Fuerza de marea - Wikipedia, la enciclopedia libre

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href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D9%88%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AF_%D9%88%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B2%D8%B1" title="قوة المد والجزر (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="قوة المد والجزر" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0" title="Приливна сила (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Приливна сила" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_de_marea" title="Força de marea (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Força de marea" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Slapov%C3%A1_s%C3%ADla" title="Slapová síla (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Slapová síla" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%83%D0%BB%C4%83%D0%BC%D0%BB%D0%B0_%D0%B2%C4%83%D0%B9%D1%81%D0%B5%D0%BC" title="Тулăмла вăйсем (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Тулăмла вăйсем" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Tidevandskraft" title="Tidevandskraft (danés)" lang="da" hreflang="da" data-title="Tidevandskraft" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gezeitenkraft" title="Gezeitenkraft (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Gezeitenkraft" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B1%CE%BB%CE%B9%CF%81%CF%81%CE%BF%CF%8A%CE%BA%CE%AD%CF%82_%CE%B4%CF%85%CE%BD%CE%AC%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%82" title="Παλιρροϊκές δυνάμεις (griego)" lang="el" hreflang="el" data-title="Παλιρροϊκές δυνάμεις" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="griego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tidal_force" title="Tidal force (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Tidal force" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Tajda_forto" title="Tajda forto (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Tajda forto" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Itsasaldiaren_indar" title="Itsasaldiaren indar (euskera)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Itsasaldiaren indar" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%DB%8C%D8%B1%D9%88%DB%8C_%DA%A9%D8%B4%D9%86%D8%AF%DB%8C" title="نیروی کشندی (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نیروی کشندی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Vuorovesivoima" title="Vuorovesivoima (finés)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Vuorovesivoima" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Force_de_mar%C3%A9e" title="Force de marée (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Force de marée" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%95%D7%97_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%AA" title="כוח גאות (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="כוח גאות" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%9C%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A4%AD%E0%A4%BE%E0%A4%9F%E0%A4%BE_%E0%A4%AC%E0%A4%B2" title="ज्वारभाटा बल (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="ज्वारभाटा बल" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Plimna_sila" title="Plimna sila (croata)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Plimna sila" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ig mw-list-item"><a href="https://ig.wikipedia.org/wiki/Ike_ebili_mmiri" title="Ike ebili mmiri (igbo)" lang="ig" hreflang="ig" data-title="Ike ebili mmiri" data-language-autonym="Igbo" data-language-local-name="igbo" class="interlanguage-link-target"><span>Igbo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_marea" title="Forza di marea (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Forza di marea" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BD%AE%E6%B1%90%E5%8A%9B" title="潮汐力 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="潮汐力" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" 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class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0" title="Плимна сила (macedonio)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Плимна сила" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedonio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Daya_pasang_surut" title="Daya pasang surut (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Daya pasang surut" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Getijdenveld" title="Getijdenveld (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Getijdenveld" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Tidvasskraft" title="Tidvasskraft (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Tidvasskraft" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Tidekraft" title="Tidekraft (noruego bokmal)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Tidekraft" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruego bokmal" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Si%C5%82a_p%C5%82ywowa" title="Siła pływowa (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Siła pływowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_de_mar%C3%A9" title="Força de maré (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Força de maré" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/For%C8%9B%C4%83_mareic%C4%83" title="Forță mareică (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Forță mareică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8B" title="Приливные силы (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Приливные силы" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Plimna_sila" title="Plimna sila (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Plimna sila" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Tidal_force" title="Tidal force (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Tidal force" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Slapy_(astrofyzika)" title="Slapy (astrofyzika) (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Slapy (astrofyzika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Plimska_sila" title="Plimska sila (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Plimska sila" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Plimska_sila" title="Plimska sila (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Plimska sila" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Tidvattenkrafter" title="Tidvattenkrafter (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Tidvattenkrafter" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B3%E0%B8%82%E0%B8%B6%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%A5%E0%B8%87" title="แรงน้ำขึ้นลง (tailandés)" lang="th" hreflang="th" data-title="แรงน้ำขึ้นลง" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandés" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Gelgit_kuvveti" title="Gelgit kuvveti (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Gelgit kuvveti" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B8" title="Припливні сили (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Припливні сили" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/L%E1%BB%B1c_th%E1%BB%A7y_tri%E1%BB%81u" title="Lực thủy triều (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Lực thủy triều" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%BD%AE%E6%B1%90%E5%8A%9B" title="潮汐力 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="潮汐力" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q223325#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fuerza_de_marea" title="Ver la 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href="/wiki/Marea" title="Marea">mareas</a>. Es el resultado de la <a href="/wiki/Gradiente_gravitatorio" title="Gradiente gravitatorio">diferencia de la fuerza gravitacional</a> que existe a lo largo del <a href="/wiki/Di%C3%A1metro" title="Diámetro">diámetro</a> de un cuerpo. Cuando un cuerpo de tamaño suficientemente grande es alterado por la fuerza gravitatoria de otro cuerpo a cierta distancia, la diferencia en la magnitud de la fuerza de gravedad entre el extremo cercano y el lejano puede ser grande. Este hecho altera la forma del cuerpo grande sin cambiar su <a href="/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Volumen (física)">volumen</a>. Suponiendo que inicialmente la forma era una <a href="/wiki/Esfera" title="Esfera">esfera</a>, la fuerza de marea tenderá a convertirla en un <a href="/wiki/Elipsoide" title="Elipsoide">elipsoide</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fuerzas_de_marea_en_el_sistema_Tierra-Luna">Fuerzas de marea en el sistema Tierra-Luna</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&action=edit&section=1" title="Editar sección: Fuerzas de marea en el sistema Tierra-Luna"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Efectos_de_la_gravedad_lunar">Efectos de la gravedad lunar</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&action=edit&section=2" title="Editar sección: Efectos de la gravedad lunar"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Fuerza_de_marea.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Fuerza_de_marea.svg/220px-Fuerza_de_marea.svg.png" decoding="async" width="220" height="279" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Fuerza_de_marea.svg/330px-Fuerza_de_marea.