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Espace hermitien — Wikipédia
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class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Base orthonormale</span> </div> </a> <ul id="toc-Base_orthonormale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Dual,_adjoint_et_produit_tensoriel" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Dual,_adjoint_et_produit_tensoriel"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Dual, adjoint et produit tensoriel</span> </div> </a> <ul id="toc-Dual,_adjoint_et_produit_tensoriel-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espace_euclidien,_espace_hermitien" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espace_euclidien,_espace_hermitien"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Espace euclidien, espace hermitien</span> </div> </a> <ul id="toc-Espace_euclidien,_espace_hermitien-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Notes</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Espace hermitien</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 8 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-8" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">8 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Sesquilinearform" title="Hermitesche Sesquilinearform – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Hermitesche Sesquilinearform" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_form" title="Hermitian form – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Hermitian form" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Hermitikus_szeszkviline%C3%A1ris_forma" title="Hermitikus szeszkvilineáris forma – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Hermitikus szeszkvilineáris forma" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="エルミート形式 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="エルミート形式" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" 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href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D1%80%D0%BC%D1%96%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0" title="Ермітова форма – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Ермітова форма" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E7%88%BE%E7%B1%B3%E7%89%B9%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="埃爾米特形式 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="埃爾米特形式" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q3058204#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Espace_hermitien" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Espace_hermitien" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Espace_hermitien"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Espace_hermitien" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Espace_hermitien" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" 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class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Charles_Hermite_circa_1887.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Charles_Hermite_circa_1887.jpg/220px-Charles_Hermite_circa_1887.jpg" decoding="async" width="220" height="347" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Charles_Hermite_circa_1887.jpg/330px-Charles_Hermite_circa_1887.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Charles_Hermite_circa_1887.jpg/440px-Charles_Hermite_circa_1887.jpg 2x" data-file-width="500" data-file-height="788" /></a><figcaption>Charles Hermite en 1887.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, un <b>espace hermitien</b> est un <a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espace vectoriel</a> sur le <a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps commutatif</a> des <a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">complexes</a> de <a href="/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel" title="Dimension d'un espace vectoriel">dimension</a> finie et muni d'un <a href="/wiki/Produit_scalaire#Produit_scalaire_hermitien" title="Produit scalaire">produit scalaire hermitien</a>. La <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a> d'un tel espace est analogue à celle d'un <a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">espace euclidien</a>. De nombreuses propriétés sont communes aux deux structures. </p><p>Ainsi les majorations caractéristiques comme l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Cauchy-Schwarz" title="Inégalité de Cauchy-Schwarz">inégalité de Cauchy-Schwarz</a> et l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_triangulaire" title="Inégalité triangulaire">inégalité triangulaire</a> sont toujours valables, l'existence de <a href="/wiki/Base_(alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire)" title="Base (algèbre linéaire)">bases</a> particulières, dites <a href="/wiki/Base_orthonormale" class="mw-redirect" title="Base orthonormale">orthonormales</a>, est assurée et la relation canonique entre l'espace et son <a href="/wiki/Espace_dual" title="Espace dual">dual</a> est de même nature que celle de la configuration euclidienne. </p><p>Le caractère <a href="/wiki/Cl%C3%B4ture_alg%C3%A9brique" title="Clôture algébrique">algébriquement clos</a> du corps sous-jacent rend plus générale la <a href="/wiki/Diagonalisable" class="mw-redirect" title="Diagonalisable">diagonalisation</a> des <a href="/wiki/Endomorphisme_lin%C3%A9aire" title="Endomorphisme linéaire">endomorphismes</a> <i>compatibles</i> avec le produit scalaire. Le terme compatible signifie ici <i><a href="/wiki/Endomorphisme_normal" title="Endomorphisme normal">normal</a></i>, c'est-à-dire <a href="/wiki/Commuter" class="mw-redirect" title="Commuter">commutant</a> avec son <a href="/wiki/Adjoint_d%27un_endomorphisme" class="mw-redirect" title="Adjoint d'un endomorphisme">adjoint</a>. </p><p>Enfin, un espace hermitien de dimension <i>n</i> est aussi un espace euclidien de dimension 2<i>n</i>, en conséquence les propriétés topologiques sont exactement les mêmes. </p><p>Cette structure doit son nom au mathématicien français <a href="/wiki/Charles_Hermite" title="Charles