CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="fi" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Lähdekoodi sivulle Propositiologiikka – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )fiwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":true,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"fi normal","wgMonthNames":["","tammikuu","helmikuu","maaliskuu","huhtikuu","toukokuu","kesäkuu","heinäkuu","elokuu","syyskuu","lokakuu","marraskuu","joulukuu"],"wgRequestId":"2525437c-e586-4740-bcfe-7fd661ec0f80","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Propositiologiikka","wgTitle":"Propositiologiikka","wgCurRevisionId":22605246,"wgRevisionId":0,"wgArticleId":13280,"wgIsArticle":false,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"edit","wgUserName":null, "wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[],"wgPageViewLanguage":"fi","wgPageContentLanguage":"fi","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Propositiologiikka","wgRelevantArticleId":13280,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":22605246,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"fi","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"fi"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true, "wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.hidePersonalSandboxEdits":"ready","ext.gadget.fiwiki_flaggedrevs_css_rcfix":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.charinsert.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.edit.collapsibleFooter", "site","mediawiki.page.ready","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.charinsert","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.publicarttablesort","ext.gadget.ViikonKilpailu","ext.gadget.WikiLovesMonunmets","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.frwiki_infobox_v3","ext.gadget.linkeddata","ext.gadget.perustiedotwikidatassa","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fi&modules=codex-search-styles%7Cext.charinsert.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=fi&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fi&modules=ext.gadget.fiwiki_flaggedrevs_css_rcfix%2ChidePersonalSandboxEdits&only=styles&skin=vector"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fi&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="noindex,nofollow,max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Lähdekoodi sivulle Propositiologiikka – Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//fi.m.wikipedia.org/wiki/Propositiologiikka"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Muokkaa" href="/w/index.php?title=Propositiologiikka&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (fi)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//fi.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Propositiologiikka"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fi"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipedia-Atom-syöte" href="/w/index.php?title=Toiminnot:Tuoreet_muutokset&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Propositiologiikka rootpage-Propositiologiikka skin-vector action-edit"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Lähdekoodi sivulle Propositiologiikka</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle">← <a href="/wiki/Propositiologiikka" title="Propositiologiikka">Propositiologiikka</a></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Siirry navigaatioon</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Siirry hakuun</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><p>Sinulla ei ole oikeutta muokata tätä sivua seuraavasta syystä: </p> <div class="permissions-errors"><div class="mw-permissionerror-globalblocking-blockedtext-range"><b>IP-osoitteesi on alueella, joka on estetty <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Global_blocks" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Global blocks">kaikissa Wikimedia-säätiön wikeissä</a>.