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</ul> </li> <li id="toc-Densité_spectrale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Densité_spectrale"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Densité spectrale</span> </div> </a> <ul id="toc-Densité_spectrale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Relation_avec_les_processus_aléatoires" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Relation_avec_les_processus_aléatoires"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Relation avec les processus aléatoires</span> </div> </a> <ul id="toc-Relation_avec_les_processus_aléatoires-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Analyse spectrale</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. 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href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Спектрален анализ – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Спектрален анализ" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Spektralanalyse" title="Spektralanalyse – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Spektralanalyse" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralanalyse" title="Spektralanalyse – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Spektralanalyse" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_analysis" title="Spectral analysis – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Spectral analysis" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_espectral" title="Análisis espectral – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Análisis espectral" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Spektraalanal%C3%BC%C3%BCs" title="Spektraalanalüüs – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Spektraalanalüüs" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%AD%D9%84%DB%8C%D9%84_%D8%B7%DB%8C%D9%81%DB%8C" title="تحلیل طیفی – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تحلیل طیفی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Spektralna_analiza" title="Spektralna analiza – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Spektralna analiza" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%ADnk%C3%A9pelemz%C3%A9s" title="Színképelemzés – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Színképelemzés" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8D%D5%BA%D5%A5%D5%AF%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%AC%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BE%D5%A5%D6%80%D5%AC%D5%B8%D6%82%D5%AE%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Սպեկտրալուսաչափական վերլուծություն – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Սպեկտրալուսաչափական վերլուծություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménien" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%88%86%E6%9E%90" title="スペクトル分析 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="スペクトル分析" data-language-autonym="日本語" 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href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Analiza_widmowa" title="Analiza widmowa – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Analiza widmowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Analiz%C4%83_spectral%C4%83" title="Analiză spectrală – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Analiză spectrală" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Спектральный анализ – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Спектральный анализ" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Spektr%C3%A1lna_anal%C3%BDza" title="Spektrálna analýza – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Spektrálna analýza" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Спектральний аналіз – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Спектральний аналіз" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_quang_ph%E1%BB%95" title="Phân tích quang phổ – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phân tích quang phổ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%89%E8%B0%B1%E5%88%86%E6%9E%90" title="光谱分析 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="光谱分析" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q280453#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav 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class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>En <a href="/wiki/Physique" title="Physique">physique</a>, l'<b>analyse spectrale</b> recouvre plusieurs techniques de description de signaux (variables selon le temps ou, plus rarement, dans l'espace) dans le domaine des fréquences. Elle permet en particulier d'obtenir les caractéristiques de la réponse d'un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_m%C3%A9canique_lin%C3%A9aire" title="Système mécanique linéaire">système linéaire</a> en utilisant une <a href="/wiki/Fonction_de_transfert" title="Fonction de transfert">fonction de transfert</a>. En mathématiques, l'<a href="/wiki/Analyse_harmonique_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse harmonique (mathématiques)">analyse harmonique</a> correspond à une partie de ces techniques. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Présentation"><span id="Pr.C3.A9sentation"></span>Présentation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Présentation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Présentation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un <a href="/wiki/Ph%C3%A9nom%C3%A8ne_physique" title="Phénomène physique">phénomène physique</a> dépendant du temps est décrit par un ou plusieurs signaux. On ne peut qu'exceptionnellement les interpréter de façon simple. Le problème est de trouver une description de leur contenu, relativement générale et adaptée aux problèmes concrets. Ceux-ci se présentent souvent de la manière suivante : un système transforme un signal d'entrée en un signal de sortie, comment déterminer les caractéristiques de celui-ci en fonction de celles du signal d'entrée et de celles du système ? </p><p>Dans le cas général, on ne connaît malheureusement pas la relation entre les valeurs du signal de sortie et celles du signal d'entrée mais seulement la relation entre les variations du signal de sortie et les valeurs (ou éventuellement les variations) du signal d'entrée. En termes <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, le système est régi par une <a href="/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle" title="Équation différentielle">équation différentielle</a>. Si celle-ci est quelconque, le problème est insoluble. </p><p>Heureusement, il existe une classe importante de systèmes, les systèmes linéaires (ou supposés tels) régis par le principe de superposition. Dans ce cas, correspondant à une équation différentielle linéaire, on peut essayer de décomposer le signal d'entrée en une somme de signaux simples auxquels on saurait faire correspondre des signaux de sortie également simples dont la somme donnerait le résultat cherché. </p><p>Le problème se simplifie encore plus si les caractéristiques du système restent constantes au cours du temps. On a affaire à une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Les signaux simples sont les <a href="/wiki/Signal_sinuso%C3%AFdal" title="Signal sinusoïdal">sinusoïdes</a> qui subissent uniquement une amplification et un déphasage. C'est le problème de l'analyse spectrale : décomposer un signal compliqué en une somme de sinusoïdes. </p><p>Ici apparaît une difficulté car cette décomposition exige que le signal soit défini sur un temps infini. Or il ne peut être connu qu'à travers un enregistrement de durée limitée : il faut donc construire un modèle du signal en faisant des hypothèses, souvent évidentes intuitivement, sur la partie non enregistrée du phénomène. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Différents_modèles"><span id="Diff.C3.A9rents_mod.C3.A8les"></span>Différents modèles</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Différents modèles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Différents modèles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On peut supposer, par exemple, que le signal reproduit indéfiniment le contenu de l'enregistrement : on construit alors un modèle périodique basé sur la <a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier" title="Série de Fourier">série de Fourier</a>. Le signal est décrit par un spectre discret (ensemble de fréquences en progression arithmétique). </p><p>On peut aussi supposer que le niveau du signal est négligeable en dehors de l'enregistrement : on utilise dans ce cas un modèle transitoire basé sur la <a href="/wiki/Transformation_de_Fourier" title="Transformation de Fourier">transformation de Fourier</a> qui conduit en général à un spectre continu. </p><p>Il existe un certain nombre de phénomènes naturels pour lesquels aucune de ces deux hypothèses n'est réaliste. Par exemple, un enregistrement de vagues, sans montrer de périodicité, ne montre pas non plus de décroissance nette au cours de sa durée relativement faible : on parle alors de signal à variance finie (certains préfèrent parler de puissance finie mais ce n'est pas toujours pertinent techniquement), ce qui conduit à la notion de <a href="/wiki/Densit%C3%A9_spectrale_de_puissance" title="Densité spectrale de puissance">densité spectrale</a>. On peut alors utiliser une hypothèse un peu plus floue selon laquelle la moyenne quadratique calculée sur l'enregistrement fournit une estimation raisonnable de la <a href="/wiki/Moyenne_quadratique" title="Moyenne quadratique">moyenne quadratique</a> du signal. Ce type d'analyse conduit encore à un spectre continu. Il se définit, comme les précédents, à partir du signal mais on peut obtenir des informations supplémentaires en considérant celui-ci comme une réalisation d'un <a href="/wiki/Processus_stochastiques" class="mw-redirect" title="Processus stochastiques">processus aléatoire</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Signaux_périodiques"><span id="Signaux_p.C3.A9riodiques"></span>Signaux périodiques</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Signaux périodiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Signaux périodiques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table border="0"> <tbody><tr> <td valign="top"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Exemple_de_signal_periodique.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f3/Exemple_de_signal_periodique.png" decoding="async" width="314" height="206" class="mw-file-element" data-file-width="314" data-file-height="206" /></a></span> </td> <td><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Spectre_amplitude_signal_periodique.