Hermite">Charles Hermite</a> <small>(<a href="/wiki/1822_en_science" title="1822 en science">1822</a>-<a href="/wiki/1901_en_science" title="1901 en science">1901</a>)</small>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition_et_premières_propriétés"><span id="D.C3.A9finition_et_premi.C3.A8res_propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Définition et premières propriétés</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Définition et premières propriétés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Définition et premières propriétés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définitions"><span id="D.C3.A9finitions"></span>Définitions</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Définitions" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Définitions"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Forme_sesquilin%C3%A9aire_complexe" class="mw-redirect" title="Forme sesquilinéaire complexe">Forme sesquilinéaire complexe</a>.</div></div> <p>L'objectif est de généraliser la structure d'espace euclidien aux nombres complexes, qui offre l'avantage d'être un <a href="/wiki/Corps_alg%C3%A9briquement_clos" title="Corps algébriquement clos">corps algébriquement clos</a>. En contrepartie, il n'existe plus de <a href="/wiki/Relation_d%27ordre" title="Relation d'ordre">relation d'ordre</a> compatible avec les opérations du corps, et le carré d'un complexe est parfois négatif. Pour pallier cette difficulté, le produit scalaire n'est plus une <a href="/wiki/Forme_bilin%C3%A9aire" title="Forme bilinéaire">forme bilinéaire</a> mais une forme hermitienne. </p><p>Une <b>forme hermitienne</b> est une <a href="/wiki/Application_(math%C3%A9matiques)" title="Application (mathématiques)">application</a> 〈⋅, ⋅〉 de <a href="/wiki/Produit_cart%C3%A9sien" title="Produit cartésien"><i>E</i>×<i>E</i></a> dans ℂ telle que : </p> <ul><li>pour tout <i>x</i> dans <i>E</i>, l'application φ<sub><i>x</i></sub> de <i>E</i> dans ℂ définie par φ<sub><i>x</i></sub>(<i>y</i>) = 〈<i>y</i>, <i>x</i>〉, est une <a href="/wiki/Forme_lin%C3%A9aire" title="Forme linéaire">forme linéaire</a> et</li> <li>pour tous <i>x</i> et <i>y</i> dans <i>E</i>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> </mrow> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f225974b9ee4616077519c0246a4ef023a7c650a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.87ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}"></span> (où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {\cdot }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {\cdot }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fac07bc40c78549046297af1fac51d65d80bdae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.777ex; width:1.162ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\bar {\cdot }}}"></span> représente la <a href="/wiki/Conjugu%C3%A9_d%27un_nombre_complexe" class="mw-redirect" title="Conjugué d'un nombre complexe">conjugaison</a>).</li></ul> <p>En particulier, 〈<i>x</i>, <i>x</i>〉 est <b>réel</b>, et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \langle x,x\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦<!-- ↦ --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \langle x,x\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18287f031bdcd9e6fe29fc449e478688eca7e0d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.446ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \langle x,x\rangle }"></span> est une <a href="/wiki/Forme_quadratique" title="Forme quadratique">forme quadratique</a> sur <i>E</i> vu comme ℝ-espace vectoriel. </p><p>Notons aussi qu'une forme hermitienne avec cette définition est sesquilinéaire <i>à droite</i><sup id="cite_ref-GD_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-GD-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Ce qui amène les définitions suivantes : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Définition</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span> Un <b>produit scalaire</b> sur un espace vectoriel complexe est une forme hermitienne 〈⋅, ⋅〉 telle que la forme quadratique réelle <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \langle x,x\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦<!-- ↦ --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \langle x,x\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18287f031bdcd9e6fe29fc449e478688eca7e0d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.446ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \langle x,x\rangle }"></span> soit <a href="/wiki/Forme_bilin%C3%A9aire#Définitions_associées_au_cas_où_E_est_égal_à_F" title="Forme bilinéaire">définie positive</a>. </p> </div> <p>Dans ces conditions, la <a href="/wiki/Partie_r%C3%A9elle" title="Partie réelle">partie réelle</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left(\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">R</mi> <mi mathvariant="fraktur">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mo>,</mo> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left(\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2685cfd31ccd6eb1a82e107d57310e38c7d9b41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left(\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}"></span> de 〈⋅, ⋅〉 est un produit scalaire euclidien pour la structure d'espace vectoriel réel obtenue par restriction, et la <a href="/wiki/Partie_imaginaire" title="Partie imaginaire">partie imaginaire</a> une forme bilinéaire <a href="/wiki/Application_multilin%C3%A9aire#Application_alternée" title="Application multilinéaire">alternée</a> <a href="/wiki/Forme_bilin%C3%A9aire_non_d%C3%A9g%C3%A9n%C3%A9r%C3%A9e" title="Forme bilinéaire non dégénérée">non dégénérée</a>, autrement dit une forme <a href="/wiki/Espace_vectoriel_symplectique" title="Espace vectoriel symplectique">symplectique</a>. </p><p>Le terme <b>produit hermitien</b> est synonyme de produit scalaire sur un espace vectoriel complexe. </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Définition</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span> Un <b>espace hermitien</b> est un espace vectoriel complexe de dimension finie et muni d'un produit scalaire. </p><p>L'application qui à un vecteur <i>x</i> associe la <a href="/wiki/Racine_carr%C3%A9e" title="Racine carrée">racine carrée</a> du produit scalaire de <i>x</i> par lui-même, est une <a href="/wiki/Norme_(math%C3%A9matiques)" title="Norme (mathématiques)">norme</a> appelée <b>norme hermitienne</b> ; la <a href="/wiki/Distance_(math%C3%A9matiques)" title="Distance (mathématiques)">distance</a> associée, qui à deux vecteurs associe la norme de leur différence, est appelée <b>distance hermitienne</b>. </p> </div> <p>Dans toute la suite de l'article <i>E</i> désigne un espace vectoriel complexe de dimension finie, ℂ le corps des nombres complexes, 〈⋅, ⋅〉 un produit scalaire sur <i>E</i>, choisi linéaire par rapport à la première variable et semi-linéaire par rapport à la seconde. La norme est notée ║∙║. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exemples">Exemples</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>L'espace vectoriel ℂ<sup><i>n</i></sup>, muni du produit scalaire <a href="/wiki/Canonique_(math%C3%A9matiques)" title="Canonique (mathématiques)">canonique</a> et de la norme associée, définis, pour <i>x</i> = (<i>x</i><sub>1</sub>, … , <i>x<sub>n</sub></i>) et <i>y</i> = (<i>y</i><sub>1</sub>, … , <i>y<sub>n</sub></i>), par<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+\ldots +x_{n}{\overline {y_{n}}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}{\text{ et }}\|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> et </mtext> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+\ldots +x_{n}{\overline {y_{n}}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}{\text{ et }}\|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db79c49cea988b217b0021aa7bd21381f841f040" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:66.142ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+\ldots +x_{n}{\overline {y_{n}}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}{\text{ et }}\|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}},}"></span></center>est un espace hermitien appelé <i>espace hermitien canonique de dimension n</i>.</li> <li>Sur l'espace vectoriel M<sub><i>n</i></sub>(ℂ) des <a href="/wiki/Matrice_carr%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Matrice carrée">matrices carrées</a> d'ordre <i>n</i>, identifié à ℂ<sup>(<i>n</i><sup>2</sup>)</sup>, le <a href="/wiki/Produit_scalaire_canonique" title="Produit scalaire canonique">produit scalaire canonique</a> se réécrit donc :<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A,B\rangle =\sum _{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (AB^{*})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>∈<!-- ∈ --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> </munder> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗<!-- ∗ --></mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A,B\rangle =\sum _{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (AB^{*})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d4a46c850b29d9c19ffb563004518f0bc7eb4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:36.789ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \langle A,B\rangle =\sum _{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (AB^{*})}"></span></center>où <span class="texhtml">tr</span> désigne la <a href="/wiki/Trace_(alg%C3%A8bre)#Trace_d'une_matrice_carrée" title="Trace (algèbre)">trace</a> et <i>B</i>* désigne la <a href="/wiki/Matrice_adjointe" title="Matrice adjointe">matrice adjointe</a> (ou transconjuguée) de <i>B</i> (c'est-à-dire la <a href="/wiki/Matrice_transpos%C3%A9e" title="Matrice transposée">transposée</a> de la matrice dont les coefficients sont les <a href="/wiki/Conjugu%C3%A9_d%27un_nombre_complexe" class="mw-redirect" title="Conjugué d'un nombre complexe">conjugués</a> des coefficients <i>B</i>). La norme associée est appelée « <a href="/wiki/Norme_de_Frobenius" class="mw-redirect" title="Norme de Frobenius">norme de Frobenius</a> ».</li> <li>L'espace vectoriel des <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me" title="Polynôme">polynômes</a> complexes de degré inférieur ou égal à <i>n</i>, <ul><li>muni du produit scalaire<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>⟩</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2eac23e9ad98c97cd35cf321646a0c979f9897" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:32.466ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}}"></span></center>est un espace hermitien, <a href="/wiki/Trivial" class="mw-redirect" title="Trivial">trivialement</a> <a href="/wiki/Isomorphisme" title="Isomorphisme">isomorphe</a> à l'espace hermitien canonique de dimension <i>n</i> + 1.</li> <li>muni d'un produit scalaire différent :<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t){\overline {Q(t)}}\ {\rm {d}}t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mi>Q</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t){\overline {Q(t)}}\ {\rm {d}}t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c48783b6a0b7c213e724c534e669e69be3517b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.14ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t){\overline {Q(t)}}\ {\rm {d}}t}"></span></center>est aussi un espace hermitien. Ce produit scalaire est celui de l'<a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">espace de Hilbert</a> <a href="/wiki/Espace_L2" title="Espace L2"><span class="texhtml">L<sup>2</sup>([0, 1])</span></a> (de dimension infinie), <a href="/wiki/Application_(math%C3%A9matiques)#Opérations_sur_les_applications" title="Application (mathématiques)">restreint</a> au sous-espace des <a href="/wiki/Fonction_polynomiale" title="Fonction polynomiale">fonctions polynomiales</a> (identifiées à des polynômes) de degré inférieur ou égal à <i>n</i>.