</b> <p>Eston asetti <a href="/wiki/K%C3%A4ytt%C3%A4j%C3%A4:Jon_Kolbert" title="Käyttäjä:Jon Kolbert">‪Jon Kolbert‬</a>. Annettu syy on <i><a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/NOP" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/NOP">Open proxy/Webhost</a>: See the <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/WM:OP/H" class="extiw" title="m:WM:OP/H">help page</a> if you are affected </i>. </p> <ul><li>Esto alkoi: 27. elokuuta 2023 kello 17.12</li> <li>Esto päättyy: 27. elokuuta 2028 kello 17.12</li></ul> <p>Tämänhetkinen IP-osoitteesi on 8.222.208.146. Estetty alue on 8.222.128.0/17. </p><p>Liitä kaikki yllä olevat tiedot kun teet kyselyjä. Jos uskot, että sinut estettiin vahingossa, löydät lisätietoja ja ohjeita <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/No_open_proxies" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/No open proxies">Ei avoimia välityspalvelimia</a> -käytännöstä. </p> Muussa tapauksessa keskustellaksesi estosta <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Steward_requests/Global" class="extiw" title="m:Steward requests/Global">lähetä tarkistuspyyntö Meta-Wikissä</a>. Voit myös lähettää sähköpostia <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Stewards" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Stewards">ylivalvojien</a> <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/VRT" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/VRT">VRT</a>-jonoon osoitteeseen <kbd>stewards@wikimedia.org</kbd>. Kerro viestissäsi kaikki yllä mainitut tiedot.</div></div><hr /> <p>Voit katsoa ja kopioida tämän sivun lähdetekstiä. </p><textarea readonly="" accesskey="," id="wpTextbox1" cols="80" rows="25" style="" class="mw-editfont-monospace" lang="fi" dir="ltr" name="wpTextbox1">'''Propositiologiikka''' eli '''lauselogiikka''' on [[symbolinen logiikka|symbolisen logiikan]] alue, jossa tutkitaan propositiosymboleja ja loogisia konnektiiveja sisältävien [[formaali kieli|formaalikielen]] lauseiden ominaisuuksia. Näistä ominaisuuksista keskeisimpiä ovat [[totuus]] ja lauseiden väliset [[päättely]]suhteet. <ref name=a/> Propositiosymboleina käytetään formaalikielessä yleensä merkkejä <math>p_0</math>, <math>p_1</math>, <math>p_2</math> jne. Eri propositiosymbolien voidaan tulkita edustavan toisistaan riippumattomia asiantiloja. Loogisille konnektiiveille käytetään usein merkkejä kuten <math>\neg, \land, \lor</math>. Nämä vastaavat karkeasti ottaen luonnollisen kielen [[lausekonnektiivi|lausekonnektiiveja]], esimerkiksi "ei", "ja" ja "tai". Propositiologiikkaa kehittivät ensimmäisenä [[stoalaisuus|stoalaiset]]. == Propositiologiikan syntaksi == Propositiologiikassa [[atomilause]]ita merkitään propositiosymboleilla <math>p_0, p_1, p_2,\ldots\,\!</math>. Lausemuuttujina käytetään suuria kirjaimia <math>A,B,C,\ldots\,\!</math>. Lausemuuttujat kuvaavat mielivaltaisia tai toistaiseksi määrittelemättömiä lauseita. Propositiosymboleja voidaan määritellä seuraavaan tapaan: * <math>p_0 =_{df} \,\!</math>"<math>2 + 4 = 6\,\!</math>". * <math>p_1 =_{df} \,\!</math>"Esko ui". * <math>p_2 =_{df} \,\!</math>"Esko kastuu". Propositiosymboleista voidaan rakentaa monimutkaisempia ilmaisuja loogisten operaattoreiden eli ''konnektiivien'' avulla. Joskus osa konnektiiveista voidaan korvata määrittelemällä ne muutaman valitun konnektiivin avulla. Yleensä konnektiiveja esitellään seuraavat viisi, mutta on olemassa myös pari muuta konnektiivia: [[Shefferin viiva]] ja [[Peircen nuoli]]. {| border="1" class="prettytable" ! Merkitys ! Merkintä ! Lukutapa |- | [[negaatio]] | <math>\neg{}A</math> | "ei A" ({{k-en|not A}}) |- | [[konjunktio (logiikka)|konjunktio]] | <math>(A\wedge{}B)</math> | "A ja B" ({{k-en|A and B}}) |- | [[disjunktio]] | <math>(A\vee{}B)</math> | "A tai B" ({{k-en|A or B}}) |- | [[implikaatio]] | <math>(A\to{}B)</math> | "jos A niin B" |- | ekvivalenssi | <math>(A\leftrightarrow{}B)</math> | "A [[jos ja vain jos]] B" |} Seuraavassa [[rekursio|rekursiivisessa]] määritelmässä määritellään kaikki propositiolauseet. '''Määritelmä 1''' Propositiolause<br /> # Propositiosymbolit ovat propositiolauseita. # Jos <math>A\,\!</math> on propositiolause, niin <math>\neg{}A\,\!</math> on propositiolause. # Jos <math>A\,\!</math> ja <math>B\,\!</math> ovat propositiolauseita, niin <math>(A\wedge{}B)\,\!</math> on propositiolause. # Jos <math>A\,\!