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class="mw-page-title-main">Teoría del aprendizaje estadístico</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 10 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-10" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">10 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_l%27aprenentatge_estad%C3%ADstic" title="Teoria de l'aprenentatge estadístic (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Teoria de l'aprenentatge estadístic" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_learning_theory" title="Statistical learning theory (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Statistical learning theory" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%D9%87_%DB%8C%D8%A7%D8%AF%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C_%D8%A2%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="نظریه یادگیری آماری (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نظریه یادگیری آماری" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_l%27apprentissage_statistique" title="Théorie de l'apprentissage statistique (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Théorie de l'apprentissage statistique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Aprendizaxe_estat%C3%ADstica" title="Aprendizaxe estatística (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Aprendizaxe estatística" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dell%27apprendimento_statistico" title="Teoria dell'apprendimento statistico (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Teoria dell'apprendimento statistico" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%86%B5%EA%B3%84%EC%A0%81_%ED%95%99%EC%8A%B5%EC%9D%B4%EB%A1%A0" title="통계적 학습이론 (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="통계적 학습이론" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" title="Статистическая теория обучения (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Статистическая теория обучения" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B2%D1%87%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Теорія статистичного навчання (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Теорія статистичного навчання" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%90%86%E8%AE%BA" title="统计学习理论 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="统计学习理论" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q7604400#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discusi%C3%B3n:Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico" rel="discussion" title="Discusión acerca de la página [t]" accesskey="t"><span>Discusión</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input 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id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico"><span>Leer</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit" title="Editar esta página [e]" accesskey="e"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=history" title="Versiones anteriores de esta página [h]" accesskey="h"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " 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</div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apariencia"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apariencia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="es" dir="ltr"><p>La <b>teoría del aprendizaje estadístico</b> es un marco para el <a href="/wiki/Aprendizaje_autom%C3%A1tico" title="Aprendizaje automático">aprendizaje automático</a> basado en los campos de la <a href="/wiki/Estad%C3%ADstica" title="Estadística">estadística</a> y el <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_funcional" title="Análisis funcional">análisis funcional</a>.<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> La teoría del aprendizaje estadístico aborda el problema de la <a href="/wiki/Inferencia_estad%C3%ADstica" class="mw-redirect" title="Inferencia estadística">inferencia estadística</a> para encontrar una función predictiva basada en datos. La teoría del aprendizaje estadístico ha dado lugar a aplicaciones de éxito en campos como la <a href="/wiki/Visi%C3%B3n_por_computadora" class="mw-redirect" title="Visión por computadora">visión por computadora</a>, el <a href="/wiki/Reconocimiento_del_habla" title="Reconocimiento del habla">reconocimiento del habla</a> y la <a href="/wiki/Bioinform%C3%A1tica" title="Bioinformática">bioinformática</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Introducción"><span id="Introducci.C3.B3n"></span>Introducción</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=1" title="Editar sección: Introducción"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Los objetivos del aprendizaje son la comprensión y la predicción. El aprendizaje se divide en muchas categorías: <a href="/wiki/Aprendizaje_supervisado" title="Aprendizaje supervisado">aprendizaje supervisado</a>, <a href="/wiki/Aprendizaje_no_supervisado" title="Aprendizaje no supervisado">aprendizaje no supervisado</a>, <a href="/wiki/Aprendizaje_autom%C3%A1tico_online" title="Aprendizaje automático online">aprendizaje online</a> y <a href="/wiki/Aprendizaje_por_refuerzo" title="Aprendizaje por refuerzo">aprendizaje por refuerzo</a>. Desde el punto de vista de la teoría del aprendizaje estadístico, el aprendizaje supervisado es el que mejor se entiende.<sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Cada punto del entrenamiento es un par de entrada-salida, en el que la entrada se asigna a una salida. El problema de aprendizaje consiste en inferir la función que relaciona la entrada y la salida, de forma que la función aprendida pueda utilizarse para predecir la salida a partir de entradas futuras. </p><p>Dependiendo del tipo de salida, los problemas de aprendizaje supervisado son problemas de <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_de_regresi%C3%B3n" class="mw-redirect" title="Análisis de regresión">regresión</a> o problemas de <a href="/wiki/Clasificaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica" title="Clasificación estadística">clasificación</a>. Si la salida toma un rango continuo de valores, se trata de un problema de regresión. Utilizando la <a href="/wiki/Ley_de_Ohm" title="Ley de Ohm">ley de Ohm</a><sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> como ejemplo, se podría realizar una regresión con el voltaje como entrada y la corriente como salida. La regresión encontraría que la relación funcional entre el voltaje y la corriente es <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span>. de forma que: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=IR}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=IR}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3604da12028748671ffe4d4feef5d28092d455dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.821ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V=IR}"></span> </p><p>Los problemas de clasificación son aquellos para los que la salida será un elemento de un conjunto discreto de etiquetas. La clasificación es muy común en las aplicaciones de <a href="/wiki/Aprendizaje_autom%C3%A1tico" title="Aprendizaje automático">aprendizaje automático</a>.<sup id="cite_ref-6" class="reference separada"><a href="#cite_note-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> En el <a href="/wiki/Reconocimiento_facial" class="mw-redirect" title="Reconocimiento facial">reconocimiento facial</a>, por ejemplo, una imagen de la cara de una persona sería la entrada, y la etiqueta de salida sería el nombre de esa persona. La entrada estaría representada por un gran vector multidimensional cuyos elementos representan píxeles de la imagen. </p><p>Después de aprender una función basada en los datos del conjunto de entrenamiento, esa función se valida en un conjunto de datos de prueba, datos que no aparecían en el conjunto de entrenamiento. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Descripción_formal"><span id="Descripci.C3.B3n_formal"></span>Descripción formal</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=2" title="Editar sección: Descripción formal"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Tomemos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> como el <a href="/wiki/Espacio_vectorial" title="Espacio vectorial">espacio vectorial</a> de todas las entradas posibles, e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"></span> el espacio vectorial de todos los resultados posibles. La teoría del aprendizaje estadístico adopta la perspectiva de que existe una <a href="/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad" title="Distribución de probabilidad">distribución de probabilidad</a> desconocida sobre el espacio producto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z=X\times Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z=X\times Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8af2c76ff03cd3f68caf3caeb6792ee1f7f0898" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.373ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z=X\times Y}"></span>, es decir, existe algún <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(z)=p(\mathbf {x} ,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(z)=p(\mathbf {x} ,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c704460665b747120681c106295d0da61293785c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:13.834ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(z)=p(\mathbf {x} ,y)}"></span> desconocido. El conjunto de entrenamiento está formado por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> muestras de esta distribución de probabilidad, y se anota como sigue: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=\{(\mathbf {x} _{1},y_{1}),\dots ,(\mathbf {x} _{n},y_{n})\}=\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\{(\mathbf {x} _{1},y_{1}),\dots ,(\mathbf {x} _{n},y_{n})\}=\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{n}\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33954c602a5a8ccf3e07b5b2256f34ffa5318e18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.683ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S=\{(\mathbf {x} _{1},y_{1}),\dots ,(\mathbf {x} _{n},y_{n})\}=\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{n}\}}"></span> </p><p>Cada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d2ef3df60acdb53bdf90535264041fea7231cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.211ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}"></span> es un vector de entrada de los datos de entrenamiento, y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}"></span> es la salida que le corresponde. </p><p>En este formalismo, el