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Odejmowanie liczb</span> </button> <ul id="toc-Odejmowanie_liczb-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Odejmowanie_pisemne_liczb_naturalnych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Odejmowanie_pisemne_liczb_naturalnych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Odejmowanie pisemne liczb naturalnych</span> </div> </a> <ul id="toc-Odejmowanie_pisemne_liczb_naturalnych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Odejmowanie_liczb_całkowitych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Odejmowanie_liczb_całkowitych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Odejmowanie liczb całkowitych</span> </div> </a> <ul id="toc-Odejmowanie_liczb_całkowitych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Odejmowanie_ułamków" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" 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id="toc-Własności_różnicy_wynikające_z_własności_odjemnej_i_odjemnika-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Kolejność_wykonywania_działań" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Kolejność_wykonywania_działań"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.6</span> <span>Kolejność wykonywania działań</span> </div> </a> <ul id="toc-Kolejność_wykonywania_działań-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Różnica_funkcji" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Różnica_funkcji"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Różnica funkcji</span> </div> </a> <ul id="toc-Różnica_funkcji-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Odejmowanie_modulo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Odejmowanie_modulo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Odejmowanie modulo</span> </div> </a> <ul id="toc-Odejmowanie_modulo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Odejmowanie_wektorów" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Odejmowanie_wektorów"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Odejmowanie wektorów</span> </div> </a> <ul id="toc-Odejmowanie_wektorów-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Odejmowanie_jako_działanie_w_strukturze_algebraicznej" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Odejmowanie_jako_działanie_w_strukturze_algebraicznej"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Odejmowanie jako działanie w strukturze algebraicznej</span> </div> </a> <ul id="toc-Odejmowanie_jako_działanie_w_strukturze_algebraicznej-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Uwagi</span> </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Odejmowanie</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 117 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-117" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">117 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Aftrek" title="Aftrek – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Aftrek" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Subtraktion" title="Subtraktion – szwajcarski niemiecki" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Subtraktion" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="szwajcarski niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B7%D8%B1%D8%AD" title="طرح – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="طرح" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Resta" title="Resta – aragoński" lang="an" hreflang="an" data-title="Resta" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragoński" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Resta" title="Resta – asturyjski" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Resta" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ay mw-list-item"><a href="https://ay.wikipedia.org/wiki/Jakhuqawi" title="Jakhuqawi – ajmara" lang="ay" hreflang="ay" data-title="Jakhuqawi" data-language-autonym="Aymar aru" data-language-local-name="ajmara" class="interlanguage-link-target"><span>Aymar aru</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C3%87%C4%B1xma" title="Çıxma – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Çıxma" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%DA%86%DB%8C%D8%AE%D9%85%D8%A7" title="چیخما – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="چیخما" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%AF%E0%A6%BC%E0%A7%8B%E0%A6%97" title="বিয়োগ – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বিয়োগ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Ki%C3%A1m-hoat" title="Kiám-hoat – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Kiám-hoat" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D1%8B%D1%83" title="Алыу – baszkirski" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Алыу" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baszkirski" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B5" title="Адніманне – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Адніманне" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B4%D1%8B%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D1%8C%D0%BD%D0%B5" title="Адыманьне – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Адыманьне" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Pag-ina" title="Pag-ina – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Pag-ina" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%B2%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B5" title="Изваждане – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Изваждане" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%A0%E0%BD%95%E0%BE%B2%E0%BD%B2%E0%BC%8B%E0%BD%A2%E0%BE%A9%E0%BD%B2%E0%BD%A6%E0%BC%8D" title="འཕྲི་རྩིས། – tybetański" lang="bo" hreflang="bo" data-title="འཕྲི་རྩིས།" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="tybetański" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Oduzimanje" title="Oduzimanje – bośniacki" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Oduzimanje" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bośniacki" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Lamadur" title="Lamadur – bretoński" lang="br" hreflang="br" data-title="Lamadur" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="bretoński" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D2%BB%D0%B0%D0%BB%D1%82%D0%B0" title="Хаһалта – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Хаһалта" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Resta" title="Resta – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Resta" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%C4%83%D0%BB%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8" title="Кăларасси – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Кăларасси" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Od%C4%8D%C3%ADt%C3%A1n%C3%AD" title="Odčítání – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Odčítání" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Kubvisa" title="Kubvisa – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Kubvisa" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Tynnu" title="Tynnu – walijski" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Tynnu" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walijski" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Subtraktion" title="Subtraktion – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Subtraktion" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Subtraktion" title="Subtraktion – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Subtraktion" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dz mw-list-item"><a href="https://dz.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%9F%E0%BD%91%E0%BC%8B%E0%BD%A0%E0%BD%82%E0%BE%B2%E0%BD%BC%E0%BC%8B%E0%BD%A6%E0%BE%90%E0%BE%B1%E0%BD%B2%E0%BD%93%E0%BC%8B%E0%BD%A0%E0%BD%82%E0%BE%B2%E0%BD%B4%E0%BD%A3%E0%BC%8B%E0%BD%82%E0%BE%B1%E0%BD%B2%E0%BC%8B%E0%BD%91%E0%BD%BC%E0%BD%93%E0%BC%8B%E0%BD%A3%E0%BD%B4%E0%BC%8B" title="ཟད་འགྲོ་སྐྱིན་འགྲུལ་གྱི་དོན་ལུ་ – dzongkha" lang="dz" hreflang="dz" data-title="ཟད་འགྲོ་སྐྱིན་འགྲུལ་གྱི་དོན་ལུ་" data-language-autonym="ཇོང་ཁ" data-language-local-name="dzongkha" class="interlanguage-link-target"><span>ཇོང་ཁ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Lahutamine" title="Lahutamine – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Lahutamine" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%86%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7" title="Αφαίρεση – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Αφαίρεση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subtraction" title="Subtraction – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Subtraction" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Resta" title="Resta – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Resta" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Subtraho" title="Subtraho – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Subtraho" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Kenketa" title="Kenketa – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Kenketa" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%B1%DB%8C%D9%82" title="تفریق – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تفریق" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Ghataana" title="Ghataana – hindi fidżyjskie" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Ghataana" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi fidżyjskie" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Soustraction" title="Soustraction – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Soustraction" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Toirt_air_falbh" title="Toirt air falbh – szkocki gaelicki" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Toirt air falbh" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="szkocki gaelicki" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Subtracci%C3%B3n" title="Subtracción – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Subtracción" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%9B%E6%B3%95" title="減法 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="減法" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hak mw-list-item"><a href="https://hak.