</math> ja <math>B\,\!</math> ovat propositiolauseita, niin <math>(A\vee{}B)\,\!</math> on propositiolause. # Jos <math>A\,\!</math> ja <math>B\,\!</math> ovat propositiolauseita, niin <math>(A\to{}B)\,\!</math> on propositiolause. # Jos <math>A\,\!</math> ja <math>B\,\!</math> ovat propositiolauseita, niin <math>(A\leftrightarrow{}B)\,\!</math> on propositiolause.  '''Esimerkki 2''' Propositiolauseita<br /> *<math>\neg{}p_0\,\!</math> *<math>(p_0\to{}p_1)\,\!</math> *<math>\neg((p_0 \wedge p_2) \to (p_3 \vee p_1))\,\!</math> Määritelmän 1 perusteella propositiolauseet voidaan purkaa osatekijöikseen yksiselitteisellä tavalla (katso [[propositiologiikan rakennepuu]]). Tällöin edetään vastakkaiseen suuntaan. Jos <math>A\,\!</math> on propositiolause, niin se on välttämättä muotoa <math>p_i\,\!</math>, <math>\neg{}B\,\!</math>, <math>(B\wedge{}C)\,\!</math>, <math>(B\vee{}C)\,\!</math>, <math>(B\to{}C)\,\!</math> tai <math>(B\leftrightarrow{}C)\,\!</math>. Muussa tapauksessa sitä ei ole muodostettu määritelmän mukaisesti. Tämä mahdollistaa [[matemaattinen induktio|matemaattisen induktion]] soveltamisen logiikkaa koskevissa todistuksissa. == Päättely propositiologiikassa == {{Kesken}} Propositiologiikassa (kuten formaalissa logiikassa muutenkin) voidaan erottaa kaksi päätapaa tutkia päättelyä: ''Päättelysäännöt'' (syntaktinen näkökulma) ja ''totuusarvon laskeminen'' (semanttinen näkökulma). Päättelysäännöt sinänsä eivät takaa sitä, että päättely säilyttää totuuden. Tämän takaa vasta sellaisten päättelysääntöjen käyttäminen, joiden [[eheys]] (katso eheyslause alempana) on todistettu. Päättelysääntöjen sinänsä soveltaminen on ainoastaan uusien lauseiden johtamista jo oletetuista. Sen sijaan, jos tiettyjen päättelysääntöjen eheys on todistettu, voidaan päättelyn pätevyys todistaa jo pelkästään näihin päättelysääntöihin nojautuen. Eheydestä käytetään usein myös nimityksiä ''validius'' ja ''korrektisuus''. Aksioomat ... Päättelysäännöt ... Pari esimerkkiä ... == Totuusjakauma ja propositiolauseen totuusarvo == '''Määritelmä 3''' Totuusjakauma <math>v\,\!</math> on [[funktio|kuvaus]] <math>v:\mathbb{N}\to\{0,1\}\,\!</math>, jossa <math>1=_{df}\,\!</math>"tosi" ja <math>0=_{df}\,\!</math>"epätosi". '''Määritelmä 4''' Propositiosymbolien totuusarvo<br /> <math>v(p_i)=_{df}v(i)\,\!</math>. Symboli <math>v\,\!</math> esiintyy määritelmässä 4 kahdessa merkityksessä: totuusjakauman symbolina yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella ja propositiolauseen totuusarvon määrittäjänä oikealla puolella. {| border="0" | align="left" colspan="2" | '''Esimerkki 5''' |- | align="left" colspan="2" | Olkoon <math>v\,\!</math> totuusjakauma siten, että |- | align="right" valign="middle" rowspan="2" | <math>v(i) =_{df} \Bigg\{\,\!</math> | valign="bottom" align="left" | <math>1</math>, jos <math>i < 2</math> |- | valign="middle" align="left" | <math>0</math> muuten. |} Nyt <math>v(p_0)=1, v(p_1)=1, v(p_2)=0, v(p_3)=0, \ldots\,\!</math> Propositiologiikan konnektiivit ovat ''totuusfunktionaalisia''. Kutakin funktion määrittelyjoukon totuusarvoa, kaksipaikkaisten konnektiivien tapauksessa totuusarvoparia, vastaa arvojoukossa täsmälleen yksi totuusarvo. Selkeä tapa määritellä täsmällisesti konnektiivien merkitykset on ''totuusarvotaulukko''. '''Määritelmä 6''' Konnektiivien totuusarvotaulukot {| class="wikitable" | <math>A\,\!</math> | <math>B\,\!</math> | <math>\neg{}A\,\!</math> | <math>\neg{}B\,\!</math> | <math>(A\wedge{}B)\,\!</math> | <math>(A\vee{}B)\,\!</math> | <math>(A\to{}B)\,\!</math> | <math>(A\leftrightarrow{}B)\,\!