</li> <li>muni du produit scalaire (différent des deux précédents) :<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle P,Q\rangle =\sum _{i=0}^{n}P(x_{i}){\overline {Q(x_{i})}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mi>Q</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle P,Q\rangle =\sum _{i=0}^{n}P(x_{i}){\overline {Q(x_{i})}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f7c3adc375d6f9b64fcbe54de09df2b433f65e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.844ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \langle P,Q\rangle =\sum _{i=0}^{n}P(x_{i}){\overline {Q(x_{i})}}}"></span></center>(où <i>x</i><sub>0</sub>, … , <i>x<sub>n</sub></i> sont <i>n</i> + 1 complexes distincts) est isomorphe à l'espace hermitien canonique de dimension <i>n</i> + 1, par l'application <i>P</i> ↦ (<i>P</i>(<i>x</i><sub>0</sub>), … , <i>P</i>(<i>x<sub>n</sub></i>)).</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inégalités_et_identités"><span id="In.C3.A9galit.C3.A9s_et_identit.C3.A9s"></span>Inégalités et identités</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Inégalités et identités" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Inégalités et identités"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les propriétés suivantes sont vérifiées dans tout <a href="/wiki/Espace_pr%C3%A9hilbertien" title="Espace préhilbertien">espace préhilbertien</a> complexe, de dimension non nécessairement finie. Certaines ne sont qu'une répétition des propriétés du produit scalaire réel <span class="nowrap"><span class="texhtml">Re</span>(〈⋅, ⋅〉),</span> qui a même norme associée que 〈⋅, ⋅〉. </p><p>À l'image de la situation réelle, les deux majorations classiques sont toujours vérifiées. Si <i>x</i> et <i>y</i> désignent deux vecteurs de <i>E</i> : </p> <ul><li>l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Cauchy-Schwarz" title="Inégalité de Cauchy-Schwarz">inégalité de Cauchy-Schwarz</a> : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1875f6d1f92539000dcfdb656ad37d4ef42f006" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.856ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}"></span> ;</li> <li>l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_triangulaire" title="Inégalité triangulaire">inégalité triangulaire</a> : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f482994b431528001d36e6941384a400d98e6846" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.371ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}"></span><br />Cette dernière montre que le troisième axiome de la définition d'une <a href="/wiki/Norme_(math%C3%A9matiques)#Définition_formelle" title="Norme (mathématiques)">norme</a>, dit de <i>sous-additivité</i> est vérifié. Les deux autres (séparation et homogénéité) le sont de manière évidente.</li> <li>Le développement du carré de la norme d'une somme,<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2{\rm {Re}}\left(\langle x,y\rangle \right),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2{\rm {Re}}\left(\langle x,y\rangle \right),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b1cf24350b6f97c760848f53af784bd1fd8e37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.192ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2{\rm {Re}}\left(\langle x,y\rangle \right),}"></span></span>permet d'établir le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore" title="Théorème de Pythagore">théorème de Pythagore</a> : si <i>x</i> et <i>y</i> sont <a href="/wiki/Orthogonalit%C3%A9" title="Orthogonalité">orthogonaux</a>, alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374bacf91b0b00e48b3cb85fd3173ee57069c579" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.534ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}.}"></span><br />À la différence de la situation euclidienne, la réciproque n'est plus vraie, puisqu'un produit scalaire peut ici être un <a href="/wiki/Nombre_imaginaire_pur" title="Nombre imaginaire pur">imaginaire pur</a> non nul.</li> <li>Le développement du carré de la norme de la somme de deux vecteurs montre la <a href="/wiki/R%C3%A8gle_du_parall%C3%A9logramme" title="Règle du parallélogramme">règle du parallélogramme</a>, qui <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fr%C3%A9chet-von_Neumann-Jordan" class="mw-redirect" title="Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan">caractérise les normes issues d'un produit scalaire</a> : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4943561ec0400754611da03d195820ea034da28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.404ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}"></span></li> <li>ainsi que l'identité polaire : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=2\langle x,y\rangle +2\langle y,x\rangle .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=2\langle x,y\rangle +2\langle y,x\rangle .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab436616e6bb5b692cedff674e82ca7a3dd82d3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.817ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=2\langle x,y\rangle +2\langle y,x\rangle .}"></span></li> <li>L'<a href="/wiki/Identit%C3%A9_de_polarisation" title="Identité de polarisation">identité de polarisation</a> (formulée ici pour une forme sesquilinéaire <i>à droite</i><sup id="cite_ref-GD_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-GD-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>), plus précise, montre que le produit scalaire est entièrement déterminé par la norme :<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}{\rm {i}}^{k}\|x+{\rm {i}}^{k}y\|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}{\rm {i}}^{k}\|x+{\rm {i}}^{k}y\|^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3156c9c9a779fa5997afa437fa141845f863e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.377ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}{\rm {i}}^{k}\|x+{\rm {i}}^{k}y\|^{2}.}"></span></center></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Propriétés</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Propriétés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Propriétés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Base_orthonormale">Base orthonormale</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Base orthonormale" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Base orthonormale"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">Espace euclidien</a> et <a href="/wiki/Base_orthonormale" class="mw-redirect" title="Base orthonormale">Base orthonormale</a>.