանոնը<a href="#cite_note-brit-arithmetic-4">[4]</a>՝ <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n \over m}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n \over m}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85badcf829bab2418d4a469945119ab2dbf27f89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.952ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle a^{n \over m}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}}"></li></ul> Թվային բազմությունների հետագա ընդլայնումը կապված էր բացասական թվերի քառակուսի արմատի որոշման անհնարին լինելու հետ։ Այսպիսի խնդիրների էին առնչվում հին ժամանակներում քառակուսի հավասարումների լուծման ժամանակ, և այս հավասարումները համարում էին լուծում չունեցող։ <a href="/wiki/16-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="16-րդ դար">16-րդ</a> դարի առաջին կեսին, այն հավասարումները որոնց լուծումները պարունակում էին բացասական թվերի արմատներ անվանեցին «կեղծ», «լուծում չունեցող», «երևակայական» և այլն<a href="#cite_note-Арифметика—1951——227-27">[27]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Գործնական_թվաբանություն">Գործնական թվաբանություն</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=10" title="Խմբագրել բաժինը. Գործնական թվաբանություն" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=10" title="Edit section's source code: Գործնական թվաբանություն">խմբագրել կոդը</a>]</div> Թվաբանության գործնական կողմը ներառում է մեթոդներ, ուրվագծեր և ալգորիթմներ, թվաբանական գործողությունների ճշգրիտ իրականացման համար, այդ թվում՝ հաշվող մեքենաների և այլ սարքերի օգտագործում, ինչպես նաև մոտավոր հաշվարկների բազմաթիվ եղանակներ, որոնք հայտնվել են որոշ չափումների ճշգրիտ արդյունքներ ստանալու անհնարինության պատճառով և թույլ են տալիս որոշել նրա կարգը, այսինքն առաջին իմաստ ունեցող թվերը<a href="#cite_note-Клейн—1987——35—36-28">[28]</a>։ <center> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerycaption">Պարզագույն հաշվիչ սարքեր</li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:RomanAbacusRecon.jpg" class="mw-file-description" title="Հռոմեական աբակ"><img alt="Հռոմեական աբակ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/RomanAbacusRecon.jpg/151px-RomanAbacusRecon.jpg" decoding="async" width="151" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/RomanAbacusRecon.jpg/226px-RomanAbacusRecon.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b5/RomanAbacusRecon.jpg 2x" data-file-width="300" data-file-height="239" /></a></div> <div class="gallerytext">Հռոմեական աբակ</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Abacus_2.jpg" class="mw-file-description" title="Չինական սուանպան"><img alt="Չինական սուանպան" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Abacus_2.jpg/160px-Abacus_2.jpg" decoding="async" width="160" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Abacus_2.jpg/240px-Abacus_2.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Abacus_2.jpg/320px-Abacus_2.jpg 2x" data-file-width="2816" data-file-height="2112" /></a></div> <div class="gallerytext">Չինական սուանպան</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Yupana_1.png" class="mw-file-description" title="Ինկերի յուպանա"><img alt="Ինկերի յուպանա" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Yupana_1.png/160px-Yupana_1.png" decoding="async" width="160" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Yupana_1.png/240px-Yupana_1.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Yupana_1.png/320px-Yupana_1.png 2x" data-file-width="1280" data-file-height="960" /></a></div> <div class="gallerytext">Ինկերի յուպանա</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Schoty_abacus.jpg" class="mw-file-description" title="Ռուսական համրիչ"><img alt="Ռուսական համրիչ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Schoty_abacus.jpg/104px-Schoty_abacus.jpg" decoding="async" width="104" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Schoty_abacus.jpg/155px-Schoty_abacus.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Schoty_abacus.jpg/207px-Schoty_abacus.jpg 2x" data-file-width="919" data-file-height="1064" /></a></div> <div class="gallerytext">Ռուսական համրիչ</div> </li> </ul> </center> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ճշգրիտ_մեթոդներ">Ճշգրիտ մեթոդներ</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=11" title="Խմբագրել բաժինը. Ճշգրիտ մեթոդներ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=11" title="Edit section's source code: Ճշգրիտ մեթոդներ">խմբագրել կոդը</a>]</div> Սկսած <a href="/wiki/15-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="15-րդ դար">15-րդ</a> դարից առաջարկվում էին տարբեր ալգորիթմներ բազմանիշ թվերի հետ թվաբանական գործողությունների իրականացման համար, որոնք աչքի էին ընկնում հաշվարկի միջնակա գրելաձևով<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a>։ Թվաբանական ալգորիթմները կառուցված են ելնելով գործող <a href="/w/index.php?title=%D4%B4%D5%AB%D6%80%D6%84%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%B8%D5%B2%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Դիրքային հաշվողական համակարգ (դեռ գրված չէ)">դիրքային հաշվողական համակարգից</a>, երբ յուրաքանչյուր <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> դրական իրական թիվ ներկայացված է միակ հնարավոր եղանակով, հետևյալ տեսքով՝ <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots )_{b}=\sum _{k=-\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots )_{b}=\sum _{k=-\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761984e8bc9d001e50a6d7c39c2e20177a055a6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:48.555ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots )_{b}=\sum _{k=-\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}}"> որտեղ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> —ն թվի գրառման հերթական նիշն է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> —ն հաշվարկման հիմնական համակարգն է, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> —ը <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> թվի ամբողջ մասի կարգերի թիվն է։</dd></dl> Թվերի հետ բոլոր տիպի գործողություններում օգտագործվում են մինչև տասի գումարման և <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%A1%D5%B2%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%A1%D5%AF" title="Բազմապատկման աղյուսակ">բազմապատկման աղյուսակները</a> և հարահաշվական հիմնական օրենքները։ Որպես՝ լուսաբանություն պարզաբանող օրինակ, գիտությունը հանրամատչելի դարձնող <a href="/wiki/%D5%96%D5%A5%D5%AC%D5%AB%D6%84%D5%BD_%D4%BF%D5%AC%D5%A1%D5%B5%D5%B6" title="Ֆելիքս Կլայն">Կլայնը</a> բերում է հետևյալ օրինակը՝ <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mn>12</mn> <mo>=</mo> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>70</mn> <mo>+</mo> <mn>14</mn> <mo>=</mo> <mn>70</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>70</mn> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>80</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>84</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8664692fd9f5404d41ab863dee4b6b0d8e5e173a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:78.13ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84,}"></dd></dl> որտեղ օգտագործված են բաշխական և զուգորդական օրենքները<a href="#cite_note-Клейн—1987——23—25-29">[29]</a>։ Ճիշտ և արագ հաշվարկների անհրաժեշտությունը բերեցին պարզագույն հաշվիչ սարքերի ստեղծմանը, ինչպիսիք են՝ <a href="/wiki/%D4%B1%D5%A2%D5%A1%D5%AF_(%D5%BF%D5%A1%D5%AD%D5%BF%D5%A1%D5%AF)" title="Աբակ (տախտակ)">աբակը</a>, <a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%B8%D6%82%D5%A1%D5%B6%D5%BA%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Սուանպա (դեռ գրված չէ)">սուանպան</a>, <a href="/w/index.php?title=%D5%85%D5%B8%D6%82%D5%BA%D5%A1%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Յուպան (դեռ գրված չէ)">յուպանը</a>։ Հաջորդ քայլը եղավ <a href="/w/index.php?title=%D5%8E%D5%AB%D5%AC%D5%B5%D5%A1%D5%B4_%D5%95%D5%A3%D5%B0%D5%BF%D6%80%D5%A5%D5%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Վիլյամ Օգհտրեդ (դեռ գրված չէ)">Օգհտրեդի</a> <a href="/wiki/1622" title="1622">1622 թվականի</a> <a href="/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%A3%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%84%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D5%B6" title="Լոգարիթմական քանոն">լոգարիթմական քանոնի</a> ստեղծումը, որը թույլ էր տալիս կատարել բաժանում և բազմապատկում<a href="#cite_note-col-30">[30]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Համակարգչային_թվաբանություն">Համակարգչային թվաբանություն</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=12" title="Խմբագրել բաժինը. Համակարգչային թվաբանություն" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=12" title="Edit section's source code: Համակարգչային թվաբանություն">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Schickardmaschine.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Schickardmaschine.jpg/200px-Schickardmaschine.jpg" decoding="async" width="200" height="150" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Schickardmaschine.jpg/300px-Schickardmaschine.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Schickardmaschine.jpg/400px-Schickardmaschine.jpg 2x" data-file-width="1600" data-file-height="1200" /></a><figcaption>Սչիքկարդի հաշվողական մեքենայի պատճենը</figcaption></figure> <a href="/wiki/%D4%B4%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%A4_%D4%BF%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%BF" title="Դոնալդ Կնուտ">Կնուտը</a> թվաբանական գործողությունները համարում էր <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3%D5%AB%D5%B9" title="Համակարգիչ">«համակարգիչների</a> ճակատագիր»<a href="#cite_note-Кнут———216-31">[31]</a>։ Առաջին հաշվիչ մեքենաները, որոնք թույլ տվեցին մեքենայացնել թվաբանական չորս գործողությունները, նախագծվել են <a href="/wiki/17-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="17-րդ դար">17-րդ</a> դարում։ <a href="/w/index.php?title=%D5%8E%D5%AB%D5%AC%D5%B0%D5%A5%D5%AC%D5%B4_%D5%8D%D5%B9%D5%AB%D6%84%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Վիլհելմ Սչիքկարդ (դեռ գրված չէ)">Սչիքկարդի</a> «թվաբանական մեքենան», ինչպես ինքն էր այն անվանում, ստեղծվել է <a href="/wiki/1623" title="1623">1623</a> թվականին։ Գումարման և հանման գործողությունները կատարվում էին գլանագլխարկի (ցիլինդր) պտտման արդյունքում, հատուկ գլանագլխարկներ կային նաև բաժանման և բազմապատկման համար։ Բացի դրանից մեքենան կարող էր փոխանցել տասնյակներ։ Հայրիկին ֆինանսական հաշվարկներում օգնելու համար <a href="/wiki/%D4%B2%D5%AC%D5%A5%D5%A6_%D5%8A%D5%A1%D5%BD%D5%AF%D5%A1%D5%AC" title="Բլեզ Պասկալ">Պասկալը</a> <a href="/wiki/1642" title="1642">1642</a> թվականին ստեղծել է <a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BD%D5%AF%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%B6%D5%A1" title="Պասկալինա">պասկալինան</a>։ Այն աշխատում էր նույն Սչիքկարդի մեքենայի սկզբունքով։ Մեքենայի հիմնական մասը կազմում էր տասնյակների փոխանցման մեխանիզմը։ Սրա հետ մեկտեղ նման մեքենաների արհեստագործական արտադրությունը դեռևս անարդյունավետ էր<a href="#cite_note-История_математики,_т._II—1970——66—67-32">[32]</a>։ 18-րդ դարի ամբողջ ընթացքում շարումակվեցին <a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A5%D5%B4%D5%A5%D6%84%D5%A5%D5%B6%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հաշվեմեքենա (դեռ գրված չէ)">հաշվեմեքենաները</a> կատարելագործելու փորձերը, բայց հաշվեմեքենաների օգտագործումը լայն տարածում գտավ միայն <a href="/wiki/19-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="19-րդ դար">19-րդ</a> դարում<a href="#cite_note-История_математики,_т._III—1972——42—45-33">[33]</a>։ 20-րդ դարում հաշվեմեքենաներին փոխարինելու եկան էլեկտրոնային հաշվիչ մեքենաները։ Նրանց հիմքում ընկած են ալգորիթմներ, որոնք թվաբանական գործողությունները կատարում են օգտագործելով հնարավորինս քիչ քանակի տարրական գործողություններ<a href="#cite_note-MathEnc_Arith-1">[1]</a>։ Համակարգչային թվաբանությունը ներառում է ալգորիթմներ, որոնք թույլ են տալիս գործողություններ կատարել <a href="/w/index.php?title=%D4%BC%D5%B8%D5%B2%D5%A1%D6%81%D5%B8%D5%B2_%D5%BD%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A5%D5%BF%D5%B8%D5%BE_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Լողացող ստորակետով թվեր (դեռ գրված չէ)">լողացող ստորակետով</a>, կոտորակային և <a href="/w/index.php?title=%D4%B5%D6%80%D5%AF%D5%A1%D6%80_%D5%A9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Երկար թվաբանություն (դեռ գրված չէ)">մեծ թվերի</a> հետ<a href="#cite_note-Кнут———216-31">[31]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Չափում">Չափում</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=13" title="Խմբագրել բաժինը. Չափում" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=13" title="Edit section's source code: Չափում">խմբագրել կոդը</a>]</div> Բացի այն առարկաներից, որ ենթակա են հաշվման գոյություն ունեն առարկաներ, որոնք կարելի է չափել, առաջին հերթին դա <a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Երկարություն">երկարությունն</a> ու <a href="/wiki/%D4%BE%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%AC" title="Ծավալ">ծավալն</a> է<a href="#cite_note-Клейн—1987——45—49-34">[34]</a>։ Ինչպես հաշվարկի դեպքում, այս դեպքում ևս առաջին չափման միավորը եղել է մարդու ձեռքի մատները։ Հետո հեռավորությունները սկսեցին չափել քայլերով, կրկնակի քայլերով, <a href="/wiki/%D5%84%D5%B2%D5%B8%D5%B6" title="Մղոն">մղոններով</a> (հազար կրկնակի քայլ), <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BA%D5%A1%D6%80%D5%A5%D5%A6_(%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%B4%D5%AB%D5%A1%D5%BE%D5%B8%D6%80)" title="Ասպարեզ (չափման միավոր)">ասպարեզով</a>։ Բացի սրանցից երկարության չափման համար օգտագործում են նաև արմունկները, ափերը, <a href="/wiki/%D5%8D%D5%A1%D5%AA%D5%A5%D5%B6" title="Սաժեն">սաժենը</a>, <a href="/wiki/%D4%B4%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%B4" title="Դյույմ">դյույմը</a>։ Տարբեր տարածաշրջաններում սահմանվում էին տարբեր չափման միավորներ, որոնք շատ հազվադեպ էին տասին բազմապատիկ լինում<a href="#cite_note-Депман—1965——263—267-35">[35]</a>։ Չափման միավորների բազմազանությունը թույլ էր տալիս խուսափել կոտորակների օգտագործումից<a href="#cite_note-Boyer_&_Merzbach—2010—Arithmetic_and_logistic—-36">[36]</a><a href="#cite_note-Арифметика—1951——57—71-37">[37]</a>։ Առևտրային թվաբանությունը ներառում էր ոչ տասնորդական թվային համակարգում գործելու ունակություններ (դրամական միավորներ, չափման միավորներ և կշիռներ)<a href="#cite_note-Кнут———216,_221-38">[38]</a>։ 18-րդ դարի վերջին <a href="/wiki/%D5%96%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%BD%D5%AB%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A5%D5%B2%D5%A1%D6%83%D5%B8%D5%AD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Ֆրանսիական հեղափոխություն">Ֆրանսիակակն հեղափոխական</a> կառավարությունը նախ ժամանակավոր, իսկ հետագայում նաև արխիվային հիմքով (<a href="/wiki/1799" title="1799">1799</a> թվականի <a href="/wiki/%D4%B4%D5%A5%D5%AF%D5%BF%D5%A5%D5%B4%D5%A2%D5%A5%D6%80%D5%AB_10" title="Դեկտեմբերի 10">դեկտեմբերի 10-ի</a> օրենքով) <a href="/wiki/%D5%84%D5%A5%D5%BF%D6%80" title="Մետր">մետրը</a> ընդունեց որպես <a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A5%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%B0%D5%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մետրական չափման համակարհգ (դեռ գրված չէ)">մետրական չափման միավոր</a> (վերջնականապես այդ չափման միավորին <a href="/wiki/%D5%96%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%BD%D5%AB%D5%A1" title="Ֆրանսիա">Ֆրանսիան</a> անցում կատարեց <a href="/wiki/1840" title="1840">1840</a> թվականի <a href="/wiki/%D5%80%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%BE%D5%A1%D6%80%D5%AB_1" title="Հունվարի 1">հունվարի 1</a>-ից)։ Մետրի հետ միասին որոշվեց նաև <a href="/wiki/%D4%BF%D5%AB%D5%AC%D5%B8%D5%A3%D6%80%D5%A1%D5%B4" title="Կիլոգրամ">կիլոգրամը</a>։ Մետրական համակարգի հիմքում ընկած է տասական համակարգը։ Հենց այս հանգամանքն էլ թույլ տվեց, որ այն տարածվի գրեթե ամբողջ աշխարհում (բացառություն են կազմում <a href="/wiki/%D5%84%D5%AB%D5%A1%D6%81%D5%B5%D5%A1%D5%AC_%D4%B9%D5%A1%D5%A3%D5%A1%D5%BE%D5%B8%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Միացյալ Թագավորություն">Մեծ Բրիտանիան</a> և <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B4%D5%A5%D6%80%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%84%D5%AB%D5%A1%D6%81%D5%B5%D5%A1%D5%AC_%D5%86%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D5%A3%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Ամերիկայի Միացյալ Նահանգներ">ԱՄՆ</a>-ն)։ <a href="/wiki/%D5%93%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A6" title="Փարիզ">Փարիզում</a> գտվող հատուկ <a href="/w/index.php?title=%D5%89%D5%A1%D6%83%D5%AB_%D6%87_%D5%AF%D5%B7%D5%BC%D5%AB_%D5%B4%D5%AB%D5%BB%D5%A1%D5%A6%D5%A3%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%A2%D5%B5%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Չափի և կշռի միջազգային բյուրո (դեռ գրված չէ)">չափի և կշռի միջազգային բյուրոի</a> հրամանով <a href="/wiki/1888" title="1888">1888</a> թվականին <a href="/wiki/%D5%8A%D5%AC%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%B6" title="Պլատին">պլատինի</a> և <a href="/wiki/%D4%BB%D6%80%D5%AB%D5%A4%D5%AB%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Իրիդիում">իրիդիումի</a> <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%B1%D5%B8%D6%82%D5%AC%D5%BE%D5%A1%D5%AE%D6%84%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Համաձուլվածքներ">համաձուլվածքից</a> պատրաստվել է միջազգային մետր և միջազգային կիլոգրամ, որպես չափի և կշռի <a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%A3%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ստուգաչափ (դեռ գրված չէ)">ստուգաչափ</a>։ Բացի <a href="/wiki/%D4%BA%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF" title="Ժամանակ">ժամանակի</a> և <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%AF%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Անկյուն">անկյան</a> չափումներից, մնացած բոլոր չափման միավորները ևս կապված են տասական համակարգի հետ<a href="#cite_note-Депман—1965——275—285-39">[39]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Մոտավոր_մեթոդներ">Մոտավոր մեթոդներ</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=14" title="Խմբագրել բաժինը. Մոտավոր մեթոդներ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=14" title="Edit section's source code: Մոտավոր մեթոդներ">խմբագրել կոդը</a>]</div> Պատմականորեն մոտավոր հաշվարները առաջացել են միավոր քառակուսու անկյունագծի որոշման ժամանակ, բայց լայն տարածում են ստացել տասական համակարգին անցում կատարելիս և իռացիոնալ թվերի ու անվերջ պարբերական կոտորակային տեսքով արտահայտված թվերի փոխարն վերջավոր տասնորդական կոտորակի օգտագործման ժամանակ<a href="#cite_note-Клейн—1987——49—57-40">[40]</a>։ Գնահատման հաշվարկների համար առաջին հերթին օգտագործում են մոնոտոնության օրենքները։ Օրինակ որպեսզի որոշեն արտադրյալի կարգը <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 567\cdot 134}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>567</mn> <mo>⋅</mo> <mn>134</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 567\cdot 134}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d53bd7d9bb0086f967403f866bfae7594ab730a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.654ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 567\cdot 134}">, կարելի է օգտվել հետևյալ գնահատականից՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>560</mn> <mo>⋅</mo> <mn>130</mn> <mo><</mo> <mn>567</mn> <mo>⋅</mo> <mn>134</mn> <mo><</mo> <mn>570</mn> <mo>⋅</mo> <mn>140</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefaf140935491e2fbafe479d57b4ea531b347f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:32.158ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140}"><a href="#cite_note-Клейн—1987——23—25-29">[29]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Թվերի_տեսություն">Թվերի տեսություն</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=15" title="Խմբագրել բաժինը. Թվերի տեսություն" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=15" title="Edit section's source code: Թվերի տեսություն">խմբագրել կոդը</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Հիմնական հոդված՝ <a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Թվերի տեսություն">Թվերի տեսություն</a></div> Թվերի տեսությունը կամ բարձրագույն թվաբանությունը գիտություն է ամբողջ թվերի մասին, որը առաջացել է թվաբանական այն խնդիրներից, որոնք կապված են թվերի <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D5%AC%D5%AB%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B5%D5%BF%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D5%B7%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Բաժանելիության հայտանիշներ">բաժանելիության</a> հետ<a href="#cite_note-MathEnc_NumTeo-41">[41]</a>։ Թվերի տարրական տեսությունը գործ ունի այն խնդիրների հետ, որոնք լուծվում են տարրական մեթոդներով, սովորաբար առանց <a href="/wiki/%D4%BF%D5%A5%D5%B2%D5%AE_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80" class="mw-redirect" title="Կեղծ թվեր">կեղծ թվերի</a> օգտագործման։ Նրան են վերաբերում բաժանելիության տեսությունը, համեմտության տեսությունը, անորոշ <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Հավասարում">հավասարումները</a>, մասերի բաժանումը, ռացիոնալ թվերով մոտավորությունը, <a href="/wiki/%D5%87%D5%B2%D5%A9%D5%A1%D5%B5%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%AF%D5%B8%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF" title="Շղթայական կոտորակ">շղթայական կոտորակները</a><a href="#cite_note-MathEnc_ElNumTeo-42">[42]</a>։ Թվաբանության հիմնական տեսությունը՝ թվերի բաժանումը պարզ համաբազմապատկիչների միակ եղանակով, նույնպես համարվում է թվերի տարրական տեսության մաս<a href="#cite_note-Арнольд—1938——413—415-43">[43]</a>։ Ամբողջ թվերի առանձին ենթադասերը, ինչպիսիք են՝ պարզ, բաղադրյալ, քառակուսի և կատարյալ թվերը առանձնացվել են դեռևս <a href="/wiki/%D5%80%D5%AB%D5%B6_%D5%80%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D5%BD%D5%BF%D5%A1%D5%B6" title="Հին Հունաստան">հին հույների</a> կողմից։ Նրանք արտածել են բանաձևեր պյութագորական եռյակի, <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B4%D5%A5%D5%B6%D5%A1%D5%B4%D5%A5%D5%AE_%D5%A8%D5%B6%D5%A4%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D6%80_%D5%A2%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%A1%D6%80" title="Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար">ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի</a> որոշման համար և ցույց են տվել պարզ թվերի անվերջությունը։ <a href="/wiki/%D4%B4%D5%AB%D5%B8%D6%86%D5%A1%D5%B6%D5%BF" title="Դիոֆանտ">Դիոֆանտը</a> անցկացրեց ամբողջ թվերի հետ կապված խնդիրների դասակարգում։ Դիոֆանտի աշխատանքները <a href="/wiki/17-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="17-րդ դար">17-րդ</a> դարում շարունակեց <a href="/wiki/%D5%8A%D5%AB%D5%A5%D5%BC_%D5%A4%D5%A5_%D5%96%D5%A5%D6%80%D5%B4%D5%A1" class="mw-redirect" title="Պիեռ դե Ֆերմա">Ֆերման</a>, <a href="/wiki/18-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="18-րդ դար">18-րդ</a> դարում՝ <a href="/wiki/%D4%BC%D5%A5%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%A4_%D4%B7%D5%B5%D5%AC%D5%A5%D6%80" title="Լեոնարդ Էյլեր">Էյլերը</a>։ Ֆերման զբաղվում էր ամբողջ թվերի հետ կապված հավասարումների լուծումով և առանց ապացույցների ձևակերպեց <a href="/wiki/%D5%96%D5%A5%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B4%D5%A5%D5%AE_%D5%A9%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A5%D5%B4" title="Ֆերմայի մեծ թեորեմ">Ֆերմայի մեծ</a> և փոքր թեորեմները։ Էյլերը շարունակեց Ֆերմայի հետազոտությունները, ապացուցելով <a href="/wiki/%D5%96%D5%A5%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D6%83%D5%B8%D6%84%D6%80_%D5%A9%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A5%D5%B4" title="Ֆերմայի փոքր թեորեմ">փոքր թեորեմը</a> և Ֆերմայի մեծ թեորեմի մասնավոր դեպքը։ Նա առաջին անգամ օգտագործեց <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%A6" title="Մաթեմատիկական անալիզ">մաթեմատիկական անալիզ</a> թվերի տեսության խնդիրների լուծման համար և ստեղծեց թվերի վերլուծական տեսություն։ Էյլերը սահմանեց բազմացնող