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Spectre_amplitude_signal_periodique.png" decoding="async" width="350" height="450" class="mw-file-element" data-file-width="350" data-file-height="450" /></a></span> </td></tr></tbody></table> <p>Le développement en série de Fourier d'un enregistrement de durée <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> associe à celui-ci des sinusoïdes d'amplitudes finies et de fréquences multiples de la fréquence du fondamental <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c65d71898c50a164ddce47f4069f9eacde5fa0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.472ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{T}}}"></span>. On parle d'un spectre d'amplitude qui est un spectre de raies. Dans le cas général, le résultat de l'analyse peut s'exprimer soit en amplitudes et phases, soit en composantes cosinus et sinus. </p><p>La sommation des sinusoïdes crée un <a href="/wiki/Signal_p%C3%A9riodique" title="Signal périodique">signal périodique</a>. Si le signal d'origine est périodique, il est parfaitement représenté – au moins en principe. Dans le cas contraire on n'a représenté que l'enregistrement et il faut tenter de trouver autre chose. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Signaux_transitoires">Signaux transitoires</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Signaux transitoires" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Signaux transitoires"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Exemple_de_signal_transitoire.png" class="mw-file-description" title="Exemple de signal transitoire"><img alt="Exemple de signal transitoire" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Exemple_de_signal_transitoire.png" decoding="async" width="314" height="220" class="mw-file-element" data-file-width="314" data-file-height="220" /></a><figcaption>Exemple de signal transitoire</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Spectre_densite_amplitude_signal_transitoire.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Spectre_densite_amplitude_signal_transitoire.png" decoding="async" width="350" height="450" class="mw-file-element" data-file-width="350" data-file-height="450" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>Ici, on raisonnera d'abord sur le signal de durée supposée infinie avant de voir les conséquences pour un enregistrement de durée finie. Si ce signal n'est pas périodique, n'a pas de période finie, on peut essayer de voir ce qui se passerait si on lui prêtait une période infinie. Cela entraîne les conséquences suivantes : </p> <ul><li>Lorsque la durée d'analyse <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> tend vers l'infini, le pas de fréquence <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c65d71898c50a164ddce47f4069f9eacde5fa0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.472ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{T}}}"></span> tend vers 0 : à la limite on passe d'un spectre discret à un spectre continu.</li> <li>Au cours de cette croissance de la durée d'analyse, lorsque celle-ci est multipliée par un nombre <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> quelconque, le nombre de composantes est multiplié par le même facteur. Pour que le niveau du signal ne soit pas augmenté dans les mêmes proportions il faut que les amplitudes des composantes soient, en gros, divisées par <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span>, ce qui risque de conduire à la limite à des amplitudes nulles. On pare cette difficulté en multipliant les coefficients de Fourier par la longueur d'analyse ou en les divisant par le pas de fréquence qui tend vers zéro. Ainsi, le spectre continu n'est plus un spectre d'amplitude mais un spectre de densité d'amplitude dont l'unité est unité physique / hertz.</li> <li>Malgré ces précautions, la méthode peut diverger. Une condition de convergence est que le signal doit être transitoire : il doit tendre vers 0 lorsque le temps tend vers <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm \infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c586ae37f8efec026b8a4ea3f6a5253576c2c4e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm \infty }"></span>.</li></ul> <p>On obtient ainsi la transformée du signal <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}"></span> que l'on note généralement <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X(f)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X(f)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e865b84e1e716c652b502715a0b9376e7032993" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X(f)}"></span>, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> étant la fréquence. </p><p>Si on retourne à un enregistrement de durée limitée, il y a deux possibilités : </p> <ol><li>Le signal n'est différent de zéro que pendant une durée limitée : l'analyse pendant cette durée fournit, au moins en principe, un résultat exact permettant de reconstituer le signal par inversion de la transformation ;</li> <li>Le signal a des valeurs différentes de zéro pendant une durée supérieure à celle de l'enregistrement : l'imprécision du résultat croît avec la quantité d'information perdue. L'erreur ainsi commise se traduit concrètement par une dispersion de l'énergie correspondant à une fréquence sur les fréquences voisines et mathématiquement par la notion de convolution.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Signaux_à_variance_finie"><span id="Signaux_.C3.A0_variance_finie"></span>Signaux à variance finie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Signaux à variance finie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Signaux à variance finie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Signal_variance_finie.