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1m-fap" title="Kám-fap – hakka" lang="hak" hreflang="hak" data-title="Kám-fap" data-language-autonym="客家語 / Hak-kâ-ngî" data-language-local-name="hakka" class="interlanguage-link-target"><span>客家語 / Hak-kâ-ngî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%81%D0%BB%D0%B0%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="Хаслаһан – kałmucki" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Хаслаһан" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="kałmucki" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%BA%84%EC%85%88" title="뺄셈 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="뺄셈" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Հանում – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Հանում" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%98%E0%A4%9F%E0%A4%BE%E0%A4%A8%E0%A4%BE" title="घटाना – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="घटाना" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Oduzimanje" title="Oduzimanje – chorwacki" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Oduzimanje" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Pengurangan" title="Pengurangan – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Pengurangan" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/Ukuthabatha" title="Ukuthabatha – khosa" lang="xh" hreflang="xh" data-title="Ukuthabatha" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="khosa" class="interlanguage-link-target"><span>IsiXhosa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A1dr%C3%A1ttur" title="Frádráttur – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Frádráttur" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sottrazione" title="Sottrazione – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Sottrazione" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%99%D7%A1%D7%95%D7%A8" title="חיסור – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="חיסור" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Pangurangan" title="Pangurangan – jawajski" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Pangurangan" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="jawajski" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B5%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B2%B5%E0%B2%95%E0%B2%B2%E0%B2%A8" title="ವ್ಯವಕಲನ – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ವ್ಯವಕಲನ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%92%E1%83%90%E1%83%9B%E1%83%9D%E1%83%99%E1%83%9A%E1%83%94%E1%83%91%E1%83%90" title="გამოკლება – gruziński" lang="ka" hreflang="ka" data-title="გამოკლება" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="gruziński" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B7%D0%B0%D0%B9%D1%82%D1%83_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Азайту (математика) – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Азайту (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Utoaji" title="Utoaji – suahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Utoaji" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Soustraksyon" title="Soustraksyon – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Soustraksyon" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%82%D2%AF%D2%AF" title="Кемитүү – kirgiski" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Кемитүү" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirgiski" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%81%E0%BA%B2%E0%BA%99%E0%BA%AB%E0%BA%B1%E0%BA%81%E0%BA%A5%E0%BA%BB%E0%BA%9A_(%E0%BA%84%E0%BA%B0%E0%BA%99%E0%BA%B4%E0%BA%94%E0%BA%AA%E0%BA%B2%E0%BA%94)" title="ການຫັກລົບ (ຄະນິດສາດ) – laotański" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ການຫັກລົບ (ຄະນິດສາດ)" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="laotański" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Subtractio" title="Subtractio – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Subtractio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/At%C5%86em%C5%A1ana" title="Atņemšana – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Atņemšana" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Atimtis" title="Atimtis – litewski" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Atimtis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litewski" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Kivon%C3%A1s" title="Kivonás – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Kivonás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%9A%D0%B5" title="Одземање – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Одземање" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B5%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%B5%E0%B4%95%E0%B4%B2%E0%B4%A8%E0%B4%82" title="വ്യവകലനം – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="വ്യവകലനം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Tnaqqis" title="Tnaqqis – maltański" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Tnaqqis" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltański" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%9C%E0%A4%BE%E0%A4%AC%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A5%80" title="वजाबाकी – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="वजाबाकी" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%B7%D8%B1%D8%AD" title="طرح – egipski arabski" lang="arz" hreflang="arz" data-title="طرح" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="egipski arabski" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Penolakan" title="Penolakan – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Penolakan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cdo mw-list-item"><a href="https://cdo.wikipedia.org/wiki/G%C4%93ng-hu%C3%A1k" title="Gēng-huák – Mindong" lang="cdo" hreflang="cdo" data-title="Gēng-huák" data-language-autonym="閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄" data-language-local-name="Mindong" class="interlanguage-link-target"><span>閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Subtraction" title="Subtraction – fidżijski" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Subtraction" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fidżijski" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Aftrekken_(wiskunde)" title="Aftrekken (wiskunde) – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Aftrekken (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%98%E0%A4%9F%E0%A4%BE%E0%A4%89" title="घटाउ – nepalski" lang="ne" hreflang="ne" data-title="घटाउ" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="nepalski" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%9B%E6%B3%95" title="減法 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="減法" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Subtraksjon" title="Subtraksjon – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Subtraksjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Subtraksjon" title="Subtraksjon – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Subtraksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Subtraktione" title="Subtraktione – novial" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Subtraktione" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="novial" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Sostraccion" title="Sostraccion – oksytański" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Sostraccion" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="oksytański" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Ayirish" title="Ayirish – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Ayirish" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%98%E0%A8%9F%E0%A8%BE%E0%A8%85" title="ਘਟਾਅ – pendżabski" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਘਟਾਅ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendżabski" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%B1%D9%8A%D9%82" title="تفريق – paszto" lang="ps" hreflang="ps" data-title="تفريق" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="paszto" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Sobchakshan" title="Sobchakshan – jamajski" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Sobchakshan" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="jamajski" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Sotrassion" title="Sotrassion – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Sotrassion" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemoncki" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Subtra%C3%A7%C3%A3o" title="Subtração – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Subtração" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Sc%C4%83dere" title="Scădere – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Scădere" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Qichuy" title="Qichuy – keczua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Qichuy" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="keczua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Вычитание – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Вычитание" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D3%A9%D2%95%D2%AF%D1%80%D1%8D%D1%82%D0%B8%D0%B8" title="Көҕүрэтии – jakucki" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Көҕүрэтии" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="jakucki" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sat mw-list-item"><a href="https://sat.wikipedia.org/wiki/%E1%B1%B5%E1%B1%B7%E1%B1%AE%E1%B1%9C%E1%B1%AE%E1%B1%AB" title="ᱵᱷᱮᱜᱮᱫ – santali" lang="sat" hreflang="sat" data-title="ᱵᱷᱮᱜᱮᱫ" data-language-autonym="ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ" data-language-local-name="santali" class="interlanguage-link-target"><span>ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Zbritja_(matematik%C3%AB)" title="Zbritja (matematikë) – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Zbritja (matematikë)" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Suttrazzioni" title="Suttrazzioni – sycylijski" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Suttrazzioni" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sycylijski" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Subtraction" title="Subtraction – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Subtraction" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Od%C4%8D%C3%ADtanie" title="Odčítanie – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Odčítanie" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Od%C5%A1tevanje" title="Odštevanje – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Odštevanje" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Faraq" title="Faraq – somalijski" lang="so" hreflang="so" data-title="Faraq" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somalijski" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%84%DB%8E%D8%AF%DB%95%D8%B1%DA%A9%D8%B1%D8%AF%D9%86" title="لێدەرکردن – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="لێدەرکردن" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D1%83%D0%B7%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%9A%D0%B5" title="Одузимање – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Одузимање" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Oduzimanje" title="Oduzimanje – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Oduzimanje" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/V%C3%A4hennyslasku" title="Vähennyslasku – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Vähennyslasku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Subtraktion" title="Subtraktion – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Subtraktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pagbabawas" title="Pagbabawas – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pagbabawas" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AE%B4%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AF%8D%E0%AE%A4%E0%AE%B2%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="கழித்தல் (கணிதம்) – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="கழித்தல் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%A4%E0%B1%80%E0%B0%B8%E0%B0%BF%E0%B0%B5%E0%B1%87%E0%B0%A4" title="తీసివేత – telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="తీసివేత" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A5%E0%B8%9A" title="การลบ – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="การลบ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B0%D1%80%D2%B3_(%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B8%D1%91%D0%B7%D3%A3)" title="Тарҳ (амали риёзӣ) – tadżycki" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Тарҳ (амали риёзӣ)" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadżycki" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-chr mw-list-item"><a href="https://chr.wikipedia.org/wiki/%E1%8F%97%E1%8E%AA%E1%8F%A3%E1%8E%B4%E1%8F%8D%E1%8F%97" title="ᏗᎪᏣᎴᏍᏗ – czirokeski" lang="chr" hreflang="chr" data-title="ᏗᎪᏣᎴᏍᏗ" data-language-autonym="ᏣᎳᎩ" data-language-local-name="czirokeski" class="interlanguage-link-target"><span>ᏣᎳᎩ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%87%C4%B1karma" title="Çıkarma – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Çıkarma" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Віднімання" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%B1%DB%8C%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="تفریق (ریاضی) – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تفریق (ریاضی)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-za mw-list-item"><a href="https://za.wikipedia.org/wiki/Gemjfap" title="Gemjfap – czuang" lang="za" hreflang="za" data-title="Gemjfap" data-language-autonym="Vahcuengh" data-language-local-name="czuang" class="interlanguage-link-target"><span>Vahcuengh</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Sotra" title="Sotra – wenecki" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Sotra" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="wenecki" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9p_tr%E1%BB%AB" title="Phép trừ – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phép trừ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Pag-iban-iban" title="Pag-iban-iban – waraj" lang="war" hreflang="war" data-title="Pag-iban-iban" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waraj" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%87%8F%E6%B3%95" title="减法 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="减法" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%90%D7%A4%D7%A0%D7%A2%D7%9D" title="אראפנעם – jidysz" lang="yi" hreflang="yi" data-title="אראפנעם" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidysz" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/%C3%8Cy%E1%BB%8Dk%C3%BAr%C3%B2" title="Ìyọkúrò – joruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Ìyọkúrò" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="joruba" class="interlanguage-link-target"><span>Yorùbá</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%9B" title="減 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="減" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%9B%E6%B3%95" title="減法 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="減法" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q40754#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Odejmowanie" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Dyskusja:Odejmowanie&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Dyskusja o zawartości tej strony (strona nie istnieje) [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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href="/wiki/Odejmowanie"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Odejmowanie"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Odejmowanie" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Odejmowanie" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&oldid=72744387" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Odejmowanie&id=72744387&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FOdejmowanie"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FOdejmowanie"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Odejmowanie"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Odejmowanie&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako 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class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><p><b>Odejmowanie</b> – <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działanie odwrotne</a> do <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawania</a>. Odejmowane obiekty to odpowiednio <b>odjemna</b> i <b>odjemnik</b>, wynik zaś nazywany jest <b>różnicą</b><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1">[1]</a></sup>. </p><p>Odejmowanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem <a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">minusa</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2">[a]</a></sup>. </p><p>Odejmowanie zalicza się do czterech podstawowych <a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">działań arytmetycznych</a><sup id="cite_ref-epwn_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-3">[2]</a></sup>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Odejmowanie_liczb">Odejmowanie liczb</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Odejmowanie liczb" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Odejmowanie liczb"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Najczęściej używane jest odejmowanie <a href="/wiki/Liczba" title="Liczba">liczb</a>, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3-2=1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3-2=1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3f1445df719f630dbf4e2aadaa363a27294db7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.073ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3-2=1,}"></span> co czyta się: „trzy minus dwa równa się jeden” albo „trzy odjąć dwa równa się jeden”. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Odejmowanie_pisemne_liczb_naturalnych">Odejmowanie pisemne liczb naturalnych</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Odejmowanie pisemne liczb naturalnych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Odejmowanie pisemne liczb naturalnych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Poniżej podany jest przykład obliczania różnicy dwóch trzycyfrowych liczb: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 654}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>654</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 654}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f3f111132f6b06caac9e34175a1840749ba4e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 654}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 273.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>273.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 273.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be628cf0b88bd44e38b014d0067d749342d70a31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.134ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 273.}"></span> Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline {}\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline {}\end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f799ccf849254d34810aefd6fdbc5471bcb12e3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:14.873ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline {}\end{array}}}"></span> </p><p>Cyfrą jedności <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 654}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>654</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 654}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f3f111132f6b06caac9e34175a1840749ba4e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 654}"></span> jest <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92395480170ca12d7257b0696742384c4502492" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 4;}"></span> cyfrą jedności <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 273}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>273</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 273}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bd0ef762dd2e8f8766daacd4effdd78d17a4f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 273}"></span> jest <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75e17f7e7094c457fa7c8f743c3d8622eebd8ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.809ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3.