ֆունկցիաները, որնց հիման վրա կառուցվեցին շրջանաձև մեթոդը և <a href="/wiki/%D4%B5%D5%BC%D5%A1%D5%B6%D5%AF%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%86%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ">եռանկյունաչափական</a> գումարի մեթոդը<a href="#cite_note-MathEnc_NumTeo-41">[41]</a>։ Այժմ բացի տարրական և վերլուծական թվերի տեսությունից, գոյություն ունեն այնպիսի բաժիններ, ինչպիսիք են հանրահաշվային, հավանականության և թվերի մետրական տեսությունները<a href="#cite_note-MathEnc_NumTeo-41">[41]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Տեսական_թվաբանություն">Տեսական թվաբանություն</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=16" title="Խմբագրել բաժինը. Տեսական թվաբանություն" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=16" title="Edit section's source code: Տեսական թվաբանություն">խմբագրել կոդը</a>]</div> Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ <a href="/wiki/%D4%B1%D6%84%D5%BD%D5%AB%D5%B8%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF_%D5%B4%D5%A5%D5%A9%D5%B8%D5%A4" title="Աքսիոմատիկ մեթոդ">տեսության կառուցվածքը</a> իրենից ներկայացնում է բազային հատկությունների ընտրություն, կամ <a href="/wiki/%D4%B1%D6%84%D5%BD%D5%AB%D5%B8%D5%B4%D5%A1" class="mw-redirect" title="Աքսիոմա">աքսիոմաներ</a>, որոնցից պահանջվում է դուրս բերել տեսության բոլոր դրույթները, կամ <a href="/wiki/%D4%B9%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A5%D5%B4" title="Թեորեմ">թեորեմները</a>, ընդունված տրամաբանության օգնությամբ<a href="#cite_note-bse_method-44">[44]</a>։ Թվաբանության տեսական կառուցվածքը հենված է հանրահաշվական հասկացությունների վրա։ Թվաբանության հիմնական հասկացությունների ընտրության բարդությունը կապված է նրա նախնական դրույթների պարզության հետ։ <a href="/wiki/%D5%8B%D5%B8%D6%82%D5%A6%D5%A5%D5%BA%D5%A5_%D5%8A%D5%A5%D5%A1%D5%B6%D5%B8" title="Ջուզեպե Պեանո">Պեանոն</a> խուսափելով բառերի օգտագործման ժամանակ կեղծ ասոցիացվող շարքից, ապացույցները անցկացնում էր բացառապես սիմվոլներ լեզվով, հենվելով միայն նրանց կողմից ընդունված նախնական դրույթների վրա։ <a href="/wiki/%D4%B3%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A3_%D4%BF%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%B8%D6%80" title="Գեորգ Կանտոր">Կանտորը</a> և <a href="/wiki/%D5%8C%D5%AB%D5%AD%D5%A1%D6%80%D5%A4_%D4%B4%D5%A5%D5%A4%D5%A5%D5%AF%D5%AB%D5%B6%D5%A4" title="Ռիխարդ Դեդեկինդ">Դեդեկինդը</a> թվերը կապում էին բազմությունների և նրանց հանդեպ վերացական հարաբերությունների հետ<a href="#cite_note-Клейн—1987——26—35-20">[20]</a>։ Բազմությունների տեսությունը թվաբանական գործողությունները դիտարկում է որպես տարրերի եռյակի միջև հատուկ հարաբերություններ, որտեղ մի տարրը որոշվում է մյուս երկու տարրերի միջոցով կամ <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AE%D5%B8%D5%B2%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Հանրահաշվական գործողություններ">հանրահաշվական գործողություններ</a><a href="#cite_note-Арифметика—1951——100—107-45">[45]</a>։ <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Բազմությունների տեսություն">Բազմությունների տեսության</a> մասին խոսելիս Կլեյնը նկատում է, որ այս մոտեցման դեպքում տեսության զարգացումը դառնում է «վերացական և քիչ հասանելի»<a href="#cite_note-Клейн—1987——26—35-20">[20]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Բնական_թվեր">Բնական թվեր</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=17" title="Խմբագրել բաժինը. Բնական թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=17" title="Edit section's source code: Բնական թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> <a href="/wiki/1810" title="1810">1810</a> թվականին <a href="/wiki/%D5%89%D5%A5%D5%AD%D5%AB%D5%A1" title="Չեխիա">չեխ</a> մաթեմատիկոս <a href="/w/index.php?title=%D4%B2%D5%A5%D6%80%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%A4_%D4%B2%D5%B8%D5%AC%D5%A6%D5%A1%D5%B6%D5%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Բերնարդ Բոլզանո (դեռ գրված չէ)">Բոլզանոն</a> բնական թվերի համար սահմանեց գումարման գործողությունը։ Նրանից անկախ նման սահմանումներ տվեցին նաև գերմանացի մաթեմատիկոսներ <a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A5%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D4%B3%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A9%D5%A5%D6%80_%D4%B3%D6%80%D5%A1%D5%BD%D5%BD%D5%B4%D5%A1%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հերման Գյունթեր Գրասսման (դեռ գրված չէ)">Գրասսմանը</a> <a href="/wiki/1861" title="1861">1861</a> թվականին և <a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A5%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%80%D5%A1%D5%B6%D5%AF%D5%A5%D5%AC&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հերման Հանկել (դեռ գրված չէ)">Հանկելը</a>՝ <a href="/wiki/1869" title="1869">1869</a> թվականին<a href="#cite_note-Депман—1965——117—126-46">[46]</a>։ «Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի գումարման հետևյալ սահմանումը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——135—138-47">[47]</a>՝ <pre>Սահմանում։ Բնական թվերի գումարում անվանում են այն համապատասխանությունը, որը բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգի համար <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> համադրում է մեկ և միայն մեկ բնական թիվ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b}">, օժտված հետևյալ հատկություններով՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+1=a'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+1=a'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194e51be91c0ae1bceba71955e25e1ab14bdc203" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.246ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a+1=a'}"> ցանկացած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">-ի համար, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b'=(a+b)'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b'=(a+b)'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bfbcf65bb5da7044f244a257cf2cf1139cd595" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.413ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a+b'=(a+b)'}"> ցանկացած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">-ի և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">-ի համար։ </pre> Բնական թվերի գումարումը միշտ իրագործելի է և միանշանակ<a href="#cite_note-Арифметика—1951——135—138-47">[47]</a>։ Բազմապատկումը ինչպես և գումարումը, սահմանել են իրարից անկախ Բոլցանոն, Գրասսման և Հանկելը<a href="#cite_note-Депман—1965——117—126-46">[46]</a>։ «Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի բազմապատկման հետևյալ սահմանումը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——139—142-48">[48]</a>՝ <pre>Սահմանում։ Բնական թվերի բազմապատկում անվանում են այն համապատսխանությունը, որը բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգի համար <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> համադրում է մեկ և միայն մեկ բնական թիվ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.227ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab}"> (կամ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620419d3ed53abc98659a5fc0f3a5eb6177830ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.906ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b}">), որն ունի հետևյալ հատկությունները՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 1=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 1=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e5c8aeb598f9dadf4767a03328e05849f37035" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.4ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 1=a}"> ցանկացած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">-ի համար, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b'=a\cdot b+a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b'=a\cdot b+a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b5f3ef95e3773aed18dea2a696387df3e0bf7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.666ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b'=a\cdot b+a}"> ցանկացած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">-ի և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">-ի համար։ </pre> Բնական թվերի բազմապատկումը միշտ իրագործելի է և միանշանակ<a href="#cite_note-Арифметика—1951——139—142-48">[48]</a>։ <a href="/wiki/1891" title="1891">1891</a> թվականին Պեանոն ներկայացրեց աքսեոմաներ բնական թվերի համար (այլ աղբյուրներում հիշատակվում է նաև <a href="/wiki/1889" title="1889">1889</a> թվականը)<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a><a href="#cite_note-Депман—1965——117—126-46">[46]</a>։ Այդ ժամանակներից ի վեր աքսեոմաները շատ քիչ փոփոխությունների են ենթարկվել։ <pre>Սահմանում։ Բնական թվեր են համարվում ցանկացած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"> ոչ դատարկ <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Բազմություն">բազմության</a> տարրերը, որի մեջ որոշ տարրերի համար <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> գոյություն ունի «<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">-ն հաջորում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">-ին» առնչությունը, որի համար իրականացվում է հետևյալ աքսեոմաները<a href="#cite_note-Арифметика—1951——133-49">[49]</a>՝ Գոյություն ունի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> թիվը, որը չի հաջորդում ոչ մի թվի, այսինքն ցանկացած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> թվի համար <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'\neq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>≠</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'\neq 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad987135eb6ea09a9fd1b67e8327d3281a4da75a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.175ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a'\neq 1}">։ Ցանկացած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> թվի համար գոյություն ունի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'}"> թիվը, ընդորում միայն մեկը, այսինքն <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1956b03d1314c7071ac1f45ed7b1e29422dcfcc4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=b}"> հետևում է, որ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'=b'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'=b'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de17a385c970f6208888f17a904b203a4510a46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.695ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'=b'}">։ Ցանկացած թիվ հաջորդում է ոչ ավել քան մեկ թվի, այսինքն <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'=b'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'=b'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de17a385c970f6208888f17a904b203a4510a46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.695ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'=b'}"> հետևում է, որ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1956b03d1314c7071ac1f45ed7b1e29422dcfcc4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=b}">։ Բնական թվերի ցանկացած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> բազմություն, որ օժտված է՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}">-ը պատկանում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}">-ին և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> թիվը պատկանում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}">-ին, ապա <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'}"> թիվը ևս պատկանում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}">-ին հատկություններով, պարունակում է բոլոր բնական թվերը, այսինքն համընկնում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }">-ի հետ։ </pre> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ամբողջ_թվեր">Ամբողջ թվեր</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=18" title="Խմբագրել բաժինը. Ամբողջ թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=18" title="Edit section's source code: Ամբողջ թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> «Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի հանման հետևյալ սահմանումը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——150—151-50">[50]</a>՝ <pre>Սահմանում։ Բնական թվերի տարբերություն անվանում են այն համապատասխանությունը, որը յուրաքանչյուր <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> բնական թվերի զույգին համապատասխանեցնում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b80866c2bf2f1bc1f2e4c97e7937f5663150ea6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a-b}"> թիվը, այն օժտված է հետևյալ հատկությամբ՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a-b)+b=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a-b)+b=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa2e9bfc3fdb86f384dd6602bd7a58dee3572e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.043ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a-b)+b=a}">։ </pre> Բնական թվերի տարբերությունը իրագործելի է միայն այն դեպքում, երբ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fc0063781fb9bf4ec7608b2fd11ed6d5b05a13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>b}">, եթե անհավասարությունը գոյություն ունի, ապա այն միակն է<a href="#cite_note-Арифметика—1951——150—151-50">[50]</a>։ Գումարման և հանման հաշվին բնական թվերի ընդլայնումը բերում է ամբողջ թվերի հասկացությանը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——172—179-51">[51]</a>։ <pre>Սահմանում։ Ամբողջ թվերի <a href="/wiki/%D5%95%D5%B2%D5%A1%D5%AF_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Օղակ (մաթեմատիկա)">օղակ</a> անվանում են <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> նվազագույն օղակը, որ պարունակում է բոլոր բնական թվերի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"> բազմությունը և օժտված է հետևյալ հատկություններով<a href="#cite_note-Арифметика—1951——160—167-52">[52]</a>՝ Բնական թվերի գումարումն ու հանումը համընկնում են <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> օղակի համապատասխան թվերի համանուն գործողությունների հետ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> օղակը չի պարունակում իրենից տարբեր <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"> բազմությունը պարունակող ենթաօղակը։ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> օղակի տարրերը անվանում են ամբողջ թվեր։ </pre> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> օղակը գոյություն ունի և համարվում է միակը մինչև <a href="/wiki/%D4%BB%D5%A6%D5%B8%D5%B4%D5%B8%D6%80%D6%86%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Իզոմորֆություն (մաթեմատիկա)">իզոմորֆության</a> ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է բնական թվերի տարբերությանը։ Օղակի կառուցման համար օգտագործում են հետևյալ տեսքի՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e63f0561dbfbb33bfe627ef167cfcf941712cd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)}">, բնական թվերի զույգերի բազմություններ։ Զուհույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքությունը որոշում է հետևյալ կերպ<a href="#cite_note-Арифметика—1951——160—167-52">[52]</a>՝ <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\,b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46dcbf306d8bd4b40bd7779417cbae25f6027a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.458ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\,b)}"> համարժեք է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (c,\;d)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (c,\;d)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efbbc3f6a85336db864be65b3cf94dc2c8ed6ef2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.711ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (c,\;d)}"> միայն և միայն այն դեպքում, երբ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+d=b+c,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+d=b+c,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22034e697c89435bc4f8cf10859a8d9b42b099f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.876ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a+d=b+c,}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\,b)+(c,\;d)=(a+c,\,b+d),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\,b)+(c,\;d)=(a+c,\,b+d),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177a6c2a4e6e49e648db0e3182d5f5d481a71160" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\,b)+(c,\;d)=(a+c,\,b+d),}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,\,ad+bc):}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,\,ad+bc):}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f3073a255c1bd35951e510e0846cc765b1e374" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.405ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,\,ad+bc):}"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ռացիոնալ_թվեր">Ռացիոնալ թվեր</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=19" title="Խմբագրել բաժինը. Ռացիոնալ թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=19" title="Edit section's source code: Ռացիոնալ թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> «Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի բաժանման հետևյալ սահմանումը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——150—151-50">[50]</a>՝ <pre>Սահմանում։Բնական թվերի բաժանում անվանում են այն համապատասխանությունը, որի ժամանակ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a:b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>:</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a:b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3149b4f815ad9e8b3e8cdd29adcd02a42c22e5ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a:b}"> թիվը, այն օժտված է հետևյալ հատկությամբ՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a:b)\cdot b=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>:</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a:b)\cdot b=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa30f9f2aadbca9bad11691310c67c5951b7e239" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a:b)\cdot b=a}">։ </pre> Բնական թվերի բաժանումը իրագործելի է միայն այն ժամանակ, երբ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\,\vdots \,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>⋮</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\,\vdots \,b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20823a36bb37c3e8ac0656fd256b3915aabb1093" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.648ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a\,\vdots \,b}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> բազմապատիկ է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">), եթե քանորդը գոյություն ունի ապա այն միակն է<a href="#cite_note-Арифметика—1951——150—151-50">[50]</a>։ Բաժանում և բազմապատկում հասկացությունների հաշվին բնական թվերը ընդլայնումը, բերում է ռացիոնալ թվերի սահմանմանը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——172—179-51">[51]</a>։ Դեռևս <a href="/wiki/1710" title="1710">1710</a> թվականին Վոլֆը արտահայտել է այն պահանջը, որ բնական թվերի թվաբանական գործողությունների կատարման արդեն հայտնի կանոնները ուղիղ ձևով չեն կարող օգտագործվել կոտորակների համար և պետք է ստանան իրենց հիմնավորումները։ Հենց ինքը հիմնավորումը մշակվել է միայն <a href="/wiki/19-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="19-րդ դար">19-րդ</a> դարում, օգտագործելով ձևական կանոնների անփոփոխության սկզբունքը<a href="#cite_note-Депман—1965——258—262-53">[53]</a>։ <pre>Սահմանում։ Բնական թվերի տիրույթ անվանում են <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> փոքրագույն տիրույթը, որը ներառում է ամբողջ թվերի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> օղակը և օժտված է հետևյալ հատկություններով<a href="#cite_note-Арифметика—1951——172—178-25">[25]</a>՝ ամբողջ թվերի գումարումն ու բազմապատկումը համընկնում են <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> տիրույթի թվերի համանուն գործողությունների հետ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> տիրույթը չի պարունակում գերազանում հենց իրենից <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> պարունակող ենթադաշտից։ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> տիրույթի տարրերը կոչվում են ռացիոնալ թվեր։ </pre> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> տիրույթը գույություն ունի և համարվում է միակը մինչև իզոմորֆության ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է ամբողջ թվերի քանորդին։ Ինչպես ամբողջ թվերի դեպքում ռացիոնալ թվերի տիրույթի կառուցման համար ևս օգտագործվում են <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e63f0561dbfbb33bfe627ef167cfcf941712cd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)}"> զույգերի բազմությունը, բայց այս դեպքում արդեն ամբողջ թվերով, ընդորում <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad073253b4c817f2ec7e3dd7517b7f89a8e581dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.258ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b\neq 0}">։ Զույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքները որոշվում են հետևյալ կերպ<a href="#cite_note-Арифметика—1951——172—178-25">[25]</a>՝ <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e63f0561dbfbb33bfe627ef167cfcf941712cd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)}"> համարժեք է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (c,\;d)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (c,\;d)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efbbc3f6a85336db864be65b3cf94dc2c8ed6ef2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.711ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (c,\;d)}"> միայն և միայն այն դեպքում, երբ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ad=bc,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ad=bc,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bafc7c96b0af4efd78a5802843bf0e67ad56590f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.195ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ad=bc,}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316aff2ee77556bfc3895dc9d6cfa69348f5b93c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)\cdot (c,d)=(ac,\;bd).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)\cdot (c,d)=(ac,\;bd).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0a54afebd587a6cf99b0293c8eeba2fef031c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.145ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)\cdot (c,d)=(ac,\;bd).