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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2410.06563v2/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S1" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>The basic set up</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>One loop effective potential at zero temperature</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>The case at finite temparature</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.SS1" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.1 </span>Phase transition at finite temperature</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text ltx_font_medium">6</span> </span>Two loop effective potential in curved spacetime</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.SS1" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text ltx_font_medium">6.1</span> </span>Two loop at finite temperature</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S7" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text ltx_font_medium">7</span> </span>Conclusion</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_document">Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Vishal Nath<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>vishaln.physics.rs@jadavpuruniversity.in</span></span></span> and Sourav Bhattacharya<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span>sbhatta.physics@jadavpuruniversity.in</span></span></span> </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"> </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id3.3">We revisit the problem of spontaneous symmetry breaking (SSB), its restoration, and phase transition for a self interacting quantum scalar field in a general curved background, at zero and finite temperature. To the best of our knowledge, most of the earlier computations in this context have been done in the linear order in curvature, which may not be very suitable for the Ricci flat spacetimes. One of our objectives is to see whether the higher order terms can bring in qualitatively new physical effects, and thereby attempting to fill in this gap in the literature. We use Bunch and Parker’s local momentum space representation of the Schwinger-DeWitt expansion of the Feynman propagator. Such expansion, being based upon the local Lorentz symmetry of spacetime, essentially probes the leading curvature correction to short scale, ultraviolet quantum processes. We compute the renormalised, background spacetime curvature (up to quadratic order) and temperature dependent one loop effective potential for <math alttext="\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.m1.1a"><msup id="id1.1.m1.1.1" xref="id1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="id1.1.m1.1.1.2" xref="id1.1.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="id1.1.m1.1.1.3" xref="id1.1.m1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.m1.1b"><apply id="id1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="id1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="id1.1.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="id1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="id1.1.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.m1.1c">\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> plus <math alttext="\phi^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.2.m2.1"><semantics id="id2.2.m2.1a"><msup id="id2.2.m2.1.1" xref="id2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="id2.2.m2.1.1.2" xref="id2.2.m2.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="id2.2.m2.1.1.3" xref="id2.2.m2.1.1.3.cmml">3</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.2.m2.1b"><apply id="id2.2.m2.1.1.cmml" xref="id2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="id2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="id2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="id2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="id2.2.m2.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="id2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="id2.2.m2.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.2.m2.1c">\phi^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.2.m2.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> self interaction. In particular for the de Sitter spacetime, we have shown for the <math alttext="\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="id3.3.m3.1"><semantics id="id3.3.m3.1a"><msup id="id3.3.m3.1.1" xref="id3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="id3.3.m3.1.1.2" xref="id3.3.m3.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="id3.3.m3.1.1.3" xref="id3.3.m3.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id3.3.m3.1b"><apply id="id3.3.m3.1.1.cmml" xref="id3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="id3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="id3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="id3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="id3.3.m3.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="id3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="id3.3.m3.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id3.3.m3.1c">\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id3.3.m3.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-theory that we can have SSB even with a positive rest mass squared and positive non-minimal coupling, at zero temperature. This cannot be achieved by the linear curvature term alone and the result remains valid for a very large range of renormalisation scale. Such SSB will generate a field mass that depends upon the spacetime curvature as well as the non-minimal coupling. For a phase transition, we have computed the leading curvature correction to the critical temperature. At finite temperature, symmetry restoration is demonstrated. We also extend some of the above results to two loop level. The symmetry breaking in de Sitter at two loop remains present. We have further motivated the necessity of treating this problem non-perturbatively in some instances.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p1"> <br class="ltx_break"/> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="p2"> <p class="ltx_p" id="p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="p2.1.1">Keywords :</span> Thermal field theory, curved spacetime, effective potential, symmetry breaking, de Sitter</p> </div> <nav class="ltx_TOC ltx_list_toc ltx_toc_toc"><h6 class="ltx_title ltx_title_contents">Contents</h6> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S1" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>The basic set up</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>One loop effective potential at zero temperature</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>The case at finite temparature</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.SS1" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.1 </span>Phase transition at finite temperature</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text ltx_font_medium">6</span> </span>Two loop effective potential in curved spacetime</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.SS1" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text ltx_font_medium">6.1</span> </span>Two loop at finite temperature</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S7" title="In Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text ltx_font_medium">7</span> </span>Conclusion</span></a></li> </ol></nav> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">The motivation of studying quantum field theory in curved backgrounds is to investigate the effects of spacetime curvature or geometry on the fluctuations or propagation of quantum fields living in it. This much cultivated yet still active subject, originally supposed to be a prelude to a full theory of quantum gravity, has led to interesting physical predictions like the particle creation in cosmological or black hole backgrounds, fluctuations in the early inflationary universe, regularisation of the stress energy momentum tensor and so on, over decades. We refer our reader to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib3" title="">3</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> and references therein for a vast historic overview.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">We are interested in looking into a self-interacting scalar field theory at zero as well as at finite temperature in a general, regular curved background in this paper. Thermal fields in a curved background may exist in various different scenarios. For instance, the thermal fields living in the early universe, or the hot plasma residing in a star or accreting onto a black hole, the blackbody radiation emitted by a black hole, and so on.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">An important aspect of quantum theory of a scalar field is the existence of an effective action and a corresponding effective potential. Such potential arises due to the integration over the quantum fluctuations and it adds up to the tree level self interaction potential. The total effective potential (i.e., the tree plus the loop correction) can be qualitatively different in shape from that of the tree level. Such effective potential may lead to the highly interesting physical phenomenon of spontaneous symmetry breaking, developed in the seminal works in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib8" title="">8</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. We further refer our reader to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib12" title="">12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib13" title="">13</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib15" title="">15</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib18" title="">18</a>]</cite> and references therein for various aspects associated with symmetry breaking and effective potentials. Computation of effective actions and potentials for field theories at finite temperature is also a physically well motivated problem e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib21" title="">21</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib25" title="">25</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib27" title="">27</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib29" title="">29</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib30" title="">30</a>]</cite>. Interestingly, the effective potential at high temperature ceases to have any symmetry breaking feature even if at zero temperature it has so, known as the symmetry restoration phenomenon. We further refer our reader to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib31" title="">31</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib32" title="">32</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib33" title="">33</a>]</cite> and references therein for vast discussion on these issues.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.2">We do not have the scope here to review in detail the developments of quantum field theory in curved spacetimes, and the effective action formalism. We refer our reader to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib34" title="">34</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib35" title="">35</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib36" title="">36</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib37" title="">37</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib38" title="">38</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib40" title="">40</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib41" title="">41</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib42" title="">42</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib43" title="">43</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib44" title="">44</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib45" title="">45</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib46" title="">46</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib47" title="">47</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib48" title="">48</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib49" title="">49</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib50" title="">50</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib51" title="">51</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib52" title="">52</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib53" title="">53</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib54" title="">54</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib55" title="">55</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib56" title="">56</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib57" title="">57</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib58" title="">58</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib59" title="">59</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib60" title="">60</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib61" title="">61</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib62" title="">62</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib63" title="">63</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib64" title="">64</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib65" title="">65</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib66" title="">66</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib67" title="">67</a>]</cite> and references therein for some aspects of propagators, renormalisation, effective action and symmetry breaking issues at zero temperature. For thermal propagators and finite temperature effects in flat and curved spacetimes, we refer our reader to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib68" title="">68</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib69" title="">69</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib70" title="">70</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib71" title="">71</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib72" title="">72</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib73" title="">73</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib74" title="">74</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib75" title="">75</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib76" title="">76</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib77" title="">77</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib78" title="">78</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib79" title="">79</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib80" title="">80</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib81" title="">81</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib82" title="">82</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib83" title="">83</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib84" title="">84</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib85" title="">85</a>]</cite> and also references therein. As far as symmetry breaking and phase transition in a general curved background is concerned, most of the earlier works use linear in the curvature approximation and then employ some renormalisation group technique for resummation (e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib41" title="">41</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib44" title="">44</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib48" title="">48</a>]</cite> and also references therein). For example, in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib44" title="">44</a>]</cite>, a renormalisation group derivation of the effective potential for a massless scalar coupled to gauge field, and a discussion on phase transition can be seen. Even though this is a powerful method, it does not work for the Ricci flat spacetimes. In particular, the <math alttext="R\phi^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S1.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1"><times id="S1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S1.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">R\phi^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_R italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-type non-minimal coupling does not contribute to the effective potential for such spacetimes. At finite temperature on the other hand, the Page approximation technique can be useful for static spacetimes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib70" title="">70</a>]</cite>. To the best of our knowledge, the thermal effective Lagrangian density in a general curved spacetime for <math alttext="\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><msup id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><apply id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="S1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> theory, up to quadratic order in the curvature was first derived in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib74" title="">74</a>]</cite>, by employing a proper time expansion technique. <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">We wish to revisit in this paper the issue of the effective potential for a self interacting scalar field theory at both zero as well as finite temperature. We wish to put an emphasis on the spontaneous symmetry breaking and its restoration and phase transition phenomena. We shall keep curvature terms up to quadratic order containing the Kretschmann scalar and hence our result will also be valid for the Ricci flat spacetimes. One of our objectives behind this work is to see whether the higher order curvature terms could bring in qualitatively new effects, and thereby attempting to fill in the gap that seems to be present in the literature. We shall also discuss generalisation of some of the one loop results to two loop level.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">The rest of the paper is organised as follows. In the next section, we discuss very briefly the basic technical framework we work in. In <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3" title="3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, we briefly derive the one loop effective potential at zero temperature, up to the quadratic order of the spacetime curvature for quartic and cubic self interactions. In <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4" title="4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, we extend these results to finite temperature, with high temperature approximation. Although as we mentioned, the above problem was first addressed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib74" title="">74</a>]</cite>, our notation and the choice of the renormalisation scale will be a bit different. Due to this reason, we shall keep briefly the computations, for the sake of completeness and clarity. We discuss spontaneous symmetry breaking, its restoration and phase transition at zero and finite temperatures in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5" title="5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.SS1" title="5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5.1</span></a>. We next generalise some of these results to two loop in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6" title="6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>. In particular, the contribution from the two loop double bubble diagram under local approximation to the effective potential, at finite temperature has been explicitly presented, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.SS1" title="6.1 Two loop at finite temperature ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a>. Finally, we conclude in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S7" title="7 Conclusion ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a> with some future motivation for non-perturbative calculations. For the de Sitter spacetime in particular, we have shown that we can have symmetry breaking for a scalar even with positive rest mass squared <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p6.1.1">and</span> a positive non-minimal coupling, at zero temperature, at both one and two loop level. This cannot be achieved by the linear curvature term alone and the result remains valid for a very large range of renormalisation scale. <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.3">We will work with the mostly positive signature of the metric in <math alttext="d=4-\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.1.m1.1"><semantics id="S1.p7.1.m1.1a"><mrow id="S1.p7.1.m1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p7.1.m1.1.1.2" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S1.p7.1.m1.1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p7.1.m1.1.1.3" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S1.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.1.m1.1b"><apply id="S1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1"><eq id="S1.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S1.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S1.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3"><minus id="S1.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3.1"></minus><cn id="S1.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3.2">4</cn><ci id="S1.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.1.m1.1c">d=4-\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.1.m1.1d">italic_d = 4 - italic_ϵ</annotation></semantics></math> (<math alttext="\epsilon=0^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.2.m2.1"><semantics id="S1.p7.2.m2.1a"><mrow id="S1.p7.2.m2.1.1" xref="S1.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p7.2.m2.1.1.2" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S1.p7.2.m2.1.1.1" xref="S1.p7.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S1.p7.2.m2.1.1.3" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p7.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml">0</mn><mo id="S1.p7.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.2.m2.1b"><apply id="S1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1"><eq id="S1.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2">italic-ϵ</ci><apply id="S1.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S1.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3.2">0</cn><plus id="S1.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.2.m2.1c">\epsilon=0^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.2.m2.1d">italic_ϵ = 0 start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) and will set <math alttext="c=\hbar=k_{B}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.3.m3.1"><semantics id="S1.p7.3.m3.1a"><mrow id="S1.p7.3.m3.1.1" xref="S1.p7.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p7.3.m3.1.1.2" xref="S1.p7.3.m3.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S1.p7.3.m3.1.1.3" xref="S1.p7.3.m3.1.1.3.cmml">=</mo><mi id="S1.p7.3.m3.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S1.p7.3.m3.1.1.4.cmml">ℏ</mi><mo id="S1.p7.3.m3.1.1.5" xref="S1.p7.3.m3.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S1.p7.3.m3.1.1.6" xref="S1.p7.3.m3.1.1.6.cmml"><mi id="S1.p7.3.m3.1.1.6.2" xref="S1.p7.3.m3.1.1.6.2.cmml">k</mi><mi id="S1.p7.3.m3.1.1.6.3" xref="S1.p7.3.m3.1.1.6.3.cmml">B</mi></msub><mo id="S1.p7.3.m3.1.1.7" xref="S1.p7.3.m3.1.1.7.cmml">=</mo><mn id="S1.p7.3.m3.1.1.8" xref="S1.p7.3.m3.1.1.8.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.3.m3.1b"><apply id="S1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1"><and id="S1.p7.3.m3.1.1a.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1"></and><apply id="S1.p7.3.m3.1.1b.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1"><eq id="S1.p7.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.3"></eq><ci id="S1.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.2">𝑐</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.p7.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.4">Planck-constant-over-2-pi</csymbol></apply><apply id="S1.p7.3.m3.1.1c.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1"><eq id="S1.p7.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S1.p7.3.m3.1.1.4.cmml" id="S1.p7.3.m3.1.1d.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1"></share><apply id="S1.p7.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p7.3.m3.1.1.6.1.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S1.p7.3.m3.1.1.6.2.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.6.2">𝑘</ci><ci id="S1.p7.3.m3.1.1.6.3.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.6.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S1.p7.3.m3.1.1e.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1"><eq id="S1.p7.3.m3.1.1.7.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S1.p7.3.m3.1.1.6.cmml" id="S1.p7.3.m3.1.1f.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1"></share><cn id="S1.p7.3.m3.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S1.p7.3.m3.1.1.8">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.3.m3.1c">c=\hbar=k_{B}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.3.m3.1d">italic_c = roman_ℏ = italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> throughout.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>The basic set up</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.5">We wish to begin by briefly reviewing below the basic framework we will be working in, referring our reader to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib38" title="">38</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib40" title="">40</a>]</cite> and references therein for detail. The action of the self interacting scalar field theory we are interested in reads in a curved spacetime background</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx1"> <tbody id="S2.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle S=-\int d^{d}x\sqrt{-g}\left[\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(\nabla_{\mu}% \Phi)(\nabla_{\nu}\Phi)+\frac{1}{2}m^{2}\Phi^{2}+\frac{\eta\Phi^{3}}{3!}+\frac% {\lambda\Phi^{4}}{4!}+\frac{1}{2}\xi R\Phi^{2}\right]\qquad\qquad(\lambda>0)." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.m1.1"><semantics id="S2.E1.m1.1a"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.4.cmml">S</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">−</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">g</mi></mrow></msqrt><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.167em" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Φ</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3b" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" rspace="0.167em" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">Φ</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml">Φ</mi><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mfrac id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">η</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml">Φ</mi><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">3</mn><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3b" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mfrac id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">Φ</mi><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">4</mn><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3c" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mfrac id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml"><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">ξ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.4" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.4.cmml">R</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1b" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.2.cmml">Φ</mi><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><mspace id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3" width="4em" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.1b"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1"><eq id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3"></eq><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.4">𝑆</ci><list id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><int id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></int><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑥</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><root id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5a.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></root><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2"><minus id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2"></minus><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝑔</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><divide id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"></divide><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">1</cn><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝑔</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.2">𝜇</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">∇</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">Φ</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">∇</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">𝜈</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">Φ</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><divide id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"></divide><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">1</cn><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2">Φ</ci><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><divide id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></divide><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝜂</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.2">Φ</ci><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><factorial id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1"></factorial><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2">3</cn></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6"><divide id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6"></divide><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2">𝜆</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2">Φ</ci><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3"><factorial id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.1"></factorial><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2">4</cn></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1"></times><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2"><divide id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2"></divide><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2">1</cn><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3">𝜉</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.4.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.4">𝑅</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.2">Φ</ci><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><gt id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></gt><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3">0</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.1c">\displaystyle S=-\int d^{d}x\sqrt{-g}\left[\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(\nabla_{\mu}% \Phi)(\nabla_{\nu}\Phi)+\frac{1}{2}m^{2}\Phi^{2}+\frac{\eta\Phi^{3}}{3!}+\frac% {\lambda\Phi^{4}}{4!}+\frac{1}{2}\xi R\Phi^{2}\right]\qquad\qquad(\lambda>0).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.1d">italic_S = - ∫ italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_x square-root start_ARG - italic_g end_ARG [ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ( ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT roman_Φ ) ( ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT roman_Φ ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_η roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + divide start_ARG italic_λ roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ξ italic_R roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] ( italic_λ > 0 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">The corresponding equation of motion for <math alttext="\Phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">Φ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">Φ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">\Phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">roman_Φ</annotation></semantics></math> reads</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx2"> <tbody id="S2.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(-\square+m^{2}+\frac{\eta\Phi}{2}+\frac{\lambda\Phi^{2}}{3!% }+\xi R\right)\Phi=0." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.m1.1"><semantics id="S2.E2.m1.1a"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">□</mi></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">η</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">Φ</mi></mrow><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mfrac id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5a" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml">Φ</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">3</mn><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">ξ</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">R</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">Φ</mi></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.1b"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"><eq id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">□</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝜂</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">Φ</ci></apply><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><divide id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></divide><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1"></times><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝜆</ci><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.2">Φ</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><factorial id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1"></factorial><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2">3</cn></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.1"></times><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2">𝜉</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3">𝑅</ci></apply></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.3">Φ</ci></apply><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.1c">\displaystyle\left(-\square+m^{2}+\frac{\eta\Phi}{2}+\frac{\lambda\Phi^{2}}{3!% }+\xi R\right)\Phi=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.1d">( - □ + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_η roman_Φ end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG italic_λ roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + italic_ξ italic_R ) roman_Φ = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.2">We are interested to do QFT in a neighborhood of a given spacetime point. Accordingly, we expand the metric in the Riemann normal coordinate (<math alttext="y^{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m1.1"><semantics id="S2.p1.2.m1.1a"><msup id="S2.p1.2.m1.1.1" xref="S2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.2.m1.1.1.2" xref="S2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="S2.p1.2.m1.1.1.3" xref="S2.p1.2.m1.1.1.3.cmml">μ</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m1.1b"><apply id="S2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.2.m1.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.2.m1.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m1.1c">y^{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m1.1d">italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) around it (see e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib86" title="">86</a>]</cite> for technical detail and also for some original references)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx3"> <tbody id="S2.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}-\frac{1}{3}R_{\mu\alpha\nu\beta}y^{% \alpha}y^{\beta}-\frac{1}{6}R_{\mu\alpha\nu\beta;\gamma}y^{\alpha}y^{\beta}y^{% \gamma}+\left(-\frac{1}{20}R_{\mu\alpha\nu\beta;\gamma\delta}+\frac{2}{45}R_{% \alpha\mu\beta\lambda}R^{\lambda}{}_{\gamma\nu\delta}\right)y^{\alpha}y^{\beta% }y^{\gamma}y^{\delta}\cdots," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.Ex1.m1.4"><semantics id="S2.Ex1.m1.4a"><mrow id="S2.Ex1.m1.4b"><msub id="S2.Ex1.m1.4.5"><mi id="S2.Ex1.m1.4.5.2">g</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.5.3"><mi id="S2.Ex1.m1.4.5.3.2">μ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.5.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.5.3.3">ν</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex1.m1.4.6">=</mo><msub id="S2.Ex1.m1.4.7"><mi id="S2.Ex1.m1.4.7.2">η</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.7.3"><mi id="S2.Ex1.m1.4.7.3.2">μ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.7.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.7.3.3">ν</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex1.m1.4.8">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m1.4.9"><mfrac id="S2.Ex1.m1.4.9a"><mn id="S2.Ex1.m1.4.9.2">1</mn><mn id="S2.Ex1.m1.4.9.3">3</mn></mfrac></mstyle><msub id="S2.Ex1.m1.4.10"><mi id="S2.Ex1.m1.4.10.2">R</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.10.3"><mi id="S2.Ex1.m1.4.10.3.2">μ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.10.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.10.3.3">α</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.10.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.10.3.4">ν</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.10.3.1b">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.10.3.5">β</mi></mrow></msub><msup id="S2.Ex1.m1.4.11"><mi id="S2.Ex1.m1.4.11.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.11.3">α</mi></msup><msup id="S2.Ex1.m1.4.12"><mi id="S2.Ex1.m1.4.12.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.12.3">β</mi></msup><mo id="S2.Ex1.m1.4.13">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m1.4.14"><mfrac id="S2.Ex1.m1.4.14a"><mn id="S2.Ex1.m1.4.14.2">1</mn><mn id="S2.Ex1.m1.4.14.3">6</mn></mfrac></mstyle><msub id="S2.Ex1.m1.4.15"><mi id="S2.Ex1.m1.4.15.2">R</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.1"><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.1.2">μ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.1.3">α</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1a">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.1.4">ν</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1b">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.1.5">β</mi></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.2">;</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1">γ</mi></mrow></msub><msup id="S2.Ex1.m1.4.16"><mi id="S2.Ex1.m1.4.16.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.16.3">α</mi></msup><msup id="S2.Ex1.m1.4.17"><mi id="S2.Ex1.m1.4.17.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.17.3">β</mi></msup><msup id="S2.Ex1.m1.4.18"><mi id="S2.Ex1.m1.4.18.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.18.3">γ</mi></msup><mo id="S2.Ex1.m1.4.19">+</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.20"><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.1">(</mo><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.2" lspace="0em">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m1.4.20.3"><mfrac id="S2.Ex1.m1.4.20.3a"><mn id="S2.Ex1.m1.4.20.3.2">1</mn><mn id="S2.Ex1.m1.4.20.3.3">20</mn></mfrac></mstyle><msub id="S2.Ex1.m1.4.20.4"><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.4.2">R</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.2.2"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2">μ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3">α</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1a">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.4">ν</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1b">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.5">β</mi></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.2.2.3">;</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.2.2.2"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.2.2.2.2">γ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.2.2.2.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.2.2.2.3">δ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.5">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m1.4.20.6"><mfrac id="S2.Ex1.m1.4.20.6a"><mn id="S2.Ex1.m1.4.20.6.2">2</mn><mn id="S2.Ex1.m1.4.20.6.3">45</mn></mfrac></mstyle><msub id="S2.Ex1.m1.4.20.7"><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.7.2">R</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.20.7.3"><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.7.3.2">α</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.7.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.7.3.3">μ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.7.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.7.3.4">β</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.7.3.1b">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.7.3.5">λ</mi></mrow></msub><msup id="S2.Ex1.m1.4.20.8"><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.8.2">R</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.8.3">λ</mi></msup><mmultiscripts id="S2.Ex1.m1.4.20.9"><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.9.2">)</mo><mprescripts id="S2.Ex1.m1.4.20.9a"></mprescripts><mrow id="S2.Ex1.m1.4.20.9.3"><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.9.3.2">γ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.9.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.9.3.3">ν</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.20.9.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.20.9.3.4">δ</mi></mrow><mrow id="S2.Ex1.m1.4.20.9b"></mrow></mmultiscripts></mrow><msup id="S2.Ex1.m1.4.21"><mi id="S2.Ex1.m1.4.21.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.21.3">α</mi></msup><msup id="S2.Ex1.m1.4.22"><mi id="S2.Ex1.m1.4.22.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.22.3">β</mi></msup><msup id="S2.Ex1.m1.4.23"><mi id="S2.Ex1.m1.4.23.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.23.3">γ</mi></msup><msup id="S2.Ex1.m1.4.24"><mi id="S2.Ex1.m1.4.24.2">y</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.24.3">δ</mi></msup><mi id="S2.Ex1.m1.4.25" mathvariant="normal">⋯</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.26">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.4c">\displaystyle g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}-\frac{1}{3}R_{\mu\alpha\nu\beta}y^{% \alpha}y^{\beta}-\frac{1}{6}R_{\mu\alpha\nu\beta;\gamma}y^{\alpha}y^{\beta}y^{% \gamma}+\left(-\frac{1}{20}R_{\mu\alpha\nu\beta;\gamma\delta}+\frac{2}{45}R_{% \alpha\mu\beta\lambda}R^{\lambda}{}_{\gamma\nu\delta}\right)y^{\alpha}y^{\beta% }y^{\gamma}y^{\delta}\cdots,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.4d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT = italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_α italic_ν italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_α italic_ν italic_β ; italic_γ end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT + ( - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 20 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_α italic_ν italic_β ; italic_γ italic_δ end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG 45 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_μ italic_β italic_λ end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUBSCRIPT italic_γ italic_ν italic_δ end_FLOATSUBSCRIPT ) italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_δ end_POSTSUPERSCRIPT ⋯ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|g|=1-\frac{1}{3}R_{\alpha\beta}y^{\alpha}y^{\beta}-\frac{1}{6}R_% {\alpha\beta;\gamma}y^{\alpha}y^{\beta}y^{\gamma}+\left(\frac{1}{18}R_{\alpha% \beta}R_{\gamma\delta}-\frac{1}{90}R^{\lambda}{}_{\alpha\beta}\,^{\kappa}R_{% \lambda\gamma\delta\kappa}-\frac{1}{20}R_{\alpha\beta;\gamma\delta}\right)y^{% \alpha}y^{\beta}y^{\gamma}y^{\delta}\cdots." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E3.m1.6"><semantics id="S2.E3.m1.6a"><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5" xref="S2.E3.m1.5.5.cmml">g</mi><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.2a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.1a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.3.cmml">α</mi></msup><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.1b" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.3.cmml">β</mi></msup></mrow><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.1a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.cmml"><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.E3.m1.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2.3.cmml">;</mo><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.3.cmml">α</mi></msup><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1b" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.3.cmml">β</mi></msup><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1c" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.3.cmml">γ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">18</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">δ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">90</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">R</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi></msup><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mmultiscripts id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.3.cmml">γ</mi><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.1a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.4" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.4.cmml">δ</mi><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.1b" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.5" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.5.cmml">κ</mi></mrow><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"></mrow><mprescripts id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4b" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"></mprescripts><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">β</mi></mrow><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">κ</mi></mmultiscripts></mrow><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">20</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.E3.m1.4.4.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.2.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.2.3.cmml">;</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.2.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">δ</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">α</mi></msup><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.3.cmml">β</mi></msup><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2b" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.cmml">γ</mi></msup><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2c" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.2" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.cmml">y</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.3" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.3.cmml">δ</mi></msup><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2d" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.7" mathvariant="normal" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.7.cmml">⋯</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.6b"><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1"><eq id="S2.E3.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.2"><abs id="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.3.2.1"></abs><ci id="S2.E3.m1.5.5.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5">𝑔</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1"><plus id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3"><minus id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.1"></minus><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml" 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xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.4.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.3.5.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.1"></times><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2"><divide id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2"></divide><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.2">1</cn><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.2.3">6</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.3.2">𝑅</ci><list id="S2.E3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1"><times id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.2">𝛼</ci><ci id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.3">𝛽</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1">𝛾</ci></list></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.4.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.5.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.3.4.6.3">𝛾</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">18</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑅</ci><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑅</ci><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝛾</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝛿</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">90</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑅</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝜆</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.2">𝑅</ci><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.2">𝜆</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.3">𝛾</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.4.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.4">𝛿</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.5.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.5">𝜅</ci></apply></apply><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝜅</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><divide id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2"></divide><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">1</cn><cn id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">20</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑅</ci><list id="S2.E3.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2"><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2.2"><times id="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.1"></times><ci id="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.2.2.2.3">𝛿</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.4.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.5.3">𝛾</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.2">𝑦</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.6.3">𝛿</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.1.1.1.1.7">⋯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.6c">\displaystyle|g|=1-\frac{1}{3}R_{\alpha\beta}y^{\alpha}y^{\beta}-\frac{1}{6}R_% {\alpha\beta;\gamma}y^{\alpha}y^{\beta}y^{\gamma}+\left(\frac{1}{18}R_{\alpha% \beta}R_{\gamma\delta}-\frac{1}{90}R^{\lambda}{}_{\alpha\beta}\,^{\kappa}R_{% \lambda\gamma\delta\kappa}-\frac{1}{20}R_{\alpha\beta;\gamma\delta}\right)y^{% \alpha}y^{\beta}y^{\gamma}y^{\delta}\cdots.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.6d">| italic_g | = 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β ; italic_γ end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 18 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_δ end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 90 end_ARG italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUBSCRIPT italic_α italic_β end_FLOATSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_λ italic_γ italic_δ italic_κ end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 20 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β ; italic_γ italic_δ end_POSTSUBSCRIPT ) italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_δ end_POSTSUPERSCRIPT ⋯ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.4">The curvature terms appearing above serve as expansion coefficients, evaluated at the origin of the normal coordinate, where <math alttext="y=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m1.1"><semantics id="S2.p1.3.m1.1a"><mrow id="S2.p1.3.m1.1.1" xref="S2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S2.p1.3.m1.1.1.1" xref="S2.p1.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m1.1b"><apply id="S2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.1"><eq id="S2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.1.2">𝑦</ci><cn id="S2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.3.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m1.1c">y=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m1.1d">italic_y = 0</annotation></semantics></math>. The above expansion only holds good if we are interested in a length scale small compared to the characteristic scale associated with the spacetime <math alttext="\sim R^{-1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.p1.4.m2.1a"><mrow id="S2.p1.4.m2.1.1" xref="S2.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.4.m2.1.1.2" xref="S2.p1.4.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.p1.4.m2.1.1.1" xref="S2.p1.4.m2.1.1.1.cmml">∼</mo><msup id="S2.p1.4.m2.1.1.3" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p1.4.m2.1.1.3.2" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3a" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.1" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m2.1b"><apply id="S2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.1">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3"><minus id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3"></minus><apply id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2"><divide id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.1"></divide><cn id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.2">1</cn><cn id="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m2.1c">\sim R^{-1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m2.1d">∼ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, over which the variation of the curvature is effective.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.2">Let <math alttext="G(x,x^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.2"><semantics id="S2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml">G</mi><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.2b"><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2"><times id="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3">𝐺</ci><interval closure="open" id="S2.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.2c">G(x,x^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.2d">italic_G ( italic_x , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> be the Feynman propagator in this spacetime. For computational convenience, one defines <math alttext="\bar{G}(x,x^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.2"><semantics id="S2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S2.p2.2.m2.2.2" xref="S2.p2.2.m2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p2.2.m2.2.2.3" xref="S2.p2.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.2.2.3.2" xref="S2.p2.2.m2.2.2.3.2.cmml">G</mi><mo id="S2.p2.2.m2.2.2.3.1" xref="S2.p2.2.m2.2.2.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.p2.2.m2.2.2.2" xref="S2.p2.2.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.2b"><apply id="S2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2"><times id="S2.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.2"></times><apply id="S2.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.3"><ci id="S2.p2.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.3.1">¯</ci><ci id="S2.p2.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.3.2">𝐺</ci></apply><interval closure="open" id="S2.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1"><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1">𝑥</ci><apply id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.2c">\bar{G}(x,x^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.2d">over¯ start_ARG italic_G end_ARG ( italic_x , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx4"> <tbody id="S2.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle G(x,x^{\prime})=g^{-{\frac{1}{4}}}(x)\bar{G}(x,x^{\prime})g^{-{% \frac{1}{4}}}(x^{\prime})." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4.m1.4"><semantics id="S2.E4.m1.4a"><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.4" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msup id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3.cmml"><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3a" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3.cmml">−</mo><mfrac id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3.2.cmml"><mn id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3.2.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3.2.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.4.3.2.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow></msup><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.5.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.2.2" xref="S2.E4.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3a" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.6" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.6.cmml"><mi id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.6.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.6.2.cmml">G</mi><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.6.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.6.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3b" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.3.3" xref="S2.E4.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3c" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.cmml"><mi id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3.cmml"><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3a" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3.cmml">−</mo><mfrac id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3.2.cmml"><mn id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3.2.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3.2.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.7.3.2.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow></msup><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3d" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.2" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.3" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m1.4.4.1.2" lspace="0em" 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\frac{1}{4}}}(x^{\prime}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m1.4d">italic_G ( italic_x , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_g start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x ) over¯ start_ARG italic_G end_ARG ( italic_x , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_g start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p2.7">One can next use the local flatness of the spacetime, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2.E3" title="In 2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, in order to define a local momentum space, leading to a Fourier decomposition <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib40" title="">40</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx5"> <tbody id="S2.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bar{G}(x,x^{\prime})=\int\frac{d^{d}x}{(2\pi)^{d}}e^{ik\cdot y}% \bar{G}(k)." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E5.m1.4"><semantics id="S2.E5.m1.4a"><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1" 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xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.cmml">G</mi><mn id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.2.2" xref="S2.E6.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.cmml">G</mi><mn id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.1a" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.cmml"><msub id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.2.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.2.2.cmml">G</mi><mn id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.2.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.3.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.4.4" xref="S2.E6.m1.4.4.cmml">k</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.1b" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.cmml"><msub id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.2.cmml">G</mi><mn id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.3" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.1" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.3.2" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.5.5" xref="S2.E6.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.1c" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.6" mathvariant="normal" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.6.cmml">⋯</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6.m1.6b"><apply id="S2.E6.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.1"><eq id="S2.E6.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.1"></eq><apply id="S2.E6.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.2"><times 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id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.2">𝐺</ci><cn id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.5.2.2.3">3</cn></apply></apply><ci id="S2.E6.m1.5.5.cmml" xref="S2.E6.m1.5.5">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.6.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.1.1.3.6">⋯</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.6c">\displaystyle\bar{G}(k)=\bar{G_{0}}(k)+\bar{G_{1}}(k)+\bar{G_{2}}(k)+\bar{G_{3% }}(k)+\cdots.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.6d">over¯ start_ARG italic_G end_ARG ( italic_k ) = over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) + over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) + over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) + over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) + ⋯ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p2.6">where <math alttext="\bar{G_{i}}(k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.4.m1.1"><semantics id="S2.p2.4.m1.1a"><mrow id="S2.p2.4.m1.1.2" xref="S2.p2.4.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p2.4.m1.1.2.2" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.p2.4.m1.1.2.2.2" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.2" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.3" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p2.4.m1.1.2.2.1" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.p2.4.m1.1.2.1" xref="S2.p2.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.4.m1.1.2.3.2" xref="S2.p2.4.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.4.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.4.m1.1.1" xref="S2.p2.4.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.p2.4.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.4.m1.1b"><apply id="S2.p2.4.m1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.2"><times id="S2.p2.4.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.p2.4.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2"><ci id="S2.p2.4.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.1">¯</ci><apply id="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.4.m1.1c">\bar{G_{i}}(k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.4.m1.1d">over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k )</annotation></semantics></math> contains the <math alttext="i^{\rm th}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.5.m2.1"><semantics id="S2.p2.5.m2.1a"><msup id="S2.p2.5.m2.1.1" xref="S2.p2.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.5.m2.1.1.2" xref="S2.p2.5.m2.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="S2.p2.5.m2.1.1.3" xref="S2.p2.5.m2.1.1.3.cmml">th</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.5.m2.1b"><apply id="S2.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m2.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S2.p2.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.5.m2.1.1.3">th</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.5.m2.1c">i^{\rm th}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.5.m2.1d">italic_i start_POSTSUPERSCRIPT roman_th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> derivative of the metric at the centre of the Riemann normal coordinate, <math alttext="y=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.6.m3.1"><semantics id="S2.p2.6.m3.1a"><mrow id="S2.p2.6.m3.1.1" xref="S2.p2.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.6.m3.1.1.2" xref="S2.p2.6.m3.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S2.p2.6.m3.1.1.1" xref="S2.p2.6.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p2.6.m3.1.1.3" xref="S2.p2.6.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.6.m3.1b"><apply id="S2.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m3.1.1"><eq id="S2.p2.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m3.1.1.1"></eq><ci id="S2.p2.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.6.m3.1.1.2">𝑦</ci><cn id="S2.p2.6.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.6.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.6.m3.1c">y=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.6.m3.1d">italic_y = 0</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.3">We have at the leading order</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx7"> <tbody id="S2.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bar{G_{0}}(k)=\frac{1}{k^{2}+m^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1a"><mrow id="S2.E7.m1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E7.m1.1.2.2.2" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.2.cmml">G</mi><mn id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E7.m1.1.2.2.2.1" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E7.m1.1.2.2.1" xref="S2.E7.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m1.1.2.2.3.2" xref="S2.E7.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.E7.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.E7.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7.m1.1.2.1" xref="S2.E7.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7.m1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S2.E7.m1.1.2.3a" xref="S2.E7.m1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.E7.m1.1.2.3.2" xref="S2.E7.m1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E7.m1.1.2.3.3" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.cmml"><msup id="S2.E7.m1.1.2.3.3.2" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.2" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.3" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E7.m1.1.2.3.3.1" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E7.m1.1.2.3.3.3" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.2" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.3" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2"><eq id="S2.E7.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.1"></eq><apply id="S2.E7.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.2"><times id="S2.E7.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.2.1"></times><apply id="S2.E7.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2"><ci id="S2.E7.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.1">¯</ci><apply id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.2">𝐺</ci><cn id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E7.m1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3"><divide id="S2.E7.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3"></divide><cn id="S2.E7.m1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.2.3.2">1</cn><apply id="S2.E7.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3"><plus id="S2.E7.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.1"></plus><apply id="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1c">\displaystyle\bar{G_{0}}(k)=\frac{1}{k^{2}+m^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1d">over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.2">Since there is no first order derivative of the metric surviving at <math alttext="y=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1"><eq id="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2">𝑦</ci><cn id="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">y=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">italic_y = 0</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="\bar{G_{1}}(k)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.p3.2.m2.1.2" xref="S2.p3.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S2.p3.2.m2.1.2.2" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.2" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.2.cmml">G</mi><mn id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.3" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.1" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.p3.2.m2.1.2.2.1" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S2.p3.2.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.p3.2.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.2.m2.1.2.1" xref="S2.p3.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p3.2.m2.1.2.3" xref="S2.p3.2.m2.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2"><eq id="S2.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="S2.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2"><times id="S2.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.1"></times><apply id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2"><ci id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.1">¯</ci><apply id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.2">𝐺</ci><cn id="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1">𝑘</ci></apply><cn id="S2.p3.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.2.m2.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.1c">\bar{G_{1}}(k)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.1d">over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) = 0</annotation></semantics></math>. One also computes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx8"> <tbody id="S2.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bar{G_{2}}(k)=\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(k^{2}+m^{2})% ^{2}},\qquad\qquad\bar{G_{3}}(k)=\frac{i\left(\frac{1}{6}-\xi\right)(\nabla_{% \alpha}R)}{k^{2}+m^{2}}\partial^{\alpha}_{k}\frac{1}{k^{2}+m^{2}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex2.m1.7"><semantics id="S2.Ex2.m1.7a"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">G</mi><mn id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.5.5" xref="S2.Ex2.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex2.m1.2.2a" xref="S2.Ex2.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S2.Ex2.m1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.Ex2.m1.2.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="4.167em" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2" 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xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.2.3a" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" rspace="0.167em" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">α</mi></msub><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml">R</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.4" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.cmml"><msup id="S2.Ex2.m1.4.4.4.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.4.2.2" 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type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3">𝑅</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1"><plus id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S2.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2"><eq id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2"><times id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1">¯</ci><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2">𝐺</ci><cn id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3">3</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3"><times id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4"><divide id="S2.Ex2.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4"></divide><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2"><times id="S2.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.3"></times><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.4">𝑖</ci><apply id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2"><divide id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1"><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.2">∇</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.1.1.2">𝑅</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4"><plus id="S2.Ex2.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.1"></plus><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2"><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.2.2"></partialdiff><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2"><divide id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2"></divide><cn id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.2">1</cn><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3"><plus id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.1"></plus><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.7c">\displaystyle\bar{G_{2}}(k)=\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(k^{2}+m^{2})% ^{2}},\qquad\qquad\bar{G_{3}}(k)=\frac{i\left(\frac{1}{6}-\xi\right)(\nabla_{% \alpha}R)}{k^{2}+m^{2}}\partial^{\alpha}_{k}\frac{1}{k^{2}+m^{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.7d">over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) = divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) = divide start_ARG italic_i ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) ( ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_R ) end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bar{G_{4}}(k)=\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}{R^{2}}}{(k^% {2}+m^{2})^{3}}+\frac{a_{\alpha\beta}}{k^{2}+m^{2}}\partial^{\alpha}_{k}% \partial^{\beta}_{k}\frac{1}{k^{2}+m^{2}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.m1.4"><semantics id="S2.E8.m1.4a"><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">G</mi><mn id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E8.m1.3.3" xref="S2.E8.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.m1.2.2" 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id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3"><plus id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.1"></plus><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3"><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2.2"></partialdiff><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2"><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.2.2"></partialdiff><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2"><divide id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2"></divide><cn id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.2">1</cn><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3"><plus id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.1"></plus><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m1.4c">\displaystyle\bar{G_{4}}(k)=\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}{R^{2}}}{(k^% {2}+m^{2})^{3}}+\frac{a_{\alpha\beta}}{k^{2}+m^{2}}\partial^{\alpha}_{k}% \partial^{\beta}_{k}\frac{1}{k^{2}+m^{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m1.4d">over¯ start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_k ) = divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∂ start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.4">where we have abbreviated</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx9"> <tbody id="S2.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle a_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\left(\xi-\frac{1}{6}\right)\nabla_{% \alpha}\nabla_{\beta}R+\frac{1}{120}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}R-\frac{1}{40% }\square R_{\alpha\beta}+\frac{1}{30}R_{\alpha}\,^{\lambda}R_{\lambda\beta}-% \frac{1}{60}{R^{\rho}\,_{\alpha}}^{\lambda}\,_{\beta}R_{\rho\lambda}-\frac{1}{% 60}R_{\lambda\mu\rho\alpha}R^{\lambda\mu\rho}{}_{\beta}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E9.m1.1"><semantics id="S2.E9.m1.1a"><mrow id="S2.E9.m1.1b"><msub id="S2.E9.m1.1.1"><mi id="S2.E9.m1.1.1.2">a</mi><mrow id="S2.E9.m1.1.1.3"><mi id="S2.E9.m1.1.1.3.2">α</mi><mo id="S2.E9.m1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.1.3.3">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.E9.m1.1.2">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.1.3"><mfrac id="S2.E9.m1.1.3a"><mn id="S2.E9.m1.1.3.2">1</mn><mn id="S2.E9.m1.1.3.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S2.E9.m1.1.4"><mo id="S2.E9.m1.1.4.1">(</mo><mi id="S2.E9.m1.1.4.2">ξ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.4.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.1.4.4"><mfrac id="S2.E9.m1.1.4.4a"><mn id="S2.E9.m1.1.4.4.2">1</mn><mn id="S2.E9.m1.1.4.4.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E9.m1.1.4.5" rspace="0.167em">)</mo></mrow><msub id="S2.E9.m1.1.5"><mo id="S2.E9.m1.1.5.2" rspace="0.167em">∇</mo><mi id="S2.E9.m1.1.5.3">α</mi></msub><msub id="S2.E9.m1.1.6"><mo id="S2.E9.m1.1.6.2" rspace="0.167em">∇</mo><mi id="S2.E9.m1.1.6.3">β</mi></msub><mi id="S2.E9.m1.1.7">R</mi><mo id="S2.E9.m1.1.8">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.1.9"><mfrac id="S2.E9.m1.1.9a"><mn id="S2.E9.m1.1.9.2">1</mn><mn id="S2.E9.m1.1.9.3">120</mn></mfrac></mstyle><msub id="S2.E9.m1.1.10"><mo id="S2.E9.m1.1.10.2" lspace="0.167em" rspace="0.167em">∇</mo><mi id="S2.E9.m1.1.10.3">α</mi></msub><msub id="S2.E9.m1.1.11"><mo id="S2.E9.m1.1.11.2" rspace="0.167em">∇</mo><mi id="S2.E9.m1.1.11.3">β</mi></msub><mi id="S2.E9.m1.1.12">R</mi><mo id="S2.E9.m1.1.13">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.1.14"><mfrac id="S2.E9.m1.1.14a"><mn id="S2.E9.m1.1.14.2">1</mn><mn id="S2.E9.m1.1.14.3">40</mn></mfrac></mstyle><mi id="S2.E9.m1.1.15" mathvariant="normal">□</mi><msub id="S2.E9.m1.1.16"><mi id="S2.E9.m1.1.16.2">R</mi><mrow id="S2.E9.m1.1.16.3"><mi id="S2.E9.m1.1.16.3.2">α</mi><mo id="S2.E9.m1.1.16.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.16.3.3">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.E9.m1.1.17">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.1.18"><mfrac id="S2.E9.m1.1.18a"><mn id="S2.E9.m1.1.18.2">1</mn><mn id="S2.E9.m1.1.18.3">30</mn></mfrac></mstyle><msubsup id="S2.E9.m1.1.19"><mi id="S2.E9.m1.1.19.2.2">R</mi><mi id="S2.E9.m1.1.19.2.3">α</mi><mi id="S2.E9.m1.1.19.3">λ</mi></msubsup><msub id="S2.E9.m1.1.20"><mi id="S2.E9.m1.1.20.2">R</mi><mrow id="S2.E9.m1.1.20.3"><mi id="S2.E9.m1.1.20.3.2">λ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.20.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.20.3.3">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.E9.m1.1.21">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.1.22"><mfrac id="S2.E9.m1.1.22a"><mn id="S2.E9.m1.1.22.2">1</mn><mn id="S2.E9.m1.1.22.3">60</mn></mfrac></mstyle><mmultiscripts id="S2.E9.m1.1.23"><mi id="S2.E9.m1.1.23.2.2.2.2">R</mi><mi id="S2.E9.m1.1.23.2.2.3">α</mi><mi id="S2.E9.m1.1.23.2.2.2.3">ρ</mi><mi id="S2.E9.m1.1.23.3">β</mi><mi id="S2.E9.m1.1.23.2.3">λ</mi></mmultiscripts><msub id="S2.E9.m1.1.24"><mi id="S2.E9.m1.1.24.2">R</mi><mrow id="S2.E9.m1.1.24.3"><mi id="S2.E9.m1.1.24.3.2">ρ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.24.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.24.3.3">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E9.m1.1.25">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.1.26"><mfrac id="S2.E9.m1.1.26a"><mn id="S2.E9.m1.1.26.2">1</mn><mn id="S2.E9.m1.1.26.3">60</mn></mfrac></mstyle><msub id="S2.E9.m1.1.27"><mi id="S2.E9.m1.1.27.2">R</mi><mrow id="S2.E9.m1.1.27.3"><mi id="S2.E9.m1.1.27.3.2">λ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.27.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.27.3.3">μ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.27.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.27.3.4">ρ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.27.3.1b">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.27.3.5">α</mi></mrow></msub><msup id="S2.E9.m1.1.28"><mi id="S2.E9.m1.1.28.2">R</mi><mrow id="S2.E9.m1.1.28.3"><mi id="S2.E9.m1.1.28.3.2">λ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.28.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.28.3.3">μ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.28.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.28.3.4">ρ</mi></mrow></msup><mmultiscripts id="S2.E9.m1.1.29"><mo id="S2.E9.m1.1.29.2" lspace="0em">.</mo><mprescripts id="S2.E9.m1.1.29a"></mprescripts><mi id="S2.E9.m1.1.29.3">β</mi><mrow id="S2.E9.m1.1.29b"></mrow></mmultiscripts></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.m1.1c">\displaystyle a_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\left(\xi-\frac{1}{6}\right)\nabla_{% \alpha}\nabla_{\beta}R+\frac{1}{120}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}R-\frac{1}{40% }\square R_{\alpha\beta}+\frac{1}{30}R_{\alpha}\,^{\lambda}R_{\lambda\beta}-% \frac{1}{60}{R^{\rho}\,_{\alpha}}^{\lambda}\,_{\beta}R_{\rho\lambda}-\frac{1}{% 60}R_{\lambda\mu\rho\alpha}R^{\lambda\mu\rho}{}_{\beta}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_ξ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG ) ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_R + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 120 end_ARG ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_R - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 40 end_ARG □ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 30 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_λ italic_β end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 60 end_ARG italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_λ end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 60 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_λ italic_μ italic_ρ italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ italic_μ italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUBSCRIPT italic_β end_FLOATSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.5">We shall restrict our calculation up to the quadratic order of the curvature. We next collect all such terms to write a local momentum space representation of the Schwinger-DeWitt series expansion of the Feynman propagator,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx10"> <tbody id="S2.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bar{G}(k)=\frac{1}{k^{2}+m^{2}}+\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)R}{(k^{2}+m^{2})^{2}}+\frac{i}{2}{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)(\nabla_{% \alpha}R}){\partial^{\alpha}_{k}}(k^{2}+m^{2})^{-2}+\frac{1}{3}a_{\alpha\beta}% \partial^{\alpha}_{k}\partial^{\beta}_{k}(k^{2}+m^{2})^{-2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex3.m1.7"><semantics id="S2.Ex3.m1.7a"><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7" xref="S2.Ex3.m1.7.7.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.6" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex3.m1.7.7.6.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.7.7.6.2.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6.2.2.cmml">G</mi><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.6.2.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.6.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.6.3.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.5" xref="S2.Ex3.m1.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.4" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6a" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.2.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.2.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.3.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.3.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.6.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.4.5" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.5.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.2.2a" xref="S2.Ex3.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S2.Ex3.m1.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.Ex3.m1.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.4.5a" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.5" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.5.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.5a" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.5.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.5.2" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.5.2.cmml">i</mi><mn id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.5.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.5.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.4" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.4a" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2" rspace="0.167em" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3.cmml">α</mi></msub><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.cmml">R</mi></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.4b" lspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.2" rspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><msup id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3a" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.4.5b" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3a" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4" 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xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3a" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex3.m1.7b"><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7"><eq id="S2.Ex3.m1.7.7.5.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.5"></eq><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.6.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.6"><times id="S2.Ex3.m1.7.7.6.1.cmml" 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id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.2.2.2.1.1.2">𝑅</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3"><apply id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2">superscript</csymbol><partialdiff id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.2"></partialdiff><ci id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1"><plus id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3"><minus id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3"></minus><cn id="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.6.6.3.3.3.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4"><times id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3"><divide id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3"></divide><cn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.2">1</cn><cn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.3.3">3</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.2">𝑎</ci><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.3"><times id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.3.1"></times><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.4.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1"><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2">superscript</csymbol><partialdiff id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.2.2"></partialdiff><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1"><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2">superscript</csymbol><partialdiff id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.2.2"></partialdiff><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3"><minus id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3"></minus><cn id="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.7.7.4.4.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.7c">\displaystyle\bar{G}(k)=\frac{1}{k^{2}+m^{2}}+\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)R}{(k^{2}+m^{2})^{2}}+\frac{i}{2}{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)(\nabla_{% \alpha}R}){\partial^{\alpha}_{k}}(k^{2}+m^{2})^{-2}+\frac{1}{3}a_{\alpha\beta}% \partial^{\alpha}_{k}\partial^{\beta}_{k}(k^{2}+m^{2})^{-2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.7d">over¯ start_ARG italic_G end_ARG ( italic_k ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) ( ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_R ) ∂ start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT ∂ start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∂ start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\left[\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}{R^{2}}-\frac{2}{3}a^{% \lambda}\,_{\lambda}\right]\frac{1}{(k^{2}+m^{2})^{3}}+{\cal O}(R^{3})." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E10.m1.2"><semantics id="S2.E10.m1.2a"><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1a" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi><mi id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">λ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E10.m1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E10.m1.1.1a" xref="S2.E10.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.E10.m1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.3.cmml">1</mn><msup id="S2.E10.m1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E10.m1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">𝒪</mi><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">R</mi><mn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E10.m1.2b"><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1"><plus id="S2.E10.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.3"></plus><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><cn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><cn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E10.m1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1"><divide id="S2.E10.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1"></divide><cn id="S2.E10.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S2.E10.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2"><times id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.2"></times><ci id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.3">𝒪</ci><apply id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑅</ci><cn id="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E10.m1.2c">\displaystyle+\left[\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}{R^{2}}-\frac{2}{3}a^{% \lambda}\,_{\lambda}\right]\frac{1}{(k^{2}+m^{2})^{3}}+{\cal O}(R^{3}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E10.m1.2d">+ [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG 3 end_ARG italic_a start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ] divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + caligraphic_O ( italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.6">Note that the above propagator is locally Lorentz invariant, by the virtue of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2.E3" title="In 2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. The above equation will serve as the key ingredient for our computations appearing below.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>One loop effective potential at zero temperature</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">The computation of the divergent part and subsequent renormalisation of the one loop effective action in a curved spacetime can be seen in, e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> and references therein. In this section, we wish to compute below the finite part of the effective potential at zero temperature after renormalisation, up to quadratic order in the curvature. Although the result appearing in this section can easily be found by directly using the standard ‘<math alttext="\ln{\rm det}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.p1.1.m1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">⁡</mo><mi id="S3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">det</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1"><ln id="S3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1"></ln><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.2">det</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">\ln{\rm det}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">roman_ln roman_det</annotation></semantics></math>’ formula for the one loop effective action, we wish to briefly sketch below the use of the local momentum space, for the sake of completeness.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.4">We make the usual decomposition for the field in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2.E1" title="In 2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> in terms of the classical background (<math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>) and fluctuations (<math alttext="\delta\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1"><times id="S3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.1c">\delta\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.1d">italic_δ italic_ϕ</annotation></semantics></math>), <math alttext="\Phi=\phi+\delta\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">Φ</mi><mo id="S3.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1"><eq id="S3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.2">Φ</ci><apply id="S3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3"><plus id="S3.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><apply id="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.3"><times id="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m3.1c">\Phi=\phi+\delta\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m3.1d">roman_Φ = italic_ϕ + italic_δ italic_ϕ</annotation></semantics></math>. Due to the background field the rest mass term appearing in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2.E10" title="In 2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a> gets modified as, <math alttext="m^{2}\to m^{2}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S3.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.p2.4.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m4.1.1.1.cmml">→</mo><msubsup id="S3.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1"><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.1">→</ci><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m4.1c">m^{2}\to m^{2}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m4.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT → italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (say) where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="m^{2}_{1}=m^{2}+\frac{1}{2}\lambda\phi^{2}+\eta\phi." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E11.m1.1"><semantics id="S3.E11.m1.1a"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">η</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">ϕ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.m1.1b"><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1"><eq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">1</cn><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝜆</ci><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.1"></times><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝜂</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.1c">m^{2}_{1}=m^{2}+\frac{1}{2}\lambda\phi^{2}+\eta\phi.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_ϕ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.7">Clearly, for the discussion of SSB, the cubic self interaction is not relevant. However, we wish to keep the same in our general derivation for the effective potential, firstly because the <math alttext="\lambda\phi^{4}+\eta\phi^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m1.1"><semantics id="S3.p2.5.m1.1a"><mrow id="S3.p2.5.m1.1.1" xref="S3.p2.5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.p2.5.m1.1.1.2" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.5.m1.1.1.2.2" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p2.5.m1.1.1.2.1" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p2.5.m1.1.1.2.3" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.2" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S3.p2.5.m1.1.1.1" xref="S3.p2.5.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.p2.5.m1.1.1.3" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m1.1.1.3.2" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S3.p2.5.m1.1.1.3.1" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p2.5.m1.1.1.3.3" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m1.1b"><apply id="S3.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1"><plus id="S3.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.1"></plus><apply id="S3.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2"><times id="S3.p2.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S3.p2.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3"><times id="S3.p2.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p2.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m1.1c">\lambda\phi^{4}+\eta\phi^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m1.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> theory is a general renormalisable model in <math alttext="(3+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.6.m2.1"><semantics id="S3.p2.6.m2.1a"><mrow id="S3.p2.6.m2.1.1.1" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.6.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p2.6.m2.1.1.1.1" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.p2.6.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.6.m2.1b"><apply id="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1"><plus id="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.2">3</cn><cn id="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.6.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.6.m2.1c">(3+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.6.m2.1d">( 3 + 1 )</annotation></semantics></math>-dimensions and second, the antisymmetric cubic self-interaction complements the symmetric and bounded nature of the quartic one. Most importantly, there can be various instances other than SSB where the asymmetry of the <math alttext="\lambda\phi^{4}+\eta\phi^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.7.m3.1"><semantics id="S3.p2.7.m3.1a"><mrow id="S3.p2.7.m3.1.1" xref="S3.p2.7.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.p2.7.m3.1.1.2" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.7.m3.1.1.2.2" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p2.7.m3.1.1.2.1" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p2.7.m3.1.1.2.3" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.2" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.3" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S3.p2.7.m3.1.1.1" xref="S3.p2.7.m3.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.p2.7.m3.1.1.3" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.7.m3.1.1.3.2" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S3.p2.7.m3.1.1.3.1" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p2.7.m3.1.1.3.3" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.7.m3.1b"><apply id="S3.p2.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1"><plus id="S3.p2.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.1"></plus><apply id="S3.p2.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2"><times id="S3.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.1"></times><ci id="S3.p2.7.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.7.m3.1.1.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S3.p2.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3"><times id="S3.p2.7.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p2.7.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.7.m3.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.7.m3.1c">\lambda\phi^{4}+\eta\phi^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.7.m3.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> self interaction could bring in some interesting physical effects.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="86" id="S3.F1.1.g1" src="extracted/6295461/f1.png" width="196"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="96" id="S3.F1.2.g2" src="extracted/6295461/f2.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="99" id="S3.F1.3.g3" src="extracted/6295461/f3.png" width="265"/></div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F1.6.1.1" style="font-size:90%;">Figure 1</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.F1.7.2" style="font-size:90%;">The one loop diagrams for quartic plus cubic self interactions. The above three rows respectively contain quartic, cubic and mixed interaction vertices. Each row contains infinite number of one loop diagrams, found by inserting vertices on the vacuum loop. The vertices correspond to the background field, and no momenta flow across them.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.10"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.F1" title="Figure 1 ‣ 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> represents the diagrammatic expansion of the one loop effective action. The same is basically the sum of all one loop diagrams found via vertex insertions shown in this figure. In the Minkowski spacetime, the one loop effective potential reads</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx11"> <tbody id="S3.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff}}^{1-{\rm loop}}=-\frac{\hbar}{2}\int\frac{d^{d}k}{(2% \pi)^{d}}\ln G_{\rm{Min}}(k,m_{1})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.m1.3"><semantics id="S3.E12.m1.3a"><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E12.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">eff</mi><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1a" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">ℏ</mi><mn id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E12.m1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E12.m1.1.1.3.2" xref="S3.E12.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E12.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S3.E12.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E12.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.E12.m1.1.1.3.1" xref="S3.E12.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.m1.1.1.3.3" xref="S3.E12.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S3.E12.m1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">Min</mi></msub></mrow><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.m1.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.3.3.1.2" 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_ln italic_G start_POSTSUBSCRIPT roman_Min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k , italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.2">where <math alttext="G_{\rm{Min}}=(k^{2}+m_{1}^{2})^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">Min</mi></msub><mo id="S3.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.p3.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="S3.p3.1.m1.1.1.1" 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id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.p3.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.3"><minus id="S3.p3.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.p3.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.1c">G_{\rm{Min}}=(k^{2}+m_{1}^{2})^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT roman_Min end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the propagator of the scalar in the flat spacetime with an effective mass squared <math alttext="m_{1}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.p3.2.m2.1a"><msubsup id="S3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.1c">m_{1}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E11" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>. We now replace the flat space propagator by that of the curved spacetime, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2.E10" title="In 2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>, to find</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx12"> <tbody id="S3.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff}}^{1-{\rm loop}}=-\frac{\hbar}{2}\int\frac{d^{d}k}{(2% \pi)^{d}}\ln\left[\frac{1}{(k^{2}+m^{2}_{1})}+\frac{(\frac{1}{6}-\xi)R}{(k^{2}% +m_{1}^{2})^{2}}+\frac{2f_{2}}{(k^{2}+m_{1}^{2})^{3}}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m1.7"><semantics id="S3.Ex4.m1.7a"><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7" xref="S3.Ex4.m1.7.7.cmml"><msubsup id="S3.Ex4.m1.7.7.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.7.7.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.7.7.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.Ex4.m1.7.7.3.2.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.3.2.3.cmml">eff</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.3.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.7.7.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.7.7.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.3.3.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex4.m1.7.7.3.3.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.3.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.2" xref="S3.Ex4.m1.7.7.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1a" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.3a" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">ℏ</mi><mn id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1a" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex4.m1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S3.Ex4.m1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.6.6" xref="S3.Ex4.m1.6.6.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" 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id="S3.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex4.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex4.m1.3.3.1.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S3.Ex4.m1.5.5" xref="S3.Ex4.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.5.5.3" xref="S3.Ex4.m1.5.5.3.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.5.5.3.2" xref="S3.Ex4.m1.5.5.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex4.m1.5.5.3.1" xref="S3.Ex4.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex4.m1.5.5.3.3" xref="S3.Ex4.m1.5.5.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.5.5.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.5.5.3.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.Ex4.m1.5.5.3.3.3" xref="S3.Ex4.m1.5.5.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msup id="S3.Ex4.m1.5.5.1" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1" 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_ln [ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG + divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 2 italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\hbar}{2}\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\left[\ln(k^{2}+m^{2% }_{1})-\frac{(\frac{1}{6}-\xi)R}{(k^{2}+m_{1}^{2})}-\frac{2f_{2}}{(k^{2}+m_{1}% ^{2})^{2}}+\frac{1}{2}\frac{(\frac{1}{6}-\xi)^{2}R^{2}}{(k^{2}+m_{1}^{2})^{2}}% \right]+{\cal O}(R^{3})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E13.m1.8"><semantics id="S3.E13.m1.8a"><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1.1" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.8.8.1.1.4" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S3.E13.m1.8.8.1.1.3" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.3" 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xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.7.7" xref="S3.E13.m1.7.7.cmml">ln</mi><mo id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3"><divide id="S3.E13.m1.3.3.3.cmml" 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xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.3.3.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.4.4.cmml" 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cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S3.E13.m1.4.4.1.3.cmml" type="integer" 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xref="S3.E13.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1"><minus id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="S3.E13.m1.5.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3.2">𝑅</ci><cn id="S3.E13.m1.5.5.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1"><plus id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.6.6.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S3.E13.m1.6.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.6.6.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2"><times id="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.2"></times><ci id="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.3">𝒪</ci><apply id="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑅</ci><cn id="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.8c">\displaystyle=\frac{\hbar}{2}\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\left[\ln(k^{2}+m^{2% }_{1})-\frac{(\frac{1}{6}-\xi)R}{(k^{2}+m_{1}^{2})}-\frac{2f_{2}}{(k^{2}+m_{1}% ^{2})^{2}}+\frac{1}{2}\frac{(\frac{1}{6}-\xi)^{2}R^{2}}{(k^{2}+m_{1}^{2})^{2}}% \right]+{\cal O}(R^{3}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.8d">= divide start_ARG roman_ℏ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ roman_ln ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG - divide start_ARG 2 italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ] + caligraphic_O ( italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.3">where the coefficient <math alttext="f_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.3.m1.1"><semantics id="S3.p3.3.m1.1a"><msub id="S3.p3.3.m1.1.1" xref="S3.p3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.3.m1.1.1.2" xref="S3.p3.3.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mn id="S3.p3.3.m1.1.1.3" xref="S3.p3.3.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.3.m1.1b"><apply id="S3.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1.2">𝑓</ci><cn id="S3.p3.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.3.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.3.m1.1c">f_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.3.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is quadratic in curvature,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="f_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}{R^{2}}-\frac{1}{3}a^{\lambda% }\,_{\lambda}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex5.m1.1"><semantics id="S3.Ex5.m1.1a"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">R</mi><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></mfrac><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">λ</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.1b"><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"><eq id="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1"><minus id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2">𝑅</ci><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.1c">f_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}{R^{2}}-\frac{1}{3}a^{\lambda% }\,_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG italic_a start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.5">and <math alttext="a_{\mu\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.4.m1.1"><semantics id="S3.p3.4.m1.1a"><msub id="S3.p3.4.m1.1.1" xref="S3.p3.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.4.m1.1.1.2" xref="S3.p3.4.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.p3.4.m1.1.1.3" xref="S3.p3.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.4.m1.1.1.3.2" xref="S3.p3.4.m1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.p3.4.m1.1.1.3.1" xref="S3.p3.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.4.m1.1.1.3.3" xref="S3.p3.4.m1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.4.m1.1b"><apply id="S3.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.4.m1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S3.p3.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.4.m1.1.1.3"><times id="S3.p3.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.4.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.4.m1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.p3.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.4.m1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.4.m1.1c">a_{\mu\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.4.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2.E9" title="In 2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>. The first term on the right hand side of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E13" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a> is the flat space term, whereas the rest are the leading curvature corrections. For <math alttext="d=4-\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.5.m2.1"><semantics id="S3.p3.5.m2.1a"><mrow id="S3.p3.5.m2.1.1" xref="S3.p3.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.5.m2.1.1.2" xref="S3.p3.5.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.p3.5.m2.1.1.1" xref="S3.p3.5.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.5.m2.1.1.3" xref="S3.p3.5.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.p3.5.m2.1.1.3.2" xref="S3.p3.5.m2.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.p3.5.m2.1.1.3.1" xref="S3.p3.5.m2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.p3.5.m2.1.1.3.3" xref="S3.p3.5.m2.1.1.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.5.m2.1b"><apply id="S3.p3.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m2.1.1"><eq id="S3.p3.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.p3.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.5.m2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S3.p3.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.5.m2.1.1.3"><minus id="S3.p3.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.5.m2.1.1.3.1"></minus><cn id="S3.p3.5.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p3.5.m2.1.1.3.2">4</cn><ci id="S3.p3.5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.5.m2.1.1.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.5.m2.1c">d=4-\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.5.m2.1d">italic_d = 4 - italic_ϵ</annotation></semantics></math>, the three standard momentum integrals appearing above are given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx13"> <tbody id="S3.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\ln(k^{2}+m_{1}^{2})=\frac{m^{4}_{1}% }{(4\pi)^{2}}\left[-\frac{\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\frac{1}{2}\ln\frac{m_{1}% ^{2}}{4\pi\mu^{2}}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\psi(2)\right]+{\cal O}(\epsilon)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.6"><semantics id="S3.Ex6.m1.6a"><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Ex6.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S3.Ex6.m1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mstyle><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.2.2a" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex6.m1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex6.m1.2.2.3.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex6.m1.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.3.2.3.cmml">4</mn></msubsup><msup id="S3.Ex6.m1.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex6.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0.167em" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.4" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.4.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.4.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1a" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.4.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex6.m1.4.4" xref="S3.Ex6.m1.4.4.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m1.5.5" xref="S3.Ex6.m1.5.5.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.1.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.6b"><apply id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1"><eq id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1"><int id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.2"></int><apply id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1"><divide id="S3.Ex6.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1"></divide><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3"><times id="S3.Ex6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" 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cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><minus id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></minus><ci id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2"><divide 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id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4"><times id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2"><divide id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2"></divide><cn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.3">𝜓</ci><cn id="S3.Ex6.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.4.4">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3"><times id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ψ ( 2 ) ] + caligraphic_O ( italic_ϵ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m_{1}^{2})}=\frac{m^% {2}_{1}}{(4\pi)^{2}}\left[-\frac{2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\ln\frac{m_{1}^{2% }}{4\pi\mu^{2}}-\psi(2)\right]+{\cal O}(\epsilon)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m1.6"><semantics id="S3.Ex7.m1.6a"><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3a" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex7.m1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S3.Ex7.m1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.Ex7.m1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.3.3" xref="S3.Ex7.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex7.m1.3.3a" xref="S3.Ex7.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex7.m1.3.3.3" xref="S3.Ex7.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.3.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex7.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex7.m1.3.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex7.m1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex7.m1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><msup id="S3.Ex7.m1.3.3.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex7.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3a" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2a" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1a" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.3" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" 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xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.2">𝜇</ci><cn id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><cn id="S3.Ex7.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.4.4">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3"><times id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S3.Ex7.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex7.m1.5.5">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.6c">\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m_{1}^{2})}=\frac{m^% {2}_{1}}{(4\pi)^{2}}\left[-\frac{2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\ln\frac{m_{1}^{2% }}{4\pi\mu^{2}}-\psi(2)\right]+{\cal O}(\epsilon),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.6d">∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG = divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ - divide start_ARG 2 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG + roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - italic_ψ ( 2 ) ] + caligraphic_O ( italic_ϵ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m_{1}^{2})^{2}}=% \frac{1}{(4\pi)^{2}}\left[\frac{2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\psi(1)-\ln\frac{m% ^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}\right]+{\cal O}(\epsilon)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.m1.6"><semantics id="S3.E14.m1.6a"><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E14.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.3a" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E14.m1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E14.m1.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S3.E14.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.E14.m1.1.1.3.1" xref="S3.E14.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S3.E14.m1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E14.m1.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.E14.m1.2.2.3" xref="S3.E14.m1.2.2.3.cmml">1</mn><msup id="S3.E14.m1.2.2.1" xref="S3.E14.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E14.m1.2.2.1.3" xref="S3.E14.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E14.m1.3.3" xref="S3.E14.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.E14.m1.3.3a" xref="S3.E14.m1.3.3.cmml"><mn id="S3.E14.m1.3.3.3" xref="S3.E14.m1.3.3.3.cmml">1</mn><msup id="S3.E14.m1.3.3.1" xref="S3.E14.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E14.m1.3.3.1.3" xref="S3.E14.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3a" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mi id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S3.E14.m1.4.4" xref="S3.E14.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml"><mi 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id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3"><minus id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3"></minus><ci id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜓</ci><cn id="S3.E14.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.4.4">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><ln id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></ln><apply id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">4</cn><ci id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜋</ci><apply id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2">𝜇</ci><cn id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.3"><times id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S3.E14.m1.5.5.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.m1.6c">\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m_{1}^{2})^{2}}=% \frac{1}{(4\pi)^{2}}\left[\frac{2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\psi(1)-\ln\frac{m% ^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}\right]+{\cal O}(\epsilon),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.m1.6d">∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ divide start_ARG 2 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG + italic_ψ ( 1 ) - roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ] + caligraphic_O ( italic_ϵ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.8">where <math alttext="\psi(z)=\Gamma^{\prime}(z)/\Gamma(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.6.m1.3"><semantics id="S3.p3.6.m1.3a"><mrow id="S3.p3.6.m1.3.4" xref="S3.p3.6.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.p3.6.m1.3.4.2" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.p3.6.m1.3.4.2.2" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.2.1" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.6.m1.3.4.2.3.2" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.6.m1.1.1" xref="S3.p3.6.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.1" xref="S3.p3.6.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.6.m1.3.4.3" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.cmml"><mrow id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.cmml"><msup id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.2.cmml">Γ</mi><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.3" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.1" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.3.2" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.6.m1.2.2" xref="S3.p3.6.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.1" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.3.cmml">Γ</mi></mrow><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.3.1" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.6.m1.3.4.3.3.2" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.cmml"><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.6.m1.3.3" xref="S3.p3.6.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S3.p3.6.m1.3.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.6.m1.3b"><apply id="S3.p3.6.m1.3.4.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4"><eq id="S3.p3.6.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.p3.6.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2"><times id="S3.p3.6.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S3.p3.6.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.p3.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.6.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S3.p3.6.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3"><times id="S3.p3.6.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.1"></times><apply id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2"><divide id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.1"></divide><apply id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2"><times id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.1"></times><apply id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.2">Γ</ci><ci id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p3.6.m1.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.4.3.2.3">Γ</ci></apply><ci id="S3.p3.6.m1.3.3.cmml" xref="S3.p3.6.m1.3.3">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.6.m1.3c">\psi(z)=\Gamma^{\prime}(z)/\Gamma(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.6.m1.3d">italic_ψ ( italic_z ) = roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_z ) / roman_Γ ( italic_z )</annotation></semantics></math> is the digamma function and <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.7.m2.1"><semantics id="S3.p3.7.m2.1a"><mi id="S3.p3.7.m2.1.1" xref="S3.p3.7.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.7.m2.1b"><ci id="S3.p3.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.7.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.7.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> is a renormalisation scale. Substituting the three above integrals into <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E13" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a> yields the (unrenormalised) one loop effective action. The renormalisation of the effective potential or the action can be seen in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>. The <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.p3.8.1">purely divergent</span> part of the effective potential reads (with <math alttext="\hbar=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.8.m3.1"><semantics id="S3.p3.8.m3.1a"><mrow id="S3.p3.8.m3.1.1" xref="S3.p3.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.8.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p3.8.m3.1.1.2.cmml">ℏ</mi><mo id="S3.p3.8.m3.1.1.1" xref="S3.p3.8.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p3.8.m3.1.1.3" xref="S3.p3.8.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.8.m3.1b"><apply id="S3.p3.8.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m3.1.1"><eq id="S3.p3.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.8.m3.1.1.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><cn id="S3.p3.8.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.8.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.8.m3.1c">\hbar=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.8.m3.1d">roman_ℏ = 1</annotation></semantics></math>)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx14"> <tbody id="S3.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff,\ div.}}^{1-{\rm loop}}=-\frac{\mu^{-\epsilon}}{16\pi% ^{2}\epsilon}\left[\left(\frac{1}{72}+\frac{\xi^{2}}{2}-\frac{\xi}{6}\right)R^% {2}+\frac{1}{90}\left(R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}-R_{\mu\nu}R^{% \mu\nu}\right)+\frac{m^{4}}{2}+m^{2}\eta\phi+\left(\xi-\frac{1}{6}\right)m^{2}% R\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex8.m1.3"><semantics id="S3.Ex8.m1.3a"><mrow id="S3.Ex8.m1.3b"><msubsup id="S3.Ex8.m1.3.4"><mi id="S3.Ex8.m1.3.4.2.2">V</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.1.2"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1">eff</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.1.2.1" rspace="0.517em">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2">div</mi></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.2" lspace="0em">.</mo></mrow><mrow id="S3.Ex8.m1.3.4.3"><mn id="S3.Ex8.m1.3.4.3.2">1</mn><mo id="S3.Ex8.m1.3.4.3.1">−</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.4.3.3">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.3.5" rspace="0em">=</mo><mo id="S3.Ex8.m1.3.6" lspace="0em">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m1.3.7"><mfrac id="S3.Ex8.m1.3.7a"><msup id="S3.Ex8.m1.3.7.2"><mi id="S3.Ex8.m1.3.7.2.2">μ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.7.2.3"><mo id="S3.Ex8.m1.3.7.2.3a">−</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.7.2.3.2">ϵ</mi></mrow></msup><mrow id="S3.Ex8.m1.3.7.3"><mn id="S3.Ex8.m1.3.7.3.2">16</mn><mo id="S3.Ex8.m1.3.7.3.1">⁢</mo><msup id="S3.Ex8.m1.3.7.3.3"><mi id="S3.Ex8.m1.3.7.3.3.2">π</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.7.3.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex8.m1.3.7.3.1a">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.7.3.4">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S3.Ex8.m1.3.8"><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.1">[</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.8.2"><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m1.3.8.2.2"><mfrac id="S3.Ex8.m1.3.8.2.2a"><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.2.2.2">1</mn><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.2.2.3">72</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.2.3">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m1.3.8.2.4"><mfrac id="S3.Ex8.m1.3.8.2.4a"><msup id="S3.Ex8.m1.3.8.2.4.2"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.2.4.2.2">ξ</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.2.4.2.3">2</mn></msup><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.2.4.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.2.5">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m1.3.8.2.6"><mfrac id="S3.Ex8.m1.3.8.2.6a"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.2.6.2">ξ</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.2.6.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.2.7">)</mo></mrow><msup id="S3.Ex8.m1.3.8.3"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.3.2">R</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.4">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m1.3.8.5"><mfrac id="S3.Ex8.m1.3.8.5a"><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.5.2">1</mn><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.5.3">90</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S3.Ex8.m1.3.8.6"><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.1">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.2">R</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.3"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.3.2">μ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.3.3">ν</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.3.1a">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.3.4">ρ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.3.1b">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.2.3.5">σ</mi></mrow></msub><msup id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.2">R</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.3"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.3.2">μ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.3.3">ν</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.3.1a">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.3.4">ρ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.3.1b">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.3.3.5">σ</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.4">−</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.8.6.5"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.5.2">R</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.8.6.5.3"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.5.3.2">μ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.5.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.5.3.3">ν</mi></mrow></msub><msup id="S3.Ex8.m1.3.8.6.6"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.6.2">R</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.8.6.6.3"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.6.3.2">μ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.6.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.6.6.3.3">ν</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.6.7">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.7">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m1.3.8.8"><mfrac id="S3.Ex8.m1.3.8.8a"><msup id="S3.Ex8.m1.3.8.8.2"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.8.2.2">m</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.8.2.3">4</mn></msup><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.8.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.9">+</mo><msup id="S3.Ex8.m1.3.8.10"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.10.2">m</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.10.3">2</mn></msup><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.11">η</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.12">ϕ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.13">+</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.8.14"><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.14.1">(</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.14.2">ξ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.14.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m1.3.8.14.4"><mfrac id="S3.Ex8.m1.3.8.14.4a"><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.14.4.2">1</mn><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.14.4.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex8.m1.3.8.14.5">)</mo></mrow><msup id="S3.Ex8.m1.3.8.15"><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.15.2">m</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.8.15.3">2</mn></msup><mi id="S3.Ex8.m1.3.8.16">R</mi></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.3c">\displaystyle V_{\rm{eff,\ div.