}"></span> Obliczamy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4-3=1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4-3=1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1631b2ae5b4d6d466cb16d971442ece3b7a78300" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.073ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 4-3=1,}"></span> więc na pozycji jedności pod kreską piszemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1{:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1{:}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5903f0e784e0b0592ce036aef9f725b7d03b69ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.809ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1{:}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&&1\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&&1\end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c61d5d800fc0619f88a9d2aab5ac340b7298d5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:14.873ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&&1\end{array}}}"></span> </p><p>Cyfrą dziesiątek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 654}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>654</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 654}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f3f111132f6b06caac9e34175a1840749ba4e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 654}"></span> jest <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6f937edfa790d410d56fcd5e22dc7be13a7b970" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 5;}"></span> cyfrą dziesiątek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 273}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>273</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 273}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bd0ef762dd2e8f8766daacd4effdd78d17a4f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 273}"></span> jest <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>7.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46db4b26dfd74862fa7a357ed334ff8e63ca9e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.809ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 7.}"></span> Ponieważ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5<7}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo><</mo> <mn>7</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5<7}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2399c915f51c0ce7ad2e1a6ed4d1f0bb56fae067" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.423ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 5<7}"></span> i wynik wyszedłby ujemny „pożyczamy” <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> z następnej pozycji. Oznacza to, że teraz dodajemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd9b5094185664070761d7d258d9fcbbdaed68a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 10,}"></span> a przy następnej cyfrze odejmiemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.809ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1.}"></span> Mamy zatem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 15-7=8;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>15</mn> <mo>−</mo> <mn>7</mn> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 15-7=8;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8384f12485cddd271be2d53cb5c7412070075b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.236ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 15-7=8;}"></span> piszemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8}"></span> pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> <i>pożyczamy</i> z kolumny setek, co można sobie zanotować na boku: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&8&1\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&8&1\end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3a60822a0ab231a350470074a8a1d27b74fe6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; width:16.681ex; height:13.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&8&1\end{array}}}"></span> </p><p>Pozostała kolumna setek: odejmujemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6-2-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>6</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6-2-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ee2602ec7ac7b4452ab70972c73699c618987f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.168ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 6-2-1}"></span> (ten 1 to „pożyczka”) z trzeciej kolumny, otrzymując <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e86384bc2ac4ac6c2a68904ba067110f0876bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3,}"></span> piszemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}"></span> w kolumnie setek pod kreską: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &3&8&1\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &3&8&1\end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e479a717dabf0cc70ed4281c52af90ecc11e1062" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; width:16.681ex; height:13.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &3&8&1\end{array}}}"></span> </p><p>otrzymując wynik <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 654-273=381.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>654</mn> <mo>−</mo> <mn>273</mn> <mo>=</mo> <mn>381.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 654-273=381.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61254c50c2737b68aec4bb2efa295777bc287b46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.048ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 654-273=381.}"></span> </p><p>W ten sposób odejmuje się zawsze mniejszą liczbę od większej. Jeśli chcemy odjąć większą od mniejszej, zamieniamy je, odejmujemy, a na koniec przed wynikiem stawiamy znak minusa (gdyż wynik będzie wtedy <a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">liczbą ujemną</a>). Na przykład chcąc obliczyć <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 23-54,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>23</mn> <mo>−</mo> <mn>54</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 23-54,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769b61961be046f3a708b0b09cd3197d8757515a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.137ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 23-54,}"></span> obliczamy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 54-23=31,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>54</mn> <mo>−</mo> <mn>23</mn> <mo>=</mo> <mn>31</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 54-23=31,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96765783a57ef60b9b8cc9f921a0ce4669f5ee1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.56ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 54-23=31,}"></span> a następnie dostawiamy minus otrzymując <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 23-54=(-31).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>23</mn> <mo>−</mo> <mn>54</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>31</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 23-54=(-31).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc4fab331ccdb434a8e85666ca0a6eea0f3a85c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 23-54=(-31).}"></span> </p><p>Ten sam <a href="/wiki/Algorytm" title="Algorytm">algorytm</a> może służyć do odejmowania liczb w dowolnym <a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">systemie pozycyjnym</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Odejmowanie_liczb_całkowitych"><span id="Odejmowanie_liczb_ca.C5.82kowitych"></span>Odejmowanie liczb całkowitych</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Odejmowanie liczb całkowitych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Odejmowanie liczb całkowitych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Możliwe są cztery przypadki, różniące się <a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">znakiem</a> odejmowanych <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczb</a>: </p> <ul><li>Jeśli obydwie są nieujemne, odejmujemy je tak jak <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a> powyżej. Znak różnicy zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.</li> <li>Jeśli obydwie są ujemne (oznaczmy je <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0982b5868a66be1ed3ad7ef4bcd3d3db20f982" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -a}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133483a1fba17ce25b728fa3448ea784c5ba3630" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.806ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -b}"></span>), to wynikiem jest różnica ich wartości bezwzględnych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> zapisanych w odwrotnej kolejności: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-a)-(-b)=b-a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-a)-(-b)=b-a.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ddf2cdb6c47cdcf43abc25c12a0f2d5364d699" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-a)-(-b)=b-a.}"></span> Tu również znak zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.</li> <li>Jeśli pierwsza liczba jest nieujemna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64873b3280e7364ad9047a172f57dbf009fa7d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a)}"></span> a druga ujemna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-b),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-b),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbb3263d6ea6859d6ffb5de63abd47222cb597c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.262ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-b),}"></span> to odejmowanie sprowadza się do dodawania ich <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartości bezwzględnych</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-(-b)=a+b.