}"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Իրական_թվեր">Իրական թվեր</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=20" title="Խմբագրել բաժինը. Իրական թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=20" title="Edit section's source code: Իրական թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> 19-րդ դարի երկրորդ կեսին ներկայացվել է իրական թվերի երեք տարբեր տեսական կառուցվածքներ։ Ամենահայտնի համարվում է <a href="/wiki/%D5%8C%D5%AB%D5%AD%D5%A1%D6%80%D5%A4_%D4%B4%D5%A5%D5%A4%D5%A5%D5%AF%D5%AB%D5%B6%D5%A4" title="Ռիխարդ Դեդեկինդ">Դեդեկինդի</a> տեսությունը։ <a href="/wiki/%D4%B3%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A3_%D4%BF%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%B8%D6%80" title="Գեորգ Կանտոր">Կանտորը</a> իր ձևակերման մեջ օգտագործել է <a href="/wiki/%D5%8D%D5%A1%D5%B0%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Սահմանների տեսություն">սահմանների տեսությունը</a><a href="#cite_note-Арифметика—1951——188-54">[54]</a>։ <pre>Սահմանում։ Իրական թվեր տիրույթ համարվում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> անընդհատ տիրույթը, որը որպես ենթատիրույթ պարունակում է ռացիոնալ թվերի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> տիրույթը։ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> տիրույթի տարրերը կոչվում են իրական թվեր<a href="#cite_note-Арифметика—1951——202-55">[55]</a>։ </pre> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> տիրույթը գոյություն ունի և համարվում է միակը մինչև իզոմորֆության ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է ռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանին<a href="#cite_note-Арифметика—1951——202-55">[55]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Կոմպլեքս_թվեր">Կոմպլեքս թվեր</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=21" title="Խմբագրել բաժինը. Կոմպլեքս թվեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=21" title="Edit section's source code: Կոմպլեքս թվեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> Սահմանում։ Կոմպլեքս թվերի տիրույթ կոչվում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> փոքրագույն տիրույթը, որը պարունակում է իրական թվերի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> տիրույթը և այնպիսի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"> տարր, որ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{2}=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{2}=-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e98a401d352e5037d5043028e2d7f449e83fa6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i^{2}=-1}"> և օժտված է հետևյալ հատկություններով<a href="#cite_note-Арифметика—1951——228-56">[56]</a>՝ <pre>բնական թվերի գումարումն ու բազմապատկումը համապատասխանում են <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> տիրույթի թվերի համանուն գործողությունների հետ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> տիրույթը չի պարունակում իրեն գերազանցոզ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> պարունակությամբ ենթատիրույթը <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> տիրույթի տարրերը կոչվում են կոմպլեքս թվեր։ </pre> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> տիրույթը համարվում է հանրահաշվորեն փակ տիրույթ։ Կոմպլեքս թվերի տիրույթի կառուցման ժամանակ օգտագործում են <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e63f0561dbfbb33bfe627ef167cfcf941712cd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)}"> հաջորդական զույգերի բազմությունը։ Զույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքները որոշվում են հետևյալ կերպ՝ <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e63f0561dbfbb33bfe627ef167cfcf941712cd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)}"> համարժեք է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (c,\;d)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (c,\;d)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efbbc3f6a85336db864be65b3cf94dc2c8ed6ef2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.711ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (c,\;d)}"> միայն և միայն այն դեպքում, երբ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1beb3f1b1ad87e99791ba713839204a88b27239a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.335ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a=c}"> և <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d313b2b19adc53ca61b0af421d36cdb04e8507b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.312ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=d}">,</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeb45709dcc556aeb4cfe179f726bd2c1d3d97e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.632ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\;b)\cdot (c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad):}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\;b)\cdot (c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad):}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ec5f87ed522749591385a4205e8378767c2454" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.566ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\;b)\cdot (c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad):}"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ֆորմալ_թվաբանություն">Ֆորմալ թվաբանություն</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=22" title="Խմբագրել բաժինը. Ֆորմալ թվաբանություն" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=22" title="Edit section's source code: Ֆորմալ թվաբանություն">խմբագրել կոդը</a>]</div> Տրամաբանա-մաթեմատիկական կառուցվածքը կրում է <a href="/wiki/%D4%B1%D6%84%D5%BD%D5%AB%D5%B8%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF_%D5%B4%D5%A5%D5%A9%D5%B8%D5%A4" title="Աքսիոմատիկ մեթոդ">ֆորմալ թվաբանություն</a> անվանումը<a href="#cite_note-bse_formal-57">[57]</a>։ Տրամաբանության անցումը կապված է Հիլբերտի դպրոցի մոտեցմամբ, որը թվերի փոխարեն ուսումնասիրում էր <a href="/wiki/%D4%B1%D5%A2%D5%BD%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1" title="Աբստրակցիա">աբստրակցիաները</a> և նրանց համար ճիշտ էր համարում հիմնական թվաբանական օրենքներ<a href="#cite_note-Клейн—1987——26—35-20">[20]</a>։ Թվաբանության հիմնավորման համար հաստատվեց աքսեոմատիկայի մի քանի տարբերակ։ Բացի Պեանոյի աքսեոմայի համակարգից, որի մեջ սահմանված են և գումարումը և բազմապատկումը, գոյություն ունի <a href="/w/index.php?title=%D5%8A%D6%80%D5%A5%D5%BD%D5%A2%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%A3%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%A9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Պրեսբուրգերի թվաբանություն (դեռ գրված չէ)">Պրեսբուրգերի աքսեոմաների համակարգը</a>, որի մեջ սահմանված է միայն գումարումը, ինչպես նաև գոյություն ունեն աքսեոմաներ, որոնց մեջ սահմանված են գումարումը, բազմապատկումը և աստիճան բարձրացումը։ Հաճախ աքսեոմաների փոխարեն ներառում են գործողության բոլոր հակությունները<a href="#cite_note-Avigad—2003——260-58">[58]</a><a href="#cite_note-Нечаев—1975——52—53-59">[59]</a>։ Այս բոլոր աքսեոմատիկ տեսությունները հիմնված են բնական թվերի բազմության վրա և իրենց մեջ չեն ներառում բազմությունների տեսության <a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%A4%D5%B8%D6%84%D5%BD" title="Պարադոքս">պարադոքսները</a>։ Այլ հետազոտական մոտեցումները թվաբանությունը դուրս են բերում բազմությունների տեսության աքսեոմաներից կամ մաթեմատիկական տրամաբանությունից<a href="#cite_note-bse_method-44">[44]</a>։ Հարմարավետության համար աքսեոմաների հետազոտությունները գրառում են <a href="/wiki/%D5%8A%D6%80%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%BF%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Պրեդիկատների տրամաբանություն">մաթեմատիկական տրամաբանության</a> հատուկ ֆորմալ լեզվով<a href="#cite_note-bse_formal-57">[57]</a>։ Այն պարունակում է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}">, թվային փոփոխականներ, սիմվոլներ (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =,+,\cdot ,'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mo>,</mo> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =,+,\cdot ,'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f58bc5f686efcac2540f10e566562232d30bea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.663ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =,+,\cdot ,'}">) և տրամաբանական կապեր (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \And ,\leftarrow ,\forall ,\exists ,\lor ,{\mathcal {e}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">&</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">←</mo> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>,</mo> <mo>∨</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">e</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \And ,\leftarrow ,\forall ,\exists ,\lor ,{\mathcal {e}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e14b794db85242c73adb26541787f6db6b08d9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \And ,\leftarrow ,\forall ,\exists ,\lor ,{\mathcal {e}}}">)<a href="#cite_note-MathEnc_FormArith-2">[2]</a>։ Ինդուցիայի աքսեոման իրենից ներկայացնում է աքսեոմաների անվերջ  հավաքածու, որը չի կարելի փոխարինել ոչ մի վերջնավոր բազմությամբ<a href="#cite_note-bse_formal-57">[57]</a>։ Կատարյալ աքսեոմաների բազային հավաքածուն պետք է օժտված լինի հետևյալ երեք հատկություններով<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a>՝ <ul><li><a href="/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%B0%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Անհակասականություն">Անհակասականություն</a>՝ աքսեոմաները չպետք է ընդհարվեն իրար հետ,</li> <li><a href="/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%AF%D5%A1%D5%AD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Անկախություն (մաթեմատիկա)">Անկախություն</a>՝ աքսեոմաների մեջ չպետք է լինի ավելորդ, այլ աքսոմաներից տրամաբանորեն հետևող աքսեոմա,</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%B4%D5%A2%D5%B8%D5%B2%D5%BB%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ամբողջականության տեսություն (դեռ գրված չէ)">Ամբողջականություն</a>՝ աքսեոմաների հավաքածուն պետք է բավական լինի, որպեսիզի ցանկացած ճիշտ ձևակերպած թեորեմ հնարավոր լինի ապացուցել կամ հերքել։</li></ul> Բնական թվերի թվաբանությունը մեծ նշանակություն ունի մաթեմատիկական տեսությունների հիմնավորման համար՝ նրա անհակասականությունից հետևում է իրական թվերի թվաբանության անհակասականությունը, որն էլ իր հերթին թույլ է տալիս, օգտվելով մոդելների մեթոդից ցույց տալ <a href="/wiki/%D4%B7%D5%BE%D5%AF%D5%AC%D5%AB%D5%A4%D5%A5%D5%BD%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Էվկլիդեսյան երկրաչափություն">էվկլիդյան երկրաչափության</a> և <a href="/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%A2%D5%A1%D5%B9%D6%87%D5%BD%D5%AF%D5%B8%D6%82_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Լոբաչևսկու երկրաչափություն">Լոբաչևսկու երկրաչափության</a> անհակասականությունը<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a><a href="#cite_note-bse_method-44">[44]</a>։ Թվաբանության անհակասականությունը ապացույցով՝ Պեանոյի համակարգում և նրան բարեկամ աքսեոմատիկ համակարգերում, անարդյունք զբաղվում էր Հիլբերտը <a href="/wiki/20-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="20-րդ դար">20-րդ</a> դարի սկզբին։ <a href="/wiki/1930" title="1930">1930</a> թվականին <a href="/w/index.php?title=%D4%B3%D5%B5%D5%B8%D5%A4%D5%A5%D5%AC%D5%AB_%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D6%80%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A5%D5%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Գյոդելի անավարտության թեորեմ (դեռ գրված չէ)">Գյոդելի անավարտության թեորեմի</a> բացահատումից հետո, պարզ դարձավ որ նմանատիպ պարզ համակարգերում սա անհնար է։ Անհակասականությունը ապացուցել է <a href="/w/index.php?title=%D4%B3%D5%A5%D6%80%D5%B0%D5%A1%D6%80%D5%A4_%D4%B3%D5%A5%D5%B6%D5%A9%D5%A6%D5%A5%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Գերհարդ Գենթզեն (դեռ գրված չէ)">Գենթզենը</a> <a href="/wiki/1936" title="1936">1936</a> թվականին օգտագործոլով <a href="/w/index.php?title=%D5%8F%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%BD%D6%86%D5%AB%D5%B6%D5%AB%D5%BF%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%AB%D5%B6%D5%A4%D5%B8%D6%82%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Տրանսֆինիտային ինդուկցիա (դեռ գրված չէ)">տրանսֆինիտային ինդուկցիայի</a> տարատեսակությունը<a href="#cite_note-bse_formal-57">[57]</a>։ Անկախության ուսումնասիրման համար յուրաքանչյուր աքսեոմա հերթականությամբ փոխարինվում է հակադիրով, այնուհետև կառուցվում է մոդել, որտեղ ստացված աքսեոմաների հավաքածուն իրագործվում է։ Եթե փոխարինված աքասեոման կախյալ է, այսինքն տրամաբանորեն հետևում է այլ աքսեոմաներից, ապա նրա փոխարիումը հակադիրով ակնհայտորեն բերում է աքսեոմաների հակասական համակարգին և համակարգի կառուցումը դառնում է անհնար։ Այսպիսով եթե մոդելը հնարավոր է կառուցել, ապա նրան համապատասխան աքսեոման անկախ է<a href="#cite_note-Нечаев—1975——48-60">[60]</a>։ Այս եղանակով ապացուցվել է, Պեանոյի բոլոր աքսեոմաների մեկը մյուսից անկախ լինելը<a href="#cite_note-Нечаев—1975——68—72-61">[61]</a>։ Ֆորմալ թվաբանության միջոցներով, որը կառուցվում է Պեանոյի աքսեոմաների հիման վրա, կարելի է գրել թվերի տեսության թեորեմները, որոնք ապացուցվում են առանց մաթեմատիկական անալիզի միջոցների և <a href="/wiki/%D5%8C%D5%A5%D5%AF%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%BD%D5%AB%D5%A1" title="Ռեկուրսիա">ռեկուրսիվ</a> ֆունկցիաների ու նրանց հատկությունների օգտագործման<a href="#cite_note-MathEnc_FormArith-2">[2]</a>։ Այն համարժեք է <a href="/w/index.php?title=%D4%B7%D5%BC%D5%B6%D5%A5%D5%BD%D5%BF_%D4%B6%D5%A5%D6%80%D5%B4%D5%A5%D5%AC%D5%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Էռնեստ Զերմելո (դեռ գրված չէ)">Զերմելո</a>-<a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%A2%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B4_%D5%96%D6%80%D5%A5%D5%B6%D5%AF%D5%A5%D5%AC&action=edit&redlink=1" class="new" title="Աբրահամ Ֆրենկել (դեռ գրված չէ)">Ֆրենկելյան</a> բազմությունների աքսեոմատիկ տեսությանը առանց <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%BB%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Անվերջություն (մաթեմատիկա)">անվերջության</a> աքսեոմայի։ Սրա հետ մեկտեղ <a href="/wiki/1929" title="1929">1929</a> թվականին ապացուցված Գյոդելի ամբողջության մասին թեորեմը ցույց տվեց, որ Պեանոյի աքսեոմաները թերի են, այսինքն գոյություն ունեն թվաբանական թեորեմներ, որոնք չի կարելի ոչ ապացուցել, ոչ ժխտել։ Այն դեպքում երբ թվաբանությունը հարաբերականորեն լի է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists x_{1}\dots \exists x_{k}(P=Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x_{1}\dots \exists x_{k}(P=Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c128643f87680f82f29f13170b0ba336ea792582" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.376ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x_{1}\dots \exists x_{k}(P=Q)}"> նման բանաձևերով, գոյություն ունեն <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{9}(P\neq Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>≠</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{9}(P\neq Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eda7820b2d87298082f976e312989f800d27abd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{9}(P\neq Q)}"> տեսքի տեորեմներ, որոնք արտահայտում են իրական եզրակացություն, բայց նրանց հնարավոր չէ դուրս բերել<a href="#cite_note-bse_formal-57">[57]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Պատմական_ակնարկ">Պատմական ակնարկ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=23" title="Խմբագրել բաժինը. Պատմական ակնարկ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=23" title="Edit section's source code: Պատմական ակնարկ">խմբագրել կոդը</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Հիմնական հոդված՝ <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Թվաբանության պատմություն (դեռ գրված չէ)">Թվաբանության պատմություն</a></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Հին_մաթեմատիկական_տեքստեր_և_հաշվարկման_համակարգեր"><span id=".D5.80.D5.AB.D5.B6_.D5.B4.D5.A1.D5.A9.D5.A5.D5.B4.D5.A1.D5.BF.D5.AB.D5.AF.D5.A1.D5.AF.D5.A1.D5.B6_.D5.BF.D5.A5.D6.84.D5.BD.D5.BF.D5.A5.D6.80_.D6.87_.D5.B0.D5.A1.D5.B7.D5.BE.D5.A1.D6.80.D5.AF.D5.B4.D5.A1.D5.B6_.D5.B0.D5.A1.D5.B4.D5.A1.D5.AF.D5.A1.D6.80.D5.A3.D5.A5.D6.80">Հին մաթեմատիկական տեքստեր և հաշվարկման համակարգեր</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=24" title="Խմբագրել բաժինը. Հին մաթեմատիկական տեքստեր և հաշվարկման համակարգեր" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=24" title="Edit section's source code: Հին մաթեմատիկական տեքստեր և հաշվարկման համակարգեր">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/300px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" decoding="async" width="300" height="180" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/450px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/600px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg 2x" data-file-width="750" data-file-height="449" /></a><figcaption>Ռայդի պապիրուսի մի մասը</figcaption></figure> <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%80%D5%AB%D5%B6_%D4%B5%D5%A3%D5%AB%D5%BA%D5%BF%D5%B8%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Մաթեմատիկան Հին Եգիպտոսում">Եգիպտական մաթեմատիկական</a> տեքստերը հատուկ ուշադրություն էին դարձնում գումարմանը և նրա կատարման ժամանակ առաջացող բարդություններին, որոնցից մեծ մասամբ կախված էին առաջադրանքների լուծման եղանակները։ <a href="/wiki/%D5%80%D5%AB%D5%B6_%D4%B5%D5%A3%D5%AB%D5%BA%D5%BF%D5%B8%D5%BD" title="Հին Եգիպտոս">Հին Եգիպտոսի</a> մաթեմատիկական <a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BA%D5%AB%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%BD" title="Պապիրուս">պապիրուսները</a> կազմված են եղել ուսուցողական նպատակներով<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——19—20-62">[62]</a>, նրանք պարունակում էին առաջադրանքներ լուծումներով, օժանդակ աղյուսակներ, ամբողջ թվերի և կոտորակների հետ գործողությունների կատարման կանոններ, հանդիպում էին <a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BA%D6%80%D5%B8%D5%A3%D6%80%D5%A5%D5%BD%D5%AB%D5%A1" title="Թվաբանական պրոգրեսիա">թվաբանական</a> և <a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BA%D6%80%D5%B8%D5%A3%D6%80%D5%A5%D5%BD%D5%AB%D5%A1" title="Երկրաչափական պրոգրեսիա">երկրաչապական պրոգրեսիաներ</a>, ինչպես նաև <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Հավասարում">հավասարումներ</a><a href="#cite_note-bse-11">[11]</a>։ Եգիպտացիները օգտվում էին <a href="/w/index.php?title=%D5%8F%D5%A1%D5%BD%D5%B6%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Տասնորդական հաշվման համակարգեր (դեռ գրված չէ)">հաշվարկման տասնորդական համակարգից</a><a href="#cite_note-Депман—1965——49—52-63">[63]</a>։ Եգիպտացիները գիտեին այնպիսի թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են գումարումը, կրկնապատկումը և կոտորակների լրացումը մինչև միավոր։ Ամբողջ թվերով ցանկացած բազմապատկման և առանց մնացորդ բաժանման բոլոր գործողությունները կատարվում էին կրկնապատկման գործողության բազմիցս կրկնելով, որը բերում էր մեծածավալ հաշվարկների, որի մեջ մասնակցում էին հաջորդականության որոշակի անդամներ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,2,4,8,16,...}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>8</mn> <mo>,</mo> <mn>16</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,2,4,8,16,...}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6ea0c194a72a6c5c40a8ce61686e6cd6363a23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,2,4,8,16,...}"><a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——23—24-15">[15]</a>։ Եգիպտոսում օգտագործում էին միայն <a href="/wiki/%D4%B5%D5%A3%D5%AB%D5%BA%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%AF%D5%B8%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF" title="Եգիպտական կոտորակ">եգիպտական կոտորակները</a>, կամ միավորի մասնաբաժինը (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e10667bad240500f5044257143510127e03d69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/n}">), իսկ բոլոր մյուս կոտորակները դասվում էին ալեքվոտային գումարին<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——25-64">[64]</a>։ Քառակուսու <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%AF%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%BD" title="Մակերես">մակերեսը</a>, խորանարդի <a href="/wiki/%D4%BE%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%AC" title="Ծավալ">ծավալը</a> կամ քառակուսու կողմը ըստ նրա մակերեսի հաշվելու համար եգիպտացիները հանդիպում էին աստիճան բարձրացնելու և արմատ հանելու հետ, չնայած այս գործողությունները դեռևս անվանում չունեին<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——23—24-15">[15]</a>։ <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Babylonian_numerals.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Babylonian_numerals.svg/300px-Babylonian_numerals.svg.png" decoding="async" width="300" height="178" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Babylonian_numerals.svg/450px-Babylonian_numerals.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Babylonian_numerals.svg/600px-Babylonian_numerals.svg.png 2x" data-file-width="806" data-file-height="478" /></a><figcaption>Բաբելոնյան թվեր</figcaption></figure> <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A2%D5%A5%D5%AC%D5%B8%D5%B6" title="Բաբելոն">Բաբելոնյան</a> <a href="/wiki/%D5%8D%D5%A5%D5%BA%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D6%80" title="Սեպագիր">սեպագիր</a> մաթեմատիկական տեքստերը օգտագործում էին <a href="/w/index.php?title=%D5%8E%D5%A1%D5%A9%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Վաթսունական հաշվարկային համակարգ (դեռ գրված չէ)">վաթսունական հաշվարկային համակարգը</a>, որը հատուկ էր դեռևս <a href="/wiki/%D5%87%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%A5%D6%80%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Շումերներ">շումերներին</a><a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——34-65">[65]</a>, և իրենցից ներկայացնում էին ուսումնական ձեռնարկներ, որոնք ներառում էին <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%A1%D5%B2%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%A1%D5%AF" title="Բազմապատկման աղյուսակ">բազմապատկման աղյուսակը</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}">-ից <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 59}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>59</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 59}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566ac8d785505c91c8d7db51fbf641a6467fcdbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 59}"> թվերի համար, ինչպես նաև <a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%A4%D5%A1%D6%80%D5%B1_%D5%A9%D5%AB%D5%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հակադարձ թիվ (դեռ գրված չէ)">հակադարձ թվերի</a> աղյուսակը, բնական շարքի թվերի քառակուսու և խորանարդի աղյուսակները, <a href="/wiki/%D5%8F%D5%B8%D5%AF%D5%B8%D5%BD" title="Տոկոս">տոկոս</a> հանելու աղյուսակներ, կոտորակները <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 60}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>60</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 60}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cef1e5bbfe2c0fea5bd36788b3970ff98b9617c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 60}"> հիմքով<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a><a href="#cite_note-Депман—1965——49—52-63">[63]</a>։ Թվաբանական առաջադրանքների լուծման ժամանակ բաբելոնացիները հենվում էին համամասնությունների և պրոգրեսիաների վրա։ Նրանք գիտեին <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> անդամ պարունակող թվաբանական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը, երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի կանոնները, լուծում էին տոկոսներով առաջադրանքներ<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——40-66">[66]</a>։ Բաբելոնում գիտեին <a href="/w/index.php?title=%D5%8A%D5%AB%D6%86%D5%A1%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%A5%D5%BC%D5%B5%D5%A1%D5%AF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Պիֆագորյան եռյակ (դեռ գրված չէ)">պիֆագորյան եռյակի</a> բազմությունը, որոնց որոնման համար, հավանաբար օգտվում էին ընդհանուր անհայտ մեթոդից։ Ընդհանուր առմամբ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24defb565dbcba7850e1bfb51176bcf574b4e56b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.682ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}"> հավասարումների ամբողջական և ռացիոնալ լուծումը վերաբերում է <a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Թվերի տեսություն">թվերի տեսությանը</a><a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——50-67">[67]</a>։ Երկրաչափական առաջադրանքները բերեցին <a href="/wiki/%D5%94%D5%A1%D5%BC%D5%A1%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%AB_%D5%A1%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%BF" title="Քառակուսի արմատ">քառակուսի արմատի</a> մոտավոր արժեքների ստացման անհրաժեշտությանը, որը նրանք կատարում էին օգտագործոլով հետևյալ՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>r</mi> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef5c6ff2daeb975f72c9f3a05309a4ac9c003e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.894ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2a}}}"> կանոնը և արդյունքի հետագա մոտավորության մեթոդները։ <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Diophantus_text.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Diophantus_text.gif/300px-Diophantus_text.gif" decoding="async" width="300" height="219" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Diophantus_text.gif/450px-Diophantus_text.