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Signal_variance_finie.png/220px-Signal_variance_finie.png" decoding="async" width="220" height="144" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/Signal_variance_finie.png 1.5x" data-file-width="314" data-file-height="206" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>Le problème est plus compliqué que dans le cas précédent et on peut l'aborder de diverses manières. Celle que nous utiliserons n'est certainement pas la plus efficace d'un point de vue scientifique mais elle a l'avantage de montrer quelques points essentiels sans les cacher derrière des considérations mathématiques, sinon particulièrement difficiles, du moins assez lourdes. Pour s'affranchir de problèmes spécifiques liés à la prise en compte d'une moyenne non nulle, on supposera que le signal a été préalablement centré par soustraction de sa moyenne. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonction_d'autocovariance"><span id="Fonction_d.27autocovariance"></span>Fonction d'autocovariance</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Fonction d'autocovariance" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Fonction d'autocovariance"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Signal_variance_finie_autocovariance.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Signal_variance_finie_autocovariance.png/220px-Signal_variance_finie_autocovariance.png" decoding="async" width="220" height="144" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/Signal_variance_finie_autocovariance.png 1.5x" data-file-width="314" data-file-height="206" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>Étant donné un signal <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}"></span>, on appelle fonction d'<a href="/wiki/Autocovariance" title="Autocovariance">autocovariance</a> — souvent assimilée à tort à l'<a href="/wiki/Autocorr%C3%A9lation" title="Autocorrélation">autocorrélation</a> — la fonction de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> qui donne la moyenne des produits des valeurs de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}"></span> à deux instants qui diffèrent de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{x}(\tau )={\overline {x(t)x(t+\tau )}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{x}(\tau )={\overline {x(t)x(t+\tau )}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6b72d1e4c018d31fc573d77b7936464154a0cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.161ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle R_{x}(\tau )={\overline {x(t)x(t+\tau )}}}"></span></dd></dl> <p>Dans le calcul de cette moyenne, t varie de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2608c4b5fd3bffc73585f8c67e379b4e99b6f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\infty }"></span> à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +\infty }"></span>. Si le signal est transitoire, la fonction est nulle ; s'il est périodique, elle est elle-même périodique. En se plaçant dans le cas d'un signal qui n'appartient de toute évidence à aucune des deux catégories, la fonction possède les propriétés suivantes : </p> <ul><li>le changement de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229db193222123c1e6620d01422c4d5d5dbc9f8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.01ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\tau }"></span> n'apporte aucune modification : la fonction est paire ;</li> <li>à l'origine, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{x}(0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{x}(0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073707f5043b68e1cfbe9685ef31fe3e852b2b54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.908ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{x}(0)}"></span> représente la variance qui est nécessairement positive ;</li> <li>la symétrie impose qu'il s'agisse d'un <a href="/wiki/Extremum" title="Extremum">extremum</a>. En fait, il s'agit d'un maximum : si dans le calcul on remplace le décalage 0 par un petit décalage <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span>, à chaque franchissement du niveau 0, on remplace un petit produit positif par un petit produit négatif ;</li> <li>en exceptant le cas du signal périodique, deux points séparés par un grand décalage <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> ont peu de choses en commun : la fonction tend vers 0 lorsque ce décalage tend vers l'infini ;</li> <li>au total, la fonction a souvent une vague allure de sinusoïde amortie ;</li> <li>on peut, si c'est possible, assimiler le signal à une somme de sinusoïdes. Supposons que ce soit le cas. Que les amplitudes soient finies ou infiniment petites, on peut écrire cette somme sous la forme :</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=\sum _{n}a_{n}\cos(\omega _{n}t+\varphi _{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=\sum _{n}a_{n}\cos(\omega _{n}t+\varphi _{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e677aed51f26d8bea4290899b19f7a5a7f755b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:27.658ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle x(t)=\sum _{n}a_{n}\cos(\omega _{n}t+\varphi _{n})}"></span></dd></dl> <p>Dans ces conditions on montre que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{x}(\tau )=\sum _{n}{a_{n}^{2} \over 2}\cos {\omega _{n}\tau }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>τ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{x}(\tau )=\sum _{n}{a_{n}^{2} \over 2}\cos {\omega _{n}\tau }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd447ef037647f266e5154ff6f26190459bb2895" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.824ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle R_{x}(\tau )=\sum _{n}{a_{n}^{2} \over 2}\cos {\omega _{n}\tau }}"></span></dd></dl> <p>Ainsi : </p> <ul><li>la fonction d'autocovariance contient les mêmes fréquences que le signal ;</li> <li>les amplitudes ne sont pas identiques mais elles sont obtenues par élévation au carré et division par 2 ;</li> <li>les phases ont entièrement disparu : l'autocovariance correspond non seulement au signal d'origine, mais aussi à tous ceux qui contiennent les mêmes composantes.