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-(-b)=a+b.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d7d7f05624cbdb12bf7060dd89e3c64d902ef6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a-(-b)=a+b.}"></span></li> <li>Jeśli pierwsza liczba jest ujemna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a481c59f1c92c692cfcb4320af4ee08bf7a925af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.847ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-a)}"></span> a druga nieujemna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4d033c9332b538ac7b105b983ab56d5c16ea10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.454ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b),}"></span> to odejmowanie sprowadza się do dodania ich <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartości bezwzględnych</a> i zmiany znaku wyniku: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -a-b=-(a+b).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -a-b=-(a+b).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac63808bd7ef090a50ced36486e3fb2362aeb4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.306ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -a-b=-(a+b).}"></span></li></ul> <p>Zamiast tych reguł wystarczy pamiętać jedną: odjąć liczbę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> – to znaczy dodać przeciwną do niej liczbę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -b.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -b.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4fe9d4977b97450b2fc045e86a4c01e850fc8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.453ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -b.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Odejmowanie_ułamków"><span id="Odejmowanie_u.C5.82amk.C3.B3w"></span>Odejmowanie ułamków</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Odejmowanie ułamków" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Odejmowanie ułamków"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dla <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczb wymiernych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbb66e57f89debc3cde3213de12228971148a93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:2.066ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{b}}}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {c}{d}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {c}{d}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa34f20f9c55c820c29860adf0b231f43867c34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:2.052ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {c}{d}}}"></span> odejmowanie wymaga najpierw tzw. <b>sprowadzenia do wspólnego mianownika</b>, czyli takiego przekształcenia tych <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamków</a>, aby ich <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">mianowniki</a> były równe. </p><p>Wówczas można zastosować wzór: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {k}{m}}-{\frac {l}{m}}={\frac {k-l}{m}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {k}{m}}-{\frac {l}{m}}={\frac {k-l}{m}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4f9a1696fe5ad0ebba7161ddcf86c891fc2e2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.92ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {k}{m}}-{\frac {l}{m}}={\frac {k-l}{m}}.}"></span></dd></dl> <p>Najmniejszym wspólnym mianownikiem, jaki można tu zastosować, jest <a href="/wiki/Najmniejsza_wsp%C3%B3lna_wielokrotno%C5%9B%C4%87" title="Najmniejsza wspólna wielokrotność">najmniejsza wspólna wielokrotność</a> mianowników odjemnej i odjemnika. </p><p><b>Przykład:</b> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 3}{4\times 3}}-{\frac {1\times 2}{6\times 2}}={\frac {9}{12}}-{\frac {2}{12}}={\frac {9-2}{12}}={\frac {7}{12}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mo>×</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> <mo>×</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 3}{4\times 3}}-{\frac {1\times 2}{6\times 2}}={\frac {9}{12}}-{\frac {2}{12}}={\frac {9-2}{12}}={\frac {7}{12}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4daf8f4c6a32490fcee4c9a41d4c137c26f04c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:53.047ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 3}{4\times 3}}-{\frac {1\times 2}{6\times 2}}={\frac {9}{12}}-{\frac {2}{12}}={\frac {9-2}{12}}={\frac {7}{12}}.}"></span></dd></dl> <p>Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika najłatwiej wykonać mnożąc <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">licznik</a> i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Odejmowanie sprowadza się wtedy do wzoru: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}-{\frac {cb}{db}}={\frac {ad-cb}{bd}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}-{\frac {cb}{db}}={\frac {ad-cb}{bd}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2baf61beff5623609045243af6fc8e5b31fb7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:31.1ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}-{\frac {cb}{db}}={\frac {ad-cb}{bd}}.}"></span></dd></dl> <p><b>Przykład:</b> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 6}{4\times 6}}-{\frac {1\times 4}{6\times 4}}={\frac {3\times 6-1\times 4}{4\times 6}}={\frac {14}{24}}={\frac {7}{12}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>6</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mo>×</mo> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>6</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mo>×</mo> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>14</mn> <mn>24</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 6}{4\times 6}}-{\frac {1\times 4}{6\times 4}}={\frac {3\times 6-1\times 4}{4\times 6}}={\frac {14}{24}}={\frac {7}{12}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8449bcefcc29626117284a8bc0524cef37b693" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:55.051ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 6}{4\times 6}}-{\frac {1\times 4}{6\times 4}}={\frac {3\times 6-1\times 4}{4\times 6}}={\frac {14}{24}}={\frac {7}{12}}.}"></span></dd></dl> <p>W przypadku odejmowania pisemnego <a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny" title="Ułamek dziesiętny">ułamków dziesiętnych</a> należy przesunąć obydwie liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{r}&1&2,&5&\\-&&5,&8&1\\\hline &&6,&6&9\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd /> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> </mtd> <mtd /> <mtd> <mn>5</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>6</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> <mtd> <mn>9</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{r}&1&2,&5&\\-&&5,&8&1\\\hline &&6,&6&9\end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98311b217895ed42422f6b1ff7e2fb591c31e2b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:19.005ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{r}&1&2,&5&\\-&&5,&8&1\\\hline &&6,&6&9\end{array}}}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definicja_formalna">Definicja formalna</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Definicja formalna" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicja formalna"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Formalnie odejmowanie definiowane jest jako działanie odwrotne do dodawania<sup id="cite_ref-epwn_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-3">[2]</a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fee7e467bcd2fe2f62bf2e4bd5d67a2056ac4e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:22.607ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}"></span></dd></dl> <p>Działanie odejmowania można także zdefiniować osobno dla każdego rodzaju liczb: </p> <ul><li>odejmowanie dwóch <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczb całkowitych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b80866c2bf2f1bc1f2e4c97e7937f5663150ea6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a-b}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c-d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c-d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae892d55d0f7dd8e31a9de69a788fa910411f00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.063ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle c-d}"></span> (gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c5a5becb6d0a0ae22de92b299bb32f10231c05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.071ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} }"></span>) określone jest wzorem</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e437b27d38904d3f9c0818d9150663a8b4e2a0a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.925ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);}"></span></dd></dl> <ul><li>odejmowanie dwóch <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczb wymiernych</a> określone jest wzorem</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c20c1b9072663ad6bc38ce1679a0bdb9818f99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.183ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}}"></span> (w ogólności wzór ten jest definicją odejmowania w dowolnym <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ciele ułamków</a>);</dd></dl> <ul><li>odejmowanie dwóch <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczb rzeczywistych</a> jest określone następująco: jeżeli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}"></span> jest <a href="/wiki/Ci%C4%85g_Cauchy%E2%80%99ego" title="Ciąg Cauchy’ego">ciągiem Cauchy’ego</a> zbieżnym do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746026864cc5896e3e52443a1c917be2df9d8ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.39ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,}"></span> a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e2d72f6dd9375c8f1f59f1effd9b4e5492ac97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.216ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{n}}"></span> jest zbieżnym do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> to ciąg <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}=a_{n}-b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}=a_{n}-b_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb85da796d68eee1d319a8388d17f1b6c7c1230" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.828ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{n}=a_{n}-b_{n}}"></span> jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C=A-B;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C=A-B;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a0281b8d04c72ce84ceb069194dbde01ff451c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C=A-B;}"></span></li> <li>odejmowanie dwóch <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczb zespolonych</a> określone jest wzorem</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>i</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7593415ee15a7ee091dbdb209076dc8c5161f3e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.332ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;}"></span></dd></dl> <ul><li>odejmowanie dwóch <a href="/wiki/Kwaterniony" title="Kwaterniony">kwaternionów</a> określone jest wzorem</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+bi+cj+dk)-(p+qi+rj+sk)=(a-p)+(b-q)i+(c-r)j+(d-s)k.