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Diophantus_text.gif/600px-Diophantus_text.gif 2x" data-file-width="850" data-file-height="620" /></a><figcaption>Մի թերթիկ Դիոֆանտի «թվաբանությունից» (14-րդ դարի ձեռագիր). Վերևի տողին գրված է <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{3}\cdot 8-x^{2}\cdot 16=x^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mn>8</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mn>16</mn> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{3}\cdot 8-x^{2}\cdot 16=x^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79facccb1d6ff20e28e0fbba677566ea63836859" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{3}\cdot 8-x^{2}\cdot 16=x^{3}}"> հավասարումը</figcaption></figure> <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%80%D5%AB%D5%B6_%D5%80%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D5%BD%D5%BF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Մաթեմատիկան Հին Հունաստանում">Հնագույն հունական մաթեմատիկական</a> տեքստերը վերաբերում են <a href="/wiki/%D5%84%E2%80%A4%D5%A9%E2%80%A4%D5%A1%E2%80%A4_14-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="Մ․թ․ա․ 14-րդ դար">մ.թ.ա 14</a>-ից <a href="/wiki/%D5%84.%D5%A9.%D5%A1._7-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="Մ.թ.ա. 7-րդ դար">7-րդ</a> դարերին<a href="#cite_note-Депман—1965——53—54-68">[68]</a>։ Ի սկզբանե <a href="/wiki/%D5%80%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Հույներ">հույները</a> օգտվում էին <a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%BF%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ատտիկական հաշվարկման համակարգ (դեռ գրված չէ)">ատտիկական համարակալումից</a>, այն ժամանակի ընթացքում փոխարինվեց կոմպակտ տառայինով կամ <a href="/wiki/%D5%80%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3" title="Հունական թվային համակարգ">իոնականով</a><a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——62-69">[69]</a>։ Հին հունական թվաբանության զարգացումը պատկանում է <a href="/wiki/%D5%8A%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%A1%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Պյութագորասականություն">պյութագորյան դպրոցին</a>։ Սկզբնական շրջանում պյութագորասականները ենթադրում էին, որ ցանկացած երկու հատվածների համեմատությունը կարելի է ներկայացնել ամբողջ թվերի հարաբերությամբ, այսինքն երկրաչափությունը իրենից ներկայացնում էր ռացիոնալ թվերի թվաբանություն։ Նրանք ուսումնասիրեցին միայն դրական ամբողջ թվերը և թիվը դիտարկում էին որպես միավորների հավաքածու։ Ուսումնասիրելով թվերի հատկություները նրանք թվերը բաժանեցին <a href="/wiki/%D4%B6%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%A3_%D6%87_%D5%AF%D5%A5%D5%B6%D5%BF_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80" title="Զույգ և կենտ թվեր">զույգ և կենտ</a>, <a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D6%80%D5%A6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Պարզ թիվ">պարզ</a> և <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%A4%D6%80%D5%B5%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բաղադրյալ թիվ">բաղադրյալ թվերի</a>, գտան պյութագորյան եռյակի անվերջ բազմությունը<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——68—69-70">[70]</a>։ <a href="/wiki/%D5%84.%D5%A9.%D5%A1._399" title="Մ.թ.ա. 399">Մ.թ.ա 399 թվականին</a> հայտնվեց բաժանելիության ընդհանուր տեսությունը, որը ամենայն հավանականությամբ պատկանում է <a href="/wiki/%D5%8D%D5%B8%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%BD" title="Սոկրատես">Սոկրատեսի</a> աշակերտ <a href="/w/index.php?title=%D5%8F%D5%A5%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Տեատետուս (դեռ գրված չէ)">Տեատետուսին</a>։ <a href="/wiki/%D4%B7%D5%BE%D5%AF%D5%AC%D5%AB%D5%A4%D5%A5%D5%BD" title="Էվկլիդես">Էվկլիդեսը</a> նրան ձոնեց գիրք 7-րդ և գրքի մի մասը 9-րդ <a href="/wiki/%D5%8D%D5%AF%D5%A6%D5%A2%D5%B8%D6%82%D5%B6%D6%84%D5%B6%D5%A5%D6%80" class="mw-redirect" title="Սկզբունքներ">«Սկզբունքներ»</a>։ Տեսության հիմքում ընկած է երկու թվերի <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B4%D5%A5%D5%B6%D5%A1%D5%B4%D5%A5%D5%AE_%D5%A8%D5%B6%D5%A4%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D6%80_%D5%A2%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%A1%D6%80" title="Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար">ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի</a> որոշման Էվկլիդեսի <a href="/wiki/%D4%B1%D5%AC%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4" title="Ալգորիթմ">ալգորիթմը</a>։ Ալգորիթմի հետևանք է հանդիսանում ցանկացած թվի պարզ բաղադրիչների վերլուծելու հնարավորությունը, ինչպես նաև այդ վերլուծության եզակիությունը<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——74—76-71">[71]</a>։ Սրա հետ մեկտեղ պյութագորասականներին է պատկանում նաև միավոր կողմով քառակուսու կողմի և անկյունագծի անհամաչափելիության ապացույցը։ Այս բացահայտումը նշանակում էր, որ ամբողջ թվերի հարաբերությունը բավական չէ ցանկացած հատվածների հարաբերության արտահայտման համար և այս հիմքով հնարավոր չէ ստեղծել մետրական երկրաչափություն<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——73-72">[72]</a>։ Իռացիոնալությունների մասին առաջին ուսուցումը պատկանոմ է Տեատետուսին։ Էվկլիդեսի ալգորիթմը թույլ է տալիս որոշել ռացիոնալ թվի ոչ ամբողջական մասնավոր տարալուծումը և անընդհատ կոտորակը։ Սրա հետ մեկտեղ անընդհատ կոտորակ հասկացությունը չի առաջացել Հին Հունաստանում<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——74—76-71">[71]</a>։ 3-րդ դարում Դիոֆանտը սկսեց հանրահաշվի կառուցումը հենվելով ոչ թե երկրաչափության, այլ թվաբանության վրա։ <a href="/wiki/%D4%B4%D5%AB%D5%B8%D6%86%D5%A1%D5%B6%D5%BF" title="Դիոֆանտ">Դիոֆանտը</a> նաև ընդլայնեց թվային տիրույթը <a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D6%81%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բացասական թիվ">բացասական թվերով</a><a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——144—146-73">[73]</a>։ Հռոմեական համարակալման համակարգը գումարման համար քիչ էր հարմարեցված։ <a href="/wiki/%D5%80%D5%BC%D5%B8%D5%B4%D5%A5%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80" title="Հռոմեական թվեր">Հռոմեական թվային</a> նշանները առաջացել են այբուբենից առաջ և չեն հետևում նրա տառերից։ Համարվում է, որ ի սկզբանե <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}">-ից <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 9}"> թվերը նշանակվել են համապատասխան քանակի ուղղահայաց գծիկներով, իսկ նրանց վրա գիծ քաշելը նշանակում էր թվերի տասնապատկումը (այստեղից է առաջացել <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> թիվը)։ Համապատասխանաբար, որպեսիզի ստանան <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 100}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>100</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 100}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0572cd017c6d7936a12737c9d614a2f801f94a36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 100}"> թիվը գծկի վրա գիծ էին քաշում երկու անգամ։ Հետագայում տեղի ունեցավ համակարգի պարզեցում<a href="#cite_note-Депман—1965——57—58-74">[74]</a>։ Ներկայումս այն հիմնականում օգտագործվում է դասական թվերի նշանակման համար։ Մինչև 14-րդ դարը <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%80%D5%AB%D5%B6_%D5%89%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%BD%D5%BF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Մաթեմատիկան Հին Չինաստանում">Չինաստանի մաթեմատիկան</a> իրենից ներկայացնում էր հաշվողական տախտակի վրա հաշվելու համար հաշվողական ալգորիթմների հավաքածու<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——178-75">[75]</a>։ Գումարման և բազմապատկման գործողությունները, որոնք կատարվում էին հաշվողական տախտակի վրա լրացուցիչ աղյուսակների կարք չունեին, բազմապատկման համար չկար <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\times 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\times 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4bf91a527dc01af9ef6ace81199becf1308e00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1\times 1}">-ից <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9\times 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>9</mn> <mo>×</mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9\times 9}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a09890bfda8325f82e80a1826f38611073430d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 9\times 9}"> թվերի բազմապատկման աղյուսակը։ Բազմապատկման և բաժանման գործողությունները կատարում էին սկսելով բարձր կարգերից, ընորում միջանկյալ արդյունքներ տախտակից ջնջվում էին, ինչը ստուգումը դարձնում էր անհնարին։ Սկզբում բազմապատկումն ու բաժանումը համարվում էին անկախ գործողություններ, բայց հետո Սուն Ցզին նշեց դրանց փոխադարձ հակադարձությունը<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——160—161-76">[76]</a>։ Չինաստանում խնդիրները կարողանում էին լուծել օգտվելով երկու կեղծ դիրքերի կանոնից<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——163—164-77">[77]</a>, իսկ գծային հավասարումների լուծման համար մտցվել են բացասական թվերը։ Սկզբնական շրջանում բացասական թվերը օգտագործվում էին միայն հաշվարկի ընթացքում և գումարման ավարտից հետո տախտակից ջնջվում էին, հետագայում չինացի գիտնականները սկսեցին այն ներկայացնել որպես պարտք կամ պակասորդ<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——167—169-78">[78]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Թվաբանությունը_միջնադարում">Թվաբանությունը միջնադարում</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=25" title="Խմբագրել բաժինը. Թվաբանությունը միջնադարում" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=25" title="Edit section's source code: Թվաբանությունը միջնադարում">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Indian_numerals_100AD.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Indian_numerals_100AD.svg/300px-Indian_numerals_100AD.svg.png" decoding="async" width="300" height="63" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Indian_numerals_100AD.svg/450px-Indian_numerals_100AD.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Indian_numerals_100AD.svg/600px-Indian_numerals_100AD.svg.png 2x" data-file-width="343" data-file-height="72" /></a><figcaption>Հնդկական թվերը (1-ին դար) և նրանց համապատասխանող ժամանակակից թվերը</figcaption></figure> <a href="/wiki/%D4%B4%D5%AB%D6%80%D6%84%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3" class="mw-redirect" title="Դիրքային հաշվարկման համակարգ">Դիրքային հաշվարկման համակարգը</a> (տաս թվերը զրոն ներառյալ) առաջացել է <a href="/wiki/%D5%80%D5%B6%D5%A4%D5%AF%D5%A1%D5%BD%D5%BF%D5%A1%D5%B6" title="Հնդկաստան">Հնդկաստանում</a>։ Այն թույլ էր տալիս թվաբանական գործողությունների կատարման համար մշակել համեմատաբար պարզ կանոններ<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a>։ Հնդկաստանում հիմնական թվաբանական գործողություններ էին համարվում գումարումը, հանումը, բաժանումը, բազմապատկումը, քառակուսի և խորանարդ աստիճան բարձրացնելը, քառակուսի և խորանարդ աստիճանի արմատ հանելը, որոնց համար մշակված էին կանոններ։ Գումարումը կատարվում էր ավազե, մոխիրե կամ հողե հաշվարկային տախտակի վրա և գրվում էր փայտիկով<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——183—185-79">[79]</a>։ Հնդիկները գիտեին կոտորակները և կարողանում էին գործողություններ կատարել նրանց հետ, գիտեին համաչափությունները և պրոգրեսիաները<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——185-80">[80]</a>։ Արդեն 7-րդ դարում նրանք օգտվում էին բացասական թվերից՝ մեկնաբանելով դրանք որպես պարտք, օգտվում էին նաև իռացիոնալ թվերից<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——190—191-81">[81]</a> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Dixit_algorizmi.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Dixit_algorizmi.png/200px-Dixit_algorizmi.png" decoding="async" width="200" height="278" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Dixit_algorizmi.png/300px-Dixit_algorizmi.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Dixit_algorizmi.png/400px-Dixit_algorizmi.png 2x" data-file-width="1001" data-file-height="1389" /></a><figcaption>«Հնդկական հաշվարկի մասին» գրքի լատիներեն թարգմանության էջ</figcaption></figure> 9-րդ դարի սկզբին Մուհամեդ իբն Մուսա ալ Խորեզմին գրել է գիրք «Հնդկական հաշվարկի մասին»։ Դասագիրքը իր մեջ պարունակում էր պրակտիկ «տարբեր տիպի և տեսակի» խնդիրների լուծումներ և եղել է առաջին գիրքը, որ գրվել է օգտագործելով դիրքային հաշվարկման համակարգի օգտագործմամբ, մինչ այդ թվերից օգտվում էին միայն հաշվարկման տախտակների վրա հաշվումներ կատարելիս<a href="#cite_note-Депман—1965——72—78-82">[82]</a><a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——209—210-83">[83]</a>։ 12-րդ դարում Ադելարդի և Իոհան Սևելսկիի կողմից գրքի երկու թարգմանություններ են արվել <a href="/wiki/%D4%BC%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6" title="Լատիներեն">լատիներեն</a><a href="#cite_note-Депман—1965——90—94-84">[84]</a>։ Նրա բնօրինակը չի պահպանվել, բայց 1857 թվականին «Հնդկական թվերի մասին ալխորեիզմ» վերնագրով տպագրվել է նրա լատինական թարգմանությունը<a href="#cite_note-Депман—1965——72—78-82">[82]</a>։ Տրակտատում նկարագրվում է հաշվողական տախտակի վրա հնդկական թվերի օգնությամբ այնպիսի գործողությունների կատարում, ինչպիսիք են գումարումը, հանումը, կրկնապատկումը, բազմապատկումը, բաժանումը և քառակուսի արմատի հանումը<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——211—212-85">[85]</a>։ Կոտորակների բազմապատկումն ու բաժանումը դիտվում է համաչափությունների օգնությամբ՝ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> բազմապատկած <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> հավասարազոր էր այնպիսի <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> թվի որոնման, որի դեպքում <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q:a=b:1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>:</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q:a=b:1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361143c56d282c00fbd48681718cd817f36ffa13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.432ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q:a=b:1}">։ Հետևյալ տեսությունը համարվում է արաբական թվաբանության հիմքը։ Սակայն գոյություն ունի նաև կոտորակների հաշվարկման այլ եղանակ, որը ցանկացած կոտորակ ներկայացնում է ալեքվոտային կոտորակների գումարի տեսքով<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——212—214-86">[86]</a>։ Խնդիրների լուծման համար արաբները օգտվում էին՝ եռակի կանոնից, որ եկել էր Հնդկաստանից և գրված էր ալ Բիրունի «Հնդկական ռաշիկի մասին գրքում», երկու կեղծ դիրքերի կանոնից, որ եկել էր Չինաստանից և տեսականորեն հաստատվել էր Քուստա իբն Լուքաի «երկակի կեղծ դիրքերի կանոնը գրքում»<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——218—219-87">[87]</a>։ 10-րդ դարում <a href="/wiki/%D4%BB%D5%BD%D5%BA%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D5%A1" title="Իսպանիա">Իսպանիայով</a> և <a href="/wiki/%D5%8D%D5%AB%D6%81%D5%AB%D5%AC%D5%AB%D5%A1" title="Սիցիլիա">Սիցիլիայով</a> սկսեցին գիտական կապեր հաստատվել Եվրոպայի և արաբական աշխարհի միջև։ Այս ժամանակ <a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A1%D5%AC%D5%B8%D5%B6%D5%AB%D5%A1" title="Կատալոնիա">Կատալոնիա</a> այցելեցին վանական գիտնական Հերբերտը, ով ավելի ուշ դարձավ <a href="/wiki/%D5%80%D5%BC%D5%B8%D5%B4%D5%AB_%D5%8A%D5%A1%D5%BA" class="mw-redirect" title="Հռոմի Պապ">Հռոմի պապ</a>՝ <a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%AB%D5%AC%D5%BE%D5%A5%D5%BD%D5%BF%D6%80_2-%D6%80%D5%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Սիլվեստր 2-րդ (դեռ գրված չէ)">Սիլվեստր 2-րդ</a>։ Նրան են վերագրում «Գիրք թվերի բաժանելիության մասին» և «Աբակի վրա հաշվարկներ կատարելու կանոններ» շարադրությունները։ Երկու գրքերում էլ թվերը գրված են տառերով կամ հռոմեական թվերով<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——254—256-88">[88]</a>։ 12-ից 13-րդ դարերում Եվրոպայում հայտվեցին արաբական թվաբանության մասին գրքերի լատինական թարգմանությունները։ Գրքերում ներկայացված իրական դիրքային համարակալման համախոհները սկսեցին կոչվել «ալգորիթմականներ», արաբ մաթեմատիկոս ալ Խորեզմի անվան լատինական ձևով<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——256—257-89">[89]</a>։ 13-րդ դարի սկզբին Արևմտյան Եվրոպայում գոյություն ուներ հաշվարկման երկու համակարգ՝ հին՝ հիմնված աբակի վրա, Հերբերտի կողմից աջակցվող և նոր՝ դիրքային հնդկական համակարգ, աջակցվող Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կոզմից։ Նոր համակարգը աստիճանաբար գերազանցեց<a href="#cite_note-Депман—1965——90—94-84">[84]</a><a href="#cite_note-Арифметика—1951——50—57-90">[90]</a>։ Նրա հիմնական առավելություը համարվում է թվաբանական գործողությունների պարզեցումը։ Սրա հետ մեկտեղ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում և Անգլիայում նոր թվերը չէին օգտագործվում մինչև 15-րդ դարի վերջը։ Հին համարակալման ավելի ամբողջական դուրս բերումը տեղի է ունեցել 16-ից 17-րդ դարերում<a href="#cite_note-Арифметика—1951——50—57-90">[90]</a>։ <a href="/wiki/1427" title="1427">1427</a> թվականին <a href="/w/index.php?title=%D5%8B%D5%A1%D5%B4%D5%B7%D5%AB%D5%A4_%D5%A1%D5%AC_%D4%BF%D5%A1%D5%B7%D5%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ջամշիդ ալ Կաշի (դեռ գրված չէ)">ալ Կաշին</a> նկարագրեց <a href="/w/index.php?title=%D5%8F%D5%A1%D5%BD%D5%B6%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%AF%D5%B8%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Տասնորդական կոտորակ (դեռ գրված չէ)">տասնորդական կոտորակների</a> համակարգը, որը համընդհանուր տարածում գտավ <a href="/w/index.php?title=%D5%8D%D5%AB%D5%B4%D5%B8%D5%B6_%D5%8D%D5%BF%D5%A5%D5%BE%D5%AB%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Սիմոն Ստեվին (դեռ գրված չէ)">Ստեվինի</a> <a href="/wiki/1585" title="1585">1585</a> թվականի գրառումից հետո<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a>։ Ստեվինը ուզում էր որքան հնարավոր է լայն տարածում տալ տասնորդական համակարգին, հենց սրա համար էլ նա իր գրառումները կատարում էր <a href="/wiki/%D5%96%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%BD%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6" title="Ֆրանսերեն">ֆրանսերեն</a> և <a href="/w/index.php?title=%D5%96%D5%AC%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%A4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A2%D5%A1%D6%80%D5%A2%D5%A1%D5%BC%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ֆլամանդական բարբառներ (դեռ գրված չէ)">ֆլամանդերեն</a>, այլ ոչ թե լատիներեն։ Բացի դրանից նա դարձավ տասնորդական չափման համակարգի ներմուծման եռանդուն ջատագովը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——57—71-37">[37]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Նոր_ժամանակների_թվաբանություն">Նոր ժամանակների թվաբանություն</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=26" title="Խմբագրել բաժինը. Նոր ժամանակների թվաբանություն" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=26" title="Edit section's source code: Նոր ժամանակների թվաբանություն">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg/200px-Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg" decoding="async" width="200" height="300" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg/300px-Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg/400px-Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg 2x" data-file-width="2691" data-file-height="4038" /></a><figcaption>Թվաբանական աղյուսակներ։ 1835 թվական</figcaption></figure> <a href="/wiki/17-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="17-րդ դար">17-րդ</a> դարում <a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%B2%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B6%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%A3%D5%B6%D5%A1%D6%81%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Աստղագիտական նավագնացություն (դեռ գրված չէ)">ծովագնացային աստղագիտությունը</a>, <a href="/wiki/%D5%84%D5%A5%D5%AD%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Մեխանիկա">մեխանիկան</a>, ավելի բարդ առևտրային հաշվարկները թվաբանության գումարման տեխնիկային նոր պահանջներ ներկայացրեցին և խթան հանդիսացան հետագա զարգացման համար։ Թիվ հասկացությունը ենթարկվեց զգալի փոփոխությունների։ Եթե առաջ մեծ հաշվով թվերի շարքին էին վերաբերում միայն դրական ռացիոնալ թվերը, ապա սկսած 16-րդ դարից իռացիոնալ և բացասական թվերը ևս ընդունելի դարձան։ <a href="/wiki/%D4%BB%D5%BD%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%AF_%D5%86%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%BF%D5%B8%D5%B6" title="Իսահակ Նյուտոն">Նյուտոնը</a> իր դասախոսություններում թվերը բաժանում էր երեք խմբի՝ ամբողջ (չափվում են միավորներով), կոտորակային (միավորի բազմապատիկ մասը) և իռացիոնալ (միավորի հետ անհամաչափելի)։ 1710 թվականից սկսած թվերի նման բաժանումը հայտնվում է բոլոր դասագրքերում<a href="#cite_note-История_математики,_т._II—1970——34—36-91">[91]</a>։ 17-րդ դարի սկզբում <a href="/wiki/%D5%8B%D5%B8%D5%B6_%D5%86%D5%A5%D6%83%D5%B5%D5%A5%D6%80" title="Ջոն Նեփյեր">Նեպերը</a> հնարեց <a href="/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%A3%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4" title="Լոգարիթմ">լոգարիթմները</a>։ Թվաբանության մեջ լոգարիթմների և տասնորդական կոտորակների օգտագործումը, <a href="/wiki/%D4%BB%D5%BC%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իռացիոնալ թիվ">իռացիոնալ թվերի</a>, որպես ռացիոնալ մոտավորականությունների շարունակություն մուտք գործելը, 17-րդ դարի վերջում լայնացրին թվաբանության օգտագործման ոլորտը և հաստատեցին գիտության հիմնարար նշանակությունը <a href="/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%A8%D5%B6%D5%A4%D5%B0%D5%A1%D5%BF_%D5%A1%D6%80%D5%BF%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Անընդհատ արտապատկերում">անընդհատ մեծությունների</a> ուսումնասիրման համար<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a>։ <a href="/wiki/%D5%86%D5%AB%D5%AF%D5%B8%D5%AC%D5%A1%D5%B5_%D4%BC%D5%B8%D5%A2%D5%A1%D5%B9%D6%87%D5%BD%D5%AF%D5%AB" title="Նիկոլայ Լոբաչևսկի">Լոբաչևսկու</a> երկրաչափական աշխատանքների հետ է կապված մաթեմատիկայի հիմունքների կրիտիկական վերանայումը, որը տեղի է ունեցել 19-րդ դարում։ Դեռևս 18-րդ դարում սկսվել էր թվի մասին պատկերացումներին տեսական հիմնավորումներ տալը։ Թվաբանության <a href="/wiki/%D4%B4%D5%A5%D5%A4%D5%B8%D6%82%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1" title="Դեդուկցիա">դեդուկտիվ</a> կառուցվածքի մասին առաջինը անգամ խնդիր դրեց <a href="/wiki/%D4%B3%D5%B8%D5%A9%D6%86%D6%80%D5%AB%D5%A4_%D4%BC%D5%A1%D5%B5%D5%A2%D5%B6%D5%AB%D6%81" title="Գոթֆրիդ Լայբնից">Լայբնիցը</a> 1705 թվականին իր «մարդկային բանականության մասին նոր փորձեր» աշխատությունում, մասնավորապես ցույց տալով «երկուսին գումարած երկուս հավասար է չորս» հավասարության ապացուցման անհրաժեշտությունը։ Փորձելով լուծել այս խնդիրը իրենց աքսեոմաները ներկայացրեցին <a href="/wiki/%D5%94%D6%80%D5%AB%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%A1%D5%B6_%D5%8E%D5%B8%D5%AC%D6%86" title="Քրիստիան Վոլֆ">Վոլֆը</a>՝ 1770 թվականին, <a href="/w/index.php?title=%D4%BB%D5%B8%D5%B0%D5%A1%D5%B6_%D5%96%D6%80%D5%AB%D5%A4%D6%80%D5%AB%D5%AD_%D5%87%D5%B8%D6%82%D5%AC%D6%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Իոհան Ֆրիդրիխ Շուլց (դեռ գրված չէ)">Շուլցը</a>՝ 1790 թվականին, <a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D6%80%D5%BF%D5%AB%D5%B6_%D5%95%D5%B0%D5%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մարտին Օհմ (դեռ գրված չէ)">Օհմը</a>՝ 1822 թվականին, <a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A5%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%B6_%D4%B3%D6%80%D5%A1%D5%BD%D5%BD%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հերմանն Գրասսմանն (դեռ գրված չէ)">Գրասսմանը</a>՝ 1861 թվականին և վերջապես <a href="/wiki/%D5%8B%D5%B8%D6%82%D5%A6%D5%A5%D5%BA%D5%A5_%D5%8A%D5%A5%D5%A1%D5%B6%D5%B8" title="Ջուզեպե Պեանո">Պեանոն</a> 1889 թվականին<a href="#cite_note-История_математики,_т._III—1972——47—49-92">[92]</a>։ 1758 թվականին <a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%A2%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B4_%D4%B3%D5%A1%D5%BF%D5%BF%D5%B0%D5%A5%D5%AC%D6%86_%D4%BF%D5%A1%D5%BD%D5%BF%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Աբրահամ Գատտհելֆ Կաստներ (դեռ գրված չէ)">Կաստները</a> ելույթ ունեցավ «թվաբանության, երկրաչափության, հարթ և սֆերային եռանկյունաչափության և հեռանկարի առաջին հիմունքների» բոլոր այս թվաբանական հասկացությունների ամբողջ թվով հիմնավորման օգտին։ Այսպիսով նա որոշեց, հետևյալ հաջորդականությունը՝ բնական թվեր, կոտորակներ, բացասական թվեր, տասնորդական կոտորակներ, իռացիոնալ թվեր և միայն հետո հարաբերությունների տեսություն<a href="#cite_note-История_математики,_т._III—1972——49—52-93">[93]</a>։ Բացասական թվերի տեսության ձևավորման մեջ հիմնական խնդիրն այն էր, որ բացասական թիվը զրոյից պակաս է, ինչը ավելի փոքր է քան ոչինչը<a href="#cite_note-История_математики,_т._III—1972——52—56-94">[94]</a>։ Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ամբողջական նկարագիրը տվել է <a href="/w/index.php?title=%D4%BF%D5%A1%D5%BD%D5%BA%D5%A1%D6%80_%D5%8E%D5%A5%D5%BD%D5%BD%D5%A5%D5%AC&action=edit&redlink=1" class="new" title="Կասպար Վեսսել (դեռ գրված չէ)">Կասպար Վեսսելը</a> 1799 թվականին «Վերլուծական պատկերացման ուղղվածության և նրա օգտագործման, ինչպես նաև հարթ և սֆերային բազմանկյունների լուծման առավելությունները» աշխատությունում։ Վեսսելը փորձեց ընդարձակել տեսությունը եռաչափ տարածության մեջ, բայց դա նրան չհաջողվեց։ Հարցը մնաց բաց, այնքան ժամանակ մինչև Համիլտոնի <a href="/wiki/%D5%94%D5%BE%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D6%80%D5%B6%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Քվատերնիոններ">քվատերնիոններ</a> տեսության կառուցումը, որոնց բազմապատկման ժամանակ չի կիրառվում կոմուտացիոն օրենքը։ Ընդորում Վեյրշտրասի, <a href="/w/index.php?title=%D5%96%D5%A5%D6%80%D5%A4%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%B6%D5%A4_%D4%B3%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A3_%D5%96%D6%80%D5%A1%D5%A2%D5%A5%D5%B6%D5%AB%D5%B8%D6%82%D5%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ֆերդինանդ Գեորգ Ֆրաբենիուս (դեռ գրված չէ)">Ֆրաբենիուսի</a> և <a href="/w/index.php?title=%D4%B2%D5%A5%D5%B6%D5%BB%D5%A1%D5%B4%D5%AB%D5%B6_%D5%8A%D5%A5%D5%AB%D6%80%D5%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Բենջամին Պեիրս (դեռ գրված չէ)">Պեիրսի</a> հետազոտությունները ցույց տվեցին, որ կոմպլեքս թվերի սահմաննեում, թիվ հասկացության ցանկացած ընդլայնման դեպքում թվաբանության օրենքներից որևէ մեկից պետք կլինի հրաժարվել<a href="#cite_note-История_математики,_т._III—1972——61—66-95">[95]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Թվաբանությունը_կրթության_մեջ">Թվաբանությունը կրթության մեջ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=27" title="Խմբագրել բաժինը. Թվաբանությունը կրթության մեջ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=27" title="Edit section's source code: Թվաբանությունը կրթության մեջ">խմբագրել կոդը</a>]</div> Թվաբանական հասկացությունների ձևավորումը սերտորեն կապված է հաշվելու գործընթացի հետ։ Նրա հիմքում ընկած են մտային գործողության այնպիսի տարրեր, ինչպիսիք են առարկաներ ճանաչելու ունակությունը, առարկաների տարբերումը, առարկաների ամբողջականությունը առանձին տարրերի բաժանելու կարողությունը, հաշվարկի իրավահավասարությունը (այլ կերպ ասած հաշվարկի միավորից օգտվելը), տարրերի հաջորդաբար կարգավորելու ունակությունը, դրանց կանոնավորումը, ինչը բերում է տարբեր որակի առարկաների հաշվարկին և թիվ հասկացության ձևավորմանը։ Նման գործընթացներ կարելի է դիտարկել երեխաների մոտ հասկացությունների յուրացման ժամանակ<a href="#cite_note-bse-11">[11]</a>։ <div style="background: ; border: 1px solid #aaaaaa; float: right; clear: right; margin: .5em 0em .8em 1.4em; font-size: ; padding: .5em 1em; width: 200px; height: ;"> <div style="border-bottom:1px solid #aaa; font-size:120%; font-weight:bold; padding-bottom:.4em">Բոետիոսը թվաբանության մասին ասել է<a href="#cite_note-de-96">[96]</a></div> <div style="margin-top: .4em;"> Այսպիսով, ո՞ր գործողությունն է անհրաժեշտ ուսումնասիրել առաջինը, եթե ոչ այն, որը որ համարվում է սկիզբ և կատարում է այսպես ասած հիմքի դեր, մյուս գործողությունների հետ համեմատած։ Հենց այսպիսին է թվաբանությունը։ Այն նախորդում է մյուս բոլորին ոչ միայն նրա համար, որ հենց իրքը՝ Աստված, այս տիզերքի արարողը, առաջինը վերցրեց այն որպես իր մտաենթադրությունների օրինակ, և նրա սկզբունքով ստեղծեց ամեն բան, որ հենց թվերի արարող բանականության ուժով սահմանված կարգերում ձեռք բերվեց ներդաշնակություն, այլ նաև նրա համար, որ թվաբանությունը հայտարարվում է նախորդող, որ եթե հեռացնենք իր բնույթի էությամբ նախորդը, հենց այդ պահին կոչնչանան նաև հաջորդները։ Եթե ոչնչանում են հաջորդողները, ապա նախորդի էության կարգավիճակում ոչինչ չի փոխվում։ </div></div> Տարրական կրթության չափորոշիչները ենթադրում են՝ թվերի՝ մինչև միլլիոն, հաշվարկման և համեմատման հմտություններ, չափման հիմնական միավորների և նրանց հարաբերակցության հետ աշխատելու կարողություններ, չորս հիմնական թվաբանական գործողությունների կատարում (բանավոր մինչև 100, և գրավոր մինչև 10000), ինչպես նաև մնացորդով բաժանում և մի քանի թվաբանական գործողություններից կազմված թվային արատհայտության արժեքի որոնում<a href="#cite_note-fgos_n-97">[97]</a><a href="#cite_note-fgos_n_book-98">[98]</a>։ Դպրոցական նյութը տրվում է ակնառու առարկաների միջոցով։ Առաջին դասարանում երեխաները գործ ունեն թվային պատկերների և առարկաների քանակի հետ, հաշիվը հասնում է մինչև 20։ Երկրորդ դասարանում ավելանում է տասնորդական համակարգը, կարգային համակարգը, բազմապատկման աղյուսակը, հաշվարկները հասնում են մինչև 100։ Երրորդ դասարանում հանրահաշվական գործողություններ են կատարում բազմանիշ թվերի հետ։ Հաջորդ քայլը անցումն է տառային նշանակումների, այլ կերպ ասած՝ կոնկրետից վերացականի անցումն է։ Հենց սրանից էլ ըստ Կլեյնի սկսվում է մաթեմատիկան<a href="#cite_note-Клейн—1987——20—23-99">[99]</a>։ Տարրական դասարաններում թվաբանության ուսումնասիրման դժվարությունը այն է, որ անհրաժեշտ է իրականացնել հաշվարկ վերացական բնույթի առարկաների համար<a href="#cite_note-Депман—1965——1—3,_103—109-100">[100]</a>։ Կրթությունը միջնակարգ դպրոցում կապված է թիվ հասկացության ընդլայնման հետ, այստեղ ուսումնասիրվում է կոտորակները և գործողությունները նրանց հետ, բացասական և իռացիոնալ թվերը<a href="#cite_note-Клейн—1987——37-101">[101]</a>։ Իրական և կոմպլեքս թվերը, ինչպես նաև էվկլիդեսի ալգորիթմը և թվաբանության հիմնական տեսությունը վերաբերում է ամբողջական միջնակարգ կրթությանը։ Ժամանակակից աշխարհում մաթեմատիկական գրագիտությունը կրթության հիմնական նպատակներից մեկն է։ Այն իր մեջ մասնավորապես ներառում է թվաբանական գործողություններ, հաշվարկներ և չափումներ կատարելու ունակություններ<a href="#cite_note-hse-102">[102]</a>։ Երեխաների և մեծահասակների մաթեմատիկական գրագիտության խնդիրներով զբաղվում են այնպիսի կազմակերպություններ, ինչպիսիք են <a href="/wiki/%D5%85%D5%88%D5%92%D5%86%D4%BB%D5%8D%D4%B5%D5%96" title="ՅՈՒՆԻՍԵՖ">ՅՈՒՆԻՍԵՖ</a>-ը և <a href="/wiki/%D5%85%D5%88%D5%92%D5%86%D4%B5%D5%8D%D4%BF%D5%95" title="ՅՈՒՆԵՍԿՕ">ՅՈՒՆԵՍԿՕ</a>-ն<a href="#cite_note-unicef-103">[103]</a><a href="#cite_note-unesco-104">[104]</a>։ Չնայած սրան, երկար ժամանակ թվաբանական գործողությունների դասավանդումը սահմանափակվում էր օրինակների մեխանիկական կատարմամբ։ Հին Չինաստանում մեծ ուշադրություն էին դարձվում մաթեմատիկայի ուսուցմանը, ներառյալ քննություններ հանձնումը։ Կայսերական ակադեմիայում մաթեմատիկան ուսումնասիրում էին յոթ տարի։ Սակայն դասական մաթեմատիկական տրակտատները դիտարկում էին որպես դոգմաներ և վերատպագրվում էին առանց փոփոխությունների<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——157-105">[105]</a>։ Եվրոպայում, դեռևս <a href="/wiki/16-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="16-րդ դար">16-րդ</a> դարում <a href="/wiki/%D5%86%D5%AB%D5%AF%D5%B8%D5%AC%D5%B8_%D5%8F%D5%A1%D6%80%D5%BF%D5%A1%D5%AC%D5%B5%D5%A1" title="Նիկոլո Տարտալյա">Տարտալյան</a> առաջարկել էր գումարման, հանման, բաժանման և բազմապատկման համակարգված վարժություններ, սակայն դրանք դեռևս երկար ժամանակ չէին մտնում գործածության մեջ<a href="#cite_note-Депман—1965——199—203-106">[106]</a>։ Բացի դրանից, միջնադարում մասնավոր թվաբանական խնդիրների լուծման համար կային մեծ թվերի որոշման կանոններ։ Որոշ դասագրքերում հանդիպում էին միչև 26 նման կանոններ, ընդորում դրանք կարող էին դասագրքից դասագիրք չհամընկնել<a href="#cite_note-Депман—1965——305-107">[107]</a>։ Որոշ կանոններ չեն կորցրել իրեն արդիականությունը մինչև հիմա։ Դրանց են վերաբերում համաչափությունները (կոտորակները դիտարկվում էին որպես երկու թվերի հարաբերություն, ինչը գործողությունների կատարման ժամանակ հանգեցնում էր համամասնությունների քննարկմանը) և տոկոսները<a href="#cite_note-Депман—1965——306-108">[108]</a>։ Թվաբանությունը՝ ըստ ուսումնասիրության մակարդակի, յոթ <a href="/wiki/%D4%B1%D5%A6%D5%A1%D5%BF_%D5%A1%D6%80%D5%BE%D5%A5%D5%BD%D5%BF%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Ազատ արվեստներ">ազատ արվեստների</a> մեջ զբաղեցնում է չորրորդ տեղը։ Նրան նախորդում է <a href="/w/index.php?title=%D5%8F%D6%80%D5%AB%D5%BE%D5%AB%D5%B8%D6%82%D5%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Տրիվիում (դեռ գրված չէ)">տրիվիումը</a>, որը բաղկացած է <a href="/wiki/%D5%94%D5%A5%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Քերականություն">քերականությունից</a>, <a href="/wiki/%D5%80%D5%BC%D5%A5%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Հռետորություն">ճարտասանությունից</a> և <a href="/wiki/%D4%B4%D5%AB%D5%A1%D5%AC%D5%A5%D5%AF%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Դիալեկտիկա">դիալեկտիկայից</a>, իսկ հենց ինքը համարվում է <a href="/w/index.php?title=%D5%94%D5%BE%D5%A1%D5%A4%D6%80%D5%AB%D5%BE%D5%AB%D5%B8%D6%82%D5%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Քվադրիվիում (դեռ գրված չէ)">քվադրիվիումի</a> ավագ գիտությունը, որին վերաբերում են նաև <a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Երկրաչափություն">երկրաչափությունը</a>, <a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%A1%D5%AA%D5%B7%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Երաժշտություն">երաժշտությունը</a> և <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%B2%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Աստղագիտություն">աստղագիտությունը</a><a href="#cite_note-brit-liberal-arts-109">[109]</a>։ Եվրոպական առաջին համալսարանների հայտնվելու հետ մաթեմատիկան սկսեց դասավանդվել արվեստի ֆակուլտետներում որպես քվադրիվիում, այն համարվում էր օժանդակ դիսցիպլին։ Թվաբանության առաջին դասախոսությունները կարդացել է <a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D5%A5%D5%B6%D5%B6%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AC%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6" title="Վիեննայի համալսարան">Վիեննայի համալսարանի</a> <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BD%D5%BF%D6%80%D5%B8%D5%BD" title="Մագիստրոս">մագիստրոս</a> <a href="/w/index.php?title=%D5%85%D5%B8%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D5%BD_%D5%BE%D5%B8%D5%B6_%D4%B3%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A4%D5%A5%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Յոհաննես վոն Գմունդեն (դեռ գրված չէ)">Յոհաննես վոն Գմունդենը</a>, <a href="/wiki/1412" title="1412">1412</a> թվականին<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——259—260-110">[110]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Թվաբանությունը_փիլիսոփայության_և_արվեստի_մեջ"><span id=".D4.B9.D5.BE.D5.A1.D5.A2.D5.A1.D5.B6.D5.B8.D6.82.D5.A9.D5.B5.D5.B8.D6.82.D5.B6.D5.A8_.D6.83.D5.AB.D5.AC.D5.AB.D5.BD.D5.B8.D6.83.D5.A1.D5.B5.D5.B8.D6.82.D5.A9.D5.B5.D5.A1.D5.B6_.D6.87_.D5.A1.D6.80.D5.BE.D5.A5.D5.BD.D5.BF.D5.AB_.D5.B4.D5.A5.D5.BB">Թվաբանությունը փիլիսոփայության և արվեստի մեջ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=28" title="Խմբագրել բաժինը. Թվաբանությունը փիլիսոփայության և արվեստի մեջ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=28" title="Edit section's source code: Թվաբանությունը փիլիսոփայության և արվեստի մեջ">խմբագրել կոդը</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Marten_de_Vos_Seven_liberal_arts.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Marten_de_Vos_Seven_liberal_arts.jpg/350px-Marten_de_Vos_Seven_liberal_arts.jpg" decoding="async" width="350" height="258" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Marten_de_Vos_Seven_liberal_arts.jpg/525px-Marten_de_Vos_Seven_liberal_arts.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Marten_de_Vos_Seven_liberal_arts.jpg/700px-Marten_de_Vos_Seven_liberal_arts.jpg 2x" data-file-width="1025" data-file-height="756" /></a><figcaption>Մարտին դե Վոս։ Յոթ քույրեր։ 1590 թվական</figcaption></figure> Այն բանից հետո, երբ պյութագորասականները ամբողջ թվերի հարաբերությունը օգտագործեցին երկրաչափական հատվածների հարաբերության արտահայտման համար, ինչպես նաև <a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%A1%D5%AA%D5%B7%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Երաժշտություն">երաժշտության</a> և <a href="/wiki/%D5%86%D5%A5%D6%80%D5%A4%D5%A1%D5%B7%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(%D6%83%D5%AB%D5%AC%D5%AB%D5%BD%D5%B8%D6%83%D5%A1%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6)" title="Ներդաշնակություն (փիլիսոփայություն)">ներդաշնակության</a> համանման հարաբերություններում, նրանք եկան այն եզրակացության, որ աշխարհի բոլոր համաչափությունները կարելի է ներկայացնել թվերի միջոցով, իսկ թվաբանությունը գիտություն է՝ փոխհարաբերությունների արտահայտման և աշխարհի բնօրինակը (մոդել) ստեղծելու համար<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——67-111">[111]</a>։ Սրա հետ մեկտեղ պյութագորասականների բացահայտումներից է համարվում այն, որ ամբողջ թվերի հարաբերությունը բավական չէ ցանկացած հատվածների հարաբերության արտահայտման համար (քառակուսու անկյունագիծը և կողմը անհամաչափելի են) և այս հիմնավորումով անհնարին է ստեղծել մետրական երկրաչափություն<a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——73-72">[72]</a>։ Վերջավոր չափի կառուցման խնդիրը և իրական թվի որոշումը <a href="/wiki/%D5%84.%D5%A9.%D5%A1._5-%D6%80%D5%A4_%D5%A4%D5%A1%D6%80" title="Մ.թ.ա. 5-րդ դար">մ.թ.ա 5-րդ</a> դարում առաջացրեց գիտական <a href="/wiki/%D5%83%D5%A3%D5%B6%D5%A1%D5%AA%D5%A1%D5%B4" title="Ճգնաժամ">ճգնաժամ</a>, որից դուրս գալու համար զբաղվում էին Հին Հռոմի բոլոր փիլիսոփայական դպրոցները։ Ցույց տալ բոլոր դժվարությունները, որ առաջանում էին այս խնդիրների լուծման ժամանակ, հաջողվեց <a href="/wiki/%D4%B6%D5%A5%D5%B6%D5%B8%D5%B6_%D4%B7%D5%AC%D5%A5%D5%A1%D6%81%D5%AB" title="Զենոն Էլեացի">Զենոն Էլեացիին</a> իր <a href="/w/index.php?title=%D4%B6%D5%A5%D5%B6%D5%B8%D5%B6%D5%AB_%D5%BA%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%A4%D5%B8%D6%84%D5%BD%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Զենոնի պարադոքսներ (դեռ գրված չէ)">պարադոքսներում</a><a href="#cite_note-История_математики,_т._I—1970——88—89-112">[112]</a>։ <a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D6%80%D5%BF%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%BD_%D4%BF%D5%A1%D5%BA%D5%A5%D5%AC%D5%AC%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մարտիանուս Կապելլա (դեռ գրված չէ)">Մարտիանուս Կապելլան</a> իր «Փիլիսոփայության և Մերկուրիի հարսանիքը» տրակտատում ստեղծել է բոլոր յոթ արվեստների, այդ թվում նաև թվաբանության, ակնադիտական կերպարներ։ Արվեստները մարմնավորում էին կանայք՝ համապատասխան ատրիբուտներով, նրանց ուղեկցվում էին ոլորտի հայտնի ներկայացուցիչները։ Թվաբանությունը իր ձեռքում պահում էր աբակ կամ հուշատախտակ, մինչև վերջ գրված թվերով։ Նրան ուղեկցում է Պյութագորասը<a href="#cite_note-simbol-113">[113]</a>։ Հաշիվը <a href="/wiki/%D4%B2%D5%B8%D6%82%D5%A4%D5%A4%D5%A1" title="Բուդդա">Բուդդայի</a> փորձություններից մեկն էր։ <a href="/wiki/%D5%86%D5%A5%D5%BF%D5%A1%D5%B1%D5%A3%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6_(%D5%B4%D5%A1%D6%80%D5%A6%D5%A1%D5%B1%D6%87)" title="Նետաձգություն (մարզաձև)">Նետաձգության</a>, <a href="/wiki/%D5%8E%D5%A1%D5%A6%D6%84" title="Վազք">վազքի</a> և <a href="/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%B2" title="Լող">լողի</a> մրցույթներից հետո մաթեմատիկոս Արիյունան կարգադրեց նրան ասել <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{9}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{9}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f8dddd44eb018f09163e18ba8f19485e38bdb7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 10^{9}}"> մեծ բոլոր թվային աստիճանները։ Բուդդան ասեց քսաներկու աստիճանից մինչև <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{53}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>53</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{53}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111c792f5f86e27711c33bfb295d64437a56c54d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.201ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 10^{53}}"> (անվանում ունեն միայն կենտ աստիճանները), և սա միայն առաջին հաշիվն էր, երկրորդ հաշվում Բուդդան շարունակեց մինչև <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{421}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>421</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{421}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3babb5802ff089260a9f03cba1dc15ab8a7882c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 10^{421}}"> աստիճանը։ Հաջորդ առաջադրանքում Բուդդան նախ հաշվեց <a href="/wiki/%D4%B1%D5%BF%D5%B8%D5%B4" title="Ատոմ">ատոմները</a> <a href="/wiki/%D5%84%D5%B2%D5%B8%D5%B6" title="Մղոն">մղոնում</a>, իսկ հետո նաև <a href="/wiki/%D5%8F%D5%AB%D5%A5%D5%A6%D5%A5%D6%80%D6%84" title="Տիեզերք">տիզերքում</a><a href="#cite_note-Меннингер—2011——176—179-114">[114]</a>։ Նմանատիպ «թվային աստիճաններ» հնդկական կրոնական <a href="/wiki/%D5%8A%D5%B8%D5%A5%D5%A6%D5%AB%D5%A1" title="Պոեզիա">պոեզիայում</a> հանդիպում են բազմիցս, ընդ որում թվերի անվանումները կարող են տարբերվել։ Նման աստիճանների նշանակությունն է՝ անցնել մահկանացուների աշխարհից վերև։ Հնդկական «Լիլավատիստրա» գրքում նկարագրվում է երկրի իշխանուհի՝ հիասքանչ Գոպիի փեսացուների մրցույթը <a href="/wiki/%D4%B3%D5%AB%D6%80" title="Գիր">գրի</a>, թվաբանության, <a href="/wiki/%D4%B8%D5%B4%D5%A2%D5%B7%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D6%80%D5%BF" title="Ըմբշամարտ">ըմբշամարտի</a> և նետաձգության արվեստի մեջ։ Գրքի զգալի մասը նվիրված է թվաբանության փորձությունների նկարագրմանը<a href="#cite_note-Арифметика—1951——49-115">[115]</a>։ Ինչպես որ Հնդկաստանում, <a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%B5%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D6%84%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D6%84%D5%A1%D5%AF%D6%80%D5%A9%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Մայաների քաղաքակրթություն">մայաների</a> քրմերի կողմից արհեստականորեն հորինված շատ մեծ թվերը ևս խոսում են «թվային աստիճանով» ավելի վեր՝ աստվածներին մոտ, բարձրանալու ձգտման մասին<a href="#cite_note-Меннингер—2011——82-116">[116]</a>։ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Գրականություն">Գրականություն</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=29" title="Խմբագրել բաժինը. Գրականություն" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=29" title="Edit section's source code: Գրականություն">խմբագրել կոդը</a>]</div> <ul><li>Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1938. — 481 с.</li> <li>Депман И. Я. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm">История арифметики</a>. — М.: Просвещение, 1965. — 400 с.</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D0%BD,_%D0%A4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D1%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Клейн, Феликс (դեռ գրված չէ)">Клейн Ф.</a> Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm">I: Арифметика. Алгебра. Анализ</a>. — 432 с.</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BD%D1%83%D1%82,_%D0%94%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%B4_%D0%AD%D1%80%D0%B2%D0%B8%D0%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Кнут, Дональд Эрвин (դեռ գրված չէ)">Кнут Д. Э.</a> Арифметика // Искусство программирования. — М.. — Т. II. — 830 с.</li> <li>Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — 543 с. — <a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D4%B3%D6%80%D6%84%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%B2%D5%A2%D5%B5%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A8/9785952449787" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 9785952449787</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%B2,_%D0%92%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%98%D0%BB%D1%8C%D0%B8%D1%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Нечаев, Василий Ильич (դեռ գրված չէ)">Нечаев В. И.</a> Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD,_%D0%9B%D0%B5%D0%B2_%D0%A1%D0%B5%D0%BC%D1%91%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Понтрягин, Лев Семёнович (դեռ գրված չէ)">Понтрягин Л. С.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm">Обобщения чисел</a>. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (<a href="/w/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%87%D0%BA%D0%B0_%C2%AB%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%C2%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="Библиотечка «Квант» (դեռ գրված չէ)">Библиотечка «Квант»</a>).</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%80,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%9F%D1%8C%D0%B5%D1%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Серр, Жан-Пьер (դեռ գրված չէ)">Серр Ж.-П.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ega-math.narod.ru/Books/Arithm.htm">Курс арифметики</a> / пер. с франц. А. И. Скопина под ред. А. В. Малышева. — М.: Мир, 1972. — 184 с.</li> <li>История математики: в 3 т. / под редакцией <a href="/wiki/%D0%AE%D1%88%D0%BA%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87,_%D0%90%D0%B4%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%84_%D0%9F%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" class="mw-redirect" title="Юшкевич, Адольф Павлович">А. П. Юшкевича</a>. — М.: Наука, 1970. — Т. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm">I: С древнейших времён до начала Нового времени</a>.</li> <li>История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm">II: Математика XVII столетия</a>.</li> <li>История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972. — Т. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm">III: Математика XVIII столетия</a>.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-1.htm">Энциклопедия элементарной математики. Книга первая. Арифметика</a> / под редакцией <a href="/w/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2,_%D0%9F%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BB_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Александров, Павел Сергеевич (դեռ գրված չէ)">П. С. Александрова</a>, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М.—<abbr title="Ленинград">Л.</abbr>: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 448 с.</li> <li>Avigad, Jeremy. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/elementary.pdf">Number theory and elementary arithmetic</a> // Philosophia Mathematica. — 2003. — Vol. 11. — № 3. — P. 257—284.(անգլ.)</li> <li>Boyer C. B., Merzbach U. C. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s">A History of Mathematics</a>. — John Wiley & Sons, 2010. — 640 p.(անգլ.)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ծանոթագրություններ">Ծանոթագրություններ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=30" title="Խմբագրել բաժինը. Ծանոթագրություններ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=30" title="Edit section's source code: Ծանոթագրություններ">խմբագրել կոդը</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r9141943">.mw-parser-output .reflist{font-size:90%;margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist reflist-columns references-column-width reflist-columns-2"> <ol class="references"> <li id="cite_note-MathEnc_Arith-1">↑ <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-0">1,0</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-1">1,1</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-2">1,2</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-3">1,3</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-4">1,4</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-5">1,5</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-6">1,6</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-7">1,7</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_Arith_1-8">1,8</a> <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2,_%D0%98%D0%B2%D0%B0%D0%BD_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Виноградов, Иван Матвеевич (դեռ գրված չէ)">Виноградов И. М.