problema de inferencia consiste en encontrar una función <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd1e080abef4bbdab67b43819c6431e7561361c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.583ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:X\to Y}"></span> de forma que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbf {x} )\sim y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbf {x} )\sim y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ac7bedf6ebac4305c85bde271d3b23b0138cce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.753ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbf {x} )\sim y}"></span>. Dejemos que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}"></span> sea un espacio de funciones <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd1e080abef4bbdab67b43819c6431e7561361c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.583ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:X\to Y}"></span> llamado espacio de hipótesis. El espacio de hipótesis es el espacio de funciones en el que buscará el algoritmo. Que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbdb2953af23ba01b14b02ede49bd669c083951" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.285ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)}"></span> sea la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_p%C3%A9rdida" title="Función de pérdida">función de pérdida</a>, una métrica de la diferencia entre el valor previsto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbf {x} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbf {x} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41ea95e6949bf4cef6426116364ba87e0fdcd60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.499ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbf {x} )}"></span> y el valor real de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>. El <a href="/w/index.php?title=Riesgo_esperado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Riesgo esperado (aún no redactado)">riesgo esperado</a> se define como: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I[f]=\int _{X\times Y}V(f(\mathbf {x} ),y)\,p(\mathbf {x} ,y)\,d\mathbf {x} \,dy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I[f]=\int _{X\times Y}V(f(\mathbf {x} ),y)\,p(\mathbf {x} ,y)\,d\mathbf {x} \,dy}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be717b736e7349fbe4ad1207ade5c8aba5a97cd1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.71ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle I[f]=\int _{X\times Y}V(f(\mathbf {x} ),y)\,p(\mathbf {x} ,y)\,d\mathbf {x} \,dy}"></span> </p><p>La función objetivo, la mejor función posible de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> que se puede elegir, viene dada por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> que cumple con: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\mathop {\operatorname {argmin} } _{h\in {\mathcal {H}}}I[h]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mi>argmin</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\mathop {\operatorname {argmin} } _{h\in {\mathcal {H}}}I[h]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dc25e9204a41920420cc566f5be8782cb4a026" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.68ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle f=\mathop {\operatorname {argmin} } _{h\in {\mathcal {H}}}I[h]}"></span> </p><p>Dado que la distribución de probabilidad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(\mathbf {x} ,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(\mathbf {x} ,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ef4716085097a178c573e4d44df42ffc6f7fb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:6.669ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(\mathbf {x} ,y)}"></span> es desconocida, debe utilizarse una medida aproximada del riesgo esperado. Esta medida se basa en el conjunto de entrenamiento, una muestra de esta distribución de probabilidad desconocida. <a href="/w/index.php?title=Riesgo_emp%C3%ADrico&action=edit&redlink=1" class="new" title="Riesgo empírico (aún no redactado)">Riesgo empírico</a> se denomina de la siguiente forma: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{S}[f]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f(\mathbf {x} _{i}),y_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{S}[f]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f(\mathbf {x} _{i}),y_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164fc2e9b0973c182108c554809e86f6d0f6df0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.214ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle I_{S}[f]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f(\mathbf {x} _{i}),y_{i})}"></span> </p><p>Un algoritmo de aprendizaje que elige la función <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{S}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{S}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b44c97f83aebb50c3fd26b567ff9b005dc7b82b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.432ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{S}}"></span> que minimiza el riesgo empírico se denomina <a href="/w/index.php?title=Minimizaci%C3%B3n_emp%C3%ADrica_del_riesgo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Minimización empírica del riesgo (aún