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mi>q</mi> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>k</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+bi+cj+dk)-(p+qi+rj+sk)=(a-p)+(b-q)i+(c-r)j+(d-s)k.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d02720f6fe0080c03df893236b725da4ed7e7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:80.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+bi+cj+dk)-(p+qi+rj+sk)=(a-p)+(b-q)i+(c-r)j+(d-s)k.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Własności_różnicy_wynikające_z_własności_odjemnej_i_odjemnika"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci_r.C3.B3.C5.BCnicy_wynikaj.C4.85ce_z_w.C5.82asno.C5.9Bci_odjemnej_i_odjemnika"></span>Własności różnicy wynikające z własności odjemnej i odjemnika</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Własności różnicy wynikające z własności odjemnej i odjemnika" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności różnicy wynikające z własności odjemnej i odjemnika"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>Odjemna </th> <th>Odjemnik </th> <th>Różnica </th></tr> <tr> <td>parzysta</td> <td>parzysty</td> <td>parzysta </td></tr> <tr> <td>nieparzysta</td> <td>nieparzysty</td> <td>parzysta </td></tr> <tr> <td>parzysta</td> <td>nieparzysty</td> <td>nieparzysta </td></tr> <tr> <td>naturalna</td> <td>naturalny</td> <td>całkowita </td></tr> <tr> <td>całkowita</td> <td>całkowity</td> <td>całkowita </td></tr> <tr> <td>całkowita</td> <td>niecałkowity</td> <td>niecałkowita </td></tr> <tr> <td>wymierna</td> <td>wymierny</td> <td>wymierna </td></tr> <tr> <td>wymierna</td> <td>niewymierny</td> <td>niewymierna </td></tr> <tr> <td>większa</td> <td>mniejszy</td> <td>dodatnia </td></tr> <tr> <td>mniejsza</td> <td>większy</td> <td>ujemna </td></tr> <tr> <td>algebraiczna</td> <td>algebraiczny</td> <td>algebraiczna </td></tr> <tr> <td>algebraiczna</td> <td>przestępny</td> <td>przestępna </td></tr> <tr> <td>rzeczywista</td> <td>rzeczywisty</td> <td>rzeczywista </td></tr> <tr> <td>zespolona</td> <td>zespolony</td> <td>zespolona </td></tr></tbody></table></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kolejność_wykonywania_działań"><span id="Kolejno.C5.9B.C4.87_wykonywania_dzia.C5.82a.C5.84"></span>Kolejność wykonywania działań</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Kolejność wykonywania działań" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Kolejność wykonywania działań"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Odejmowanie wykonujemy od lewej do prawej: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b-c-d=((a-b)-c)-d.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b-c-d=((a-b)-c)-d.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12268ac7a6c3e4a11a74f10153be575103432bcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.306ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a-b-c-d=((a-b)-c)-d.}"></span></dd></dl> <p>Kolejność wykonywania odejmowania ma znaczenie (odejmowanie nie jest łączne): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (4-3)-2=1-2=-1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (4-3)-2=1-2=-1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5dae4e801385c74bf3d3f6a412436578d8719e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.957ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (4-3)-2=1-2=-1,}"></span></dd></dl> <p>ale </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4-(3-2)=4-1=3.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>3.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4-(3-2)=4-1=3.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438061c7e316901e14d29a4e7cf5264f9b190987" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.149ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4-(3-2)=4-1=3.}"></span></dd></dl> <p>Odejmowanie nie jest również przemienne, zamiana argumentów zmienia znak różnicy: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10-4=6,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10-4=6,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfe6fd2c839940f59990bfe70574237754d7b49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.236ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 10-4=6,}"></span></dd></dl> <p>ale </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4-10=-6.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>6.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4-10=-6.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42a55aba5d556e9c4e0f16181e026f27967756a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.044ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4-10=-6.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Różnica_funkcji"><span id="R.C3.B3.C5.BCnica_funkcji"></span>Różnica funkcji</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Różnica funkcji" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Różnica funkcji"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Różnicę funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\colon X\to Y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\colon X\to Y,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4079999d39e2f86fb72dc7901b180ed91ae8b76c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.477ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g\colon X\to Y,}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"></span> jest pewnym zbiorem ze dodawaniem jako <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działaniem wewnętrznym</a> (czyli <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupą</a> czy, w szczególności, <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzenią liniową</a>) definiuje się jako </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181c40fc9cd0965bf1eb284018dac5ff1669ba33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.795ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)}"></span> dla wszystkich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0deab6a01578b5b543b772df12dc0d2c593cc924" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.797ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X.}"></span></dd></dl> <p>Przykłady użycia: </p> <ul><li>Traktując <a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierze</a> jako funkcje można określić w ten sposób działanie <a href="/wiki/Dodawanie_macierzy" title="Dodawanie macierzy">odejmowania macierzy</a>. Aby odjąć dwie macierze wystarczy odjąć ich elementy.</li> <li>Traktując <a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągi</a> jako funkcje można określić odejmowanie ciągów.</li> <li>Traktując wielomiany (właściwie funkcje wielomianowe) jako funkcje rzeczywiste <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadf3927293c3bb66c6bb34668923799af3484b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"></span> otrzymujemy analogiczną definicję odejmowania, używaną w <a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">analizie matematycznej</a>.</li> <li>Traktując wielomiany jako ciągi współczynników (np. zapisując <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3x^{2}+x+5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3x^{2}+x+5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c57e50d62a49d323569df704970cd0c70266e0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.719ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3x^{2}+x+5}"></span> jako <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (5,1,3,0,0,\dots )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (5,1,3,0,0,\dots )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5d80b6c3251e863322a363b5e770d6dab64b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.515ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (5,1,3,0,0,\dots )}"></span>) otrzymuje się definicję różnicy wielomianów używaną w algebrze abstrakcyjnej; aby odjąć dwa wielomiany należy odjąć ich współczynniki. Definicję tę rozszerza się w oczywisty sposób na <a href="/w/index.php?title=Pier%C5%9Bcie%C5%84_szereg%C3%B3w_formalnych&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pierścień szeregów formalnych (strona nie istnieje)">pierścień szeregów formalnych</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Odejmowanie_modulo">Odejmowanie modulo</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Odejmowanie modulo" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Odejmowanie modulo"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Działanie odejmowania można określić w <a href="/wiki/Arytmetyka_modularna#Definicja" title="Arytmetyka modularna">pierścieniu Z<sub>n</sub></a>. </p><p>Odejmowanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia różnicy liczb przez <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.042ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n.