</a> Арифметика // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. </li> <li id="cite_note-MathEnc_FormArith-2">↑ <a href="#cite_ref-MathEnc_FormArith_2-0">2,0</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_FormArith_2-1">2,1</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_FormArith_2-2">2,2</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_FormArith_2-3">2,3</a> Виноградов И. М. Арифметика формальная // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. </li> <li id="cite_note-ebse-3">↑ <a href="#cite_ref-ebse_3-0">3,0</a> <a href="#cite_ref-ebse_3-1">3,1</a> <a href="#cite_ref-ebse_3-2">3,2</a> <a href="#cite_ref-ebse_3-3">3,3</a> <a href="#cite_ref-ebse_3-4">3,4</a> <a href="#cite_ref-ebse_3-5">3,5</a> <a href="#cite_ref-ebse_3-6">3,6</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10127783">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite id="ЭСБЕ1907" class="citation book cs1"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/s:%D0%AD%D0%A1%D0%91%D0%95/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0,_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0" class="extiw" title="ru:s:ЭСБЕ/Арифметика, наука">«Арифметика, наука»</a>. <a href="/wiki/%D4%B2%D6%80%D5%B8%D6%84%D5%B0%D5%A1%D5%B8%D6%82%D5%A6%D5%AB_%D6%87_%D4%B5%D6%86%D6%80%D5%B8%D5%B6%D5%AB_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A2%D5%A1%D5%BC%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6" title="Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան">Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան</a>: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ. 1890–1907.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%2C+%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0&rft.btitle=%D4%B2%D6%80%D5%B8%D6%84%D5%B0%D5%A1%D5%B8%D6%82%D5%A6%D5%AB+%D6%87+%D4%B5%D6%86%D6%80%D5%B8%D5%B6%D5%AB+%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6+%D5%A2%D5%A1%D5%BC%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6%3A+86+%D5%B0%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%80+%2882+%D5%B0%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%80+%D6%87+4+%D5%AC%D6%80%D5%A1%D6%81%D5%B8%D6%82%D6%81%D5%AB%D5%B9+%D5%B0%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%B6%D5%A5%D6%80%29&rft.place=%D5%8D%D5%A1%D5%B6%D5%AF%D5%BF+%D5%8A%D5%A5%D5%BF%D5%A5%D6%80%D5%A2%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%A3&rft.date=1890%2F1907&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"><code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D6%80:Cite_book" title="Կաղապար:Cite book">cite book</a>}}</code>: CS1 սպաս․ location missing publisher (<a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:CS1_%D5%BD%D5%BA%D5%A1%D5%BD%E2%80%A4_location_missing_publisher" title="Կատեգորիա:CS1 սպաս․ location missing publisher">link</a>) </li> <li id="cite_note-brit-arithmetic-4">↑ <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-0">4,0</a> <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-1">4,1</a> <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-2">4,2</a> <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-3">4,3</a> <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-4">4,4</a> <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-5">4,5</a> <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-6">4,6</a> <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-7">4,7</a> <a href="#cite_ref-brit-arithmetic_4-8">4,8</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite id="CITEREFMacDuffee_C._C." class="citation web cs1">MacDuffee C. C. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.britannica.com/EBchecked/topic/34730/arithmetic">«Arithmetic»</a>. Encyclopædia Britannica. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/67ytRv4RV?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/34730/arithmetic">Արխիվացված</a> օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 27-ին. Վերցված է 2012 թ․ մարտի 20-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Arithmetic&rft.pub=Encyclop%C3%A6dia+Britannica&rft.au=MacDuffee+C.+C.&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.britannica.com%2FEBchecked%2Ftopic%2F34730%2Farithmetic&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988">(անգլ.) </li> <li id="cite_note-bre-5"><a href="#cite_ref-bre_5-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20170627024754/http://bigenc.ru/mathematics/text/1828566">«АРИФМЕ́ТИКА»</a>. Большая российская энциклопедия (ռուսերեն). Արխիվացված է <a rel="nofollow" class="external text" href="http://bigenc.ru/mathematics/text/1828566">օրիգինալից</a> 2017 թ․ հունիսի 27-ին. Վերցված է 2017 թ․ հունիսի 15-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F+%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F+%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&rft.atitle=%D0%90%D0%A0%D0%98%D0%A4%D0%9C%D0%95%CC%81%D0%A2%D0%98%D0%9A%D0%90&rft_id=http%3A%2F%2Fbigenc.ru%2Fmathematics%2Ftext%2F1828566&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-Арнольд—1938——3—5-6"><a href="#cite_ref-Арнольд—1938——3—5_6-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрнольд1938">Арнольд, 1938</a>, էջ 3—5 </li> <li id="cite_note-Понтрягин—1986——4—6-7"><a href="#cite_ref-Понтрягин—1986——4—6_7-0">↑</a> <a href="#CITEREFПонтрягин1986">Понтрягин, 1986</a>, էջ 4—6 </li> <li id="cite_note-bell-12-8"><a href="#cite_ref-bell-12_8-0">↑</a> Беллюстин В. <a class="external text" href="https://ru.wikisource.org/wiki/Как_постепенно_дошли_люди_до_настоящей_арифметики/Глава_12/">Глава 12. Число и порядок действий, знаки и определения</a> // <a class="external text" href="https://ru.wikisource.org/wiki/Как_постепенно_дошли_люди_до_настоящей_арифметики">Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики</a>. — М.: Типография К. Л. Меньшова, 1909. </li> <li id="cite_note-Депман—1965——195—199-9"><a href="#cite_ref-Депман—1965——195—199_9-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 195—199 </li> <li id="cite_note-Арнольд—1938——151—156-10"><a href="#cite_ref-Арнольд—1938——151—156_10-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрнольд1938">Арнольд, 1938</a>, էջ 151—156 </li> <li id="cite_note-bse-11">↑ <a href="#cite_ref-bse_11-0">11,00</a> <a href="#cite_ref-bse_11-1">11,01</a> <a href="#cite_ref-bse_11-2">11,02</a> <a href="#cite_ref-bse_11-3">11,03</a> <a href="#cite_ref-bse_11-4">11,04</a> <a href="#cite_ref-bse_11-5">11,05</a> <a href="#cite_ref-bse_11-6">11,06</a> <a href="#cite_ref-bse_11-7">11,07</a> <a href="#cite_ref-bse_11-8">11,08</a> <a href="#cite_ref-bse_11-9">11,09</a> <a href="#cite_ref-bse_11-10">11,10</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/Арифметика">«Арифметика»</a>. <a href="/w/index.php?title=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Большая советская энциклопедия (դեռ գրված չէ)">Большая советская энциклопедия</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6BtoHcmjU?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0">Արխիվացված</a> օրիգինալից 2012 թ․ նոյեմբերի 3-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&rft.pub=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F+%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F+%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&rft_id=http%3A%2F%2Fdic.academic.ru%2Fdic.nsf%2Fbse%2F65000%2F%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-bse_algebra-12"><a href="#cite_ref-bse_algebra_12-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62556/Алгебра">«Алгебра»</a>. <a href="/w/index.php?title=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Большая советская энциклопедия (դեռ գրված չէ)">Большая советская энциклопедия</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6E6ZXGwLN?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62556/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0">Արխիվացված</a> օրիգինալից 2013 թ․ փետրվարի 1-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&rft.pub=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F+%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F+%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&rft_id=http%3A%2F%2Fdic.academic.ru%2Fdic.nsf%2Fbse%2F62556%2F%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-Депман—1965——21—25-13"><a href="#cite_ref-Депман—1965——21—25_13-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 21—25 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——129—130-14"><a href="#cite_ref-Депман—1965——129—130_14-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 129—130 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——23—24-15">↑ <a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——23—24_15-0">15,0</a> <a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——23—24_15-1">15,1</a> <a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——23—24_15-2">15,2</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 23—24 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——212—232-16">↑ <a href="#cite_ref-Депман—1965——212—232_16-0">16,0</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——212—232_16-1">16,1</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——212—232_16-2">16,2</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——212—232_16-3">16,3</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 212—232 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——204-17">↑ <a href="#cite_ref-Депман—1965——204_17-0">17,0</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——204_17-1">17,1</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——204_17-2">17,2</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 204 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——142-18"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——142_18-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 142 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——23—26-19"><a href="#cite_ref-Клейн—1987——23—26_19-0">↑</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 23—26 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——26—35-20">↑ <a href="#cite_ref-Клейн—1987——26—35_20-0">20,0</a> <a href="#cite_ref-Клейн—1987——26—35_20-1">20,1</a> <a href="#cite_ref-Клейн—1987——26—35_20-2">20,2</a> <a href="#cite_ref-Клейн—1987——26—35_20-3">20,3</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 26—35 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——77—79-21"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——77—79_21-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 77—79 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——37—44-22"><a href="#cite_ref-Клейн—1987——37—44_22-0">↑</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 37—44 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——157-23"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——157_23-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 157 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——-24"><a href="#cite_ref-Клейн—1987——_24-0">↑</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a> </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——172—178-25">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——172—178_25-0">25,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——172—178_25-1">25,1</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——172—178_25-2">25,2</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 172—178 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——188—201-26"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——188—201_26-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 188—201 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——227-27"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——227_27-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 227 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——35—36-28"><a href="#cite_ref-Клейн—1987——35—36_28-0">↑</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 35—36 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——23—25-29">↑ <a href="#cite_ref-Клейн—1987——23—25_29-0">29,0</a> <a href="#cite_ref-Клейн—1987——23—25_29-1">29,1</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 23—25 </li> <li id="cite_note-col-30"><a href="#cite_ref-col_30-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6305/АРИФМЕТИКА">«Арифметика»</a>. <a href="/w/index.php?title=%D0%AD%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Энциклопедия Кольера (դեռ գրված չէ)">Энциклопедия Кольера</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6E6ZYET8N?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6305/%D0%90%D0%A0%D0%98%D0%A4%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%98%D0%9A%D0%90">Արխիվացված</a> օրիգինալից 2013 թ․ փետրվարի 1-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&rft.pub=%D0%AD%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F+%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B5%D1%80%D0%B0&rft_id=http%3A%2F%2Fdic.academic.ru%2Fdic.nsf%2Fenc_colier%2F6305%2F%D0%90%D0%A0%D0%98%D0%A4%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%98%D0%9A%D0%90&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-Кнут———216-31">↑ <a href="#cite_ref-Кнут———216_31-0">31,0</a> <a href="#cite_ref-Кнут———216_31-1">31,1</a> <a href="#CITEREFКнут">Кнут</a>, էջ 216 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._II—1970——66—67-32"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._II—1970——66—67_32-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._II1970">История математики, т. II, 1970</a>, էջ 66—67 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._III—1972——42—45-33"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._III—1972——42—45_33-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._III1972">История математики, т. III, 1972</a>, էջ 42—45 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——45—49-34"><a href="#cite_ref-Клейн—1987——45—49_34-0">↑</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 45—49 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——263—267-35"><a href="#cite_ref-Депман—1965——263—267_35-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 263—267 </li> <li id="cite_note-Boyer_&_Merzbach—2010—Arithmetic_and_logistic—-36"><a href="#cite_ref-Boyer_&_Merzbach—2010—Arithmetic_and_logistic—_36-0">↑</a> <a href="#CITEREFBoyer_&_Merzbach2010">Boyer & Merzbach, 2010</a>, Arithmetic and logistic </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——57—71-37">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——57—71_37-0">37,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——57—71_37-1">37,1</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 57—71 </li> <li id="cite_note-Кнут———216,_221-38"><a href="#cite_ref-Кнут———216,_221_38-0">↑</a> <a href="#CITEREFКнут">Кнут</a>, էջ 216, 221 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——275—285-39"><a href="#cite_ref-Депман—1965——275—285_39-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 275—285 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——49—57-40"><a href="#cite_ref-Клейн—1987——49—57_40-0">↑</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 49—57 </li> <li id="cite_note-MathEnc_NumTeo-41">↑ <a href="#cite_ref-MathEnc_NumTeo_41-0">41,0</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_NumTeo_41-1">41,1</a> <a href="#cite_ref-MathEnc_NumTeo_41-2">41,2</a> Виноградов И. М. Чисел теория // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 5. </li> <li id="cite_note-MathEnc_ElNumTeo-42"><a href="#cite_ref-MathEnc_ElNumTeo_42-0">↑</a> Виноградов И. М. Элементарная теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 5. </li> <li id="cite_note-Арнольд—1938——413—415-43"><a href="#cite_ref-Арнольд—1938——413—415_43-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрнольд1938">Арнольд, 1938</a>, էջ 413—415 </li> <li id="cite_note-bse_method-44">↑ <a href="#cite_ref-bse_method_44-0">44,0</a> <a href="#cite_ref-bse_method_44-1">44,1</a> <a href="#cite_ref-bse_method_44-2">44,2</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62301/Аксиоматический">«Аксиоматический метод»</a>. <a href="/w/index.php?title=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Большая советская энциклопедия (դեռ գրված չէ)">Большая советская энциклопедия</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6EKxKQKhi?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62301/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9">Արխիվացված</a> օրիգինալից 2013 թ․ փետրվարի 10-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9+%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4&rft.pub=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F+%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F+%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&rft_id=http%3A%2F%2Fdic.academic.ru%2Fdic.nsf%2Fbse%2F62301%2F%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——100—107-45"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——100—107_45-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 100—107 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——117—126-46">↑ <a href="#cite_ref-Депман—1965——117—126_46-0">46,0</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——117—126_46-1">46,1</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——117—126_46-2">46,2</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 117—126 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——135—138-47">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——135—138_47-0">47,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——135—138_47-1">47,1</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 135—138 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——139—142-48">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——139—142_48-0">48,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——139—142_48-1">48,1</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 139—142 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——133-49"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——133_49-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 133 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——150—151-50">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——150—151_50-0">50,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——150—151_50-1">50,1</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——150—151_50-2">50,2</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——150—151_50-3">50,3</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 150—151 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——172—179-51">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——172—179_51-0">51,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——172—179_51-1">51,1</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 172—179 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——160—167-52">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——160—167_52-0">52,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——160—167_52-1">52,1</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 160—167 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——258—262-53"><a href="#cite_ref-Депман—1965——258—262_53-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 258—262 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——188-54"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——188_54-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 188 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——202-55">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——202_55-0">55,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——202_55-1">55,1</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 202 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——228-56"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——228_56-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 228 </li> <li id="cite_note-bse_formal-57">↑ <a href="#cite_ref-bse_formal_57-0">57,0</a> <a href="#cite_ref-bse_formal_57-1">57,1</a> <a href="#cite_ref-bse_formal_57-2">57,2</a> <a href="#cite_ref-bse_formal_57-3">57,3</a> <a href="#cite_ref-bse_formal_57-4">57,4</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/145438/Формальная">«Формальная арифметика»</a>. <a href="/w/index.php?title=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Большая советская энциклопедия (դեռ գրված չէ)">Большая советская энциклопедия</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6BtoIYqGV?