</div></div> <p>La situation est exactement la même que celle d'un espace euclidien : </p> <ul><li>toute famille orthonormale est <a href="/wiki/Ind%C3%A9pendance_lin%C3%A9aire" title="Indépendance linéaire">libre</a> ;</li> <li>si <i>E</i> est un espace hermitien de dimension <i>n</i> et <i>B</i> une base orthonormale de <i>E</i> alors, pour tous vecteurs <i>u</i> et <i>v</i> de <i>E</i>, de coordonnées <i>x</i> et <i>y</i> dans <i>B</i>, le produit scalaire 〈<i>u</i>, <i>v</i>〉 est égal au produit scalaire 〈<i>x</i>, <i>y</i>〉 dans l'<a href="#Exemples">espace hermitien canonique de dimension <i>n</i></a>. Autrement dit, la <a href="/wiki/Bijection" title="Bijection">bijection</a> <a href="/wiki/Application_lin%C3%A9aire" title="Application linéaire">linéaire</a> de <i>E</i> dans ℂ<sup><i>n</i></sup> qui associe à tout vecteur ses coordonnées dans <i>B</i> respecte les deux produits scalaires et constitue ainsi un isomorphisme d'espaces hermitiens ;</li> <li>la preuve de l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Bessel" title="Inégalité de Bessel">inégalité de Bessel</a> montre que si (<i>f<sub>i</sub></i>) est une base orthonormale d'un <a href="/wiki/Sous-espace_vectoriel" title="Sous-espace vectoriel">sous-espace vectoriel</a> <i>F</i> de <i>E</i>, tout vecteur <i>x</i> de <i>E</i> admet un <a href="/wiki/Projection_orthogonale" title="Projection orthogonale">projeté orthogonal</a> sur <i>F</i>, dont les coordonnées dans (<i>f<sub>i</sub></i>), appelés coefficients de Fourier, sont les 〈<i>x</i>, <i>f<sub>i</sub></i>〉 et vérifient<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum |\langle x,f_{i}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}~;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum |\langle x,f_{i}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}~;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c706e092b24c8d1ca596564855a3fe9cb2f10d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:21.237ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum |\langle x,f_{i}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}~;}"></span></center></li> <li>on en déduit l'<a href="/wiki/Algorithme_de_Gram-Schmidt" title="Algorithme de Gram-Schmidt">algorithme de Gram-Schmidt</a>, qui assure l'existence d'une base orthonormale.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dual,_adjoint_et_produit_tensoriel"><span id="Dual.2C_adjoint_et_produit_tensoriel"></span>Dual, adjoint et produit tensoriel</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Dual, adjoint et produit tensoriel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Dual, adjoint et produit tensoriel"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>Rappelons que dans cet article une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à droite<sup id="cite_ref-GD_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-GD-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et à symétrie hermitienne.</i> </p><p>La configuration est encore une fois analogue à celle des espaces euclidiens. Le produit scalaire fournit une application canonique φ de <i>E</i> dans son dual <i>E</i>* : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x,y\in E\quad \varphi _{x}:E\rightarrow \mathbb {C} \quad y\mapsto \varphi _{x}(y)=\langle y,x\rangle .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀<!-- ∀ --></mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈<!-- ∈ --></mo> <mi>E</mi> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">↦<!-- ↦ --></mo> <msub> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x,y\in E\quad \varphi _{x}:E\rightarrow \mathbb {C} \quad y\mapsto \varphi _{x}(y)=\langle y,x\rangle .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c316a79e0b117905d71478836b0626b2bee18602" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.271ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x,y\in E\quad \varphi _{x}:E\rightarrow \mathbb {C} \quad y\mapsto \varphi _{x}(y)=\langle y,x\rangle .}"></span></center> <p>L'ordre est ici inversé par rapport à la convention choisie dans l'article sur l'espace euclidien. En effet, φ<sub><i>x</i></sub> serait <a href="/wiki/Forme_sesquilin%C3%A9aire" title="Forme sesquilinéaire">semi-linéaire</a> dans le cas contraire, et on obtiendrait une bijection linéaire de <i>E</i> dans son <b>antidual</b> (espace vectoriel des formes semi-linéaires). </p><p>Avec l'ordre choisi, on a une bijection semi-linéaire φ de <i>E</i> dans son dual <i>E</i>*. Lorsque <i>E</i>* est muni de la <a href="/wiki/Dual_topologique#Topologie_forte_sur_le_dual_d'un_espace_normé" title="Dual topologique">norme duale</a>, cette bijection est même une <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométrie</a> (d'après l'<a href="#Inégalités_de_Cauchy-Schwarz_et_de_Minkowski">inégalité de Cauchy-Schwarz</a>), ce qui prouve que cette norme est hermitienne, c'est-à-dire associée à un produit scalaire : celui défini par 〈φ(<i>x</i>), φ(<i>y</i>)〉 = 〈<i>y</i>, <i>x</i>〉. </p><p>On déduit de φ deux bijections ψ<sub>1</sub> et ψ<sub>2</sub>, de l'espace L(<i>E</i>) des endomorphismes de <i>E</i> dans l'espace L<sub>3/2</sub>(<i>E</i>) des formes sesquilinéaires à droite : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in {\rm {L}}(E)~\forall x,y\in E\quad \psi _{1}(a)(x,y)=\langle a(x),y\rangle {\text{ et }}\psi _{2}(a)(x,y)=\langle x,a(y)\rangle .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀<!-- ∀ --></mi> <mi>a</mi> <mo>∈<!-- ∈ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀<!-- ∀ --></mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈<!-- ∈ --></mo> <mi>E</mi> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>ψ<!-- ψ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> et </mtext> </mrow> <msub> <mi>ψ<!-- ψ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in {\rm {L}}(E)~\forall x,y\in E\quad \psi _{1}(a)(x,y)=\langle a(x),y\rangle {\text{ et }}\psi _{2}(a)(x,y)=\langle x,a(y)\rangle .