}"></span> Przykład: w algebrze <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{5}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3539f4e08101ff96b1587c843950789b72db0c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Z_{5}}"></span> zachodzi: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0-1\equiv 4\ {\pmod {5}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>≡</mo> <mn>4</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0-1\equiv 4\ {\pmod {5}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ffe01a15b1842166ed04257798589dd8737dfc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.5ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0-1\equiv 4\ {\pmod {5}},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4-1\equiv 3\ {\pmod {5}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>≡</mo> <mn>3</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4-1\equiv 3\ {\pmod {5}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2aab100131309610f5388b2d7a6af47ad95794a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.5ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4-1\equiv 3\ {\pmod {5}},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4-4\equiv 0\ {\pmod {5}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>≡</mo> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4-4\equiv 0\ {\pmod {5}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4467aecaa85c33e1fc849edd846dcb8d0b532a26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.5ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4-4\equiv 0\ {\pmod {5}}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Odejmowanie_wektorów"><span id="Odejmowanie_wektor.C3.B3w"></span>Odejmowanie wektorów</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Odejmowanie wektorów" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Odejmowanie wektorów"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_wektor%C3%B3w" title="Różnica wektorów">Różnica wektorów</a>.</i></div> <p>Odejmowanie <a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektorów</a> polega na odejmowaniu ich współrzędnych. Można też sprowadzić odejmowanie wektora do dodawania wektora o przeciwnym zwrocie. Wówczas takie dwa wektory można dodawać algebraicznie lub geometrycznie (używając reguły trójkąta lub <a href="/wiki/Regu%C5%82a_r%C3%B3wnoleg%C5%82oboku" title="Reguła równoległoboku">reguły równoległoboku</a>) </p><p>Gdy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> jest <a href="/wiki/Punkt_(geometria)" title="Punkt (geometria)">punktem</a> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> jest wektorem to różnicę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b80866c2bf2f1bc1f2e4c97e7937f5663150ea6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a-b}"></span> należy rozumieć jako <a href="/wiki/Translacja_(matematyka)" title="Translacja (matematyka)">translację</a> punktu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> o wektor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -b.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -b.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4fe9d4977b97450b2fc045e86a4c01e850fc8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.453ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -b.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Odejmowanie_jako_działanie_w_strukturze_algebraicznej"><span id="Odejmowanie_jako_dzia.C5.82anie_w_strukturze_algebraicznej"></span>Odejmowanie jako działanie w strukturze algebraicznej</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Odejmowanie jako działanie w strukturze algebraicznej" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Odejmowanie jako działanie w strukturze algebraicznej"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Odejmowanie elementów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> jest określane jako działanie odwrotne do dodawania: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fee7e467bcd2fe2f62bf2e4bd5d67a2056ac4e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:22.607ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}"></span></dd></dl> <p>Nie zawsze istnieje element <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> o takich właściwościach. Na przykład w zbiorze liczb naturalnych, tworzących z dodawaniem tzw. <a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupę</a>, nie da się odjąć większej liczby od mniejszej. W strukturach algebraicznych zwanych <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupami</a> jest to już zawsze możliwe (jeśli to <a href="/wiki/Grupa_addytywna" title="Grupa addytywna">grupa addytywna</a>); tam zawsze <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b=a+(-b),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b=a+(-b),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94a9bb600a21d642c567cd68b7790fc34009b25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a-b=a+(-b),}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133483a1fba17ce25b728fa3448ea784c5ba3630" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.806ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -b}"></span> jest <a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">elementem przeciwnym</a> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.644ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b.}"></span> Czasem w różnych abstrakcyjnych strukturach, dla odróżnienia od zwykłego odejmowania liczb, stosuje się inny podobny znak, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ominus .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊖</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ominus .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcb99dc2e8268b923193a988546842584ad4979" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ominus .}"></span> </p><p>Generalnie w strukturach zwanych <a href="/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_(matematyka)" title="Pierścień (matematyka)">pierścieniami</a> odejmowanie nie jest <a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienne</a>, <a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączne</a>, jest jednak <a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Rozdzielność">rozdzielne</a> względem <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenia</a> (w przypadku przestrzeni liniowej jest to rozdzielność względem mnożenia <a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektora</a> przez <a href="/wiki/Skalar_(matematyka)" title="Skalar (matematyka)">skalar</a>). </p><p>Równości i <a href="/wiki/Kongruencja_(algebra)" title="Kongruencja (algebra)">kongruencje</a> można odejmować stronami: </p> <ul><li>jeżeli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1956b03d1314c7071ac1f45ed7b1e29422dcfcc4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=b}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8498d2878942ddeef7d6a8ec870959f0d38d32e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.321ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=d}"></span> to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-c=b-d,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-c=b-d,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727623147350217bd6670f450b9250348d7ef815" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.876ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a-c=b-d,}"></span></li> <li>jeżeli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>≡</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb66ad4d03232b185b3dd6a6ee293943f21f786" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.405ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\equiv d{\pmod {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>≡</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\equiv d{\pmod {n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa787a651a874b0d24cf4e3630bd74f5cb1b867" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c\equiv d{\pmod {n}}}"></span> to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-c\equiv b-d{\pmod {n}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>≡</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-c\equiv b-d{\pmod {n}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e90420c9abe6a62853a6391d4accbcd0c9aca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.955ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a-c\equiv b-d{\pmod {n}}.}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/28px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png" decoding="async" width="28" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/42px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/56px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 2x" data-file-width="122" data-file-height="117" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/odejmowanie" class="extiw" title="wikt:odejmowanie"><strong>Zobacz hasło</strong> <em>odejmowanie</em> w Wikisłowniku</a> </td></tr></tbody></table> <ul><li><a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_zbior%C3%B3w" title="Różnica zbiorów">różnica zbiorów</a> – odpowiednik w <a href="/wiki/Teoria_mnogo%C5%9Bci" title="Teoria mnogości">teorii mnogości</a> (<a href="/wiki/Teoria_prawdopodobie%C5%84stwa" title="Teoria prawdopodobieństwa">rachunku prawdopodobieństwa</a> i <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geometrii</a>)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Znak ten zbliżony jest do <a href="/wiki/Pauza_i_p%C3%B3%C5%82pauza" title="Pauza i półpauza">półpauzy</a>, krótszy od <a href="/wiki/Pauza_i_p%C3%B3%C5%82pauza" title="Pauza i półpauza">pauzy</a> (oba służą oznaczaniu <a href="/wiki/My%C5%9Blnik" title="Myślnik">myślnika</a>), a dłuższy od <a href="/wiki/Dywiz" title="Dywiz">dywizu</a> (łącznika).