}}^{1-{\rm loop}}=-\frac{\mu^{-\epsilon}}{16\pi% ^{2}\epsilon}\left[\left(\frac{1}{72}+\frac{\xi^{2}}{2}-\frac{\xi}{6}\right)R^% {2}+\frac{1}{90}\left(R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}-R_{\mu\nu}R^{% \mu\nu}\right)+\frac{m^{4}}{2}+m^{2}\eta\phi+\left(\xi-\frac{1}{6}\right)m^{2}% R\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.3d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , roman_div . end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 - roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT = - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 72 end_ARG + divide start_ARG italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG - divide start_ARG italic_ξ end_ARG start_ARG 6 end_ARG ) italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 90 end_ARG ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ) + divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η italic_ϕ + ( italic_ξ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG ) italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\left(\xi-\frac{1}{6}\right)\eta R\phi+\frac{1}{2}\left(m^% {2}\lambda+\eta^{2}\right)\phi^{2}+\frac{\lambda^{2}\phi^{4}}{8}+\frac{\eta% \lambda\phi^{3}}{2}+\frac{\lambda}{2}\left(\xi-\frac{1}{6}\right)R\phi^{2}-% \frac{1}{3}\left(\xi-\frac{1}{5}\right)\square R\right]." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E15.m1.1"><semantics id="S3.E15.m1.1a"><mrow id="S3.E15.m1.1b"><mo id="S3.E15.m1.1.1">+</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.2"><mo id="S3.E15.m1.1.2.1">(</mo><mi id="S3.E15.m1.1.2.2">ξ</mi><mo id="S3.E15.m1.1.2.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.2.4"><mfrac id="S3.E15.m1.1.2.4a"><mn id="S3.E15.m1.1.2.4.2">1</mn><mn id="S3.E15.m1.1.2.4.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E15.m1.1.2.5">)</mo></mrow><mi id="S3.E15.m1.1.3">η</mi><mi id="S3.E15.m1.1.4">R</mi><mi id="S3.E15.m1.1.5">ϕ</mi><mo id="S3.E15.m1.1.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.7"><mfrac id="S3.E15.m1.1.7a"><mn id="S3.E15.m1.1.7.2">1</mn><mn id="S3.E15.m1.1.7.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S3.E15.m1.1.8"><mo id="S3.E15.m1.1.8.1">(</mo><msup id="S3.E15.m1.1.8.2"><mi id="S3.E15.m1.1.8.2.2">m</mi><mn id="S3.E15.m1.1.8.2.3">2</mn></msup><mi id="S3.E15.m1.1.8.3">λ</mi><mo id="S3.E15.m1.1.8.4">+</mo><msup id="S3.E15.m1.1.8.5"><mi id="S3.E15.m1.1.8.5.2">η</mi><mn id="S3.E15.m1.1.8.5.3">2</mn></msup><mo id="S3.E15.m1.1.8.6">)</mo></mrow><msup id="S3.E15.m1.1.9"><mi id="S3.E15.m1.1.9.2">ϕ</mi><mn id="S3.E15.m1.1.9.3">2</mn></msup><mo id="S3.E15.m1.1.10">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.11"><mfrac id="S3.E15.m1.1.11a"><mrow id="S3.E15.m1.1.11.2"><msup id="S3.E15.m1.1.11.2.2"><mi id="S3.E15.m1.1.11.2.2.2">λ</mi><mn id="S3.E15.m1.1.11.2.2.3">2</mn></msup><mo id="S3.E15.m1.1.11.2.1">⁢</mo><msup id="S3.E15.m1.1.11.2.3"><mi id="S3.E15.m1.1.11.2.3.2">ϕ</mi><mn id="S3.E15.m1.1.11.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mn id="S3.E15.m1.1.11.3">8</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E15.m1.1.12">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.13"><mfrac id="S3.E15.m1.1.13a"><mrow id="S3.E15.m1.1.13.2"><mi id="S3.E15.m1.1.13.2.2">η</mi><mo id="S3.E15.m1.1.13.2.1">⁢</mo><mi id="S3.E15.m1.1.13.2.3">λ</mi><mo id="S3.E15.m1.1.13.2.1a">⁢</mo><msup id="S3.E15.m1.1.13.2.4"><mi id="S3.E15.m1.1.13.2.4.2">ϕ</mi><mn id="S3.E15.m1.1.13.2.4.3">3</mn></msup></mrow><mn id="S3.E15.m1.1.13.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E15.m1.1.14">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.15"><mfrac id="S3.E15.m1.1.15a"><mi id="S3.E15.m1.1.15.2">λ</mi><mn id="S3.E15.m1.1.15.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S3.E15.m1.1.16"><mo id="S3.E15.m1.1.16.1">(</mo><mi id="S3.E15.m1.1.16.2">ξ</mi><mo id="S3.E15.m1.1.16.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.16.4"><mfrac id="S3.E15.m1.1.16.4a"><mn id="S3.E15.m1.1.16.4.2">1</mn><mn id="S3.E15.m1.1.16.4.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E15.m1.1.16.5">)</mo></mrow><mi id="S3.E15.m1.1.17">R</mi><msup id="S3.E15.m1.1.18"><mi id="S3.E15.m1.1.18.2">ϕ</mi><mn id="S3.E15.m1.1.18.3">2</mn></msup><mo id="S3.E15.m1.1.19">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.20"><mfrac id="S3.E15.m1.1.20a"><mn id="S3.E15.m1.1.20.2">1</mn><mn id="S3.E15.m1.1.20.3">3</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S3.E15.m1.1.21"><mo id="S3.E15.m1.1.21.1">(</mo><mi id="S3.E15.m1.1.21.2">ξ</mi><mo id="S3.E15.m1.1.21.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.21.4"><mfrac id="S3.E15.m1.1.21.4a"><mn id="S3.E15.m1.1.21.4.2">1</mn><mn id="S3.E15.m1.1.21.4.3">5</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E15.m1.1.21.5">)</mo></mrow><mi id="S3.E15.m1.1.22" mathvariant="normal">□</mi><mi id="S3.E15.m1.1.23">R</mi><mo id="S3.E15.m1.1.24">]</mo><mo id="S3.E15.m1.1.25" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.m1.1c">\displaystyle\left.+\left(\xi-\frac{1}{6}\right)\eta R\phi+\frac{1}{2}\left(m^% {2}\lambda+\eta^{2}\right)\phi^{2}+\frac{\lambda^{2}\phi^{4}}{8}+\frac{\eta% \lambda\phi^{3}}{2}+\frac{\lambda}{2}\left(\xi-\frac{1}{6}\right)R\phi^{2}-% \frac{1}{3}\left(\xi-\frac{1}{5}\right)\square R\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.m1.1d">+ ( italic_ξ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG ) italic_η italic_R italic_ϕ + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 8 end_ARG + divide start_ARG italic_η italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_ξ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG ) italic_R italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG ( italic_ξ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 5 end_ARG ) □ italic_R ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.9">We may ignore the last term as it is a total divergence. However note that, since <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E13" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E15" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a> contain <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.9.m1.1"><semantics id="S3.p3.9.m1.1a"><mi id="S3.p3.9.m1.1.1" xref="S3.p3.9.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.9.m1.1b"><ci id="S3.p3.9.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.9.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.9.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.9.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>-independent terms, probably one should not regard them as effective potential. In a strict sense, they should instead be attributed as effective Lagrangian density minus the kinetic term.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.p4.1">In order to renormalise the divergence associated with the pure curvature terms of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E15" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>, we take the gravitational counterterms in the Lagrangian density</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx15"> <tbody id="S3.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta{\cal L}_{\rm grav}=\left[\delta\Lambda+\delta\kappa R+% \delta\alpha_{1}R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}+\delta\alpha_{2}R_{% \mu\nu}R^{\mu\nu}+\delta\alpha_{3}R^{2}\right]," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E16.m1.1"><semantics id="S3.E16.m1.1a"><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">grav</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Λ</mi></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">κ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">R</mi></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.1a" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.4" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.1b" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.5" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1b" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.1a" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.4" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.1b" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.5" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1a" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1b" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1a" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.2.cmml">R</mi><mn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E16.m1.1b"><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1"><eq id="S3.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.3.3">grav</ci></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">Λ</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜅</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝑅</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝛿</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2">𝑅</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.3">𝜈</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.4.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.4">𝜌</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.5.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.5">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.2">𝑅</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.3">𝜈</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.4.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.4">𝜌</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.5.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.3.5">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝛿</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.2">𝑅</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.4.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.2">𝑅</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2">𝛿</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.3">3</cn></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.2">𝑅</ci><cn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.3.cmml" type="integer" 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italic_α start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.2">with the choice</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx16"> <tbody id="S3.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\Lambda=\frac{\mu^{-\epsilon}m^{4}}{32\pi^{2}\epsilon},% \qquad\delta\kappa=\frac{\mu^{-\epsilon}m^{2}\left(\xi-\frac{1}{6}\right)}{16% \pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\alpha_{1}=\frac{\mu^{-\epsilon}}{16\pi^{2}% \epsilon}\frac{1}{90}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex9.m1.2"><semantics id="S3.Ex9.m1.2a"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">Λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">32</mn><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">κ</mi></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex9.m1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex9.m1.1.1a" xref="S3.Ex9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.3a" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.1.1.1.4" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.4.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex9.m1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">6</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex9.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex9.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.3.4" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3" 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2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG , italic_δ italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 90 end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\alpha_{2}=-\frac{\mu^{-\epsilon}}{16\pi^{2}\epsilon}\frac{% 1}{90},\qquad\delta\alpha_{3}=\frac{\mu^{-\epsilon}}{32\pi^{2}\epsilon}\left(% \frac{1}{36}+\xi^{2}-\frac{\xi}{3}\right).\qquad" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E17.m1.1"><semantics id="S3.E17.m1.1a"><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2" 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id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msup id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mfrac id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">90</mn></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><msup id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">32</mn><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.4" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">36</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ξ</mi><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo><mspace id="S3.E17.m1.1.1.1.3" width="2.167em"></mspace></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17.m1.1b"><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛿</ci><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝜇</ci><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><minus id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3"></minus><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">16</cn><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><divide id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></divide><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">1</cn><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">90</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.2"></eq><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><divide id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"></divide><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2">𝜇</ci><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3"><minus id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3"></minus><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1"></times><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2">32</cn><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.4.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.4">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><plus id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2"><divide id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3">36</cn></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝜉</ci><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜉</ci><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17.m1.1c">\displaystyle\delta\alpha_{2}=-\frac{\mu^{-\epsilon}}{16\pi^{2}\epsilon}\frac{% 1}{90},\qquad\delta\alpha_{3}=\frac{\mu^{-\epsilon}}{32\pi^{2}\epsilon}\left(% \frac{1}{36}+\xi^{2}-\frac{\xi}{3}\right).\qquad</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17.m1.1d">italic_δ italic_α start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 90 end_ARG , italic_δ italic_α start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 32 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 36 end_ARG + italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_ξ end_ARG start_ARG 3 end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.3">The remaining divergence of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E15" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a> is absorbed by a matter counterterm Lagrangian</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx17"> <tbody id="S3.E18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta{\cal L}_{\rm matt}=\left[\frac{1}{2}\delta m^{2}\phi^{2}+% \frac{1}{2}\delta\xi R\phi^{2}+\frac{\delta\eta\phi^{3}}{3!}+\frac{\delta% \lambda\phi^{4}}{4!}+\delta\tau\phi+\delta\gamma R\phi\right]," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E18.m1.1"><semantics id="S3.E18.m1.1a"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">matt</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">δ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">m</mi><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">δ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">ξ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml">R</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1c" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">η</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">3</mn><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mfrac id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1a" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.4" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.4.cmml">R</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1b" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.5" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.cmml">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E18.m1.1b"><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1"><eq id="S3.E18.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.3.3">matt</ci></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛿</ci><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑚</ci><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝛿</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝜉</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.5">𝑅</ci><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.6.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝜂</ci><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.3">3</cn></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><factorial id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></factorial><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">3</cn></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5"><divide id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5"></divide><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2"><times id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1"></times><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">𝜆</ci><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.4.3">4</cn></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><factorial id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1"></factorial><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2">4</cn></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6"><times id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1"></times><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2">𝛿</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.3">𝜏</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.4">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7"><times id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1"></times><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2">𝛿</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3">𝛾</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.4.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.4">𝑅</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.5.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.5">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E18.m1.1c">\displaystyle\delta{\cal L}_{\rm matt}=\left[\frac{1}{2}\delta m^{2}\phi^{2}+% \frac{1}{2}\delta\xi R\phi^{2}+\frac{\delta\eta\phi^{3}}{3!}+\frac{\delta% \lambda\phi^{4}}{4!}+\delta\tau\phi+\delta\gamma R\phi\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E18.m1.1d">italic_δ caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT roman_matt end_POSTSUBSCRIPT = [ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_δ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_δ italic_ξ italic_R italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_δ italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + divide start_ARG italic_δ italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + italic_δ italic_τ italic_ϕ + italic_δ italic_γ italic_R italic_ϕ ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.4">with the choice</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx18"> <tbody id="S3.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta m^{2}=-\frac{\mu^{-\epsilon}\left(m^{2}\lambda+\eta^{2}% \right)}{16\pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\xi=-\frac{\mu^{-\epsilon}\lambda\left% (\xi-\frac{1}{6}\right)}{16\pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\tau=-\frac{\mu^{-% \epsilon}m^{2}\eta}{16\pi^{2}\epsilon}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m1.3"><semantics id="S3.Ex10.m1.3a"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex10.m1.1.1a" xref="S3.Ex10.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3a" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.3.4" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex10.m1.2.2a" xref="S3.Ex10.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3a" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.4" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.4.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.2a" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">6</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.2.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.3.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex10.m1.2.2.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.3.1a" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.3.4" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml"><msup id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.cmml">η</mi></mrow><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.3b"><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝛿</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1"><divide id="S3.Ex10.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1"></divide><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.3"></minus><ci 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id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3"><times id="S3.Ex10.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.2">16</cn><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.4">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><eq id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3">𝜉</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3"><minus id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3"></minus><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2"><divide id="S3.Ex10.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2"></divide><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1"><times id="S3.Ex10.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3"><minus id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3"></minus><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.4">𝜆</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3"><times id="S3.Ex10.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex10.m1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.2">16</cn><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.3.4">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" 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xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3"><minus id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3"></minus><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4">𝜂</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2">16</cn><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.3c">\displaystyle\delta m^{2}=-\frac{\mu^{-\epsilon}\left(m^{2}\lambda+\eta^{2}% \right)}{16\pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\xi=-\frac{\mu^{-\epsilon}\lambda\left% (\xi-\frac{1}{6}\right)}{16\pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\tau=-\frac{\mu^{-% \epsilon}m^{2}\eta}{16\pi^{2}\epsilon},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.3d">italic_δ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG , italic_δ italic_ξ = - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ( italic_ξ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG ) end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG , italic_δ italic_τ = - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\gamma=-\frac{\mu^{-\epsilon}\eta\left(\xi-\frac{1}{6}% \right)}{16\pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\eta=-\frac{3\mu^{-\epsilon}\eta% \lambda}{16\pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\lambda=-\frac{3\mu^{-\epsilon}\lambda% ^{2}}{16\pi^{2}\epsilon}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E19.m1.2"><semantics id="S3.E19.m1.2a"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E19.m1.1.1" xref="S3.E19.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E19.m1.1.1a" xref="S3.E19.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E19.m1.1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E19.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3a" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.1.1.1.4" xref="S3.E19.m1.1.1.1.4.cmml">η</mi><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.2a" xref="S3.E19.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">6</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E19.m1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E19.m1.1.1.3.2" xref="S3.E19.m1.1.1.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.E19.m1.1.1.3.1" xref="S3.E19.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E19.m1.1.1.3.3" xref="S3.E19.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E19.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.E19.m1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E19.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.E19.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E19.m1.1.1.3.1a" xref="S3.E19.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.1.1.3.4" xref="S3.E19.m1.1.1.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.3a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.4" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.4.cmml">η</mi><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1b" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.5" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.5.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.4" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3.cmml"><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1a" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E19.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml 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xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.2">𝜆</ci><cn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3"><times id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1"></times><cn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2">16</cn><apply id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.3.4">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E19.m1.2c">\displaystyle\delta\gamma=-\frac{\mu^{-\epsilon}\eta\left(\xi-\frac{1}{6}% \right)}{16\pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\eta=-\frac{3\mu^{-\epsilon}\eta% \lambda}{16\pi^{2}\epsilon},\qquad\delta\lambda=-\frac{3\mu^{-\epsilon}\lambda% ^{2}}{16\pi^{2}\epsilon}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E19.m1.2d">italic_δ italic_γ = - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT italic_η ( italic_ξ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG ) end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG , italic_δ italic_η = - divide start_ARG 3 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT italic_η italic_λ end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG , italic_δ italic_λ = - divide start_ARG 3 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.p5.1">We further introduce counterterms to absorb terms which are <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.p5.1.1">independent</span> of the background field <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.p5.1.m1.1a"><mi id="S3.p5.1.m1.1.1" xref="S3.p5.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.1.m1.1b"><ci id="S3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.1.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.1.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>, but otherwise <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.p5.1.2">finite</span>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx19"> <tbody id="S3.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\Lambda_{\rm fin.}=\frac{m^{4}}{64\pi^{2}}\left(\psi(2)+% \frac{1}{2}+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}\right),\qquad\delta\kappa_{\rm fin.}=% \frac{m^{2}(\xi-1/6)}{32\pi^{2}}\left(\psi(2)+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}% \right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m1.6"><semantics id="S3.Ex11.m1.6a"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Λ</mi><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">fin</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.1" lspace="0em" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.2.cmml">.</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">4</mn></msup><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">64</mn><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex11.m1.4.4" xref="S3.Ex11.m1.4.4.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.2.cmml">κ</mi><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml">fin</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.1" lspace="0em" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.2.cmml">.</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m1.3.3a" xref="S3.Ex11.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S3.Ex11.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">6</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.3.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.3.2.cmml">32</mn><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.3.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex11.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex11.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex11.m1.5.5" xref="S3.Ex11.m1.5.5.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.6b"><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2">Λ</ci><list id="S3.Ex11.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.3"><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1">fin</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" 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id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.2"></eq><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3"><times id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.2">𝜅</ci><list id="S3.Ex11.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.3"><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1">fin</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1"><times id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3"><divide id="S3.Ex11.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3"></divide><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1"><times id="S3.Ex11.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.3"><times id="S3.Ex11.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.3.1"></times><cn id="S3.Ex11.m1.3.3.3.2.cmml" type="integer" 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xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.6c">\displaystyle\delta\Lambda_{\rm fin.}=\frac{m^{4}}{64\pi^{2}}\left(\psi(2)+% \frac{1}{2}+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}\right),\qquad\delta\kappa_{\rm fin.}=% \frac{m^{2}(\xi-1/6)}{32\pi^{2}}\left(\psi(2)+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}% \right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.6d">italic_δ roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT roman_fin . end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 64 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 2 ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) , italic_δ italic_κ start_POSTSUBSCRIPT roman_fin . end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ξ - 1 / 6 ) end_ARG start_ARG 32 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 2 ) + roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\alpha_{1,{\rm fin.}}=\frac{1}{2880\pi^{2}}\left(\psi(1)+% \ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}\right),\qquad\delta\alpha_{2,{\rm fin.}}=-\frac{1% }{{2880\pi^{2}}}\left({\psi(1)}+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex12.m1.9"><semantics id="S3.Ex12.m1.9a"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.1.2.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml">fin</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.2" lspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml">.</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2880</mn><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex12.m1.7.7" xref="S3.Ex12.m1.7.7.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.cmml">α</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.6.6.3.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.6.6.3.3.1.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.3.3.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.3.3.1.2.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.3.3.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.5.5.2.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.2.2.cmml">fin</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.3.3.2" lspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.6.6.3.4.cmml">.</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1a" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3a" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">2880</mn><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex12.m1.8.8" xref="S3.Ex12.m1.8.8.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.9.9.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.9b"><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci 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id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2">2880</cn><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><cn id="S3.Ex12.m1.7.7.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.7.7">1</cn></apply><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ln id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></ln><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><cn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">4</cn><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜋</ci><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.2"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3"><times id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2">𝛼</ci><list id="S3.Ex12.m1.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.3.3"><list id="S3.Ex12.m1.6.6.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.3.3.1.2"><cn id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1">2</cn><ci 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\alpha_{3,{\rm fin.}}=\frac{(\xi-1/6)^{2}}{{64\pi^{2}}}% \left({\psi(1)}+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E20.m1.6"><semantics id="S3.E20.m1.6a"><mrow id="S3.E20.m1.6.6.1" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.6.6.1.1" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.2" 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xref="S3.E20.m1.4.4.3.2.cmml">64</mn><mo id="S3.E20.m1.4.4.3.1" xref="S3.E20.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E20.m1.4.4.3.3" xref="S3.E20.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S3.E20.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.E20.m1.4.4.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E20.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.E20.m1.4.4.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" 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id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E20.m1.6b"><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1"><eq id="S3.E20.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.3"><times id="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.3.3.2">𝛼</ci><list id="S3.E20.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3"><list id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.2"><cn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1">3</cn><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2">fin</ci></list></list></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1"><times id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E20.m1.4.4.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4"><divide id="S3.E20.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4"></divide><apply id="S3.E20.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.1.1.1"><minus id="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">6</cn></apply></apply><cn id="S3.E20.m1.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.4.4.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.E20.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.3"><times id="S3.E20.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.3.1"></times><cn id="S3.E20.m1.4.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.4.4.3.2">64</cn><apply id="S3.E20.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E20.m1.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.4.4.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><cn id="S3.E20.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.5.5">1</cn></apply><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><ln id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1"></ln><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><cn id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">4</cn><ci id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜋</ci><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E20.m1.6c">\displaystyle\delta\alpha_{3,{\rm fin.}}=\frac{(\xi-1/6)^{2}}{{64\pi^{2}}}% \left({\psi(1)}+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E20.m1.6d">italic_δ italic_α start_POSTSUBSCRIPT 3 , roman_fin . end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ( italic_ξ - 1 / 6 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 64 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p5.5">We will not absorb any field dependent finite terms by any counterterms, and will leave them intact. We thus finally have the renormalised result</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx20"> <tbody id="S3.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff,Ren}}^{1-{\rm loop}}=\frac{1}{2}(m^{2}+\xi R)\phi^{2}% +\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{\eta\phi^{3}}{3!}+\frac{1}{2(4\pi)^{2}}\left% [\frac{m^{4}_{1}}{2}\left(\ln\frac{m_{1}^{2}}{4\pi\mu^{2}}-\frac{1}{2}-\psi(2)% \right)+\frac{m^{4}}{2}\left(\frac{1}{2}+\psi(2)\right)-\frac{m^{4}}{2}\ln% \frac{m^{2}}{4\pi\mu^{2}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex13.m1.5"><semantics id="S3.Ex13.m1.5a"><mrow id="S3.Ex13.m1.5b"><msubsup id="S3.Ex13.m1.5.6"><mi id="S3.Ex13.m1.5.6.2.2">V</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.2.4"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1">eff</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2">Ren</mi></mrow><mrow id="S3.Ex13.m1.5.6.3"><mn id="S3.Ex13.m1.5.6.3.2">1</mn><mo id="S3.Ex13.m1.5.6.3.1">−</mo><mi id="S3.Ex13.m1.5.6.3.3">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex13.m1.5.7">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.8"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.8a"><mn id="S3.Ex13.m1.5.8.2">1</mn><mn id="S3.Ex13.m1.5.8.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S3.Ex13.m1.5.9"><mo id="S3.Ex13.m1.5.9.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex13.m1.5.9.2"><mi id="S3.Ex13.m1.5.9.2.2">m</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.9.2.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex13.m1.5.9.3">+</mo><mi id="S3.Ex13.m1.5.9.4">ξ</mi><mi id="S3.Ex13.m1.5.9.5">R</mi><mo id="S3.Ex13.m1.5.9.6" stretchy="false">)</mo></mrow><msup id="S3.Ex13.m1.5.10"><mi id="S3.Ex13.m1.5.10.2">ϕ</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.10.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex13.m1.5.11">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.12"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.12a"><mrow id="S3.Ex13.m1.5.12.2"><mi id="S3.Ex13.m1.5.12.2.2">λ</mi><mo id="S3.Ex13.m1.5.12.2.1">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.5.12.2.3"><mi id="S3.Ex13.m1.5.12.2.3.2">ϕ</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.12.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S3.Ex13.m1.5.12.3"><mn id="S3.Ex13.m1.5.12.3.2">4</mn><mo id="S3.Ex13.m1.5.12.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex13.m1.5.13">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.14"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.14a"><mrow id="S3.Ex13.m1.5.14.2"><mi id="S3.Ex13.m1.5.14.2.2">η</mi><mo id="S3.Ex13.m1.5.14.2.1">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.5.14.2.3"><mi id="S3.Ex13.m1.5.14.2.3.2">ϕ</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.14.2.3.3">3</mn></msup></mrow><mrow id="S3.Ex13.m1.5.14.3"><mn id="S3.Ex13.m1.5.14.3.2">3</mn><mo id="S3.Ex13.m1.5.14.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex13.m1.5.15">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.3.3"><mfrac id="S3.Ex13.m1.3.3a"><mn id="S3.Ex13.m1.3.3.3">1</mn><mrow id="S3.Ex13.m1.3.3.1"><mn id="S3.Ex13.m1.3.3.1.3">2</mn><mo id="S3.Ex13.m1.3.3.1.2">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1"><mrow id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1"><mn id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S3.Ex13.m1.5.16"><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.1">[</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.16.2"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.16.2a"><msubsup id="S3.Ex13.m1.5.16.2.2"><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.2.2.2.2">m</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.2.2.3">1</mn><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.2.2.2.3">4</mn></msubsup><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S3.Ex13.m1.5.16.3"><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.3.1">(</mo><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.3.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3a"><msubsup id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.2"><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.2.2.2">m</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.2.2.3">1</mn><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.3"><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.3.2">4</mn><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.3.3">π</mi><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.3.1a">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.3.4"><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.3.4.2">μ</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.3.3.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.3.4">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.16.3.5"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.16.3.5a"><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.3.5.2">1</mn><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.3.5.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.3.6">−</mo><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.3.7">ψ</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.5.16.3.8"><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.3.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex13.m1.4.4">2</mn><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.3.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.3.9">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.4">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.16.5"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.16.5a"><msup id="S3.Ex13.m1.5.16.5.2"><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.5.2.2">m</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.5.2.3">4</mn></msup><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.5.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S3.Ex13.m1.5.16.6"><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.6.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.16.6.2"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.16.6.2a"><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.6.2.2">1</mn><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.6.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.6.3">+</mo><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.6.4">ψ</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.5.16.6.5"><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.6.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex13.m1.5.5">2</mn><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.6.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.6.6">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.7">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.16.8"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.16.8a"><msup id="S3.Ex13.m1.5.16.8.2"><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.8.2.2">m</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.8.2.3">4</mn></msup><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.8.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.9">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.5.16.10"><mfrac id="S3.Ex13.m1.5.16.10a"><msup id="S3.Ex13.m1.5.16.10.2"><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.10.2.2">m</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.10.2.3">2</mn></msup><mrow id="S3.Ex13.m1.5.16.10.3"><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.10.3.2">4</mn><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.10.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.10.3.3">π</mi><mo id="S3.Ex13.m1.5.16.10.3.1a">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.5.16.10.3.4"><mi id="S3.Ex13.m1.5.16.10.3.4.2">μ</mi><mn id="S3.Ex13.m1.5.16.10.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.5c">\displaystyle V_{\rm{eff,Ren}}^{1-{\rm loop}}=\frac{1}{2}(m^{2}+\xi R)\phi^{2}% +\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{\eta\phi^{3}}{3!}+\frac{1}{2(4\pi)^{2}}\left% [\frac{m^{4}_{1}}{2}\left(\ln\frac{m_{1}^{2}}{4\pi\mu^{2}}-\frac{1}{2}-\psi(2)% \right)+\frac{m^{4}}{2}\left(\frac{1}{2}+\psi(2)\right)-\frac{m^{4}}{2}\ln% \frac{m^{2}}{4\pi\mu^{2}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.5d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , roman_Ren end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 - roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ξ italic_R ) italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + divide start_ARG italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG - italic_ψ ( 2 ) ) + divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_ψ ( 2 ) ) - divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\left(\psi(2)(m^{2}_{1}-m^{2}% )-m_{1}^{2}\ln\frac{m_{1}^{2}}{4\pi\mu^{2}}+m^{2}\ln\frac{m^{2}}{4\pi\mu^{2}}% \right)-\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}R^{2}-2f_{1}\right)% \ln\frac{m_{1}^{2}}{m^{2}}\right]," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E21.m1.1"><semantics id="S3.E21.m1.1a"><mrow id="S3.E21.m1.1b"><mo id="S3.E21.m1.1.2">+</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.3"><mo id="S3.E21.m1.1.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E21.m1.1.3.2"><mfrac id="S3.E21.m1.1.3.2a"><mn id="S3.E21.m1.1.3.2.2">1</mn><mn id="S3.E21.m1.1.3.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E21.m1.1.3.3">−</mo><mi id="S3.E21.m1.1.3.4">ξ</mi><mo id="S3.E21.m1.1.3.5">)</mo></mrow><mi id="S3.E21.m1.1.4">R</mi><mrow id="S3.E21.m1.1.5"><mo id="S3.E21.m1.1.5.1">(</mo><mi id="S3.E21.m1.1.5.2">ψ</mi><mrow id="S3.E21.m1.1.5.3"><mo id="S3.E21.m1.1.5.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.E21.m1.1.1">2</mn><mo id="S3.E21.m1.1.5.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S3.E21.m1.1.5.4"><mo id="S3.E21.m1.1.5.4.1" stretchy="false">(</mo><msubsup id="S3.E21.m1.1.5.4.2"><mi id="S3.E21.m1.1.5.4.2.2.2">m</mi><mn id="S3.E21.m1.1.5.4.2.3">1</mn><mn id="S3.E21.m1.1.5.4.2.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S3.E21.m1.1.5.4.3">−</mo><msup id="S3.E21.m1.1.5.4.4"><mi id="S3.E21.m1.1.5.4.4.2">m</mi><mn id="S3.E21.m1.1.5.4.4.3">2</mn></msup><mo id="S3.E21.m1.1.5.4.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.5.5">−</mo><msubsup id="S3.E21.m1.1.5.6"><mi id="S3.E21.m1.1.5.6.2.2">m</mi><mn id="S3.E21.m1.1.5.6.2.3">1</mn><mn id="S3.E21.m1.1.5.6.3">2</mn></msubsup><mi id="S3.E21.m1.1.5.7">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S3.E21.m1.1.5.8"><mfrac id="S3.E21.m1.1.5.8a"><msubsup id="S3.E21.m1.1.5.8.2"><mi id="S3.E21.m1.1.5.8.2.2.2">m</mi><mn id="S3.E21.m1.1.5.8.2.2.3">1</mn><mn id="S3.E21.m1.1.5.8.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S3.E21.m1.1.5.8.3"><mn id="S3.E21.m1.1.5.8.3.2">4</mn><mo id="S3.E21.m1.1.5.8.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.1.5.8.3.3">π</mi><mo id="S3.E21.m1.1.5.8.3.1a">⁢</mo><msup id="S3.E21.m1.1.5.8.3.4"><mi id="S3.E21.m1.1.5.8.3.4.2">μ</mi><mn id="S3.E21.m1.1.5.8.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E21.m1.1.5.9">+</mo><msup id="S3.E21.m1.1.5.10"><mi id="S3.E21.m1.1.5.10.2">m</mi><mn id="S3.E21.m1.1.5.10.3">2</mn></msup><mi id="S3.E21.m1.1.5.11">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S3.E21.m1.1.5.12"><mfrac id="S3.E21.m1.1.5.12a"><msup id="S3.E21.m1.1.5.12.2"><mi id="S3.E21.m1.1.5.12.2.2">m</mi><mn id="S3.E21.m1.1.5.12.2.3">2</mn></msup><mrow id="S3.E21.m1.1.5.12.3"><mn id="S3.E21.m1.1.5.12.3.2">4</mn><mo id="S3.E21.m1.1.5.12.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.1.5.12.3.3">π</mi><mo id="S3.E21.m1.1.5.12.3.1a">⁢</mo><msup id="S3.E21.m1.1.5.12.3.4"><mi id="S3.E21.m1.1.5.12.3.4.2">μ</mi><mn id="S3.E21.m1.1.5.12.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E21.m1.1.5.13">)</mo></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.6">−</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.7"><mo id="S3.E21.m1.1.7.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E21.m1.1.7.2"><mfrac id="S3.E21.m1.1.7.2a"><mn id="S3.E21.m1.1.7.2.2">1</mn><mn id="S3.E21.m1.1.7.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><msup id="S3.E21.m1.1.7.3"><mrow id="S3.E21.m1.1.7.3.2"><mo id="S3.E21.m1.1.7.3.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E21.m1.1.7.3.2.2"><mfrac id="S3.E21.m1.1.7.3.2.2a"><mn id="S3.E21.m1.1.7.3.2.2.2">1</mn><mn id="S3.E21.m1.1.7.3.2.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E21.m1.1.7.3.2.3">−</mo><mi id="S3.E21.m1.1.7.3.2.4">ξ</mi><mo id="S3.E21.m1.1.7.3.2.5">)</mo></mrow><mn id="S3.E21.m1.1.7.3.3">2</mn></msup><msup id="S3.E21.m1.1.7.4"><mi id="S3.E21.m1.1.7.4.2">R</mi><mn id="S3.E21.m1.1.7.4.3">2</mn></msup><mo id="S3.E21.m1.1.7.5">−</mo><mn id="S3.E21.m1.1.7.6">2</mn><msub id="S3.E21.m1.1.7.7"><mi id="S3.E21.m1.1.7.7.2">f</mi><mn id="S3.E21.m1.1.7.7.3">1</mn></msub><mo id="S3.E21.m1.1.7.8" rspace="0.167em">)</mo></mrow><mi id="S3.E21.m1.1.8">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S3.E21.m1.1.9"><mfrac id="S3.E21.m1.1.9a"><msubsup id="S3.E21.m1.1.9.2"><mi id="S3.E21.m1.1.9.2.2.2">m</mi><mn id="S3.E21.m1.1.9.2.2.3">1</mn><mn id="S3.E21.m1.1.9.2.3">2</mn></msubsup><msup id="S3.E21.m1.1.9.3"><mi id="S3.E21.m1.1.9.3.2">m</mi><mn id="S3.E21.m1.1.9.3.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.E21.m1.1.10">]</mo><mo id="S3.E21.m1.1.11">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E21.m1.1c">\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\left(\psi(2)(m^{2}_{1}-m^{2}% )-m_{1}^{2}\ln\frac{m_{1}^{2}}{4\pi\mu^{2}}+m^{2}\ln\frac{m^{2}}{4\pi\mu^{2}}% \right)-\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}R^{2}-2f_{1}\right)% \ln\frac{m_{1}^{2}}{m^{2}}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E21.m1.1d">+ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ( italic_ψ ( 2 ) ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) - ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p5.2">where <math alttext="m_{1}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.2.m1.1"><semantics id="S3.p5.2.m1.1a"><msubsup id="S3.p5.2.m1.1.1" xref="S3.p5.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.2.m1.1.1.2.2" xref="S3.p5.2.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.p5.2.m1.1.1.2.3" xref="S3.p5.2.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.p5.2.m1.1.1.3" xref="S3.p5.2.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.2.m1.1b"><apply id="S3.p5.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p5.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p5.2.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.p5.2.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p5.2.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.p5.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p5.2.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.2.m1.1c">m_{1}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.2.m1.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E11" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>, and we have abbreviated</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="f_{1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}R^{2}-\frac{1}{3}a^{\lambda}% \,_{\lambda}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}{R^{2}}+\frac{1}{180}R% _{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}-\frac{1}{180}R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex14.m1.1"><semantics id="S3.Ex14.m1.1a"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">f</mi><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1" 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id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">R</mi><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></mfrac><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">λ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2a" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.4.2.cmml">R</mi><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.4.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml">180</mn></mfrac><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.1a" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.4" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.1b" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.5" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.1a" 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xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m1.1b"><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1"><and id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2">𝑓</ci><cn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.4.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply 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id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2"><minus id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2"></minus><apply 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id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3"><times id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.3">𝜈</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.4">𝜌</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.5.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.5">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3"><times id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.3">𝜈</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.4">𝜌</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.5.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.3.4.3.5">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2"><divide id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2"></divide><cn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.3">180</cn></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.3"><times id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3"><times id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.4.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.1c">f_{1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}R^{2}-\frac{1}{3}a^{\lambda}% \,_{\lambda}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}{R^{2}}+\frac{1}{180}R% _{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}-\frac{1}{180}R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG italic_a start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 180 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 180 end_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p5.4">Note that the renormalised result <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E21" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a> does not contain any term independent of the background field <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.3.m1.1"><semantics id="S3.p5.3.m1.1a"><mi id="S3.p5.3.m1.1.1" xref="S3.p5.3.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.3.m1.1b"><ci id="S3.p5.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.3.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.3.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>, and becomes vanishing at <math alttext="\phi=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.4.m2.1"><semantics id="S3.p5.4.m2.1a"><mrow id="S3.p5.4.m2.1.1" xref="S3.p5.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.4.m2.1.1.2" xref="S3.p5.4.m2.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.p5.4.m2.1.1.1" xref="S3.p5.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p5.4.m2.1.1.3" xref="S3.p5.4.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.4.m2.1b"><apply id="S3.p5.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1"><eq id="S3.p5.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.p5.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.p5.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p5.4.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.4.m2.1c">\phi=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.4.m2.1d">italic_ϕ = 0</annotation></semantics></math>. Thus we may regard it as a true effective potential for the scalar, containing the curvature effects.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.p6.2">Let us now take the flat spacetime limit of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E21" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>, for a massless and quartic self interaction. Taking <math alttext="\psi(2)\simeq 0.422785" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.p6.1.m1.1a"><mrow id="S3.p6.1.m1.1.2" xref="S3.p6.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.p6.1.m1.1.2.2" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p6.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.p6.1.m1.1.2.2.1" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.p6.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S3.p6.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p6.1.m1.1.2.1" xref="S3.p6.1.m1.1.2.1.cmml">≃</mo><mn id="S3.p6.1.m1.1.2.3" xref="S3.p6.1.m1.1.2.3.cmml">0.422785</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.p6.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p6.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.2.1">similar-to-or-equals</csymbol><apply id="S3.p6.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2"><times id="S3.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.p6.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.2.2.2">𝜓</ci><cn id="S3.p6.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p6.1.m1.1.1">2</cn></apply><cn id="S3.p6.1.m1.1.2.3.cmml" type="float" xref="S3.p6.1.m1.1.2.3">0.422785</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.1.m1.1c">\psi(2)\simeq 0.422785</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.1.m1.1d">italic_ψ ( 2 ) ≃ 0.422785</annotation></semantics></math> and setting <math alttext="R=f_{1}=\eta=m=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.2.m2.1"><semantics id="S3.p6.2.m2.1a"><mrow id="S3.p6.2.m2.1.1" xref="S3.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.2.m2.1.1.2" xref="S3.p6.2.m2.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.p6.2.m2.1.1.3" xref="S3.p6.2.m2.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.p6.2.m2.1.1.4" xref="S3.p6.2.m2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.p6.2.m2.1.1.4.2" xref="S3.p6.2.m2.1.1.4.2.cmml">f</mi><mn id="S3.p6.2.m2.1.1.4.3" xref="S3.p6.2.m2.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p6.2.m2.1.1.5" xref="S3.p6.2.m2.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S3.p6.2.m2.1.1.6" xref="S3.p6.2.m2.1.1.6.cmml">η</mi><mo id="S3.p6.2.m2.1.1.7" xref="S3.p6.2.m2.1.1.7.cmml">=</mo><mi id="S3.p6.2.m2.1.1.8" xref="S3.p6.2.m2.1.1.8.cmml">m</mi><mo id="S3.p6.2.m2.1.1.9" xref="S3.p6.2.m2.1.1.9.cmml">=</mo><mn id="S3.p6.2.m2.1.1.10" xref="S3.p6.2.m2.1.1.10.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.2.m2.1b"><apply id="S3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"><and id="S3.p6.2.m2.1.1a.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"></and><apply id="S3.p6.2.m2.1.1b.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"><eq id="S3.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.3"></eq><ci id="S3.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S3.p6.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.2.m2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.4.2">𝑓</ci><cn id="S3.p6.2.m2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.p6.2.m2.1.1.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.p6.2.m2.1.1c.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"><eq id="S3.p6.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.p6.2.m2.1.1.4.cmml" id="S3.p6.2.m2.1.1d.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"></share><ci id="S3.p6.2.m2.1.1.6.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.6">𝜂</ci></apply><apply id="S3.p6.2.m2.1.1e.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"><eq id="S3.p6.2.m2.1.1.7.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.p6.2.m2.1.1.6.cmml" id="S3.p6.2.m2.1.1f.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"></share><ci id="S3.p6.2.m2.1.1.8.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.8">𝑚</ci></apply><apply id="S3.p6.2.m2.1.1g.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"><eq id="S3.p6.2.m2.1.1.9.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.p6.2.m2.1.1.8.cmml" id="S3.p6.2.m2.1.1h.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"></share><cn id="S3.p6.2.m2.1.1.10.cmml" type="integer" xref="S3.p6.2.m2.1.1.10">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.2.m2.1c">R=f_{1}=\eta=m=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.2.m2.1d">italic_R = italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_η = italic_m = 0</annotation></semantics></math>, we reproduce the Coleman-Weinberg effective potential <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib7" title="">7</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx21"> <tbody id="S3.E22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff}}^{\rm flat}=\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{\lambda% ^{2}\phi^{4}}{256\pi^{2}}\left[\ln\frac{\lambda\phi^{2}}{\mu^{2}}-4.146\right]." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.m1.1"><semantics id="S3.E22.m1.1a"><mrow id="S3.E22.m1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E22.m1.1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E22.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.E22.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">eff</mi><mi id="S3.E22.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">flat</mi></msubsup><mo id="S3.E22.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.3.2" 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cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">256</cn><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ln id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></ln><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci><cn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">4.146</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.m1.1c">\displaystyle V_{\rm{eff}}^{\rm flat}=\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{\lambda% ^{2}\phi^{4}}{256\pi^{2}}\left[\ln\frac{\lambda\phi^{2}}{\mu^{2}}-4.146\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_flat end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 256 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ roman_ln divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - 4.146 ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.p7.4">Finally, we note that the derivation of the counterterms of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E19" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a> is completely equivalent to that of the imposition of renormalisation conditions. For example, for the mass renormalisation condition in curved spacetime we impose from <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E15" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E18" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a> and the tree level potential,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(V_{\rm{eff,\ div.}}^{1-{\rm loop}}+\delta{\cal L}_{\rm matt}+\cal{L}_{% \rm tree}\right)^{\prime\prime}_{\phi=0}=(m^{2}+\xi R)" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex15.m1.5"><semantics id="S3.Ex15.m1.5a"><mrow id="S3.Ex15.m1.5.5" xref="S3.Ex15.m1.5.5.cmml"><msubsup id="S3.Ex15.m1.4.4.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="S3.Ex15.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m1.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex15.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S3.Ex15.m1.3.3.3.3.1.2.1" rspace="0.517em" xref="S3.Ex15.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.2.2.cmml">div</mi></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.3.3.3.3.2" lspace="0em" xref="S3.Ex15.m1.3.3.3.4.cmml">.</mo></mrow><mrow id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">matt</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml">tree</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex15.m1.4.4.1.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex15.m1.5.5.3" 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encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.5b"><apply id="S3.Ex15.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5"><eq id="S3.Ex15.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.3"></eq><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" 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id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3">matt</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3">tree</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.3">′′</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.3"><eq id="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.1"></eq><ci id="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1"><plus id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.3"><times id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.3.2">𝜉</ci><ci id="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.1.1.3.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.5c">\left(V_{\rm{eff,\ div.}}^{1-{\rm loop}}+\delta{\cal L}_{\rm matt}+\cal{L}_{% \rm tree}\right)^{\prime\prime}_{\phi=0}=(m^{2}+\xi R)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.5d">( italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , roman_div . end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 - roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT roman_matt end_POSTSUBSCRIPT + caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT roman_tree end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ = 0 end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ξ italic_R )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p7.5">The above equation gives,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\mu^{-\epsilon}}{16\pi^{2}\epsilon}\left[(m^{2}\lambda+\eta^{2})+\lambda% \left(\xi-\frac{1}{6}\right)R\right]+(m^{2}+\delta m^{2})+(\xi+\delta\xi)R=m^{% 2}+\xi R," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex16.m1.1"><semantics id="S3.Ex16.m1.1a"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">6</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">R</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.4a" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">ξ</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">R</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.cmml"><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">R</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml 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xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜆</ci><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">6</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1"><plus id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.2"></times><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><plus id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3">𝜉</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5"><plus id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.1"></plus><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝜉</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.1c">\frac{\mu^{-\epsilon}}{16\pi^{2}\epsilon}\left[(m^{2}\lambda+\eta^{2})+\lambda% \left(\xi-\frac{1}{6}\right)R\right]+(m^{2}+\delta m^{2})+(\xi+\delta\xi)R=m^{% 2}+\xi R,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.1d">divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG [ ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_λ ( italic_ξ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG ) italic_R ] + ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) + ( italic_ξ + italic_δ italic_ξ ) italic_R = italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ξ italic_R ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p7.3">which immediately yields expressions same as that of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E19" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a> for <math alttext="\delta m^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.p7.1.m1.1a"><mrow id="S3.p7.1.m1.1.1" xref="S3.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.p7.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.p7.1.m1.1.1.1" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1"><times id="S3.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S3.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p7.1.m1.1c">\delta m^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p7.1.m1.1d">italic_δ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\delta\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.p7.2.m2.1a"><mrow id="S3.p7.2.m2.1.1" xref="S3.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p7.2.m2.1.1.2" xref="S3.p7.2.m2.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.p7.2.m2.1.1.1" xref="S3.p7.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p7.2.m2.1.1.3" xref="S3.p7.2.m2.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p7.2.m2.1b"><apply id="S3.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p7.2.m2.1.1"><times id="S3.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p7.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S3.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p7.2.m2.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p7.2.m2.1.1.3">𝜉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p7.2.m2.1c">\delta\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p7.2.m2.1d">italic_δ italic_ξ</annotation></semantics></math>. The other field counterterms can be derived in a similar manner. We further refer our reader to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib57" title="">57</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib58" title="">58</a>]</cite> for a discussion on the equivalence of these two approaches in the context of <math alttext="O(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p7.3.m3.1"><semantics id="S3.p7.3.m3.1a"><mrow id="S3.p7.3.m3.1.2" xref="S3.p7.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.p7.3.m3.1.2.2" xref="S3.p7.3.m3.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S3.p7.3.m3.1.2.1" xref="S3.p7.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p7.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.p7.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.p7.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p7.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p7.3.m3.1.1" xref="S3.p7.3.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.p7.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p7.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p7.3.m3.1b"><apply id="S3.p7.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.p7.3.m3.1.2"><times id="S3.p7.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.p7.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S3.p7.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.p7.3.m3.1.2.2">𝑂</ci><ci id="S3.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p7.3.m3.1.1">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p7.3.m3.1c">O(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p7.3.m3.1d">italic_O ( italic_N )</annotation></semantics></math> symmetric scalar field theory.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>The case at finite temparature</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.4">We next wish to generalise <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E13" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a> for finite temperature, <math alttext="T=\beta^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.p1.1.m1.1.1.3.3a" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1"><eq id="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.3"><minus id="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.3"></minus><cn id="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">T=\beta^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_T = italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. In order to obtain the pure thermal contribution, we recall that one needs replacing the Euclidean momentum <math alttext="k_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.1c">k_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by discrete <math alttext="\omega_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.p1.3.m3.1a"><msub id="S4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.3.m3.1c">\omega_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.3.m3.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="\omega_{n}=2\pi n/\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S4.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.1a" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.4" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.4.cmml">n</mi></mrow><mo id="S4.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">β</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1"><eq id="S4.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.2">𝜔</ci><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3"><divide id="S4.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.1"></divide><apply id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2"><times id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.1"></times><cn id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.3">𝜋</ci><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.2.4">𝑛</ci></apply><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.4.m4.1c">\omega_{n}=2\pi n/\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.4.m4.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = 2 italic_π italic_n / italic_β</annotation></semantics></math> for bosons, i.e. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib74" title="">74</a>]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="k^{2}+m_{1}^{2}\to\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2},% \qquad\qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E23.m1.5"><semantics id="S4.E23.m1.5a"><mrow id="S4.E23.m1.5.5.2" xref="S4.E23.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mn id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E23.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.1" xref="S4.E23.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.E23.m1.1.1" xref="S4.E23.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E23.m1.1.1.2.2" xref="S4.E23.m1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E23.m1.1.1.2.1" xref="S4.E23.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.1.1.2.3" xref="S4.E23.m1.1.1.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E23.m1.1.1.2.1a" xref="S4.E23.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.1.1.2.4" xref="S4.E23.m1.1.1.2.4.cmml">n</mi></mrow><mi id="S4.E23.m1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.1.1.3.cmml">β</mi></mfrac><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E23.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1a" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.4" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.4.2.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.4.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.4.2.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.4.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.4.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.3" rspace="4.167em" xref="S4.E23.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.2.2.5" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.5.cmml">n</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.2.4" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.4.cmml"><mn id="S4.E23.m1.2.2" xref="S4.E23.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.4" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.2.1.1.1a" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml">±</mo><mn id="S4.E23.m1.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.5" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.2.2.2.2a" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">±</mo><mn id="S4.E23.m1.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.6" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.3" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.3.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.3a" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.3.cmml">±</mo><mn id="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.3.2" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.7" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.E23.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E23.m1.3.3.cmml">⋯</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E23.m1.5b"><apply id="S4.E23.m1.5.5.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.3a.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1"><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1">→</ci><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2"><plus id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑘</ci><cn 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type="integer" xref="S4.E23.m1.5.5.2.2.3.3.3.2">3</cn></apply><ci id="S4.E23.m1.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.3.3">⋯</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E23.m1.5c">k^{2}+m_{1}^{2}\to\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2},% \qquad\qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E23.m1.5d">italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT → over→ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_n = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , ⋯</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p1.5">This leads to the replacements in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E13" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx22"> <tbody id="S4.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\ln(k^{2}+m_{1}^{2})\longrightarrow% \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\beta}\int\frac{d^{d-1}\vec{k}}{(2\pi)^{d-1}% }\ln\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}\right]," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex17.m1.6"><semantics id="S4.Ex17.m1.6a"><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1a" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex17.m1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex17.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S4.Ex17.m1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.3.3" xref="S4.Ex17.m1.3.3.cmml">ln</mi><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mstyle><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><munderover id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2a" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3a" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mi id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.3a" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.3.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.3.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.3.3.cmml">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1a" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex17.m1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S4.Ex17.m1.2.2.3.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.3.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.Ex17.m1.2.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.3.1.cmml">→</mo></mover></mrow><msup id="S4.Ex17.m1.2.2.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.1.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.1.3.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.1.3.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex17.m1.2.2.1.3.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.5.5" xref="S4.Ex17.m1.5.5.cmml">ln</mi><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mn id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.4.4.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex17.m1.4.4.cmml">(</mo><mfrac id="S4.Ex17.m1.4.4" xref="S4.Ex17.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.4.4.2" xref="S4.Ex17.m1.4.4.2.cmml"><mn id="S4.Ex17.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex17.m1.4.4.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex17.m1.4.4.2.1" xref="S4.Ex17.m1.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.4.4.2.3" xref="S4.Ex17.m1.4.4.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.Ex17.m1.4.4.2.1a" xref="S4.Ex17.m1.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex17.m1.4.4.2.4.cmml">n</mi></mrow><mi id="S4.Ex17.m1.4.4.3" xref="S4.Ex17.m1.4.4.3.cmml">β</mi></mfrac><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex17.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_n = - ∞ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over→ start_ARG italic_k end_ARG end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_ln [ over→ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m_{1}^{2})^{s}}% \longrightarrow\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\beta}\int\frac{d^{d-1}\vec{k% }}{(2\pi)^{d-1}}\frac{1}{\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{% 2}+m_{1}^{2}\right]^{s}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E24.m1.6"><semantics id="S4.E24.m1.6a"><mrow id="S4.E24.m1.6.6.1" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.6.6.1.1" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E24.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.6.6.1.1.2a" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E24.m1.6.6.1.1.2.1" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">∫</mo><mrow id="S4.E24.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E24.m1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E24.m1.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E24.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi 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id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.1.2.3.3a" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.1.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.1.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.1.2.3.3.2.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mi id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.2a" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.3a" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E24.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E24.m1.3.3" xref="S4.E24.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.3.3.3" xref="S4.E24.m1.3.3.3.cmml"><msup id="S4.E24.m1.3.3.3.2" xref="S4.E24.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.3.3.3.2.2" xref="S4.E24.m1.3.3.3.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S4.E24.m1.3.3.3.2.3" xref="S4.E24.m1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.E24.m1.3.3.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E24.m1.3.3.3.2.3.1" xref="S4.E24.m1.3.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E24.m1.3.3.3.2.3.3" xref="S4.E24.m1.3.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E24.m1.3.3.3.1" xref="S4.E24.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.E24.m1.3.3.3.3" xref="S4.E24.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.3.3.3.3.2" xref="S4.E24.m1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E24.m1.3.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.3.3.3.3.1.cmml">→</mo></mover></mrow><msup 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xref="S4.E24.m1.5.5.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E24.m1.5.5.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.2.2.1.1.4.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.E24.m1.5.5.2.2.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E24.m1.5.5.2.2.1.1.4.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.E24.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E24.m1.5.5.2.2.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S4.E24.m1.5.5.2.4.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.2.4">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E24.m1.6c">\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m_{1}^{2})^{s}}% \longrightarrow\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\beta}\int\frac{d^{d-1}\vec{k% }}{(2\pi)^{d-1}}\frac{1}{\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{% 2}+m_{1}^{2}\right]^{s}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E24.m1.6d">∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟶ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = - ∞ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over→ start_ARG italic_k end_ARG end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG [ over→ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1">Before we proceed for the effective action, let us see the effect of the curvature on the self energy in a thermal field theory, in order to further motivate the problem we are interested in. For a scalar field with mass <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math> and quartic self interaction, the renormalised one loop self energy reads <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib31" title="">31</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx23"> <tbody id="S4.E25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Sigma=12\lambda\int\frac{d^{3}\vec{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{1}{\left% (\vec{k}^{2}+m^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\frac{1}{e^{\beta\sqrt{\vec{k}^{2}+m^{% 2}}}-1}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E25.m1.3"><semantics id="S4.E25.m1.3a"><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.2.cmml">Σ</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">12</mn><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4a" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml">∫</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.cmml"><mfrac id="S4.E25.m1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E25.m1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E25.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S4.E25.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E25.m1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S4.E25.m1.1.1.3.1" xref="S4.E25.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.E25.m1.1.1.3.3" xref="S4.E25.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.E25.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E25.m1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.1.1.3.3.1.cmml">→</mo></mover></mrow><msup id="S4.E25.m1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E25.m1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msup></mfrac><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.E25.m1.2.2" xref="S4.E25.m1.2.2.cmml"><mn id="S4.E25.m1.2.2.3" xref="S4.E25.m1.2.2.3.cmml">1</mn><msup id="S4.E25.m1.2.2.1" xref="S4.E25.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mn id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S4.E25.m1.2.2.1.3" xref="S4.E25.m1.2.2.1.3.cmml"><mn id="S4.E25.m1.2.2.1.3.2" xref="S4.E25.m1.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E25.m1.2.2.1.3.3" xref="S4.E25.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mfrac><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.1a" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.cmml"><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.cmml"><msup id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.cmml"><msup id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.1.cmml">+</mo><msup id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt></mrow></msup><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E25.m1.3b"><apply id="S4.E25.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.1"><eq id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1"></eq><ci id="S4.E25.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.2">Σ</ci><apply id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3"><times id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.1"></times><cn id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.2">12</cn><ci id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.3">𝜆</ci><apply id="S4.E25.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" 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start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_β square-root start_ARG over→ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.3">Assuming the scalar to be light, the first two leading order terms read</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx24"> <tbody id="S4.E26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Sigma=\lambda T^{2}\left(1-\frac{3m}{\pi T}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E26.m1.1"><semantics id="S4.E26.m1.1a"><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.cmml">Σ</mi><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">T</mi><mn id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></mrow><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E26.m1.1b"><apply id="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1"><eq id="S4.E26.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.2"></eq><ci id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3">Σ</ci><apply id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝑇</ci><cn id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">3</cn><ci id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜋</ci><ci id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E26.m1.1c">\displaystyle\Sigma=\lambda T^{2}\left(1-\frac{3m}{\pi T}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E26.m1.1d">roman_Σ = italic_λ italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - divide start_ARG 3 italic_m end_ARG start_ARG italic_π italic_T end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.2">This shows generation of a scalar mass due to the finite temperature. Let us now ‘turn on’ the gravity and for simplicity assume the spacetime to be weakly curved. Keeping only up to the <math alttext="{\cal O}(R)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.2.m1.1"><semantics id="S4.p2.2.m1.1a"><mrow id="S4.p2.2.m1.1.2" xref="S4.p2.2.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p2.2.m1.1.2.2" xref="S4.p2.2.m1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S4.p2.2.m1.1.2.1" xref="S4.p2.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.2.m1.1.2.3.2" xref="S4.p2.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p2.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p2.2.m1.1.1" xref="S4.p2.2.m1.1.1.cmml">R</mi><mo id="S4.p2.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p2.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.2.m1.1b"><apply id="S4.p2.2.m1.1.2.cmml" xref="S4.p2.2.m1.1.2"><times id="S4.p2.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.2.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.p2.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.2.m1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S4.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m1.1.1">𝑅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.2.m1.1c">{\cal O}(R)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.2.m1.1d">caligraphic_O ( italic_R )</annotation></semantics></math> term, we have from <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2.E10" title="In 2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx25"> <tbody id="S4.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\bar{G}}(k)=\left[1-\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\frac{\partial}% {\partial m^{2}}\right]\frac{1}{k^{2}+m^{2}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E27.m1.2"><semantics id="S4.E27.m1.2a"><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" rspace="0em" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3a" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><msup id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E27.m1.2b"><apply id="S4.E27.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1"><eq id="S4.E27.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.3"><times id="S4.E27.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" 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xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3"><divide id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3"><plus id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.1"></plus><apply id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E27.m1.2c">\displaystyle{\bar{G}}(k)=\left[1-\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\frac{\partial}% {\partial m^{2}}\right]\frac{1}{k^{2}+m^{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E27.m1.2d">over¯ start_ARG italic_G end_ARG ( italic_k ) = [ 1 - ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ] divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.4">Promoting now the propagator to thermal case as stated above, we have the renormalised one loop self energy</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx26"> <tbody id="S4.E28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Sigma=\lambda T^{2}-\frac{3\lambda mT}{\pi}-\left(\frac{1}{6}-% \xi\right)R\frac{\partial}{\partial m^{2}}\left(\lambda T^{2}-\frac{3\lambda mT% }{\pi}\right)=\lambda T^{2}-\frac{3\lambda mT}{\pi}+\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)\frac{3\lambda RT}{2\pi m}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E28.m1.1"><semantics id="S4.E28.m1.1a"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.5.cmml">Σ</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">T</mi><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml"><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.1a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.4" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.1b" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.5" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.5.cmml">T</mi></mrow><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">π</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">R</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.cmml"><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.1" rspace="0em" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.4" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1b" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.5" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.5.cmml">T</mi></mrow><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">π</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.7" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">T</mi><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1b" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.cmml">T</mi></mrow><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">π</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.1a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.4" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.4.cmml">R</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.1b" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.5" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.5.cmml">T</mi></mrow><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml"><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.1a" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.4" 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encoding="application/x-llamapun" id="S4.E28.m1.1d">roman_Σ = italic_λ italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 3 italic_λ italic_m italic_T end_ARG start_ARG italic_π end_ARG - ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_λ italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 3 italic_λ italic_m italic_T end_ARG start_ARG italic_π end_ARG ) = italic_λ italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 3 italic_λ italic_m italic_T end_ARG start_ARG italic_π end_ARG + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) divide start_ARG 3 italic_λ italic_R italic_T end_ARG start_ARG 2 italic_π italic_m end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.5">The third term of the final result exhibits mass generation in a thermal field theory in a weakly curved spacetime. We note that if the scalar is extremely light, the curvature correction term becomes very large, making the result untrustworthy. It seems that one needs to develop some non-perturbative resummation technique in order to tackle such an issue. Nevertheless, the above result indeed indicates that the spacetime curvature can have interesting effects on thermal fields in a curved spacetime. <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.4">Let us now come to the computation of the effective potential. In <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E24" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>, we may break the summation by separating the zero mode as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx27"> <tbody id="S4.E29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\equiv(n=0)+2\sum_{n=1}^{\infty}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E29.m1.1"><semantics id="S4.E29.m1.1a"><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.3a" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.2.cmml">≡</mo><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E29.m1.1b"><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1"><equivalent id="S4.E29.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.2"></equivalent><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><sum id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"></sum><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><eq id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></eq><ci id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.3.3.3"></infinity></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E29.m1.1c">\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\equiv(n=0)+2\sum_{n=1}^{\infty}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E29.m1.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = - ∞ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ≡ ( italic_n = 0 ) + 2 ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.3">We shall essentially work in the high temperature approximation <math alttext="(m\beta\ll 1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.p3.1.m1.1a"><mrow id="S4.p3.1.m1.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">≪</mo><mn id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p3.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.1">much-less-than</csymbol><apply id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.1c">(m\beta\ll 1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.1d">( italic_m italic_β ≪ 1 )</annotation></semantics></math> and hence will make a power series expansion in <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.p3.2.m2.1a"><mi id="S4.p3.2.m2.1.1" xref="S4.p3.2.m2.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m2.1b"><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m2.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m2.1d">italic_β</annotation></semantics></math> for relevant quantities, and will retain terms up to <math alttext="{\cal O}(\beta^{6})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.p3.3.m3.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p3.3.m3.1.1.3" xref="S4.p3.3.m3.1.1.3.cmml">𝒪</mi><mo id="S4.p3.3.m3.1.1.2" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">β</mi><mn id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">6</mn></msup><mo id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1"><times id="S4.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2"></times><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.3">𝒪</ci><apply id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝛽</ci><cn id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.3.m3.1c">{\cal O}(\beta^{6})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.3.m3.1d">caligraphic_O ( italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> in the following.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.6">Now, the pure thermal part of the first integral of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E14" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a> becomes at finite temperature</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx28"> <tbody id="S4.E30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\beta}\int\frac{d^{d-1}\vec{k}}{(2\pi% )^{d-1}}\ln\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}% \right]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\beta}\frac{2}{(d-1)(4\pi)^{\frac{d-1}{2}}% }\left[\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}\right]^{\frac{d-1}{2}}% \Gamma\left(\frac{3-d}{2}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E30.m1.8"><semantics id="S4.E30.m1.8a"><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2a" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.2.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.3a" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1a" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E30.m1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E30.m1.1.1.3.2" xref="S4.E30.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E30.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S4.E30.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E30.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E30.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E30.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E30.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E30.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E30.m1.1.1.3.1" xref="S4.E30.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.E30.m1.1.1.3.3" xref="S4.E30.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.E30.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.1.1.3.3.1.cmml">→</mo></mover></mrow><msup id="S4.E30.m1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E30.m1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E30.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E30.m1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5" xref="S4.E30.m1.5.5.cmml">ln</mi><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E30.m1.4.4.cmml"><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E30.m1.4.4.cmml">(</mo><mfrac id="S4.E30.m1.4.4" xref="S4.E30.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.4.4.2" xref="S4.E30.m1.4.4.2.cmml"><mn id="S4.E30.m1.4.4.2.2" xref="S4.E30.m1.4.4.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E30.m1.4.4.2.1" xref="S4.E30.m1.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.4.4.2.3" xref="S4.E30.m1.4.4.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E30.m1.4.4.2.1a" xref="S4.E30.m1.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.4.4.2.4" xref="S4.E30.m1.4.4.2.4.cmml">n</mi></mrow><mi id="S4.E30.m1.4.4.3" xref="S4.E30.m1.4.4.3.cmml">β</mi></mfrac><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E30.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><munderover id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2a" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.3a" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.3.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.3.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.3.3.cmml">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E30.m1.3.3" xref="S4.E30.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E30.m1.3.3a" xref="S4.E30.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E30.m1.3.3.4" xref="S4.E30.m1.3.3.4.cmml">2</mn><mrow id="S4.E30.m1.3.3.2" xref="S4.E30.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E30.m1.3.3.2.3" xref="S4.E30.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E30.m1.3.3.2.2" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S4.E30.m1.3.3.2.2.3" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.2.1" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.2.3" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S4.E30.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.2a" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E30.m1.6.6.cmml"><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E30.m1.6.6.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E30.m1.6.6" xref="S4.E30.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S4.E30.m1.6.6a" xref="S4.E30.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.6.6.2" xref="S4.E30.m1.6.6.2.cmml"><mn id="S4.E30.m1.6.6.2.2" xref="S4.E30.m1.6.6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E30.m1.6.6.2.1" xref="S4.E30.m1.6.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.6.6.2.3" xref="S4.E30.m1.6.6.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E30.m1.6.6.2.1a" xref="S4.E30.m1.6.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.6.6.2.4" xref="S4.E30.m1.6.6.2.4.cmml">n</mi></mrow><mi id="S4.E30.m1.6.6.3" xref="S4.E30.m1.6.6.3.cmml">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E30.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mfrac id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.2.1" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.3" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.2b" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.4" mathvariant="normal" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.4.cmml">Γ</mi><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.2c" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.5.2" xref="S4.E30.m1.7.7.cmml"><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.5.2.1" xref="S4.E30.m1.7.7.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E30.m1.7.7" xref="S4.E30.m1.7.7.cmml"><mfrac id="S4.E30.m1.7.7a" xref="S4.E30.m1.7.7.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.7.7.2" xref="S4.E30.m1.7.7.2.cmml"><mn id="S4.E30.m1.7.7.2.2" xref="S4.E30.m1.7.7.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.E30.m1.7.7.2.1" xref="S4.E30.m1.7.7.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E30.m1.7.7.2.3" xref="S4.E30.m1.7.7.2.3.cmml">d</mi></mrow><mn id="S4.E30.m1.7.7.3" xref="S4.E30.m1.7.7.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.1.2.1.5.2.2" xref="S4.E30.m1.7.7.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E30.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E30.m1.8b"><apply id="S4.E30.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.8.8.1"><eq id="S4.E30.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S4.E30.m1.8.8.1.1.3"></eq><apply 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2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT roman_Γ ( divide start_ARG 3 - italic_d end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p4.7">We have,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx29"> <tbody id="S4.E31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_% {1}^{2}\right]^{\frac{d-1}{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}m_{1}^{d-1}\left(n\alpha% \right)^{d-1}\left[1+\frac{1}{(n\alpha)^{2}}\right]^{\frac{d-1}{2}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E31.m1.3"><semantics id="S4.E31.m1.3a"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><msup id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E31.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E31.m1.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E31.m1.2.2a" xref="S4.E31.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E31.m1.2.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.1a" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.4" xref="S4.E31.m1.2.2.2.4.cmml">n</mi></mrow><mi id="S4.E31.m1.2.2.3" xref="S4.E31.m1.2.2.3.cmml">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mfrac id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.4" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3a" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.3a" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E31.m1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E31.m1.1.1a" xref="S4.E31.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.E31.m1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.3.cmml">1</mn><msup id="S4.E31.m1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mfrac id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn 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start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_d - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n italic_α ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT [ 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_n italic_α ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_d - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p4.2">where we have defined <math alttext="\alpha=2\pi/(m_{1}\beta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.p4.1.m1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.p4.1.m1.1.1.3.cmml">α</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.p4.1.m1.1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1.2" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1"><eq id="S4.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2"></eq><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.3">𝛼</ci><apply id="S4.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1"><divide id="S4.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.3"><times id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply><apply id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.1.m1.1c">\alpha=2\pi/(m_{1}\beta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.1.m1.1d">italic_α = 2 italic_π / ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β )</annotation></semantics></math>. Expanding for a small <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.p4.2.m2.1a"><mi id="S4.p4.2.m2.1.1" xref="S4.p4.2.m2.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.2.m2.1b"><ci id="S4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.2.m2.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.2.m2.1d">italic_β</annotation></semantics></math>, the above expression equals</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx30"> <tbody id="S4.E32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle m_{1}^{d-1}\alpha^{-\epsilon}\left[\alpha^{3}\zeta(-3)+\frac{3}{% 2}\alpha\zeta(-1)+\frac{3}{8}\alpha^{-1}\zeta(1+\epsilon)-\frac{1}{16}\alpha^{% -3}\zeta(3)+\frac{1}{128}\alpha^{-5}\zeta(5)-\frac{5}{3072}\alpha^{-7}\zeta(3)% +{\cal O}(\beta^{8})\right]," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E32.m1.4"><semantics id="S4.E32.m1.4a"><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">α</mi><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">−</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.2a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">ζ</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">3</mn><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml">α</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml">ζ</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2b" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml"><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.cmml">3</mn><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.cmml">8</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.2.cmml">α</mi><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.5" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.5.cmml">ζ</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2b" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.cmml"><mfrac id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.cmml"><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.3.cmml">16</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.2.cmml">α</mi><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.1a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.4.cmml">ζ</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.1b" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.5.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml">(</mo><mn id="S4.E32.m1.1.1" xref="S4.E32.m1.1.1.cmml">3</mn><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml"><mfrac id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml"><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml">128</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.cmml">α</mi><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.2.cmml">5</mn></mrow></msup><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.1a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.4.cmml">ζ</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.1b" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.5.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml">(</mo><mn id="S4.E32.m1.2.2" xref="S4.E32.m1.2.2.cmml">5</mn><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml"><mfrac id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml"><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">5</mn><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml">3072</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml">α</mi><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3.2.cmml">7</mn></mrow></msup><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.1a" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.4.cmml">ζ</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.1b" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.5.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.cmml">(</mo><mn id="S4.E32.m1.3.3" xref="S4.E32.m1.3.3.cmml">3</mn><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.5" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml">𝒪</mi><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml">β</mi><mn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml">8</mn></msup><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.4.4.1.2" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E32.m1.4b"><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1"><times id="S4.E32.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.2"></times><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.2">𝑑</ci><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.2">𝛼</ci><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3"></minus><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.4.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.5"></plus><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4"></minus><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.4"></plus><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.4"></minus><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3"><plus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4"></plus><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><divide id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"></divide><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">3</cn><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4">𝛼</ci><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5">𝜁</ci><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"></minus><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3"><times id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2"></times><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3"><divide id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3"></divide><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.2">3</cn><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3">8</cn></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.2">𝛼</ci><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3"></minus><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.5.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.5">𝜁</ci><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1"><plus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1"></plus><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5"><times id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.1"></times><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2"><divide id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2"></divide><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.2">1</cn><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.2.3">16</cn></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.2">𝛼</ci><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3"></minus><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.3.3.2">3</cn></apply></apply><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.5.4">𝜁</ci><cn id="S4.E32.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.1.1">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5"><times id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.1"></times><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2"><divide id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2"></divide><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.2">1</cn><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.2.3">128</cn></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2">𝛼</ci><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3"></minus><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.2">5</cn></apply></apply><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.5.4">𝜁</ci><cn id="S4.E32.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.2.2">5</cn></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5"><times id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.1"></times><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2"><divide id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2"></divide><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.2">5</cn><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.3">3072</cn></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.2">𝛼</ci><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3"><minus id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3"></minus><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.3.3.2">7</cn></apply></apply><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.4">𝜁</ci><cn id="S4.E32.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4"><times id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2"></times><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3">𝒪</ci><apply id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2">𝛽</ci><cn id="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3">8</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E32.m1.4c">\displaystyle m_{1}^{d-1}\alpha^{-\epsilon}\left[\alpha^{3}\zeta(-3)+\frac{3}{% 2}\alpha\zeta(-1)+\frac{3}{8}\alpha^{-1}\zeta(1+\epsilon)-\frac{1}{16}\alpha^{% -3}\zeta(3)+\frac{1}{128}\alpha^{-5}\zeta(5)-\frac{5}{3072}\alpha^{-7}\zeta(3)% +{\cal O}(\beta^{8})\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E32.m1.4d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_α start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( - 3 ) + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_α italic_ζ ( - 1 ) + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 8 end_ARG italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 1 + italic_ϵ ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 16 end_ARG italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 3 ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 128 end_ARG italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 5 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 5 ) - divide start_ARG 5 end_ARG start_ARG 3072 end_ARG italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 7 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 3 ) + caligraphic_O ( italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p4.3">where <math alttext="\zeta(n)=\sum_{j=1}^{\infty}j^{-n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.3.m1.1"><semantics id="S4.p4.3.m1.1a"><mrow id="S4.p4.3.m1.1.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.p4.3.m1.1.2.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p4.3.m1.1.2.2.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2.2.cmml">ζ</mi><mo id="S4.p4.3.m1.1.2.2.1" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.3.m1.1.2.2.3.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.p4.3.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.3.m1.1.1" xref="S4.p4.3.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.p4.3.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p4.3.m1.1.2.1" rspace="0.111em" xref="S4.p4.3.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p4.3.m1.1.2.3" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.1" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.3" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><msup id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mo id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3a" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3.cmml">−</mo><mi id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.3.m1.1b"><apply id="S4.p4.3.m1.1.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2"><eq id="S4.p4.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.1"></eq><apply id="S4.p4.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2"><times id="S4.p4.3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.p4.3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.2.2">𝜁</ci><ci id="S4.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.p4.3.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3"><apply id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3"><eq id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.2">𝑗</ci><apply id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3"><minus id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3"></minus><ci id="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.3.m1.1.2.3.2.3.2">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.3.m1.1c">\zeta(n)=\sum_{j=1}^{\infty}j^{-n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.3.m1.1d">italic_ζ ( italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT - italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the Riemann zeta function. Using the properties of this function pertaining to its regularisation, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E30" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a> becomes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx31"> <tbody id="S4.Ex18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\beta}\int\frac{d^{d-1}\vec{k}}{(2\pi% )^{d-1}}\ln\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}% \right]=-\frac{1}{90}\frac{\pi^{2}}{\beta^{4}}+\frac{1}{24}\frac{m_{1}^{2}}{% \beta^{2}}-\frac{m_{1}^{3}}{12\pi\beta}-\frac{m^{4}_{1}\ln{m^{2}_{1}\beta^{2}}% }{64\pi^{2}}+\frac{m^{4}_{1}\left(\psi(1)+\ln{4\pi^{2}}\right)}{64\pi^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex18.m1.6"><semantics id="S4.Ex18.m1.6a"><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6" xref="S4.Ex18.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.cmml"><munderover id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.3a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.1.cmml">→</mo></mover></mrow><msup id="S4.Ex18.m1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex18.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.5.5" xref="S4.Ex18.m1.5.5.cmml">ln</mi><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex18.m1.4.4.cmml">(</mo><mfrac id="S4.Ex18.m1.4.4" xref="S4.Ex18.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.2.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.2.1" xref="S4.Ex18.m1.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.2.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.2.1a" xref="S4.Ex18.m1.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex18.m1.4.4.2.4.cmml">n</mi></mrow><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.3.cmml">β</mi></mfrac><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.2a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.3.cmml">90</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><msup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.2.2.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.2a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.2.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.2.3.cmml">24</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><msup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.2.3.cmml">3</mn></msubsup><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.2.cmml">12</mn><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.1a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.4" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.3.3.4.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.1a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4a" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.2.2.3.cmml">4</mn></msubsup><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.1" lspace="0.167em" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mrow id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.2.cmml">64</mn><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.3.2" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.3.3" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.2.4.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.6.6.3.1" xref="S4.Ex18.m1.6.6.3.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.3.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m1.3.3a" 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stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex18.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex18.m1.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2.cmml">4</mn><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.4" xref="S4.Ex18.m1.3.3.4.cmml"><mn id="S4.Ex18.m1.3.3.4.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.4.2.cmml">64</mn><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.4.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex18.m1.3.3.4.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.4.3.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.4.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex18.m1.3.3.4.3.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex18.m1.6b"><apply id="S4.Ex18.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex18.m1.6.6"><eq id="S4.Ex18.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.6.6.2"></eq><apply id="S4.Ex18.m1.6.6.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1"><apply id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.6.6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.6.6.1.2.1.cmml" 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alttext="\displaystyle+\frac{m^{6}_{1}\beta^{2}\zeta(3)}{768\pi^{4}}-\frac{m^{8}_{1}% \beta^{4}\zeta(5)}{24576\pi^{6}}+\frac{m^{10}_{1}\beta^{6}\zeta(7)}{196608\pi^% {8}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E33.m1.4"><semantics id="S4.E33.m1.4a"><mrow id="S4.E33.m1.4.4.1" xref="S4.E33.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E33.m1.4.4.1.1" xref="S4.E33.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E33.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E33.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E33.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E33.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E33.m1.4.4.1.1.2.2a" xref="S4.E33.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E33.m1.1.1" xref="S4.E33.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E33.m1.1.1a" xref="S4.E33.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E33.m1.1.1.1" xref="S4.E33.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E33.m1.1.1.1.3" xref="S4.E33.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E33.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E33.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E33.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E33.m1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E33.m1.1.1.1.3.2.3" 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\beta^{4}\zeta(5)}{24576\pi^{6}}+\frac{m^{10}_{1}\beta^{6}\zeta(7)}{196608\pi^% {8}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E33.m1.4d">+ divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 3 ) end_ARG start_ARG 768 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 5 ) end_ARG start_ARG 24576 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 7 ) end_ARG start_ARG 196608 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p4.8">Likewise we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx32"> <tbody id="S4.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d-1% }\vec{k}}{(2\pi)^{d-1}}\frac{1}{\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}% \right)^{2}+m_{1}^{2}\right]}=-\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\left[\frac{1}{24% \beta^{2}}-\frac{m_{1}}{8\pi\beta}+\frac{m_{1}^{2}}{16\pi^{2}}\left(\psi(1)+% \ln{\frac{2\pi}{m_{1}\beta}}\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex19.m1.4"><semantics id="S4.Ex19.m1.4a"><mrow id="S4.Ex19.m1.4b"><mo id="S4.Ex19.m1.4.5">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.4.6"><munderover id="S4.Ex19.m1.4.6a"><mo id="S4.Ex19.m1.4.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.4.6.2.3"><mi id="S4.Ex19.m1.4.6.2.3.2">n</mi><mo id="S4.Ex19.m1.4.6.2.3.1">=</mo><mn id="S4.Ex19.m1.4.6.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex19.m1.4.6.3" mathvariant="normal">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex19.m1.4.7"><mo id="S4.Ex19.m1.4.7.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.4.7.2"><mfrac id="S4.Ex19.m1.4.7.2a"><mn id="S4.Ex19.m1.4.7.2.2">1</mn><mn id="S4.Ex19.m1.4.7.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex19.m1.4.7.3">−</mo><mi id="S4.Ex19.m1.4.7.4">ξ</mi><mo id="S4.Ex19.m1.4.7.5">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex19.m1.4.8">R</mi><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.4.9"><mo id="S4.Ex19.m1.4.9a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.1.1"><mfrac id="S4.Ex19.m1.1.1a"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.3"><msup id="S4.Ex19.m1.1.1.3.2"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.3.2.2">d</mi><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.3.2.3"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.3.2.3.2">d</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.3.2.3.1">−</mo><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.3.2.3.3">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.3.1">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.Ex19.m1.1.1.3.3"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.3.3.2">k</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.3.3.1" stretchy="false">→</mo></mover></mrow><msup id="S4.Ex19.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.3"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.3.2">d</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.3.1">−</mo><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.3.3">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.3.3"><mfrac id="S4.Ex19.m1.3.3a"><mn id="S4.Ex19.m1.3.3.4">1</mn><mrow id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2"><mo id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.2">[</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1"><msup id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.2"><mover accent="true" id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.2.2"><mi id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.2.2.2">k</mi><mo id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.2.2.1" stretchy="false">→</mo></mover><mn id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.2.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.1">+</mo><msup id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.3"><mrow id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.3.2.2"><mo id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.3.2.2.1">(</mo><mfrac id="S4.Ex19.m1.2.2.1.1"><mrow id="S4.Ex19.m1.2.2.1.1.2"><mn id="S4.Ex19.m1.2.2.1.1.2.2">2</mn><mo id="S4.Ex19.m1.2.2.1.1.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.2.2.1.1.2.3">π</mi><mo id="S4.Ex19.m1.2.2.1.1.2.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.2.2.1.1.2.4">n</mi></mrow><mi id="S4.Ex19.m1.2.2.1.1.3">β</mi></mfrac><mo id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.3.2.2.2">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.1a">+</mo><msubsup id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.4"><mi id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.4.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.4.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.1.4.3">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.3.3.2.2.3">]</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex19.m1.4.10" rspace="0em">=</mo><mo id="S4.Ex19.m1.4.11" lspace="0em">−</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.4.12"><mo id="S4.Ex19.m1.4.12.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.4.12.2"><mfrac id="S4.Ex19.m1.4.12.2a"><mn id="S4.Ex19.m1.4.12.2.2">1</mn><mn id="S4.Ex19.m1.4.12.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex19.m1.4.12.3">−</mo><mi id="S4.Ex19.m1.4.12.4">ξ</mi><mo id="S4.Ex19.m1.4.12.5">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex19.m1.4.13">R</mi><mrow id="S4.Ex19.m1.4.14"><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.1">[</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.4.14.2"><mfrac id="S4.Ex19.m1.4.14.2a"><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.2.2">1</mn><mrow id="S4.Ex19.m1.4.14.2.3"><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.2.3.2">24</mn><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.2.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex19.m1.4.14.2.3.3"><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.2.3.3.2">β</mi><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.2.