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Fuerza_de_marea.svg/440px-Fuerza_de_marea.svg.png 2x" data-file-width="225" data-file-height="285" /></a><figcaption>Un diagrama del sistema Tierra-Luna mostrando como la protuberancia de marea es empujada por el movimiento de rotación de la Tierra. Esta deformación ejerce un <a href="/wiki/Momento_de_fuerza" title="Momento de fuerza">torque</a> neto sobre la luna acelerándola mientras se ralentiza la rotación terrestre</figcaption></figure><p>La <a href="/wiki/Masa" title="Masa">masa</a> lunar representa una fracción apreciable del <a href="/wiki/Sistema_Tierra-Luna" title="Sistema Tierra-Luna">sistema Tierra-Luna</a>, un 1:81 aproximadamente. Debido a esto el sistema se comporta más como un <a href="/wiki/Planeta_doble" title="Planeta doble">planeta doble</a> que como un planeta con un satélite. El plano de la <a href="/wiki/%C3%93rbita" title="Órbita">órbita</a> lunar alrededor de la Tierra es casi coincidente con el plano de la órbita terrestre alrededor del <a href="/wiki/Sol" title="Sol">Sol</a> o plano de la <a href="/wiki/Ecl%C3%ADptica" title="Eclíptica">eclíptica</a>, y difiere notablemente del plano perpendicular al eje de <a href="/wiki/Rotaci%C3%B3n_de_la_Tierra" title="Rotación de la Tierra">rotación de la tierra</a> o <a href="/wiki/Ecuador_terrestre" title="Ecuador terrestre">plano ecuatorial</a>, que es lo que sucede habitualmente en el caso de otros satélites planetarios. </p><p>La masa de la <a href="/wiki/Luna" title="Luna">Luna</a> es suficientemente grande y está suficientemente cerca como para elevar <a href="/wiki/Marea" title="Marea">mareas</a> sobre la Tierra: las masas terrestres, y en particular el agua de los océanos, se abulta en los dos extremos de un eje que pasa por los centros de gravedad de la Tierra y la Luna. Este abultamiento sigue de cerca a la Luna en su órbita, pero la Tierra no está estática, sino que rota, completando un giro una vez al día. Esta rotación terrestre arrastra la posición del abultamiento, situándolo ligeramente por delante del eje entre la Tierra y la Luna. Como consecuencia de esta desviación, una cantidad considerable de la masa del abultamiento no se encuentra alineada con el eje Tierra-Luna, lo que ocasiona una atracción gravitatoria extra en la dirección perpendicular a la línea que une la Tierra y la Luna, y por tanto, creando un par de fuerzas entre la Tierra y la Luna. Este par está acelerando a la Luna en su órbita, y desacelerando la rotación de la Tierra. Como resultado de estos cambios el <a href="/wiki/D%C3%ADa" title="Día">día</a> medio solar, que nominalmente tiene 86400 segundos, se está volviendo progresivamente más largo, y su incremento es actualmente medible mediante <a href="/wiki/Reloj_at%C3%B3mico" title="Reloj atómico">relojes atómicos</a> de gran precisión. </p><p>Si se ignoran otros efectos, las fuerzas de marea llevarían finalmente a igualar el <a href="/wiki/Per%C3%ADodo_de_rotaci%C3%B3n" title="Período de rotación">periodo de rotación</a> de la Tierra con el período orbital de la Luna. En ese caso, la Luna estaría siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre. Esta situación de hecho ya se da en el sistema formado por <a href="/wiki/Plut%C3%B3n_(planeta_enano)" title="Plutón (planeta enano)">Plutón</a> y su satélite <a href="/wiki/Caronte_(sat%C3%A9lite)" title="Caronte (satélite)">Caronte</a>. En el caso del sistema terrestre la disminución de la velocidad de rotación es lo suficientemente lenta como para que esto no llegue a producirse: el continuo incremento de la radiación solar en los próximos 2100 millones de años, evaporará antes los océanos terrestres, disminuyendo mucho la magnitud de la aceleración de marea. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Perturbaciones_seculares">Perturbaciones seculares</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&action=edit&section=3" title="Editar sección: Perturbaciones seculares"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La aceleración de marea del sistema Tierra-Luna es uno de los pocos ejemplos en la dinámica del <a href="/wiki/Sistema_solar" title="Sistema solar">sistema solar</a> de <i>perturbación secular</i>, es decir una perturbación de efecto acumulativo y que no es periódica. Hasta un alto orden de aproximación las perturbaciones gravitacionales entre los planetas del sistema solar sólo causan variaciones en las órbitas cuyos efectos oscilan entre un valor máximo y un valor mínimo. En cambio el efecto de las fuerzas de marea da lugar a un término cuadrático en las ecuaciones que lleva a un crecimiento no acotado. Aunque los términos cuadráticos aparecen en el tratamiento matemático de las órbitas planetarias, estos corresponden a términos de la <a href="/wiki/Serie_de_Taylor" title="Serie de Taylor">serie de Taylor</a> de términos periódicos a largo plazo. La razón de que los efectos de las fuerzas de marea sean diferentes de las de otras perturbaciones gravitatorias lejanas, tiene que ver con el hecho de que la fricción que es una parte esencial de los efectos de marea, comporta la pérdida permanente de energía en forma de calor. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fuerzas_de_marea_en_relatividad_general">Fuerzas de marea en relatividad general</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&action=edit&section=4" title="Editar sección: Fuerzas de marea en relatividad general"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Otro contexto totalmente diferente en el que aparecen fuerzas de marea, no relacionadas directamente con las perturbaciones gravitatorias de dos planetas o un planeta y un satélite cercanos es la <a href="/wiki/Relatividad_general" title="Relatividad general">relatividad general</a>. </p><p>En relatividad general, las fuerzas de marea son particularmente importantes, ya que, más que un efecto secundario, proporcionan el ingrediente básico para la formulación de la teoría. De acuerdo con la teoría de la relatividad, el campo gravitatorio es un efecto de la <a href="/wiki/Curvatura_del_espacio-tiempo" title="Curvatura del espacio-tiempo">geometría curvada del espacio-tiempo</a>, las partículas materiales se mueven a lo largo de <a href="/wiki/Geod%C3%A9sica" class="mw-redirect" title="Geodésica">líneas geodésicas</a> de este <a href="/wiki/Espacio-tiempo" title="Espacio-tiempo">espacio-tiempo</a> curvo. Si seguimos la pista a un conjunto o nube de partículas en "caída libre" en un campo gravitatorio, la curvatura del espacio-tiempo se hace manifiesta en la "convergencia" o acercamiento de las líneas geodésicas que seguiría una nube de partículas, el acercamiento de las partículas de una nube pueden ser interpretadas como fuerzas de marea. </p><p>Para precisar estas ideas consideremos una familia uniparamétrica de geodésicas: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\gamma _{s}:\mathbb {R} \to {\mathcal {M}}|,s\in [a,b]\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\gamma _{s}:\mathbb {R} \to {\mathcal {M}}|,s\in [a,b]\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa254b8a521f8ef7c5663f475ae047b56cc53b0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.744ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\gamma _{s}:\mathbb {R} \to {\mathcal {M}}|,s\in [a,b]\}}"></span> </p> </blockquote> <p>Donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {M}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc2abebd45ec020509a0ec548b67c9a2cb7cecd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.791ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {M}}}"></span> es el espacio-tiempo curvo en el que existe el campo gravitatorio. Consideremos que las curvas están parametrizadas a lo largo de su longitud mediante el tiempo coordenado <i>t</i> y consideremos el <a href="/wiki/Campo_vectorial" title="Campo vectorial">campo vectorial</a> de vectores tangentes a estas curvas <i>T</i> y el campo vectorial de separación <i>X</i> perpendicular en todo punto a las líneas geodésicas: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{a}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{a}\qquad X^{a}=\left({\frac {\partial }{\partial s}}\right)^{a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mspace width="2em" /> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{a}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{a}\qquad X^{a}=\left({\frac {\partial }{\partial s}}\right)^{a}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e521570e1c2bade85e2816a6b7e5d01eb4e4f8c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:32.047ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle T^{a}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{a}\qquad X^{a}=\left({\frac {\partial }{\partial s}}\right)^{a}}"></span> </p> </blockquote> <p>Si se sigue la evolución de estas líneas geodésicas estas alteran su distancia a un ritmo dado por la curvatura del espacio tiempo: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span style="float: right; width: 10%; text-align: right;">(<cite id="Equation_1" style="font-style: normal;"><a href="#Eqnref_1">1</a></cite>)</span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{a}=-{R^{a}}_{bcd}T^{b}X^{c}T^{d}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{a}=-{R^{a}}_{bcd}T^{b}X^{c}T^{d}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a07f97bd5c406bb5025f27f5623b744dd7c2de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.024ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{a}=-{R^{a}}_{bcd}T^{b}X^{c}T^{d}}"></span> </p> </blockquote> <p>Bajo ciertas condiciones sobre el tensor de energía impulso puede probarse que las geodésicas dirigidas hacia el futuro tienden a acercarse unas a otras, tal como corresponde al hecho de que la gravedad normalmente tiene un efecto atractivo. La fuerza de marea aparente sobre una partícula de masa <i>m</i> es precisamente el producto de la aceleración dada por (<span id="Eqnref_1" class="plainlinks neverexpand"><a class="external text" href="https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_de_marea#Equation_1">1</a></span>) por esa masa. </p><p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Campo_gravitatorio_terrestre">Campo gravitatorio terrestre</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&action=edit&section=5" title="Editar sección: Campo gravitatorio terrestre"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Como ejemplo de las fuerzas de marea podemos considerar lo que sucede un campo gravitatorio similar al de la Tierra, es decir, en el campo de un