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Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes
<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes</title> <!--Generated on Tue Oct 15 22:09:22 2024 by LaTeXML (version 0.8.8) http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/.--> <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2405.12190v2/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1" title="In Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS1" title="In 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1.1 </span>Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS2" title="In 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1.2 </span>One-dimensional averages</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS3" title="In 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1.3 </span>Acknowledgements</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2" title="In Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Notation and preliminaries</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.SS1" title="In 2. Notation and preliminaries ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Asymptotic and averaging notation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.SS2" title="In 2. Notation and preliminaries ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Gowers norms</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.SS3" title="In 2. Notation and preliminaries ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.3 </span>Vinogradov’s Fourier expansion</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3" title="In Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Gowers norm control of polynomial averages</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4" title="In Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S5" title="In Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Möbius correlations along polynomial patterns</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6" title="In Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>A local-to-global principle for mean values</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7" title="In Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">7 </span>Prime correlations along polynomial patterns</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS1" title="In 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">7.1 </span>Overview of proof</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2" title="In 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">7.2 </span>Correlations of the Siegel model</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3" title="In 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">7.3 </span>Proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span>(2)</span></a></li> </ol> </li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line ltx_leqno" lang="en"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Lilian Matthiesen </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Mathematics, KTH, 10044 Stockholm, Sweden </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:lilian.matthiesen@math.kth.se">lilian.matthiesen@math.kth.se</a> </span></span></span> <span class="ltx_author_before">, </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Joni Teräväinen </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Mathematics and Statistics, University of Turku, 20014 Turku, Finland </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:joni.p.teravainen@gmail.com">joni.p.teravainen@gmail.com</a> </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> and </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Mengdi Wang </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Mathematics and Statistics, University of Turku, 20014 Turku, Finland </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:mengdi.wang@utu.fi">mengdi.wang@utu.fi</a> </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract.</h6> <p class="ltx_p" id="id2.2"><span class="ltx_text" id="id2.2.2">We prove quantitative estimates for averages of the von Mangoldt and Möbius functions along polynomial progressions <math alttext="n+P_{1}(m),\ldots,n+P_{k}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.1.m1.5"><semantics id="id1.1.1.m1.5a"><mrow id="id1.1.1.m1.5.5.2" xref="id1.1.1.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="id1.1.1.m1.4.4.1.1" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.1" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="id1.1.1.m1.1.1" xref="id1.1.1.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="id1.1.1.m1.5.5.2.3" xref="id1.1.1.m1.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="id1.1.1.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="id1.1.1.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="id1.1.1.m1.5.5.2.4" xref="id1.1.1.m1.5.5.3.cmml">,</mo><mrow id="id1.1.1.m1.5.5.2.2" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.2" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.1" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.cmml"><msub id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.2" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.3" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.1" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.3.2" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="id1.1.1.m1.2.2" xref="id1.1.1.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.1.m1.5b"><list id="id1.1.1.m1.5.5.3.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2"><apply id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1"><plus id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.1"></plus><ci id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.2">𝑛</ci><apply id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3"><times id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="id1.1.1.m1.4.4.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="id1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="id1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="id1.1.1.m1.3.3">…</ci><apply id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2"><plus id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.1"></plus><ci id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.2">𝑛</ci><apply id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3"><times id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.1"></times><apply id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.2.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.3.cmml" xref="id1.1.1.m1.5.5.2.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="id1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="id1.1.1.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.1.m1.5c">n+P_{1}(m),\ldots,n+P_{k}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.1.m1.5d">italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) , … , italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m )</annotation></semantics></math> for a large class of polynomials <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.2.2.m2.1"><semantics id="id2.2.2.m2.1a"><msub id="id2.2.2.m2.1.1" xref="id2.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="id2.2.2.m2.1.1.2" xref="id2.2.2.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="id2.2.2.m2.1.1.3" xref="id2.2.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.2.2.m2.1b"><apply id="id2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="id2.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="id2.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="id2.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="id2.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="id2.2.2.m2.1.1.2">𝑃</ci><ci id="id2.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="id2.2.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.2.2.m2.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.2.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The error terms obtained save an arbitrary power of logarithm, matching the classical Siegel–Walfisz error term. These results give the first quantitative bounds for the Tao–Ziegler polynomial patterns in the primes result.</span></p> <p class="ltx_p" id="id3.id1"><span class="ltx_text" id="id3.id1.1">The proofs are based on a quantitative generalised von Neumann theorem of Peluse, a recent result of Leng on strong bounds for the Gowers uniformity of the primes, and analysis of a “Siegel model” for the von Mangoldt function along polynomial progressions.</span></p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1. </span>Introduction</h2> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">1.1. </span>Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p1.8">Given <math alttext="k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1"><in id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.1.m1.1c">k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.1.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> and polynomials <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.2.m2.4"><semantics id="S1.SS1.p1.2.m2.4a"><mrow id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml"><msub id="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.SS1.p1.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.4" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.3" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.2" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.1" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.2" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.2.m2.4b"><apply id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4"><in id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.3"></in><list id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4"><times id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.1"></times><ci id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.2.m2.4c">P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.2.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math>, a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.SS1.p1.8.1">polynomial progression</em> is a sequence of the form <math alttext="n+P_{1}(m),\ldots,n+P_{k}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.3.m3.5"><semantics id="S1.SS1.p1.3.m3.5a"><mrow id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.3.cmml"><mrow id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.1" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.3" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.1" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.3.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.3" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S1.SS1.p1.3.m3.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.SS1.p1.3.m3.3.3.cmml">…</mi><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.4" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.3.cmml">,</mo><mrow id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.1" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml"><msub id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.3" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.1" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.3.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.SS1.p1.3.m3.2.2" xref="S1.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.3.m3.5b"><list id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2"><apply id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1"><plus id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.1"></plus><ci id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3"><times id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.SS1.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.3.3">…</ci><apply id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2"><plus id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.1"></plus><ci id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3"><times id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.1"></times><apply id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.5.5.2.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.3.m3.2.2">𝑚</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.3.m3.5c">n+P_{1}(m),\ldots,n+P_{k}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.3.m3.5d">italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) , … , italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m )</annotation></semantics></math> with <math alttext="m,n\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.4.m4.2"><semantics id="S1.SS1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.cmml"><mrow id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.1" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.SS1.p1.4.m4.2.2" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.1" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.3" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.4.m4.2b"><apply id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3"><in id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.1"></in><list id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2"><ci id="S1.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.4.m4.1.1">𝑚</ci><ci id="S1.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.2">𝑛</ci></list><ci id="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.4.m4.2.3.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.4.m4.2c">m,n\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.4.m4.2d">italic_m , italic_n ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math>. In a seminal work, Tao and Ziegler <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib19" title="">19</a>]</cite> proved that the primes contain infinitely many nonconstant polynomial progressions for any distinct polynomials <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S1.SS1.p1.5.m5.1a"><msub id="S1.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.5.m5.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.5.m5.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.5.m5.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> satisfying <math alttext="P_{i}(0)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S1.SS1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.cmml"><mrow id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml"><msub id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.2" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.3" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.1" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.3.2" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml"><mo id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S1.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.1" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.3" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.6.m6.1b"><apply id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2"><eq id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.1"></eq><apply id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2"><times id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.1"></times><apply id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S1.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.1">0</cn></apply><cn id="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p1.6.m6.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.6.m6.1c">P_{i}(0)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.6.m6.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq i\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S1.SS1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mn id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.4" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.5" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.6" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.6.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1"><and id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1a.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1"></and><apply id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1b.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1"><leq id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.3"></leq><cn id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.2">1</cn><ci id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.4.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1c.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1"><leq id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.5.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS1.p1.7.m7.1.1.4.cmml" id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1d.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1"></share><ci id="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.6.cmml" xref="S1.SS1.p1.7.m7.1.1.6">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.7.m7.1c">1\leq i\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.7.m7.1d">1 ≤ italic_i ≤ italic_k</annotation></semantics></math>. This generalised the Green–Tao theorem <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> that corresponded to the polynomials <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S1.SS1.p1.8.m8.1a"><msub id="S1.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.8.m8.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.8.m8.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.8.m8.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> being linear.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p2.2">In a subsequent work, Tao and Ziegler <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib20" title="">20</a>]</cite> went further by showing that, if <math alttext="d=\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p2.1.m1.2"><semantics id="S1.SS1.p2.1.m1.2a"><mrow id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.3" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.2" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.2" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.cmml"><mn id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.2" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.3" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.4" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.5" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.6" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.6.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1a" lspace="0.167em" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1a" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p2.1.m1.2b"><apply id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2"><eq id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.2"></eq><ci id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.3">𝑑</ci><apply id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1"><apply id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><max id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.2"></max><apply id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3"><and id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3a.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3"></and><apply id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3b.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3"><leq id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.3"></leq><cn id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.2">1</cn><ci id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.4.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3c.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3"><leq id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.5.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.4.cmml" id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3d.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3"></share><ci id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.6.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2.3.6">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p2.1.m1.2c">d=\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p2.1.m1.2d">italic_d = roman_max start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S1.SS1.p2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S1.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.2.m2.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p2.2.m2.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p2.2.m2.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math> denotes the von Mangoldt function<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>For convenience, we define <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m1.1"><semantics id="footnote1.m1.1b"><mi id="footnote1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="footnote1.m1.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m1.1c"><ci id="footnote1.m1.1.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m1.1d">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m1.1e">roman_Λ</annotation></semantics></math> on all of <math alttext="\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m2.1"><semantics id="footnote1.m2.1b"><mi id="footnote1.m2.1.1" xref="footnote1.m2.1.1.cmml">ℤ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m2.1c"><ci id="footnote1.m2.1.1.cmml" xref="footnote1.m2.1.1">ℤ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m2.1d">\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m2.1e">blackboard_Z</annotation></semantics></math> as an even function; thus <math alttext="\Lambda(n)=\log p" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m3.1"><semantics id="footnote1.m3.1b"><mrow id="footnote1.m3.1.2" xref="footnote1.m3.1.2.cmml"><mrow id="footnote1.m3.1.2.2" xref="footnote1.m3.1.2.2.cmml"><mi id="footnote1.m3.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="footnote1.m3.1.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="footnote1.m3.1.2.2.1" xref="footnote1.m3.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="footnote1.m3.1.2.2.3.2" xref="footnote1.m3.1.2.2.cmml"><mo id="footnote1.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="footnote1.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="footnote1.m3.1.1" xref="footnote1.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="footnote1.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="footnote1.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="footnote1.m3.1.2.1" xref="footnote1.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="footnote1.m3.1.2.3" xref="footnote1.m3.1.2.3.cmml"><mi id="footnote1.m3.1.2.3.1" xref="footnote1.m3.1.2.3.1.cmml">log</mi><mo id="footnote1.m3.1.2.3b" lspace="0.167em" xref="footnote1.m3.1.2.3.cmml"></mo><mi id="footnote1.m3.1.2.3.2" xref="footnote1.m3.1.2.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m3.1c"><apply id="footnote1.m3.1.2.cmml" xref="footnote1.m3.1.2"><eq id="footnote1.m3.1.2.1.cmml" xref="footnote1.m3.1.2.1"></eq><apply id="footnote1.m3.1.2.2.cmml" xref="footnote1.m3.1.2.2"><times id="footnote1.m3.1.2.2.1.cmml" xref="footnote1.m3.1.2.2.1"></times><ci id="footnote1.m3.1.2.2.2.cmml" xref="footnote1.m3.1.2.2.2">Λ</ci><ci id="footnote1.m3.1.1.cmml" xref="footnote1.m3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="footnote1.m3.1.2.3.cmml" xref="footnote1.m3.1.2.3"><log id="footnote1.m3.1.2.3.1.cmml" xref="footnote1.m3.1.2.3.1"></log><ci id="footnote1.m3.1.2.3.2.cmml" xref="footnote1.m3.1.2.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m3.1d">\Lambda(n)=\log p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m3.1e">roman_Λ ( italic_n ) = roman_log italic_p</annotation></semantics></math> if <math alttext="|n|=p^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m4.1"><semantics id="footnote1.m4.1b"><mrow id="footnote1.m4.1.2" xref="footnote1.m4.1.2.cmml"><mrow id="footnote1.m4.1.2.2.2" xref="footnote1.m4.1.2.2.1.cmml"><mo id="footnote1.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="footnote1.m4.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="footnote1.m4.1.1" xref="footnote1.m4.1.1.cmml">n</mi><mo id="footnote1.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="footnote1.m4.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="footnote1.m4.1.2.1" xref="footnote1.m4.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="footnote1.m4.1.2.3" xref="footnote1.m4.1.2.3.cmml"><mi id="footnote1.m4.1.2.3.2" xref="footnote1.m4.1.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="footnote1.m4.1.2.3.3" xref="footnote1.m4.1.2.3.3.cmml">j</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m4.1c"><apply id="footnote1.m4.1.2.cmml" xref="footnote1.m4.1.2"><eq id="footnote1.m4.1.2.1.cmml" xref="footnote1.m4.1.2.1"></eq><apply id="footnote1.m4.1.2.2.1.cmml" xref="footnote1.m4.1.2.2.2"><abs id="footnote1.m4.1.2.2.1.1.cmml" xref="footnote1.m4.1.2.2.2.1"></abs><ci id="footnote1.m4.1.1.cmml" xref="footnote1.m4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="footnote1.m4.1.2.3.cmml" xref="footnote1.m4.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote1.m4.1.2.3.1.cmml" xref="footnote1.m4.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="footnote1.m4.1.2.3.2.cmml" xref="footnote1.m4.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="footnote1.m4.1.2.3.3.cmml" xref="footnote1.m4.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m4.1d">|n|=p^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m4.1e">| italic_n | = italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for some prime <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m5.1"><semantics id="footnote1.m5.1b"><mi id="footnote1.m5.1.1" xref="footnote1.m5.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m5.1c"><ci id="footnote1.m5.1.1.cmml" xref="footnote1.m5.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m5.1d">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m5.1e">italic_p</annotation></semantics></math> and some <math alttext="j\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m6.1"><semantics id="footnote1.m6.1b"><mrow id="footnote1.m6.1.1" xref="footnote1.m6.1.1.cmml"><mi id="footnote1.m6.1.1.2" xref="footnote1.m6.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="footnote1.m6.1.1.1" xref="footnote1.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="footnote1.m6.1.1.3" xref="footnote1.m6.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m6.1c"><apply id="footnote1.m6.1.1.cmml" xref="footnote1.m6.1.1"><in id="footnote1.m6.1.1.1.cmml" xref="footnote1.m6.1.1.1"></in><ci id="footnote1.m6.1.1.2.cmml" xref="footnote1.m6.1.1.2">𝑗</ci><ci id="footnote1.m6.1.1.3.cmml" xref="footnote1.m6.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m6.1d">j\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m6.1e">italic_j ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\Lambda(n)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m7.1"><semantics id="footnote1.m7.1b"><mrow id="footnote1.m7.1.2" xref="footnote1.m7.1.2.cmml"><mrow id="footnote1.m7.1.2.2" xref="footnote1.m7.1.2.2.cmml"><mi id="footnote1.m7.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="footnote1.m7.1.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="footnote1.m7.1.2.2.1" xref="footnote1.m7.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="footnote1.m7.1.2.2.3.2" xref="footnote1.m7.1.2.2.cmml"><mo id="footnote1.m7.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="footnote1.m7.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="footnote1.m7.1.1" xref="footnote1.m7.1.1.cmml">n</mi><mo id="footnote1.m7.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="footnote1.m7.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="footnote1.m7.1.2.1" xref="footnote1.m7.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="footnote1.m7.1.2.3" xref="footnote1.m7.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m7.1c"><apply id="footnote1.m7.1.2.cmml" xref="footnote1.m7.1.2"><eq id="footnote1.m7.1.2.1.cmml" xref="footnote1.m7.1.2.1"></eq><apply id="footnote1.m7.1.2.2.cmml" xref="footnote1.m7.1.2.2"><times id="footnote1.m7.1.2.2.1.cmml" xref="footnote1.m7.1.2.2.1"></times><ci id="footnote1.m7.1.2.2.2.cmml" xref="footnote1.m7.1.2.2.2">Λ</ci><ci id="footnote1.m7.1.1.cmml" xref="footnote1.m7.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="footnote1.m7.1.2.3.cmml" type="integer" xref="footnote1.m7.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m7.1d">\Lambda(n)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m7.1e">roman_Λ ( italic_n ) = 0</annotation></semantics></math> otherwise.</span></span></span>, then there is an asymptotic formula for the count</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx1"> <tbody id="S1.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\sum_{m\leq N}\Lambda(n+P_{1}(% m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E1.m1.4"><semantics id="S1.E1.m1.4a"><mrow id="S1.E1.m1.4.4" xref="S1.E1.m1.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E1.m1.4.4.4" xref="S1.E1.m1.4.4.4.cmml"><mfrac id="S1.E1.m1.4.4.4a" xref="S1.E1.m1.4.4.4.cmml"><mn id="S1.E1.m1.4.4.4.2" xref="S1.E1.m1.4.4.4.2.cmml">1</mn><msup id="S1.E1.m1.4.4.4.3" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.4.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.E1.m1.4.4.4.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.1" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.E1.m1.4.4.3" xref="S1.E1.m1.4.4.3.cmml"></mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E1.m1.4.4.2.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.cmml"><munder id="S1.E1.m1.4.4.2.3a" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.1" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.cmml"><munder id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3a" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.1" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3a" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3b" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3c" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.2.2" xref="S1.E1.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.4b"><apply id="S1.E1.m1.4.4.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4"><times id="S1.E1.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.3"></times><apply id="S1.E1.m1.4.4.4.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.4"><divide id="S1.E1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.4"></divide><cn id="S1.E1.m1.4.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.4.4.4.2">1</cn><apply id="S1.E1.m1.4.4.4.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.2">𝑁</ci><apply id="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.3"><plus id="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.1"></plus><ci id="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.2">𝑑</ci><cn id="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.4.4.4.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2"><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.E1.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.2"></sum><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3"><leq id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2"><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.2"></sum><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3"><leq id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2"><times id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.3"></times><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.4.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.4">Λ</ci><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.E1.m1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.5.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.5">⋯</ci><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.6.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.6">Λ</ci><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1"><plus id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.E1.m1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.4c">\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\sum_{m\leq N}\Lambda(n+P_{1}(% m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.4d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p2.6">of polynomial patterns in the primes, provided that <math alttext="P_{i}-P_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p2.3.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p2.3.m1.1a"><mrow id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.cmml"><msub id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.2" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.3" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.1" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p2.3.m1.1b"><apply id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1"><minus id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.1"></minus><apply id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p2.3.m1.1c">P_{i}-P_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p2.3.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has degree <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p2.4.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p2.4.m2.1a"><mi id="S1.SS1.p2.4.m2.1.1" xref="S1.SS1.p2.4.m2.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p2.4.m2.1b"><ci id="S1.SS1.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.4.m2.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p2.4.m2.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p2.4.m2.1d">italic_d</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq i<j\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p2.5.m3.1"><semantics id="S1.SS1.p2.5.m3.1a"><mrow id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.cmml"><mn id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.2" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.3" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.4" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.5" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.6" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.6.cmml">j</mi><mo id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.7" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.8" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.8.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p2.5.m3.1b"><apply id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1"><and id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1a.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1"></and><apply id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1b.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1"><leq id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.3"></leq><cn id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.2">1</cn><ci id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.4.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1c.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1"><lt id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.5.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS1.p2.5.m3.1.1.4.cmml" id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1d.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1"></share><ci id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.6.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.6">𝑗</ci></apply><apply id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1e.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1"><leq id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.7.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS1.p2.5.m3.1.1.6.cmml" id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1f.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1"></share><ci id="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.8.cmml" xref="S1.SS1.p2.5.m3.1.1.8">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p2.5.m3.1c">1\leq i<j\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p2.5.m3.1d">1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k</annotation></semantics></math>. This generalised the work of Green, Tao and Ziegler <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> that handled the case of linear polynomials <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p2.6.m4.1"><semantics id="S1.SS1.p2.6.m4.1a"><msub id="S1.SS1.p2.6.m4.1.1" xref="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.2" xref="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.3" xref="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p2.6.m4.1b"><apply id="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p2.6.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p2.6.m4.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p2.6.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p3.1">The results in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib19" title="">19</a>]</cite> are qualitative in nature, as they rely on the Gowers uniformity result for the von Mangoldt function from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> (which is based on the qualitative Green–Tao–Ziegler <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> inverse theorem for the Gowers norms). Subsequently, a quantitative bound for the Gowers norms of the primes was established in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib18" title="">18</a>]</cite> (using a quantitative inverse theorem for the Gowers norms due to Manners <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>). Very recently, Leng <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> made a substantial improvement to this result, obtaining arbitrary power of logarithm savings (using the quasipolynomial inverse theorem of Leng, Sah and Sawhney <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>). Leng applied his result in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> to give an asymptotic formula, with arbitrary power of logarithm savings, for the count (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.E1" title="In 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a>) in the case of linear polynomials.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p4.4">In the case where the <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p4.1.m1.1a"><msub id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p4.1.m1.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p4.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are not all linear polynomials, we are only aware of quantitative results in the case <math alttext="k\leq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S1.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.1" xref="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.2.m2.1.1"><leq id="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.1"></leq><ci id="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p4.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p4.2.m2.1c">k\leq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p4.2.m2.1d">italic_k ≤ 2</annotation></semantics></math> where classical Fourier analysis applies. Zhou <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib22" title="">22</a>]</cite> handled the case of the polynomials <math alttext="\{0,y^{d}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p4.3.m3.2"><semantics id="S1.SS1.p4.3.m3.2a"><mrow id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.2.cmml">{</mo><mn id="S1.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S1.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.3" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p4.3.m3.2b"><set id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1"><cn id="S1.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p4.3.m3.1.1">0</cn><apply id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p4.3.m3.2c">\{0,y^{d}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p4.3.m3.2d">{ 0 , italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> for any <math alttext="d\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S1.SS1.p4.4.m4.1a"><mrow id="S1.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.1" xref="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.3" xref="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p4.4.m4.1b"><apply id="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.4.m4.1.1"><in id="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p4.4.m4.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p4.4.m4.1c">d\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p4.4.m4.1d">italic_d ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> with savings of an arbitrary power of logarithm. See also <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> for results of this type.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p5.4">When it comes to a qualitative asymptotic formula for (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.E1" title="In 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a>), it is only known in the aforementioned case when <math alttext="P_{i}-P_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.1" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1"><minus id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.1"></minus><apply id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p5.1.m1.1c">P_{i}-P_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p5.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has degree <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p5.2.m2.1a"><mi id="S1.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p5.2.m2.1b"><ci id="S1.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.2.m2.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p5.2.m2.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p5.2.m2.1d">italic_d</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq i<j\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S1.SS1.p5.3.m3.1a"><mrow id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.2" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.3" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.4" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.5" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.6" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.6.cmml">j</mi><mo id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.7" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.8" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.8.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p5.3.m3.1b"><apply id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1"><and id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1a.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1"></and><apply id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1b.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1"><leq id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.3"></leq><cn id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.2">1</cn><ci id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1c.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1"><lt id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS1.p5.3.m3.1.1.4.cmml" id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1d.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1"></share><ci id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.6">𝑗</ci></apply><apply id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1e.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1"><leq id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.7.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.SS1.p5.3.m3.1.1.6.cmml" id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1f.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1"></share><ci id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.8.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.8">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p5.3.m3.1c">1\leq i<j\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p5.3.m3.1d">1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k</annotation></semantics></math> and a few additional cases with <math alttext="k\leq 4" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S1.SS1.p5.4.m4.1a"><mrow id="S1.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.2" xref="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.1" xref="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.3" xref="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.4.m4.1.1"><leq id="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.1"></leq><ci id="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p5.4.m4.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p5.4.m4.1c">k\leq 4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p5.4.m4.1d">italic_k ≤ 4</annotation></semantics></math> (given in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib20" title="">20</a>, Theorem 5 and Remark 2]</cite>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p6.1">The purpose of this paper is to give a quantitative asymptotic formula for the count (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.E1" title="In 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a>) for a large class of polynomials. We obtain arbitrary power of logarithm savings, as in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, which is the best one can hope for in the absence of an improvement to the Siegel–Walfisz theorem<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span>For example in the case of the polynomials <math alttext="0,y,2y" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m1.3"><semantics id="footnote2.m1.3b"><mrow id="footnote2.m1.3.3.1" xref="footnote2.m1.3.3.2.cmml"><mn id="footnote2.m1.1.1" xref="footnote2.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="footnote2.m1.3.3.1.2" xref="footnote2.m1.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="footnote2.m1.2.2" xref="footnote2.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="footnote2.m1.3.3.1.3" xref="footnote2.m1.3.3.2.cmml">,</mo><mrow id="footnote2.m1.3.3.1.1" xref="footnote2.m1.3.3.1.1.cmml"><mn id="footnote2.m1.3.3.1.1.2" xref="footnote2.m1.3.3.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="footnote2.m1.3.3.1.1.1" xref="footnote2.m1.3.3.1.1.1.cmml"></mo><mi id="footnote2.m1.3.3.1.1.3" xref="footnote2.m1.3.3.1.1.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m1.3c"><list id="footnote2.m1.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m1.3.3.1"><cn id="footnote2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="footnote2.m1.1.1">0</cn><ci id="footnote2.m1.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.2">𝑦</ci><apply id="footnote2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="footnote2.m1.3.3.1.1"><times id="footnote2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m1.3.3.1.1.1"></times><cn id="footnote2.m1.3.3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="footnote2.m1.3.3.1.1.2">2</cn><ci id="footnote2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m1.3.3.1.1.3">𝑦</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m1.3d">0,y,2y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m1.3e">0 , italic_y , 2 italic_y</annotation></semantics></math>, it should be possible (e.g. following the approach in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>) to extract the contribution of a Siegel zero to the main term, with the conclusion that any improvement to the error term beyond an arbitrary power of logarithm would lead to an improvement to Siegel’s theorem and hence to the Siegel–Walfisz theorem. We will not pursue the details of this, however.</span></span></span>. The class of polynomials we can handle is the same for which qualitative results were obtained in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="S1.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem1.2.2"> </span>(Quantitative polynomial patterns in the primes)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheorem1.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7">Let <math alttext="k,d\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">d</mi></mrow><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3"><in id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><list id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2">𝑑</ci></list><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2c">k,d\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2d">italic_k , italic_d ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> be fixed, and let <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.4" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4"><in id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3"></in><list id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4"><times id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.1"></times><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4c">P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> be fixed. Let <math alttext="\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.cmml"><mn id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1a" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2"><eq id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2">subscript</csymbol><max id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2"></max><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><and id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3a.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"></and><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3b.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><leq id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3"></leq><cn id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2">1</cn><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3c.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><leq id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml" id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3d.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"></share><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2c">\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math> and suppose that <math alttext="\deg(P_{i}-P_{j})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2"><semantics id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1a" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2b"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2"><eq id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2"></eq><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1"><minus id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2c">\deg(P_{i}-P_{j})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2d">roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq i<j\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.4" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.5" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.6" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.6.cmml">j</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.7" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.8" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.8.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1"><and id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1a.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1"></and><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1b.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1"><leq id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.3"></leq><cn id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.2">1</cn><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1c.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1"><lt id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.4.cmml" id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1d.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1"></share><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.6">𝑗</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1e.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1"><leq id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.7.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.6.cmml" id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1f.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1"></share><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.8.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.8">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1c">1\leq i<j\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1d">1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k</annotation></semantics></math>. Then, for any <math alttext="N\geq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"><geq id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1"></geq><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1c">N\geq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1d">italic_N ≥ 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="A>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1"><gt id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1"></gt><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1c">A>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1d">italic_A > 0</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx2"> <tbody id="S1.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\sum_{m\leq N}\Lambda(n+P_{1}(% m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))=\prod_{p}\beta_{p}+O_{A}((\log N)^{-A})," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E2.m1.3"><semantics id="S1.E2.m1.3a"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.cmml"><mfrac id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4a" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.cmml"><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><msup id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><munder id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3a" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><munder id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3a" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.1.1" xref="S1.E2.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3a" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3b" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3c" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.4" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1a" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><msub id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><msub id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3a" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.3b"><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1"><eq id="S1.E2.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.4"></eq><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2"><times id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3"></times><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4"><divide id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4"></divide><cn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.2">1</cn><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.2">𝑁</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3"><plus id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.1"></plus><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.2">𝑑</ci><cn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.4.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2"><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.2"></sum><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3"><leq id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2"><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2"></sum><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3"><leq id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><times id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3"></times><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4">Λ</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.E2.m1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5">⋯</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.6.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.6">Λ</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1"><plus id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.E2.m1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.2"></plus><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3"><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.2">product</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.3.2.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1"><times id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2"></times><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><log id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3"><minus id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m1.3c">\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\sum_{m\leq N}\Lambda(n+P_{1}(% m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))=\prod_{p}\beta_{p}+O_{A}((\log N)^{-A}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.3d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheorem1.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheorem1.p1.9.1">where</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx3"> <tbody id="S1.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{p}\coloneqq\mathbb{E}_{m,n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_% {j=1}^{k}\Lambda_{p}(n+P_{j}(m))," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex1.m1.4"><semantics id="S1.Ex1.m1.4a"><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">β</mi><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.2.4.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2.1.cmml">/</mo><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.1.cmml"></mo><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex1.m1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex1.m1.4b"><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1"><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2">≔</ci><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2">𝛽</ci><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1"><times id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2"><in id="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.3"></in><list id="S1.Ex1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2">𝑛</ci></list><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5"><times id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.1"></times><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.2.5.2.cmml" 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id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">Λ</ci><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S1.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex1.m1.4c">\displaystyle\beta_{p}\coloneqq\mathbb{E}_{m,n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_% {j=1}^{k}\Lambda_{p}(n+P_{j}(m)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex1.m1.4d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ≔ blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheorem1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1">and the local von Mangoldt function <math alttext="\Lambda_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1"><semantics id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1a"><msub id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1" xref="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mi id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1b"><apply id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.2">Λ</ci><ci id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1c">\Lambda_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem1.p1.8.1.m1.1d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx4"> <tbody id="S1.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Lambda_{p}(n)\coloneqq\frac{p}{p-1}1_{n\not\equiv 0\pmod{p}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E3.m1.4"><semantics id="S1.E3.m1.4a"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.3.3" xref="S1.E3.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2a" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.3" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"></mo><msub id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S1.E3.m1.2.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.2.4" xref="S1.E3.m1.2.2.2.4.cmml">n</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.3" xref="S1.E3.m1.2.2.2.3.cmml">≢</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.2.5" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.cmml"><mn id="S1.E3.m1.2.2.2.5.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.2.cmml">0</mn><mspace id="S1.E3.m1.2.2.2.5a" width="0.949em" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.cmml"></mspace><mrow id="S1.E3.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">p</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E3.m1.4b"><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1"><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.1">≔</ci><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2"><times id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2">Λ</ci><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3"><times id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2"><divide id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2"></divide><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝑝</ci><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3"><minus id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><cn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S1.E3.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.3">not-equivalent-to</csymbol><ci id="S1.E3.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.4">𝑛</ci><apply id="S1.E3.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="latexml" id="S1.E3.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5">annotated</csymbol><cn id="S1.E3.m1.2.2.2.5.2.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.2">0</cn><apply id="S1.E3.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.2.2"><ci id="S1.E3.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E3.m1.4c">\displaystyle\Lambda_{p}(n)\coloneqq\frac{p}{p-1}1_{n\not\equiv 0\pmod{p}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E3.m1.4d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ≔ divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_p - 1 end_ARG 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≢ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_p end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p7.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.SS1.p7.1.1">Remarks.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p8"> <ul class="ltx_itemize" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.8">By <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib19" title="">19</a>, Lemma 9.5]</cite>, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx5"> <tbody id="S1.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{p}=1+O(1/p^{2})," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E4.m1.1"><semantics id="S1.E4.m1.1a"><mrow id="S1.E4.m1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E4.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mi id="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.E4.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><msup id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E4.m1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E4.m1.1b"><apply id="S1.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1"><eq id="S1.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.2">𝛽</ci><ci id="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><cn id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><cn id="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E4.m1.1c">\displaystyle\beta_{p}=1+O(1/p^{2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E4.m1.1d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = 1 + italic_O ( 1 / italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.7">since all large enough primes <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_p</annotation></semantics></math> are “good” in the sense of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib19" title="">19</a>, Definition 9.4]</cite>. This implies that the product <math alttext="\prod_{p}\beta_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><msub id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">β</mi><mi id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1"><apply id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2">product</csymbol><ci id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝛽</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1c">\prod_{p}\beta_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is convergent. Thus <math alttext="\prod_{p}\beta_{p}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><msub id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.3" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.3.cmml">p</mi></msub><msub id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1"><gt id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1"></gt><apply id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2"><apply id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.2">product</csymbol><ci id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.3">𝑝</ci></apply></apply><cn id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1c">\prod_{p}\beta_{p}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.3.m3.1d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> unless there exists a prime <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.4.m4.1a"><mi id="S1.I1.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.4.m4.1b"><ci id="S1.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.4.m4.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.4.m4.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.4.m4.1d">italic_p</annotation></semantics></math> such that for all <math alttext="m,n\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2"><semantics id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2a"><mrow id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.cmml"><mrow id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.2.2.1" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.1" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.3" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2b"><apply id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3"><in id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.1"></in><list id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.2.2"><ci id="S1.I1.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.1.1">𝑚</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.2">𝑛</ci></list><ci id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.5.m5.2.3.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2c">m,n\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.5.m5.2d">italic_m , italic_n ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math> at least one of <math alttext="n+P_{1}(m),\ldots,n+P_{k}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5"><semantics id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5a"><mrow id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.3.cmml"><mrow id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.1" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.3.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.6.m6.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.6.m6.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.3.3.cmml">…</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.4" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.3.cmml">,</mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.1" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.cmml"><msub id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.1" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.3.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.6.m6.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5b"><list id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2"><apply id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1"><plus id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.1"></plus><ci id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3"><times id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.4.4.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.I1.i1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.I1.i1.p1.6.m6.3.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.3.3">…</ci><apply id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2"><plus id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.1"></plus><ci id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3"><times id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.1"></times><apply id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.5.5.2.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.I1.i1.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.6.m6.2.2">𝑚</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5c">n+P_{1}(m),\ldots,n+P_{k}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.6.m6.5d">italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) , … , italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m )</annotation></semantics></math> is divisible by <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.7.m7.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.7.m7.1a"><mi id="S1.I1.i1.p1.7.m7.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.7.m7.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.7.m7.1b"><ci id="S1.I1.i1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.7.m7.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.7.m7.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.7.m7.1d">italic_p</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.1">The result of Tao and Ziegler <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib20" title="">20</a>]</cite> also works for multivariate polynomials. If Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> below could be extended to multivariate polynomials, then it seems likely that Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1" title="Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> could also be extended to them.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p9"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p9.1">We also prove a similar quantitative bound for averages of the Möbius function<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote3"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">3</span>For convenience, we define <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m1.1"><semantics id="footnote3.m1.1b"><mi id="footnote3.m1.1.1" xref="footnote3.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m1.1c"><ci id="footnote3.m1.1.1.cmml" xref="footnote3.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m1.1d">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m1.1e">italic_μ</annotation></semantics></math> on all of <math alttext="\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m2.1"><semantics id="footnote3.m2.1b"><mi id="footnote3.m2.1.1" xref="footnote3.m2.1.1.cmml">ℤ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m2.1c"><ci id="footnote3.m2.1.1.cmml" xref="footnote3.m2.1.1">ℤ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m2.1d">\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m2.1e">blackboard_Z</annotation></semantics></math> as an even function; thus, <math alttext="\mu(n)=(-1)^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m3.2"><semantics id="footnote3.m3.2b"><mrow id="footnote3.m3.2.2" xref="footnote3.m3.2.2.cmml"><mrow id="footnote3.m3.2.2.3" xref="footnote3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="footnote3.m3.2.2.3.2" xref="footnote3.m3.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="footnote3.m3.2.2.3.1" xref="footnote3.m3.2.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="footnote3.m3.2.2.3.3.2" xref="footnote3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="footnote3.m3.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="footnote3.m3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="footnote3.m3.1.1" xref="footnote3.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="footnote3.m3.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="footnote3.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="footnote3.m3.2.2.2" xref="footnote3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><msup id="footnote3.m3.2.2.1" xref="footnote3.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="footnote3.m3.2.2.1.1.1" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnote3.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1b" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="footnote3.m3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="footnote3.m3.2.2.1.3" xref="footnote3.m3.2.2.1.3.cmml">k</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m3.2c"><apply id="footnote3.m3.2.2.cmml" xref="footnote3.m3.2.2"><eq id="footnote3.m3.2.2.2.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.2"></eq><apply id="footnote3.m3.2.2.3.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.3"><times id="footnote3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.3.1"></times><ci id="footnote3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.3.2">𝜇</ci><ci id="footnote3.m3.1.1.cmml" xref="footnote3.m3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="footnote3.m3.2.2.1.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1"><minus id="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1"></minus><cn id="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="footnote3.m3.2.2.1.1.1.1.2">1</cn></apply><ci id="footnote3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="footnote3.m3.2.2.1.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m3.2d">\mu(n)=(-1)^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m3.2e">italic_μ ( italic_n ) = ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> if <math alttext="|n|" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m4.1"><semantics id="footnote3.m4.1b"><mrow id="footnote3.m4.1.2.2" xref="footnote3.m4.1.2.1.cmml"><mo id="footnote3.m4.1.2.2.1" stretchy="false" xref="footnote3.m4.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="footnote3.m4.1.1" xref="footnote3.m4.1.1.cmml">n</mi><mo id="footnote3.m4.1.2.2.2" stretchy="false" xref="footnote3.m4.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m4.1c"><apply id="footnote3.m4.1.2.1.cmml" xref="footnote3.m4.1.2.2"><abs id="footnote3.m4.1.2.1.1.cmml" xref="footnote3.m4.1.2.2.1"></abs><ci id="footnote3.m4.1.1.cmml" xref="footnote3.m4.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m4.1d">|n|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m4.1e">| italic_n |</annotation></semantics></math> is the product of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m5.1"><semantics id="footnote3.m5.1b"><mi id="footnote3.m5.1.1" xref="footnote3.m5.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m5.1c"><ci id="footnote3.m5.1.1.cmml" xref="footnote3.m5.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m5.1d">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m5.1e">italic_k</annotation></semantics></math> distinct primes and <math alttext="\mu(n)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m6.1"><semantics id="footnote3.m6.1b"><mrow id="footnote3.m6.1.2" xref="footnote3.m6.1.2.cmml"><mrow id="footnote3.m6.1.2.2" xref="footnote3.m6.1.2.2.cmml"><mi id="footnote3.m6.1.2.2.2" xref="footnote3.m6.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="footnote3.m6.1.2.2.1" xref="footnote3.m6.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="footnote3.m6.1.2.2.3.2" xref="footnote3.m6.1.2.2.cmml"><mo id="footnote3.m6.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="footnote3.m6.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="footnote3.m6.1.1" xref="footnote3.m6.1.1.cmml">n</mi><mo id="footnote3.m6.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="footnote3.m6.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="footnote3.m6.1.2.1" xref="footnote3.m6.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="footnote3.m6.1.2.3" xref="footnote3.m6.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m6.1c"><apply id="footnote3.m6.1.2.cmml" xref="footnote3.m6.1.2"><eq id="footnote3.m6.1.2.1.cmml" xref="footnote3.m6.1.2.1"></eq><apply id="footnote3.m6.1.2.2.cmml" xref="footnote3.m6.1.2.2"><times id="footnote3.m6.1.2.2.1.cmml" xref="footnote3.m6.1.2.2.1"></times><ci id="footnote3.m6.1.2.2.2.cmml" xref="footnote3.m6.1.2.2.2">𝜇</ci><ci id="footnote3.m6.1.1.cmml" xref="footnote3.m6.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="footnote3.m6.1.2.3.cmml" type="integer" xref="footnote3.m6.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m6.1d">\mu(n)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m6.1e">italic_μ ( italic_n ) = 0</annotation></semantics></math> if <math alttext="|n|" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m7.1"><semantics id="footnote3.m7.1b"><mrow id="footnote3.m7.1.2.2" xref="footnote3.m7.1.2.1.cmml"><mo id="footnote3.m7.1.2.2.1" stretchy="false" xref="footnote3.m7.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="footnote3.m7.1.1" xref="footnote3.m7.1.1.cmml">n</mi><mo id="footnote3.m7.1.2.2.2" stretchy="false" xref="footnote3.m7.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m7.1c"><apply id="footnote3.m7.1.2.1.cmml" xref="footnote3.m7.1.2.2"><abs id="footnote3.m7.1.2.1.1.cmml" xref="footnote3.m7.1.2.2.1"></abs><ci id="footnote3.m7.1.1.cmml" xref="footnote3.m7.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m7.1d">|n|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m7.1e">| italic_n |</annotation></semantics></math> is not squarefree.</span></span></span> <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p9.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p9.1.m1.1a"><mi id="S1.SS1.p9.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p9.1.m1.1b"><ci id="S1.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p9.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p9.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p9.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> along a larger class of polynomial progressions.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="S1.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 1.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem2.2.2"> </span>(Quantitative polynomial patterns with Möbius weight)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheorem2.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8">Let <math alttext="k,d\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.2.cmml">d</mi></mrow><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3"><in id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><list id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.2">𝑑</ci></list><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2c">k,d\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2d">italic_k , italic_d ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> be fixed, and let <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.4" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4"><in id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.3"></in><list id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4"><times id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.1"></times><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4c">P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> be fixed. Let <math alttext="\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.cmml"><mn id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1a" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2"><eq id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2">subscript</csymbol><max id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2"></max><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><and id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3a.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"></and><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3b.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><leq id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3"></leq><cn id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2">1</cn><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3c.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><leq id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml" id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3d.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"></share><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2c">\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math>. Suppose that there exists <math alttext="1\leq\ell\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.4.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.5" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.6" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.6.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1"><and id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1a.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1"></and><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1b.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1"><leq id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.3"></leq><cn id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.2">1</cn><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.4">ℓ</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1c.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1"><leq id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.4.cmml" id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1d.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1"></share><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.6.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.6">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1c">1\leq\ell\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1d">1 ≤ roman_ℓ ≤ italic_k</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\deg(P_{\ell}-P_{i})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2"><semantics id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1a" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2b"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2"><eq id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.2"></eq><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1"><minus id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3">ℓ</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2c">\deg(P_{\ell}-P_{i})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.2d">roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i\neq\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">ℓ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1"><neq id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.1"></neq><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.3">ℓ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1c">i\neq\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1d">italic_i ≠ roman_ℓ</annotation></semantics></math>. Then, for any <math alttext="N\geq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1"><geq id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1"></geq><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1c">N\geq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1d">italic_N ≥ 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="A>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1"><gt id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.1"></gt><ci id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1c">A>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1d">italic_A > 0</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx6"> <tbody id="S1.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\sum_{m\leq N}\mu(n+P_{1% }(m))\cdots\mu(n+P_{k}(m))\right|\ll_{A}(\log N)^{-A}." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex2.m1.3"><semantics id="S1.Ex2.m1.3a"><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4a" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.cmml">1</mn><msup id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><munder id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><munder id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex2.m1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3a" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3b" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.6" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.6.cmml">μ</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3c" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex2.m1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><msub id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3a" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex2.m1.3b"><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1"><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1"><abs id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4"><divide id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4"></divide><cn id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑁</ci><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3"><plus id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.1"></plus><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.2">𝑑</ci><cn id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2"></sum><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3"><leq id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2"></sum><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><leq id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3"></times><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.4">𝜇</ci><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.5">⋯</ci><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.6.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.6">𝜇</ci><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"><plus id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1"><log id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></log><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3"><minus id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3"></minus><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex2.m1.3c">\displaystyle\left|\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\sum_{m\leq N}\mu(n+P_{1% }(m))\cdots\mu(n+P_{k}(m))\right|\ll_{A}(\log N)^{-A}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex2.m1.3d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p10"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p10.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.SS1.p10.1.1">Remarks.</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S1.I2"> <li class="ltx_item" id="S1.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I2.i1.p1.2">Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem2" title="Theorem 1.2 (Quantitative polynomial patterns with Möbius weight). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a> holds equally well with the Liouville function <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I2.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.I2.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I2.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I2.i1.p1.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I2.i1.p1.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I2.i1.p1.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> in place of the Möbius function <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I2.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.I2.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S1.I2.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I2.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S1.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.I2.i1.p1.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I2.i1.p1.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I2.i1.p1.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>. This follows from the same proof along with Remark <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem2" title="Remark 4.2. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I2.i2.p1.3">Note that in Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem2" title="Theorem 1.2 (Quantitative polynomial patterns with Möbius weight). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a> we can allow some of the polynomials to differ only by a constant (or even to be equal). Thus, for example, if <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k-1}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4"><semantics id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4a"><mrow id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><msub id="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.I2.i2.p1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.4" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.1" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.3" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.2" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.1" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.2" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.I2.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4b"><apply id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4"><in id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.3"></in><list id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2"><apply id="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.I2.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.2.2">…</ci><apply id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3"><minus id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.1"></minus><ci id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></list><apply id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4"><times id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.1"></times><ci id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.1.m1.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4c">P_{1},\ldots,P_{k-1}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I2.i2.p1.1.m1.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> are any polynomials of degree at most <math alttext="d-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1"><minus id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.1"></minus><ci id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.I2.i2.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1c">d-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I2.i2.p1.2.m2.1d">italic_d - 1</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\{P_{1},\ldots,P_{k-1},y^{d}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4"><semantics id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4a"><mrow id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.4.cmml"><mo id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.4" stretchy="false" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.4.cmml">{</mo><msub id="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.5" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.4.cmml">,</mo><mi id="S1.I2.i2.p1.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.6" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.4.cmml">,</mo><msub id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.2" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.1" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.3" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.7" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.4.cmml">,</mo><msup id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.cmml"><mi id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.2" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.2.cmml">y</mi><mi id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.3" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.8" stretchy="false" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.4.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4b"><set id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.4.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3"><apply id="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.I2.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.1.1">…</ci><apply id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3"><minus id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.1"></minus><ci id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.1.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.2.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.2">𝑦</ci><ci id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.3.cmml" xref="S1.I2.i2.p1.3.m3.4.4.3.3.3">𝑑</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4c">\{P_{1},\ldots,P_{k-1},y^{d}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I2.i2.p1.3.m3.4d">{ italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> is a valid collection for this theorem.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p11"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p11.2">As far as we are aware, Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem2" title="Theorem 1.2 (Quantitative polynomial patterns with Möbius weight). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a> gives the first quantitative bounds for the averages of the Möbius function along polynomial progressions with non-linear polynomials (and more than two polynomials). Tao and Ziegler stated that their method in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib20" title="">20</a>]</cite> works for giving qualitative cancellation for averages of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p11.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p11.1.m1.1a"><mi id="S1.SS1.p11.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p11.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p11.1.m1.1b"><ci id="S1.SS1.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p11.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p11.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p11.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> along polynomial progressions in the same cases where they handled the von Mangoldt weight. Qualitative cancellation for averages of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p11.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p11.2.m2.1a"><mi id="S1.SS1.p11.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p11.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p11.2.m2.1b"><ci id="S1.SS1.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p11.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p11.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p11.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> over general polynomial progressions (with no two polynomials differing by a constant) was subsequently proved in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib15" title="">15</a>, Theorem 1.10]</cite>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">1.2. </span>One-dimensional averages</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p1.3">It turns out that we can give quantitative estimates not only for the double averages (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.E1" title="In 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a>), but also for the single averages</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx7"> <tbody id="S1.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n\leq N^{d}}\Lambda(n+P_{1}(m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))% \quad\textnormal{and}\quad\sum_{m\leq N}\Lambda(n+P_{1}(m))\cdots\Lambda(n+P_{% k}(m))" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex3.m1.7"><semantics id="S1.Ex3.m1.7a"><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.3.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.cmml"><munder id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3a" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.4" mathvariant="normal" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3a" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3b" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.6" mathvariant="normal" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3c" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.2.2" xref="S1.Ex3.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S1.Ex3.m1.7.7.2.3" width="1em" xref="S1.Ex3.m1.7.7.3.cmml"></mspace><mtext id="S1.Ex3.m1.5.5" xref="S1.Ex3.m1.5.5a.cmml">and</mtext><mspace id="S1.Ex3.m1.7.7.2.4" width="1em" xref="S1.Ex3.m1.7.7.3.cmml"></mspace><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.cmml"><munder id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3a" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.3.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3a" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3b" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3c" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.4.4" xref="S1.Ex3.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex3.m1.7b"><list id="S1.Ex3.m1.7.7.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2"><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1"><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.2"></sum><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3"><leq id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2"><times id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.3"></times><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.4">Λ</ci><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1"><plus id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.5.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.5">⋯</ci><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.6.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.6">Λ</ci><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1"><plus id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S1.Ex3.m1.5.5a.cmml" xref="S1.Ex3.m1.5.5"><mtext id="S1.Ex3.m1.5.5.cmml" xref="S1.Ex3.m1.5.5">and</mtext></ci><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2"><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.2"></sum><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3"><leq id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3"></times><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.4">Λ</ci><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1"><plus id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.5.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.5">⋯</ci><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.6.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.6">Λ</ci><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1"><plus id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex3.m1.7c">\displaystyle\sum_{n\leq N^{d}}\Lambda(n+P_{1}(m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))% \quad\textnormal{and}\quad\sum_{m\leq N}\Lambda(n+P_{1}(m))\cdots\Lambda(n+P_{% k}(m))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex3.m1.7d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) and ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p1.2">for almost all <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.2" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.1" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2"><in id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p1.1.m1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p1.1.m1.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p1.1.m1.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> (respectively, for almost all <math alttext="n\in[N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1"><in id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.2"></in><ci id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p1.2.m2.1c">n\in[N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p1.2.m2.1d">italic_n ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>). This follows from the following theorem, from which Theorems <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1" title="Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem2" title="Theorem 1.2 (Quantitative polynomial patterns with Möbius weight). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a> will be deduced.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="S1.Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem3.1.1.1">Theorem 1.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheorem3.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5">Let <math alttext="k,d\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.cmml">d</mi></mrow><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3"><in id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><list id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2">𝑑</ci></list><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2c">k,d\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2d">italic_k , italic_d ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> be fixed, and let <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.4" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4"><in id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.3"></in><list id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4"><times id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.1"></times><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4c">P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> be fixed. Let <math alttext="\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.cmml"><mn id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1a" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2"><eq id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1"><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2">subscript</csymbol><max id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2"></max><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><and id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3a.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"></and><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3b.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><leq id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3"></leq><cn id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2">1</cn><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3c.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><leq id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml" id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3d.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"></share><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2c">\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math>, <math alttext="N\geq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1"><geq id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.1"></geq><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1c">N\geq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1d">italic_N ≥ 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="A>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1"><gt id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1"></gt><ci id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1c">A>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1d">italic_A > 0</annotation></semantics></math>.</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S1.I3"> <li class="ltx_item" id="S1.I3.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(1)</span> <div class="ltx_para" id="S1.I3.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I3.i1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i1.p1.3.1">Suppose that there exists </span><math alttext="1\leq\ell\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.4.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.5" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.6" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.6.