CINXE.COM
beskonačno - Hrvatska enciklopedija
<!DOCTYPE html> <html lang="hr"> <head> <meta charset="utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" /> <title>beskonačno - Hrvatska enciklopedija</title> <link rel="stylesheet" href="/lib/bootstrap/dist/css/bootstrap.min.css" /> <link rel="stylesheet" href="/css/site.css?v=aloXpnyJZY1CI82ecVYHMjJxHCRd1QASDdrJLGGVljo" /> <link rel="stylesheet" href="/css/edicija.css?v=nWB4zkqd6uP2jryLevXrveaQ9lLnQcuk6Shqr9-ZuG8" /> <link rel="stylesheet" href="/Enciklopedija.styles.css?v=FqXpQdF1a2Rla5RbDuOH-XQm3ENGUuk1Lvq1h6OEFyI" /> <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script> <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3.0.1/es5/tex-mml-chtml.js"></script> <link href="/lib/lightbox2/css/lightbox.min.css" rel="stylesheet" /> <script src="/lib/jquery/jquery.min.js"></script> <script src="/lib/jqueryui/jquery-ui.min.js"></script> <link href="/lib/jqueryui/themes/base/jquery-ui.min.css" rel="stylesheet" /> <link href="/lib/jqueryui/themes/base/theme.min.css" rel="stylesheet" /> <!-- Google tag (gtag.js) --> <script async src="https://www.googletagmanager.com/gtag/js?id=G-EEL30DJPVS"></script> <script> window.dataLayer = window.dataLayer || []; function gtag() { dataLayer.push(arguments); } gtag('js', new Date()); gtag('config', 'G-EEL30DJPVS'); </script> </head> <body> <header b-5bzbccjy93> <div b-5bzbccjy93> <div b-5bzbccjy93 class="container p-4 text-center"> <a class="mx-auto" href="/"><img src="/images/HeLogo.png" /><img style="height:4.8em" src="/images/hrvalskaenciklopedijatitle.png" /></a> </div> <nav b-5bzbccjy93 class="navbar navbar-light bg-white border-bottom box-shadow pb-4 mb-4 d-print-none"> <div b-5bzbccjy93 class="container col-lg-auto d-block"> <form method="get" class="container text-center" action="/Abecedarij"> <div b-5bzbccjy93 class="nav-item input-group col-centered " id="trazilica"> <input b-5bzbccjy93 type="search" placeholder="Traži..." name="q" class="search form-control" id="natuknica"> <button b-5bzbccjy93 type="submit" class="btn btn-outline-secondary btn-edicija" title="Traži"> <svg b-5bzbccjy93 xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18" height="18" fill="currentColor" class="bi bi-search"> <path b-5bzbccjy93 d="M11.742 10.344a6.5 6.5 0 1 0-1.397 1.398h-.001c.03.04.062.078.098.115l3.85 3.85a1 1 0 0 0 1.415-1.414l-3.85-3.85a1.007 1.007 0 0 0-.115-.1zM12 6.5a5.5 5.5 0 1 1-11 0 5.5 5.5 0 0 1 11 0z" /> </svg> </button> <button b-5bzbccjy93 class="navbar-toggler ms-2" title="search" type="button" data-bs-toggle="offcanvas" data-bs-target="#offcanvasNavbar" aria-controls="offcanvasNavbar"> <span b-5bzbccjy93 class="navbar-toggler-icon"></span> </button> </div> </form> <div b-5bzbccjy93 class="offcanvas offcanvas-end" tabindex="-1" id="offcanvasNavbar" aria-labelledby="offcanvasNavbarLabel"> <div b-5bzbccjy93 class="offcanvas-header"> <h5 b-5bzbccjy93 class="offcanvas-title" id="offcanvasNavbarLabel">O enciklopediji</h5> <button b-5bzbccjy93 type="button" class="btn-close" data-bs-dismiss="offcanvas" aria-label="Close"></button> </div> <div b-5bzbccjy93 class="offcanvas-body"> <ul b-5bzbccjy93 class="navbar-nav justify-content-end flex-grow-1 pe-3"> <li b-5bzbccjy93 class="nav-item"> <a class="nav-link text-dark" href="/Impresum">Impresum</a> </li> <li b-5bzbccjy93 class="nav-item"> <a class="nav-link text-dark" href="/Predgovor">Predgovor</a> </li> <li b-5bzbccjy93 class="nav-item"> <a class="nav-link