</math> |- | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |- | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |- | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |- | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |} '''Negaatio''' vastaa luonnollisen kielen sanaa ''ei''. Se määrittää lauseen vastakohdan. Lauseen A negaatio ''ei A'' on tosi jos (jos ja vain jos) lause A on epätosi. '''Konjunktio''' vastaa luonnollisen kielen sanaa ''ja''. Lauseiden A ja B konjunktio ''A ja B'' on tosi vain, jos molemmat sen yhdistämät ilmaisut eli lauseet A ja B ovat tosia. Luonnollisen kielen 'tai'-sana on kaksiselitteinen. Joskus sitä käytetään ''inklusiivisesti'', toisinaan taas ''eksklusiivisesti''. Inklusiivisen 'tai'-sanan sisältävä ilmaisu on tosi, jos toinen tai molemmat vaihtoehdoista ovat tosia. Nykykielessä tällöin käytetään joskus sanontaa ”[[ja/tai]]”. Eksklusiivinen 'tai'-ilmaisu on tosi, jos vain toinen ilmaisuista on tosi mutta eivät molemmat. Logiikassa tällaista tulkinnanvaraisuutta ei ole, koska konnektiivien merkitykset määritellään täsmällisesti. Yleisempää on käyttää inklusiivista disjunktiota. [[Eksklusiivinen disjunktio]] voidaan kuitenkin määritellä seuraavasti: '<math>((A \vee B) \wedge \neg(A \wedge B))\,\!</math>'. '''Implikaatiolla''' ilmaistaan totuuden ''riittävää'' tai ''välttämätöntä'' edellytystä. Lauseen '<math>(A \to B)\,\!</math>' (luetaan: ''jos A niin B'') mukaan <math>A\,\!</math> on <math>B\,\!</math>:n [[riittävä ehto|riittävä edellytys]] ja <math>B\,\!</math> <math>A\,\!</math>:n [[välttämätön ehto|välttämätön edellytys]]. Ekvivalenssi on tosi jos sen yhdistämien ilmaisujen totuusarvot ovat samat. Määritelmien 4 ja 6 perusteella voidaan laskea minkä tahansa propositiolauseen totuusarvo millä tahansa totuusjakaumalla. '''Esimerkki 7'''<br /> Lasketaan propositiolauseen <math>\neg((p_0 \wedge p_2) \to (p_3 \vee p_1))\,\!</math> totuusarvo. Olkoon totuusjakauma <math>v\,\!</math> kuten esimerkissä 5.<br /> Määritelmän 4 nojalla <math>v(p_0)=1, v(p_1)=1, v(p_2)=0\,\!</math> ja <math>v(p_3)=0\,\!</math>.<br /> Määritelmän 6 toisen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan <math>v((p_0 \wedge p_2))=0\,\!</math>.<br /> Kolmannen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan <math>v((p_3 \vee p_1))=1\,\!</math>.<br /> Kolmannen rivin ja seitsemännen sarakkeen mukaan siis <math>v(((p_0 \wedge p_2) \to (p_3 \vee p_1)))=1\,\!</math>.<br /> Edelleen kolmannen sarakkeen mukaan <math>v(\neg((p_0 \wedge p_2) \to (p_3 \vee p_1)))=0\,\!</math>. Totuustaulua voidaan käyttää myös apuvälineenä propositiolauseen totuusarvon laskemiseksi. Seuraavassa esimerkissä Arvo-riville on merkitty kunkin elementin totuusarvo ja Laskujärjestys-riville järjestys, jossa ne on merkitty. '''Esimerkki 8''' Propositiolauseen totuusarvo totuustaululla {| border="0" | align="center" | | align="center" | <math>p_0\,\!</math> | align="center" | <math>p_1\,\!</math> | align="center" | <math>p_2\,\!</math> | align="center" | <math>p_3\,\!</math> | align="center" | <math>\neg\,\!</math> | align="center" | <math>((p_0\,\!</math> | align="center" | <math>\wedge\,\!</math> | align="center" | <math>p_2)\,\!</math> | align="center" | <math>\to\,\!</math> | align="center" | <math>(p_3\,\!</math> | align="center" | <math>\vee\,\!</math> | align="center" | <math>p_1))\,\!</math> |- | align="right" | Arvo | align="center" | 1 | align="center" | 1 | align="center" | 0 | align="center" | 0 | align="center" | 0 | align="center" | 1 | align="center" | 0 | align="center" | 0 | align="center" | 1 | align="center" | 0 | align="center" | 1 | align="center" | 1 |- | align="right" | Laskujärjestys | align="center" | 1 | align="center" | 1 | align="center" | 1 | align="center" | 1 | align="center" | 5 | align="center" | 2 | align="center" | 3 | align="center" | 2 | align="center" | 4 | align="center" | 2 | align="center" | 3 | align="center" | 2 |} Propositiolauseen totuus riippuu (tietenkin sen rakenteen ohella) ainoastaan propositiosymbolien totuusarvoista. Koska jokaisella oikein muodostetulla propositiolauseella on yksiselitteinen rakennepuu, voidaan propositiolauseen totuusarvo yksiselitteisesti laskea sen sisältämien propositiosymbolien totuusarvojen perusteella, kuten esimerkeistä 7 ja 8 nähdään. Jos propositiosymbolin totuusarvo tiedetään, niin se voidaan korvata esityksessä totuusarvollaan. Myös propositiosymbolia kompleksisempi propositiolauseen osa voidaan korvata totuusarvollaan. == Tautologia ja looginen seuraus == {{Kesken}} ''Klassisessa'' ''propositiologiikassa'' pätevät seuraavat lait: * ''Principium exclusi terti'' (lat. kielletyn kolmannen laki), jonka mukaan jokainen lause on aina tosi tai epätosi. * ''Principium exclusi