</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Odejmowanie&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3969607"><i>różnica</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2024-02-02]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=r%C3%B3%C5%BCnica&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3969607" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-epwn-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-epwn_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-epwn_3-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3949833"><i>odejmowanie</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2024-02-02]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=odejmowanie&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3949833" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> </ol></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output 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istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Arytmetyka_elementarna&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">Arytmetyka elementarna</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawowe<br />typy <a href="/wiki/Liczba" title="Liczba">liczb</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">naturalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">parzyste i nieparzyste</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie i ujemne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a> (+)</li> <li><a class="mw-selflink selflink">odejmowanie</a> (− -)</li> <li><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenie</a> (· × *) <ul><li><a href="/wiki/Tabliczka_mno%C5%BCenia" title="Tabliczka mnożenia">tabliczka mnożenia</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenie</a> (: ÷ /) <ul><li><a href="/wiki/Dzielenie_przez_zero" title="Dzielenie przez zero">przez zero</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_dzieleniu_z_reszt%C4%85" title="Twierdzenie o dzieleniu z resztą">z resztą</a></li> <li><a href="/wiki/Modulo" title="Modulo">modulo</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie">potęgowanie</a> (^) <ul><li><a href="/wiki/Algorytm_szybkiego_pot%C4%99gowania" title="Algorytm szybkiego potęgowania">algorytm szybkiego potęgowania</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczba_przeciwna" title="Liczba przeciwna">liczba przeciwna</a></li> <li><a href="/wiki/Liczba_odwrotna" title="Liczba odwrotna">liczba odwrotna</a></li> <li><a href="/wiki/Kwadrat_(algebra)" title="Kwadrat (algebra)">kwadrat</a> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_kwadratowe" title="Liczby kwadratowe">liczby kwadratowe</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Sze%C5%9Bcian_(algebra)" title="Sześcian (algebra)">sześcian</a></li> <li><a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a></li> <li><a href="/wiki/Zaokr%C4%85glanie" title="Zaokrąglanie">zaokrąglanie</a> <ul><li><a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">podłoga i sufit</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamki</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">zwykłe</a></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny" title="Ułamek dziesiętny">dziesiętne</a> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny_niesko%C5%84czony" title="Ułamek dziesiętny nieskończony">nieskończone</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_egipski" title="Ułamek egipski">egipskie</a></li> <li><a href="/wiki/Procent" title="Procent">procent</a> (%)</li> <li><a href="/wiki/Punkt_procentowy" title="Punkt procentowy">punkt procentowy</a></li> <li><a href="/wiki/Promil" title="Promil">promil</a> (‰)</li> <li><a href="/wiki/Punkt_bazowy" title="Punkt bazowy">punkt bazowy</a> (‱)</li> <li><a href="/wiki/Sposoby_zapisu_bezwymiarowego_stosunku_dw%C3%B3ch_wielko%C5%9Bci" title="Sposoby zapisu bezwymiarowego stosunku dwóch wielkości">ppm, ppb itp.</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Symbol" title="Symbol">symbole</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a5_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Cyfra" title="Cyfra">cyfry</a></li> <li><a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">plus i minus</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_plus-minus" title="Znak plus-minus">plus-minus</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Separator_dziesi%C4%99tny" title="Separator dziesiętny">separator dziesiętny</a> <ul><li><a href="/wiki/Przecinek" title="Przecinek">przecinek</a></li> <li><a href="/wiki/Kropka" title="Kropka">kropka</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Procent_(symbol)" title="Procent (symbol)">symbol procenta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">plus i minus</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_plus-minus" title="Znak plus-minus">plus-minus</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Znak_mno%C5%BCenia" title="Znak mnożenia">znak mnożenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Kropka_%C5%9Brodkowa" title="Kropka środkowa">kropka środkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Asterysk" title="Asterysk">asterysk</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Znak_dzielenia" title="Znak dzielenia">znak dzielenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Dwukropek" title="Dwukropek">dwukropek</a></li> <li><a href="/wiki/Uko%C5%9Bnik" title="Ukośnik">ukośnik</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kareta_(znak)" title="Kareta (znak)">kareta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">relacji</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Znak_r%C3%B3wno%C5%9Bci" title="Znak równości">znak równości</a></li> <li><a href="/wiki/Znak_nier%C3%B3wno%C5%9Bci" title="Znak nierówności">znaki nierówności</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Nawias" title="Nawias">nawiasy</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">reguły zapisu</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">systemy liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Notacja_naukowa" title="Notacja naukowa">notacja naukowa</a> <ul><li><a href="/wiki/Cyfry_znacz%C4%85ce" title="Cyfry znaczące">cyfry znaczące</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kolejno%C5%9B%C4%87_wykonywania_dzia%C5%82a%C5%84" title="Kolejność wykonywania działań">kolejność wykonywania działań</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row">prawa działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Rozdzielność">rozdzielność</a></li> <li><a href="/wiki/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia" title="Wzory skróconego mnożenia">wzory skróconego mnożenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Dwumian_Newtona" title="Dwumian Newtona">dwumian Newtona</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Narz%C4%99dzie" title="Narzędzie">narzędzia</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a8_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Liczyd%C5%82o" title="Liczydło">liczydła</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Abakus_(liczyd%C5%82o)" title="Abakus (liczydło)">abak</a></li> <li><a href="/wiki/Kostki_Napiera" title="Kostki Napiera">kostki Napiera</a></li> <li><a href="/wiki/Soroban" title="Soroban">soroban</a></li> <li><a href="/wiki/Suanpan" title="Suanpan">suanpan</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Kalkulator" title="Kalkulator">kalkulatory</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Arytmometr" title="Arytmometr">arytmometr</a></li> <li><a href="/wiki/Sumator_(maszyna_biurowa)" title="Sumator (maszyna biurowa)">sumator</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Suwak_logarytmiczny" title="Suwak logarytmiczny">suwak logarytmiczny</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Symbol_nieoznaczony" title="Symbol nieoznaczony">symbol nieoznaczony</a></li> <li><a href="/wiki/Obliczeniowiec" title="Obliczeniowiec">obliczeniowiec</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row">rozszerzenia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_liczb" title="Teoria liczb">teoria liczb</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">arytmetyka modularna</a></li> <li><a href="/wiki/Rachunek_b%C5%82%C4%99d%C3%B3w" title="Rachunek błędów">rachunek błędów</a> <ul><li><a href="/wiki/Analiza_przedzia%C5%82owa" title="Analiza przedziałowa">analiza przedziałowa</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description">pojęcie matematyczne</span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85129563">sh85129563</a></span></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4359078-0">4359078-0</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale" title="Bibliothèque nationale">BnF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11940282d">11940282d</a></span></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=38168">38168</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej" title="Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph898519">ph898519</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007543733805171">987007543733805171</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/subtraction">topic/subtraction</a></span></li> <li><a href="/wiki/Wielka_Encyklopedia_Rosyjska" title="Wielka Encyklopedia Rosyjska">БРЭ</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/text/2379741">2379741</a></span></li> <li><a href="/wiki/Nationalencyklopedin" title="Nationalencyklopedin">NE.se</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/subtraktion">subtraktion</a></span></li> <li><a href="/wiki/Store_norske_leksikon" title="Store norske leksikon">SNL</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=subtraksjon">subtraksjon</a></span></li> <li><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1296" class="extiw" title="d:Property:P1296">Catalana</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0207848.xml">0207848</a></span></li> <li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=subtraktion">subtraktion</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Odejmowanie&oldid=72744387">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Odejmowanie&oldid=72744387</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Dzia%C5%82ania_na_liczbach" title="Kategoria:Działania na liczbach">Działania na liczbach</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Dzia%C5%82ania_dwuargumentowe" title="Kategoria:Działania dwuargumentowe">Działania dwuargumentowe</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li 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