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.4.14.4"><mfrac id="S4.Ex19.m1.4.14.4a"><msub id="S4.Ex19.m1.4.14.4.2"><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.4.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.4.2.3">1</mn></msub><mrow id="S4.Ex19.m1.4.14.4.3"><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.4.3.2">8</mn><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.4.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.4.3.3">π</mi><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.4.3.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.4.3.4">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.5">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.4.14.6"><mfrac id="S4.Ex19.m1.4.14.6a"><msubsup id="S4.Ex19.m1.4.14.6.2"><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.6.2.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.6.2.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.6.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S4.Ex19.m1.4.14.6.3"><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.6.3.2">16</mn><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.6.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex19.m1.4.14.6.3.3"><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.6.3.3.2">π</mi><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.6.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S4.Ex19.m1.4.14.7"><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.7.1">(</mo><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.7.2">ψ</mi><mrow id="S4.Ex19.m1.4.14.7.3"><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.7.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex19.m1.4.4">1</mn><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.7.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.7.4">+</mo><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.7.5">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6"><mfrac id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6a"><mrow id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.2"><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.2.2">2</mn><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.2.3">π</mi></mrow><mrow id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.3"><msub id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.3.2"><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.3.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.3.2.3">1</mn></msub><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.4.14.7.6.3.3">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex19.m1.4.14.7.7">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex19.m1.4c">\displaystyle-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d-1% }\vec{k}}{(2\pi)^{d-1}}\frac{1}{\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}% \right)^{2}+m_{1}^{2}\right]}=-\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\left[\frac{1}{24% \beta^{2}}-\frac{m_{1}}{8\pi\beta}+\frac{m_{1}^{2}}{16\pi^{2}}\left(\psi(1)+% \ln{\frac{2\pi}{m_{1}\beta}}\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex19.m1.4d">- ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over→ start_ARG italic_k end_ARG end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG [ over→ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] end_ARG = - ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R [ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 24 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 8 italic_π italic_β end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + roman_ln divide start_ARG 2 italic_π end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\frac{m_{1}^{4}\beta^{2}}{256\pi^{4}}\zeta(3)-\frac{m_{1}^% {6}\beta^{4}}{6144\pi^{6}}\zeta(5)+\frac{5m_{1}^{8}\beta^{6}}{196608\pi^{8}}% \zeta(7)\right]" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.E34.m1.3"><semantics id="S4.E34.m1.3a"><mrow id="S4.E34.m1.3b"><mo id="S4.E34.m1.3.4">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E34.m1.3.5"><mfrac id="S4.E34.m1.3.5a"><mrow id="S4.E34.m1.3.5.2"><msubsup id="S4.E34.m1.3.5.2.2"><mi id="S4.E34.m1.3.5.2.2.2.2">m</mi><mn id="S4.E34.m1.3.5.2.2.2.3">1</mn><mn id="S4.E34.m1.3.5.2.2.3">4</mn></msubsup><mo id="S4.E34.m1.3.5.2.1">⁢</mo><msup id="S4.E34.m1.3.5.2.3"><mi id="S4.E34.m1.3.5.2.3.2">β</mi><mn id="S4.E34.m1.3.5.2.3.3">2</mn></msup></mrow><mrow id="S4.E34.m1.3.5.3"><mn id="S4.E34.m1.3.5.3.2">256</mn><mo id="S4.E34.m1.3.5.3.1">⁢</mo><msup id="S4.E34.m1.3.5.3.3"><mi id="S4.E34.m1.3.5.3.3.2">π</mi><mn id="S4.E34.m1.3.5.3.3.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.E34.m1.3.6">ζ</mi><mrow id="S4.E34.m1.3.7"><mo id="S4.E34.m1.3.7.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.E34.m1.1.1">3</mn><mo id="S4.E34.m1.3.7.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E34.m1.3.8">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E34.m1.3.9"><mfrac id="S4.E34.m1.3.9a"><mrow id="S4.E34.m1.3.9.2"><msubsup id="S4.E34.m1.3.9.2.2"><mi id="S4.E34.m1.3.9.2.2.2.2">m</mi><mn id="S4.E34.m1.3.9.2.2.2.3">1</mn><mn id="S4.E34.m1.3.9.2.2.3">6</mn></msubsup><mo id="S4.E34.m1.3.9.2.1">⁢</mo><msup id="S4.E34.m1.3.9.2.3"><mi id="S4.E34.m1.3.9.2.3.2">β</mi><mn id="S4.E34.m1.3.9.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S4.E34.m1.3.9.3"><mn id="S4.E34.m1.3.9.3.2">6144</mn><mo id="S4.E34.m1.3.9.3.1">⁢</mo><msup id="S4.E34.m1.3.9.3.3"><mi id="S4.E34.m1.3.9.3.3.2">π</mi><mn id="S4.E34.m1.3.9.3.3.3">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.E34.m1.3.10">ζ</mi><mrow id="S4.E34.m1.3.11"><mo id="S4.E34.m1.3.11.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.E34.m1.2.2">5</mn><mo id="S4.E34.m1.3.11.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E34.m1.3.12">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E34.m1.3.13"><mfrac id="S4.E34.m1.3.13a"><mrow id="S4.E34.m1.3.13.2"><mn id="S4.E34.m1.3.13.2.2">5</mn><mo id="S4.E34.m1.3.13.2.1">⁢</mo><msubsup id="S4.E34.m1.3.13.2.3"><mi id="S4.E34.m1.3.13.2.3.2.2">m</mi><mn id="S4.E34.m1.3.13.2.3.2.3">1</mn><mn id="S4.E34.m1.3.13.2.3.3">8</mn></msubsup><mo id="S4.E34.m1.3.13.2.1a">⁢</mo><msup id="S4.E34.m1.3.13.2.4"><mi id="S4.E34.m1.3.13.2.4.2">β</mi><mn id="S4.E34.m1.3.13.2.4.3">6</mn></msup></mrow><mrow id="S4.E34.m1.3.13.3"><mn id="S4.E34.m1.3.13.3.2">196608</mn><mo id="S4.E34.m1.3.13.3.1">⁢</mo><msup id="S4.E34.m1.3.13.3.3"><mi id="S4.E34.m1.3.13.3.3.2">π</mi><mn id="S4.E34.m1.3.13.3.3.3">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.E34.m1.3.14">ζ</mi><mrow id="S4.E34.m1.3.15"><mo id="S4.E34.m1.3.15.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.E34.m1.3.3">7</mn><mo id="S4.E34.m1.3.15.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E34.m1.3.16">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E34.m1.3c">\displaystyle\left.+\frac{m_{1}^{4}\beta^{2}}{256\pi^{4}}\zeta(3)-\frac{m_{1}^% {6}\beta^{4}}{6144\pi^{6}}\zeta(5)+\frac{5m_{1}^{8}\beta^{6}}{196608\pi^{8}}% \zeta(7)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E34.m1.3d">+ divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 256 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 3 ) - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 6144 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 5 ) + divide start_ARG 5 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 196608 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 7 ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p4.9">and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx33"> <tbody id="S4.Ex20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^% {2}R^{2}-2f_{1}\right)\int\frac{d^{d-1}\vec{k}}{(2\pi)^{d-1}}\frac{1}{\left[% \vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}\right]^{2}}=\left(% \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}R^{2}-2f_{1}\right)\left[\frac{1}{1% 6\pi\beta m_{1}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex20.m1.3"><semantics id="S4.Ex20.m1.3a"><mrow id="S4.Ex20.m1.3b"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.3.4"><munderover id="S4.Ex20.m1.3.4a"><mo id="S4.Ex20.m1.3.4.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.3.4.2.3"><mi id="S4.Ex20.m1.3.4.2.3.2">n</mi><mo id="S4.Ex20.m1.3.4.2.3.1">=</mo><mn id="S4.Ex20.m1.3.4.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.3.4.3" mathvariant="normal">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex20.m1.3.5"><mo id="S4.Ex20.m1.3.5.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.3.5.2"><mfrac id="S4.Ex20.m1.3.5.2a"><mn id="S4.Ex20.m1.3.5.2.2">1</mn><mn id="S4.Ex20.m1.3.5.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><msup id="S4.Ex20.m1.3.5.3"><mrow id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2"><mo id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2.2"><mfrac id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2.2a"><mn id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2.2.2">1</mn><mn id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2.3">−</mo><mi id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2.4">ξ</mi><mo id="S4.Ex20.m1.3.5.3.2.5">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex20.m1.3.5.3.3">2</mn></msup><msup id="S4.Ex20.m1.3.5.4"><mi id="S4.Ex20.m1.3.5.4.2">R</mi><mn id="S4.Ex20.m1.3.5.4.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex20.m1.3.5.5">−</mo><mn id="S4.Ex20.m1.3.5.6">2</mn><msub id="S4.Ex20.m1.3.5.7"><mi id="S4.Ex20.m1.3.5.7.2">f</mi><mn id="S4.Ex20.m1.3.5.7.3">1</mn></msub><mo id="S4.Ex20.m1.3.5.8" rspace="0.167em">)</mo></mrow><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.3.6"><mo id="S4.Ex20.m1.3.6a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.1.1"><mfrac id="S4.Ex20.m1.1.1a"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.3"><msup id="S4.Ex20.m1.1.1.3.2"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.3.2.2">d</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.3.2.3"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.3.2.3.2">d</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.3.2.3.1">−</mo><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.3.2.3.3">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.3.1">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.Ex20.m1.1.1.3.3"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.3.3.2">k</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.3.3.1" stretchy="false">→</mo></mover></mrow><msup id="S4.Ex20.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.3"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.3.2">d</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.3.1">−</mo><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.3.3">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.3.3"><mfrac id="S4.Ex20.m1.3.3a"><mn id="S4.Ex20.m1.3.3.4">1</mn><msup id="S4.Ex20.m1.3.3.2"><mrow id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1"><mo id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.2">[</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1"><msup id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.2"><mover accent="true" id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.2.2"><mi id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.2">k</mi><mo id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.1" stretchy="false">→</mo></mover><mn id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.2.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.1">+</mo><msup id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.3"><mrow id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2"><mo id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2.1">(</mo><mfrac id="S4.Ex20.m1.2.2.1.1"><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.1.1.2"><mn id="S4.Ex20.m1.2.2.1.1.2.2">2</mn><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.1.1.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.1.1.2.3">π</mi><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.1.1.2.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.1.1.2.4">n</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.1.1.3">β</mi></mfrac><mo id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2.2">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.3.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.1a">+</mo><msubsup id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.4"><mi id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.4.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.4.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.1.4.3">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.3.3.2.2.1.3">]</mo></mrow><mn id="S4.Ex20.m1.3.3.2.4">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex20.m1.3.7">=</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.3.8"><mo id="S4.Ex20.m1.3.8.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.3.8.2"><mfrac id="S4.Ex20.m1.3.8.2a"><mn id="S4.Ex20.m1.3.8.2.2">1</mn><mn id="S4.Ex20.m1.3.8.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><msup id="S4.Ex20.m1.3.8.3"><mrow id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2"><mo id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2.2"><mfrac id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2.2a"><mn id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2.2.2">1</mn><mn id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2.3">−</mo><mi id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2.4">ξ</mi><mo id="S4.Ex20.m1.3.8.3.2.5">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex20.m1.3.8.3.3">2</mn></msup><msup id="S4.Ex20.m1.3.8.4"><mi id="S4.Ex20.m1.3.8.4.2">R</mi><mn id="S4.Ex20.m1.3.8.4.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex20.m1.3.8.5">−</mo><mn id="S4.Ex20.m1.3.8.6">2</mn><msub id="S4.Ex20.m1.3.8.7"><mi id="S4.Ex20.m1.3.8.7.2">f</mi><mn id="S4.Ex20.m1.3.8.7.3">1</mn></msub><mo id="S4.Ex20.m1.3.8.8">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex20.m1.3.9"><mo id="S4.Ex20.m1.3.9.1">[</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex20.m1.3.9.2"><mfrac id="S4.Ex20.m1.3.9.2a"><mn id="S4.Ex20.m1.3.9.2.2">1</mn><mrow id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3"><mn id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.2">16</mn><mo id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.3">π</mi><mo id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.4">β</mi><mo id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.1b">⁢</mo><msub id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.5"><mi id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.5.2">m</mi><mn id="S4.Ex20.m1.3.9.2.3.5.3">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex20.m1.3c">\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^% {2}R^{2}-2f_{1}\right)\int\frac{d^{d-1}\vec{k}}{(2\pi)^{d-1}}\frac{1}{\left[% \vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}\right]^{2}}=\left(% \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}R^{2}-2f_{1}\right)\left[\frac{1}{1% 6\pi\beta m_{1}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex20.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over→ start_ARG italic_k end_ARG end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG [ over→ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) [ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 16 italic_π italic_β italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.-\frac{1}{16\pi^{2}}\left(\psi(1)+\ln{\frac{2\pi}{m_{1}% \beta}}\right)-\frac{m_{1}^{2}\beta^{2}}{128\pi^{4}}\zeta(3)+\frac{m_{1}^{4}% \beta^{4}}{2048\pi^{6}}\zeta(5)-\frac{5m_{1}^{6}\beta^{6}}{49152\pi^{8}}\zeta(% 7)\right]." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.E35.m1.4"><semantics id="S4.E35.m1.4a"><mrow id="S4.E35.m1.4b"><mo id="S4.E35.m1.4.5">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E35.m1.4.6"><mfrac id="S4.E35.m1.4.6a"><mn id="S4.E35.m1.4.6.2">1</mn><mrow id="S4.E35.m1.4.6.3"><mn id="S4.E35.m1.4.6.3.2">16</mn><mo id="S4.E35.m1.4.6.3.1">⁢</mo><msup id="S4.E35.m1.4.6.3.3"><mi id="S4.E35.m1.4.6.3.3.2">π</mi><mn id="S4.E35.m1.4.6.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S4.E35.m1.4.7"><mo id="S4.E35.m1.4.7.1">(</mo><mi id="S4.E35.m1.4.7.2">ψ</mi><mrow id="S4.E35.m1.4.7.3"><mo id="S4.E35.m1.4.7.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.E35.m1.1.1">1</mn><mo id="S4.E35.m1.4.7.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E35.m1.4.7.4">+</mo><mi id="S4.E35.m1.4.7.5">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S4.E35.m1.4.7.6"><mfrac id="S4.E35.m1.4.7.6a"><mrow id="S4.E35.m1.4.7.6.2"><mn id="S4.E35.m1.4.7.6.2.2">2</mn><mo id="S4.E35.m1.4.7.6.2.1">⁢</mo><mi id="S4.E35.m1.4.7.6.2.3">π</mi></mrow><mrow id="S4.E35.m1.4.7.6.3"><msub id="S4.E35.m1.4.7.6.3.2"><mi id="S4.E35.m1.4.7.6.3.2.2">m</mi><mn id="S4.E35.m1.4.7.6.3.2.3">1</mn></msub><mo id="S4.E35.m1.4.7.6.3.1">⁢</mo><mi id="S4.E35.m1.4.7.6.3.3">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E35.m1.4.7.7">)</mo></mrow><mo id="S4.E35.m1.4.8">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E35.m1.4.9"><mfrac id="S4.E35.m1.4.9a"><mrow id="S4.E35.m1.4.9.2"><msubsup id="S4.E35.m1.4.9.2.2"><mi id="S4.E35.m1.4.9.2.2.2.2">m</mi><mn id="S4.E35.m1.4.9.2.2.2.3">1</mn><mn id="S4.E35.m1.4.9.2.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S4.E35.m1.4.9.2.1">⁢</mo><msup id="S4.E35.m1.4.9.2.3"><mi id="S4.E35.m1.4.9.2.3.2">β</mi><mn id="S4.E35.m1.4.9.2.3.3">2</mn></msup></mrow><mrow id="S4.E35.m1.4.9.3"><mn id="S4.E35.m1.4.9.3.2">128</mn><mo id="S4.E35.m1.4.9.3.1">⁢</mo><msup id="S4.E35.m1.4.9.3.3"><mi id="S4.E35.m1.4.9.3.3.2">π</mi><mn id="S4.E35.m1.4.9.3.3.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.E35.m1.4.10">ζ</mi><mrow id="S4.E35.m1.4.11"><mo id="S4.E35.m1.4.11.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.E35.m1.2.2">3</mn><mo id="S4.E35.m1.4.11.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E35.m1.4.12">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E35.m1.4.13"><mfrac id="S4.E35.m1.4.13a"><mrow id="S4.E35.m1.4.13.2"><msubsup id="S4.E35.m1.4.13.2.2"><mi id="S4.E35.m1.4.13.2.2.2.2">m</mi><mn id="S4.E35.m1.4.13.2.2.2.3">1</mn><mn id="S4.E35.m1.4.13.2.2.3">4</mn></msubsup><mo id="S4.E35.m1.4.13.2.1">⁢</mo><msup id="S4.E35.m1.4.13.2.3"><mi id="S4.E35.m1.4.13.2.3.2">β</mi><mn id="S4.E35.m1.4.13.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S4.E35.m1.4.13.3"><mn id="S4.E35.m1.4.13.3.2">2048</mn><mo id="S4.E35.m1.4.13.3.1">⁢</mo><msup id="S4.E35.m1.4.13.3.3"><mi id="S4.E35.m1.4.13.3.3.2">π</mi><mn id="S4.E35.m1.4.13.3.3.3">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.E35.m1.4.14">ζ</mi><mrow id="S4.E35.m1.4.15"><mo id="S4.E35.m1.4.15.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.E35.m1.3.3">5</mn><mo id="S4.E35.m1.4.15.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E35.m1.4.16">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E35.m1.4.17"><mfrac id="S4.E35.m1.4.17a"><mrow id="S4.E35.m1.4.17.2"><mn id="S4.E35.m1.4.17.2.2">5</mn><mo id="S4.E35.m1.4.17.2.1">⁢</mo><msubsup id="S4.E35.m1.4.17.2.3"><mi id="S4.E35.m1.4.17.2.3.2.2">m</mi><mn id="S4.E35.m1.4.17.2.3.2.3">1</mn><mn id="S4.E35.m1.4.17.2.3.3">6</mn></msubsup><mo id="S4.E35.m1.4.17.2.1a">⁢</mo><msup id="S4.E35.m1.4.17.2.4"><mi id="S4.E35.m1.4.17.2.4.2">β</mi><mn id="S4.E35.m1.4.17.2.4.3">6</mn></msup></mrow><mrow id="S4.E35.m1.4.17.3"><mn id="S4.E35.m1.4.17.3.2">49152</mn><mo id="S4.E35.m1.4.17.3.1">⁢</mo><msup id="S4.E35.m1.4.17.3.3"><mi id="S4.E35.m1.4.17.3.3.2">π</mi><mn id="S4.E35.m1.4.17.3.3.3">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.E35.m1.4.18">ζ</mi><mrow id="S4.E35.m1.4.19"><mo id="S4.E35.m1.4.19.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.E35.m1.4.4">7</mn><mo id="S4.E35.m1.4.19.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E35.m1.4.20">]</mo><mo id="S4.E35.m1.4.21" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E35.m1.4c">\displaystyle\left.-\frac{1}{16\pi^{2}}\left(\psi(1)+\ln{\frac{2\pi}{m_{1}% \beta}}\right)-\frac{m_{1}^{2}\beta^{2}}{128\pi^{4}}\zeta(3)+\frac{m_{1}^{4}% \beta^{4}}{2048\pi^{6}}\zeta(5)-\frac{5m_{1}^{6}\beta^{6}}{49152\pi^{8}}\zeta(% 7)\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E35.m1.4d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + roman_ln divide start_ARG 2 italic_π end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG ) - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 128 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 3 ) + divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2048 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 5 ) - divide start_ARG 5 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 49152 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 7 ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p4.5">An alternative and more rigorous derivation of the above integrals in the flat spacetime by breaking the Feynman propagator into temperature independent and dependent parts can be seen in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>. We also note that in the three integrals appearing above there are a couple of temperature independent parts, such as the fifth term appearing on the right hand side of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E33" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>, even though <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E33" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E34" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E35" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a> are pure thermal contributions. Such <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.4.m1.1"><semantics id="S4.p4.4.m1.1a"><mi id="S4.p4.4.m1.1.1" xref="S4.p4.4.m1.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.4.m1.1b"><ci id="S4.p4.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m1.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.4.m1.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.4.m1.1d">italic_β</annotation></semantics></math>-independent parts originate from the regularisation of the <math alttext="\zeta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.5.m2.1"><semantics id="S4.p4.5.m2.1a"><mi id="S4.p4.5.m2.1.1" xref="S4.p4.5.m2.1.1.cmml">ζ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.5.m2.1b"><ci id="S4.p4.5.m2.1.1.cmml" xref="S4.p4.5.m2.1.1">𝜁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.5.m2.1c">\zeta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.5.m2.1d">italic_ζ</annotation></semantics></math>-function.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.5">Putting things together now, we obtain the total renormalised one loop effective potential at the high temperature limit</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx34"> <tbody id="S4.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff},\beta}^{1-{\rm loop}}(\beta^{-1}\gg 1)=\frac{1}{2}(m% ^{2}+\xi R)\phi^{2}+\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{\beta\phi^{3}}{3!}+V_{\rm% {eff}}^{1-{\rm loop}}(\beta^{-1}=0)+\left[-\frac{\pi^{2}}{90\beta^{4}}+\frac{m% _{1}^{2}}{24\beta^{2}}-\frac{m_{1}^{3}}{12\pi\beta}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex21.m1.2"><semantics id="S4.Ex21.m1.2a"><mrow id="S4.Ex21.m1.2b"><msubsup id="S4.Ex21.m1.2.3"><mi id="S4.Ex21.m1.2.3.2.2">V</mi><mrow id="S4.Ex21.m1.2.2.2.4"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1">eff</mi><mo id="S4.Ex21.m1.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex21.m1.2.2.2.2">β</mi></mrow><mrow id="S4.Ex21.m1.2.3.3"><mn id="S4.Ex21.m1.2.3.3.2">1</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.3.3.1">−</mo><mi id="S4.Ex21.m1.2.3.3.3">loop</mi></mrow></msubsup><mrow id="S4.Ex21.m1.2.4"><mo id="S4.Ex21.m1.2.4.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex21.m1.2.4.2"><mi id="S4.Ex21.m1.2.4.2.2">β</mi><mrow id="S4.Ex21.m1.2.4.2.3"><mo id="S4.Ex21.m1.2.4.2.3a">−</mo><mn id="S4.Ex21.m1.2.4.2.3.2">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex21.m1.2.4.3">≫</mo><mn id="S4.Ex21.m1.2.4.4">1</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.4.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.2.5">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex21.m1.2.6"><mfrac id="S4.Ex21.m1.2.6a"><mn id="S4.Ex21.m1.2.6.2">1</mn><mn id="S4.Ex21.m1.2.6.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S4.Ex21.m1.2.7"><mo id="S4.Ex21.m1.2.7.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex21.m1.2.7.2"><mi id="S4.Ex21.m1.2.7.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.7.2.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex21.m1.2.7.3">+</mo><mi id="S4.Ex21.m1.2.7.4">ξ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.2.7.5">R</mi><mo id="S4.Ex21.m1.2.7.6" stretchy="false">)</mo></mrow><msup id="S4.Ex21.m1.2.8"><mi id="S4.Ex21.m1.2.8.2">ϕ</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.8.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex21.m1.2.9">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex21.m1.2.10"><mfrac id="S4.Ex21.m1.2.10a"><mrow id="S4.Ex21.m1.2.10.2"><mi id="S4.Ex21.m1.2.10.2.2">λ</mi><mo id="S4.Ex21.m1.2.10.2.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex21.m1.2.10.2.3"><mi id="S4.Ex21.m1.2.10.2.3.2">ϕ</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.10.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex21.m1.2.10.3"><mn id="S4.Ex21.m1.2.10.3.2">4</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.10.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex21.m1.2.11">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex21.m1.2.12"><mfrac id="S4.Ex21.m1.2.12a"><mrow id="S4.Ex21.m1.2.12.2"><mi id="S4.Ex21.m1.2.12.2.2">β</mi><mo id="S4.Ex21.m1.2.12.2.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex21.m1.2.12.2.3"><mi id="S4.Ex21.m1.2.12.2.3.2">ϕ</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.12.2.3.3">3</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex21.m1.2.12.3"><mn id="S4.Ex21.m1.2.12.3.2">3</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.12.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex21.m1.2.13">+</mo><msubsup id="S4.Ex21.m1.2.14"><mi id="S4.Ex21.m1.2.14.2.2">V</mi><mi id="S4.Ex21.m1.2.14.2.3">eff</mi><mrow id="S4.Ex21.m1.2.14.3"><mn id="S4.Ex21.m1.2.14.3.2">1</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.14.3.1">−</mo><mi id="S4.Ex21.m1.2.14.3.3">loop</mi></mrow></msubsup><mrow id="S4.Ex21.m1.2.15"><mo id="S4.Ex21.m1.2.15.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex21.m1.2.15.2"><mi id="S4.Ex21.m1.2.15.2.2">β</mi><mrow id="S4.Ex21.m1.2.15.2.3"><mo id="S4.Ex21.m1.2.15.2.3a">−</mo><mn id="S4.Ex21.m1.2.15.2.3.2">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex21.m1.2.15.3">=</mo><mn id="S4.Ex21.m1.2.15.4">0</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.15.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.2.16">+</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.2.17"><mo id="S4.Ex21.m1.2.17.1">[</mo><mo id="S4.Ex21.m1.2.17.2" lspace="0em">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex21.m1.2.17.3"><mfrac id="S4.Ex21.m1.2.17.3a"><msup id="S4.Ex21.m1.2.17.3.2"><mi id="S4.Ex21.m1.2.17.3.2.2">π</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.3.2.3">2</mn></msup><mrow id="S4.Ex21.m1.2.17.3.3"><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.3.3.2">90</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.17.3.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex21.m1.2.17.3.3.3"><mi id="S4.Ex21.m1.2.17.3.3.3.2">β</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.3.3.3.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex21.m1.2.17.4">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex21.m1.2.17.5"><mfrac id="S4.Ex21.m1.2.17.5a"><msubsup id="S4.Ex21.m1.2.17.5.2"><mi id="S4.Ex21.m1.2.17.5.2.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.5.2.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.5.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S4.Ex21.m1.2.17.5.3"><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.5.3.2">24</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.17.5.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex21.m1.2.17.5.3.3"><mi id="S4.Ex21.m1.2.17.5.3.3.2">β</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.5.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex21.m1.2.17.6">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex21.m1.2.17.7"><mfrac id="S4.Ex21.m1.2.17.7a"><msubsup id="S4.Ex21.m1.2.17.7.2"><mi id="S4.Ex21.m1.2.17.7.2.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.7.2.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.7.2.3">3</mn></msubsup><mrow id="S4.Ex21.m1.2.17.7.3"><mn id="S4.Ex21.m1.2.17.7.3.2">12</mn><mo id="S4.Ex21.m1.2.17.7.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex21.m1.2.17.7.3.3">π</mi><mo id="S4.Ex21.m1.2.17.7.3.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex21.m1.2.17.7.3.4">β</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex21.m1.2c">\displaystyle V_{\rm{eff},\beta}^{1-{\rm loop}}(\beta^{-1}\gg 1)=\frac{1}{2}(m% ^{2}+\xi R)\phi^{2}+\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{\beta\phi^{3}}{3!}+V_{\rm% {eff}}^{1-{\rm loop}}(\beta^{-1}=0)+\left[-\frac{\pi^{2}}{90\beta^{4}}+\frac{m% _{1}^{2}}{24\beta^{2}}-\frac{m_{1}^{3}}{12\pi\beta}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex21.m1.2d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 - roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ≫ 1 ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ξ italic_R ) italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + divide start_ARG italic_β italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 - roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = 0 ) + [ - divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 90 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 24 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 12 italic_π italic_β end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.-\frac{m^{4}_{1}\ln{m^{2}_{1}\beta^{2}}}{64\pi^{2}}+\frac{m% ^{4}_{1}\left(\psi(1)+\ln{4\pi}\right)}{64\pi^{2}}+\frac{m^{6}_{1}\beta^{2}% \zeta(3)}{768\pi^{4}}-\frac{m^{8}_{1}\beta^{4}\zeta(5)}{24576\pi^{6}}+\frac{m^% {10}_{1}\beta^{6}\zeta(7)}{196608\pi^{8}}\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex22.m1.5"><semantics id="S4.Ex22.m1.5a"><mrow id="S4.Ex22.m1.5.6" xref="S4.Ex22.m1.5.6.cmml"><mrow id="S4.Ex22.m1.5.6.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.cmml"><mrow id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2a" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2a" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">4</mn></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.1" lspace="0.167em" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mrow id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.2.cmml">64</mn><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.1" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex22.m1.2.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex22.m1.2.2a" xref="S4.Ex22.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex22.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex22.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.4.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex22.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.4.2.3.cmml">4</mn></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">4</mn><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">π</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.4" xref="S4.Ex22.m1.2.2.4.cmml"><mn id="S4.Ex22.m1.2.2.4.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.4.2.cmml">64</mn><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.4.1" xref="S4.Ex22.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex22.m1.2.2.4.3" xref="S4.Ex22.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex22.m1.2.2.4.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex22.m1.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex22.m1.2.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.1a" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.2.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex22.m1.3.3" xref="S4.Ex22.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex22.m1.3.3a" xref="S4.Ex22.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex22.m1.3.3.1" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex22.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.3.3.1.3.2.2" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex22.m1.3.3.1.3.3" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex22.m1.3.3.1.3.2.3" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.3.2.3.cmml">6</mn></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex22.m1.3.3.1.4" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.3.3.1.4.2" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.4.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex22.m1.3.3.1.4.3" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex22.m1.3.3.1.2a" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex22.m1.3.3.1.5" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.5.cmml">ζ</mi><mo id="S4.Ex22.m1.3.3.1.2b" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.3.3.1.6.2" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex22.m1.3.3.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex22.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.1.cmml">3</mn><mo id="S4.Ex22.m1.3.3.1.6.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex22.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S4.Ex22.m1.3.3.3" xref="S4.Ex22.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex22.m1.3.3.3.2" xref="S4.Ex22.m1.3.3.3.2.cmml">768</mn><mo id="S4.Ex22.m1.3.3.3.1" xref="S4.Ex22.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex22.m1.3.3.3.3" xref="S4.Ex22.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex22.m1.3.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex22.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex22.m1.3.3.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.2.1" xref="S4.Ex22.m1.5.6.2.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex22.m1.4.4" xref="S4.Ex22.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex22.m1.4.4a" xref="S4.Ex22.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex22.m1.4.4.1" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex22.m1.4.4.1.3" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.4.4.1.3.2.2" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex22.m1.4.4.1.3.3" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex22.m1.4.4.1.3.2.3" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.3.2.3.cmml">8</mn></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.1.2" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex22.m1.4.4.1.4" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.4.4.1.4.2" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.4.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex22.m1.4.4.1.4.3" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.4.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.1.2a" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex22.m1.4.4.1.5" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.5.cmml">ζ</mi><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.1.2b" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.4.4.1.6.2" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex22.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.1.cmml">5</mn><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.1.6.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex22.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S4.Ex22.m1.4.4.3" xref="S4.Ex22.m1.4.4.3.cmml"><mn id="S4.Ex22.m1.4.4.3.2" xref="S4.Ex22.m1.4.4.3.2.cmml">24576</mn><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.3.1" xref="S4.Ex22.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex22.m1.4.4.3.3" xref="S4.Ex22.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.4.4.3.3.2" xref="S4.Ex22.m1.4.4.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex22.m1.4.4.3.3.3" xref="S4.Ex22.m1.4.4.3.3.3.cmml">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.5.6.1" xref="S4.Ex22.m1.5.6.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" 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id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">24</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">8</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">16</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex23.m1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">π</mi></mrow><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">4</mn></msubsup><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">256</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.2.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">ζ</mi><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.1a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.4.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex23.m1.2.2" xref="S4.Ex23.m1.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">6</mn></msubsup><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">6144</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.3.cmml">ζ</mi><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex23.m1.3.3" xref="S4.Ex23.m1.3.3.cmml">5</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">5</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">8</mn></msubsup><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.1a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.4" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.4.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.4.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.4.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2.4.3.cmml">6</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">196608</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.3.cmml">ζ</mi><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.1a" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex23.m1.4.4" xref="S4.Ex23.m1.4.4.cmml">7</mn><mo id="S4.Ex23.m1.6.6.2.2.1.1.3.4.2.2" 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ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}R^{2}-2f_% {1}\right)\left(\frac{1}{16\pi\beta m_{1}}-\frac{1}{16\pi^{2}}\left(\psi(1)+% \ln\frac{2\pi}{m_{1}\beta}\right)-\frac{m_{1}^{2}\beta^{2}}{128\pi^{4}}\zeta(3% )+\frac{m_{1}^{4}\beta^{4}}{2048\pi^{6}}\zeta(5)-\frac{5m_{1}^{6}\beta^{6}}{49% 152\pi^{8}}\zeta(7)\right)+{\cal O}(\beta^{7})\right]," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex24.m1.4"><semantics id="S4.Ex24.m1.4a"><mrow id="S4.Ex24.m1.4b"><mo id="S4.Ex24.m1.4.5">+</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.4.6"><mo id="S4.Ex24.m1.4.6.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.6.2"><mfrac id="S4.Ex24.m1.4.6.2a"><mn id="S4.Ex24.m1.4.6.2.2">1</mn><mn id="S4.Ex24.m1.4.6.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><msup id="S4.Ex24.m1.4.6.3"><mrow id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2"><mo id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2.2"><mfrac id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2.2a"><mn id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2.2.2">1</mn><mn id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2.3">−</mo><mi id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2.4">ξ</mi><mo id="S4.Ex24.m1.4.6.3.2.5">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex24.m1.4.6.3.3">2</mn></msup><msup id="S4.Ex24.m1.4.6.4"><mi id="S4.Ex24.m1.4.6.4.2">R</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.6.4.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex24.m1.4.6.5">−</mo><mn id="S4.Ex24.m1.4.6.6">2</mn><msub id="S4.Ex24.m1.4.6.7"><mi id="S4.Ex24.m1.4.6.7.2">f</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.6.7.3">1</mn></msub><mo id="S4.Ex24.m1.4.6.8">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7"><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.7.2"><mfrac id="S4.Ex24.m1.4.7.2a"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.2.2">1</mn><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.2">16</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.3">π</mi><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.4">β</mi><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.1b">⁢</mo><msub id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.5"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.5.2">m</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.2.3.5.3">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.7.4"><mfrac id="S4.Ex24.m1.4.7.4a"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.4.2">1</mn><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.4.3"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.4.3.2">16</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.4.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex24.m1.4.7.4.3.3"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.4.3.3.2">π</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.4.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.5"><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.5.1">(</mo><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.5.2">ψ</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.5.3"><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.5.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex24.m1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.5.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.5.4">+</mo><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.5.5">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6"><mfrac id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6a"><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.2"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.2.2">2</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.2.3">π</mi></mrow><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.3"><msub id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.3.2"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.3.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.3.2.3">1</mn></msub><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.5.6.3.3">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.5.7">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.6">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.7.7"><mfrac id="S4.Ex24.m1.4.7.7a"><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2"><msubsup id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2.2"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2.2.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2.2.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2.3"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2.3.2">β</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.7.2.3.3">2</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.7.3"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.7.3.2">128</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.7.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex24.m1.4.7.7.3.3"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.7.3.3.2">π</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.7.3.3.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.8">ζ</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.9"><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.9.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex24.m1.2.2">3</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.9.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.10">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.7.11"><mfrac id="S4.Ex24.m1.4.7.11a"><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2"><msubsup id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2.2"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2.2.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2.2.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2.2.3">4</mn></msubsup><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2.3"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2.3.2">β</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.11.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.11.3"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.11.3.2">2048</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.11.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex24.m1.4.7.11.3.3"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.11.3.3.2">π</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.11.3.3.3">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.12">ζ</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.13"><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.13.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex24.m1.3.3">5</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.13.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.14">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.7.15"><mfrac id="S4.Ex24.m1.4.7.15a"><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.2">5</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.1">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.3"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.3.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.3.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.3.3">6</mn></msubsup><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.1a">⁢</mo><msup id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.4"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.4.2">β</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.15.2.4.3">6</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.15.3"><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.15.3.2">49152</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.15.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex24.m1.4.7.15.3.3"><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.15.3.3.2">π</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.7.15.3.3.3">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S4.Ex24.m1.4.7.16">ζ</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.4.7.17"><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.17.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex24.m1.4.4">7</mn><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.17.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.4.7.18">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.4.8">+</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex24.m1.4.9">𝒪</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.4.10"><mo id="S4.Ex24.m1.4.10.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex24.m1.4.10.2"><mi id="S4.Ex24.m1.4.10.2.2">β</mi><mn id="S4.Ex24.m1.4.10.2.3">7</mn></msup><mo id="S4.Ex24.m1.4.10.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.4.11">]</mo><mo id="S4.Ex24.m1.4.12">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex24.m1.4c">\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}R^{2}-2f_% {1}\right)\left(\frac{1}{16\pi\beta m_{1}}-\frac{1}{16\pi^{2}}\left(\psi(1)+% \ln\frac{2\pi}{m_{1}\beta}\right)-\frac{m_{1}^{2}\beta^{2}}{128\pi^{4}}\zeta(3% )+\frac{m_{1}^{4}\beta^{4}}{2048\pi^{6}}\zeta(5)-\frac{5m_{1}^{6}\beta^{6}}{49% 152\pi^{8}}\zeta(7)\right)+{\cal O}(\beta^{7})\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex24.m1.4d">+ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 16 italic_π italic_β italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + roman_ln divide start_ARG 2 italic_π end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG ) - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 128 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 3 ) + divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2048 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 5 ) - divide start_ARG 5 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 49152 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 7 ) ) + caligraphic_O ( italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 7 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="0"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(36)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p5.4">where <math alttext="m_{1}^{2}=m^{2}+\lambda\phi^{2}/2+\eta\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.3.1a" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1.3.4" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.2.cmml">η</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.3.cmml">ϕ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1"><eq id="S4.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3"><plus id="S4.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3"><divide id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.1"></divide><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2"><times id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.4"><times id="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.1"></times><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.2">𝜂</ci><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.4.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.1.m1.1c">m_{1}^{2}=m^{2}+\lambda\phi^{2}/2+\eta\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2 + italic_η italic_ϕ</annotation></semantics></math>, as earlier and <math alttext="V_{\rm{eff}}^{1-{\rm loop}}(\beta^{-1}=0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.p5.2.m2.1a"><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">eff</mi><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1"><times id="S4.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.2">𝑉</ci><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.2.3">eff</ci></apply><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.3"><minus id="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.1"></minus><cn id="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.2">1</cn><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.3.3">loop</ci></apply></apply><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1"><eq id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><cn id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.2.m2.1c">V_{\rm{eff}}^{1-{\rm loop}}(\beta^{-1}=0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.2.m2.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 - roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = 0 )</annotation></semantics></math> is the zero temperature effective potential given by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E21" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>. Note that there is no temperature dependent divergence present in the above expression. This shows that renormalisation counterterms are independent of <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.3.m3.1"><semantics id="S4.p5.3.m3.1a"><mi id="S4.p5.3.m3.1.1" xref="S4.p5.3.m3.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.3.m3.1b"><ci id="S4.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.3.m3.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.3.m3.1d">italic_β</annotation></semantics></math>, as is expected <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>. Also, while investigating the behaviour of the above thermal effective potential, we will ignore all terms independent of <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.p5.4.m4.1a"><mi id="S4.p5.4.m4.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.4.m4.1b"><ci id="S4.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.4.m4.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.4.m4.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math> but otherwise finite.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.3">As we have mentioned earlier, the above one loop effective potential was first derived in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib74" title="">74</a>]</cite> for <math alttext="\eta=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.p6.1.m1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.1.1.2" xref="S4.p6.1.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S4.p6.1.m1.1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.p6.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1"><eq id="S4.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S4.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p6.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.1.m1.1c">\eta=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.1.m1.1d">italic_η = 0</annotation></semantics></math>. However, our notation is different compared to this work. We also note from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib74" title="">74</a>]</cite> that if we set the arbitrary mass scale <math alttext="\mu=\beta^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.p6.2.m2.1a"><mrow id="S4.p6.2.m2.1.1" xref="S4.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.p6.2.m2.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.p6.2.m2.1.1.1" xref="S4.p6.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.p6.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.p6.2.m2.1.1.3.3a" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p6.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1"><eq id="S4.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S4.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="S4.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.3"><minus id="S4.p6.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.3"></minus><cn id="S4.p6.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.2.m2.1c">\mu=\beta^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.2.m2.1d">italic_μ = italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E21" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>, <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.p6.3.1">all</span> the logarithmic terms appearing in the finite temperature part of the effective potential precisely cancel with that of the zero temperature. However, we wish to keep <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.p6.3.m3.1a"><mi id="S4.p6.3.m3.1.1" xref="S4.p6.3.m3.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.3.m3.1b"><ci id="S4.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p6.3.m3.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.3.m3.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.3.m3.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> to be a free parameter in this work. Such terms will contribute non-trivially to the feature of the effective potential and hence to the spontaneous symmetry breaking phenomenon. <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.p7.1">Although we are interested in the high temperature limit of the effective action, we wish to briefly discuss the low temperature limit of the same below. For <math alttext="\beta^{-1}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.p7.1.m1.1a"><mrow id="S4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.p7.1.m1.1.1.2" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.p7.1.m1.1.1.2.3a" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p7.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.p7.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.p7.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S4.p7.1.m1.1.1.3" xref="S4.p7.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1"><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.1">→</ci><apply id="S4.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.3"><minus id="S4.p7.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.p7.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><cn id="S4.p7.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.1.m1.1c">\beta^{-1}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.1.m1.1d">italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT → 0</annotation></semantics></math>, we make the expansion</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx35"> <tbody id="S4.E37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left[\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}\right]^{% \frac{d-1}{2}}=m_{1}^{3}\left[1+\frac{3}{2}\left(\frac{2\pi n}{m_{1}\beta}% \right)^{2}+\frac{3}{8}\left(\frac{2\pi n}{m_{1}^{2}\beta}\right)^{4}+\cdots% \right]." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E37.m1.4"><semantics id="S4.E37.m1.4a"><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.cmml"><msup id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E37.m1.1.1" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E37.m1.1.1a" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.1.1.2" xref="S4.E37.m1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E37.m1.1.1.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E37.m1.1.1.2.1" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.1.1.2.3" xref="S4.E37.m1.1.1.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E37.m1.1.1.2.1a" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.1.1.2.4" xref="S4.E37.m1.1.1.2.4.cmml">n</mi></mrow><mi id="S4.E37.m1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.1.1.3.cmml">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mfrac id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msubsup><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2a" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">3</mn><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.cmml"><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S4.E37.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E37.m1.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E37.m1.2.2a" xref="S4.E37.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.2.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E37.m1.2.2.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E37.m1.2.2.2.1" xref="S4.E37.m1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.2.2.2.3" xref="S4.E37.m1.2.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E37.m1.2.2.2.1a" xref="S4.E37.m1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.2.2.2.4" xref="S4.E37.m1.2.2.2.4.cmml">n</mi></mrow><mrow id="S4.E37.m1.2.2.3" xref="S4.E37.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S4.E37.m1.2.2.3.2" xref="S4.E37.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.3.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E37.m1.2.2.3.2.3" xref="S4.E37.m1.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E37.m1.2.2.3.1" xref="S4.E37.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.2.2.3.3" xref="S4.E37.m1.2.2.3.3.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1a" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.2a" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.2.2.cmml">3</mn><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.2.3.cmml">8</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.1" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.E37.m1.3.3.cmml"><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.3.2.2.1" xref="S4.E37.m1.3.3.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E37.m1.3.3" xref="S4.E37.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E37.m1.3.3a" xref="S4.E37.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.3.3.2" xref="S4.E37.m1.3.3.2.cmml"><mn id="S4.E37.m1.3.3.2.2" xref="S4.E37.m1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E37.m1.3.3.2.1" xref="S4.E37.m1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.3.3.2.3" xref="S4.E37.m1.3.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E37.m1.3.3.2.1a" xref="S4.E37.m1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.3.3.2.4" xref="S4.E37.m1.3.3.2.4.cmml">n</mi></mrow><mrow id="S4.E37.m1.3.3.3" xref="S4.E37.m1.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.E37.m1.3.3.3.2" xref="S4.E37.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E37.m1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.E37.m1.3.3.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E37.m1.3.3.3.2.2.3" xref="S4.E37.m1.3.3.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E37.m1.3.3.3.2.3" xref="S4.E37.m1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E37.m1.3.3.3.1" xref="S4.E37.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.3.3.3.3" xref="S4.E37.m1.3.3.3.3.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="S4.E37.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.4.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1b" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.5.cmml">⋯</mi></mrow><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E37.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E37.m1.4b"><apply id="S4.E37.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1"><eq id="S4.E37.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E37.m1.1.1.cmml" 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end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_d - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT = italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT [ 1 + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 8 end_ARG ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT + ⋯ ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(37)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p7.5">Putting this expression back into <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E30" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>, we obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx36"> <tbody id="S4.Ex25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\beta}\int\frac{d^{d-1}\vec{k}}{(2\pi% )^{d-1}}\ln\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}% \right]_{\beta^{-1}\to 0}\approx\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\beta}\frac{2m_{1}% ^{3}}{(d-1)(4\pi)^{\frac{d-1}{2}}}\left(1+\frac{3}{2}\left(\frac{2\pi n}{m_{1}% \beta}\right)^{2}+\frac{3}{8}\left(\frac{2\pi n}{m_{1}\beta}\right)^{4}\right)% \Gamma\left(\frac{3-d}{2}\right)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex25.m1.5"><semantics id="S4.Ex25.m1.5a"><mrow id="S4.Ex25.m1.5b"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.6"><munderover id="S4.Ex25.m1.5.6a"><mo id="S4.Ex25.m1.5.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.5.6.2.3"><mi id="S4.Ex25.m1.5.6.2.3.2">n</mi><mo id="S4.Ex25.m1.5.6.2.3.1">=</mo><mn id="S4.Ex25.m1.5.6.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.5.6.3" mathvariant="normal">∞</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.7"><mfrac id="S4.Ex25.m1.5.7a"><mn id="S4.Ex25.m1.5.7.2">1</mn><mi id="S4.Ex25.m1.5.7.3">β</mi></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.8"><mo id="S4.Ex25.m1.5.8a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.1.1"><mfrac id="S4.Ex25.m1.1.1a"><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.3"><msup id="S4.Ex25.m1.1.1.3.2"><mi id="S4.Ex25.m1.1.1.3.2.2">d</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.3.2.3"><mi id="S4.Ex25.m1.1.1.3.2.3.2">d</mi><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.3.2.3.1">−</mo><mn id="S4.Ex25.m1.1.1.3.2.3.3">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.3.1">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.Ex25.m1.1.1.3.3"><mi id="S4.Ex25.m1.1.1.3.3.2">k</mi><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.3.3.1" stretchy="false">→</mo></mover></mrow><msup id="S4.Ex25.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.3"><mi id="S4.Ex25.m1.1.1.1.3.2">d</mi><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.3.1">−</mo><mn id="S4.Ex25.m1.1.1.1.3.3">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mi id="S4.Ex25.m1.5.5">ln</mi><msub id="S4.Ex25.m1.5.9"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.9.2"><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.2.1">[</mo><msup id="S4.Ex25.m1.5.9.2.2"><mover accent="true" id="S4.Ex25.m1.5.9.2.2.2"><mi id="S4.Ex25.m1.5.9.2.2.2.2">k</mi><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.2.2.2.1" stretchy="false">→</mo></mover><mn id="S4.Ex25.m1.5.9.2.2.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.2.3">+</mo><msup id="S4.Ex25.m1.5.9.2.4"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.9.2.4.2"><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.2.4.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.4.4"><mfrac id="S4.Ex25.m1.4.4a"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2"><mn id="S4.Ex25.m1.4.4.2.2">2</mn><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.2.3">π</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.2.4">n</mi></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.3">β</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.2.4.2.2">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex25.m1.5.9.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.2.5">+</mo><msubsup id="S4.Ex25.m1.5.9.2.6"><mi id="S4.Ex25.m1.5.9.2.6.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex25.m1.5.9.2.6.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex25.m1.5.9.2.6.3">2</mn></msubsup><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.2.7">]</mo></mrow><mrow id="S4.Ex25.m1.5.9.3"><msup id="S4.Ex25.m1.5.9.3.2"><mi id="S4.Ex25.m1.5.9.3.2.2">β</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.5.9.3.2.3"><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.3.2.3a">−</mo><mn id="S4.Ex25.m1.5.9.3.2.3.2">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex25.m1.5.9.3.1" stretchy="false">→</mo><mn id="S4.Ex25.m1.5.9.3.3">0</mn></mrow></msub><mo id="S4.Ex25.m1.5.10">≈</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.11"><munderover id="S4.Ex25.m1.5.11a"><mo id="S4.Ex25.m1.5.11.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.5.11.2.3"><mi id="S4.Ex25.m1.5.11.2.3.2">n</mi><mo id="S4.Ex25.m1.5.11.2.3.1">=</mo><mn id="S4.Ex25.m1.5.11.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.5.11.3" mathvariant="normal">∞</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.12"><mfrac id="S4.Ex25.m1.5.12a"><mn id="S4.Ex25.m1.5.12.2">1</mn><mi id="S4.Ex25.m1.5.12.3">β</mi></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.3.3"><mfrac id="S4.Ex25.m1.3.3a"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.4"><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.4.2">2</mn><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.4.1">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex25.m1.3.3.4.3"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.4.3.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.4.3.2.3">1</mn><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.4.3.3">3</mn></msubsup></mrow><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.2"><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2">d</mi><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1">−</mo><mn id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.2.3">⁢</mo><msup id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.1.1"><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.1.1.1"><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.1.1.1.2">4</mn><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mfrac id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.3"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.3.2"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.3.2.2">d</mi><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.3.2.1">−</mo><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.3.2.3">1</mn></mrow><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.2.2.3.3">2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S4.Ex25.m1.5.13"><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.1">(</mo><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.2">1</mn><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.3">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.13.4"><mfrac id="S4.Ex25.m1.5.13.4a"><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.4.2">3</mn><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.4.3">2</mn></mfrac></mstyle><msup id="S4.Ex25.m1.5.13.5"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2"><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2"><mfrac id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2a"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.2"><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.2.2">2</mn><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.2.3">π</mi><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.2.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.2.4">n</mi></mrow><mrow id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.3"><msub id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.3.2"><mi id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.3.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.3.2.3">1</mn></msub><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.2.3.3">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.5.2.3">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.5.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.13.7"><mfrac id="S4.Ex25.m1.5.13.7a"><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.7.2">3</mn><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.7.3">8</mn></mfrac></mstyle><msup id="S4.Ex25.m1.5.13.8"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2"><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2"><mfrac id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2a"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.2"><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.2.2">2</mn><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.2.3">π</mi><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.2.1a">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.2.4">n</mi></mrow><mrow id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.3"><msub id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.3.2"><mi id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.3.2.2">m</mi><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.3.2.3">1</mn></msub><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.2.3.3">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.8.2.3">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex25.m1.5.13.8.3">4</mn></msup><mo id="S4.Ex25.m1.5.13.9">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.5.14" mathvariant="normal">Γ</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.5.15"><mo id="S4.Ex25.m1.5.15.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.5.15.2"><mfrac id="S4.Ex25.m1.5.15.2a"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.15.2.2"><mn id="S4.Ex25.m1.5.15.2.2.2">3</mn><mo id="S4.Ex25.m1.5.15.2.2.1">−</mo><mi id="S4.Ex25.m1.5.15.2.2.3">d</mi></mrow><mn id="S4.Ex25.m1.5.15.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex25.m1.5.15.3">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.5.16" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex25.m1.5c">\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\beta}\int\frac{d^{d-1}\vec{k}}{(2\pi% )^{d-1}}\ln\left[\vec{k}^{2}+\left(\frac{2\pi n}{\beta}\right)^{2}+m_{1}^{2}% \right]_{\beta^{-1}\to 0}\approx\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\beta}\frac{2m_{1}% ^{3}}{(d-1)(4\pi)^{\frac{d-1}{2}}}\left(1+\frac{3}{2}\left(\frac{2\pi n}{m_{1}% \beta}\right)^{2}+\frac{3}{8}\left(\frac{2\pi n}{m_{1}\beta}\right)^{4}\right)% \Gamma\left(\frac{3-d}{2}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex25.m1.5d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over→ start_ARG italic_k end_ARG end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_ln [ over→ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT → 0 end_POSTSUBSCRIPT ≈ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_β end_ARG divide start_ARG 2 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( italic_d - 1 ) ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_d - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 1 + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 8 end_ARG ( divide start_ARG 2 italic_π italic_n end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT ) roman_Γ ( divide start_ARG 3 - italic_d end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="0"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(38)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p7.3">The other relevant integrals can be approximated in a likewise manner. Using now Ramanujan’s result, <math alttext="\zeta{(-2k)}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.2.m1.1"><semantics id="S4.p7.2.m1.1a"><mrow id="S4.p7.2.m1.1.1" xref="S4.p7.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.p7.2.m1.1.1.1" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.2.m1.1.1.1.3" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.3.cmml">ζ</mi><mo id="S4.p7.2.m1.1.1.1.2" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p7.2.m1.1.1.2" xref="S4.p7.2.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.p7.2.m1.1.1.3" xref="S4.p7.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.2.m1.1b"><apply id="S4.p7.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1"><eq id="S4.p7.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.p7.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1"><times id="S4.p7.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.p7.2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.3">𝜁</ci><apply id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.p7.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.2.m1.1c">\zeta{(-2k)}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.2.m1.1d">italic_ζ ( - 2 italic_k ) = 0</annotation></semantics></math> (<math alttext="k=\ {\rm integer}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.3.m2.1"><semantics id="S4.p7.3.m2.1a"><mrow id="S4.p7.3.m2.1.1" xref="S4.p7.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.3.m2.1.1.2" xref="S4.p7.3.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p7.3.m2.1.1.1" rspace="0.778em" xref="S4.p7.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.p7.3.m2.1.1.3" xref="S4.p7.3.m2.1.1.3.cmml">integer</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.3.m2.1b"><apply id="S4.p7.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m2.1.1"><eq id="S4.p7.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.p7.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.3.m2.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.p7.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.3.m2.1.1.3">integer</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.3.m2.1c">k=\ {\rm integer}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.3.m2.1d">italic_k = roman_integer</annotation></semantics></math>), we obtain after a little bit of algebra</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx37"> <tbody id="S4.Ex26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff},\beta^{-1}\ll 1}=\frac{1}{2}m^{2}\phi^{2}+\frac{\eta% \phi^{3}}{3!}+\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{\xi R\phi^{2}}{2}+V_{\rm{eff}}(% \beta^{-1}=0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex26.m1.3"><semantics id="S4.Ex26.m1.3a"><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.cmml"><msub id="S4.Ex26.m1.3.3.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.3.2.cmml">V</mi><mrow id="S4.Ex26.m1.2.2.2" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.3a" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex26.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.3.cmml">≪</mo><mn id="S4.Ex26.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex26.m1.2.2.2.4.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.2a" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.2.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.2.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.3.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.1a" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.4" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.4.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.4.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4a" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.2.cmml">η</mi><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.3.cmml"><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.3.2.cmml">3</mn><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.3.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.4.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.2a" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.cmml"><mfrac id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5a" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.3.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.3.cmml"><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.3.2.cmml">4</mn><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.3.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.5.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.2b" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.cmml"><mfrac id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6a" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.3.cmml">R</mi><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.1a" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.4" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.4.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.4.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.6.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.2c" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">eff</mi></msub><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" 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xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msubsup id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">3</mn></msubsup><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">3</mn><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.4" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.4.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">R</mi></mrow><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><msub id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml">R</mi><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1a" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E39.m1.1b"><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.cmml" 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id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.2">𝑅</ci><cn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></divide><cn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝜋</ci><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E39.m1.1c">\displaystyle+\frac{3}{2}\left[-\frac{m_{1}^{3}}{3\pi\beta}+\left(\frac{1}{6}-% \xi\right)\frac{m_{1}R}{2\pi\beta}+\left(-f_{1}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{6}-% \xi\right)^{2}R^{2}\right)\frac{1}{\pi m_{1}\beta}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E39.m1.1d">+ divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG [ - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 italic_π italic_β end_ARG + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_R end_ARG start_ARG 2 italic_π italic_β end_ARG + ( - italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_π italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(39)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p7.4">Setting <math alttext="\beta^{-1}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.4.m1.1"><semantics id="S4.p7.4.m1.1a"><mrow id="S4.p7.4.m1.1.1" xref="S4.p7.4.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.p7.4.m1.1.1.2" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p7.4.m1.1.1.2.2" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.p7.4.m1.1.1.2.3" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.p7.4.m1.1.1.2.3a" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p7.4.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.p7.4.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.p7.4.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S4.p7.4.m1.1.1.3" xref="S4.p7.4.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.4.m1.1b"><apply id="S4.p7.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.4.m1.1.1"><ci id="S4.p7.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.4.m1.1.1.1">→</ci><apply id="S4.p7.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p7.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.p7.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.3"><minus id="S4.p7.4.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.p7.4.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p7.4.m1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><cn id="S4.p7.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.4.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.4.m1.1c">\beta^{-1}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.4.m1.1d">italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT → 0</annotation></semantics></math> is possible in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E39" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">39</span></a> whereas it is not possible in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E36" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.p8.7">We further wish to consider two loop computations for the effective potential. However, before we do that, let us discuss the issue of spontaneous symmetry breaking and phase transition with the one loop high temperature effective potential, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E36" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a>, we have found. We also note in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E36" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a> that for <math alttext="\eta\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.1.m1.1"><semantics id="S4.p8.1.m1.1a"><mrow id="S4.p8.1.m1.1.1" xref="S4.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.1.m1.1.1.2" xref="S4.p8.1.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S4.p8.1.m1.1.1.1" xref="S4.p8.1.m1.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S4.p8.1.m1.1.1.3" xref="S4.p8.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.1.m1.1b"><apply id="S4.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1"><neq id="S4.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1.1"></neq><ci id="S4.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S4.p8.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.1.m1.1c">\eta\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.1.m1.1d">italic_η ≠ 0</annotation></semantics></math>, and since both <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.2.m2.1"><semantics id="S4.p8.2.m2.1a"><mi id="S4.p8.2.m2.1.1" xref="S4.p8.2.m2.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.2.m2.1b"><ci id="S4.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.2.m2.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.2.m2.1d">italic_η</annotation></semantics></math> and <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.3.m3.1"><semantics id="S4.p8.3.m3.1a"><mi id="S4.p8.3.m3.1.1" xref="S4.p8.3.m3.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.3.m3.1b"><ci id="S4.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p8.3.m3.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.3.m3.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.3.m3.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math> can be positive or negative, the expression becomes invalid for <math alttext="m_{1}^{2}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.4.m4.1"><semantics id="S4.p8.4.m4.1a"><mrow id="S4.p8.4.m4.1.1" xref="S4.p8.4.m4.1.1.cmml"><msubsup id="S4.p8.4.m4.1.1.2" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.p8.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.p8.4.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.p8.4.m4.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S4.p8.4.m4.1.1.3" xref="S4.p8.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.4.m4.1b"><apply id="S4.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1"><ci id="S4.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1.1">→</ci><apply id="S4.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.p8.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.p8.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.4.m4.1c">m_{1}^{2}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.4.m4.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT → 0</annotation></semantics></math>, owing to the <math alttext="\ln m_{1}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.5.m5.1"><semantics id="S4.p8.5.m5.1a"><mrow id="S4.p8.5.m5.1.1" xref="S4.p8.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.5.m5.1.1.1" xref="S4.p8.5.m5.1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="S4.p8.5.m5.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.p8.5.m5.1.1.cmml">⁡</mo><msubsup id="S4.p8.5.m5.1.1.2" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.3" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.p8.5.m5.1.1.2.3" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.5.m5.1b"><apply id="S4.p8.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p8.5.m5.1.1"><ln id="S4.p8.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.5.m5.1.1.1"></ln><apply id="S4.p8.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.p8.5.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.5.m5.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.5.m5.1c">\ln m_{1}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.5.m5.1d">roman_ln italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> term. In other words, the effective potential will be valid in the parameter or the field space region where <math alttext="m_{1}^{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.6.m6.1"><semantics id="S4.p8.6.m6.1a"><mrow id="S4.p8.6.m6.1.1" xref="S4.p8.6.m6.1.1.cmml"><msubsup id="S4.p8.6.m6.1.1.2" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.2" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.3" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.p8.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.p8.6.m6.1.1.1" xref="S4.p8.6.m6.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.p8.6.m6.1.1.3" xref="S4.p8.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.6.m6.1b"><apply id="S4.p8.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p8.6.m6.1.1"><gt id="S4.p8.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.6.m6.1.1.1"></gt><apply id="S4.p8.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.p8.6.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.6.m6.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.p8.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.6.m6.1c">m_{1}^{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.6.m6.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > 0</annotation></semantics></math>. Owing to the fact that the background field <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.7.m7.1"><semantics id="S4.p8.7.m7.1a"><mi id="S4.p8.7.m7.1.1" xref="S4.p8.7.m7.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.7.m7.1b"><ci id="S4.p8.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.p8.7.m7.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.7.m7.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.7.m7.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math> is real, it is easy to see that this condition implies,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\frac{\eta}{m}\right)^{2}<2\lambda." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E40.m1.2"><semantics id="S4.E40.m1.2a"><mrow id="S4.E40.m1.2.2.1" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E40.m1.2.2.1.1" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.E40.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E40.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E40.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.E40.m1.1.1" xref="S4.E40.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E40.m1.1.1.2" xref="S4.E40.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mi id="S4.E40.m1.1.1.3" xref="S4.E40.m1.1.1.3.cmml">m</mi></mfrac><mo id="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E40.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E40.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S4.E40.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E40.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E40.m1.2b"><apply id="S4.E40.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1"><lt id="S4.E40.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.1"></lt><apply id="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E40.m1.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.2.2"><divide id="S4.E40.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.2.2"></divide><ci id="S4.E40.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.2">𝜂</ci><ci id="S4.E40.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply><cn id="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.3"><times id="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E40.m1.2c">\left(\frac{\eta}{m}\right)^{2}<2\lambda.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E40.m1.2d">( divide start_ARG italic_η end_ARG start_ARG italic_m end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < 2 italic_λ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(40)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p8.8">We shall keep this in mind in the following computations whenever relevant.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">The chief motivation of this section is to see the effect of the spacetime curvature in the phase transition or spontaneous symmetry breaking phenomenon, at zero temperature. As we have already mentioned, this topic is old. In flat spacetime, one of the earliest thermal field theory calculations in this context can be seen in the seminal work <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>. At zero temperature and with spacetime curvature some such computations can be seen in e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib44" title="">44</a>]</cite> and references therein. In particular, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib44" title="">44</a>]</cite> use weak or linear in curvature approximation and renormalisation group techniques. However, as we have also mentioned earlier, such results cannot be applicable to Ricci flat spacetimes.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.2">Let us now make the field and the cubic coupling constant dimensionless by scaling them with respect to its rest mass, which we assume to be non-vanishing, i.e., <math alttext="\bar{\phi}=\phi/m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.p2.1.m1.1a"><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1"><eq id="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2"><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3"><divide id="S5.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.1c">\bar{\phi}=\phi/m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG = italic_ϕ / italic_m</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bar{\eta}=\eta/m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.p2.2.m2.1a"><mrow id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.p2.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p2.2.m2.1.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S5.p2.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><eq id="S5.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2"><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3"><divide id="S5.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.1c">\bar{\eta}=\eta/m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.1d">over¯ start_ARG italic_η end_ARG = italic_η / italic_m</annotation></semantics></math>. The tree level asymmetric self interaction potential has been plotted in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="188" id="S5.F2.1.g1" src="extracted/6295461/big-cubic.png" width="284"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.9.4.1" style="font-size:90%;">Figure 2</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.F2.7.6.3" style="font-size:90%;">Plot of the tree level dimensionless self interaction potential, <math alttext="V(\bar{\phi})=\bar{\eta}\bar{\phi}^{3}/3!+\lambda\bar{\phi}^{4}/4!" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.5.4.1.m1.1"><semantics id="S5.F2.5.4.1.m1.1b"><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S5.F2.5.4.1.m1.1.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.3" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mn id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">3</mn><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.1.cmml">!</mo></mrow></mrow><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.cmml"><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.3" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">/</mo><mrow id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.cmml"><mn id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.2" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.1" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.1.cmml">!</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.5.4.1.m1.1c"><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2"><eq id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2"><times id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.2">𝑉</ci><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.2.3.2"><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3"><plus id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.1"></plus><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2"><divide id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.1"></divide><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2"><times id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.1"></times><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2"><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2"><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3"><factorial id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.1"></factorial><cn id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.2.3.2">3</cn></apply></apply><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3"><divide id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.1"></divide><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2"><times id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.1"></times><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2"><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3"><factorial id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.1"></factorial><cn id="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F2.5.4.1.m1.1.2.3.3.3.2">4</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.5.4.1.m1.1d">V(\bar{\phi})=\bar{\eta}\bar{\phi}^{3}/3!+\lambda\bar{\phi}^{4}/4!</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.5.4.1.m1.1e">italic_V ( over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) = over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT / 3 ! + italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT / 4 !</annotation></semantics></math>. We have taken <math alttext="\lambda=0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.6.5.2.m2.1"><semantics id="S5.F2.6.5.2.m2.1b"><mrow id="S5.F2.6.5.2.m2.1.1" xref="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.2" xref="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.1" xref="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.3" xref="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.6.5.2.m2.1c"><apply id="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F2.6.5.2.m2.1.1"><eq id="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F2.6.5.2.m2.1.1.3">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.6.5.2.m2.1d">\lambda=0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.6.5.2.m2.1e">italic_λ = 0.1</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bar{\eta}=0.447" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.7.6.3.m3.1"><semantics id="S5.F2.7.6.3.m3.1b"><mrow id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.1" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.1" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.3" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.3.cmml">0.447</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.7.6.3.m3.1c"><apply id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1"><eq id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2"><ci id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.2.2">𝜂</ci></apply><cn id="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F2.7.6.3.m3.1.1.3">0.447</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.7.6.3.m3.1d">\bar{\eta}=0.447</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.7.6.3.m3.1e">over¯ start_ARG italic_η end_ARG = 0.447</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.1">Let us now consider the zero temperature effective potential in the absence of curvature, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E21" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a> (<math alttext="R=0=f_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.p3.1.m1.1a"><mrow id="S5.p3.1.m1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1.2" xref="S5.p3.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S5.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S5.p3.1.m1.1.1.4" xref="S5.p3.1.m1.1.1.4.cmml">0</mn><mo id="S5.p3.1.m1.1.1.5" xref="S5.p3.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S5.p3.1.m1.1.1.6" xref="S5.p3.1.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1.6.2" xref="S5.p3.1.m1.1.1.6.2.cmml">f</mi><mn id="S5.p3.1.m1.1.1.6.3" xref="S5.p3.1.m1.1.1.6.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.1.m1.1b"><apply id="S5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1"><and id="S5.p3.1.m1.1.1a.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1"></and><apply id="S5.p3.1.m1.1.1b.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1"><eq id="S5.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3"></eq><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><cn id="S5.p3.1.m1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S5.p3.1.m1.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S5.p3.1.m1.1.1c.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1"><eq id="S5.p3.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.p3.1.m1.1.1.4.cmml" id="S5.p3.1.m1.1.1d.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1"></share><apply id="S5.p3.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.6.2">𝑓</ci><cn id="S5.p3.1.m1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.1.m1.1.1.6.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.1.m1.1c">R=0=f_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.1.m1.1d">italic_R = 0 = italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>), in the dimensionless form</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx38"> <tbody id="S5.Ex27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{V_{\rm{eff}}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{\bar{% \eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\frac{1}{4(4\pi)^{2}% }\left[\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}% \right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}% \right)\left(\ln\frac{1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}% {\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}}-\frac{1}{2}-\psi(2)\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex27.m1.2"><semantics id="S5.Ex27.m1.2a"><mrow id="S5.Ex27.m1.2b"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.2.3"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.3a"><msub id="S5.Ex27.m1.2.3.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.3.2.2">V</mi><mi id="S5.Ex27.m1.2.3.2.3">eff</mi></msub><msup id="S5.Ex27.m1.2.3.3"><mi id="S5.Ex27.m1.2.3.3.2">m</mi><mn id="S5.Ex27.m1.2.3.3.3">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex27.m1.2.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.2.5"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.5a"><msup id="S5.Ex27.m1.2.5.2"><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.5.2.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.5.2.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.5.2.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex27.m1.2.5.2.3">2</mn></msup><mn id="S5.Ex27.m1.2.5.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex27.m1.2.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.2.7"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.7a"><mrow id="S5.Ex27.m1.2.7.2"><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.7.2.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.7.2.2.2">η</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.7.2.2.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex27.m1.2.7.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex27.m1.2.7.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.7.2.3.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.7.2.3.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.7.2.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex27.m1.2.7.2.3.3">3</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex27.m1.2.7.3"><mn id="S5.Ex27.m1.2.7.3.2">3</mn><mo id="S5.Ex27.m1.2.7.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex27.m1.2.8">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.2.9"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.9a"><mrow id="S5.Ex27.m1.2.9.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.9.2.2">λ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.9.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex27.m1.2.9.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.9.2.3.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.9.2.3.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.9.2.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex27.m1.2.9.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex27.m1.2.9.3"><mn id="S5.Ex27.m1.2.9.3.2">4</mn><mo id="S5.Ex27.m1.2.9.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex27.m1.2.10">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.1.1"><mfrac id="S5.Ex27.m1.1.1a"><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.3">1</mn><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1"><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.3">4</mn><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.2">⁢</mo><msup id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11"><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.1">[</mo><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.2"><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.1">(</mo><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.2.2">2</mn><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3"><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.2"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.2a"><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.3">λ</mi><msup id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.4.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.6"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.7"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.4">+</mo><msup id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5"><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2"><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.2a"><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.6"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.7"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.2.5.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.2.6">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.3"><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.1">(</mo><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3a"><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2"><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.2">1</mn><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.1">+</mo><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.2"><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.2.3">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.3">λ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.4.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.3.4.3">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.1a">+</mo><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.4.2"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.4.2.2">η</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.4.2.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.4.1">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.4.3"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.4.3.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.2.4.3.1">¯</mo></mover></mrow></mrow><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3"><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.2"><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.2.2">4</mn><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.2.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.2.3">π</mi><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.2.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.2.4"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.2.4.2">μ</mi><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msup id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.3"><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.3.2">m</mi><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.3.3.3.3">2</mn></msup></mfrac></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.4">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex27.m1.2.11.3.5"><mfrac id="S5.Ex27.m1.2.11.3.5a"><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.5.2">1</mn><mn id="S5.Ex27.m1.2.11.3.5.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.6">−</mo><mi id="S5.Ex27.m1.2.11.3.7">ψ</mi><mrow id="S5.Ex27.m1.2.11.3.8"><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex27.m1.2.2">2</mn><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex27.m1.2.11.3.9">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex27.m1.2c">\displaystyle\frac{V_{\rm{eff}}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{\bar{% \eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\frac{1}{4(4\pi)^{2}% }\left[\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}% \right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}% \right)\left(\ln\frac{1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}% {\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}}-\frac{1}{2}-\psi(2)\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex27.m1.2d">divide start_ARG italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + divide start_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ ( 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ( roman_ln divide start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG end_ARG start_ARG divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG - italic_ψ ( 2 ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)\right]." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.E41.m1.1"><semantics id="S5.E41.m1.1a"><mrow id="S5.E41.m1.1b"><mo id="S5.E41.m1.1.2">+</mo><mi id="S5.E41.m1.1.1">ln</mi><mrow id="S5.E41.m1.1.3"><mo id="S5.E41.m1.1.3.1">(</mo><mn id="S5.E41.m1.1.3.2">1</mn><mo id="S5.E41.m1.1.3.3">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E41.m1.1.3.4"><mfrac id="S5.E41.m1.1.3.4a"><mn id="S5.E41.m1.1.3.4.2">1</mn><mn id="S5.E41.m1.1.3.4.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.E41.m1.1.3.5">λ</mi><msup id="S5.E41.m1.1.3.6"><mover accent="true" id="S5.E41.m1.1.3.6.2"><mi id="S5.E41.m1.1.3.6.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.E41.m1.1.3.6.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.E41.m1.1.3.6.3">2</mn></msup><mo id="S5.E41.m1.1.3.7">+</mo><mover accent="true" id="S5.E41.m1.1.3.8"><mi id="S5.E41.m1.1.3.8.2">η</mi><mo id="S5.E41.m1.1.3.8.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.E41.m1.1.3.9"><mi id="S5.E41.m1.1.3.9.2">ϕ</mi><mo id="S5.E41.m1.1.3.9.1">¯</mo></mover><mo id="S5.E41.m1.1.3.10">)</mo></mrow><mo id="S5.E41.m1.1.4">]</mo><mo id="S5.E41.m1.1.5" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E41.m1.1c">\displaystyle\left.+\ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E41.m1.1d">+ roman_ln ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(41)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p3.3">Putting in now some customary numerical values, <math alttext="m\sim 0.0005{\rm GeV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.2.m1.1"><semantics id="S5.p3.2.m1.1a"><mrow id="S5.p3.2.m1.1.1" xref="S5.p3.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.2.m1.1.1.2" xref="S5.p3.2.m1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.p3.2.m1.1.1.1" xref="S5.p3.2.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p3.2.m1.1.1.3" xref="S5.p3.2.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p3.2.m1.1.1.3.2" xref="S5.p3.2.m1.1.1.3.2.cmml">0.0005</mn><mo id="S5.p3.2.m1.1.1.3.1" xref="S5.p3.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p3.2.m1.1.1.3.3" xref="S5.p3.2.m1.1.1.3.3.cmml">GeV</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.2.m1.1b"><apply id="S5.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.p3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.2.m1.1.1.2">𝑚</ci><apply id="S5.p3.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.2.m1.1.1.3"><times id="S5.p3.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.2.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.p3.2.m1.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S5.p3.2.m1.1.1.3.2">0.0005</cn><ci id="S5.p3.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p3.2.m1.1.1.3.3">GeV</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.2.m1.1c">m\sim 0.0005{\rm GeV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.2.m1.1d">italic_m ∼ 0.0005 roman_GeV</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mu\sim 3\times 10^{-25}{\rm GeV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.3.m2.1"><semantics id="S5.p3.3.m2.1a"><mrow id="S5.p3.3.m2.1.1" xref="S5.p3.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.3.m2.1.1.2" xref="S5.p3.3.m2.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p3.3.m2.1.1.1" xref="S5.p3.3.m2.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p3.3.m2.1.1.3" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.1.cmml">×</mo><msup id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3a" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3.2" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">25</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.p3.3.m2.1.1.3.1" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p3.3.m2.1.1.3.3" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.3.cmml">GeV</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.3.m2.1b"><apply id="S5.p3.3.m2.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p3.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.p3.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S5.p3.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3"><times id="S5.p3.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2"><times id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.2">3</cn><apply id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><cn id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.2">10</cn><apply id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3"><minus id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3"></minus><cn id="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.2.3.3.2">25</cn></apply></apply></apply><ci id="S5.p3.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p3.3.m2.1.1.3.3">GeV</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.3.m2.1c">\mu\sim 3\times 10^{-25}{\rm GeV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.3.m2.1d">italic_μ ∼ 3 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 25 end_POSTSUPERSCRIPT roman_GeV</annotation></semantics></math>, which may be appropriate for the large scale physics we are interested in, e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib87" title="">87</a>]</cite> and references therein, we have plotted the above zero temperature flat space effective potential in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F3" title="Figure 3 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. We note that since the scalar we have taken has non-vanishing rest mass, there can be no spontaneous symmetry breaking for the quartic self interaction. However, in the presence of spacetime curvature, the scenario can change, as we wish to show below.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F3"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="197" id="S5.F3.sf1.g1" src="extracted/6295461/cubic-var1.png" width="257"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf1.6.2.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><math alttext="\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf1.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf1.3.m1.1b"><mrow id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.1" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.1" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf1.3.m1.1c"><apply id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1"><plus id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2"><times id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3"><times id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf1.3.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf1.3.m1.1d">\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf1.3.m1.1e">italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf1.4.1" style="font-size:90%;"> interaction, <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf1.4.1.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf1.4.1.m1.1b"><mi id="S5.F3.sf1.4.1.m1.1.1" xref="S5.F3.sf1.4.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf1.4.1.m1.1c"><ci id="S5.F3.sf1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf1.4.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf1.4.1.m1.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf1.4.1.m1.1e">italic_λ</annotation></semantics></math>=0.1</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="197" id="S5.F3.sf2.g1" src="extracted/6295461/quadratic-var.png" width="261"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf2.4.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf2.2.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf2.2.m1.1b"><mrow id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.1" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf2.2.m1.1c"><apply id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1"><times id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf2.2.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf2.2.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf2.2.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf2.5.2" style="font-size:90%;"> interaction</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure 3</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.F3.2.1" style="font-size:90%;">The one loop effective potential, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E41" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a>, with vanishing temperature in flat spacetime. Note that for <math alttext="\bar{\eta}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F3.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F3.2.1.m1.1.1" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.F3.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.F3.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F3.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F3.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1"><eq id="S5.F3.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.2"><ci id="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.2.2">𝜂</ci></apply><cn id="S5.F3.2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.2.1.m1.1d">\bar{\eta}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.2.1.m1.1e">over¯ start_ARG italic_η end_ARG = 0</annotation></semantics></math>, no spontaneous symmetry breaking is indicated, as we have taken the rest mass of the scalar to be non-vanishing. Note that by our renormalisation scheme, the effective potential does not contain any field independent finite terms.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.p4.1">We wish to consider two physically well motivated spacetimes below, namely, the Schwarzschild and the de Sitter spacetime. <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.p5.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S5.p5.1.1">The Schwarzschild spacetime</span>: <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.p6.7">For the Schwarzschild spacetime,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="ds^{2}=\left(1-\frac{2MG}{r}\right)dt^{2}+\left(1-\frac{2MG}{r}\right)^{-1}dr^% {2}+r^{2}d\Omega^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex28.m1.1"><semantics id="S5.Ex28.m1.1a"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">s</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml">G</mi></mrow><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.4.cmml">G</mi></mrow><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.4.2.cmml">Ω</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex28.m1.1b"><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑠</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑀</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4">𝐺</ci></apply><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑀</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.4">𝐺</ci></apply><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><minus id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"></minus><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑟</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" type="integer" 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<math alttext="R=0=R_{\mu\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.1.m1.1"><semantics id="S5.p6.1.m1.1a"><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.4" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.cmml">0</mn><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.5" xref="S5.p6.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S5.p6.1.m1.1.1.6" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.1.m1.1b"><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"><and id="S5.p6.1.m1.1.1a.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"></and><apply id="S5.p6.1.m1.1.1b.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"><eq id="S5.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3"></eq><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><cn id="S5.p6.1.m1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S5.p6.1.m1.1.1c.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"><eq id="S5.p6.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.p6.1.m1.1.1.4.cmml" id="S5.p6.1.m1.1.1d.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"></share><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2">𝑅</ci><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3"><times id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.1"></times><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2">𝜇</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.1.m1.1c">R=0=R_{\mu\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.1.m1.1d">italic_R = 0 = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{48G^{2}M^{2}}{r^{6}}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex29.m1.1"><semantics id="S5.Ex29.m1.1a"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.1b" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.5" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.1a" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.4" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.1b" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.5" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">48</mn><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">G</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">6</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex29.m1.1b"><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml" 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id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝜈</ci><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.4">𝜌</ci><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.5.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.5">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2"><times 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cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑟</ci><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.3">6</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex29.m1.1c">R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{48G^{2}M^{2}}{r^{6}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex29.m1.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 48 italic_G start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p6.2">in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E21" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>, so that we have around <math alttext="r\sim 2GM" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.2.m1.1"><semantics id="S5.p6.2.m1.1a"><mrow id="S5.p6.2.m1.1.1" xref="S5.p6.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p6.2.m1.1.1.2" xref="S5.p6.2.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S5.p6.2.m1.1.1.1" xref="S5.p6.2.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p6.2.m1.1.1.3" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p6.2.m1.1.1.3.2" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p6.2.m1.1.1.3.1" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.2.m1.1.1.3.3" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.p6.2.m1.1.1.3.1a" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.2.m1.1.1.3.4" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.4.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.2.m1.1b"><apply id="S5.p6.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.p6.2.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p6.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.2.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.p6.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.2.m1.1.1.2">𝑟</ci><apply id="S5.p6.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3"><times id="S5.p6.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.p6.2.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S5.p6.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.3">𝐺</ci><ci id="S5.p6.2.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p6.2.m1.1.1.3.4">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.2.m1.1c">r\sim 2GM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.2.m1.1d">italic_r ∼ 2 italic_G italic_M</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx39"> <tbody id="S5.Ex30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{V_{\rm{eff}}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{\bar{% \eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\frac{1}{4(4\pi)^{2}% }\left[\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}% \right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}% \right)\left(\ln\frac{1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}% {\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}}-\frac{1}{2}-\psi(2)\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex30.m1.2"><semantics id="S5.Ex30.m1.2a"><mrow id="S5.Ex30.m1.2b"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.2.3"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.3a"><msub id="S5.Ex30.m1.2.3.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.3.2.2">V</mi><mi id="S5.Ex30.m1.2.3.2.3">eff</mi></msub><msup id="S5.Ex30.m1.2.3.3"><mi id="S5.Ex30.m1.2.3.3.2">m</mi><mn id="S5.Ex30.m1.2.3.3.3">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex30.m1.2.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.2.5"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.5a"><msup id="S5.Ex30.m1.2.5.2"><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.5.2.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.5.2.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.5.2.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex30.m1.2.5.2.3">2</mn></msup><mn id="S5.Ex30.m1.2.5.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex30.m1.2.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.2.7"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.7a"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.7.2"><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.7.2.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.7.2.2.2">η</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.7.2.2.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex30.m1.2.7.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex30.m1.2.7.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.7.2.3.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.7.2.3.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.7.2.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex30.m1.2.7.2.3.3">3</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex30.m1.2.7.3"><mn id="S5.Ex30.m1.2.7.3.2">3</mn><mo id="S5.Ex30.m1.2.7.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex30.m1.2.8">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.2.9"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.9a"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.9.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.9.2.2">λ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.9.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex30.m1.2.9.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.9.2.3.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.9.2.3.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.9.2.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex30.m1.2.9.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex30.m1.2.9.3"><mn id="S5.Ex30.m1.2.9.3.2">4</mn><mo id="S5.Ex30.m1.2.9.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex30.m1.2.10">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.1.1"><mfrac id="S5.Ex30.m1.1.1a"><mn id="S5.Ex30.m1.1.1.3">1</mn><mrow id="S5.Ex30.m1.1.1.1"><mn id="S5.Ex30.m1.1.1.1.3">4</mn><mo id="S5.Ex30.m1.1.1.1.2">⁢</mo><msup id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11"><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.1">[</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.2"><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.1">(</mo><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.2.2">2</mn><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3"><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.2"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.2a"><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.3">λ</mi><msup id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.4.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.6"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.7"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.4">+</mo><msup id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2"><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.2a"><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.6"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.7"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.2.5.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.2.6">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.3"><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.1">(</mo><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3a"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2"><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.2">1</mn><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.1">+</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.2"><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.2.3">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.3">λ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.4.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.3.4.3">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.1a">+</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.4.2"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.4.2.2">η</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.4.2.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.4.1">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.4.3"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.4.3.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.2.4.3.1">¯</mo></mover></mrow></mrow><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.2"><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.2.2">4</mn><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.2.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.2.3">π</mi><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.2.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.2.4"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.2.4.2">μ</mi><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msup id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.3"><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.3.2">m</mi><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.3.3.3.3">2</mn></msup></mfrac></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.4">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.2.11.3.5"><mfrac id="S5.Ex30.m1.2.11.3.5a"><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.5.2">1</mn><mn id="S5.Ex30.m1.2.11.3.5.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.6">−</mo><mi id="S5.Ex30.m1.2.11.3.7">ψ</mi><mrow id="S5.Ex30.m1.2.11.3.8"><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex30.m1.2.2">2</mn><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex30.m1.2.11.3.9">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex30.m1.2c">\displaystyle\frac{V_{\rm{eff}}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{\bar{% \eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\frac{1}{4(4\pi)^{2}% }\left[\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}% \right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}% \right)\left(\ln\frac{1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}% {\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}}-\frac{1}{2}-\psi(2)\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex30.m1.2d">divide start_ARG italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + divide start_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ ( 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ( roman_ln divide start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG end_ARG start_ARG divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG - italic_ψ ( 2 ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)\right]+\frac{0.0016}{m^{4}G^{4}M^{4}}\ln\left(1+\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.E42.m1.1"><semantics id="S5.E42.m1.1a"><mrow id="S5.E42.m1.1b"><mo id="S5.E42.m1.1.2">+</mo><mi id="S5.E42.m1.1.1">ln</mi><mrow id="S5.E42.m1.1.3"><mo id="S5.E42.m1.1.3.1">(</mo><mn id="S5.E42.m1.1.3.2">1</mn><mo id="S5.E42.m1.1.3.3">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E42.m1.1.3.4"><mfrac id="S5.E42.m1.1.3.4a"><mn id="S5.E42.m1.1.3.4.2">1</mn><mn id="S5.E42.m1.1.3.4.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.E42.m1.1.3.5">λ</mi><msup id="S5.E42.m1.1.3.6"><mover accent="true" id="S5.E42.m1.1.3.6.2"><mi id="S5.E42.m1.1.3.6.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.E42.m1.1.3.6.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.E42.m1.1.3.6.3">2</mn></msup><mo id="S5.E42.m1.1.3.7">+</mo><mover accent="true" id="S5.E42.m1.1.3.8"><mi id="S5.E42.m1.1.3.8.2">η</mi><mo id="S5.E42.m1.1.3.8.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.E42.m1.1.3.9"><mi id="S5.E42.m1.1.3.9.2">ϕ</mi><mo id="S5.E42.m1.1.3.9.1">¯</mo></mover><mo id="S5.E42.m1.1.3.10">)</mo></mrow><mo id="S5.E42.m1.1.4">]</mo><mo id="S5.E42.m1.1.5">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E42.m1.1.6"><mfrac id="S5.E42.m1.1.6a"><mn id="S5.E42.m1.1.6.2">0.0016</mn><mrow id="S5.E42.m1.1.6.3"><msup id="S5.E42.m1.1.6.3.2"><mi id="S5.E42.m1.1.6.3.2.2">m</mi><mn id="S5.E42.m1.1.6.3.2.3">4</mn></msup><mo id="S5.E42.m1.1.6.3.1">⁢</mo><msup id="S5.E42.m1.1.6.3.3"><mi id="S5.E42.m1.1.6.3.3.2">G</mi><mn id="S5.E42.m1.1.6.3.3.3">4</mn></msup><mo id="S5.E42.m1.1.6.3.1a">⁢</mo><msup id="S5.E42.m1.1.6.3.4"><mi id="S5.E42.m1.1.6.3.4.2">M</mi><mn id="S5.E42.m1.1.6.3.4.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S5.E42.m1.1.7">ln</mi><mo id="S5.E42.m1.1.8">(</mo><mn id="S5.E42.m1.1.9">1</mn><mo id="S5.E42.m1.1.10">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E42.m1.1.11"><mfrac id="S5.E42.m1.1.11a"><mn id="S5.E42.m1.1.11.2">1</mn><mn id="S5.E42.m1.1.11.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.E42.m1.1.12">λ</mi><msup id="S5.E42.m1.1.13"><mover accent="true" id="S5.E42.m1.1.13.2"><mi id="S5.E42.m1.1.13.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.E42.m1.1.13.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.E42.m1.1.13.3">2</mn></msup><mo id="S5.E42.m1.1.14">+</mo><mover accent="true" id="S5.E42.m1.1.15"><mi id="S5.E42.m1.1.15.2">η</mi><mo id="S5.E42.m1.1.15.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.E42.m1.1.16"><mi id="S5.E42.m1.1.16.2">ϕ</mi><mo id="S5.E42.m1.1.16.1">¯</mo></mover><mo id="S5.E42.m1.1.17">)</mo><mo id="S5.E42.m1.1.18" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E42.m1.1c">\displaystyle\left.+\ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)\right]+\frac{0.0016}{m^{4}G^{4}M^{4}}\ln\left(1+\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E42.m1.1d">+ roman_ln ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) ] + divide start_ARG 0.0016 end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_G start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_ln ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(42)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p6.6">Note that the effective potential diverges as <math alttext="M\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.3.m1.1"><semantics id="S5.p6.3.m1.1a"><mrow id="S5.p6.3.m1.1.1" xref="S5.p6.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p6.3.m1.1.1.2" xref="S5.p6.3.m1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S5.p6.3.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S5.p6.3.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S5.p6.3.m1.1.1.3" xref="S5.p6.3.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.3.m1.1b"><apply id="S5.p6.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.p6.3.m1.1.1"><ci id="S5.p6.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.3.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S5.p6.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.3.m1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S5.p6.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.3.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.3.m1.1c">M\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.3.m1.1d">italic_M → 0</annotation></semantics></math>. This corresponds to the fact that the value of <math alttext="R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.4.m2.1"><semantics id="S5.p6.4.m2.1a"><mrow id="S5.p6.4.m2.1.1" xref="S5.p6.4.m2.1.1.cmml"><msup id="S5.p6.4.m2.1.1.2" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.2.2" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.1" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.1a" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.4" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.1b" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.5" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S5.p6.4.m2.1.1.1" xref="S5.p6.4.