no redactado)">minimización empírica del riesgo</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funciones_de_pérdida"><span id="Funciones_de_p.C3.A9rdida"></span>Funciones de pérdida</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=3" title="Editar sección: Funciones de pérdida"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La elección de la función de pérdida es un factor determinante de la función <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{S}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{S}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b44c97f83aebb50c3fd26b567ff9b005dc7b82b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.432ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{S}}"></span> que elegirá el algoritmo de aprendizaje. La función de pérdida también afecta a la tasa de convergencia de un algoritmo. Es importante que la función de pérdida sea <a href="/wiki/Convexa" class="mw-redirect" title="Convexa">convexa</a>.<sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Se utilizan diferentes funciones de pérdida según se trate de un problema de regresión o de clasificación. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Regresión"><span id="Regresi.C3.B3n"></span>Regresión</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=4" title="Editar sección: Regresión"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La función de pérdida más común para la regresión es la función de pérdida cuadrada (también conocida como <a href="/wiki/Norma_(matematicas)" class="mw-redirect" title="Norma (matematicas)">norma</a> L2). Esta conocida función de pérdida se utiliza en la regresión por <a href="/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados_ordinarios" title="Mínimos cuadrados ordinarios">mínimos cuadrados ordinarios</a>. La forma es: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=(y-f(\mathbf {x} ))^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=(y-f(\mathbf {x} ))^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014a62fd5bd919d8a4d2dbbf4b85111b2ed67364" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.742ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=(y-f(\mathbf {x} ))^{2}}"></span> </p><p>A veces también se utiliza la pérdida de valor absoluto (también conocida como <a href="/wiki/Espacios_Lp" title="Espacios Lp">norma L1</a>): </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=|y-f(\mathbf {x} )|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=|y-f(\mathbf {x} )|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5126dea76201bc7d549d2168660a4b105876c7fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.172ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=|y-f(\mathbf {x} )|}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Clasificación"><span id="Clasificaci.C3.B3n"></span>Clasificación</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=5" title="Editar sección: Clasificación"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Clasificaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica" title="Clasificación estadística"> Clasificación estadística</a></i></div> <p>En cierto sentido, la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_caracter%C3%ADstica" title="Función característica">función indicadora</a> 0-1 es la función de pérdida más natural para la clasificación. Toma el valor 0 si la salida predicha es la misma que la salida real, y toma el valor 1 si la salida predicha es diferente de la salida real. Para la clasificación binaria con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=\{-1,1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=\{-1,1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4916f8d7711119d44385e1d2f628cc139de2c953" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Y=\{-1,1\}}"></span>, se usa la siguiente fórmula: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=\theta (-yf(\mathbf {x} ))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=\theta (-yf(\mathbf {x} ))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30470ac033b574646bfdcf222f0ccf52eb7e0128" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.746ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(f(\mathbf {x} ),y)=\theta (-yf(\mathbf {x} ))}"></span> </p><p>Donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> es la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_escal%C3%B3n_de_Heaviside" title="Función escalón de Heaviside">función escalón de Heaviside</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Regularización"><span id="Regularizaci.C3.B3n"></span>Regularización</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=6" title="Editar sección: Regularización"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Overfitting_on_Training_Set_Data.pdf" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Overfitting_on_Training_Set_Data.pdf/page1-220px-Overfitting_on_Training_Set_Data.pdf.jpg" decoding="async" width="220" height="215" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Overfitting_on_Training_Set_Data.pdf/page1-330px-Overfitting_on_Training_Set_Data.pdf.