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb8c9cdfb6186c0a932586c9442e7adf39e9e47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:71.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in {\rm {L}}(E)~\forall x,y\in E\quad \psi _{1}(a)(x,y)=\langle a(x),y\rangle {\text{ et }}\psi _{2}(a)(x,y)=\langle x,a(y)\rangle .}"></span></center> <p>ψ<sub>1</sub> est linéaire et ψ<sub>2</sub> est semi-linéaire, donc la bijection <a href="/wiki/Composition_de_fonctions" title="Composition de fonctions">composée</a> <a href="/wiki/Bijection_r%C3%A9ciproque" title="Bijection réciproque">ψ<sub>2</sub><sup>−1</sup></a>∘ψ<sub>1</sub> est semi-linéaire. À un endomorphisme <i>a</i> elle associe l'endomorphisme <i>a</i>* appelé <a href="/wiki/Adjoint_d%27un_endomorphisme" class="mw-redirect" title="Adjoint d'un endomorphisme">adjoint</a> et défini par l'égalité suivante : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x,y\in E\quad \langle a(x),y\rangle =\langle x,a^{*}(y)\rangle .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀<!-- ∀ --></mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈<!-- ∈ --></mo> <mi>E</mi> <mspace width="1em" /> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗<!-- ∗ --></mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x,y\in E\quad \langle a(x),y\rangle =\langle x,a^{*}(y)\rangle .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab09687141e3bcdd71bc11b13de7bea93be7247" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.285ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x,y\in E\quad \langle a(x),y\rangle =\langle x,a^{*}(y)\rangle .}"></span></center> <p>Les endomorphismes égaux (resp. opposés) à leur adjoint sont dits <a href="/wiki/Endomorphisme_autoadjoint" title="Endomorphisme autoadjoint">hermitiens ou autoadjoints</a> (resp. antihermitiens ou antiautoadjoints). </p><p>L'application semi-linéaire — donc ℝ-linéaire — L(<i>E</i>) → L(<i>E</i>), <i>a</i> ↦ <i>a</i>* est non seulement bijective (un semi-isomorphisme) mais <a href="/wiki/Involution_(math%C3%A9matiques)" title="Involution (mathématiques)">involutive</a> ((<i>a</i>*)* = <i>a</i>). Dans L(<i>E</i>) considéré comme un ℝ-espace vectoriel, c'est donc la <a href="/wiki/Diagonalisation#Symétrie" title="Diagonalisation">symétrie</a> par rapport au ℝ-sous-espace des endomorphismes hermitiens, par rapport à celui, <a href="/wiki/Sous-espace_suppl%C3%A9mentaire" title="Sous-espace supplémentaire">supplémentaire</a>, des antihermitiens. </p><p>Le produit scalaire hermitien sur un <a href="/wiki/Produit_tensoriel_de_deux_modules" title="Produit tensoriel de deux modules">produit tensoriel</a>, en particulier sur L(<i>E</i>) ≃ <i>E</i>*⊗<i>E</i>, se définit de façon analogue au cas euclidien. On obtient </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle a,b\rangle =\mathrm {Tr} (a\circ b^{*}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">T</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>∘<!-- ∘ --></mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗<!-- ∗ --></mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle a,b\rangle =\mathrm {Tr} (a\circ b^{*}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ad54d8011c46599149d66c180286ac39224ac3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.691ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle a,b\rangle =\mathrm {Tr} (a\circ b^{*}).}"></span></center> <p>La symétrie semi-linéaire <i>a</i> ↦ <i>a</i>* préserve la norme associée donc aussi le produit scalaire euclidien associé <span class="texhtml">Re</span>(〈⋅, ⋅〉) (cf. <a href="#Définitions">§ « Définitions »</a>). </p><p><b>Exemples</b> </p> <ul><li>On a (<span class="texhtml">i</span><i>a</i>)* = –<span class="texhtml">i</span>(<i>a</i>*). Si <i>a</i> est hermitien, <span class="texhtml">i</span><i>a</i> est antihermitien.</li> <li>Si <i>A</i> est la matrice de <i>a</i> par rapport à une base orthonormée, celle de l'adjoint est la <a href="/wiki/Matrice_adjointe" title="Matrice adjointe">matrice adjointe</a> <i>A</i>*.</li> <li>Lorsque les endomorphismes sont <a href="/wiki/Matrice_d%27une_application_lin%C3%A9aire" title="Matrice d'une application linéaire">représentés par des matrices</a> dans une base orthonormée fixée, on retrouve ainsi le <a href="#Exemples">produit hermitien canonique sur M<sub><i>n</i></sub>(ℂ)</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espace_euclidien,_espace_hermitien"><span id="Espace_euclidien.2C_espace_hermitien"></span>Espace euclidien, espace hermitien</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Espace euclidien, espace hermitien" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Espace euclidien, espace hermitien"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Soit <i>E</i> un espace hermitien. L'espace vectoriel réel <i>E</i><sub>ℝ</sub> qui s'en déduit par <a href="/w/index.php?title=Restriction_des_scalaires&action=edit&redlink=1" class="new" title="Restriction des scalaires (page inexistante)">restriction des scalaires</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Restriction_of_scalars" class="extiw" title="en:Restriction of scalars"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Restriction of scalars »">(en)</span></a> est naturellement muni d'un produit scalaire euclidien 〈⋅, ⋅〉<sub>ℝ</sub> = <span class="texhtml">Re</span>(〈⋅, ⋅〉). Si <i>B</i> = (<i>e</i><sub>1</sub>, … ,<i>e<sub>n</sub></i>) est une base de <i>E</i> et si <span class="texhtml">i</span> désigne l'<a href="/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire" title="Unité imaginaire">unité imaginaire</a>, alors <i>B</i><sub>ℝ</sub> = (<i>e</i><sub>1</sub>, … ,<i>e<sub>n</sub></i>, <span class="texhtml">i</span><i>e</i><sub>1</sub>, … ,<span class="texhtml">i</span><i>e<sub>n</sub></i>) est une base de <i>E</i><sub>ℝ</sub>, qui est donc de dimension 2<i>n</i>. De plus, si <i>B</i> est orthonormale pour 〈⋅, ⋅〉, alors <i>B</i><sub>ℝ</sub> est orthonormale pour 〈⋅, ⋅〉<sub>ℝ</sub>.