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p6.4.m2.1.1.3" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.3.2" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.1" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.1a" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.4" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.1b" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.5" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.4.m2.1b"><apply id="S5.p6.4.m2.1.1.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1"><times id="S5.p6.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.1"></times><apply id="S5.p6.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3"><times id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.3">𝜈</ci><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.4.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.4">𝜌</ci><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.5.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.2.3.5">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S5.p6.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3"><times id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.3">𝜈</ci><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.4">𝜌</ci><ci id="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.5.cmml" xref="S5.p6.4.m2.1.1.3.3.5">𝜎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.4.m2.1c">R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.4.m2.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> increases on the horizon with decreasing mass of the black hole. On the other hand, the result approaches the flat spacetime limit, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E41" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a>, for large value of the black hole mass. Taking now for example, <math alttext="GM\sim 10^{2}{\rm m}\sim 10^{17}{\rm GeV}^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.5.m3.1"><semantics id="S5.p6.5.m3.1a"><mrow id="S5.p6.5.m3.1.1" xref="S5.p6.5.m3.1.1.cmml"><mrow id="S5.p6.5.m3.1.1.2" xref="S5.p6.5.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p6.5.m3.1.1.2.2" xref="S5.p6.5.m3.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.p6.5.m3.1.1.2.1" xref="S5.p6.5.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.5.m3.1.1.2.3" xref="S5.p6.5.m3.1.1.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S5.p6.5.m3.1.1.3" xref="S5.p6.5.m3.1.1.3.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p6.5.m3.1.1.4" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.cmml"><msup id="S5.p6.5.m3.1.1.4.2" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.cmml"><mn id="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.2" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.2.cmml">10</mn><mn id="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.3" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.p6.5.m3.1.1.4.1" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.5.m3.1.1.4.3" mathvariant="normal" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.p6.5.m3.1.1.5" xref="S5.p6.5.m3.1.1.5.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p6.5.m3.1.1.6" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.cmml"><msup id="S5.p6.5.m3.1.1.6.2" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.cmml"><mn id="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.2" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.2.cmml">10</mn><mn id="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.3" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.3.cmml">17</mn></msup><mo id="S5.p6.5.m3.1.1.6.1" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.cmml"><mi id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.2" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.2.cmml">GeV</mi><mrow id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3.cmml"><mo id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3a" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3.2" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.5.m3.1b"><apply id="S5.p6.5.m3.1.1.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1"><and id="S5.p6.5.m3.1.1a.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1"></and><apply id="S5.p6.5.m3.1.1b.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p6.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.3">similar-to</csymbol><apply id="S5.p6.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.2"><times id="S5.p6.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.2.1"></times><ci id="S5.p6.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.p6.5.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S5.p6.5.m3.1.1.4.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4"><times id="S5.p6.5.m3.1.1.4.1.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.1"></times><apply id="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.2">superscript</csymbol><cn id="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.2">10</cn><cn id="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.p6.5.m3.1.1.4.3.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.4.3">m</ci></apply></apply><apply id="S5.p6.5.m3.1.1c.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p6.5.m3.1.1.5.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.5">similar-to</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.p6.5.m3.1.1.4.cmml" id="S5.p6.5.m3.1.1d.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1"></share><apply id="S5.p6.5.m3.1.1.6.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6"><times id="S5.p6.5.m3.1.1.6.1.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.1"></times><apply id="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.2">superscript</csymbol><cn id="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.2">10</cn><cn id="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.2.3">17</cn></apply><apply id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.1.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.2.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.2">GeV</ci><apply id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3"><minus id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3"></minus><cn id="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p6.5.m3.1.1.6.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.5.m3.1c">GM\sim 10^{2}{\rm m}\sim 10^{17}{\rm GeV}^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.5.m3.1d">italic_G italic_M ∼ 10 start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_m ∼ 10 start_POSTSUPERSCRIPT 17 end_POSTSUPERSCRIPT roman_GeV start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we have plotted <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E42" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F4" title="Figure 4 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>. We note in particular for the first of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F4" title="Figure 4 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, that for increasing cubic coupling, the effective potential develops a deep. This originates from the logarithm contained in the last term on the right hand side of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E42" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a>, which may contribute a large negative value. Note also that for a given <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.6.m4.1"><semantics id="S5.p6.6.m4.1a"><mi id="S5.p6.6.m4.1.1" xref="S5.p6.6.m4.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.6.m4.1b"><ci id="S5.p6.6.m4.1.1.cmml" xref="S5.p6.6.m4.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.6.m4.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.6.m4.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> value, we cannot arbitrarily go on increasing the cubic coupling, owing to the discussion appearing at the end of the preceding Section, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E40" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F4"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="204" id="S5.F4.sf1.g1" src="extracted/6295461/cubic-var-sch1.png" width="264"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf1.6.2.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><math alttext="\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf1.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf1.3.m1.1b"><mrow id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.1" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.1" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf1.3.m1.1c"><apply id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1"><plus id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2"><times id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3"><times id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf1.3.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf1.3.m1.1d">\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf1.3.m1.1e">italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf1.4.1" style="font-size:90%;"> interaction, <math alttext="\lambda=0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1b"><mrow id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1" xref="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.2" xref="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.1" xref="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.3" xref="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1c"><apply id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1"><eq id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F4.sf1.4.1.m1.1.1.3">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1d">\lambda=0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf1.4.1.m1.1e">italic_λ = 0.1</annotation></semantics></math></span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="204" id="S5.F4.sf2.g1" src="extracted/6295461/quadratic-sch-var.png" width="253"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf2.4.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf2.2.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf2.2.m1.1b"><mrow id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.1" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf2.2.m1.1c"><apply id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1"><times id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf2.2.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf2.2.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf2.2.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf2.5.2" style="font-size:90%;"> interaction</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.3.1.1" style="font-size:90%;">Figure 4</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.F4.4.2" style="font-size:90%;">The one loop effective potential, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E42" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a>, at vanishing temperature in the Schwarzschild spacetime. See main text for discussion. <span class="ltx_text ltx_font_upright" id="S5.F4.4.2.1"> </span></span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p7"> <p class="ltx_p" id="S5.p7.5">Let us also consider in this context the Kerr spacetime,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx40"> <tbody id="S5.Ex31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle ds^{2}=-\frac{r^{2}-2GMr+a^{2}}{r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta}dt^{2}% -\frac{4aMGr\sin^{2}\theta}{r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta}dtd\phi+\frac{r^{2}+a^{2% }\cos^{2}\theta}{r^{2}-2MGr+a^{2}}dr^{2}+\left(r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta\right% )d\theta^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex31.m1.1"><semantics id="S5.Ex31.m1.1a"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.4.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1b" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.5" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.5.cmml">r</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.1.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.4.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1b" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.5" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.5.cmml">G</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1c" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.6" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.6.cmml">r</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1d" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.2.cmml">sin</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.1" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1b" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.5" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.5.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1c" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.6" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.6.cmml">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.1" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.3.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.1a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.4.cmml">G</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.1b" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.5" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.3.5.cmml">r</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.1a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.4.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.4.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex31.m1.1b"><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1"><eq id="S5.Ex31.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3"><times id="S5.Ex31.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1"><plus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2"><times id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2"><divide id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2"></divide><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2"><plus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" 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id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2"><times id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.1"></times><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.2">4</cn><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑎</ci><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.4">𝑀</ci><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.5.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.5">𝐺</ci><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.6.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.6">𝑟</ci><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7"><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1">superscript</csymbol><sin id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.2"></sin><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.1.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.2.7.2">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.2">𝑟</ci><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3"><times id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2">𝑎</ci><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3"><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1">superscript</csymbol><cos id="S5.Ex31.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.1.2.cmml" 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id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3"><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1">superscript</csymbol><cos id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.2"></cos><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.2.3.3.2">𝜃</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3"><plus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.1"></plus><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2"><minus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.1"></minus><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.4.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><cos id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2"></cos><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.2">𝜃</ci><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" 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italic_G italic_r roman_sin start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ end_ARG italic_d italic_t italic_d italic_ϕ + divide start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_M italic_G italic_r + italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_d italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ) italic_d italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\left(r^{2}+a^{2}+\frac{2a^{2}GMr\sin^{2}\theta}{r^{2}+a^{2}\cos% ^{2}\theta}\right)\sin^{2}\theta d\phi^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E43.m1.1"><semantics id="S5.E43.m1.1a"><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1a" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">a</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1a" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml">G</mi><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1b" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5.cmml">M</mi><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1c" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.6" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.6.cmml">r</mi><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1d" lspace="0.167em" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.cmml"><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.2.cmml">sin</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7a" lspace="0.167em" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.cmml">⁡</mo><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1" lspace="0.167em" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml"><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">sin</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E43.m1.1.1.1.2" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E43.m1.1b"><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1"><plus id="S5.E43.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><cn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">2</cn><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑎</ci><cn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">2</cn></apply><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4">𝐺</ci><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5">𝑀</ci><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.6.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.6">𝑟</ci><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7"><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1">superscript</csymbol><sin id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.2"></sin><cn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.1.3">2</cn></apply><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.7.2">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><plus id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" 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id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3"><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1">superscript</csymbol><cos id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.2"></cos><cn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.3">2</cn></apply><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.2">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><sin id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.2"></sin><cn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑑</ci><apply id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.E43.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E43.m1.1c">\displaystyle+\left(r^{2}+a^{2}+\frac{2a^{2}GMr\sin^{2}\theta}{r^{2}+a^{2}\cos% ^{2}\theta}\right)\sin^{2}\theta d\phi^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E43.m1.1d">+ ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 2 italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_G italic_M italic_r roman_sin start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ end_ARG ) roman_sin start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ italic_d italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(43)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p7.6">which is also Ricci flat, and the Kretschmann scalar reads</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R_{\mu\nu\lambda\rho}R^{\mu\nu\lambda\rho}=\frac{48G^{2}M^{2}\left(r^{6}-15a^{% 2}r^{4}\cos^{2}\theta+15a^{4}r^{2}\cos^{2}\theta-a^{6}\cos^{6}\theta\right)}{% \left(r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta\right)^{6}}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex32.m1.3"><semantics id="S5.Ex32.m1.3a"><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1a" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.4" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.4.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1b" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.5" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.5.cmml">ρ</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.1a" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.4" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.4.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.1b" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.5" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.3.5.cmml">ρ</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S5.Ex32.m1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.3.cmml">48</mn><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.4" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.5" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.5.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.5.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.2b" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">6</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">15</mn><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1b" lspace="0.167em" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml"><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.1.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">15</mn><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1b" lspace="0.167em" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.cmml"><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.1.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">6</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">6</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S5.Ex32.m1.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow 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id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.cmml">cos</mi><mn id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex32.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.3.cmml">6</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex32.m1.3b"><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2"><times id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply 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xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><cn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">6</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><apply id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><cos id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2"></cos><cn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3">6</cn></apply><ci id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex32.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1"><plus id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑟</ci><cn id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><cn id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3"><apply id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><cos id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2"></cos><cn id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex32.m1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.3">6</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex32.m1.3c">R_{\mu\nu\lambda\rho}R^{\mu\nu\lambda\rho}=\frac{48G^{2}M^{2}\left(r^{6}-15a^{% 2}r^{4}\cos^{2}\theta+15a^{4}r^{2}\cos^{2}\theta-a^{6}\cos^{6}\theta\right)}{% \left(r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta\right)^{6}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex32.m1.3d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν italic_λ italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν italic_λ italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 48 italic_G start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT - 15 italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ + 15 italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ - italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ) end_ARG start_ARG ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ) start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p7.4">Comparing this with the Schwarzschild spacetime, we see that there is no qualitative change at all due to spacetime rotation on the equatorial plane, <math alttext="\theta=\pi/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.1.m1.1"><semantics id="S5.p7.1.m1.1a"><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.1.m1.1b"><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1"><eq id="S5.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2">𝜃</ci><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3"><divide id="S5.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.1.m1.1c">\theta=\pi/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.1.m1.1d">italic_θ = italic_π / 2</annotation></semantics></math>. The effect of the spacetime rotation is maximum on the axis (<math alttext="\theta=0,\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.2.m2.2"><semantics id="S5.p7.2.m2.2a"><mrow id="S5.p7.2.m2.2.3" xref="S5.p7.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S5.p7.2.m2.2.3.2" xref="S5.p7.2.m2.2.3.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.p7.2.m2.2.3.1" xref="S5.p7.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p7.2.m2.2.3.3.2" xref="S5.p7.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mn id="S5.p7.2.m2.1.1" xref="S5.p7.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p7.2.m2.2.3.3.2.1" xref="S5.p7.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p7.2.m2.2.2" xref="S5.p7.2.m2.2.2.cmml">π</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.2.m2.2b"><apply id="S5.p7.2.m2.2.3.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3"><eq id="S5.p7.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3.1"></eq><ci id="S5.p7.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3.2">𝜃</ci><list id="S5.p7.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S5.p7.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p7.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S5.p7.2.m2.2.2.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.2">𝜋</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.2.m2.2c">\theta=0,\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.2.m2.2d">italic_θ = 0 , italic_π</annotation></semantics></math>). We note that if we take the extremal limit (<math alttext="a\to GM" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.3.m3.1"><semantics id="S5.p7.3.m3.1a"><mrow id="S5.p7.3.m3.1.1" xref="S5.p7.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.1.1.2" xref="S5.p7.3.m3.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S5.p7.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="S5.p7.3.m3.1.1.3" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3.2.cmml">G</mi><mo id="S5.p7.3.m3.1.1.3.1" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p7.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.3.m3.1b"><apply id="S5.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1"><ci id="S5.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1.1">→</ci><ci id="S5.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S5.p7.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3"><times id="S5.p7.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p7.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S5.p7.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.3.m3.1c">a\to GM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.3.m3.1d">italic_a → italic_G italic_M</annotation></semantics></math>), the Kretschmann scalar vanishes as we move towards the horizon (<math alttext="r\to GM" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.4.m4.1"><semantics id="S5.p7.4.m4.1a"><mrow id="S5.p7.4.m4.1.1" xref="S5.p7.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p7.4.m4.1.1.2" xref="S5.p7.4.m4.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S5.p7.4.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="S5.p7.4.m4.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="S5.p7.4.m4.1.1.3" xref="S5.p7.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p7.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.p7.4.m4.1.1.3.2.cmml">G</mi><mo id="S5.p7.4.m4.1.1.3.1" xref="S5.p7.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p7.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.p7.4.m4.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.4.m4.1b"><apply id="S5.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.1"><ci id="S5.p7.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.1.1">→</ci><ci id="S5.p7.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.1.2">𝑟</ci><apply id="S5.p7.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.1.3"><times id="S5.p7.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p7.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S5.p7.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.4.m4.1c">r\to GM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.4.m4.1d">italic_r → italic_G italic_M</annotation></semantics></math>) along the axis. This shows that the one loop effective potential for an extreme Kerr black hole spacetime in the vicinity of the axial points near the horizon coincides with that of the flat spacetime, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E41" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p8"> <p class="ltx_p" id="S5.p8.3">Finally, we note that neither the Schwarzschild nor the Kerr case shows any SSB. This is because, as can be easily checked, that <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E42" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a> is always a positive definite for <math alttext="\bar{\eta}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.1.m1.1"><semantics id="S5.p8.1.m1.1a"><mrow id="S5.p8.1.m1.1.1" xref="S5.p8.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p8.1.m1.1.1.2" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p8.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.p8.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p8.1.m1.1.1.1" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p8.1.m1.1.1.3" xref="S5.p8.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p8.1.m1.1b"><apply id="S5.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1"><eq id="S5.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2"><ci id="S5.p8.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.p8.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.2">𝜂</ci></apply><cn id="S5.p8.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p8.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.1.m1.1c">\bar{\eta}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_η end_ARG = 0</annotation></semantics></math>, and the effective potential always must pass through the origin, for all values of the masses <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.2.m2.1"><semantics id="S5.p8.2.m2.1a"><mi id="S5.p8.2.m2.1.1" xref="S5.p8.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p8.2.m2.1b"><ci id="S5.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p8.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math> and <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.3.m3.1"><semantics id="S5.p8.3.m3.1a"><mi id="S5.p8.3.m3.1.1" xref="S5.p8.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p8.3.m3.1b"><ci id="S5.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p8.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math>. Second, changing these mass parameters does not create any new extrema. However, the situation will be qualitatively different for the de Sitter spacetime, as follows. <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p9"> <p class="ltx_p" id="S5.p9.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S5.p9.1.1">The de Sitter spacetime</span>: <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p10"> <p class="ltx_p" id="S5.p10.20">The metric for the cosmological de Sitter spacetime reads,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="ds^{2}=-dt^{2}+e^{2\sqrt{\Lambda}t/\sqrt{3}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex33.m1.1"><semantics id="S5.Ex33.m1.1a"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">Λ</mi></msqrt><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1a" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.4" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><msqrt id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn></msqrt></mrow></msup><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">z</mi><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex33.m1.1b"><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><divide id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></divide><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1"></times><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">2</cn><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><root id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3a.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"></root><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">Λ</ci></apply><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.4">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><root id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></root><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑧</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex33.m1.1c">ds^{2}=-dt^{2}+e^{2\sqrt{\Lambda}t/\sqrt{3}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex33.m1.1d">italic_d italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_d italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 square-root start_ARG roman_Λ end_ARG italic_t / square-root start_ARG 3 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d italic_y start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p10.4">for which we have <math alttext="R=4\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.1.m1.1"><semantics id="S5.p10.1.m1.1a"><mrow id="S5.p10.1.m1.1.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p10.1.m1.1.1.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p10.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml">Λ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.1.m1.1b"><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1"><eq id="S5.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3"><times id="S5.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.2">4</cn><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.3">Λ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.1.m1.1c">R=4\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.1.m1.1d">italic_R = 4 roman_Λ</annotation></semantics></math>, <math alttext="R^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=4\Lambda^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.2.m2.1"><semantics id="S5.p10.2.m2.1a"><mrow id="S5.p10.2.m2.1.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.p10.2.m2.1.1.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.cmml"><msup id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p10.2.m2.1.1.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p10.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">Λ</mi><mn id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.2.m2.1b"><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1"><eq id="S5.p10.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2"><times id="S5.p10.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.2">𝑅</ci><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3"><times id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3"><times id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3"><times id="S5.p10.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S5.p10.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.2">4</cn><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.2">Λ</ci><cn id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.2.m2.1c">R^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=4\Lambda^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.2.m2.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT = 4 roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}=8\Lambda^{2}/3" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.3.m3.1"><semantics id="S5.p10.3.m3.1a"><mrow id="S5.p10.3.m3.1.1" xref="S5.p10.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S5.p10.3.m3.1.1.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.cmml"><msup id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.1" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.1a" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.4" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.1b" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.5" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.2.1" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.1" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.1a" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.4" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.4.cmml">ρ</mi><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.1b" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.5" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.5.cmml">σ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.1" xref="S5.p10.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p10.3.m3.1.1.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">8</mn><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.1" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">Λ</mi><mn id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.3.1" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p10.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.3.m3.1b"><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1"><eq id="S5.p10.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2"><times id="S5.p10.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.2">𝑅</ci><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3"><times id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.3">𝜈</ci><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.4">𝜌</ci><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.2.3.5">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3"><times id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.3">𝜈</ci><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.4">𝜌</ci><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.5.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.3.3.5">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3"><divide id="S5.p10.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.1"></divide><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2"><times id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.2">8</cn><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.2">Λ</ci><cn id="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.p10.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.3.m3.1c">R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}=8\Lambda^{2}/3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.3.m3.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT = 8 roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 3</annotation></semantics></math> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E21" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>, <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.4.m4.1"><semantics id="S5.p10.4.m4.1a"><mi id="S5.p10.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.p10.4.m4.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.4.m4.1b"><ci id="S5.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.4.m4.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.4.m4.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math> being the positive cosmological constant. We have the one loop effective potential</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx41"> <tbody id="S5.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{V_{\rm{eff}}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{\bar{% \eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\frac{2\xi\Lambda% \bar{\phi}^{2}}{m^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex34.m1.1"><semantics id="S5.Ex34.m1.1a"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex34.m1.1.1.2a" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2.2.3.cmml">eff</mi></msub><msup id="S5.Ex34.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2a" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3a" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.cmml"><mfrac id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4a" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.3.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.4.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.1b" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.cmml"><mfrac id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5a" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.cmml"><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.3.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.1a" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.4" mathvariant="normal" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.1b" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.2.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.5.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.m1.1b"><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1"><eq id="S5.Ex34.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.2"><divide 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alttext="\displaystyle+0.0015\times\left[\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}% \bar{\phi}\right)^{2}\right)\left(\ln\frac{1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}}{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}}-\frac{1}{2}-\psi(2)\right)+% \ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex35.m1.3"><semantics id="S5.Ex35.m1.3a"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.cmml">0.0015</mn><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mfrac id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="S5.Ex35.m1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.cmml">ln</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo 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id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">𝜆</ci><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2"><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.3.cmml" type="integer" 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id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3"><divide id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3"></divide><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2"><times id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1"></times><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.2">4</cn><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.3">𝜋</ci><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><divide id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3"></divide><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4"><times id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.1"></times><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2">𝜓</ci><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"><ln id="S5.Ex35.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2"></ln><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1"><plus id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></plus><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2"><divide id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝜆</ci><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2"><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4"><times id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2"><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml" 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italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-0.012\times\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)\Lambda}{m^{2}}% \left[\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\left(% \ln\frac{1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}{\frac{4\pi% \mu^{2}}{m^{2}}}-\psi(2)\right)+\ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex36.m1.4"><semantics id="S5.Ex36.m1.4a"><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4" xref="S5.Ex36.m1.4.4.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.4.4a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.3.2.cmml">0.012</mn><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.3.1.cmml">×</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex36.m1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex36.m1.1.1a" xref="S5.Ex36.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mfrac id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S5.Ex36.m1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.3.3" xref="S5.Ex36.m1.3.3.cmml">ln</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.1a" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex36.m1.4b"><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4"><minus id="S5.Ex36.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4"></minus><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1"><times 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id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><ln id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></ln><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" 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xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">𝜆</ci><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2"><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.3.cmml" type="integer" 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id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3"><divide id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3"></divide><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2"><times id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.1"></times><cn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.2">4</cn><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.3">𝜋</ci><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" 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id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝜆</ci><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2"><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4"><times id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1"></times><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2"><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3"><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex36.m1.4c">\displaystyle-0.012\times\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)\Lambda}{m^{2}}% \left[\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\left(% \ln\frac{1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}{\frac{4\pi% \mu^{2}}{m^{2}}}-\psi(2)\right)+\ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex36.m1.4d">- 0.012 × divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) roman_Λ end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) ( roman_ln divide start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG end_ARG start_ARG divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG - italic_ψ ( 2 ) ) + roman_ln ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{0.032\Lambda^{2}}{m^{4}}\ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\left[\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}-0.% 001\right]." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E44.m1.2"><semantics id="S5.E44.m1.2a"><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1a" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.cmml"><mfrac id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4a" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.cmml"><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml"><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.cmml">0.032</mn><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.cmml"><mi id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.2.cmml">Λ</mi><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.3.cmml">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.3" lspace="0.167em" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E44.m1.1.1" xref="S5.E44.m1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.3a" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><mn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml">0.001</mn></mrow><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.3" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E44.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E44.m1.2b"><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1"><plus id="S5.E44.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1"></plus><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2"><times id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.3"></times><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4"><divide id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4"></divide><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2"><times id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.1"></times><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.cmml" type="float" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.2">0.032</cn><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.2">Λ</ci><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.4.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1"><ln id="S5.E44.m1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.1.1"></ln><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2"><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1">¯</ci><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1"><minus id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2"></minus><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3">0.001</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E44.m1.2c">\displaystyle+\frac{0.032\Lambda^{2}}{m^{4}}\ln\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\left[\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}-0.% 001\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E44.m1.2d">+ divide start_ARG 0.032 roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_ln ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 0.001 ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(44)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p10.19">The series appearing in the above equation might seem non-convergent for <math alttext="\Lambda/m^{2}\ll 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.5.m1.1"><semantics id="S5.p10.5.m1.1a"><mrow id="S5.p10.5.m1.1.1" xref="S5.p10.5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p10.5.m1.1.1.2" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p10.5.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S5.p10.5.m1.1.1.2.1" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.1.cmml">/</mo><msup id="S5.p10.5.m1.1.1.2.3" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.p10.5.m1.1.1.1" xref="S5.p10.5.m1.1.1.1.cmml">≪</mo><mn id="S5.p10.5.m1.1.1.3" xref="S5.p10.5.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.5.m1.1b"><apply id="S5.p10.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.p10.5.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p10.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.5.m1.1.1.1">much-less-than</csymbol><apply id="S5.p10.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2"><divide id="S5.p10.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.1"></divide><ci id="S5.p10.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.2">Λ</ci><apply id="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.5.m1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.p10.5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.5.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.5.m1.1c">\Lambda/m^{2}\ll 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.5.m1.1d">roman_Λ / italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ 1</annotation></semantics></math>. This is simply an artefact of our scaling of <math alttext="V_{\rm{eff}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.6.m2.1"><semantics id="S5.p10.6.m2.1a"><msub id="S5.p10.6.m2.1.1" xref="S5.p10.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.6.m2.1.1.2" xref="S5.p10.6.m2.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S5.p10.6.m2.1.1.3" xref="S5.p10.6.m2.1.1.3.cmml">eff</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.6.m2.1b"><apply id="S5.p10.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.p10.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.6.m2.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S5.p10.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.6.m2.1.1.3">eff</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.6.m2.1c">V_{\rm{eff}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.6.m2.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by <math alttext="m^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.7.m3.1"><semantics id="S5.p10.7.m3.1a"><msup id="S5.p10.7.m3.1.1" xref="S5.p10.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.7.m3.1.1.2" xref="S5.p10.7.m3.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S5.p10.7.m3.1.1.3" xref="S5.p10.7.m3.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.7.m3.1b"><apply id="S5.p10.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.p10.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.7.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.7.m3.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S5.p10.7.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.7.m3.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.7.m3.1c">m^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.7.m3.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. It is easy to see that this apparent ambiguity is absent, should we instead make the scaling with respect to <math alttext="\Lambda^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.8.m4.1"><semantics id="S5.p10.8.m4.1a"><msup id="S5.p10.8.m4.1.1" xref="S5.p10.8.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.8.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p10.8.m4.1.1.2.cmml">Λ</mi><mn id="S5.p10.8.m4.1.1.3" xref="S5.p10.8.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.8.m4.1b"><apply id="S5.p10.8.m4.1.1.cmml" xref="S5.p10.8.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.8.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.8.m4.1.1.2">Λ</ci><cn id="S5.p10.8.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.8.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.8.m4.1c">\Lambda^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.8.m4.1d">roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. However, since we are primarily dealing with general curved spacetimes, we wish to keep this generic scaling with respect to <math alttext="m^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.9.m5.1"><semantics id="S5.p10.9.m5.1a"><msup id="S5.p10.9.m5.1.1" xref="S5.p10.9.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.9.m5.1.1.2" xref="S5.p10.9.m5.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S5.p10.9.m5.1.1.3" xref="S5.p10.9.m5.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.9.m5.1b"><apply id="S5.p10.9.m5.1.1.cmml" xref="S5.p10.9.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.9.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.9.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.9.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.9.m5.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S5.p10.9.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.9.m5.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.9.m5.1c">m^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.9.m5.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. We have investigated various features of this dimensionless effective potential in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F6" title="Figure 6 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F7" title="Figure 7 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>, for some customary numerical values of different parameters. In particular, we note that (with <math alttext="\bar{\eta}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.10.m6.1"><semantics id="S5.p10.10.m6.1a"><mrow id="S5.p10.10.m6.1.1" xref="S5.p10.10.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p10.10.m6.1.1.2" xref="S5.p10.10.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p10.10.m6.1.1.2.2" xref="S5.p10.10.m6.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.p10.10.m6.1.1.2.1" xref="S5.p10.10.m6.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p10.10.m6.1.1.1" xref="S5.p10.10.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p10.10.m6.1.1.3" xref="S5.p10.10.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.10.m6.1b"><apply id="S5.p10.10.m6.1.1.cmml" xref="S5.p10.10.m6.1.1"><eq id="S5.p10.10.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.10.m6.1.1.1"></eq><apply id="S5.p10.10.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.10.m6.1.1.2"><ci id="S5.p10.10.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p10.10.m6.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.p10.10.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p10.10.m6.1.1.2.2">𝜂</ci></apply><cn id="S5.p10.10.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.10.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.10.m6.1c">\bar{\eta}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.10.m6.1d">over¯ start_ARG italic_η end_ARG = 0</annotation></semantics></math>), spontaneous symmetry breaking at one loop is possible in de Sitter even with <math alttext="\xi,m^{2}{>}0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.11.m7.2"><semantics id="S5.p10.11.m7.2a"><mrow id="S5.p10.11.m7.2.2" xref="S5.p10.11.m7.2.2.cmml"><mrow id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.2.cmml"><mi id="S5.p10.11.m7.1.1" xref="S5.p10.11.m7.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.2" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.p10.11.m7.2.2.2" xref="S5.p10.11.m7.2.2.2.cmml">></mo><mn id="S5.p10.11.m7.2.2.3" xref="S5.p10.11.m7.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.11.m7.2b"><apply id="S5.p10.11.m7.2.2.cmml" xref="S5.p10.11.m7.2.2"><gt id="S5.p10.11.m7.2.2.2.cmml" xref="S5.p10.11.m7.2.2.2"></gt><list id="S5.p10.11.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.1"><ci id="S5.p10.11.m7.1.1.cmml" xref="S5.p10.11.m7.1.1">𝜉</ci><apply id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.11.m7.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></list><cn id="S5.p10.11.m7.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.11.m7.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.11.m7.2c">\xi,m^{2}{>}0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.11.m7.2d">italic_ξ , italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > 0</annotation></semantics></math>. Usually, this has <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.p10.19.1">no</span> analogue for flat or the Ricci flat spacetimes we have considered earlier, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F3.sf2" title="In Figure 3 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(b)</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F4.sf2" title="In Figure 4 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(b)</span></a>. In fact symmetry breaking for a massive scalar in flat spacetime seems only to be possible if the mass scale <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.12.m8.1"><semantics id="S5.p10.12.m8.1a"><mi id="S5.p10.12.m8.1.1" xref="S5.p10.12.m8.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.12.m8.1b"><ci id="S5.p10.12.m8.1.1.cmml" xref="S5.p10.12.m8.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.12.m8.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.12.m8.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> is extremely large compared to <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.13.m9.1"><semantics id="S5.p10.13.m9.1a"><mi id="S5.p10.13.m9.1.1" xref="S5.p10.13.m9.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.13.m9.1b"><ci id="S5.p10.13.m9.1.1.cmml" xref="S5.p10.13.m9.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.13.m9.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.13.m9.1d">italic_m</annotation></semantics></math>. In de Sitter, this effect originates from the term appearing in the last line of the right hand side of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E44" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>, which, when <math alttext="\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.14.m10.1"><semantics id="S5.p10.14.m10.1a"><mi id="S5.p10.14.m10.1.1" xref="S5.p10.14.m10.1.1.cmml">ξ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.14.m10.1b"><ci id="S5.p10.14.m10.1.1.cmml" xref="S5.p10.14.m10.1.1">𝜉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.14.m10.1c">\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.14.m10.1d">italic_ξ</annotation></semantics></math> is <math alttext="1/6" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.15.m11.1"><semantics id="S5.p10.15.m11.1a"><mrow id="S5.p10.15.m11.1.1" xref="S5.p10.15.m11.1.1.cmml"><mn id="S5.p10.15.m11.1.1.2" xref="S5.p10.15.m11.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p10.15.m11.1.1.1" xref="S5.p10.15.m11.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p10.15.m11.1.1.3" xref="S5.p10.15.m11.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.15.m11.1b"><apply id="S5.p10.15.m11.1.1.cmml" xref="S5.p10.15.m11.1.1"><divide id="S5.p10.15.m11.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.15.m11.1.1.1"></divide><cn id="S5.p10.15.m11.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p10.15.m11.1.1.2">1</cn><cn id="S5.p10.15.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.15.m11.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.15.m11.1c">1/6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.15.m11.1d">1 / 6</annotation></semantics></math> or close to it, yields a negative contribution which can dominate the <math alttext="\bar{\phi}^{2}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.16.m12.1"><semantics id="S5.p10.16.m12.1a"><mrow id="S5.p10.16.m12.1.1" xref="S5.p10.16.m12.1.1.cmml"><msup id="S5.p10.16.m12.1.1.2" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.p10.16.m12.1.1.2.2" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.2" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.1" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p10.16.m12.1.1.2.3" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.p10.16.m12.1.1.1" xref="S5.p10.16.m12.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p10.16.m12.1.1.3" xref="S5.p10.16.m12.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.16.m12.1b"><apply id="S5.p10.16.m12.1.1.cmml" xref="S5.p10.16.m12.1.1"><divide id="S5.p10.16.m12.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.16.m12.1.1.1"></divide><apply id="S5.p10.16.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.16.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.2"><ci id="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.p10.16.m12.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.16.m12.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.p10.16.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.16.m12.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.16.m12.1c">\bar{\phi}^{2}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.16.m12.1d">over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2</annotation></semantics></math> and other positive terms for small values of <math alttext="\bar{\phi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.17.m13.1"><semantics id="S5.p10.17.m13.1a"><mover accent="true" id="S5.p10.17.m13.1.1" xref="S5.p10.17.m13.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.17.m13.1.1.2" xref="S5.p10.17.m13.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.p10.17.m13.1.1.1" xref="S5.p10.17.m13.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.17.m13.1b"><apply id="S5.p10.17.m13.1.1.cmml" xref="S5.p10.17.m13.1.1"><ci id="S5.p10.17.m13.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.17.m13.1.1.1">¯</ci><ci id="S5.p10.17.m13.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.17.m13.1.1.2">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.17.m13.1c">\bar{\phi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.17.m13.1d">over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG</annotation></semantics></math>, leading to the symmetry breaking effective potential. It is easy to see that this effect will be present even with a tiny value of <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.18.m14.1"><semantics id="S5.p10.18.m14.1a"><mi id="S5.p10.18.m14.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.p10.18.m14.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.18.m14.1b"><ci id="S5.p10.18.m14.1.1.cmml" xref="S5.p10.18.m14.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.18.m14.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.18.m14.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math>. However, such curvature driven symmetry breaking may <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.p10.19.2">a priori</span> be expected to be significant in the early inflationary universe scenario, where the dark energy density and hence the spacetime curvature was much higher compared to that of today. Note also from the second of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F7" title="Figure 7 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a> that symmetry breaking remains possible for a very wide range of the renormalisation scale, <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.19.m15.1"><semantics id="S5.p10.19.m15.1a"><mi id="S5.p10.19.m15.1.1" xref="S5.p10.19.m15.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.19.m15.1b"><ci id="S5.p10.19.m15.1.1.cmml" xref="S5.p10.19.m15.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.19.m15.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.19.m15.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F5"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F5.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="181" id="S5.F5.sf1.g1" src="extracted/6295461/cubic-var-de1.png" width="229"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf1.6.2.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><math alttext="\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.sf1.3.m1.1"><semantics id="S5.F5.sf1.3.m1.1b"><mrow id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.1" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.1" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.sf1.3.m1.1c"><apply id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1"><plus id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2"><times id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3"><times id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.sf1.3.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.sf1.3.m1.1d">\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.sf1.3.m1.1e">italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf1.4.1" style="font-size:90%;"> interaction, <math alttext="\lambda=0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1"><semantics id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1b"><mrow id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1" xref="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.2" xref="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.1" xref="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.3" xref="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1c"><apply id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1"><eq id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F5.sf1.4.1.m1.1.1.3">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1d">\lambda=0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.sf1.4.1.m1.1e">italic_λ = 0.1</annotation></semantics></math></span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F5.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="181" id="S5.F5.sf2.g1" src="extracted/6295461/quadratic-var-de.png" width="235"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf2.4.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.sf2.2.m1.1"><semantics id="S5.F5.sf2.2.m1.1b"><mrow id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.1" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.sf2.2.m1.1c"><apply id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1"><times id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.sf2.2.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.sf2.2.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.sf2.2.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf2.5.2" style="font-size:90%;"> interaction</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.8.4.1" style="font-size:90%;">Figure 5</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.F5.6.3" style="font-size:90%;">The one loop effective potential, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E44" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>, at vanishing temperature in the de Sitter spacetime. Comparing the latter with <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F3.sf2" title="In Figure 3 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(b)</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F4.sf2" title="In Figure 4 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(b)</span></a>, we see that spontaneous symmetry breaking in de Sitter with a massive scalar with <math alttext="m^{2}{>}0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.4.1.m1.1"><semantics id="S5.F5.4.1.m1.1b"><mrow id="S5.F5.4.1.m1.1.1" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.F5.4.1.m1.1.1.2" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.F5.4.1.m1.1.1.1" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.F5.4.1.m1.1.1.3" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.4.1.m1.1c"><apply id="S5.F5.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1"><gt id="S5.F5.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.1"></gt><apply id="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.F5.4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.4.1.m1.1d">m^{2}{>}0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.4.1.m1.1e">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> is possible. In both the plots appearing above we have taken <math alttext="\Lambda\sim 30{\rm Gev}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.5.2.m2.1"><semantics id="S5.F5.5.2.m2.1b"><mrow id="S5.F5.5.2.m2.1.1" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.5.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S5.F5.5.2.m2.1.1.1" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.2.cmml">30</mn><mo id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.1b" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.1c" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.2.cmml">v</mi><mn id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.3" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.5.2.m2.1c"><apply id="S5.F5.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F5.5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F5.5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.2">Λ</ci><apply id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3"><times id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.2">30</cn><ci id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.3">G</ci><ci id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.4">e</ci><apply id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.2">v</ci><cn id="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.5.2.m2.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.5.2.m2.1d">\Lambda\sim 30{\rm Gev}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.5.2.m2.1e">roman_Λ ∼ 30 roman_G roman_e roman_v start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\xi\sim 0.13" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.6.3.m3.1"><semantics id="S5.F5.6.3.m3.1b"><mrow id="S5.F5.6.3.m3.1.1" xref="S5.F5.6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.6.3.m3.1.1.2" xref="S5.F5.6.3.m3.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.F5.6.3.m3.1.1.1" xref="S5.F5.6.3.m3.1.1.1.cmml">∼</mo><mn id="S5.F5.6.3.m3.1.1.3" xref="S5.F5.6.3.m3.1.1.3.cmml">0.13</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.6.3.m3.1c"><apply id="S5.F5.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F5.6.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F5.6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.6.3.m3.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F5.6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.6.3.m3.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S5.F5.6.3.m3.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F5.6.3.m3.1.1.3">0.13</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.6.3.m3.1d">\xi\sim 0.13</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.6.3.m3.1e">italic_ξ ∼ 0.13</annotation></semantics></math>. </span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p11"> <p class="ltx_p" id="S5.p11.1">Before we proceed further, a couple of clarifying remarks are in order here. First, we wish to emphasise that the Schwinger-DeWitt expansion formalism based upon the local Lorentz invariance and four momentum we are using here, is essentially meant to capture the curvature effects to ultraviolet quantum processes, such as the anomaly <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>. Being ultraviolet, these are short scale or local effects. Thus, the current formalism, being based upon the local geometry, is not suitable to address the late time, deep infrared or super-Hubble phenomenon like the non-perturbative secular effect in de Sitter <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib88" title="">88</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib89" title="">89</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib90" title="">90</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib91" title="">91</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib92" title="">92</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib93" title="">93</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib94" title="">94</a>]</cite> (also references therein) for a light scalar. One needs to use the exact propagator and the Schwinger-Keldysh closed time path formalism to address such non-equilibrium scenarios. Thus the effect we are looking into could be some initial or transient phenomenon, with time scale much small compared to that of the duration of the inflation. Thus the present formalism can be thought of as somewhat analogous to the standard particle physics set up, where we essentially ignore the global structure of the spacetime. In fact standard particle physics results or techniques including in-out scattering without considering <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.p11.1.1">any</span> curvature have been applied to early inflationary cosmology earlier, provided they are very high energy and short ranged in spacetime, e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib95" title="">95</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib96" title="">96</a>]</cite> and references therein. Nevertheless, after the symmetry breaking occurs at short scale, it will be interesting to look into its effect on the background field’s classical or stochastic behaviour at late times and at large scale, from the effective action corresponding to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E44" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p12"> <p class="ltx_p" id="S5.p12.1">Finally, we note that had we ignored the quadratic curvature terms from the beginning, there would be no such SSB described above. Will the result still be valid, should we include cubic order curvature terms? Putting things together now, we believe this feature, along with the thermal self energy result <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E28" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>, sufficiently motivates us to look into this problem via some suitable non-perturbative resummation techniques. Any such technique is not only required to resum over the coupling, but also to resum some curvature terms as well, to see its effect on the short scale physics we are probing here. We reserve these problems for a future work. However in this paper, as a bridge between the above one loop result and a non-perturbative analysis, we wish to present some two loop computations for the effective potential. Our motivation is to see whether the above result gets any qualitative modification at higher loop order. Indeed as we will see, there is no qualitative deviation from SSB in de Sitter. Another motivation of us is to check, in the context of finite temperature field theory, that the field renormalisation counterterms are indeed independent of the spacetime curvature.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F6"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F6.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="172" id="S5.F6.sf1.g1" src="extracted/6295461/xi-var-de.png" width="218"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F6.sf1.4.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F6.sf1.2.m1.1"><semantics id="S5.F6.sf1.2.m1.1b"><mrow id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.1" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F6.sf1.2.m1.1c"><apply id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1"><times id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F6.sf1.2.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F6.sf1.2.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F6.sf1.2.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F6.sf1.5.2" style="font-size:90%;"> interaction</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F6.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="172" id="S5.F6.sf2.g1" src="extracted/6295461/xi-var-de1.png" width="218"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F6.sf2.4.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F6.sf2.2.m1.1"><semantics id="S5.F6.sf2.2.m1.1b"><mrow id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.1" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F6.sf2.2.m1.1c"><apply id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1"><times id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F6.sf2.2.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F6.sf2.2.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F6.sf2.2.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F6.sf2.5.2" style="font-size:90%;"> interaction</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F6.8.4.1" style="font-size:90%;">Figure 6</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.F6.6.3" style="font-size:90%;">The one loop effective potential, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E44" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>, at vanishing temperature in the de Sitter spacetime for different values of the non-minimal coupling <math alttext="\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F6.4.1.m1.1"><semantics id="S5.F6.4.1.m1.1b"><mi id="S5.F6.4.1.m1.1.1" xref="S5.F6.4.1.m1.1.1.cmml">ξ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F6.4.1.m1.1c"><ci id="S5.F6.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F6.4.1.m1.1.1">𝜉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F6.4.1.m1.1d">\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F6.4.1.m1.1e">italic_ξ</annotation></semantics></math>. Note that for <math alttext="\xi\sim 0.167" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F6.5.2.m2.1"><semantics id="S5.F6.5.2.m2.1b"><mrow id="S5.F6.5.2.m2.1.1" xref="S5.F6.5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F6.5.2.m2.1.1.2" xref="S5.F6.5.2.m2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.F6.5.2.m2.1.1.1" xref="S5.F6.5.2.m2.1.1.1.cmml">∼</mo><mn id="S5.F6.5.2.m2.1.1.3" xref="S5.F6.5.2.m2.1.1.3.cmml">0.167</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F6.5.2.m2.1c"><apply id="S5.F6.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F6.5.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F6.5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F6.5.2.m2.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F6.5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F6.5.2.m2.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S5.F6.5.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F6.5.2.m2.1.1.3">0.167</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F6.5.2.m2.1d">\xi\sim 0.167</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F6.5.2.m2.1e">italic_ξ ∼ 0.167</annotation></semantics></math> or <math alttext="1/6" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F6.6.3.m3.1"><semantics id="S5.F6.6.3.m3.1b"><mrow id="S5.F6.6.3.m3.1.1" xref="S5.F6.6.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S5.F6.6.3.m3.1.1.2" xref="S5.F6.6.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.F6.6.3.m3.1.1.1" xref="S5.F6.6.3.m3.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F6.6.3.m3.1.1.3" xref="S5.F6.6.3.m3.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F6.6.3.m3.1c"><apply id="S5.F6.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F6.6.3.m3.1.1"><divide id="S5.F6.6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.F6.6.3.m3.1.1.1"></divide><cn id="S5.F6.6.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.F6.6.3.m3.1.1.2">1</cn><cn id="S5.F6.6.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F6.6.3.m3.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F6.6.3.m3.1d">1/6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F6.6.3.m3.1e">1 / 6</annotation></semantics></math>, the dip or the hill of the effective potential is maximum. This effect originates from the terms appearing on the last line on the right hand side of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E44" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>. See main text for discussion. </span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S5.F7"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F7.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="106" id="S5.F7.sf1.g1" src="extracted/6295461/desitter-var.png" width="149"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F7.sf1.4.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F7.sf1.2.m1.1"><semantics id="S5.F7.sf1.2.m1.1b"><mrow id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.1" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F7.sf1.2.m1.1c"><apply id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1"><times id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F7.sf1.2.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F7.sf1.2.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F7.sf1.2.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F7.sf1.5.2" style="font-size:90%;"> interaction</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F7.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="172" id="S5.F7.sf2.g1" src="extracted/6295461/mu-var.png" width="223"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F7.sf2.4.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F7.sf2.2.m1.1"><semantics id="S5.F7.sf2.2.m1.1b"><mrow id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.1" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F7.sf2.2.m1.1c"><apply id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1"><times id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F7.sf2.2.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F7.sf2.2.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F7.sf2.2.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F7.sf2.5.2" style="font-size:90%;"> interaction</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F7.10.5.1" style="font-size:90%;">Figure 7</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.F7.8.4" style="font-size:90%;">The one loop effective potential, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E44" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>, with vanishing temperature in the de Sitter spacetime for different values of the cosmological constant <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F7.5.1.m1.1"><semantics id="S5.F7.5.1.m1.1b"><mi id="S5.F7.5.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.F7.5.1.m1.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F7.5.1.m1.1c"><ci id="S5.F7.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F7.5.1.m1.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F7.5.1.m1.1d">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F7.5.1.m1.1e">roman_Λ</annotation></semantics></math>, and the mass scale <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F7.6.2.m2.1"><semantics id="S5.F7.6.2.m2.1b"><mi id="S5.F7.6.2.m2.1.1" xref="S5.F7.6.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F7.6.2.m2.1c"><ci id="S5.F7.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F7.6.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F7.6.2.m2.1d">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F7.6.2.m2.1e">italic_μ</annotation></semantics></math> (in GeV). Increasing the value of <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F7.7.3.m3.1"><semantics id="S5.F7.7.3.m3.1b"><mi id="S5.F7.7.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.F7.7.3.m3.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F7.7.3.m3.1c"><ci id="S5.F7.7.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F7.7.3.m3.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F7.7.3.m3.1d">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F7.7.3.m3.1e">roman_Λ</annotation></semantics></math> increases the strength of the symmetry breaking effect. Note also that the symmetry breaking feature of the potential remains valid for a very wide range of the renormalisation scale, <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F7.8.4.m4.1"><semantics id="S5.F7.8.4.m4.1b"><mi id="S5.F7.8.4.m4.1.1" xref="S5.F7.8.4.m4.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F7.8.4.m4.1c"><ci id="S5.F7.8.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.F7.8.4.m4.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F7.8.4.m4.1d">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F7.8.4.m4.1e">italic_μ</annotation></semantics></math>. </span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p13"> <p class="ltx_p" id="S5.p13.1">We now wish to discuss the above effective potentials in the context of finite temperature field theory.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.1 </span>Phase transition at finite temperature</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_framed ltx_framed_underline" id="S5.SS1.p1.1.1"><math alttext="m^{2}{<}0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.1"></lt><apply id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1c">m^{2}{<}0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.1.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p1.1.1.1"> case :</span></span> <br class="ltx_break"/> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p2.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p2.2.1">To begin with, let us consider the thermal effective potential </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E36" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p2.2.2"> at zero spacetime curvature with only quartic coupling and at high temperature, e.g. </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p2.2.3.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib33" title="">33</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p2.2.4.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p2.2.5">,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx42"> <tbody id="S5.E45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff},\beta}=\frac{m^{2}\phi^{2}}{2}+\frac{\lambda\phi^{4}% }{4!}+\left[-\frac{\pi^{2}}{90\beta^{4}}+\frac{m^{2}+\frac{1}{2}\lambda\phi^{2% }}{24\beta^{2}}\right]\qquad(\lambda>0)," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E45.m1.3"><semantics id="S5.E45.m1.3a"><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.E45.m1.3.3.1.1.4" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">V</mi><mrow id="S5.E45.m1.2.2.2.4" xref="S5.E45.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S5.E45.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.E45.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E45.m1.2.2.2.2" xref="S5.E45.m1.2.2.2.2.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4a" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">90</mn><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">β</mi><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">24</mn><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">β</mi><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mspace id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.3" width="2em" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E45.m1.3.3.1.2" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E45.m1.3b"><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1"><eq id="S5.E45.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.4.2">𝑉</ci><list id="S5.E45.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1">eff</ci><ci id="S5.E45.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.2.2.2.2">𝛽</ci></list></apply><list id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2"><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4"><divide id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3"><factorial id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.1"></factorial><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2">4</cn></apply></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜋</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">90</cn><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝛽</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><divide id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"></divide><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">1</cn><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜆</ci><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">24</cn><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝛽</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1"><gt id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1"></gt><ci id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3">0</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E45.m1.3c">\displaystyle V_{\rm{eff},\beta}=\frac{m^{2}\phi^{2}}{2}+\frac{\lambda\phi^{4}% }{4!}+\left[-\frac{\pi^{2}}{90\beta^{4}}+\frac{m^{2}+\frac{1}{2}\lambda\phi^{2% }}{24\beta^{2}}\right]\qquad(\lambda>0),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E45.m1.3d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + [ - divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 90 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 24 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ] ( italic_λ > 0 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(45)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p2.1.1">where we have kept only the first two thermal terms for simplicity. It is well known that for </span><math alttext="m^{2}{<}0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1"><lt id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.1"></lt><apply id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.1.m1.1c">m^{2}{<}0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p2.1.2"> there can be symmetry breaking for the tree level potential, as has been depicted in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F8" title="Figure 8 ‣ 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p2.1.3">.</span></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F8"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="187" id="S5.F8.1.g1" src="extracted/6295461/neg-tree.png" width="279"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F8.7.2.1" style="font-size:90%;">Figure 8</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.F8.3.2.1" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F8.3.2.1.1">Tree level symmetry breaking potential with <math alttext="m^{2}<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1"><semantics id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1c"><apply id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1"><lt id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.1"></lt><apply id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F8.3.2.1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1d">m^{2}<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F8.3.2.1.1.m1.1e">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < 0</annotation></semantics></math> and positive quartic self interaction.</span></span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p3.6"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p3.6.1">Following e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib33" title="">33</a>]</cite>, we now rewrite <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E45" title="In 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a> as</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx43"> <tbody id="S5.E46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff},\beta}=\frac{m^{2}\phi^{2}}{2}\left(1-\frac{T^{2}}{T% ^{2}_{c}}\right)+\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E46.m1.3"><semantics id="S5.E46.m1.3a"><mrow id="S5.E46.m1.3.3.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E46.m1.3.3.1.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.E46.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E46.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">V</mi><mrow id="S5.E46.m1.2.2.2.4" xref="S5.E46.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E46.m1.1.1.1.1" xref="S5.E46.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S5.E46.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.E46.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E46.m1.2.2.2.2" xref="S5.E46.m1.2.2.2.2.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S5.E46.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" 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id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S5.E46.m1.3.3.1.2" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E46.m1.3b"><apply id="S5.E46.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E46.m1.3.3.1"><eq id="S5.E46.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S5.E46.m1.3.3.1.1.3.cmml" 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xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3"><factorial id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></factorial><cn id="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E46.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">4</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E46.m1.3c">\displaystyle V_{\rm{eff},\beta}=\frac{m^{2}\phi^{2}}{2}\left(1-\frac{T^{2}}{T% ^{2}_{c}}\right)+\frac{\lambda\phi^{4}}{4!},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E46.m1.3d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( 1 - divide start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) + divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(46)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p3.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p3.5.5">where, <math alttext="T_{c}=\sqrt{-\frac{24m^{2}}{\lambda}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msqrt id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2a" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mfrac id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mn id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">24</mn><mo id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mi id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">λ</mi></mfrac></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3"><root id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3"></root><apply id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2"><minus id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2"></minus><apply id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2"><divide id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2"><times id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.1"></times><cn id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.2">24</cn><apply id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.1.m1.1.1.3.2.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1c">T_{c}=\sqrt{-\frac{24m^{2}}{\lambda}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG - divide start_ARG 24 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math> is called the critical temperature, and we have ignored the two <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.2.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p3.2.2.m2.1a"><mi id="S5.SS1.p3.2.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p3.2.2.m2.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.2.2.m2.1b"><ci id="S5.SS1.p3.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.2.m2.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.2.2.m2.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.2.2.m2.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>-independent terms. Since <math alttext="m^{2}{<}0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1"><lt id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.1"></lt><apply id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.3.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1c">m^{2}{<}0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.3.3.m3.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < 0</annotation></semantics></math>, there is always a symmetry breaking for <math alttext="T{<}T_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.1.cmml"><</mo><msub id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1b"><apply id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1"><lt id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.1"></lt><ci id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.4.m4.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1c">T{<}T_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.4.4.m4.1d">italic_T < italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, but for <math alttext="T\geq T_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1"><semantics id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.1.cmml">≥</mo><msub id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1b"><apply id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1"><geq id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.1"></geq><ci id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.5.5.m5.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1c">T\geq T_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.5.5.m5.1d">italic_T ≥ italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, there can be no such thing. This indicates that a second-order phase transition can occur here. We have depicted the scenario in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F9" title="Figure 9 ‣ 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>.</span></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F9"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F9.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="188" id="S5.F9.sf1.g1" src="extracted/6295461/finite-temp-neg-mass.png" width="279"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F9.sf1.7.3.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F9.sf1.4.2" style="font-size:90%;">Symmetry breaking with the effective potential of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E46" title="In 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></a>. Here <math alttext="T_{c}\sim 14.77{\rm GeV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1"><semantics id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1b"><mrow id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.1" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.2.cmml">14.77</mn><mo id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.3.cmml">GeV</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1c"><apply id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3"><times id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.2">14.77</cn><ci id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F9.sf1.3.1.m1.1.1.3.3">GeV</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1d">T_{c}\sim 14.77{\rm GeV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F9.sf1.3.1.m1.1e">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∼ 14.77 roman_GeV</annotation></semantics></math> and <math alttext="T\sim 1{\rm GeV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1"><semantics id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1b"><mrow id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.2" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.1" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.1b" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.1c" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.5.cmml">V</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1c"><apply id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3"><times id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.3">G</ci><ci id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.4">e</ci><ci id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.5.cmml" xref="S5.F9.sf1.4.2.m2.1.1.3.5">V</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1d">T\sim 1{\rm GeV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F9.sf1.4.2.m2.1e">italic_T ∼ 1 roman_G roman_e roman_V</annotation></semantics></math>. </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F9.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="187" id="S5.F9.sf2.g1" src="extracted/6295461/finite-temp-neg-mass1.png" width="278"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F9.sf2.5.2.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F9.sf2.2.1" style="font-size:90%;">Symmetry restoration with <math alttext="T>T_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><msub id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1"><gt id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F9.sf2.2.1.m1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1d">T>T_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F9.sf2.2.1.m1.1e">italic_T > italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F9.5.2.1" style="font-size:90%;">Figure 9</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F9.2.1" style="font-size:90%;">Symmetry breaking and restoration of the thermal effective potential of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E46" title="In 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></a> in flat spacetime with <math alttext="m^{2}{<}0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F9.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F9.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F9.2.1.m1.1.1" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.F9.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.F9.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.F9.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F9.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F9.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1"><lt id="S5.F9.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.1"></lt><apply id="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.F9.2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F9.2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F9.2.1.m1.1d">m^{2}{<}0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F9.2.1.m1.1e">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < 0</annotation></semantics></math>. </span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p4.1.1">Let us now add the tree level curvature term <math alttext="\xi R\phi^{2}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">R</mi><mo id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.1a" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.2" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.3" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1"><divide id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.1"></divide><apply id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2"><times id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.2">𝜉</ci><ci id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.3">𝑅</ci><apply id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p4.1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1c">\xi R\phi^{2}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.1.1.m1.1d">italic_ξ italic_R italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2</annotation></semantics></math> to see if there is any modification to the above phenomenon. We have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx44"> <tbody id="S5.E47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff},\beta}=\frac{m^{2}\phi^{2}}{2}\left(1-\frac{T^{2}}{T% ^{2}_{c}}+\frac{\xi R}{m^{2}}\right)+\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E47.m1.3"><semantics id="S5.E47.m1.3a"><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.E47.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">V</mi><mrow id="S5.E47.m1.2.2.2.4" xref="S5.E47.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E47.m1.1.1.1.1" xref="S5.E47.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S5.E47.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.E47.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E47.m1.2.2.2.2" xref="S5.E47.m1.2.2.2.2.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><msubsup id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">T</mi><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">c</mi><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3a" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S5.E47.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E47.m1.3b"><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1"><eq id="S5.E47.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.3.2">𝑉</ci><list id="S5.E47.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E47.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.E47.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E47.m1.1.1.1.1">eff</ci><ci id="S5.E47.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E47.m1.2.2.2.2">𝛽</ci></list></apply><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></divide><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝑇</ci><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜉</ci><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑅</ci></apply><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3"><divide id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2"><times id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3"><factorial id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></factorial><cn id="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E47.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">4</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E47.m1.3c">\displaystyle V_{\rm{eff},\beta}=\frac{m^{2}\phi^{2}}{2}\left(1-\frac{T^{2}}{T% ^{2}_{c}}+\frac{\xi R}{m^{2}}\right)+\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E47.m1.3d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( 1 - divide start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_ξ italic_R end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(47)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p4.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p4.2.1">This indicates a new critical temperature, say <math alttext="T_{1c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1a"><msub id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3"><times id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.1.m1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1c">T_{1c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.2.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, given by</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx45"> <tbody id="S5.E48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle T_{1c}=\left(1+\frac{\xi R}{m^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}T_{c}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E48.m1.1"><semantics id="S5.E48.m1.1a"><mrow id="S5.E48.m1.1.1.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E48.m1.1.1.1.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><mo id="S5.E48.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.E48.m1.1.1.1.2" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E48.m1.1b"><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1"><eq id="S5.E48.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn><ci id="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜉</ci><ci id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑅</ci></apply><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E48.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E48.m1.1c">\displaystyle T_{1c}=\left(1+\frac{\xi R}{m^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}T_{c},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E48.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_c end_POSTSUBSCRIPT = ( 1 + divide start_ARG italic_ξ italic_R end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(48)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p4.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p4.3.1">showing that for <math alttext="\xi R{>}0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.3.cmml">R</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1"><gt id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.1"></gt><apply id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2"><times id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.2">𝜉</ci><ci id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.2.3">𝑅</ci></apply><cn id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p4.3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1c">\xi R{>}0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.3.1.m1.1d">italic_ξ italic_R > 0</annotation></semantics></math>, a reduction in the value of the critical temperature and an increment for the opposite sign.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p5.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p5.1.1">At one loop, for <math alttext="\beta\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1"><ci id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.2">𝛽</ci><cn id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p5.1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1c">\beta\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p5.1.1.m1.1d">italic_β → 0</annotation></semantics></math>, we get after keeping only terms linear in the spacetime curvature,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx46"> <tbody id="S5.E49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff,\beta}}=\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{m^{2}\phi^{2% }}{2}\left[1-\frac{T^{2}}{T^{2}_{c}}+\frac{\xi R}{m^{2}}-\frac{3\lambda}{64\pi% ^{2}}-0.732\times\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\lambda}{16\pi^{2}m^{2}}% \right]." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E49.m1.4"><semantics id="S5.E49.m1.4a"><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S5.E49.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">V</mi><mrow id="S5.E49.m1.2.2.2.4" xref="S5.E49.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E49.m1.1.1.1.1" xref="S5.E49.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S5.E49.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.E49.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E49.m1.2.2.2.2" xref="S5.E49.m1.2.2.2.2.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3a" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">T</mi><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><msubsup id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">T</mi><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">c</mi><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">64</mn><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">0.732</mn><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">×</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E49.m1.3.3" xref="S5.E49.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S5.E49.m1.3.3a" xref="S5.E49.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.3.3.1" xref="S5.E49.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E49.m1.3.3.1.2" xref="S5.E49.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E49.m1.3.3.1.3" xref="S5.E49.m1.3.3.1.3.cmml">R</mi><mo id="S5.E49.m1.3.3.1.2a" xref="S5.E49.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E49.m1.3.3.1.4" xref="S5.E49.m1.3.3.1.4.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S5.E49.m1.3.3.3" xref="S5.E49.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S5.E49.m1.3.3.3.2" xref="S5.E49.m1.3.3.3.2.cmml">16</mn><mo id="S5.E49.m1.3.3.3.1" xref="S5.E49.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E49.m1.3.3.3.3" xref="S5.E49.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E49.m1.3.3.3.3.2" xref="S5.E49.m1.3.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S5.E49.m1.3.3.3.3.3" xref="S5.E49.m1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E49.m1.3.3.3.1a" xref="S5.E49.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E49.m1.3.3.3.4" xref="S5.E49.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S5.E49.m1.3.3.3.4.2" xref="S5.E49.m1.3.3.3.4.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E49.m1.3.3.3.4.3" xref="S5.E49.m1.3.3.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E49.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E49.m1.4b"><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1"><eq id="S5.E49.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.3.2">𝑉</ci><list id="S5.E49.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E49.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.E49.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E49.m1.1.1.1.1">eff</ci><ci id="S5.E49.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E49.m1.2.2.2.2">𝛽</ci></list></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1"><plus id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3"><divide id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2"><times id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3"><factorial id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.1"></factorial><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.3.3.2">4</cn></apply></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><minus id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></minus><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑇</ci><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑇</ci><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></divide><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝜉</ci><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑅</ci></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">3</cn><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">64</cn><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><cn id="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="float" xref="S5.E49.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2">0.732</cn><apply id="S5.E49.m1.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3"><divide id="S5.E49.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3"></divide><apply id="S5.E49.m1.3.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1"><times id="S5.E49.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2"><divide id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S5.E49.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1.3">𝑅</ci><ci id="S5.E49.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.1.4">𝜆</ci></apply><apply id="S5.E49.m1.3.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.3"><times id="S5.E49.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.3.1"></times><cn id="S5.E49.m1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.3.3.3.2">16</cn><apply id="S5.E49.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S5.E49.m1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.3.3.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E49.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E49.m1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.E49.m1.3.3.3.4.2.cmml" xref="S5.E49.m1.3.3.3.4.2">𝑚</ci><cn id="S5.E49.m1.3.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.E49.m1.3.3.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E49.m1.4c">\displaystyle V_{\rm{eff,\beta}}=\frac{\lambda\phi^{4}}{4!}+\frac{m^{2}\phi^{2% }}{2}\left[1-\frac{T^{2}}{T^{2}_{c}}+\frac{\xi R}{m^{2}}-\frac{3\lambda}{64\pi% ^{2}}-0.732\times\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\lambda}{16\pi^{2}m^{2}}% \right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E49.m1.4d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG [ 1 - divide start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_ξ italic_R end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 3 italic_λ end_ARG start_ARG 64 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - 0.732 × divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R italic_λ end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(49)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p5.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p5.4.1">Now the critical temperature reads</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx47"> <tbody id="S5.E50"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle T_{1c}=\left[1+\frac{\xi R}{m^{2}}-\frac{3\lambda}{64\pi^{2}}-0.% 732\times\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\lambda}{16\pi^{2}m^{2}}\right]^{% \frac{1}{2}}T_{c}." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E50.m1.2"><semantics id="S5.E50.m1.2a"><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">64</mn><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">0.732</mn><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">×</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E50.m1.1.1" xref="S5.E50.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E50.m1.1.1a" xref="S5.E50.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E50.m1.1.1.1" xref="S5.E50.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E50.m1.1.1.1.2" xref="S5.E50.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E50.m1.1.1.1.3" xref="S5.E50.m1.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S5.E50.m1.1.1.1.2a" xref="S5.E50.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E50.m1.1.1.1.4" xref="S5.E50.m1.1.1.1.4.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S5.E50.m1.1.1.3" xref="S5.E50.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E50.m1.1.1.3.2" xref="S5.E50.m1.1.1.3.2.cmml">16</mn><mo id="S5.E50.m1.1.1.3.1" xref="S5.E50.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E50.m1.1.1.3.3" xref="S5.E50.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E50.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.E50.m1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S5.E50.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.E50.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E50.m1.1.1.3.1a" xref="S5.E50.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E50.m1.1.1.3.4" xref="S5.E50.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.E50.m1.1.1.3.4.2" xref="S5.E50.m1.1.1.3.4.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E50.m1.1.1.3.4.3" xref="S5.E50.m1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mfrac id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.E50.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E50.m1.2b"><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1"><eq id="S5.E50.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3"><times id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.2">1</cn><ci id="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1"><times id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><cn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" 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xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">3</cn><ci id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">64</cn><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><cn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="float" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2">0.732</cn><apply id="S5.E50.m1.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1"><divide id="S5.E50.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1"></divide><apply id="S5.E50.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1"><times id="S5.E50.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S5.E50.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1.3">𝑅</ci><ci id="S5.E50.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.1.4">𝜆</ci></apply><apply id="S5.E50.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.3"><times id="S5.E50.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.E50.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.1.1.3.2">16</cn><apply id="S5.E50.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E50.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E50.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S5.E50.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E50.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E50.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.E50.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.E50.m1.1.1.3.4.2">𝑚</ci><cn id="S5.E50.m1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E50.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E50.m1.2c">\displaystyle T_{1c}=\left[1+\frac{\xi R}{m^{2}}-\frac{3\lambda}{64\pi^{2}}-0.% 732\times\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\lambda}{16\pi^{2}m^{2}}\right]^{% \frac{1}{2}}T_{c}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E50.m1.2d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_c end_POSTSUBSCRIPT = [ 1 + divide start_ARG italic_ξ italic_R end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 3 italic_λ end_ARG start_ARG 64 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - 0.732 × divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R italic_λ end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(50)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p5.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p5.3.2">For the de Sitter spacetime, <math alttext="(R=4\Lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">Λ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1"><eq id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.2">4</cn><ci id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p5.2.1.m1.1.1.1.1.3.3">Λ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1c">(R=4\Lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p5.2.1.m1.1d">( italic_R = 4 roman_Λ )</annotation></semantics></math>, we have plotted the variation of <math alttext="T_{1c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1a"><msub id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3"><times id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p5.3.2.m2.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1c">T_{1c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p5.3.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with respect to the quartic coupling in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F10" title="Figure 10 ‣ 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>.</span></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F10"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="217" id="S5.F10.1.g1" src="extracted/6295461/critical-temp.png" width="283"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F10.10.4.1" style="font-size:90%;">Figure 10</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F10.7.6.3" style="font-size:90%;">Variation of the effective critical temperature with respect to <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F10.5.4.1.m1.1"><semantics id="S5.F10.5.4.1.m1.1b"><mi id="S5.F10.5.4.1.m1.1.1" xref="S5.F10.5.4.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F10.5.4.1.m1.1c"><ci id="S5.F10.5.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F10.5.4.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F10.5.4.1.m1.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F10.5.4.1.m1.1e">italic_λ</annotation></semantics></math>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E50" title="In 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">50</span></a> in the de Sitter spacetime. We have taken <math alttext="\xi\sim 0.125" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F10.6.5.2.m2.1"><semantics id="S5.F10.6.5.2.m2.1b"><mrow id="S5.F10.6.5.2.m2.1.1" xref="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.2" xref="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.1" xref="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.1.cmml">∼</mo><mn id="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.3" xref="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.3.cmml">0.125</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F10.6.5.2.m2.1c"><apply id="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F10.6.5.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F10.6.5.2.m2.1.1.3">0.125</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F10.6.5.2.m2.1d">\xi\sim 0.125</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F10.6.5.2.m2.1e">italic_ξ ∼ 0.125</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Lambda\sim 30{\rm GeV}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F10.7.6.3.m3.1"><semantics id="S5.F10.7.6.3.m3.1b"><mrow id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.1" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.2.cmml">30</mn><mo id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.1" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.1b" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.1c" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.2.cmml">V</mi><mn id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.3" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F10.7.6.3.m3.1c"><apply id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.2">Λ</ci><apply id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3"><times id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.1"></times><cn id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.2">30</cn><ci id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.3">G</ci><ci id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.4">e</ci><apply id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.2">V</ci><cn id="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.F10.7.6.3.m3.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F10.7.6.3.m3.1d">\Lambda\sim 30{\rm GeV}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F10.7.6.3.m3.1e">roman_Λ ∼ 30 roman_G roman_e roman_V start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p6.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p6.1.1">This completes our brief discussion on the case of negative rest mass squired of the scalar field. We wish to discuss below the usual case when <math alttext="m^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1a"><msup id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1c">m^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p6.1.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is positive. <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p7.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S5.SS1.p7.1.1"><math alttext="m^{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1"><gt id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.1"></gt><apply id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p7.1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1c">m^{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p7.1.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> case :</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p8.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.1">Since </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E36" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.2"> is essentially a high temperature expansion, and we are not setting the mass scale to be equal to </span><math alttext="\beta^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p8.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p8.1.m1.1a"><msup id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml">β</mi><mrow id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3a" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p8.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3"><minus id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3"></minus><cn id="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p8.1.m1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p8.1.m1.1c">\beta^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p8.1.m1.1d">italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.3">, we will ignore the zero temperature part in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E36" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.4">. In particular, we have explicitly verified that even if we keep them, they bring in no qualitative changes to the symmetry restoration phenomenon at high temperature. Also, in the finite temperature part of the effective action, we have not included the odd power terms of </span><math alttext="m_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p8.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p8.2.m2.1a"><msub id="S5.SS1.p8.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p8.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p8.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p8.2.m2.1c">m_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p8.2.m2.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.5">, as they originate from the zero mode fluctuations (i.e. the </span><math alttext="n=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p8.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p8.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p8.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p8.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p8.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p8.3.m3.1c">n=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p8.3.m3.1d">italic_n = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.6"> term in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E29" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.7">). We refer our reader to </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.8.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib74" title="">74</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.9.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.10"> and references therein in this context. Nevertheless, we also have explicitly verified that for </span><math alttext="\bar{\eta}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p8.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p8.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.1" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.1" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p8.4.m4.1b"><apply id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1"><eq id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2"><ci id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.2.2">𝜂</ci></apply><cn id="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p8.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p8.4.m4.1c">\bar{\eta}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p8.4.m4.1d">over¯ start_ARG italic_η end_ARG = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p8.4.11">, inclusion of such terms does not alter any qualitative feature of the symmetry restoration phenomenon.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p9"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p9.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p9.2.1">Let us accordingly begin with the thermal effective potential with zero background spacetime curvature found from <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E36" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx48"> <tbody id="S5.Ex37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{V_{\rm{eff},\beta}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{% \bar{\eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\left[\frac{% \frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}{24m^{2}\beta^{2}}-0.001% \times\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right% )+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}\right% )\ln{\left((m\beta)^{2}\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)\right)}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex37.m1.3"><semantics id="S5.Ex37.m1.3a"><mrow id="S5.Ex37.m1.3b"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.2.2"><mfrac id="S5.Ex37.m1.2.2a"><msub id="S5.Ex37.m1.2.2.2"><mi id="S5.Ex37.m1.2.2.2.4">V</mi><mrow id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.2.4"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1">eff</mi><mo id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.2.2">β</mi></mrow></msub><msup id="S5.Ex37.m1.2.2.4"><mi id="S5.Ex37.m1.2.2.4.2">m</mi><mn id="S5.Ex37.m1.2.2.4.3">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex37.m1.3.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.3.5"><mfrac id="S5.Ex37.m1.3.5a"><msup id="S5.Ex37.m1.3.5.2"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.5.2.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.5.2.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.5.2.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.3.5.2.3">2</mn></msup><mn id="S5.Ex37.m1.3.5.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex37.m1.3.