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Densité_spectrale"><span id="Densit.C3.A9_spectrale"></span>Densité spectrale</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Densité spectrale" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Densité spectrale"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Signal_variance_finie_densite_spectrale.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Signal_variance_finie_densite_spectrale.png/220px-Signal_variance_finie_densite_spectrale.png" decoding="async" width="220" height="144" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Signal_variance_finie_densite_spectrale.png 1.5x" data-file-width="314" data-file-height="206" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>On peut déduire de ce qui précède : </p> <ul><li>la fonction d'autocovariance possède une transformée de Fourier que l'on nomme densité spectrale et que l'on note généralement <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{x}(f)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{x}(f)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5e885fd799e064de0f95334e121f5567401616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.685ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{x}(f)}"></span>, f étant la fréquence ;</li> <li>les composantes de l'autocovariance étant homogènes à des carrés d'amplitude, la densité spectrale est non négative. Elle a une dimension (unité physique)<sup>2</sup> / Hertz ;</li> <li>l'autocovariance étant une fonction réelle et paire, sa transformée de Fourier possède les mêmes caractéristiques ;</li> <li>un enregistrement tronquant toujours le signal censé se maintenir pendant un temps infini, la densité spectrale est nécessairement déformée par convolution.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Relation_avec_les_processus_aléatoires"><span id="Relation_avec_les_processus_al.C3.A9atoires"></span>Relation avec les processus aléatoires</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Relation avec les processus aléatoires" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Relation avec les processus aléatoires"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>À la déformation du contenu en fréquences déjà constatée pour les signaux transitoires s'ajoute une incertitude statistique liée à la position de l'enregistrement sur le signal. </p><p>La fonction d'autocovariance correspond à toute une famille de signaux qui contiennent les mêmes composantes. On peut interpréter cette famille comme celle des réalisations d'un <a href="/wiki/Processus_continu" title="Processus continu">processus continu</a>. Un enregistrement de durée limitée peut également être considéré comme une réalisation d'un autre processus. Cela permet de préciser avec des intervalles de confiance la valeur statistique de l'analyse effectuée. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Lin1976"><span class="ouvrage" id="Y._K._Lin1976"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Y. K. <span class="nom_auteur">Lin</span>, <cite class="italique" lang="en">Probabilistic Theory of Structural Dynamics</cite>, New York, Robert E. Krieger Publishing Company, <time class="nowrap" datetime="1976-07" data-sort-value="1976-07">juillet 1976</time>, 368 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-88275-377-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-88275-377-0"><span class="nowrap">0-88275-377-0</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Probabilistic+Theory+of+Structural+Dynamics&rft.place=New+York&rft.pub=Robert+E.+Krieger+Publishing+Company&rft.aulast=Lin&rft.aufirst=Y.+K.&rft.date=1976-07&rft.tpages=368&rft.isbn=0-88275-377-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAnalyse+spectrale"></span></span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analyse_spectrale&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/R%C3%A9ponse_en_fr%C3%A9quence" title="Réponse en fréquence">Réponse en fréquence</a></li> <li><a href="/wiki/Spectroscopie" title="Spectroscopie">Spectroscopie</a></li> <li><a href="/wiki/Spectre_d%27ondes_planes" title="Spectre d'ondes planes">Spectre d'ondes planes</a></li> <li>En mathématiques : <a href="/wiki/Analyse_harmonique_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse harmonique (mathématiques)">analyse harmonique</a></li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Physique" title="Portail de la physique"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/24px-Circle-icons-physics-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/36px-Circle-icons-physics-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/48px-Circle-icons-physics-logo.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Physique" title="Portail:Physique">Portail de la physique</a></span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Analyse" title="Portail de l'analyse"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/24px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/36px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/48px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Analyse" title="Portail:Analyse">Portail de l'analyse</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; 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