</li> <li>Réciproquement, soit <i>F</i> un espace euclidien de dimension <i>n</i>, il est possible de plonger <i>F</i> dans un espace hermitien de dimension <i>n</i> : le <a href="/wiki/Produit_tensoriel_de_deux_modules#Cas_de_deux_modules_libres" title="Produit tensoriel de deux modules">complexifié <i>F</i><sub>ℂ</sub> := ℂ⊗<i>F</i></a> de <i>F</i>, muni du produit scalaire hermitien obtenu en <a href="/wiki/Produit_tensoriel_de_deux_applications_lin%C3%A9aires" title="Produit tensoriel de deux applications linéaires">tensorisant</a> celui de ℂ par le produit scalaire euclidien de <i>F</i> :<center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \lambda \otimes x,\mu \otimes y\in F_{\mathbb {C} }\quad \langle \lambda \otimes x,\mu \otimes y\rangle _{F_{\mathbb {C} }}=\lambda {\overline {\mu }}\langle x,y\rangle _{F}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀<!-- ∀ --></mi> <mi>λ<!-- λ --></mi> <mo>⊗<!-- ⊗ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>μ<!-- μ --></mi> <mo>⊗<!-- ⊗ --></mo> <mi>y</mi> <mo>∈<!-- ∈ --></mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>λ<!-- λ --></mi> <mo>⊗<!-- ⊗ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>μ<!-- μ --></mi> <mo>⊗<!-- ⊗ --></mo> <mi>y</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>λ<!-- λ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>μ<!-- μ --></mi> <mo accent="false">¯<!-- ¯ --></mo> </mover> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>F</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \lambda \otimes x,\mu \otimes y\in F_{\mathbb {C} }\quad \langle \lambda \otimes x,\mu \otimes y\rangle _{F_{\mathbb {C} }}=\lambda {\overline {\mu }}\langle x,y\rangle _{F}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc89466256c822da979ec3a76b21cf48a16c8bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:50.918ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \forall \lambda \otimes x,\mu \otimes y\in F_{\mathbb {C} }\quad \langle \lambda \otimes x,\mu \otimes y\rangle _{F_{\mathbb {C} }}=\lambda {\overline {\mu }}\langle x,y\rangle _{F}.}"></span></center>Si (<i>f</i><sub>1</sub>, ...,<i>f</i><sub>n</sub>) est une base orthonormale de <i>F</i> alors (1⊗<i>f</i><sub>1</sub>, … , 1⊗<i>f<sub>n</sub></i>) est une base orthonormale de <i>F</i><sub>ℂ</sub>. Il est fréquent d'identifier les vecteurs <i>f</i><sub>i</sub> et 1⊗<i>f<sub>i</sub></i><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li></ul> <p>Ces deux constructions s'étendent au cadre des <a href="/wiki/Espace_pr%C3%A9hilbertien" title="Espace préhilbertien">espaces préhilbertiens</a> de dimension non nécessairement finie. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes">Notes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Notes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Notes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-GD-1"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-GD_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-GD_1-1">b</a> et <a href="#cite_ref-GD_1-2">c</a></sup> </span><span class="reference-text">Les deux conventions (gauche et droite) coexistent. Cet article-ci prend la convention droite ; les articles <a href="/wiki/Forme_sesquilin%C3%A9aire_complexe" class="mw-redirect" title="Forme sesquilinéaire complexe">Forme sesquilinéaire complexe</a> et <a href="/wiki/Identit%C3%A9_de_polarisation" title="Identité de polarisation">Identité de polarisation</a> privilégient la gauche.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">La méthode exposée ici est souvent employée lorsque l'auteur d'un ouvrage souhaite être formellement rigoureux. Une formalisation orientée vers la physique est donnée dans C. Semay et B. Silvestre-Brac, <i>Introduction au calcul tensoriel, application à la physique</i>, Dunod, 2007 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-10-050552-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-10-050552-4"><span class="nowrap">978-2-10-050552-4</span></a>)</small>.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dms.umontreal.ca/~math1600/supplements/complexeproduit1.pdf">Le produit scalaire sur ℂ<sup><i>n</i></sup>, la méthode de Gram-Schmidt, matrices hermitiennes, unitaires et diagonalisation</a> par Véronique Hussin et Alina Stancu, de l'<a href="/wiki/Universit%C3%A9_de_Montr%C3%A9al" title="Université de Montréal">université de Montréal</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.les-mathematiques.net/b/c/i/node14.php">Espaces hermitiens</a> par C. Antonini <i><abbr class="abbr" title="et alii (« et d’autres »)" lang="la">et al.</abbr></i>, 2001, sur les-mathematiques.net</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espace_hermitien&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span class="ouvrage" id="Lang"><span class="ouvrage" id="Serge_Lang"><a href="/wiki/Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge <span class="nom_auteur">Lang</span></a>, <cite class="italique">Algèbre</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Alg%C3%A8bre_(Lang)" title="Référence:Algèbre (Lang)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEspace+hermitien"></span></span></span> </p> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Structures_alg%C3%A9briques" title="Modèle:Palette Structures algébriques"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Structures_alg%C3%A9briques&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">Structures algébriques</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:40px">Pures</th> <td class="navbox-list" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;"><a href="/wiki/Magma_(alg%C3%A8bre)" title="Magma (algèbre)">Magmas</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">Groupe</a></li> <li><a href="/wiki/Quasigroupe" title="Quasigroupe">Quasigroupe</a></li> <li><a href="/wiki/Demi-groupe" title="Demi-groupe">Demi-groupe</a></li> <li><a href="/wiki/Mono%C3%AFde" title="Monoïde">Monoïde</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">Groupe abélien</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Moduloïdes</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">Espace vectoriel</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_affine" title="Espace affine">Espace