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.3.7"><mfrac id="S5.Ex37.m1.3.7a"><mrow id="S5.Ex37.m1.3.7.2"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.7.2.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.7.2.2.2">η</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.7.2.2.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex37.m1.3.7.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex37.m1.3.7.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.7.2.3.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.7.2.3.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.7.2.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.3.7.2.3.3">3</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex37.m1.3.7.3"><mn id="S5.Ex37.m1.3.7.3.2">3</mn><mo id="S5.Ex37.m1.3.7.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex37.m1.3.8">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.3.9"><mfrac id="S5.Ex37.m1.3.9a"><mrow id="S5.Ex37.m1.3.9.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.9.2.2">λ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.9.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex37.m1.3.9.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.9.2.3.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.9.2.3.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.9.2.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.3.9.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex37.m1.3.9.3"><mn id="S5.Ex37.m1.3.9.3.2">4</mn><mo id="S5.Ex37.m1.3.9.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex37.m1.3.10">+</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11"><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.1">[</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.2"><mfrac id="S5.Ex37.m1.3.11.2a"><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2"><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2"><mfrac id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.2"><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.2.3">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.3">λ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.4.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.2.4.3">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.1">+</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.3.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.3.2.2">η</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.3.2.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.3.1">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.3.3"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.3.3.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.2.3.3.1">¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3"><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.2">24</mn><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.3"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.3.2">m</mi><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.3.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.4"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.4.2">β</mi><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.2.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.3">−</mo><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.4">0.001</mn><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.5" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.6"><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.1">(</mo><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.6.2">2</mn><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3"><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.2"><mfrac id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.2a"><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.3">λ</mi><msup id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.4.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.6"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.7"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.4">+</mo><msup id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5"><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2"><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.2a"><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.6"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.7"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.6.5.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.6.6" rspace="0.167em">)</mo></mrow><mi id="S5.Ex37.m1.3.3">ln</mi><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.7"><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.1">(</mo><msup id="S5.Ex37.m1.3.11.7.2"><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.7.2.2"><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.7.2.2.2">m</mi><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.7.2.2.3">β</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.2.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.7.2.3">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3"><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.1">(</mo><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.2">1</mn><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.3">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.4"><mfrac id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.4a"><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.4.2">1</mn><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.4.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.5">λ</mi><msup id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.6"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.6.2"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.6.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.6.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.6.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.7">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.8"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.8.2">η</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.8.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.9"><mi id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.9.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.9.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.3.10">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.3.11.7.4">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex37.m1.3c">\displaystyle\frac{V_{\rm{eff},\beta}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{% \bar{\eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\left[\frac{% \frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}{24m^{2}\beta^{2}}-0.001% \times\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right% )+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}\right% )\ln{\left((m\beta)^{2}\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)\right)}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex37.m1.3d">divide start_ARG italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + divide start_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + [ divide start_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG end_ARG start_ARG 24 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - 0.001 × ( 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) roman_ln ( ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+0.00004\times(m\beta)^{2}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex38.m1.2"><semantics id="S5.Ex38.m1.2a"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.2.2a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.cmml">0.00004</mn><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.4a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex38.m1.2b"><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2"><plus 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id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝜆</ci><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" 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id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.2.cmml">4.37</mn><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.1.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.3a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.3.2.cmml">8</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.3a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">6</mn><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.5" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.5a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.5b" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml"><mn 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xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex39.m1.2b"><apply id="S5.Ex39.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2"><minus id="S5.Ex39.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2"></minus><apply id="S5.Ex39.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2"><times id="S5.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4"><times id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.1"></times><cn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.2">4.37</cn><apply id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.3">𝜆</ci><apply id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.3.cmml" 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alttext="\displaystyle\left.+5.38\times 10^{-10}(m\beta)^{6}\left(5\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+10\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+10\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}+5\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^% {2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{5}\right)\right]," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex40.m1.1"><semantics id="S5.Ex40.m1.1a"><mrow id="S5.Ex40.m1.1b"><mo id="S5.Ex40.m1.1.1">+</mo><mn id="S5.Ex40.m1.1.2">5.38</mn><mo id="S5.Ex40.m1.1.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex40.m1.1.4"><mn id="S5.Ex40.m1.1.4.2">10</mn><mrow id="S5.Ex40.m1.1.4.3"><mo id="S5.Ex40.m1.1.4.3a">−</mo><mn id="S5.Ex40.m1.1.4.3.2">10</mn></mrow></msup><msup id="S5.Ex40.m1.1.5"><mrow id="S5.Ex40.m1.1.5.2"><mo id="S5.Ex40.m1.1.5.2.1" stretchy="false">(</mo><mi 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id="S5.Ex40.m1.1.6.12.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex40.m1.1.6.12.3">4</mn></msup><mo id="S5.Ex40.m1.1.6.13">+</mo><msup id="S5.Ex40.m1.1.6.14"><mrow id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2"><mo id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.2"><mfrac id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.2a"><mn id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.4.2"><mi id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.6"><mi id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.7"><mi id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex40.m1.1.6.14.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex40.m1.1.6.14.3">5</mn></msup><mo id="S5.Ex40.m1.1.6.15">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.1.7">]</mo><mo id="S5.Ex40.m1.1.8">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex40.m1.1c">\displaystyle\left.+5.38\times 10^{-10}(m\beta)^{6}\left(5\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+10\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+10\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}+5\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^% {2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{5}\right)\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex40.m1.1d">+ 5.38 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 10 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT ( 5 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 10 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 10 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + 5 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="0"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(51)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p9.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p9.1.1">which we have plotted in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F11" title="Figure 11 ‣ 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>, ignoring the <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p9.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p9.1.1.m1.1a"><mi id="S5.SS1.p9.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p9.1.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p9.1.1.m1.1b"><ci id="S5.SS1.p9.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p9.1.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p9.1.1.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p9.1.1.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>-independent finite terms. Comparing this with <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F3" title="Figure 3 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> for zero temperature, we see no qualitative changes. This is expected, as if there is no symmetry breaking at zero temperature, one usually does not expect the same at finite temperature.</span></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F11"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F11.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="137" id="S5.F11.sf1.g1" src="extracted/6295461/finite-temp-flat-cubic.png" width="207"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F11.sf1.7.2.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F11.sf1.2.1" style="font-size:90%;">One loop <math alttext="\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1"><plus id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2"><times id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3"><times id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F11.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1d">\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F11.sf1.2.1.m1.1e">italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interaction </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F11.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="137" id="S5.F11.sf2.g1" src="extracted/6295461/finite-temp-flat-quad.png" width="207"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F11.sf2.7.2.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F11.sf2.2.1" style="font-size:90%;">One loop <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1"><times id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F11.sf2.2.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F11.sf2.2.1.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interaction</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F11.7.3.1" style="font-size:90%;">Figure 11</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F11.4.2" style="font-size:90%;">Plot of the effective potential at finite temperature <math alttext="(\beta=10^{-5}\rm{GeV^{-1}},\eta=0.447,\lambda=0.1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F11.3.1.m1.1"><semantics id="S5.F11.3.1.m1.1b"><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1"><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3b" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">5</mn></mrow></msup><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">GeV</mi><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3b" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">0.447</mn></mrow><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">0.1</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F11.3.1.m1.1c"><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><cn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">10</cn><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">5</cn></apply></apply><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">GeV</ci><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">0.447</cn></apply><apply id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></eq><ci id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="float" xref="S5.F11.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">0.1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F11.3.1.m1.1d">(\beta=10^{-5}\rm{GeV^{-1}},\eta=0.447,\lambda=0.1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F11.3.1.m1.1e">( italic_β = 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 5 end_POSTSUPERSCRIPT roman_GeV start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_η = 0.447 , italic_λ = 0.1 )</annotation></semantics></math> with vanishing background curvature, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E51" title="In 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">51</span></a>. We have not considered finite terms independent of <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F11.4.2.m2.1"><semantics id="S5.F11.4.2.m2.1b"><mi id="S5.F11.4.2.m2.1.1" xref="S5.F11.4.2.m2.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F11.4.2.m2.1c"><ci id="S5.F11.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F11.4.2.m2.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F11.4.2.m2.1d">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F11.4.2.m2.1e">italic_ϕ</annotation></semantics></math>. See main text for discussion.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p10"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p10.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p10.2.1">For the Schwarzschild spacetime, we have from </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E36" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p10.2.2"></span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx49"> <tbody id="S5.Ex41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{V_{\rm{eff},\beta}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{% \bar{\eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\left[\frac{1}{% 24}\frac{\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}{m^{2}\beta^{2}% }-0.001\times\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi% }\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2% }\right)\ln\left((m\beta)^{2}\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{% \eta}\bar{\phi}\right)\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex41.m1.3"><semantics id="S5.Ex41.m1.3a"><mrow id="S5.Ex41.m1.3b"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.2.2"><mfrac id="S5.Ex41.m1.2.2a"><msub id="S5.Ex41.m1.2.2.2"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.4">V</mi><mrow id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.4"><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1">eff</mi><mo id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2">β</mi></mrow></msub><msup id="S5.Ex41.m1.2.2.4"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.4.2">m</mi><mn id="S5.Ex41.m1.2.2.4.3">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex41.m1.3.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.5"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.5a"><msup id="S5.Ex41.m1.3.5.2"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.5.2.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.5.2.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.5.2.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.3.5.2.3">2</mn></msup><mn id="S5.Ex41.m1.3.5.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex41.m1.3.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.7"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.7a"><mrow id="S5.Ex41.m1.3.7.2"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.7.2.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.7.2.2.2">η</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.7.2.2.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex41.m1.3.7.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex41.m1.3.7.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.7.2.3.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.7.2.3.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.7.2.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.3.7.2.3.3">3</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex41.m1.3.7.3"><mn id="S5.Ex41.m1.3.7.3.2">3</mn><mo id="S5.Ex41.m1.3.7.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex41.m1.3.8">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.9"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.9a"><mrow id="S5.Ex41.m1.3.9.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.9.2.2">λ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.9.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex41.m1.3.9.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.9.2.3.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.9.2.3.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.9.2.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.3.9.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex41.m1.3.9.3"><mn id="S5.Ex41.m1.3.9.3.2">4</mn><mo id="S5.Ex41.m1.3.9.3.1">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex41.m1.3.10">+</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11"><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.1">[</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.2"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.11.2a"><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.2.3">24</mn></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.3"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.11.3a"><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2"><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.2"><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.2.3">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.3">λ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.4.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.2.4.3">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.1">+</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.3.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.3.2.2">η</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.3.2.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.3.1">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.3.3"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.3.3.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.3.2.3.3.1">¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.3.3"><msup id="S5.Ex41.m1.3.11.3.3.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.3.3.2.2">m</mi><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.3.3.2.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.3.3.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex41.m1.3.11.3.3.3"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.3.3.3.2">β</mi><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.3.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.4">−</mo><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.5">0.001</mn><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.6" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.7"><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.1">(</mo><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.7.2">2</mn><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3"><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.2"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.2a"><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.3">λ</mi><msup id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.4.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.6"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.7"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.4">+</mo><msup id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5"><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2"><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.2a"><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.6"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.7"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.7.5.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.7.6" rspace="0.167em">)</mo></mrow><mi id="S5.Ex41.m1.3.3">ln</mi><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.8"><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.1">(</mo><msup id="S5.Ex41.m1.3.11.8.2"><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.8.2.2"><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.8.2.2.2">m</mi><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.8.2.2.3">β</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.2.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.8.2.3">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3"><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.1">(</mo><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.2">1</mn><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.3">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.4"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.4a"><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.4.2">1</mn><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.4.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.5">λ</mi><msup id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.6"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.6.2"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.6.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.6.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.6.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.7">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.8"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.8.2">η</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.8.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.9"><mi id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.9.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.9.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.3.10">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.3.11.8.4">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex41.m1.3c">\displaystyle\frac{V_{\rm{eff},\beta}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{% \bar{\eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\left[\frac{1}{% 24}\frac{\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}}{m^{2}\beta^{2}% }-0.001\times\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi% }\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2% }\right)\ln\left((m\beta)^{2}\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{% \eta}\bar{\phi}\right)\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex41.m1.3d">divide start_ARG italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + divide start_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + [ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 24 end_ARG divide start_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - 0.001 × ( 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) roman_ln ( ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+0.00004\times(m\beta)^{2}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex42.m1.2"><semantics id="S5.Ex42.m1.2a"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.2.2a" xref="S5.Ex42.m1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.cmml">0.00004</mn><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.4a" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1" 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id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3"><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex42.m1.2c">\displaystyle\left.+0.00004\times(m\beta)^{2}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex42.m1.2d">+ 0.00004 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.-4.37\times 10^{-8}(m\beta)^{4}\left(6\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+4\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+4\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{4}\right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex43.m1.2"><semantics id="S5.Ex43.m1.2a"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.2.2a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.2.cmml">4.37</mn><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.1.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.3a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.3.2.cmml">8</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.3a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">6</mn><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.5" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.5a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.5b" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.1" 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id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.4.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex43.m1.2b"><apply id="S5.Ex43.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.2"><minus id="S5.Ex43.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.2"></minus><apply id="S5.Ex43.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2"><times id="S5.Ex43.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4"><times id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.1"></times><cn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.2">4.37</cn><apply id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3">superscript</csymbol><cn id="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.2.2.2.4.3.2">10</cn><apply 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id="S5.Ex44.m1.1.6.3.2"><mfrac id="S5.Ex44.m1.1.6.3.2a"><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.3.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.3.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.3.3">λ</mi><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.3.4.2"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.3.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.3.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.3.6"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.3.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.3.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.3.7"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.3.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.3.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.4">+</mo><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.5">10</mn><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.6"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2"><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.2"><mfrac id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.2a"><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.4.2"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.6"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.7"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.6.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.6.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.7">+</mo><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.8">10</mn><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.9"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2"><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.2"><mfrac id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.2a"><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.4.2"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.6"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.7"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.9.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.9.3">3</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.10">+</mo><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.11">5</mn><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.12"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2"><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.2"><mfrac id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.2a"><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.4.2"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.6"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.7"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.12.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.12.3">4</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.13">+</mo><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.14"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2"><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.2"><mfrac id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.2a"><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.4.2"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.6"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.7"><mi id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.14.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex44.m1.1.6.14.3">5</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.6.15">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.7">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex44.m1.1c">\displaystyle\left.+5.38\times 10^{-10}(m\beta)^{6}\left(5\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+10\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+10\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}+5\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^% {2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{5}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex44.m1.1d">+ 5.38 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 10 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT ( 5 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 10 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 10 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + 5 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{0.0002}{m^{4}G^{4}M^{4}}\left[-0.003\times(m\beta)^{2}% \left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+0.00004% \times(m\beta)^{4}\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}% \right)^{2}\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex45.m1.1"><semantics id="S5.Ex45.m1.1a"><mrow id="S5.Ex45.m1.1b"><mo id="S5.Ex45.m1.1.1">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex45.m1.1.2"><mfrac id="S5.Ex45.m1.1.2a"><mn id="S5.Ex45.m1.1.2.2">0.0002</mn><mrow id="S5.Ex45.m1.1.2.3"><msup id="S5.Ex45.m1.1.2.3.2"><mi id="S5.Ex45.m1.1.2.3.2.2">m</mi><mn id="S5.Ex45.m1.1.2.3.2.3">4</mn></msup><mo id="S5.Ex45.m1.1.2.3.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex45.m1.1.2.3.3"><mi id="S5.Ex45.m1.1.2.3.3.2">G</mi><mn id="S5.Ex45.m1.1.2.3.3.3">4</mn></msup><mo id="S5.Ex45.m1.1.2.3.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex45.m1.1.2.3.4"><mi id="S5.Ex45.m1.1.2.3.4.2">M</mi><mn id="S5.Ex45.m1.1.2.3.4.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S5.Ex45.m1.1.3"><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.1">[</mo><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.2" lspace="0em">−</mo><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.3">0.003</mn><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.4" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex45.m1.1.3.5"><mrow id="S5.Ex45.m1.1.3.5.2"><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.5.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.5.2.2">m</mi><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.5.2.3">β</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.5.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.5.3">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex45.m1.1.3.6"><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.6.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.6.2"><mfrac id="S5.Ex45.m1.1.3.6.2a"><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.6.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.6.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.6.3">λ</mi><msup id="S5.Ex45.m1.1.3.6.4"><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.6.4.2"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.6.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.6.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.6.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.6.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.6.6"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.6.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.6.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.6.7"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.6.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.6.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.6.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.7">+</mo><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.8">0.00004</mn><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.9" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex45.m1.1.3.10"><mrow id="S5.Ex45.m1.1.3.10.2"><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.10.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.10.2.2">m</mi><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.10.2.3">β</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.10.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.10.3">4</mn></msup><mrow id="S5.Ex45.m1.1.3.11"><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.1">(</mo><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.11.2">2</mn><mrow id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3"><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.2"><mfrac id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.2a"><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.3">λ</mi><msup id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.4.2"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.6"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.7"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.4">+</mo><msup id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5"><mrow id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2"><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.2a"><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.2.2">1</mn><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.3">λ</mi><msup id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.6"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.6.2">η</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.7"><mi id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex45.m1.1.3.11.5.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex45.m1.1.3.11.6">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex45.m1.1c">\displaystyle-\frac{0.0002}{m^{4}G^{4}M^{4}}\left[-0.003\times(m\beta)^{2}% \left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+0.00004% \times(m\beta)^{4}\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}% \right)^{2}\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex45.m1.1d">- divide start_ARG 0.0002 end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_G start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ - 0.003 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 0.00004 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+0.00001\times(m\beta)^{6}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right]," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.E52.m1.1"><semantics id="S5.E52.m1.1a"><mrow id="S5.E52.m1.1b"><mo id="S5.E52.m1.1.1">+</mo><mn id="S5.E52.m1.1.2">0.00001</mn><mo id="S5.E52.m1.1.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.E52.m1.1.4"><mrow id="S5.E52.m1.1.4.2"><mo id="S5.E52.m1.1.4.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S5.E52.m1.1.4.2.2">m</mi><mi id="S5.E52.m1.1.4.2.3">β</mi><mo id="S5.E52.m1.1.4.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S5.E52.m1.1.4.3">6</mn></msup><mrow id="S5.E52.m1.1.5"><mo id="S5.E52.m1.1.5.1">(</mo><mn id="S5.E52.m1.1.5.2">3</mn><mrow id="S5.E52.m1.1.5.3"><mo id="S5.E52.m1.1.5.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E52.m1.1.5.3.2"><mfrac id="S5.E52.m1.1.5.3.2a"><mn id="S5.E52.m1.1.5.3.2.2">1</mn><mn id="S5.E52.m1.1.5.3.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.E52.m1.1.5.3.3">λ</mi><msup id="S5.E52.m1.1.5.3.4"><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.3.4.2"><mi id="S5.E52.m1.1.5.3.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.3.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.E52.m1.1.5.3.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.E52.m1.1.5.3.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.3.6"><mi id="S5.E52.m1.1.5.3.6.2">η</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.3.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.3.7"><mi id="S5.E52.m1.1.5.3.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.3.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.E52.m1.1.5.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.E52.m1.1.5.4">+</mo><mn id="S5.E52.m1.1.5.5">3</mn><msup id="S5.E52.m1.1.5.6"><mrow id="S5.E52.m1.1.5.6.2"><mo id="S5.E52.m1.1.5.6.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E52.m1.1.5.6.2.2"><mfrac id="S5.E52.m1.1.5.6.2.2a"><mn id="S5.E52.m1.1.5.6.2.2.2">1</mn><mn id="S5.E52.m1.1.5.6.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.E52.m1.1.5.6.2.3">λ</mi><msup id="S5.E52.m1.1.5.6.2.4"><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.6.2.4.2"><mi id="S5.E52.m1.1.5.6.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.6.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.E52.m1.1.5.6.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.E52.m1.1.5.6.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.6.2.6"><mi id="S5.E52.m1.1.5.6.2.6.2">η</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.6.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.6.2.7"><mi id="S5.E52.m1.1.5.6.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.6.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.E52.m1.1.5.6.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.E52.m1.1.5.6.3">2</mn></msup><mo id="S5.E52.m1.1.5.7">+</mo><msup id="S5.E52.m1.1.5.8"><mrow id="S5.E52.m1.1.5.8.2"><mo id="S5.E52.m1.1.5.8.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E52.m1.1.5.8.2.2"><mfrac id="S5.E52.m1.1.5.8.2.2a"><mn id="S5.E52.m1.1.5.8.2.2.2">1</mn><mn id="S5.E52.m1.1.5.8.2.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.E52.m1.1.5.8.2.3">λ</mi><msup id="S5.E52.m1.1.5.8.2.4"><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.8.2.4.2"><mi id="S5.E52.m1.1.5.8.2.4.2.2">ϕ</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.8.2.4.2.1">¯</mo></mover><mn id="S5.E52.m1.1.5.8.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S5.E52.m1.1.5.8.2.5">+</mo><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.8.2.6"><mi id="S5.E52.m1.1.5.8.2.6.2">η</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.8.2.6.1">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.E52.m1.1.5.8.2.7"><mi id="S5.E52.m1.1.5.8.2.7.2">ϕ</mi><mo id="S5.E52.m1.1.5.8.2.7.1">¯</mo></mover><mo id="S5.E52.m1.1.5.8.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.E52.m1.1.5.8.3">3</mn></msup><mo id="S5.E52.m1.1.5.9">)</mo></mrow><mo id="S5.E52.m1.1.6">]</mo><mo id="S5.E52.m1.1.7">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E52.m1.1c">\displaystyle\left.+0.00001\times(m\beta)^{6}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E52.m1.1d">+ 0.00001 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT ( 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(52)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p10.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p10.1.1">which we have plotted in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F12" title="Figure 12 ‣ 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p10.1.2"> for </span><math alttext="GM\sim 10^{2}{\rm m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p10.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p10.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">10</mn><mn id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p10.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2"><times id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3"><times id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><cn id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.2">10</cn><cn id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p10.1.m1.1.1.3.3">m</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p10.1.m1.1c">GM\sim 10^{2}{\rm m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p10.1.m1.1d">italic_G italic_M ∼ 10 start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_m</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p10.1.3">. Comparing them with the results of </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5" title="5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p10.1.4">, we see, expectedly, no qualitatively new feature is added. </span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p11"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p11.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p11.4.1">Finally, for the de Sitter spacetime, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx50"> <tbody id="S5.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{V_{\rm{eff},\beta}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{% \bar{\eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\frac{2\xi% \Lambda\bar{\phi}^{2}}{m^{2}}+\left[\frac{\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}}{24m^{2}\beta^{2}}-0.001\times\left(2\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar% {\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}\right)\ln\left((m\beta)^{2}\left(1+% \frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex46.m1.3"><semantics id="S5.Ex46.m1.3a"><mrow id="S5.Ex46.m1.3b"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.2.2"><mfrac id="S5.Ex46.m1.2.2a"><msub id="S5.Ex46.m1.2.2.2"><mi id="S5.Ex46.m1.2.2.2.4" mathsize="90%">V</mi><mrow id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.2.4"><mi id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%">eff</mi><mo id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.2.4.1" mathsize="90%">,</mo><mi id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%">β</mi></mrow></msub><msup id="S5.Ex46.m1.2.2.4"><mi id="S5.Ex46.m1.2.2.4.2" mathsize="90%">m</mi><mn id="S5.Ex46.m1.2.2.4.3" mathsize="90%">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex46.m1.3.4" mathsize="90%">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.5"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.5a"><msup id="S5.Ex46.m1.3.5.2"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.5.2.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.5.2.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.5.2.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex46.m1.3.5.2.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mn id="S5.Ex46.m1.3.5.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex46.m1.3.6" mathsize="90%">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.7"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.7a"><mrow id="S5.Ex46.m1.3.7.2"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.7.2.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.7.2.2.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.7.2.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex46.m1.3.7.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex46.m1.3.7.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.7.2.3.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.7.2.3.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.7.2.3.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex46.m1.3.7.2.3.3" mathsize="90%">3</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex46.m1.3.7.3"><mn id="S5.Ex46.m1.3.7.3.2" mathsize="90%">3</mn><mo id="S5.Ex46.m1.3.7.3.1" mathsize="90%">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex46.m1.3.8" mathsize="90%">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.9"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.9a"><mrow id="S5.Ex46.m1.3.9.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.9.2.2" mathsize="90%">λ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.9.2.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex46.m1.3.9.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.9.2.3.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.9.2.3.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.9.2.3.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex46.m1.3.9.2.3.3" mathsize="90%">4</mn></msup></mrow><mrow id="S5.Ex46.m1.3.9.3"><mn id="S5.Ex46.m1.3.9.3.2" mathsize="90%">4</mn><mo id="S5.Ex46.m1.3.9.3.1" mathsize="90%">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex46.m1.3.10" mathsize="90%">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.11"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.11a"><mrow id="S5.Ex46.m1.3.11.2"><mn id="S5.Ex46.m1.3.11.2.2" mathsize="90%">2</mn><mo id="S5.Ex46.m1.3.11.2.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex46.m1.3.11.2.3" mathsize="90%">ξ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.11.2.1a">⁢</mo><mi id="S5.Ex46.m1.3.11.2.4" mathsize="90%" mathvariant="normal">Λ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.11.2.1b">⁢</mo><msup id="S5.Ex46.m1.3.11.2.5"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.11.2.5.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.11.2.5.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.11.2.5.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex46.m1.3.11.2.5.3" mathsize="90%">2</mn></msup></mrow><msup id="S5.Ex46.m1.3.11.3"><mi id="S5.Ex46.m1.3.11.3.2" mathsize="90%">m</mi><mn id="S5.Ex46.m1.3.11.3.3" mathsize="90%">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex46.m1.3.12" mathsize="90%">+</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13"><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.1">[</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.2"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.13.2a"><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2"><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.2"><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.3" mathsize="90%">λ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.4.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.1" mathsize="90%">+</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.3"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.3.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.3.2.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.3.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.3.1">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.3.3"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.3.3.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.2.3.3.1" mathsize="90%">¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3"><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.2" mathsize="90%">24</mn><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.1">⁢</mo><msup id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.3"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.3.2" mathsize="90%">m</mi><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.3.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.1a">⁢</mo><msup id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.4"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.4.2" mathsize="90%">β</mi><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.2.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.3" mathsize="90%">−</mo><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.4" mathsize="90%">0.001</mn><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.5" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.6"><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.1">(</mo><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.6.2" mathsize="90%">2</mn><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3"><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.2"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.2a"><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.4.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.6"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.7"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.4" mathsize="90%">+</mo><msup id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5"><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2"><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.2a"><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.6"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.7"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.6.5.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.6.6" rspace="0.167em">)</mo></mrow><mi id="S5.Ex46.m1.3.3" mathsize="90%">ln</mi><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.7"><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.1">(</mo><msup id="S5.Ex46.m1.3.13.7.2"><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.7.2.2"><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.7.2.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.7.2.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.2.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.7.2.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3"><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.1">(</mo><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.2" mathsize="90%">1</mn><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.3" mathsize="90%">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.4"><mfrac id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.4a"><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.4.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.5" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.6"><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.6.2"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.6.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.6.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.6.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.7" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.8"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.8.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.8.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.9"><mi id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.9.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.9.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.3.10">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.3.13.7.4">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex46.m1.3c">\displaystyle\frac{V_{\rm{eff},\beta}}{m^{4}}=\frac{\bar{\phi}^{2}}{2}+\frac{% \bar{\eta}\bar{\phi}^{3}}{3!}+\frac{\lambda\bar{\phi}^{4}}{4!}+\frac{2\xi% \Lambda\bar{\phi}^{2}}{m^{2}}+\left[\frac{\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}}{24m^{2}\beta^{2}}-0.001\times\left(2\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar% {\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}\right)\ln\left((m\beta)^{2}\left(1+% \frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex46.m1.3d">divide start_ARG italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 ! end_ARG + divide start_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ! end_ARG + divide start_ARG 2 italic_ξ roman_Λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + [ divide start_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG end_ARG start_ARG 24 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - 0.001 × ( 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) roman_ln ( ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+0.00004\times(m\beta)^{2}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex47.m1.2"><semantics id="S5.Ex47.m1.2a"><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.2.2a" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.3.cmml">0.00004</mn><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.4" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.4a" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex47.m1.2b"><apply id="S5.Ex47.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2"><plus id="S5.Ex47.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2"></plus><apply id="S5.Ex47.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2"><times id="S5.Ex47.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml" 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ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.-4.37\times 10^{-8}(m\beta)^{4}\left(6\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+4\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+4\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{4}\right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex48.m1.2"><semantics id="S5.Ex48.m1.2a"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex48.m1.2.2a" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.cmml"><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.2.cmml">4.37</mn><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.1.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.3a" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.4.3.3.2.cmml">8</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.5" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.5a" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.5b" mathsize="90%" 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xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.1.1.3" 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id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.2"></times><cn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.3">4</cn><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1"><plus id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2"><times id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2"><divide id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.3">𝜆</ci><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3"><times id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3"><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.2"></times><cn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">4</cn><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1"><plus id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2"><divide id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" 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id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3"><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3">3</cn></apply></apply><apply 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id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.6"><mi id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.7"><mi id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.12.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex49.m1.1.6.12.3" mathsize="90%">4</mn></msup><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.13" mathsize="90%">+</mo><msup id="S5.Ex49.m1.1.6.14"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2"><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.2"><mfrac id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.2a"><mn id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.4.2"><mi id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.6"><mi id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.7"><mi id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.14.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex49.m1.1.6.14.3" mathsize="90%">5</mn></msup><mo id="S5.Ex49.m1.1.6.15">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.7">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex49.m1.1c">\displaystyle\left.+5.38\times 10^{-10}(m\beta)^{6}\left(5\left(\frac{1}{2}% \lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+10\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+10\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}+5\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^% {2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{5}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex49.m1.1d">+ 5.38 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 10 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT ( 5 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 10 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 10 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + 5 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex50"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-0.12\left(\frac{1}{6}-\xi\right)\frac{\Lambda}{m^{2}}\left[-0.1% \ln\left(m^{2}\beta^{2}\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)\right)+0.001\times(m\beta)^{2}\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^% {2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex50.m1.1"><semantics id="S5.Ex50.m1.1a"><mrow id="S5.Ex50.m1.1b"><mo id="S5.Ex50.m1.1.2" mathsize="90%">−</mo><mn id="S5.Ex50.m1.1.3" mathsize="90%">0.12</mn><mrow id="S5.Ex50.m1.1.4"><mo id="S5.Ex50.m1.1.4.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex50.m1.1.4.2"><mfrac id="S5.Ex50.m1.1.4.2a"><mn id="S5.Ex50.m1.1.4.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex50.m1.1.4.2.3" mathsize="90%">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex50.m1.1.4.3" mathsize="90%">−</mo><mi id="S5.Ex50.m1.1.4.4" mathsize="90%">ξ</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.4.5">)</mo></mrow><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex50.m1.1.5"><mfrac id="S5.Ex50.m1.1.5a"><mi id="S5.Ex50.m1.1.5.2" mathsize="90%" mathvariant="normal">Λ</mi><msup id="S5.Ex50.m1.1.5.3"><mi id="S5.Ex50.m1.1.5.3.2" mathsize="90%">m</mi><mn id="S5.Ex50.m1.1.5.3.3" mathsize="90%">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mrow id="S5.Ex50.m1.1.6"><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.1">[</mo><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.2" lspace="0em" mathsize="90%">−</mo><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.3" mathsize="90%">0.1</mn><mi id="S5.Ex50.m1.1.1" mathsize="90%">ln</mi><mrow id="S5.Ex50.m1.1.6.4"><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.1">(</mo><msup id="S5.Ex50.m1.1.6.4.2"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.4.2.2" mathsize="90%">m</mi><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.4.2.3" mathsize="90%">2</mn></msup><msup id="S5.Ex50.m1.1.6.4.3"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.4.3.2" mathsize="90%">β</mi><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.4.3.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4"><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.1">(</mo><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.2" mathsize="90%">1</mn><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.3" mathsize="90%">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.4"><mfrac id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.4a"><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.4.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.4.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.5" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.6"><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.6.2"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.6.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.6.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.6.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.7" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.8"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.8.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.8.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.9"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.9.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.9.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.4.10">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.4.5">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.5" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.6" mathsize="90%">0.001</mn><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.7" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex50.m1.1.6.8"><mrow id="S5.Ex50.m1.1.6.8.2"><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.8.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.8.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.8.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.8.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.8.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex50.m1.1.6.9"><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.1">(</mo><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.9.2" mathsize="90%">2</mn><mrow id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3"><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.2"><mfrac id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.2a"><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.4.2"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.6"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.7"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.4" mathsize="90%">+</mo><msup id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5"><mrow id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2"><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.2a"><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.6"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.7"><mi id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex50.m1.1.6.9.5.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex50.m1.1.6.9.6">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex50.m1.1c">\displaystyle-0.12\left(\frac{1}{6}-\xi\right)\frac{\Lambda}{m^{2}}\left[-0.1% \ln\left(m^{2}\beta^{2}\left(1+\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar% {\phi}\right)\right)+0.001\times(m\beta)^{2}\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^% {2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex50.m1.1d">- 0.12 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) divide start_ARG roman_Λ end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ - 0.1 roman_ln ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) ) + 0.001 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+0.00001\times(m\beta)^{4}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex51.m1.2"><semantics id="S5.Ex51.m1.2a"><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.2.2a" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.3.cmml">0.00001</mn><mo id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.4" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.4a" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex51.m1.2b"><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2"><plus 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xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1"><plus id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2"><times id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2"><divide id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3">𝜆</ci><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3"><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex51.m1.2c">\displaystyle\left.+0.00001\times(m\beta)^{4}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex51.m1.2d">+ 0.00001 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT ( 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+0.00002\times(m\beta)^{6}\left(6\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+4\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+4\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{% \eta}\bar{\phi}\right)^{4}\right)\right]" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex52.m1.1"><semantics id="S5.Ex52.m1.1a"><mrow id="S5.Ex52.m1.1b"><mo id="S5.Ex52.m1.1.1" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex52.m1.1.2" mathsize="90%">0.00002</mn><mo id="S5.Ex52.m1.1.3" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex52.m1.1.4"><mrow id="S5.Ex52.m1.1.4.2"><mo id="S5.Ex52.m1.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex52.m1.1.4.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex52.m1.1.4.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.4.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex52.m1.1.4.3" mathsize="90%">6</mn></msup><mrow id="S5.Ex52.m1.1.5"><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.1">(</mo><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.2" mathsize="90%">6</mn><msup id="S5.Ex52.m1.1.5.3"><mrow id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2"><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.2"><mfrac id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.2a"><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.4.2"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.6"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.7"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.3.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.3.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.4" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.5" mathsize="90%">4</mn><mrow id="S5.Ex52.m1.1.5.6"><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.6.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.6.2"><mfrac id="S5.Ex52.m1.1.5.6.2a"><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.6.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.6.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.6.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex52.m1.1.5.6.4"><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.6.4.2"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.6.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.6.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.6.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.6.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.6.6"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.6.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.6.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.6.7"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.6.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.6.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.6.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.7" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.8" mathsize="90%">4</mn><msup id="S5.Ex52.m1.1.5.9"><mrow id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2"><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.2"><mfrac id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.2a"><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.4.2"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.6"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.7"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.9.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.9.3" mathsize="90%">3</mn></msup><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.10" mathsize="90%">+</mo><msup id="S5.Ex52.m1.1.5.11"><mrow id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2"><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.2"><mfrac id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.2a"><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.4.2"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.6"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.7"><mi id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.11.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex52.m1.1.5.11.3" mathsize="90%">4</mn></msup><mo id="S5.Ex52.m1.1.5.12">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex52.m1.1.6">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex52.m1.1c">\displaystyle\left.+0.00002\times(m\beta)^{6}\left(6\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+4\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{% \phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+4\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{% \eta}\bar{\phi}\right)^{4}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex52.m1.1d">+ 0.00002 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT ( 6 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 4 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{0.03}{m^{4}}\left(\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}16% \Lambda^{2}-\frac{2}{135}\Lambda^{2}\right)\left[-0.003\times(m\beta)^{2}\left% (\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+0.00004\times(m% \beta)^{4}\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}% \right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}% \right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex53.m1.1"><semantics id="S5.Ex53.m1.1a"><mrow id="S5.Ex53.m1.1b"><mo id="S5.Ex53.m1.1.1" mathsize="90%">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.1.2"><mfrac id="S5.Ex53.m1.1.2a"><mn id="S5.Ex53.m1.1.2.2" mathsize="90%">0.03</mn><msup id="S5.Ex53.m1.1.2.3"><mi id="S5.Ex53.m1.1.2.3.2" mathsize="90%">m</mi><mn id="S5.Ex53.m1.1.2.3.3" mathsize="90%">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mrow id="S5.Ex53.m1.1.3"><mo id="S5.Ex53.m1.1.3.1">(</mo><msup id="S5.Ex53.m1.1.3.2"><mrow id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2"><mo id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2.2"><mfrac id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2.2a"><mn id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2.2.3" mathsize="90%">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2.3" mathsize="90%">−</mo><mi id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2.4" mathsize="90%">ξ</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.3.2.2.5">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex53.m1.1.3.2.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mn id="S5.Ex53.m1.1.3.3" mathsize="90%">16</mn><msup id="S5.Ex53.m1.1.3.4"><mi id="S5.Ex53.m1.1.3.4.2" mathsize="90%" mathvariant="normal">Λ</mi><mn id="S5.Ex53.m1.1.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex53.m1.1.3.5" mathsize="90%">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.1.3.6"><mfrac id="S5.Ex53.m1.1.3.6a"><mn id="S5.Ex53.m1.1.3.6.2" mathsize="90%">2</mn><mn id="S5.Ex53.m1.1.3.6.3" mathsize="90%">135</mn></mfrac></mstyle><msup id="S5.Ex53.m1.1.3.7"><mi id="S5.Ex53.m1.1.3.7.2" mathsize="90%" mathvariant="normal">Λ</mi><mn id="S5.Ex53.m1.1.3.7.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex53.m1.1.3.8">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex53.m1.1.4"><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.1">[</mo><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.2" lspace="0em" mathsize="90%">−</mo><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.3" mathsize="90%">0.003</mn><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.4" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex53.m1.1.4.5"><mrow id="S5.Ex53.m1.1.4.5.2"><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.5.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.5.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.5.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.5.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex53.m1.1.4.6"><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.6.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.6.2"><mfrac id="S5.Ex53.m1.1.4.6.2a"><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.6.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.6.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.6.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex53.m1.1.4.6.4"><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.6.4.2"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.6.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.6.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.6.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.6.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.6.6"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.6.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.6.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.6.7"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.6.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.6.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.6.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.7" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.8" mathsize="90%">0.00004</mn><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.9" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex53.m1.1.4.10"><mrow id="S5.Ex53.m1.1.4.10.2"><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.10.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.10.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.10.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.10.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.10.3" mathsize="90%">4</mn></msup><mrow id="S5.Ex53.m1.1.4.11"><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.1">(</mo><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.11.2" mathsize="90%">2</mn><mrow id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3"><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.2"><mfrac id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.2a"><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.4.2"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.6"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.7"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.4" mathsize="90%">+</mo><msup id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5"><mrow id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2"><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.2a"><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.6"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.7"><mi id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex53.m1.1.4.11.5.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex53.m1.1.4.11.6">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex53.m1.1c">\displaystyle-\frac{0.03}{m^{4}}\left(\left(\frac{1}{6}-\xi\right)^{2}16% \Lambda^{2}-\frac{2}{135}\Lambda^{2}\right)\left[-0.003\times(m\beta)^{2}\left% (\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+0.00004\times(m% 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start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+0.00001\times(m\beta)^{6}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right]+0.24\times\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)^{2}\frac{\Lambda^{2}}{m^{4}}\left[-0.003\times(m\beta)^{2}\left(\frac{% 1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex54.m1.1"><semantics id="S5.Ex54.m1.1a"><mrow id="S5.Ex54.m1.1b"><mo id="S5.Ex54.m1.1.1" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex54.m1.1.2" mathsize="90%">0.00001</mn><mo id="S5.Ex54.m1.1.3" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex54.m1.1.4"><mrow id="S5.Ex54.m1.1.4.2"><mo id="S5.Ex54.m1.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex54.m1.1.4.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex54.m1.1.4.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.4.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex54.m1.1.4.3" mathsize="90%">6</mn></msup><mrow id="S5.Ex54.m1.1.5"><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.1">(</mo><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.2" mathsize="90%">3</mn><mrow id="S5.Ex54.m1.1.5.3"><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.3.2"><mfrac id="S5.Ex54.m1.1.5.3.2a"><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.3.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.3.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.3.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex54.m1.1.5.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.3.4.2"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.3.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.3.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.3.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.3.6"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.3.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.3.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.3.7"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.3.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.3.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.4" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.5" mathsize="90%">3</mn><msup id="S5.Ex54.m1.1.5.6"><mrow id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2"><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.2"><mfrac id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.2a"><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.4.2"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.6"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.7"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.6.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.6.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.7" mathsize="90%">+</mo><msup id="S5.Ex54.m1.1.5.8"><mrow id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2"><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.2"><mfrac id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.2a"><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.4.2"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.6"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.7"><mi id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.8.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex54.m1.1.5.8.3" mathsize="90%">3</mn></msup><mo id="S5.Ex54.m1.1.5.9">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex54.m1.1.6">]</mo><mo id="S5.Ex54.m1.1.7" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex54.m1.1.8" mathsize="90%">0.24</mn><mo id="S5.Ex54.m1.1.9" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><mo id="S5.Ex54.m1.1.10">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.1.11"><mfrac id="S5.Ex54.m1.1.11a"><mn id="S5.Ex54.m1.1.11.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex54.m1.1.11.3" mathsize="90%">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex54.m1.1.12" mathsize="90%">−</mo><mi id="S5.Ex54.m1.1.13" mathsize="90%">ξ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.14">)</mo><msup id="S5.Ex54.m1.1.15"><mi id="S5.Ex54.m1.1.15a"></mi><mn id="S5.Ex54.m1.1.15.1" mathsize="90%">2</mn></msup><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.1.16"><mfrac id="S5.Ex54.m1.1.16a"><msup id="S5.Ex54.m1.1.16.2"><mi id="S5.Ex54.m1.1.16.2.2" mathsize="90%" mathvariant="normal">Λ</mi><mn id="S5.Ex54.m1.1.16.2.3" mathsize="90%">2</mn></msup><msup id="S5.Ex54.m1.1.16.3"><mi id="S5.Ex54.m1.1.16.3.2" mathsize="90%">m</mi><mn id="S5.Ex54.m1.1.16.3.3" mathsize="90%">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex54.m1.1.17">[</mo><mo id="S5.Ex54.m1.1.18" lspace="0em" mathsize="90%">−</mo><mn id="S5.Ex54.m1.1.19" mathsize="90%">0.003</mn><mo id="S5.Ex54.m1.1.20" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex54.m1.1.21"><mrow id="S5.Ex54.m1.1.21.2"><mo id="S5.Ex54.m1.1.21.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex54.m1.1.21.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex54.m1.1.21.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.21.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex54.m1.1.21.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex54.m1.1.22"><mo id="S5.Ex54.m1.1.22.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.1.22.2"><mfrac id="S5.Ex54.m1.1.22.2a"><mn id="S5.Ex54.m1.1.22.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex54.m1.1.22.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex54.m1.1.22.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex54.m1.1.22.4"><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.22.4.2"><mi id="S5.Ex54.m1.1.22.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.22.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex54.m1.1.22.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex54.m1.1.22.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.22.6"><mi id="S5.Ex54.m1.1.22.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.22.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex54.m1.1.22.7"><mi id="S5.Ex54.m1.1.22.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex54.m1.1.22.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex54.m1.1.22.8">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex54.m1.1c">\displaystyle\left.+0.00001\times(m\beta)^{6}\left(3\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}% ^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+% \bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right]+0.24\times\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)^{2}\frac{\Lambda^{2}}{m^{4}}\left[-0.003\times(m\beta)^{2}\left(\frac{% 1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex54.m1.1d">+ 0.00001 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT ( 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] + 0.24 × ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ - 0.003 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+0.00004\times(m\beta)^{4}\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^% {2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}\right)+0.00001\times(m\beta)^{6}\left(3% \left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(% \frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1% }{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right]." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex55.m1.1"><semantics id="S5.Ex55.m1.1a"><mrow id="S5.Ex55.m1.1b"><mo id="S5.Ex55.m1.1.1" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex55.m1.1.2" mathsize="90%">0.00004</mn><mo id="S5.Ex55.m1.1.3" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex55.m1.1.4"><mrow id="S5.Ex55.m1.1.4.2"><mo id="S5.Ex55.m1.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex55.m1.1.4.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex55.m1.1.4.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.4.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex55.m1.1.4.3" mathsize="90%">4</mn></msup><mrow id="S5.Ex55.m1.1.5"><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.1">(</mo><mn id="S5.Ex55.m1.1.5.2" mathsize="90%">2</mn><mrow id="S5.Ex55.m1.1.5.3"><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex55.m1.1.5.3.2"><mfrac id="S5.Ex55.m1.1.5.3.2a"><mn id="S5.Ex55.m1.1.5.3.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex55.m1.1.5.3.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex55.m1.1.5.3.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex55.m1.1.5.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.5.3.4.2"><mi id="S5.Ex55.m1.1.5.3.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.3.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex55.m1.1.5.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.3.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.5.3.6"><mi id="S5.Ex55.m1.1.5.3.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.3.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.5.3.7"><mi id="S5.Ex55.m1.1.5.3.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.3.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.4" mathsize="90%">+</mo><msup id="S5.Ex55.m1.1.5.5"><mrow id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2"><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.2"><mfrac id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.2a"><mn id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.4.2"><mi id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.6"><mi id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.7"><mi id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.5.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex55.m1.1.5.5.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex55.m1.1.5.6">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex55.m1.1.6" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex55.m1.1.7" mathsize="90%">0.00001</mn><mo id="S5.Ex55.m1.1.8" lspace="0.222em" mathsize="90%" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S5.Ex55.m1.1.9"><mrow id="S5.Ex55.m1.1.9.2"><mo id="S5.Ex55.m1.1.9.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S5.Ex55.m1.1.9.2.2" mathsize="90%">m</mi><mi id="S5.Ex55.m1.1.9.2.3" mathsize="90%">β</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.9.2.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex55.m1.1.9.3" mathsize="90%">6</mn></msup><mrow id="S5.Ex55.m1.1.10"><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.1">(</mo><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.2" mathsize="90%">3</mn><mrow id="S5.Ex55.m1.1.10.3"><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.3.2"><mfrac id="S5.Ex55.m1.1.10.3.2a"><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.3.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.3.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.3.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex55.m1.1.10.3.4"><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.3.4.2"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.3.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.3.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.3.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.3.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.3.6"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.3.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.3.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.3.7"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.3.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.3.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.3.8">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.4" mathsize="90%">+</mo><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.5" mathsize="90%">3</mn><msup id="S5.Ex55.m1.1.10.6"><mrow id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2"><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.2"><mfrac id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.2a"><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.4.2"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.6"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.7"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.6.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.6.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.7" mathsize="90%">+</mo><msup id="S5.Ex55.m1.1.10.8"><mrow id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2"><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.2"><mfrac id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.2a"><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.2.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.2.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.3" mathsize="90%">λ</mi><msup id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.4"><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.4.2"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.4.2.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.4.2.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.4.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.5" mathsize="90%">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.6"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.6.2" mathsize="90%">η</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.6.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mover accent="true" id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.7"><mi id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.7.2" mathsize="90%">ϕ</mi><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.7.1" mathsize="90%">¯</mo></mover><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.8.2.8">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex55.m1.1.10.8.3" mathsize="90%">3</mn></msup><mo id="S5.Ex55.m1.1.10.9">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex55.m1.1.11">]</mo><mo id="S5.Ex55.m1.1.12" lspace="0em" mathsize="90%">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex55.m1.1c">\displaystyle\left.+0.00004\times(m\beta)^{4}\left(2\left(\frac{1}{2}\lambda% \bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+\left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^% {2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}\right)+0.00001\times(m\beta)^{6}\left(3% \left(\frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)+3\left(% \frac{1}{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{2}+\left(\frac{1% }{2}\lambda\bar{\phi}^{2}+\bar{\eta}\bar{\phi}\right)^{3}\right)\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex55.m1.1d">+ 0.00004 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) + 0.00001 × ( italic_m italic_β ) start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT ( 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) + 3 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_η end_ARG over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="0"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(53)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p11.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p11.3.1">The variation of the above effective potential can be seen in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F13" title="Figure 13 ‣ 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p11.3.2">, after ignoring </span><math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p11.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p11.1.m1.1a"><mi id="S5.SS1.p11.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p11.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p11.1.m1.1b"><ci id="S5.SS1.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p11.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p11.1.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p11.1.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p11.3.3">-independent finite terms. We have taken </span><math alttext="\Lambda\sim 30{\rm GeV}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p11.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p11.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.1" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.2.cmml">30</mn><mo id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.1a" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.1b" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.2.cmml">V</mi><mn id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.3" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p11.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.2">Λ</ci><apply id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3"><times id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.2">30</cn><ci id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.3">G</ci><ci id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.4">e</ci><apply id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.2">V</ci><cn id="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p11.2.m2.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p11.2.m2.1c">\Lambda\sim 30{\rm GeV}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p11.2.m2.1d">roman_Λ ∼ 30 roman_G roman_e roman_V start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p11.3.4"> and </span><math alttext="\xi=0.125" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p11.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p11.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p11.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.3.cmml">0.125</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p11.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p11.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p11.3.m3.1.1.3">0.125</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p11.3.m3.1c">\xi=0.125</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p11.3.m3.1d">italic_ξ = 0.125</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p11.3.5">. Comparing this with the zero temperature result of </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p11.3.6">, we see symmetry restoration. This must be a second order phase transition.</span></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F12"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F12.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="128" id="S5.F12.sf1.g1" src="extracted/6295461/Sch-finite-temp-cubic.png" width="180"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F12.sf1.7.2.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F12.sf1.2.1" style="font-size:90%;">One loop <math alttext="\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1"><plus id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2"><times id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3"><times id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F12.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1d">\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F12.sf1.2.1.m1.1e">italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interaction (Schwarzschild) </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F12.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="127" id="S5.F12.sf2.g1" src="extracted/6295461/Sch-finite-temp-quad.png" width="178"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F12.sf2.7.2.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F12.sf2.2.1" style="font-size:90%;">One loop <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1"><times id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F12.sf2.2.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F12.sf2.2.1.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interaction (Schwarzschild)</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F12.4.1.1" style="font-size:90%;">Figure 12</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F12.5.2" style="font-size:90%;">Variation of the effective potential for one loop at finite temperature for the Schwarzschild spacetime, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E52" title="In 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">52</span></a>.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S5.F13"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F13.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="110" id="S5.F13.sf1.g1" src="extracted/6295461/finite-temp-de-cubic.png" width="166"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F13.sf1.7.2.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F13.sf1.2.1" style="font-size:90%;">One loop <math alttext="\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1"><plus id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2"><times id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3"><times id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F13.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1d">\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F13.sf1.2.1.m1.1e">italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interaction (de Sitter)</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F13.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="110" id="S5.F13.sf2.g1" src="extracted/6295461/finite-temp-de-quad.png" width="166"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F13.sf2.7.2.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F13.sf2.2.1" style="font-size:90%;">One loop <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1b"><mrow id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.2" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.1" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1c"><apply id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1"><times id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F13.sf2.2.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F13.sf2.2.1.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interaction (de Sitter)</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F13.7.3.1" style="font-size:90%;">Figure 13</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F13.4.2" style="font-size:90%;">Plot of the finite temperature effective potential in the de Sitter background (<math alttext="\beta=10^{-5}\rm{GeV^{-1}},\eta=0.447,\lambda=0.1,\Lambda\sim 30{\rm GeV}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F13.3.1.m1.2"><semantics id="S5.F13.3.1.m1.2b"><mrow id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3b" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">5</mn></mrow></msup><mo id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">GeV</mi><mrow id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3b" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.3" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">0.447</mn></mrow><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">30</mn><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1b" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.4" mathvariant="normal" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1c" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.cmml"><mi id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.2.cmml">V</mi><mn id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.3" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F13.3.1.m1.2c"><apply id="S5.F13.3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.3.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1"><eq id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><cn id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.2">10</cn><apply id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">5</cn></apply></apply><apply id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.2">GeV</ci><apply id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F13.3.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1"><eq id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.3">0.447</cn></apply><apply id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3">0.1</cn></apply><apply id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">Λ</ci><apply id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><cn id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">30</cn><ci id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">G</ci><ci id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.4">e</ci><apply id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.1.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5">superscript</csymbol><ci id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.2.cmml" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.2">V</ci><cn id="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.F13.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F13.3.1.m1.2d">\beta=10^{-5}\rm{GeV^{-1}},\eta=0.447,\lambda=0.1,\Lambda\sim 30{\rm GeV}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F13.3.1.m1.2e">italic_β = 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 5 end_POSTSUPERSCRIPT roman_GeV start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_η = 0.447 , italic_λ = 0.1 , roman_Λ ∼ 30 roman_G roman_e roman_V start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\xi=0.125" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F13.4.2.m2.1"><semantics id="S5.F13.4.2.m2.1b"><mrow id="S5.F13.4.2.m2.1.1" xref="S5.F13.4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F13.4.2.m2.1.1.2" xref="S5.F13.4.2.m2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.F13.4.2.m2.1.1.1" xref="S5.F13.4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F13.4.2.m2.1.1.3" xref="S5.F13.4.2.m2.1.1.3.cmml">0.125</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F13.4.2.m2.1c"><apply id="S5.F13.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F13.4.2.m2.1.1"><eq id="S5.F13.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F13.4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.F13.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F13.4.2.m2.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S5.F13.4.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F13.4.2.m2.1.1.3">0.125</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F13.4.2.m2.1d">\xi=0.125</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F13.4.2.m2.1e">italic_ξ = 0.125</annotation></semantics></math>). Comparing this with the zero temperature result of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5" title="5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, we see symmetry restoration effect at finite temperature and hence indication of a second order phase transition.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p12"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p12.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p12.2.2">The above results are essentially valid at high temperatures. With a low temperature effective potential, we may actually see how the broken symmetry is restored at some critical temperature. Following <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib33" title="">33</a>]</cite>, we keep only the <math alttext="{\cal O}(\beta^{-2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.3.cmml">𝒪</mi><mo id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">β</mi><mrow id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1"><times id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.3">𝒪</ci><apply id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p12.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1c">{\cal O}(\beta^{-2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p12.1.1.m1.1d">caligraphic_O ( italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> term in this case, so that for de Sitter, we obtain a low temperature version of <math alttext="V_{{\rm eff},\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2"><semantics id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2a"><msub id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3.2" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3.2.cmml">V</mi><mrow id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.4" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p12.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">β</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2b"><apply id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.3.2">𝑉</ci><list id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S5.SS1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.1.1.1.1">eff</ci><ci id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p12.2.2.m2.2.2.2.2">𝛽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2c">V_{{\rm eff},\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p12.2.2.m2.2d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>,</span></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F14"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="226" id="S5.F14.1.g1" src="extracted/6295461/betavar1.png" width="288"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S5.F14.12.5.1" style="font-size:90%;">Figure 14</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S5.F14.9.8.4" style="font-size:90%;">Variation of the low temperature effective potential, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E54" title="In 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">54</span></a>, with respect to <math alttext="\bar{\phi}=\phi/m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F14.6.5.1.m1.1"><semantics id="S5.F14.6.5.1.m1.1b"><mrow id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.1" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F14.6.5.1.m1.1c"><apply id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1"><eq id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2"><ci id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3"><divide id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F14.6.5.1.m1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F14.6.5.1.m1.1d">\bar{\phi}=\phi/m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F14.6.5.1.m1.1e">over¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG = italic_ϕ / italic_m</annotation></semantics></math>, for various values of <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F14.7.6.2.m2.1"><semantics id="S5.F14.7.6.2.m2.1b"><mi id="S5.F14.7.6.2.m2.1.1" xref="S5.F14.7.6.2.m2.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F14.7.6.2.m2.1c"><ci id="S5.F14.7.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F14.7.6.2.m2.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F14.7.6.2.m2.1d">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F14.7.6.2.m2.1e">italic_β</annotation></semantics></math>. We have taken <math alttext="\xi\sim 0.125" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F14.8.7.3.m3.1"><semantics id="S5.F14.8.7.3.m3.1b"><mrow id="S5.F14.8.7.3.m3.1.1" xref="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.2" xref="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.1" xref="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.1.cmml">∼</mo><mn id="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.3" xref="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.3.cmml">0.125</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F14.8.7.3.m3.1c"><apply id="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F14.8.7.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.F14.8.7.3.m3.1.1.3">0.125</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F14.8.7.3.m3.1d">\xi\sim 0.125</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F14.8.7.3.m3.1e">italic_ξ ∼ 0.125</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Lambda\sim 30{\rm GeV}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F14.9.8.4.m4.1"><semantics id="S5.F14.9.8.4.m4.1b"><mrow id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.1" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.2.cmml">30</mn><mo id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.1" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.1b" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.1c" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.2.cmml">V</mi><mn id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.3" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F14.9.8.4.m4.1c"><apply id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.2">Λ</ci><apply id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3"><times id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.1"></times><cn id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.2">30</cn><ci id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.3">G</ci><ci id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.4">e</ci><apply id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.2">V</ci><cn id="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.F14.9.8.4.m4.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F14.9.8.4.m4.1d">\Lambda\sim 30{\rm GeV}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F14.9.8.4.m4.1e">roman_Λ ∼ 30 roman_G roman_e roman_V start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Symmetry restoration and the existence of a critical temperature can be explicitly seen here.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p13"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E54"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V_{{\rm eff},\beta}\simeq\frac{1}{2}m^{2}\phi^{2}+2\xi\Lambda\phi^{2}+0.032% \Lambda^{2}\ln\left(1+\frac{\lambda{\phi}^{2}}{2m^{2}}\right)\left[\left(\frac% {1}{6}-\xi\right)^{2}-0.001\right]+\frac{\lambda\phi^{2}}{48\beta^{2}}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E54.m1.4"><semantics id="S5.E54.m1.4a"><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S5.E54.m1.4.4.1.1.4" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">V</mi><mrow id="S5.E54.m1.2.2.2.4" xref="S5.E54.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E54.m1.1.1.1.1" xref="S5.E54.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S5.E54.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.E54.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E54.m1.2.2.2.2" xref="S5.E54.m1.2.2.2.2.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.3.cmml">≃</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.cmml"><mfrac id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml"><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.2.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.2.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.3.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.3.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.1a" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.4" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.4.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.4.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.4.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.cmml"><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.3.cmml">ξ</mi><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.1a" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.4" mathvariant="normal" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.4.cmml">Λ</mi><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.1b" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.5" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.5.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.5.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.5.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.5.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.5.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml">0.032</mn><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.5.2.cmml">Λ</mi><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.5.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.5.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.3a" lspace="0.167em" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E54.m1.3.3" xref="S5.E54.m1.3.3.cmml">ln</mi><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.3b" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">0.001</mn></mrow><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.3b" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">+</mo><mfrac id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.cmml"><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.cmml"><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.2.cmml">48</mn><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.1" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.cmml"><mi id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.2" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.2.cmml">β</mi><mn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.3" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S5.E54.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E54.m1.4b"><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.cmml" 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xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">2</cn><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"><minus id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2"></minus><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3">0.001</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6"><divide id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6"></divide><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2"><times id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.1"></times><ci id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3"><times id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.1"></times><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.2">48</cn><apply id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.1.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.2.cmml" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.2">𝛽</ci><cn id="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E54.m1.4.4.1.1.2.6.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E54.m1.4c">V_{{\rm eff},\beta}\simeq\frac{1}{2}m^{2}\phi^{2}+2\xi\Lambda\phi^{2}+0.032% \Lambda^{2}\ln\left(1+\frac{\lambda{\phi}^{2}}{2m^{2}}\right)\left[\left(\frac% {1}{6}-\xi\right)^{2}-0.001\right]+\frac{\lambda\phi^{2}}{48\beta^{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E54.m1.4d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , italic_β end_POSTSUBSCRIPT ≃ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_ξ roman_Λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 0.032 roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_ln ( 1 + divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 0.001 ] + divide start_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 48 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(54)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p13.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p13.1.1">For the sake of calculational simplicity, we further take <math alttext="\phi/m\ll 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.1.cmml">≪</mo><mn id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.1">much-less-than</csymbol><apply id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2"><divide id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.1"></divide><ci id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p13.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1c">\phi/m\ll 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p13.1.1.m1.1d">italic_ϕ / italic_m ≪ 1</annotation></semantics></math>. Then similar steps which led to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E50" title="In 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">50</span></a> now yields the critical temperature,</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p14"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx51"> <tbody id="S5.E55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle T_{c}=4.9\sqrt{\frac{\Lambda}{\lambda}}\left[-\frac{m^{2}}{% \Lambda}-4\xi+\frac{0.032\lambda\Lambda}{m^{2}}\left(0.001-\left(\frac{1}{6}-% \xi\right)^{2}\right)\right]^{1/2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E55.m1.1"><semantics id="S5.E55.m1.1a"><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E55.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">4.9</mn><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2a" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">λ</mi></mfrac></mstyle></msqrt><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msup id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">Λ</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ξ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">0.032</mn><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4" mathvariant="normal" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml">Λ</mi></mrow><msup id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0.001</mn><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msup id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S5.E55.m1.1.1.1.2" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E55.m1.1b"><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1"><eq id="S5.E55.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.3">4.9</cn><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4"><root id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4"></root><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2"><divide id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2"></divide><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" 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xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">Λ</ci></apply></apply><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">4</cn><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">0.032</cn><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4">Λ</ci></apply><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0.001</cn><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E55.m1.1c">\displaystyle T_{c}=4.9\sqrt{\frac{\Lambda}{\lambda}}\left[-\frac{m^{2}}{% \Lambda}-4\xi+\frac{0.032\lambda\Lambda}{m^{2}}\left(0.001-\left(\frac{1}{6}-% \xi\right)^{2}\right)\right]^{1/2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E55.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 4.9 square-root start_ARG divide start_ARG roman_Λ end_ARG start_ARG italic_λ end_ARG end_ARG [ - divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG roman_Λ end_ARG - 4 italic_ξ + divide start_ARG 0.032 italic_λ roman_Λ end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 0.001 - ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(55)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p14.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.SS1.p14.1.1">depicted in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F14" title="Figure 14 ‣ 5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>, which is qualitatively similar to that of the <math alttext="m^{2}<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1"><lt id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.1"></lt><apply id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p14.1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1c">m^{2}<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p14.1.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < 0</annotation></semantics></math> case, discussed in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.SS1" title="5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5.1</span></a>. It is also clear that a more general analysis requires writing the thermal propagators at general temperatures.</span></p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.1.1.1">6</span> </span>Two loop effective potential in curved spacetime</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p1.1.1">We now wish to extend some of our earlier results to two loop order. As we have stated towards the end of </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5" title="5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p1.1.2">, the following calculations are supposed to be a bridge between the one loop results and the non-perturbative computations we wish to do in future. Also, we wish to verify and demonstrate that the field renormalisation counterterms are indeed independent of the spactime curvature. The two loop renormalisation of </span><math alttext="\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.p1.1.m1.1a"><msup id="S6.p1.1.m1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.p1.1.m1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="S6.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p1.1.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.1c">\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p1.1.3">-theory in general curved spacetimes was first done in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p1.1.4.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib37" title="">37</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p1.1.5.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p1.1.6">. We note that at two loop, there can be non-local contributions from the integrals of the sunset diagram, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.F15.sf2" title="In Figure 15 ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15(b)</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p1.1.7">. This originates from the integration of the non-local part of the self energy over the entire spacetime. However, as we have discussed, since the current formalism we are using is essentially based upon local Lorentz invariance and hence suitable at small scales only, any such non-local results could be misleading. Therefore we wish to focus only on the local contributions from the vacuum graphs.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p2.1.1">The effective action at this order reads (</span><math alttext="\hbar=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.p2.1.m1.1a"><mrow id="S6.p2.1.m1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S6.p2.1.m1.1.1.2.cmml">ℏ</mi><mo id="S6.p2.1.m1.1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.p2.1.m1.1.1.3" xref="S6.p2.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.1.m1.1b"><apply id="S6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1"><eq id="S6.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S6.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol><cn id="S6.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.1.m1.1c">\hbar=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.1.m1.1d">roman_ℏ = 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p2.1.2">)</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.E56"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="-\frac{\lambda}{8}\int\sqrt{-g}d^{d}xG^{2}(x,x)+\frac{1}{12}\int\sqrt{-g}\sqrt% {-g^{\prime}}d^{d}xd^{d}x^{\prime}(\eta+\lambda\phi)^{2}G^{3}(x,x^{\prime})+\ % {\rm counterterm~{}contributions}." class="ltx_Math" display="block" id="S6.E56.m1.4"><semantics id="S6.E56.m1.4a"><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4a" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.2.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.2.3.cmml">8</mn></mfrac><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.cmml"><msqrt id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.2.cmml"><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.2.2.cmml"><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.2.2a" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.2.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></msqrt><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.3.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.3.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.3.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.1a" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.4" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.4.cmml">x</mi><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.1b" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.5" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.5.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.5.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.5.2.cmml">G</mi><mn id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.5.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.5.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.1c" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.6.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.6.1.cmml"><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.6.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E56.m1.1.1" xref="S6.E56.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.6.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.6.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E56.m1.2.2" xref="S6.E56.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.6.2.3" stretchy="false" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.4" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.4.cmml"><mn id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.4.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.4.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.4.3.cmml">12</mn></mfrac><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><msqrt id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.4" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.4.cmml"><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.4.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.4.2.cmml"><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.4.2a" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.4.2.cmml">−</mo><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.4.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml">g</mi></mrow></msqrt><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msqrt id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2.cmml"><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2a" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2.cmml">−</mo><msup id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2.2.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2.2.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2.2.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.5.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msqrt><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3a" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.6" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.6.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.6.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.6.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.6.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3b" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.7" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.7.cmml">x</mi><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3c" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.8" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.8.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.8.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.8.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.8.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.8.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3d" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.9" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.9.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.9.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.9.2.cmml">x</mi><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.9.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.9.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3e" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3f" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.10" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.10.cmml"><mi id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.10.2" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.10.2.cmml">G</mi><mn id="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.10.3" xref="S6.E56.m1.4.4.1.1.2.2.2.10.3.cmml">3</mn></msup><mo 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ltx_tag_equation ltx_align_right">(56)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.p2.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p2.2.1">Note that the second or the sunset integral is quadratic in the couplings. Thus we may expect </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.p2.2.2">a priori</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p2.2.3"> that the first, i.e. the double bubble integral to make the leading contributions at two loop, also supported by our earlier argument of </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E40" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p2.2.4">. Note also that the double bubble yields a purely local contribution. The corresponding 1PI vacuum diagrams can be seen </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.F15" title="Figure 15 ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p2.2.5">.</span></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F15"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F15.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_portrait" height="117" id="S6.F15.sf1.g1" src="extracted/6295461/db.png" width="72"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.F15.sf1.4.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S6.F15.sf1.5.2" style="font-size:90%;">Double bubble</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F15.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="91" id="S6.F15.sf2.g1" src="extracted/6295461/ss.png" width="91"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.F15.sf2.4.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text" id="S6.F15.sf2.5.2" style="font-size:90%;">Sunset</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F15.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="64" id="S6.F15.sf3.g1" src="extracted/6295461/ct.png" width="55"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.F15.sf3.4.1.1" style="font-size:90%;">(c)</span> </span><span class="ltx_text" id="S6.F15.sf3.5.2" style="font-size:90%;">One loop counterterm</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.F15.5.2.1" style="font-size:90%;">Figure 15</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S6.F15.2.1" style="font-size:90%;">Two loop 1PI vacuum diagrams for <math alttext="\lambda\phi^{4}+\eta\phi^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F15.2.1.m1.1"><semantics id="S6.F15.2.1.m1.1b"><mrow id="S6.F15.2.1.m1.1.1" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.2" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.1" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S6.F15.2.1.m1.1.1.1" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.1" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F15.2.1.m1.1c"><apply id="S6.F15.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1"><plus id="S6.F15.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2"><times id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3"><times id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.F15.2.1.m1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F15.2.1.m1.1d">\lambda\phi^{4}+\eta\phi^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F15.2.1.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interactions. </span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S6.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p3.1.1">At zero temperature, computation of the divergent part of the effective action and subsequent renormalisation can be seen in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p3.1.2.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p3.1.3.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p3.1.4">. We also refer our reader to </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p3.1.5.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib48" title="">48</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p3.1.6.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p3.1.7"> for a renormalisation group derivation of a two loop effective potential with quartic self interaction under weak curvature approximation at zero temperature.</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p4.1.1">Let us now compute the diagrams of </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.F15" title="Figure 15 ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p4.1.2">. In order to keep our expressions simple, we shall also make a linear in curvature approximation in the following. We evaluate the zero temperature effective potential first, show the renormalisation and then turn on the temperature. We will see that the latter is divergence free, as expected. Finally, we shall present the finite part of the </span><math alttext="{\cal O}(\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.p4.1.m1.1a"><mrow id="S6.p4.1.m1.1.2" xref="S6.p4.1.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.p4.1.m1.1.2.2" xref="S6.p4.1.m1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S6.p4.1.m1.1.2.1" xref="S6.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p4.1.m1.1.1" xref="S6.p4.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S6.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.1.m1.1b"><apply id="S6.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.2"><times id="S6.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S6.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S6.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.1.m1.1c">{\cal O}(\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.1.m1.1d">caligraphic_O ( italic_λ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p4.1.3"> double bubble diagram at finite temperature up to quadratic order in the curvature. </span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p5"> <p class="ltx_p" id="S6.p5.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S6.p5.1.1">The double bubble</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p5.1.2">:</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p6"> <p class="ltx_p" id="S6.p6.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p6.1.1">The double bubble diagram is given by the first of </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.F15" title="Figure 15 ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p6.1.2">. We have at </span><math alttext="d=4-\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p6.1.m1.1"><semantics id="S6.p6.1.m1.1a"><mrow id="S6.p6.1.m1.1.1" xref="S6.