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1"><and id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1"><leq id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.4">ℓ</ci></apply><apply id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1"><leq id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1"></share><ci id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.1.m1.1.1.6">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1c">1\leq\ell\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I3.i1.p1.1.m1.1d">1 ≤ roman_ℓ ≤ italic_k</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i1.p1.3.2"> such that </span><math alttext="\deg(P_{\ell}-P_{i})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.I3.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1a" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.3" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2b"><apply id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2"><eq id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2"></eq><apply id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><minus id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3">ℓ</ci></apply><apply id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.2.m2.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2c">\deg(P_{\ell}-P_{i})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I3.i1.p1.2.m2.2d">roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i1.p1.3.3"> for all </span><math alttext="i\neq\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">ℓ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1"><neq id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1"></neq><ci id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3">ℓ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1c">i\neq\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I3.i1.p1.3.m3.1d">italic_i ≠ roman_ℓ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i1.p1.3.4">. Then we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx8"> <tbody id="S1.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{m\leq N}\left|\sum_{n\leq N^{d}}\mu(n+P_{1% }(m))\cdots\mu(n+P_{k}(m))\right|\ll_{A}(\log N)^{-A}," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex4.m1.3"><semantics id="S1.Ex4.m1.3a"><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3a" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3b" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.6" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml">μ</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3c" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><msub id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3a" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex4.m1.3b"><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1"><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1"><times id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3"><divide id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3"></divide><cn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3"><plus id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2">𝑑</ci><cn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><leq id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><abs id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></sum><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><leq id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝜇</ci><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1"><log id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></log><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3"><minus id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3"></minus><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex4.m1.3c">\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{m\leq N}\left|\sum_{n\leq N^{d}}\mu(n+P_{1% }(m))\cdots\mu(n+P_{k}(m))\right|\ll_{A}(\log N)^{-A},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex4.m1.3d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.I3.i1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i1.p1.4.1">and</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx9"> <tbody id="S1.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\left|\sum_{m\leq N}\mu(n+P_{1% }(m))\cdots\mu(n+P_{k}(m))\right|\ll_{A}(\log N)^{-A}." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex5.m1.3"><semantics id="S1.Ex5.m1.3a"><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3a" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex5.m1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" 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xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex5.m1.2.2" xref="S1.Ex5.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><msub id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3a" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex5.m1.3b"><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1"><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1"><times id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3"><divide id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3"></divide><cn id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3"><plus id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2">𝑑</ci><cn id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><leq id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><abs id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></sum><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><leq id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝜇</ci><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.5">⋯</ci><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.6">𝜇</ci><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><plus id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Ex5.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1"><log id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></log><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3"><minus id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3"></minus><ci id="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex5.m1.3c">\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\left|\sum_{m\leq N}\mu(n+P_{1% }(m))\cdots\mu(n+P_{k}(m))\right|\ll_{A}(\log N)^{-A}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex5.m1.3d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I3.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(2)</span> <div class="ltx_para" id="S1.I3.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I3.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i2.p1.2.1">Suppose that </span><math alttext="\deg(P_{i}-P_{j})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.I3.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1a" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.3" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2b"><apply id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2"><eq id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.I3.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><minus id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.1.m1.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2c">\deg(P_{i}-P_{j})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I3.i2.p1.1.m1.2d">roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i2.p1.2.2"> for all </span><math alttext="1\leq i<j\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.4" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.5" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.6" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.6.cmml">j</mi><mo id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.7" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.8" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.8.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1"><and id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1a.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1"></and><apply id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1b.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1"><leq id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.3"></leq><cn id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.2">1</cn><ci id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1c.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1"><lt id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.4.cmml" id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1d.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1"></share><ci id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.6.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.6">𝑗</ci></apply><apply id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1e.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1"><leq id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.7.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.6.cmml" id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1f.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1"></share><ci id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.8.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.2.m2.1.1.8">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1c">1\leq i<j\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I3.i2.p1.2.m2.1d">1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i2.p1.2.3">. Then we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx10"> <tbody id="S1.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{m\leq N}\left|\sum_{n\leq N^{d}}\Lambda(n+% P_{1}(m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))-\prod_{p}\beta_{p}(m)\right|\ll_{A}(\log N)% ^{-A}," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex6.m1.4"><semantics id="S1.Ex6.m1.4a"><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3a" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><munder id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex6.m1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3c" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex6.m1.2.2" xref="S1.Ex6.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><munder id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msub id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex6.m1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><msub id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.4.4.1.2" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex6.m1.4b"><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1"><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1"><times id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3"><divide id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3"></divide><cn id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3"><plus id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2">𝑑</ci><cn id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><leq id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><abs id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"></sum><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><leq id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></times><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">Λ</ci><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5">⋯</ci><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6">Λ</ci><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"><plus id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4"><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2">product</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1"><log id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"></log><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3"><minus id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3"></minus><ci id="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex6.m1.4c">\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{m\leq N}\left|\sum_{n\leq N^{d}}\Lambda(n+% P_{1}(m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))-\prod_{p}\beta_{p}(m)\right|\ll_{A}(\log N)% ^{-A},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex6.m1.4d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.I3.i2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i2.p1.3.1">and if additionally all the </span><math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1"><semantics id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1a"><msub id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1" xref="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1b"><apply id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.I3.i2.p1.3.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I3.i2.p1.3.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i2.p1.3.2"> are nonconstant, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx11"> <tbody id="S1.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\left|\sum_{m\leq N}\Lambda(n+% P_{1}(m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))-\prod_{p}\beta_{p}^{\prime}(n)\right|\ll_{A% }(\log N)^{-A}," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex7.m1.4"><semantics id="S1.Ex7.m1.4a"><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3a" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><munder id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex7.m1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3c" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex7.m1.2.2" xref="S1.Ex7.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><munder id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msubsup id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex7.m1.3.3" xref="S1.Ex7.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><msub id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.4.4.1.2" 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xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"></sum><apply id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><leq id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></times><ci id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">Λ</ci><apply 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id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S1.Ex7.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1"><log id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"></log><ci id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3"><minus id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3"></minus><ci id="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex7.m1.4c">\displaystyle\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\leq N^{d}}\left|\sum_{m\leq N}\Lambda(n+% P_{1}(m))\cdots\Lambda(n+P_{k}(m))-\prod_{p}\beta_{p}^{\prime}(n)\right|\ll_{A% }(\log N)^{-A},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex7.m1.4d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋯ roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.I3.i2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I3.i2.p1.4.1">where</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx12"> <tbody id="S1.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{p}(m)\coloneqq\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod% _{j=1}^{k}\Lambda_{p}(n+P_{j}(m)),\quad\beta_{p}^{\prime}(n)\coloneqq\mathbb{E% }_{m\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{p}(n+P_{j}(m))." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E5.m1.5"><semantics id="S1.E5.m1.5a"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.1.1" xref="S1.E5.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.2.2" xref="S1.E5.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><msubsup id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.3.3" xref="S1.E5.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">≔</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml"><msub id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><munderover id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2a" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.4.4" xref="S1.E5.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E5.m1.5b"><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1"><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2">≔</ci><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S1.E5.m1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3"><in id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1"></in><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" 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xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Λ</ci><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S1.E5.m1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2"><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2">≔</ci><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S1.E5.m1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3"><in id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.1"></in><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.2">𝑚</ci><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.1"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2"><divide id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.1"></divide><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1"><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3"><eq id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.2">Λ</ci><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S1.E5.m1.4.4.cmml" xref="S1.E5.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E5.m1.5c">\displaystyle\beta_{p}(m)\coloneqq\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod% _{j=1}^{k}\Lambda_{p}(n+P_{j}(m)),\quad\beta_{p}^{\prime}(n)\coloneqq\mathbb{E% }_{m\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{p}(n+P_{j}(m)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E5.m1.5d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ≔ blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ≔ blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p2.1">Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(1) implies Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem2" title="Theorem 1.2 (Quantitative polynomial patterns with Möbius weight). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a> directly by the triangle inequality. The implication from Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2) to Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1" title="Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> is shown in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7" title="7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>. Also in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7" title="7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>, we prove Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2) after giving an overview of the proof and the role of the Siegel model in the proof.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p3.1">As an immediate corollary of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a> and Markov’s inequality, we have the following almost-all result.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="S1.Thmtheorem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem4.1.1.1">Corollary 1.4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem4.2.2"> </span>(An averaged multidimensional Bateman–Horn result)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheorem4.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmtheorem4.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheorem4.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7">Let <math alttext="k,d\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2.cmml">d</mi></mrow><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3"><in id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><list id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2">𝑑</ci></list><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2c">k,d\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2d">italic_k , italic_d ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> be fixed, and let <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.4" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4"><in id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.3"></in><list id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4"><times id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.1"></times><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4c">P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> be fixed. Let <math alttext="\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.cmml"><mn id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1a" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2"><eq id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2">subscript</csymbol><max id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.2"></max><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><and id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3a.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"></and><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3b.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><leq id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.3"></leq><cn id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.2">1</cn><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3c.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"><leq id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.4.cmml" id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3d.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3"></share><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.2.3.6">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2c">\max_{1\leq i\leq k}\deg(P_{i})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math>. Suppose that <math alttext="\deg(P_{i}-P_{j})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1a" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2"><eq id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.2"></eq><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1">degree</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1"><minus id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2c">\deg(P_{i}-P_{j})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.4.4.m4.2d">roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq i<j\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.4" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.5" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.6" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.6.cmml">j</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.7" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.8" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.8.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"><and id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1a.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"></and><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1b.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"><leq id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3"></leq><cn id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2">1</cn><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1c.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"><lt id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.4.cmml" id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1d.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"></share><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.6">𝑗</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1e.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"><leq id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.7.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.6.cmml" id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1f.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"></share><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.8.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.8">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1c">1\leq i<j\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1d">1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="N\geq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1"><geq id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.1"></geq><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1c">N\geq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1d">italic_N ≥ 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="A>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1"><gt id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.1"></gt><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1c">A>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1d">italic_A > 0</annotation></semantics></math>. Then we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx13"> <tbody id="S1.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\sum_{m\leq N}\Lambda(P_{1}(m)+n)\cdots\Lambda(P_{k}(m)+n)-% \prod_{p}\beta_{p}^{\prime}(n)\right|\ll_{A}N(\log N)^{-A}," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex8.m1.4"><semantics id="S1.Ex8.m1.4a"><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><munder id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex8.m1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3c" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex8.m1.2.2" xref="S1.Ex8.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><munder id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msubsup id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex8.m1.3.3" xref="S1.Ex8.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><msub id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"></mo><msup id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3a" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml">−</mo><mi id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S1.Ex8.m1.4.4.1.2" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex8.m1.4b"><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1"><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1"><abs id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1"><minus id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2"></sum><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3"><leq id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></leq><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3"></times><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.4">Λ</ci><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.1.1">𝑚</ci></apply><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.5.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.5">⋯</ci><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.6">Λ</ci><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1"><plus id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2"><times id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.2.2">𝑚</ci></apply><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4"><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.2">product</csymbol><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S1.Ex8.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2"><times id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2"></times><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.3">𝑁</ci><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><log id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"></log><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3"><minus id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3"></minus><ci id="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex8.m1.4c">\displaystyle\left|\sum_{m\leq N}\Lambda(P_{1}(m)+n)\cdots\Lambda(P_{k}(m)+n)-% \prod_{p}\beta_{p}^{\prime}(n)\right|\ll_{A}N(\log N)^{-A},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex8.m1.4d">| ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) + italic_n ) ⋯ roman_Λ ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) + italic_n ) - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheorem4.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2">for all but <math alttext="\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1"><divide id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1c">\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.8.1.m1.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="n\in[N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1"><semantics id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1a"><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1b"><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1"><in id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.2"></in><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1c">n\in[N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheorem4.p1.9.2.m2.1d">italic_n ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p4.4">The Bateman–Horn conjecture <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib3" title="">3</a>]</cite> predicts that the same asymptotic holds for all <math alttext="n\in[N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.SS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1"><in id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.2"></in><ci id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p4.1.m1.1c">n\in[N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p4.1.m1.1d">italic_n ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>; thus, Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem4" title="Corollary 1.4 (An averaged multidimensional Bateman–Horn result). ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.4</span></a> can be seen as an averaged version of it. Specialising to <math alttext="k=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.SS2.p4.2.m2.1a"><mrow id="S1.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.2" xref="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.1" xref="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.3" xref="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p4.2.m2.1b"><apply id="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.2.m2.1.1"><eq id="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS2.p4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p4.2.m2.1c">k=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p4.2.m2.1d">italic_k = 1</annotation></semantics></math>, Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem4" title="Corollary 1.4 (An averaged multidimensional Bateman–Horn result). ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.4</span></a> extends an earlier result of Zhou <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>, which handled the case where <math alttext="P_{1}(y)=y^{\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p4.3.m3.1"><semantics id="S1.SS2.p4.3.m3.1a"><mrow id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml"><msub id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.2" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.2.cmml">P</mi><mn id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.3" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.1" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.SS2.p4.3.m3.1.1" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.1" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.cmml"><mi id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.cmml">y</mi><mi id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.3.cmml">ℓ</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p4.3.m3.1b"><apply id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2"><eq id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.1"></eq><apply id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2"><times id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.1"></times><apply id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.2">𝑃</ci><cn id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.1">𝑦</ci></apply><apply id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2">𝑦</ci><ci id="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.3.cmml" xref="S1.SS2.p4.3.m3.1.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p4.3.m3.1c">P_{1}(y)=y^{\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p4.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ) = italic_y start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for some <math alttext="\ell\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p4.4.m4.1"><semantics id="S1.SS2.p4.4.m4.1a"><mrow id="S1.SS2.p4.4.m4.1.1" xref="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.1" xref="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.3" xref="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p4.4.m4.1b"><apply id="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.4.m4.1.1"><in id="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.2">ℓ</ci><ci id="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.SS2.p4.4.m4.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p4.4.m4.1c">\ell\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p4.4.m4.1d">roman_ℓ ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">1.3. </span>Acknowledgements</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS3.p1.1">LM was supported by the Swedish Research Council (VR) grant 2021-04526. JT was supported by funding from European Union’s Horizon Europe research and innovation programme under Marie Skłodowska-Curie grant agreement no. 101058904. MW was supported by the Academy of Finland grant no. 333707. Part of this material is based upon work supported by the Swedish Research Council under grant no. 2021-06594 while the authors were in residence at Institut Mittag-Leffler in Djursholm, Sweden, during Spring 2024.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2. </span>Notation and preliminaries</h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1. </span>Asymptotic and averaging notation</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.17">We use the usual Landau and Vinogradov asymptotic notations <math alttext="O(\cdot),o(\cdot),\ll,\gg" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.6"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.6a"><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml">(</mo><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.3" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.2.cmml">o</mi><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml">(</mo><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.4" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.3.cmml">,</mo><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.1.m1.3.3.cmml">≪</mo><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.5" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.3.cmml">,</mo><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.4.4" lspace="0em" xref="S2.SS1.p1.1.m1.4.4.cmml">≫</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.6b"><list id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2"><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1"><times id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.5.5.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1">⋅</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2"><times id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.6.6.2.2.2">𝑜</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2">⋅</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.3.3">much-less-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.4.4">much-greater-than</csymbol></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.6c">O(\cdot),o(\cdot),\ll,\gg</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.6d">italic_O ( ⋅ ) , italic_o ( ⋅ ) , ≪ , ≫</annotation></semantics></math>. Thus, we write <math alttext="X\ll Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≪</mo><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">Y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1">much-less-than</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3">𝑌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.1c">X\ll Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.1d">italic_X ≪ italic_Y</annotation></semantics></math>, <math alttext="X=O(Y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2.cmml">O</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">Y</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2"><eq id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.1"></eq><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3"><times id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m3.1c">X=O(Y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m3.1d">italic_X = italic_O ( italic_Y )</annotation></semantics></math> or <math alttext="Y\gg X" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">≫</mo><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1">much-greater-than</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m4.1c">Y\gg X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m4.1d">italic_Y ≫ italic_X</annotation></semantics></math> if we have <math alttext="|X|\leq CY" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.3.cmml">Y</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2"><leq id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.1"></leq><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2"><abs id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1">𝑋</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3"><times id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2">𝐶</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.2.3.3">𝑌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m5.1c">|X|\leq CY</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m5.1d">| italic_X | ≤ italic_C italic_Y</annotation></semantics></math> for some constant <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p1.6.m6.1a"><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.6.m6.1b"><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.6.m6.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.6.m6.1d">italic_C</annotation></semantics></math>. We write <math alttext="X\asymp Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">≍</mo><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">Y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.1">asymptotically-equals</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3">𝑌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.7.m7.1c">X\asymp Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.7.m7.1d">italic_X ≍ italic_Y</annotation></semantics></math> if <math alttext="X\ll Y\ll X" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">≪</mo><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.4" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.4.cmml">Y</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.5" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.5.cmml">≪</mo><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.6" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.6.cmml">X</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1"><and id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1a.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1"></and><apply id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1b.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.3">much-less-than</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.4">𝑌</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1c.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.5">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.SS1.p1.8.m8.1.1.4.cmml" id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1d.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1"></share><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.6">𝑋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.8.m8.1c">X\ll Y\ll X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.8.m8.1d">italic_X ≪ italic_Y ≪ italic_X</annotation></semantics></math>. We write <math alttext="X=o(Y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.9.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p1.9.m9.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.2.cmml">o</mi><mo id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml">Y</mi><mo id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.9.m9.1b"><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2"><eq id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.1"></eq><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3"><times id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.2.3.2">𝑜</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1">𝑌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.9.m9.1c">X=o(Y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.9.m9.1d">italic_X = italic_o ( italic_Y )</annotation></semantics></math> as <math alttext="N\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.10.m10.1"><semantics id="S2.SS1.p1.10.m10.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.10.m10.1b"><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2">𝑁</ci><infinity id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.10.m10.1c">N\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.10.m10.1d">italic_N → ∞</annotation></semantics></math> if <math alttext="|X|\leq c(N)Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.11.m11.2"><semantics id="S2.SS1.p1.11.m11.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.1.cmml">≤</mo><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.cmml">c</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.1" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.1a" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.4" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.4.cmml">Y</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.11.m11.2b"><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3"><leq id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.1"></leq><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2"><abs id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1">𝑋</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3"><times id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.4">𝑌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.11.m11.2c">|X|\leq c(N)Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.11.m11.2d">| italic_X | ≤ italic_c ( italic_N ) italic_Y</annotation></semantics></math> for some function <math alttext="c(N)\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.12.m12.1"><semantics id="S2.SS1.p1.12.m12.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.1.cmml">→</mo><mn id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.12.m12.1b"><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2"><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.1">→</ci><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2"><times id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1">𝑁</ci></apply><cn id="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.12.m12.1c">c(N)\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.12.m12.1d">italic_c ( italic_N ) → 0</annotation></semantics></math> as <math alttext="N\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.13.m13.1"><semantics id="S2.SS1.p1.13.m13.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.13.m13.1b"><apply id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.2">𝑁</ci><infinity id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.13.m13.1c">N\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.13.m13.1d">italic_N → ∞</annotation></semantics></math>. If we attach subscripts to these notations, then the implied constants may depend on these subscripts. Thus, for example, <math alttext="X\ll_{A}Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.14.m14.1"><semantics id="S2.SS1.p1.14.m14.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.2.cmml">X</mi><msub id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.2.cmml">≪</mo><mi id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.3.cmml">A</mi></msub><mi id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.3.cmml">Y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.14.m14.1b"><apply id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1"><apply id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.2">much-less-than</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.1.3">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.3">𝑌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.14.m14.1c">X\ll_{A}Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.14.m14.1d">italic_X ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Y</annotation></semantics></math> signifies that <math alttext="|X|\leq C_{A}Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.15.m15.1"><semantics id="S2.SS1.p1.15.m15.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.3.cmml">Y</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.15.m15.1b"><apply id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2"><leq id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.1"></leq><apply id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2"><abs id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1">𝑋</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3"><times id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.3">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.3">𝑌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.15.m15.1c">|X|\leq C_{A}Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.15.m15.1d">| italic_X | ≤ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Y</annotation></semantics></math> for some <math alttext="C_{A}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.16.m16.1"><semantics id="S2.SS1.p1.16.m16.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.16.m16.1b"><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1"><gt id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.1"></gt><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><cn id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.16.m16.1c">C_{A}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.16.m16.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> depending on <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.17.m17.1"><semantics id="S2.SS1.p1.17.m17.1a"><mi id="S2.SS1.p1.17.m17.1.1" xref="S2.SS1.p1.17.m17.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.17.m17.1b"><ci id="S2.SS1.p1.17.m17.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.17.m17.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.17.m17.1d">italic_A</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.11">For a set <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.1.m1.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.1.m1.1d">italic_S</annotation></semantics></math>, we write <math alttext="1_{S}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.cmml"><mn id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml">S</mi></msub><mo id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2"><times id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><cn id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.2">1</cn><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.2.2.3">𝑆</ci></apply><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.2.m2.1c">1_{S}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.2.m2.1d">1 start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> for its indicator function, i.e. a function that equals to <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p2.3.m3.1a"><mn id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.3.m3.1b"><cn id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.3.m3.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.3.m3.1d">1</annotation></semantics></math> for <math alttext="x\in S" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1"><in id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.3">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.4.m4.1c">x\in S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.4.m4.1d">italic_x ∈ italic_S</annotation></semantics></math> and equals to <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p2.5.m5.1a"><mn id="S2.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.5.m5.1b"><cn id="S2.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.5.m5.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> otherwise. Similarly, if <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p2.6.m6.1a"><mi id="S2.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.6.m6.1b"><ci id="S2.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m6.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.6.m6.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.6.m6.1d">italic_P</annotation></semantics></math> is a proposition, the quantity <math alttext="1_{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p2.7.m7.1a"><msub id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml">1</mn><mi id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml">P</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.2">1</cn><ci id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.7.m7.1c">1_{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.7.m7.1d">1 start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> equals to <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p2.8.m8.1a"><mn id="S2.SS1.p2.8.m8.1.1" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.8.m8.1b"><cn id="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.8.m8.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.8.m8.1d">1</annotation></semantics></math> if <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.9.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p2.9.m9.1a"><mi id="S2.SS1.p2.9.m9.1.1" xref="S2.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.9.m9.1b"><ci id="S2.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m9.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.9.m9.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.9.m9.1d">italic_P</annotation></semantics></math> is true and <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.10.m10.1"><semantics id="S2.SS1.p2.10.m10.1a"><mn id="S2.SS1.p2.10.m10.1.1" xref="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.10.m10.1b"><cn id="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.10.m10.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> if <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.11.m11.1"><semantics id="S2.SS1.p2.11.m11.1a"><mi id="S2.SS1.p2.11.m11.1.1" xref="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.11.m11.1b"><ci id="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.11.m11.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.11.m11.1d">italic_P</annotation></semantics></math> is false.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.2">For a nonempty finite set <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> and a function <math alttext="f\colon A\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1"><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.2.m2.1c">f\colon A\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.2.m2.1d">italic_f : italic_A → blackboard_C</annotation></semantics></math>, we use the averaging notation</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx14"> <tbody id="S2.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{a\in A}f(a)\coloneqq\frac{1}{|A|}\sum_{a\in A}f(a)." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex1.m1.4"><semantics id="S2.Ex1.m1.4a"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">A</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">f</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1a" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.4.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex1.m1.1.1a" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex1.m1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"><munder id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1a" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.3.cmml">A</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.4b"><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1"><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1">≔</ci><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2"><times id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝔼</ci><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3"><in id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1"></in><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">𝑎</ci><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">𝐴</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3">𝑓</ci><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2">𝑎</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3"><times id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1"><divide id="S2.Ex1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1"></divide><cn id="S2.Ex1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.3"><abs id="S2.Ex1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2"><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.2"></sum><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3"><in id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.1"></in><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2"><times id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.4c">\displaystyle\mathbb{E}_{a\in A}f(a)\coloneqq\frac{1}{|A|}\sum_{a\in A}f(a).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.4d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_a ∈ italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_a ) ≔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_A | end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_a ∈ italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_a ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.4">For a real number <math alttext="N>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1"><gt id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.1.m1.1c">N>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.1.m1.1d">italic_N > 0</annotation></semantics></math>, we denote <math alttext="[N]\coloneqq[1,N]\cap\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.2.m2.3"><semantics id="S2.SS1.p4.2.m2.3a"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.1.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.3.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.3.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.1.cmml">∩</mo><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.2.m2.3b"><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4"><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.1">≔</ci><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.2.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3"><intersect id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.1"></intersect><interval closure="closed" id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.2.2"><cn id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2">1</cn><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.3">𝑁</ci></interval><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.3.4.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.2.m2.3c">[N]\coloneqq[1,N]\cap\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.2.m2.3d">[ italic_N ] ≔ [ 1 , italic_N ] ∩ blackboard_N</annotation></semantics></math>. For <math alttext="q\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p4.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1"><in id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.3.m3.1c">q\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.3.m3.1d">italic_q ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math>, we also denote <math alttext="q[N]\coloneqq\{qn\colon\,\,n\in[1,N]\cap\mathbb{N}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.4.m4.5"><semantics id="S2.SS1.p4.4.m4.5a"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.cmml">q</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.3.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.608em" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.3.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.3.3.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.1.cmml">∩</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.4.m4.5b"><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5"><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.3">≔</ci><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4"><times id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.1"></times><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2">𝑞</ci><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1"><times id="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2"><in id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.1"></in><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3"><intersect id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.1"></intersect><interval closure="closed" id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.2.2"><cn id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2">1</cn><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.3.3">𝑁</ci></interval><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3.3">ℕ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.4.m4.5c">q[N]\coloneqq\{qn\colon\,\,n\in[1,N]\cap\mathbb{N}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.4.m4.5d">italic_q [ italic_N ] ≔ { italic_q italic_n : italic_n ∈ [ 1 , italic_N ] ∩ blackboard_N }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.3">We write <math alttext="\|x\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.1.m1.1c">\|x\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.1.m1.1d">∥ italic_x ∥</annotation></semantics></math> for the distance from the real number <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p5.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.2.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.2.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math> to the nearest integer. We use the standard notation <math alttext="e(x)\coloneqq e^{2\pi ix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p5.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.1" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.1.cmml">≔</mo><msup id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.cmml"><mn id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.1" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.3" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.1a" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.4" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.4.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.1b" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.5" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.5.cmml">x</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2"><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.1">≔</ci><apply id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2"><times id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3"><times id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.1"></times><cn id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.3">𝜋</ci><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.4">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.5.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.2.3.3.5">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.3.m3.1c">e(x)\coloneqq e^{2\pi ix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.3.m3.1d">italic_e ( italic_x ) ≔ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_π italic_i italic_x end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p6.6">Given integers <math alttext="m,n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.1.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p6.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS1.p6.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.SS1.p6.1.m1.2.3.2.1" xref="S2.SS1.p6.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p6.1.m1.2.2" xref="S2.SS1.p6.1.m1.2.2.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.1.m1.2b"><list id="S2.SS1.p6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.1.m1.2.3.2"><ci id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1">𝑚</ci><ci id="S2.SS1.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.1.m1.2.2">𝑛</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.1.m1.2c">m,n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.1.m1.2d">italic_m , italic_n</annotation></semantics></math>, we write <math alttext="(m,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p6.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p6.2.m2.2.2" xref="S2.SS1.p6.2.m2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.2.m2.2.3.2"><ci id="S2.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.2.m2.1.1">𝑚</ci><ci id="S2.SS1.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.2.m2.2.2">𝑛</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.2.m2.2c">(m,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.2.m2.2d">( italic_m , italic_n )</annotation></semantics></math> for their greatest common divisor and <math alttext="[m,n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.3.m3.2"><semantics id="S2.SS1.p6.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.3.2"><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1">𝑚</ci><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2">𝑛</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.3.m3.2c">[m,n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.3.m3.2d">[ italic_m , italic_n ]</annotation></semantics></math> for their least common multiple. We use <math alttext="\tau(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p6.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.2" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.1" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2"><times id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.4.m4.1c">\tau(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.4.m4.1d">italic_τ ( italic_n )</annotation></semantics></math> to denote the divisor function and <math alttext="\Omega(n),\omega(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.5.m5.4"><semantics id="S2.SS1.p6.5.m5.4a"><mrow id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.2.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p6.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.3" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.1" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p6.5.m5.2.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.5.m5.4b"><list id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2"><apply id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1"><times id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.1"></times><ci id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.1.1.2">Ω</ci><ci id="S2.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2"><times id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.2.2">𝜔</ci><ci id="S2.SS1.p6.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.2.2">𝑛</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.5.m5.4c">\Omega(n),\omega(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.5.m5.4d">roman_Ω ( italic_n ) , italic_ω ( italic_n )</annotation></semantics></math> to denote the number of prime divisors of <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p6.6.m6.1a"><mi id="S2.SS1.p6.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p6.6.m6.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.6.m6.1b"><ci id="S2.SS1.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m6.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.6.m6.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.6.m6.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, with and without multiplicities, respectively.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2. </span>Gowers norms</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.4">For <math alttext="f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">italic_f : blackboard_Z → blackboard_C</annotation></semantics></math> with finite support and <math alttext="s\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1"><in id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.1c">s\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.1d">italic_s ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, we define the unnormalised <math alttext="U^{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.3.m3.1a"><msup id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">s</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.3.m3.1c">U^{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.3.m3.1d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> Gowers norm of <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p1.4.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.4.m4.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.4.m4.1d">italic_f</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx15"> <tbody id="S2.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|f\|_{\widetilde{U}^{s}(\mathbb{Z})}\coloneqq\left(\sum_{x,h_{1}% ,\ldots,h_{s}\in\mathbb{Z}}\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f% (x+\omega\cdot(h_{1},\ldots,h_{s}))\right)^{1/2^{s}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex2.m1.11"><semantics id="S2.Ex2.m1.11a"><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.Ex2.m1.9.9" xref="S2.Ex2.m1.9.9.cmml">f</mi><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">ℤ</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.2.cmml">≔</mo><msup id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.5.5.4" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.3" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.4" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex2.m1.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex2.m1.3.3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.5" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.5.5.4.5" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.5.cmml">∈</mo><mi id="S2.Ex2.m1.5.5.4.6" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.6.cmml">ℤ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.7.7.2.4" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.2.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.1.cmml">{</mo><mn id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.1.cmml">,</mo><mn id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.1.cmml">}</mo></mrow><mi id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S2.Ex2.m1.8.8.1.3" xref="S2.Ex2.m1.8.8.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.8.8.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.8.8.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex2.m1.8.8.1.1" xref="S2.Ex2.m1.8.8.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S2.Ex2.m1.8.8.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.8.8.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">f</mi><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⋅</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex2.m1.10.10" mathvariant="normal" xref="S2.Ex2.m1.10.10.cmml">…</mi><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msup id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mi id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></msup></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.11.11.1.2" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.11b"><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1"><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.2">≔</ci><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.9.9.cmml" xref="S2.Ex2.m1.9.9">𝑓</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1">ℤ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex2.m1.5.5.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4"><in id="S2.Ex2.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.5"></in><list id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2"><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1">𝑥</ci><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex2.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.2.2">…</ci><apply id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.4.2.2.3">𝑠</ci></apply></list><ci id="S2.Ex2.m1.5.5.4.6.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.4.6">ℤ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2"><in id="S2.Ex2.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.3"></in><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.2.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.4">𝜔</ci><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5">superscript</csymbol><set id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.2.2"><cn id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1">0</cn><cn id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2">1</cn></set><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.5.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝒞</ci><apply id="S2.Ex2.m1.8.8.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.8.8.1.3"><abs id="S2.Ex2.m1.8.8.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.8.8.1.3.1"></abs><ci id="S2.Ex2.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.8.8.1.1">𝜔</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑓</ci><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑥</ci><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">⋅</ci><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝜔</ci><vector id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex2.m1.10.10.cmml" xref="S2.Ex2.m1.10.10">…</ci><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑠</ci></apply></vector></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><cn id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.11.11.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.11c">\displaystyle\|f\|_{\widetilde{U}^{s}(\mathbb{Z})}\coloneqq\left(\sum_{x,h_{1}% ,\ldots,h_{s}\in\mathbb{Z}}\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f% (x+\omega\cdot(h_{1},\ldots,h_{s}))\right)^{1/2^{s}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.11d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_Z ) end_POSTSUBSCRIPT ≔ ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_f ( italic_x + italic_ω ⋅ ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.11">where <math alttext="\mathcal{C}(z)=\overline{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.5.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.5.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.5.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.5.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2"><eq id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.1"></eq><apply id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2"><times id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.2">𝒞</ci><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3"><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.5.m1.1c">\mathcal{C}(z)=\overline{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.5.m1.1d">caligraphic_C ( italic_z ) = over¯ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math> is the complex conjugation operator and for a vector <math alttext="(\omega_{1},\ldots,\omega_{s})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.6.m2.3"><semantics id="S2.SS2.p1.6.m2.3a"><mrow id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.4" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.6.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.6.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.5" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.6.m2.3b"><vector id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2"><apply id="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.6.m2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS2.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.1.1">…</ci><apply id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.2">𝜔</ci><ci id="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.3.3.2.2.3">𝑠</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.6.m2.3c">(\omega_{1},\ldots,\omega_{s})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.6.m2.3d">( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> we write <math alttext="|\omega|\coloneqq|\omega_{1}|+\cdots+|\omega_{s}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.7.m3.3"><semantics id="S2.SS2.p1.7.m3.3a"><mrow id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.2" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.3" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.3.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.3" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.3.cmml">+</mo><mi id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.4.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.3a" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.7.m3.3b"><apply id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3"><ci id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.3">≔</ci><apply id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.2"><abs id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.4.2.1"></abs><ci id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1">𝜔</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2"><plus id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.3"></plus><apply id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1"><abs id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.4">⋯</ci><apply id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1"><abs id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.2"></abs><apply id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.3.3.2.2.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.7.m3.3c">|\omega|\coloneqq|\omega_{1}|+\cdots+|\omega_{s}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.7.m3.3d">| italic_ω | ≔ | italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT | + ⋯ + | italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math>. For an interval <math alttext="I\subset\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.8.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p1.8.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.8.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1"><subset id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.1"></subset><ci id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.8.m4.1c">I\subset\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.8.m4.1d">italic_I ⊂ blackboard_R</annotation></semantics></math> with <math alttext="|I|\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.9.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p1.9.m5.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS2.p1.9.m5.1.1" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.1" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.3" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.9.m5.1b"><apply id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2"><geq id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.1"></geq><apply id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.2"><abs id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS2.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.1">𝐼</ci></apply><cn id="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.9.m5.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.9.m5.1c">|I|\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.9.m5.1d">| italic_I | ≥ 1</annotation></semantics></math>, we further define the <math alttext="U^{s}(I)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.10.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p1.10.m6.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.1" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.10.m6.1.1" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.10.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2"><times id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.10.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.10.m6.1.1">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.10.m6.1c">U^{s}(I)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.10.m6.1d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I )</annotation></semantics></math> Gowers norm of a function <math alttext="f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.11.m7.1"><semantics id="S2.SS2.p1.11.m7.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.11.m7.1b"><apply id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1"><ci id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3"><ci id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.2">ℤ</ci><ci id="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.11.m7.1.1.3.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.11.m7.1c">f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.11.m7.1d">italic_f : blackboard_Z → blackboard_C</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx16"> <tbody id="S2.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|f\|_{U^{s}(I)}\coloneqq\frac{\|f1_{I}\|_{\widetilde{U}^{s}(% \mathbb{Z})}}{\|1_{I}\|_{\widetilde{U}^{s}(\mathbb{Z})}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex3.m1.7"><semantics id="S2.Ex3.m1.7a"><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.Ex3.m1.6.6" xref="S2.Ex3.m1.6.6.cmml">f</mi><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.1.cmml">≔</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.5.5" xref="S2.Ex3.m1.5.5.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.5.5a" xref="S2.Ex3.m1.5.5.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml">I</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">ℤ</mi><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><msub id="S2.Ex3.m1.5.5.4" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.3.cmml">I</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.cmml"><mover accent="true" 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xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.1">≔</ci><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6">𝑓</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5"><divide id="S2.Ex3.m1.5.5.5.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5"></divide><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.2.2.1.1.3.3">𝐼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2"><ci id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1">ℤ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.5.5.4.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.2">1</cn><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.4.2.1.1.3">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.2"><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.2.2">𝑈</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.3.1.1.1">ℤ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.7c">\displaystyle\|f\|_{U^{s}(I)}\coloneqq\frac{\|f1_{I}\|_{\widetilde{U}^{s}(% \mathbb{Z})}}{\|1_{I}\|_{\widetilde{U}^{s}(\mathbb{Z})}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.7d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I ) end_POSTSUBSCRIPT ≔ divide start_ARG ∥ italic_f 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_Z ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_Z ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.18">It is well known (see for example <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib7" title="">7</a>, Appendix B]</cite>) that for <math alttext="s\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.12.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.12.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.12.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.12.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m1.1.1"><geq id="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.1"></geq><ci id="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.12.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.12.m1.1c">s\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.12.m1.1d">italic_s ≥ 2</annotation></semantics></math> the <math alttext="U^{s}(I)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.13.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.13.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.1" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.13.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.13.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2"><times id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.13.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.13.m2.1.1">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.13.m2.1c">U^{s}(I)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.13.m2.1d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I )</annotation></semantics></math> norm is indeed a norm and for <math alttext="s=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.14.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.14.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.14.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.14.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m3.1.1"><eq id="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.14.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.14.m3.1c">s=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.14.m3.1d">italic_s = 1</annotation></semantics></math> it is a seminorm. When <math alttext="I=[N_{1},N_{2}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.15.m4.2"><semantics id="S2.SS2.p1.15.m4.2a"><mrow id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.4.cmml">I</mi><mo id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mn id="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">N</mi><mn id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.15.m4.2b"><apply id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2"><eq id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.3"></eq><ci id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.4">𝐼</ci><interval closure="closed" id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.15.m4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.15.m4.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.15.m4.2c">I=[N_{1},N_{2}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.15.m4.2d">italic_I = [ italic_N start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_N start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, we abbreviate <math alttext="\|f\|_{U^{s}(I)}=\|f\|_{U^{s}[N_{1},N_{2}]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.16.m5.5"><semantics id="S2.SS2.p1.16.m5.5a"><mrow id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.cmml"><msub id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.4.4" xref="S2.SS2.p1.16.m5.4.4.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.4.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.1" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.1.cmml">=</mo><msub id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.5.5" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.5.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.3" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.3" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.3.cmml"></mo><mrow id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mn id="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.2.cmml">N</mi><mn id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.16.m5.5b"><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6"><eq id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.1"></eq><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.4.4">𝑓</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1"><times id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.6.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.5.5.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.5.5">𝑓</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2"><times id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.3"></times><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.4.3">𝑠</ci></apply><interval closure="closed" id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.16.m5.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.16.m5.3.3.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.16.m5.5c">\|f\|_{U^{s}(I)}=\|f\|_{U^{s}[N_{1},N_{2}]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.16.m5.5d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I ) end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_N start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and if <math alttext="N_{1}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.17.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p1.17.m6.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.2.cmml">N</mi><mn id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.17.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1"><eq id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.17.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.17.m6.1c">N_{1}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.17.m6.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> we further abbreviate this as <math alttext="\|f\|_{U^{s}[N_{2}]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.18.m7.2"><semantics id="S2.SS2.p1.18.m7.2a"><msub id="S2.SS2.p1.18.m7.2.3" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p1.18.m7.2.2" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mn id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.18.m7.2b"><apply id="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.18.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1"><times id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.18.m7.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.18.m7.2c">\|f\|_{U^{s}[N_{2}]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.18.m7.2d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.4">The <math alttext="\widetilde{U}^{s}(\mathbb{Z})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">ℤ</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2"><times id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.2">𝑈</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">\widetilde{U}^{s}(\mathbb{Z})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_Z )</annotation></semantics></math> norms obey the Gowers–Cauchy–Schwarz inequality (see for example <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib18" title="">18</a>, (4.2)]</cite>), which states that, for any functions <math alttext="(f_{\omega})_{\omega\in\{0,1\}^{s}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.3"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.3a"><msub id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">ω</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.1.cmml">{</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.1.cmml">}</mo></mrow><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.3b"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2"><in id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3"></in><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.4">𝜔</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5">superscript</csymbol><set id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.2.2"><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1">0</cn><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2">1</cn></set><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.2.5.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.3c">(f_{\omega})_{\omega\in\{0,1\}^{s}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.3d">( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_ω end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> from <math alttext="\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">ℤ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1">ℤ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m3.1c">\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m3.1d">blackboard_Z</annotation></semantics></math> to <math alttext="\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p2.4.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml">ℂ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1">ℂ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.4.m4.1c">\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.4.m4.1d">blackboard_C</annotation></semantics></math> with finite support, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx17"> <tbody id="S2.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\sum_{x,h_{1},\ldots,h_{s}\in\mathbb{Z}}\prod_{\omega\in\{0% ,1\}^{s}}f_{\omega}(x+\omega\cdot(h_{1},\ldots,h_{s}))\right|\leq\prod_{\omega% \in\{0,1\}^{s}}\|f_{\omega}\|_{\widetilde{U}^{s}(\mathbb{Z})}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.m1.11"><semantics id="S2.E1.m1.11a"><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.4" xref="S2.E1.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.3" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.4" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.5" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.2.2" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.2.3" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.2.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.5" xref="S2.E1.m1.4.4.4.5.cmml">∈</mo><mi id="S2.E1.m1.4.4.4.6" xref="S2.E1.m1.4.4.4.6.cmml">ℤ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.2" xref="S2.E1.m1.6.6.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.6.6.2.4" xref="S2.E1.m1.6.6.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S2.E1.m1.6.6.2.3" xref="S2.E1.m1.6.6.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S2.E1.m1.6.6.2.5" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.1.cmml">{</mo><mn id="S2.E1.m1.5.5.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.1.cmml">,</mo><mn id="S2.E1.m1.6.6.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.1.cmml">}</mo></mrow><mi id="S2.E1.m1.6.6.2.5.3" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ω</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⋅</mo><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.10.10" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.10.10.cmml">…</mi><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.3" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2.cmml"><munder id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2a" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E1.m1.8.8.2" xref="S2.E1.m1.8.8.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.8.8.2.4" xref="S2.E1.m1.8.8.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S2.E1.m1.8.8.2.3" xref="S2.E1.m1.8.8.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S2.E1.m1.8.8.2.5" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.2" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.1.cmml">{</mo><mn id="S2.E1.m1.7.7.1.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.2.2" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.1.cmml">,</mo><mn id="S2.E1.m1.8.8.2.2" xref="S2.E1.m1.8.8.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.1.cmml">}</mo></mrow><mi id="S2.E1.m1.8.8.2.5.3" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><msub id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.E1.m1.9.9.1" xref="S2.E1.m1.9.9.1.cmml"><msup id="S2.E1.m1.9.9.1.3" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E1.m1.9.9.1.3.2" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.1" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S2.E1.m1.9.9.1.3.3" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.E1.m1.9.9.1.2" xref="S2.E1.m1.9.9.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.E1.m1.9.9.1.4.2" xref="S2.E1.m1.9.9.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.9.9.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.9.9.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.9.9.1.1" xref="S2.E1.m1.9.9.1.1.cmml">ℤ</mi><mo id="S2.E1.m1.9.9.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.9.9.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.11b"><apply 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id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S2.E1.m1.6.6.2.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.2"><in id="S2.E1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.2.3"></in><ci id="S2.E1.m1.6.6.2.4.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.2.4">𝜔</ci><apply id="S2.E1.m1.6.6.2.5.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.6.6.2.5.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5">superscript</csymbol><set id="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5.2.2"><cn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1">0</cn><cn id="S2.E1.m1.6.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.6.6.2.2">1</cn></set><ci id="S2.E1.m1.6.6.2.5.3.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.2.5.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜔</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑥</ci><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">⋅</ci><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝜔</ci><vector id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.E1.m1.10.10.cmml" xref="S2.E1.m1.10.10">…</ci><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑠</ci></apply></vector></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2"><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S2.E1.m1.8.8.2.cmml" xref="S2.E1.m1.8.8.2"><in id="S2.E1.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.8.8.2.3"></in><ci id="S2.E1.m1.8.8.2.4.cmml" xref="S2.E1.m1.8.8.2.4">𝜔</ci><apply id="S2.E1.m1.8.8.2.5.cmml" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.8.8.2.5.1.cmml" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5">superscript</csymbol><set id="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5.2.2"><cn id="S2.E1.m1.7.7.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1">0</cn><cn id="S2.E1.m1.8.8.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.8.8.2.2">1</cn></set><ci id="S2.E1.m1.8.8.2.5.3.cmml" xref="S2.E1.m1.8.8.2.5.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.9.9.1.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1"><times id="S2.E1.m1.9.9.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1.2"></times><apply id="S2.E1.m1.9.9.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.9.9.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.2"><ci id="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.1">~</ci><ci id="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.2.2">𝑈</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.9.9.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1.3.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.9.9.1.1">ℤ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.11c">\displaystyle\left|\sum_{x,h_{1},\ldots,h_{s}\in\mathbb{Z}}\prod_{\omega\in\{0% ,1\}^{s}}f_{\omega}(x+\omega\cdot(h_{1},\ldots,h_{s}))\right|\leq\prod_{\omega% \in\{0,1\}^{s}}\|f_{\omega}\|_{\widetilde{U}^{s}(\mathbb{Z})}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.11d">| ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x + italic_ω ⋅ ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) ) | ≤ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_ω end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_Z ) end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.1">For <math alttext="H\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1"><geq id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.1.m1.1c">H\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.1.m1.1d">italic_H ≥ 1</annotation></semantics></math>, we define the weight</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx18"> <tbody id="S2.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mu_{H}(h)\coloneqq\frac{|\{(h_{1},h_{2})\in[H]^{2}\colon h_{1}-h% _{2}=h\}|}{\lfloor H\rfloor^{2}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.m1.5"><semantics id="S2.E2.m1.5a"><mrow id="S2.E2.m1.5.5.1" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.5.5.1.1" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.m1.4.4" xref="S2.E2.m1.4.4.cmml">h</mi><mo id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.1.cmml">≔</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.m1.3.3" xref="S2.E2.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.E2.m1.3.3a" xref="S2.E2.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.2.2.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">∈</mo><msup id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml">H</mi><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.4" rspace="0.278em" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.1" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.2" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.3" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.1" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.5" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.E2.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.2.3.1.cmml">|</mo></mrow><msup id="S2.E2.m1.3.3.3" xref="S2.E2.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.3.3.3.3.2" xref="S2.E2.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">⌊</mo><mi id="S2.E2.m1.3.3.3.1" xref="S2.E2.m1.3.3.3.1.cmml">H</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">⌋</mo></mrow><mn id="S2.E2.m1.3.3.3.4" xref="S2.E2.m1.3.3.3.4.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E2.m1.5.5.1.2" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.5b"><apply id="S2.E2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5.1"><ci id="S2.E2.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.1">≔</ci><apply id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2"><times id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝜇</ci><ci id="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5.1.1.2.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.4.4.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4">ℎ</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3"><divide id="S2.E2.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3"></divide><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2"><abs id="S2.E2.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.2"></abs><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1"><in id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"></in><interval closure="open" id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2">ℎ</ci><cn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1">𝐻</ci></apply><cn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2"><eq id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2"><minus id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.1"></minus><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.2">ℎ</ci><cn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.2.2.1.2.2.3">ℎ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.3.3.2"><floor id="S2.E2.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.3.3.2.1"></floor><ci id="S2.E2.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.3.1">𝐻</ci></apply><cn id="S2.E2.m1.3.3.3.4.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.3.3.3.4">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.5c">\displaystyle\mu_{H}(h)\coloneqq\frac{|\{(h_{1},h_{2})\in[H]^{2}\colon h_{1}-h% _{2}=h\}|}{\lfloor H\rfloor^{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.5d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_h ) ≔ divide start_ARG | { ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ [ italic_H ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT : italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_h } | end_ARG start_ARG ⌊ italic_H ⌋ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.3">where <math alttext="\lfloor x\rfloor" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.2.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p3.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.1.1.cmml">⌊</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.1.1.cmml">⌋</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.2.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.2"><floor id="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.2.2.1"></floor><ci id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.2.m1.1c">\lfloor x\rfloor</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.2.m1.1d">⌊ italic_x ⌋</annotation></semantics></math> denotes the floor of <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.3.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p3.3.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.3.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.3.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.3.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math>. This weight will appear naturally when applying the Cauchy–Schwarz inequality to polynomial averages.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.3. </span>Vinogradov’s Fourier expansion</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.1">We will make use of a Fourier approximation for the indicator function of an interval that is due to Vinogradov.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S2.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem1.1.1.1">Lemma 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheorem1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4">For any <math alttext="-1/2<\alpha<\beta<1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2a" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">α</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">β</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.7" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.7.cmml"><</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.cmml"><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.1.cmml">/</mo><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><and id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3"></lt><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2"><minus id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2"></minus><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2"><divide id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.1"></divide><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.4">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"></share><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.6">𝛽</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1e.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.7.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.7"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1f.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"></share><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8"><divide id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.1"></divide><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.2">1</cn><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.8.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">-1/2<\alpha<\beta<1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">- 1 / 2 < italic_α < italic_β < 1 / 2</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta\in(0,\min\{1/2-\|\alpha\|,1/2-\|\beta\|,\|\alpha-\beta\|/2\})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5"><semantics id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5a"><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.3.cmml">η</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.cmml">min</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3a" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.4.cmml"></mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.4.cmml">{</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">α</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.5" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.6" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.2.cmml">/</mo><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.7" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.4.