contradictionis'' (lat. kielletyn ristiriidan laki), jonka mukaan mikään lause ei voi olla sekä tosi että epätosi. == Propositiologiikan täydellisyys- ja eheyslause == Propositiologiikan [[Täydellisyyslause|'''täydellisyyslauseen''']] mukaan jos lause <math>A</math> on tautologia, niin lauseella <math>A</math> on [[Luonnollinen päättely|luonnollinen päättely]]. Propositiologiikan '''eheyslauseen''' mukaan jos lauseella <math>A</math> on luonnollinen päättely oletuksista <math>B_1, B_2, \dots , B_n</math>; niin jos totuusjakaumalla <math>v</math> pätee <math>v(B_1) = v(B_2) = \ldots = v(B_n) = 1</math>, niin <math>v(A) = 1</math>. Kun täydellisyyslause ja eheyslause yhdistettään, niin saadaan tuloksena seuraava lause: propositiolause <math>A</math> on tautologia jos ja vain jos propositiolauseella <math>A</math> on luonnollinen päättely. Eheyslauseesta siis seuraa, että jos <math>A</math>:lla on luonnollinen päättely, niin lause <math>A</math> on tautologia. Todistetaan tämä eheyslauseen avulla. ==== Todistus ==== Väite: Jos lauseella <math>A</math> on luonnollinen päättely, niin lause <math>A</math> on tautologia. Tehdään vastaoletus: lauseella <math>A</math> on luonnollinen päättely mutta lause <math>A</math> ei ole tautologia. Tällöin on olemassa totuusjakauma <math>v</math> siten, että <math>v(A) = 0</math>, joten <math>v(\lnot A) = 1</math>. Koska :<math> \begin{align} \{\lnot A\} & \vdash A \land \lnot A, \\ \{A \land \lnot A\} & \vdash \lnot \lnot A \quad \text{ja} \\ \{\lnot \lnot A\} & \vdash A, \quad \text{niin} \\ \{\lnot A\} & \vdash A. \end{align} </math> Edellä sovellettiin luonnolisen päättelyn tunnettuja sääntöjä konjunktion tuonti, negaation tuonti ja negaation eliminointi. Toisaalta eheyslauseen nojalla koska <math>\{\lnot A\} \vdash A</math> ja <math>v(\lnot A) = 1</math>, niin <math>v(A) = 1</math>. Ollaan päädytty ristiriitaan, joten alkuperäinen väite pätee. Täten lause <math>A</math> on tautologia. <math>\square</math> == Konnektiivit ja loogiset portit == [[Elektroniikka|Elektroniikassa]] tärkeimpiä loogisia konnektiiveja vastaavat tietyt [[looginen portti|loogiset portit]] seuraavasti: {| border="1" class="prettytable" ! Konnektiivi ! Yhdistetty lause ! Looginen portti |- | negaatio | "ei A" | [[NOT-portti]] |- | [[konjunktio (logiikka)|konjunktio]] | "A ja B" | [[AND-portti]] |- | [[disjunktio]] | "A tai B tai molemmat" | [[OR-portti]] |- | [[eksklusiivinen disjunktio]] | "A tai B, mutta ei molemmat" | [[XOR-portti]] |- | [[Shefferin viiva]] | "ei A tai ei B" | [[NAND-portti]] |- | [[Peircen nuoli]] | "ei A eikä B" | [[NOR-portti]] |} == Katso myös == * [[Predikaattilogiikka]] * [[Symbolinen logiikka]] == Lähteet == {{Viitteet|viitteet= * <ref name=a>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinsson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja | Sivut=235–236 | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Isbn= 951-31-0471-0}}</ref> }} == Kirjallisuutta == * {{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinsson, Thomas | Nimeke=[[Matematiikan käsikirja]] | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Isbn= 951-31-0471-0}} * {{Kirjaviite | Tekijä=Miettinen, Seppo K. | Nimeke=Logiikka: Perusteet | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=[[Gaudeamus]] | Vuosi=2002 | Isbn= 951-662-865-6}} == Aiheesta muualla == {{commonscat}} * {{IEP | Id=prop-log | Tekijä=Klement, Kevin C. | Nimeke=Propositional Logic}} [[Luokka:Logiikka]] [[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]] </textarea><div class="templatesUsed"><div class="mw-templatesUsedExplanation"><p>Tällä sivulla käytetyt mallineet: </p></div><ul> <li><a