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/145438/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F">Արխիվացված</a> օրիգինալից 2012 թ․ նոյեմբերի 3-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&rft.pub=%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F+%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F+%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F&rft_id=http%3A%2F%2Fdic.academic.ru%2Fdic.nsf%2Fbse%2F145438%2F%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-Avigad—2003——260-58"><a href="#cite_ref-Avigad—2003——260_58-0">↑</a> <a href="#CITEREFAvigad2003">Avigad, 2003</a>, էջ 260 </li> <li id="cite_note-Нечаев—1975——52—53-59"><a href="#cite_ref-Нечаев—1975——52—53_59-0">↑</a> <a href="#CITEREFНечаев1975">Нечаев, 1975</a>, էջ 52—53 </li> <li id="cite_note-Нечаев—1975——48-60"><a href="#cite_ref-Нечаев—1975——48_60-0">↑</a> <a href="#CITEREFНечаев1975">Нечаев, 1975</a>, էջ 48 </li> <li id="cite_note-Нечаев—1975——68—72-61"><a href="#cite_ref-Нечаев—1975——68—72_61-0">↑</a> <a href="#CITEREFНечаев1975">Нечаев, 1975</a>, էջ 68—72 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——19—20-62"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——19—20_62-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 19—20 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——49—52-63">↑ <a href="#cite_ref-Депман—1965——49—52_63-0">63,0</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——49—52_63-1">63,1</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 49—52 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——25-64"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——25_64-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 25 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——34-65"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——34_65-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 34 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——40-66"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——40_66-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 40 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——50-67"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——50_67-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 50 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——53—54-68"><a href="#cite_ref-Депман—1965——53—54_68-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 53—54 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——62-69"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——62_69-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 62 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——68—69-70"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——68—69_70-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 68—69 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——74—76-71">↑ <a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——74—76_71-0">71,0</a> <a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——74—76_71-1">71,1</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 74—76 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——73-72">↑ <a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——73_72-0">72,0</a> <a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——73_72-1">72,1</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 73 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——144—146-73"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——144—146_73-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 144—146 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——57—58-74"><a href="#cite_ref-Депман—1965——57—58_74-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 57—58 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——178-75"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——178_75-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 178 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——160—161-76"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——160—161_76-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 160—161 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——163—164-77"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——163—164_77-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 163—164 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——167—169-78"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——167—169_78-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 167—169 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——183—185-79"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——183—185_79-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 183—185 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——185-80"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——185_80-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 185 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——190—191-81"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——190—191_81-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 190—191 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——72—78-82">↑ <a href="#cite_ref-Депман—1965——72—78_82-0">82,0</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——72—78_82-1">82,1</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 72—78 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——209—210-83"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——209—210_83-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 209—210 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——90—94-84">↑ <a href="#cite_ref-Депман—1965——90—94_84-0">84,0</a> <a href="#cite_ref-Депман—1965——90—94_84-1">84,1</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 90—94 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——211—212-85"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——211—212_85-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 211—212 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——212—214-86"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——212—214_86-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 212—214 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——218—219-87"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——218—219_87-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 218—219 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——254—256-88"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——254—256_88-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 254—256 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——256—257-89"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——256—257_89-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 256—257 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——50—57-90">↑ <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——50—57_90-0">90,0</a> <a href="#cite_ref-Арифметика—1951——50—57_90-1">90,1</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 50—57 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._II—1970——34—36-91"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._II—1970——34—36_91-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._II1970">История математики, т. II, 1970</a>, էջ 34—36 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._III—1972——47—49-92"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._III—1972——47—49_92-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._III1972">История математики, т. III, 1972</a>, էջ 47—49 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._III—1972——49—52-93"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._III—1972——49—52_93-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._III1972">История математики, т. III, 1972</a>, էջ 49—52 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._III—1972——52—56-94"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._III—1972——52—56_94-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._III1972">История математики, т. III, 1972</a>, էջ 52—56 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._III—1972——61—66-95"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._III—1972——61—66_95-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._III1972">История математики, т. III, 1972</a>, էջ 61—66 </li> <li id="cite_note-de-96"><a href="#cite_ref-de_96-0">↑</a> Боэций I, 1 // <a class="external text" href="https://la.wikisource.org/wiki/De_Arithmetica">Основы арифметики</a>. </li> <li id="cite_note-fgos_n-97"><a href="#cite_ref-fgos_n_97-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6CjHCBywo?url=http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2768">«Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа»</a>. Федеральный государственный образовательный стандарт. Արխիվացված է <a rel="nofollow" class="external text" href="http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2768">օրիգինալից</a> 2012 թ․ դեկտեմբերի 7-ին. Վերցված է 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0+%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE+%D1%83%D1%87%D1%80%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F.+%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0&rft.pub=%D0%A4%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D0%B3%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82&rft_id=http%3A%2F%2Fstandart.edu.ru%2Fcatalog.aspx%3FCatalogId%3D2768&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-fgos_n_book-98"><a href="#cite_ref-fgos_n_book_98-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://standart.edu.ru/attachment.aspx?id=545">Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа</a> / сост. Е. С. Савинов. — 4-е. — М.: Просвещение, 2013. — С. 32—35. — 223 с. — <a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D4%B3%D6%80%D6%84%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%B2%D5%A2%D5%B5%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A8/9785090264167" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 9785090264167</a> </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——20—23-99"><a href="#cite_ref-Клейн—1987——20—23_99-0">↑</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 20—23 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——1—3,_103—109-100"><a href="#cite_ref-Депман—1965——1—3,_103—109_100-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 1—3, 103—109 </li> <li id="cite_note-Клейн—1987——37-101"><a href="#cite_ref-Клейн—1987——37_101-0">↑</a> <a href="#CITEREFКлейн1987">Клейн, 1987</a>, էջ 37 </li> <li id="cite_note-hse-102"><a href="#cite_ref-hse_102-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6CjHGVVQo?url=http://www.hse.ru/org/hse/iori/news/55563956.html">«Грамотность, математические способности и навыки решения задач в технологически развитом обществе»</a>. Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики. Արխիվացված է <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hse.ru/org/hse/iori/news/55563956.html">օրիգինալից</a> 2012 թ․ դեկտեմբերի 7-ին. Վերցված է 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%2C+%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5+%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8+%D0%B8+%D0%BD%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B8+%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F+%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87+%D0%B2+%D1%82%D0%B5%D1%85%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8+%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%BE%D0%BC+%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5&rft.pub=%D0%9D%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9+%D1%83%D0%BD%D0%B8%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82+%D0%92%D1%8B%D1%81%D1%88%D0%B0%D1%8F+%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0+%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B8&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hse.ru%2Forg%2Fhse%2Fiori%2Fnews%2F55563956.html&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-unicef-103"><a href="#cite_ref-unicef_103-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20121015092003/http://www.unicef.org/education/files/QualityEducation.PDF">«Defining Quality in Education»</a> (PDF) (անգլերեն). <a href="/w/index.php?title=%D0%AE%D0%9D%D0%98%D0%A1%D0%95%D0%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="ЮНИСЕФ (դեռ գրված չէ)">ЮНИСЕФ</a>. Արխիվացված է <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.unicef.org/education/files/QualityEducation.PDF">օրիգինալից</a> (PDF) 2012 թ․ հոկտեմբերի 15-ին. Վերցված է 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Defining+Quality+in+Education&rft.pub=%D0%AE%D0%9D%D0%98%D0%A1%D0%95%D0%A4&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.unicef.org%2Feducation%2Ffiles%2FQualityEducation.PDF&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-unesco-104"><a href="#cite_ref-unesco_104-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.unesco.org/new/en/education/themes/leading-the-international-agenda/education-for-all/efa-goals/">«Education for All Goals»</a> (անգլերեն). <a href="/w/index.php?title=%D0%AE%D0%9D%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%9E&action=edit&redlink=1" class="new" title="ЮНЕСКО (դեռ գրված չէ)">ЮНЕСКО</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6CjHHftrk?url=http://www.unesco.org/new/en/education/themes/leading-the-international-agenda/education-for-all/efa-goals/">Արխիվացված</a> օրիգինալից 2012 թ․ դեկտեմբերի 7-ին. Վերցված է 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Education+for+All+Goals&rft.pub=%D0%AE%D0%9D%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%9E&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.unesco.org%2Fnew%2Fen%2Feducation%2Fthemes%2Fleading-the-international-agenda%2Feducation-for-all%2Fefa-goals%2F&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——157-105"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——157_105-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 157 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——199—203-106"><a href="#cite_ref-Депман—1965——199—203_106-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 199—203 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——305-107"><a href="#cite_ref-Депман—1965——305_107-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 305 </li> <li id="cite_note-Депман—1965——306-108"><a href="#cite_ref-Депман—1965——306_108-0">↑</a> <a href="#CITEREFДепман1965">Депман, 1965</a>, էջ 306 </li> <li id="cite_note-brit-liberal-arts-109"><a href="#cite_ref-brit-liberal-arts_109-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.britannica.com/EBchecked/topic/339020/liberal-arts">«Liberal Arts»</a>. Encyclopædia Britannica. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/67ytPsnR6?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/339020/liberal-arts">Արխիվացված</a> օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 27-ին. Վերցված է 2012 թ․ մարտի 20-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Liberal+Arts&rft.pub=Encyclop%C3%A6dia+Britannica&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.britannica.com%2FEBchecked%2Ftopic%2F339020%2Fliberal-arts&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988">(անգլ.) </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——259—260-110"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——259—260_110-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 259—260 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——67-111"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——67_111-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 67 </li> <li id="cite_note-История_математики,_т._I—1970——88—89-112"><a href="#cite_ref-История_математики,_т._I—1970——88—89_112-0">↑</a> <a href="#CITEREFИстория_математики,_т._I1970">История математики, т. I, 1970</a>, էջ 88—89 </li> <li id="cite_note-simbol-113"><a href="#cite_ref-simbol_113-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10127783"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/67ytQg2zB?url=http://www.simbolarium.ru/simbolarium/sym-uk-cyr/cyr-s/sv/semj-sv-isk.htm">«Семь свободных искусств»</a>. Simbolarium. Արխիվացված է <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.simbolarium.ru/simbolarium/sym-uk-cyr/cyr-s/sv/semj-sv-isk.htm">օրիգինալից</a> 2012 թ․ մայիսի 27-ին. Վերցված է 2012 թ․ մարտի 20-ին.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=%D0%A1%D0%B5%D0%BC%D1%8C+%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85+%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%83%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B2&rft.pub=Simbolarium&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.simbolarium.ru%2Fsimbolarium%2Fsym-uk-cyr%2Fcyr-s%2Fsv%2Fsemj-sv-isk.htm&rfr_id=info%3Asid%2Fhy.wikipedia.org%3A%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-Меннингер—2011——176—179-114"><a href="#cite_ref-Меннингер—2011——176—179_114-0">↑</a> <a href="#CITEREFМеннингер2011">Меннингер, 2011</a>, էջ 176—179 </li> <li id="cite_note-Арифметика—1951——49-115"><a href="#cite_ref-Арифметика—1951——49_115-0">↑</a> <a href="#CITEREFАрифметика1951">Арифметика, 1951</a>, էջ 49 </li> <li id="cite_note-Меннингер—2011——82-116"><a href="#cite_ref-Меннингер—2011——82_116-0">↑</a> <a href="#CITEREFМеннингер2011">Меннингер, 2011</a>, էջ 82 </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Արտաքին_հղումներ">Արտաքին հղումներ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&veaction=edit&section=31" title="Խմբագրել բաժինը. Արտաքին հղումներ" class="mw-editsection-visualeditor">խմբագրել</a> | <a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&section=31" title="Edit section's source code: Արտաքին հղումներ">խմբագրել կոդը</a>]</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html">MathWorld article about arithmetic</a></li> <li><a href="https://hy.wikisource.org/wiki/The_New_Student%27s_Reference_Work/Arithmetic" class="extiw" title="s:The New Student's Reference Work/Arithmetic">The New Student's Reference Work/Arithmetic</a> (historical)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1293&bodyId=1422">The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes</a> – an early Western work on arithmetic at <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070713083148/http://mathdl.maa.org/convergence/1/">Convergence</a></li></ul> <table class="toccolours" style="width:100%"><tbody><tr><td style="width:auto"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Notification-icon-Commons-logo.svg/24px-Notification-icon-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Notification-icon-Commons-logo.svg/36px-Notification-icon-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Notification-icon-Commons-logo.svg/48px-Notification-icon-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="30" data-file-height="30" /></td><td style="width:100%"><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D6%84%D5%AB%D5%BA%D5%A1%D5%B0%D5%A5%D5%BD%D5%BF" title="Վիքիպահեստ">Վիքիպահեստն</a> ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Arithmetic" class="extiw" title="commons:Category:Arithmetic">«Թվաբանություն»</a> հոդվածին։</td></tr></tbody></table> <table class="navbox" style="border-spacing:0"><tbody><tr><td style="padding:2px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group"><div style="padding: 0px 18px 0px 0px; width: 100%;"><div style="float: left;"> <a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D6%80:%D4%B1%D6%80%D5%BF%D5%A1%D6%84%D5%AB%D5%B6_%D5%B0%D5%B2%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Դիտել այս կաղապարը"><img alt="⛭" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/21px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/28px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 2x" data-file-width="14" data-file-height="14" /></a> </div>  Բառարաններ և հանրագիտարաններ</div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Arithmetic" class="extiw" title="wikisource:1911 Encyclopædia Britannica/Arithmetic">Բրիտանիկա (11-րդ)</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/arithmetic">Բրիտանիկա</a> · <a href="https://hy.wikisource.org/wiki/ru:%D0%AD%D0%A1%D0%91%D0%95/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" class="extiw" title="s:ru:ЭСБЕ/Арифметика">Բրոքհաուսի և Եփրոնի</a> · <a href="https://hy.wikisource.org/wiki/ru:%D0%9C%D0%AD%D0%A1%D0%91%D0%95/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" class="extiw" title="s:ru:МЭСБЕ/Арифметика">Բրոքհաուսի և Եփրոնի փոքր</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://esu.com.ua/search_articles.php?id=43227">Ժամանակակից Ուկրաինայի</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/ARIFMETIKA.html">Կրուգոսվետ</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0220398.xml">Մեծ կատալոնական</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/aritmetikk">Մեծ նորվեգական</a> · <a href="https://en.wikisource.org/wiki/The_American_Cyclop%C3%A6dia_(1879)/Arithmetic" class="extiw" title="wikisource:The American Cyclopædia (1879)/Arithmetic">American Cycl. (1879)</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/aritmetica">Treccani</a></div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D5%89%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%80%D5%B8%D5%B7%D5%B9%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%BD%D5%AF%D5%B8%D5%B2%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Չափորոշչային վերահսկողություն">Չափորոշչային վերահսկողություն</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4002919-0">4002919-0</a> · LCCN: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85007163">sh85007163</a> · Microsoft: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://academic.microsoft.com/#/detail/94375191">94375191</a> · NDL: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00570203">00570203</a> · <a href="/wiki/%D5%89%D5%A5%D5%AD%D5%AB%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%A1%D5%A6%D5%A3%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%A3%D6%80%D5%A1%D5%A4%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6" title="Չեխիայի ազգային գրադարան">NKC</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph118605">ph118605</a></div></td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table> <table class="toccolours" style="font-size:85%; margin-top:0.1em; margin-bottom:0.1em; border: 1px solid #aaa; padding: 5px; clear: both;" width="100%"> <tbody><tr> <td>Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված <a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B5%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BD%D5%B8%D5%BE%D5%A5%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6" title="Հայկական սովետական հանրագիտարան">Հայկական սովետական հանրագիտարանից</a>  (<a href="https://hy.wikisource.org/wiki/%D4%B7%D5%BB:%D5%80%D5%A1%D5%B5%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%8D%D5%B8%D5%BE%D5%A5%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6_(Soviet_Armenian_Encyclopedia)_4.djvu/219" class="extiw" title="s:Էջ:Հայկական Սովետական Հանրագիտարան (Soviet Armenian Encyclopedia) 4.djvu/219">հ․ 4, էջ 219</a>)։ <a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:CC_BY-SA_icon_80x15.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/CC_BY-SA_icon_80x15.png" decoding="async" width="80" height="15" class="mw-file-element" data-file-width="80" data-file-height="15" /></a> </td></tr></tbody></table> <table class="navbox" style="border-spacing:0"><tbody><tr><td style="padding:2px"><table class="nowraplinks hlist collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D6%80:%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B3%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B2%D5%A5%D6%80" title="Կաղապար:Մաթեմատիկայի ճյուղեր">դ</a></li><li class="nv-talk"><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D6%80%D5%AB_%D6%84%D5%B6%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4:%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B3%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B2%D5%A5%D6%80" title="Կաղապարի քննարկում:Մաթեմատիկայի ճյուղեր">ք</a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=%D4%BF%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D6%80:%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B3%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B2%D5%A5%D6%80&action=edit">խ</a></li></ul></div><div style="font-size:114%"><a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B3%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B2%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մաթեմատիկայի ճյուղեր (դեռ գրված չէ)">Մաթեմատիկայի ճյուղեր</a></div></th></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B0%D5%AB%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%B6%D6%84%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մաթեմատիկայի հիմունքներ (դեռ գրված չէ)">Հիմունքներ</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Կատեգորիաների տեսություն">Կատեգորիաների տեսություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%BB%D5%B6%D6%86%D5%B8%D6%80%D5%B4%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Ինֆորմացիայի տեսություն">Ինֆորմացիայի տեսություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Մաթեմատիկական տրամաբանություն">Մաթեմատիկական տրամաբանություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D6%83%D5%AB%D5%AC%D5%AB%D5%BD%D5%B8%D6%83%D5%A1%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն">Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Բազմությունների տեսություն">Բազմությունների տեսություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%8F%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Տիպերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Տիպերի տեսություն</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Հանրահաշիվ">Հանրահաշիվ</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D4%B1%D5%A2%D5%BD%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%BF_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Աբստրակտ հանրահաշիվ">Աբստրակտ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%BF%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%BE_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="Կոմուտատիվ հանրահաշիվ (դեռ գրված չէ)">Կոմուտատիվ </a></li> <li><a href="/wiki/%D5%8F%D5%A1%D6%80%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Տարրական հանրահաշիվ">Տարրական</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%BD%D5%B4%D5%A2%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Խմբերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Խմբերի տեսություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B3%D5%AE%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Գծային հանրահաշիվ">Գծային</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%A3%D5%AE%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="Բազմագծային հանրահաշիվ (դեռ գրված չէ)">Բազմագծային</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%A6" title="Մաթեմատիկական անալիզ">Անալիզ</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D4%BB%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Իրական անալիզ (դեռ գրված չէ)">Իրական անալիզ</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%BA%D5%AC%D5%A5%D6%84%D5%BD_%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%A6" title="Կոմպլեքս