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Overfitting_on_Training_Set_Data.pdf/page1-440px-Overfitting_on_Training_Set_Data.pdf.jpg 2x" data-file-width="760" data-file-height="743" /></a><figcaption>Esta imagen representa un ejemplo de sobreajuste en el aprendizaje automático. Los puntos rojos representan los datos del conjunto de entrenamiento. La línea verde representa la verdadera relación funcional, mientras que la línea azul muestra la función aprendida, que se ha sobreajustado a los datos del conjunto de entrenamiento.</figcaption></figure> <p>En los problemas de aprendizaje automático, uno de los principales problemas que surgen es el del <a href="/wiki/Sobreajuste" title="Sobreajuste">sobreajuste</a>. Dado que el aprendizaje es un problema de predicción, el objetivo no es encontrar una función que se ajuste lo más posible a los datos (previamente observados), sino encontrar una que prediga con la mayor exactitud la salida a partir de la entrada futura. La <a href="/w/index.php?title=Minimizaci%C3%B3n_emp%C3%ADrica_del_riesgo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Minimización empírica del riesgo (aún no redactado)">minimización empírica del riesgo</a> corre este riesgo de sobreajuste: encontrar una función que se ajuste exactamente a los datos pero que no prediga bien el resultado futuro. </p><p>El sobreajuste es síntoma de soluciones inestables; una pequeña perturbación en los datos del conjunto de entrenamiento provocaría una gran variación en la función aprendida. Se puede demostrar que si se puede garantizar la estabilidad de la solución, también se garantizan la generalización y la coherencia.<sup id="cite_ref-8" class="reference separada"><a href="#cite_note-8"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-9" class="reference separada"><a href="#cite_note-9"><span class="corchete-llamada">[</span>9<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> La <a href="/wiki/Regularizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)" title="Regularización (matemáticas)">regularización</a> puede resolver el problema del sobreajuste y dar estabilidad al problema. </p><p>La regularización puede lograrse restringiendo el espacio de hipótesis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}"></span>. Un ejemplo común sería restringir <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}"></span> a funciones lineales: esto puede verse como una reducción al problema estándar de la <a href="/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal" title="Regresión lineal">regresión lineal</a>. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}"></span> también podría restringirse a polinomios de grado <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span>, exponenciales o funciones acotadas en L1. La restricción del espacio de hipótesis evita el sobreajuste porque la forma de las funciones potenciales es limitada y, por tanto, no permite elegir una función que dé un riesgo empírico arbitrariamente cercano a cero. </p><p>Un ejemplo de regularización es la <a href="/wiki/Regularizaci%C3%B3n_de_T%C3%ADjonov" title="Regularización de Tíjonov">regularización de Tíjonov</a>. Consiste en minimizar: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f(\mathbf {x} _{i}),y_{i})+\gamma \left\|f\right\|_{\mathcal {H}}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <msubsup> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mi>f</mi> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f(\mathbf {x} _{i}),y_{i})+\gamma \left\|f\right\|_{\mathcal {H}}^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4877bd4e8bb2029a7645f5086068da3acdc039" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:27.555ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f(\mathbf {x} _{i}),y_{i})+\gamma \left\|f\right\|_{\mathcal {H}}^{2}}"></span> </p><p>Donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }"></span> es un parámetro fijo y positivo, el parámetro de regularización. La <a href="/wiki/Regularizaci%C3%B3n_de_T%C3%ADjonov" title="Regularización de Tíjonov">regularización de Tíjonov</a> garantiza la existencia, unicidad y estabilidad de la solución.<sup id="cite_ref-10" class="reference separada"><a href="#cite_note-10"><span class="corchete-llamada">[</span>10<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Limitación_del_riesgo_empírico"><span id="Limitaci.C3.B3n_del_riesgo_emp.C3.ADrico"></span>Limitación del riesgo empírico</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=7" title="Editar sección: Limitación del riesgo empírico"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si consideramos un clasificador binario <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to \{0,1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to \{0,1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a3095714a7f4a6074b709304da2acfbb3de446" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to \{0,1\}}"></span>, podemos aplicar la <a href="/wiki/Desigualdad_de_Hoeffding" title="Desigualdad de Hoeffding">desigualdad de Hoeffding</a> para limitar la probabilidad de que el riesgo empírico se desvíe del riesgo real a una <a href="/wiki/Distribuci%C3%B3n_gaussiana" class="mw-redirect" title="Distribución gaussiana">distribución subgaussiana</a>. </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} (|{\hat {R}}(f)-R(f)|\geq \epsilon )\leq 2e^{-2n\epsilon ^{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≥</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <msup> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} (|{\hat {R}}(f)-R(f)|\geq \epsilon )\leq 2e^{-2n\epsilon ^{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be75f3258470e8e709fcc5d47bb0eacf6f01c8ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.273ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} (|{\hat {R}}(f)-R(f)|\geq \epsilon )\leq 2e^{-2n\epsilon ^{2}}}"></span> </p><p>Pero, por lo general, cuando hacemos minimización empírica del riesgo, no se nos da un clasificador; debemos elegirlo. Por lo tanto, un resultado más útil es acotar la probabilidad del sumo de la diferencia sobre toda la clase. </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} {\bigg (}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}|{\hat {R}}(f)-R(f)|\geq \epsilon {\bigg )}\leq 2S({\mathcal {F}},n)e^{-n\epsilon ^{2}/8}\approx n^{d}e^{-n\epsilon ^{2}/8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≥</mo> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>≤</mo> <mn>2</mn> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <msup> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <msup> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>8</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} {\bigg (}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}|{\hat {R}}(f)-R(f)|\geq \epsilon {\bigg )}\leq 2S({\mathcal {F}},n)e^{-n\epsilon ^{2}/8}\approx n^{d}e^{-n\epsilon ^{2}/8}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cd79cf65a158c66b624582a268f88ccb28a4cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:57.955ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} {\bigg (}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}|{\hat {R}}(f)-R(f)|\geq \epsilon {\bigg )}\leq 2S({\mathcal {F}},n)e^{-n\epsilon ^{2}/8}\approx n^{d}e^{-n\epsilon ^{2}/8}}"></span> </p><p>Donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S({\mathcal {F}},n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S({\mathcal {F}},n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ce7e26365872067e470c2042be9ad7446a6ad5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.664ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S({\mathcal {F}},n)}"></span> es el número de fragmentación y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> es el número de muestras del conjunto de datos. El término exponencial procede de Hoeffding, pero hay un coste adicional por tomar el supremo sobre toda la clase, que es el número de fragmentación. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=8" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/N%C3%BAcleo_definido_positivo" title="Núcleo definido positivo">Núcleo definido positivo</a></li> <li><a href="/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Rademacher" title="Distribución de Rademacher">Distribución de Rademacher</a></li> <li><a href="/wiki/Dimensi%C3%B3n_VC" title="Dimensión VC">Dimensión VC</a></li> <li><a href="/wiki/Dilema_sesgo-varianza" title="Dilema sesgo-varianza">Dilema sesgo-varianza</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_aprendizaje_estad%C3%ADstico&action=edit&section=9" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFVapnik,_Vladimir_N.1995" class="citation publicación">Vapnik, Vladimir N. (1995). «The Nature of Statistical Learning Theory». <i>New York: Springer</i>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-1-475-72440-0" title="Especial:FuentesDeLibros/978-1-475-72440-0">978-1-475-72440-0</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ATeor%C3%ADa+del+aprendizaje+estad%C3%ADstico&rft.atitle=The+Nature+of+Statistical+Learning+Theory&rft.au=Vapnik%2C+Vladimir+N.&rft.aulast=Vapnik%2C+Vladimir+N.&rft.date=1995&rft.genre=article&rft.isbn=978-1-475-72440-0&rft.jtitle=New+York%3A+Springer&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFHastie,_Trevor;_Tibshirani,_Robert;_Friedman,_Jerome_H.2009" class="citation publicación">Hastie, Trevor; Tibshirani, Robert; Friedman, Jerome H. (2009). «The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction.». <i>Springer Series in Statistics. 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Consultado el 5 de junio de 2024</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ATeor%C3%ADa+del+aprendizaje+estad%C3%ADstico&rft.atitle=Learning+theory%3A+stability+is+sufficient+for+generalization+and+necessary+and+sufficient+for+consistency+of+empirical+risk+minimization&rft.au=Mukherjee%2C+Sayan&rft.au=Niyogi%2C+Partha&rft.au=Poggio%2C+Tomaso&rft.au=Rifkin%2C+Ryan&rft.aufirst=Sayan&rft.aulast=Mukherjee&rft.date=2006-07-01&rft.genre=article&rft.issn=1572-9044&rft.issue=1&rft.jtitle=Advances+in+Computational+Mathematics&rft.pages=161-193&rft.volume=25&rft_id=https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.1007%2Fs10444-004-7634-z&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2Fs10444-004-7634-z&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFTomaso_Poggio,_Lorenzo_Rosasco,_et_al.2012" class="citation publicación">Tomaso Poggio, Lorenzo Rosasco, et al. 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text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q7604400" class="extiw" title="wikidata:Q7604400">Q7604400</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q7604400" class="extiw" title="wikidata:Q7604400">Q7604400</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; 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