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5b"><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5"><in id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.2"></in><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.3">𝜂</ci><interval closure="open" id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1"><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4">0</cn><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3"><min id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3"></min><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2"><minus id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1"></minus><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2"><divide id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.1"></divide><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.2">1</cn><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.3.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3"><divide id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.2"></divide><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1"><minus id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3">𝛽</ci></apply></apply><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5c">\eta\in(0,\min\{1/2-\|\alpha\|,1/2-\|\beta\|,\|\alpha-\beta\|/2\})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5d">italic_η ∈ ( 0 , roman_min { 1 / 2 - ∥ italic_α ∥ , 1 / 2 - ∥ italic_β ∥ , ∥ italic_α - italic_β ∥ / 2 } )</annotation></semantics></math>, there exists a <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1a"><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1b"><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1d">1</annotation></semantics></math>-periodic function <math alttext="g\colon\mathbb{R}\to[0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2"><semantics id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2.cmml">g</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2b"><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3"><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1">:</ci><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2">𝑔</ci><apply id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3"><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.1">→</ci><ci id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.2">ℝ</ci><interval closure="closed" id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2"><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1">0</cn><cn id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2c">g\colon\mathbb{R}\to[0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2d">italic_g : blackboard_R → [ 0 , 1 ]</annotation></semantics></math> such that the following hold.</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(1)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.4"><math alttext="g(x)=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2"><eq id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2"><times id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><cn id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1c">g(x)=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_g ( italic_x ) = 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.4.1"> for </span><math alttext="x\in[\alpha+\eta,\beta-\eta]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.4" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.4.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2"><in id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3"></in><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.4">𝑥</ci><interval closure="closed" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><minus id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3">𝜂</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2c">x\in[\alpha+\eta,\beta-\eta]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2d">italic_x ∈ [ italic_α + italic_η , italic_β - italic_η ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.4.2"> and </span><math alttext="g(x)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2"><eq id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1"></eq><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2"><times id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.1"></times><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1">𝑥</ci></apply><cn id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1c">g(x)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1d">italic_g ( italic_x ) = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.4.3"> for </span><math alttext="x\in[-1/2,1/2]\setminus[\alpha-\eta,\beta+\eta]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4"><semantics id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.6" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.6.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.5" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.5.cmml">∈</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.cmml"><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.4" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.5" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.5.cmml">∖</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.4" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4b"><apply id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4"><in id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.5.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.5"></in><ci id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.6.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.6">𝑥</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4"><setdiff id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.5.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.5"></setdiff><interval closure="closed" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2"><apply id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><cn id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2"><divide id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.1"></divide><cn id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2">1</cn><cn id="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><interval closure="closed" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2"><apply id="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1"><minus id="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.1"></minus><ci id="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2"><plus id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.1"></plus><ci id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.4.4.4.4.2.2.3">𝜂</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4c">x\in[-1/2,1/2]\setminus[\alpha-\eta,\beta+\eta]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.4d">italic_x ∈ [ - 1 / 2 , 1 / 2 ] ∖ [ italic_α - italic_η , italic_β + italic_η ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.4.4">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(2)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.1">For some </span><math alttext="|c_{j}|\leq 10\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">10</mn><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><leq id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2"></leq><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1"><abs id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">10</cn><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1c">|c_{j}|\leq 10\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1d">| italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | ≤ 10 italic_η</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.2">, we have for all </span><math alttext="x\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><in id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1c">x\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_x ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.3"> the Fourier expansion</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx19"> <tbody id="S2.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle g(x)=\beta-\alpha-\eta+\sum_{|j|>0}c_{j}e(jx)." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex4.m1.3"><semantics id="S2.Ex4.m1.3a"><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">g</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex4.m1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">α</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.1a" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.4" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.4.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml">></mo><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.4" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml">e</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m1.3b"><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S2.Ex4.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3"><minus id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝛽</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝛼</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.4">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1"><gt id="S2.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.2"></gt><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.2"><abs id="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.3.2.1"></abs><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1">𝑗</ci></apply><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.4">0</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.4">𝑒</ci><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m1.3c">\displaystyle g(x)=\beta-\alpha-\eta+\sum_{|j|>0}c_{j}e(jx).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m1.3d">italic_g ( italic_x ) = italic_β - italic_α - italic_η + ∑ start_POSTSUBSCRIPT | italic_j | > 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_e ( italic_j italic_x ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(3)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i3.p1.1.1">For any </span><math alttext="K\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1"><geq id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1c">K\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1d">italic_K ≥ 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i3.p1.1.2">, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx20"> <tbody id="S2.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{|j|>K}|c_{j}|\leq\frac{10\eta^{-1}}{K}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex5.m1.2"><semantics id="S2.Ex5.m1.2a"><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml">></mo><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.4" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.4.cmml">K</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.2.cmml">≤</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3a" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">10</mn><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml"></mo><msup id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3a" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mi id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">K</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex5.m1.2b"><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1"><leq id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.2"></leq><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1"><gt id="S2.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.2"></gt><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.2"><abs id="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1"></abs><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1">𝑗</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.4">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3"></divide><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2"><times id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.1"></times><cn id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.2">10</cn><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.2">𝜂</ci><apply id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3"><minus id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3"></minus><cn id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex5.m1.2c">\displaystyle\sum_{|j|>K}|c_{j}|\leq\frac{10\eta^{-1}}{K}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex5.m1.2d">∑ start_POSTSUBSCRIPT | italic_j | > italic_K end_POSTSUBSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | ≤ divide start_ARG 10 italic_η start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_K end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.SS3.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.1.p1.3">See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib21" title="">21</a>, Chapter 1, Lemma 12]</cite> (with <math alttext="r=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1c">r=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1d">italic_r = 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="\Delta=2\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2">Δ</ci><apply id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1c">\Delta=2\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1d">roman_Δ = 2 italic_η</annotation></semantics></math>, <math alttext="(\alpha,\beta)\to(\alpha+\eta,\beta-\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4"><semantics id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4a"><mrow id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml"><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.3.cmml">→</mo><mrow id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.4" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.1" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.3" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4b"><apply id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4"><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.3">→</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.2"><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1">𝛼</ci><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.2.2">𝛽</ci></interval><interval closure="open" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2"><apply id="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1"><plus id="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2"><minus id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.1"></minus><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.2.2.2.3">𝜂</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4c">(\alpha,\beta)\to(\alpha+\eta,\beta-\eta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.4d">( italic_α , italic_β ) → ( italic_α + italic_η , italic_β - italic_η )</annotation></semantics></math> there). ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3. </span>Gowers norm control of polynomial averages</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.4">For the proofs of the main theorems, we need to know that weighted polynomial averages (with maximal degree <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math>) are controlled in terms of the <math alttext="U^{s}[CN^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1"><times id="S3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><times id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.1c">U^{s}[CN^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.1d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> norm of one of the weights for some constant <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m3.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m3.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, assuming that the corresponding polynomials <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.p1.4.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m4.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> satisfy the assumption of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>. This follows from a result that slightly extends the work of Peluse <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S3.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem1.1.1.1">Proposition 3.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem1.p1.15"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem1.p1.15.15">Let <math alttext="k,d\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">d</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3"><in id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><list id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2">𝑑</ci></list><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2c">k,d\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2d">italic_k , italic_d ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, <math alttext="C\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1"><geq id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">C\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">italic_C ≥ 2</annotation></semantics></math> and let <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">y</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4"><in id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3"></in><list id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2">…</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4"><times id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.1"></times><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4c">P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> be nonconstant polynomials satisfying <math alttext="\deg P_{1}\leq\ldots\leq\deg P_{k}=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml">deg</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.4.cmml">…</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.5" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.1.cmml">deg</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6a" lspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.cmml"></mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.7" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.7.cmml">=</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.8" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.8.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"><and id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1a.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"></and><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1b.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3"></leq><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.1">degree</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.2">𝑃</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.4">…</ci></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1c.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.4.cmml" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1d.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"></share><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.1">degree</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1e.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"><eq id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.7.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.6.cmml" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1f.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"></share><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.8.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.8">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1c">\deg P_{1}\leq\ldots\leq\deg P_{k}=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1d">roman_deg italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≤ … ≤ roman_deg italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_d</annotation></semantics></math>. Suppose that <math alttext="\deg(P_{k}-P_{i})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1a" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2"><eq id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2"></eq><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1">degree</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1"><minus id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2c">\deg(P_{k}-P_{i})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2d">roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq i\leq k-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.4" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.5" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"><and id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1a.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"></and><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1b.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3"></leq><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2">1</cn><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1c.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.4.cmml" id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1d.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"></share><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6"><minus id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.1"></minus><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.2">𝑘</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.6.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1c">1\leq i\leq k-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1d">1 ≤ italic_i ≤ italic_k - 1</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="c_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1a"><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1c">c_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the leading coefficient of <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1a"><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and suppose that all of the coefficients of <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.3.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.4" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3b"><list id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1.1">…</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3c">P_{1},\ldots,P_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.9.9.m9.3d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are at most <math alttext="C|c_{k}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1"><times id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.2"></times><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1"><abs id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1c">C|c_{k}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1d">italic_C | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> in modulus. Suppose also that <math alttext="|c_{i}|\geq|c_{k}|/C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.3.cmml">≥</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.2.cmml">/</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.3.cmml">C</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2"><geq id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.3"></geq><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1"><abs id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2"><divide id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.2"></divide><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1"><abs id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2.2.2.3">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2c">|c_{i}|\geq|c_{k}|/C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.11.11.m11.2d">| italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | ≥ | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | / italic_C</annotation></semantics></math> whenever <math alttext="\deg(P_{i})=d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.cmml">deg</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1a" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.2.cmml">=</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2"><eq id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.2"></eq><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1">degree</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2.2.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2c">\deg(P_{i})=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.12.12.m12.2d">roman_deg ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_d</annotation></semantics></math> and that <math alttext="|c_{k}|\leq N^{\eta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml">≤</mo><msup id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.3.cmml">η</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.2"></leq><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1"><abs id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1c">|c_{k}|\leq N^{\eta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1d">| italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\eta>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1"><gt id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.1"></gt><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1c">\eta>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1d">italic_η > 0</annotation></semantics></math> small enough in terms of <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1a"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1b"><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1d">italic_d</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem1.p2.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9">Let <math alttext="N\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1"><geq id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1c">N\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.1.1.m1.1d">italic_N ≥ 1</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="f_{0},\ldots,f_{k}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.3.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">f</mi><mn id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.3.cmml">:</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.1.cmml">→</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3"><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.3">:</ci><list id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝑓</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4"><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.1">→</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.2">ℤ</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3.3.4.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3c">f_{0},\ldots,f_{k}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.2.2.m2.3d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT : blackboard_Z → blackboard_C</annotation></semantics></math> be functions supported on <math alttext="[-CN^{d},CN^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1a" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1"><minus id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2"><times id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2"><times id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2c">[-CN^{d},CN^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.3.3.m3.2d">[ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> with <math alttext="|f_{i}|\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.2.cmml">≤</mo><mn id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.2"></leq><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1"><abs id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1c">|f_{i}|\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.4.4.m4.1d">| italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | ≤ 1</annotation></semantics></math> for all <math alttext="0\leq i\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.4" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.5" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.6" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.6.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1"><and id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1a.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1"></and><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1b.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.3"></leq><cn id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.2">0</cn><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1c.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.4.cmml" id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1d.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1"></share><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1.1.6">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1c">0\leq i\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.5.5.m5.1d">0 ≤ italic_i ≤ italic_k</annotation></semantics></math>. Also let <math alttext="\theta\colon[N]\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2"><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.1">:</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.2">𝜃</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3"><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.1">→</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.1">𝑁</ci></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1.2.3.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1c">\theta\colon[N]\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.6.6.m6.1d">italic_θ : [ italic_N ] → blackboard_C</annotation></semantics></math> satisfy <math alttext="|\theta|\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.1.cmml">≤</mo><mn id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2"><leq id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.1"></leq><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.2"><abs id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.1">𝜃</ci></apply><cn id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1c">|\theta|\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.7.7.m7.1d">| italic_θ | ≤ 1</annotation></semantics></math>. Then, for some natural number <math alttext="s\ll_{d,k}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.2.cmml">s</mi><msub id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mn id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.1.2">much-less-than</csymbol><list id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2c">s\ll_{d,k}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.8.8.m8.2d">italic_s ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math> and some <math alttext="1\leq K\ll_{d,k}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.cmml"><mn id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.4" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.4.cmml">K</mi><msub id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5.2.cmml">≪</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mn id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.6" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3"><and id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3a.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3"></and><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3b.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3"><leq id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.3"></leq><cn id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.2">1</cn><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.4">𝐾</ci></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3c.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3"><apply id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.5.2">much-less-than</csymbol><list id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.4.cmml" id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3d.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3"></share><cn id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.6.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2.3.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2c">1\leq K\ll_{d,k}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p2.9.9.m9.2d">1 ≤ italic_K ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx21"> <tbody id="S3.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}\left|\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\in\mathbb{Z},m\in[N]}% \theta(m)f_{0}(n)\prod_{j=1}^{k}f_{j}(n+P_{j}(m))\right|\ll_{C,d,k}|c_{k}|^{K}% \left(N^{-1}+\|f_{k}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}\right)^{1/K}.\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E1.m1.49"><semantics id="S3.E1.m1.49a"><mtable id="S3.E1.m1.49.49.2"><mtr id="S3.E1.m1.49.49.2a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E1.m1.49.49.2b"><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48"><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1"><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1"><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2a" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><msup id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.2"><munder id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.2a"><mo id="S3.E1.m1.3.3.3.3.3.3" movablelimits="false" xref="S3.E1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.2" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.1" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.3" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><mo id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.3" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.4a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.2" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.1" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.2" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.1" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E1.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E1.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">θ</mi><mo id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S3.E1.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S3.E1.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">m</mi><mo id="S3.E1.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.4"><mi id="S3.E1.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S3.E1.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">f</mi><mn id="S3.E1.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S3.E1.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.5"><mo id="S3.E1.m1.11.11.11.11.11.11" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S3.E1.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">n</mi><mo id="S3.E1.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.2"><munderover id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.2a"><mo id="S3.E1.m1.14.14.14.14.14.14" movablelimits="false" xref="S3.E1.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1" xref="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.2" xref="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.1" xref="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.3" xref="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E1.m1.16.16.16.16.16.16.1" xref="S3.E1.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S3.E1.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S3.E1.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">f</mi><mi id="S3.E1.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S3.E1.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E1.m1.19.19.19.19.19.19" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E1.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S3.E1.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">n</mi><mo id="S3.E1.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S3.E1.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">+</mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.E1.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S3.E1.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">P</mi><mi id="S3.E1.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S3.E1.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S3.E1.m1.24.24.24.24.24.24" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S3.E1.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">m</mi><mo id="S3.E1.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.27.27.27.27.27.27" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><msub id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.4"><mo id="S3.E1.m1.29.29.29.29.29.29" xref="S3.E1.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">≪</mo><mrow id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.5" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.4.cmml"><mi id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.1" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.5.1" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.2" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.5.2" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.3" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3"><msup id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.2.1"><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.2.1.1.1"><mo id="S3.E1.m1.31.31.31.31.31.31" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.2.1.1.1.1"><mi id="S3.E1.m1.32.32.32.32.32.32" xref="S3.E1.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">c</mi><mi id="S3.E1.m1.33.33.33.33.33.33.1" xref="S3.E1.m1.33.33.33.33.33.33.1.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.34.34.34.34.34.34" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.E1.m1.35.35.35.35.35.35.1" xref="S3.E1.m1.35.35.35.35.35.35.1.cmml">K</mi></msup><mo id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.3" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2"><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1"><mo id="S3.E1.m1.36.36.36.36.36.36" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1"><msup id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1.2"><mi id="S3.E1.m1.37.37.37.37.37.37" xref="S3.E1.m1.37.37.37.37.37.37.cmml">N</mi><mrow id="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1" xref="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1a" xref="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1.2" xref="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E1.m1.39.39.39.39.39.39" xref="S3.E1.m1.39.39.39.39.39.39.cmml">+</mo><msub id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1.1"><mrow id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E1.m1.40.40.40.40.40.40" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.E1.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E1.m1.41.41.41.41.41.41" xref="S3.E1.m1.41.41.41.41.41.41.cmml">f</mi><mi id="S3.E1.m1.42.42.42.42.42.42.1" xref="S3.E1.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.43.43.43.43.43.43" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml"><msup id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.cmml"><mi id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.2" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.2.cmml">U</mi><mi id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.3" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.3.cmml"></mo><mrow id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1a" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.4" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.1" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E1.m1.45.45.45.45.45.45" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1" xref="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.cmml"><mn id="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.2" xref="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.1" xref="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.3" xref="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.47.47.47.47.47.47" lspace="0em" xref="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E1.m1.49b"><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E1.m1.29.29.29.29.29.29.cmml" xref="S3.E1.m1.29.29.29.29.29.29">much-less-than</csymbol><list id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.4.cmml" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.5"><ci id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.30.30.30.30.30.30.1.3">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"></abs><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2"><divide id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2"></divide><cn id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3"><plus id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.3.3.3.3"></sum><apply id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.4a.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1"><in id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.1"></in><ci id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.3">ℤ</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2"><in id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.1"></in><ci id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.2">𝑚</ci><apply id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.4.4.4.1.1">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E1.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.5.5.5.5">𝜃</ci><ci id="S3.E1.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="S3.E1.m1.7.7.7.7.7.7">𝑚</ci><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S3.E1.m1.9.9.9.9.9.9">𝑓</ci><cn id="S3.E1.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.10.10.10.10.10.10.1">0</cn></apply><ci id="S3.E1.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S3.E1.m1.12.12.12.12.12.12">𝑛</ci><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E1.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S3.E1.m1.14.14.14.14.14.14">product</csymbol><apply id="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml" xref="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1"><eq id="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.1"></eq><ci id="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.2">𝑗</ci><cn id="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.15.15.15.15.15.15.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E1.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml" xref="S3.E1.m1.16.16.16.16.16.16.1">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S3.E1.m1.17.17.17.17.17.17">𝑓</ci><ci id="S3.E1.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S3.E1.m1.18.18.18.18.18.18.1">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E1.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S3.E1.m1.21.21.21.21.21.21"></plus><ci id="S3.E1.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S3.E1.m1.20.20.20.20.20.20">𝑛</ci><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S3.E1.m1.22.22.22.22.22.22">𝑃</ci><ci id="S3.E1.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml" xref="S3.E1.m1.23.23.23.23.23.23.1">𝑗</ci></apply><ci id="S3.E1.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S3.E1.m1.25.25.25.25.25.25">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"></abs><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.32.32.32.32.32.32.cmml" xref="S3.E1.m1.32.32.32.32.32.32">𝑐</ci><ci id="S3.E1.m1.33.33.33.33.33.33.1.cmml" xref="S3.E1.m1.33.33.33.33.33.33.1">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.E1.m1.35.35.35.35.35.35.1.cmml" xref="S3.E1.m1.35.35.35.35.35.35.1">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E1.m1.39.39.39.39.39.39.cmml" xref="S3.E1.m1.39.39.39.39.39.39"></plus><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.37.37.37.37.37.37.cmml" xref="S3.E1.m1.37.37.37.37.37.37">𝑁</ci><apply id="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1.cmml" xref="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1"><minus id="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1"></minus><cn id="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.38.38.38.38.38.38.1.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.41.41.41.41.41.41.cmml" xref="S3.E1.m1.41.41.41.41.41.41">𝑓</ci><ci id="S3.E1.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml" xref="S3.E1.m1.42.42.42.42.42.42.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1"><times id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.3"></times><apply id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.1.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.2.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.2">𝑈</ci><ci id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3">𝑠</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2"><apply id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1"><minus id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2"><times id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2"><times id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E1.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply></apply><apply id="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.cmml" xref="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1"><divide id="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.1"></divide><cn id="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.2">1</cn><ci id="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.46.46.46.46.46.46.1.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E1.m1.49c">\displaystyle\begin{split}\left|\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n\in\mathbb{Z},m\in[N]}% \theta(m)f_{0}(n)\prod_{j=1}^{k}f_{j}(n+P_{j}(m))\right|\ll_{C,d,k}|c_{k}|^{K}% \left(N^{-1}+\|f_{k}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}\right)^{1/K}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E1.m1.49d">start_ROW start_CELL | divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z , italic_m ∈ [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT italic_θ ( italic_m ) italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT + ∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S3.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem2.1.1.1">Remark 3.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem2.p1.2">Compared with <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib16" title="">16</a>, Theorem 6.1]</cite>, we have an additional weight <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> on the <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math> variable and we bound the averages in terms of the Gowers uniformity norms rather than Gowers box norms.</p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.1.p1.1.1">Reduction to the case <math alttext="\theta\equiv 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≡</mo><mn id="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.1.m1.1.1"><equivalent id="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.1"></equivalent><ci id="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.1.1.m1.1c">\theta\equiv 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.1.1.m1.1d">italic_θ ≡ 1</annotation></semantics></math>.</span> We first reduce matters to proving the case <math alttext="\theta\equiv 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.2.m1.1"><semantics id="S3.1.p1.2.m1.1a"><mrow id="S3.1.p1.2.m1.1.1" xref="S3.1.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.2.m1.1.1.2" xref="S3.1.p1.2.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.1.p1.2.m1.1.1.1" xref="S3.1.p1.2.m1.1.1.1.cmml">≡</mo><mn id="S3.1.p1.2.m1.1.1.3" xref="S3.1.p1.2.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.2.m1.1b"><apply id="S3.1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.2.m1.1.1"><equivalent id="S3.1.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.2.m1.1.1.1"></equivalent><ci id="S3.1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.2.m1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S3.1.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.2.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.2.m1.1c">\theta\equiv 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.2.m1.1d">italic_θ ≡ 1</annotation></semantics></math>. Suppose that this case has been proved, and consider the general case. Let <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.3.m2.1"><semantics id="S3.1.p1.3.m2.1a"><mi id="S3.1.p1.3.m2.1.1" xref="S3.1.p1.3.m2.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.3.m2.1b"><ci id="S3.1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.3.m2.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.3.m2.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.3.m2.1d">italic_S</annotation></semantics></math> denote the left-hand side of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E1" title="In Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>). Then by the Cauchy–Schwarz inequality we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx22"> <tbody id="S3.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|S|^{2}\leq\frac{1}{N^{2d+1}}\sum_{m\in[N]}\left|\sum_{n\in% \mathbb{Z}}f_{0}(n)\prod_{j=1}^{k}f_{j}(n+P_{j}(m))\right|^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex1.m1.5"><semantics id="S3.Ex1.m1.5a"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex1.m1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3a" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><msup id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3">𝑛</ci><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex1.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.5c">\displaystyle|S|^{2}\leq\frac{1}{N^{2d+1}}\sum_{m\in[N]}\left|\sum_{n\in% \mathbb{Z}}f_{0}(n)\prod_{j=1}^{k}f_{j}(n+P_{j}(m))\right|^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.5d">| italic_S | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.16">Expanding out the square, the right-hand side becomes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx23"> <tbody id="S3.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{N^{2d+1}}\sum_{|h|\leq 2CN^{d}}\sum_{m\in[N]}\sum_{n\in% \mathbb{Z}}\Delta_{h}f_{0}(n)\prod_{j=1}^{k}\Delta_{h}f_{j}(n+P_{j}(m))," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m1.5"><semantics id="S3.Ex2.m1.5a"><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3a" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.1a" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.3.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">f</mi><mn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex2.m1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex2.m1.4.4" xref="S3.Ex2.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.5b"><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1"><times id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3"><divide id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3"><plus id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.1"></plus><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2"><times id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.1"></times><cn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.2">2</cn><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.3">𝑑</ci></apply><cn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1"><leq id="S3.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.2"></leq><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2"><abs id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2.1"></abs><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4"><times id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.1"></times><cn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.2">2</cn><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.3">𝐶</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.4.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex2.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1"><in id="S3.Ex2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.2"></in><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.3">𝑚</ci><apply id="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3"><in id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3">ℤ</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">Δ</ci><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑓</ci><cn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.3.3">𝑛</ci><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Δ</ci><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex2.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.5c">\displaystyle\frac{1}{N^{2d+1}}\sum_{|h|\leq 2CN^{d}}\sum_{m\in[N]}\sum_{n\in% \mathbb{Z}}\Delta_{h}f_{0}(n)\prod_{j=1}^{k}\Delta_{h}f_{j}(n+P_{j}(m)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.5d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT | italic_h | ≤ 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.6">where <math alttext="\Delta_{h}f(x)\coloneqq\overline{f(x+h)}f(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.4.m1.3"><semantics id="S3.1.p1.4.m1.3a"><mrow id="S3.1.p1.4.m1.3.4" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.cmml"><msub id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.3" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.1" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.3" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.3.cmml">f</mi><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.1a" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.4.2" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.1.p1.4.m1.2.2" xref="S3.1.p1.4.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.1" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.1.p1.4.m1.1.1" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.1.p1.4.m1.1.1.2" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.2.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.1" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.2" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.2.cmml">f</mi><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.1a" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.1.cmml"></mo><mrow id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.3.2" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.cmml"><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="S3.1.p1.4.m1.3.3" xref="S3.1.p1.4.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.4.m1.3b"><apply id="S3.1.p1.4.m1.3.4.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4"><ci id="S3.1.p1.4.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.1">≔</ci><apply id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2"><times id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.2">Δ</ci><ci id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.2.3">ℎ</ci></apply><ci id="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.2.3">𝑓</ci><ci id="S3.1.p1.4.m1.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3"><times id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.1"></times><apply id="S3.1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1"><ci id="S3.1.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.2">¯</ci><apply id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1"><times id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.3">𝑓</ci><apply id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.4.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.1.p1.4.m1.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.4.m1.3.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.4.m1.3c">\Delta_{h}f(x)\coloneqq\overline{f(x+h)}f(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.4.m1.3d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_x ) ≔ over¯ start_ARG italic_f ( italic_x + italic_h ) end_ARG italic_f ( italic_x )</annotation></semantics></math>. Applying the case <math alttext="\theta\equiv 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.5.m2.1"><semantics id="S3.1.p1.5.m2.1a"><mrow id="S3.1.p1.5.m2.1.1" xref="S3.1.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.5.m2.1.1.2" xref="S3.1.p1.5.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.1.p1.5.m2.1.1.1" xref="S3.1.p1.5.m2.1.1.1.cmml">≡</mo><mn id="S3.1.p1.5.m2.1.1.3" xref="S3.1.p1.5.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.5.m2.1b"><apply id="S3.1.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.5.m2.1.1"><equivalent id="S3.1.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.5.m2.1.1.1"></equivalent><ci id="S3.1.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.5.m2.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S3.1.p1.5.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.5.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.5.m2.1c">\theta\equiv 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.5.m2.1d">italic_θ ≡ 1</annotation></semantics></math> to the inner sums here, we see that for some <math alttext="1\leq s,K\ll_{d,k}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.6.m3.4"><semantics id="S3.1.p1.6.m3.4a"><mrow id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1" xref="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.cmml"><mn id="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.2" xref="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.3" xref="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.3" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.2" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.2.cmml">K</mi><msub id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1.2" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.4" xref="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.1.p1.6.m3.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.6.m3.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.2" xref="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mn id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.3" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.6.m3.4b"><apply id="S3.1.p1.6.m3.4.4.3.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.6.m3.4.4.3a.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1"><leq id="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.1"></leq><cn id="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.2">1</cn><ci id="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.3.3.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2"><apply id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.1.2">much-less-than</csymbol><list id="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.1.p1.6.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><ci id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.2">𝐾</ci><cn id="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.6.m3.4.4.2.2.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.6.m3.4c">1\leq s,K\ll_{d,k}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.6.m3.4d">1 ≤ italic_s , italic_K ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx24"> <tbody id="S3.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|S|^{2}\ll_{C,d,k}\frac{|c_{k}|^{K}}{N^{d}}\sum_{|h|\leq 2CN^{d}}% \left(N^{-1}+\|\Delta_{h}f_{k}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}\right)^{1/K}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3.m1.9"><semantics id="S3.Ex3.m1.9a"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex3.m1.8.8" xref="S3.Ex3.m1.8.8.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><msub id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex3.m1.4.4" xref="S3.Ex3.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S3.Ex3.m1.4.4a" xref="S3.Ex3.m1.4.4.cmml"><msup id="S3.Ex3.m1.4.4.1" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.1.3" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.3.cmml">K</mi></msup><msup id="S3.Ex3.m1.4.4.3" xref="S3.Ex3.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.3.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.3.3" xref="S3.Ex3.m1.4.4.3.3.cmml">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.5.5.1" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex3.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.1.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.1.2" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.2" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.1" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.3" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.1a" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.2" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.3" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow></munder></mstyle><msup id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msub id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.Ex3.m1.7.7.2" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.cmml"><msup id="S3.Ex3.m1.7.7.2.4" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.2" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.3" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S3.Ex3.m1.7.7.2.3" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1a" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.4" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.9b"><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1"><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><list id="S3.Ex3.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.2"><abs id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.2.2.1"></abs><ci id="S3.Ex3.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8">𝑆</ci></apply><cn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1"><times id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4"><divide id="S3.Ex3.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4"></divide><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1"><abs id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.3.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex3.m1.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1"><leq id="S3.Ex3.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.2"></leq><apply id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2"><abs id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2.1"></abs><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.1">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4"><times id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.1"></times><cn id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.2">2</cn><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.3">𝐶</ci><apply id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.7.7.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2"><times id="S3.Ex3.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.3"></times><apply id="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.4.3">𝑠</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2"><apply id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2"><times id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.9c">\displaystyle|S|^{2}\ll_{C,d,k}\frac{|c_{k}|^{K}}{N^{d}}\sum_{|h|\leq 2CN^{d}}% \left(N^{-1}+\|\Delta_{h}f_{k}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}\right)^{1/K}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.9d">| italic_S | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT | italic_h | ≤ 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT + ∥ roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.8">Using <math alttext="(a+b)^{1/K}\leq a^{1/K}+b^{1/K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.7.m1.1"><semantics id="S3.1.p1.7.m1.1a"><mrow id="S3.1.p1.7.m1.1.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.cmml"><msup id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup><mo id="S3.1.p1.7.m1.1.1.2" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup><mo id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.7.m1.1b"><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1"><leq id="S3.1.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.2"></leq><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3"><divide id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3"><plus id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3"><divide id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.1"></divide><cn id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.2">1</cn><ci id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.2.3.3">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.2">𝑏</ci><apply id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3"><divide id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.1"></divide><cn id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.2">1</cn><ci id="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.7.m1.1.1.3.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.7.m1.1c">(a+b)^{1/K}\leq a^{1/K}+b^{1/K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.7.m1.1d">( italic_a + italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT + italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="a,b\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.8.m2.2"><semantics id="S3.1.p1.8.m2.2a"><mrow id="S3.1.p1.8.m2.2.3" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3.cmml"><mrow id="S3.1.p1.8.m2.2.3.2.2" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3.2.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.8.m2.1.1" xref="S3.1.p1.8.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="S3.1.p1.8.m2.2.3.2.2.1" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.1.p1.8.m2.2.2" xref="S3.1.p1.8.m2.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S3.1.p1.8.m2.2.3.1" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.1.p1.8.m2.2.3.3" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.8.m2.2b"><apply id="S3.1.p1.8.m2.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3"><geq id="S3.1.p1.8.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3.1"></geq><list id="S3.1.p1.8.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3.2.2"><ci id="S3.1.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.8.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="S3.1.p1.8.m2.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.8.m2.2.2">𝑏</ci></list><cn id="S3.1.p1.8.m2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.8.m2.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.8.m2.2c">a,b\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.8.m2.2d">italic_a , italic_b ≥ 0</annotation></semantics></math> and Hölder’s inequality, we see that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx25"> <tbody id="S3.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|S|^{2}\ll_{C,d,k}|c_{k}|^{K}\left(N^{-1/K}+\left(\frac{1}{N^{d}}% \sum_{|h|\leq 2CN^{d}}\|\Delta_{h}f_{k}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}^{2^{s}}% \right)^{1/(2^{s}K)}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m1.9"><semantics id="S3.Ex4.m1.9a"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex4.m1.8.8" xref="S3.Ex4.m1.8.8.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><msub id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex4.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex4.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex4.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">K</mi></msup><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3a" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">K</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.1a" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow></munder></mstyle><msubsup id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.Ex4.m1.6.6.2" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.6.6.2.4.2" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.4.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex4.m1.6.6.2.4.3" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.4.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S3.Ex4.m1.6.6.2.3" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1a" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><msup id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.7.7.1.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.2" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.9b"><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1"><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><list id="S3.Ex4.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.2"><abs id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.2.2.1"></abs><ci id="S3.Ex4.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex4.m1.8.8">𝑆</ci></apply><cn id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2"><times id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci 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id="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.2"><abs id="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.2.1"></abs><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.1"></times><cn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.2">2</cn><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.3">𝐶</ci><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.6.6.2.cmml" 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xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2"><times id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.7.7.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1"><divide id="S3.Ex4.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.2"></divide><cn id="S3.Ex4.m1.7.7.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.3">1</cn><apply id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><cn id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.1.1.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.9c">\displaystyle|S|^{2}\ll_{C,d,k}|c_{k}|^{K}\left(N^{-1/K}+\left(\frac{1}{N^{d}}% \sum_{|h|\leq 2CN^{d}}\|\Delta_{h}f_{k}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}^{2^{s}}% \right)^{1/(2^{s}K)}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.9d">| italic_S | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT | italic_h | ≤ 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / ( 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_K ) end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.9">Expanding out the definition of the <math alttext="U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.9.m1.2"><semantics id="S3.1.p1.9.m1.2a"><mrow id="S3.1.p1.9.m1.2.2" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.cmml"><msup id="S3.1.p1.9.m1.2.2.4" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.2" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.2.cmml">U</mi><mi id="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.3" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S3.1.p1.9.m1.2.2.3" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1a" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.9.m1.2b"><apply id="S3.1.p1.9.m1.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2"><times id="S3.1.p1.9.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.3"></times><apply id="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.4.3">𝑠</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2"><times id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.9.m1.2.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.9.m1.2c">U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.9.m1.2d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> norm, we conclude that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx26"> <tbody id="S3.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|S|^{2}\ll_{C,d,k}|c_{k}|^{K}\left(N^{-1/K}+\|f_{k}\|_{U^{s+1}[-% CN^{d},CN^{d}]}^{2/K}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m1.7"><semantics id="S3.Ex5.m1.7a"><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex5.m1.6.6" xref="S3.Ex5.m1.6.6.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><msub id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex5.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msup id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">K</mi></msup><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3a" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">K</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.Ex5.m1.5.5.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.cmml"><msup id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.2.cmml">U</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.1" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.2.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1a" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.4" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.7b"><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1"><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><list id="S3.Ex5.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.2"><abs id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.2.2.1"></abs><ci id="S3.Ex5.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex5.m1.6.6">𝑆</ci></apply><cn id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2"><times id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.1.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1"><plus id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3"></minus><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2"><divide id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1"></divide><cn id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2">1</cn><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3">𝐾</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2"><times id="S3.Ex5.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.3"></times><apply id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.2">𝑈</ci><apply id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3"><plus id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.1"></plus><ci id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.4.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="closed" id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2"><apply id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2"><times id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.7c">\displaystyle|S|^{2}\ll_{C,d,k}|c_{k}|^{K}\left(N^{-1/K}+\|f_{k}\|_{U^{s+1}[-% CN^{d},CN^{d}]}^{2/K}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.7d">| italic_S | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT + ∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + 1 end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.15">Now the claim (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E1" title="In Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>) follows (with <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.10.m1.1"><semantics id="S3.1.p1.10.m1.1a"><mi id="S3.1.p1.10.m1.1.1" xref="S3.1.p1.10.m1.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.10.m1.1b"><ci id="S3.1.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.10.m1.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.10.m1.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.10.m1.1d">italic_s</annotation></semantics></math> replaced by <math alttext="s+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.11.m2.1"><semantics id="S3.1.p1.11.m2.1a"><mrow id="S3.1.p1.11.m2.1.1" xref="S3.1.p1.11.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.11.m2.1.1.2" xref="S3.1.p1.11.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.1.p1.11.m2.1.1.1" xref="S3.1.p1.11.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.1.p1.11.m2.1.1.3" xref="S3.1.p1.11.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.11.m2.1b"><apply id="S3.1.p1.11.m2.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.11.m2.1.1"><plus id="S3.1.p1.11.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.11.m2.1.1.1"></plus><ci id="S3.1.p1.11.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.11.m2.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S3.1.p1.11.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.11.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.11.m2.1c">s+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.11.m2.1d">italic_s + 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.12.m3.1"><semantics id="S3.1.p1.12.m3.1a"><mi id="S3.1.p1.12.m3.1.1" xref="S3.1.p1.12.m3.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.12.m3.1b"><ci id="S3.1.p1.12.m3.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.12.m3.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.12.m3.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.12.m3.1d">italic_K</annotation></semantics></math> by <math alttext="2K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.13.m4.1"><semantics id="S3.1.p1.13.m4.1a"><mrow id="S3.1.p1.13.m4.1.1" xref="S3.1.p1.13.m4.1.1.cmml"><mn id="S3.1.p1.13.m4.1.1.2" xref="S3.1.p1.13.m4.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.1.p1.13.m4.1.1.1" xref="S3.1.p1.13.m4.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S3.1.p1.13.m4.1.1.3" xref="S3.1.p1.13.m4.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.13.m4.1b"><apply id="S3.1.p1.13.m4.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.13.m4.1.1"><times id="S3.1.p1.13.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.13.m4.1.1.1"></times><cn id="S3.1.p1.13.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.13.m4.1.1.2">2</cn><ci id="S3.1.p1.13.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.13.m4.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.13.m4.1c">2K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.13.m4.1d">2 italic_K</annotation></semantics></math>) from the power mean inequality <math alttext="(a^{1/K}+b^{1/K})/2\leq((a+b)/2)^{1/K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.14.m5.2"><semantics id="S3.1.p1.14.m5.2a"><mrow id="S3.1.p1.14.m5.2.2" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.cmml"><mrow id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup><mo id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.1.p1.14.m5.2.2.3" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.3.cmml">≤</mo><msup id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.cmml"><mn id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.2" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.1" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.3" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.14.m5.2b"><apply id="S3.1.p1.14.m5.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2"><leq id="S3.1.p1.14.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.3"></leq><apply id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1"><divide id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1"><plus id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑎</ci><apply id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></divide><cn id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><apply id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3"><divide id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></divide><cn id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn><ci id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.14.m5.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1"><divide id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply><cn id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3"><divide id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.1"></divide><cn id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.2">1</cn><ci id="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.14.m5.2.2.2.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.14.m5.2c">(a^{1/K}+b^{1/K})/2\leq((a+b)/2)^{1/K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.14.m5.2d">( italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT + italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT ) / 2 ≤ ( ( italic_a + italic_b ) / 2 ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="a,b\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.15.m6.2"><semantics id="S3.1.p1.15.m6.2a"><mrow id="S3.1.p1.15.m6.2.3" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3.cmml"><mrow id="S3.1.p1.15.m6.2.3.2.2" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3.2.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.15.m6.1.1" xref="S3.1.p1.15.m6.1.1.cmml">a</mi><mo id="S3.1.p1.15.m6.2.3.2.2.1" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.1.p1.15.m6.2.2" xref="S3.1.p1.15.m6.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S3.1.p1.15.m6.2.3.1" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.1.p1.15.m6.2.3.3" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.15.m6.2b"><apply id="S3.1.p1.15.m6.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3"><geq id="S3.1.p1.15.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3.1"></geq><list id="S3.1.p1.15.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3.2.2"><ci id="S3.1.p1.15.m6.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.15.m6.1.1">𝑎</ci><ci id="S3.1.p1.15.m6.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.15.m6.2.2">𝑏</ci></list><cn id="S3.1.p1.15.m6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.15.m6.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.15.m6.2c">a,b\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.15.m6.2d">italic_a , italic_b ≥ 0</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.2.p2.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.2.p2.1.1">Proof of the case <math alttext="\theta\equiv 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.2.p2.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.2.p2.1.1.m1.1.1" xref="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.1.cmml">≡</mo><mn id="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.1.1.m1.1b"><apply id="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.1.m1.1.1"><equivalent id="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.1"></equivalent><ci id="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.1.1.m1.1c">\theta\equiv 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.1.1.m1.1d">italic_θ ≡ 1</annotation></semantics></math>.</span> We may also assume that <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.2.m1.1"><semantics id="S3.2.p2.2.m1.1a"><mi id="S3.2.p2.2.m1.1.1" xref="S3.2.p2.2.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.2.m1.1b"><ci id="S3.2.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.2.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.2.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.2.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is large enough in terms of <math alttext="d,k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.3.m2.2"><semantics id="S3.2.p2.3.m2.2a"><mrow id="S3.2.p2.3.m2.2.3.2" xref="S3.2.p2.3.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.2.p2.3.m2.1.1" xref="S3.2.p2.3.m2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.2.p2.3.m2.2.3.2.1" xref="S3.2.p2.3.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.2.p2.3.m2.2.2" xref="S3.2.p2.3.m2.2.2.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.3.m2.2b"><list id="S3.2.p2.3.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m2.2.3.2"><ci id="S3.2.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m2.1.1">𝑑</ci><ci id="S3.2.p2.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.3.m2.2.2">𝑘</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.3.m2.2c">d,k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.3.m2.2d">italic_d , italic_k</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.3.p3.3">We are going to apply <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib16" title="">16</a>, Theorem 6.1]</cite>. Let <math alttext="s\ll_{d,k}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.3.p3.1.m1.2"><semantics id="S3.3.p3.1.m1.2a"><mrow id="S3.3.p3.1.m1.2.3" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.3.p3.1.m1.2.3.2" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.2.cmml">s</mi><msub id="S3.3.p3.1.m1.2.3.1" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.3.p3.1.m1.2.3.1.2" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mn id="S3.3.p3.1.m1.2.3.3" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.3.p3.1.m1.2b"><apply id="S3.3.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3"><apply id="S3.3.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.3.p3.1.m1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.3.p3.1.m1.2.3.1.2.cmml" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.1.2">much-less-than</csymbol><list id="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.3.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.3.p3.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><ci id="S3.3.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.3.p3.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.3.p3.1.m1.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.3.p3.1.m1.2c">s\ll_{d,k}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.3.p3.1.m1.2d">italic_s ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math> be as in that theorem (we may assume that <math alttext="s\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.3.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.3.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.3.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.3.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.3.p3.2.m2.1.1"><geq id="S3.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.3.p3.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S3.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.3.p3.2.m2.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S3.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.3.p3.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.3.p3.2.m2.1c">s\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.3.p3.2.m2.1d">italic_s ≥ 2</annotation></semantics></math>). Also let <math alttext="B=B(d,k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.3.p3.3.m3.2"><semantics id="S3.3.p3.3.m3.2a"><mrow id="S3.3.p3.3.m3.2.3" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.3.p3.3.m3.2.3.2" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.3.p3.3.m3.2.3.1" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.1" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.2" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.3.p3.3.m3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.2.2" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.3.p3.3.m3.2.2" xref="S3.3.p3.3.m3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.3.p3.3.m3.2b"><apply id="S3.3.p3.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3"><eq id="S3.3.p3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.1"></eq><ci id="S3.3.p3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.2">𝐵</ci><apply id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3"><times id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.2">𝐵</ci><interval closure="open" id="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.2.3.3.3.2"><ci id="S3.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.1.1">𝑑</ci><ci id="S3.3.p3.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.3.p3.3.m3.2.2">𝑘</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.3.p3.3.m3.2c">B=B(d,k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.3.p3.3.m3.2d">italic_B = italic_B ( italic_d , italic_k )</annotation></semantics></math> be large enough. Let</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx27"> <tbody id="S3.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\coloneqq\frac{1}{C^{2}|c_{k}|N^{d+1}}\sum_{n\in\mathbb{Z},% m\in[N]}f_{0}(n)\prod_{j=1}^{k}f_{j}(n+P_{j}(m))." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E2.m1.7"><semantics id="S3.E2.m1.7a"><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.3.cmml">δ</mi><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E2.m1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E2.m1.1.1a" xref="S3.E2.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.E2.m1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E2.m1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.E2.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.2a" xref="S3.E2.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S3.E2.m1.1.1.1.4" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.4.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2a" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E2.m1.4.4.3.3" xref="S3.E2.m1.4.4.3.4.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.3.3.2.2.1" xref="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><mo id="S3.E2.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.E2.m1.4.4.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.2" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.1" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.2" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E2.m1.5.5" xref="S3.E2.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E2.m1.6.6" xref="S3.E2.m1.6.6.cmml">m</mi><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E2.m1.7b"><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1"><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.2">≔</ci><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.3">𝛿</ci><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1"><divide id="S3.E2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1"></divide><cn id="S3.E2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E2.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.E2.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.2">𝑁</ci><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.3"><plus id="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.1"></plus><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E2.m1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1"><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.E2.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.4.4.3.4a.cmml" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.2.2.1"><in id="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.1"></in><ci id="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.2.2.1.3">ℤ</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2"><in id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.1"></in><ci id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.2">𝑚</ci><apply id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.4.4.3.3.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.E2.m1.5.5.cmml" xref="S3.E2.m1.5.5">𝑛</ci><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.E2.m1.6.6.cmml" xref="S3.E2.m1.6.6">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E2.m1.7c">\displaystyle\delta\coloneqq\frac{1}{C^{2}|c_{k}|N^{d+1}}\sum_{n\in\mathbb{Z},% m\in[N]}f_{0}(n)\prod_{j=1}^{k}f_{j}(n+P_{j}(m)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E2.m1.7d">italic_δ ≔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z , italic_m ∈ [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.4.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.4.p4.4">We may suppose that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx28"> <tbody id="S3.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle N\geq B\left(\frac{|c_{k}|}{\delta^{B}}\right)^{B}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.2"><semantics id="S3.Ex6.m1.2a"><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.1.1a" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><msup id="S3.Ex6.m1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.3.cmml">B</mi></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">B</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.2b"><apply id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1"><geq id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.1"></geq><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.2">𝑁</ci><apply id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3"><times id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.2">𝐵</ci><apply id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2"><divide id="S3.Ex6.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2"></divide><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex6.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.2c">\displaystyle N\geq B\left(\frac{|c_{k}|}{\delta^{B}}\right)^{B},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.2d">italic_N ≥ italic_B ( divide start_ARG | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG start_ARG italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.4.p4.3">since otherwise solving this inequality for <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.4.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.4.p4.1.m1.1.1" xref="S3.4.p4.1.m1.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.4.p4.1.m1.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p4.1.m1.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p4.1.m1.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> the claim of the proposition follows immediately. Since <math alttext="|f_{j}|\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.4.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.4.p4.2.m2.1.1" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.4.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.2.cmml">≤</mo><mn id="S3.4.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1"><leq id="S3.4.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.2"></leq><apply id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1"><abs id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S3.4.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p4.2.m2.1c">|f_{j}|\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p4.2.m2.1d">| italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | ≤ 1</annotation></semantics></math>, we also have <math alttext="\delta\leq 1/C^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.4.p4.3.m3.1a"><mrow id="S3.4.p4.3.m3.1.1" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p4.3.m3.1.1.2" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.4.p4.3.m3.1.1.1" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><msup id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p4.3.m3.1b"><apply id="S3.4.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1"><leq id="S3.4.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="S3.4.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3"><divide id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p4.3.m3.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p4.3.m3.1c">\delta\leq 1/C^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p4.3.m3.1d">italic_δ ≤ 1 / italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.5.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.5.p5.6">Now we apply <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib16" title="">16</a>, Theorem 6.1]</cite><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote4"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">4</span>That theorem is stated for functions supported on intervals of the form <math alttext="[X]" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote4.m1.1"><semantics id="footnote4.m1.1b"><mrow id="footnote4.m1.1.2.2" xref="footnote4.m1.1.2.1.cmml"><mo id="footnote4.m1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="footnote4.m1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mi id="footnote4.m1.1.1" xref="footnote4.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="footnote4.m1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="footnote4.m1.1.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote4.m1.1c"><apply id="footnote4.m1.1.2.1.cmml" xref="footnote4.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="footnote4.m1.1.2.1.1.cmml" xref="footnote4.m1.1.2.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="footnote4.m1.1.1.cmml" xref="footnote4.m1.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote4.m1.1d">[X]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote4.m1.1e">[ italic_X ]</annotation></semantics></math>, but the same proof works for functions supported on an interval of the form <math alttext="[-X,X]" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote4.m2.2"><semantics id="footnote4.m2.2b"><mrow id="footnote4.m2.2.2.1" xref="footnote4.m2.2.2.2.cmml"><mo id="footnote4.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="footnote4.m2.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="footnote4.m2.2.2.1.1" xref="footnote4.m2.2.2.1.1.cmml"><mo id="footnote4.m2.2.2.1.1b" xref="footnote4.m2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="footnote4.m2.2.2.1.1.2" xref="footnote4.m2.2.2.1.1.2.cmml">X</mi></mrow><mo id="footnote4.m2.2.2.1.3" xref="footnote4.m2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="footnote4.m2.1.1" xref="footnote4.m2.1.1.cmml">X</mi><mo id="footnote4.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="footnote4.m2.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote4.m2.2c"><interval closure="closed" id="footnote4.m2.2.2.2.cmml" xref="footnote4.m2.2.2.1"><apply id="footnote4.m2.2.2.1.1.cmml" xref="footnote4.m2.2.2.1.1"><minus id="footnote4.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="footnote4.m2.2.2.1.1"></minus><ci id="footnote4.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="footnote4.m2.2.2.1.1.2">𝑋</ci></apply><ci id="footnote4.m2.1.1.cmml" xref="footnote4.m2.1.1">𝑋</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote4.m2.2d">[-X,X]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote4.m2.2e">[ - italic_X , italic_X ]</annotation></semantics></math>.</span></span></span> with <math alttext="(M,N,C)\to(N,C^{2}|c_{k}|N^{d},C^{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.1.m1.6"><semantics id="S3.5.p5.1.m1.6a"><mrow id="S3.5.p5.1.m1.6.6" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.2" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.1.cmml"><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.5.p5.1.m1.1.1" xref="S3.5.p5.1.m1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.2.2" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.5.p5.1.m1.2.2" xref="S3.5.p5.1.m1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.2.3" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.5.p5.1.m1.3.3" xref="S3.5.p5.1.m1.3.3.cmml">C</mi><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.3.cmml">→</mo><mrow id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.5.p5.1.m1.4.4" xref="S3.5.p5.1.m1.4.4.cmml">N</mi><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.4" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.3" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.5" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">C</mi><mn id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.1.m1.6b"><apply id="S3.5.p5.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6"><ci id="S3.5.p5.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.3">→</ci><vector id="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.4.2"><ci id="S3.5.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.1.1">𝑀</ci><ci id="S3.5.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.5.p5.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.3.3">𝐶</ci></vector><vector id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2"><ci id="S3.5.p5.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.4.4">𝑁</ci><apply id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1"><abs id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.5.5.1.1.1.4.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.1.m1.6.6.2.2.2.3">3</cn></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.1.m1.6c">(M,N,C)\to(N,C^{2}|c_{k}|N^{d},C^{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.1.m1.6d">( italic_M , italic_N , italic_C ) → ( italic_N , italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> there (noting that the assumptions of that theorem are satisfied; in particular <math alttext="|c_{i}|N^{d}/(C^{2}|c_{k}|N^{d})\in[C^{-3},C^{3}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.2.m2.4"><semantics id="S3.5.p5.2.m2.4a"><mrow id="S3.5.p5.2.m2.4.4" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.3" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml">/</mo><mrow id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.2a" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.2" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.3" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.5.p5.2.m2.4.4.5" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.5.cmml">∈</mo><mrow id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.3.cmml"><mo id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.3.cmml">[</mo><msup id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.2" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3a" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup><mo id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.4" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.3.cmml">,</mo><msup id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.2" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.2.cmml">C</mi><mn id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.3" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.2.m2.4b"><apply id="S3.5.p5.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4"><in id="S3.5.p5.2.m2.4.4.5.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.5"></in><apply id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2"><divide id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.3"></divide><apply id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1"><times id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1"><times id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1"><abs id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><interval closure="closed" id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2"><apply id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3"><minus id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3"></minus><cn id="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.2.m2.3.3.3.1.1.3.2">3</cn></apply></apply><apply id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.2.m2.4.4.4.2.2.3">3</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.2.m2.4c">|c_{i}|N^{d}/(C^{2}|c_{k}|N^{d})\in[C^{-3},C^{3}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.2.m2.4d">| italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ) ∈ [ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.5.p5.3.m3.1a"><mi id="S3.5.p5.3.m3.1.1" xref="S3.5.p5.3.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.3.m3.1b"><ci id="S3.5.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.3.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.3.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.3.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math>). Recalling the definition of the Gowers box norms from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib16" title="">16</a>, Section 2]</cite>, we conclude that for some <math alttext="t=t(d,k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.4.m4.2"><semantics id="S3.5.p5.4.m4.2a"><mrow id="S3.5.p5.4.m4.2.3" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.4.m4.2.3.2" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.5.p5.4.m4.2.3.1" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.2" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.1" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.2" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.5.p5.4.m4.1.1" xref="S3.5.p5.4.m4.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.2.2" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.5.p5.4.m4.2.2" xref="S3.5.p5.4.m4.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.4.m4.2b"><apply id="S3.5.p5.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3"><eq id="S3.5.p5.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.1"></eq><ci id="S3.5.p5.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.2">𝑡</ci><apply id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3"><times id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.1"></times><ci id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.2">𝑡</ci><interval closure="open" id="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.2.3.3.3.2"><ci id="S3.5.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.1.1">𝑑</ci><ci id="S3.5.p5.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.4.m4.2.2">𝑘</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.4.m4.2c">t=t(d,k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.4.m4.2d">italic_t = italic_t ( italic_d , italic_k )</annotation></semantics></math> (which may be assumed to be much smaller than <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.5.m5.1"><semantics id="S3.5.p5.5.m5.1a"><mi id="S3.5.p5.5.m5.1.1" xref="S3.5.p5.5.m5.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.5.m5.1b"><ci id="S3.5.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.5.m5.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.5.m5.