planeta perfectamente esférico y que tiene una velocidad de giro pequeña alrededor de sí mismo. En esas condiciones la métrica del espacio-tiempo alrededor de ese planeta es precisamente la <a href="/wiki/M%C3%A9trica_de_Schwarzschild" title="Métrica de Schwarzschild">métrica de Schwarzschild</a>, que en coordenadas cuasi-esféricas tiene la forma:<br /> <br /> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm {d} t\otimes \mathrm {d} t+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r\otimes \mathrm {d} r+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta \otimes \mathrm {d} \theta +\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi \otimes \mathrm {d} \phi \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>⊗</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>r</mi> <mo>⊗</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>⊗</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo>⊗</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>ϕ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm {d} t\otimes \mathrm {d} t+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r\otimes \mathrm {d} r+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta \otimes \mathrm {d} \theta +\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi \otimes \mathrm {d} \phi \right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002b25a0d21a55ca26e81ecb3212b7d5a8b1a4c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:88.113ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle g=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm {d} t\otimes \mathrm {d} t+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r\otimes \mathrm {d} r+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta \otimes \mathrm {d} \theta +\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi \otimes \mathrm {d} \phi \right)}"></span></dd></dl> <p><br /> Si consideramos un pequeño cuerpo cuyo <a href="/wiki/Centro_de_gravedad" title="Centro de gravedad">centro de gravedad</a> cae aproximadamente según una <a href="/wiki/Geod%C3%A9sica" class="mw-redirect" title="Geodésica">geodésica</a> radial tenemos que su <a href="/wiki/Cuadrivelocidad" title="Cuadrivelocidad">cuadrivelocidad</a> coincidirá con el vector tangente a dicha geodésica:<br /> <br /> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V^{a}=T^{a}=(c{\dot {t}},{\dot {r}},0,0)=\left({\frac {g_{r}^{1/2}c}{\sqrt {1-{\frac {v_{r}^{2}}{g_{r}^{2}c^{2}}}}}},{\frac {g_{r}^{1/2}v_{r}}{\sqrt {1-{\frac {v_{r}^{2}}{g_{r}^{2}c^{2}}}}}},0,0\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>t</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>c</mi> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V^{a}=T^{a}=(c{\dot {t}},{\dot {r}},0,0)=\left({\frac {g_{r}^{1/2}c}{\sqrt {1-{\frac {v_{r}^{2}}{g_{r}^{2}c^{2}}}}}},{\frac {g_{r}^{1/2}v_{r}}{\sqrt {1-{\frac {v_{r}^{2}}{g_{r}^{2}c^{2}}}}}},0,0\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b6963ba86facd41ddfa8a96003b3d56d1e98fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:57.849ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle V^{a}=T^{a}=(c{\dot {t}},{\dot {r}},0,0)=\left({\frac {g_{r}^{1/2}c}{\sqrt {1-{\frac {v_{r}^{2}}{g_{r}^{2}c^{2}}}}}},{\frac {g_{r}^{1/2}v_{r}}{\sqrt {1-{\frac {v_{r}^{2}}{g_{r}^{2}c^{2}}}}}},0,0\right)}"></span></dd></dl> <p><br /> Donde el punto indica la derivada respecto al <a href="/wiki/Tiempo_propio" title="Tiempo propio">tiempo propio</a> de la partícula:<br /> <br /> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau =\int _{0}^{t}{\sqrt {g_{r}-{\frac {v_{r}^{2}(t)}{c^{2}}}g_{r}^{-1}}}\ dt\qquad g_{r}:=1-{\frac {2GM}{c^{2}r(t)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =\int _{0}^{t}{\sqrt {g_{r}-{\frac {v_{r}^{2}(t)}{c^{2}}}g_{r}^{-1}}}\ dt\qquad g_{r}:=1-{\frac {2GM}{c^{2}r(t)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1152aa0e5a91aeb3e1f042c0699565cde3f5015" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:48.05ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \tau =\int _{0}^{t}{\sqrt {g_{r}-{\frac {v_{r}^{2}(t)}{c^{2}}}g_{r}^{-1}}}\ dt\qquad g_{r}:=1-{\frac {2GM}{c^{2}r(t)}}}"></span></dd></dl> <p><br /> Las fuerzas por unidad de masa dentro del sólido debidas a las fuerzas de marea no serán iguales en todas direcciones. Las fuerzas sobre un plano que pase por el centro de gravedad del cuerpo cuyo vector normal venga dado por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N^{a}\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N^{a}\;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8818d44d2332a8f71faca2baa67d3e3fb67e7781" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.87ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N^{a}\;}"></span> vienen dadas por:<br /> <br /> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{a}=R_{0b0}^{a}N^{b}V^{0}V^{0}+R_{0b1}^{a}N^{b}V^{0}V^{1}+R_{1b0}^{a}N^{b}V^{1}V^{0}+R_{1b1}^{a}N^{b}V^{1}V^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{a}=R_{0b0}^{a}N^{b}V^{0}V^{0}+R_{0b1}^{a}N^{b}V^{0}V^{1}+R_{1b0}^{a}N^{b}V^{1}V^{0}+R_{1b1}^{a}N^{b}V^{1}V^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d802adc440d92bd51cbe7508cba572b4280e34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:67.436ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{a}=R_{0b0}^{a}N^{b}V^{0}V^{0}+R_{0b1}^{a}N^{b}V^{0}V^{1}+R_{1b0}^{a}N^{b}V^{1}V^{0}+R_{1b1}^{a}N^{b}V^{1}V^{1}}"></span></dd></dl> <p><br /> Calculando las componentes no nulas del tensor de Riemann y teniendo en cuenta que el vector de separación es espacial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N^{a}=(0,N^{1},N^{2},0)\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N^{a}=(0,N^{1},N^{2},0)\;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6d61596afc7cab7b8422c05be8f8aa07f627b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.559ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle N^{a}=(0,N^{1},N^{2},0)\;}"></span>, asumiendo sin pérdida de generalidad que el cuerpo está sobre el plano ecuatorial, se llega a: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}f^{0}=(R_{110}^{0}v_{r}c){\cfrac {g_{r}^{3}N^{1}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}&\qquad f^{1}=(R_{010}^{1}c^{2}){\cfrac {g_{r}^{3}N^{1}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}\\f^{2}=(R_{020}^{2}c^{2}+R_{121}^{2}v_{r}^{2}){\cfrac {g_{r}^{3}N^{2}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}&\qquad f^{3}=0\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>110</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mspace width="2em" /> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>010</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>020</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>121</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mspace width="2em" /> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}f^{0}=(R_{110}^{0}v_{r}c){\cfrac {g_{r}^{3}N^{1}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}&\qquad f^{1}=(R_{010}^{1}c^{2}){\cfrac {g_{r}^{3}N^{1}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}\\f^{2}=(R_{020}^{2}c^{2}+R_{121}^{2}v_{r}^{2}){\cfrac {g_{r}^{3}N^{2}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}&\qquad f^{3}=0\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a548a37d7c10d83ad75a3116e6eb383791b106" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.505ex; width:63.509ex; height:16.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}f^{0}=(R_{110}^{0}v_{r}c){\cfrac {g_{r}^{3}N^{1}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}&\qquad f^{1}=(R_{010}^{1}c^{2}){\cfrac {g_{r}^{3}N^{1}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}\\f^{2}=(R_{020}^{2}c^{2}+R_{121}^{2}v_{r}^{2}){\cfrac {g_{r}^{3}N^{2}}{g_{r}^{2}-{\frac {v_{r}^{2}}{c^{2}}}}}&\qquad f^{3}=0\end{cases}}}"></span> </p> </blockquote> <p>Las componentes no nulas del tensor que aparecen en las expresiones anteriores son: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}R_{110}^{0}={\frac {-2GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}&R_{010}^{1}={\frac {-2GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\\R_{020}^{2}={\frac {GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)&R_{121}^{2}={\frac {-GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>110</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>010</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>020</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>121</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}R_{110}^{0}={\frac {-2GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}&R_{010}^{1}={\frac {-2GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\\R_{020}^{2}={\frac {GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)&R_{121}^{2}={\frac {-GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c01c2f9a952e60764d6abcb6a3be1e839a0bc1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.838ex; width:56.86ex; height:10.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}R_{110}^{0}={\frac {-2GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}&R_{010}^{1}={\frac {-2GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\\R_{020}^{2}={\frac {GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)&R_{121}^{2}={\frac {-GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\end{matrix}}}"></span> </p> </blockquote> <p>Si consideramos ahora dos partículas puntuales que caen desde el reposo y desde la misma altura convergiendo hasta el centro de la tierra sufrirán un acercamiento relativo, que será visto como una fuerza de marea efectiva cuyo valor en el instante inicial es: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f={\frac {GM}{r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{2}\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\phi _{g}}{dr^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f={\frac {GM}{r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{2}\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\phi _{g}}{dr^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4166d86729acff6ce8c4b74bfbc1d8a98668559" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.648ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle f={\frac {GM}{r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{2}\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\phi _{g}}{dr^{2}}}}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&action=edit&section=6" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/L%C3%ADmite_de_Roche" title="Límite de Roche">Límite de Roche</a></li> <li><a href="/wiki/Anexo:Glosario_de_relatividad" title="Anexo:Glosario de relatividad">Anexo:Glosario de relatividad</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid 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href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q223325" class="extiw" title="wikidata:Q223325">Q223325</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Tidal_forces">Tidal forces</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q223325%22">Q223325</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4157310-9">4157310-9</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q223325" class="extiw" title="wikidata:Q223325">Q223325</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Tidal_forces">Tidal forces</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q223325%22">Q223325</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&oldid=149912090">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&oldid=149912090</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Geof%C3%ADsica" title="Categoría:Geofísica">Geofísica</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Relatividad_general" title="Categoría:Relatividad general">Relatividad general</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Fuerza" title="Categoría:Fuerza">Fuerza</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categoría oculta: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_GND" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores GND">Wikipedia:Artículos con identificadores GND</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 15 mar 2023 a las 22:47.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; pueden aplicarse cláusulas adicionales. Al usar este sitio aceptas nuestros <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/es">términos de uso</a> y nuestra <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Privacy_policy/es">política de privacidad</a>.<br />Wikipedia® es una marca registrada de la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/es/">Fundación Wikimedia</a>, una organización sin ánimo de lucro.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/es">Política de privacidad</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Acerca_de">Acerca de Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Limitaci%C3%B3n_general_de_responsabilidad">Limitación de responsabilidad</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Código de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desarrolladores</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/es.wikipedia.org">Estadísticas</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement/es">Declaración de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Fuerza_de_marea&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versión para móviles</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5c59558b9d-j9wx6","wgBackendResponseTime":152,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.131","walltime":"0.251","ppvisitednodes":{"value":285,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":6460,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":415,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":7,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":2,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":2903,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":3,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 139.524 1 -total"," 93.06% 129.837 1 Plantilla:Control_de_autoridades"," 4.25% 5.935 6 Plantilla:Ecuación"," 2.17% 3.030 1 Plantilla:Eqnref"," 1.99% 2.779 6 Plantilla:Trim"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.081","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2206238,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-565d46677b-f8rlj","timestamp":"20241128130019","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Fuerza de marea","url":"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Fuerza_de_marea","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q223325","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q223325","author":{"@type":"Organization","name":"Colaboradores de los proyectos Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-09-06T17:16:15Z","dateModified":"2023-03-15T22:47:58Z","headline":"efecto secundario de la fuerza de la gravedad"}</script> </body> </html>

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