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p6.1.m1.1.1.2" xref="S6.p6.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.p6.1.m1.1.1.1" xref="S6.p6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p6.1.m1.1.1.3" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.p6.1.m1.1.1.3.1" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p6.1.m1.1b"><apply id="S6.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1"><eq id="S6.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3"><minus id="S6.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3.1"></minus><cn id="S6.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3.2">4</cn><ci id="S6.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p6.1.m1.1c">d=4-\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p6.1.m1.1d">italic_d = 4 - italic_ϵ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p6.1.3">,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx52"> <tbody id="S6.Ex56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{\lambda}{8}\left(\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\left(\frac{% 1}{k^{2}+m^{2}_{1}}+\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(k^{2}+m^{2}_{1})^{2}% }\right)\right)^{2}=-\frac{\lambda m^{4}_{1}}{2(4\pi)^{4}}\left(\frac{\mu^{-2% \epsilon}}{\epsilon^{2}}-\frac{\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\left(\ln{\frac{m^{2}% _{1}}{4\pi\mu^{2}}}-\psi(2)\right)-\psi(2)\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex56.m1.6"><semantics id="S6.Ex56.m1.6a"><mrow id="S6.Ex56.m1.6b"><mo id="S6.Ex56.m1.6.7">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.6.8"><mfrac id="S6.Ex56.m1.6.8a"><mi id="S6.Ex56.m1.6.8.2">λ</mi><mn id="S6.Ex56.m1.6.8.3">8</mn></mfrac></mstyle><msup id="S6.Ex56.m1.6.9"><mrow id="S6.Ex56.m1.6.9.2"><mo id="S6.Ex56.m1.6.9.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.6.9.2.2"><mo id="S6.Ex56.m1.6.9.2.2a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex56.m1.1.1a"><mrow id="S6.Ex56.m1.1.1.3"><msup id="S6.Ex56.m1.1.1.3.2"><mi id="S6.Ex56.m1.1.1.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex56.m1.1.1.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex56.m1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex56.m1.1.1.3.3">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex56.m1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex56.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex56.m1.1.1.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3"><mo id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2"><mfrac id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2a"><mn id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.2">1</mn><mrow id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3"><msup id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3.2"><mi id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3.2.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3.3"><mi id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.3">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex56.m1.3.3a"><mrow id="S6.Ex56.m1.2.2.1"><mrow id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1.1"><mfrac id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1.1.2"><mn id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">6</mn></mfrac><mo id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1.1.1">−</mo><mi id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1.1.3">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex56.m1.2.2.1.1.1.3">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex56.m1.2.2.1.2">⁢</mo><mi id="S6.Ex56.m1.2.2.1.3">R</mi></mrow><msup id="S6.Ex56.m1.3.3.2"><mrow id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1"><mo id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1"><msup id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1.2"><mi id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1.2.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex56.m1.3.3.2.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex56.m1.3.3.2.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex56.m1.6.9.2.3.4">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex56.m1.6.9.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex56.m1.6.9.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex56.m1.6.10" rspace="0em">=</mo><mo id="S6.Ex56.m1.6.11" lspace="0em">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.4.4"><mfrac id="S6.Ex56.m1.4.4a"><mrow id="S6.Ex56.m1.4.4.3"><mi id="S6.Ex56.m1.4.4.3.2">λ</mi><mo id="S6.Ex56.m1.4.4.3.1">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex56.m1.4.4.3.3"><mi id="S6.Ex56.m1.4.4.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex56.m1.4.4.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex56.m1.4.4.3.3.2.3">4</mn></msubsup></mrow><mrow id="S6.Ex56.m1.4.4.1"><mn id="S6.Ex56.m1.4.4.1.3">2</mn><mo id="S6.Ex56.m1.4.4.1.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1"><mrow id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex56.m1.4.4.1.1.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12"><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.6.12.2"><mfrac id="S6.Ex56.m1.6.12.2a"><msup id="S6.Ex56.m1.6.12.2.2"><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.2.2.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12.2.2.3"><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.2.2.3a">−</mo><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12.2.2.3.2"><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.2.2.3.2.2">2</mn><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.2.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.2.2.3.2.3">ϵ</mi></mrow></mrow></msup><msup id="S6.Ex56.m1.6.12.2.3"><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.2.3.2">ϵ</mi><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.2.3.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.6.12.4"><mfrac id="S6.Ex56.m1.6.12.4a"><msup id="S6.Ex56.m1.6.12.4.2"><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.4.2.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12.4.2.3"><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.4.2.3a">−</mo><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.4.2.3.2">ϵ</mi></mrow></msup><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.4.3">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12.5"><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.5.1">(</mo><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.5.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3"><mfrac id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3a"><msubsup id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.2"><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.3"><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.3.2">4</mn><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.3.4"><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.5.3.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.5.4">−</mo><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.5.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12.5.6"><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.5.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex56.m1.5.5">2</mn><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.5.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.5.7">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.6">−</mo><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.7">ψ</mi><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12.8"><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex56.m1.6.6">2</mn><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.8.2" rspace="0.167em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.9">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex56.m1.6.12.10"><mfrac id="S6.Ex56.m1.6.12.10a"><msubsup id="S6.Ex56.m1.6.12.10.2"><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.10.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.10.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.10.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex56.m1.6.12.10.3"><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.10.3.2">4</mn><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.10.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.10.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex56.m1.6.12.10.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex56.m1.6.12.10.3.4"><mi id="S6.Ex56.m1.6.12.10.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex56.m1.6.12.10.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex56.m1.6c">\displaystyle-\frac{\lambda}{8}\left(\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\left(\frac{% 1}{k^{2}+m^{2}_{1}}+\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(k^{2}+m^{2}_{1})^{2}% }\right)\right)^{2}=-\frac{\lambda m^{4}_{1}}{2(4\pi)^{4}}\left(\frac{\mu^{-2% \epsilon}}{\epsilon^{2}}-\frac{\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\left(\ln{\frac{m^{2}% _{1}}{4\pi\mu^{2}}}-\psi(2)\right)-\psi(2)\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex56.m1.6d">- divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 8 end_ARG ( ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = - divide start_ARG italic_λ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - italic_ψ ( 2 ) ) - italic_ψ ( 2 ) roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\frac{1}{2}\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)% ^{2}+\frac{1}{4}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+2\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)\right)% \right)+\frac{\lambda\left(\frac{1}{6}-\xi\right)Rm^{2}_{1}}{4(4\pi)^{4}}\left% (\frac{4\mu^{-2\epsilon}}{\epsilon^{2}}+\frac{2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\left% (\psi(1)+\psi(2)\right)-\frac{4\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\ln{\frac{m^{2}_{1}}{% 4\pi\mu^{2}}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex57.m1.4"><semantics id="S6.Ex57.m1.4a"><mrow id="S6.Ex57.m1.4b"><mo id="S6.Ex57.m1.4.5">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.4.6"><mfrac id="S6.Ex57.m1.4.6a"><mn id="S6.Ex57.m1.4.6.2">1</mn><mn id="S6.Ex57.m1.4.6.3">2</mn></mfrac></mstyle><msup id="S6.Ex57.m1.4.7"><mrow id="S6.Ex57.m1.4.7.2"><mo id="S6.Ex57.m1.4.7.2.1">(</mo><mi id="S6.Ex57.m1.4.7.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3"><mfrac id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3a"><msubsup id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.2"><mi id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.3"><mn id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.3.2">4</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.3.4"><mi id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex57.m1.4.7.2.3.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex57.m1.4.7.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex57.m1.4.7.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex57.m1.4.8">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.4.9"><mfrac id="S6.Ex57.m1.4.9a"><mn id="S6.Ex57.m1.4.9.2">1</mn><mn id="S6.Ex57.m1.4.9.3">4</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex57.m1.4.10"><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.4.10.2"><mfrac id="S6.Ex57.m1.4.10.2a"><msup id="S6.Ex57.m1.4.10.2.2"><mi id="S6.Ex57.m1.4.10.2.2.2">π</mi><mn id="S6.Ex57.m1.4.10.2.2.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex57.m1.4.10.2.3">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.3">+</mo><mn id="S6.Ex57.m1.4.10.4">2</mn><msup id="S6.Ex57.m1.4.10.5"><mi id="S6.Ex57.m1.4.10.5.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex57.m1.4.10.5.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex57.m1.4.10.6"><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex57.m1.3.3">2</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.7">−</mo><msup id="S6.Ex57.m1.4.10.8"><mi id="S6.Ex57.m1.4.10.8.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.8.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex57.m1.4.10.9"><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.9.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex57.m1.4.4">2</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.9.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.4.10.10">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.4.11">)</mo><mo id="S6.Ex57.m1.4.12">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex57.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex57.m1.1.1.1"><mi id="S6.Ex57.m1.1.1.1.3">λ</mi><mo id="S6.Ex57.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1"><mfrac id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2"><mn id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</mn></mfrac><mo id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1">−</mo><mi id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.3">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.1.1.1.2a">⁢</mo><mi id="S6.Ex57.m1.1.1.1.4">R</mi><mo id="S6.Ex57.m1.1.1.1.2b">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex57.m1.1.1.1.5"><mi id="S6.Ex57.m1.1.1.1.5.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex57.m1.1.1.1.5.3">1</mn><mn id="S6.Ex57.m1.1.1.1.5.2.3">2</mn></msubsup></mrow><mrow id="S6.Ex57.m1.2.2.2"><mn id="S6.Ex57.m1.2.2.2.3">4</mn><mo id="S6.Ex57.m1.2.2.2.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1"><mrow id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex57.m1.2.2.2.1.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex57.m1.4.13">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.4.14"><mfrac id="S6.Ex57.m1.4.14a"><mrow id="S6.Ex57.m1.4.14.2"><mn id="S6.Ex57.m1.4.14.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.14.2.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex57.m1.4.14.2.3"><mi id="S6.Ex57.m1.4.14.2.3.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex57.m1.4.14.2.3.3"><mo id="S6.Ex57.m1.4.14.2.3.3a">−</mo><mrow id="S6.Ex57.m1.4.14.2.3.3.2"><mn id="S6.Ex57.m1.4.14.2.3.3.2.2">2</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.14.2.3.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex57.m1.4.14.2.3.3.2.3">ϵ</mi></mrow></mrow></msup></mrow><msup id="S6.Ex57.m1.4.14.3"><mi id="S6.Ex57.m1.4.14.3.2">ϵ</mi><mn id="S6.Ex57.m1.4.14.3.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex57.m1.4.15">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.4.16"><mfrac id="S6.Ex57.m1.4.16a"><mrow id="S6.Ex57.m1.4.16.2"><mn id="S6.Ex57.m1.4.16.2.2">2</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.16.2.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex57.m1.4.16.2.3"><mi id="S6.Ex57.m1.4.16.2.3.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex57.m1.4.16.2.3.3"><mo id="S6.Ex57.m1.4.16.2.3.3a">−</mo><mi id="S6.Ex57.m1.4.16.2.3.3.2">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mi id="S6.Ex57.m1.4.16.3">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex57.m1.4.17"><mo id="S6.Ex57.m1.4.17.1">(</mo><mi id="S6.Ex57.m1.4.17.2">ψ</mi><mrow id="S6.Ex57.m1.4.17.3"><mo id="S6.Ex57.m1.4.17.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex57.m1.4.17.3.2">1</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.17.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.4.17.4">+</mo><mi id="S6.Ex57.m1.4.17.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex57.m1.4.17.6"><mo id="S6.Ex57.m1.4.17.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex57.m1.4.17.6.2">2</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.17.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.4.17.7">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex57.m1.4.18">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.4.19"><mfrac id="S6.Ex57.m1.4.19a"><mrow id="S6.Ex57.m1.4.19.2"><mn id="S6.Ex57.m1.4.19.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.19.2.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex57.m1.4.19.2.3"><mi id="S6.Ex57.m1.4.19.2.3.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex57.m1.4.19.2.3.3"><mo id="S6.Ex57.m1.4.19.2.3.3a">−</mo><mi id="S6.Ex57.m1.4.19.2.3.3.2">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mi id="S6.Ex57.m1.4.19.3">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex57.m1.4.20">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex57.m1.4.21"><mfrac id="S6.Ex57.m1.4.21a"><msubsup id="S6.Ex57.m1.4.21.2"><mi id="S6.Ex57.m1.4.21.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex57.m1.4.21.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex57.m1.4.21.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex57.m1.4.21.3"><mn id="S6.Ex57.m1.4.21.3.2">4</mn><mo id="S6.Ex57.m1.4.21.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex57.m1.4.21.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex57.m1.4.21.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex57.m1.4.21.3.4"><mi id="S6.Ex57.m1.4.21.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex57.m1.4.21.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex57.m1.4c">\displaystyle\left.+\frac{1}{2}\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)% ^{2}+\frac{1}{4}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+2\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)\right)% \right)+\frac{\lambda\left(\frac{1}{6}-\xi\right)Rm^{2}_{1}}{4(4\pi)^{4}}\left% (\frac{4\mu^{-2\epsilon}}{\epsilon^{2}}+\frac{2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\left% (\psi(1)+\psi(2)\right)-\frac{4\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\ln{\frac{m^{2}_{1}}{% 4\pi\mu^{2}}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex57.m1.4d">+ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG ( divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + 2 italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) ) ) + divide start_ARG italic_λ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG 4 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 2 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + italic_ψ ( 2 ) ) - divide start_ARG 4 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+2\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)^{2}+\psi(% 1)\psi(2)+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)% \right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(1)-\psi^{\prime}(1)\right)% +2\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}}\left(\psi(1)+\psi(2)\right)\right)," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex58.m1.8"><semantics id="S6.Ex58.m1.8a"><mrow id="S6.Ex58.m1.8b"><mo id="S6.Ex58.m1.8.9">+</mo><mn id="S6.Ex58.m1.8.10">2</mn><msup id="S6.Ex58.m1.8.11"><mrow id="S6.Ex58.m1.8.11.2"><mo id="S6.Ex58.m1.8.11.2.1">(</mo><mi id="S6.Ex58.m1.8.11.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3"><mfrac id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3a"><msubsup id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.2"><mi id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.3"><mn id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.3.2">4</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.3.4"><mi id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex58.m1.8.11.2.3.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex58.m1.8.11.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex58.m1.8.11.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex58.m1.8.12">+</mo><mi id="S6.Ex58.m1.8.13">ψ</mi><mrow id="S6.Ex58.m1.8.14"><mo id="S6.Ex58.m1.8.14.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex58.m1.1.1">1</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.14.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex58.m1.8.15">ψ</mi><mrow id="S6.Ex58.m1.8.16"><mo id="S6.Ex58.m1.8.16.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex58.m1.2.2">2</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.16.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.17">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex58.m1.8.18"><mfrac id="S6.Ex58.m1.8.18a"><mn id="S6.Ex58.m1.8.18.2">1</mn><mn id="S6.Ex58.m1.8.18.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex58.m1.8.19"><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex58.m1.8.19.2"><mfrac id="S6.Ex58.m1.8.19.2a"><msup id="S6.Ex58.m1.8.19.2.2"><mi id="S6.Ex58.m1.8.19.2.2.2">π</mi><mn id="S6.Ex58.m1.8.19.2.2.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex58.m1.8.19.2.3">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.3">+</mo><msup id="S6.Ex58.m1.8.19.4"><mi id="S6.Ex58.m1.8.19.4.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex58.m1.8.19.4.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex58.m1.8.19.5"><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex58.m1.3.3">2</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.6">−</mo><msup id="S6.Ex58.m1.8.19.7"><mi id="S6.Ex58.m1.8.19.7.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.7.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex58.m1.8.19.8"><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex58.m1.4.4">2</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.19.9">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.20">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex58.m1.8.21"><mfrac id="S6.Ex58.m1.8.21a"><mn id="S6.Ex58.m1.8.21.2">1</mn><mn id="S6.Ex58.m1.8.21.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex58.m1.8.22"><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex58.m1.8.22.2"><mfrac id="S6.Ex58.m1.8.22.2a"><msup id="S6.Ex58.m1.8.22.2.2"><mi id="S6.Ex58.m1.8.22.2.2.2">π</mi><mn id="S6.Ex58.m1.8.22.2.2.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex58.m1.8.22.2.3">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.3">+</mo><msup id="S6.Ex58.m1.8.22.4"><mi id="S6.Ex58.m1.8.22.4.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex58.m1.8.22.4.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex58.m1.8.22.5"><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex58.m1.5.5">1</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.6">−</mo><msup id="S6.Ex58.m1.8.22.7"><mi id="S6.Ex58.m1.8.22.7.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.7.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex58.m1.8.22.8"><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex58.m1.6.6">1</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.22.9">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.23">+</mo><mn id="S6.Ex58.m1.8.24">2</mn><mi id="S6.Ex58.m1.8.25">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex58.m1.8.26"><mfrac id="S6.Ex58.m1.8.26a"><mrow id="S6.Ex58.m1.8.26.2"><mn id="S6.Ex58.m1.8.26.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.26.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex58.m1.8.26.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex58.m1.8.26.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex58.m1.8.26.2.4"><mi id="S6.Ex58.m1.8.26.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex58.m1.8.26.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex58.m1.8.26.3"><mi id="S6.Ex58.m1.8.26.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex58.m1.8.26.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex58.m1.8.26.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex58.m1.8.27"><mo id="S6.Ex58.m1.8.27.1">(</mo><mi id="S6.Ex58.m1.8.27.2">ψ</mi><mrow id="S6.Ex58.m1.8.27.3"><mo id="S6.Ex58.m1.8.27.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex58.m1.7.7">1</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.27.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.27.4">+</mo><mi id="S6.Ex58.m1.8.27.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex58.m1.8.27.6"><mo id="S6.Ex58.m1.8.27.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex58.m1.8.8">2</mn><mo id="S6.Ex58.m1.8.27.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.27.7">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex58.m1.8.28">)</mo><mo id="S6.Ex58.m1.8.29">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex58.m1.8c">\displaystyle\left.+2\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)^{2}+\psi(% 1)\psi(2)+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)% \right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(1)-\psi^{\prime}(1)\right)% +2\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}}\left(\psi(1)+\psi(2)\right)\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex58.m1.8d">+ 2 ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ψ ( 1 ) italic_ψ ( 2 ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) ) + 2 roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + italic_ψ ( 2 ) ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="0"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(57)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.p6.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p6.2.1">where as we have stated earlier, we have kept terms only linear in curvature and</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.Ex59"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi^{\prime}(x)=\frac{\Gamma^{\prime\prime}(x)}{\Gamma(x)}-\frac{(\Gamma^{% \prime}(x))^{2}}{\Gamma^{2}(x)}." class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex59.m1.7"><semantics id="S6.Ex59.m1.7a"><mrow id="S6.Ex59.m1.7.7.1" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msup id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex59.m1.6.6" xref="S6.Ex59.m1.6.6.cmml">x</mi><mo id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.1" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.3" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex59.m1.2.2" xref="S6.Ex59.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex59.m1.1.1.1" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex59.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.2.cmml">Γ</mi><mo id="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S6.Ex59.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex59.m1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex59.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex59.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S6.Ex59.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex59.m1.2.2.2" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex59.m1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.3.cmml">Γ</mi><mo id="S6.Ex59.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex59.m1.2.2.2.4.2" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S6.Ex59.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex59.m1.2.2.2.1" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.1.cmml">x</mi><mo id="S6.Ex59.m1.2.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">−</mo><mfrac id="S6.Ex59.m1.5.5" xref="S6.Ex59.m1.5.5.cmml"><msup id="S6.Ex59.m1.4.4.2" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml">Γ</mi><mo id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.3" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex59.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex59.m1.3.3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex59.m1.4.4.2.4" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.4.cmml">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex59.m1.5.5.3" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.cmml"><msup id="S6.Ex59.m1.5.5.3.3" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.2.cmml">Γ</mi><mn id="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.3" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex59.m1.5.5.3.2" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex59.m1.5.5.3.4.2" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.cmml"><mo id="S6.Ex59.m1.5.5.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex59.m1.5.5.3.1" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.1.cmml">x</mi><mo id="S6.Ex59.m1.5.5.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S6.Ex59.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex59.m1.7b"><apply id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1"><eq id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2"><times id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.1"></times><apply id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.2">𝜓</ci><ci id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S6.Ex59.m1.6.6.cmml" xref="S6.Ex59.m1.6.6">𝑥</ci></apply><apply id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.3"><minus id="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.7.7.1.1.3.1"></minus><apply id="S6.Ex59.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.2.2"><divide id="S6.Ex59.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.2.2"></divide><apply id="S6.Ex59.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1"><times id="S6.Ex59.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.2">Γ</ci><ci id="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.3.3">′′</ci></apply><ci id="S6.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S6.Ex59.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2"><times id="S6.Ex59.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.2"></times><ci id="S6.Ex59.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.3">Γ</ci><ci id="S6.Ex59.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.2.2.2.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex59.m1.5.5.cmml" xref="S6.Ex59.m1.5.5"><divide id="S6.Ex59.m1.5.5.4.cmml" xref="S6.Ex59.m1.5.5"></divide><apply id="S6.Ex59.m1.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex59.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1"><times id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.1"></times><apply id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.2">Γ</ci><ci id="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.2.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S6.Ex59.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.3.3.1.1">𝑥</ci></apply><cn id="S6.Ex59.m1.4.4.2.4.cmml" type="integer" xref="S6.Ex59.m1.4.4.2.4">2</cn></apply><apply id="S6.Ex59.m1.5.5.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3"><times id="S6.Ex59.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.2"></times><apply id="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.2">Γ</ci><cn id="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S6.Ex59.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S6.Ex59.m1.5.5.3.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex59.m1.7c">\psi^{\prime}(x)=\frac{\Gamma^{\prime\prime}(x)}{\Gamma(x)}-\frac{(\Gamma^{% \prime}(x))^{2}}{\Gamma^{2}(x)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex59.m1.7d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x ) = divide start_ARG roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x ) end_ARG start_ARG roman_Γ ( italic_x ) end_ARG - divide start_ARG ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x ) end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p7"> <p class="ltx_p" id="S6.p7.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S6.p7.1.1">The sunset</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p7.1.2">:</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p8"> <p class="ltx_p" id="S6.p8.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p8.1.1">As we have mentioned at the beginning of this section, for the sunset diagram we will consider only its local part, as any non-local part could yield misleading results in this local or UV effective formalism. The corresponding integral, up to linear in curvature terms reads</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx53"> <tbody id="S6.Ex60"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\int\frac{d^{d}% k_{1}}{(2\pi)^{d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}% \frac{1}{k_{2}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex60.m1.4"><semantics id="S6.Ex60.m1.4a"><mrow id="S6.Ex60.m1.4b"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex60.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex60.m1.1.1a"><msup id="S6.Ex60.m1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.2">η</mi><mo id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mrow id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">λ</mi><mo id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex60.m1.1.1.1.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex60.m1.1.1.3">12</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex60.m1.4.5"><mo id="S6.Ex60.m1.4.5.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex60.m1.4.5.2"><mo id="S6.Ex60.m1.4.5.2a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex60.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex60.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex60.m1.2.2.3"><msup id="S6.Ex60.m1.2.2.3.2"><mi id="S6.Ex60.m1.2.2.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex60.m1.2.2.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex60.m1.2.2.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex60.m1.2.2.3.3"><mi id="S6.Ex60.m1.2.2.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex60.m1.2.2.3.3.3">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex60.m1.2.2.1"><mrow id="S6.Ex60.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex60.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex60.m1.2.2.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex60.m1.2.2.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex60.m1.2.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex60.m1.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex60.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex60.m1.2.2.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex60.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex60.m1.3.3a"><mrow id="S6.Ex60.m1.3.3.3"><msup id="S6.Ex60.m1.3.3.3.2"><mi id="S6.Ex60.m1.3.3.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex60.m1.3.3.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex60.m1.3.3.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex60.m1.3.3.3.3"><mi id="S6.Ex60.m1.3.3.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex60.m1.3.3.3.3.3">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex60.m1.3.3.1"><mrow id="S6.Ex60.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S6.Ex60.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex60.m1.3.3.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex60.m1.3.3.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex60.m1.3.3.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex60.m1.3.3.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex60.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex60.m1.3.3.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex60.m1.4.5.3"><mfrac id="S6.Ex60.m1.4.5.3a"><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.3.2">1</mn><mrow id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3"><msubsup id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.2"><mi id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.3"><mi id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.3.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex60.m1.4.5.4"><mfrac id="S6.Ex60.m1.4.5.4a"><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.4.2">1</mn><mrow id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3"><msubsup id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.2"><mi id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.2.2.3">2</mn><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.3"><mi id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex60.m1.4.5.4.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex60.m1.4.4"><mfrac id="S6.Ex60.m1.4.4a"><mn id="S6.Ex60.m1.4.4.3">1</mn><mrow id="S6.Ex60.m1.4.4.1"><msup id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1"><mrow id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.1"><msub id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex60.m1.4.4.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex60.m1.4.4.1.2">+</mo><msubsup id="S6.Ex60.m1.4.4.1.3"><mi id="S6.Ex60.m1.4.4.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex60.m1.4.4.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex60.m1.4.4.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex60.m1.4c">\displaystyle\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\int\frac{d^{d}% k_{1}}{(2\pi)^{d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}% \frac{1}{k_{2}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex60.m1.4d">divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 12 end_ARG ( ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex61"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{(k_{2}^% {2}+m^{2}_{1})^{2}}\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex61.m1.5"><semantics id="S6.Ex61.m1.5a"><mrow id="S6.Ex61.m1.5.5" xref="S6.Ex61.m1.5.5.cmml"><mo id="S6.Ex61.m1.5.5a" xref="S6.Ex61.m1.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex61.m1.5.5.1" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex61.m1.5.5.1.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.3.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.2a" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.cmml"><mrow id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4a" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.1" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex61.m1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex61.m1.1.1.3" xref="S6.Ex61.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex61.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex61.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex61.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex61.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex61.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex61.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex61.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex61.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex61.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex61.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex61.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex61.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex61.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex61.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex61.m1.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex61.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex61.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.1" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex61.m1.2.2" xref="S6.Ex61.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex61.m1.2.2.3" xref="S6.Ex61.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex61.m1.2.2.3.2" xref="S6.Ex61.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex61.m1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex61.m1.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex61.m1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex61.m1.2.2.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex61.m1.2.2.3.1" xref="S6.Ex61.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex61.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex61.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex61.m1.2.2.3.3.2" xref="S6.Ex61.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex61.m1.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex61.m1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex61.m1.2.2.1" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex61.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex61.m1.2.2.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.1a" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.cmml"><msubsup id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.1" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.3" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.1b" xref="S6.Ex61.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex61.m1.3.3" xref="S6.Ex61.m1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex61.m1.3.3.3" xref="S6.Ex61.m1.3.3.3.cmml">1</mn><msup id="S6.Ex61.m1.3.3.1" xref="S6.Ex61.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.Ex61.m1.3.3.1.1.1" 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id="S6.Ex63.m1.5.10.3.2"><mi id="S6.Ex63.m1.5.10.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex63.m1.5.10.3.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex63.m1.5.10.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex63.m1.5.10.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex63.m1.5.10.3.3"><mi id="S6.Ex63.m1.5.10.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex63.m1.5.10.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex63.m1.5.10.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex63.m1.5.11"><mfrac id="S6.Ex63.m1.5.11a"><mn id="S6.Ex63.m1.5.11.2">1</mn><mrow id="S6.Ex63.m1.5.11.3"><msubsup id="S6.Ex63.m1.5.11.3.2"><mi id="S6.Ex63.m1.5.11.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex63.m1.5.11.3.2.2.3">2</mn><mn id="S6.Ex63.m1.5.11.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex63.m1.5.11.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex63.m1.5.11.3.3"><mi id="S6.Ex63.m1.5.11.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex63.m1.5.11.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex63.m1.5.11.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex63.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex63.m1.3.3a"><mn id="S6.Ex63.m1.3.3.3">1</mn><msup id="S6.Ex63.m1.3.3.1"><mrow id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1"><msup id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.2">+</mo><msubsup id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex63.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex63.m1.3.3.1.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex63.m1.5.12">)</mo><mo id="S6.Ex63.m1.5.13" rspace="0em">=</mo><mo id="S6.Ex63.m1.5.14" lspace="0em">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex63.m1.5.5"><mfrac id="S6.Ex63.m1.5.5a"><mrow id="S6.Ex63.m1.4.4.1"><msup id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1"><mrow id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1"><mi id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">η</mi><mo id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">+</mo><mrow id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">λ</mi><mo id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex63.m1.4.4.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex63.m1.4.4.1.2">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex63.m1.4.4.1.3"><mi id="S6.Ex63.m1.4.4.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex63.m1.4.4.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex63.m1.4.4.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow><mrow id="S6.Ex63.m1.5.5.2"><mn id="S6.Ex63.m1.5.5.2.3">2</mn><mo id="S6.Ex63.m1.5.5.2.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1"><mrow id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex63.m1.5.5.2.1.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex63.m1.5.15">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex63.m1.5.16"><mfrac id="S6.Ex63.m1.5.16a"><msup id="S6.Ex63.m1.5.16.2"><mi id="S6.Ex63.m1.5.16.2.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex63.m1.5.16.2.3"><mo id="S6.Ex63.m1.5.16.2.3a">−</mo><mrow id="S6.Ex63.m1.5.16.2.3.2"><mn id="S6.Ex63.m1.5.16.2.3.2.2">2</mn><mo id="S6.Ex63.m1.5.16.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex63.m1.5.16.2.3.2.3">ϵ</mi></mrow></mrow></msup><msup id="S6.Ex63.m1.5.16.3"><mi id="S6.Ex63.m1.5.16.3.2">ϵ</mi><mn id="S6.Ex63.m1.5.16.3.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex63.m1.5.17">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex63.m1.5.18"><mfrac id="S6.Ex63.m1.5.18a"><msup id="S6.Ex63.m1.5.18.2"><mi id="S6.Ex63.m1.5.18.2.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex63.m1.5.18.2.3"><mo id="S6.Ex63.m1.5.18.2.3a">−</mo><mi id="S6.Ex63.m1.5.18.2.3.2">ϵ</mi></mrow></msup><mi id="S6.Ex63.m1.5.18.3">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex63.m1.5.19"><mo id="S6.Ex63.m1.5.19.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex63.m1.5.19.2"><mfrac id="S6.Ex63.m1.5.19.2a"><mn id="S6.Ex63.m1.5.19.2.2">3</mn><mn id="S6.Ex63.m1.5.19.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex63.m1.5.19.3">+</mo><mi id="S6.Ex63.m1.5.19.4">ψ</mi><mrow id="S6.Ex63.m1.5.19.5"><mo id="S6.Ex63.m1.5.19.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex63.m1.5.19.5.2">1</mn><mo id="S6.Ex63.m1.5.19.5.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex63.m1.5.19.6">−</mo><mi id="S6.Ex63.m1.5.19.7">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex63.m1.5.19.8"><mfrac id="S6.Ex63.m1.5.19.8a"><msubsup id="S6.Ex63.m1.5.19.8.2"><mi id="S6.Ex63.m1.5.19.8.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex63.m1.5.19.8.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex63.m1.5.19.8.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex63.m1.5.19.8.3"><mn id="S6.Ex63.m1.5.19.8.3.2">4</mn><mo id="S6.Ex63.m1.5.19.8.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex63.m1.5.19.8.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex63.m1.5.19.8.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex63.m1.5.19.8.3.4"><mi id="S6.Ex63.m1.5.19.8.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex63.m1.5.19.8.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex63.m1.5.19.9">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex63.m1.5c">\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{k_{2}^{% 2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{((k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1})^{2}}\right)=-\frac{\left(% \eta+\lambda\phi\right)^{2}m^{2}_{1}}{2(4\pi)^{4}}\left(\frac{\mu^{-2\epsilon}% }{\epsilon^{2}}+\frac{\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\left(\frac{3}{2}+\psi(1)-\ln{% \frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex63.m1.5d">+ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) = - divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ( divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_ψ ( 1 ) - roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex64"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+2\left(\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right)^{2}+2\left(% \psi^{\prime}(1)+\psi^{2}(1)\right)+4\psi(1)\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+% \ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\psi(1)-\frac{1}{2}\right)+\frac{\left(\eta+% \lambda\phi\right)^{2}}{2}\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(4\pi)^{4}}% \left(\frac{\mu^{-2\epsilon}}{\epsilon^{2}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex64.m1.7"><semantics id="S6.Ex64.m1.7a"><mrow id="S6.Ex64.m1.7b"><mo id="S6.Ex64.m1.7.8">+</mo><mn id="S6.Ex64.m1.7.9">2</mn><msup id="S6.Ex64.m1.7.10"><mrow id="S6.Ex64.m1.7.10.2"><mo id="S6.Ex64.m1.7.10.2.1">(</mo><mi id="S6.Ex64.m1.7.10.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3"><mfrac id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3a"><mrow id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.2"><mn id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.2.4"><mi id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.3"><mi id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex64.m1.7.10.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex64.m1.7.10.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex64.m1.7.10.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex64.m1.7.11">+</mo><mn id="S6.Ex64.m1.7.12">2</mn><mrow id="S6.Ex64.m1.7.13"><mo id="S6.Ex64.m1.7.13.1">(</mo><msup id="S6.Ex64.m1.7.13.2"><mi id="S6.Ex64.m1.7.13.2.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex64.m1.7.13.2.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex64.m1.7.13.3"><mo id="S6.Ex64.m1.7.13.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex64.m1.4.4">1</mn><mo id="S6.Ex64.m1.7.13.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex64.m1.7.13.4">+</mo><msup id="S6.Ex64.m1.7.13.5"><mi id="S6.Ex64.m1.7.13.5.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex64.m1.7.13.5.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex64.m1.7.13.6"><mo id="S6.Ex64.m1.7.13.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex64.m1.5.5">1</mn><mo id="S6.Ex64.m1.7.13.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex64.m1.7.13.7">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex64.m1.7.14">+</mo><mn id="S6.Ex64.m1.7.15">4</mn><mi id="S6.Ex64.m1.7.16">ψ</mi><mrow id="S6.Ex64.m1.7.17"><mo id="S6.Ex64.m1.7.17.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex64.m1.6.6">1</mn><mo id="S6.Ex64.m1.7.17.2" rspace="0.167em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex64.m1.7.18">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex64.m1.7.19"><mfrac id="S6.Ex64.m1.7.19a"><mrow id="S6.Ex64.m1.7.19.2"><mn id="S6.Ex64.m1.7.19.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex64.m1.7.19.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex64.m1.7.19.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex64.m1.7.19.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex64.m1.7.19.2.4"><mi id="S6.Ex64.m1.7.19.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex64.m1.7.19.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex64.m1.7.19.3"><mi id="S6.Ex64.m1.7.19.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex64.m1.7.19.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex64.m1.7.19.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex64.m1.7.20">+</mo><mi id="S6.Ex64.m1.7.21">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex64.m1.7.22"><mfrac id="S6.Ex64.m1.7.22a"><mrow id="S6.Ex64.m1.7.22.2"><mn id="S6.Ex64.m1.7.22.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex64.m1.7.22.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex64.m1.7.22.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex64.m1.7.22.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex64.m1.7.22.2.4"><mi id="S6.Ex64.m1.7.22.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex64.m1.7.22.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex64.m1.7.22.3"><mi id="S6.Ex64.m1.7.22.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex64.m1.7.22.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex64.m1.7.22.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex64.m1.7.23">+</mo><mi id="S6.Ex64.m1.7.24">ψ</mi><mrow id="S6.Ex64.m1.7.25"><mo id="S6.Ex64.m1.7.25.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex64.m1.7.7">1</mn><mo id="S6.Ex64.m1.7.25.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex64.m1.7.26">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex64.m1.7.27"><mfrac id="S6.Ex64.m1.7.27a"><mn id="S6.Ex64.m1.7.27.2">1</mn><mn id="S6.Ex64.m1.7.27.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex64.m1.7.28">)</mo><mo id="S6.Ex64.m1.7.29">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex64.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex64.m1.1.1a"><msup id="S6.Ex64.m1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.2">η</mi><mo id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mrow id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">λ</mi><mo id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex64.m1.1.1.1.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex64.m1.1.1.3">2</mn></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex64.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex64.m1.3.3a"><mrow id="S6.Ex64.m1.2.2.1"><mrow id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1"><mfrac id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.2"><mn id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">6</mn></mfrac><mo id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1">−</mo><mi id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.3">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex64.m1.2.2.1.1.1.3">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex64.m1.2.2.1.2">⁢</mo><mi id="S6.Ex64.m1.2.2.1.3">R</mi></mrow><msup id="S6.Ex64.m1.3.3.2"><mrow id="S6.Ex64.m1.3.3.2.1.1"><mo id="S6.Ex64.m1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex64.m1.3.3.2.1.1.1"><mn id="S6.Ex64.m1.3.3.2.1.1.1.2">4</mn><mo id="S6.Ex64.m1.3.3.2.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex64.m1.3.3.2.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex64.m1.3.3.2.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex64.m1.3.3.2.3">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex64.m1.7.30">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex64.m1.7.31"><mfrac id="S6.Ex64.m1.7.31a"><msup id="S6.Ex64.m1.7.31.2"><mi id="S6.Ex64.m1.7.31.2.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex64.m1.7.31.2.3"><mo id="S6.Ex64.m1.7.31.2.3a">−</mo><mrow id="S6.Ex64.m1.7.31.2.3.2"><mn id="S6.Ex64.m1.7.31.2.3.2.2">2</mn><mo id="S6.Ex64.m1.7.31.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex64.m1.7.31.2.3.2.3">ϵ</mi></mrow></mrow></msup><msup id="S6.Ex64.m1.7.31.3"><mi id="S6.Ex64.m1.7.31.3.2">ϵ</mi><mn id="S6.Ex64.m1.7.31.3.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex64.m1.7c">\displaystyle\left.+2\left(\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right)^{2}+2\left(% \psi^{\prime}(1)+\psi^{2}(1)\right)+4\psi(1)\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+% \ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\psi(1)-\frac{1}{2}\right)+\frac{\left(\eta+% \lambda\phi\right)^{2}}{2}\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(4\pi)^{4}}% \left(\frac{\mu^{-2\epsilon}}{\epsilon^{2}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex64.m1.7d">+ 2 ( roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) ) + 4 italic_ψ ( 1 ) roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) + divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\frac{\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\left(\frac{1}{2}+\psi(1)-% \ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)+2\left(\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{% 1}}\right)^{2}+2\left(\psi^{\prime}(1)+\psi^{2}(1)\right)+4\psi(1)\ln\frac{4% \pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\psi(1)-\frac{1}{2}% \right)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.E58.m1.5"><semantics id="S6.E58.m1.5a"><mrow id="S6.E58.m1.5b"><mo id="S6.E58.m1.5.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E58.m1.5.7"><mfrac id="S6.E58.m1.5.7a"><msup id="S6.E58.m1.5.7.2"><mi id="S6.E58.m1.5.7.2.2">μ</mi><mrow id="S6.E58.m1.5.7.2.3"><mo id="S6.E58.m1.5.7.2.3a">−</mo><mi id="S6.E58.m1.5.7.2.3.2">ϵ</mi></mrow></msup><mi id="S6.E58.m1.5.7.3">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mrow id="S6.E58.m1.5.8"><mo id="S6.E58.m1.5.8.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E58.m1.5.8.2"><mfrac id="S6.E58.m1.5.8.2a"><mn id="S6.E58.m1.5.8.2.2">1</mn><mn id="S6.E58.m1.5.8.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E58.m1.5.8.3">+</mo><mi id="S6.E58.m1.5.8.4">ψ</mi><mrow id="S6.E58.m1.5.8.5"><mo id="S6.E58.m1.5.8.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E58.m1.1.1">1</mn><mo id="S6.E58.m1.5.8.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E58.m1.5.8.6">−</mo><mi id="S6.E58.m1.5.8.7">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.E58.m1.5.8.8"><mfrac id="S6.E58.m1.5.8.8a"><msubsup id="S6.E58.m1.5.8.8.2"><mi id="S6.E58.m1.5.8.8.2.2.2">m</mi><mn id="S6.E58.m1.5.8.8.2.3">1</mn><mn id="S6.E58.m1.5.8.8.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.E58.m1.5.8.8.3"><mn id="S6.E58.m1.5.8.8.3.2">4</mn><mo id="S6.E58.m1.5.8.8.3.1">⁢</mo><mi id="S6.E58.m1.5.8.8.3.3">π</mi><mo id="S6.E58.m1.5.8.8.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.E58.m1.5.8.8.3.4"><mi id="S6.E58.m1.5.8.8.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.E58.m1.5.8.8.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E58.m1.5.8.9">)</mo></mrow><mo id="S6.E58.m1.5.9">+</mo><mn id="S6.E58.m1.5.10">2</mn><msup id="S6.E58.m1.5.11"><mrow id="S6.E58.m1.5.11.2"><mo id="S6.E58.m1.5.11.2.1">(</mo><mi id="S6.E58.m1.5.11.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.E58.m1.5.11.2.3"><mfrac id="S6.E58.m1.5.11.2.3a"><mrow id="S6.E58.m1.5.11.2.3.2"><mn id="S6.E58.m1.5.11.2.3.2.2">4</mn><mo id="S6.E58.m1.5.11.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.E58.m1.5.11.2.3.2.3">π</mi><mo id="S6.E58.m1.5.11.2.3.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.E58.m1.5.11.2.3.2.4"><mi id="S6.E58.m1.5.11.2.3.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.E58.m1.5.11.2.3.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.E58.m1.5.11.2.3.3"><mi id="S6.E58.m1.5.11.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.E58.m1.5.11.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.E58.m1.5.11.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E58.m1.5.11.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.E58.m1.5.11.3">2</mn></msup><mo id="S6.E58.m1.5.12">+</mo><mn id="S6.E58.m1.5.13">2</mn><mrow id="S6.E58.m1.5.14"><mo id="S6.E58.m1.5.14.1">(</mo><msup id="S6.E58.m1.5.14.2"><mi id="S6.E58.m1.5.14.2.2">ψ</mi><mo id="S6.E58.m1.5.14.2.3">′</mo></msup><mrow id="S6.E58.m1.5.14.3"><mo id="S6.E58.m1.5.14.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E58.m1.2.2">1</mn><mo id="S6.E58.m1.5.14.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E58.m1.5.14.4">+</mo><msup id="S6.E58.m1.5.14.5"><mi id="S6.E58.m1.5.14.5.2">ψ</mi><mn id="S6.E58.m1.5.14.5.3">2</mn></msup><mrow id="S6.E58.m1.5.14.6"><mo id="S6.E58.m1.5.14.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E58.m1.3.3">1</mn><mo id="S6.E58.m1.5.14.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E58.m1.5.14.7">)</mo></mrow><mo id="S6.E58.m1.5.15">+</mo><mn id="S6.E58.m1.5.16">4</mn><mi id="S6.E58.m1.5.17">ψ</mi><mrow id="S6.E58.m1.5.18"><mo id="S6.E58.m1.5.18.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E58.m1.4.4">1</mn><mo id="S6.E58.m1.5.18.2" rspace="0.167em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.E58.m1.5.19">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.E58.m1.5.20"><mfrac id="S6.E58.m1.5.20a"><mrow id="S6.E58.m1.5.20.2"><mn id="S6.E58.m1.5.20.2.2">4</mn><mo id="S6.E58.m1.5.20.2.1">⁢</mo><mi id="S6.E58.m1.5.20.2.3">π</mi><mo id="S6.E58.m1.5.20.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.E58.m1.5.20.2.4"><mi id="S6.E58.m1.5.20.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.E58.m1.5.20.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.E58.m1.5.20.3"><mi id="S6.E58.m1.5.20.3.2.2">m</mi><mn id="S6.E58.m1.5.20.3.3">1</mn><mn id="S6.E58.m1.5.20.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E58.m1.5.21">+</mo><mi id="S6.E58.m1.5.22">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.E58.m1.5.23"><mfrac id="S6.E58.m1.5.23a"><mrow id="S6.E58.m1.5.23.2"><mn id="S6.E58.m1.5.23.2.2">4</mn><mo id="S6.E58.m1.5.23.2.1">⁢</mo><mi id="S6.E58.m1.5.23.2.3">π</mi><mo id="S6.E58.m1.5.23.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.E58.m1.5.23.2.4"><mi id="S6.E58.m1.5.23.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.E58.m1.5.23.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.E58.m1.5.23.3"><mi id="S6.E58.m1.5.23.3.2.2">m</mi><mn id="S6.E58.m1.5.23.3.3">1</mn><mn id="S6.E58.m1.5.23.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E58.m1.5.24">+</mo><mi id="S6.E58.m1.5.25">ψ</mi><mrow id="S6.E58.m1.5.26"><mo id="S6.E58.m1.5.26.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E58.m1.5.5">1</mn><mo id="S6.E58.m1.5.26.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E58.m1.5.27">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E58.m1.5.28"><mfrac id="S6.E58.m1.5.28a"><mn id="S6.E58.m1.5.28.2">1</mn><mn id="S6.E58.m1.5.28.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E58.m1.5.29">)</mo><mo id="S6.E58.m1.5.30" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E58.m1.5c">\displaystyle\left.+\frac{\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}\left(\frac{1}{2}+\psi(1)-% \ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)+2\left(\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{% 1}}\right)^{2}+2\left(\psi^{\prime}(1)+\psi^{2}(1)\right)+4\psi(1)\ln\frac{4% \pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\psi(1)-\frac{1}{2}% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E58.m1.5d">+ divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_ψ ( 1 ) - roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + 2 ( roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) ) + 4 italic_ψ ( 1 ) roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(58)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p9"> <p class="ltx_p" id="S6.p9.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S6.p9.1.1">One loop counterterm contribution</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p9.1.2">:</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p10"> <p class="ltx_p" id="S6.p10.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.4.1">The one loop counterterm contribution reads</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx54"> <tbody id="S6.E59"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{2}\left(\delta m^{2}+\frac{1}{2}\delta\lambda\phi^{2}+% \delta\eta\phi+\delta\xi R\right)\times\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\left(% \frac{1}{k^{2}+m^{2}_{1}}+\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(k^{2}+m^{2}_{1% })^{2}}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E59.m1.4"><semantics id="S6.E59.m1.4a"><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.3a" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">δ</mi><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">λ</mi><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">η</mi><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">ξ</mi><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.1a" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.4" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.4.cmml">R</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.222em" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.3.cmml">×</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2a" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mfrac id="S6.E59.m1.1.1" xref="S6.E59.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.1.1.3" xref="S6.E59.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.E59.m1.1.1.3.2" xref="S6.E59.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E59.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.E59.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E59.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.E59.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.E59.m1.1.1.3.1" xref="S6.E59.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.1.1.3.3" xref="S6.E59.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.E59.m1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E59.m1.1.1.1.3" xref="S6.E59.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S6.E59.m1.3.3" xref="S6.E59.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.2.2.1" xref="S6.E59.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E59.m1.2.2.1.2" xref="S6.E59.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E59.m1.2.2.1.3" xref="S6.E59.m1.2.2.1.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S6.E59.m1.3.3.2" xref="S6.E59.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.2" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.3" 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id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E59.m1.3.3.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3"><divide id="S6.E59.m1.3.3.3.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3"></divide><apply id="S6.E59.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.E59.m1.2.2.1"><times id="S6.E59.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.E59.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2"><divide id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E59.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S6.E59.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S6.E59.m1.2.2.1.3">𝑅</ci></apply><apply id="S6.E59.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E59.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1"><plus id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.3.3.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S6.E59.m1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E59.m1.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E59.m1.4c">\displaystyle\frac{1}{2}\left(\delta m^{2}+\frac{1}{2}\delta\lambda\phi^{2}+% \delta\eta\phi+\delta\xi R\right)\times\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\left(% \frac{1}{k^{2}+m^{2}_{1}}+\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(k^{2}+m^{2}_{1% })^{2}}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E59.m1.4d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_δ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_δ italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ italic_η italic_ϕ + italic_δ italic_ξ italic_R ) × ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(59)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.p10.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.3.1">where </span><math alttext="\delta m^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p10.1.m1.1"><semantics id="S6.p10.1.m1.1a"><mrow id="S6.p10.1.m1.1.1" xref="S6.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p10.1.m1.1.1.2" xref="S6.p10.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.p10.1.m1.1.1.1" xref="S6.p10.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.p10.1.m1.1.1.3" xref="S6.p10.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p10.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.p10.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p10.1.m1.1b"><apply id="S6.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p10.1.m1.1.1"><times id="S6.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p10.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S6.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p10.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S6.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.p10.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p10.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p10.1.m1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S6.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p10.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p10.1.m1.1c">\delta m^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p10.1.m1.1d">italic_δ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.3.2">, </span><math alttext="\delta\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p10.2.m2.1"><semantics id="S6.p10.2.m2.1a"><mrow id="S6.p10.2.m2.1.1" xref="S6.p10.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p10.2.m2.1.1.2" xref="S6.p10.2.m2.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.p10.2.m2.1.1.1" xref="S6.p10.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.p10.2.m2.1.1.3" xref="S6.p10.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p10.2.m2.1b"><apply id="S6.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p10.2.m2.1.1"><times id="S6.p10.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p10.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S6.p10.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p10.2.m2.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S6.p10.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.p10.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p10.2.m2.1c">\delta\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p10.2.m2.1d">italic_δ italic_λ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.3.3"> and </span><math alttext="\delta\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p10.3.m3.1"><semantics id="S6.p10.3.m3.1a"><mrow id="S6.p10.3.m3.1.1" xref="S6.p10.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.p10.3.m3.1.1.2" xref="S6.p10.3.m3.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.p10.3.m3.1.1.1" xref="S6.p10.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.p10.3.m3.1.1.3" xref="S6.p10.3.m3.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p10.3.m3.1b"><apply id="S6.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.p10.3.m3.1.1"><times id="S6.p10.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.p10.3.m3.1.1.1"></times><ci id="S6.p10.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.p10.3.m3.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S6.p10.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.p10.3.m3.1.1.3">𝜉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p10.3.m3.1c">\delta\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p10.3.m3.1d">italic_δ italic_ξ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.3.4"> can be seen in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E19" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.3.5">. We next add the divergent terms coming from </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E57" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">57</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.3.6">, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E58" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.3.7">, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E59" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">59</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.3.8">, in order to find out the divergence of the effective potential</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx55"> <tbody id="S6.Ex65"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{Div}V_{\rm{eff}}^{2-{\rm loop}}=\frac{\mu^{-2\epsilon}}{2% (4\pi)^{4}\epsilon^{2}}\left(2m^{4}\lambda+m^{2}\eta^{2}+4m^{2}\eta\lambda\phi% +\eta^{3}\phi+4m^{2}\lambda^{2}\phi^{2}+\frac{7}{2}\lambda\eta^{2}\phi^{2}+3% \eta\lambda^{2}\phi^{3}+\frac{3}{4}\lambda^{3}\phi^{4}-2m^{2}\lambda\left(% \frac{1}{6}-\xi\right)R\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex65.m1.1"><semantics id="S6.Ex65.m1.1a"><mrow id="S6.Ex65.m1.1b"><mi id="S6.Ex65.m1.1.2">𝔻</mi><mi id="S6.Ex65.m1.1.3">𝕚</mi><mi id="S6.Ex65.m1.1.4">𝕧</mi><msubsup id="S6.Ex65.m1.1.5"><mi id="S6.Ex65.m1.1.5.2.2">V</mi><mi id="S6.Ex65.m1.1.5.2.3">eff</mi><mrow id="S6.Ex65.m1.1.5.3"><mn id="S6.Ex65.m1.1.5.3.2">2</mn><mo id="S6.Ex65.m1.1.5.3.1">−</mo><mi id="S6.Ex65.m1.1.5.3.3">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S6.Ex65.m1.1.6">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex65.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex65.m1.1.1a"><msup id="S6.Ex65.m1.1.1.3"><mi id="S6.Ex65.m1.1.1.3.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex65.m1.1.1.3.3"><mo id="S6.Ex65.m1.1.1.3.3a">−</mo><mrow id="S6.Ex65.m1.1.1.3.3.2"><mn id="S6.Ex65.m1.1.1.3.3.2.2">2</mn><mo id="S6.Ex65.m1.1.1.3.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex65.m1.1.1.3.3.2.3">ϵ</mi></mrow></mrow></msup><mrow id="S6.Ex65.m1.1.1.1"><mn id="S6.Ex65.m1.1.1.1.3">2</mn><mo id="S6.Ex65.m1.1.1.1.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex65.m1.1.1.1.1.3">4</mn></msup><mo id="S6.Ex65.m1.1.1.1.2a">⁢</mo><msup id="S6.Ex65.m1.1.1.1.4"><mi id="S6.Ex65.m1.1.1.1.4.2">ϵ</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.1.1.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex65.m1.1.7"><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.1">(</mo><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.2">2</mn><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.3"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.3.2">m</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.3.3">4</mn></msup><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.4">λ</mi><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.5">+</mo><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.6"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.6.2">m</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.6.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.7"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.7.2">η</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.7.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.8">+</mo><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.9">4</mn><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.10"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.10.2">m</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.10.3">2</mn></msup><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.11">η</mi><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.12">λ</mi><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.13">ϕ</mi><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.14">+</mo><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.15"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.15.2">η</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.15.3">3</mn></msup><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.16">ϕ</mi><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.17">+</mo><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.18">4</mn><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.19"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.19.2">m</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.19.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.20"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.20.2">λ</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.20.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.21"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.21.2">ϕ</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.21.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.22">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex65.m1.1.7.23"><mfrac id="S6.Ex65.m1.1.7.23a"><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.23.2">7</mn><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.23.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.24">λ</mi><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.25"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.25.2">η</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.25.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.26"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.26.2">ϕ</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.26.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.27">+</mo><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.28">3</mn><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.29">η</mi><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.30"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.30.2">λ</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.30.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.31"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.31.2">ϕ</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.31.3">3</mn></msup><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.32">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex65.m1.1.7.33"><mfrac id="S6.Ex65.m1.1.7.33a"><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.33.2">3</mn><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.33.3">4</mn></mfrac></mstyle><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.34"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.34.2">λ</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.34.3">3</mn></msup><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.35"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.35.2">ϕ</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.35.3">4</mn></msup><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.36">−</mo><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.37">2</mn><msup id="S6.Ex65.m1.1.7.38"><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.38.2">m</mi><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.38.3">2</mn></msup><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.39">λ</mi><mrow id="S6.Ex65.m1.1.7.40"><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.40.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex65.m1.1.7.40.2"><mfrac id="S6.Ex65.m1.1.7.40.2a"><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.40.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex65.m1.1.7.40.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.40.3">−</mo><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.40.4">ξ</mi><mo id="S6.Ex65.m1.1.7.40.5">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex65.m1.1.7.41">R</mi></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex65.m1.1c">\displaystyle\mathbb{Div}V_{\rm{eff}}^{2-{\rm loop}}=\frac{\mu^{-2\epsilon}}{2% (4\pi)^{4}\epsilon^{2}}\left(2m^{4}\lambda+m^{2}\eta^{2}+4m^{2}\eta\lambda\phi% +\eta^{3}\phi+4m^{2}\lambda^{2}\phi^{2}+\frac{7}{2}\lambda\eta^{2}\phi^{2}+3% \eta\lambda^{2}\phi^{3}+\frac{3}{4}\lambda^{3}\phi^{4}-2m^{2}\lambda\left(% \frac{1}{6}-\xi\right)R\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex65.m1.1d">blackboard_D blackboard_i blackboard_v italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 - roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η italic_λ italic_ϕ + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ + 4 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 7 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 3 italic_η italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex66"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.-\eta^{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R-4\eta\lambda\phi% \left(\frac{1}{6}-\xi\right)R-\lambda^{2}\phi^{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\right)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex66.m1.1"><semantics id="S6.Ex66.m1.1a"><mrow id="S6.Ex66.m1.1b"><mo id="S6.Ex66.m1.1.1">−</mo><msup id="S6.Ex66.m1.1.2"><mi id="S6.Ex66.m1.1.2.2">η</mi><mn id="S6.Ex66.m1.1.2.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex66.m1.1.3"><mo id="S6.Ex66.m1.1.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex66.m1.1.3.2"><mfrac id="S6.Ex66.m1.1.3.2a"><mn id="S6.Ex66.m1.1.3.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex66.m1.1.3.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex66.m1.1.3.3">−</mo><mi id="S6.Ex66.m1.1.3.4">ξ</mi><mo id="S6.Ex66.m1.1.3.5">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex66.m1.1.4">R</mi><mo id="S6.Ex66.m1.1.5">−</mo><mn id="S6.Ex66.m1.1.6">4</mn><mi id="S6.Ex66.m1.1.7">η</mi><mi id="S6.Ex66.m1.1.8">λ</mi><mi id="S6.Ex66.m1.1.9">ϕ</mi><mrow id="S6.Ex66.m1.1.10"><mo id="S6.Ex66.m1.1.10.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex66.m1.1.10.2"><mfrac id="S6.Ex66.m1.1.10.2a"><mn id="S6.Ex66.m1.1.10.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex66.m1.1.10.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex66.m1.1.10.3">−</mo><mi id="S6.Ex66.m1.1.10.4">ξ</mi><mo id="S6.Ex66.m1.1.10.5">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex66.m1.1.11">R</mi><mo id="S6.Ex66.m1.1.12">−</mo><msup id="S6.Ex66.m1.1.13"><mi id="S6.Ex66.m1.1.13.2">λ</mi><mn id="S6.Ex66.m1.1.13.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex66.m1.1.14"><mi id="S6.Ex66.m1.1.14.2">ϕ</mi><mn id="S6.Ex66.m1.1.14.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex66.m1.1.15"><mo id="S6.Ex66.m1.1.15.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex66.m1.1.15.2"><mfrac id="S6.Ex66.m1.1.15.2a"><mn id="S6.Ex66.m1.1.15.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex66.m1.1.15.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex66.m1.1.15.3">−</mo><mi id="S6.Ex66.m1.1.15.4">ξ</mi><mo id="S6.Ex66.m1.1.15.5">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex66.m1.1.16">R</mi><mo id="S6.Ex66.m1.1.17">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex66.m1.1c">\displaystyle\left.-\eta^{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R-4\eta\lambda\phi% \left(\frac{1}{6}-\xi\right)R-\lambda^{2}\phi^{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex66.m1.1d">- italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R - 4 italic_η italic_λ italic_ϕ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R - italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex67"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{\mu^{-\epsilon}}{2(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\lambda\eta^{2}% \phi^{2}\left(\frac{5}{2}\psi(2)-\frac{5}{2}\psi(1)-\frac{15}{4}\right)+2m^{2}% \lambda^{2}\phi^{2}\left(\frac{3}{4}\psi(2)-\frac{1}{2}\psi(1)-\frac{3}{4}% \right)+m^{2}\eta^{2}\left(\psi(2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex67.m1.7"><semantics id="S6.Ex67.m1.7a"><mrow id="S6.Ex67.m1.7b"><mo id="S6.Ex67.m1.7.8">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex67.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex67.m1.1.1a"><msup id="S6.Ex67.m1.1.1.3"><mi id="S6.Ex67.m1.1.1.3.2">μ</mi><mrow id="S6.Ex67.m1.1.1.3.3"><mo id="S6.Ex67.m1.1.1.3.3a">−</mo><mi id="S6.Ex67.m1.1.1.3.3.2">ϵ</mi></mrow></msup><mrow id="S6.Ex67.m1.1.1.1"><mn id="S6.Ex67.m1.1.1.1.3">2</mn><mo id="S6.Ex67.m1.1.1.1.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex67.m1.1.1.1.1.3">4</mn></msup><mo id="S6.Ex67.m1.1.1.1.2a">⁢</mo><mi id="S6.Ex67.m1.1.1.1.4">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.1">(</mo><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.2">λ</mi><msup id="S6.Ex67.m1.7.9.3"><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.3.2">η</mi><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.3.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex67.m1.7.9.4"><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.4.2">ϕ</mi><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.4.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.5"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.5.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex67.m1.7.9.5.2"><mfrac id="S6.Ex67.m1.7.9.5.2a"><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.5.2.2">5</mn><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.5.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.5.3">ψ</mi><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.5.4"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.5.4.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex67.m1.2.2">2</mn><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.5.4.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.5.5">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex67.m1.7.9.5.6"><mfrac id="S6.Ex67.m1.7.9.5.6a"><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.5.6.2">5</mn><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.5.6.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.5.7">ψ</mi><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.5.8"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.5.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex67.m1.3.3">1</mn><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.5.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.5.9">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex67.m1.7.9.5.10"><mfrac id="S6.Ex67.m1.7.9.5.10a"><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.5.10.2">15</mn><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.5.10.3">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.5.11">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.6">+</mo><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.7">2</mn><msup id="S6.Ex67.m1.7.9.8"><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.8.2">m</mi><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.8.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex67.m1.7.9.9"><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.9.2">λ</mi><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.9.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex67.m1.7.9.10"><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.10.2">ϕ</mi><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.10.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.11"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.11.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex67.m1.7.9.11.2"><mfrac id="S6.Ex67.m1.7.9.11.2a"><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.11.2.2">3</mn><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.11.2.3">4</mn></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.11.3">ψ</mi><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.11.4"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.11.4.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex67.m1.4.4">2</mn><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.11.4.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.11.5">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex67.m1.7.9.11.6"><mfrac id="S6.Ex67.m1.7.9.11.6a"><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.11.6.2">1</mn><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.11.6.3">2</mn></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.11.7">ψ</mi><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.11.8"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.11.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex67.m1.5.5">1</mn><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.11.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.11.9">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex67.m1.7.9.11.10"><mfrac id="S6.Ex67.m1.7.9.11.10a"><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.11.10.2">3</mn><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.11.10.3">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.11.11">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.12">+</mo><msup id="S6.Ex67.m1.7.9.13"><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.13.2">m</mi><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.13.3">2</mn></msup><msup id="S6.Ex67.m1.7.9.14"><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.14.2">η</mi><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.14.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.15"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.15.1">(</mo><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.15.2">ψ</mi><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.15.3"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.15.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex67.m1.6.6">2</mn><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.15.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.15.4">−</mo><mi id="S6.Ex67.m1.7.9.15.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex67.m1.7.9.15.6"><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.15.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex67.m1.7.7">1</mn><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.15.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.15.7">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex67.m1.7.9.15.8"><mfrac id="S6.Ex67.m1.7.9.15.8a"><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.15.8.2">3</mn><mn id="S6.Ex67.m1.7.9.15.8.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex67.m1.7.9.15.9">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex67.m1.7c">\displaystyle+\frac{\mu^{-\epsilon}}{2(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\lambda\eta^{2}% \phi^{2}\left(\frac{5}{2}\psi(2)-\frac{5}{2}\psi(1)-\frac{15}{4}\right)+2m^{2}% \lambda^{2}\phi^{2}\left(\frac{3}{4}\psi(2)-\frac{1}{2}\psi(1)-\frac{3}{4}% \right)+m^{2}\eta^{2}\left(\psi(2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex67.m1.7d">+ divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( italic_λ italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 5 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ψ ( 2 ) - divide start_ARG 5 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 15 end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) + 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_ψ ( 2 ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ ( 2 ) - italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex68"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+m^{2}\eta\lambda\phi\left(2\psi(2)-2\psi(1)-3\right)+\eta^% {3}\phi\left(\psi(2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{2}\lambda^{3}\phi^{4}% \left(\psi(2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex68.m1.9"><semantics id="S6.Ex68.m1.9a"><mrow id="S6.Ex68.m1.9.9" xref="S6.Ex68.m1.9.9.cmml"><mrow id="S6.Ex68.m1.7.7.1" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1a" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.3" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.2" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.4" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.4.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.2a" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.5" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.5.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.2b" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.6" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.6.cmml">ϕ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.2c" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex68.m1.1.1" xref="S6.Ex68.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex68.m1.2.2" xref="S6.Ex68.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.cmml">3</mn></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex68.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.4" xref="S6.Ex68.m1.9.9.4.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.8.8.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.cmml"><msup id="S6.Ex68.m1.8.8.2.3" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex68.m1.8.8.2.3.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.3.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex68.m1.8.8.2.3.3" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.3.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex68.m1.8.8.2.4" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.4.cmml">ϕ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.2a" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex68.m1.3.3" xref="S6.Ex68.m1.3.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex68.m1.4.4" xref="S6.Ex68.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.1a" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.4" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.4a" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.4.cmml"><mn id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.4.2.cmml">3</mn><mn id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.3" xref="S6.Ex68.m1.8.8.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.4a" xref="S6.Ex68.m1.9.9.4.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.9.9.3" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex68.m1.9.9.3.3" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex68.m1.9.9.3.3a" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex68.m1.9.9.3.3.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex68.m1.9.9.3.3.3" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex68.m1.9.9.3.4" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex68.m1.9.9.3.4.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.Ex68.m1.9.9.3.4.3" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.4.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.2a" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex68.m1.9.9.3.5" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex68.m1.9.9.3.5.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.5.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.Ex68.m1.9.9.3.5.3" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.5.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.2b" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex68.m1.5.5" xref="S6.Ex68.m1.5.5.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex68.m1.6.6" xref="S6.Ex68.m1.6.6.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.1a" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.4" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.4a" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.4.cmml"><mn id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.4.2.cmml">3</mn><mn id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.3" xref="S6.Ex68.m1.9.9.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex68.m1.9b"><apply id="S6.Ex68.m1.9.9.cmml" xref="S6.Ex68.m1.9.9"><plus id="S6.Ex68.m1.9.9.4.cmml" 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)</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E60"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\eta\lambda^{2}\phi^{3}\left(2\psi(2)-2\psi(1)-3\right)+% \frac{\eta^{2}}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R+\eta\lambda\phi\left(\frac{1}{% 6}-\xi\right)R+\frac{\lambda^{2}\phi^{2}}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R% \right)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.E60.m1.2"><semantics id="S6.E60.m1.2a"><mrow id="S6.E60.m1.2b"><mo id="S6.E60.m1.2.3">+</mo><mi id="S6.E60.m1.2.4">η</mi><msup id="S6.E60.m1.2.5"><mi id="S6.E60.m1.2.5.2">λ</mi><mn id="S6.E60.m1.2.5.3">2</mn></msup><msup id="S6.E60.m1.2.6"><mi id="S6.E60.m1.2.6.2">ϕ</mi><mn id="S6.E60.m1.2.6.3">3</mn></msup><mrow id="S6.E60.m1.2.7"><mo id="S6.E60.m1.2.7.1">(</mo><mn id="S6.E60.m1.2.7.2">2</mn><mi id="S6.E60.m1.2.7.3">ψ</mi><mrow id="S6.E60.m1.2.7.4"><mo id="S6.E60.m1.2.7.4.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E60.m1.1.1">2</mn><mo id="S6.E60.m1.2.7.4.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E60.m1.2.7.5">−</mo><mn id="S6.E60.m1.2.7.6">2</mn><mi id="S6.E60.m1.2.7.7">ψ</mi><mrow id="S6.E60.m1.2.7.8"><mo id="S6.E60.m1.2.7.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E60.m1.2.2">1</mn><mo id="S6.E60.m1.2.7.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E60.m1.2.7.9">−</mo><mn id="S6.E60.m1.2.7.10">3</mn><mo id="S6.E60.m1.2.7.11">)</mo></mrow><mo id="S6.E60.m1.2.8">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E60.m1.2.9"><mfrac id="S6.E60.m1.2.9a"><msup id="S6.E60.m1.2.9.2"><mi id="S6.E60.m1.2.9.2.2">η</mi><mn id="S6.E60.m1.2.9.2.3">2</mn></msup><mn id="S6.E60.m1.2.9.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.E60.m1.2.10"><mo id="S6.E60.m1.2.10.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E60.m1.2.10.2"><mfrac id="S6.E60.m1.2.10.2a"><mn id="S6.E60.m1.2.10.2.2">1</mn><mn id="S6.E60.m1.2.10.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E60.m1.2.10.3">−</mo><mi id="S6.E60.m1.2.10.4">ξ</mi><mo id="S6.E60.m1.2.10.5">)</mo></mrow><mi id="S6.E60.m1.2.11">R</mi><mo id="S6.E60.m1.2.12">+</mo><mi id="S6.E60.m1.2.13">η</mi><mi id="S6.E60.m1.2.14">λ</mi><mi id="S6.E60.m1.2.15">ϕ</mi><mrow id="S6.E60.m1.2.16"><mo id="S6.E60.m1.2.16.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E60.m1.2.16.2"><mfrac id="S6.E60.m1.2.16.2a"><mn id="S6.E60.m1.2.16.2.2">1</mn><mn id="S6.E60.m1.2.16.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E60.m1.2.16.3">−</mo><mi id="S6.E60.m1.2.16.4">ξ</mi><mo id="S6.E60.m1.2.16.5">)</mo></mrow><mi id="S6.E60.m1.2.17">R</mi><mo id="S6.E60.m1.2.18">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E60.m1.2.19"><mfrac id="S6.E60.m1.2.19a"><mrow id="S6.E60.m1.2.19.2"><msup id="S6.E60.m1.2.19.2.2"><mi id="S6.E60.m1.2.19.2.2.2">λ</mi><mn id="S6.E60.m1.2.19.2.2.3">2</mn></msup><mo id="S6.E60.m1.2.19.2.1">⁢</mo><msup id="S6.E60.m1.2.19.2.3"><mi id="S6.E60.m1.2.19.2.3.2">ϕ</mi><mn id="S6.E60.m1.2.19.2.3.3">2</mn></msup></mrow><mn id="S6.E60.m1.2.19.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.E60.m1.2.20"><mo id="S6.E60.m1.2.20.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E60.m1.2.20.2"><mfrac id="S6.E60.m1.2.20.2a"><mn id="S6.E60.m1.2.20.2.2">1</mn><mn id="S6.E60.m1.2.20.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E60.m1.2.20.3">−</mo><mi id="S6.E60.m1.2.20.4">ξ</mi><mo id="S6.E60.m1.2.20.5">)</mo></mrow><mi id="S6.E60.m1.2.21">R</mi><mo id="S6.E60.m1.2.22">)</mo><mo id="S6.E60.m1.2.23" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E60.m1.2c">\displaystyle\left.+\eta\lambda^{2}\phi^{3}\left(2\psi(2)-2\psi(1)-3\right)+% \frac{\eta^{2}}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R+\eta\lambda\phi\left(\frac{1}{% 6}-\xi\right)R+\frac{\lambda^{2}\phi^{2}}{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E60.m1.2d">+ italic_η italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_ψ ( 2 ) - 2 italic_ψ ( 1 ) - 3 ) + divide start_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R + italic_η italic_λ italic_ϕ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R + divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(60)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.p10.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p10.5.1">The above equation leads to the two loop counterterms</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx56"> <tbody id="S6.Ex69"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\Lambda=-\frac{\mu^{-2\epsilon}\left(m^{4}\lambda+2m^{2}% \eta^{2}\right)}{2(4\pi)^{4}\epsilon^{2}}-\frac{2\mu^{-\epsilon}m^{2}\eta^{2}% \left(\psi(2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right)}{2(4\pi)^{4}\epsilon}," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex69.m1.7"><semantics id="S6.Ex69.m1.7a"><mrow id="S6.Ex69.m1.7.7.1" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">Λ</mi></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.2a" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex69.m1.2.2" xref="S6.Ex69.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex69.m1.2.2a" xref="S6.Ex69.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3a" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex69.m1.2.2.2" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex69.m1.2.2.2.3" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex69.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex69.m1.2.2.2.2a" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex69.m1.2.2.2.4" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.2.2.2.4.2" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.4.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S6.Ex69.m1.2.2.2.4.3" xref="S6.Ex69.m1.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex69.m1.6.6" xref="S6.Ex69.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S6.Ex69.m1.6.6a" xref="S6.Ex69.m1.6.6.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.5.5.3" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.cmml"><mn id="S6.Ex69.m1.5.5.3.5" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.5.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.4" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex69.m1.5.5.3.6" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.3" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.3.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.3a" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.3.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.6.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.4a" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex69.m1.5.5.3.7" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.7.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.5.5.3.7.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.7.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex69.m1.5.5.3.7.3" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.7.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.4b" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex69.m1.5.5.3.8" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.8.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.5.5.3.8.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.8.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex69.m1.5.5.3.8.3" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.8.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.4c" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.1" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex69.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex69.m1.3.3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.1" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex69.m1.4.4.2.2" xref="S6.Ex69.m1.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.1a" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4.cmml"><mn id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4.2" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4.2.cmml">3</mn><mn id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4.3" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.3" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex69.m1.6.6.4" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.cmml"><mn id="S6.Ex69.m1.6.6.4.3" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex69.m1.6.6.4.2" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.cmml"><mrow id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.3" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex69.m1.6.6.4.2a" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex69.m1.6.6.4.4" xref="S6.Ex69.m1.6.6.4.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S6.Ex69.m1.7.7.1.2" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex69.m1.7b"><apply id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1"><eq id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2"><times id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.1"></times><ci id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.2.3">Λ</ci></apply><apply id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3"><minus id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.1"></minus><apply id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.2"><minus id="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.7.7.1.1.3.2"></minus><apply id="S6.Ex69.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.2.2"><divide id="S6.Ex69.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex69.m1.2.2"></divide><apply id="S6.Ex69.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1"><times id="S6.Ex69.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex69.m1.1.1.1.3.3"><minus 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xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1"><minus id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2"><times id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.2.2">𝜓</ci><cn id="S6.Ex69.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.Ex69.m1.3.3.1.1">2</cn></apply><apply id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3"><times id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.3.2">𝜓</ci><cn id="S6.Ex69.m1.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex69.m1.4.4.2.2">1</cn></apply><apply id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4"><divide id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4"></divide><cn id="S6.Ex69.m1.5.5.3.3.1.1.4.2.cmml" type="integer" 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italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ ( 2 ) - italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex70"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\kappa=\frac{\mu^{-2\epsilon}\left(2m^{2}\lambda+\eta^{2}% \right)}{2(4\pi)^{4}\epsilon^{2}}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)-\frac{\eta^{2}% \mu^{-\epsilon}}{4(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex70.m1.4"><semantics id="S6.Ex70.m1.4a"><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.4" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.4.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">κ</mi></mrow><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex70.m1.2.2" xref="S6.Ex70.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex70.m1.2.2a" xref="S6.Ex70.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex70.m1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex70.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3a" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S6.Ex70.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex70.m1.2.2.2" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex70.m1.2.2.2.3" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex70.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex70.m1.2.2.2.2a" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex70.m1.2.2.2.4" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex70.m1.2.2.2.4.2" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.4.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S6.Ex70.m1.2.2.2.4.3" xref="S6.Ex70.m1.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex70.m1.3.3" xref="S6.Ex70.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex70.m1.3.3a" xref="S6.Ex70.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex70.m1.3.3.3" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.cmml"><msup id="S6.Ex70.m1.3.3.3.2" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex70.m1.3.3.3.1" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex70.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.3a" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex70.m1.3.3.1" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.cmml"><mn id="S6.Ex70.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.3.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex70.m1.3.3.1.2" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex70.m1.3.3.1.2a" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex70.m1.3.3.1.4" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2a" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo 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id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2"><times id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.2"></times><apply id="S6.Ex70.m1.3.3.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3"><divide id="S6.Ex70.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3"></divide><apply id="S6.Ex70.m1.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3"><times id="S6.Ex70.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.1"></times><apply id="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.2">𝜂</ci><cn id="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex70.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci 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xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><cn id="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.1.3">4</cn></apply><ci id="S6.Ex70.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S6.Ex70.m1.3.3.1.4">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1"><minus id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2"><divide id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex70.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3">𝜉</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex70.m1.4c">\displaystyle\delta\kappa=\frac{\mu^{-2\epsilon}\left(2m^{2}\lambda+\eta^{2}% \right)}{2(4\pi)^{4}\epsilon^{2}}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)-\frac{\eta^{2}% \mu^{-\epsilon}}{4(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\frac{1}{6}-\xi\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex70.m1.4d">italic_δ italic_κ = divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) - divide start_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex71"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta m^{2}=\frac{\left(4m^{2}\lambda^{2}+\frac{7}{2}\lambda\eta% ^{2}\right)\mu^{-2\epsilon}}{(4\pi)^{4}\epsilon^{2}}+\frac{2m^{2}\lambda^{2}% \mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\frac{3}{4}\psi(2)-\frac{1}{2}\psi(1% )-\frac{3}{4}\right)+\frac{\eta^{2}\lambda\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{4}\epsilon}% \left(\frac{5}{2}\psi(2)-\frac{5}{2}\psi(1)-\frac{15}{4}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex71.m1.9"><semantics id="S6.Ex71.m1.9a"><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.3.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.3.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.3.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.2.2" xref="S6.Ex71.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.2.2a" xref="S6.Ex71.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">7</mn><mn id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3a" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex71.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex71.m1.2.2.2" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.cmml"><msup id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex71.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.2.2.2.3" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.2.2.2.3.2" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S6.Ex71.m1.2.2.2.3.3" xref="S6.Ex71.m1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.3.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.3.3a" xref="S6.Ex71.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.3.3.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.3.3.3.2" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex71.m1.3.3.3.1" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex71.m1.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex71.m1.3.3.3.1a" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.3.3.3.4" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.3.3.3.4.2" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.Ex71.m1.3.3.3.4.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex71.m1.3.3.3.1b" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.3.3.3.5" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.2" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.3.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.3a" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.3.2" xref="S6.Ex71.m1.3.3.3.5.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex71.m1.3.3.1" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex71.m1.3.3.1.2" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex71.m1.3.3.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">3</mn><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex71.m1.5.5" xref="S6.Ex71.m1.5.5.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex71.m1.6.6" xref="S6.Ex71.m1.6.6.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">3</mn><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.3a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.4.4" xref="S6.Ex71.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.4.4a" xref="S6.Ex71.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.4.4.3" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.cmml"><msup id="S6.Ex71.m1.4.4.3.2" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.4.4.3.2.2" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.2.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex71.m1.4.4.3.2.3" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex71.m1.4.4.3.1" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.4.4.3.3" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex71.m1.4.4.3.1a" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex71.m1.4.4.3.4" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.2" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.3" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.3.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.3a" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.3.2" xref="S6.Ex71.m1.4.4.3.4.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex71.m1.4.4.1" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.cmml"><msup id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex71.m1.4.4.1.2" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.4.4.1.3" xref="S6.Ex71.m1.4.4.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">5</mn><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex71.m1.7.7" xref="S6.Ex71.m1.7.7.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">5</mn><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex71.m1.8.8" xref="S6.Ex71.m1.8.8.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4a" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">15</mn><mn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex71.m1.9.9.1.2" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex71.m1.9b"><apply id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1"><eq id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.3.cmml" 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id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜓</ci><cn id="S6.Ex71.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="S6.Ex71.m1.6.6">1</cn></apply><apply id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><cn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2">3</cn><cn id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3">4</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2"><times id="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex71.m1.9.9.1.1.2.2.2"></times><apply 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_ψ ( 2 ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) + divide start_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( divide start_ARG 5 end_ARG start_ARG 2 end_ARG 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id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1a" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex72.m1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex72.m1.1.1a" xref="S6.Ex72.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex72.m1.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex72.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex72.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex72.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex72.m1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex72.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex72.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex72.m1.1.1.3.2.3a" xref="S6.Ex72.m1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex72.m1.1.1.3.2.3.2" 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xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex72.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex72.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex72.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S6.Ex72.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex72.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" 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id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex72.m1.2.2.1.2a" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex72.m1.2.2.1.4" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2a" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex72.m1.3.3.1.2" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex72.m1.3b"><apply 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xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2"><times id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.2"></times><apply id="S6.Ex72.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2"><divide id="S6.Ex72.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2"></divide><apply id="S6.Ex72.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2.3"><times id="S6.Ex72.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2.3.1"></times><apply id="S6.Ex72.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex72.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex72.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2.3.2.2">𝜆</ci><cn id="S6.Ex72.m1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex72.m1.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex72.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex72.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex72.m1.2.2.3.3.2.cmml" 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id="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.1.3">4</cn></apply><ci id="S6.Ex72.m1.2.2.1.4.cmml" xref="S6.Ex72.m1.2.2.1.4">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><minus id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2"><divide id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex72.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3">𝜉</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex72.m1.3c">\displaystyle\delta\xi=-\frac{\mu^{-2\epsilon}\lambda^{2}}{(4\pi)^{4}\epsilon^% {2}}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)+\frac{\lambda^{2}\mu^{-\epsilon}}{2(4\pi)^{4}% \epsilon}\left(\frac{1}{6}-\xi\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex72.m1.3d">italic_δ italic_ξ = - divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) + divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex73"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\tau=\frac{\left(4m^{2}\eta\lambda+\eta^{3}\right)\mu^{-2% \epsilon}}{2(4\pi)^{4}\epsilon^{2}}+\frac{m^{2}\eta\lambda\mu^{-\epsilon}}{2(4% \pi)^{4}\epsilon}\left(2\psi(2)-2\psi(1)-3\right)+\frac{\eta^{3}\mu^{-\epsilon% }}{2(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\psi(2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex73.m1.9"><semantics id="S6.Ex73.m1.9a"><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.4" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.4.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.4.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.4.3" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.4.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex73.m1.2.2" xref="S6.Ex73.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex73.m1.2.2a" xref="S6.Ex73.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex73.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3a" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex73.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex73.m1.2.2.2" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.2.2.2.3" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex73.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex73.m1.2.2.2.2a" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex73.m1.2.2.2.4" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.2.2.2.4.2" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.4.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S6.Ex73.m1.2.2.2.4.3" xref="S6.Ex73.m1.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex73.m1.3.3" xref="S6.Ex73.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex73.m1.3.3a" xref="S6.Ex73.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.3.3.3" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.cmml"><msup id="S6.Ex73.m1.3.3.3.2" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex73.m1.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.3.1" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.3.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.3.1a" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.3.3.3.4" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.4.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.3.1b" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex73.m1.3.3.3.5" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.2" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.3" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.3.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.3a" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.3.2" xref="S6.Ex73.m1.3.3.3.5.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex73.m1.3.3.1" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.1.2" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex73.m1.3.3.1.2a" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.3.3.1.4" xref="S6.Ex73.m1.3.3.1.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex73.m1.5.5" xref="S6.Ex73.m1.5.5.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex73.m1.6.6" xref="S6.Ex73.m1.6.6.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">3</mn></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.3a" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex73.m1.4.4" xref="S6.Ex73.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex73.m1.4.4a" xref="S6.Ex73.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.4.4.3" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.cmml"><msup id="S6.Ex73.m1.4.4.3.2" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.4.4.3.2.2" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.2.2.cmml">η</mi><mn id="S6.Ex73.m1.4.4.3.2.3" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S6.Ex73.m1.4.4.3.1" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex73.m1.4.4.3.3" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.2" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.3" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.3a" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.3.2" xref="S6.Ex73.m1.4.4.3.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex73.m1.4.4.1" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.4.4.1.3" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex73.m1.4.4.1.2" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex73.m1.4.4.1.2a" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex73.m1.4.4.1.4" xref="S6.Ex73.m1.4.4.1.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex73.m1.7.7" xref="S6.Ex73.m1.7.7.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow 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xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2"><times id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝜓</ci><cn id="S6.Ex73.m1.7.7.cmml" type="integer" xref="S6.Ex73.m1.7.7">2</cn></apply><apply id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3"><times id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝜓</ci><cn id="S6.Ex73.m1.8.8.cmml" type="integer" xref="S6.Ex73.m1.8.8">1</cn></apply><apply id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4"><divide id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4"></divide><cn id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.2">3</cn><cn id="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex73.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex73.m1.9c">\displaystyle\delta\tau=\frac{\left(4m^{2}\eta\lambda+\eta^{3}\right)\mu^{-2% \epsilon}}{2(4\pi)^{4}\epsilon^{2}}+\frac{m^{2}\eta\lambda\mu^{-\epsilon}}{2(4% \pi)^{4}\epsilon}\left(2\psi(2)-2\psi(1)-3\right)+\frac{\eta^{3}\mu^{-\epsilon% }}{2(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\psi(2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex73.m1.9d">italic_δ italic_τ = divide start_ARG ( 4 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η italic_λ + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( 2 italic_ψ ( 2 ) - 2 italic_ψ ( 1 ) - 3 ) + divide start_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( italic_ψ ( 2 ) - italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex74"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\gamma=-\frac{4\eta\lambda\mu^{-2\epsilon}}{2(4\pi)^{4}% \epsilon^{2}}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)-\frac{\eta\lambda\mu^{-\epsilon}}{2(% 4\pi)^{4}\epsilon}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex74.m1.3"><semantics id="S6.Ex74.m1.3a"><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1a" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex74.m1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex74.m1.1.1a" xref="S6.Ex74.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex74.m1.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex74.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex74.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.3.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex74.m1.1.1.3.4" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.4.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.3.1b" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex74.m1.1.1.3.5" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.2" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.cmml"><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3a" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.2" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.2.2" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.2.1" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.2.3" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.5.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex74.m1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex74.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex74.m1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex74.m1.1.1.1.4" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex74.m1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.4.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S6.Ex74.m1.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex74.m1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex74.m1.2.2" xref="S6.Ex74.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex74.m1.2.2a" xref="S6.Ex74.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex74.m1.2.2.3" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex74.m1.2.2.3.2" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.2.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex74.m1.2.2.3.1" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex74.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex74.m1.2.2.3.1a" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex74.m1.2.2.3.4" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.2" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.3" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.3.cmml"><mo id="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.3a" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.3.2" xref="S6.Ex74.m1.2.2.3.4.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex74.m1.2.2.1" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.cmml"><mn id="S6.Ex74.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex74.m1.2.2.1.2" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.Ex74.m1.2.2.1.2a" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex74.m1.2.2.1.4" xref="S6.Ex74.m1.2.2.1.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" 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id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.1"></times><ci id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.2">𝛿</ci><ci id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.4.3">𝛾</ci></apply><apply id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2"><minus id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.2.3"></minus><apply id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.Ex74.m1.1.1.cmml" xref="S6.Ex74.m1.1.1"><divide id="S6.Ex74.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex74.m1.1.1"></divide><apply id="S6.Ex74.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3"><times id="S6.Ex74.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex74.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S6.Ex74.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" 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xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3a" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S6.Ex75.m1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex75.m1.1.1.3.4" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.4.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex75.m1.1.1.3.1b" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex75.m1.1.1.3.5" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex75.m1.1.1.3.5.2" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.5.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.Ex75.m1.1.1.3.5.3" xref="S6.Ex75.m1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex75.m1.1.1.1" xref="S6.Ex75.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex75.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex75.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1" 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id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex75.m1.4.4" xref="S6.Ex75.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">3</mn></mrow><mo id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex75.m1.5.5.1.2" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex75.m1.5b"><apply id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1"><eq id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.3"><times id="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex75.m1.5.5.1.1.3.1"></times><ci 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divide start_ARG 3 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT italic_η italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( 2 italic_ψ ( 2 ) - 2 italic_ψ ( 1 ) - 3 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E61"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\lambda=\frac{9\lambda^{3}\mu^{-2\epsilon}}{(4\pi)^{4}% \epsilon^{2}}+\frac{6\lambda^{3}\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\psi% (2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E61.m1.5"><semantics id="S6.E61.m1.5a"><mrow id="S6.E61.m1.5.5.1" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.E61.m1.5.5.1.1" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.E61.m1.5.5.1.1.3" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E61.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E61.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.2" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E61.m1.1.1" xref="S6.E61.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E61.m1.1.1a" xref="S6.E61.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E61.m1.1.1.3" xref="S6.E61.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E61.m1.1.1.3.2" xref="S6.E61.m1.1.1.3.2.cmml">9</mn><mo id="S6.E61.m1.1.1.3.1" xref="S6.E61.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E61.m1.1.1.3.3" xref="S6.E61.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E61.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.E61.m1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.E61.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.E61.m1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S6.E61.m1.1.1.3.1a" xref="S6.E61.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E61.m1.1.1.3.4" xref="S6.E61.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S6.E61.m1.1.1.3.4.2" xref="S6.E61.m1.1.1.3.4.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.E61.m1.1.1.3.4.3" xref="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.cmml"><mo id="S6.E61.m1.1.1.3.4.3a" xref="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.2" xref="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.2.cmml"><mn id="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.2.2" xref="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.2.1" xref="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.2.3" xref="S6.E61.m1.1.1.3.4.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.E61.m1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E61.m1.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E61.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.E61.m1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.E61.m1.1.1.1.2" xref="S6.E61.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E61.m1.1.1.1.3" xref="S6.E61.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E61.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.E61.m1.1.1.1.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S6.E61.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.E61.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E61.m1.2.2" xref="S6.E61.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.E61.m1.2.2a" xref="S6.E61.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.E61.m1.2.2.3" xref="S6.E61.m1.2.2.3.cmml"><mn id="S6.E61.m1.2.2.3.2" xref="S6.E61.m1.2.2.3.2.cmml">6</mn><mo id="S6.E61.m1.2.2.3.1" xref="S6.E61.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E61.m1.2.2.3.3" xref="S6.E61.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.E61.m1.2.2.3.3.2" xref="S6.E61.m1.2.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.E61.m1.2.2.3.3.3" xref="S6.E61.m1.2.2.3.3.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S6.E61.m1.2.2.3.1a" xref="S6.E61.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E61.m1.2.2.3.4" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.cmml"><mi id="S6.E61.m1.2.2.3.4.2" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.E61.m1.2.2.3.4.3" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.3.cmml"><mo id="S6.E61.m1.2.2.3.4.3a" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.3.cmml">−</mo><mi id="S6.E61.m1.2.2.3.4.3.2" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.E61.m1.2.2.1" xref="S6.E61.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S6.E61.m1.2.2.1.1" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E61.m1.2.2.1.1.3" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.E61.m1.2.2.1.2" xref="S6.E61.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E61.m1.2.2.1.3" xref="S6.E61.m1.2.2.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.E61.m1.4.4" xref="S6.E61.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">3</mn><mn id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E61.m1.5.5.1.2" lspace="0em" 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cd="ambiguous" id="S6.E61.m1.2.2.3.4.1.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S6.E61.m1.2.2.3.4.2.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.2">𝜇</ci><apply id="S6.E61.m1.2.2.3.4.3.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.3"><minus id="S6.E61.m1.2.2.3.4.3.1.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.3"></minus><ci id="S6.E61.m1.2.2.3.4.3.2.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.3.4.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E61.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.1"><times id="S6.E61.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S6.E61.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E61.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">4</cn><ci id="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><cn id="S6.E61.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E61.m1.2.2.1.1.3">4</cn></apply><ci id="S6.E61.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S6.E61.m1.2.2.1.3">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><minus id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><cn id="S6.E61.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E61.m1.3.3">2</cn></apply><apply id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><cn id="S6.E61.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S6.E61.m1.4.4">1</cn></apply><apply id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><cn id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2">3</cn><cn id="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.E61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E61.m1.5c">\displaystyle\delta\lambda=\frac{9\lambda^{3}\mu^{-2\epsilon}}{(4\pi)^{4}% \epsilon^{2}}+\frac{6\lambda^{3}\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{4}\epsilon}\left(\psi% (2)-\psi(1)-\frac{3}{2}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E61.m1.5d">italic_δ italic_λ = divide start_ARG 9 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 6 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( italic_ψ ( 2 ) - italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(61)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p11"> <p class="ltx_p" id="S6.p11.1"><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E61" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">61</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p11.1.1"> renormalises the effective potential completely, giving us its finite parts coming from the double bubble and the sunset diagrams</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx57"> <tbody id="S6.Ex76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff}}^{2-{\rm loop}}=-\frac{\lambda m^{4}_{1}}{2(4\pi)^{4% }}\left(-\psi(2)\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}+\frac{1}{2}\left(\ln{\frac{% m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)^{2}+\frac{1}{4}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+2\psi^{% 2}(2)-\psi^{\prime}(2)\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex76.m1.5"><semantics id="S6.Ex76.m1.5a"><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5" xref="S6.Ex76.m1.5.5.cmml"><msubsup id="S6.Ex76.m1.5.5.