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.5.m5.1d">italic_B</annotation></semantics></math>) and for <math alttext="\delta^{\prime}=\delta^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.6.m6.1"><semantics id="S3.5.p5.6.m6.1a"><mrow id="S3.5.p5.6.m6.1.1" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.cmml"><msup id="S3.5.p5.6.m6.1.1.2" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.3" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.5.p5.6.m6.1.1.1" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.5.p5.6.m6.1.1.3" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.3" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.6.m6.1b"><apply id="S3.5.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1"><eq id="S3.5.p5.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.6.m6.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.6.m6.1c">\delta^{\prime}=\delta^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.6.m6.1d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx29"> <tbody id="S3.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|f_{k}\|_{\square^{s}_{Q_{1},\ldots,Q_{s}}([C^{2}|c_{k}|N^{d}])}% \gg_{C,d,k}\delta^{\prime}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E3.m1.8"><semantics id="S3.E3.m1.8a"><mrow id="S3.E3.m1.8.8.1" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.8.8.1.1" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.cmml"><msub id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4" xref="S3.E3.m1.4.4.4.cmml"><msubsup id="S3.E3.m1.4.4.4.6" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.2.cmml">□</mi><mrow id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.4.cmml"><msub id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.4" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.2" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.3" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.5" xref="S3.E3.m1.4.4.4.5.cmml"></mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1" xref="S3.E3.m1.4.4.4.cmml"><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.4.cmml">(</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><msub id="S3.E3.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">≫</mo><mrow id="S3.E3.m1.7.7.3.5" xref="S3.E3.m1.7.7.3.4.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.E3.m1.7.7.3.5.1" xref="S3.E3.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.6.6.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E3.m1.7.7.3.5.2" xref="S3.E3.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.7.7.3.3" xref="S3.E3.m1.7.7.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><msup id="S3.E3.m1.8.8.1.1.3" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.3" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.E3.m1.8.8.1.2" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E3.m1.8b"><apply id="S3.E3.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1"><apply id="S3.E3.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.8.8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E3.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.2.2">much-greater-than</csymbol><list id="S3.E3.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S3.E3.m1.7.7.3.5"><ci id="S3.E3.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.E3.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.E3.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.7.7.3.3">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4"><times id="S3.E3.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.5"></times><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.6.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.4.6.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6">subscript</csymbol><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.2">□</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6.2.3">𝑠</ci></apply><list id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3"><apply id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑄</ci><cn id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.2.3">𝑠</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1"><times id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.m1.8c">\displaystyle\|f_{k}\|_{\square^{s}_{Q_{1},\ldots,Q_{s}}([C^{2}|c_{k}|N^{d}])}% \gg_{C,d,k}\delta^{\prime},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.m1.8d">∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT □ start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( [ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] ) end_POSTSUBSCRIPT ≫ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.5.p5.10">where each <math alttext="Q_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.7.m1.1"><semantics id="S3.5.p5.7.m1.1a"><msub id="S3.5.p5.7.m1.1.1" xref="S3.5.p5.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.7.m1.1.1.2" xref="S3.5.p5.7.m1.1.1.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.5.p5.7.m1.1.1.3" xref="S3.5.p5.7.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.7.m1.1b"><apply id="S3.5.p5.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.7.m1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.5.p5.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.7.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.7.m1.1c">Q_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.7.m1.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> equals to <math alttext="r_{i}[\delta^{\prime}N^{d}]\subset r_{i}\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.8.m2.1"><semantics id="S3.5.p5.8.m2.1a"><mrow id="S3.5.p5.8.m2.1.1" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.5.p5.8.m2.1.1.2" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.1" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.3" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.8.m2.1b"><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1"><subset id="S3.5.p5.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.2"></subset><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1"><times id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3"><times id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.8.m2.1.1.3.3">ℤ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.8.m2.1c">r_{i}[\delta^{\prime}N^{d}]\subset r_{i}\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.8.m2.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT [ italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] ⊂ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT blackboard_Z</annotation></semantics></math> for some integer<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote5"><sup class="ltx_note_mark">5</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">5</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">5</span>The numbers <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m1.1"><semantics id="footnote5.m1.1b"><msub id="footnote5.m1.1.1" xref="footnote5.m1.1.1.cmml"><mi id="footnote5.m1.1.1.2" xref="footnote5.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="footnote5.m1.1.1.3" xref="footnote5.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m1.1c"><apply id="footnote5.m1.1.1.cmml" xref="footnote5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m1.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m1.1.1.2.cmml" xref="footnote5.m1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="footnote5.m1.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m1.1d">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m1.1e">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are of the form <math alttext="c_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m2.1"><semantics id="footnote5.m2.1b"><msub id="footnote5.m2.1.1" xref="footnote5.m2.1.1.cmml"><mi id="footnote5.m2.1.1.2" xref="footnote5.m2.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="footnote5.m2.1.1.3" xref="footnote5.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m2.1c"><apply id="footnote5.m2.1.1.cmml" xref="footnote5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m2.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m2.1.1.2.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.2">𝑐</ci><ci id="footnote5.m2.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m2.1d">c_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m2.1e">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> or <math alttext="c_{k}-c_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m3.1"><semantics id="footnote5.m3.1b"><mrow id="footnote5.m3.1.1" xref="footnote5.m3.1.1.cmml"><msub id="footnote5.m3.1.1.2" xref="footnote5.m3.1.1.2.cmml"><mi id="footnote5.m3.1.1.2.2" xref="footnote5.m3.1.1.2.2.cmml">c</mi><mi id="footnote5.m3.1.1.2.3" xref="footnote5.m3.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="footnote5.m3.1.1.1" xref="footnote5.m3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="footnote5.m3.1.1.3" xref="footnote5.m3.1.1.3.cmml"><mi id="footnote5.m3.1.1.3.2" xref="footnote5.m3.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="footnote5.m3.1.1.3.3" xref="footnote5.m3.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m3.1c"><apply id="footnote5.m3.1.1.cmml" xref="footnote5.m3.1.1"><minus id="footnote5.m3.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.1"></minus><apply id="footnote5.m3.1.1.2.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="footnote5.m3.1.1.2.3.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="footnote5.m3.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="footnote5.m3.1.1.3.3.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m3.1d">c_{k}-c_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m3.1e">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for some <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m4.1"><semantics id="footnote5.m4.1b"><mi id="footnote5.m4.1.1" xref="footnote5.m4.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m4.1c"><ci id="footnote5.m4.1.1.cmml" xref="footnote5.m4.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m4.1d">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m4.1e">italic_i</annotation></semantics></math> with <math alttext="\deg P_{i}=d" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m5.1"><semantics id="footnote5.m5.1b"><mrow id="footnote5.m5.1.1" xref="footnote5.m5.1.1.cmml"><mrow id="footnote5.m5.1.1.2" xref="footnote5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="footnote5.m5.1.1.2.1" xref="footnote5.m5.1.1.2.1.cmml">deg</mi><mo id="footnote5.m5.1.1.2b" lspace="0.167em" xref="footnote5.m5.1.1.2.cmml"></mo><msub id="footnote5.m5.1.1.2.2" xref="footnote5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="footnote5.m5.1.1.2.2.2" xref="footnote5.m5.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="footnote5.m5.1.1.2.2.3" xref="footnote5.m5.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="footnote5.m5.1.1.1" xref="footnote5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="footnote5.m5.1.1.3" xref="footnote5.m5.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m5.1c"><apply id="footnote5.m5.1.1.cmml" xref="footnote5.m5.1.1"><eq id="footnote5.m5.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m5.1.1.1"></eq><apply id="footnote5.m5.1.1.2.cmml" xref="footnote5.m5.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="footnote5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="footnote5.m5.1.1.2.1">degree</csymbol><apply id="footnote5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="footnote5.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="footnote5.m5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="footnote5.m5.1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="footnote5.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="footnote5.m5.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="footnote5.m5.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m5.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m5.1d">\deg P_{i}=d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m5.1e">roman_deg italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_d</annotation></semantics></math>; crucially, these numbers cannot be zero by our assumption on <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m6.1"><semantics id="footnote5.m6.1b"><msub id="footnote5.m6.1.1" xref="footnote5.m6.1.1.cmml"><mi id="footnote5.m6.1.1.2" xref="footnote5.m6.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="footnote5.m6.1.1.3" xref="footnote5.m6.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m6.1c"><apply id="footnote5.m6.1.1.cmml" xref="footnote5.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m6.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m6.1.1.2.cmml" xref="footnote5.m6.1.1.2">𝑃</ci><ci id="footnote5.m6.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m6.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m6.1d">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m6.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></span></span> <math alttext="0<|r_{i}|\leq 2d!C|c_{k}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.9.m3.2"><semantics id="S3.5.p5.9.m3.2a"><mrow id="S3.5.p5.9.m3.2.2" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.cmml"><mn id="S3.5.p5.9.m3.2.2.4" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.4.cmml">0</mn><mo id="S3.5.p5.9.m3.2.2.5" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.5.cmml"><</mo><mrow id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.5.p5.9.m3.2.2.6" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.6.cmml">≤</mo><mrow id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.cmml"><mn id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.3" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.2" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.2" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.2.cmml">d</mi><mo id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.1.cmml">!</mo></mrow><mo id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.2a" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.2.cmml"></mo><mi id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.5" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.5.cmml">C</mi><mo id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.2b" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.9.m3.2b"><apply id="S3.5.p5.9.m3.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2"><and id="S3.5.p5.9.m3.2.2a.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2"></and><apply id="S3.5.p5.9.m3.2.2b.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2"><lt id="S3.5.p5.9.m3.2.2.5.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.5"></lt><cn id="S3.5.p5.9.m3.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.4">0</cn><apply id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1"><abs id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.5.p5.9.m3.2.2c.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2"><leq id="S3.5.p5.9.m3.2.2.6.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.5.p5.9.m3.1.1.1.cmml" id="S3.5.p5.9.m3.2.2d.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2"></share><apply id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2"><times id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.2"></times><cn id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.3">2</cn><apply id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4"><factorial id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.1"></factorial><ci id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.4.2">𝑑</ci></apply><ci id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.5.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.5">𝐶</ci><apply id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1"><abs id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.9.m3.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.9.m3.2c">0<|r_{i}|\leq 2d!C|c_{k}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.9.m3.2d">0 < | italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | ≤ 2 italic_d ! italic_C | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math>. To simplify notation, we assume that all <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.10.m4.1"><semantics id="S3.5.p5.10.m4.1a"><msub id="S3.5.p5.10.m4.1.1" xref="S3.5.p5.10.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.10.m4.1.1.2" xref="S3.5.p5.10.m4.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S3.5.p5.10.m4.1.1.3" xref="S3.5.p5.10.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.10.m4.1b"><apply id="S3.5.p5.10.m4.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.10.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.10.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.10.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.10.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.10.m4.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S3.5.p5.10.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.10.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.10.m4.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.10.m4.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are positive. Unwrapping the definition of the box norm, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E3" title="In Proof. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.3</span></a>) yields</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx30"> <tbody id="S3.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Bigg{|}\frac{1}{C^{2}|c_{k}|N^{d(2s+1)}}\sum_{n,h_{1}^{(0)},h_{1% }^{(1)},\ldots,h_{s}^{(0)},h_{s}^{(1)}\in\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{s}1_{h_{j}^{(% 0)},h_{j}^{(1)}\in[r_{j}\delta^{\prime}N^{d}]\cap r_{j}\mathbb{Z}}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex7.m1.17"><semantics id="S3.Ex7.m1.17a"><mrow id="S3.Ex7.m1.17b"><mo fence="false" id="S3.Ex7.m1.17.18" maxsize="260%" minsize="260%" rspace="0.167em">|</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.2.2"><mfrac id="S3.Ex7.m1.2.2a"><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.4">1</mn><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.2"><msup id="S3.Ex7.m1.2.2.2.4"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.2.4.2">C</mi><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.2.3"></mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.1"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.1.1.2">c</mi><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.1.1.3">k</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false">|</mo></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.2.3a"></mo><msup id="S3.Ex7.m1.2.2.2.5"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.2.5.2">N</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3">d</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2"></mo><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mn id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</mn><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">s</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mn id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.17.19"><munder id="S3.Ex7.m1.17.19a"><mo id="S3.Ex7.m1.17.19.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.12.12.10"><mrow id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4"><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.5.5">n</mi><mo id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4.5">,</mo><msubsup id="S3.Ex7.m1.9.9.7.7.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.9.9.7.7.1.1.2.2">h</mi><mn id="S3.Ex7.m1.9.9.7.7.1.1.2.3">1</mn><mrow id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1">0</mn><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4.6">,</mo><msubsup id="S3.Ex7.m1.10.10.8.8.2.2"><mi id="S3.Ex7.m1.10.10.8.8.2.2.2.2">h</mi><mn id="S3.Ex7.m1.10.10.8.8.2.2.2.3">1</mn><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.1.1">1</mn><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4.7">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.8.8.6.6" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4.8">,</mo><msubsup id="S3.Ex7.m1.11.11.9.9.3.3"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.9.9.3.3.2.2">h</mi><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.9.9.3.3.2.3">s</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.5.5.3.3.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.5.5.3.3.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex7.m1.5.5.3.3.1.1">0</mn><mo id="S3.Ex7.m1.5.5.3.3.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4.9">,</mo><msubsup id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4.4"><mi id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4.4.2.2">h</mi><mi id="S3.Ex7.m1.12.12.10.10.4.4.2.3">s</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.4.4.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.4.4.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex7.m1.6.6.4.4.1.1">1</mn><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.4.4.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.12.12.10.11">∈</mo><mi id="S3.Ex7.m1.12.12.10.12">ℤ</mi></mrow></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.17.20"><munderover id="S3.Ex7.m1.17.20a"><mo id="S3.Ex7.m1.17.20.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.17.20.2.3"><mi id="S3.Ex7.m1.17.20.2.3.2">j</mi><mo id="S3.Ex7.m1.17.20.2.3.1">=</mo><mn id="S3.Ex7.m1.17.20.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex7.m1.17.20.3">s</mi></munderover></mstyle><msub id="S3.Ex7.m1.17.21"><mn id="S3.Ex7.m1.17.21.2">1</mn><mrow id="S3.Ex7.m1.17.17.5"><mrow id="S3.Ex7.m1.16.16.4.4.2"><msubsup id="S3.Ex7.m1.15.15.3.3.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.15.15.3.3.1.1.2.2">h</mi><mi id="S3.Ex7.m1.15.15.3.3.1.1.2.3">j</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.13.13.1.1.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.13.13.1.1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex7.m1.13.13.1.1.1.1">0</mn><mo id="S3.Ex7.m1.13.13.1.1.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex7.m1.16.16.4.4.2.3">,</mo><msubsup id="S3.Ex7.m1.16.16.4.4.2.2"><mi id="S3.Ex7.m1.16.16.4.4.2.2.2.2">h</mi><mi id="S3.Ex7.m1.16.16.4.4.2.2.2.3">j</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.14.14.2.2.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.14.14.2.2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex7.m1.14.14.2.2.1.1">1</mn><mo id="S3.Ex7.m1.14.14.2.2.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.5.6">∈</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5"><mrow id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.2" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1"><msub id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.2.2">r</mi><mi id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.2.3">j</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.1"></mo><msup id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.3"><mi id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.3.2">δ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.3.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.1a"></mo><msup id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.4"><mi id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.4.2">N</mi><mi id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.1.4.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.1.1.3" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.2">∩</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.3"><msub id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.3.2"><mi id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.3.2.2">r</mi><mi id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.3.2.3">j</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.3.1"></mo><mi id="S3.Ex7.m1.17.17.5.5.3.3">ℤ</mi></mrow></mrow></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.17c">\displaystyle\Bigg{|}\frac{1}{C^{2}|c_{k}|N^{d(2s+1)}}\sum_{n,h_{1}^{(0)},h_{1% }^{(1)},\ldots,h_{s}^{(0)},h_{s}^{(1)}\in\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{s}1_{h_{j}^{(% 0)},h_{j}^{(1)}\in[r_{j}\delta^{\prime}N^{d}]\cap r_{j}\mathbb{Z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.17d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d ( 2 italic_s + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] ∩ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\quad\cdot\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}% f_{k}(n+h_{1}^{(\omega_{1})}+\cdots+h_{k}^{(\omega_{k})})\Bigg{|}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex8.m1.6"><semantics id="S3.Ex8.m1.6a"><mrow id="S3.Ex8.m1.6b"><mo id="S3.Ex8.m1.6.6" rspace="0.222em">⋅</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m1.6.7"><munder id="S3.Ex8.m1.6.7a"><mo id="S3.Ex8.m1.6.7.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.2"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.4">ω</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.2.3">∈</mo><msup id="S3.Ex8.m1.2.2.2.5"><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.2.5.2.2"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.2.5.2.2.1" stretchy="false">{</mo><mn id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1">0</mn><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.2.5.2.2.2">,</mo><mn id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2">1</mn><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.2.5.2.2.3" stretchy="false">}</mo></mrow><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.5.3">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><msup id="S3.Ex8.m1.6.8"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex8.m1.6.8.2">𝒞</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false">|</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1">ω</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false">|</mo></mrow></msup><msub id="S3.Ex8.m1.6.9"><mi id="S3.Ex8.m1.6.9.2">f</mi><mi id="S3.Ex8.m1.6.9.3">k</mi></msub><mrow id="S3.Ex8.m1.6.10"><mo id="S3.Ex8.m1.6.10.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex8.m1.6.10.2">n</mi><mo id="S3.Ex8.m1.6.10.3">+</mo><msubsup id="S3.Ex8.m1.6.10.4"><mi id="S3.Ex8.m1.6.10.4.2.2">h</mi><mn id="S3.Ex8.m1.6.10.4.2.3">1</mn><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2">ω</mi><mn id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3">1</mn></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.6.10.5">+</mo><mi id="S3.Ex8.m1.6.10.6" mathvariant="normal">⋯</mi><mo id="S3.Ex8.m1.6.10.7">+</mo><msubsup id="S3.Ex8.m1.6.10.8"><mi id="S3.Ex8.m1.6.10.8.2.2">h</mi><mi id="S3.Ex8.m1.6.10.8.2.3">k</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.5.5.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.5.5.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.5.5.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.5.5.1.1.1.2">ω</mi><mi id="S3.Ex8.m1.5.5.1.1.1.3">k</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.5.5.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.6.10.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex8.m1.6.11" maxsize="260%" minsize="260%">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.6c">\displaystyle\quad\quad\cdot\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}% f_{k}(n+h_{1}^{(\omega_{1})}+\cdots+h_{k}^{(\omega_{k})})\Bigg{|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.6d">⋅ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT + ⋯ + italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{2^{s}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex9.m1.4"><semantics id="S3.Ex9.m1.4a"><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2" lspace="1.278em" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">≫</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><msup id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></msup></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m1.4b"><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1"><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2">much-greater-than</csymbol><list id="S3.Ex9.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.4c">\displaystyle\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{2^{s}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.4d">≫ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.5.p5.13">Making the changes of variables <math alttext="n^{\prime}=n-(h_{1}^{(0)}+\cdots+h_{k}^{(0)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.11.m1.3"><semantics id="S3.5.p5.11.m1.3a"><mrow id="S3.5.p5.11.m1.3.3" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.cmml"><msup id="S3.5.p5.11.m1.3.3.3" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.2" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.3" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.5.p5.11.m1.3.3.2" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.3" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.3.cmml">n</mi><mo id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.2" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.5.p5.11.m1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.11.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.5.p5.11.m1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.11.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.5.p5.11.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">⋯</mi><mo id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S3.5.p5.11.m1.2.2.1.3" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.5.p5.11.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="S3.5.p5.11.m1.2.2.1.1" xref="S3.5.p5.11.m1.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.5.p5.11.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.11.m1.3b"><apply id="S3.5.p5.11.m1.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3"><eq id="S3.5.p5.11.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.2"></eq><apply id="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1"><minus id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.2"></minus><ci id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.3">𝑛</ci><apply id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">ℎ</ci><cn id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.5.p5.11.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.11.m1.1.1.1.1">0</cn></apply><ci id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.3">⋯</ci><apply id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S3.5.p5.11.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.11.m1.2.2.1.1">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.11.m1.3c">n^{\prime}=n-(h_{1}^{(0)}+\cdots+h_{k}^{(0)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.11.m1.3d">italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_n - ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT + ⋯ + italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="h_{j}=h_{j}^{(1)}-h_{j}^{(0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.12.m2.2"><semantics id="S3.5.p5.12.m2.2a"><mrow id="S3.5.p5.12.m2.2.3" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.cmml"><msub id="S3.5.p5.12.m2.2.3.2" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.2" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.3" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.5.p5.12.m2.2.3.1" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.cmml"><msubsup id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.2" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.3" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S3.5.p5.12.m2.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.12.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.cmml">(</mo><mn id="S3.5.p5.12.m2.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.12.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.5.p5.12.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.1" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.1.cmml">−</mo><msubsup id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.3" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S3.5.p5.12.m2.2.2.1.3" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.5.p5.12.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.cmml">(</mo><mn id="S3.5.p5.12.m2.2.2.1.1" xref="S3.5.p5.12.m2.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.5.p5.12.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.12.m2.2b"><apply id="S3.5.p5.12.m2.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3"><eq id="S3.5.p5.12.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.1"></eq><apply id="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3"><minus id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.1"></minus><apply id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S3.5.p5.12.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.12.m2.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.5.p5.12.m2.2.3.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S3.5.p5.12.m2.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.12.m2.2.2.1.1">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.12.m2.2c">h_{j}=h_{j}^{(1)}-h_{j}^{(0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.12.m2.2d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and using the notation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.E2" title="In 2.2. Gowers norms ‣ 2. Notation and preliminaries ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) and the trivial bound <math alttext="1\geq 1/(C^{2}|c_{k}|)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p5.13.m3.1"><semantics id="S3.5.p5.13.m3.1a"><mrow id="S3.5.p5.13.m3.1.1" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.cmml"><mn id="S3.5.p5.13.m3.1.1.3" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.5.p5.13.m3.1.1.2" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.cmml"><mn id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p5.13.m3.1b"><apply id="S3.5.p5.13.m3.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1"><geq id="S3.5.p5.13.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.2"></geq><cn id="S3.5.p5.13.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.3">1</cn><apply id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1"><divide id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1"><times id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p5.13.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p5.13.m3.1c">1\geq 1/(C^{2}|c_{k}|)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p5.13.m3.1d">1 ≥ 1 / ( italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | )</annotation></semantics></math>, we see that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx31"> <tbody id="S3.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\Bigg{|}\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{\begin{subarray}{% c}n^{\prime}\in[-CN^{d},CN^{d}]\\ h_{1},\ldots,h_{s}\in[-CN^{d},CN^{d}]\end{subarray}}\prod_{j=1}^{s}1_{h_{j}% \equiv 0\pmod{r_{j}}}\delta^{\prime}N^{d}\mu_{\delta^{\prime}N^{d}}\left(\frac% {h_{j}}{r_{j}}\right)\\ &\quad\quad\cdot\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k}(n^{% \prime}+\omega\cdot(h_{1},\ldots,h_{s}))\Bigg{|}\\ &\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{2^{s}}.\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E4.m1.51"><semantics id="S3.E4.m1.51a"><mtable columnspacing="0pt" id="S3.E4.m1.51.51.1" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E4.m1.51.51.1a"><mtd id="S3.E4.m1.51.51.1b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E4.m1.51.51.1c"><mrow id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a"><mo fence="false" id="S3.E4.m1.3.3.3.3.3.3" maxsize="260%" minsize="260%" rspace="0.167em">|</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><mfrac id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4a"><mn id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.3">1</mn><msup id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1"><mi id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.3">N</mi><mrow id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1"><mi id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.3">d</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.2"></mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2">s</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mn id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.19"><munder id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.19a"><mo id="S3.E4.m1.5.5.5.5.5.5" movablelimits="false">∑</mo><mtable id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a"><mtd id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b"><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><msup id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2">n</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.3">′</mo></msup><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">∈</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a">−</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">C</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></mo><msup id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">N</mi><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4">,</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">C</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1"></mo><msup id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2">N</mi><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c"><mtd id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1d"><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5"><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><msub id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2">h</mi><mn id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3">1</mn></msub><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3">,</mo><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.4">,</mo><msub id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">h</mi><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.6">∈</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2"><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.3" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.4.4.4.1.1"><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.4.4.4.1.1a">−</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.4.4.4.1.1.2"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.4.4.4.1.1.2.2">C</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.4.4.4.1.1.2.1"></mo><msup id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.4.4.4.1.1.2.3"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.4.4.4.1.1.2.3.2">N</mi><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.4.4.4.1.1.2.3.3">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.4">,</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.2"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.2.2">C</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.2.1"></mo><msup id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.2.3"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.2.3.2">N</mi><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.2.3.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.7.5.5.5.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.20"><munderover id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.20a"><mo id="S3.E4.m1.6.6.6.6.6.6" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S3.E4.m1.7.7.7.7.7.7.1"><mi id="S3.E4.m1.7.7.7.7.7.7.1.2">j</mi><mo id="S3.E4.m1.7.7.7.7.7.7.1.1">=</mo><mn id="S3.E4.m1.7.7.7.7.7.7.1.3">1</mn></mrow><mi id="S3.E4.m1.8.8.8.8.8.8.1">s</mi></munderover></mstyle><msub id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.21"><mn id="S3.E4.m1.9.9.9.9.9.9">1</mn><mrow id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a"><msub id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.4"><mi id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.4.2">h</mi><mi id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.4.3">j</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.3">≡</mo><mrow id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.5"><mn id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.5.2">0</mn><mspace id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.5a" width="0.949em"></mspace><mrow id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2"><mo id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.1"><mo id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em">mod</mo><msub id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><mi id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">r</mi><mi id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub><msup id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.22"><mi id="S3.E4.m1.10.10.10.10.10.10">δ</mi><mo id="S3.E4.m1.11.11.11.11.11.11.1">′</mo></msup><msup id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.23"><mi id="S3.E4.m1.12.12.12.12.12.12">N</mi><mi id="S3.E4.m1.13.13.13.13.13.13.1">d</mi></msup><msub id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.24"><mi id="S3.E4.m1.14.14.14.14.14.14">μ</mi><mrow id="S3.E4.m1.15.15.15.15.15.15.1"><msup id="S3.E4.m1.15.15.15.15.15.15.1.2"><mi id="S3.E4.m1.15.15.15.15.15.15.1.2.2">δ</mi><mo id="S3.E4.m1.15.15.15.15.15.15.1.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.E4.m1.15.15.15.15.15.15.1.1"></mo><msup id="S3.E4.m1.15.15.15.15.15.15.1.3"><mi id="S3.E4.m1.15.15.15.15.15.15.1.3.2">N</mi><mi id="S3.E4.m1.15.15.15.15.15.15.1.3.3">d</mi></msup></mrow></msub><mrow id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18a.25"><mo id="S3.E4.m1.16.16.16.16.16.16">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E4.m1.17.17.17.17.17.17"><mfrac id="S3.E4.m1.17.17.17.17.17.17a"><msub id="S3.E4.m1.17.17.17.17.17.17.2"><mi id="S3.E4.m1.17.17.17.17.17.17.2.2">h</mi><mi id="S3.E4.m1.17.17.17.17.17.17.2.3">j</mi></msub><msub id="S3.E4.m1.17.17.17.17.17.17.3"><mi id="S3.E4.m1.17.17.17.17.17.17.3.2">r</mi><mi id="S3.E4.m1.17.17.17.17.17.17.3.3">j</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S3.E4.m1.18.18.18.18.18.18">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E4.m1.51.51.1d"><mtd id="S3.E4.m1.51.51.1e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E4.m1.51.51.1f"><mrow id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a"><mo id="S3.E4.m1.19.19.19.1.1.1" rspace="0.222em">⋅</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.25"><munder id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.25a"><mo id="S3.E4.m1.20.20.20.2.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1"><mi id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.4">ω</mi><mo id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.3">∈</mo><msup id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.5"><mrow id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.5.2.2"><mo id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.5.2.2.1" stretchy="false">{</mo><mn id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.1">0</mn><mo id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.5.2.2.2">,</mo><mn id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.2">1</mn><mo id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.5.2.2.3" stretchy="false">}</mo></mrow><mi id="S3.E4.m1.21.21.21.3.3.3.1.5.3">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><msup id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.26"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.m1.22.22.22.4.4.4">𝒞</mi><mrow id="S3.E4.m1.23.23.23.5.5.5.1.3"><mo id="S3.E4.m1.23.23.23.5.5.5.1.3.1" stretchy="false">|</mo><mi id="S3.E4.m1.23.23.23.5.5.5.1.1">ω</mi><mo id="S3.E4.m1.23.23.23.5.5.5.1.3.2" stretchy="false">|</mo></mrow></msup><msub id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.27"><mi id="S3.E4.m1.24.24.24.6.6.6">f</mi><mi id="S3.E4.m1.25.25.25.7.7.7.1">k</mi></msub><mrow id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.28"><mo id="S3.E4.m1.26.26.26.8.8.8" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.28.1"><mi id="S3.E4.m1.27.27.27.9.9.9">n</mi><mo id="S3.E4.m1.28.28.28.10.10.10.1">′</mo></msup><mo id="S3.E4.m1.29.29.29.11.11.11">+</mo><mi id="S3.E4.m1.30.30.30.12.12.12">ω</mi><mo id="S3.E4.m1.31.31.31.13.13.13" lspace="0.222em" rspace="0.222em">⋅</mo><mrow id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.28.2"><mo id="S3.E4.m1.32.32.32.14.14.14" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.28.2.1"><mi id="S3.E4.m1.33.33.33.15.15.15">h</mi><mn id="S3.E4.m1.34.34.34.16.16.16.1">1</mn></msub><mo id="S3.E4.m1.35.35.35.17.17.17">,</mo><mi id="S3.E4.m1.36.36.36.18.18.18" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S3.E4.m1.37.37.37.19.19.19">,</mo><msub id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24a.28.2.2"><mi id="S3.E4.m1.38.38.38.20.20.20">h</mi><mi id="S3.E4.m1.39.39.39.21.21.21.1">s</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.40.40.40.22.22.22" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E4.m1.41.41.41.23.23.23" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.E4.m1.42.42.42.24.24.24" maxsize="260%" minsize="260%">|</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E4.m1.51.51.1g"><mtd id="S3.E4.m1.51.51.1h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E4.m1.51.51.1i"><mrow id="S3.E4.m1.51.51.1.51.9.9.9"><mrow id="S3.E4.m1.51.51.1.51.9.9.9.1"><mi id="S3.E4.m1.51.51.1.51.9.9.9.1.3"></mi><msub id="S3.E4.m1.51.51.1.51.9.9.9.1.2"><mo id="S3.E4.m1.43.43.43.1.1.1" lspace="1.278em">≫</mo><mrow id="S3.E4.m1.44.44.44.2.2.2.1.5"><mi id="S3.E4.m1.44.44.44.2.2.2.1.1">C</mi><mo id="S3.E4.m1.44.44.44.2.2.2.1.5.1">,</mo><mi id="S3.E4.m1.44.44.44.2.2.2.1.2">d</mi><mo id="S3.E4.m1.44.44.44.2.2.2.1.5.2">,</mo><mi id="S3.E4.m1.44.44.44.2.2.2.1.3">k</mi></mrow></msub><msup id="S3.E4.m1.51.51.1.51.9.9.9.1.1"><mrow id="S3.E4.m1.51.51.1.51.9.9.9.1.1.1.1"><mo id="S3.E4.m1.45.45.45.3.3.3" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E4.m1.51.51.1.51.9.9.9.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E4.m1.46.46.46.4.4.4">δ</mi><mo id="S3.E4.m1.47.47.47.5.5.5.1">′</mo></msup><mo id="S3.E4.m1.48.48.48.6.6.6" stretchy="false">)</mo></mrow><msup id="S3.E4.m1.49.49.49.7.7.7.1"><mn id="S3.E4.m1.49.49.49.7.7.7.1.2">2</mn><mi id="S3.E4.m1.49.49.49.7.7.7.1.3">s</mi></msup></msup></mrow><mo id="S3.E4.m1.50.50.50.8.8.8" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.m1.51b">\displaystyle\begin{split}&\Bigg{|}\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{\begin{subarray}{% c}n^{\prime}\in[-CN^{d},CN^{d}]\\ h_{1},\ldots,h_{s}\in[-CN^{d},CN^{d}]\end{subarray}}\prod_{j=1}^{s}1_{h_{j}% \equiv 0\pmod{r_{j}}}\delta^{\prime}N^{d}\mu_{\delta^{\prime}N^{d}}\left(\frac% {h_{j}}{r_{j}}\right)\\ &\quad\quad\cdot\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k}(n^{% \prime}+\omega\cdot(h_{1},\ldots,h_{s}))\Bigg{|}\\ &\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{2^{s}}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.m1.51c">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL | divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d ( italic_s + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≡ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( divide start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ⋅ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ω ⋅ ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) ) | end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≫ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.6.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.6.p6.4">By the orthogonality of characters, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx32"> <tbody id="S3.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 1_{h_{j}\equiv 0\pmod{r_{j}}}=\frac{1}{r_{j}}\sum_{1\leq a\leq r% _{j}}e\left(\frac{ah_{j}}{r_{j}}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E5.m1.4"><semantics id="S3.E5.m1.4a"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.E5.m1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E5.m1.2.2.2.4" xref="S3.E5.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E5.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E5.m1.2.2.2.4.2.cmml">h</mi><mi id="S3.E5.m1.2.2.2.4.3" xref="S3.E5.m1.2.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E5.m1.2.2.2.3" xref="S3.E5.m1.2.2.2.3.cmml">≡</mo><mrow id="S3.E5.m1.2.2.2.5" xref="S3.E5.m1.2.2.2.5.cmml"><mn id="S3.E5.m1.2.2.2.5.2" xref="S3.E5.m1.2.2.2.5.2.cmml">0</mn><mspace id="S3.E5.m1.2.2.2.5a" 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id="S3.E5.m1.3.3.2.1" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1.cmml"></mo><msub id="S3.E5.m1.3.3.2.3" xref="S3.E5.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.2.3.2" xref="S3.E5.m1.3.3.2.3.2.cmml">h</mi><mi id="S3.E5.m1.3.3.2.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><msub id="S3.E5.m1.3.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.3.2" xref="S3.E5.m1.3.3.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E5.m1.3.3.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E5.m1.4b"><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1"><eq id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><cn 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xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3"><times id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2"><divide id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2"></divide><cn id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3"><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.2"></sum><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3"><and id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3a.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3"></and><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3b.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3"><leq id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.3"></leq><cn id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.2">1</cn><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.4.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.4">𝑎</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3c.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3"><leq id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.5.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.4.cmml" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3d.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3"></share><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.6.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.6.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.6.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.6.2">𝑟</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.6.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.3.6.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2"><times id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S3.E5.m1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2"><divide id="S3.E5.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2"></divide><apply id="S3.E5.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2"><times id="S3.E5.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1"></times><ci id="S3.E5.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S3.E5.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.3.2">ℎ</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.4c">\displaystyle 1_{h_{j}\equiv 0\pmod{r_{j}}}=\frac{1}{r_{j}}\sum_{1\leq a\leq r% _{j}}e\left(\frac{ah_{j}}{r_{j}}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.4d">1 start_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≡ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_a ≤ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_e ( divide start_ARG italic_a italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.6.p6.2">Moreover, for any <math alttext="H\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.6.p6.1.m1.1a"><mrow id="S3.6.p6.1.m1.1.1" xref="S3.6.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.6.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.6.p6.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S3.6.p6.1.m1.1.1.1" xref="S3.6.p6.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.6.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.6.p6.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.6.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.6.p6.1.m1.1.1"><geq id="S3.6.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p6.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S3.6.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p6.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S3.6.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.6.p6.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p6.1.m1.1c">H\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p6.1.m1.1d">italic_H ≥ 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="x\in[-H,H]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p6.2.m2.2"><semantics id="S3.6.p6.2.m2.2a"><mrow id="S3.6.p6.2.m2.2.2" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.6.p6.2.m2.2.2.3" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.3.cmml">x</mi><mo id="S3.6.p6.2.m2.2.2.2" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1a" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">H</mi></mrow><mo id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.6.p6.2.m2.1.1" xref="S3.6.p6.2.m2.1.1.cmml">H</mi><mo id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p6.2.m2.2b"><apply id="S3.6.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2"><in id="S3.6.p6.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.2"></in><ci id="S3.6.p6.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.3">𝑥</ci><interval closure="closed" id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1"><apply id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1"><minus id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p6.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.6.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.6.p6.2.m2.1.1">𝐻</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p6.2.m2.2c">x\in[-H,H]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p6.2.m2.2d">italic_x ∈ [ - italic_H , italic_H ]</annotation></semantics></math> we have the Fourier expansion</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx33"> <tbody id="S3.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H\mu_{H}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m1.1"><semantics id="S3.E6.m1.1a"><mrow id="S3.E6.m1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E6.m1.1.2.1" xref="S3.E6.m1.1.2.1.cmml"></mo><msub id="S3.E6.m1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.2.3.2" xref="S3.E6.m1.1.2.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.E6.m1.1.2.3.3" xref="S3.E6.m1.1.2.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.1.2.1a" xref="S3.E6.m1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E6.m1.1.2.4.2" xref="S3.E6.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E6.m1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.1b"><apply id="S3.E6.m1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.2"><times id="S3.E6.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.E6.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.2.2">𝐻</ci><apply id="S3.E6.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.E6.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.2.3.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.1c">\displaystyle H\mu_{H}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.1d">italic_H italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=1-\left|\frac{x}{H}\right|=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi^{2}}\sum_{m% \equiv 1\pmod{2}}\frac{1}{m^{2}}e\left(\frac{x}{2H}m\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m2.4"><semantics id="S3.E6.m2.4a"><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m2.4.4.1.1.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.4" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.cmml"><mn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.2.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.1.1.cmml">|</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m2.3.3" xref="S3.E6.m2.3.3.cmml"><mfrac id="S3.E6.m2.3.3a" xref="S3.E6.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m2.3.3.2" xref="S3.E6.m2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S3.E6.m2.3.3.3" xref="S3.E6.m2.3.3.3.cmml">H</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.2.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.6" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.3a" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><msup id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E6.m2.2.2.2" xref="S3.E6.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m2.2.2.2.4" xref="S3.E6.m2.2.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="S3.E6.m2.2.2.2.3" xref="S3.E6.m2.2.2.2.3.cmml">≡</mo><mrow id="S3.E6.m2.2.2.2.5" xref="S3.E6.m2.2.2.2.5.cmml"><mn id="S3.E6.m2.2.2.2.5.2" xref="S3.E6.m2.2.2.2.5.2.cmml">1</mn><mspace id="S3.E6.m2.2.2.2.5a" width="0.949em" xref="S3.E6.m2.2.2.2.5.cmml"></mspace><mrow id="S3.E6.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.m2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E6.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.m2.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S3.E6.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mn id="S3.E6.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.E6.m2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">e</mi><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">H</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m2.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m2.4b"><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1"><and id="S3.E6.m2.4.4.1.1a.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1"></and><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1b.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1"><eq id="S3.E6.m2.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5"><minus id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.1"></minus><cn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.2">1</cn><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.2"><abs id="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.5.3.2.1"></abs><apply id="S3.E6.m2.3.3.cmml" xref="S3.E6.m2.3.3"><divide id="S3.E6.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m2.3.3"></divide><ci id="S3.E6.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S3.E6.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.m2.3.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1c.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1"><eq id="S3.E6.m2.4.4.1.1.6.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E6.m2.4.4.1.1.5.cmml" id="S3.E6.m2.4.4.1.1d.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1"></share><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1"><minus 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xref="S3.E6.m2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S3.E6.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m2.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><cn id="S3.E6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m2.1.1.1.1.1.1">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4">𝑒</ci><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐻</ci></apply></apply><ci id="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m2.4c">\displaystyle=1-\left|\frac{x}{H}\right|=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi^{2}}\sum_{m% \equiv 1\pmod{2}}\frac{1}{m^{2}}e\left(\frac{x}{2H}m\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m2.4d">= 1 - | divide start_ARG italic_x end_ARG start_ARG italic_H end_ARG | = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG - divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≡ 1 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG 2 end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_e ( divide start_ARG italic_x end_ARG start_ARG 2 italic_H end_ARG italic_m ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.6.p6.3">Inserting (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E5" title="In Proof. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.5</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E6" title="In Proof. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.6</span></a>) into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E4" title="In Proof. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.4</span></a>) and applying the triangle inequality, for some <math alttext="\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p6.3.m1.3"><semantics id="S3.6.p6.3.m1.3a"><mrow id="S3.6.p6.3.m1.3.3" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.3.cmml"><msub id="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.6.p6.3.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.6.p6.3.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.4" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.6.p6.3.m1.3.3.3" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.3.cmml">∈</mo><mi id="S3.6.p6.3.m1.3.3.4" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.4.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p6.3.m1.3b"><apply id="S3.6.p6.3.m1.3.3.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3"><in id="S3.6.p6.3.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.3"></in><list id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2"><apply id="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.6.p6.3.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.6.p6.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.2.2.2.3">𝑠</ci></apply></list><ci id="S3.6.p6.3.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.6.p6.3.m1.3.3.4">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p6.3.m1.3c">\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p6.3.m1.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math> we obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx34"> <tbody id="S3.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\left|\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{n,h_{1},\ldots,h_{s% }\in[-2CN^{d},2CN^{d}]}\prod_{j=1}^{s}1_{[-r_{j}\delta^{\prime}N^{d},r_{j}% \delta^{\prime}N^{d}]}(h_{j})e(\alpha_{j}h_{j})\right.\\ &\quad\quad\left.\cdot\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k}1% _{[-CN^{d},CN^{d}]}(n+\omega\cdot\mathbf{h})\right|\\ &\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{2^{s}}.\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E7.m1.46"><semantics id="S3.E7.m1.46a"><mtable columnspacing="0pt" id="S3.E7.m1.46.46.1" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E7.m1.46.46.1a"><mtd id="S3.E7.m1.46.46.1b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E7.m1.46.46.1c"><mrow id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a"><mo fence="false" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em">|</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2"><mfrac id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2a"><mn id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.3">1</mn><msup id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1"><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">N</mi><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">d</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"></mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">s</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mn id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.21"><munder id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.21a"><mo id="S3.E7.m1.3.3.3.3.3.3" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1"><mrow id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.2"><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.1">n</mi><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.2.3">,</mo><msub id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.1.1"><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.1.1.2">h</mi><mn id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.1.1.3">1</mn></msub><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.2.4">,</mo><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.2" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.2.5">,</mo><msub id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.2.2"><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.2.2.2">h</mi><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.2.2.3">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.7">∈</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2"><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.3" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1"><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1a">−</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1.2"><mn id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1.2.2">2</mn><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1.2.1"></mo><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1.2.3">C</mi><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1.2.1a"></mo><msup id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1.2.4"><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1.2.4.2">N</mi><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.1.1.2.4.3">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.4">,</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.2"><mn id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.2.2">2</mn><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.2.1"></mo><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.2.3">C</mi><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.2.1a"></mo><msup id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.2.4"><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.2.4.2">N</mi><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.2.4.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.1.6.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.22"><munderover id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.22a"><mo id="S3.E7.m1.5.5.5.5.5.5" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S3.E7.m1.6.6.6.6.6.6.1"><mi id="S3.E7.m1.6.6.6.6.6.6.1.2">j</mi><mo id="S3.E7.m1.6.6.6.6.6.6.1.1">=</mo><mn id="S3.E7.m1.6.6.6.6.6.6.1.3">1</mn></mrow><mi id="S3.E7.m1.7.7.7.7.7.7.1">s</mi></munderover></mstyle><msub id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.23"><mn id="S3.E7.m1.8.8.8.8.8.8">1</mn><mrow id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2"><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.3" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1"><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1a">−</mo><mrow id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2"><msub id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.2"><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.2.2">r</mi><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.2.3">j</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.1"></mo><msup id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.3"><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.3.2">δ</mi><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.3.3">′</mo></msup><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.1a"></mo><msup id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.4"><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.4.2">N</mi><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.1.2.4.3">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.4">,</mo><mrow id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2"><msub id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.2"><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.2.2">r</mi><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.2.3">j</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.1"></mo><msup id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.3"><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.3.2">δ</mi><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.3.3">′</mo></msup><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.1a"></mo><msup id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.4"><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.4.2">N</mi><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.2.4.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow></msub><mrow id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.24"><mo id="S3.E7.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.24.1"><mi id="S3.E7.m1.11.11.11.11.11.11">h</mi><mi id="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.1">j</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S3.E7.m1.14.14.14.14.14.14">e</mi><mrow id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.25"><mo id="S3.E7.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.25.1"><mi id="S3.E7.m1.16.16.16.16.16.16">α</mi><mi id="S3.E7.m1.17.17.17.17.17.17.1">j</mi></msub><msub id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20a.25.2"><mi id="S3.E7.m1.18.18.18.18.18.18">h</mi><mi id="S3.E7.m1.19.19.19.19.19.19.1">j</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E7.m1.46.46.1d"><mtd id="S3.E7.m1.46.46.1e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E7.m1.46.46.1f"><mrow id="S3.E7.m1.37.37.37.17.17a"><mo id="S3.E7.m1.21.21.21.1.1.1" rspace="0.222em">⋅</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.m1.37.37.37.17.17a.18"><munder id="S3.E7.m1.37.37.37.17.17a.18a"><mo id="S3.E7.m1.22.22.22.2.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1"><mi id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.4">ω</mi><mo id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.3">∈</mo><msup id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.5"><mrow id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.5.2.2"><mo id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.5.2.2.1" stretchy="false">{</mo><mn id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.1">0</mn><mo id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.5.2.2.2">,</mo><mn id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.2">1</mn><mo id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.5.2.2.3" stretchy="false">}</mo></mrow><mi id="S3.E7.m1.23.23.23.3.3.3.1.5.3">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><msup id="S3.E7.m1.37.37.37.17.17a.19"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.m1.24.24.24.4.4.4">𝒞</mi><mrow id="S3.E7.m1.25.25.25.5.5.5.1.3"><mo id="S3.E7.m1.25.25.25.5.5.5.1.3.1" stretchy="false">|</mo><mi id="S3.E7.m1.25.25.25.5.5.5.1.1">ω</mi><mo id="S3.E7.m1.25.25.25.5.5.5.1.3.2" stretchy="false">|</mo></mrow></msup><msub id="S3.E7.m1.37.37.37.17.17a.20"><mi id="S3.E7.m1.26.26.26.6.6.6">f</mi><mi id="S3.E7.m1.27.27.27.7.7.7.1">k</mi></msub><msub id="S3.E7.m1.37.37.37.17.17a.21"><mn id="S3.E7.m1.28.28.28.8.8.8">1</mn><mrow id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2"><mo id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.3" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.1.1"><mo id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.1.1a">−</mo><mrow id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.1.1.2"><mi id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.1.1.2.2">C</mi><mo id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.1.1.2.1"></mo><msup id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.1.1.2.3"><mi id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.1.1.2.3.2">N</mi><mi id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.1.1.2.3.3">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.4">,</mo><mrow id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.2"><mi id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.2.2">C</mi><mo id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.2.1"></mo><msup id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.2.3"><mi id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.2.3.2">N</mi><mi id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.2.3.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E7.m1.29.29.29.9.9.9.1.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow></msub><mrow id="S3.E7.m1.37.37.37.17.17a.22"><mo id="S3.E7.m1.30.30.30.10.10.10" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.E7.m1.31.31.31.11.11.11">n</mi><mo id="S3.E7.m1.32.32.32.12.12.12">+</mo><mi id="S3.E7.m1.33.33.33.13.13.13">ω</mi><mo id="S3.E7.m1.34.34.34.14.14.14" lspace="0.222em" rspace="0.222em">⋅</mo><mi id="S3.E7.m1.35.35.35.15.15.15">𝐡</mi><mo id="S3.E7.m1.36.36.36.16.16.16" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.E7.m1.37.37.37.17.17.17">|</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E7.m1.46.46.1g"><mtd id="S3.E7.m1.46.46.1h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E7.m1.46.46.1i"><mrow id="S3.E7.m1.46.46.1.46.9.9.9"><mrow id="S3.E7.m1.46.46.1.46.9.9.9.1"><mi id="S3.E7.m1.46.46.1.46.9.9.9.1.3"></mi><msub id="S3.E7.m1.46.46.1.46.9.9.9.1.2"><mo id="S3.E7.m1.38.38.38.1.1.1" lspace="1.278em">≫</mo><mrow id="S3.E7.m1.39.39.39.2.2.2.1.5"><mi id="S3.E7.m1.39.39.39.2.2.2.1.1">C</mi><mo id="S3.E7.m1.39.39.39.2.2.2.1.5.1">,</mo><mi id="S3.E7.m1.39.39.39.2.2.2.1.2">d</mi><mo id="S3.E7.m1.39.39.39.2.2.2.1.5.2">,</mo><mi id="S3.E7.m1.39.39.39.2.2.2.1.3">k</mi></mrow></msub><msup id="S3.E7.m1.46.46.1.46.9.9.9.1.1"><mrow id="S3.E7.m1.46.46.1.46.9.9.9.1.1.1.1"><mo id="S3.E7.m1.40.40.40.3.3.3" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E7.m1.46.46.1.46.9.9.9.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E7.m1.41.41.41.4.4.4">δ</mi><mo id="S3.E7.m1.42.42.42.5.5.5.1">′</mo></msup><mo id="S3.E7.m1.43.43.43.6.6.6" stretchy="false">)</mo></mrow><msup id="S3.E7.m1.44.44.44.7.7.7.1"><mn id="S3.E7.m1.44.44.44.7.7.7.1.2">2</mn><mi id="S3.E7.m1.44.44.44.7.7.7.1.3">s</mi></msup></msup></mrow><mo id="S3.E7.m1.45.45.45.8.8.8" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.46b">\displaystyle\begin{split}&\left|\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{n,h_{1},\ldots,h_{s% }\in[-2CN^{d},2CN^{d}]}\prod_{j=1}^{s}1_{[-r_{j}\delta^{\prime}N^{d},r_{j}% \delta^{\prime}N^{d}]}(h_{j})e(\alpha_{j}h_{j})\right.\\ &\quad\quad\left.\cdot\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k}1% _{[-CN^{d},CN^{d}]}(n+\omega\cdot\mathbf{h})\right|\\ &\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{2^{s}}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.46c">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL | divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d ( italic_s + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ - 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ⋅ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_ω ⋅ bold_h ) | end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≫ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.7.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.7.p7.7">Observe that since <math alttext="\delta\leq 1/C^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.7.p7.1.m1.1a"><mrow id="S3.7.p7.1.m1.1.1" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.7.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.7.p7.1.m1.1.1.1" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msup id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.7.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1"><leq id="S3.7.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S3.7.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3"><divide id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.1.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.1.m1.1c">\delta\leq 1/C^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.1.m1.1d">italic_δ ≤ 1 / italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.7.p7.2.m2.1a"><mi id="S3.7.p7.2.m2.1.1" xref="S3.7.p7.2.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.2.m2.1b"><ci id="S3.7.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.2.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.2.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.2.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is large enough in terms of <math alttext="d,k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.3.m3.2"><semantics id="S3.7.p7.3.m3.2a"><mrow id="S3.7.p7.3.m3.2.3.2" xref="S3.7.p7.3.m3.2.3.1.cmml"><mi id="S3.7.p7.3.m3.1.1" xref="S3.7.p7.3.m3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.7.p7.3.m3.2.3.2.1" xref="S3.7.p7.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.7.p7.3.m3.2.2" xref="S3.7.p7.3.m3.2.2.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.3.m3.2b"><list id="S3.7.p7.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.3.m3.2.3.2"><ci id="S3.7.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.3.m3.1.1">𝑑</ci><ci id="S3.7.p7.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.3.m3.2.2">𝑘</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.3.m3.2c">d,k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.3.m3.2d">italic_d , italic_k</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="r_{j}\delta^{\prime}\leq 1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.4.m4.1"><semantics id="S3.7.p7.4.m4.1a"><mrow id="S3.7.p7.4.m4.1.1" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.cmml"><msub id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.1" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.7.p7.4.m4.1.1.1" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.7.p7.4.m4.1.1.3" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.1" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.4.m4.1b"><apply id="S3.7.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1"><leq id="S3.7.p7.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.1"></leq><apply id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2"><times id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.1"></times><apply id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.3"><divide id="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.4.m4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.4.m4.1c">r_{j}\delta^{\prime}\leq 1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.4.m4.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 1 / 2</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq j\leq s" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.5.m5.1"><semantics id="S3.7.p7.5.m5.1a"><mrow id="S3.7.p7.5.m5.1.1" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S3.7.p7.5.m5.1.1.2" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.7.p7.5.m5.1.1.3" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.7.p7.5.m5.1.1.4" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.4.cmml">j</mi><mo id="S3.7.p7.5.m5.1.1.5" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.7.p7.5.m5.1.1.6" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.6.cmml">s</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.5.m5.1b"><apply id="S3.7.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1"><and id="S3.7.p7.5.m5.1.1a.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1"></and><apply id="S3.7.p7.5.m5.1.1b.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1"><leq id="S3.7.p7.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.3"></leq><cn id="S3.7.p7.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.2">1</cn><ci id="S3.7.p7.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.4">𝑗</ci></apply><apply id="S3.7.p7.5.m5.1.1c.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1"><leq id="S3.7.p7.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.7.p7.5.m5.1.1.4.cmml" id="S3.7.p7.5.m5.1.1d.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1"></share><ci id="S3.7.p7.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S3.7.p7.5.m5.1.1.6">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.5.m5.1c">1\leq j\leq s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.5.m5.1d">1 ≤ italic_j ≤ italic_s</annotation></semantics></math>. Note then that for any <math alttext="c\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.6.m6.2"><semantics id="S3.7.p7.6.m6.2a"><mrow id="S3.7.p7.6.m6.2.3" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.6.m6.2.3.2" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S3.7.p7.6.m6.2.3.1" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.2" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.7.p7.6.m6.1.1" xref="S3.7.p7.6.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.7.p7.6.m6.2.2" xref="S3.7.p7.6.m6.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.6.m6.2b"><apply id="S3.7.p7.6.m6.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3"><in id="S3.7.p7.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.1"></in><ci id="S3.7.p7.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.6.m6.2.3.3.2"><cn id="S3.7.p7.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.6.m6.1.1">0</cn><cn id="S3.7.p7.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.6.m6.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.6.m6.2c">c\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.6.m6.2d">italic_c ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="h\in[-2CN^{d},2CN^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.7.m7.2"><semantics id="S3.7.p7.7.m7.2a"><mrow id="S3.7.p7.7.m7.2.2" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.cmml"><mi id="S3.7.p7.7.m7.2.2.4" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.4.cmml">h</mi><mo id="S3.7.p7.7.m7.2.2.3" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1a" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.4" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.2" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.1" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.3" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.1a" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.4" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.4.3" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.7.m7.2b"><apply id="S3.7.p7.7.m7.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2"><in id="S3.7.p7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.3"></in><ci id="S3.7.p7.7.m7.2.2.4.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.4">ℎ</ci><interval closure="closed" id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2"><apply id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1"><minus id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci><apply id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2"><times id="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.7.m7.2.2.2.2.2.1"></times><cn 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<tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="1_{[-cN^{d},cN^{d}]}(h)=1_{\|h/(4CN^{d})\|\leq c/(4C)}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex10.m1.6"><semantics id="S3.Ex10.m1.6a"><mrow id="S3.Ex10.m1.6.6.1" xref="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi 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xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2"><times id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply><ci id="S3.Ex10.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex10.m1.5.5">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.3">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.6.6.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2"><leq id="S3.Ex10.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.3"></leq><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1"><divide id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3">ℎ</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">4</cn><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2"><divide id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.2"></divide><ci id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.3">𝑐</ci><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></times><cn id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.2">4</cn><ci id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.6c">1_{[-cN^{d},cN^{d}]}(h)=1_{\|h/(4CN^{d})\|\leq c/(4C)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.6d">1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_c italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_c italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( italic_h ) = 1 start_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h / ( 4 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ) ∥ ≤ italic_c / ( 4 italic_C ) end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.7.p7.12">Hence, by Vinogradov’s Fourier expansion (Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.Thmtheorem1" title="Lemma 2.1. ‣ 2.3. Vinogradov’s Fourier expansion ‣ 2. Notation and preliminaries ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>), for any <math alttext="1\leq j\leq s" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.8.m1.1"><semantics id="S3.7.p7.8.m1.1a"><mrow id="S3.7.p7.8.m1.1.1" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.7.p7.8.m1.1.1.2" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.7.p7.8.m1.1.1.3" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.7.p7.8.m1.1.1.4" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.4.cmml">j</mi><mo id="S3.7.p7.8.m1.1.1.5" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.7.p7.8.m1.1.1.6" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.6.cmml">s</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.8.m1.1b"><apply id="S3.7.p7.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1"><and id="S3.7.p7.8.m1.1.1a.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1"></and><apply id="S3.7.p7.8.m1.1.1b.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1"><leq id="S3.7.p7.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.3"></leq><cn id="S3.7.p7.8.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.7.p7.8.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.4">𝑗</ci></apply><apply id="S3.7.p7.8.m1.1.1c.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1"><leq id="S3.7.p7.8.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.7.p7.8.m1.1.1.4.cmml" id="S3.7.p7.8.m1.1.1d.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1"></share><ci id="S3.7.p7.8.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.7.p7.8.m1.1.1.6">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.8.m1.1c">1\leq j\leq s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.8.m1.1d">1 ≤ italic_j ≤ italic_s</annotation></semantics></math> there exists a trigonometric polynomial <math alttext="T_{j}(x)=\sum_{0\leq|m|\leq J}\gamma_{m,j}e(mx/(4CN^{d}))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.9.m2.5"><semantics id="S3.7.p7.9.m2.5a"><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.cmml"><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.cmml"><msub id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.cmml"><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.3" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.3.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.cmml"><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="S3.7.p7.9.m2.4.4" xref="S3.7.p7.9.m2.4.4.cmml">x</mi><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.2" rspace="0.111em" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.cmml"><msub id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2.cmml"><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.3" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.3.cmml">0</mn><mo id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.4" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.2" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.6" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mi id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.7" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.7.cmml">J</mi></mrow></msub><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.cmml"><msub id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.4" xref="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.9.m2.2.2.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.2.2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.4.1" xref="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.2" xref="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.4" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.4.cmml">e</mi><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.2a" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.9.m2.5b"><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5"><eq id="S3.7.p7.9.m2.5.5.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.2"></eq><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3"><times id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.1"></times><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.7.p7.9.m2.4.4.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.4.4">𝑥</ci></apply><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1"><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.2.2"></sum><apply id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1"><and id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1a.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1"></and><apply id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1b.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1"><leq id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.4"></leq><cn id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.3">0</cn><apply id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.2"><abs id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.2.1"></abs><ci id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1c.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1"><leq id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.6.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.7.p7.9.m2.1.1.1.5.cmml" id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1d.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1"></share><ci id="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.7.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.1.1.1.7">𝐽</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1"><times id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.2"></times><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.3.2">𝛾</ci><list id="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.4"><ci id="S3.7.p7.9.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.2.2.1.1">𝑚</ci><ci id="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.3.3.2.2">𝑗</ci></list></apply><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.4">𝑒</ci><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1"><divide id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">4</cn><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.7.p7.9.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.9.m2.5c">T_{j}(x)=\sum_{0\leq|m|\leq J}\gamma_{m,j}e(mx/(4CN^{d}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.9.m2.5d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT 0 ≤ | italic_m | ≤ italic_J end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_e ( italic_m italic_x / ( 4 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ) )</annotation></semantics></math> with <math alttext="J=O_{C}((\delta^{\prime})^{-10\cdot 2^{s}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.10.m3.1"><semantics id="S3.7.p7.10.m3.1a"><mrow id="S3.7.p7.10.m3.1.1" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.7.p7.10.m3.1.1.3" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.3.cmml">J</mi><mo id="S3.7.p7.10.m3.1.1.2" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.2" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.2" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" 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xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⋅</mo><msup id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mi id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mrow></msup><mo id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.10.m3.1b"><apply id="S3.7.p7.10.m3.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1"><eq id="S3.7.p7.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.2"></eq><ci id="S3.7.p7.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.3">𝐽</ci><apply id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1"><times id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.3.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.1">⋅</ci><cn id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">10</cn><apply id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><cn id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">2</cn><ci id="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.10.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.10.m3.1c">J=O_{C}((\delta^{\prime})^{-10\cdot 2^{s}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.10.m3.1d">italic_J = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 10 ⋅ 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that we have <math alttext="|\gamma_{m,j}|\ll_{C}\delta^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.11.m4.3"><semantics id="S3.7.p7.11.m4.3a"><mrow id="S3.7.p7.11.m4.3.3" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.cmml"><mrow id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1.2" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.4" xref="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.11.m4.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.11.m4.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.4.1" xref="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.2" xref="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><msub id="S3.7.p7.11.m4.3.3.2" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.cmml"><mo id="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.2" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.3" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.3.cmml">C</mi></msub><msup id="S3.7.p7.11.m4.3.3.3" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.2" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.3" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.11.m4.3b"><apply id="S3.7.p7.11.m4.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3"><apply id="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1"><abs id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.2"></abs><apply id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.1.1.1.2">𝛾</ci><list id="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.4"><ci id="S3.7.p7.11.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.2.2.2.2">𝑗</ci></list></apply></apply><apply id="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.11.m4.3.3.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.11.m4.3c">|\gamma_{m,j}|\ll_{C}\delta^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.11.m4.3d">| italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_j end_POSTSUBSCRIPT | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.12.m5.1"><semantics id="S3.7.p7.12.m5.1a"><mi id="S3.7.p7.12.m5.1.1" xref="S3.7.p7.12.m5.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.12.m5.1b"><ci id="S3.7.p7.12.m5.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.12.m5.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.12.m5.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.12.m5.1d">italic_m</annotation></semantics></math> and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx35"> <tbody id="S3.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{h\in[-2CN^{d},2CN^{d}]}|1_{[-r_{j}\delta^{\prime}N^{d},r_{j% }\delta^{\prime}N^{d}]}(h)-T_{j}(h)|\leq(\delta^{\prime})^{5\cdot 2^{s}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E8.m1.7"><semantics id="S3.E8.m1.7a"><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.2.4" xref="S3.E8.m1.2.2.2.4.cmml">h</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1a" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.4.3" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.E8.m1.4.4.2.2" xref="S3.E8.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.E8.m1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.4.4.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1a" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.1a" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.4" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.1.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.E8.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.1a" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.4.2" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.4.3" xref="S3.E8.m1.4.4.2.2.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.E8.m1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.4.4.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi 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xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.3.cmml">≤</mo><msup id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml">5</mn><mo id="S3.E8.m1.7.7.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" 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id="S3.E8.m1.7c">\displaystyle\sum_{h\in[-2CN^{d},2CN^{d}]}|1_{[-r_{j}\delta^{\prime}N^{d},r_{j% }\delta^{\prime}N^{d}]}(h)-T_{j}(h)|\leq(\delta^{\prime})^{5\cdot 2^{s}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.7d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h ∈ [ - 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT | 1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( italic_h ) - italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_h ) | ≤ ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 5 ⋅ 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.7.p7.16">Replacing <math alttext="1_{[-r_{j}\delta^{\prime}N^{d},r_{j}\delta^{\prime}N^{d}]}(h_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.13.m1.3"><semantics id="S3.7.p7.13.m1.3a"><mrow id="S3.7.p7.13.m1.3.3" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.cmml"><msub id="S3.7.p7.13.m1.3.3.3" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S3.7.p7.13.m1.3.3.3.2" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1a" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S3.7.p7.13.m1.3.3.2" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.2.cmml"></mo><mrow id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">h</mi><mi id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.13.m1.3b"><apply id="S3.7.p7.13.m1.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3"><times id="S3.7.p7.13.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.2"></times><apply id="S3.7.p7.13.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.13.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.3">subscript</csymbol><cn id="S3.7.p7.13.m1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.3.2">1</cn><interval closure="closed" id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2"><times id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.2.2.2.2.2.4.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply><apply id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.13.m1.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.13.m1.3c">1_{[-r_{j}\delta^{\prime}N^{d},r_{j}\delta^{\prime}N^{d}]}(h_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.13.m1.3d">1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> with <math alttext="T_{j}(h_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.14.m2.1"><semantics id="S3.7.p7.14.m2.1a"><mrow id="S3.7.p7.14.m2.1.1" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.7.p7.14.m2.1.1.3" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.2" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.3" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.7.p7.14.m2.1.1.2" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">h</mi><mi id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.14.m2.1b"><apply id="S3.7.p7.14.m2.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1"><times id="S3.7.p7.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.2"></times><apply id="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.14.m2.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.14.m2.1c">T_{j}(h_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.14.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E7" title="In Proof. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.7</span></a>), and crudely using the triangle inequality, the <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.15.m3.1"><semantics id="S3.7.p7.15.m3.1a"><mn id="S3.7.p7.15.m3.1.1" xref="S3.7.p7.15.m3.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.15.m3.1b"><cn id="S3.7.p7.15.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.7.p7.15.m3.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.15.m3.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.15.m3.1d">1</annotation></semantics></math>-boundedness of <math alttext="f_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p7.16.m4.1"><semantics id="S3.7.p7.16.m4.1a"><msub id="S3.7.p7.16.m4.1.1" xref="S3.7.p7.16.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.7.p7.16.m4.1.1.2" xref="S3.7.p7.16.m4.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.7.p7.16.m4.1.1.3" xref="S3.7.p7.16.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p7.16.m4.1b"><apply id="S3.7.p7.16.m4.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.16.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.7.p7.16.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.7.p7.16.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.7.p7.16.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.7.p7.16.m4.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.7.p7.16.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.7.p7.16.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p7.16.m4.1c">f_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p7.16.m4.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E8" title="In Proof. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.8</span></a>) to estimate the error from this replacement, we see that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx36"> <tbody id="S3.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{n,h_{1},\ldots,h_{s}\in[-2CN^{d},% 2CN^{d}]}\prod_{j=1}^{s}T_{j}(h_{j})e(\alpha_{j}h_{j})\cdot\prod_{\omega\in\{0% ,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k}1_{[-CN^{d},CN^{d}]}(n+\omega\cdot\mathbf{% h})\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m1.13"><semantics id="S3.Ex11.m1.13a"><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m1.1.1a" xref="S3.Ex11.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.3.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex11.m1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.4" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.4.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4.cmml"><munder id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4a" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.7.7.6" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.3" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1" xref="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.4" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex11.m1.3.3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.5" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.7.7.6.7" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.7.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.1" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.1a" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.4" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.1a" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.2" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.3" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.cmml"><munderover id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4a" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.3.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.4.3.cmml">s</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml">T</mi><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">h</mi><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3a" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.5" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.5.