text-dark" href="/Upute">Upute</a> </li> <li b-5bzbccjy93 class="nav-item"> <a class="nav-link text-dark" href="/UvjetiKoristenja">Uvjeti korištenja</a> </li> </ul> <h5 b-5bzbccjy93 class="pt-4"> Kontakt </h5> <p b-5bzbccjy93> <a b-5bzbccjy93 href="http://www.lzmk.hr">Leksikografski zavod Miroslav Krleža</a><br b-5bzbccjy93 /> Frankopanska 26, Zagreb<br b-5bzbccjy93 /> tel.: +385 1 4800 332<br b-5bzbccjy93 /> tel.: +385 1 4800 392<br b-5bzbccjy93 /> fax.: +385 1 4800 399<br b-5bzbccjy93 /> </p> <p b-5bzbccjy93> <a b-5bzbccjy93 href="mailto:urednistvoHE@lzmk.hr">urednistvoHE@lzmk.hr</a> </p> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> <div b-5bzbccjy93 class="container clearfix"> <main b-5bzbccjy93 role="main" class="pb-3"> <form method="post"> <input type="hidden" id="hfAlias" name="AliasId" /> <div class="container"> <h1 style="display:inline-block"><a href="#clanak">beskonačno</a></h1> <span class="d-print-none ps-3"> <a class="text-edicija" href="/Abecedarij?q=beskonačno">traži dalje ...</a></span> </div> <div class="container"> <div class="struke card bg-light"> <div><b>struka(e):</b> filozofija | matematika</div> </div> <div> <div class="znacenja card"> <div class="zitem op"><a href="#znacenje1">u filozofiji</a> |</div><div class="zitem op"><a href="#znacenje2">u matematici</a> </div> </div> </div> <div class="clanak"> <a name="clanak"></a> <div><p><span style="color: #8b2323"><b>beskonačno.</b></span></p><p><span style="color: #000080"><b>1.</b></span> <a name="znacenje1"></a>U filozofiji, što nema granica, bez kraja je i konca, i zato nemjerljivo. Pojam beskonačno u filozofiju je uveo Anaksimandar: <span style="color: #000000"><i><a href="https://www.enciklopedija.hr/clanak/apeiron ">apeiron</a></i></span> je bezgranična supstancija iz koje proizlaze konačni oblici materijalnog svijeta. Problem beskonačnoga određenije analizira Aristotel. On niječe postojanje aktualne, ozbiljene beskonačnosti, a priznaje samo potencijalnu beskonačnost kao bezgraničan proces. Svijet je za njega, kao i za Platona, konačan. Nasuprot tomu, G. Bruno i G. Galilei smatraju da postoje beskonačni svjetovi. U filozofiji do Hegela prevladavala je tendencija da se beskonačno izvodi iz konačnoga, koje nam je dano izravno u iskustvu. Takvu beskonačnost Hegel je nazvao »lošom beskonačnošću«, jer se s njom ostaje uvijek na konačnom, a beskonačno se pokazuje kao granica kojoj se možemo samo približavati, ali koju nikada ne možemo dosegnuti. Istinska je beskonačnost ona koja se nalazi u samom konačnom i koja se ozbiljuje prekoračenjem njegove unutar<span style="color: ##000000">nje</span> granice. U tom prekoračenju beskonačno transcendira svaki totalitet i ostaje mu nedohvatljivo (E. Levinas).</p><p><span style="color: #000080"><b>2.</b></span> <a name="znacenje2"></a>U matematici, jedan od najvažnijih matematičkih pojmova, ali i najspornijih i dugo vremena najnejasnijih. U matematičkoj analizi često se upotrebljava fraza »teži u beskonačno«. Tu se beskonačno ne shvaća kao neka određena veličina ili broj, nego u tzv. <span style="color: #000000"><i>potencijalnom smislu</i></span>. Npr., ako je <span style="color: #000000"><i>f</i></span> funkcija realne varijable <span style="color: #000000"><i>x,</i></span> tada »<span style="color: #000000"><i>f </i></span>(<span style="color: #000000"><i>x</i></span>) teži u beskonačno kada <span style="color: #000000"><i>x</i></span> teži k nuli«, znači da <span style="color: #000000"><i>f </i></span>(<span style="color: #000000"><i>x</i></span>) postaje po volji veliko ako je <span style="color: #000000"><i>x</i></span> dovoljno malen, ili, preciznije, ako je <span style="color: #000000"><i>M</i></span> bilo kako velik broj, tada postoji takav <span style="color: #000000"><i>x</i></span><sub>0</sub> da je <span style="color: #000000"><i>f</i></span>(<span style="color: #000000"><i>x</i></span>) veće od <span style="color: #000000"><i>M</i></span> čim je <span style="color: #000000"><i>x</i></span> pozitivan broj manji od <span style="color: #000000"><i>x</i></span><sub>0</sub>. Simbol za to potencijalno beskonačno jest ∞. Gornja se fraza, dakle, ne shvaća kao <span style="color: #000000"><i>f </i></span>(0) = ∞ (jer uostalom 0 i ne mora biti u području definicije funkcije <span style="color: #000000"><i>f </i></span>), nego ovdje simbolizira proces bezgraničnog porasta. Slično u geometriji fraza »paralelni pravci sijeku se u beskonačnosti« pokazuje da će točka presjeka dvaju pravaca koji nisu paralelni premašiti bilo koju udaljenost čim ti pravci postaju sve paralelniji. Sasvim drugi smisao ima pojam tzv. <span style="color: #000000"><i>aktualnog beskonačnog,</i></span> odnosno pojam beskonačnog skupa. Taj je pojam prvi precizirao njemački matematičar G. Cantor (druga polovica XIX. st.) i shvaćanje tog pojma dovelo je do razvoja danas fundamentalne teorije skupova.</p><p>Moglo bi se reći da je skup konačan ako je ekvivalentan (→ <span style="color: #000000"><span style="font-variant: small-caps"><a href="https://www.enciklopedija.hr/clanak/kardinalni-broj ">kardinalni broj</a></span></span>) skupu prirodnih brojeva od 1 do <span style="color: #000000"><i>n</i></span> (za neko <span style="color: #000000"><i>n</i></span>), tj. ako mu se elementi mogu numerirati od 1 do <span style="color: #000000"><i>n,</i></span> a da je beskonačan ako nije konačan. Ta je definicija, međutim, vrlo neoperativna, a osim toga neprihvatljiva je u teoriji skupova, jer zahtijeva poznavanje prirodnih brojeva koji bi tek trebali biti izgrađeni na temeljima teorije skupova. Osnovno je Cantorovo otkriće sljedeća osobina konačnoga skupa, koja onda služi i kao precizna definicija: skup je konačan ako nije ekvivalentan nijednomu svojemu pravom podskupu. S pomoću te definicije lako je dokazati da je npr. skup svih prirodnih brojeva beskonačan, jer je očito da je taj skup ekvivalentan svojemu pravomu podskupu svih parnih prirodnih brojeva (bijekcija s prvoga na drugi skup je <span style="color: #000000"><i>n</i></span> → 2<span style="color: #000000"><i>n</i></span>). U Cantorovoj teoriji pojavljuje se mnogo različitih beskonačnosti; npr., može se dokazati da skup prirodnih brojeva i skup realnih brojeva, iako su oba beskonačna, nisu ekvivalentni, dakle broj njihovih elemenata opisuje različite beskonačnosti. S aktualnom je beskonačnosti potrebno vrlo oprezno baratati, jer inače taj pojam postaje odgovoran za niz tzv. antinomija u matematici i uzrokuje velike teškoće u fundiranju matematike. (→ <span style="color: #000000"><span style="font-variant: small-caps"><a href="https://www.enciklopedija.hr/clanak/matematika ">matematika</a>, </span><span style="font-weight: bold; font-style: italic; color: #000000;"><span style="font-variant: small-caps;">logičke osnove</span></span></span>)</p> </div> </div> </div> <div class="container citiranje"> Citiranje: <p> beskonačno. <i>Hrvatska enciklopedija</i>, <i>mrežno izdanje.