affine</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs" title="Groupe à opérateurs">Groupe à opérateurs</a></li> <li><a href="/wiki/Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">Module sur un anneau</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Annélides</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Anneau_non_associatif&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anneau non associatif (page inexistante)">Anneau non associatif</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nonassociative_ring" class="extiw" title="en:Nonassociative ring"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Nonassociative ring »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Pseudo-anneau" title="Pseudo-anneau">Pseudo-anneau</a></li> <li><a href="/wiki/Demi-anneau" title="Demi-anneau">Demi-anneau</a></li> <li><a href="/wiki/Dio%C3%AFde" title="Dioïde">Dioïde</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)" title="Anneau (mathématiques)">Anneau</a> <ul><li><a href="/wiki/Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">unitaire</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">commutatif</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_sans_diviseur_de_z%C3%A9ro" title="Anneau sans diviseur de zéro">sans diviseur de zéro</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">intègre</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">Corps</a> <ul><li><a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">commutatif</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_gauche" title="Corps gauche">gauche</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;"><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_anneau" title="Algèbre sur un anneau">Algèbre</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative" title="Algèbre associative">Algèbre associative</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_corps" title="Algèbre sur un corps">Algèbre sur un corps</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative_sur_un_corps" title="Algèbre associative sur un corps">Algèbre associative sur un corps</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_unitaire" title="Algèbre unitaire">Algèbre unitaire</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_%C3%A0_division" title="Algèbre à division">Algèbre à division</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Clifford" title="Algèbre de Clifford">Algèbre de Clifford</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Jordan" title="Algèbre de Jordan">Algèbre de Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Lie" title="Algèbre de Lie">Algèbre de Lie</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Autres</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Hopf" title="Algèbre de Hopf">Algèbre de Hopf</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_homog%C3%A8ne" title="Espace homogène">Espace homogène</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:40px">Enrichies</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;">Espace topologique</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Semi-groupe_topologique" title="Semi-groupe topologique">Semi-groupe topologique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Mono%C3%AFde_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monoïde topologique (page inexistante)">Monoïde topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_monoid" class="extiw" title="en:Topological monoid"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological monoid »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_topologique" title="Groupe topologique">Groupe topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_topologique" title="Anneau topologique">Anneau topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_topologique" title="Anneau topologique">Corps topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_valu%C3%A9" title="Corps valué">Corps valué</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Module_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Module topologique (page inexistante)">Module topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_module" class="extiw" title="en:Topological module"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological module »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Espace_vectoriel_topologique" title="Espace vectoriel topologique">Espace vectoriel topologique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algèbre topologique (page inexistante)">Algèbre topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_algebra" class="extiw" title="en:Topological algebra"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological algebra »">(en)</span></a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;"><a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">Espaces métriques</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Espace_vectoriel_norm%C3%A9" title="Espace vectoriel normé">Espace vectoriel normé</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Banach" title="Espace de Banach">Espace de Banach</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_pr%C3%A9hilbertien" title="Espace préhilbertien">Espace préhilbertien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">Espace euclidien</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Espace hermitien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">Espace de Hilbert</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;">Géométrie différentielle et algébrique</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">Groupe de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_alg%C3%A9brique" title="Groupe algébrique">Groupe algébrique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/24px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/36px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/48px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span> </span></li> </ul> <!-- NewPP limit report Parsed by mw‐web.codfw.main‐f69cdc8f6‐gb8dk Cached time: 20241124163500 Cache expiry: 2592000 Reduced 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