href="/wiki/Malline:Commons" title="Malline:Commons">Malline:Commons</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Commons&action=edit" title="Malline:Commons">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Malline:Commonscat" title="Malline:Commonscat">Malline:Commonscat</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Commonscat&action=edit" title="Malline:Commonscat">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Malline:En" title="Malline:En">Malline:En</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:En&action=edit" title="Malline:En">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Malline:IEP" title="Malline:IEP">Malline:IEP</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:IEP&action=edit" title="Malline:IEP">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Malline:K" title="Malline:K">Malline:K</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:K&action=edit" title="Malline:K">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Malline:K-en" title="Malline:K-en">Malline:K-en</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:K-en&action=edit" title="Malline:K-en">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Malline:Kesken" title="Malline:Kesken">Malline:Kesken</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Kesken&action=edit" title="Malline:Kesken">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Malline:Kielisymboli" title="Malline:Kielisymboli">Malline:Kielisymboli</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Kielisymboli&action=edit" title="Malline:Kielisymboli">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Malline:Kirjaviite" title="Malline:Kirjaviite">Malline:Kirjaviite</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Kirjaviite&action=edit" title="Malline:Kirjaviite">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Malline:Nimiavaruus" title="Malline:Nimiavaruus">Malline:Nimiavaruus</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Nimiavaruus&action=edit" title="Malline:Nimiavaruus">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Malline:Side_box" title="Malline:Side box">Malline:Side box</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Side_box&action=edit" title="Malline:Side box">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Malline:Sister_project" title="Malline:Sister project">Malline:Sister project</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Sister_project&action=edit" title="Malline:Sister project">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Malline:Verkkoviite" title="Malline:Verkkoviite">Malline:Verkkoviite</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Verkkoviite&action=edit" title="Malline:Verkkoviite">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Malline:Viestipohja" title="Malline:Viestipohja">Malline:Viestipohja</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Viestipohja&action=edit" title="Malline:Viestipohja">näytä wikiteksti</a>) (autoreviewer protected)</li><li><a href="/wiki/Malline:Viitteet" title="Malline:Viitteet">Malline:Viitteet</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Viitteet&action=edit" title="Malline:Viitteet">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Malline:Wikidata" title="Malline:Wikidata">Malline:Wikidata</a> (<a href="/w/index.php?title=Malline:Wikidata&action=edit" title="Malline:Wikidata">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Moduuli:ISxN" title="Moduuli:ISxN">Moduuli:ISxN</a> (<a href="/w/index.php?title=Moduuli:ISxN&action=edit" title="Moduuli:ISxN">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Moduuli:Kirjaviite" title="Moduuli:Kirjaviite">Moduuli:Kirjaviite</a> (<a href="/w/index.php?title=Moduuli:Kirjaviite&action=edit" title="Moduuli:Kirjaviite">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Moduuli:Side_box" title="Moduuli:Side box">Moduuli:Side box</a> (<a href="/w/index.php?title=Moduuli:Side_box&action=edit" title="Moduuli:Side box">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Moduuli:Side_box/styles.css" title="Moduuli:Side box/styles.css">Moduuli:Side box/styles.css</a> (<a href="/w/index.php?title=Moduuli:Side_box/styles.css&action=edit" title="Moduuli:Side box/styles.css">muokkaa</a>) </li><li><a href="/wiki/Moduuli:Verkkoviite" title="Moduuli:Verkkoviite">Moduuli:Verkkoviite</a> (<a href="/w/index.php?title=Moduuli:Verkkoviite&action=edit" title="Moduuli:Verkkoviite">näytä wikiteksti</a>) (osittain suojattu)</li><li><a href="/wiki/Moduuli:Yesno" title="Moduuli:Yesno">Moduuli:Yesno</a> (<a href="/w/index.php?title=Moduuli:Yesno&action=edit" title="Moduuli:Yesno">muokkaa</a>) </li></ul></div><p id="mw-returnto">Palaa sivulle <a href="/wiki/Propositiologiikka" title="Propositiologiikka">Propositiologiikka</a>.</p> <noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Noudettu kohteesta ”<a dir="ltr" href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Propositiologiikka">https://fi.wikipedia.org/wiki/Propositiologiikka</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks catlinks-allhidden" data-mw="interface"></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigointivalikko</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Henkilökohtaiset työkalut</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="IP-osoitteesi käyttäjäsivu">Et ole kirjautunut</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Oma_keskustelu" title="Keskustelu tämän IP-osoitteen muokkauksista [n]" accesskey="n"><span>Keskustelu</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Omat_muokkaukset" title="Luettelo tästä IP-osoitteesta tehdyistä muokkauksista [y]" accesskey="y"><span>Muokkaukset</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:Luo_tunnus&returnto=Propositiologiikka&returntoquery=action%3Dedit" title="On suositeltavaa luoda käyttäjätunnus ja kirjautua sisään. Se ei kuitenkaan ole pakollista."><span>Luo tunnus</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:Kirjaudu_sis%C3%A4%C3%A4n&returnto=Propositiologiikka&returntoquery=action%3Dedit" title="On suositeltavaa kirjautua sisään. Se ei kuitenkaan ole pakollista. [o]" accesskey="o"><span>Kirjaudu sisään</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Nimiavaruudet</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Propositiologiikka" title="Näytä sisältösivu [c]" accesskey="c"><span>Artikkeli</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Keskustelu:Propositiologiikka" rel="discussion" title="Keskustele sisällöstä [t]" accesskey="t"><span>Keskustelu</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">suomi</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Näkymät</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Propositiologiikka"><span>Lue</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Propositiologiikka&veaction=edit" title="Muokkaa tätä sivua [v]" accesskey="v"><span>Muokkaa</span></a></li><li id="ca-edit" class="selected collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Propositiologiikka&action=edit" title="Muokkaa tämän sivun lähdekoodia"><span>Muokkaa wikitekstiä</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Propositiologiikka&action=history" title="Sivun aikaisemmat versiot [h]" accesskey="h"><span>Näytä historia</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Lisää valintoja" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Muut</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Haku</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Hae Wikipediasta" aria-label="Hae Wikipediasta" autocapitalize="sentences" title="Hae Wikipediasta [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Toiminnot:Haku"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Hae sivuilta tätä tekstiä" value="Hae"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Siirry sivulle, joka on tarkalleen tällä nimellä" value="Siirry"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/Wikipedia:Etusivu" title="Etusivu"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Valikko</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Etusivu" title="Siirry etusivulle [z]" accesskey="z"><span>Etusivu</span></a></li><li id="n-aboutsite" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tietoja"><span>Tietoja Wikipediasta</span></a></li><li id="n-allarticles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Selaa_luokittain"><span>Kaikki sivut</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Satunnainen_sivu" title="Avaa satunnainen sivu [x]" accesskey="x"><span>Satunnainen artikkeli</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-interaction" class="mw-portlet mw-portlet-interaction vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-interaction-label" > <h3 