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.3.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.3.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3.2.3.cmml">eff</mi><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.3.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.3.3.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.3.3.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.3.3.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex76.m1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex76.m1.1.1a" xref="S6.Ex76.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex76.m1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex76.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex76.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex76.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex76.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex76.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.Ex76.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex76.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex76.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex76.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex76.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">4</mn></msubsup></mrow><mrow id="S6.Ex76.m1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex76.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex76.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex76.m1.2.2" xref="S6.Ex76.m1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml"><msubsup id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" 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xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex76.m1.3.3" xref="S6.Ex76.m1.3.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex76.m1.4.4" xref="S6.Ex76.m1.4.4.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex76.m1.5b"><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5"><eq id="S6.Ex76.m1.5.5.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.2"></eq><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.3">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.3.2.cmml" 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id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">4</cn><ci id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><cn id="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.1.1.1.1.3">4</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1"><plus id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4"><minus id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4"></minus><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><ci id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.2">𝜓</ci><cn id="S6.Ex76.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.2.2">2</cn><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4"><ln id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.1"></ln><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2"><divide id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2"></divide><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3"><times id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.2">4</cn><ci id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.3">𝜋</ci><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.2">𝜇</ci><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ln id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></ln><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">4</cn><ci id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜋</ci><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2">𝜇</ci><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><times id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3"></divide><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3">4</cn></apply><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><plus id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><divide id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2">𝜋</ci><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">3</cn></apply><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3"><times id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2">2</cn><apply id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex76.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.1.cmml" 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class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{\lambda\left(\frac{1}{6}-\xi\right)Rm^{2}_{1}}{4(4\pi)^{4}% }\left(2\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)^{2}+\psi(1)\psi(2)+% \frac{1}{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)\right)+\frac{1% }{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(1)-\psi^{\prime}(1)\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex77.m1.8"><semantics id="S6.Ex77.m1.8a"><mrow id="S6.Ex77.m1.8b"><mo id="S6.Ex77.m1.8.9">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex77.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex77.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex77.m1.1.1.1"><mi id="S6.Ex77.m1.1.1.1.3">λ</mi><mo id="S6.Ex77.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S6.Ex77.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1"><mfrac id="S6.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.2"><mn id="S6.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</mn></mfrac><mo id="S6.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1">−</mo><mi 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id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2"><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.1">(</mo><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3"><mfrac id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3a"><msubsup id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.2"><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.3"><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.3.2">4</mn><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.3.4"><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.3.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.3.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.3.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.4">+</mo><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex77.m1.8.10.6"><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex77.m1.3.3">1</mn><mo 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id="S6.Ex77.m1.8.10.11.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex77.m1.5.5">2</mn><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.11.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.11.6">−</mo><msup id="S6.Ex77.m1.8.10.11.7"><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.11.7.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.11.7.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex77.m1.8.10.11.8"><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.11.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex77.m1.6.6">2</mn><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.11.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.11.9">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.12">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex77.m1.8.10.13"><mfrac id="S6.Ex77.m1.8.10.13a"><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.13.2">1</mn><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.13.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex77.m1.8.10.14"><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex77.m1.8.10.14.2"><mfrac id="S6.Ex77.m1.8.10.14.2a"><msup id="S6.Ex77.m1.8.10.14.2.2"><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.14.2.2.2">π</mi><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.14.2.2.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.14.2.3">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.3">+</mo><msup id="S6.Ex77.m1.8.10.14.4"><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.14.4.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex77.m1.8.10.14.4.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex77.m1.8.10.14.5"><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex77.m1.7.7">1</mn><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.6">−</mo><msup id="S6.Ex77.m1.8.10.14.7"><mi id="S6.Ex77.m1.8.10.14.7.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.7.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex77.m1.8.10.14.8"><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex77.m1.8.8">1</mn><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex77.m1.8.10.14.9">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex77.m1.8c">\displaystyle+\frac{\lambda\left(\frac{1}{6}-\xi\right)Rm^{2}_{1}}{4(4\pi)^{4}% }\left(2\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)^{2}+\psi(1)\psi(2)+% \frac{1}{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)\right)+\frac{1% }{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(1)-\psi^{\prime}(1)\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex77.m1.8d">+ divide start_ARG italic_λ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 2 ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ψ ( 1 ) italic_ψ ( 2 ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex78"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+2\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}}\left(\psi(1)+\psi(2)% \right)\right)-\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}m^{2}_{1}}{2(4\pi)^{4}}% \left(2\left(\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right)^{2}+2\left(\psi^{\prime}(% 1)+\psi^{2}(1)\right)+4\psi(1)\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex78.m1.4"><semantics id="S6.Ex78.m1.4a"><mrow id="S6.Ex78.m1.4b"><mo id="S6.Ex78.m1.4.5">+</mo><mn id="S6.Ex78.m1.4.6">2</mn><mi id="S6.Ex78.m1.4.7">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex78.m1.4.8"><mfrac id="S6.Ex78.m1.4.8a"><mrow id="S6.Ex78.m1.4.8.2"><mn id="S6.Ex78.m1.4.8.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex78.m1.4.8.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex78.m1.4.8.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex78.m1.4.8.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex78.m1.4.8.2.4"><mi id="S6.Ex78.m1.4.8.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex78.m1.4.8.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex78.m1.4.8.3"><mi id="S6.Ex78.m1.4.8.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex78.m1.4.8.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex78.m1.4.8.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex78.m1.4.9"><mo id="S6.Ex78.m1.4.9.1">(</mo><mi id="S6.Ex78.m1.4.9.2">ψ</mi><mrow id="S6.Ex78.m1.4.9.3"><mo id="S6.Ex78.m1.4.9.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex78.m1.3.3">1</mn><mo id="S6.Ex78.m1.4.9.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex78.m1.4.9.4">+</mo><mi id="S6.Ex78.m1.4.9.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex78.m1.4.9.6"><mo id="S6.Ex78.m1.4.9.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex78.m1.4.4">2</mn><mo id="S6.Ex78.m1.4.9.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex78.m1.4.9.7">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex78.m1.4.10">)</mo><mo id="S6.Ex78.m1.4.11">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex78.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex78.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex78.m1.1.1.1"><msup id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">η</mi><mo id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mrow id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">λ</mi><mo id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex78.m1.1.1.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex78.m1.1.1.1.2">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex78.m1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex78.m1.1.1.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex78.m1.1.1.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex78.m1.1.1.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow><mrow id="S6.Ex78.m1.2.2.2"><mn id="S6.Ex78.m1.2.2.2.3">2</mn><mo id="S6.Ex78.m1.2.2.2.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1"><mrow id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex78.m1.2.2.2.1.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex78.m1.4.12">(</mo><mn id="S6.Ex78.m1.4.13">2</mn><msup id="S6.Ex78.m1.4.14"><mrow id="S6.Ex78.m1.4.14.2"><mo id="S6.Ex78.m1.4.14.2.1">(</mo><mi id="S6.Ex78.m1.4.14.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3"><mfrac id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3a"><mrow id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.2"><mn id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.2.4"><mi id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.3"><mi id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex78.m1.4.14.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex78.m1.4.14.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex78.m1.4.14.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex78.m1.4.15">+</mo><mn id="S6.Ex78.m1.4.16">2</mn><mrow id="S6.Ex78.m1.4.17"><mo id="S6.Ex78.m1.4.17.1">(</mo><msup id="S6.Ex78.m1.4.17.2"><mi id="S6.Ex78.m1.4.17.2.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex78.m1.4.17.2.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex78.m1.4.17.3"><mo id="S6.Ex78.m1.4.17.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex78.m1.4.17.3.2">1</mn><mo id="S6.Ex78.m1.4.17.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex78.m1.4.17.4">+</mo><msup id="S6.Ex78.m1.4.17.5"><mi id="S6.Ex78.m1.4.17.5.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex78.m1.4.17.5.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex78.m1.4.17.6"><mo id="S6.Ex78.m1.4.17.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex78.m1.4.17.6.2">1</mn><mo id="S6.Ex78.m1.4.17.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex78.m1.4.17.7">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex78.m1.4.18">+</mo><mn id="S6.Ex78.m1.4.19">4</mn><mi id="S6.Ex78.m1.4.20">ψ</mi><mrow id="S6.Ex78.m1.4.21"><mo id="S6.Ex78.m1.4.21.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex78.m1.4.21.2">1</mn><mo id="S6.Ex78.m1.4.21.3" rspace="0.167em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex78.m1.4.22">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex78.m1.4.23"><mfrac id="S6.Ex78.m1.4.23a"><mrow id="S6.Ex78.m1.4.23.2"><mn id="S6.Ex78.m1.4.23.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex78.m1.4.23.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex78.m1.4.23.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex78.m1.4.23.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex78.m1.4.23.2.4"><mi id="S6.Ex78.m1.4.23.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex78.m1.4.23.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex78.m1.4.23.3"><mi id="S6.Ex78.m1.4.23.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex78.m1.4.23.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex78.m1.4.23.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex78.m1.4c">\displaystyle\left.+2\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}}\left(\psi(1)+\psi(2)% \right)\right)-\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}m^{2}_{1}}{2(4\pi)^{4}}% \left(2\left(\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right)^{2}+2\left(\psi^{\prime}(% 1)+\psi^{2}(1)\right)+4\psi(1)\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex78.m1.4d">+ 2 roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + italic_ψ ( 2 ) ) ) - divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 2 ( roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) ) + 4 italic_ψ ( 1 ) roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex79"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\psi(1)-\frac{1}{2}\right% )+\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{2(4\pi% )^{4}}\left(2\left(\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right)^{2}+2\left(\psi^{% \prime}(1)+\psi^{2}(1)\right)+4\psi(1)\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex79.m1.4"><semantics id="S6.Ex79.m1.4a"><mrow id="S6.Ex79.m1.4b"><mo id="S6.Ex79.m1.4.5">+</mo><mi id="S6.Ex79.m1.4.6">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex79.m1.4.7"><mfrac id="S6.Ex79.m1.4.7a"><mrow id="S6.Ex79.m1.4.7.2"><mn id="S6.Ex79.m1.4.7.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex79.m1.4.7.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex79.m1.4.7.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex79.m1.4.7.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex79.m1.4.7.2.4"><mi id="S6.Ex79.m1.4.7.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex79.m1.4.7.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex79.m1.4.7.3"><mi id="S6.Ex79.m1.4.7.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex79.m1.4.7.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex79.m1.4.7.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex79.m1.4.8">+</mo><mi id="S6.Ex79.m1.4.9">ψ</mi><mrow id="S6.Ex79.m1.4.10"><mo id="S6.Ex79.m1.4.10.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex79.m1.4.4">1</mn><mo id="S6.Ex79.m1.4.10.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex79.m1.4.11">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex79.m1.4.12"><mfrac id="S6.Ex79.m1.4.12a"><mn id="S6.Ex79.m1.4.12.2">1</mn><mn id="S6.Ex79.m1.4.12.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex79.m1.4.13">)</mo><mo id="S6.Ex79.m1.4.14">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex79.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex79.m1.3.3a"><mrow id="S6.Ex79.m1.2.2.2"><msup id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">η</mi><mo id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mrow id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">λ</mi><mo id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex79.m1.1.1.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex79.m1.2.2.2.3">⁢</mo><mrow id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1"><mo id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1.1"><mfrac id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1.1.2"><mn id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1.1.2.3">6</mn></mfrac><mo id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1.1.1">−</mo><mi id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1.1.3">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex79.m1.2.2.2.2.1.3">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex79.m1.2.2.2.3a">⁢</mo><mi id="S6.Ex79.m1.2.2.2.4">R</mi></mrow><mrow id="S6.Ex79.m1.3.3.3"><mn id="S6.Ex79.m1.3.3.3.3">2</mn><mo id="S6.Ex79.m1.3.3.3.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1"><mrow id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1.1.1"><mo id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1.1.1.1.2">4</mn><mo id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex79.m1.3.3.3.1.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex79.m1.4.15">(</mo><mn id="S6.Ex79.m1.4.16">2</mn><msup id="S6.Ex79.m1.4.17"><mrow id="S6.Ex79.m1.4.17.2"><mo id="S6.Ex79.m1.4.17.2.1">(</mo><mi id="S6.Ex79.m1.4.17.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3"><mfrac id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3a"><mrow id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.2"><mn id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.2.4"><mi id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.3"><mi id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex79.m1.4.17.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex79.m1.4.17.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex79.m1.4.17.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex79.m1.4.18">+</mo><mn id="S6.Ex79.m1.4.19">2</mn><mrow id="S6.Ex79.m1.4.20"><mo id="S6.Ex79.m1.4.20.1">(</mo><msup id="S6.Ex79.m1.4.20.2"><mi id="S6.Ex79.m1.4.20.2.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex79.m1.4.20.2.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex79.m1.4.20.3"><mo id="S6.Ex79.m1.4.20.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex79.m1.4.20.3.2">1</mn><mo id="S6.Ex79.m1.4.20.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex79.m1.4.20.4">+</mo><msup id="S6.Ex79.m1.4.20.5"><mi id="S6.Ex79.m1.4.20.5.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex79.m1.4.20.5.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex79.m1.4.20.6"><mo id="S6.Ex79.m1.4.20.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex79.m1.4.20.6.2">1</mn><mo id="S6.Ex79.m1.4.20.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex79.m1.4.20.7">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex79.m1.4.21">+</mo><mn id="S6.Ex79.m1.4.22">4</mn><mi id="S6.Ex79.m1.4.23">ψ</mi><mrow id="S6.Ex79.m1.4.24"><mo id="S6.Ex79.m1.4.24.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex79.m1.4.24.2">1</mn><mo id="S6.Ex79.m1.4.24.3" rspace="0.167em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex79.m1.4.25">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex79.m1.4.26"><mfrac id="S6.Ex79.m1.4.26a"><mrow id="S6.Ex79.m1.4.26.2"><mn id="S6.Ex79.m1.4.26.2.2">4</mn><mo id="S6.Ex79.m1.4.26.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex79.m1.4.26.2.3">π</mi><mo id="S6.Ex79.m1.4.26.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex79.m1.4.26.2.4"><mi id="S6.Ex79.m1.4.26.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex79.m1.4.26.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.Ex79.m1.4.26.3"><mi id="S6.Ex79.m1.4.26.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex79.m1.4.26.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex79.m1.4.26.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex79.m1.4c">\displaystyle\left.+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\psi(1)-\frac{1}{2}\right% )+\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{2(4\pi% )^{4}}\left(2\left(\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right)^{2}+2\left(\psi^{% \prime}(1)+\psi^{2}(1)\right)+4\psi(1)\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex79.m1.4d">+ roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) + divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 2 ( roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) ) + 4 italic_ψ ( 1 ) roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E62"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\psi(1)-\frac{1}{2}\right)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.E62.m1.1"><semantics id="S6.E62.m1.1a"><mrow id="S6.E62.m1.1b"><mo id="S6.E62.m1.1.2">+</mo><mi id="S6.E62.m1.1.3">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.E62.m1.1.4"><mfrac id="S6.E62.m1.1.4a"><mrow id="S6.E62.m1.1.4.2"><mn id="S6.E62.m1.1.4.2.2">4</mn><mo id="S6.E62.m1.1.4.2.1">⁢</mo><mi id="S6.E62.m1.1.4.2.3">π</mi><mo id="S6.E62.m1.1.4.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.E62.m1.1.4.2.4"><mi id="S6.E62.m1.1.4.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.E62.m1.1.4.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.E62.m1.1.4.3"><mi id="S6.E62.m1.1.4.3.2.2">m</mi><mn id="S6.E62.m1.1.4.3.3">1</mn><mn id="S6.E62.m1.1.4.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E62.m1.1.5">+</mo><mi id="S6.E62.m1.1.6">ψ</mi><mrow id="S6.E62.m1.1.7"><mo id="S6.E62.m1.1.7.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E62.m1.1.1">1</mn><mo id="S6.E62.m1.1.7.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E62.m1.1.8">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E62.m1.1.9"><mfrac id="S6.E62.m1.1.9a"><mn id="S6.E62.m1.1.9.2">1</mn><mn id="S6.E62.m1.1.9.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E62.m1.1.10">)</mo><mo id="S6.E62.m1.1.11" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E62.m1.1c">\displaystyle\left.+\ln\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}+\psi(1)-\frac{1}{2}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E62.m1.1d">+ roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_ψ ( 1 ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(62)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p12"> <p class="ltx_p" id="S6.p12.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.1.1">As we mentioned at the beginning of this section, the </span><math alttext="{\cal O}(\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p12.1.m1.1"><semantics id="S6.p12.1.m1.1a"><mrow id="S6.p12.1.m1.1.2" xref="S6.p12.1.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.p12.1.m1.1.2.2" xref="S6.p12.1.m1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S6.p12.1.m1.1.2.1" xref="S6.p12.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p12.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.p12.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.p12.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.p12.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p12.1.m1.1.1" xref="S6.p12.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S6.p12.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.p12.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p12.1.m1.1b"><apply id="S6.p12.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.2"><times id="S6.p12.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S6.p12.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S6.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p12.1.m1.1c">{\cal O}(\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p12.1.m1.1d">caligraphic_O ( italic_λ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.1.2"> double bubble diagram should make the leading contribution compared to the sunset which is quadratic in the couplings. Thus if we consider only the first, we have the two loop effective potential</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx58"> <tbody id="S6.Ex80"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V_{\rm{eff}}^{2-{\rm loop}}=V_{\rm{eff}}^{1-{\rm loop}}-\frac{% \lambda m^{4}_{1}}{2(4\pi)^{4}}\left(-\psi(2)\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}% }+\frac{1}{2}\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)^{2}+\frac{1}{4}% \left(\frac{\pi^{2}}{3}+2\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex80.m1.5"><semantics id="S6.Ex80.m1.5a"><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5" xref="S6.Ex80.m1.5.5.cmml"><msubsup id="S6.Ex80.m1.5.5.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.3.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.3.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.3.2.3.cmml">eff</mi><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.3.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.3.3.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.3.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.3.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.2.3.cmml">eff</mi><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.3.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.3.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex80.m1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex80.m1.1.1a" xref="S6.Ex80.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex80.m1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex80.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex80.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex80.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex80.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex80.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.Ex80.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex80.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex80.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex80.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex80.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">4</mn></msubsup></mrow><mrow id="S6.Ex80.m1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex80.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex80.m1.2.2" xref="S6.Ex80.m1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml"><msubsup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.4.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mn id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1a" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.4.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex80.m1.3.3" xref="S6.Ex80.m1.3.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex80.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi 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roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_λ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( - italic_ψ ( 2 ) roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG ( divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + 2 italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex81"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{\lambda\left(\frac{1}{6}-\xi\right)Rm^{2}_{1}}{4(4\pi)^{4}% }\left(2\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)^{2}+\psi(1)\psi(2)+% \frac{1}{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)\right)+\frac{1% }{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(1)-\psi^{\prime}(1)\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex81.m1.8"><semantics id="S6.Ex81.m1.8a"><mrow id="S6.Ex81.m1.8b"><mo id="S6.Ex81.m1.8.9">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex81.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex81.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex81.m1.1.1.1"><mi id="S6.Ex81.m1.1.1.1.3">λ</mi><mo id="S6.Ex81.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow 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id="S6.Ex81.m1.2.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex81.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex81.m1.2.2.2.1.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.1">(</mo><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.2">2</mn><msup id="S6.Ex81.m1.8.10.3"><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.1">(</mo><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3"><mfrac id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3a"><msubsup id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.2"><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.3"><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.3.2">4</mn><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.3.4"><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.3.4.2">μ</mi><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.3.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.3.2.4">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.3.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.4">+</mo><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.6"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex81.m1.3.3">1</mn><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.7">ψ</mi><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.8"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex81.m1.4.4">2</mn><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.9">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex81.m1.8.10.10"><mfrac id="S6.Ex81.m1.8.10.10a"><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.10.2">1</mn><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.10.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.11"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex81.m1.8.10.11.2"><mfrac id="S6.Ex81.m1.8.10.11.2a"><msup id="S6.Ex81.m1.8.10.11.2.2"><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.11.2.2.2">π</mi><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.11.2.2.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.11.2.3">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.3">+</mo><msup id="S6.Ex81.m1.8.10.11.4"><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.11.4.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.11.4.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.11.5"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex81.m1.5.5">2</mn><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.6">−</mo><msup id="S6.Ex81.m1.8.10.11.7"><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.11.7.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.7.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.11.8"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex81.m1.6.6">2</mn><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.11.9">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.12">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex81.m1.8.10.13"><mfrac id="S6.Ex81.m1.8.10.13a"><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.13.2">1</mn><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.13.3">2</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.14"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex81.m1.8.10.14.2"><mfrac id="S6.Ex81.m1.8.10.14.2a"><msup id="S6.Ex81.m1.8.10.14.2.2"><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.14.2.2.2">π</mi><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.14.2.2.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.14.2.3">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.3">+</mo><msup id="S6.Ex81.m1.8.10.14.4"><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.14.4.2">ψ</mi><mn id="S6.Ex81.m1.8.10.14.4.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.14.5"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex81.m1.7.7">1</mn><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.6">−</mo><msup id="S6.Ex81.m1.8.10.14.7"><mi id="S6.Ex81.m1.8.10.14.7.2">ψ</mi><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.7.3">′</mo></msup><mrow id="S6.Ex81.m1.8.10.14.8"><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex81.m1.8.8">1</mn><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex81.m1.8.10.14.9">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex81.m1.8c">\displaystyle+\frac{\lambda\left(\frac{1}{6}-\xi\right)Rm^{2}_{1}}{4(4\pi)^{4}% }\left(2\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}}\right)^{2}+\psi(1)\psi(2)+% \frac{1}{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(2)-\psi^{\prime}(2)\right)+\frac{1% }{2}\left(\frac{\pi^{2}}{3}+\psi^{2}(1)-\psi^{\prime}(1)\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex81.m1.8d">+ divide start_ARG italic_λ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 2 ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ψ ( 1 ) italic_ψ ( 2 ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E63"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+2\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}}\left(\psi(1)+\psi(2)% \right)\right)+{\cal O}(\lambda^{2})," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.E63.m1.2"><semantics id="S6.E63.m1.2a"><mrow id="S6.E63.m1.2b"><mo id="S6.E63.m1.2.3">+</mo><mn id="S6.E63.m1.2.4">2</mn><mi id="S6.E63.m1.2.5">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.E63.m1.2.6"><mfrac id="S6.E63.m1.2.6a"><mrow id="S6.E63.m1.2.6.2"><mn id="S6.E63.m1.2.6.2.2">4</mn><mo id="S6.E63.m1.2.6.2.1">⁢</mo><mi id="S6.E63.m1.2.6.2.3">π</mi><mo id="S6.E63.m1.2.6.2.1a">⁢</mo><msup id="S6.E63.m1.2.6.2.4"><mi id="S6.E63.m1.2.6.2.4.2">μ</mi><mn id="S6.E63.m1.2.6.2.4.3">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.E63.m1.2.6.3"><mi id="S6.E63.m1.2.6.3.2.2">m</mi><mn id="S6.E63.m1.2.6.3.3">1</mn><mn id="S6.E63.m1.2.6.3.2.3">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mrow id="S6.E63.m1.2.7"><mo id="S6.E63.m1.2.7.1">(</mo><mi id="S6.E63.m1.2.7.2">ψ</mi><mrow id="S6.E63.m1.2.7.3"><mo id="S6.E63.m1.2.7.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E63.m1.1.1">1</mn><mo id="S6.E63.m1.2.7.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E63.m1.2.7.4">+</mo><mi id="S6.E63.m1.2.7.5">ψ</mi><mrow id="S6.E63.m1.2.7.6"><mo id="S6.E63.m1.2.7.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E63.m1.2.2">2</mn><mo id="S6.E63.m1.2.7.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E63.m1.2.7.7">)</mo></mrow><mo id="S6.E63.m1.2.8">)</mo><mo id="S6.E63.m1.2.9">+</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.E63.m1.2.10">𝒪</mi><mo id="S6.E63.m1.2.11" stretchy="false">(</mo><msup id="S6.E63.m1.2.12"><mi id="S6.E63.m1.2.12.2">λ</mi><mn id="S6.E63.m1.2.12.3">2</mn></msup><mo id="S6.E63.m1.2.13" stretchy="false">)</mo><mo id="S6.E63.m1.2.14">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E63.m1.2c">\displaystyle\left.+2\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}_{1}}}\left(\psi(1)+\psi(2)% \right)\right)+{\cal O}(\lambda^{2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E63.m1.2d">+ 2 roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_ψ ( 1 ) + italic_ψ ( 2 ) ) ) + caligraphic_O ( italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(63)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.p12.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.2.1">where the one loop effective potential is given by </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3.E21" title="In 3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.2.2">. However, we note that the one loop effective potential contains terms quadratic in the curvature as well, whereas in the two loop computation, we have retained terms only linear in the curvature. Hence we shall add with </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E63" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.2.3"> the second order in curvature contribution coming from the </span><math alttext="{\cal O}(\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p12.2.m1.1"><semantics id="S6.p12.2.m1.1a"><mrow id="S6.p12.2.m1.1.2" xref="S6.p12.2.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.p12.2.m1.1.2.2" xref="S6.p12.2.m1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S6.p12.2.m1.1.2.1" xref="S6.p12.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p12.2.m1.1.2.3.2" xref="S6.p12.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.p12.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.p12.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p12.2.m1.1.1" xref="S6.p12.2.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S6.p12.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.p12.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p12.2.m1.1b"><apply id="S6.p12.2.m1.1.2.cmml" xref="S6.p12.2.m1.1.2"><times id="S6.p12.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.p12.2.m1.1.2.1"></times><ci id="S6.p12.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.p12.2.m1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S6.p12.2.m1.1.1.cmml" xref="S6.p12.2.m1.1.1">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p12.2.m1.1c">{\cal O}(\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p12.2.m1.1d">caligraphic_O ( italic_λ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.2.4"> double bubble, reading</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.E64"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V_{{\rm eff},{\cal O}(R^{2})}^{2-{\rm loop}}=-\frac{\lambda}{8(4\pi)^{4}}\left% ({2f_{1}}\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}-\psi(2)}\right)+\left(\frac{1% }{6}-\xi\right)^{2}R^{2}\left(4\psi(1)\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m_{1}^{2}}}+\frac% {3}{2}\left(\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m_{1}^{2}}}\right)^{2}+\frac{\pi^{2}}{3}+2% \psi^{2}(1)-\psi^{\prime}(1)\right)\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S6.E64.m1.8"><semantics id="S6.E64.m1.8a"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.cmml"><msubsup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mrow id="S6.E64.m1.2.2.2.2" xref="S6.E64.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E64.m1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S6.E64.m1.2.2.2.2.2" xref="S6.E64.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">𝒪</mi><mo id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mn id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.3.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.3.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E64.m1.3.3" xref="S6.E64.m1.3.3.cmml"><mi id="S6.E64.m1.3.3.3" xref="S6.E64.m1.3.3.3.cmml">λ</mi><mrow id="S6.E64.m1.3.3.1" xref="S6.E64.m1.3.3.1.cmml"><mn id="S6.E64.m1.3.3.1.3" xref="S6.E64.m1.3.3.1.3.cmml">8</mn><mo id="S6.E64.m1.3.3.1.2" xref="S6.E64.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E64.m1.3.3.1.1" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E64.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.E64.m1.3.3.1.1.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">f</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.E64.m1.4.4" xref="S6.E64.m1.4.4.cmml">2</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">R</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.4.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.E64.m1.5.5" xref="S6.E64.m1.5.5.cmml">1</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1b" lspace="0.167em" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5a" lspace="0.167em" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.cmml">⁡</mo><mfrac id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.1a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.4" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.4.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.4.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.4.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mrow></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mfrac id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msubsup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mfrac id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.cmml"><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.2.cmml">π</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.3.cmml">3</mn></mfrac><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2b" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.cmml"><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.2.cmml">ψ</mi><mn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.1a" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.4.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.cmml">(</mo><mn id="S6.E64.m1.6.6" xref="S6.E64.m1.6.6.cmml">1</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml"><msup id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.1" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.3.2" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.E64.m1.7.7" xref="S6.E64.m1.7.7.cmml">1</mn><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E64.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E64.m1.8b"><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1"><eq id="S6.E64.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.2"></eq><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.3.2.2">𝑉</ci><list id="S6.E64.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2"><ci id="S6.E64.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E64.m1.1.1.1.1">eff</ci><apply id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1"><times id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.3">𝒪</ci><apply id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.5.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1"><times id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3"><divide id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2">3</cn><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1"><ln id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></ln><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">4</cn><ci id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜋</ci><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4"><divide id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4"></divide><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.2">𝜋</ci><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.4.3">3</cn></apply><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5"><times id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.1"></times><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.2.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.2">2</cn><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.2">𝜓</ci><cn id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.5.3.3">2</cn></apply><cn id="S6.E64.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.6.6">1</cn></apply></apply><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3"><times id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.1"></times><apply id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.2">𝜓</ci><ci id="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.E64.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S6.E64.m1.7.7.cmml" type="integer" xref="S6.E64.m1.7.7">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E64.m1.8c">V_{{\rm eff},{\cal O}(R^{2})}^{2-{\rm loop}}=-\frac{\lambda}{8(4\pi)^{4}}\left% ({2f_{1}}\left(\ln{\frac{m^{2}_{1}}{4\pi\mu^{2}}-\psi(2)}\right)+\left(\frac{1% }{6}-\xi\right)^{2}R^{2}\left(4\psi(1)\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m_{1}^{2}}}+\frac% {3}{2}\left(\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m_{1}^{2}}}\right)^{2}+\frac{\pi^{2}}{3}+2% \psi^{2}(1)-\psi^{\prime}(1)\right)\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E64.m1.8d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT roman_eff , caligraphic_O ( italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 - roman_loop end_POSTSUPERSCRIPT = - divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 8 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 2 italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - italic_ψ ( 2 ) ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 4 italic_ψ ( 1 ) roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 3 end_ARG + 2 italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) - italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(64)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.p12.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.3.1">We shall not go into the detail of the derivation for the above. The above contribution only required some gravitational counterterms for the sake of renormalisation. We have plotted </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E63" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.3.2"> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.p12.3.3">plus</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.3.4"> </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E64" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.3.5"> in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.F16" title="Figure 16 ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.3.6"> for the de Sitter spacetime. Note that compared to the zero temperature one loop result, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.E44" title="In 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.3.7">, there is no qualitatively new change. In particular for </span><math alttext="\bar{\eta}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p12.3.m1.1"><semantics id="S6.p12.3.m1.1a"><mrow id="S6.p12.3.m1.1.1" xref="S6.p12.3.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S6.p12.3.m1.1.1.2" xref="S6.p12.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p12.3.m1.1.1.2.2" xref="S6.p12.3.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S6.p12.3.m1.1.1.2.1" xref="S6.p12.3.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.p12.3.m1.1.1.1" xref="S6.p12.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.p12.3.m1.1.1.3" xref="S6.p12.3.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p12.3.m1.1b"><apply id="S6.p12.3.m1.1.1.cmml" xref="S6.p12.3.m1.1.1"><eq id="S6.p12.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p12.3.m1.1.1.1"></eq><apply id="S6.p12.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p12.3.m1.1.1.2"><ci id="S6.p12.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p12.3.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S6.p12.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p12.3.m1.1.1.2.2">𝜂</ci></apply><cn id="S6.p12.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p12.3.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p12.3.m1.1c">\bar{\eta}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p12.3.m1.1d">over¯ start_ARG italic_η end_ARG = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p12.3.8">, the symmetry breaking feature remains intact.</span></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F16"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F16.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="129" id="S6.F16.sf1.g1" src="extracted/6295461/two-loop-cubic-de.png" width="177"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.F16.sf1.7.2.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S6.F16.sf1.2.1" style="font-size:90%;"> <math alttext="\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1"><semantics id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1b"><mrow id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.2" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.1" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.1" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.1" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1c"><apply id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1"><plus id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2"><times id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3"><times id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.F16.sf1.2.1.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1d">\eta\phi^{3}+\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F16.sf1.2.1.m1.1e">italic_η italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interaction </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F16.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="129" id="S6.F16.sf2.g1" src="extracted/6295461/two-loop-quad-de.png" width="177"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.F16.sf2.7.2.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text" id="S6.F16.sf2.2.1" style="font-size:90%;"> <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1"><semantics id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1b"><mrow id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.2" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.1" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1c"><apply id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1"><times id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.F16.sf2.2.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1d">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F16.sf2.2.1.m1.1e">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> interaction</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering ltx_font_bold"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.F16.7.3.1" style="font-size:90%;">Figure 16</span>: </span><span class="ltx_text ltx_font_medium ltx_font_italic" id="S6.F16.4.2" style="font-size:90%;">The two loop double bubble effective potential, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E63" title="In 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a>, at vanishing temperature in the de Sitter spacetime for values <math alttext="\bar{\eta}=0.447,\ \lambda=0.1,\ \xi=0.125,\ \Lambda=30{\rm GeV}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F16.3.1.m1.2"><semantics id="S6.F16.3.1.m1.2b"><mrow id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0.447</mn></mrow><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.3" rspace="0.617em" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.3" rspace="0.617em" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">0.125</mn></mrow><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" rspace="0.617em" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">30</mn><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">G</mi><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1b" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.4" mathvariant="normal" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1c" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.cmml"><mi id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.2" mathvariant="normal" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.2.cmml">V</mi><mn id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.3" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F16.3.1.m1.2c"><apply id="S6.F16.3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F16.3.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1"><eq id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2"><ci id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝜂</ci></apply><cn id="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.F16.3.1.m1.1.1.1.1.3">0.447</cn></apply><apply id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1"><eq id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.1.1.3">0.1</cn></apply><apply id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3">0.125</cn></apply><apply id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"><eq id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></eq><ci id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">Λ</ci><apply id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><cn id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">30</cn><ci id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">G</ci><ci id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.4">e</ci><apply id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.1.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5">superscript</csymbol><ci id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.2.cmml" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.2">V</ci><cn id="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.F16.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F16.3.1.m1.2d">\bar{\eta}=0.447,\ \lambda=0.1,\ \xi=0.125,\ \Lambda=30{\rm GeV}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F16.3.1.m1.2e">over¯ start_ARG italic_η end_ARG = 0.447 , italic_λ = 0.1 , italic_ξ = 0.125 , roman_Λ = 30 roman_G roman_e roman_V start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Note that for the quartic self interaction, the symmetry breaking feature remains intact compared to that of one loop, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>. As earlier, our renormalisation scheme ensures that there are no <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F16.4.2.m2.1"><semantics id="S6.F16.4.2.m2.1b"><mi id="S6.F16.4.2.m2.1.1" xref="S6.F16.4.2.m2.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F16.4.2.m2.1c"><ci id="S6.F16.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.F16.4.2.m2.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F16.4.2.m2.1d">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F16.4.2.m2.1e">italic_ϕ</annotation></semantics></math>-independent terms in the effective potential.</span></figcaption> </figure> <section class="ltx_subsection" id="S6.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S6.SS1.1.1.1">6.1</span> </span>Two loop at finite temperature</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.1.1">Finally, let us come to finite temperature computations at two loop. In order to demonstrate the feature of renormalisability clearly, instead of going to discretisation of the Euclidian </span><math alttext="k^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p1.1.m1.1a"><msup id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.1.m1.1c">k^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.1.m1.1d">italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.1.2"> as of </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4" title="4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.1.3">, we make the following decomposition (e.g. </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.1.4.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib32" title="">32</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.1.5.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.1.6"> and references therein)</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx59"> <tbody id="S6.E65"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{k^{2}+m^{2}}\rightarrow\frac{1}{k^{2}+m^{2}}+2\pi n_{B}(% {|k^{0}|})\delta(k^{2}-m^{2})=\frac{1}{k^{2}+m^{2}}+n_{1}(\beta,k)\qquad({\rm say% })," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E65.m1.4"><semantics id="S6.E65.m1.4a"><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1"><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4a" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml"><msup id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.5" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">→</mo><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.cmml"><mfrac id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4a" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.cmml"><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><msup id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.2.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.2.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.3.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.3.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.5" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.5.cmml">π</mi><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml">n</mi><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.3.cmml">B</mi></msub><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msup><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3c" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.7" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.7.cmml">δ</mi><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3d" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" 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id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.2.3.3.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.2.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.2.3.3.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.cmml"><msub id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.2.cmml"><mi id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.2.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.2.3" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.1" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.3.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E65.m1.1.1" xref="S6.E65.m1.1.1.cmml">β</mi><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.3.2.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E65.m1.2.2" xref="S6.E65.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.7.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mspace id="S6.E65.m1.4.4.1.1.2.3" width="2em" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S6.E65.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E65.m1.3.3" xref="S6.E65.m1.3.3.cmml">say</mi><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E65.m1.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E65.m1.4b"><apply id="S6.E65.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E65.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E65.m1.4.4.1.1.1.1"><and 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id="S6.E65.m1.1.1.cmml" xref="S6.E65.m1.1.1">𝛽</ci><ci id="S6.E65.m1.2.2.cmml" xref="S6.E65.m1.2.2">𝑘</ci></interval></apply></apply></apply></apply><ci id="S6.E65.m1.3.3.cmml" xref="S6.E65.m1.3.3">say</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E65.m1.4c">\displaystyle\frac{1}{k^{2}+m^{2}}\rightarrow\frac{1}{k^{2}+m^{2}}+2\pi n_{B}(% {|k^{0}|})\delta(k^{2}-m^{2})=\frac{1}{k^{2}+m^{2}}+n_{1}(\beta,k)\qquad({\rm say% }),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E65.m1.4d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG → divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + 2 italic_π italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( | italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT | ) italic_δ ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k ) ( roman_say ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(65)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.3.1">and</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx60"> <tbody id="S6.E66"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\left(k^{2}+m^{2}\right)^{2}}\rightarrow\frac{1}{\left(k% ^{2}+m^{2}\right)^{2}}+n_{2}(\beta,k)," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E66.m1.5"><semantics id="S6.E66.m1.5a"><mrow id="S6.E66.m1.5.5.1" xref="S6.E66.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.E66.m1.5.5.1.1" xref="S6.E66.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E66.m1.1.1" xref="S6.E66.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E66.m1.1.1a" xref="S6.E66.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.E66.m1.1.1.3" xref="S6.E66.m1.1.1.3.cmml">1</mn><msup id="S6.E66.m1.1.1.1" xref="S6.E66.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E66.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E66.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" 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end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.2.2"> is the Bose distribution function.</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p2.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p2.2.1">Thus the integrations will be like,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx61"> <tbody id="S6.E67"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{2}+m^{2}}\rightarrow\int% \frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{2}+m^{2}}+S_{1}(\beta)=-m^{2}\left(\frac{% 2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\psi(2)+\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}}\right)+S_{1% }(\beta)," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E67.m1.6"><semantics id="S6.E67.m1.6a"><mrow 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stretchy="false" xref="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E67.m1.1.1.1.3" xref="S6.E67.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml"><msup id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.4.cmml">→</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.cmml"><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2a" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.cmml"><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.cmml"><mfrac id="S6.E67.m1.2.2" xref="S6.E67.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.E67.m1.2.2.3" 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xref="S6.E67.m1.2.2.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.cmml"><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.cmml"><msup id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.3.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.cmml"><msub id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.cmml"><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E67.m1.3.3" xref="S6.E67.m1.3.3.cmml">β</mi><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.6" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1a" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3a" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.E67.m1.4.4" xref="S6.E67.m1.4.4.cmml">2</mn><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2a" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1a" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.3" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.1" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E67.m1.5.5" xref="S6.E67.m1.5.5.cmml">β</mi><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E67.m1.6.6.1.2" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E67.m1.6b"><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1"><and id="S6.E67.m1.6.6.1.1a.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1"></and><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1b.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1"><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.4">→</ci><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3"><int id="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.3.1"></int><apply 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xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><minus id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"></minus><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><cn id="S6.E67.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S6.E67.m1.4.4">2</cn></apply><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><ln id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></ln><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><divide id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"></divide><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><times id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1"></times><cn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">4</cn><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝜋</ci><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3"><times id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><cn id="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E67.m1.6.6.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S6.E67.m1.5.5.cmml" xref="S6.E67.m1.5.5">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E67.m1.6c">\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{2}+m^{2}}\rightarrow\int% \frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{2}+m^{2}}+S_{1}(\beta)=-m^{2}\left(\frac{% 2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\psi(2)+\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{m^{2}}}\right)+S_{1% }(\beta),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E67.m1.6d">∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG → ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) = - italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 2 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG + italic_ψ ( 2 ) + roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(67)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p2.1.1">where </span><math alttext="S_{1}(\beta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.1" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">β</mi><mo id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2"><times id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p2.1.m1.1c">S_{1}(\beta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p2.1.m1.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p2.1.2"> is temperature dependent and finite. Likewise</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx62"> <tbody id="S6.E68"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m^{2})^{2}}% \rightarrow\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m^{2})^{2}}+S_{2}(% \beta)=\left(\frac{2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\psi(1)+\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{% m^{2}}}\right)+S_{2}(\beta)." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E68.m1.8"><semantics id="S6.E68.m1.8a"><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E68.m1.8.8.1.1.3" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.3a" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.3.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.E68.m1.1.1" xref="S6.E68.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.1.1.3" xref="S6.E68.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.E68.m1.1.1.3.2" xref="S6.E68.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E68.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.E68.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E68.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.E68.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.E68.m1.1.1.3.1" xref="S6.E68.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E68.m1.1.1.3.3" xref="S6.E68.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.E68.m1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E68.m1.1.1.1.3" xref="S6.E68.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.3.2.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.E68.m1.2.2" xref="S6.E68.m1.2.2.cmml"><mn id="S6.E68.m1.2.2.3" xref="S6.E68.m1.2.2.3.cmml">1</mn><msup id="S6.E68.m1.2.2.1" xref="S6.E68.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E68.m1.2.2.1.3" xref="S6.E68.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.4.cmml">→</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2a" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2.cmml"><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2.2.cmml"><mfrac id="S6.E68.m1.3.3" xref="S6.E68.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.3.3.3" xref="S6.E68.m1.3.3.3.cmml"><msup id="S6.E68.m1.3.3.3.2" xref="S6.E68.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S6.E68.m1.3.3.3.2.2" xref="S6.E68.m1.3.3.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E68.m1.3.3.3.2.3" xref="S6.E68.m1.3.3.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.E68.m1.3.3.3.1" xref="S6.E68.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E68.m1.3.3.3.3" xref="S6.E68.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.E68.m1.3.3.1" xref="S6.E68.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E68.m1.3.3.1.3" xref="S6.E68.m1.3.3.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2.2.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.E68.m1.4.4" xref="S6.E68.m1.4.4.cmml"><mn id="S6.E68.m1.4.4.3" xref="S6.E68.m1.4.4.3.cmml">1</mn><msup id="S6.E68.m1.4.4.1" xref="S6.E68.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E68.m1.4.4.1.3" xref="S6.E68.m1.4.4.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.cmml"><msub id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.2.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.2.3" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.cmml"><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E68.m1.5.5" xref="S6.E68.m1.5.5.cmml">β</mi><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.6" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3a" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mi id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.E68.m1.6.6" xref="S6.E68.m1.6.6.cmml">1</mn><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2a" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi 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xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.3" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.1" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E68.m1.7.7" xref="S6.E68.m1.7.7.cmml">β</mi><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E68.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E68.m1.8b"><apply id="S6.E68.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1"><and id="S6.E68.m1.8.8.1.1a.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1"></and><apply id="S6.E68.m1.8.8.1.1b.cmml" 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id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><times id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1"></times><cn id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">4</cn><ci id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝜋</ci><apply id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.1.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.2.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3"><times id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><cn id="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E68.m1.8.8.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.E68.m1.7.7.cmml" xref="S6.E68.m1.7.7">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E68.m1.8c">\displaystyle\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m^{2})^{2}}% \rightarrow\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m^{2})^{2}}+S_{2}(% \beta)=\left(\frac{2\mu^{-\epsilon}}{\epsilon}+\psi(1)+\ln{\frac{4\pi\mu^{2}}{% m^{2}}}\right)+S_{2}(\beta).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E68.m1.8d">∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG → ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_S start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) = ( divide start_ARG 2 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG + italic_ψ ( 1 ) + roman_ln divide start_ARG 4 italic_π italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + italic_S start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(68)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S6.SS1.p3.1.1">Double bubble at finite temperature</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p3.1.2">:</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p4.1.1">The double bubble integral at finite temperature and up to </span><math alttext="{\cal O}(R)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.2" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.1" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">R</mi><mo id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2"><times id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1">𝑅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p4.1.m1.1c">{\cal O}(R)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p4.1.m1.1d">caligraphic_O ( italic_R )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p4.1.2"> reads</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx63"> <tbody id="S6.Ex82"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{\lambda}{8}\left(\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{% 2}+m^{2}_{1}}+S_{1}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\left(\int\frac{d^{d}k% }{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m^{2}_{1})^{2}}+S_{2}(\beta)\right)\right)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex82.m1.6"><semantics id="S6.Ex82.m1.6a"><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6" xref="S6.Ex82.m1.6.6.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.6.6a" xref="S6.Ex82.m1.6.6.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex82.m1.6.6.1.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex82.m1.6.6.1.3a" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex82.m1.6.6.1.3.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.3.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.3.3.cmml">8</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4a" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex82.m1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex82.m1.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex82.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex82.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex82.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex82.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex82.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex82.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex82.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex82.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex82.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex82.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex82.m1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex82.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.cmml"><msub id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex82.m1.4.4" xref="S6.Ex82.m1.4.4.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.4.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2a" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex82.m1.2.2" xref="S6.Ex82.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex82.m1.2.2.3" xref="S6.Ex82.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex82.m1.2.2.3.2" xref="S6.Ex82.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex82.m1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex82.m1.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex82.m1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex82.m1.2.2.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex82.m1.2.2.3.1" xref="S6.Ex82.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex82.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex82.m1.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex82.m1.2.2.1" xref="S6.Ex82.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi 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id="S6.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex82.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex82.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex82.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex82.m1.5.5" xref="S6.Ex82.m1.5.5.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.3" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex82.m1.6b"><apply id="S6.Ex82.m1.6.6.cmml" xref="S6.Ex82.m1.6.6"><minus id="S6.Ex82.m1.6.6.2.cmml" xref="S6.Ex82.m1.6.6"></minus><apply 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xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.Ex82.m1.5.5.cmml" xref="S6.Ex82.m1.5.5">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex82.m1.6.6.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex82.m1.6c">\displaystyle-\frac{\lambda}{8}\left(\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{% 2}+m^{2}_{1}}+S_{1}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\left(\int\frac{d^{d}k% }{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m^{2}_{1})^{2}}+S_{2}(\beta)\right)\right)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex82.m1.6d">- divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 8 end_ARG ( ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ( ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_S start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex83"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\frac{\lambda}{8}\left(\left(\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac% {1}{k^{2}+m^{2}_{1}}\right)^{2}+2\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k% }{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{2}+m^{2}_{1}}\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k% ^{2}+m^{2}_{1})^{2}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex83.m1.5"><semantics id="S6.Ex83.m1.5a"><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5" xref="S6.Ex83.m1.5.5.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.5.5.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.3.cmml"></mi><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1a" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.3a" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">8</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S6.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex83.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2a" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.4.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2b" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5a" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex83.m1.2.2" xref="S6.Ex83.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex83.m1.2.2.3" xref="S6.Ex83.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex83.m1.2.2.3.2" xref="S6.Ex83.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex83.m1.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex83.m1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex83.m1.2.2.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex83.m1.2.2.3.1" xref="S6.Ex83.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex83.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex83.m1.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex83.m1.2.2.1" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex83.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex83.m1.2.2.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.1" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex83.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn 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id="S6.Ex83.m1.4.4.1" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex83.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex84"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{\lambda}{8}\left(-\left(m^{2}+\eta\phi+\frac{1}{2}\lambda% \phi^{2}\right)\frac{4\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{2}\epsilon}S_{1}(\beta)-\left(% \frac{1}{6}-\xi\right)R\left(m^{2}+\eta\phi+\frac{1}{2}\lambda\phi^{2}\right)% \frac{4\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{2}\epsilon}S_{2}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)R\frac{4\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{2}\epsilon}S_{1}(\beta)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex84.m1.7"><semantics id="S6.Ex84.m1.7a"><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7" xref="S6.Ex84.m1.7.7.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex84.m1.7.7.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex84.m1.7.7.1.3a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.3.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.3.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.3.3.cmml">8</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex84.m1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex84.m1.1.1a" xref="S6.Ex84.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex84.m1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex84.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex84.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex84.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.3a" xref="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S6.Ex84.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex84.m1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex84.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex84.m1.4.4" xref="S6.Ex84.m1.4.4.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.4" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.3.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.1a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3b" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex84.m1.2.2" xref="S6.Ex84.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex84.m1.2.2a" xref="S6.Ex84.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.2.2.3" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.2.2.3.2" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex84.m1.2.2.3.1" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.2" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3a" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3.2" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex84.m1.2.2.1" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex84.m1.2.2.1.2" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3c" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3d" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.6.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex84.m1.5.5" xref="S6.Ex84.m1.5.5.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.6.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.5" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2a" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex84.m1.3.3" xref="S6.Ex84.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex84.m1.3.3a" xref="S6.Ex84.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.3.3.3" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.3.3.3.2" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex84.m1.3.3.3.1" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3a" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mrow id="S6.Ex84.m1.3.3.1" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex84.m1.3.3.1.2" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex84.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2b" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.2" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.3" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2c" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><mrow 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id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex84.m1.4.4.cmml" xref="S6.Ex84.m1.4.4">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3"><times id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3"></times><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1"><minus id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><divide id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" 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xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.2">1</cn><cn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.3">𝜆</ci><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.2">italic-ϕ</ci><cn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.1.4.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex84.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2"><divide id="S6.Ex84.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2"></divide><apply id="S6.Ex84.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3"><times id="S6.Ex84.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex84.m1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.2">4</cn><apply id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.2">𝜇</ci><apply id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3"><minus id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3"></minus><ci id="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.3.3.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex84.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1"><times id="S6.Ex84.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">4</cn><ci id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><cn id="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S6.Ex84.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.2.2.1.3">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.2">𝑆</ci><cn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5.3">2</cn></apply><ci id="S6.Ex84.m1.5.5.cmml" xref="S6.Ex84.m1.5.5">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4"><times id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.2"></times><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1"><minus id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2"><divide id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.3">𝑅</ci><apply id="S6.Ex84.m1.3.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3"><divide id="S6.Ex84.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3"></divide><apply id="S6.Ex84.m1.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3"><times id="S6.Ex84.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.1"></times><cn id="S6.Ex84.m1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.2">4</cn><apply id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.2">𝜇</ci><apply id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3"><minus id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3"></minus><ci id="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.3.3.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex84.m1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1"><times id="S6.Ex84.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">4</cn><ci id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><cn id="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S6.Ex84.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S6.Ex84.m1.3.3.1.3">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.2">𝑆</ci><cn id="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex84.m1.7.7.1.1.1.1.4.4.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex84.m1.6.6.cmml" xref="S6.Ex84.m1.6.6">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex84.m1.7c">\displaystyle-\frac{\lambda}{8}\left(-\left(m^{2}+\eta\phi+\frac{1}{2}\lambda% \phi^{2}\right)\frac{4\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{2}\epsilon}S_{1}(\beta)-\left(% \frac{1}{6}-\xi\right)R\left(m^{2}+\eta\phi+\frac{1}{2}\lambda\phi^{2}\right)% \frac{4\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{2}\epsilon}S_{2}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)R\frac{4\mu^{-\epsilon}}{(4\pi)^{2}\epsilon}S_{1}(\beta)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex84.m1.7d">- divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 8 end_ARG ( - ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_ϕ + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) divide start_ARG 4 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) - ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_ϕ + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) divide start_ARG 4 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG italic_S start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R divide start_ARG 4 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E69"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\rm{Finite\,\,terms}." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E69.m1.1"><semantics id="S6.E69.m1.1a"><mrow id="S6.E69.m1.1.1.1" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E69.m1.1.1.1.1" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E69.m1.1.1.1.1a" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E69.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">Finite</mi><mo id="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.330em" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">terms</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E69.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E69.m1.1b"><apply id="S6.E69.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E69.m1.1.1.1"><plus id="S6.E69.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E69.m1.1.1.1"></plus><apply id="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.2"><times id="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.2">Finite</ci><ci id="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E69.m1.1.1.1.1.2.3">terms</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E69.m1.1c">\displaystyle+\rm{Finite\,\,terms}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E69.m1.1d">+ roman_Finite roman_terms .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(69)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p4.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p4.2.1">Note that the first two terms are temperature independent divergent terms whereas the next three terms are temperature dependent divergent terms.</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p5.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S6.SS1.p5.1.1">Sunset at finite temperature</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p5.1.2">:</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p6.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p6.1.1">The feynmann integral for Sunset diagram will be</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx64"> <tbody id="S6.Ex85"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\int\frac{d^{d}% k_{1}}{(2\pi)^{d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\left(\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_% {1}}+n_{1}(\beta,k_{1})\right)\left(\frac{1}{k_{2}^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(\beta,% k_{2})\right)\left(\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(\beta,k_{1}+k_{% 2})\right)\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex85.m1.7"><semantics id="S6.Ex85.m1.7a"><mrow id="S6.Ex85.m1.7b"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex85.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex85.m1.1.1a"><msup id="S6.Ex85.m1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.2">η</mi><mo id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mrow id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">λ</mi><mo id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex85.m1.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex85.m1.1.1.1.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex85.m1.1.1.3">12</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8"><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex85.m1.7.8.2"><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.2a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex85.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex85.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex85.m1.2.2.3"><msup id="S6.Ex85.m1.2.2.3.2"><mi id="S6.Ex85.m1.2.2.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex85.m1.2.2.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex85.m1.2.2.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex85.m1.2.2.3.3"><mi id="S6.Ex85.m1.2.2.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.2.2.3.3.3">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex85.m1.2.2.1"><mrow id="S6.Ex85.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex85.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex85.m1.2.2.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex85.m1.2.2.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex85.m1.2.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex85.m1.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex85.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex85.m1.2.2.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex85.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex85.m1.3.3a"><mrow id="S6.Ex85.m1.3.3.3"><msup id="S6.Ex85.m1.3.3.3.2"><mi id="S6.Ex85.m1.3.3.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex85.m1.3.3.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex85.m1.3.3.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex85.m1.3.3.3.3"><mi id="S6.Ex85.m1.3.3.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.3.3.3.3.3">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex85.m1.3.3.1"><mrow id="S6.Ex85.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S6.Ex85.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex85.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex85.m1.3.3.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8.3"><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2"><mfrac id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2a"><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.2">1</mn><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3"><msubsup id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.2"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.3"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.3.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.3.3">+</mo><msub id="S6.Ex85.m1.7.8.3.4"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.3.4.2">n</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.3.4.3">1</mn></msub><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8.3.5"><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.3.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.Ex85.m1.5.5">β</mi><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.3.5.2">,</mo><msub id="S6.Ex85.m1.7.8.3.5.3"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.3.5.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.3.5.3.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.3.5.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.3.6">)</mo></mrow><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8.4"><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.4.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2"><mfrac id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2a"><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.2">1</mn><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3"><msubsup id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.2"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.2.2.3">2</mn><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.3"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.4.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.4.3">+</mo><msub id="S6.Ex85.m1.7.8.4.4"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.4.4.2">n</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.4.4.3">1</mn></msub><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8.4.5"><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.4.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.Ex85.m1.6.6">β</mi><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.4.5.2">,</mo><msub id="S6.Ex85.m1.7.8.4.5.3"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.4.5.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.4.5.3.3">2</mn></msub><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.4.5.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.4.6">)</mo></mrow><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8.5"><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.5.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex85.m1.4.4"><mfrac id="S6.Ex85.m1.4.4a"><mn id="S6.Ex85.m1.4.4.3">1</mn><mrow id="S6.Ex85.m1.4.4.1"><msup id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1"><mrow id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.1"><msub id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex85.m1.4.4.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex85.m1.4.4.1.2">+</mo><msubsup id="S6.Ex85.m1.4.4.1.3"><mi id="S6.Ex85.m1.4.4.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex85.m1.4.4.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex85.m1.4.4.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.5.2">+</mo><msub id="S6.Ex85.m1.7.8.5.3"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.5.3.2">n</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.5.3.3">1</mn></msub><mrow id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4"><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.Ex85.m1.7.7">β</mi><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.2">,</mo><msub id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.3"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.3.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.4">+</mo><msub id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.5"><mi id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.5.2">k</mi><mn id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.5.3">2</mn></msub><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.5.4.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex85.m1.7.8.5.5">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex85.m1.7c">\displaystyle\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\int\frac{d^{d}% k_{1}}{(2\pi)^{d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\left(\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_% {1}}+n_{1}(\beta,k_{1})\right)\left(\frac{1}{k_{2}^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(\beta,% k_{2})\right)\left(\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(\beta,k_{1}+k_{% 2})\right)\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex85.m1.7d">divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 12 end_ARG ( ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex86"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\left(\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(% \beta,k_{1})\right)\left(\frac{1}{(k_{2}^{2}+m^{2}_{1})^{2}}+n_{2}(\beta,k_{2}% )\right)\left(\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(\beta,k_{1}+k_{2})% \right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex86.m1.11"><semantics id="S6.Ex86.m1.11a"><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11" xref="S6.Ex86.m1.11.11.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.11.11a" xref="S6.Ex86.m1.11.11.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11.4" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.5" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex86.m1.11.11.4.6" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.6.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.5a" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.5.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4a" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.4" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.4.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex86.m1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex86.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex86.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex86.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex86.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex86.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex86.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex86.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex86.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex86.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex86.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex86.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex86.m1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex86.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.4" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex86.m1.2.2" xref="S6.Ex86.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.2.2.3" xref="S6.Ex86.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex86.m1.2.2.3.2" xref="S6.Ex86.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex86.m1.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex86.m1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex86.m1.2.2.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex86.m1.2.2.3.1" xref="S6.Ex86.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex86.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex86.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.2.2.3.3.2" xref="S6.Ex86.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex86.m1.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex86.m1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex86.m1.2.2.1" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex86.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex86.m1.2.2.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.4a" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex86.m1.5.5" xref="S6.Ex86.m1.5.5.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.4b" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.2" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex86.m1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex86.m1.3.3.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.3.cmml">1</mn><msup id="S6.Ex86.m1.3.3.1" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn><mn id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex86.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex86.m1.6.6" xref="S6.Ex86.m1.6.6.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.3" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.4c" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.2" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex86.m1.4.4" xref="S6.Ex86.m1.4.4.cmml"><mn id="S6.Ex86.m1.4.4.3" xref="S6.Ex86.m1.4.4.3.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex86.m1.4.4.1" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.cmml"><msup id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex86.m1.4.4.1.2" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex86.m1.4.4.1.3" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.4.4.1.3.2.2" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex86.m1.4.4.1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex86.m1.4.4.1.3.2.3" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex86.m1.7.7" xref="S6.Ex86.m1.7.7.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub 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xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex86.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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cd="ambiguous" id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex86.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></apply><apply id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1"><plus id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.2"></plus><apply id="S6.Ex86.m1.4.4.cmml" xref="S6.Ex86.m1.4.4"><divide id="S6.Ex86.m1.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.4.4"></divide><cn id="S6.Ex86.m1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex86.m1.4.4.3">1</cn><apply id="S6.Ex86.m1.4.4.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1"><plus id="S6.Ex86.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.2"></plus><apply id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex86.m1.4.4.1.1.2.cmml" 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xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex86.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex86.m1.11c">\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\left(\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(% 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italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) 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xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.cmml"><mrow id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4a" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.4" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.4.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex87.m1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex87.m1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex87.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex87.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex87.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex87.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex87.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex87.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex87.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex87.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex87.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex87.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex87.m1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex87.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex87.m1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex87.m1.3.3.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.3.cmml">1</mn><msup id="S6.Ex87.m1.3.3.1" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex87.m1.5.5" xref="S6.Ex87.m1.5.5.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.4b" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.2.2.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.2.2.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn><mn id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.1" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex87.m1.6.6" xref="S6.Ex87.m1.6.6.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.3" xref="S6.Ex87.m1.10.10.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.4c" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.2" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex87.m1.4.4" xref="S6.Ex87.m1.4.4.cmml"><mn id="S6.Ex87.m1.4.4.3" xref="S6.Ex87.m1.4.4.3.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex87.m1.4.4.1" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.cmml"><msup id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex87.m1.4.4.1.2" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex87.m1.4.4.1.3" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.4.4.1.3.2.2" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex87.m1.4.4.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex87.m1.4.4.1.3.2.3" xref="S6.Ex87.m1.4.4.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex87.m1.7.7" xref="S6.Ex87.m1.7.7.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.11.11.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo 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id="S6.Ex88.m1.6.8.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex88.m1.6.8.3">−</mo><mi id="S6.Ex88.m1.6.8.4">ξ</mi><mo id="S6.Ex88.m1.6.8.5">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex88.m1.6.9">R</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex88.m1.6.10"><mo id="S6.Ex88.m1.6.10a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex88.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex88.m1.1.1a"><mrow id="S6.Ex88.m1.1.1.3"><msup id="S6.Ex88.m1.1.1.3.2"><mi id="S6.Ex88.m1.1.1.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex88.m1.1.1.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex88.m1.1.1.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex88.m1.1.1.3.3"><mi id="S6.Ex88.m1.1.1.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.1.1.3.3.3">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex88.m1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex88.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex88.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex88.m1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex88.m1.1.1.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex88.m1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex88.m1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex88.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex88.m1.1.1.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex88.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex88.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex88.m1.2.2.3"><msup id="S6.Ex88.m1.2.2.3.2"><mi id="S6.Ex88.m1.2.2.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex88.m1.2.2.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex88.m1.2.2.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex88.m1.2.2.3.3"><mi id="S6.Ex88.m1.2.2.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.2.2.3.3.3">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex88.m1.2.2.1"><mrow id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex88.m1.2.2.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex88.m1.6.11"><mo id="S6.Ex88.m1.6.11.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex88.m1.6.11.2"><mfrac id="S6.Ex88.m1.6.11.2a"><mn id="S6.Ex88.m1.6.11.2.2">1</mn><mrow id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3"><msubsup id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.2"><mi id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.3"><mi id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex88.m1.6.11.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex88.m1.6.11.3">+</mo><msub id="S6.Ex88.m1.6.11.4"><mi id="S6.Ex88.m1.6.11.4.2">n</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.11.4.3">1</mn></msub><mrow id="S6.Ex88.m1.6.11.5"><mo id="S6.Ex88.m1.6.11.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.Ex88.m1.4.4">β</mi><mo id="S6.Ex88.m1.6.11.5.2">,</mo><msub id="S6.Ex88.m1.6.11.5.3"><mi id="S6.Ex88.m1.6.11.5.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.11.5.3.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex88.m1.6.11.5.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex88.m1.6.11.6">)</mo></mrow><mrow id="S6.Ex88.m1.6.12"><mo id="S6.Ex88.m1.6.12.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex88.m1.6.12.2"><mfrac id="S6.Ex88.m1.6.12.2a"><mn id="S6.Ex88.m1.6.12.2.2">1</mn><mrow id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3"><msubsup id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.2"><mi id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.2.2.3">2</mn><mn id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.3"><mi id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex88.m1.6.12.2.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex88.m1.6.12.3">+</mo><msub id="S6.Ex88.m1.6.12.4"><mi id="S6.Ex88.m1.6.12.4.2">n</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.12.4.3">1</mn></msub><mrow id="S6.Ex88.m1.6.12.5"><mo id="S6.Ex88.m1.6.12.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.Ex88.m1.5.5">β</mi><mo id="S6.Ex88.m1.6.12.5.2">,</mo><msub id="S6.Ex88.m1.6.12.5.3"><mi id="S6.Ex88.m1.6.12.5.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.12.5.3.3">2</mn></msub><mo id="S6.Ex88.m1.6.12.5.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex88.m1.6.12.6">)</mo></mrow><mrow id="S6.Ex88.m1.6.13"><mo id="S6.Ex88.m1.6.13.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex88.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex88.m1.3.3a"><mn id="S6.Ex88.m1.3.3.3">1</mn><msup id="S6.Ex88.m1.3.3.1"><mrow id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1"><msup id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.2">+</mo><msubsup id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex88.m1.3.3.1.1.1.3">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex88.m1.3.3.1.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex88.m1.6.13.2">+</mo><msub id="S6.Ex88.m1.6.13.3"><mi id="S6.Ex88.m1.6.13.3.2">n</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.13.3.3">2</mn></msub><mrow id="S6.Ex88.m1.6.13.4"><mo id="S6.Ex88.m1.6.13.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.Ex88.m1.6.6">β</mi><mo id="S6.Ex88.m1.6.13.4.2">,</mo><msub id="S6.Ex88.m1.6.13.4.3"><mi id="S6.Ex88.m1.6.13.4.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.13.4.3.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex88.m1.6.13.4.4">+</mo><msub id="S6.Ex88.m1.6.13.4.5"><mi id="S6.Ex88.m1.6.13.4.5.2">k</mi><mn id="S6.Ex88.m1.6.13.4.5.3">2</mn></msub><mo id="S6.Ex88.m1.6.13.4.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex88.m1.6.13.5">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex88.m1.6.14">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex88.m1.6c">\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\left(\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(% \beta,k_{1})\right)\left(\frac{1}{k_{2}^{2}+m^{2}_{1}}+n_{1}(\beta,k_{2})% \right)\left(\frac{1}{\left((k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}\right)^{2}}+n_{2}(% \beta,k_{1}+k_{2})\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex88.m1.6d">+ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex89"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\int\frac{d^{d% }k_{1}}{(2\pi)^{d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}% \frac{1}{k_{2}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex89.m1.4"><semantics id="S6.Ex89.m1.4a"><mrow id="S6.Ex89.m1.4b"><mo id="S6.Ex89.m1.4.5">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex89.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex89.m1.1.1a"><msup id="S6.Ex89.m1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.2">η</mi><mo id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mrow id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">λ</mi><mo id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex89.m1.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex89.m1.1.1.1.3">2</mn></msup><mn id="S6.Ex89.m1.1.1.3">12</mn></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex89.m1.4.6"><mo id="S6.Ex89.m1.4.6.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex89.m1.4.6.2"><mo id="S6.Ex89.m1.4.6.2a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex89.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex89.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex89.m1.2.2.3"><msup id="S6.Ex89.m1.2.2.3.2"><mi id="S6.Ex89.m1.2.2.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex89.m1.2.2.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex89.m1.2.2.3.3"><mi id="S6.Ex89.m1.2.2.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex89.m1.2.2.3.3.3">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex89.m1.2.2.1"><mrow id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex89.m1.2.2.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex89.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex89.m1.3.3a"><mrow id="S6.Ex89.m1.3.3.3"><msup id="S6.Ex89.m1.3.3.3.2"><mi id="S6.Ex89.m1.3.3.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex89.m1.3.3.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex89.m1.3.3.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex89.m1.3.3.3.3"><mi id="S6.Ex89.m1.3.3.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex89.m1.3.3.3.3.3">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex89.m1.3.3.1"><mrow id="S6.Ex89.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S6.Ex89.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex89.m1.3.3.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex89.m1.3.3.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex89.m1.3.3.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex89.m1.3.3.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex89.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex89.m1.3.3.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex89.m1.4.6.3"><mfrac id="S6.Ex89.m1.4.6.3a"><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.3.2">1</mn><mrow id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3"><msubsup id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.2"><mi id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.3"><mi id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.3.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex89.m1.4.6.4"><mfrac id="S6.Ex89.m1.4.6.4a"><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.4.2">1</mn><mrow id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3"><msubsup id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.2"><mi id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.2.2.3">2</mn><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.3"><mi id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex89.m1.4.6.4.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex89.m1.4.4"><mfrac id="S6.Ex89.m1.4.4a"><mn id="S6.Ex89.m1.4.4.3">1</mn><mrow id="S6.Ex89.m1.4.4.1"><msup id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1"><mrow id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.1"><msub id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex89.m1.4.4.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex89.m1.4.4.1.2">+</mo><msubsup id="S6.Ex89.m1.4.4.1.3"><mi id="S6.Ex89.m1.4.4.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex89.m1.4.4.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex89.m1.4.4.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex89.m1.4c">\displaystyle=\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\int\frac{d^{d% }k_{1}}{(2\pi)^{d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}% \frac{1}{k_{2}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex89.m1.4d">= divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 12 end_ARG ( ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex90"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{(k_{2}^% {2}+m^{2}_{1})^{2}}\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex90.m1.5"><semantics id="S6.Ex90.m1.5a"><mrow id="S6.Ex90.m1.5.5" xref="S6.Ex90.m1.5.5.cmml"><mo id="S6.Ex90.m1.5.5a" xref="S6.Ex90.m1.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex90.m1.5.5.1" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex90.m1.5.5.1.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.3.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.2a" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4a" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.1" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex90.m1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.1.1.3" xref="S6.Ex90.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex90.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex90.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex90.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex90.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex90.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex90.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex90.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex90.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex90.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex90.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex90.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex90.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex90.m1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex90.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex90.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.1" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex90.m1.2.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.2.2.3" xref="S6.Ex90.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex90.m1.2.2.3.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex90.m1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex90.m1.2.2.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.3.1" xref="S6.Ex90.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex90.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex90.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.2.2.3.3.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex90.m1.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex90.m1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex90.m1.2.2.1" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex90.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.1a" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.cmml"><msubsup id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.1" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.3" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.1b" xref="S6.Ex90.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex90.m1.3.3" xref="S6.Ex90.m1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex90.m1.3.3.3" xref="S6.Ex90.m1.3.3.3.cmml">1</mn><msup id="S6.Ex90.m1.3.3.1" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn><mn id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex90.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn 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id="S6.Ex91.m1.3.3" xref="S6.Ex91.m1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex91.m1.3.3.3" xref="S6.Ex91.m1.3.3.3.cmml">1</mn><msup id="S6.Ex91.m1.3.3.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex91.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.1b" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.2" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3.cmml"><msubsup id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3.2" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3.cmml">2</mn><mn id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.3" 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id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex91.m1.4.4.1.2" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex91.m1.4.4.1.3" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.4.4.1.3.2.2" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex91.m1.4.4.1.3.3" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex91.m1.4.4.1.3.2.3" xref="S6.Ex91.m1.4.4.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex91.m1.5b"><apply id="S6.Ex91.m1.5.5.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5"><plus id="S6.Ex91.m1.5.5.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5"></plus><apply id="S6.Ex91.m1.5.5.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1"><times id="S6.Ex91.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.2"></times><apply id="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1"><minus id="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.2"><divide id="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S6.Ex91.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.3">𝑅</ci><apply id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4"><int id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.1"></int><apply id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2"><times id="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.5.5.1.4.2.1"></times><apply id="S6.Ex91.m1.1.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1"><divide id="S6.Ex91.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1"></divide><apply id="S6.Ex91.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.3"><times id="S6.Ex91.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.Ex91.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex91.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex91.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci 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id="S6.Ex92.m1.3.3.1"><mrow id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1"><msup id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1"><mrow id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.2">+</mo><msubsup id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex92.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex92.m1.3.3.1.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex92.m1.3.10">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex92.m1.3c">\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{k_{2}^{% 2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{((k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1})^{2}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex92.m1.3d">+ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E70"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\frac{6\mu^{-% \epsilon}}{\epsilon}S_{1}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\frac{6\mu^{-% \epsilon}}{\epsilon}S_{2}(\beta)\right)+\rm{Finite\,\,terms}." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E70.m1.4"><semantics id="S6.E70.m1.4a"><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1a" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E70.m1.1.1" xref="S6.E70.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E70.m1.1.1a" xref="S6.E70.m1.1.1.cmml"><msup id="S6.E70.m1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E70.m1.1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S6.E70.m1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.1.1.3.cmml">12</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">6</mn><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3a" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E70.m1.2.2" xref="S6.E70.m1.2.2.cmml">β</mi><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">6</mn><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3a" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup></mrow><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mstyle><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">S</mi><mn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E70.m1.3.3" xref="S6.E70.m1.3.3.cmml">β</mi><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E70.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">Finite</mi><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.1" lspace="0.330em" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">terms</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E70.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E70.m1.4b"><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1"><plus id="S6.E70.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.2"></plus><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1"><plus id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1"></plus><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" 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cd="ambiguous" id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝜇</ci><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><minus id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3"></minus><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><cn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S6.E70.m1.2.2.cmml" xref="S6.E70.m1.2.2">𝛽</ci></apply><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><cn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">6</cn><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝜇</ci><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3"><minus id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3"></minus><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑆</ci><cn id="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">2</cn></apply><ci id="S6.E70.m1.3.3.cmml" xref="S6.E70.m1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.3"><times id="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.2">Finite</ci><ci id="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E70.m1.4.4.1.1.3.3">terms</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E70.m1.4c">\displaystyle+\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\frac{6\mu^{-% \epsilon}}{\epsilon}S_{1}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\frac{6\mu^{-% \epsilon}}{\epsilon}S_{2}(\beta)\right)+\rm{Finite\,\,terms}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E70.m1.4d">+ divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 12 end_ARG ( divide start_ARG 6 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R divide start_ARG 6 italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG italic_S start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) ) + roman_Finite roman_terms .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(70)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p6.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p6.2.1">The first four terms in the final expression are temperature independent divergent terms whereas next two terms are temperature dependent divergent terms.</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p7.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_framed ltx_framed_underline" id="S6.SS1.p7.1.1">One loop counterterm contribution at finite temperature</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p7.1.2">:</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p8.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p8.1.1">The relevant integral reads</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx65"> <tbody id="S6.Ex93"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{2}\left(\delta m^{2}+\frac{1}{2}\delta\lambda\phi^{2}+% \delta\eta\phi+\delta\xi R\right)\left(\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\left(% \frac{1}{k^{2}+m^{2}_{1}}+\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(k^{2}+m^{2}_{1% })^{2}}\right)+S_{1}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)RS_{2}(\beta)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex93.m1.7"><semantics id="S6.Ex93.m1.7a"><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7" xref="S6.Ex93.m1.7.7.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex93.m1.7.7.4" xref="S6.Ex93.m1.7.7.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex93.m1.7.7.4a" xref="S6.Ex93.m1.7.7.4.cmml"><mn id="S6.Ex93.m1.7.7.4.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.4.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex93.m1.7.7.4.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.2a" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.4" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.4.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.1b" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.5" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.5.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.5.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.5.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.1a" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.3.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.1a" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.4" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.4.4.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.1b" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.2" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.1" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.3.cmml">ξ</mi><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.1a" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.4" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.5.4.cmml">R</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.3a" xref="S6.Ex93.m1.7.7.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1a" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex93.m1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex93.m1.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex93.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex93.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex93.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex93.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex93.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex93.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex93.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex93.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex93.m1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex93.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S6.Ex93.m1.3.3" xref="S6.Ex93.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex93.m1.2.2.1" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.2.2.1.2" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex93.m1.2.2.1.3.cmml">R</mi></mrow><msup id="S6.Ex93.m1.3.3.2" xref="S6.Ex93.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S6.Ex93.m1.3.3.2.1.1" xref="S6.Ex93.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo 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id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.3.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.2a" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.4" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.4.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.4.3" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.2b" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.5.2" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex93.m1.5.5" xref="S6.Ex93.m1.5.5.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex93.m1.7.7.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo 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xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.2a" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.4" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">λ</mi><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.1b" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.5" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.5.2" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.5.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.5.3" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">η</mi><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.1a" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.4" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.1b" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.2" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.1" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.3" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.cmml">ξ</mi><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.1a" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.4" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.5.4.cmml">R</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S6.Ex94.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex94.m1.5.5.2.3a" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1a" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex94.m1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex94.m1.1.1.3" xref="S6.Ex94.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex94.