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3b" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">h</mi><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.4" rspace="0.222em" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.4.cmml">⋅</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2.cmml"><munder id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2a" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.9.9.2" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.9.9.2.4" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex11.m1.9.9.2.3" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex11.m1.9.9.2.5" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.2.2" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">{</mo><mn id="S3.Ex11.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex11.m1.8.8.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex11.m1.9.9.2.2" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">}</mo></mrow><mi id="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.3" xref="S3.Ex11.m1.9.9.2.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.cmml"><msup id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.Ex11.m1.10.10.1.3" xref="S3.Ex11.m1.10.10.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.10.10.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.10.10.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex11.m1.10.10.1.1" xref="S3.Ex11.m1.10.10.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex11.m1.10.10.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.10.10.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.4" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.4.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.4.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.4.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.2a" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1a" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.4" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.2b" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐡</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.13.13.1.3" xref="S3.Ex11.m1.13.13.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.13b"><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1"><abs id="S3.Ex11.m1.13.13.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.2"></abs><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.4"></times><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1"><divide id="S3.Ex11.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1"></divide><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3"><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.4.2"></sum><apply id="S3.Ex11.m1.7.7.6.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6"><in id="S3.Ex11.m1.7.7.6.7.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.7"></in><list id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2"><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1">𝑛</ci><apply id="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.4.4.3.3.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.2.2">…</ci><apply id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.5.5.4.4.2.2.3">𝑠</ci></apply></list><interval closure="closed" id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2"><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1"><minus id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1"></minus><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2"><times id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.1"></times><cn id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.3">𝐶</ci><apply id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2"><times id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.1"></times><cn id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.2">2</cn><ci id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.3">𝐶</ci><apply id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex11.m1.7.7.6.6.2.2.4.3.cmml" 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xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.5">𝑒</ci><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1"><times id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2">ℎ</ci><ci id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml" 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xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.5.2">1</cn><interval closure="closed" id="S3.Ex11.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2"><apply id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1"><minus id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2"><times id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.11.11.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2"><times id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.12.12.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1"><plus id="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.13.13.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.1"></plus><ci 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id="S3.Ex11.m1.13d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d ( italic_s + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ - 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⋅ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_ω ⋅ bold_h ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{2^{s}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex12.m1.4"><semantics id="S3.Ex12.m1.4a"><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2" lspace="1.278em" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">≫</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><msup id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></msup></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.4b"><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1"><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2">much-greater-than</csymbol><list id="S3.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.4c">\displaystyle\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{2^{s}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.4d">≫ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.8.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.8.p8.2">Writing out <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p8.1.m1.1"><semantics id="S3.8.p8.1.m1.1a"><msub id="S3.8.p8.1.m1.1.1" xref="S3.8.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p8.1.m1.1.1.2" xref="S3.8.p8.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.8.p8.1.m1.1.1.3" xref="S3.8.p8.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p8.1.m1.1b"><apply id="S3.8.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.8.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p8.1.m1.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p8.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as a trigonometric polynomial and applying the pigeonhole principle, we see that for some real numbers <math alttext="\alpha_{1}^{\prime},\ldots,\alpha_{s}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p8.2.m2.3"><semantics id="S3.8.p8.2.m2.3a"><mrow id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.3.cmml"><msubsup id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">α</mi><mn id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.3" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p8.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.8.p8.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.4" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">s</mi><mo id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p8.2.m2.3b"><list id="S3.8.p8.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2"><apply id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.2">𝛼</ci><cn id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.2.2.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.8.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.2.m2.3.3.2.2.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p8.2.m2.3c">\alpha_{1}^{\prime},\ldots,\alpha_{s}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p8.2.m2.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx37"> <tbody id="S3.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{n,h_{1},\ldots,h_{s}\in[-2CN^{d},% 2CN^{d}]}\prod_{j=1}^{s}e(\alpha_{j}^{\prime}h_{j})\cdot\prod_{\omega\in\{0,1% \}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k}1_{[-CN^{d},CN^{d}]}(n+\omega\cdot\mathbf{h}% )\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex13.m1.13"><semantics id="S3.Ex13.m1.13a"><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex13.m1.1.1a" xref="S3.Ex13.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex13.m1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.3.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex13.m1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.3.cmml"><munder id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.3a" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.7.7.6" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2" xref="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.3" xref="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.3.3.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.3.3.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S3.Ex13.m1.4.4.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.4" xref="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex13.m1.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex13.m1.3.3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.5" xref="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.2" xref="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.5.5.4.4.2.2.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.7.7.6.7" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.7.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1a" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.1" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.1a" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.4" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.4" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.1a" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.4" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.4.2" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.4.3" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.7.7.6.6.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.cmml"><munderover id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3a" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.3" rspace="0.222em" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml">⋅</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><munder id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2a" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.9.9.2" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.9.9.2.4" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex13.m1.9.9.2.3" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.2" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">{</mo><mn id="S3.Ex13.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex13.m1.8.8.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex13.m1.9.9.2.2" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">}</mo></mrow><mi id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.3" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><msup id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.10.10.1.3" xref="S3.Ex13.m1.10.10.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.10.10.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.10.10.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex13.m1.10.10.1.1" xref="S3.Ex13.m1.10.10.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex13.m1.10.10.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.10.10.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.2a" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5.cmml"><mn id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1a" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.4" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.2b" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐡</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" 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cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3"><eq id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2"><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.3">⋅</ci><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1"><times 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id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℎ</ci><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.9.9.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2"><in id="S3.Ex13.m1.9.9.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.3"></in><ci id="S3.Ex13.m1.9.9.2.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.4">𝜔</ci><apply id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5">superscript</csymbol><set id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.2.2"><cn id="S3.Ex13.m1.8.8.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.8.8.1.1">0</cn><cn id="S3.Ex13.m1.9.9.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.2">1</cn></set><ci id="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.9.9.2.5.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1"><times id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.3.2">𝒞</ci><apply id="S3.Ex13.m1.10.10.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.10.10.1.3"><abs id="S3.Ex13.m1.10.10.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.10.10.1.3.1"></abs><ci id="S3.Ex13.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.10.10.1.1">𝜔</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.5.2">1</cn><interval closure="closed" id="S3.Ex13.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2"><apply id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1"><minus id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2"><times id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.11.11.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2"><times id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.12.12.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3"><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1">⋅</ci><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝐡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.13c">\displaystyle\left|\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{n,h_{1},\ldots,h_{s}\in[-2CN^{d},% 2CN^{d}]}\prod_{j=1}^{s}e(\alpha_{j}^{\prime}h_{j})\cdot\prod_{\omega\in\{0,1% \}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k}1_{[-CN^{d},CN^{d}]}(n+\omega\cdot\mathbf{h}% )\right|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.13d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d ( italic_s + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ - 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_e ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⋅ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_ω ⋅ bold_h ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{100s2^{s}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m1.4"><semantics id="S3.Ex14.m1.4a"><mrow id="S3.Ex14.m1.4.4.1" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2.2" lspace="1.278em" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">≫</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex14.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex14.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><msup id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.cmml"><mn id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.2" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.3" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.3.cmml">s</mi></msup></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m1.4b"><apply id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1"><apply id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.2.2">much-greater-than</csymbol><list id="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex14.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex14.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3"><times id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.2">100</cn><ci id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.3">𝑠</ci><apply id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><cn id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.2">2</cn><ci id="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.1.1.1.3.4.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.4c">\displaystyle\quad\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{100s2^{s}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.4d">≫ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 100 italic_s 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.8.p8.3">Using <math alttext="e(\alpha_{j}^{\prime}h_{j})=e(\alpha_{j}^{\prime}(n+h_{j}))e(-\alpha_{j}^{% \prime}n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p8.3.m1.3"><semantics id="S3.8.p8.3.m1.3a"><mrow id="S3.8.p8.3.m1.3.3" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.3" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.2" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mi id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.4" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.4" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.3" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.3.cmml"></mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mi id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.3a" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.3.cmml"></mo><mi id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.5" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.5.cmml">e</mi><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.3b" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.3.cmml"></mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1a" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.3" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.1" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.3" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p8.3.m1.3b"><apply id="S3.8.p8.3.m1.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3"><eq id="S3.8.p8.3.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.4"></eq><apply id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1"><times id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.3">𝑒</ci><apply id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℎ</ci><ci id="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3"><times id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.3"></times><ci id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.4">𝑒</ci><apply id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1"><times id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">ℎ</ci><ci id="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.5.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.5">𝑒</ci><apply id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1"><minus id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1"></minus><apply id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2"><times id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.1"></times><apply id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p8.3.m1.3c">e(\alpha_{j}^{\prime}h_{j})=e(\alpha_{j}^{\prime}(n+h_{j}))e(-\alpha_{j}^{% \prime}n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p8.3.m1.3d">italic_e ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_e ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n + italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_e ( - italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_n )</annotation></semantics></math>, this can be written as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx38"> <tbody id="S3.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{n,h_{1},\ldots,h_{s}\in[-2CN^{d},% 2CN^{d}]}\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k,\omega}1_{[-CN% ^{d},CN^{d}]}(n+\omega\cdot\mathbf{h})\right|\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{100% s2^{s}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m1.18"><semantics id="S3.Ex15.m1.18a"><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex15.m1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex15.m1.1.1a" xref="S3.Ex15.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex15.m1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex15.m1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.7.7.6" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.3" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.4" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m1.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex15.m1.3.3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.5" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.6.7" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.7.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1a" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.1" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.1a" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.4" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.1" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.3" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.1a" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.2" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.3" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.9.9.2" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.9.9.2.4" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.4.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex15.m1.9.9.2.3" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.2" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">{</mo><mn id="S3.Ex15.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex15.m1.8.8.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex15.m1.9.9.2.2" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.1.cmml">}</mo></mrow><mi id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.3" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.Ex15.m1.10.10.1.3" xref="S3.Ex15.m1.10.10.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.10.10.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.10.10.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex15.m1.10.10.1.1" xref="S3.Ex15.m1.10.10.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex15.m1.10.10.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.10.10.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.Ex15.m1.12.12.2.4" xref="S3.Ex15.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.11.11.1.1" xref="S3.Ex15.m1.11.11.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex15.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.Ex15.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m1.12.12.2.2" xref="S3.Ex15.m1.12.12.2.2.cmml">ω</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mn id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1a" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.4" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.1" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.3" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐡</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><msub id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3.2.cmml">≫</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.17.17.3.5" xref="S3.Ex15.m1.17.17.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.15.15.1.1" xref="S3.Ex15.m1.15.15.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex15.m1.17.17.3.5.1" xref="S3.Ex15.m1.17.17.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m1.16.16.2.2" xref="S3.Ex15.m1.16.16.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex15.m1.17.17.3.5.2" xref="S3.Ex15.m1.17.17.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m1.17.17.3.3" xref="S3.Ex15.m1.17.17.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><msup id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.2.cmml">100</mn><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.1a" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.cmml"><mn id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.3" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.3.cmml">s</mi></msup></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.18.18.1.2" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.18b"><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1"><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.3.2">much-greater-than</csymbol><list id="S3.Ex15.m1.17.17.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.17.17.3.5"><ci id="S3.Ex15.m1.15.15.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.15.15.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex15.m1.16.16.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.16.16.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex15.m1.17.17.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.17.17.3.3">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1"><divide id="S3.Ex15.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1"></divide><cn id="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex15.m1.7.7.6.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6"><in id="S3.Ex15.m1.7.7.6.7.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.7"></in><list id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2"><ci id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1">𝑛</ci><apply id="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.4.4.3.3.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex15.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.3.3.2.2">…</ci><apply id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.4.4.2.2.3">𝑠</ci></apply></list><interval closure="closed" id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2"><apply id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1"><minus id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1"></minus><apply id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2"><times id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.1"></times><cn id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.3">𝐶</ci><apply id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.5.5.1.1.2.4.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2"><times id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.1"></times><cn id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.2">2</cn><ci id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.3">𝐶</ci><apply id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.6.2.2.4.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.9.9.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2"><in id="S3.Ex15.m1.9.9.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.3"></in><ci id="S3.Ex15.m1.9.9.2.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.4">𝜔</ci><apply id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5">superscript</csymbol><set id="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.2.5.2.2"><cn id="S3.Ex15.m1.8.8.1.1.cmml" type="integer" 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id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑓</ci><list id="S3.Ex15.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.Ex15.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.11.11.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex15.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.12.12.2.2">𝜔</ci></list></apply><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">1</cn><interval closure="closed" id="S3.Ex15.m1.14.14.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2"><apply id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1"><minus id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2"><times id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.13.13.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2"><times id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex15.m1.14.14.2.2.2.2.cmml" 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id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3"><times id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.2">100</cn><ci id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.3">𝑠</ci><apply id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><cn id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.2">2</cn><ci id="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.18.18.1.1.2.3.4.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.18c">\displaystyle\left|\frac{1}{N^{d(s+1)}}\sum_{n,h_{1},\ldots,h_{s}\in[-2CN^{d},% 2CN^{d}]}\prod_{\omega\in\{0,1\}^{s}}\mathcal{C}^{|\omega|}f_{k,\omega}1_{[-CN% ^{d},CN^{d}]}(n+\omega\cdot\mathbf{h})\right|\gg_{C,d,k}(\delta^{\prime})^{100% s2^{s}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.18d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d ( italic_s + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ - 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , 2 italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_ω end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_ω ⋅ bold_h ) | ≫ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 100 italic_s 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.8.p8.6">where each <math alttext="f_{k,\omega}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p8.4.m1.2"><semantics id="S3.8.p8.4.m1.2a"><msub id="S3.8.p8.4.m1.2.3" xref="S3.8.p8.4.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.8.p8.4.m1.2.3.2" xref="S3.8.p8.4.m1.2.3.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.4" xref="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.8.p8.4.m1.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.4.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.2" xref="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.2.cmml">ω</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p8.4.m1.2b"><apply id="S3.8.p8.4.m1.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.4.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.4.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.8.p8.4.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.4.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.8.p8.4.m1.2.3.2">𝑓</ci><list id="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.8.p8.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.4.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.4.m1.2.2.2.2">𝜔</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p8.4.m1.2c">f_{k,\omega}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p8.4.m1.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_ω end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is of the form <math alttext="f_{k,\omega}(n)=f_{k}(n)e(\alpha_{\omega}n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p8.5.m2.5"><semantics id="S3.8.p8.5.m2.5a"><mrow id="S3.8.p8.5.m2.5.5" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.cmml"><mrow id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.cmml"><msub id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2.cmml"><mi id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.4" xref="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.8.p8.5.m2.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.5.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.4.1" xref="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.2" xref="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.2.cmml">ω</mi></mrow></msub><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.1" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.3.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.cmml"><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="S3.8.p8.5.m2.3.3" xref="S3.8.p8.5.m2.3.3.cmml">n</mi><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.cmml"><msub id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.cmml"><mi id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.3" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.4.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.cmml"><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S3.8.p8.5.m2.4.4" xref="S3.8.p8.5.m2.4.4.cmml">n</mi><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.2a" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.2.cmml"></mo><mi id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.5" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.5.cmml">e</mi><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.2b" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">ω</mi></msub><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p8.5.m2.5b"><apply id="S3.8.p8.5.m2.5.5.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5"><eq id="S3.8.p8.5.m2.5.5.2.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.2"></eq><apply id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3"><times id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.1.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.1"></times><apply id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.3.2.2">𝑓</ci><list id="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.8.p8.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.2.2.2.2">𝜔</ci></list></apply><ci id="S3.8.p8.5.m2.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1"><times id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.2"></times><apply id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.2.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.3.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.8.p8.5.m2.4.4.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.4.4">𝑛</ci><ci id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.5.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.5">𝑒</ci><apply id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1"><times id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3">𝜔</ci></apply><ci id="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.5.m2.5.5.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p8.5.m2.5c">f_{k,\omega}(n)=f_{k}(n)e(\alpha_{\omega}n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p8.5.m2.5d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) italic_e ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_ω end_POSTSUBSCRIPT italic_n )</annotation></semantics></math> for some real number <math alttext="\alpha_{\omega}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p8.6.m3.1"><semantics id="S3.8.p8.6.m3.1a"><msub id="S3.8.p8.6.m3.1.1" xref="S3.8.p8.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p8.6.m3.1.1.2" xref="S3.8.p8.6.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S3.8.p8.6.m3.1.1.3" xref="S3.8.p8.6.m3.1.1.3.cmml">ω</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p8.6.m3.1b"><apply id="S3.8.p8.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p8.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p8.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p8.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p8.6.m3.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S3.8.p8.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p8.6.m3.1.1.3">𝜔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p8.6.m3.1c">\alpha_{\omega}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p8.6.m3.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_ω end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.9.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.9.p9.6">Now, by the Gowers–Cauchy–Schwarz inequality (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.E1" title="In 2.2. Gowers norms ‣ 2. Notation and preliminaries ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>) and the simple fact that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|f_{k}e(\alpha\cdot)\|_{U^{s}([-CN^{d},CN^{d}])}=\|f_{k}\|_{U^{s}([-CN^{d},CN% ^{d}])}" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex16.m1.2"><semantics id="S3.Ex16.m1.2a"><mrow id="S3.Ex16.m1.2b"><mo id="S3.Ex16.m1.2.3" rspace="0.167em">∥</mo><msub id="S3.Ex16.m1.2.4"><mi id="S3.Ex16.m1.2.4.2">f</mi><mi id="S3.Ex16.m1.2.4.3">k</mi></msub><mi id="S3.Ex16.m1.2.5">e</mi><mrow id="S3.Ex16.m1.2.6"><mo id="S3.Ex16.m1.2.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex16.m1.2.6.2">α</mi><mo id="S3.Ex16.m1.2.6.3" lspace="0.222em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S3.Ex16.m1.2.6.4" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="S3.Ex16.m1.2.7"><mo id="S3.Ex16.m1.2.7.2" lspace="0em" rspace="0.0835em">∥</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1"><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.3"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.3.2">U</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.3.3">s</mi></msup><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.2"></mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a">−</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">C</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></mo><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">N</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.4">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">C</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></mo><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">N</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m1.2.8" lspace="0.0835em" rspace="0em">=</mo><mo id="S3.Ex16.m1.2.9" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><msub id="S3.Ex16.m1.2.10"><mi id="S3.Ex16.m1.2.10.2">f</mi><mi id="S3.Ex16.m1.2.10.3">k</mi></msub><msub id="S3.Ex16.m1.2.11"><mo id="S3.Ex16.m1.2.11.2" lspace="0em">∥</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.1"><msup id="S3.Ex16.m1.2.2.1.3"><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.1.3.2">U</mi><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.1.3.3">s</mi></msup><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.2"></mo><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2"><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1a">−</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">C</mi><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"></mo><msup id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">N</mi><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.4">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.2"><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">C</mi><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1"></mo><msup id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">N</mi><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.2c">\|f_{k}e(\alpha\cdot)\|_{U^{s}([-CN^{d},CN^{d}])}=\|f_{k}\|_{U^{s}([-CN^{d},CN% ^{d}])}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.2d">∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e ( italic_α ⋅ ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] ) end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.9.p9.2">for any real number <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p9.1.m1.1"><semantics id="S3.9.p9.1.m1.1a"><mi id="S3.9.p9.1.m1.1.1" xref="S3.9.p9.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p9.1.m1.1b"><ci id="S3.9.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.9.p9.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p9.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p9.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> and any <math alttext="s\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p9.2.m2.1"><semantics id="S3.9.p9.2.m2.1a"><mrow id="S3.9.p9.2.m2.1.1" xref="S3.9.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.9.p9.2.m2.1.1.2" xref="S3.9.p9.2.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.9.p9.2.m2.1.1.1" xref="S3.9.p9.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.9.p9.2.m2.1.1.3" xref="S3.9.p9.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p9.2.m2.1b"><apply id="S3.9.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.9.p9.2.m2.1.1"><geq id="S3.9.p9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p9.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S3.9.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p9.2.m2.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S3.9.p9.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.9.p9.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p9.2.m2.1c">s\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p9.2.m2.1d">italic_s ≥ 2</annotation></semantics></math>, we conclude that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx39"> <tbody id="S3.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|f_{k}\|_{U^{s}([-CN^{d},CN^{d}])}^{2^{s}}\gg_{C,d,k}(\delta^{% \prime})^{100s2^{s}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex17.m1.5"><semantics id="S3.Ex17.m1.5a"><mrow id="S3.Ex17.m1.5.5.1" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></msubsup><msub id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">≫</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.3.5" xref="S3.Ex17.m1.4.4.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.3.5.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m1.3.3.2.2" xref="S3.Ex17.m1.3.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.3.5.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.3.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><msup id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">100</mn><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.1a" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.cmml"><mn id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.2" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.3" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.3.cmml">s</mi></msup></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex17.m1.5b"><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1"><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.3.2">much-greater-than</csymbol><list id="S3.Ex17.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.3.5"><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex17.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.3.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.3.3">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3"><times id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.2">100</cn><ci id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.3">𝑠</ci><apply id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><cn id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.2">2</cn><ci id="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5.1.1.2.3.4.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex17.m1.5c">\displaystyle\|f_{k}\|_{U^{s}([-CN^{d},CN^{d}])}^{2^{s}}\gg_{C,d,k}(\delta^{% \prime})^{100s2^{s}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex17.m1.5d">∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ≫ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 100 italic_s 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.9.p9.4">Recalling that <math alttext="\delta^{\prime}=\delta^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p9.3.m1.1"><semantics id="S3.9.p9.3.m1.1a"><mrow id="S3.9.p9.3.m1.1.1" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.cmml"><msup id="S3.9.p9.3.m1.1.1.2" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.2" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.3" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.9.p9.3.m1.1.1.1" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.9.p9.3.m1.1.1.3" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.2" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.3" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p9.3.m1.1b"><apply id="S3.9.p9.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1"><eq id="S3.9.p9.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.9.p9.3.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p9.3.m1.1c">\delta^{\prime}=\delta^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p9.3.m1.1d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and taking <math alttext="K=100st" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p9.4.m2.1"><semantics id="S3.9.p9.4.m2.1a"><mrow id="S3.9.p9.4.m2.1.1" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.9.p9.4.m2.1.1.2" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.9.p9.4.m2.1.1.1" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.2" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.1" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.3" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.1a" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.4" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p9.4.m2.1b"><apply id="S3.9.p9.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1"><eq id="S3.9.p9.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.9.p9.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.2">𝐾</ci><apply id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3"><times id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.2">100</cn><ci id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.3">𝑠</ci><ci id="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S3.9.p9.4.m2.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p9.4.m2.1c">K=100st</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p9.4.m2.1d">italic_K = 100 italic_s italic_t</annotation></semantics></math>, this yields</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx40"> <tbody id="S3.Ex18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta\ll_{C,d,k}\|f_{k}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}^{1/K}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex18.m1.6"><semantics id="S3.Ex18.m1.6a"><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.cmml">δ</mi><msub id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex18.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex18.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><msubsup id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.Ex18.m1.5.5.2" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.cmml"><msup id="S3.Ex18.m1.5.5.2.4" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.2" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.3" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S3.Ex18.m1.5.5.2.3" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.3.cmml"></mo><mrow id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1a" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.4" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex18.m1.6b"><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1"><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><list id="S3.Ex18.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex18.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3">𝛿</ci><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2"><times id="S3.Ex18.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.3"></times><apply id="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.4.3">𝑠</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2"><apply id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2"><times id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex18.m1.6c">\displaystyle\delta\ll_{C,d,k}\|f_{k}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}^{1/K}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex18.m1.6d">italic_δ ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_K end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.9.p9.5">Taking into account the definition of <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p9.5.m1.1"><semantics id="S3.9.p9.5.m1.1a"><mi id="S3.9.p9.5.m1.1.1" xref="S3.9.p9.5.m1.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p9.5.m1.1b"><ci id="S3.9.p9.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.9.p9.5.m1.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p9.5.m1.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p9.5.m1.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.E2" title="In Proof. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>), the proof is now complete. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4. </span>Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">A key number-theoretic input needed for the proofs of our main theorems is a bound for the Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions saving an arbitrary power of logarithm, due to Leng <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S4.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem1.3.1.1">Proposition 4.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem1.4.2"> </span>(Quantitative <math alttext="U^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1b"><msup id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1c"><apply id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1d">U^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.1.m1.1e">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-uniformity of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.2.m2.1b"><mi id="S4.Thmtheorem1.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.2.m2.1c"><ci id="S4.Thmtheorem1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.2.m2.1d">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.2.m2.1e">italic_μ</annotation></semantics></math>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem1.5.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3">Let <math alttext="k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, <math alttext="A>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1"><gt id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">A>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">italic_A > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="N\geq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1"><geq id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1"></geq><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1c">N\geq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1d">italic_N ≥ 3</annotation></semantics></math>. Then we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx41"> <tbody id="S4.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\mu\|_{U^{k}[N]}\ll_{A}(\log N)^{-A}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex1.m1.3"><semantics id="S4.Ex1.m1.3a"><mrow id="S4.Ex1.m1.3.3.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.Ex1.m1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.Ex1.m1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex1.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.Ex1.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><msub id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3a" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex1.m1.3b"><apply id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1"><apply id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2">𝜇</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3"></minus><ci id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1.m1.3c">\displaystyle\|\mu\|_{U^{k}[N]}\ll_{A}(\log N)^{-A}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1.m1.3d">∥ italic_μ ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S4.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem2.1.1.1">Remark 4.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p1.2">Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem1" title="Proposition 4.1 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of 𝜇). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a> holds also with the Liouville function <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p1.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> in place of the Möbius function <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p1.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>; this is seen from the identity</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx42"> <tbody id="S4.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lambda(n)=\sum_{d\geq 1}\mu(n/d)1_{d^{2}\mid n}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex2.m1.2"><semantics id="S4.Ex2.m1.2a"><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><munder id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml"><msup id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex2.m1.2b"><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1"><eq id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3"><times id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3"><geq id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.1"></geq><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑑</ci><cn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝜇</ci><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.2">1</cn><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex2.m1.2c">\displaystyle\lambda(n)=\sum_{d\geq 1}\mu(n/d)1_{d^{2}\mid n}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex2.m1.2d">italic_λ ( italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d ≥ 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_n / italic_d ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∣ italic_n end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem1" title="Proposition 4.1 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of 𝜇). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a>.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.1.p1.1">This follows by combining <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>, Theorem 6]</cite> with the triangle inequality for the Gowers norms and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib18" title="">18</a>, Theorem 2.5]</cite> (where we can use Siegel’s bound to lower bound the size of a Siegel modulus instead of a weaker effective bound). ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1">For the von Mangoldt function, we end up needing a stronger Gowers uniformity result, saving more than an arbitrary power of logarithm (as in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>). This necessitates taking into account the contribution of a possible Siegel zero. We introduce some definitions for this.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S4.Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem3.1.1.1">Definition 4.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem3.p1.10">Let <math alttext="c_{0}=1/1000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1000</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑐</ci><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3"><divide id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.3.3">1000</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1c">c_{0}=1/1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.1.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 1 / 1000</annotation></semantics></math> and <math alttext="Q\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1"><geq id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1c">Q\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.2.m2.1d">italic_Q ≥ 2</annotation></semantics></math>. A real number <math alttext="\widetilde{\beta}\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2b"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3"><in id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2"><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.2.2">𝛽</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.3.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2c">\widetilde{\beta}\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.3.m3.2d">over~ start_ARG italic_β end_ARG ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> is called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem3.p1.4.1">a Siegel zero of level <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1a"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1d">italic_Q</annotation></semantics></math></em> if there exists a primitive Dirichlet character <math alttext="\widetilde{\chi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1a"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1b"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1.1.2">𝜒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1c">\widetilde{\chi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.5.m4.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG</annotation></semantics></math> of conductor <math alttext="\leq Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1b"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1"><leq id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.2">absent</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1.1.3">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1c">\leq Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.6.m5.1d">≤ italic_Q</annotation></semantics></math> such that <math alttext="L(\widetilde{\beta},\widetilde{\chi})=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2b"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3"><eq id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.1"></eq><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2"><times id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.1"></times><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.2.3.2"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.1.1.2">𝛽</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2"><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.2.2">𝜒</ci></apply></interval></apply><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2c">L(\widetilde{\beta},\widetilde{\chi})=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.7.m6.2d">italic_L ( over~ start_ARG italic_β end_ARG , over~ start_ARG italic_χ end_ARG ) = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{\beta}\geq 1-c_{0}/\log Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mn id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.cmml"></mo><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.2.cmml">Q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1b"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1"><geq id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.1"></geq><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2"><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.2.2">𝛽</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3"><minus id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.1"></minus><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3"><divide id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.1"></divide><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><cn id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3"><log id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.1"></log><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1.1.3.3.3.2">𝑄</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1c">\widetilde{\beta}\geq 1-c_{0}/\log Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.8.m7.1d">over~ start_ARG italic_β end_ARG ≥ 1 - italic_c start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT / roman_log italic_Q</annotation></semantics></math>. The character <math alttext="\widetilde{\chi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1a"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1b"><apply id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1.1.2">𝜒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1c">\widetilde{\chi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.9.m8.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG</annotation></semantics></math> is then called a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem3.p1.10.2">Siegel character of level <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1a"><mi id="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1b"><ci id="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem3.p1.10.2.m1.1d">italic_Q</annotation></semantics></math></em>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.2">By the Landau–Page theorem (see e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>), we know that if a Siegel zero of level <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.p3.1.m1.1a"><mi id="S4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.1b"><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.1d">italic_Q</annotation></semantics></math> exists, it is unique and simple, and the corresponding Siegel character <math alttext="\widetilde{\chi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.p3.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S4.p3.2.m2.1.1" xref="S4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.2.m2.1.1.2" xref="S4.p3.2.m2.1.1.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.p3.2.m2.1.1.1" xref="S4.p3.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1"><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1.2">𝜒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m2.1c">\widetilde{\chi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG</annotation></semantics></math> is a unique non-principal real character.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S4.Thmtheorem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem4.1.1.1">Definition 4.4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem4.2.2"> </span>(The Siegel model)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem4.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem4.p1.9">Let <math alttext="w\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1"><geq id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1c">w\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.1.m1.1d">italic_w ≥ 2</annotation></semantics></math> and <math alttext="W=\prod_{p\leq w}p" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></msub><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3"><leq id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.1"></leq><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1c">W=\prod_{p\leq w}p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.2.m2.1d">italic_W = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_p</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\widetilde{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1.1.2">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1c">\widetilde{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_β end_ARG</annotation></semantics></math> be the Siegel zero of level <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.4.m4.1d">italic_w</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{\chi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1a"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1.1.2">𝜒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1c">\widetilde{\chi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.5.m5.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG</annotation></semantics></math> be the Siegel character of level <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1a"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.6.m6.1d">italic_w</annotation></semantics></math>, if they exist; otherwise let <math alttext="\widetilde{\beta}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1b"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2"><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.2.2">𝛽</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1c">\widetilde{\beta}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.7.m7.1d">over~ start_ARG italic_β end_ARG = 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{\chi}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2"><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.2.2">𝜒</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1c">\widetilde{\chi}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.8.m8.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG = 0</annotation></semantics></math>. Define for <math alttext="n\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1b"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1"><in id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.1"></in><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1c">n\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.9.m9.1d">italic_n ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math> the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem4.p1.9.1">Siegel model</em></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx43"> <tbody id="S4.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widetilde{\Lambda}_{W}(n)\coloneqq\Lambda_{W}(n)\left(1-% \widetilde{\chi}(|n|)|n|^{\widetilde{\beta}-1}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex3.m1.5"><semantics id="S4.Ex3.m1.5a"><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex3.m1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex3.m1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.cmml">n</mi><mo 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xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E1.m1.1.1" xref="S4.E1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><munder id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml">W</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E1.m1.2.2" xref="S4.E1.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E1.m1.3b"><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1"><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1">≔</ci><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2"><times id="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2">Λ</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.E1.m1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3"><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">Λ</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E1.m1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.2.2">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E1.m1.3c">\displaystyle\Lambda_{W}(n)\coloneqq\prod_{p\mid W}\Lambda_{p}(n),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E1.m1.3d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ≔ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_W end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem4.p1.10">with <math alttext="\Lambda_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1a"><msub id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.2">Λ</ci><ci id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1c">\Lambda_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem4.p1.10.m1.1d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.E3" title="In Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>).</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.1">With this notation, we have the following version of the prime number theorem in arithmetic progressions with a Siegel correction.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S4.Thmtheorem5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem5.1.1.1">Proposition 4.5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem5.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem5.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3">Let <math alttext="N\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1"><geq id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1c">N\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1d">italic_N ≥ 2</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="2\leq w\leq\exp((\log N)^{1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.4.cmml">≤</mo><mi id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.5" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.5.cmml">w</mi><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.6" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.6.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1a" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2b"><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2"><and id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2a.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2"></and><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2b.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2"><leq id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.4"></leq><cn id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.3">2</cn><ci id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.5">𝑤</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2c.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2"><leq id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.6.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.5.cmml" id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2d.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2"></share><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1"><exp id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1"></exp><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2c">2\leq w\leq\exp((\log N)^{1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2d">2 ≤ italic_w ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="\widetilde{\Lambda}_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1a"><msub id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2"><ci id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1c">\widetilde{\Lambda}_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1d">over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the Siegel model as in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem4" title="Definition 4.4 (The Siegel model). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>. Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx45"> <tbody id="S4.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\max_{q\leq w}\,\max_{a\pmod{q}}\Bigg{|}\sum_{\begin{subarray}{c}% m\leq N\\ m\equiv a\pmod{q}\end{subarray}}(\Lambda(m)-\widetilde{\Lambda}_{W}(m))\Bigg{|% }\leq N\exp(-c(\log N)^{1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E2.m1.8"><semantics id="S4.E2.m1.8a"><mrow id="S4.E2.m1.8.8" xref="S4.E2.m1.8.8.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.cmml"><munder id="S4.E2.m1.7.7.1.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.7.7.1.2.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.2.3" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E2.m1.7.7.1.2.3.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.2.3.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E2.m1.7.7.1.2.3.3" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder><mo id="S4.E2.m1.7.7.1a" lspace="0.337em" xref="S4.E2.m1.7.7.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.cmml"><munder id="S4.E2.m1.7.7.1.1.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="S4.E2.m1.3.3.2" xref="S4.E2.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.3.3.2.4" xref="S4.E2.m1.3.3.2.4.cmml">a</mi><mspace id="S4.E2.m1.3.3.2a" width="0.949em" xref="S4.E2.m1.3.3.2.cmml"></mspace><mrow id="S4.E2.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.E2.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.3.3.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.3.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.3.3.2.2.2.2.1" xref="S4.E2.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.3.3.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.E2.m1.3.3.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.E2.m1.3.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.3.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></munder><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1a" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.E2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S4.E2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S4.E2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S4.E2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">≡</mo><mrow id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">a</mi><mspace id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5a" width="0.949em" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"></mspace><mrow id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E2.m1.4.4" xref="S4.E2.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E2.m1.5.5" xref="S4.E2.m1.5.5.cmml">m</mi><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S4.E2.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.8.8.3" xref="S4.E2.m1.8.8.3.cmml">≤</mo><mrow id="S4.E2.m1.8.8.2" xref="S4.E2.m1.8.8.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.8.8.2.3" xref="S4.E2.m1.8.8.2.3.cmml">N</mi><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.2" lspace="0.167em" xref="S4.E2.m1.8.8.2.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.6.6" xref="S4.E2.m1.6.6.cmml">exp</mi><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1a" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1a" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E2.m1.8b"><apply id="S4.E2.m1.8.8.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8"><leq id="S4.E2.m1.8.8.3.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.3"></leq><apply id="S4.E2.m1.7.7.1.cmml" xref="S4.E2.m1.7.7.1"><apply id="S4.E2.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.7.7.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2">subscript</csymbol><max id="S4.E2.m1.7.7.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2.2"></max><apply id="S4.E2.m1.7.7.1.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.7.7.1.2.3"><leq 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xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1"><times id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci><apply id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E2.m1.8c">\displaystyle\max_{q\leq w}\,\max_{a\pmod{q}}\Bigg{|}\sum_{\begin{subarray}{c}% m\leq N\\ m\equiv a\pmod{q}\end{subarray}}(\Lambda(m)-\widetilde{\Lambda}_{W}(m))\Bigg{|% }\leq N\exp(-c(\log N)^{1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E2.m1.8d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_q ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m ≤ italic_N end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≡ italic_a start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Λ ( italic_m ) - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) | ≤ italic_N roman_exp ( - italic_c ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem5.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1">for some absolute constant <math alttext="c>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1"><gt id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.2">𝑐</ci><cn id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1c">c>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem5.p1.4.1.m1.1d">italic_c > 0</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.2.p1.13">Let <math alttext="1\leq a\leq q\leq w" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.2.p1.1.m1.1.1.4" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S4.2.p1.1.m1.1.1.5" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.2.p1.1.m1.1.1.6" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.6.cmml">q</mi><mo id="S4.2.p1.1.m1.1.1.7" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S4.2.p1.1.m1.1.1.8" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.8.cmml">w</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1"><and id="S4.2.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S4.2.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1"><leq id="S4.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="S4.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.4">𝑎</ci></apply><apply id="S4.2.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1"><leq id="S4.2.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S4.2.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1"></share><ci id="S4.2.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.6">𝑞</ci></apply><apply id="S4.2.p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1"><leq id="S4.2.p1.1.m1.1.1.7.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.2.p1.1.m1.1.1.6.cmml" id="S4.2.p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1"></share><ci id="S4.2.p1.1.m1.1.1.8.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.8">𝑤</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.1.m1.1c">1\leq a\leq q\leq w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.1.m1.1d">1 ≤ italic_a ≤ italic_q ≤ italic_w</annotation></semantics></math> be chosen so that the maximum in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E2" title="In Proposition 4.5. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>) is attained. Denote the sum on the left-hand side of by <math alttext="S(N;q,a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.2.m2.3"><semantics id="S4.2.p1.2.m2.3a"><mrow id="S4.2.p1.2.m2.3.4" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.cmml"><mi id="S4.2.p1.2.m2.3.4.2" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.2.cmml">S</mi><mo id="S4.2.p1.2.m2.3.4.1" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.1.cmml"></mo><mrow id="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.2" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mo id="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.2.2" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.2.p1.2.m2.2.2" xref="S4.2.p1.2.m2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.2.3" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.2.p1.2.m2.3.3" xref="S4.2.p1.2.m2.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.2.m2.3b"><apply id="S4.2.p1.2.m2.3.4.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4"><times id="S4.2.p1.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.1"></times><ci id="S4.2.p1.2.m2.3.4.2.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.2">𝑆</ci><list id="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.3.4.3.2"><ci id="S4.2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1">𝑁</ci><ci id="S4.2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.2.2">𝑞</ci><ci id="S4.2.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.3.3">𝑎</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.2.m2.3c">S(N;q,a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.2.m2.3d">italic_S ( italic_N ; italic_q , italic_a )</annotation></semantics></math>. If a prime <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.2.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.2.p1.3.m3.1.1" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.3.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.3.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math> divides <math alttext="(a,q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.4.m4.2"><semantics id="S4.2.p1.4.m4.2a"><mrow id="S4.2.p1.4.m4.2.3.2" xref="S4.2.p1.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S4.2.p1.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.4.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.2.p1.4.m4.1.1" xref="S4.2.p1.4.m4.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.2.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.2.p1.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.2.p1.4.m4.2.2" xref="S4.2.p1.4.m4.2.2.cmml">q</mi><mo id="S4.2.p1.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.2.p1.4.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.4.m4.2b"><interval closure="open" id="S4.2.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.2.p1.4.m4.2.3.2"><ci id="S4.2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.4.m4.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.2.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.4.m4.2.2">𝑞</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.4.m4.2c">(a,q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.4.m4.2d">( italic_a , italic_q )</annotation></semantics></math>, then <math alttext="p\leq w" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.2.p1.5.m5.1a"><mrow id="S4.2.p1.5.m5.1.1" xref="S4.2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S4.2.p1.5.m5.1.1.1" xref="S4.2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">w</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.5.m5.1.1"><leq id="S4.2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.5.m5.1.1.1"></leq><ci id="S4.2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.5.m5.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S4.2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.2.p1.5.m5.1.1.3">𝑤</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.5.m5.1c">p\leq w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.5.m5.1d">italic_p ≤ italic_w</annotation></semantics></math>, so <math alttext="\widetilde{\Lambda}_{W}(m)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.2.p1.6.m6.1a"><mrow id="S4.2.p1.6.m6.1.2" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.cmml"><mrow id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.cmml"><msub id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.1" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.3" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.1" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.3.2" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.cmml"><mo id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.2.p1.6.m6.1.1" xref="S4.2.p1.6.m6.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.2.p1.6.m6.1.2.1" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S4.2.p1.6.m6.1.2.3" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.2.p1.6.m6.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2"><eq id="S4.2.p1.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.1"></eq><apply id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2"><times id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.1"></times><apply id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2"><ci id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.6.m6.1.1">𝑚</ci></apply><cn id="S4.2.p1.6.m6.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.2.p1.6.m6.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.6.m6.1c">\widetilde{\Lambda}_{W}(m)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.6.m6.1d">over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="m\equiv 0\pmod{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.7.m7.2"><semantics id="S4.2.p1.7.m7.2a"><mrow id="S4.2.p1.7.m7.2.3" xref="S4.2.p1.7.m7.2.3.cmml"><mi id="S4.2.p1.7.m7.2.3.2" xref="S4.2.p1.7.m7.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.2.p1.7.m7.2.3.1" xref="S4.2.p1.7.m7.2.3.1.cmml">≡</mo><mrow id="S4.2.p1.7.m7.2.3.3" xref="S4.2.p1.7.m7.2.3.3.cmml"><mn id="S4.2.p1.7.m7.2.3.3.2" xref="S4.2.p1.7.m7.2.3.3.2.cmml">0</mn><mspace id="S4.2.p1.7.m7.2.3.3a" width="0.949em" xref="S4.2.p1.7.m7.2.3.3.cmml"></mspace><mrow id="S4.2.p1.7.m7.2.2.2.2" xref="S4.2.p1.7.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S4.2.p1.7.m7.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.2.p1.7.m7.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.2.p1.7.m7.2.2.2.2.1" xref="S4.2.p1.7.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S4.2.p1.7.m7.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.2.p1.7.m7.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.2.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S4.2.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml">p</mi></mrow><mo id="S4.2.p1.7.m7.2.2.2.2.3" stretchy="false" 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start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_p end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Lambda(m)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.2.p1.8.m8.1a"><mrow id="S4.2.p1.8.m8.1.2" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.cmml"><mrow id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.1" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.3.2" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.cmml"><mo id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.2.p1.8.m8.1.1" xref="S4.2.p1.8.m8.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.2.p1.8.m8.1.2.1" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S4.2.p1.8.m8.1.2.3" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.2.p1.8.m8.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2"><eq id="S4.2.p1.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.1"></eq><apply id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2"><times id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.1"></times><ci id="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.2.2">Λ</ci><ci id="S4.2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.8.m8.1.1">𝑚</ci></apply><cn id="S4.2.p1.8.m8.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.2.p1.8.m8.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.8.m8.1c">\Lambda(m)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.8.m8.1d">roman_Λ ( italic_m ) = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="m\equiv 0\pmod{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.9.m9.2"><semantics id="S4.2.p1.9.m9.2a"><mrow id="S4.2.p1.9.m9.2.3" xref="S4.2.p1.9.m9.2.3.cmml"><mi id="S4.2.p1.9.m9.2.3.2" xref="S4.2.p1.9.m9.2.3.2.cmml">m</mi><mo 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id="S4.2.p1.9.m9.2.3.2.cmml" xref="S4.2.p1.9.m9.2.3.2">𝑚</ci><apply id="S4.2.p1.9.m9.2.3.3.cmml" xref="S4.2.p1.9.m9.2.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.2.p1.9.m9.2.3.3.1.cmml" xref="S4.2.p1.9.m9.2.3.3">annotated</csymbol><cn id="S4.2.p1.9.m9.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p1.9.m9.2.3.3.2">0</cn><apply id="S4.2.p1.9.m9.2.2.3.cmml" xref="S4.2.p1.9.m9.2.2.2.2"><ci id="S4.2.p1.9.m9.2.2.3.1.cmml" xref="S4.2.p1.9.m9.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.2.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.9.m9.1.1.1.1">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.9.m9.2c">m\equiv 0\pmod{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.9.m9.2d">italic_m ≡ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_p end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> that are not of the form <math alttext="p^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.10.m10.1"><semantics id="S4.2.p1.10.m10.1a"><msup id="S4.2.p1.10.m10.1.1" xref="S4.2.p1.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p1.10.m10.1.1.2" xref="S4.2.p1.10.m10.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S4.2.p1.10.m10.1.1.3" xref="S4.2.p1.10.m10.1.1.3.cmml">j</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.10.m10.1b"><apply id="S4.2.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.2.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.10.m10.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.2.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.10.m10.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S4.2.p1.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.2.p1.10.m10.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.10.m10.1c">p^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.10.m10.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="j\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.11.m11.1"><semantics id="S4.2.p1.11.m11.1a"><mrow id="S4.2.p1.11.m11.1.1" xref="S4.2.p1.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p1.11.m11.1.1.2" xref="S4.2.p1.11.m11.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.2.p1.11.m11.1.1.1" xref="S4.2.p1.11.m11.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.2.p1.11.m11.1.1.3" xref="S4.2.p1.11.m11.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.11.m11.1b"><apply id="S4.2.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.11.m11.1.1"><in id="S4.2.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.11.m11.1.1.1"></in><ci id="S4.2.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.11.m11.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S4.2.p1.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.2.p1.11.m11.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.11.m11.1c">j\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.11.m11.1d">italic_j ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>. Hence we have <math alttext="|S(N;q,a)|\ll(\log N)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.12.m12.5"><semantics id="S4.2.p1.12.m12.5a"><mrow id="S4.2.p1.12.m12.5.5" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.cmml"><mrow id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.2" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.1" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.2" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.2.p1.12.m12.1.1" xref="S4.2.p1.12.m12.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.2.p1.12.m12.2.2" xref="S4.2.p1.12.m12.2.2.cmml">q</mi><mo id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.2.p1.12.m12.3.3" xref="S4.2.p1.12.m12.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.2.p1.12.m12.5.5.3" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.3.cmml">≪</mo><msup id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.cmml"><mrow id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.1" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.2" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.3" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.12.m12.5b"><apply id="S4.2.p1.12.m12.5.5.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S4.2.p1.12.m12.5.5.3.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.3">much-less-than</csymbol><apply id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1"><abs id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.2"></abs><apply id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1"><times id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.2">𝑆</ci><list id="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.4.4.1.1.1.3.2"><ci id="S4.2.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.1.1">𝑁</ci><ci id="S4.2.p1.12.m12.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.2.2">𝑞</ci><ci id="S4.2.p1.12.m12.3.3.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.3.3">𝑎</ci></list></apply></apply><apply id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1"><log id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.1"></log><ci id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><cn id="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.2.p1.12.m12.5.5.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.12.m12.5c">|S(N;q,a)|\ll(\log N)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.12.m12.5d">| italic_S ( italic_N ; italic_q , italic_a ) | ≪ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which is much stronger than the claimed bound. This means that we can assume from now on that <math alttext="(a,q)=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.13.m13.2"><semantics id="S4.2.p1.13.m13.2a"><mrow id="S4.2.p1.13.m13.2.3" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.cmml"><mrow id="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.2" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.1.cmml"><mo id="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.2.p1.13.m13.1.1" xref="S4.2.p1.13.m13.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.2.2" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.2.p1.13.m13.2.2" xref="S4.2.p1.13.m13.2.2.cmml">q</mi><mo id="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.2.p1.13.m13.2.3.1" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.2.p1.13.m13.2.3.3" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.13.m13.2b"><apply id="S4.2.p1.13.m13.2.3.cmml" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3"><eq id="S4.2.p1.13.m13.2.3.1.cmml" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.1"></eq><interval closure="open" id="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.2.2"><ci id="S4.2.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.13.m13.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.2.p1.13.m13.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.13.m13.2.2">𝑞</ci></interval><cn id="S4.2.p1.13.m13.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.2.p1.13.m13.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.13.m13.2c">(a,q)=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.13.m13.2d">( italic_a , italic_q ) = 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.3.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.3.p2.1">Expanding the indicator <math alttext="1_{m\equiv a\pmod{q}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p2.1.m1.2"><semantics id="S4.3.p2.1.m1.2a"><msub id="S4.3.p2.1.m1.2.3" xref="S4.3.p2.1.m1.2.3.cmml"><mn id="S4.3.p2.1.m1.2.3.2" xref="S4.3.p2.1.m1.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">≡</mo><mrow id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5.2.cmml">a</mi><mspace id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5a" width="0.949em" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5.cmml"></mspace><mrow id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p2.1.m1.2b"><apply id="S4.3.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.3">subscript</csymbol><cn id="S4.3.p2.1.m1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.3.p2.1.m1.2.3.2">1</cn><apply id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2"><equivalent id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.3"></equivalent><ci id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.4">𝑚</ci><apply id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="latexml" id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5">annotated</csymbol><ci id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.5.2">𝑎</ci><apply id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p2.1.m1.2c">1_{m\equiv a\pmod{q}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p2.1.m1.2d">1 start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≡ italic_a start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in terms of Dirichlet characters, we find</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx46"> <tbody id="S4.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\sum_{\begin{subarray}{c}m\leq N\\ m\equiv a\pmod{q}\end{subarray}}\widetilde{\Lambda}_{W}(m)=\frac{1}{\varphi(q)% }\sum_{\chi\pmod{q}}\overline{\chi}(a)\sum_{m\leq N}\widetilde{\Lambda}_{W}(m)% \chi(m).\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E3.m1.29"><semantics id="S4.E3.m1.29a"><mtable columnspacing="0pt" id="S4.E3.m1.29.29.2"><mtr id="S4.E3.m1.29.29.2a"><mtd id="S4.E3.m1.29.29.2b" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E3.m1.29.29.2c"><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28"><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1"><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.1.1"><munder id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.1.1a"><mo id="S4.E3.m1.3.3.3.3.3.3" movablelimits="false" xref="S4.E3.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">∑</mo><mtable id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">≡</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">a</mi><mspace id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5a" width="0.949em" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"></mspace><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.1.2"><msub id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.1.2.2"><mover accent="true" id="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.2" mathvariant="normal" xref="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E3.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S4.E3.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.1.2.1" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.1.2.3"><mo id="S4.E3.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E3.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E3.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">m</mi><mo id="S4.E3.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E3.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">=</mo><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mfrac id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10a" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mn id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.3" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.3" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.2" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.4.2" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml"><mo id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.1" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml">q</mi><mo id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.1" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.1"><munder id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.1a"><mo id="S4.E3.m1.11.11.11.11.11.11" movablelimits="false" xref="S4.E3.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.cmml"><mi id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.4" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.4.cmml">χ</mi><mspace id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1aa" width="0.949em" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.cmml"></mspace><mrow id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.3.cmml"><mo id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.1" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.3.cmml"><mo id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2"><mover accent="true" id="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.cmml"><mi id="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.2" xref="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.1" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.2"><mo id="S4.E3.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E3.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E3.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">a</mi><mo id="S4.E3.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.1a" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.1"><munder id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.1a"><mo id="S4.E3.m1.16.16.16.16.16.16" movablelimits="false" xref="S4.E3.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.2" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.1" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.3" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.2"><msub id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.2.2"><mover accent="true" id="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.cmml"><mi id="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.2" mathvariant="normal" xref="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.2.1" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.2.3"><mo id="S4.E3.m1.20.20.20.20.20.20" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E3.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E3.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">m</mi><mo id="S4.E3.m1.22.22.22.22.22.22" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.2.1a" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E3.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S4.E3.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">χ</mi><mo id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.2.1b" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E3.m1.29.29.2.28.28.28.28.1.2.2.2.3.2.4"><mo id="S4.E3.m1.24.24.24.24.24.24" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E3.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S4.E3.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">m</mi><mo id="S4.E3.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.27.27.27.27.27.27" lspace="0em" xref="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E3.m1.29b"><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><eq id="S4.E3.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.E3.m1.9.9.9.9.9.9"></eq><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b">subscript</csymbol><sum id="S4.E3.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E3.m1.3.3.3.3.3.3"></sum><list id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><leq id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></leq><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><equivalent id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></equivalent><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑚</ci><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5">annotated</csymbol><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2">𝑎</ci><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><times id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"></times><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b">subscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4"><ci id="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.1">~</ci><ci id="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E3.m1.5.5.5.5.5.5.1">𝑊</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="S4.E3.m1.7.7.7.7.7.7">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><times id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"></times><apply id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10"><divide id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.2.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10"></divide><cn id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.3.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.3">1</cn><apply id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1"><times id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.2"></times><ci id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.3">𝜑</ci><ci id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.1">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b">subscript</csymbol><sum id="S4.E3.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S4.E3.m1.11.11.11.11.11.11"></sum><apply id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.3.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a">annotated</csymbol><ci id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.4.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.4">𝜒</ci><apply id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2"><ci id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><times id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"></times><apply id="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12"><ci id="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" xref="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.1">¯</ci><ci id="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.2.cmml" xref="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.2">𝜒</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S4.E3.m1.14.14.14.14.14.14">𝑎</ci><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.4.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b">subscript</csymbol><sum id="S4.E3.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="S4.E3.m1.16.16.16.16.16.16"></sum><apply id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1"><leq id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.1"></leq><ci id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><times id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"></times><apply id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.28.28.1.1.1.3.3.2.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.2b">subscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18"><ci id="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.1">~</ci><ci id="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.2.cmml" xref="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1">𝑊</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S4.E3.m1.21.21.21.21.21.21">𝑚</ci><ci id="S4.E3.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S4.E3.m1.23.23.23.23.23.23">𝜒</ci><ci id="S4.E3.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S4.E3.m1.25.25.25.25.25.25">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E3.m1.29c">\displaystyle\begin{split}&\sum_{\begin{subarray}{c}m\leq N\\ m\equiv a\pmod{q}\end{subarray}}\widetilde{\Lambda}_{W}(m)=\frac{1}{\varphi(q)% }\sum_{\chi\pmod{q}}\overline{\chi}(a)\sum_{m\leq N}\widetilde{\Lambda}_{W}(m)% \chi(m).\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E3.m1.29d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m ≤ italic_N end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≡ italic_a start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_φ ( italic_q ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_χ start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_χ end_ARG ( italic_a ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_χ ( italic_m ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.4.p3.1">We claim that for any character <math alttext="\chi\pmod{q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.4.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.4.p3.1.m1.2.3" xref="S4.4.p3.