id="p-interaction-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Osallistuminen</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Ohje:Sis%C3%A4llys" title="Ohjeita"><span>Ohje</span></a></li><li id="n-Kahvihuone" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kahvihuone"><span>Kahvihuone</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Ajankohtaista" title="Taustatietoa tämänhetkisistä tapahtumista"><span>Ajankohtaista</span></a></li><li id="n-Tuoreet-odottavat-muutokset" class="mw-list-item"><a href="//fi.wikipedia.org/wiki/Toiminnot:Tuoreet_muutokset?damaging=&goodfaith=&hideliu=0&hideanons=0&userExpLevel=&hidemyself=0&hidebyothers=0&hidebots=1&hidehumans=0&hidepatrolled=1&hideunpatrolled=0&hideminor=0&hidemajor=0&hidepageedits=0&hidenewpages=0&hidecategorization=1&hideWikibase=1&hidelog=0&highlight=1&goodfaith__verylikelybad_color=c5&goodfaith__likelybad_color=c4&goodfaith__maybebad_color=c3&damaging__verylikelybad_color=c5&damaging__likelybad_color=c4&damaging__maybebad_color=c3"><span>Tuoreet odottavat muutokset</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Tuoreet_muutokset" title="Luettelo tuoreista muutoksista [r]" accesskey="r"><span>Tuoreet muutokset</span></a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_fi.wikipedia.org&uselang=fi" title="Tue meitä"><span>Lahjoitukset</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Työkalut</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:T%C3%A4nne_viittaavat_sivut/Propositiologiikka" title="Lista sivuista, jotka viittaavat tänne [j]" accesskey="j"><span>Tänne viittaavat sivut</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Linkitetyt_muutokset/Propositiologiikka" rel="nofollow" title="Viimeisimmät muokkaukset sivuissa, joille viitataan tältä sivulta [k]" accesskey="k"><span>Linkitettyjen sivujen muutokset</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Toimintosivut" title="Näytä toimintosivut [q]" accesskey="q"><span>Toimintosivut</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Propositiologiikka&action=info" title="Enemmän tietoa tästä sivusta"><span>Sivun tiedot</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffi.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DPropositiologiikka%26action%3Dedit"><span>Lyhennä URL-osoite</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffi.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DPropositiologiikka%26action%3Dedit"><span>Lataa QR-koodi</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Muissa hankkeissa</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q200694" title="Linkki yhdistettyyn keskustietovaraston kohteeseen [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-kohde</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Muilla kielillä</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="uls-after-portlet-link"></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Tietosuojakäytäntö</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Tietoja">Tietoja Wikipediasta</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Vastuuvapaus">Vastuuvapaus</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Käytössäännöstö</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Kehittäjät</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/fi.wikipedia.org">Tilastot</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Evästekäytäntö</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//fi.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Propositiologiikka&action=edit&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobiilinäkymä</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-w8xh7","wgBackendResponseTime":154,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.004","walltime":"0.005","ppvisitednodes":{"value":18,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":746,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":0,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":2,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":0,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 0.000 1 -total"]},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-w8xh7","timestamp":"20241123232939","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> </body> </html>