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex94.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex94.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex94.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex94.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex94.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex94.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex94.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex94.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex94.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex94.m1.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex94.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex94.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S6.Ex94.m1.3.3" xref="S6.Ex94.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex94.m1.2.2.1" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.1" 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cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.3.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex94.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.Ex94.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.Ex94.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.3.3.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S6.Ex94.m1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex94.m1.5c">\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\delta m^{2}+\frac{1}{2}\delta\lambda\phi^{2}+% \delta\eta\phi+\delta\xi R\right)\left(\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\left(% \frac{1}{k^{2}+m^{2}_{1}}+\frac{\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R}{(k^{2}+m^{2}_{1% })^{2}}\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex94.m1.5d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_δ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_δ italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ italic_η italic_ϕ + italic_δ italic_ξ italic_R ) ( ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.E71"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{\mu^{-\epsilon}}{2(4\pi)^{2}\epsilon}\left(-m^{2}\lambda-% \eta^{2}-\frac{3}{2}\lambda^{2}\phi^{2}-3\eta\lambda+\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)\lambda R\right)\left(S_{1}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)RS_{2}(% \beta)\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E71.m1.4"><semantics id="S6.E71.m1.4a"><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E71.m1.1.1" xref="S6.E71.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E71.m1.1.1a" xref="S6.E71.m1.1.1.cmml"><msup id="S6.E71.m1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E71.m1.1.1.3.2" xref="S6.E71.m1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S6.E71.m1.1.1.3.3" xref="S6.E71.m1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.E71.m1.1.1.3.3a" xref="S6.E71.m1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.E71.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.E71.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϵ</mi></mrow></msup><mrow id="S6.E71.m1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E71.m1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.E71.m1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E71.m1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E71.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E71.m1.1.1.1.2a" xref="S6.E71.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E71.m1.1.1.1.4" xref="S6.E71.m1.1.1.1.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msup id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><msup id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mfrac id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">3</mn><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.1a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.cmml"><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">3</mn><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">η</mi><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.1a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.4" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.4.cmml">λ</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">R</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E71.m1.2.2" xref="S6.E71.m1.2.2.cmml">β</mi><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2a" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">S</mi><mn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2b" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.5.2" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E71.m1.3.3" xref="S6.E71.m1.3.3.cmml">β</mi><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.3" 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xref="S6.E71.m1.1.1.3.3.2">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S6.E71.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.1.1.1"><times id="S6.E71.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E71.m1.1.1.1.2"></times><cn id="S6.E71.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S6.E71.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E71.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">4</cn><ci id="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><cn id="S6.E71.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S6.E71.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E71.m1.1.1.1.4">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜂</ci><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4"><times id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.1"></times><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2"><divide id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2"></divide><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">3</cn><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2">𝜆</ci><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3">2</cn></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4">superscript</csymbol><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.2">italic-ϕ</ci><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5"><times id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.1"></times><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.2">3</cn><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.3">𝜂</ci><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.4.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.5.4">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑅</ci></apply></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1"><plus id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2"></plus><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑆</ci><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S6.E71.m1.2.2.cmml" xref="S6.E71.m1.2.2">𝛽</ci></apply><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.2">𝑆</ci><cn id="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.E71.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4.3">2</cn></apply><ci id="S6.E71.m1.3.3.cmml" xref="S6.E71.m1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E71.m1.4c">\displaystyle+\frac{\mu^{-\epsilon}}{2(4\pi)^{2}\epsilon}\left(-m^{2}\lambda-% \eta^{2}-\frac{3}{2}\lambda^{2}\phi^{2}-3\eta\lambda+\left(\frac{1}{6}-\xi% \right)\lambda R\right)\left(S_{1}(\beta)+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)RS_{2}(% \beta)\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E71.m1.4d">+ divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( 4 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_ARG ( - italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ - italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 3 italic_η italic_λ + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_λ italic_R ) ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R italic_S start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(71)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p8.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p8.2.1">We now collect and add all the divergent terms from </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E69" title="In 6.1 Two loop at finite temperature ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">69</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p8.2.2">, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E70" title="In 6.1 Two loop at finite temperature ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">70</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p8.2.3"> and </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.E71" title="In 6.1 Two loop at finite temperature ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">71</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p8.2.4">. We obtain after some calculations,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx66"> <tbody id="S6.Ex95"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\rm Div}V_{\rm{eff},\beta}^{2-{\rm loop}}=-\frac{\lambda}{8}% \left(\left(\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{2}+m^{2}_{1}}\right)^{2}+% 2\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k^{2}+m^{2% }_{1}}\int\frac{d^{d}k}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{(k^{2}+m^{2}_{1})^{2}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex95.m1.7"><semantics id="S6.Ex95.m1.7a"><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7" xref="S6.Ex95.m1.7.7.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.3.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.2.cmml">Div</mi><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.3.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex95.m1.7.7.3.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.2.2.cmml">V</mi><mrow id="S6.Ex95.m1.2.2.2.4" xref="S6.Ex95.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.cmml">eff</mi><mo id="S6.Ex95.m1.2.2.2.4.1" xref="S6.Ex95.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex95.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex95.m1.2.2.2.2.cmml">β</mi></mrow><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.3.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.3.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.3.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.3.3.3.3.cmml">loop</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1a" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.3a" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">8</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex95.m1.3.3" xref="S6.Ex95.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.3.3.3" xref="S6.Ex95.m1.3.3.3.cmml"><msup id="S6.Ex95.m1.3.3.3.2" xref="S6.Ex95.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.3.3.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex95.m1.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex95.m1.3.3.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex95.m1.3.3.3.1" xref="S6.Ex95.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex95.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex95.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex95.m1.3.3.1" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex95.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex95.m1.3.3.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2a" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2b" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5a" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex95.m1.4.4" xref="S6.Ex95.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.4.4.3" xref="S6.Ex95.m1.4.4.3.cmml"><msup id="S6.Ex95.m1.4.4.3.2" xref="S6.Ex95.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.4.4.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.4.4.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex95.m1.4.4.3.2.3" xref="S6.Ex95.m1.4.4.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex95.m1.4.4.3.1" xref="S6.Ex95.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex95.m1.4.4.3.3" xref="S6.Ex95.m1.4.4.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex95.m1.4.4.1" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex95.m1.4.4.1.3" xref="S6.Ex95.m1.4.4.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.1a" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.3" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.3.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.3.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.3.2" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex95.m1.5.5" xref="S6.Ex95.m1.5.5.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.5.5.3" xref="S6.Ex95.m1.5.5.3.cmml"><msup id="S6.Ex95.m1.5.5.3.2" xref="S6.Ex95.m1.5.5.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.5.5.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.5.5.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex95.m1.5.5.3.2.3" xref="S6.Ex95.m1.5.5.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex95.m1.5.5.3.1" xref="S6.Ex95.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex95.m1.5.5.3.3" xref="S6.Ex95.m1.5.5.3.3.cmml">k</mi></mrow><msup id="S6.Ex95.m1.5.5.1" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex95.m1.5.5.1.3" xref="S6.Ex95.m1.5.5.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.3.2.1" xref="S6.Ex95.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.5.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex95.m1.6.6" xref="S6.Ex95.m1.6.6.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.6.6.3" xref="S6.Ex95.m1.6.6.3.cmml">1</mn><msup id="S6.Ex95.m1.6.6.1" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex95.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" 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id="S6.Ex96.m1.2.2.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex96.m1.2.2.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex96.m1.2.2.3.3"><mi id="S6.Ex96.m1.2.2.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex96.m1.2.2.3.3.3">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex96.m1.2.2.1"><mrow id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex96.m1.2.2.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex96.m1.3.3"><mfrac id="S6.Ex96.m1.3.3a"><mrow id="S6.Ex96.m1.3.3.3"><msup id="S6.Ex96.m1.3.3.3.2"><mi id="S6.Ex96.m1.3.3.3.2.2">d</mi><mi id="S6.Ex96.m1.3.3.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.Ex96.m1.3.3.3.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex96.m1.3.3.3.3"><mi id="S6.Ex96.m1.3.3.3.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex96.m1.3.3.3.3.3">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex96.m1.3.3.1"><mrow id="S6.Ex96.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S6.Ex96.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex96.m1.3.3.1.1.1.1"><mn id="S6.Ex96.m1.3.3.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.Ex96.m1.3.3.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex96.m1.3.3.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex96.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex96.m1.3.3.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex96.m1.4.6.3"><mfrac id="S6.Ex96.m1.4.6.3a"><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.3.2">1</mn><mrow id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3"><msubsup id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.2"><mi id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.3"><mi id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.3.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex96.m1.4.6.4"><mfrac id="S6.Ex96.m1.4.6.4a"><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.4.2">1</mn><mrow id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3"><msubsup id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.2"><mi id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.2.2.3">2</mn><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.1">+</mo><msubsup id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.3"><mi id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex96.m1.4.6.4.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex96.m1.4.4"><mfrac id="S6.Ex96.m1.4.4a"><mn id="S6.Ex96.m1.4.4.3">1</mn><mrow id="S6.Ex96.m1.4.4.1"><msup id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1"><mrow id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1"><mo id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.1"><msub id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">k</mi><mn id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex96.m1.4.4.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex96.m1.4.4.1.2">+</mo><msubsup id="S6.Ex96.m1.4.4.1.3"><mi id="S6.Ex96.m1.4.4.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex96.m1.4.4.1.3.3">1</mn><mn id="S6.Ex96.m1.4.4.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex96.m1.4c">\displaystyle+\frac{\left(\eta+\lambda\phi\right)^{2}}{12}\left(\int\frac{d^{d% }k_{1}}{(2\pi)^{d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}% \frac{1}{k_{2}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex96.m1.4d">+ divide start_ARG ( italic_η + italic_λ italic_ϕ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 12 end_ARG ( ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex97"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{(k_{2}^% {2}+m^{2}_{1})^{2}}\frac{1}{(k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1}}\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex97.m1.5"><semantics id="S6.Ex97.m1.5a"><mrow id="S6.Ex97.m1.5.5" xref="S6.Ex97.m1.5.5.cmml"><mo id="S6.Ex97.m1.5.5a" xref="S6.Ex97.m1.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex97.m1.5.5.1" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex97.m1.5.5.1.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.3.cmml">R</mi><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.2a" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.cmml"><mrow id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4a" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.1" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.1.cmml">∫</mo><mrow id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex97.m1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex97.m1.1.1.3" xref="S6.Ex97.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Ex97.m1.1.1.3.2" xref="S6.Ex97.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex97.m1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex97.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex97.m1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex97.m1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex97.m1.1.1.3.1" xref="S6.Ex97.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex97.m1.1.1.3.3" xref="S6.Ex97.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex97.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex97.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex97.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex97.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex97.m1.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex97.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex97.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.1" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex97.m1.2.2" xref="S6.Ex97.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex97.m1.2.2.3" xref="S6.Ex97.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S6.Ex97.m1.2.2.3.2" xref="S6.Ex97.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex97.m1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex97.m1.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex97.m1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex97.m1.2.2.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S6.Ex97.m1.2.2.3.1" xref="S6.Ex97.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex97.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex97.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex97.m1.2.2.3.3.2" xref="S6.Ex97.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex97.m1.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex97.m1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex97.m1.2.2.1" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex97.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex97.m1.2.2.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.1a" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.cmml"><msubsup id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.1" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.2" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex97.m1.5.5.1.4.2.2.3.3.2.3" 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id="S6.Ex98.m1.2.2.3.3" xref="S6.Ex98.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex98.m1.2.2.3.3.2" xref="S6.Ex98.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex98.m1.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex98.m1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.Ex98.m1.2.2.1" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex98.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex98.m1.2.2.1.3.cmml">d</mi></msup></mfrac><mo id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.1a" xref="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex98.m1.3.3" xref="S6.Ex98.m1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex98.m1.3.3.3" xref="S6.Ex98.m1.3.3.3.cmml">1</mn><msup id="S6.Ex98.m1.3.3.1" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex98.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex98.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.1b" xref="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2" xref="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.2" xref="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3" xref="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3.cmml"><msubsup id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3.2" xref="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2" xref="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3" xref="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.2.3.cmml">2</mn><mn id="S6.Ex98.m1.5.5.1.4.2.2.3.2.3" 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id="S6.E72.m1.3.5.2.2">1</mn><mn id="S6.E72.m1.3.5.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.E72.m1.3.5.3">−</mo><mi id="S6.E72.m1.3.5.4">ξ</mi><mo id="S6.E72.m1.3.5.5">)</mo></mrow><mi id="S6.E72.m1.3.6">R</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.E72.m1.3.7"><mo id="S6.E72.m1.3.7a">∫</mo></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E72.m1.1.1"><mfrac id="S6.E72.m1.1.1a"><mrow id="S6.E72.m1.1.1.3"><msup id="S6.E72.m1.1.1.3.2"><mi id="S6.E72.m1.1.1.3.2.2">d</mi><mi id="S6.E72.m1.1.1.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.E72.m1.1.1.3.1">⁢</mo><msub id="S6.E72.m1.1.1.3.3"><mi id="S6.E72.m1.1.1.3.3.2">k</mi><mn id="S6.E72.m1.1.1.3.3.3">1</mn></msub></mrow><msup id="S6.E72.m1.1.1.1"><mrow id="S6.E72.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.E72.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.E72.m1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S6.E72.m1.1.1.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.E72.m1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.E72.m1.1.1.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.E72.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.E72.m1.1.1.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E72.m1.2.2"><mfrac id="S6.E72.m1.2.2a"><mrow id="S6.E72.m1.2.2.3"><msup id="S6.E72.m1.2.2.3.2"><mi id="S6.E72.m1.2.2.3.2.2">d</mi><mi id="S6.E72.m1.2.2.3.2.3">d</mi></msup><mo id="S6.E72.m1.2.2.3.1">⁢</mo><msub id="S6.E72.m1.2.2.3.3"><mi id="S6.E72.m1.2.2.3.3.2">k</mi><mn id="S6.E72.m1.2.2.3.3.3">2</mn></msub></mrow><msup id="S6.E72.m1.2.2.1"><mrow id="S6.E72.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S6.E72.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.E72.m1.2.2.1.1.1.1"><mn id="S6.E72.m1.2.2.1.1.1.1.2">2</mn><mo id="S6.E72.m1.2.2.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S6.E72.m1.2.2.1.1.1.1.3">π</mi></mrow><mo id="S6.E72.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S6.E72.m1.2.2.1.3">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E72.m1.3.8"><mfrac id="S6.E72.m1.3.8a"><mn id="S6.E72.m1.3.8.2">1</mn><mrow id="S6.E72.m1.3.8.3"><msubsup id="S6.E72.m1.3.8.3.2"><mi id="S6.E72.m1.3.8.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.E72.m1.3.8.3.2.2.3">1</mn><mn id="S6.E72.m1.3.8.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.E72.m1.3.8.3.1">+</mo><msubsup id="S6.E72.m1.3.8.3.3"><mi id="S6.E72.m1.3.8.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.E72.m1.3.8.3.3.3">1</mn><mn id="S6.E72.m1.3.8.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E72.m1.3.9"><mfrac id="S6.E72.m1.3.9a"><mn id="S6.E72.m1.3.9.2">1</mn><mrow id="S6.E72.m1.3.9.3"><msubsup id="S6.E72.m1.3.9.3.2"><mi id="S6.E72.m1.3.9.3.2.2.2">k</mi><mn id="S6.E72.m1.3.9.3.2.2.3">2</mn><mn id="S6.E72.m1.3.9.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S6.E72.m1.3.9.3.1">+</mo><msubsup id="S6.E72.m1.3.9.3.3"><mi id="S6.E72.m1.3.9.3.3.2.2">m</mi><mn id="S6.E72.m1.3.9.3.3.3">1</mn><mn id="S6.E72.m1.3.9.3.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E72.m1.3.3"><mfrac id="S6.E72.m1.3.3a"><mn id="S6.E72.m1.3.3.3">1</mn><msup id="S6.E72.m1.3.3.1"><mrow id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1"><mo id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1"><msup id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1"><mrow id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">k</mi><mn id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">k</mi><mn id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.2">+</mo><msubsup id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.3"><mi id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">1</mn><mn id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.E72.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S6.E72.m1.3.3.1.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E72.m1.3.10">)</mo><mo id="S6.E72.m1.3.11">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E72.m1.3c">\displaystyle\left.+\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\int\frac{d^{d}k_{1}}{(2\pi)^% {d}}\frac{d^{d}k_{2}}{(2\pi)^{d}}\frac{1}{k_{1}^{2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{k_{2}^{% 2}+m^{2}_{1}}\frac{1}{((k_{1}+k_{2})^{2}+m^{2}_{1})^{2}}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E72.m1.3d">+ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ∫ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(72)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p8.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p8.3.1">which is temperature independent, showing renormalisation is independent of the temperature. This serves as a consistency check of our calculations.</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p9"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p9.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p9.3.1">After renormalisation, we can compute the finite part of the two loop effective potential at finite temperature. We wish to quote below only the result of the double bubble diagram we have found,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx67"> <tbody id="S6.Ex99"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V^{(2)}_{\rm{db},\beta}=V^{(2)}_{\rm{db}}+\frac{1}{576\beta^{4}}% +\frac{m_{1}^{2}}{64\pi^{2}\beta^{2}}+\frac{m^{8}_{1}\beta^{4}}{65536\pi^{8}}% \zeta^{2}(3)-\frac{m_{1}}{192\pi\beta^{3}}+\frac{m^{4}_{1}}{256\pi^{4}}\left(% \ln\frac{m_{1}\beta}{2\pi}-\psi(1)\right)^{2}-\frac{m^{2}_{1}}{16\pi^{2}}\left% (\ln\frac{m_{1}\beta}{2\pi}-\psi(1)\right)\left(\frac{1}{24\beta^{2}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex99.m1.7"><semantics id="S6.Ex99.m1.7a"><mrow id="S6.Ex99.m1.7b"><msubsup id="S6.Ex99.m1.7.8"><mi id="S6.Ex99.m1.7.8.2.2">V</mi><mrow id="S6.Ex99.m1.3.3.2.4"><mi id="S6.Ex99.m1.2.2.1.1">db</mi><mo id="S6.Ex99.m1.3.3.2.4.1">,</mo><mi id="S6.Ex99.m1.3.3.2.2">β</mi></mrow><mrow id="S6.Ex99.m1.1.1.1.3"><mo id="S6.Ex99.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex99.m1.1.1.1.1">2</mn><mo id="S6.Ex99.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S6.Ex99.m1.7.9">=</mo><msubsup id="S6.Ex99.m1.7.10"><mi id="S6.Ex99.m1.7.10.2.2">V</mi><mi id="S6.Ex99.m1.7.10.3">db</mi><mrow id="S6.Ex99.m1.4.4.1.3"><mo id="S6.Ex99.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex99.m1.4.4.1.1">2</mn><mo id="S6.Ex99.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S6.Ex99.m1.7.11">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.12"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.12a"><mn id="S6.Ex99.m1.7.12.2">1</mn><mrow id="S6.Ex99.m1.7.12.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.12.3.2">576</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.12.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.12.3.3"><mi id="S6.Ex99.m1.7.12.3.3.2">β</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.12.3.3.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex99.m1.7.13">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.14"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.14a"><msubsup id="S6.Ex99.m1.7.14.2"><mi id="S6.Ex99.m1.7.14.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.14.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex99.m1.7.14.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex99.m1.7.14.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.14.3.2">64</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.14.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.14.3.3"><mi id="S6.Ex99.m1.7.14.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.14.3.3.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex99.m1.7.14.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.14.3.4"><mi id="S6.Ex99.m1.7.14.3.4.2">β</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.14.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex99.m1.7.15">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.16"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.16a"><mrow id="S6.Ex99.m1.7.16.2"><msubsup id="S6.Ex99.m1.7.16.2.2"><mi id="S6.Ex99.m1.7.16.2.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.16.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex99.m1.7.16.2.2.2.3">8</mn></msubsup><mo id="S6.Ex99.m1.7.16.2.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.16.2.3"><mi id="S6.Ex99.m1.7.16.2.3.2">β</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.16.2.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex99.m1.7.16.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.16.3.2">65536</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.16.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.16.3.3"><mi id="S6.Ex99.m1.7.16.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.16.3.3.3">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><msup id="S6.Ex99.m1.7.17"><mi id="S6.Ex99.m1.7.17.2">ζ</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.17.3">2</mn></msup><mrow id="S6.Ex99.m1.7.18"><mo id="S6.Ex99.m1.7.18.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex99.m1.5.5">3</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.18.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex99.m1.7.19">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.20"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.20a"><msub id="S6.Ex99.m1.7.20.2"><mi id="S6.Ex99.m1.7.20.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.20.2.3">1</mn></msub><mrow id="S6.Ex99.m1.7.20.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.20.3.2">192</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.20.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.20.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex99.m1.7.20.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.20.3.4"><mi id="S6.Ex99.m1.7.20.3.4.2">β</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.20.3.4.3">3</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex99.m1.7.21">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.22"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.22a"><msubsup id="S6.Ex99.m1.7.22.2"><mi id="S6.Ex99.m1.7.22.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.22.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex99.m1.7.22.2.2.3">4</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex99.m1.7.22.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.22.3.2">256</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.22.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.22.3.3"><mi id="S6.Ex99.m1.7.22.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.22.3.3.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><msup id="S6.Ex99.m1.7.23"><mrow id="S6.Ex99.m1.7.23.2"><mo id="S6.Ex99.m1.7.23.2.1">(</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.23.2.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3a"><mrow id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.2"><msub id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.2.2"><mi id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.2.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.2.3">β</mi></mrow><mrow id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.3.2">2</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.23.2.3.3.3">π</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex99.m1.7.23.2.4">−</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.23.2.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex99.m1.7.23.2.6"><mo id="S6.Ex99.m1.7.23.2.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex99.m1.6.6">1</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.23.2.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex99.m1.7.23.2.7">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex99.m1.7.23.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex99.m1.7.24">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.25"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.25a"><msubsup id="S6.Ex99.m1.7.25.2"><mi id="S6.Ex99.m1.7.25.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.25.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex99.m1.7.25.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex99.m1.7.25.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.25.3.2">16</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.25.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.25.3.3"><mi id="S6.Ex99.m1.7.25.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.25.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="S6.Ex99.m1.7.26"><mo id="S6.Ex99.m1.7.26.1">(</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.26.2">ln</mi><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.26.3"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.26.3a"><mrow id="S6.Ex99.m1.7.26.3.2"><msub id="S6.Ex99.m1.7.26.3.2.2"><mi id="S6.Ex99.m1.7.26.3.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.26.3.2.2.3">1</mn></msub><mo id="S6.Ex99.m1.7.26.3.2.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.26.3.2.3">β</mi></mrow><mrow id="S6.Ex99.m1.7.26.3.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.26.3.3.2">2</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.26.3.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.26.3.3.3">π</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex99.m1.7.26.4">−</mo><mi id="S6.Ex99.m1.7.26.5">ψ</mi><mrow id="S6.Ex99.m1.7.26.6"><mo id="S6.Ex99.m1.7.26.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex99.m1.7.7">1</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.26.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex99.m1.7.26.7">)</mo></mrow><mrow id="S6.Ex99.m1.7.27"><mo id="S6.Ex99.m1.7.27.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex99.m1.7.27.2"><mfrac id="S6.Ex99.m1.7.27.2a"><mn id="S6.Ex99.m1.7.27.2.2">1</mn><mrow id="S6.Ex99.m1.7.27.2.3"><mn id="S6.Ex99.m1.7.27.2.3.2">24</mn><mo id="S6.Ex99.m1.7.27.2.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex99.m1.7.27.2.3.3"><mi id="S6.Ex99.m1.7.27.2.3.3.2">β</mi><mn id="S6.Ex99.m1.7.27.2.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex99.m1.7c">\displaystyle V^{(2)}_{\rm{db},\beta}=V^{(2)}_{\rm{db}}+\frac{1}{576\beta^{4}}% +\frac{m_{1}^{2}}{64\pi^{2}\beta^{2}}+\frac{m^{8}_{1}\beta^{4}}{65536\pi^{8}}% \zeta^{2}(3)-\frac{m_{1}}{192\pi\beta^{3}}+\frac{m^{4}_{1}}{256\pi^{4}}\left(% \ln\frac{m_{1}\beta}{2\pi}-\psi(1)\right)^{2}-\frac{m^{2}_{1}}{16\pi^{2}}\left% (\ln\frac{m_{1}\beta}{2\pi}-\psi(1)\right)\left(\frac{1}{24\beta^{2}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex99.m1.7d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT roman_db , italic_β end_POSTSUBSCRIPT = italic_V start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT roman_db end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 576 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 64 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 65536 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 3 ) - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 192 italic_π italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 256 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG - italic_ψ ( 1 ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 16 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( roman_ln divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_β end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG - italic_ψ ( 1 ) ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 24 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex100"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.-\frac{m_{1}}{8\pi\beta}+\frac{m_{1}^{4}\beta^{2}}{256\pi^{% 4}}\zeta(3)-\frac{m_{1}^{6}\beta^{4}}{(32)(64)\pi^{6}}\zeta(5)+\frac{15m_{1}^{% 8}\beta^{6}}{(96)(256)\pi^{8}}\zeta(7)\right)+\frac{m_{1}^{4}\zeta(3)}{6144\pi% ^{4}}-\frac{m_{1}^{5}\beta\zeta(3)}{2048\pi^{5}}-\frac{m_{1}^{6}\beta^{2}\zeta% (5)}{49152\pi^{6}}+\frac{15m_{1}^{8}\beta^{4}\zeta(7)}{589824\pi^{8}}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex100.m1.11"><semantics id="S6.Ex100.m1.11a"><mrow id="S6.Ex100.m1.11b"><mo id="S6.Ex100.m1.11.12">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex100.m1.11.13"><mfrac id="S6.Ex100.m1.11.13a"><msub id="S6.Ex100.m1.11.13.2"><mi id="S6.Ex100.m1.11.13.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex100.m1.11.13.2.3">1</mn></msub><mrow id="S6.Ex100.m1.11.13.3"><mn id="S6.Ex100.m1.11.13.3.2">8</mn><mo id="S6.Ex100.m1.11.13.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex100.m1.11.13.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex100.m1.11.13.3.1a">⁢</mo><mi id="S6.Ex100.m1.11.13.3.4">β</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex100.m1.11.14">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex100.m1.11.15"><mfrac id="S6.Ex100.m1.11.15a"><mrow id="S6.Ex100.m1.11.15.2"><msubsup id="S6.Ex100.m1.11.15.2.2"><mi id="S6.Ex100.m1.11.15.2.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex100.m1.11.15.2.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex100.m1.11.15.2.2.3">4</mn></msubsup><mo id="S6.Ex100.m1.11.15.2.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.11.15.2.3"><mi id="S6.Ex100.m1.11.15.2.3.2">β</mi><mn id="S6.Ex100.m1.11.15.2.3.3">2</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex100.m1.11.15.3"><mn id="S6.Ex100.m1.11.15.3.2">256</mn><mo id="S6.Ex100.m1.11.15.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.11.15.3.3"><mi id="S6.Ex100.m1.11.15.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex100.m1.11.15.3.3.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex100.m1.11.16">ζ</mi><mrow id="S6.Ex100.m1.11.17"><mo id="S6.Ex100.m1.11.17.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.9.9">3</mn><mo id="S6.Ex100.m1.11.17.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex100.m1.11.18">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex100.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex100.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex100.m1.2.2.4"><msubsup id="S6.Ex100.m1.2.2.4.2"><mi id="S6.Ex100.m1.2.2.4.2.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex100.m1.2.2.4.2.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex100.m1.2.2.4.2.3">6</mn></msubsup><mo id="S6.Ex100.m1.2.2.4.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.2.2.4.3"><mi id="S6.Ex100.m1.2.2.4.3.2">β</mi><mn id="S6.Ex100.m1.2.2.4.3.3">4</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex100.m1.2.2.2"><mrow id="S6.Ex100.m1.2.2.2.4.2"><mo id="S6.Ex100.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.1.1.1.1">32</mn><mo id="S6.Ex100.m1.2.2.2.4.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex100.m1.2.2.2.3">⁢</mo><mrow id="S6.Ex100.m1.2.2.2.5.2"><mo id="S6.Ex100.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.2.2.2.2">64</mn><mo id="S6.Ex100.m1.2.2.2.5.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex100.m1.2.2.2.3a">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.2.2.2.6"><mi id="S6.Ex100.m1.2.2.2.6.2">π</mi><mn id="S6.Ex100.m1.2.2.2.6.3">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex100.m1.11.19">ζ</mi><mrow id="S6.Ex100.m1.11.20"><mo id="S6.Ex100.m1.11.20.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.10.10">5</mn><mo id="S6.Ex100.m1.11.20.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex100.m1.11.21">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex100.m1.4.4"><mfrac id="S6.Ex100.m1.4.4a"><mrow id="S6.Ex100.m1.4.4.4"><mn id="S6.Ex100.m1.4.4.4.2">15</mn><mo id="S6.Ex100.m1.4.4.4.1">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex100.m1.4.4.4.3"><mi id="S6.Ex100.m1.4.4.4.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex100.m1.4.4.4.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex100.m1.4.4.4.3.3">8</mn></msubsup><mo id="S6.Ex100.m1.4.4.4.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.4.4.4.4"><mi id="S6.Ex100.m1.4.4.4.4.2">β</mi><mn id="S6.Ex100.m1.4.4.4.4.3">6</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex100.m1.4.4.2"><mrow id="S6.Ex100.m1.4.4.2.4.2"><mo id="S6.Ex100.m1.4.4.2.4.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.3.3.1.1">96</mn><mo id="S6.Ex100.m1.4.4.2.4.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex100.m1.4.4.2.3">⁢</mo><mrow id="S6.Ex100.m1.4.4.2.5.2"><mo id="S6.Ex100.m1.4.4.2.5.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.4.4.2.2">256</mn><mo id="S6.Ex100.m1.4.4.2.5.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex100.m1.4.4.2.3a">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.4.4.2.6"><mi id="S6.Ex100.m1.4.4.2.6.2">π</mi><mn id="S6.Ex100.m1.4.4.2.6.3">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mi id="S6.Ex100.m1.11.22">ζ</mi><mrow id="S6.Ex100.m1.11.23"><mo id="S6.Ex100.m1.11.23.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.11.11">7</mn><mo id="S6.Ex100.m1.11.23.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex100.m1.11.24">)</mo><mo id="S6.Ex100.m1.11.25">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex100.m1.5.5"><mfrac id="S6.Ex100.m1.5.5a"><mrow id="S6.Ex100.m1.5.5.1"><msubsup id="S6.Ex100.m1.5.5.1.3"><mi id="S6.Ex100.m1.5.5.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex100.m1.5.5.1.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex100.m1.5.5.1.3.3">4</mn></msubsup><mo id="S6.Ex100.m1.5.5.1.2">⁢</mo><mi id="S6.Ex100.m1.5.5.1.4">ζ</mi><mo id="S6.Ex100.m1.5.5.1.2a">⁢</mo><mrow id="S6.Ex100.m1.5.5.1.5.2"><mo id="S6.Ex100.m1.5.5.1.5.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.5.5.1.1">3</mn><mo id="S6.Ex100.m1.5.5.1.5.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex100.m1.5.5.3"><mn id="S6.Ex100.m1.5.5.3.2">6144</mn><mo id="S6.Ex100.m1.5.5.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.5.5.3.3"><mi id="S6.Ex100.m1.5.5.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex100.m1.5.5.3.3.3">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex100.m1.11.26">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex100.m1.6.6"><mfrac id="S6.Ex100.m1.6.6a"><mrow id="S6.Ex100.m1.6.6.1"><msubsup id="S6.Ex100.m1.6.6.1.3"><mi id="S6.Ex100.m1.6.6.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex100.m1.6.6.1.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex100.m1.6.6.1.3.3">5</mn></msubsup><mo id="S6.Ex100.m1.6.6.1.2">⁢</mo><mi id="S6.Ex100.m1.6.6.1.4">β</mi><mo id="S6.Ex100.m1.6.6.1.2a">⁢</mo><mi id="S6.Ex100.m1.6.6.1.5">ζ</mi><mo id="S6.Ex100.m1.6.6.1.2b">⁢</mo><mrow id="S6.Ex100.m1.6.6.1.6.2"><mo id="S6.Ex100.m1.6.6.1.6.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.6.6.1.1">3</mn><mo id="S6.Ex100.m1.6.6.1.6.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex100.m1.6.6.3"><mn id="S6.Ex100.m1.6.6.3.2">2048</mn><mo id="S6.Ex100.m1.6.6.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.6.6.3.3"><mi id="S6.Ex100.m1.6.6.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex100.m1.6.6.3.3.3">5</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex100.m1.11.27">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex100.m1.7.7"><mfrac id="S6.Ex100.m1.7.7a"><mrow id="S6.Ex100.m1.7.7.1"><msubsup id="S6.Ex100.m1.7.7.1.3"><mi id="S6.Ex100.m1.7.7.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex100.m1.7.7.1.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex100.m1.7.7.1.3.3">6</mn></msubsup><mo id="S6.Ex100.m1.7.7.1.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.7.7.1.4"><mi id="S6.Ex100.m1.7.7.1.4.2">β</mi><mn id="S6.Ex100.m1.7.7.1.4.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex100.m1.7.7.1.2a">⁢</mo><mi id="S6.Ex100.m1.7.7.1.5">ζ</mi><mo id="S6.Ex100.m1.7.7.1.2b">⁢</mo><mrow id="S6.Ex100.m1.7.7.1.6.2"><mo id="S6.Ex100.m1.7.7.1.6.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.7.7.1.1">5</mn><mo id="S6.Ex100.m1.7.7.1.6.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex100.m1.7.7.3"><mn id="S6.Ex100.m1.7.7.3.2">49152</mn><mo id="S6.Ex100.m1.7.7.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.7.7.3.3"><mi id="S6.Ex100.m1.7.7.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex100.m1.7.7.3.3.3">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex100.m1.11.28">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex100.m1.8.8"><mfrac id="S6.Ex100.m1.8.8a"><mrow id="S6.Ex100.m1.8.8.1"><mn id="S6.Ex100.m1.8.8.1.3">15</mn><mo id="S6.Ex100.m1.8.8.1.2">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex100.m1.8.8.1.4"><mi id="S6.Ex100.m1.8.8.1.4.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex100.m1.8.8.1.4.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex100.m1.8.8.1.4.3">8</mn></msubsup><mo id="S6.Ex100.m1.8.8.1.2a">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.8.8.1.5"><mi id="S6.Ex100.m1.8.8.1.5.2">β</mi><mn id="S6.Ex100.m1.8.8.1.5.3">4</mn></msup><mo id="S6.Ex100.m1.8.8.1.2b">⁢</mo><mi id="S6.Ex100.m1.8.8.1.6">ζ</mi><mo id="S6.Ex100.m1.8.8.1.2c">⁢</mo><mrow id="S6.Ex100.m1.8.8.1.7.2"><mo id="S6.Ex100.m1.8.8.1.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex100.m1.8.8.1.1">7</mn><mo id="S6.Ex100.m1.8.8.1.7.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex100.m1.8.8.3"><mn id="S6.Ex100.m1.8.8.3.2">589824</mn><mo id="S6.Ex100.m1.8.8.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex100.m1.8.8.3.3"><mi id="S6.Ex100.m1.8.8.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex100.m1.8.8.3.3.3">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex100.m1.11c">\displaystyle\left.-\frac{m_{1}}{8\pi\beta}+\frac{m_{1}^{4}\beta^{2}}{256\pi^{% 4}}\zeta(3)-\frac{m_{1}^{6}\beta^{4}}{(32)(64)\pi^{6}}\zeta(5)+\frac{15m_{1}^{% 8}\beta^{6}}{(96)(256)\pi^{8}}\zeta(7)\right)+\frac{m_{1}^{4}\zeta(3)}{6144\pi% ^{4}}-\frac{m_{1}^{5}\beta\zeta(3)}{2048\pi^{5}}-\frac{m_{1}^{6}\beta^{2}\zeta% (5)}{49152\pi^{6}}+\frac{15m_{1}^{8}\beta^{4}\zeta(7)}{589824\pi^{8}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex100.m1.11d">- divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 8 italic_π italic_β end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 256 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 3 ) - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 32 ) ( 64 ) italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 5 ) + divide start_ARG 15 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 96 ) ( 256 ) italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( 7 ) ) + divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 3 ) end_ARG start_ARG 6144 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β italic_ζ ( 3 ) end_ARG start_ARG 2048 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 5 ) end_ARG start_ARG 49152 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 15 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 7 ) end_ARG start_ARG 589824 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex101"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{m_{1}^{7}\beta^{3}\zeta(5)}{16384\pi^{7}}-\frac{15m_{1}^{7% }\beta^{3}\zeta(7)}{196608\pi^{9}}-\frac{m_{1}^{10}\beta^{6}\zeta(3)\zeta(5)}{% 524288\pi^{10}}+2\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\left(\frac{1}{384\pi\beta m_{1}% }-\frac{1}{128\pi^{2}\beta^{2}}\right." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.Ex101.m1.4"><semantics id="S6.Ex101.m1.4a"><mrow id="S6.Ex101.m1.4b"><mo id="S6.Ex101.m1.4.5">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex101.m1.1.1"><mfrac id="S6.Ex101.m1.1.1a"><mrow id="S6.Ex101.m1.1.1.1"><msubsup id="S6.Ex101.m1.1.1.1.3"><mi id="S6.Ex101.m1.1.1.1.3.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex101.m1.1.1.1.3.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex101.m1.1.1.1.3.3">7</mn></msubsup><mo id="S6.Ex101.m1.1.1.1.2">⁢</mo><msup id="S6.Ex101.m1.1.1.1.4"><mi id="S6.Ex101.m1.1.1.1.4.2">β</mi><mn id="S6.Ex101.m1.1.1.1.4.3">3</mn></msup><mo id="S6.Ex101.m1.1.1.1.2a">⁢</mo><mi id="S6.Ex101.m1.1.1.1.5">ζ</mi><mo id="S6.Ex101.m1.1.1.1.2b">⁢</mo><mrow id="S6.Ex101.m1.1.1.1.6.2"><mo id="S6.Ex101.m1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex101.m1.1.1.1.1">5</mn><mo id="S6.Ex101.m1.1.1.1.6.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex101.m1.1.1.3"><mn id="S6.Ex101.m1.1.1.3.2">16384</mn><mo id="S6.Ex101.m1.1.1.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex101.m1.1.1.3.3"><mi id="S6.Ex101.m1.1.1.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex101.m1.1.1.3.3.3">7</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex101.m1.4.6">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex101.m1.2.2"><mfrac id="S6.Ex101.m1.2.2a"><mrow id="S6.Ex101.m1.2.2.1"><mn id="S6.Ex101.m1.2.2.1.3">15</mn><mo id="S6.Ex101.m1.2.2.1.2">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex101.m1.2.2.1.4"><mi id="S6.Ex101.m1.2.2.1.4.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex101.m1.2.2.1.4.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex101.m1.2.2.1.4.3">7</mn></msubsup><mo id="S6.Ex101.m1.2.2.1.2a">⁢</mo><msup id="S6.Ex101.m1.2.2.1.5"><mi id="S6.Ex101.m1.2.2.1.5.2">β</mi><mn id="S6.Ex101.m1.2.2.1.5.3">3</mn></msup><mo id="S6.Ex101.m1.2.2.1.2b">⁢</mo><mi id="S6.Ex101.m1.2.2.1.6">ζ</mi><mo id="S6.Ex101.m1.2.2.1.2c">⁢</mo><mrow id="S6.Ex101.m1.2.2.1.7.2"><mo id="S6.Ex101.m1.2.2.1.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex101.m1.2.2.1.1">7</mn><mo id="S6.Ex101.m1.2.2.1.7.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex101.m1.2.2.3"><mn id="S6.Ex101.m1.2.2.3.2">196608</mn><mo id="S6.Ex101.m1.2.2.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex101.m1.2.2.3.3"><mi id="S6.Ex101.m1.2.2.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex101.m1.2.2.3.3.3">9</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex101.m1.4.7">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex101.m1.4.4"><mfrac id="S6.Ex101.m1.4.4a"><mrow id="S6.Ex101.m1.4.4.2"><msubsup id="S6.Ex101.m1.4.4.2.4"><mi id="S6.Ex101.m1.4.4.2.4.2.2">m</mi><mn id="S6.Ex101.m1.4.4.2.4.2.3">1</mn><mn id="S6.Ex101.m1.4.4.2.4.3">10</mn></msubsup><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.3">⁢</mo><msup id="S6.Ex101.m1.4.4.2.5"><mi id="S6.Ex101.m1.4.4.2.5.2">β</mi><mn id="S6.Ex101.m1.4.4.2.5.3">6</mn></msup><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.3a">⁢</mo><mi id="S6.Ex101.m1.4.4.2.6">ζ</mi><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.3b">⁢</mo><mrow id="S6.Ex101.m1.4.4.2.7.2"><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex101.m1.3.3.1.1">3</mn><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.7.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.3c">⁢</mo><mi id="S6.Ex101.m1.4.4.2.8">ζ</mi><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.3d">⁢</mo><mrow id="S6.Ex101.m1.4.4.2.9.2"><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.9.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.Ex101.m1.4.4.2.2">5</mn><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.2.9.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex101.m1.4.4.4"><mn id="S6.Ex101.m1.4.4.4.2">524288</mn><mo id="S6.Ex101.m1.4.4.4.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex101.m1.4.4.4.3"><mi id="S6.Ex101.m1.4.4.4.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex101.m1.4.4.4.3.3">10</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex101.m1.4.8">+</mo><mn id="S6.Ex101.m1.4.9">2</mn><mrow id="S6.Ex101.m1.4.10"><mo id="S6.Ex101.m1.4.10.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex101.m1.4.10.2"><mfrac id="S6.Ex101.m1.4.10.2a"><mn id="S6.Ex101.m1.4.10.2.2">1</mn><mn id="S6.Ex101.m1.4.10.2.3">6</mn></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex101.m1.4.10.3">−</mo><mi id="S6.Ex101.m1.4.10.4">ξ</mi><mo id="S6.Ex101.m1.4.10.5">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex101.m1.4.11">R</mi><mrow id="S6.Ex101.m1.4.12"><mo id="S6.Ex101.m1.4.12.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex101.m1.4.12.2"><mfrac id="S6.Ex101.m1.4.12.2a"><mn id="S6.Ex101.m1.4.12.2.2">1</mn><mrow id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3"><mn id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.2">384</mn><mo id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.1">⁢</mo><mi id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.3">π</mi><mo id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.1a">⁢</mo><mi id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.4">β</mi><mo id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.1b">⁢</mo><msub id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.5"><mi id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.5.2">m</mi><mn id="S6.Ex101.m1.4.12.2.3.5.3">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex101.m1.4.12.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex101.m1.4.12.4"><mfrac id="S6.Ex101.m1.4.12.4a"><mn id="S6.Ex101.m1.4.12.4.2">1</mn><mrow id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3"><mn id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.2">128</mn><mo id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.1">⁢</mo><msup id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.3"><mi id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.3.2">π</mi><mn id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.3.3">2</mn></msup><mo id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.1a">⁢</mo><msup id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.4"><mi id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.4.2">β</mi><mn id="S6.Ex101.m1.4.12.4.3.4.3">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex101.m1.4c">\displaystyle+\frac{m_{1}^{7}\beta^{3}\zeta(5)}{16384\pi^{7}}-\frac{15m_{1}^{7% }\beta^{3}\zeta(7)}{196608\pi^{9}}-\frac{m_{1}^{10}\beta^{6}\zeta(3)\zeta(5)}{% 524288\pi^{10}}+2\left(\frac{1}{6}-\xi\right)R\left(\frac{1}{384\pi\beta m_{1}% }-\frac{1}{128\pi^{2}\beta^{2}}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex101.m1.4d">+ divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 7 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 5 ) end_ARG start_ARG 16384 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 7 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 15 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 7 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 7 ) end_ARG start_ARG 196608 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 9 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 3 ) italic_ζ ( 5 ) end_ARG start_ARG 524288 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + 2 ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG - italic_ξ ) italic_R ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 384 italic_π italic_β italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 128 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex102"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left.-\frac{m^{2}_{1}}{256\pi^{4}}\left(\ln\frac{m_{1}\beta}{2% \pi}-\psi(1)\right)^{2}+\frac{m^{2}_{1}}{16\pi^{2}}\left(\ln\frac{m_{1}\beta}{% 2\pi}-\psi(1)\right)\left(\frac{1}{16\pi\beta m_{1}}-\frac{m_{1}^{2}\beta^{2}}% {128\pi^{4}}\zeta(3)+\frac{3m_{1}^{4}\beta^{4}}{2048\pi^{6}}\zeta(5)-\frac{15m% _{1}^{6}\beta^{6}}{3072\pi^{8}}\zeta(7)\right)\right." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex102.m1.8"><semantics id="S6.Ex102.m1.8a"><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8" xref="S6.Ex102.m1.8.8.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1a" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3a" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msubsup id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">256</mn><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.3.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.3.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">β</mi></mrow><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex102.m1.1.1" xref="S6.Ex102.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S6.Ex102.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.4" xref="S6.Ex102.m1.8.8.4.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.cmml"><msubsup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.2.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.2.cmml">16</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.4.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.1" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">β</mi></mrow><mrow id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex102.m1.2.2" xref="S6.Ex102.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.3" xref="S6.Ex102.m1.7.7.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.3a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">16</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.1a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.4" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.4.cmml">β</mi><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.1b" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><msubsup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">128</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.3.cmml">ζ</mi><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.1a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.4.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex102.m1.3.3" xref="S6.Ex102.m1.3.3.cmml">3</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.3.cmml">4</mn></msubsup><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.1a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml">2048</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.3.cmml">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.3.cmml">ζ</mi><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.1a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.4.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex102.m1.4.4" xref="S6.Ex102.m1.4.4.cmml">5</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.2.cmml">15</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">6</mn></msubsup><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.1a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.4" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.4.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.4.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.4.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.4.3.cmml">6</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.2.cmml">3072</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.3.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.1" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.3.cmml">ζ</mi><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.1a" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.4.2" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex102.m1.5.5" xref="S6.Ex102.m1.5.5.cmml">7</mn><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.3" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex102.m1.8b"><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8"><plus id="S6.Ex102.m1.8.8.4.cmml" 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id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.1"></plus><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2"><minus id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.1"></minus><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2"><divide id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2"></divide><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.2">1</cn><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.2">16</cn><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.3">𝜋</ci><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.4.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.4">𝛽</ci><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.2">𝑚</ci><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.2.3.5.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2"><divide id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2"></divide><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.1"></times><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.2">𝛽</ci><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.2">128</cn><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.2.3.3">𝜁</ci><cn id="S6.Ex102.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.1"></times><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2"><divide id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2"></divide><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.1"></times><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.2">3</cn><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.3.3">4</cn></apply><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.2">𝛽</ci><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.2.4.3">4</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.2">2048</cn><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.2.3.3.3">6</cn></apply></apply></apply><ci id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.2.3.3">𝜁</ci><cn id="S6.Ex102.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.4.4">5</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.1"></times><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2"><divide id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2"></divide><apply id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2"><times id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.1"></times><cn id="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex102.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2.2">15</cn><apply 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id="S6.Ex103.m1.11"><semantics id="S6.Ex103.m1.11a"><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11" xref="S6.Ex103.m1.11.11.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.cmml"><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.cmml"><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.2.cmml">16</mn><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.4.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub 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xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.6.6" xref="S6.Ex103.m1.6.6.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex103.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.3a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">24</mn><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">8</mn><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.4" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.2.3.3.4.cmml">β</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><msubsup id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.3.cmml">4</mn></msubsup><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">256</mn><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">ζ</mi><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.1a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.4.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.7.7" xref="S6.Ex103.m1.7.7.cmml">3</mn><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex103.m1.2.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex103.m1.2.2a" xref="S6.Ex103.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.2.2.4" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.cmml"><msubsup id="S6.Ex103.m1.2.2.4.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.2.2.4.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex103.m1.2.2.4.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex103.m1.2.2.4.2.3" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.2.3.cmml">6</mn></msubsup><mo id="S6.Ex103.m1.2.2.4.1" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.2.2.4.3" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.2.2.4.3.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.3.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex103.m1.2.2.4.3.3" xref="S6.Ex103.m1.2.2.4.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex103.m1.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.2.2.2.4.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex103.m1.1.1.1.1.cmml">32</mn><mo id="S6.Ex103.m1.2.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.2.2.2.3" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.2.2.2.5.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.2.cmml">64</mn><mo id="S6.Ex103.m1.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.2.2.2.3a" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.2.2.2.6" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.2.2.2.6.2" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.6.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex103.m1.2.2.2.6.3" xref="S6.Ex103.m1.2.2.2.6.3.cmml">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">ζ</mi><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.1a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.8.8" xref="S6.Ex103.m1.8.8.cmml">5</mn><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex103.m1.4.4" xref="S6.Ex103.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex103.m1.4.4a" xref="S6.Ex103.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.4.4.4" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.cmml"><mn id="S6.Ex103.m1.4.4.4.2" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.2.cmml">15</mn><mo id="S6.Ex103.m1.4.4.4.1" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex103.m1.4.4.4.3" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.4.4.4.3.2.2" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex103.m1.4.4.4.3.2.3" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex103.m1.4.4.4.3.3" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.3.3.cmml">8</mn></msubsup><mo id="S6.Ex103.m1.4.4.4.1a" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.4.4.4.4" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.4.4.4.4.2" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.4.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex103.m1.4.4.4.4.3" xref="S6.Ex103.m1.4.4.4.4.3.cmml">6</mn></msup></mrow><mrow id="S6.Ex103.m1.4.4.2" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.4.4.2.4.2" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.4.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex103.m1.3.3.1.1.cmml">96</mn><mo id="S6.Ex103.m1.4.4.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.4.4.2.3" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.4.4.2.5.2" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.4.4.2.2" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.2.cmml">256</mn><mo id="S6.Ex103.m1.4.4.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.4.4.2.3a" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.4.4.2.6" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.6.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.4.4.2.6.2" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.6.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex103.m1.4.4.2.6.3" xref="S6.Ex103.m1.4.4.2.6.3.cmml">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.cmml">ζ</mi><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1a" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.9.9" xref="S6.Ex103.m1.9.9.cmml">7</mn><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex103.m1.11.11.3" xref="S6.Ex103.m1.11.11.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex103.m1.5.5" xref="S6.Ex103.m1.5.5.cmml"><mfrac id="S6.Ex103.m1.5.5a" xref="S6.Ex103.m1.5.5.cmml"><mrow id="S6.Ex103.m1.5.5.1" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex103.m1.5.5.1.3" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.5.5.1.3.2.2" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex103.m1.5.5.1.3.2.3" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex103.m1.5.5.1.3.3" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex103.m1.5.5.1.2" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex103.m1.5.5.1.4" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.4.cmml">ζ</mi><mo id="S6.Ex103.m1.5.5.1.2a" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex103.m1.5.5.1.5.2" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S6.Ex103.m1.5.5.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex103.m1.5.5.1.1" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.1.cmml">3</mn><mo id="S6.Ex103.m1.5.5.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex103.m1.5.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex103.m1.5.5.3" xref="S6.Ex103.m1.5.5.3.cmml"><mn id="S6.Ex103.m1.5.5.3.2" xref="S6.Ex103.m1.5.5.3.2.cmml">3072</mn><mo id="S6.Ex103.m1.5.5.3.1" xref="S6.Ex103.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex103.m1.5.5.3.3" xref="S6.Ex103.m1.5.5.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex103.m1.5.5.3.3.2" xref="S6.Ex103.m1.5.5.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex103.m1.5.5.3.3.3" xref="S6.Ex103.m1.5.5.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex103.m1.11b"><apply id="S6.Ex103.m1.11.11.cmml" xref="S6.Ex103.m1.11.11"><minus id="S6.Ex103.m1.11.11.3.cmml" xref="S6.Ex103.m1.11.11.3"></minus><apply id="S6.Ex103.m1.11.11.2.cmml" 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xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.5.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex104.m1.3.3.1.5.3" xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.5.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex104.m1.3.3.1.2b" xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.Ex104.m1.3.3.1.6" xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.6.cmml">ζ</mi><mo id="S6.Ex104.m1.3.3.1.2c" xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex104.m1.3.3.1.7.2" xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex104.m1.3.3.1.7.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex104.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.1.cmml">5</mn><mo id="S6.Ex104.m1.3.3.1.7.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex104.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex104.m1.3.3.3" xref="S6.Ex104.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex104.m1.3.3.3.2" xref="S6.Ex104.m1.3.3.3.2.cmml">49152</mn><mo id="S6.Ex104.m1.3.3.3.1" xref="S6.Ex104.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex104.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex104.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex104.m1.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex104.m1.3.3.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S6.Ex104.m1.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex104.m1.3.3.3.3.3.cmml">6</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex104.m1.6.7.1" xref="S6.Ex104.m1.6.7.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex104.m1.4.4" xref="S6.Ex104.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S6.Ex104.m1.4.4a" xref="S6.Ex104.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.Ex104.m1.4.4.1" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex104.m1.4.4.1.3" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex104.m1.4.4.1.3.2.2" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S6.Ex104.m1.4.4.1.3.2.3" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S6.Ex104.m1.4.4.1.3.3" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.3.3.cmml">5</mn></msubsup><mo id="S6.Ex104.m1.4.4.1.2" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.Ex104.m1.4.4.1.4" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex104.m1.4.4.1.4.2" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.4.2.cmml">β</mi><mn id="S6.Ex104.m1.4.4.1.4.3" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.4.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S6.Ex104.m1.4.4.1.2a" xref="S6.Ex104.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi 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id="S6.E73.m1.1.1.1.4.3">6</mn></msubsup><mo id="S6.E73.m1.1.1.1.2a">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.1.1.1.5"><mi id="S6.E73.m1.1.1.1.5.2">β</mi><mn id="S6.E73.m1.1.1.1.5.3">4</mn></msup><mo id="S6.E73.m1.1.1.1.2b">⁢</mo><mi id="S6.E73.m1.1.1.1.6">ζ</mi><mo id="S6.E73.m1.1.1.1.2c">⁢</mo><mrow id="S6.E73.m1.1.1.1.7.2"><mo id="S6.E73.m1.1.1.1.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E73.m1.1.1.1.1">7</mn><mo id="S6.E73.m1.1.1.1.7.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.E73.m1.1.1.3"><mn id="S6.E73.m1.1.1.3.2">3072</mn><mo id="S6.E73.m1.1.1.3.1">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.1.1.3.3"><mi id="S6.E73.m1.1.1.3.3.2">π</mi><mn id="S6.E73.m1.1.1.3.3.3">8</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E73.m1.7.9">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E73.m1.2.2"><mfrac id="S6.E73.m1.2.2a"><mrow id="S6.E73.m1.2.2.1"><mn id="S6.E73.m1.2.2.1.3">15</mn><mo id="S6.E73.m1.2.2.1.2">⁢</mo><msubsup id="S6.E73.m1.2.2.1.4"><mi id="S6.E73.m1.2.2.1.4.2.2">m</mi><mn id="S6.E73.m1.2.2.1.4.2.3">1</mn><mn id="S6.E73.m1.2.2.1.4.3">7</mn></msubsup><mo id="S6.E73.m1.2.2.1.2a">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.2.2.1.5"><mi id="S6.E73.m1.2.2.1.5.2">β</mi><mn id="S6.E73.m1.2.2.1.5.3">5</mn></msup><mo id="S6.E73.m1.2.2.1.2b">⁢</mo><mi id="S6.E73.m1.2.2.1.6">ζ</mi><mo id="S6.E73.m1.2.2.1.2c">⁢</mo><mrow id="S6.E73.m1.2.2.1.7.2"><mo id="S6.E73.m1.2.2.1.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E73.m1.2.2.1.1">7</mn><mo id="S6.E73.m1.2.2.1.7.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.E73.m1.2.2.3"><mn id="S6.E73.m1.2.2.3.2">24576</mn><mo id="S6.E73.m1.2.2.3.1">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.2.2.3.3"><mi id="S6.E73.m1.2.2.3.3.2">π</mi><mn id="S6.E73.m1.2.2.3.3.3">9</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E73.m1.7.10">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E73.m1.3.3"><mfrac id="S6.E73.m1.3.3a"><mrow id="S6.E73.m1.3.3.1"><mn id="S6.E73.m1.3.3.1.3">15</mn><mo id="S6.E73.m1.3.3.1.2">⁢</mo><msubsup id="S6.E73.m1.3.3.1.4"><mi id="S6.E73.m1.3.3.1.4.2.2">m</mi><mn id="S6.E73.m1.3.3.1.4.2.3">1</mn><mn id="S6.E73.m1.3.3.1.4.3">7</mn></msubsup><mo id="S6.E73.m1.3.3.1.2a">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.3.3.1.5"><mi id="S6.E73.m1.3.3.1.5.2">β</mi><mn id="S6.E73.m1.3.3.1.5.3">5</mn></msup><mo id="S6.E73.m1.3.3.1.2b">⁢</mo><mi id="S6.E73.m1.3.3.1.6">ζ</mi><mo id="S6.E73.m1.3.3.1.2c">⁢</mo><mrow id="S6.E73.m1.3.3.1.7.2"><mo id="S6.E73.m1.3.3.1.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E73.m1.3.3.1.1">7</mn><mo id="S6.E73.m1.3.3.1.7.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.E73.m1.3.3.3"><mn id="S6.E73.m1.3.3.3.2">393216</mn><mo id="S6.E73.m1.3.3.3.1">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.3.3.3.3"><mi id="S6.E73.m1.3.3.3.3.2">π</mi><mn id="S6.E73.m1.3.3.3.3.3">9</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E73.m1.7.11">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E73.m1.5.5"><mfrac id="S6.E73.m1.5.5a"><mrow id="S6.E73.m1.5.5.2"><mn id="S6.E73.m1.5.5.2.4">3</mn><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.3">⁢</mo><msubsup id="S6.E73.m1.5.5.2.5"><mi id="S6.E73.m1.5.5.2.5.2.2">m</mi><mn id="S6.E73.m1.5.5.2.5.2.3">1</mn><mn id="S6.E73.m1.5.5.2.5.3">8</mn></msubsup><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.3a">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.5.5.2.6"><mi id="S6.E73.m1.5.5.2.6.2">β</mi><mn id="S6.E73.m1.5.5.2.6.3">6</mn></msup><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.3b">⁢</mo><mi id="S6.E73.m1.5.5.2.7">ζ</mi><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.3c">⁢</mo><mrow id="S6.E73.m1.5.5.2.8.2"><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.8.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E73.m1.4.4.1.1">3</mn><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.8.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.3d">⁢</mo><mi id="S6.E73.m1.5.5.2.9">ζ</mi><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.3e">⁢</mo><mrow id="S6.E73.m1.5.5.2.10.2"><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.10.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E73.m1.5.5.2.2">5</mn><mo id="S6.E73.m1.5.5.2.10.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.E73.m1.5.5.4"><mn id="S6.E73.m1.5.5.4.2">524288</mn><mo id="S6.E73.m1.5.5.4.1">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.5.5.4.3"><mi id="S6.E73.m1.5.5.4.3.2">π</mi><mn id="S6.E73.m1.5.5.4.3.3">10</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E73.m1.7.12">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E73.m1.7.7"><mfrac id="S6.E73.m1.7.7a"><mrow id="S6.E73.m1.7.7.2"><msubsup id="S6.E73.m1.7.7.2.4"><mi id="S6.E73.m1.7.7.2.4.2.2">m</mi><mn id="S6.E73.m1.7.7.2.4.2.3">1</mn><mn id="S6.E73.m1.7.7.2.4.3">8</mn></msubsup><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.3">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.7.7.2.5"><mi id="S6.E73.m1.7.7.2.5.2">β</mi><mn id="S6.E73.m1.7.7.2.5.3">6</mn></msup><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.3a">⁢</mo><mi id="S6.E73.m1.7.7.2.6">ζ</mi><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.3b">⁢</mo><mrow id="S6.E73.m1.7.7.2.7.2"><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E73.m1.6.6.1.1">3</mn><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.7.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.3c">⁢</mo><mi id="S6.E73.m1.7.7.2.8">ζ</mi><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.3d">⁢</mo><mrow id="S6.E73.m1.7.7.2.9.2"><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.9.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S6.E73.m1.7.7.2.2">5</mn><mo id="S6.E73.m1.7.7.2.9.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.E73.m1.7.7.4"><mn id="S6.E73.m1.7.7.4.2">262144</mn><mo id="S6.E73.m1.7.7.4.1">⁢</mo><msup id="S6.E73.m1.7.7.4.3"><mi id="S6.E73.m1.7.7.4.3.2">π</mi><mn id="S6.E73.m1.7.7.4.3.3">10</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S6.E73.m1.7.13">)</mo><mo id="S6.E73.m1.7.14">+</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.E73.m1.7.15">𝒪</mi><mo id="S6.E73.m1.7.16" stretchy="false">(</mo><msup id="S6.E73.m1.7.17"><mi id="S6.E73.m1.7.17.2">R</mi><mn id="S6.E73.m1.7.17.3">2</mn></msup><mo id="S6.E73.m1.7.18" stretchy="false">)</mo><mo id="S6.E73.m1.7.19">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E73.m1.7c">\displaystyle\left.-\frac{15m_{1}^{6}\beta^{4}\zeta(7)}{3072\pi^{8}}+\frac{15m% _{1}^{7}\beta^{5}\zeta(7)}{24576\pi^{9}}-\frac{15m_{1}^{7}\beta^{5}\zeta(7)}{3% 93216\pi^{9}}+\frac{3m_{1}^{8}\beta^{6}\zeta(3)\zeta(5)}{524288\pi^{10}}+\frac% {m_{1}^{8}\beta^{6}\zeta(3)\zeta(5)}{262144\pi^{10}}\right)+{\cal O}(R^{2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E73.m1.7d">- divide start_ARG 15 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 7 ) end_ARG start_ARG 3072 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 15 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 7 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 7 ) end_ARG start_ARG 24576 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 9 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 15 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 7 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 7 ) end_ARG start_ARG 393216 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 9 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG 3 italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 3 ) italic_ζ ( 5 ) end_ARG start_ARG 524288 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ ( 3 ) italic_ζ ( 5 ) end_ARG start_ARG 262144 italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + caligraphic_O ( italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(73)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p9.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p9.2.1">where </span><math alttext="V^{(2)}_{\rm{db}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p9.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p9.1.m1.1a"><msubsup id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.2.2" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.3" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.3.cmml">db</mi><mrow id="S6.SS1.p9.1.m1.1.1.1.3" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.SS1.p9.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.SS1.p9.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S6.SS1.p9.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p9.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.2.2">𝑉</ci><cn id="S6.SS1.p9.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.1.1.1">2</cn></apply><ci id="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S6.SS1.p9.1.m1.1.2.3">db</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p9.1.m1.1c">V^{(2)}_{\rm{db}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p9.1.m1.1d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT roman_db end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p9.2.2"> is the corresponding zero temperature part and the cross terms of zero and finite temperature. Inclusion of </span><math alttext="{\cal O}(R^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p9.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.p9.2.m2.1a"><mrow id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.3" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.3.cmml">𝒪</mi><mo id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mn id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p9.2.m2.1b"><apply id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1"><times id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.2"></times><ci id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.3">𝒪</ci><apply id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><cn id="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p9.2.m2.1c">{\cal O}(R^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p9.2.m2.1d">caligraphic_O ( italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p9.2.3"> terms to the above result is easy, but we shall not go into such computation here.</span></p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S7"> <h2 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S7.1.1.1">7</span> </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S7.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p1.1.1">Let us now summarise our work. In this paper we have considered the problem of the effective potential at zero and finite temperatures in a general curved spacetime. We have retained terms up to quadratic order in the curvature in the expansion of the Feynman propagator. We have focused upon the spontaneous symmetry breaking, its restoration and phase transition phenomenon. As we have emphasised earlier as well, one of our objectives was to see whether the quadratic in curvature terms can bring in some qualitatively new physical effect.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.1">We have computed in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S3" title="3 One loop effective potential at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.2">, the one loop effective potential at zero temperature, up to the quadratic order of the spacetime curvature for quartic and cubic self interactions. In </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4" title="4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.3">, we extended these results at finite temperature, with high temperature approximation. We discuss spontaneous symmetry breaking, its restoration and phase transition at zero and finite temperatures in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5" title="5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.4">, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5.SS1" title="5.1 Phase transition at finite temperature ‣ 5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5.1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.5">. We next generalise some of these results to two loop in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6" title="6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.6">. In particular, the contribution from the </span><math alttext="{\cal O}(\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.1.m1.1"><semantics id="S7.p2.1.m1.1a"><mrow id="S7.p2.1.m1.1.2" xref="S7.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.p2.1.m1.1.2.2" xref="S7.p2.1.m1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S7.p2.1.m1.1.2.1" xref="S7.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S7.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S7.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.p2.1.m1.1.1" xref="S7.p2.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S7.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.1.m1.1b"><apply id="S7.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S7.p2.1.m1.1.2"><times id="S7.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.p2.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S7.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.p2.1.m1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S7.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p2.1.m1.1.1">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.1.m1.1c">{\cal O}(\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.1.m1.1d">caligraphic_O ( italic_λ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.7"> two loop double bubble diagram under local approximation to the effective potential, at finite temperature has been explicitly presented, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S6.SS1" title="6.1 Two loop at finite temperature ‣ 6 Two loop effective potential in curved spacetime ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.8">. For the de Sitter spacetime in particular, we have shown that we can have symmetry breaking for a scalar even with a positive rest mass squared </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.p2.1.9">and</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p2.1.10"> a positive non-minimal coupling, at zero temperature, at both one and two loop level. This result remains valid for a very large range of renormalisation scale, and it cannot be achieved by linear curvature approximation. We believe this result to be interesting in its own right. It is clear that due to symmetry breaking in such potential, the new mass of the field will get contributions from the spacetime curvature, as well as non-minimal coupling. We have argued that such effect can be expected to be significant in an early universe scenario, where the density of the dark energy was supposed to be rather high compared to that of today. </span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p3"> <p class="ltx_p" id="S7.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.1">As we also noted earlier, the Schwinger-DeWitt expansion of the Feynman propagator, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2" title="2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.2">, is essentially meant to capture the curvature effects into the ultraviolet of high energy quantum processes, such as the trace anomaly </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.3.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib6" title="">6</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.4.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.5">. In other words, this method may not be suitable to probe, e.g., the deep infrared non-equilibrium effects relevant to the late time, super-Hubble scale during the primordial inflation </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.6.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib88" title="">88</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib89" title="">89</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib90" title="">90</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib91" title="">91</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib92" title="">92</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib93" title="">93</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib94" title="">94</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.7.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.8"> (also references therein), found by using the Schwinger-Keldysh closed time path formalism. Thus the results presented here can be thought of as sub-Hubble and short time scale, transient or even some initial phenomenon. An essential manifestation of this will be to note that the effective potential we found for the de Sitter will also be valid for the static or any other patch, provided we erect our normal coordinate system in a small neighbourhood located much inside the cosmological event horizon. This is because the expansion coefficients of the Green function in </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S2.E10" title="In 2 The basic set up ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p3.1.9"> consist only of curvature invariants, which are independent of any coordinate system. Probing local Lorentz invariant physical processes in a curved spacetime background, to the best of our knowledge and understanding, are important in their own right. Also, after the occurrence of the SSB at short spacetime scales, the field acquires a new mass, which can affect its dynamics at large scales at late times. It may be interesting to look into the late time long wavelength or stochastic behaviour of the background scalar field, the equation of motion of which can be found from the effective action corresponding to the effective potential.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p4"> <p class="ltx_p" id="S7.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p4.1.1">In this connection we also note that, in a curved spacetime, the notion of temperature and thermal equilibrium might be ambiguous </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p4.1.2.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib97" title="">97</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p4.1.3.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p4.1.4">. This may correspond to, for example, the absence of spatial isotropy, the red or blueshift effects etc. However, suppose we confine ourselves to a small region of the spacetime and look for the leading departure from that of the flat spacetime. In that case, it seems that such issues are taken care of, at least approximately. Certainly by construction, the Schwinger-DeWitt expansion technique seems to be appropriate to address such local thermal issues in a curved background, e.g. </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p4.1.5.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#bib.bib74" title="">74</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p4.1.6.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p4.1.7">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p5"> <p class="ltx_p" id="S7.p5.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p5.1.1">Also, as we noted earlier towards the end of </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S5" title="5 Spontaneous symmetry breaking and phase transition at zero temperature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p5.1.2">, that the above results perhaps indicate that we should employ some non-perturbative techniques in order to investigate further the symmetry breaking and phase transition phenomena in curved spacetimes. This not only means resummation of the coupling constant, but also at least some of the curvature terms appearing in the expansion of the propagator. This proposition is also motivated by the one loop self energy computation, </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2410.06563v2#S4.E28" title="In 4 The case at finite temparature ‣ Self interacting scalar field theory in general curved spacetimes at zero and finite temperature revisited"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p5.1.3">. Note once again that such resummed formalism is not expected to capture the infrared physics, as the framework would still be based upon the local Lorentz invariance and four momenta. Instead, this attempts to resum the curvature effects in the local, ultraviolet phenomenon. Finally, we also note that the </span><math alttext="\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p5.1.m1.1"><semantics id="S7.p5.1.m1.1a"><msup id="S7.p5.1.m1.1.1" xref="S7.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.p5.1.m1.1.1.2" xref="S7.p5.1.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S7.p5.1.m1.1.1.3" xref="S7.p5.1.m1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p5.1.m1.1b"><apply id="S7.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.p5.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.p5.1.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="S7.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.p5.1.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p5.1.m1.1c">\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p5.1.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.p5.1.4"> theory is a toy model, and in order to see whether there is any phenomenological consequences of the results we obtain here, we must go to scalars coupled to non-Abelian gauge fields. While the present work can be considered as a first step in order to gain some initial insights, we hope to come back to the aforementioned issues sometimes soon in future publications.</span></p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx1"> <h2 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_section">Acknowledgement</h2> <div class="ltx_para" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.p1.1.1">The work of VN is supported by the junior research fellowship of University Grants Comission, Govt. of India (Ref. no. 211610068936). He also wishes to thank B. L. Hu and I. L. Shapiro for useful communications. The authors would like to acknowldge anonymous referees for various useful comments.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="Sx1.p2"> <br class="ltx_break"/> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib1.1.1"> B. S. DeWitt, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib1.2.2">Quantum Field Theory in Curved Spacetime</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib1.3.3">, Phys. Rept.19, 295 (1975). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib2.1.1"> N. D. Birrell and P. C. W. Davies, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib2.2.2">Quantum Fields in Curved Space</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib2.3.3">, Cambridge Univ. Press (1984) ISBN 978-0-521-27858-4, 978-0-521-27858-4. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib3.1.1"> M. Yu. Khlopov, B. A. Malomed and Ya. B. Zeldovich, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib3.2.2">Gravitational instability of scalar field and primordial black holes</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib3.3.3">, Mon. Not. Roy. Astr. Soc.215, 575 (1985). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib4.1.1"> I. L. Buchbinder, S. D. Odintsov and I. L. Shapiro, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib4.2.2">Effective action in quantum gravity</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib4.3.3">, IOP Publishing (1992). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[5]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib5.1.1"> F. Antonsen and K. Bormann, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.2.2">Propagators in Curved Space</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib5.3.3">, [arXiv:9608141 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[6]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib6.1.1"> L. E. Parker and D. J. Toms, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib6.2.2">Quantum Field Theory in Curved Spacetime : Quantized Field and Gravity</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib6.3.3">, Cambridge University Press (2009). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[7]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib7.1.1"> S. R. Coleman and E. J. Weinberg, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib7.2.2">Radiative Corrections as the Origin of Spontaneous Symmetry Breaking</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib7.3.3">, Phys. Rev. D7, 1888 (1973). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[8]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib8.1.1"> R. 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Bannur, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib28.1.1">Running coupling constant in thermal <math alttext="\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib28.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib28.1.1.m1.1a"><msup id="bib.bib28.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib28.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib28.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib28.1.1.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib28.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib28.1.1.m1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib28.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib28.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib28.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib28.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib28.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="bib.bib28.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib28.1.1.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib28.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib28.1.1.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib28.1.1.m1.1c">\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib28.1.1.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> theory up to two loop order</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib28.3.3">, Phys. Rev. D105, no 2, 025023 (2022) [arXiv:2112.02968 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib29"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[29]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib29.2.2"> G. O. Heymans, N. F. Svaiter and G. Krein, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib29.1.1">Restoration of a spontaneously broken symmetry in a Euclidean quantum <math alttext="\lambda\phi^{4}_{d+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib29.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib29.1.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib29.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mrow id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">4</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib29.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1"><times id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.2.3">4</cn></apply><apply id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3"><plus id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><cn id="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib29.1.1.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib29.1.1.m1.1c">\lambda\phi^{4}_{d+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib29.1.1.m1.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> model with quenched disorder</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib29.3.3">, Phys. Rev. D106, 12, 125004 (2022). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib30"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[30]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib30.1.1"> S. Mooij and M. Shaposhnikov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib30.2.2">Effective Potential in Finite Formulation of QFT</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib30.3.3">, Nucl. Phys. B1006, 116642 (2024). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib31"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[31]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib31.1.1"> J. I. Kapusta, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib31.2.2">Finite Temperature Field Theory</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib31.3.3">, Cambridge by Cambridge University Press (1989). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib32"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[32]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib32.1.1"> A. K. Das, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib32.2.2">Finite Temperature Field Theory</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib32.3.3">, World Scientific (1997). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib33"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[33]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib33.1.1"> H. Nastase, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib33.2.2">Introduction to Quantum Field Theory</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib33.3.3">, Cambridge University Press, 1970, ISBN 978-1-108-49399-4, 978-1-108-66563-6, 978-1-108-62499-2. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib34"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[34]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib34.1.1"> I. T. Drummond and S. J. Hathrell, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib34.2.2">QED Vacuum Polarization in a Background Gravitational Field and Its Effect on the Velocity of Photons</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib34.3.3">, Phys. Rev. D22, 343 (1980). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib35"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[35]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib35.2.2"> T. S. Bunch and P. Panangaden, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib35.1.1">On renormalisation of <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib35.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib35.1.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib35.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.2" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.3" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib35.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1"><times id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib35.1.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib35.1.1.m1.1c">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib35.1.1.m1.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> field theory in curved space-time. II</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib35.3.3">, J. Phys. A13, 919 (1980). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib36"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[36]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib36.1.1"> G. M. Shore, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib36.2.2">Radiatively Induced Spontaneous Symmetry Breaking and Phase Transitions in Curved Space-Time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib36.3.3">, Annals Phys.128 376 (1980). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib37"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[37]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib37.2.2"> T. S. Bunch, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib37.1.1">Local Momentum Space and Two Loop Renormalizability of <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib37.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib37.1.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib37.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.2" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.3" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib37.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1"><times id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib37.1.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib37.1.1.m1.1c">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib37.1.1.m1.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> Field Theory in Curved Space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib37.3.3">, Gen. Rel. Grav.13, 711 (1981). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib38"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[38]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib38.1.1"> P. Panangaden, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib38.2.2">One Loop Renormalization of Quantum Electrodynamics in Curved Space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib38.3.3">, Phys. Rev. D23, 1735 (1981). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib39"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[39]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib39.1.1"> K. Ishikawa, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib39.2.2">Gravitational effect on effective potential</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib39.3.3">, Phys. Rev. D28, 2445 (1983). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib40"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[40]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib40.1.1"> T. S. Bunch and L. Parker, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib40.2.2">Feynman Propagator in Curved Space-Time: A Momentum Space Representation</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib40.3.3">, Phys. Rev. D20, 2499 (1984). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib41"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[41]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib41.1.1"> I. L. Buchbinder and S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib41.2.2">effective potential in a curved space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib41.3.3">, Sov. Phys. J.136, 554 (1984). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib42"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[42]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib42.1.1"> I. Jack and H. Osborn, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib42.2.2">Background Field Calculations in Curved Space-time. 1. General Formalism and Application to Scalar Fields</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib42.3.3">, Nucl. Phys. B234, 331 (1984). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib43"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[43]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib43.2.2"> B. L. Hu and D. J. O’Connor, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib43.1.1">Effective Lagrangian for <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib43.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib43.1.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib43.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.2" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.3" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib43.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1"><times id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib43.1.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib43.1.1.m1.1c">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib43.1.1.m1.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> Theory in Curved Space-time With Varying Background Fields: Quasilocal Approximation</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib43.3.3">, Phys. Rev. D30, 743(1984). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib44"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[44]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib44.1.1"> I. L. Buchbinder and S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib44.2.2">Effective Potential and Phase Transitions Induced by Curvature in Gauge Theories in Curved Space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib44.3.3">, Class. Quant. Grav.2, 721 (1985). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib45"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[45]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib45.2.2"> S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib45.1.1">Effective Potential in <math alttext="N=1" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib45.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib45.1.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib45.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib45.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib45.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib45.1.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="bib.bib45.1.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib45.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="bib.bib45.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib45.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib45.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib45.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib45.1.1.m1.1.1"><eq id="bib.bib45.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib45.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="bib.bib45.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib45.1.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="bib.bib45.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib45.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib45.1.1.m1.1c">N=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib45.1.1.m1.1d">italic_N = 1</annotation></semantics></math> Supergravity De Sitter Space</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib45.3.3">, Phys. Lett. B213, 7 (1988). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib46"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[46]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib46.2.2"> S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib46.1.1">Compactification and spontaneous symmetry breaking in the <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib46.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib46.1.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib46.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.2" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.3" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib46.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1"><times id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib46.1.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib46.1.1.m1.1c">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib46.1.1.m1.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> theory with Kaluza-Klein background</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib46.3.3">, Sov. Phys. J.31, 695 (1988). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib47"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[47]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib47.1.1"> I. L. Buchbinder, S. D. Odintsov and I. M. Lichtzier, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib47.2.2">The Behavior of effective coupling constants in ’finite’ grand unification theories in curved space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib47.3.3">, Class. Quant. Grav.6, 605 (1989). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib48"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[48]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib48.1.1"> S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib48.2.2">Two loop effective potential in quantum field theory in curved space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib48.3.3">, Phys. Lett. B306, 233 (1993). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib49"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[49]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib49.1.1"> T. Inagaki, T. Muta and S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib49.2.2">Nambu-Jona-Lasinio model in curved space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib49.3.3">, Mod. Phys. Lett. A8, 2117, (1993) [arXiv:hep-th/9306023 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib50"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[50]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib50.1.1"> K. Kirsten, G. Cognola and L. Vanzo </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib50.2.2">Effective Lagrangian for selfinteracting scalar field theories in curved space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib50.3.3">, Phys. Rev. D48, 2813 (1993). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib51"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[51]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib51.1.1"> E. Elizalde and S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib51.2.2">Renormalization group improved effective Lagrangian for interacting theories in curved space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib51.3.3"> Phys. Lett. B321, 199 (1994) [arXiv:hep-th/9311087 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib52"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[52]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib52.1.1"> E. Elizalde and S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib52.2.2">Renormalization group improved effective potential for interacting theories with several mass scales in curved space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib52.3.3">, Z. Phys. C64, 699 (1994) [arXiv:hep-th/9401057 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib53"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[53]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib53.1.1"> E. Elizalde, S. D. Odintsov and A. Romeo, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib53.2.2">Improved effective potential in curved space-time and quantum matter, higher derivative gravity theory</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib53.3.3"> Phys. Rev. D51, 1680 (1995) [arXiv:hep-th/9410113 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib54"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[54]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib54.2.2"> T. Inagaki, S. Nojiri and S. D. Odintsov, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib54.1.1">The One-loop effective action in <math alttext="\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib54.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib54.1.1.m1.1a"><msup id="bib.bib54.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib54.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib54.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib54.1.1.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib54.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib54.1.1.m1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib54.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib54.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib54.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib54.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib54.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="bib.bib54.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib54.1.1.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib54.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib54.1.1.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib54.1.1.m1.1c">\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib54.1.1.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> theory coupled non-linearly with curvature power and dynamical origin of cosmological constant</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib54.3.3">, JCAP06, 010 (2005) [arXiv:gr-qc/0504054 [gr-qc]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib55"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[55]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib55.1.1"> I. L. Shapiro, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib55.2.2">Effective Action of Vacuum: Semiclassical Approach</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib55.3.3">, Class. Grav.25, 103001(2008) [arXiv:0801.0216 [gr-qc]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib56"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[56]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib56.1.1"> F. Sobreira, B. J. Ribeiro and I. L. Shapiro, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib56.2.2">Effective Potential in Curved Space and Cut-Off Regularizations</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib56.3.3">, Phys. Lett. B705, 273 (2011) [arXiv:1107.2262 [gr-qc]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib57"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[57]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib57.1.1"> T. Arai, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib57.2.2">Renormalization of the 2PI Hartree-Fock approximation on de Sitter background in the broken phase</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib57.3.3">, Phys. Rev. D86, 104064 (2012) [arXiv:1204.0476 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib58"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[58]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib58.1.1"> D. L. Lopez Nacir, F. D. Mazzitelli and L. G. Trombetta, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib58.2.2">Hartree approximation in curved spacetimes revisited: The effective potential in de Sitter spacetime</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib58.3.3">, Phys. Rev. D89, 024006 (2014) [arXiv:1309.0864 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib59"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[59]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib59.1.1"> D. J. Toms, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib59.2.2">Local momentum space and the vector field</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib59.3.3">, Phys. Rev. D90, 044072 (2014) [arXiv:1408.0636 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib60"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[60]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib60.1.1"> S. Bhattacharya, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib60.2.2">Effect of a cosmological constant on propagation of vacuum polarized photons in stationary spacetimes</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib60.3.3">, Eur. Phys. J. C75, no.6, 247 (2015) [arXiv:1501.00814 [gr-qc]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib61"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[61]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib61.1.1"> J. I. McDonald and G. M. Shore, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib61.2.2">Leptogenesis from loop effects in curved spacetime</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib61.3.3">, JHEP04, 030 (2016) [arXiv:1512.02238 [hep-ph]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib62"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[62]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib62.1.1"> T. de Paula Netto and I. L. Shapiro, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib62.2.2">Non-local form factors for curved-space antisymmetric fields</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib62.3.3">, Phys. Rev. D94, 024040 (2016) [arXiv:1605.06600 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib63"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[63]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib63.1.1"> T. Markkanen, S. Nurmi, A. Rajantie and S. Stopyra, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib63.2.2">The 1-loop effective potential for the Standard Model in curved spacetime</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib63.3.3">, JHEP06, 040 (2018) [arXiv:1804.02020 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib64"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[64]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib64.1.1"> D. J. Toms, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib64.2.2">Effective action for the Yukawa model in curved spacetime</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib64.3.3">, JHEP05, 139 (2018) [arXiv:1804.08350 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib65"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[65]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib65.1.1"> D. J. Toms, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib65.2.2">Yang-Mills Yukawa model in curved spacetime</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib65.3.3">, [arXiv:1906.02515 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib66"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[66]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib66.1.1"> S. Mandal and S. Banerjee, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib66.2.2">Local description of S-matrix in quantum field theory in curved spacetime using Riemann-normal coordinate</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib66.3.3">, Eur. Phys. J. Plus136, 1064 (2021) [arXiv:1908.06717 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib67"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[67]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib67.1.1"> S. Panda, A. A. Tinwala and A. Vidyarthi, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib67.2.2">Local momentum space: scalar field and gravity</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib67.3.3">, Class. Quant. Grav.40, 235001 (2023) [arXiv:2205.12842 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib68"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[68]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib68.1.1"> S. M. Christensen and S. A. Fulling, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib68.2.2">Trace Anomalies and the Hawking Effect</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib68.3.3">, Phys. Rev. D15, 2088 (1977). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib69"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[69]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib69.1.1"> P. Candelas, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib69.2.2">Vacuum Polarization in Schwarzschild Space-Time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib69.3.3">, Phys. Rev. D21, 2185 (1980). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib70"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[70]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib70.1.1"> D. N. Page, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib70.2.2">Thermal Stress Tensors in Static Einstein Spaces</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib70.3.3">, Phys. Rev. D25, 1499 (1982). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib71"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[71]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib71.1.1"> B. L. Hu, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib71.2.2">Finite temperature quantum fields in expanding universes</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib71.3.3">, Phys. Lett. B108, 19 (1982). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib72"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[72]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib72.2.2"> B. L. Hu, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib72.1.1">Finite Temperature Effective Potential for <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib72.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib72.1.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib72.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.2" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.3" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib72.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1"><times id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib72.1.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib72.1.1.m1.1c">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib72.1.1.m1.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> Theory in Robertson-walker Universes</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib72.3.3">, Phys. Lett. B123, 189 (1983). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib73"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[73]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib73.1.1"> N. Nakazawa and T. Fukuyama, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib73.2.2">On the Energy Momentum Tensor at Finite Temperature in Curved Space-time</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib73.3.3">, Nucl. Phys. B252 621 (1985). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib74"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[74]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib74.1.1"> B. L. Hu, R. Critchley, and A. Stylianopoulos, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib74.2.2">Finite Temperature Quantum Field Theory in Curved Space-time: Quasilocal Effective Lagrangians</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib74.3.3">, Phys. Rev. D35, 510 (1987). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib75"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[75]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib75.1.1"> J. S. Dowker and J. P. Schofield, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib75.2.2">High Temperature Expansion of the Free Energy of a Massive Scalar Field in a Curved Space</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib75.3.3">, Phys. Rev. D38, 3327 (1988). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib76"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[76]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib76.1.1"> G. Cognola, K. Kirsten, L. Vanzo and S. Zerbini, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib76.2.2">Finite temperature effective potential on hyperbolic spacetimes</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib76.3.3">, Phys. Rev. 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Shapiro, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib78.2.2">Vacuum polarization in Schwarzschild space-time by anomaly induced effective actions</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib78.3.3">, Nucl. Phys. B559, 301 (1999) [arXiv:hep-th/9904162 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib79"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[79]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib79.4.4"> T. Hattori, M. Hayashi, T. Inagaki and Y. Kitadono, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib79.3.3">Effective potential for <math alttext="\lambda\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib79.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib79.1.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib79.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.2" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.3" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib79.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1"><times id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib79.1.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib79.1.1.m1.1c">\lambda\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib79.1.1.m1.1d">italic_λ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> theory at finite temperature in <math alttext="R\otimes S^{(D-1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib79.2.2.m2.1"><semantics id="bib.bib79.2.2.m2.1a"><mrow id="bib.bib79.2.2.m2.1.2" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.2" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.1.cmml">⊗</mo><msup id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3.cmml"><mi id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3.2" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3.2.cmml">S</mi><mrow id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib79.2.2.m2.1b"><apply id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2"><csymbol cd="latexml" id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.1">tensor-product</csymbol><ci id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.2">𝑅</ci><apply id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.2.3.2">𝑆</ci><apply id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1"><minus id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib79.2.2.m2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib79.2.2.m2.1c">R\otimes S^{(D-1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib79.2.2.m2.1d">italic_R ⊗ italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_D - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="R\otimes H^{(D-1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib79.3.3.m3.1"><semantics id="bib.bib79.3.3.m3.1a"><mrow id="bib.bib79.3.3.m3.1.2" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.cmml"><mi id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.2" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.1.cmml">⊗</mo><msup id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3.cmml"><mi id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3.2" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3.2.cmml">H</mi><mrow id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib79.3.3.m3.1b"><apply id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2"><csymbol cd="latexml" id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.1">tensor-product</csymbol><ci id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.2">𝑅</ci><apply id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.2.3.2">𝐻</ci><apply id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1"><minus id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib79.3.3.m3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib79.3.3.m3.1c">R\otimes H^{(D-1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib79.3.3.m3.1d">italic_R ⊗ italic_H start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_D - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib79.5.5">, TSPU Bulletin44N7, 99 (2004). </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib80"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[80]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib80.2.2"> T. Hattori, M. Hayashi, T. Inagaki and Y. Kitadono, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib80.1.1">Thermal and curvature effects to spontaneous symmetry breaking in <math alttext="\phi^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib80.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib80.1.1.m1.1a"><msup id="bib.bib80.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib80.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib80.1.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib80.1.1.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib80.1.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib80.1.1.m1.1.1.3.cmml">4</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib80.1.1.m1.1b"><apply id="bib.bib80.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib80.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib80.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib80.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="bib.bib80.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib80.1.1.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib80.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib80.1.1.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib80.1.1.m1.1c">\phi^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib80.1.1.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> theory</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib80.3.3">, J. Phys. A39, 6441 (2006) [arXiv:hep-ph/0601154 [hep-ph]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib81"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[81]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib81.1.1"> D. Buchholz and J. Schlemmer, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib81.2.2">Local Temperature in Curved Spacetime</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib81.3.3"> Class. Quant. G̃rav. 24, F25-F31 (2007) [arXiv:gr-qc/0608133 [gr-qc]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib82"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[82]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib82.1.1"> I. S. Kalinichenko and P. O. Kazinski, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib82.2.2">High-temperature expansion of the one-loop free energy of a scalar field on a curved background</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib82.3.3">, Phys. Rev. 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Choudhury, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib94.1.1">Non-perturbative <math alttext="{\langle}{\phi}{\rangle},{\langle}{\phi}^{2}{\rangle}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib94.1.1.m1.3"><semantics id="bib.bib94.1.1.m1.3a"><mrow id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="bib.bib94.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib94.1.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.3" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mrow id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mn id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib94.1.1.m1.3b"><list id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2"><apply id="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.2.2.1.1.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><ci id="bib.bib94.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.2">italic-ϕ</ci><cn id="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib94.1.1.m1.3.3.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib94.1.1.m1.3c">{\langle}{\phi}{\rangle},{\langle}{\phi}^{2}{\rangle}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib94.1.1.m1.3d">⟨ italic_ϕ ⟩ , ⟨ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> and the dynamically generated scalar mass with Yukawa interaction in the inflationary de Sitter spacetime</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib94.3.3">, JCAP01, 056 (2024) [arXiv:2308.11384 [hep-th]]. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib95"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[95]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib95.1.1"> A. 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Ehrenfest, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib97.2.2">Temperature Equilibrium in a Static Gravitational Field</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib97.3.3">, Phys. 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