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.4.p3.1.m1.2.3.2" xref="S4.4.p3.1.m1.2.3.2.cmml">χ</mi><mspace id="S4.4.p3.1.m1.2.3a" width="0.949em" xref="S4.4.p3.1.m1.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S4.4.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.4.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.4.p3.1.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.4.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.4.p3.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.4.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.4.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.4.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.4.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.4.p3.1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.4.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p3.1.m1.2b"><apply id="S4.4.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.4.p3.1.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.4.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.1.m1.2.3">annotated</csymbol><ci id="S4.4.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.4.p3.1.m1.2.3.2">𝜒</ci><apply id="S4.4.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p3.1.m1.2.2.2.2"><ci id="S4.4.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.1.m1.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p3.1.m1.2c">\chi\pmod{q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p3.1.m1.2d">italic_χ start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx47"> <tbody id="S4.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{m\leq N}\Lambda_{W}(m)\chi(m)=\begin{cases}N+O(N\exp(-(\log N% )^{1/2}/100)),\quad&\textnormal{if}\quad\chi\quad\textnormal{is principal}.\\ O(N\exp(-(\log N)^{1/2}/100)),\quad&\textnormal{if}\quad\chi\quad\textnormal{% is non-principal}.\end{cases}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E4.m1.6"><semantics id="S4.E4.m1.6a"><mrow id="S4.E4.m1.6.7" xref="S4.E4.m1.6.7.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.6.7.2" xref="S4.E4.m1.6.7.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E4.m1.6.7.2.1" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.cmml"><munder id="S4.E4.m1.6.7.2.1a" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E4.m1.6.7.2.1.3" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.2" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.1" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.3" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E4.m1.6.7.2.2" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.cmml"><msub id="S4.E4.m1.6.7.2.2.2" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.3" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.2.1" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E4.m1.6.7.2.2.3.2" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.cmml"><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.5.5" xref="S4.E4.m1.5.5.cmml">m</mi><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.2.1a" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.1.cmml"></mo><mi id="S4.E4.m1.6.7.2.2.4" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.4.cmml">χ</mi><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.2.1b" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E4.m1.6.7.2.2.5.2" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.cmml"><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.6.6" xref="S4.E4.m1.6.6.cmml">m</mi><mo id="S4.E4.m1.6.7.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.6.7.1" xref="S4.E4.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m1.4.4a" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.4.4a.5" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.E4.m1.4.4.4a" rowspacing="0pt" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mtr id="S4.E4.m1.4.4.4aa" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E4.m1.4.4.4ab" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">100</mn></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E4.m1.4.4.4ac" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.2" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.1.cmml"><mtext id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.1a.cmml">if</mtext><mspace id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.2.1" width="1em" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.1.cmml"></mspace><mi id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">χ</mi><mspace id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.2.2" width="1em" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.1.cmml"></mspace><mtext id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.3a.cmml">is principal</mtext></mrow><mo id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.2" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E4.m1.4.4.4ad" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E4.m1.4.4.4ae" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml">O</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" 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id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">100</mn></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E4.m1.4.4.4af" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.2" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.1.cmml"><mtext id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.1a.cmml">if</mtext><mspace id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.2.1" width="1em" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.1.cmml"></mspace><mi id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml">χ</mi><mspace id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.2.2" width="1em" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.1.cmml"></mspace><mtext id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.3a.cmml">is non-principal</mtext></mrow><mo id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.2" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E4.m1.6b"><apply id="S4.E4.m1.6.7.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7"><eq id="S4.E4.m1.6.7.1.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.1"></eq><apply id="S4.E4.m1.6.7.2.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2"><apply id="S4.E4.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.6.7.2.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E4.m1.6.7.2.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.2"></sum><apply id="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.3"><leq id="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.1"></leq><ci id="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2"><times id="S4.E4.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.1"></times><apply id="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.2">Λ</ci><ci id="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.E4.m1.5.5.cmml" xref="S4.E4.m1.5.5">𝑚</ci><ci id="S4.E4.m1.6.7.2.2.4.cmml" xref="S4.E4.m1.6.7.2.2.4">𝜒</ci><ci id="S4.E4.m1.6.6.cmml" xref="S4.E4.m1.6.6">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4a"><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.6.7.3.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4a.5">cases</csymbol><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2"></plus><ci id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2"></times><ci id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1"></exp><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">100</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><list id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.2"><ci id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.1a.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.1"><mtext id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.1">if</mtext></ci><ci id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.2">𝜒</ci><ci id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.3a.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.3"><mtext id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.1.3">is principal</mtext></ci></list><apply id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2"><times id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3">𝑂</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1"><times id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><exp id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.1"></exp><apply id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">100</cn></apply></apply></apply></apply></apply><list id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.2"><ci id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.1a.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.1"><mtext id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.1">if</mtext></ci><ci id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.2">𝜒</ci><ci id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.3a.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.3"><mtext id="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.2.1.3">is non-principal</mtext></ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E4.m1.6c">\displaystyle\sum_{m\leq N}\Lambda_{W}(m)\chi(m)=\begin{cases}N+O(N\exp(-(\log N% )^{1/2}/100)),\quad&\textnormal{if}\quad\chi\quad\textnormal{is principal}.\\ O(N\exp(-(\log N)^{1/2}/100)),\quad&\textnormal{if}\quad\chi\quad\textnormal{% is non-principal}.\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E4.m1.6d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_χ ( italic_m ) = { start_ROW start_CELL italic_N + italic_O ( italic_N roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 100 ) ) , end_CELL start_CELL if italic_χ is principal . end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_O ( italic_N roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 100 ) ) , end_CELL start_CELL if italic_χ is non-principal . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.4.p3.2">Indeed, if <math alttext="\chi\pmod{q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p3.2.m1.2"><semantics id="S4.4.p3.2.m1.2a"><mrow id="S4.4.p3.2.m1.2.3" xref="S4.4.p3.2.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.4.p3.2.m1.2.3.2" xref="S4.4.p3.2.m1.2.3.2.cmml">χ</mi><mspace id="S4.4.p3.2.m1.2.3a" width="0.949em" xref="S4.4.p3.2.m1.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S4.4.p3.2.m1.2.2.2.2" xref="S4.4.p3.2.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.4.p3.2.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.4.p3.2.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.4.p3.2.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.4.p3.2.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.4.p3.2.m1.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.4.p3.2.m1.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.4.p3.2.m1.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.2.m1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.4.p3.2.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.4.p3.2.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p3.2.m1.2b"><apply id="S4.4.p3.2.m1.2.3.cmml" xref="S4.4.p3.2.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.4.p3.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.2.m1.2.3">annotated</csymbol><ci id="S4.4.p3.2.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.4.p3.2.m1.2.3.2">𝜒</ci><apply id="S4.4.p3.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p3.2.m1.2.2.2.2"><ci id="S4.4.p3.2.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.2.m1.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.4.p3.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.2.m1.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p3.2.m1.2c">\chi\pmod{q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p3.2.m1.2d">italic_χ start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> is principal, the fundamental lemma of sieve theory (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib5" title="">5</a>, Theorem 6.9]</cite>) gives</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx48"> <tbody id="S4.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{m\leq N}\Lambda_{W}(m)\chi(m)=\sum_{m\leq N}\Lambda_{W}(m)=% N+O(N(\log w)e^{-s})," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex4.m1.4"><semantics id="S4.Ex4.m1.4a"><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><munder id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1a" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.3.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.3.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.3.3" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.1b" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.5.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.2.2" xref="S4.Ex4.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.cmml"><munder id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1a" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.3" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.cmml"><msub id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.2.3" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.3.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.cmml">(</mo><mi 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id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.1.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex4.m1.4b"><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1"><and id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1"></and><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1"><eq id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3"><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" 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xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1">𝑚</ci><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.4">𝜒</ci><ci id="S4.Ex4.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5"><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.2"></sum><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3"><leq id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.1"></leq><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2"><times id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.1.cmml" 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xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex4.m1.4c">\displaystyle\sum_{m\leq N}\Lambda_{W}(m)\chi(m)=\sum_{m\leq N}\Lambda_{W}(m)=% N+O(N(\log w)e^{-s}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex4.m1.4d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_χ ( italic_m ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) = italic_N + italic_O ( italic_N ( roman_log italic_w ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.4.p3.6">where <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p3.3.m1.1"><semantics id="S4.4.p3.3.m1.1a"><mi id="S4.4.p3.3.m1.1.1" xref="S4.4.p3.3.m1.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p3.3.m1.1b"><ci id="S4.4.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.3.m1.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p3.3.m1.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p3.3.m1.1d">italic_s</annotation></semantics></math> is such that <math alttext="w^{s}=N^{1/10}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p3.4.m2.1"><semantics id="S4.4.p3.4.m2.1a"><mrow id="S4.4.p3.4.m2.1.1" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.4.p3.4.m2.1.1.2" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.2" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.2.cmml">w</mi><mi id="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.3" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S4.4.p3.4.m2.1.1.1" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.2" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.1" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.3" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.3.cmml">10</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p3.4.m2.1b"><apply id="S4.4.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1"><eq id="S4.4.p3.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3"><divide id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.1"></divide><cn id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.2">1</cn><cn id="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.4.p3.4.m2.1.1.3.3.3">10</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p3.4.m2.1c">w^{s}=N^{1/10}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p3.4.m2.1d">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT = italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 10 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, so in particular <math alttext="s\geq(\log N)^{1/2}/10" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p3.5.m3.1"><semantics id="S4.4.p3.5.m3.1a"><mrow id="S4.4.p3.5.m3.1.1" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p3.5.m3.1.1.3" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S4.4.p3.5.m3.1.1.2" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.cmml"><msup id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.1" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.2" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.3" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.3.cmml">10</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p3.5.m3.1b"><apply id="S4.4.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1"><geq id="S4.4.p3.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.2"></geq><ci id="S4.4.p3.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.3">𝑠</ci><apply id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1"><divide id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3"><divide id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.4.p3.5.m3.1.1.1.3">10</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p3.5.m3.1c">s\geq(\log N)^{1/2}/10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p3.5.m3.1d">italic_s ≥ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 10</annotation></semantics></math>. This gives the first part of the claim (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E4" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>). If <math alttext="\chi\pmod{q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p3.6.m4.2"><semantics id="S4.4.p3.6.m4.2a"><mrow id="S4.4.p3.6.m4.2.3" xref="S4.4.p3.6.m4.2.3.cmml"><mi id="S4.4.p3.6.m4.2.3.2" xref="S4.4.p3.6.m4.2.3.2.cmml">χ</mi><mspace id="S4.4.p3.6.m4.2.3a" width="0.949em" xref="S4.4.p3.6.m4.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S4.4.p3.6.m4.2.2.2.2" xref="S4.4.p3.6.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.4.p3.6.m4.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.4.p3.6.m4.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.4.p3.6.m4.2.2.2.2.1" xref="S4.4.p3.6.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.4.p3.6.m4.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.4.p3.6.m4.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.4.p3.6.m4.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.6.m4.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.4.p3.6.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.4.p3.6.m4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p3.6.m4.2b"><apply id="S4.4.p3.6.m4.2.3.cmml" xref="S4.4.p3.6.m4.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.4.p3.6.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.6.m4.2.3">annotated</csymbol><ci id="S4.4.p3.6.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.4.p3.6.m4.2.3.2">𝜒</ci><apply id="S4.4.p3.6.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p3.6.m4.2.2.2.2"><ci id="S4.4.p3.6.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.6.m4.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.4.p3.6.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.6.m4.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p3.6.m4.2c">\chi\pmod{q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p3.6.m4.2d">italic_χ start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> is non-principal, in turn, the fundamental lemma of sieve theory again gives</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx49"> <tbody id="S4.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{m\leq N}\Lambda_{W}(m)\chi(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex5.m1.2"><semantics id="S4.Ex5.m1.2a"><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex5.m1.2.3.1" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.cmml"><munder id="S4.Ex5.m1.2.3.1a" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3.1.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.1" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.1" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.1a" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.4" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.4.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.1b" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3.2.5.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex5.m1.2b"><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3"><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex5.m1.2.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.2"></sum><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.3"><leq id="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.1"></leq><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2"><times id="S4.Ex5.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2">Λ</ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1">𝑚</ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.4">𝜒</ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex5.m1.2c">\displaystyle\sum_{m\leq N}\Lambda_{W}(m)\chi(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex5.m1.2d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_χ ( italic_m )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}b\pmod{q}\\ (b,q)=1\end{subarray}}\chi(b)\,\sum_{\begin{subarray}{c}m\leq N\\ m\equiv b\pmod{q}\end{subarray}}\Lambda_{W}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex5.m2.4"><semantics id="S4.Ex5.m2.4a"><mrow id="S4.Ex5.m2.4.5" xref="S4.Ex5.m2.4.5.cmml"><mi id="S4.Ex5.m2.4.5.2" xref="S4.Ex5.m2.4.5.2.cmml"></mi><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.1" xref="S4.Ex5.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex5.m2.4.5.3" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex5.m2.4.5.3.1" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.1.cmml"><munder id="S4.Ex5.m2.4.5.3.1a" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">b</mi><mspace id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2a" width="0.949em" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"></mspace><mrow id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.5" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.5.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.2" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.1" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.3.2" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m2.3.3" xref="S4.Ex5.m2.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.1a" lspace="0.170em" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1.cmml"><munder id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1a" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1b" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1c" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1d" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">≡</mo><mrow id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">b</mi><mspace id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5a" width="0.949em" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"></mspace><mrow id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.cmml"><msub id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.3" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.1" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.3.2" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m2.4.4" xref="S4.Ex5.m2.4.4.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex5.m2.4b"><apply id="S4.Ex5.m2.4.5.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5"><eq id="S4.Ex5.m2.4.5.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m2.4.5.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.2">absent</csymbol><apply id="S4.Ex5.m2.4.5.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3"><apply id="S4.Ex5.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m2.4.5.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex5.m2.4.5.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.1.2"></sum><list id="S4.Ex5.m2.1.1.1a.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">annotated</csymbol><ci id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑏</ci><apply id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2"><eq id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3"></eq><interval closure="open" id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2"><ci id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝑏</ci><ci id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2">𝑞</ci></interval><cn id="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.5">1</cn></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2"><times id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.2">𝜒</ci><ci id="S4.Ex5.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.3.3">𝑏</ci><apply id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4"><apply id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.1.2"></sum><list id="S4.Ex5.m2.2.2.1a.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1"><leq id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1"></leq><ci id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2"><equivalent id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></equivalent><ci id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑚</ci><apply id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5">annotated</csymbol><ci id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2">𝑏</ci><apply id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2"><times id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.1"></times><apply id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.2">Λ</ci><ci id="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.5.3.2.4.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.Ex5.m2.4.4.cmml" xref="S4.Ex5.m2.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex5.m2.4c">\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}b\pmod{q}\\ (b,q)=1\end{subarray}}\chi(b)\,\sum_{\begin{subarray}{c}m\leq N\\ m\equiv b\pmod{q}\end{subarray}}\Lambda_{W}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex5.m2.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_b start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( italic_b , italic_q ) = 1 end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_χ ( italic_b ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m ≤ italic_N end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≡ italic_b start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{N}{\varphi(q)}\,\,\sum_{\begin{subarray}{c}b\pmod{q}\\ (b,q)=1\end{subarray}}\chi(b)+O(N(\log w)e^{-s})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex6.m1.4"><semantics id="S4.Ex6.m1.4a"><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4" xref="S4.Ex6.m1.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.3" xref="S4.Ex6.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex6.m1.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex6.m1.2.2a" xref="S4.Ex6.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.1.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1.4.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.1" lspace="0.330em" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1.cmml"><munder id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1a" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">b</mi><mspace id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2a" width="0.949em" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"></mspace><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.5" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.5.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex6.m1.3.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3a" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex6.m1.4b"><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4"><eq id="S4.Ex6.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex6.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1"><plus id="S4.Ex6.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.2"></plus><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3"><times id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2"><divide id="S4.Ex6.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2"></divide><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.3">𝑁</ci><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1"><times id="S4.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.3">𝜑</ci><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2"><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.3.2.1.2"></sum><list id="S4.Ex6.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">annotated</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑏</ci><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" 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xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1"><times id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3"></minus><ci id="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex6.m1.4c">\displaystyle=\frac{N}{\varphi(q)}\,\,\sum_{\begin{subarray}{c}b\pmod{q}\\ (b,q)=1\end{subarray}}\chi(b)+O(N(\log w)e^{-s})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex6.m1.4d">= divide start_ARG italic_N end_ARG start_ARG italic_φ ( italic_q ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_b start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( italic_b , italic_q ) = 1 end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_χ ( italic_b ) + italic_O ( italic_N ( roman_log italic_w ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=O(N(\log w)e^{-s})," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex7.m1.1"><semantics id="S4.Ex7.m1.1a"><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex7.m1.1b"><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex7.m1.1c">\displaystyle=O(N(\log w)e^{-s}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex7.m1.1d">= italic_O ( italic_N ( roman_log italic_w ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.4.p3.8">where <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p3.7.m1.1"><semantics id="S4.4.p3.7.m1.1a"><mi id="S4.4.p3.7.m1.1.1" xref="S4.4.p3.7.m1.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p3.7.m1.1b"><ci id="S4.4.p3.7.m1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.7.m1.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p3.7.m1.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p3.7.m1.1d">italic_s</annotation></semantics></math> is as above, so in particular <math alttext="s\geq(\log N)^{1/2}/10" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p3.8.m2.1"><semantics id="S4.4.p3.8.m2.1a"><mrow id="S4.4.p3.8.m2.1.1" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p3.8.m2.1.1.3" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S4.4.p3.8.m2.1.1.2" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.2" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.3" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.3.cmml">10</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p3.8.m2.1b"><apply id="S4.4.p3.8.m2.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1"><geq id="S4.4.p3.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.2"></geq><ci id="S4.4.p3.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.3">𝑠</ci><apply id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1"><divide id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3"><divide id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.4.p3.8.m2.1.1.1.3">10</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p3.8.m2.1c">s\geq(\log N)^{1/2}/10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p3.8.m2.1d">italic_s ≥ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 10</annotation></semantics></math>. This completes the proof of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E4" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.5.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.5.p4.1">Using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E4" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>), we obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx50"> <tbody id="S4.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{m\leq N}\widetilde{\Lambda}_{W}(m)\chi(m)=N1_{\chi% \textnormal{ principal}}-\frac{N^{\widetilde{\beta}}}{\widetilde{\beta}}1_{% \chi\widetilde{\chi}\textnormal{ principal}}+O(N\exp(-(\log N)^{1/2}/100))." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex8.m1.4"><semantics id="S4.Ex8.m1.4a"><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><munder id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1a" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.3.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.1b" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.2.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><msub id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml"></mo><mtext id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3a.cmml"> principal</mtext></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2a" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">N</mi><mover accent="true" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msup><mover accent="true" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml"></mo><msub id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml"></mo><mover accent="true" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1a" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml"></mo><mtext id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.4" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.4a.cmml"> principal</mtext></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" 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xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2"><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1">𝑚</ci><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.4">𝜒</ci><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1"><plus id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.2">𝑁</ci><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><cn id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3"><times id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.2">𝜒</ci><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3a.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3"><mtext id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3"> principal</mtext></ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2"><divide id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑁</ci><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3"><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.1">~</ci><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.3.2">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3"><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1">~</ci><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><cn id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3"><times id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.2">𝜒</ci><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3"><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.1">~</ci><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.2">𝜒</ci></apply><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.4"><mtext id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml" mathsize="70%" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.4"> principal</mtext></ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="S4.Ex8.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3"></exp><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">100</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex8.m1.4c">\displaystyle\sum_{m\leq N}\widetilde{\Lambda}_{W}(m)\chi(m)=N1_{\chi% \textnormal{ principal}}-\frac{N^{\widetilde{\beta}}}{\widetilde{\beta}}1_{% \chi\widetilde{\chi}\textnormal{ principal}}+O(N\exp(-(\log N)^{1/2}/100)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex8.m1.4d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_χ ( italic_m ) = italic_N 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_χ principal end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG over~ start_ARG italic_β end_ARG end_ARG 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_χ over~ start_ARG italic_χ end_ARG principal end_POSTSUBSCRIPT + italic_O ( italic_N roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 100 ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.5.p4.2">Inserting this into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E3" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>), we see that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx51"> <tbody id="S4.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{\begin{subarray}{c}m\leq N\\ m\equiv a\pmod{q}\end{subarray}}\widetilde{\Lambda}_{W}(m)=\frac{N}{\varphi(q)% }\left(1-1_{\widetilde{q}\mid q}\widetilde{\chi}(a)\frac{N^{\widetilde{\beta}-% 1}}{\widetilde{\beta}}\right)+O(N\exp(-(\log N)^{1/2}/100))." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex9.m1.6"><semantics id="S4.Ex9.m1.6a"><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1.cmml"><munder id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1a" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">≡</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">a</mi><mspace id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5a" width="0.949em" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"></mspace><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><msub id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex9.m1.3.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex9.m1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex9.m1.2.2a" xref="S4.Ex9.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.4.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mover accent="true" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">χ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex9.m1.4.4" xref="S4.Ex9.m1.4.4.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mfrac id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5a" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><msup id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">N</mi><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mover accent="true" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml">~</mo></mover></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.5.5" xref="S4.Ex9.m1.5.5.cmml">exp</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">100</mn></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex9.m1.6b"><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1"><eq id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4"><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.1.2"></sum><list id="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><leq id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></leq><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><equivalent id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></equivalent><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑚</ci><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5">annotated</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑞</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2"><times id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.1"></times><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2"><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.4.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2"><plus id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2"><divide id="S4.Ex9.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2"></divide><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.3">𝑁</ci><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1"><times id="S4.Ex9.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.3">𝜑</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><cn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">~</ci><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜒</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4">𝑎</ci><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5"><divide id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5"></divide><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2">𝑁</ci><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3"><minus id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.1"></minus><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2"><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.2">𝛽</ci></apply><cn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3"><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1">~</ci><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2"><times id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.2"></times><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1"><times id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><exp id="S4.Ex9.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex9.m1.5.5"></exp><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">100</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex9.m1.6c">\displaystyle\sum_{\begin{subarray}{c}m\leq N\\ m\equiv a\pmod{q}\end{subarray}}\widetilde{\Lambda}_{W}(m)=\frac{N}{\varphi(q)% }\left(1-1_{\widetilde{q}\mid q}\widetilde{\chi}(a)\frac{N^{\widetilde{\beta}-% 1}}{\widetilde{\beta}}\right)+O(N\exp(-(\log N)^{1/2}/100)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex9.m1.6d">∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m ≤ italic_N end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≡ italic_a start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_q end_ARG ) end_MODIFIER end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) = divide start_ARG italic_N end_ARG start_ARG italic_φ ( italic_q ) end_ARG ( 1 - 1 start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_q end_ARG ∣ italic_q end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG ( italic_a ) divide start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG over~ start_ARG italic_β end_ARG end_ARG ) + italic_O ( italic_N roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 100 ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.5.p4.3">Now the claim (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E2" title="In Proposition 4.5. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>) follows from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib10" title="">10</a>, Theorem 5.27]</cite> (which is a strengthening of the prime number theorem in arithmetic progressions taking the possible Siegel zero into account). ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.1">We are now ready to prove the key Gowers uniformity property of the von Mangoldt function used in this paper.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S4.Thmtheorem6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem6.3.1.1">Proposition 4.6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem6.4.2"> </span>(Quantitative <math alttext="U^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1b"><msup id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1c"><apply id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1d">U^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem6.1.m1.1e">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-uniformity of <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem6.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem6.2.m2.1b"><mi id="S4.Thmtheorem6.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem6.2.m2.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem6.2.m2.1c"><ci id="S4.Thmtheorem6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.2.m2.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem6.2.m2.1d">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem6.2.m2.1e">roman_Λ</annotation></semantics></math>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem6.5.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem6.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem6.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5">For each <math alttext="k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1c">k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem6.p1.1.1.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, there exists <math alttext="c_{k}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">c</mi><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1"><gt id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1c">c_{k}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem6.p1.2.2.m2.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> such that the following holds. Let <math alttext="N\geq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1"><geq id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.1"></geq><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1c">N\geq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem6.p1.3.3.m3.1d">italic_N ≥ 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="\exp((\log\log N)^{1/c_{k}})\leq w\leq\exp((\log N)^{1/10})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4"><semantics id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1a" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msup><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.4" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.4.cmml">≤</mo><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.5" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.5.cmml">w</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.6" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.6.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.2.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1a" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml">(</mo><msup id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></mrow></msup><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4b"><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4"><and id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4a.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4"></and><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4b.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4"><leq id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.4"></leq><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1"><exp id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.1.1"></exp><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.2">𝑐</ci><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.5">𝑤</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4c.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4"><leq id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.6.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.5.cmml" id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4d.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4"></share><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1"><exp id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.2.2"></exp><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1"><log id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3"><divide id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4c">\exp((\log\log N)^{1/c_{k}})\leq w\leq\exp((\log N)^{1/10})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem6.p1.4.4.m4.4d">roman_exp ( ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ italic_w ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 10 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Also let <math alttext="W=\prod_{p\leq w}p" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></msub><mi id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3"><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3"><leq id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.1"></leq><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><ci id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1c">W=\prod_{p\leq w}p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem6.p1.5.5.m5.1d">italic_W = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_p</annotation></semantics></math>. Then we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx52"> <tbody id="S4.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W}\|_{U^{k}[N]}\ll_{k}\exp(-(\log w% )^{c_{k}})." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E5.m1.3"><semantics id="S4.E5.m1.3a"><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">W</mi></msub></mrow><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E5.m1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><msub id="S4.E5.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.2.2" xref="S4.E5.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1a" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1a" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup></mrow><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E5.m1.3b"><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1"><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1"><times id="S4.E5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E5.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1"><exp id="S4.E5.m1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2"></exp><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><minus id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"></minus><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E5.m1.3c">\displaystyle\|\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W}\|_{U^{k}[N]}\ll_{k}\exp(-(\log w% )^{c_{k}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E5.m1.3d">∥ roman_Λ - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - ( roman_log italic_w ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.6.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.6.p1.1">For <math alttext="w=\exp((\log N)^{1/10})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.6.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.6.p1.1.m1.2.2" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.6.p1.1.m1.2.2.3" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.3.cmml">w</mi><mo id="S4.6.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S4.6.p1.1.m1.1.1" xref="S4.6.p1.1.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1a" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></mrow></msup><mo id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.6.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2"><eq id="S4.6.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.2"></eq><ci id="S4.6.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.3">𝑤</ci><apply id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1"><exp id="S4.6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.1.1"></exp><apply id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.6.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.p1.1.m1.2c">w=\exp((\log N)^{1/10})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.p1.1.m1.2d">italic_w = roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 10 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, this is Leng’s <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>, Theorem 6]</cite>. The general case follows from the same argument; for the sake of completeness we give some details.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.7.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.7.p2.3">Let <math alttext="C_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.7.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.7.p2.1.m1.1a"><msub id="S4.7.p2.1.m1.1.1" xref="S4.7.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.7.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.7.p2.1.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S4.7.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.7.p2.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.7.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.7.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.7.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.7.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.7.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.7.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.7.p2.1.m1.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S4.7.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.7.p2.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.7.p2.1.m1.1c">C_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.7.p2.1.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be a large enough constant, and let <math alttext="c_{k}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.7.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.7.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.7.p2.2.m2.1.1" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.7.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">c</mi><mi id="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.7.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.7.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.7.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.7.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1"><gt id="S4.7.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.7.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.7.p2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.7.p2.2.m2.1c">c_{k}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.7.p2.2.m2.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> be sufficiently small in terms of <math alttext="C_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.7.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.7.p2.3.m3.1a"><msub id="S4.7.p2.3.m3.1.1" xref="S4.7.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.7.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.7.p2.3.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S4.7.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.7.p2.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.7.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.7.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.7.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.7.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.7.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.7.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.7.p2.3.m3.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S4.7.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.7.p2.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.7.p2.3.m3.1c">C_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.7.p2.3.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\delta=\exp(-(\log w)^{c_{k}})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex10.m1.2"><semantics id="S4.Ex10.m1.2a"><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.3.cmml">δ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex10.m1.2b"><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1"><eq id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.2"></eq><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.3">𝛿</ci><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1"><exp id="S4.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1"></exp><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex10.m1.2c">\delta=\exp(-(\log w)^{c_{k}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex10.m1.2d">italic_δ = roman_exp ( - ( roman_log italic_w ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.8.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.8.p3.1">We have <math alttext="\delta\leq 1/\log N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.8.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.8.p3.1.m1.1a"><mrow id="S4.8.p3.1.m1.1.1" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.8.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S4.8.p3.1.m1.1.1.1" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml"></mo><mi id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.8.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.8.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1"><leq id="S4.8.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S4.8.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3"><divide id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3"><log id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.1"></log><ci id="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.8.p3.1.m1.1.1.3.3.2">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.8.p3.1.m1.1c">\delta\leq 1/\log N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.8.p3.1.m1.1d">italic_δ ≤ 1 / roman_log italic_N</annotation></semantics></math> by assumption, and clearly either (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E5" title="In Proposition 4.6 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of Λ). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.5</span></a>) holds or</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx53"> <tbody id="S4.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\delta(\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W})\|_{U^{k}[N]}\geq\delta^% {2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E6.m1.2"><semantics id="S4.E6.m1.2a"><mrow id="S4.E6.m1.2.2.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.2.2.1.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">δ</mi><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">W</mi></msub></mrow><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E6.m1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.2.cmml">≥</mo><msup id="S4.E6.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mn id="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E6.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E6.m1.2b"><apply id="S4.E6.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1"><geq id="S4.E6.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.2"></geq><apply id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci><apply id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.2">𝛿</ci><cn id="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E6.m1.2c">\displaystyle\|\delta(\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W})\|_{U^{k}[N]}\geq\delta^% {2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E6.m1.2d">∥ italic_δ ( roman_Λ - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.9.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.9.p4.11">The function <math alttext="\delta(\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.9.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.9.p4.1.m1.1.1" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.9.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.3.cmml">δ</mi><mo id="S4.9.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">W</mi></msub></mrow><mo id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.9.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1"><times id="S4.9.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S4.9.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.3">𝛿</ci><apply id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1"><minus id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.9.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.1.m1.1c">\delta(\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.1.m1.1d">italic_δ ( roman_Λ - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is bounded pointwise by <math alttext="O(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.9.p4.2.m2.1a"><mrow id="S4.9.p4.2.m2.1.2" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.9.p4.2.m2.1.2.2" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S4.9.p4.2.m2.1.2.1" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.9.p4.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.9.p4.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.9.p4.2.m2.1.1" xref="S4.9.p4.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.9.p4.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.9.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2"><times id="S4.9.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S4.9.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.9.p4.2.m2.1.2.2">𝑂</ci><cn id="S4.9.p4.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.9.p4.2.m2.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.2.m2.1c">O(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.2.m2.1d">italic_O ( 1 )</annotation></semantics></math>. Hence, we can apply the quasipolynomial inverse theorem for the Gowers norms <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>. Recalling that <math alttext="C_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.9.p4.3.m3.1a"><msub id="S4.9.p4.3.m3.1.1" xref="S4.9.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.9.p4.3.m3.1.1.2" xref="S4.9.p4.3.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S4.9.p4.3.m3.1.1.3" xref="S4.9.p4.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.9.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.9.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.3.m3.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S4.9.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.3.m3.1c">C_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.3.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is large, the quasipolynomial inverse theorem and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E6" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a>) imply that there exists a nilmanifold <math alttext="G/\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.4.m4.1"><semantics id="S4.9.p4.4.m4.1a"><mrow id="S4.9.p4.4.m4.1.1" xref="S4.9.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.9.p4.4.m4.1.1.2" xref="S4.9.p4.4.m4.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S4.9.p4.4.m4.1.1.1" xref="S4.9.p4.4.m4.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.9.p4.4.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.9.p4.4.m4.1.1.3.cmml">Γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.4.m4.1b"><apply id="S4.9.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.4.m4.1.1"><divide id="S4.9.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.4.m4.1.1.1"></divide><ci id="S4.9.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.4.m4.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S4.9.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.4.m4.1.1.3">Γ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.4.m4.1c">G/\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.4.m4.1d">italic_G / roman_Γ</annotation></semantics></math> of degree <math alttext="\leq k-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.5.m5.1"><semantics id="S4.9.p4.5.m5.1a"><mrow id="S4.9.p4.5.m5.1.1" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.9.p4.5.m5.1.1.2" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.9.p4.5.m5.1.1.1" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.9.p4.5.m5.1.1.3" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.1" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.5.m5.1b"><apply id="S4.9.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1"><leq id="S4.9.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.9.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.3"><minus id="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.9.p4.5.m5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.5.m5.1c">\leq k-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.5.m5.1d">≤ italic_k - 1</annotation></semantics></math>, step <math alttext="\leq k-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.6.m6.1"><semantics id="S4.9.p4.6.m6.1a"><mrow id="S4.9.p4.6.m6.1.1" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.9.p4.6.m6.1.1.2" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.9.p4.6.m6.1.1.1" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.9.p4.6.m6.1.1.3" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.2" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.1" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.3" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.6.m6.1b"><apply id="S4.9.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1"><leq id="S4.9.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.9.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.3"><minus id="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.9.p4.6.m6.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.6.m6.1c">\leq k-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.6.m6.1d">≤ italic_k - 1</annotation></semantics></math>, dimension <math alttext="D\leq(\log(1/\delta))^{C_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.7.m7.2"><semantics id="S4.9.p4.7.m7.2a"><mrow id="S4.9.p4.7.m7.2.2" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.cmml"><mi id="S4.9.p4.7.m7.2.2.3" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.3.cmml">D</mi><mo id="S4.9.p4.7.m7.2.2.2" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.2.cmml">≤</mo><msup id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.cmml"><mo id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.9.p4.7.m7.1.1" xref="S4.9.p4.7.m7.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.2" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.3" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.7.m7.2b"><apply id="S4.9.p4.7.m7.2.2.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2"><leq id="S4.9.p4.7.m7.2.2.2.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.2"></leq><ci id="S4.9.p4.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.3">𝐷</ci><apply id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1"><log id="S4.9.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.1.1"></log><apply id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.9.p4.7.m7.2.2.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.7.m7.2c">D\leq(\log(1/\delta))^{C_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.7.m7.2d">italic_D ≤ ( roman_log ( 1 / italic_δ ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and complexity <math alttext="M\leq\exp((\log(1/\delta))^{C_{k}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.8.m8.3"><semantics id="S4.9.p4.8.m8.3a"><mrow id="S4.9.p4.8.m8.3.3" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.cmml"><mi id="S4.9.p4.8.m8.3.3.3" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.3.cmml">M</mi><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.2" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.2.cmml"><mi id="S4.9.p4.8.m8.2.2" xref="S4.9.p4.8.m8.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1a" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.9.p4.8.m8.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup><mo id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.8.m8.3b"><apply id="S4.9.p4.8.m8.3.3.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3"><leq id="S4.9.p4.8.m8.3.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.2"></leq><ci id="S4.9.p4.8.m8.3.3.3.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.3">𝑀</ci><apply id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1"><exp id="S4.9.p4.8.m8.2.2.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.2.2"></exp><apply id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.9.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.1.1"></log><apply id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.9.p4.8.m8.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.8.m8.3c">M\leq\exp((\log(1/\delta))^{C_{k}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.8.m8.3d">italic_M ≤ roman_exp ( ( roman_log ( 1 / italic_δ ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and a function <math alttext="F\colon G/\Gamma\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.9.m9.1"><semantics id="S4.9.p4.9.m9.1a"><mrow id="S4.9.p4.9.m9.1.1" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.9.p4.9.m9.1.1.2" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.2.cmml">F</mi><mo id="S4.9.p4.9.m9.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.2" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.1" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.3.cmml">Γ</mi></mrow><mo id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.3" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.9.m9.1b"><apply id="S4.9.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1"><ci id="S4.9.p4.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.1">:</ci><ci id="S4.9.p4.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.2">𝐹</ci><apply id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3"><ci id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.1">→</ci><apply id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2"><divide id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.1"></divide><ci id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.2.3">Γ</ci></apply><ci id="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S4.9.p4.9.m9.1.1.3.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.9.m9.1c">F\colon G/\Gamma\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.9.m9.1d">italic_F : italic_G / roman_Γ → blackboard_C</annotation></semantics></math> which has Lipschitz norm at most <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.10.m10.1"><semantics id="S4.9.p4.10.m10.1a"><mn id="S4.9.p4.10.m10.1.1" xref="S4.9.p4.10.m10.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.10.m10.1b"><cn id="S4.9.p4.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.9.p4.10.m10.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.10.m10.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.10.m10.1d">1</annotation></semantics></math> (and hence is <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.11.m11.1"><semantics id="S4.9.p4.11.m11.1a"><mn id="S4.9.p4.11.m11.1.1" xref="S4.9.p4.11.m11.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.11.m11.1b"><cn id="S4.9.p4.11.m11.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.9.p4.11.m11.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.11.m11.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.11.m11.1d">1</annotation></semantics></math>-bounded) such that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx54"> <tbody id="S4.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))F(g(n)\Gamma)\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E7.m1.4"><semantics id="S4.E7.m1.4a"><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1" xref="S4.E7.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.2" xref="S4.E7.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E7.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mfrac id="S4.E7.m1.4.4.1.1.4a" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mn id="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><munder id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.3" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E7.m1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E7.m1.2.2" xref="S4.E7.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.3a" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E7.m1.3.3" xref="S4.E7.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1a" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">Γ</mi></mrow><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.4.4.1.3" xref="S4.E7.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E7.m1.4b"><apply id="S4.E7.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1"><abs id="S4.E7.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.2"></abs><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1"><times id="S4.E7.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.3"></times><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.4"><divide id="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.4"></divide><cn id="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.2">1</cn><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.4.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2"><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.2"></sum><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3"><leq id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.1"></leq><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2"><times id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Λ</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.E7.m1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.4">𝐹</ci><apply id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"><times id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S4.E7.m1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3">𝑛</ci><ci id="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4">Γ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E7.m1.4c">\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))F(g(n)\Gamma)\right|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E7.m1.4d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Λ ( italic_n ) - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ) italic_F ( italic_g ( italic_n ) roman_Γ ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E7.m2.2"><semantics id="S4.E7.m2.2a"><mrow id="S4.E7.m2.2.2.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m2.2.2.1.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.2.cmml">≫</mo><mrow id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m2.1.1" xref="S4.E7.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup></mrow><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m2.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E7.m2.2b"><apply id="S4.E7.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E7.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.2">much-greater-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E7.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1"><exp id="S4.E7.m2.1.1.cmml" xref="S4.E7.m2.1.1"></exp><apply id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E7.m2.2c">\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E7.m2.2d">≫ roman_exp ( - ( roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.9.p4.15">Combining <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>, Lemma A.6]</cite> (which is a Fourier expansion on the vertical torus) and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>, Lemma 2.2]</cite>, we may assume that <math alttext="F" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.12.m1.1"><semantics id="S4.9.p4.12.m1.1a"><mi id="S4.9.p4.12.m1.1.1" xref="S4.9.p4.12.m1.1.1.cmml">F</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.12.m1.1b"><ci id="S4.9.p4.12.m1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.12.m1.1.1">𝐹</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.12.m1.1c">F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.12.m1.1d">italic_F</annotation></semantics></math> is a vertical character with frequency <math alttext="\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.13.m2.1"><semantics id="S4.9.p4.13.m2.1a"><mi id="S4.9.p4.13.m2.1.1" xref="S4.9.p4.13.m2.1.1.cmml">ξ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.13.m2.1b"><ci id="S4.9.p4.13.m2.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.13.m2.1.1">𝜉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.13.m2.1c">\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.13.m2.1d">italic_ξ</annotation></semantics></math> satisfying <math alttext="|\xi|\leq\delta^{-(2D)^{C_{k}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.14.m3.2"><semantics id="S4.9.p4.14.m3.2a"><mrow id="S4.9.p4.14.m3.2.3" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.cmml"><mrow id="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.2" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.1.cmml"><mo id="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.9.p4.14.m3.2.2" xref="S4.9.p4.14.m3.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.9.p4.14.m3.2.3.1" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S4.9.p4.14.m3.2.3.3" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.9.p4.14.m3.2.3.3.2" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1a" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.14.m3.2b"><apply id="S4.9.p4.14.m3.2.3.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3"><leq id="S4.9.p4.14.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.1"></leq><apply id="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.2"><abs id="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.2.2.1"></abs><ci id="S4.9.p4.14.m3.2.2.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.2.2">𝜉</ci></apply><apply id="S4.9.p4.14.m3.2.3.3.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.14.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.9.p4.14.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.2.3.3.2">𝛿</ci><apply id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1"><minus id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1"></minus><apply id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐷</ci></apply><apply id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.9.p4.14.m3.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.14.m3.2c">|\xi|\leq\delta^{-(2D)^{C_{k}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.14.m3.2d">| italic_ξ | ≤ italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT - ( 2 italic_D ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and that <math alttext="G/\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.9.p4.15.m4.1"><semantics id="S4.9.p4.15.m4.1a"><mrow id="S4.9.p4.15.m4.1.1" xref="S4.9.p4.15.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.9.p4.15.m4.1.1.2" xref="S4.9.p4.15.m4.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S4.9.p4.15.m4.1.1.1" xref="S4.9.p4.15.m4.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.9.p4.15.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.9.p4.15.m4.1.1.3.cmml">Γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.9.p4.15.m4.1b"><apply id="S4.9.p4.15.m4.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.15.m4.1.1"><divide id="S4.9.p4.15.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.9.p4.15.m4.1.1.1"></divide><ci id="S4.9.p4.15.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.9.p4.15.m4.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S4.9.p4.15.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.9.p4.15.m4.1.1.3">Γ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.9.p4.15.m4.1c">G/\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.9.p4.15.m4.1d">italic_G / roman_Γ</annotation></semantics></math> has a one-dimensional vertical component, at the cost of weakening (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E7" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>) to</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx55"> <tbody id="S4.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))F(g(n)\Gamma)\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E8.m1.4"><semantics id="S4.E8.m1.4a"><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1" xref="S4.E8.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.2" xref="S4.E8.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E8.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mfrac id="S4.E8.m1.4.4.1.1.4a" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mn id="S4.E8.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E8.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><munder id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.3.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.3.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.3.3" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E8.m1.1.1" xref="S4.E8.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E8.m1.2.2" xref="S4.E8.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3a" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1" 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id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E8.m2.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E8.m2.2b"><apply id="S4.E8.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E8.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.2">much-greater-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E8.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1"><exp id="S4.E8.m2.1.1.cmml" xref="S4.E8.m2.1.1"></exp><apply id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E8.m2.2c">\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}^{3}}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E8.m2.2d">≫ roman_exp ( - ( roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.10.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.10.p5.1">From <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib18" title="">18</a>, Proposition 7.1]</cite>, we have the estimate<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote6"><sup class="ltx_note_mark">6</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">6</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">6</span>There, <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m1.1"><semantics id="footnote6.m1.1b"><mi id="footnote6.m1.1.1" xref="footnote6.m1.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m1.1c"><ci id="footnote6.m1.1.1.cmml" xref="footnote6.m1.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m1.1d">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m1.1e">italic_w</annotation></semantics></math> was fixed to be <math alttext="\exp((\log N)^{1/10})" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m2.2"><semantics id="footnote6.m2.2b"><mrow id="footnote6.m2.2.2.1" xref="footnote6.m2.2.2.2.cmml"><mi id="footnote6.m2.1.1" xref="footnote6.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="footnote6.m2.2.2.1b" xref="footnote6.m2.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="footnote6.m2.2.2.1.1" xref="footnote6.m2.2.2.2.cmml"><mo id="footnote6.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="footnote6.m2.2.2.2.cmml">(</mo><msup id="footnote6.m2.2.2.1.1.1" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1b" lspace="0.167em" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.1" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></mrow></msup><mo id="footnote6.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="footnote6.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m2.2c"><apply id="footnote6.m2.2.2.2.cmml" xref="footnote6.m2.2.2.1"><exp id="footnote6.m2.1.1.cmml" xref="footnote6.m2.1.1"></exp><apply id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1"><log id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3"><divide id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.1"></divide><cn id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="footnote6.m2.2.2.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m2.2d">\exp((\log N)^{1/10})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m2.2e">roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 10 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, but this makes no difference in the argument.</span></span></span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx56"> <tbody id="S4.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda_{W}(n)-% \widetilde{\Lambda}_{W}(n))F(g(n)\Gamma)\right|&\ll M^{(2D)^{C_{k}}}(% \widetilde{q})^{-1/(2D)^{C_{k}}}.\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E9.m1.37"><semantics id="S4.E9.m1.37a"><mtable columnspacing="0pt" id="S4.E9.m1.37.37.3"><mtr id="S4.E9.m1.37.37.3a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E9.m1.37.37.3b"><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27"><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E9.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E9.m1.2.2.2.2.2.2a" xref="S4.E9.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E9.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E9.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.3" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.3"><munder id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.3a"><mo id="S4.E9.m1.3.3.3.3.3.3" movablelimits="false" xref="S4.E9.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S4.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml"><mi id="S4.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.2" xref="S4.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.1" xref="S4.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.3" xref="S4.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.2"><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E9.m1.5.5.5.5.5.5" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E9.m1.6.6.6.6.6.6" mathvariant="normal" xref="S4.E9.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">Λ</mi><mi id="S4.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S4.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E9.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E9.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E9.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">n</mi><mo id="S4.E9.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.E9.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">−</mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1.2.2"><mover accent="true" id="S4.E9.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E9.m1.12.12.12.12.12.12.cmml"><mi id="S4.E9.m1.12.12.12.12.12.12.2" mathvariant="normal" xref="S4.E9.m1.12.12.12.12.12.12.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E9.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S4.E9.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E9.m1.13.13.13.13.13.13.1" xref="S4.E9.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="S4.E9.m1.14.14.14.14.14.14" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E9.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S4.E9.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">n</mi><mo id="S4.E9.m1.16.16.16.16.16.16" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.17.17.17.17.17.17" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.2.3" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E9.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.E9.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">F</mi><mo id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.2.3a" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.2.2.1"><mo id="S4.E9.m1.19.19.19.19.19.19" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.2.2.1.1"><mi id="S4.E9.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S4.E9.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">g</mi><mo id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.2.2.1.1.2"><mo id="S4.E9.m1.21.21.21.21.21.21" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E9.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.E9.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">n</mi><mo id="S4.E9.m1.23.23.23.23.23.23" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E9.m1.36.36.2.35.35.27.27.1.2.2.2.1.1.1a" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E9.m1.24.24.24.24.24.24" mathvariant="normal" xref="S4.E9.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">Γ</mi></mrow><mo id="S4.E9.m1.25.25.25.25.25.25" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">|</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E9.m1.37.37.3c"><mrow id="S4.E9.m1.37.37.3.36.36.9.9"><mrow id="S4.E9.m1.37.37.3.36.36.9.9.1"><mi id="S4.E9.m1.37.37.3.36.36.9.9.1.1" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E9.m1.27.27.27.27.1.1" xref="S4.E9.m1.27.27.27.27.1.1.cmml">≪</mo><mrow id="S4.E9.m1.37.37.3.36.36.9.9.1.2"><msup id="S4.E9.m1.37.37.3.36.36.9.9.1.2.2"><mi id="S4.E9.m1.28.28.28.28.2.2" xref="S4.E9.m1.28.28.28.28.2.2.cmml">M</mi><msup id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.2" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.3" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup></msup><mo id="S4.E9.m1.37.37.3.36.36.9.9.1.2.1" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S4.E9.m1.37.37.3.36.36.9.9.1.2.3"><mrow id="S4.E9.m1.37.37.3.36.36.9.9.1.2.3.2"><mo id="S4.E9.m1.30.30.30.30.4.4" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5" xref="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.cmml"><mi id="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.2" xref="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.2.cmml">q</mi><mo id="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.1" xref="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E9.m1.32.32.32.32.6.6" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1a" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.cmml"><mn id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.3" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.2" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.2" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.3" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.34.34.34.34.8.8" lspace="0em" xref="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E9.m1.37b"><apply id="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E9.m1.27.27.27.27.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.27.27.27.27.1.1">much-less-than</csymbol><apply id="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1"></abs><apply id="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply 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xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1"><times id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.1"></times><cn id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.1.1.1.3">𝐷</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.29.29.29.29.3.3.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.35.35.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.cmml" xref="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5"><ci id="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.1.cmml" xref="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.1">~</ci><ci id="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.2.cmml" xref="S4.E9.m1.31.31.31.31.5.5.2">𝑞</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1"><minus id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1"></minus><apply id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1"><divide id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.2"></divide><cn id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.3">1</cn><apply id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1"><times id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.1.1.1.3">𝐷</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.33.33.33.33.7.7.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E9.m1.37c">\displaystyle\begin{split}\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda_{W}(n)-% \widetilde{\Lambda}_{W}(n))F(g(n)\Gamma)\right|&\ll M^{(2D)^{C_{k}}}(% \widetilde{q})^{-1/(2D)^{C_{k}}}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E9.m1.37d">start_ROW start_CELL | divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ) italic_F ( italic_g ( italic_n ) roman_Γ ) | end_CELL start_CELL ≪ italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_D ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / ( 2 italic_D ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.10.p5.2">Hence, if (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E7" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>) holds, we may assume that either we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx57"> <tbody id="S4.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.10)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widetilde{q}\leq\left(M/\exp\left(\left(\log\frac{1}{\delta}% \right)^{C_{k}^{3}}\right)\right)^{(2D)^{C_{k}^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E10.m1.3"><semantics id="S4.E10.m1.3a"><mrow id="S4.E10.m1.3.3" xref="S4.E10.m1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.3.3.3" xref="S4.E10.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.3.3.3.2" xref="S4.E10.m1.3.3.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.E10.m1.3.3.3.1" xref="S4.E10.m1.3.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E10.m1.3.3.2" xref="S4.E10.m1.3.3.2.cmml">≤</mo><msup id="S4.E10.m1.3.3.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.2.2" xref="S4.E10.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" 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xref="S4.E10.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E10.m1.3c">\displaystyle\widetilde{q}\leq\left(M/\exp\left(\left(\log\frac{1}{\delta}% \right)^{C_{k}^{3}}\right)\right)^{(2D)^{C_{k}^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E10.m1.3d">over~ start_ARG italic_q end_ARG ≤ ( italic_M / roman_exp ( ( roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_D ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.10.p5.3">or</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx58"> <tbody id="S4.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.11)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\Lambda_{W}(n))F(g(n)% \Gamma)\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E11.m1.4"><semantics id="S4.E11.m1.4a"><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1" xref="S4.E11.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S4.E11.m1.4.4.1.2" xref="S4.E11.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1.1" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E11.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mfrac id="S4.E11.m1.4.4.1.1.4a" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mn id="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E11.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mo><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><munder id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.2" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.1" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.3" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E11.m1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" 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id="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.4"></divide><cn id="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.2">1</cn><ci id="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.4.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2"><apply id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.2"></sum><apply id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3"><leq id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.1"></leq><ci id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.2"><times id="S4.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" 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1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Λ ( italic_n ) - roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ) italic_F ( italic_g ( italic_n ) roman_Γ ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}^{3}}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E11.m2.2"><semantics id="S4.E11.m2.2a"><mrow id="S4.E11.m2.2.2.1" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E11.m2.2.2.1.1" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E11.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E11.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.2.cmml">≫</mo><mrow id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E11.m2.1.1" xref="S4.E11.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1" 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id="S4.E11.m2.2b"><apply id="S4.E11.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E11.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.2">much-greater-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E11.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1"><exp id="S4.E11.m2.1.1.cmml" xref="S4.E11.m2.1.1"></exp><apply id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E11.m2.2c">\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}^{3}}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E11.m2.2d">≫ roman_exp ( - ( roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.11.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.11.p6.5">Now, applying <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>, Lemma 5.1]</cite> (which is a version of Vaughan’s identity), we may split <math alttext="\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.11.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.11.p6.1.m1.1.1" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.11.p6.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.11.p6.1.m1.1.1.1" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">W</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.11.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1"><minus id="S4.11.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.1"></minus><ci id="S4.11.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2"><ci id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.11.p6.1.m1.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.1.m1.1c">\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.1.m1.1d">roman_Λ - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Lambda-\Lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.11.p6.2.m2.1a"><mrow id="S4.11.p6.2.m2.1.1" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.11.p6.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.11.p6.2.m2.1.1.1" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.11.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mi id="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml">W</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.11.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1"><minus id="S4.11.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.1"></minus><ci id="S4.11.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.2">Λ</ci><apply id="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.2">Λ</ci><ci id="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.11.p6.2.m2.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.2.m2.1c">\Lambda-\Lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.2.m2.1d">roman_Λ - roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> into type I, twisted type I and type II sums, where we may assume that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E10" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.10</span></a>) holds if twisted type I sums appear. Applying now <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib12" title="">12</a>, Propositions 5.1–5.4]</cite> (which are estimates for type I, twisted type I and type II sums involving nilsequences <math alttext="F(g(n)\Gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.3.m3.2"><semantics id="S4.11.p6.3.m3.2a"><mrow id="S4.11.p6.3.m3.2.2" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S4.11.p6.3.m3.2.2.3" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.3.cmml">F</mi><mo id="S4.11.p6.3.m3.2.2.2" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.11.p6.3.m3.1.1" xref="S4.11.p6.3.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.4.cmml">Γ</mi></mrow><mo id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.3.m3.2b"><apply id="S4.11.p6.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2"><times id="S4.11.p6.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.2"></times><ci id="S4.11.p6.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.3">𝐹</ci><apply id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1"><times id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S4.11.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.3.m3.1.1">𝑛</ci><ci id="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.11.p6.3.m3.2.2.1.1.1.4">Γ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.3.m3.2c">F(g(n)\Gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.3.m3.2d">italic_F ( italic_g ( italic_n ) roman_Γ )</annotation></semantics></math> with a vertical character <math alttext="F" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.4.m4.1"><semantics id="S4.11.p6.4.m4.1a"><mi id="S4.11.p6.4.m4.1.1" xref="S4.11.p6.4.m4.1.1.cmml">F</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.4.m4.1b"><ci id="S4.11.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.4.m4.1.1">𝐹</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.4.m4.1c">F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.4.m4.1d">italic_F</annotation></semantics></math> and where <math alttext="G/\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.5.m5.1"><semantics id="S4.11.p6.5.m5.1a"><mrow id="S4.11.p6.5.m5.1.1" xref="S4.11.p6.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.11.p6.5.m5.1.1.2" xref="S4.11.p6.5.m5.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S4.11.p6.5.m5.1.1.1" xref="S4.11.p6.5.m5.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.11.p6.5.m5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.11.p6.5.m5.1.1.3.cmml">Γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.5.m5.1b"><apply id="S4.11.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.5.m5.1.1"><divide id="S4.11.p6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.5.m5.1.1.1"></divide><ci id="S4.11.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.5.m5.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S4.11.p6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.5.m5.1.1.3">Γ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.5.m5.1c">G/\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.5.m5.1d">italic_G / roman_Γ</annotation></semantics></math> has a one-dimensional vertical component, with the twisted type I sum estimate requiring (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E10" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.10</span></a>)), the claim follows unless we have a factorisation</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx59"> <tbody id="S4.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle g(n)=\epsilon(n)g_{1}(n)\gamma(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex11.m1.4"><semantics id="S4.Ex11.m1.4a"><mrow id="S4.Ex11.m1.4.5" xref="S4.Ex11.m1.4.5.cmml"><mrow id="S4.Ex11.m1.4.5.2" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.4.5.2.2" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2.2.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.2.1" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex11.m1.4.5.2.3.2" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2.cmml"><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex11.m1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.1" xref="S4.Ex11.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.4.5.3" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.4.5.3.2" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.1" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex11.m1.4.5.3.3.2" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml"><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex11.m1.2.2" xref="S4.Ex11.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.1a" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.1.cmml"></mo><msub id="S4.Ex11.m1.4.5.3.4" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.2" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.2.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.3" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.1b" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex11.m1.4.5.3.5.2" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml"><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex11.m1.3.3" xref="S4.Ex11.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.1c" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex11.m1.4.5.3.6" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.6.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.1d" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex11.m1.4.5.3.7.2" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml"><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.7.