անալիզ">Կոմպլեքս անալիզ</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B4%D5%AB%D6%86%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%AC_%D5%B0%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Դիֆերենցիալ հավասարումներ">Դիֆերենցիալ հավասարումներ</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%96%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%A6" title="Ֆունկցիոնալ անալիզ">Ֆունկցիոնալ անալիզ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%89%D5%A1%D6%83%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Չափերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Չափերի տեսություն</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D4%B4%D5%AB%D5%BD%D5%AF%D6%80%D5%A5%D5%BF_%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Դիսկրետ մաթեմատիկա">Դիսկրետ</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%A2%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Կոմբինատորիկա">Կոմբինատորիկա</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B3%D6%80%D5%A1%D6%86%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Գրաֆների տեսություն">Գրաֆների տեսություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%BF%D5%A1%D6%80%D5%A3%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Կարգերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Կարգերի տեսություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%BD%D5%A1%D5%B2%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Խաղերի տեսություն">Խաղերի տեսություն</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Երկրաչափություն">Երկրաչափություն</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Հանրահաշվական երկրաչափություն">Հանրահաշվական</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%BF%D5%AB%D5%AF_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Անալիտիկ երկրաչափություն">Անալիտիկ</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B4%D5%AB%D6%86%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%AC_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Դիֆերենցիալ երկրաչափություն">Դիֆերենցիալ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B4%D5%AB%D5%BD%D5%AF%D6%80%D5%A5%D5%BF_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Դիսկրետ երկրաչափություն (դեռ գրված չէ)">Դիսկրետ</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B7%D5%BE%D5%AF%D5%AC%D5%AB%D5%A4%D5%A5%D5%BD%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Էվկլիդեսյան երկրաչափություն">Էվկլիդեսյան</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%8E%D5%A5%D6%80%D5%BB%D5%A1%D5%BE%D5%B8%D6%80_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Վերջավոր երկրաչափություն (դեռ գրված չէ)">Վերջավոր</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Թվերի տեսություն">Թվերի տեսություն</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">Թվաբանություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հանրահաշվական թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Հանրահաշվական թվերի տեսություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%BF%D5%AB%D5%AF_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Անալիտիկ թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Անալիտիկ թվերի տեսություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B4%D5%AB%D5%B8%D6%86%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Դիոֆանտյան երկրաչափություն (դեռ գրված չէ)">Դիոֆանտյան երկրաչափություն</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D5%8F%D5%B8%D5%BA%D5%B8%D5%AC%D5%B8%D5%A3%D5%AB%D5%A1" title="Տոպոլոգիա">Տոպոլոգիա</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%B8%D5%BA%D5%B8%D5%AC%D5%B8%D5%A3%D5%AB%D5%A1" title="Հանրահաշվական տոպոլոգիա">Հանրահաշվական</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B4%D5%AB%D6%86%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%AC_%D5%BF%D5%B8%D5%BA%D5%B8%D5%AC%D5%B8%D5%A3%D5%AB%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Դիֆերենցիալ տոպոլոգիա (դեռ գրված չէ)">Դիֆերենցիալ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%B8%D5%BA%D5%B8%D5%AC%D5%B8%D5%A3%D5%AB%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Երկրաչափական տոպոլոգիա (դեռ գրված չէ)">Երկրաչափական</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D4%BF%D5%AB%D6%80%D5%A1%D5%BC%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Կիրառական մաթեմատիկա">Կիրառական</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D4%BF%D5%A1%D5%BC%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Կառավարման տեսություն (դեռ գրված չէ)">Կառավարման տեսություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%B6%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն (դեռ գրված չէ)">Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%86%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%B6%D5%BD%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մաթեմատիկական ֆինանսներ (դեռ գրված չէ)">Մաթեմատիկական ֆինանսներ</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%86%D5%AB%D5%A6%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Մաթեմատիկական ֆիզիկա">Մաթեմատիկական ֆիզիկա</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BE%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%A3%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Մաթեմատիկական վիճակագրություն">Մաթեմատիկական վիճակագրություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Հավանականությունների տեսություն">Հավանականությունների տեսություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%A3%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Վիճակագրություն">Վիճակագրություն</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%B8%D5%B2%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հաշվողական մաթեմատիկա (դեռ գրված չէ)">Հաշվողական</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D4%BB%D5%B6%D6%86%D5%B8%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Ինֆորմատիկա">Ինֆորմատիկա</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Theory_of_computation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Theory of computation (դեռ գրված չէ)">Theory of computation</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B4%D5%A5%D5%A9%D5%B8%D5%A4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Թվային մեթոդներ">Թվային մեթոդներ</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%85%D5%BA%D5%BF%D5%AB%D5%B4%D5%AB%D5%A6%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%A1" title="Մաթեմատիկական օպտիմիզացիա">Օպտիմիզացիա</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Computer_algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Computer algebra (դեռ գրված չէ)">Computer algebra</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group">Այլ</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Մաթեմատիկայի պատմություն">Մաթեմատիկայի պատմություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%BA%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D6%81%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ժամանցային մաթեմատիկա (դեռ գրված չէ)">Ժամանցային մաթեմատիկա</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1_%D6%87_%D5%A1%D6%80%D5%BE%D5%A5%D5%BD%D5%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մաթեմատիկա և արվեստ (դեռ գրված չէ)">Մաթեմատիկա և արվեստ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%B8%D6%82%D6%81%D5%B8%D6%82%D5%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մաթեմատիկայի ուսուցում (դեռ գրված չէ)">Մաթեմատիկայի ուսուցում</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"><div> <ul><li><img alt="Category" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /> <a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%B3%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B2%D5%A5%D6%80" title="Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի ճյուղեր">Կատեգորիա</a></li> <li><img alt="Commons page" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/16px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="22" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/32px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Mathematics" class="extiw" title="commons:Category:Mathematics">Վիքիպահեստ</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table> <table class="navbox" style="border-spacing:0"><tbody><tr><td style="padding:2px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D6%80:%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Կաղապար:Թվերի տեսություն">դ</a></li><li class="nv-talk"><a href="/w/index.php?title=%D4%BF%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D6%80%D5%AB_%D6%84%D5%B6%D5%B6%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4:%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Կաղապարի քննարկում:Թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">ք</a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=%D4%BF%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D6%80:%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit">խ</a></li></ul></div><div style="font-size:114%"><a href="/wiki/%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Թվերի տեսություն">Թվերի տեսություն</a></div></th></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group">Ոլորտներ</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հանրահաշվական թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Հանրահաշվական թվերի տեսություն</a> (<a href="/w/index.php?title=%D4%B4%D5%A1%D5%BD%D5%AB_%D5%A4%D5%A1%D5%B7%D5%BF%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Դասի դաշտի տեսություն (դեռ գրված չէ)">դասի դաշտի տեսություն</a>, <a href="/w/index.php?title=%D5%88%D5%B9_%D5%A1%D5%A2%D5%A5%D5%AC%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%A4%D5%A1%D5%BD%D5%AB_%D5%A4%D5%A1%D5%B7%D5%BF%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ոչ աբելյան դասի դաշտի տեսություն (դեռ գրված չէ)">ոչ աբելյան դասի դաշտի տեսություն</a>, <a href="/w/index.php?title=%D4%BB%D5%BE%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Իվասավայի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Իվասավայի տեսություն</a>, <a href="/w/index.php?title=%D4%BB%D5%BE%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D5%BE%D5%A1-%D4%B9%D5%A5%D5%B5%D5%A9%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Իվասավա-Թեյթի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Իվասավա-Թեյթի տեսություն</a>, <a href="/w/index.php?title=%D4%BF%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Կումերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Կումերի տեսություն</a>)</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%BF%D5%AB%D5%AF_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Անալիտիկ թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Անալիտիկ թվերի տեսություն</a> (<a href="/w/index.php?title=L-%D6%86%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%A1%D5%AB%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="L-ֆունկցաիներ (դեռ գրված չէ)">L-ֆունկցիաների անալիտիկ տեսություն</a>, <a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հավանականական թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">հավանականական թվերի տեսություն</a>, <a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%A1%D5%B2%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մաղերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">մաղերի տեսություն</a>)</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Թվերի երկրաչափություն (դեռ գրված չէ)">Թվերի երկրաչափություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%B8%D5%B2%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հաշվողական թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Հաշվողական թվերի տեսություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%8F%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%BD%D6%81%D5%A5%D5%B6%D5%A4%D5%A5%D5%B6%D5%BF%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Տրանսցենդենտալ թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Տրանսցենդենտալ թվերի տեսություն</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B4%D5%AB%D5%B8%D6%86%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Դիոֆանտյան երկրաչափություն (դեռ գրված չէ)">Դիոֆանտյան երկրաչափություն</a> (<a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%BC%D5%A1%D6%84%D5%A5%D5%AC%D5%B8%D5%BE%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Առաքելովի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Առաքելովի տեսություն</a>, <a href="/w/index.php?title=%D5%80%D5%B8%D5%BB-%D4%B1%D5%BC%D5%A1%D6%84%D5%A5%D5%AC%D5%B8%D5%BE%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Հոջ-Առաքելովի տեսություն (դեռ գրված չէ)">Հոջ-Առաքելովի տեսություն</a>)</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%AF%D5%B8%D5%B4%D5%A2%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%AF%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Թվաբանական կոմբինատորիկա (դեռ գրված չէ)">Թվաբանական կոմբինատորիկա</a> (<a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%A4%D5%AB%D5%BF%D5%AB%D5%BE_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ադիտիվ թվերի տեսություն (դեռ գրված չէ)">ադիտիվ թվերի տեսություն</a>)</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Թվաբանական երկրաչափություն (դեռ գրված չէ)">Թվաբանական երկրաչափություն</a> (<a href="/w/index.php?title=%D4%B1%D5%B6%D5%A1%D5%A2%D5%A5%D5%AC%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Անաբելյան երկրաչափություն (դեռ գրված չէ)">անաբելյան երկրաչափություն</a>, <a href="/w/index.php?title=P-%D5%A1%D5%A4%D5%AB%D5%AF_%D5%80%D5%B8%D5%BB%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="P-ադիկ Հոջի տեսություն (դեռ գրված չէ)">P-ադիկ Հոջի տեսություն</a>)</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%B8%D5%BA%D5%B8%D5%AC%D5%B8%D5%A3%D5%AB%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Թվաբանական տոպոլոգիա (դեռ գրված չէ)">Թվաբանական տոպոլոգիա</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A4%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%B4%D5%AB%D5%AF%D5%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Թվաբանական դինամիկա (դեռ գրված չէ)">Թվաբանական դինամիկա</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group">Հիմնական հասկացություններ</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D4%B9%D5%AB%D5%BE" title="Թիվ">Թվեր</a></li> <li><a href="/wiki/0_(%D5%A9%D5%AB%D5%BE)" title="0 (թիվ)">0</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B2%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բնական թիվ">Բնական թվեր</a></li> <li><a href="/wiki/1_(%D5%A9%D5%AB%D5%BE)" class="mw-redirect" title="1 (թիվ)">Միավոր</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%8A%D5%A1%D6%80%D5%A6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Պարզ թիվ">Պարզ թվեր</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%B2%D5%A1%D5%A4%D6%80%D5%B5%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Բաղադրյալ թիվ">Բաղադրյալ թվեր</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Ռացիոնալ թիվ">Ռացիոնալ թվեր</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%BB%D5%BC%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իռացիոնալ թիվ">Իռացիոնալ թվեր</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Հանրահաշվական թիվ">Հանրահաշվական թվեր</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%8F%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%BD%D6%81%D5%A5%D5%B6%D5%A4%D5%A5%D5%B6%D5%BF_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80" title="Տրանսցենդենտ թվեր">Տրանսցենդենտ թվեր</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=P-%D5%A1%D5%A4%D5%AB%D5%AF_%D5%A9%D5%BE%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="P-ադիկ թվեր (դեռ գրված չէ)">P-ադիկ թվեր</a> (<a href="/w/index.php?title=P-%D5%A1%D5%A4%D5%AB%D5%AF_%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AC%D5%AB%D5%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="P-ադիկ անալիզ (դեռ գրված չէ)">P-ադիկ անալիզ</a>)</li> <li><a class="mw-selflink selflink">Թվաբանություն</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%84%D5%B8%D5%A4%D5%B8%D6%82%D5%AC%D5%A1%D6%80_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE" title="Մոդուլար հանրահաշիվ">Մոդուլար հանրահաշիվ</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%84%D5%B6%D5%A1%D6%81%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%B4%D5%A1%D5%BD%D5%AB%D5%B6_%D5%B9%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%A5%D5%B8%D6%80%D5%A5%D5%B4" title="Մնացորդների մասին չինական թեորեմ">Մնացորդների մասին չինական թեորեմ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%86%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Թվաբանական ֆունկցիաներ (դեռ գրված չէ)">Թվաբանական ֆունկցիաներ</a></li></ul> </div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group">Այլ</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D5%94%D5%A1%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B1%D6%87%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Քատակուսային ձևեր (դեռ գրված չէ)">Քատակուսային ձևեր</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D5%84%D5%B8%D5%A4%D5%B8%D6%82%D5%AC%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B1%D6%87%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Մոդուլային ձևեր (դեռ գրված չէ)">Մոդուլային ձևեր</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=L-%D6%86%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="L-ֆունկցիաներ (դեռ գրված չէ)">L-ֆունկցիաներ</a></li> <li><a href="/wiki/%D4%B4%D5%AB%D5%B8%D6%86%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Դիոֆանտյան հավասարում">Դիոֆանտյան հավասարում</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D4%B4%D5%AB%D5%B8%D6%86%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%B4%D5%B8%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Դիոֆանտյան մոտարկում (դեռ գրված չէ)">Դիոֆանտյան մոտարկում</a></li> <li><a href="/wiki/%D5%87%D5%B2%D5%A9%D5%A1%D5%B5%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%AF%D5%B8%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF" title="Շղթայական կոտորակ">Շղթայական կոտորակներ</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ստացված է «<a dir="ltr" href="https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Թվաբանություն&oldid=9736922">https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Թվաբանություն&oldid=9736922</a>» էջից</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B8%D5%B2:%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%A8" title="Սպասարկող:Կատեգորիաները">Կատեգորիաներ</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:%D4%B1%D5%B8%D6%82%D5%A4%D5%AB%D5%B8_%D5%B0%D5%B8%D5%A4%D5%BE%D5%A1%D5%AE%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Կատեգորիա:Աուդիո հոդվածներ">Աուդիո հոդվածներ</a></li><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Կատեգորիա:Թվաբանություն">Թվաբանություն</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Թաքցված կատեգորիաներ: <ul><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:CS1_%D5%BD%D5%BA%D5%A1%D5%BD%E2%80%A4_location_missing_publisher" title="Կատեգորիա:CS1 սպաս․ location missing publisher">CS1 սպաս․ location missing publisher</a></li><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:CS1_%D5%BC%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6_%D5%A1%D5%B2%D5%A2%D5%B5%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%B8%D5%BE_%D5%A7%D5%BB%D5%A5%D6%80_(ru)" title="Կատեգորիա:CS1 ռուսերեն աղբյուրներով էջեր (ru)">CS1 ռուսերեն աղբյուրներով էջեր (ru)</a></li><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:CS1_%D5%A1%D5%B6%D5%A3%D5%AC%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6_%D5%A1%D5%B2%D5%A2%D5%B5%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%B8%D5%BE_%D5%A7%D5%BB%D5%A5%D6%80_(en)" title="Կատեգորիա:CS1 անգլերեն աղբյուրներով էջեր (en)">CS1 անգլերեն աղբյուրներով էջեր (en)</a></li><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:Pages_using_ISBN_magic_links" title="Կատեգորիա:Pages using ISBN magic links">Pages using ISBN magic links</a></li><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:%D5%86%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%A5%D6%80_%D5%80%D5%A1%D5%B5%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BD%D5%B8%D5%BE%D5%A5%D5%BF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D6%81" title="Կատեգորիա:Նյութեր Հայկական սովետական հանրագիտարանից">Նյութեր Հայկական սովետական հանրագիտարանից</a></li><li><a href="/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1:%D5%89%D5%BD%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%A3%D5%BE%D5%A1%D5%AE_%D5%B0%D5%B8%D5%A4%D5%BE%D5%A1%D5%AE%D5%B6%D5%A5%D6%80_%D5%A1%D5%A6%D5%A1%D5%BF_%D5%A1%D5%B2%D5%A2%D5%B5%D5%B8%D6%82%D6%80%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB%D6%81" title="Կատեգորիա:Չստուգված հոդվածներ ազատ աղբյուրներից">Չստուգված հոդվածներ ազատ աղբյուրներից</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Այս էջը վերջին անգամ փոփոխվել է 5 Ապրիլի 2024-ի ժամը 09:32-ին:</li> <li id="footer-info-copyright">Տեքստը հասանելի է <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.hy">Քրիեյթիվ Քոմոնս Հղման-Համանման տարածման</a> թույլատրագրի ներքո, առանձին դեպքերում հնարավոր են հավելյալ պայմաններ։ Մանրամասնությունների համար այցելեք՝ <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">Օգտագործման պայմաններ</a>։</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Գաղտնիության քաղաքականություն</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D6%84%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%A1:%D4%B7%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A8">Վիքիպեդիայի մասին</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D5%8E%D5%AB%D6%84%D5%AB%D5%BA%D5%A5%D5%A4%D5%AB%D5%A1:%D4%B1%D5%A6%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%B4_%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%A1%D5%BD%D5%AD%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%BF%D5%BE%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AB%D6%81">Հրաժարագրեր</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Code of Conduct</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Ծրագրավորողներ</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/hy.wikipedia.org">Վիճակագրություն</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Cookie statement</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//hy.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Տեսքը բջջայինով</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-78f4c97c5d-lfrfk","wgBackendResponseTime":212,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"1.229","walltime":"1.826","ppvisitednodes":{"value":14947,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":133084,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":28712,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":8,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":4,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":136511,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 820.229 1 -total"," 32.93% 270.139 1 Կաղապար:Ծանցանկ"," 23.02% 188.799 1 Կաղապար:Արտաքին_հղումներ"," 20.54% 168.444 126 Կաղապար:Sfn"," 13.85% 113.596 1 Կաղապար:ВТ-ЭСБЕ"," 13.42% 110.043 1 Կաղապար:Cite_book"," 10.28% 84.284 1 Կաղապար:Քույրհղումներ"," 7.32% 60.009 13 Կաղապար:Cite_web"," 3.90% 32.021 20 Կաղապար:Ռուսերեն_գիրք"," 2.54% 20.816 1 Կաղապար:Աուդիո_հոդված"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.231","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":5199999,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-6f4956b788-wjzjj","timestamp":"20241128184328","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0539\u057e\u0561\u0562\u0561\u0576\u0578\u0582\u0569\u0575\u0578\u0582\u0576","url":"https:\/\/hy.wikipedia.org\/wiki\/%D4%B9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11205","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11205","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2014-06-12T18:54:28Z","dateModified":"2024-04-05T09:32:40Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/0\/0c\/Arithmetria.jpg"}</script> </body> </html>