</i> Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2024. Pristupljeno 25.11.2024. <https://www.enciklopedija.hr/clanak/beskonacno>. </p> </div> <div class="container d-print-none"></div> <div class="container d-print-none"> <button type="button" class="btn btn-secondary" data-bs-toggle="modal" data-bs-target="#mkomentar">Komentar</button> </div> <div class="modal fade" tabindex="-1" id="mkomentar"> <div class="modal-dialog modal-dialog-centered"> <div class="modal-content"> <div class="modal-header"> <h5 class="modal-title">Unesite komentar</h5> <button type="button" class="btn-close" data-bs-dismiss="modal" aria-label="Close"></button> </div> <div class="modal-body"> Komentar: <textarea style="width:100%; height:300px" id="taKomentar" name="taKomentar"></textarea> Potpis: <input type="text" style="width:100%" id="taPotpis" name="taPotpis" /input> </div> <div class="modal-footer"> <button type="button" class="btn btn-secondary" data-bs-dismiss="modal">Zatvori</button> <button type="submit" class="btn btn-primary" title="Snimi" value="Snimi" formaction="/Clanak/beskonacno?handler=ButtonSnimi">Pošalji</button> </div> </div> </div> </div> <br /> <input name="__RequestVerificationToken" type="hidden" value="CfDJ8AafmPaswmdEooPiIBQpxHBiRV68cp3-e_lgnz3aknr-89NkB9SDw0Sa-zEHu3i7zg7aYAFpqkqt5cJi8LyGVEsUvBOPC01UGVYLng322KGr0r0dsZoE8hAhg3pPN2wGcX2vcjKvmyM6SSPA02Uj-m0" /></form> <script src="/lib/lightbox2/js/lightbox.min.js"></script> <script> lightbox.option({ 'resizeDuration': 200, 'wrapAround': false, 'albumLabel': "slika %1 od %2" }) </script> </main> </div> <div b-5bzbccjy93> <div id="cookieConsent" class="alert alert-info alert-dismissible fade show fixed-bottom" role="alert"> <div class="container"> Naše web stranice koriste kolačiće kako bi Vam omogućili najbolje korisničko iskustvo, za analizu prometa i korištenje društvenih mreža. <a href="/UvjetiKoristenja">Doznaj više.</a> </div> <div class="d-grid gap-2 d-md-flex justify-content-md-end"> <button type="button" class="btn btn-secondary accept-policy me-md-2" data-dismiss="alert" aria-label="Close" data-cookie-string=".AspNet.Consent=yes; expires=Tue, 25 Nov 2025 03:01:32 GMT; path=/; secure; samesite=none">Prihvati</button> </div> </div> <script> (function () { var button = document.querySelector("#cookieConsent button[data-cookie-string]"); button.addEventListener("click", function (event) { document.cookie = button.dataset.cookieString; $("#cookieConsent").hide(); }, false); })(); </script> </div> <footer b-5bzbccjy93 class="border-top footer text-muted" id="myFooter"> <div b-5bzbccjy93 class="container text-center"> <img style="height:48px; vertical-align:text-top;" src="/images/lzmklogo.png" /> </div> <div b-5bzbccjy93 class="container text-center"> © 2024. <a b-5bzbccjy93 href="https://www.lzmk.hr">Leksikografski zavod <i b-5bzbccjy93>Miroslav Krleža</i></a> </div> </footer> <button b-5bzbccjy93 type="button" title="Top" class="btn btn-secondary btn-floating btn-lg" id="btn-back-to-top"> <svg b-5bzbccjy93 xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18" height="18" fill="currentColor" class="bi bi-caret-up-fill"> <path b-5bzbccjy93 d="m7.247 4.86-4.796 5.481c-.566.647-.106 1.659.753 1.659h9.592a1 1 0 0 0 .753-1.659l-4.796-5.48a1 1 0 0 0-1.506 0z" /> </svg> </button> <script src="/lib/bootstrap/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="/js/site.js?v=HFdDLbM0HxvrAwFgkX5IgRBv1htKZvv7gXFyyLjyFbI"></script> </body> </html>