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex11.m1.4.4" xref="S4.Ex11.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex11.m1.4.5.3.7.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex11.m1.4b"><apply id="S4.Ex11.m1.4.5.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5"><eq id="S4.Ex11.m1.4.5.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.1"></eq><apply id="S4.Ex11.m1.4.5.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2"><times id="S4.Ex11.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2.1"></times><ci id="S4.Ex11.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.2.2">𝑔</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.Ex11.m1.4.5.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3"><times id="S4.Ex11.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.1"></times><ci id="S4.Ex11.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.Ex11.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.2.2">𝑛</ci><apply id="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.2">𝑔</ci><cn id="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.4.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex11.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.3.3">𝑛</ci><ci id="S4.Ex11.m1.4.5.3.6.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.5.3.6">𝛾</ci><ci id="S4.Ex11.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex11.m1.4.4">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex11.m1.4c">\displaystyle g(n)=\epsilon(n)g_{1}(n)\gamma(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex11.m1.4d">italic_g ( italic_n ) = italic_ϵ ( italic_n ) italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) italic_γ ( italic_n )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.11.p6.14">for all <math alttext="n\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.6.m1.1"><semantics id="S4.11.p6.6.m1.1a"><mrow id="S4.11.p6.6.m1.1.1" xref="S4.11.p6.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.11.p6.6.m1.1.1.2" xref="S4.11.p6.6.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.11.p6.6.m1.1.1.1" xref="S4.11.p6.6.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.11.p6.6.m1.1.1.3" xref="S4.11.p6.6.m1.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.6.m1.1b"><apply id="S4.11.p6.6.m1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.6.m1.1.1"><in id="S4.11.p6.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.6.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.11.p6.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.6.m1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S4.11.p6.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.6.m1.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.6.m1.1c">n\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.6.m1.1d">italic_n ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math>, where <math alttext="g_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.7.m2.1"><semantics id="S4.11.p6.7.m2.1a"><msub id="S4.11.p6.7.m2.1.1" xref="S4.11.p6.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.11.p6.7.m2.1.1.2" xref="S4.11.p6.7.m2.1.1.2.cmml">g</mi><mn id="S4.11.p6.7.m2.1.1.3" xref="S4.11.p6.7.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.7.m2.1b"><apply id="S4.11.p6.7.m2.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.11.p6.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.7.m2.1.1.2">𝑔</ci><cn id="S4.11.p6.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.11.p6.7.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.7.m2.1c">g_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.7.m2.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> takes values in a <math alttext="\exp((\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.8.m3.3"><semantics id="S4.11.p6.8.m3.3a"><mrow id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.11.p6.8.m3.2.2" xref="S4.11.p6.8.m3.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1a" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.2.cmml"></mo><mrow id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.2.cmml">(</mo><msup id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.11.p6.8.m3.1.1" xref="S4.11.p6.8.m3.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msubsup id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mn id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></msubsup></msup><mo id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.8.m3.3b"><apply id="S4.11.p6.8.m3.3.3.2.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1"><exp id="S4.11.p6.8.m3.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.2.2"></exp><apply id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.11.p6.8.m3.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.1.1"></log><apply id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.11.p6.8.m3.3.3.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.8.m3.3c">\exp((\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.8.m3.3d">roman_exp ( ( roman_log ( 1 / italic_δ ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>-rational subgroup of <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.9.m4.1"><semantics id="S4.11.p6.9.m4.1a"><mi id="S4.11.p6.9.m4.1.1" xref="S4.11.p6.9.m4.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.9.m4.1b"><ci id="S4.11.p6.9.m4.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.9.m4.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.9.m4.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.9.m4.1d">italic_G</annotation></semantics></math> whose step is <math alttext="\leq s-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.10.m5.1"><semantics id="S4.11.p6.10.m5.1a"><mrow id="S4.11.p6.10.m5.1.1" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.11.p6.10.m5.1.1.2" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.11.p6.10.m5.1.1.1" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.11.p6.10.m5.1.1.3" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.2" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.1" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.3" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.10.m5.1b"><apply id="S4.11.p6.10.m5.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1"><leq id="S4.11.p6.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.11.p6.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.3"><minus id="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.11.p6.10.m5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.10.m5.1c">\leq s-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.10.m5.1d">≤ italic_s - 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.11.m6.1"><semantics id="S4.11.p6.11.m6.1a"><mi id="S4.11.p6.11.m6.1.1" xref="S4.11.p6.11.m6.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.11.m6.1b"><ci id="S4.11.p6.11.m6.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.11.m6.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.11.m6.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.11.m6.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> is <math alttext="(\exp((\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}}),N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.12.m7.4"><semantics id="S4.11.p6.12.m7.4a"><mrow id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.2.cmml"><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.11.p6.12.m7.2.2" xref="S4.11.p6.12.m7.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1a" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><msup id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.11.p6.12.m7.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msubsup id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mn id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></msubsup></msup><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.3" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.2.cmml">,</mo><mi id="S4.11.p6.12.m7.3.3" xref="S4.11.p6.12.m7.3.3.cmml">N</mi><mo id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.4" stretchy="false" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.12.m7.4b"><interval closure="open" id="S4.11.p6.12.m7.4.4.2.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1"><apply id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1"><exp id="S4.11.p6.12.m7.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.2.2"></exp><apply id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.11.p6.12.m7.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.1.1"></log><apply id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.11.p6.12.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply><ci id="S4.11.p6.12.m7.3.3.cmml" xref="S4.11.p6.12.m7.3.3">𝑁</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.12.m7.4c">(\exp((\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}}),N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.12.m7.4d">( roman_exp ( ( roman_log ( 1 / italic_δ ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) , italic_N )</annotation></semantics></math>-smooth and <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.13.m8.1"><semantics id="S4.11.p6.13.m8.1a"><mi id="S4.11.p6.13.m8.1.1" xref="S4.11.p6.13.m8.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.13.m8.1b"><ci id="S4.11.p6.13.m8.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.13.m8.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.13.m8.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.13.m8.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> is <math alttext="\exp((\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.11.p6.14.m9.3"><semantics id="S4.11.p6.14.m9.3a"><mrow id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.2.cmml"><mi id="S4.11.p6.14.m9.2.2" xref="S4.11.p6.14.m9.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1a" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.2.cmml"></mo><mrow id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.2.cmml"><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.2.cmml">(</mo><msup id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.11.p6.14.m9.1.1" xref="S4.11.p6.14.m9.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msubsup id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mn id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></msubsup></msup><mo id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.11.p6.14.m9.3b"><apply id="S4.11.p6.14.m9.3.3.2.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1"><exp id="S4.11.p6.14.m9.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.2.2"></exp><apply id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.11.p6.14.m9.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.1.1"></log><apply id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.11.p6.14.m9.3.3.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.11.p6.14.m9.3c">\exp((\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.11.p6.14.m9.3d">roman_exp ( ( roman_log ( 1 / italic_δ ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>-rational.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.12.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.12.p7.5">Let <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.12.p7.1.m1.1a"><mi id="S4.12.p7.1.m1.1.1" xref="S4.12.p7.1.m1.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.1.m1.1b"><ci id="S4.12.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.1.m1.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.1.m1.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.1.m1.1d">italic_Q</annotation></semantics></math> be the period of <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.12.p7.2.m2.1a"><mi id="S4.12.p7.2.m2.1.1" xref="S4.12.p7.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.2.m2.1b"><ci id="S4.12.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.2.m2.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.2.m2.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.2.m2.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>. Then by the pigeonhole principle there exists an arithmetic progression <math alttext="P\subset[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.12.p7.3.m3.1a"><mrow id="S4.12.p7.3.m3.1.2" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.12.p7.3.m3.1.2.2" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.2.cmml">P</mi><mo id="S4.12.p7.3.m3.1.2.1" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.1.cmml">⊂</mo><mrow id="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.12.p7.3.m3.1.1" xref="S4.12.p7.3.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.3.m3.1b"><apply id="S4.12.p7.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2"><subset id="S4.12.p7.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.1"></subset><ci id="S4.12.p7.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.3.m3.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.12.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.3.m3.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.3.m3.1c">P\subset[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.3.m3.1d">italic_P ⊂ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> of common difference <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.4.m4.1"><semantics id="S4.12.p7.4.m4.1a"><mi id="S4.12.p7.4.m4.1.1" xref="S4.12.p7.4.m4.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.4.m4.1b"><ci id="S4.12.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.4.m4.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.4.m4.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.4.m4.1d">italic_Q</annotation></semantics></math> and length <math alttext="\asymp\exp(-(\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}})N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.5.m5.3"><semantics id="S4.12.p7.5.m5.3a"><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.cmml"><mi id="S4.12.p7.5.m5.3.3.3" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.2" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.2.cmml">≍</mo><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.12.p7.5.m5.2.2" xref="S4.12.p7.5.m5.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1a" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.12.p7.5.m5.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msubsup id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mn id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></msubsup></msup></mrow><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.2" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.2.cmml"></mo><mi id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.3" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.5.m5.3b"><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.12.p7.5.m5.3.3.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.2">asymptotically-equals</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.12.p7.5.m5.3.3.3.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1"><times id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.2"></times><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1"><exp id="S4.12.p7.5.m5.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.2.2"></exp><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.12.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.1.1"></log><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.5.m5.3.3.1.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.5.m5.3c">\asymp\exp(-(\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}})N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.5.m5.3d">≍ roman_exp ( - ( roman_log ( 1 / italic_δ ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_N</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx60"> <tbody id="S4.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))F(g(n)\Gamma)\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex12.m1.4"><semantics id="S4.Ex12.m1.4a"><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4a" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mn id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><munder id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex12.m1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.3a" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex12.m1.3.3" xref="S4.Ex12.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1a" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">Γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.1.3" xref="S4.Ex12.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex12.m1.4b"><apply id="S4.Ex12.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1"><abs id="S4.Ex12.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.2"></abs><apply id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1"><times id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.3"></times><apply id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4"><divide id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4"></divide><cn id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.2">1</cn><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.4.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2"><apply id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.2"></sum><apply id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3"><leq id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.1"></leq><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci 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xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.2.2">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.4">𝐹</ci><apply id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"><times id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S4.Ex12.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.3.3">𝑛</ci><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4">Γ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex12.m1.4c">\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))F(g(n)\Gamma)\right|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex12.m1.4d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Λ ( italic_n ) - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ) italic_F ( italic_g ( italic_n ) roman_Γ ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\left|\frac{1}{|P|}\sum_{n\in P}(\Lambda(n)-\widetilde{% \Lambda}_{W}(n))F(\epsilon_{0}g_{1}(n)\gamma_{0}\Gamma)\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex12.m2.5"><semantics id="S4.Ex12.m2.5a"><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5" xref="S4.Ex12.m2.5.5.cmml"><mi id="S4.Ex12.m2.5.5.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.2.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex12.m2.1.1" xref="S4.Ex12.m2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex12.m2.1.1a" xref="S4.Ex12.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex12.m2.1.1.3" xref="S4.Ex12.m2.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex12.m2.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex12.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.Ex12.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m2.1.1.1.1.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex12.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.3.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><munder id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3a" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.3.cmml">P</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex12.m2.3.3" xref="S4.Ex12.m2.3.3.cmml">n</mi><mo 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xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1a" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex12.m2.4.4" xref="S4.Ex12.m2.4.4.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1b" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.2" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1c" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.6.cmml">Γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex12.m2.5b"><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5"><leq id="S4.Ex12.m2.5.5.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex12.m2.5.5.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1"><abs id="S4.Ex12.m2.5.5.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1"><times id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.3"></times><apply id="S4.Ex12.m2.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.1.1"><divide id="S4.Ex12.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.1.1"></divide><cn id="S4.Ex12.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m2.1.1.3">1</cn><apply id="S4.Ex12.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.1.1.1.3"><abs id="S4.Ex12.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S4.Ex12.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.1.1.1.1">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2"><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.2"></sum><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3"><in id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.1"></in><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Λ</ci><ci id="S4.Ex12.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.4">𝐹</ci><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2">italic-ϵ</ci><cn id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2">𝑔</ci><cn id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex12.m2.4.4.cmml" xref="S4.Ex12.m2.4.4">𝑛</ci><apply id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.2">𝛾</ci><cn id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.5.3">0</cn></apply><ci id="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex12.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.1.1.6">Γ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex12.m2.5c">\displaystyle\leq\left|\frac{1}{|P|}\sum_{n\in P}(\Lambda(n)-\widetilde{% \Lambda}_{W}(n))F(\epsilon_{0}g_{1}(n)\gamma_{0}\Gamma)\right|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex12.m2.5d">≤ | divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_P | end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Λ ( italic_n ) - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ) italic_F ( italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT roman_Γ ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+O(\exp(-(\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}}))" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex13.m1.3"><semantics id="S4.Ex13.m1.3a"><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3" xref="S4.Ex13.m1.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.3.3a" xref="S4.Ex13.m1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.3.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.2.2" xref="S4.Ex13.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" 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id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></msubsup></msup></mrow><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex13.m1.3b"><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3"><plus id="S4.Ex13.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3"></plus><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1"><times id="S4.Ex13.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S4.Ex13.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1"><exp id="S4.Ex13.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.2.2"></exp><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex13.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1"></log><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex13.m1.3c">\displaystyle+O(\exp(-(\log(1/\delta))^{C_{k}^{10}}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex13.m1.3d">+ italic_O ( roman_exp ( - ( roman_log ( 1 / italic_δ ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.12.p7.12">for some <math alttext="\epsilon_{0},\gamma_{0}\in G" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.6.m1.2"><semantics id="S4.12.p7.6.m1.2a"><mrow id="S4.12.p7.6.m1.2.2" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.12.p7.6.m1.2.2.3" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="S4.12.p7.6.m1.2.2.4" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.4.cmml">G</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.6.m1.2b"><apply id="S4.12.p7.6.m1.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2"><in id="S4.12.p7.6.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.3"></in><list id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2"><apply id="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.6.m1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.2.2.2.3">0</cn></apply></list><ci id="S4.12.p7.6.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.12.p7.6.m1.2.2.4">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.6.m1.2c">\epsilon_{0},\gamma_{0}\in G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.6.m1.2d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_G</annotation></semantics></math>. Factorise <math alttext="\gamma_{0}=\{\gamma_{0}\}[\gamma_{0}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.7.m2.2"><semantics id="S4.12.p7.7.m2.2a"><mrow id="S4.12.p7.7.m2.2.2" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.cmml"><msub id="S4.12.p7.7.m2.2.2.4" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.2" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.3" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.7.m2.2.2.3" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.3" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.7.m2.2b"><apply id="S4.12.p7.7.m2.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2"><eq id="S4.12.p7.7.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.3"></eq><apply id="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.2">𝛾</ci><cn id="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.4.3">0</cn></apply><apply id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2"><times id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.3"></times><set id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1"><apply id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.7.m2.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></set><apply id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.7.m2.2.2.2.2.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.7.m2.2c">\gamma_{0}=\{\gamma_{0}\}[\gamma_{0}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.7.m2.2d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = { italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT } [ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math> where <math alttext="[\gamma_{0}]\in\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.8.m3.1"><semantics id="S4.12.p7.8.m3.1a"><mrow id="S4.12.p7.8.m3.1.1" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.12.p7.8.m3.1.1.2" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mi id="S4.12.p7.8.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.3.cmml">Γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.8.m3.1b"><apply id="S4.12.p7.8.m3.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1"><in id="S4.12.p7.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.2"></in><apply id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><ci id="S4.12.p7.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.8.m3.1.1.3">Γ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.8.m3.1c">[\gamma_{0}]\in\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.8.m3.1d">[ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ] ∈ roman_Γ</annotation></semantics></math> and <math alttext="|\psi(\{\gamma_{0}\})|\leq 1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.9.m4.1"><semantics id="S4.12.p7.9.m4.1a"><mrow id="S4.12.p7.9.m4.1.1" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.cmml"><mrow id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.2" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S4.12.p7.9.m4.1.1.3" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.2" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.1" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.3" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.9.m4.1b"><apply id="S4.12.p7.9.m4.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1"><leq id="S4.12.p7.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.2"></leq><apply id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1"><abs id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1"><times id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci><set id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></set></apply></apply><apply id="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.3"><divide id="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.9.m4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.9.m4.1c">|\psi(\{\gamma_{0}\})|\leq 1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.9.m4.1d">| italic_ψ ( { italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT } ) | ≤ 1 / 2</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.10.m5.1"><semantics id="S4.12.p7.10.m5.1a"><mi id="S4.12.p7.10.m5.1.1" xref="S4.12.p7.10.m5.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.10.m5.1b"><ci id="S4.12.p7.10.m5.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.10.m5.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.10.m5.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.10.m5.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> the Mal’cev coordinate map. Writing <math alttext="g^{\prime}(n)=\{\gamma_{0}\}^{-1}g_{1}(n)\{\gamma_{0}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.11.m6.4"><semantics id="S4.12.p7.11.m6.4a"><mrow id="S4.12.p7.11.m6.4.4" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.cmml"><mrow id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.cmml"><msup id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.cmml"><mi id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.2" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.2.cmml">g</mi><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.3" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.1" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.3.2" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.cmml"><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="S4.12.p7.11.m6.1.1" xref="S4.12.p7.11.m6.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.3" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.cmml"><msup id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3a" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3.2" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.3" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.3.cmml"></mo><msub id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.cmml"><mi id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.2" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.2.cmml">g</mi><mn id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.3" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.3a" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.3.cmml"></mo><mrow id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.5.2" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S4.12.p7.11.m6.2.2" xref="S4.12.p7.11.m6.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.3b" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.3.cmml"></mo><mrow id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.2.cmml">{</mo><msub id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.2" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.11.m6.4b"><apply id="S4.12.p7.11.m6.4.4.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4"><eq id="S4.12.p7.11.m6.4.4.3.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.3"></eq><apply id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4"><times id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.1"></times><apply id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2">superscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.2">𝑔</ci><ci id="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.4.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.12.p7.11.m6.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2"><times id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.3.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.3"></times><apply id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1">superscript</csymbol><set id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1"><apply id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></set><apply id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3"><minus id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3"></minus><cn id="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.11.m6.3.3.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.2">𝑔</ci><cn id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.4.3">1</cn></apply><ci id="S4.12.p7.11.m6.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.2.2">𝑛</ci><set id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1"><apply id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.11.m6.4.4.2.2.1.1.3">0</cn></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.11.m6.4c">g^{\prime}(n)=\{\gamma_{0}\}^{-1}g_{1}(n)\{\gamma_{0}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.11.m6.4d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) = { italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) { italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> and <math alttext="F_{1}=F(\epsilon_{0}\{\gamma_{0}\}\cdot)1_{P}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.12.p7.12.m7.1"><semantics id="S4.12.p7.12.m7.1a"><mrow id="S4.12.p7.12.m7.1b"><msub id="S4.12.p7.12.m7.1.1"><mi id="S4.12.p7.12.m7.1.1.2">F</mi><mn id="S4.12.p7.12.m7.1.1.3">1</mn></msub><mo id="S4.12.p7.12.m7.1.2">=</mo><mi id="S4.12.p7.12.m7.1.3">F</mi><mrow id="S4.12.p7.12.m7.1.4"><mo id="S4.12.p7.12.m7.1.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S4.12.p7.12.m7.1.4.2"><mi id="S4.12.p7.12.m7.1.4.2.2">ϵ</mi><mn id="S4.12.p7.12.m7.1.4.2.3">0</mn></msub><mrow id="S4.12.p7.12.m7.1.4.3"><mo id="S4.12.p7.12.m7.1.4.3.1" stretchy="false">{</mo><msub id="S4.12.p7.12.m7.1.4.3.2"><mi id="S4.12.p7.12.m7.1.4.3.2.2">γ</mi><mn id="S4.12.p7.12.m7.1.4.3.2.3">0</mn></msub><mo id="S4.12.p7.12.m7.1.4.3.3" rspace="0.055em" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S4.12.p7.12.m7.1.4.4" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.12.p7.12.m7.1.4.5" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="S4.12.p7.12.m7.1.5"><mn id="S4.12.p7.12.m7.1.5.2">1</mn><mi id="S4.12.p7.12.m7.1.5.3">P</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.12.m7.1c">F_{1}=F(\epsilon_{0}\{\gamma_{0}\}\cdot)1_{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.12.m7.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_F ( italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT { italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT } ⋅ ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we conclude from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E7" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>) that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx61"> <tbody id="S4.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.12)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))F_{1}(g^{\prime}(n)\Gamma)\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E12.m1.4"><semantics id="S4.E12.m1.4a"><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1" xref="S4.E12.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.2" xref="S4.E12.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E12.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mfrac id="S4.E12.m1.4.4.1.1.4a" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mn id="S4.E12.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E12.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mo><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><munder id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.1" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.3" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E12.m1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" 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id="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E12.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4">Γ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E12.m1.4c">\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))F_{1}(g^{\prime}(n)\Gamma)\right|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E12.m1.4d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Λ ( italic_n ) - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ) italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_g start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) roman_Γ ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}^{10}}% \right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E12.m2.2"><semantics id="S4.E12.m2.2a"><mrow id="S4.E12.m2.2.2.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E12.m2.2.2.1.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E12.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.2.cmml">≫</mo><mrow id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E12.m2.1.1" xref="S4.E12.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msubsup id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mn id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></msubsup></msup></mrow><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m2.2.2.1.2" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E12.m2.2b"><apply id="S4.E12.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E12.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.2">much-greater-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E12.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1"><exp id="S4.E12.m2.1.1.cmml" xref="S4.E12.m2.1.1"></exp><apply id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E12.m2.2c">\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}^{10}}% \right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E12.m2.2d">≫ roman_exp ( - ( roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.12.p7.16">where <math alttext="F_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.13.m1.1"><semantics id="S4.12.p7.13.m1.1a"><msub id="S4.12.p7.13.m1.1.1" xref="S4.12.p7.13.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.13.m1.1.1.2" xref="S4.12.p7.13.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S4.12.p7.13.m1.1.1.3" xref="S4.12.p7.13.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.13.m1.1b"><apply id="S4.12.p7.13.m1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.13.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.13.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.13.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.13.m1.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S4.12.p7.13.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.13.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.13.m1.1c">F_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.13.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined on a nilmanifold of step at most <math alttext="s-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.14.m2.1"><semantics id="S4.12.p7.14.m2.1a"><mrow id="S4.12.p7.14.m2.1.1" xref="S4.12.p7.14.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.14.m2.1.1.2" xref="S4.12.p7.14.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.12.p7.14.m2.1.1.1" xref="S4.12.p7.14.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.12.p7.14.m2.1.1.3" xref="S4.12.p7.14.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.14.m2.1b"><apply id="S4.12.p7.14.m2.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.14.m2.1.1"><minus id="S4.12.p7.14.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.14.m2.1.1.1"></minus><ci id="S4.12.p7.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.14.m2.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S4.12.p7.14.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.12.p7.14.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.14.m2.1c">s-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.14.m2.1d">italic_s - 1</annotation></semantics></math>. Iterating the arguments from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E7" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>) to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E12" title="In Proof. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.12</span></a>) <math alttext="\leq s" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.15.m3.1"><semantics id="S4.12.p7.15.m3.1a"><mrow id="S4.12.p7.15.m3.1.1" xref="S4.12.p7.15.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.15.m3.1.1.2" xref="S4.12.p7.15.m3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.12.p7.15.m3.1.1.1" xref="S4.12.p7.15.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.12.p7.15.m3.1.1.3" xref="S4.12.p7.15.m3.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.15.m3.1b"><apply id="S4.12.p7.15.m3.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.15.m3.1.1"><leq id="S4.12.p7.15.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.15.m3.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.12.p7.15.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.15.m3.1.1.2">absent</csymbol><ci id="S4.12.p7.15.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.15.m3.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.15.m3.1c">\leq s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.15.m3.1d">≤ italic_s</annotation></semantics></math> times (and adjusting the value of <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.16.m4.1"><semantics id="S4.12.p7.16.m4.1a"><mi id="S4.12.p7.16.m4.1.1" xref="S4.12.p7.16.m4.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.16.m4.1b"><ci id="S4.12.p7.16.m4.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.16.m4.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.16.m4.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.16.m4.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> each time), we conclude that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx62"> <tbody id="S4.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))1_{P^{\prime}}(n)\right|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex14.m1.4"><semantics id="S4.Ex14.m1.4a"><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1" xref="S4.Ex14.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3a" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><munder id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" 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xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex14.m1.3.3" xref="S4.Ex14.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.1.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex14.m1.4b"><apply id="S4.Ex14.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1"><abs id="S4.Ex14.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.2"></abs><apply id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1"><times id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3"><divide id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.2">1</cn><ci id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.3.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3"><leq id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml" 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id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex14.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex14.m1.4c">\displaystyle\left|\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\Lambda(n)-\widetilde{\Lambda}_{W% }(n))1_{P^{\prime}}(n)\right|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex14.m1.4d">| divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Λ ( italic_n ) - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}^{10^{s}}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex14.m2.2"><semantics id="S4.Ex14.m2.2a"><mrow id="S4.Ex14.m2.2.2" xref="S4.Ex14.m2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex14.m2.2.2.3" xref="S4.Ex14.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex14.m2.2.2.2" xref="S4.Ex14.m2.2.2.2.cmml">≫</mo><mrow id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex14.m2.1.1" xref="S4.Ex14.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1a" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msubsup id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><msup id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mi id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msup></msubsup></msup></mrow><mo id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex14.m2.2b"><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex14.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.2">much-greater-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex14.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1"><exp id="S4.Ex14.m2.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.1.1"></exp><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛿</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><cn id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2">10</cn><ci id="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex14.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex14.m2.2c">\displaystyle\gg\exp\left(-\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{C_{k}^{10^{s}}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex14.m2.2d">≫ roman_exp ( - ( roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.12.p7.17">for some arithmetic progression <math alttext="P^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.12.p7.17.m1.1"><semantics id="S4.12.p7.17.m1.1a"><msup id="S4.12.p7.17.m1.1.1" xref="S4.12.p7.17.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.12.p7.17.m1.1.1.2" xref="S4.12.p7.17.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S4.12.p7.17.m1.1.1.3" xref="S4.12.p7.17.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.12.p7.17.m1.1b"><apply id="S4.12.p7.17.m1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.17.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.12.p7.17.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.12.p7.17.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.12.p7.17.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.12.p7.17.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.12.p7.17.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.12.p7.17.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.12.p7.17.m1.1c">P^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.12.p7.17.m1.1d">italic_P start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. But this contradicts Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem5" title="Proposition 4.5. ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.5</span></a>. Hence the claim (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E5" title="In Proposition 4.6 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of Λ). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.5</span></a>) follows. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5. </span>Möbius correlations along polynomial patterns</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">We are now ready to prove Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(1), which immediately implies Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem2" title="Theorem 1.2 (Quantitative polynomial patterns with Möbius weight). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a> by the triangle inequality.</p> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(1).</h6> <div class="ltx_para" id="S5.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.1.p1.1">Let <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.1.m1.4"><semantics id="S5.1.p1.1.m1.4a"><mrow id="S5.1.p1.1.m1.4.4" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><msub id="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.1.p1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.1.p1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.4" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S5.1.p1.1.m1.4.4.3" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.cmml"><mi id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.2" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.1" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.2" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.cmml">y</mi><mo id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.1.m1.4b"><apply id="S5.1.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4"><in id="S5.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.3"></in><list id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2"><apply id="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S5.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.2.2">…</ci><apply id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4"><times id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.1"></times><ci id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.1.m1.4c">P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.1.m1.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> be polynomials satisfying the assumption of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(1).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.2.p2.1">For some unimodular <math alttext="\theta_{j}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S5.2.p2.1.m1.1.1" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S5.2.p2.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1"><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.3"><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.3.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.1.m1.1c">\theta_{j}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.1.m1.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT : blackboard_Z → blackboard_C</annotation></semantics></math>, we can write</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx63"> <tbody id="S5.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{m\leq N}\left|\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}% \mu(n+P_{j}(m))\right|=\mathbb{E}_{m\leq N}\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\theta_{1}(% m)\prod_{j=1}^{k}\mu(n+P_{j}(m))" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex1.m1.5"><semantics id="S5.Ex1.m1.5a"><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5" xref="S5.Ex1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.4.4.1.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.3.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.3.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.3.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex1.m1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.5.5.2.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.3.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.3.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.3.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.2.cmml"></mo><msub id="S5.Ex1.m1.5.5.2.4" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.3.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.3.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.4.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.2a" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.2.cmml"></mo><msub id="S5.Ex1.m1.5.5.2.5" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.5.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.5.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex1.m1.5.5.2.5.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.2b" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.6.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex1.m1.2.2" xref="S5.Ex1.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.6.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.2c" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.cmml"><munderover id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2a" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex1.m1.3.3" xref="S5.Ex1.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo 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id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex1.m1.5c">\displaystyle\mathbb{E}_{m\leq N}\left|\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}% \mu(n+P_{j}(m))\right|=\mathbb{E}_{m\leq N}\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\theta_{1}(% m)\prod_{j=1}^{k}\mu(n+P_{j}(m))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex1.m1.5d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT | blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) | = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.2.p2.2">and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx64"> <tbody id="S5.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\left|\mathbb{E}_{m\leq N}\prod_{j=1}^{k}% \mu(n+P_{j}(m))\right|=\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{2}(% n)\prod_{j=1}^{k}\mu(n+P_{j}(m))." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex2.m1.4"><semantics id="S5.Ex2.m1.4a"><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex2.m1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"></mo><msub id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2a" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"></mo><msub id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2b" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.6.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex2.m1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.6.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2c" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><munderover id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2a" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex2.m1.3.3" xref="S5.Ex2.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex2.m1.4b"><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1"><eq id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1"><times id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3"><leq id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.1"></leq><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1"><abs id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3"><leq id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></leq><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.4.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.2">𝜃</ci><cn id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.5.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1"><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3"><eq id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1"><times id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.3">𝜇</ci><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex2.m1.4c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\left|\mathbb{E}_{m\leq N}\prod_{j=1}^{k}% \mu(n+P_{j}(m))\right|=\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{2}(% n)\prod_{j=1}^{k}\mu(n+P_{j}(m)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex2.m1.4d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) | = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.3.p3.3">Let <math alttext="s\ll_{d,k}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.1.m1.2"><semantics id="S5.3.p3.1.m1.2a"><mrow id="S5.3.p3.1.m1.2.3" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.1.m1.2.3.2" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.2.cmml">s</mi><msub id="S5.3.p3.1.m1.2.3.1" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.1.m1.2.3.1.2" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.4" xref="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mn id="S5.3.p3.1.m1.2.3.3" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.1.m1.2b"><apply id="S5.3.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3"><apply id="S5.3.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.1.m1.2.3.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.1.m1.2.3.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.1.2">much-less-than</csymbol><list id="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><ci id="S5.3.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.2">𝑠</ci><cn id="S5.3.p3.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.1.m1.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.1.m1.2c">s\ll_{d,k}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.1.m1.2d">italic_s ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math> be as in Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>. Now, by Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> (with <math alttext="f_{i}=\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.3.p3.2.m2.1a"><mrow id="S5.3.p3.2.m2.1.1" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.3.p3.2.m2.1.1.2" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.2.m2.1b"><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1"><eq id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.2.m2.1c">f_{i}=\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.2.m2.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_μ</annotation></semantics></math>) and the assumption on the collection <math alttext="\{P_{1},\ldots,P_{k}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.3.m3.3"><semantics id="S5.3.p3.3.m3.3a"><mrow id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.3.cmml"><mo id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.3.cmml">{</mo><msub id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.4" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S5.3.p3.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.5" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.3.m3.3b"><set id="S5.3.p3.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.2"><apply id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S5.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1">…</ci><apply id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.3.m3.3c">\{P_{1},\ldots,P_{k}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.3.m3.3d">{ italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>, it suffices to show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx65"> <tbody id="S5.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\mu\|_{U^{s}[M]}\ll_{A}(\log M)^{-A}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex3.m1.3"><semantics id="S5.Ex3.m1.3a"><mrow id="S5.Ex3.m1.3.3.1" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S5.Ex3.m1.2.2" xref="S5.Ex3.m1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S5.Ex3.m1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex3.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><msub id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">M</mi></mrow><mo id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3a" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex3.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex3.m1.3b"><apply id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1"><apply id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S5.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.2.2">𝜇</ci></apply><apply id="S5.Ex3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1">𝑀</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1"><log id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑀</ci></apply><apply id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3"></minus><ci id="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex3.m1.3c">\displaystyle\|\mu\|_{U^{s}[M]}\ll_{A}(\log M)^{-A},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex3.m1.3d">∥ italic_μ ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_M ] end_POSTSUBSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_M ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.3.p3.4">This bound is precisely Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem1" title="Proposition 4.1 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of 𝜇). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.1">The rest of the paper is devoted to the proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2) (and the deduction of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1" title="Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> from it).</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6. </span>A local-to-global principle for mean values</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.2">The main result of this section is Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem1" title="Proposition 6.1 (A local-to-global principle for mean values). ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a> below, giving a factorisation result for mean values of a certain class of arithmetic functions that are close to <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.p1.1.m1.1a"><mn id="S6.p1.1.m1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.1b"><cn id="S6.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.p1.1.m1.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.1d">1</annotation></semantics></math> on average, which, as a corollary, will be applied to correlations of the function <math alttext="\Lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.p1.2.m2.1a"><msub id="S6.p1.2.m2.1.1" xref="S6.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S6.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Λ</mi><mi id="S6.p1.2.m2.1.1.3" xref="S6.p1.2.m2.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1.2">Λ</ci><ci id="S6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.2.m2.1c">\Lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.2.m2.1d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, given in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.E1" title="In Definition 4.4 (The Siegel model). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a>). This can be viewed as a local-to-global principle, since the main term in the asymptotic factorises according to the contribution of individual primes to the arithmetic function.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S6.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem1.1.1.1">Proposition 6.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem1.2.2"> </span>(A local-to-global principle for mean values)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S6.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.Thmtheorem1.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7">Let <math alttext="C\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><geq id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">C\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_C ≥ 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="N\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1"><geq id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">N\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">italic_N ≥ 2</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1d">italic_P</annotation></semantics></math> be a nonconstant polynomial with integer coefficients having no fixed prime divisor. Let <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1d">italic_P</annotation></semantics></math> have degree at most <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1d">italic_C</annotation></semantics></math> and all coefficients bounded by <math alttext="N^{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1a"><msup id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">C</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1c">N^{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in modulus. Let <math alttext="f\colon\mathbb{N}^{2}\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><msup id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2.cmml">ℕ</mi><mn id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.3" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1"><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1">:</ci><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3"><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.1">→</ci><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2">ℕ</ci><cn id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1c">f\colon\mathbb{N}^{2}\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1d">italic_f : blackboard_N start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT → blackboard_C</annotation></semantics></math> be a function satisfying the following.</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S6.I1"> <li class="ltx_item" id="S6.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(1)</span> <div class="ltx_para" id="S6.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.I1.i1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i1.p1.3.1">The function </span><math alttext="n\mapsto f(p,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1" stretchy="false" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">↦</mo><mrow id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml">f</mi><mo id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1">maps-to</csymbol><ci id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3"><times id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1"></times><ci id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2"><ci id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝑝</ci><ci id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.2.2">𝑛</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2c">n\mapsto f(p,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.2d">italic_n ↦ italic_f ( italic_p , italic_n )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i1.p1.3.2"> is </span><math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S6.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_p</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i1.p1.3.3">-periodic for any prime </span><math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S6.I1.i1.p1.3.m3.1a"><mi id="S6.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S6.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i1.p1.3.m3.1b"><ci id="S6.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.3.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i1.p1.3.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i1.p1.3.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i1.p1.3.4">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S6.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(2)</span> <div class="ltx_para" id="S6.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.I1.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i2.p1.2.1">We have </span><math alttext="f(p,n)=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.2.2" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2b"><apply id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3"><eq id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2"><times id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3.2"><ci id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑝</ci><ci id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.2">𝑛</ci></interval></apply><cn id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2c">f(p,n)=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.2d">italic_f ( italic_p , italic_n ) = 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i2.p1.2.2"> for </span><math alttext="p>\exp((\log N)^{1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2"><semantics id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.cmml">></mo><mrow id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1a" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2b"><apply id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2"><gt id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2"></gt><ci id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3">𝑝</ci><apply id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1"><exp id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.1.1"></exp><apply id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2c">p>\exp((\log N)^{1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.2d">italic_p > roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i2.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S6.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(3)</span> <div class="ltx_para" id="S6.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.I1.i3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i3.p1.3.1">We have </span><math alttext="|f(p,n)-1|\leq 1_{p\mid P(n)}+C/p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4"><semantics id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4a"><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.2.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.3.3" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.2.cmml">≤</mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><msub id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mn id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.3.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.1.cmml">/</mo><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.3" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4b"><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4"><leq id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.2"></leq><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1"><abs id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2"></abs><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1"><minus id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2"><times id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2"><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.2.2">𝑝</ci><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.3.3">𝑛</ci></interval></apply><cn id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3"><plus id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.1"></plus><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2">subscript</csymbol><cn id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.2.2">1</cn><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4"><times id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3"><divide id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.1"></divide><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.2">𝐶</ci><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.4.4.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4c">|f(p,n)-1|\leq 1_{p\mid P(n)}+C/p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.4d">| italic_f ( italic_p , italic_n ) - 1 | ≤ 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_P ( italic_n ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_C / italic_p</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i3.p1.3.2"> for all primes </span><math alttext="p\leq\exp((\log N)^{1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2"><semantics id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.3" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.2" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1a" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2b"><apply id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2"><leq id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.2"></leq><ci id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.3">𝑝</ci><apply id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1"><exp id="S6.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.1.1"></exp><apply id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.I1.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2c">p\leq\exp((\log N)^{1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i3.p1.2.m2.2d">italic_p ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i3.p1.3.3"> and all </span><math alttext="n\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1"><semantics id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1b"><apply id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1"><in id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1c">n\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i3.p1.3.m3.1d">italic_n ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.I1.i3.p1.3.4">.</span></p> </div> </li> </ol> <p class="ltx_p" id="S6.Thmtheorem1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.Thmtheorem1.p1.8.1">Then we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx66"> <tbody id="S6.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p}f(p,n)=\prod_{p}\mathbb{E}_{n\in% \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}f(p,n)+O_{C}(\exp(-(\log N)^{1/2}/10)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.E1.m1.5"><semantics id="S6.E1.m1.5a"><mrow id="S6.E1.m1.5b"><msub id="S6.E1.m1.5.6"><mi id="S6.E1.m1.5.6.2">𝔼</mi><mrow id="S6.E1.m1.5.6.3"><mi id="S6.E1.m1.5.6.3.2">n</mi><mo id="S6.E1.m1.5.6.3.1">≤</mo><mi id="S6.E1.m1.5.6.3.3">N</mi></mrow></msub><mstyle displaystyle="true" id="S6.E1.m1.5.7"><munder id="S6.E1.m1.5.7a"><mo id="S6.E1.m1.5.7.2" movablelimits="false">∏</mo><mi id="S6.E1.m1.5.7.3">p</mi></munder></mstyle><mi id="S6.E1.m1.5.8">f</mi><mrow id="S6.E1.m1.5.9"><mo id="S6.E1.m1.5.9.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.E1.m1.1.1">p</mi><mo id="S6.E1.m1.5.9.2">,</mo><mi id="S6.E1.m1.2.2">n</mi><mo id="S6.E1.m1.5.9.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E1.m1.5.10">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E1.m1.5.11"><munder id="S6.E1.m1.5.11a"><mo id="S6.E1.m1.5.11.2" movablelimits="false">∏</mo><mi id="S6.E1.m1.5.11.3">p</mi></munder></mstyle><msub id="S6.E1.m1.5.12"><mi id="S6.E1.m1.5.12.2">𝔼</mi><mrow id="S6.E1.m1.5.12.3"><mi id="S6.E1.m1.5.12.3.2">n</mi><mo id="S6.E1.m1.5.12.3.1">∈</mo><mrow id="S6.E1.m1.5.12.3.3"><mrow id="S6.E1.m1.5.12.3.3.2"><mi id="S6.E1.m1.5.12.3.3.2.2">ℤ</mi><mo id="S6.E1.m1.5.12.3.3.2.1">/</mo><mi id="S6.E1.m1.5.12.3.3.2.3">p</mi></mrow><mo id="S6.E1.m1.5.12.3.3.1"></mo><mi id="S6.E1.m1.5.12.3.3.3">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mi id="S6.E1.m1.5.13">f</mi><mrow id="S6.E1.m1.5.14"><mo id="S6.E1.m1.5.14.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.E1.m1.3.3">p</mi><mo id="S6.E1.m1.5.14.2">,</mo><mi id="S6.E1.m1.4.4">n</mi><mo id="S6.E1.m1.5.14.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E1.m1.5.15">+</mo><msub id="S6.E1.m1.5.16"><mi id="S6.E1.m1.5.16.2">O</mi><mi id="S6.E1.m1.5.16.3">C</mi></msub><mrow id="S6.E1.m1.5.17"><mo id="S6.E1.m1.5.17.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.E1.m1.5.5">exp</mi><mrow id="S6.E1.m1.5.17.2"><mo id="S6.E1.m1.5.17.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S6.E1.m1.5.17.2.2" lspace="0em">−</mo><msup id="S6.E1.m1.5.17.2.3"><mrow id="S6.E1.m1.5.17.2.3.2"><mo id="S6.E1.m1.5.17.2.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.E1.m1.5.17.2.3.2.2">log</mi><mi id="S6.E1.m1.5.17.2.3.2.3">N</mi><mo id="S6.E1.m1.5.17.2.3.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S6.E1.m1.5.17.2.3.3"><mn id="S6.E1.m1.5.17.2.3.3.2">1</mn><mo id="S6.E1.m1.5.17.2.3.3.1">/</mo><mn id="S6.E1.m1.5.17.2.3.3.3">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E1.m1.5.17.2.4">/</mo><mn id="S6.E1.m1.5.17.2.5">10</mn><mo id="S6.E1.m1.5.17.2.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E1.m1.5.17.3" lspace="0em">.</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E1.m1.5c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p}f(p,n)=\prod_{p}\mathbb{E}_{n\in% \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}f(p,n)+O_{C}(\exp(-(\log N)^{1/2}/10).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E1.m1.5d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 10 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S6.5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S6.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.1.p1.2">We may assume without loss of generality that <math alttext="C\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S6.1.p1.1.m1.1.1" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1"><geq id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S6.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S6.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.1.p1.1.m1.1c">C\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.1.p1.1.m1.1d">italic_C ≥ 2</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="w=\exp((\log N)^{1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.1.p1.2.m2.2"><semantics id="S6.1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S6.1.p1.2.m2.2.2" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S6.1.p1.2.m2.2.2.3" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">w</mi><mo id="S6.1.p1.2.m2.2.2.2" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S6.1.p1.2.m2.1.1" xref="S6.1.p1.2.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1a" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.1.p1.2.m2.2b"><apply id="S6.1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2"><eq id="S6.1.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.2"></eq><ci id="S6.1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.3">𝑤</ci><apply id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1"><exp id="S6.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.1.1"></exp><apply id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.1.p1.2.m2.2c">w=\exp((\log N)^{1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.1.p1.2.m2.2d">italic_w = roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Then, by assumption (2), it suffices to show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx67"> <tbody id="S6.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p\leq w}f(p,n)=\prod_{p\leq w}\mathbb{% E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}f(p,n)+O_{C}(\exp(-(\log N)^{1/2}/10)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.E2.m1.5"><semantics id="S6.E2.m1.5a"><mrow id="S6.E2.m1.5b"><msub id="S6.E2.m1.5.6"><mi id="S6.E2.m1.5.6.2">𝔼</mi><mrow id="S6.E2.m1.5.6.3"><mi id="S6.E2.m1.5.6.3.2">n</mi><mo id="S6.E2.m1.5.6.3.1">≤</mo><mi id="S6.E2.m1.5.6.3.3">N</mi></mrow></msub><mstyle displaystyle="true" id="S6.E2.m1.5.7"><munder id="S6.E2.m1.5.7a"><mo id="S6.E2.m1.5.7.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S6.E2.m1.5.7.3"><mi id="S6.E2.m1.5.7.3.2">p</mi><mo id="S6.E2.m1.5.7.3.1">≤</mo><mi id="S6.E2.m1.5.7.3.3">w</mi></mrow></munder></mstyle><mi id="S6.E2.m1.5.8">f</mi><mrow id="S6.E2.m1.5.9"><mo id="S6.E2.m1.5.9.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.E2.m1.1.1">p</mi><mo id="S6.E2.m1.5.9.2">,</mo><mi id="S6.E2.m1.2.2">n</mi><mo id="S6.E2.m1.5.9.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E2.m1.5.10">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E2.m1.5.11"><munder id="S6.E2.m1.5.11a"><mo id="S6.E2.m1.5.11.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S6.E2.m1.5.11.3"><mi id="S6.E2.m1.5.11.3.2">p</mi><mo id="S6.E2.m1.5.11.3.1">≤</mo><mi id="S6.E2.m1.5.11.3.3">w</mi></mrow></munder></mstyle><msub id="S6.E2.m1.5.12"><mi id="S6.E2.m1.5.12.2">𝔼</mi><mrow id="S6.E2.m1.5.12.3"><mi id="S6.E2.m1.5.12.3.2">n</mi><mo id="S6.E2.m1.5.12.3.1">∈</mo><mrow id="S6.E2.m1.5.12.3.3"><mrow id="S6.E2.m1.5.12.3.3.2"><mi id="S6.E2.m1.5.12.3.3.2.2">ℤ</mi><mo id="S6.E2.m1.5.12.3.3.2.1">/</mo><mi id="S6.E2.m1.5.12.3.3.2.3">p</mi></mrow><mo id="S6.E2.m1.5.12.3.3.1"></mo><mi id="S6.E2.m1.5.12.3.3.3">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mi id="S6.E2.m1.5.13">f</mi><mrow id="S6.E2.m1.5.14"><mo id="S6.E2.m1.5.14.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.E2.m1.3.3">p</mi><mo id="S6.E2.m1.5.14.2">,</mo><mi id="S6.E2.m1.4.4">n</mi><mo id="S6.E2.m1.5.14.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E2.m1.5.15">+</mo><msub id="S6.E2.m1.5.16"><mi id="S6.E2.m1.5.16.2">O</mi><mi id="S6.E2.m1.5.16.3">C</mi></msub><mrow id="S6.E2.m1.5.17"><mo id="S6.E2.m1.5.17.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.E2.m1.5.5">exp</mi><mrow id="S6.E2.m1.5.17.2"><mo id="S6.E2.m1.5.17.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S6.E2.m1.5.17.2.2" lspace="0em">−</mo><msup id="S6.E2.m1.5.17.2.3"><mrow id="S6.E2.m1.5.17.2.3.2"><mo id="S6.E2.m1.5.17.2.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.E2.m1.5.17.2.3.2.2">log</mi><mi id="S6.E2.m1.5.17.2.3.2.3">N</mi><mo id="S6.E2.m1.5.17.2.3.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S6.E2.m1.5.17.2.3.3"><mn id="S6.E2.m1.5.17.2.3.3.2">1</mn><mo id="S6.E2.m1.5.17.2.3.3.1">/</mo><mn id="S6.E2.m1.5.17.2.3.3.3">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E2.m1.5.17.2.4">/</mo><mn id="S6.E2.m1.5.17.2.5">10</mn><mo id="S6.E2.m1.5.17.2.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S6.E2.m1.5.17.3" lspace="0em">.</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E2.m1.5c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p\leq w}f(p,n)=\prod_{p\leq w}\mathbb{% E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}f(p,n)+O_{C}(\exp(-(\log N)^{1/2}/10).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E2.m1.5d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 10 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S6.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.2.p2.6">Write <math alttext="f(p,n)=1+a(p,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.1.m1.4"><semantics id="S6.2.p2.1.m1.4a"><mrow id="S6.2.p2.1.m1.4.5" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.2" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.1" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.2" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.2.p2.1.m1.1.1" xref="S6.2.p2.1.m1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.2.2" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.2.p2.1.m1.2.2" xref="S6.2.p2.1.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.1" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.cmml"><mn id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.2" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.1" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.cmml"><mi id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.2" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.1" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.2" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.2.p2.1.m1.3.3" xref="S6.2.p2.1.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.2.2" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.2.p2.1.m1.4.4" xref="S6.2.p2.1.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.1.m1.4b"><apply id="S6.2.p2.1.m1.4.5.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5"><eq id="S6.2.p2.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.1"></eq><apply id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2"><times id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.1"></times><ci id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.2.3.2"><ci id="S6.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.1.1">𝑝</ci><ci id="S6.2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.2.2">𝑛</ci></interval></apply><apply id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3"><plus id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.1"></plus><cn id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.2">1</cn><apply id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3"><times id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.1"></times><ci id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.5.3.3.3.2"><ci id="S6.2.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.3.3">𝑝</ci><ci id="S6.2.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="S6.2.p2.1.m1.4.4">𝑛</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.1.m1.4c">f(p,n)=1+a(p,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.1.m1.4d">italic_f ( italic_p , italic_n ) = 1 + italic_a ( italic_p , italic_n )</annotation></semantics></math>. Then, by assumptions (1) and (3), <math alttext="n\mapsto a(p,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.2.m2.2"><semantics id="S6.2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S6.2.p2.2.m2.2.3" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S6.2.p2.2.m2.2.3.2" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.2.m2.2.3.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.1.cmml">↦</mo><mrow id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.1" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.2" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.2.p2.2.m2.1.1" xref="S6.2.p2.2.m2.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.2.p2.2.m2.2.2" xref="S6.2.p2.2.m2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.2.m2.2b"><apply id="S6.2.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.2.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.1">maps-to</csymbol><ci id="S6.2.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3"><times id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.1"></times><ci id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.2.3.3.3.2"><ci id="S6.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.1.1">𝑝</ci><ci id="S6.2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S6.2.p2.2.m2.2.2">𝑛</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.2.m2.2c">n\mapsto a(p,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.2.m2.2d">italic_n ↦ italic_a ( italic_p , italic_n )</annotation></semantics></math> is <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S6.2.p2.3.m3.1a"><mi id="S6.2.p2.3.m3.1.1" xref="S6.2.p2.3.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.3.m3.1b"><ci id="S6.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.3.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.3.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.3.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math>-periodic for every <math alttext="n\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.4.m4.1"><semantics id="S6.2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S6.2.p2.4.m4.1.1" xref="S6.2.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S6.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.4.m4.1.1.1" xref="S6.2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S6.2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S6.2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.4.m4.1b"><apply id="S6.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.4.m4.1.1"><in id="S6.2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S6.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.2.p2.4.m4.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S6.2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S6.2.p2.4.m4.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.4.m4.1c">n\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.4.m4.1d">italic_n ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> and <math alttext="|a(p,n)|\leq 1_{p\mid P(n)}+C/p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.5.m5.4"><semantics id="S6.2.p2.5.m5.4a"><mrow id="S6.2.p2.5.m5.4.4" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.cmml"><mrow id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.2.cmml"><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.2" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.2" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.2.p2.5.m5.2.2" xref="S6.2.p2.5.m5.2.2.cmml">p</mi><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.2.p2.5.m5.3.3" xref="S6.2.p2.5.m5.3.3.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.2" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.2.cmml">≤</mo><mrow id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.cmml"><msub id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2.cmml"><mn id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2.2" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.3" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.2" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.2" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mo id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.1" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.3.2" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.1" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.cmml"><mi id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.2" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.1" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.1.cmml">/</mo><mi id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.3" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.5.m5.4b"><apply id="S6.2.p2.5.m5.4.4.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4"><leq id="S6.2.p2.5.m5.4.4.2.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.2"></leq><apply id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.2.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1"><abs id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.2.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.2"></abs><apply id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1"><times id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.2"><ci id="S6.2.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.2.2">𝑝</ci><ci id="S6.2.p2.5.m5.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.3.3">𝑛</ci></interval></apply></apply><apply id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3"><plus id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.1"></plus><apply id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2">subscript</csymbol><cn id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.2.2">1</cn><apply id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4"><times id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.1"></times><ci id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3"><divide id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.1"></divide><ci id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.2">𝐶</ci><ci id="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.5.m5.4.4.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.5.m5.4c">|a(p,n)|\leq 1_{p\mid P(n)}+C/p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.5.m5.4d">| italic_a ( italic_p , italic_n ) | ≤ 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_P ( italic_n ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_C / italic_p</annotation></semantics></math>. Writing <math alttext="W=\prod_{p\leq w}p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.6.m6.1"><semantics id="S6.2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S6.2.p2.6.m6.1.1" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S6.2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S6.2.p2.6.m6.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.cmml"><msub id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.2" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.2" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.1" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.3" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></msub><mi id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.2" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.6.m6.1b"><apply id="S6.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1"><eq id="S6.2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S6.2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3"><apply id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3"><leq id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.1"></leq><ci id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><ci id="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.6.m6.1.1.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.6.m6.1c">W=\prod_{p\leq w}p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.6.m6.1d">italic_W = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_p</annotation></semantics></math>, we now obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx68"> <tbody id="S6.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{d\mid W}A(d,n)," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex1.m1.5"><semantics id="S6.Ex1.m1.5a"><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><munder id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1a" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.3" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex1.m1.1.1" xref="S6.Ex1.m1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex1.m1.2.2" xref="S6.Ex1.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><munder id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1a" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.3" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.3.cmml">W</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex1.m1.3.3" xref="S6.Ex1.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex1.m1.4.4" xref="S6.Ex1.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex1.m1.5.5.1.2" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex1.m1.5b"><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1"><eq id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2"><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2">product</csymbol><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3"><leq id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.1"></leq><ci id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2"><times id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.1"></times><ci id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2"><ci id="S6.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.1.1">𝑝</ci><ci id="S6.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.2.2">𝑛</ci></interval></apply></apply><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3"><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.1"></times><ci id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex1.m1.5.5.1.1.3.2.3.2"><ci id="S6.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S6.Ex1.m1.3.3">𝑑</ci><ci id="S6.Ex1.m1.4.4.cmml" xref="S6.Ex1.m1.4.4">𝑛</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex1.m1.5c">\displaystyle\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{d\mid W}A(d,n),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex1.m1.5d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_W end_POSTSUBSCRIPT italic_A ( italic_d , italic_n ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.2.p2.9">where <math alttext="A(d,n)\coloneqq\prod_{p\mid d}a(p,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.7.m1.4"><semantics id="S6.2.p2.7.m1.4a"><mrow id="S6.2.p2.7.m1.4.5" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.cmml"><mrow id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.1" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.2.p2.7.m1.1.1" xref="S6.2.p2.7.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.2.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.2.p2.7.m1.2.2" xref="S6.2.p2.7.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.1.cmml">≔</mo><mrow id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.cmml"><msub id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.cmml"><mi id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.1" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.3" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mrow id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.cmml"><mi id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.1" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.2.p2.7.m1.3.3" xref="S6.2.p2.7.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.2.2" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.2.p2.7.m1.4.4" xref="S6.2.p2.7.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.7.m1.4b"><apply id="S6.2.p2.7.m1.4.5.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5"><ci id="S6.2.p2.7.m1.4.5.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.1">≔</ci><apply id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2"><times id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.1"></times><ci id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.2">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.2.3.2"><ci id="S6.2.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.1.1">𝑑</ci><ci id="S6.2.p2.7.m1.2.2.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.2.2">𝑛</ci></interval></apply><apply id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3"><apply id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.2">product</csymbol><apply id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2"><times id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.1"></times><ci id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.5.3.2.3.2"><ci id="S6.2.p2.7.m1.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.3.3">𝑝</ci><ci id="S6.2.p2.7.m1.4.4.cmml" xref="S6.2.p2.7.m1.4.4">𝑛</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.7.m1.4c">A(d,n)\coloneqq\prod_{p\mid d}a(p,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.7.m1.4d">italic_A ( italic_d , italic_n ) ≔ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_a ( italic_p , italic_n )</annotation></semantics></math>. The function <math alttext="n\mapsto A(d,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.8.m2.2"><semantics id="S6.2.p2.8.m2.2a"><mrow id="S6.2.p2.8.m2.2.3" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.cmml"><mi id="S6.2.p2.8.m2.2.3.2" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.8.m2.2.3.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.1.cmml">↦</mo><mrow id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.2" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.1" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.2" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.2.p2.8.m2.1.1" xref="S6.2.p2.8.m2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.2.p2.8.m2.2.2" xref="S6.2.p2.8.m2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.8.m2.2b"><apply id="S6.2.p2.8.m2.2.3.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.2.p2.8.m2.2.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.1">maps-to</csymbol><ci id="S6.2.p2.8.m2.2.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3"><times id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.1"></times><ci id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.2">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.2.3.3.3.2"><ci id="S6.2.p2.8.m2.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.1.1">𝑑</ci><ci id="S6.2.p2.8.m2.2.2.cmml" xref="S6.2.p2.8.m2.2.2">𝑛</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.8.m2.2c">n\mapsto A(d,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.8.m2.2d">italic_n ↦ italic_A ( italic_d , italic_n )</annotation></semantics></math> is multiplicative, and for squarefree <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.2.p2.9.m3.1"><semantics id="S6.2.p2.9.m3.1a"><mi id="S6.2.p2.9.m3.1.1" xref="S6.2.p2.9.m3.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.2.p2.9.m3.1b"><ci id="S6.2.p2.9.m3.1.1.cmml" xref="S6.2.p2.9.m3.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.2.p2.9.m3.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.2.p2.9.m3.1d">italic_d</annotation></semantics></math> we have the crude estimate</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx69"> <tbody id="S6.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|A(d,n)|\leq\prod_{\begin{subarray}{c}p\mid d\\ p\mid P(n)\end{subarray}}\left(1+\frac{C}{p}\right)\prod_{\begin{subarray}{c}p% \mid d\\ p\nmid P(n)\end{subarray}}\frac{C}{p}\leq C^{\omega(d)}\prod_{\begin{subarray}% {c}p\mid d\\ p\nmid P(n)\end{subarray}}\frac{1}{p}=\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d}." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex2.m1.11"><semantics id="S6.Ex2.m1.11a"><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex2.m1.9.9" xref="S6.Ex2.m1.9.9.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex2.m1.10.10" xref="S6.Ex2.m1.10.10.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.4" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2.cmml"><munder id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2a" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mtable id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">d</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mo id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3a" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1.cmml"><munder id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1a" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mtable id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">d</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∤</mo><mrow id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mo id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2a" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.3" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.3.cmml">p</mi></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.5" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.cmml"><msup id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S6.Ex2.m1.4.4.1" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.4.4.1.3" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S6.Ex2.m1.4.4.1.2" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.4.4.1.4.2" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.4.4.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex2.m1.4.4.1.1" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex2.m1.4.4.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1.cmml"><munder id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1a" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1.2.cmml">∏</mo><mtable id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1a" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1b" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">d</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1c" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1d" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∤</mo><mrow id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mo id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2a" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.2" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.3" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.3.cmml">p</mi></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.7" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.7.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex2.m1.8.8" xref="S6.Ex2.m1.8.8.cmml"><mfrac id="S6.Ex2.m1.8.8a" xref="S6.Ex2.m1.8.8.cmml"><mrow id="S6.Ex2.m1.8.8.4" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.cmml"><msup id="S6.Ex2.m1.8.8.4.6" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.6.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.8.8.4.6.2" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.6.2.cmml">C</mi><mrow id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S6.Ex2.m1.8.8.4.5" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.5.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.2.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex2.m1.7.7.3.3" xref="S6.Ex2.m1.7.7.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.3" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.2" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.1" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.3.2" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex2.m1.6.6.2.2" xref="S6.Ex2.m1.6.6.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.4" stretchy="false" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S6.Ex2.m1.8.8.6" xref="S6.Ex2.m1.8.8.6.cmml">d</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex2.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex2.m1.11b"><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1"><and id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1a.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1"></and><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1b.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1"><leq id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.4"></leq><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1"><abs id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1"><times id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S6.Ex2.m1.9.9.cmml" xref="S6.Ex2.m1.9.9">𝑑</ci><ci id="S6.Ex2.m1.10.10.cmml" xref="S6.Ex2.m1.10.10">𝑛</ci></interval></apply></apply><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2"><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.2.2">product</csymbol><list id="S6.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1"><times id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.2"></times><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1"><plus id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3"><divide id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3"><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.1.2">product</csymbol><list id="S6.Ex2.m1.2.2.1a.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">not-divides</csymbol><ci id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2"><divide id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2"></divide><ci id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.1.3.2.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1c.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1"><leq id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.5.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Ex2.m1.11.11.1.1.2.cmml" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1d.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1"></share><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6"><times id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.1"></times><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.2.2">𝐶</ci><apply id="S6.Ex2.m1.4.4.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1"><times id="S6.Ex2.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S6.Ex2.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.3">𝜔</ci><ci id="S6.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.4.4.1.1">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3"><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.1.2">product</csymbol><list id="S6.Ex2.m1.3.3.1a.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">not-divides</csymbol><ci id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2"><divide id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2"></divide><cn id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.2">1</cn><ci id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.3.2.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1e.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1"><eq id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.7.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Ex2.m1.11.11.1.1.6.cmml" id="S6.Ex2.m1.11.11.1.1f.cmml" xref="S6.Ex2.m1.11.11.1"></share><apply id="S6.Ex2.m1.8.8.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8"><divide id="S6.Ex2.m1.8.8.5.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8"></divide><apply id="S6.Ex2.m1.8.8.4.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4"><times id="S6.Ex2.m1.8.8.4.5.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.5"></times><apply id="S6.Ex2.m1.8.8.4.6.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex2.m1.8.8.4.6.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.6">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex2.m1.8.8.4.6.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.6.2">𝐶</ci><apply id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1"><times id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.3">𝜔</ci><ci id="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1"><ci id="S6.Ex2.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S6.Ex2.m1.7.7.3.3">𝑑</ci><apply id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1"><times id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.1"></times><ci id="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.4.4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S6.Ex2.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S6.Ex2.m1.6.6.2.2">𝑛</ci></apply></interval></apply><ci id="S6.Ex2.m1.8.8.6.cmml" xref="S6.Ex2.m1.8.8.6">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex2.m1.11c">\displaystyle|A(d,n)|\leq\prod_{\begin{subarray}{c}p\mid d\\ p\mid P(n)\end{subarray}}\left(1+\frac{C}{p}\right)\prod_{\begin{subarray}{c}p% \mid d\\ p\nmid P(n)\end{subarray}}\frac{C}{p}\leq C^{\omega(d)}\prod_{\begin{subarray}% {c}p\mid d\\ p\nmid P(n)\end{subarray}}\frac{1}{p}=\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex2.m1.11d">| italic_A ( italic_d , italic_n ) | ≤ ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_d end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_P ( italic_n ) end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG italic_C end_ARG start_ARG italic_p end_ARG ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_d end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p ∤ italic_P ( italic_n ) end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_C end_ARG start_ARG italic_p end_ARG ≤ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_d end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p ∤ italic_P ( italic_n ) end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p end_ARG = divide start_ARG italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d , italic_P ( italic_n ) ) end_ARG start_ARG italic_d end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S6.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.3.p3.1">Let <math alttext="s=2(\log N)^{1/2}/5" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.3.p3.1.m1.1"><semantics id="S6.3.p3.1.m1.1a"><mrow id="S6.3.p3.1.m1.1.1" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S6.3.p3.1.m1.1.1.2" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.2" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.3" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.3.cmml">5</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.3.p3.1.m1.1b"><apply id="S6.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1"><eq id="S6.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.2"></eq><ci id="S6.3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.3">𝑠</ci><apply id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1"><divide id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1"><times id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.3.p3.1.m1.1.1.1.3">5</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.3.p3.1.m1.1c">s=2(\log N)^{1/2}/5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.3.p3.1.m1.1d">italic_s = 2 ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 5</annotation></semantics></math>. Then we can split</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx70"> <tbody id="S6.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d\leq w^{s}\end{subarray}}A(d,n)+O\Bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d}\Bigg{)}." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex3.m1.11"><semantics id="S6.Ex3.m1.11a"><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.cmml"><munder id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1a" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.3" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex3.m1.7.7" xref="S6.Ex3.m1.7.7.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex3.m1.8.8" xref="S6.Ex3.m1.8.8.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex3.m1.9.9" xref="S6.Ex3.m1.9.9.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex3.m1.10.10" xref="S6.Ex3.m1.10.10.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex3.m1.6.6" xref="S6.Ex3.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S6.Ex3.m1.6.6a" xref="S6.Ex3.m1.6.6.cmml"><mrow id="S6.Ex3.m1.6.6.4" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.cmml"><msup id="S6.Ex3.m1.6.6.4.6" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.6.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.6.6.4.6.2" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.6.2.cmml">C</mi><mrow id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S6.Ex3.m1.6.6.4.5" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.5.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.2.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex3.m1.5.5.3.3" xref="S6.Ex3.m1.5.5.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.3" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.2" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.1" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.3.2" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex3.m1.4.4.2.2" xref="S6.Ex3.m1.4.4.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.4" stretchy="false" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S6.Ex3.m1.6.6.6" xref="S6.Ex3.m1.6.6.6.cmml">d</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex3.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex3.m1.11b"><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1"><eq id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.2"></eq><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3"><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3"><leq id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.1"></leq><ci id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2"><times id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.1"></times><ci id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2"><ci id="S6.Ex3.m1.7.7.cmml" xref="S6.Ex3.m1.7.7">𝑝</ci><ci id="S6.Ex3.m1.8.8.cmml" xref="S6.Ex3.m1.8.8">𝑛</ci></interval></apply></apply><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1"><plus id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.2"></plus><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3"><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.1.2"></sum><list id="S6.Ex3.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></leq><ci id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2"><times id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S6.Ex3.m1.9.9.cmml" xref="S6.Ex3.m1.9.9">𝑑</ci><ci id="S6.Ex3.m1.10.10.cmml" xref="S6.Ex3.m1.10.10">𝑛</ci></interval></apply></apply><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1"><times id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.2"></times><ci id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></sum><list id="S6.Ex3.m1.2.2.1a.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><gt id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1"></gt><ci id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex3.m1.6.6.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6"><divide id="S6.Ex3.m1.6.6.5.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6"></divide><apply id="S6.Ex3.m1.6.6.4.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4"><times id="S6.Ex3.m1.6.6.4.5.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.5"></times><apply id="S6.Ex3.m1.6.6.4.6.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex3.m1.6.6.4.6.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.6">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex3.m1.6.6.4.6.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.6.2">𝐶</ci><apply id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1"><times id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3">𝜔</ci><ci id="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1"><ci id="S6.Ex3.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S6.Ex3.m1.5.5.3.3">𝑑</ci><apply id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1"><times id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.1"></times><ci id="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.4.4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S6.Ex3.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S6.Ex3.m1.4.4.2.2">𝑛</ci></apply></interval></apply><ci id="S6.Ex3.m1.6.6.6.cmml" xref="S6.Ex3.m1.6.6.6">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex3.m1.11c">\displaystyle\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d\leq w^{s}\end{subarray}}A(d,n)+O\Bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d}\Bigg{)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex3.m1.11d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d ≤ italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_A ( italic_d , italic_n ) + italic_O ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d , italic_P ( italic_n ) ) end_ARG start_ARG italic_d end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.3.p3.2">Averaging over <math alttext="n\leq N" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.3.p3.2.m1.1"><semantics id="S6.3.p3.2.m1.1a"><mrow id="S6.3.p3.2.m1.1.1" xref="S6.3.p3.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.3.p3.2.m1.1.1.2" xref="S6.3.p3.2.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.3.p3.2.m1.1.1.1" xref="S6.3.p3.2.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.3.p3.2.m1.1.1.3" xref="S6.3.p3.2.m1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.3.p3.2.m1.1b"><apply id="S6.3.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.2.m1.1.1"><leq id="S6.3.p3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.2.m1.1.1.1"></leq><ci id="S6.3.p3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.3.p3.2.m1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S6.3.p3.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.3.p3.2.m1.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.3.p3.2.m1.1c">n\leq N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.3.p3.2.m1.1d">italic_n ≤ italic_N</annotation></semantics></math> gives</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx71"> <tbody id="S6.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{\begin{subarray}{% c}d\mid W\\ d\leq w^{s}\end{subarray}}\mathbb{E}_{n\leq N}A(d,n)+O\Bigg{(}\mathbb{E}_{n% \leq N}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d}\Bigg{)}." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E3.m1.11"><semantics id="S6.E3.m1.11a"><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.cmml"><msub id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1a" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E3.m1.7.7" xref="S6.E3.m1.7.7.cmml">p</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E3.m1.8.8" xref="S6.E3.m1.8.8.cmml">n</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1a" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.E3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.E3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.E3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.E3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.cmml">A</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1a" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.1.cmml"><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E3.m1.9.9" xref="S6.E3.m1.9.9.cmml">d</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.2.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E3.m1.10.10" xref="S6.E3.m1.10.10.cmml">n</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.E3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S6.E3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S6.E3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S6.E3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S6.E3.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E3.m1.6.6" xref="S6.E3.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S6.E3.m1.6.6a" xref="S6.E3.m1.6.6.cmml"><mrow id="S6.E3.m1.6.6.4" xref="S6.E3.m1.6.6.4.cmml"><msup id="S6.E3.m1.6.6.4.6" xref="S6.E3.m1.6.6.4.6.cmml"><mi id="S6.E3.m1.6.6.4.6.2" xref="S6.E3.m1.6.6.4.6.2.cmml">C</mi><mrow id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.4.2" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S6.E3.m1.6.6.4.5" xref="S6.E3.m1.6.6.4.5.cmml"></mo><mrow id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.2.cmml"><mo id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S6.E3.m1.5.5.3.3" xref="S6.E3.m1.5.5.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.3" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml"><mi id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.2" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.1" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.3.2" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml"><mo id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E3.m1.4.4.2.2" xref="S6.E3.m1.4.4.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.4" stretchy="false" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S6.E3.m1.6.6.6" xref="S6.E3.m1.6.6.6.cmml">d</mi></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E3.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E3.m1.11b"><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1"><eq id="S6.E3.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.2"></eq><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3"><times id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.1"></times><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.2">𝔼</ci><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3"><leq id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.1"></leq><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3"><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.2">product</csymbol><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3"><leq id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.1"></leq><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2"><times id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.3.3.2.3.2"><ci id="S6.E3.m1.7.7.cmml" xref="S6.E3.m1.7.7">𝑝</ci><ci id="S6.E3.m1.8.8.cmml" xref="S6.E3.m1.8.8">𝑛</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1"><plus id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.2"></plus><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3"><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.1.2"></sum><list id="S6.E3.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></leq><ci id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2"><times id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.2">𝔼</ci><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3"><leq id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.1"></leq><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.3">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.3.2.4.2"><ci id="S6.E3.m1.9.9.cmml" xref="S6.E3.m1.9.9">𝑑</ci><ci id="S6.E3.m1.10.10.cmml" xref="S6.E3.m1.10.10">𝑛</ci></interval></apply></apply><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1"><times id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.2"></times><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝔼</ci><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><leq id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2"></sum><list id="S6.E3.m1.2.2.1a.2.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><gt id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1"></gt><ci id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.E3.m1.6.6.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6"><divide id="S6.E3.m1.6.6.5.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6"></divide><apply id="S6.E3.m1.6.6.4.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4"><times id="S6.E3.m1.6.6.4.5.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4.5"></times><apply id="S6.E3.m1.6.6.4.6.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E3.m1.6.6.4.6.1.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4.6">superscript</csymbol><ci id="S6.E3.m1.6.6.4.6.2.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4.6.2">𝐶</ci><apply id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1"><times id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.3">𝜔</ci><ci id="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.3.3.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S6.E3.m1.6.6.4.4.2.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1"><ci id="S6.E3.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S6.E3.m1.5.5.3.3">𝑑</ci><apply id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1"><times id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.1"></times><ci id="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.4.4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S6.E3.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S6.E3.m1.4.4.2.2">𝑛</ci></apply></interval></apply><ci id="S6.E3.m1.6.6.6.cmml" xref="S6.E3.m1.6.6.6">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E3.m1.11c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{\begin{subarray}{% c}d\mid W\\ d\leq w^{s}\end{subarray}}\mathbb{E}_{n\leq N}A(d,n)+O\Bigg{(}\mathbb{E}_{n% \leq N}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d}\Bigg{)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E3.m1.11d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d ≤ italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_A ( italic_d , italic_n ) + italic_O ( blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d , italic_P ( italic_n ) ) end_ARG start_ARG italic_d end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.3.p3.3">Using Rankin’s trick and Mertens’s bound, for any <math alttext="n\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.3.p3.3.m1.1"><semantics id="S6.3.p3.3.m1.1a"><mrow id="S6.3.p3.3.m1.1.2" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.cmml"><mi id="S6.3.p3.3.m1.1.2.2" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.3.p3.3.m1.1.2.1" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.2" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S6.3.p3.3.m1.1.1" xref="S6.3.p3.3.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.3.p3.3.m1.1b"><apply id="S6.3.p3.3.m1.1.2.cmml" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2"><in id="S6.3.p3.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.1"></in><ci id="S6.3.p3.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.3.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S6.3.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.3.m1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.3.p3.3.m1.1c">n\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.3.p3.3.m1.1d">italic_n ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> we can estimate</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx72"> <tbody id="S6.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d}&\leq e^{-s}\sum_{d\mid W% }\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d^{1-1/(\log w)}}\\ &=e^{-s}\prod_{p\leq w}\left(1+\frac{C\cdot(p,P(n))}{p^{1-1/(\log w)}}\right)% \\ &\leq e^{-s}\prod_{p\leq w}\left(1+\frac{Ce\cdot(p,P(n))}{p}\right)\\ &\ll e^{-s}(\log w)^{Ce}(1+Ce)^{\omega(P(n))}\\ &\leq e^{-s}(\log w)^{Ce}\tau(P(n))^{B},\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E4.m1.67"><semantics id="S6.E4.m1.67a"><mtable columnspacing="0pt" id="S6.E4.m1.67.67.6" rowspacing="0pt"><mtr id="S6.E4.m1.67.67.6a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S6.E4.m1.67.67.6b"><mrow id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3a"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3a.4"><munder id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3a.4a"><mo id="S6.E4.m1.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S6.E4.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.cmml"><mfrac id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3a" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.cmml"><msup id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.6" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.6.cmml"><mi id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.6.2" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.6.2.cmml">C</mi><mrow id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.2" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.5" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.5.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.2.cmml"><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.3" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.2" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.1" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.3.2" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.2.2" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.1.4" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.6" xref="S6.E4.m1.3.3.3.3.3.3.6.cmml">d</mi></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E4.m1.67.67.6c"><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a"><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S6.E4.m1.4.4.4.4.1.1" xref="S6.E4.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.8"><msup id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.8.2"><mi id="S6.E4.m1.5.5.5.5.2.2" xref="S6.E4.m1.5.5.5.5.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.E4.m1.6.6.6.6.3.3.1" xref="S6.E4.m1.6.6.6.6.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.6.6.6.6.3.3.1a" xref="S6.E4.m1.6.6.6.6.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E4.m1.6.6.6.6.3.3.1.2" xref="S6.E4.m1.6.6.6.6.3.3.1.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.8.1" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.8.3"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.8.3.1"><munder id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.8.3.1a"><mo id="S6.E4.m1.7.7.7.7.4.4" movablelimits="false" xref="S6.E4.m1.7.7.7.7.4.4.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E4.m1.8.8.8.8.5.5.1" xref="S6.E4.m1.8.8.8.8.5.5.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.8.8.8.8.5.5.1.2" xref="S6.E4.m1.8.8.8.8.5.5.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E4.m1.8.8.8.8.5.5.1.1" xref="S6.E4.m1.8.8.8.8.5.5.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.E4.m1.8.8.8.8.5.5.1.3" xref="S6.E4.m1.8.8.8.8.5.5.1.3.cmml">W</mi></mrow></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.cmml"><mfrac id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6a" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.cmml"><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.cmml"><msup id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.6" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.6.cmml"><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.6.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.6.2.cmml">C</mi><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.3" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.4.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.5" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.5.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.2.cmml"><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.3.3" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.3" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.3.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.2.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.1.4" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.cmml"><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.3" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.3.cmml">d</mi><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.cmml"><mn id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.3" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.3" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6.6.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E4.m1.67.67.6d"><mtd id="S6.E4.m1.67.67.6e" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E4.m1.67.67.6f"><mrow id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11"><mi id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.12" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S6.E4.m1.10.10.10.1.1.1" xref="S6.E4.m1.10.10.10.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.11"><msup id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.11.3"><mi id="S6.E4.m1.11.11.11.2.2.2" xref="S6.E4.m1.11.11.11.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.E4.m1.12.12.12.3.3.3.1" xref="S6.E4.m1.12.12.12.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.12.12.12.3.3.3.1a" xref="S6.E4.m1.12.12.12.3.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E4.m1.12.12.12.3.3.3.1.2" xref="S6.E4.m1.12.12.12.3.3.3.1.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.11.2" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.11.1"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.11.1.2"><munder id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.11.1.2a"><mo id="S6.E4.m1.13.13.13.4.4.4" movablelimits="false" xref="S6.E4.m1.13.13.13.4.4.4.cmml">∏</mo><mrow id="S6.E4.m1.14.14.14.5.5.5.1" xref="S6.E4.m1.14.14.14.5.5.5.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.14.14.14.5.5.5.1.2" xref="S6.E4.m1.14.14.14.5.5.5.1.2.cmml">p</mi><mo id="S6.E4.m1.14.14.14.5.5.5.1.1" xref="S6.E4.m1.14.14.14.5.5.5.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E4.m1.14.14.14.5.5.5.1.3" xref="S6.E4.m1.14.14.14.5.5.5.1.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.11.1.1.1"><mo id="S6.E4.m1.15.15.15.6.6.6" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.63.63.2.62.11.11.11.1.1.1.1"><mn id="S6.E4.m1.16.16.16.7.7.7" xref="S6.E4.m1.16.16.16.7.7.7.cmml">1</mn><mo id="S6.E4.m1.17.17.17.8.8.8" xref="S6.E4.m1.17.17.17.8.8.8.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.cmml"><mfrac id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9a" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.cmml"><mrow id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.cmml"><mi id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.5" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.5.cmml">C</mi><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.4" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.4.cmml">⋅</mo><mrow id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.2.cmml"><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.2.2" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.2.2.cmml">p</mi><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.3" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.2" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.3.2" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.1.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.1.4" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.cmml"><mi id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.3" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.3.cmml">p</mi><mrow id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.cmml"><mn id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.3" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.2" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.3" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.2" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.18.18.18.9.9.9.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.E4.m1.19.19.19.10.10.10" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E4.m1.67.67.6g"><mtd id="S6.E4.m1.67.67.6h" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E4.m1.67.67.6i"><mrow id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11"><mi id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.12" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S6.E4.m1.20.20.20.1.1.1" xref="S6.E4.m1.20.20.20.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.11"><msup id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.11.3"><mi id="S6.E4.m1.21.21.21.2.2.2" xref="S6.E4.m1.21.21.21.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1" xref="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1a" xref="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1.2" xref="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.11.2" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.11.1"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.11.1.2"><munder id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.11.1.2a"><mo id="S6.E4.m1.23.23.23.4.4.4" movablelimits="false" xref="S6.E4.m1.23.23.23.4.4.4.cmml">∏</mo><mrow id="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1" xref="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.2" xref="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.2.cmml">p</mi><mo id="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.1" xref="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.3" xref="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.11.1.1.1"><mo id="S6.E4.m1.25.25.25.6.6.6" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.64.64.3.63.11.11.11.1.1.1.1"><mn id="S6.E4.m1.26.26.26.7.7.7" xref="S6.E4.m1.26.26.26.7.7.7.cmml">1</mn><mo id="S6.E4.m1.27.27.27.8.8.8" xref="S6.E4.m1.27.27.27.8.8.8.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.cmml"><mfrac id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9a" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.cmml"><mrow id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.cmml"><mrow id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.5" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.5.cmml"><mi id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.5.2" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.5.2.cmml">C</mi><mo id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.5.1" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.5.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.5.3" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.5.3.cmml">e</mi></mrow><mo id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.4" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.4.cmml">⋅</mo><mrow id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.2.cmml"><mo id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.2.2" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.2.2.cmml">p</mi><mo id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.3" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.2" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.1" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.3.2" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.1.1" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.1.4" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.5" xref="S6.E4.m1.28.28.28.9.9.9.5.cmml">p</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.E4.m1.29.29.29.10.10.10" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E4.m1.67.67.6j"><mtd id="S6.E4.m1.67.67.6k" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E4.m1.67.67.6l"><mrow id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17"><mi id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.18" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S6.E4.m1.30.30.30.1.1.1" xref="S6.E4.m1.30.30.30.1.1.1.cmml">≪</mo><mrow id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17"><msup id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17.4"><mi id="S6.E4.m1.31.31.31.2.2.2" xref="S6.E4.m1.31.31.31.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.E4.m1.32.32.32.3.3.3.1" xref="S6.E4.m1.32.32.32.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.32.32.32.3.3.3.1a" xref="S6.E4.m1.32.32.32.3.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E4.m1.32.32.32.3.3.3.1.2" xref="S6.E4.m1.32.32.32.3.3.3.1.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17.3" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S6.E4.m1.65.65.4.64.16.16.16.1"><mrow id="S6.E4.m1.65.65.4.64.16.16.16.1.1.1"><mo id="S6.E4.m1.33.33.33.4.4.4" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.65.65.4.64.16.16.16.1.1.1.1"><mi id="S6.E4.m1.34.34.34.5.5.5" xref="S6.E4.m1.34.34.34.5.5.5.cmml">log</mi><mo id="S6.E4.m1.65.65.4.64.16.16.16.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.35.35.35.6.6.6" xref="S6.E4.m1.35.35.35.6.6.6.cmml">w</mi></mrow><mo id="S6.E4.m1.36.36.36.7.7.7" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E4.m1.37.37.37.8.8.8.1" xref="S6.E4.m1.37.37.37.8.8.8.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.37.37.37.8.8.8.1.2" xref="S6.E4.m1.37.37.37.8.8.8.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.E4.m1.37.37.37.8.8.8.1.1" xref="S6.E4.m1.37.37.37.8.8.8.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.37.37.37.8.8.8.1.3" xref="S6.E4.m1.37.37.37.8.8.8.1.3.cmml">e</mi></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17.3a" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17.2"><mrow id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17.2.1.1"><mo id="S6.E4.m1.38.38.38.9.9.9" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17.2.1.1.1"><mn id="S6.E4.m1.39.39.39.10.10.10" xref="S6.E4.m1.39.39.39.10.10.10.cmml">1</mn><mo id="S6.E4.m1.40.40.40.11.11.11" xref="S6.E4.m1.40.40.40.11.11.11.cmml">+</mo><mrow id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17.2.1.1.1.1"><mi id="S6.E4.m1.41.41.41.12.12.12" xref="S6.E4.m1.41.41.41.12.12.12.cmml">C</mi><mo id="S6.E4.m1.66.66.5.65.17.17.17.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.42.42.42.13.13.13" xref="S6.E4.m1.42.42.42.13.13.13.cmml">e</mi></mrow></mrow><mo id="S6.E4.m1.43.43.43.14.14.14" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.4" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.4.cmml">ω</mi><mo id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.3" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.3.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.2" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.1" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.3.2" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.1" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E4.m1.67.67.6m"><mtd id="S6.E4.m1.67.67.6n" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E4.m1.67.67.6o"><mrow id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18"><mrow id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1"><mi id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.3" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S6.E4.m1.45.45.45.1.1.1" xref="S6.E4.m1.45.45.45.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2"><msup id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.4"><mi id="S6.E4.m1.46.46.46.2.2.2" xref="S6.E4.m1.46.46.46.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1" xref="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1a" xref="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1.2" xref="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.3" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.1.1"><mrow id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.1.1.1.1"><mo id="S6.E4.m1.48.48.48.4.4.4" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.E4.m1.49.49.49.5.5.5" xref="S6.E4.m1.49.49.49.5.5.5.cmml">log</mi><mo id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.50.50.50.6.6.6" xref="S6.E4.m1.50.50.50.6.6.6.cmml">w</mi></mrow><mo id="S6.E4.m1.51.51.51.7.7.7" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1" xref="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.cmml"><mi id="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.2" xref="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.1" xref="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.3" xref="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.3.cmml">e</mi></mrow></msup><mo id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.3a" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E4.m1.53.53.53.9.9.9" xref="S6.E4.m1.53.53.53.9.9.9.cmml">τ</mi><mo id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.3b" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.2"><mrow id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.2.1.1"><mo id="S6.E4.m1.54.54.54.10.10.10" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.2.1.1.1"><mi id="S6.E4.m1.55.55.55.11.11.11" xref="S6.E4.m1.55.55.55.11.11.11.cmml">P</mi><mo id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E4.m1.67.67.6.66.18.18.18.1.2.2.1.1.1.2"><mo id="S6.E4.m1.56.56.56.12.12.12" stretchy="false" xref="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E4.m1.57.57.57.13.13.13" 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id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7">superscript</csymbol><ci id="S6.E4.m1.21.21.21.2.2.2.cmml" xref="S6.E4.m1.21.21.21.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1.cmml" xref="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1"><minus id="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1"></minus><ci id="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1.2.cmml" xref="S6.E4.m1.22.22.22.3.3.3.1.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.E4.m1.23.23.23.4.4.4.cmml" xref="S6.E4.m1.23.23.23.4.4.4">product</csymbol><apply id="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.cmml" xref="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1"><leq id="S6.E4.m1.24.24.24.5.5.5.1.1.cmml" 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id="S6.E4.m1.39.39.39.10.10.10.cmml" type="integer" xref="S6.E4.m1.39.39.39.10.10.10">1</cn><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><times id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"></times><ci id="S6.E4.m1.41.41.41.12.12.12.cmml" xref="S6.E4.m1.41.41.41.12.12.12">𝐶</ci><ci id="S6.E4.m1.42.42.42.13.13.13.cmml" xref="S6.E4.m1.42.42.42.13.13.13">𝑒</ci></apply></apply><apply id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.cmml" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1"><times id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.3.cmml" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.3"></times><ci id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.4.cmml" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.4">𝜔</ci><apply id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1"><times id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.1"></times><ci id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.2.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.44.44.44.15.15.15.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1i.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><leq id="S6.E4.m1.45.45.45.1.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.45.45.45.1.1.1"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E4.m1.62.62.1.1.1.4.cmml" id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1j.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"></share><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.6.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><times id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.6.3.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"></times><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.6.4.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.6.4.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7">superscript</csymbol><ci id="S6.E4.m1.46.46.46.2.2.2.cmml" xref="S6.E4.m1.46.46.46.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1.cmml" xref="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1"><minus id="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1"></minus><ci id="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1.2.cmml" xref="S6.E4.m1.47.47.47.3.3.3.1.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.5.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.5.1.2.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7">superscript</csymbol><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><log id="S6.E4.m1.49.49.49.5.5.5.cmml" xref="S6.E4.m1.49.49.49.5.5.5"></log><ci id="S6.E4.m1.50.50.50.6.6.6.cmml" xref="S6.E4.m1.50.50.50.6.6.6">𝑤</ci></apply><apply id="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.cmml" xref="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1"><times id="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.1"></times><ci id="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.2.cmml" xref="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.2">𝐶</ci><ci id="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.3.cmml" xref="S6.E4.m1.52.52.52.8.8.8.1.3">𝑒</ci></apply></apply><ci id="S6.E4.m1.53.53.53.9.9.9.cmml" xref="S6.E4.m1.53.53.53.9.9.9">𝜏</ci><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.6.2.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7">superscript</csymbol><apply id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.6.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"><times id="S6.E4.m1.62.62.1.1.1.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E4.m1.9.9.9.9.6a.7"></times><ci id="S6.E4.m1.55.55.55.11.11.11.cmml" xref="S6.E4.m1.55.55.55.11.11.11">𝑃</ci><ci id="S6.E4.m1.57.57.57.13.13.13.cmml" xref="S6.E4.m1.57.57.57.13.13.13">𝑛</ci></apply><ci id="S6.E4.m1.60.60.60.16.16.16.1.cmml" xref="S6.E4.m1.60.60.60.16.16.16.1">𝐵</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E4.m1.67c">\displaystyle\begin{split}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d}&\leq e^{-s}\sum_{d\mid W% }\frac{C^{\omega(d)}(d,P(n))}{d^{1-1/(\log w)}}\\ &=e^{-s}\prod_{p\leq w}\left(1+\frac{C\cdot(p,P(n))}{p^{1-1/(\log w)}}\right)% \\ &\leq e^{-s}\prod_{p\leq w}\left(1+\frac{Ce\cdot(p,P(n))}{p}\right)\\ &\ll e^{-s}(\log w)^{Ce}(1+Ce)^{\omega(P(n))}\\ &\leq e^{-s}(\log w)^{Ce}\tau(P(n))^{B},\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E4.m1.67d">start_ROW start_CELL ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d , italic_P ( italic_n ) ) end_ARG start_ARG italic_d end_ARG end_CELL start_CELL ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_W end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d , italic_P ( italic_n ) ) end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 1 - 1 / ( roman_log italic_w ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG italic_C ⋅ ( italic_p , italic_P ( italic_n ) ) end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 - 1 / ( roman_log italic_w ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG italic_C italic_e ⋅ ( italic_p , italic_P ( italic_n ) ) end_ARG start_ARG italic_p end_ARG ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log italic_w ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + italic_C italic_e ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω ( italic_P ( italic_n ) ) end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log italic_w ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_e end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ( italic_P ( italic_n ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.3.p3.4">where <math alttext="B=B_{C}=(\log(1+Ce))/(\log 2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.3.p3.4.m1.3"><semantics id="S6.3.p3.4.m1.3a"><mrow id="S6.3.p3.4.m1.3.3" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.cmml"><mi id="S6.3.p3.4.m1.3.3.4" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.4.cmml">B</mi><mo id="S6.3.p3.4.m1.3.3.5" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.5.cmml">=</mo><msub id="S6.3.p3.4.m1.3.3.6" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.cmml"><mi id="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.2" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.2.cmml">B</mi><mi id="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.3" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S6.3.p3.4.m1.3.3.7" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.7.cmml">=</mo><mrow id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.3.p3.4.m1.1.1" xref="S6.3.p3.4.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></mrow></mrow><mo id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.3" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.3.cmml">/</mo><mrow id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"></mo><mn id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">2</mn></mrow><mo id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.3.p3.4.m1.3b"><apply id="S6.3.p3.4.m1.3.3.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3"><and id="S6.3.p3.4.m1.3.3a.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3"></and><apply id="S6.3.p3.4.m1.3.3b.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3"><eq id="S6.3.p3.4.m1.3.3.5.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.5"></eq><ci id="S6.3.p3.4.m1.3.3.4.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.4">𝐵</ci><apply id="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.1.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.6">subscript</csymbol><ci id="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.2.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.2">𝐵</ci><ci id="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.3.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.6.3">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S6.3.p3.4.m1.3.3c.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3"><eq id="S6.3.p3.4.m1.3.3.7.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.3.p3.4.m1.3.3.6.cmml" id="S6.3.p3.4.m1.3.3d.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3"></share><apply id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2"><divide id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.3"></divide><apply id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1"><log id="S6.3.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.1.1"></log><apply id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1"><log id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.1"></log><cn id="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.3.p3.4.m1.3.3.2.2.1.1.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.3.p3.4.m1.3c">B=B_{C}=(\log(1+Ce))/(\log 2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.3.p3.4.m1.3d">italic_B = italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT = ( roman_log ( 1 + italic_C italic_e ) ) / ( roman_log 2 )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.4.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.4.p4.3">An elementary inequality due to Landreau <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> states that there exists <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.4.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.4.p4.1.m1.1a"><mi id="S6.4.p4.1.m1.1.1" xref="S6.4.p4.1.m1.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.4.p4.1.m1.1b"><ci id="S6.4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.1.m1.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.4.p4.1.m1.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.4.p4.1.m1.1d">italic_K</annotation></semantics></math>, depending only on <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.4.p4.2.m2.1"><semantics id="S6.4.p4.2.m2.1a"><mi id="S6.4.p4.2.m2.1.1" xref="S6.4.p4.2.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.4.p4.2.m2.1b"><ci id="S6.4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.2.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.4.p4.2.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.4.p4.2.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, such that for all <math alttext="1\leq n\leq(C+1)N^{2C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.4.p4.3.m3.1"><semantics id="S6.4.p4.3.m3.1a"><mrow id="S6.4.p4.3.m3.1.1" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S6.4.p4.3.m3.1.1.3" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S6.4.p4.3.m3.1.1.4" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.4.cmml">≤</mo><mi id="S6.4.p4.3.m3.1.1.5" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.5.cmml">n</mi><mo id="S6.4.p4.3.m3.1.1.6" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.6.cmml">≤</mo><mrow id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.2" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.2" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.2" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.1" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.3" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.3.cmml">C</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.4.p4.3.m3.1b"><apply id="S6.4.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1"><and id="S6.4.p4.3.m3.1.1a.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1"></and><apply id="S6.4.p4.3.m3.1.1b.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1"><leq id="S6.4.p4.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.4"></leq><cn id="S6.4.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.3">1</cn><ci id="S6.4.p4.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.5">𝑛</ci></apply><apply id="S6.4.p4.3.m3.1.1c.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1"><leq id="S6.4.p4.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.4.p4.3.m3.1.1.5.cmml" id="S6.4.p4.3.m3.1.1d.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1"></share><apply id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1"><times id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1"><plus id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3"><times id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S6.4.p4.3.m3.1.1.1.3.3.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.4.p4.3.m3.1c">1\leq n\leq(C+1)N^{2C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.4.p4.3.m3.1d">1 ≤ italic_n ≤ ( italic_C + 1 ) italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_C end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx73"> <tbody id="S6.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tau(n)^{B}\leq K\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid n\\ d\leq N^{1/10}\end{subarray}}\tau(d)^{K}." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex4.m1.4"><semantics id="S6.Ex4.m1.4a"><mrow id="S6.Ex4.m1.4.4.1" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex4.m1.2.2" xref="S6.Ex4.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">B</mi></msup></mrow><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1a" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">10</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml"></mo><msup id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex4.m1.3.3" xref="S6.Ex4.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3.cmml">K</mi></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex4.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex4.m1.4b"><apply id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1"><leq id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.1"></leq><apply id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2"><times id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.1"></times><ci id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex4.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.2.2">𝑛</ci><ci id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3"><times id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2">𝐾</ci><apply id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3"><apply id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.1.2"></sum><list id="S6.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></leq><ci id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><divide id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1"></divide><cn id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">1</cn><cn id="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3">10</cn></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2"><times id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.2">𝜏</ci><apply id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex4.m1.3.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.3.3">𝑑</ci><ci id="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex4.m1.4c">\displaystyle\tau(n)^{B}\leq K\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid n\\ d\leq N^{1/10}\end{subarray}}\tau(d)^{K}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex4.m1.4d">italic_τ ( italic_n ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_K ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_τ ( italic_d ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.4.p4.7">Using this and the fact (following from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib4" title="">4</a>, Lemma 6.1]</cite>) that the congruence <math alttext="P(x)\equiv 0\pmod{p^{r}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.4.p4.4.m1.3"><semantics id="S6.4.p4.4.m1.3a"><mrow id="S6.4.p4.4.m1.3.4" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.cmml"><mrow id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.2" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.2.cmml">P</mi><mo id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.1" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.3.2" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S6.4.p4.4.m1.3.3" xref="S6.4.p4.4.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.4.p4.4.m1.3.4.1" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.1.cmml">≡</mo><mrow id="S6.4.p4.4.m1.3.4.3" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.3.cmml"><mn id="S6.4.p4.4.m1.3.4.3.2" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.3.2.cmml">0</mn><mspace id="S6.4.p4.4.m1.3.4.3a" width="0.949em" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.3.cmml"></mspace><mrow id="S6.4.p4.4.m1.2.2.2.2" xref="S6.4.p4.4.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S6.4.p4.4.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S6.4.p4.4.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.4.p4.4.m1.2.2.2.2.1" xref="S6.4.p4.4.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S6.4.p4.4.m1.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S6.4.p4.4.m1.2.2.3.1.cmml">mod</mo><msup id="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1" xref="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S6.4.p4.4.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.4.p4.4.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.4.p4.4.m1.3b"><apply id="S6.4.p4.4.m1.3.4.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4"><equivalent id="S6.4.p4.4.m1.3.4.1.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.1"></equivalent><apply id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2"><times id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.2.2">𝑃</ci><ci id="S6.4.p4.4.m1.3.3.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="S6.4.p4.4.m1.3.4.3.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.4.p4.4.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.3">annotated</csymbol><cn id="S6.4.p4.4.m1.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.4.p4.4.m1.3.4.3.2">0</cn><apply id="S6.4.p4.4.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.2.2.2.2"><ci id="S6.4.p4.4.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.2.2.2.2.2">pmod</ci><apply id="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.4.p4.4.m1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.4.p4.4.m1.3c">P(x)\equiv 0\pmod{p^{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.4.p4.4.m1.3d">italic_P ( italic_x ) ≡ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> has at most <math alttext="\min\{Cp^{r-1},Cp^{r(1-1/C)}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.4.p4.5.m2.4"><semantics id="S6.4.p4.5.m2.4a"><mrow id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.3.cmml"><mi id="S6.4.p4.5.m2.2.2" xref="S6.4.p4.5.m2.2.2.cmml">min</mi><mo id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2a" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.3.cmml"></mo><mrow id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.3.cmml"><mo id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.3.cmml">{</mo><mrow id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">r</mi><mo id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.4" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.1" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3.2" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.3" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.2" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">C</mi></mrow></mrow><mo id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.4.p4.5.m2.4b"><apply id="S6.4.p4.5.m2.4.4.3.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2"><min id="S6.4.p4.5.m2.2.2.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.2.2"></min><apply id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1"><times id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.2">𝑝</ci><apply id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3"><minus id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.2">𝑟</ci><cn id="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.4.p4.5.m2.3.3.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2"><times id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.1"></times><ci id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.4.4.2.2.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1"><times id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.3">𝑟</ci><apply id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.4.p4.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.4.p4.5.m2.4c">\min\{Cp^{r-1},Cp^{r(1-1/C)}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.4.p4.5.m2.4d">roman_min { italic_C italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r ( 1 - 1 / italic_C ) end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> solutions for any prime <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.4.p4.6.m3.1"><semantics id="S6.4.p4.6.m3.1a"><mi id="S6.4.p4.6.m3.1.1" xref="S6.4.p4.6.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.4.p4.6.m3.1b"><ci id="S6.4.p4.6.m3.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.6.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.4.p4.6.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.4.p4.6.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math> and <math alttext="r\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.4.p4.7.m4.1"><semantics id="S6.4.p4.7.m4.1a"><mrow id="S6.4.p4.7.m4.1.1" xref="S6.4.p4.7.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.4.p4.7.m4.1.1.2" xref="S6.4.p4.7.m4.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S6.4.p4.7.m4.1.1.1" xref="S6.4.p4.7.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.4.p4.7.m4.1.1.3" xref="S6.4.p4.7.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.4.p4.7.m4.1b"><apply id="S6.4.p4.7.m4.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.7.m4.1.1"><geq id="S6.4.p4.7.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.4.p4.7.m4.1.1.1"></geq><ci id="S6.4.p4.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.4.p4.7.m4.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S6.4.p4.7.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.4.p4.7.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.4.p4.7.m4.1c">r\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.4.p4.7.m4.1d">italic_r ≥ 1</annotation></semantics></math>, we see that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx74"> <tbody id="S6.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}\mathbb{E}_{n\leq N}\tau(P(n))^{B}&\ll_{C}\sum_{d% \leq N^{1/10}}\tau(d)^{K}\mathbb{E}_{n\leq N}1_{d\mid P(n)}\\ &\ll\sum_{d\geq 1}d^{-1/(\log N)}\tau(d)^{K}\mathbb{E}_{n\leq N}1_{d\mid P(n)}% \\ &\ll\prod_{p}\left(1+O_{C}(p^{-1-1/\log N})\right)\\ &\ll_{C}(\log N)^{O_{C}(1)}\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E5.m1.63"><semantics id="S6.E5.m1.63a"><mtable columnspacing="0pt" id="S6.E5.m1.63.63.6" rowspacing="0pt" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mtr id="S6.E5.m1.63.63.6a" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S6.E5.m1.63.63.6b" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mrow id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><msub id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.13" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S6.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S6.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S6.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S6.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S6.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><mi id="S6.E5.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S6.E5.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12a" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><msup id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.11" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mrow id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.11.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">(</mo><mrow id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.11.1.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S6.E5.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">P</mi><mo id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.11.1.1.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><mrow id="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.11.1.1.1.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">(</mo><mi id="S6.E5.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S6.E5.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">n</mi><mo id="S6.E5.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E5.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E5.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S6.E5.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">B</mi></msup></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E5.m1.63.63.6c" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mrow id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.15" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mi><msub id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.14" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.11.11.11.11.1.1" xref="S6.E5.m1.11.11.11.11.1.1.cmml">≪</mo><mi id="S6.E5.m1.12.12.12.12.2.2.1" xref="S6.E5.m1.12.12.12.12.2.2.1.cmml">C</mi></msub><mrow id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><munder id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.1a" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.13.13.13.13.3.3" movablelimits="false" xref="S6.E5.m1.13.13.13.13.3.3.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.cmml"><mi id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.2" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.1" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.2" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.3" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.3.cmml"><mn id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.3.2" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.3.1" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.3.3" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.3.3.cmml">10</mn></mrow></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.15.15.15.15.5.5" xref="S6.E5.m1.15.15.15.15.5.5.cmml">τ</mi><mo id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.2.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><msup id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.2.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mrow id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.2.2.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.16.16.16.16.6.6" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">(</mo><mi id="S6.E5.m1.17.17.17.17.7.7" xref="S6.E5.m1.17.17.17.17.7.7.cmml">d</mi><mo id="S6.E5.m1.18.18.18.18.8.8" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E5.m1.19.19.19.19.9.9.1" xref="S6.E5.m1.19.19.19.19.9.9.1.cmml">K</mi></msup><mo id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.2.1a" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><msub id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.2.3" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.20.20.20.20.10.10" xref="S6.E5.m1.20.20.20.20.10.10.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E5.m1.21.21.21.21.11.11.1" xref="S6.E5.m1.21.21.21.21.11.11.1.cmml"><mi id="S6.E5.m1.21.21.21.21.11.11.1.2" xref="S6.E5.m1.21.21.21.21.11.11.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E5.m1.21.21.21.21.11.11.1.1" xref="S6.E5.m1.21.21.21.21.11.11.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E5.m1.21.21.21.21.11.11.1.3" xref="S6.E5.m1.21.21.21.21.11.11.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.2.1b" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><msub id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13a.16.2.4" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mn id="S6.E5.m1.22.22.22.22.12.12" xref="S6.E5.m1.22.22.22.22.12.12.cmml">1</mn><mrow id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.cmml"><mi id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.3" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.3.cmml">d</mi><mo id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.2" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.cmml"><mi id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.2" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.2.cmml">P</mi><mo id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.1" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.3.2" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.cmml"><mo id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.cmml">(</mo><mi id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.1" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E5.m1.63.63.6d" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mtd id="S6.E5.m1.63.63.6e" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E5.m1.63.63.6f" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mrow id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.15" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mi><mo id="S6.E5.m1.24.24.24.1.1.1" xref="S6.E5.m1.24.24.24.1.1.1.cmml">≪</mo><mrow id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><munder id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.1a" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.25.25.25.2.2.2" movablelimits="false" xref="S6.E5.m1.25.25.25.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E5.m1.26.26.26.3.3.3.1" xref="S6.E5.m1.26.26.26.3.3.3.1.cmml"><mi id="S6.E5.m1.26.26.26.3.3.3.1.2" xref="S6.E5.m1.26.26.26.3.3.3.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E5.m1.26.26.26.3.3.3.1.1" xref="S6.E5.m1.26.26.26.3.3.3.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.E5.m1.26.26.26.3.3.3.1.3" xref="S6.E5.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.cmml">1</mn></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><msup id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.27.27.27.4.4.4" xref="S6.E5.m1.27.27.27.4.4.4.cmml">d</mi><mrow id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.cmml"><mo id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1a" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.cmml"><mn id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.3" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.2" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.28.28.28.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><mi id="S6.E5.m1.29.29.29.6.6.6" xref="S6.E5.m1.29.29.29.6.6.6.cmml">τ</mi><mo id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.1a" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><msup id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.3" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mrow id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.3.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.30.30.30.7.7.7" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">(</mo><mi id="S6.E5.m1.31.31.31.8.8.8" xref="S6.E5.m1.31.31.31.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S6.E5.m1.32.32.32.9.9.9" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E5.m1.33.33.33.10.10.10.1" xref="S6.E5.m1.33.33.33.10.10.10.1.cmml">K</mi></msup><mo id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.1b" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><msub id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.4" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.34.34.34.11.11.11" xref="S6.E5.m1.34.34.34.11.11.11.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1" xref="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1.cmml"><mi id="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1.2" xref="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1.1" xref="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1.3" xref="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.1c" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><msub id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14a.16.2.5" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mn id="S6.E5.m1.36.36.36.13.13.13" xref="S6.E5.m1.36.36.36.13.13.13.cmml">1</mn><mrow id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.cmml"><mi id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.3" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.3.cmml">d</mi><mo id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.2" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.cmml"><mi id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.2" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.2.cmml">P</mi><mo id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.1" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.3.2" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.cmml"><mo id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.cmml">(</mo><mi id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.1" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E5.m1.63.63.6g" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mtd id="S6.E5.m1.63.63.6h" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E5.m1.63.63.6i" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mrow id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.15" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mi><mo id="S6.E5.m1.38.38.38.1.1.1" xref="S6.E5.m1.38.38.38.1.1.1.cmml">≪</mo><mrow id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><munder id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.2a" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.39.39.39.2.2.2" movablelimits="false" xref="S6.E5.m1.39.39.39.2.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S6.E5.m1.40.40.40.3.3.3.1" xref="S6.E5.m1.40.40.40.3.3.3.1.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.41.41.41.4.4.4" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">(</mo><mrow id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.1.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mn id="S6.E5.m1.42.42.42.5.5.5" xref="S6.E5.m1.42.42.42.5.5.5.cmml">1</mn><mo id="S6.E5.m1.43.43.43.6.6.6" xref="S6.E5.m1.43.43.43.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.1.1.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><msub id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.1.1.1.1.3" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.44.44.44.7.7.7" xref="S6.E5.m1.44.44.44.7.7.7.cmml">O</mi><mi id="S6.E5.m1.45.45.45.8.8.8.1" xref="S6.E5.m1.45.45.45.8.8.8.1.cmml">C</mi></msub><mo id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.1.1.1.1.2" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><mrow id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mo id="S6.E5.m1.46.46.46.9.9.9" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">(</mo><msup id="S6.E5.m1.62.62.5.59.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.47.47.47.10.10.10" xref="S6.E5.m1.47.47.47.10.10.10.cmml">p</mi><mrow id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.cmml"><mrow id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2.cmml"><mo id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2a" 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id="S6.E5.m1.63.63.6.60.8.8.8.1.1.1" xref="S6.E5.m1.60.60.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.54.54.54.4.4.4" xref="S6.E5.m1.54.54.54.4.4.4.cmml">log</mi><mo id="S6.E5.m1.63.63.6.60.8.8.8.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml"></mo><mi id="S6.E5.m1.55.55.55.5.5.5" xref="S6.E5.m1.55.55.55.5.5.5.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.E5.m1.56.56.56.6.6.6" stretchy="false" xref="S6.E5.m1.60.60.3a.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.cmml"><msub id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.cmml"><mi id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.2" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.3" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.2" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.4.2" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.cmml"><mo id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.4.2.1" stretchy="false" 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id="S6.E5.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S6.E5.m1.5.5.5.5.5.5">𝑃</ci><ci id="S6.E5.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="S6.E5.m1.7.7.7.7.7.7">𝑛</ci></apply><ci id="S6.E5.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S6.E5.m1.10.10.10.10.10.10.1">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S6.E5.m1.60.60.3.6.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><apply id="S6.E5.m1.60.60.3.6.1.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.60.60.3.6.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12">subscript</csymbol><sum id="S6.E5.m1.13.13.13.13.3.3.cmml" xref="S6.E5.m1.13.13.13.13.3.3"></sum><apply id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.cmml" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1"><leq id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.1"></leq><ci id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.2.cmml" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.cmml" xref="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.14.14.14.14.4.4.1.3.1.cmml" 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id="S6.E5.m1.22.22.22.22.12.12.cmml" type="integer" xref="S6.E5.m1.22.22.22.22.12.12">1</cn><apply id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.cmml" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.2.cmml" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.2">conditional</csymbol><ci id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.3.cmml" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.3">𝑑</ci><apply id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.cmml" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4"><times id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.1.cmml" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.1"></times><ci id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.2.cmml" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.23.23.23.23.13.13.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E5.m1.60.60.3c.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="latexml" id="S6.E5.m1.24.24.24.1.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.24.24.24.1.1.1">much-less-than</csymbol><share 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xref="S6.E5.m1.35.35.35.12.12.12.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S6.E5.m1.60.60.3.8.2.6.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.60.60.3.8.2.6.1.cmml" xref="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12">subscript</csymbol><cn id="S6.E5.m1.36.36.36.13.13.13.cmml" type="integer" xref="S6.E5.m1.36.36.36.13.13.13">1</cn><apply id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.cmml" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.2.cmml" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.2">conditional</csymbol><ci id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.3.cmml" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.3">𝑑</ci><apply id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.cmml" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4"><times id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.1.cmml" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.1"></times><ci id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.2.cmml" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.37.37.37.14.14.14.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E5.m1.60.60.3e.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="latexml" id="S6.E5.m1.38.38.38.1.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.38.38.38.1.1.1">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E5.m1.60.60.3.8.cmml" id="S6.E5.m1.60.60.3f.cmml" xref="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12"></share><apply id="S6.E5.m1.59.59.2.2.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><apply id="S6.E5.m1.59.59.2.2.2.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.59.59.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.E5.m1.39.39.39.2.2.2.cmml" xref="S6.E5.m1.39.39.39.2.2.2">product</csymbol><ci id="S6.E5.m1.40.40.40.3.3.3.1.cmml" xref="S6.E5.m1.40.40.40.3.3.3.1">𝑝</ci></apply><apply id="S6.E5.m1.59.59.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><plus id="S6.E5.m1.43.43.43.6.6.6.cmml" xref="S6.E5.m1.43.43.43.6.6.6"></plus><cn id="S6.E5.m1.42.42.42.5.5.5.cmml" type="integer" xref="S6.E5.m1.42.42.42.5.5.5">1</cn><apply id="S6.E5.m1.59.59.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><times id="S6.E5.m1.59.59.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"></times><apply id="S6.E5.m1.59.59.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.59.59.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6">subscript</csymbol><ci id="S6.E5.m1.44.44.44.7.7.7.cmml" xref="S6.E5.m1.44.44.44.7.7.7">𝑂</ci><ci id="S6.E5.m1.45.45.45.8.8.8.1.cmml" xref="S6.E5.m1.45.45.45.8.8.8.1">𝐶</ci></apply><apply id="S6.E5.m1.59.59.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.59.59.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6">superscript</csymbol><ci id="S6.E5.m1.47.47.47.10.10.10.cmml" xref="S6.E5.m1.47.47.47.10.10.10">𝑝</ci><apply id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1"><minus id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.1"></minus><apply id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2"><minus id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2.1.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2"></minus><cn id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.2.2">1</cn></apply><apply id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3"><divide id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.1.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.1"></divide><cn id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.2">1</cn><apply id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.3.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.3"><log id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.3.1"></log><ci id="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E5.m1.48.48.48.11.11.11.1.3.3.2">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E5.m1.60.60.3g.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><apply id="S6.E5.m1.60.60.3.10.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.60.60.3.10.1.cmml" xref="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.E5.m1.51.51.51.1.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.51.51.51.1.1.1">much-less-than</csymbol><ci id="S6.E5.m1.52.52.52.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E5.m1.52.52.52.2.2.2.1">𝐶</ci></apply><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E5.m1.59.59.2.2.cmml" id="S6.E5.m1.60.60.3h.cmml" xref="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12"></share><apply id="S6.E5.m1.60.60.3.3.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.60.60.3.3.2.cmml" xref="S6.E5.m1.61.61.4.58.24.11.12">superscript</csymbol><apply id="S6.E5.m1.60.60.3.3.1.1.1.cmml" xref="S6.E5.m1.63.63.6"><log id="S6.E5.m1.54.54.54.4.4.4.cmml" xref="S6.E5.m1.54.54.54.4.4.4"></log><ci id="S6.E5.m1.55.55.55.5.5.5.cmml" xref="S6.E5.m1.55.55.55.5.5.5">𝑁</ci></apply><apply id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.cmml" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1"><times id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.2.cmml" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.2"></times><apply id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.cmml" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.1.cmml" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.2.cmml" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.3.cmml" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.3.3">𝐶</ci></apply><cn id="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.E5.m1.57.57.57.7.7.7.1.1">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E5.m1.63c">\displaystyle\begin{split}\mathbb{E}_{n\leq N}\tau(P(n))^{B}&\ll_{C}\sum_{d% \leq N^{1/10}}\tau(d)^{K}\mathbb{E}_{n\leq N}1_{d\mid P(n)}\\ &\ll\sum_{d\geq 1}d^{-1/(\log N)}\tau(d)^{K}\mathbb{E}_{n\leq N}1_{d\mid P(n)}% \\ &\ll\prod_{p}\left(1+O_{C}(p^{-1-1/\log N})\right)\\ &\ll_{C}(\log N)^{O_{C}(1)}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E5.m1.63d">start_ROW start_CELL blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_τ ( italic_P ( italic_n ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 10 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_τ ( italic_d ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_P ( italic_n ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d ≥ 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / ( roman_log italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ( italic_d ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_P ( italic_n ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT - 1 - 1 / roman_log italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.4.p4.8">by a standard bound for moments of the divisor function.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.5.p5"> <p class="ltx_p" id="S6.5.p5.10">Combining (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E3" title="In Proof. ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.3</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E4" title="In Proof. ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.4</span></a>),(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E5" title="In Proof. ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.5</span></a>), we see that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx75"> <tbody id="S6.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{\begin{subarray}{% c}d\mid W\\ d\leq w^{s}\end{subarray}}\mathbb{E}_{n\leq N}A(d,n)+O_{C}(\exp(-(\log N)^{1/2% }/10))," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E6.m1.7"><semantics id="S6.E6.m1.7a"><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.3" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1a" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.3" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E6.m1.2.2" xref="S6.E6.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E6.m1.3.3" xref="S6.E6.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1a" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.E6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.E6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.E6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.E6.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi 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xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.1"></leq><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3"><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.2">product</csymbol><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3"><leq id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.1"></leq><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2"><times id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.2"><ci id="S6.E6.m1.2.2.cmml" xref="S6.E6.m1.2.2">𝑝</ci><ci id="S6.E6.m1.3.3.cmml" xref="S6.E6.m1.3.3">𝑛</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1"><plus id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.2"></plus><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3"><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.2"></sum><list id="S6.E6.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></leq><ci id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2"><times id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2">𝔼</ci><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3"><leq id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.1"></leq><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.3">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.4.2"><ci id="S6.E6.m1.4.4.cmml" xref="S6.E6.m1.4.4">𝑑</ci><ci id="S6.E6.m1.5.5.cmml" xref="S6.E6.m1.5.5">𝑛</ci></interval></apply></apply><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1"><times id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3">𝐶</ci></apply><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="S6.E6.m1.6.6.cmml" xref="S6.E6.m1.6.6"></exp><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">10</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E6.m1.7c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{\begin{subarray}{% c}d\mid W\\ d\leq w^{s}\end{subarray}}\mathbb{E}_{n\leq N}A(d,n)+O_{C}(\exp(-(\log N)^{1/2% }/10)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E6.m1.7d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d ≤ italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_A ( italic_d , italic_n ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 10 ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.5.p5.1">Since <math alttext="d\leq N^{2/5}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.1.m1.1"><semantics id="S6.5.p5.1.m1.1a"><mrow id="S6.5.p5.1.m1.1.1" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.5.p5.1.m1.1.1.2" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.1.m1.1.1.1" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mrow id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">5</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.5.p5.1.m1.1b"><apply id="S6.5.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1"><leq id="S6.5.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S6.5.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3"><divide id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.1"></divide><cn id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.2">2</cn><cn id="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.5.p5.1.m1.1.1.3.3.3">5</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.1.m1.1c">d\leq N^{2/5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.1.m1.1d">italic_d ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 2 / 5 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in the above sum, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx76"> <tbody id="S6.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}A(d,n)=\widetilde{A}(d)+O(N^{-3/5+o(1)})," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex5.m1.5"><semantics id="S6.Ex5.m1.5a"><mrow id="S6.Ex5.m1.5.5.1" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.3.1" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.3.3" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">A</mi><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.1a" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex5.m1.2.2" xref="S6.Ex5.m1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.2.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex5.m1.3.3" xref="S6.Ex5.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.2.1" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mo 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id="S6.Ex5.m1.1.1.1.3a" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">5</mn></mrow></mrow><mo id="S6.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex5.m1.1.1.1.4" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.2.cmml">o</mi><mo id="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.3.2" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex5.m1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S6.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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<math alttext="\widetilde{A}(d)\coloneqq\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}}A(d,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.2.m1.3"><semantics id="S6.5.p5.2.m1.3a"><mrow id="S6.5.p5.2.m1.3.4" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.cmml"><mrow id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.1" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.1" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.3.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.2.m1.1.1" xref="S6.5.p5.2.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.1" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.1.cmml">≔</mo><mrow id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.cmml"><msub id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.cmml"><mi id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.1" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.1" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.3" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.1" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.3" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.1" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.3" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.3.cmml">A</mi><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.1a" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.1.cmml"><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.2.m1.2.2" xref="S6.5.p5.2.m1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.2.2" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S6.5.p5.2.m1.3.3" xref="S6.5.p5.2.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.5.p5.2.m1.3b"><apply id="S6.5.p5.2.m1.3.4.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4"><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.1">≔</ci><apply id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2"><times id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2"><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.1">~</ci><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S6.5.p5.2.m1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.1.1">𝑑</ci></apply><apply id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3"><times id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.1"></times><apply id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.2">𝔼</ci><apply id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3"><in id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.1"></in><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3"><times id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.1"></times><apply id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2"><divide id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.1"></divide><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.2.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.3">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.1.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.4.3.4.2"><ci id="S6.5.p5.2.m1.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.2.2">𝑑</ci><ci id="S6.5.p5.2.m1.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.2.m1.3.3">𝑛</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.2.m1.3c">\widetilde{A}(d)\coloneqq\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}}A(d,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.2.m1.3d">over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_d ) ≔ blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_d blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT italic_A ( italic_d , italic_n )</annotation></semantics></math>. From the <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.3.m2.1"><semantics id="S6.5.p5.3.m2.1a"><mi id="S6.5.p5.3.m2.1.1" xref="S6.5.p5.3.m2.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.5.p5.3.m2.1b"><ci id="S6.5.p5.3.m2.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.3.m2.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.3.m2.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.3.m2.1d">italic_d</annotation></semantics></math>-periodicity of <math alttext="n\mapsto A(d,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.4.m3.2"><semantics id="S6.5.p5.4.m3.2a"><mrow id="S6.5.p5.4.m3.2.3" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.4.m3.2.3.2" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.4.m3.2.3.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.1.cmml">↦</mo><mrow id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.2" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.1" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.2" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.4.m3.1.1" xref="S6.5.p5.4.m3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.2.2" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.5.p5.4.m3.2.2" xref="S6.5.p5.4.m3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.5.p5.4.m3.2b"><apply id="S6.5.p5.4.m3.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.5.p5.4.m3.2.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.1">maps-to</csymbol><ci id="S6.5.p5.4.m3.2.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3"><times id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.2">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.2.3.3.3.2"><ci id="S6.5.p5.4.m3.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.1.1">𝑑</ci><ci id="S6.5.p5.4.m3.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.4.m3.2.2">𝑛</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.4.m3.2c">n\mapsto A(d,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.4.m3.2d">italic_n ↦ italic_A ( italic_d , italic_n )</annotation></semantics></math> and the multiplicativity of <math alttext="d\mapsto A(d,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.5.m4.2"><semantics id="S6.5.p5.5.m4.2a"><mrow id="S6.5.p5.5.m4.2.3" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.5.m4.2.3.2" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.5.m4.2.3.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.1.cmml">↦</mo><mrow id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.2" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.1" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.2" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.5.m4.1.1" xref="S6.5.p5.5.m4.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.2.2" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.5.p5.5.m4.2.2" xref="S6.5.p5.5.m4.2.2.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.5.p5.5.m4.2b"><apply id="S6.5.p5.5.m4.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.5.p5.5.m4.2.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.1">maps-to</csymbol><ci id="S6.5.p5.5.m4.2.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3"><times id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.1"></times><ci id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.2">𝐴</ci><interval closure="open" id="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.2.3.3.3.2"><ci id="S6.5.p5.5.m4.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.1.1">𝑑</ci><ci id="S6.5.p5.5.m4.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.5.m4.2.2">𝑛</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.5.m4.2c">d\mapsto A(d,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.5.m4.2d">italic_d ↦ italic_A ( italic_d , italic_n )</annotation></semantics></math>, we see that <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.6.m5.1"><semantics id="S6.5.p5.6.m5.1a"><mover accent="true" id="S6.5.p5.6.m5.1.1" xref="S6.5.p5.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S6.5.p5.6.m5.1.1.2" xref="S6.5.p5.6.m5.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S6.5.p5.6.m5.1.1.1" xref="S6.5.p5.6.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.5.p5.6.m5.1b"><apply id="S6.5.p5.6.m5.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.6.m5.1.1"><ci id="S6.5.p5.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.6.m5.1.1.1">~</ci><ci id="S6.5.p5.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.5.p5.6.m5.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.6.m5.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.6.m5.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> is a multiplicative function. Moreover, since <math alttext="|A(d,n)|\leq C^{\omega(d)}(d,P(n))/d" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.7.m6.7"><semantics id="S6.5.p5.7.m6.7a"><mrow id="S6.5.p5.7.m6.7.7" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.cmml"><mrow id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.2.cmml"><mo id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.2" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.1" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.3.2" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.7.m6.2.2" xref="S6.5.p5.7.m6.2.2.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.5.p5.7.m6.3.3" xref="S6.5.p5.7.m6.3.3.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.5.p5.7.m6.6.6.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.5.p5.7.m6.7.7.3" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.3.cmml">≤</mo><mrow id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.cmml"><mrow id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.cmml"><msup id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3.2" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.cmml"><mi id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.3" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.2" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.4.2" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.cmml"><mo id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.1" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.2" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.7.m6.5.5" xref="S6.5.p5.7.m6.5.5.cmml">d</mi><mo id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.3" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.2" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.1" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.7.m6.4.4" xref="S6.5.p5.7.m6.4.4.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.3.2.2" 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id="S6.5.p5.7.m6.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.2.2">𝑑</ci><ci id="S6.5.p5.7.m6.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.3.3">𝑛</ci></interval></apply></apply><apply id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2"><divide id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.2"></divide><apply id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1"><times id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.2.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.2"></times><apply id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.3.2">𝐶</ci><apply id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1"><times id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.2"></times><ci id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.3">𝜔</ci><ci id="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.2.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1"><ci id="S6.5.p5.7.m6.5.5.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.5.5">𝑑</ci><apply id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1"><times id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S6.5.p5.7.m6.4.4.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.4.4">𝑛</ci></apply></interval></apply><ci id="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.7.m6.7.7.2.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.7.m6.7c">|A(d,n)|\leq C^{\omega(d)}(d,P(n))/d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.7.m6.7d">| italic_A ( italic_d , italic_n ) | ≤ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d , italic_P ( italic_n ) ) / italic_d</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="|\widetilde{A}(d)|\leq C^{\omega(d)}\prod_{p\mid d}\left(C+1-C/p\right)\leq(C+% 1)^{2\omega(d)}." class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex6.m1.4"><semantics id="S6.Ex6.m1.4a"><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex6.m1.3.3" xref="S6.Ex6.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.5" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msup id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S6.Ex6.m1.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex6.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S6.Ex6.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex6.m1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex6.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex6.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><munder id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3.cmml">d</mi></mrow></munder><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.6" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.6.cmml">≤</mo><msup id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.Ex6.m1.2.2.1" xref="S6.Ex6.m1.2.2.1.cmml"><mn id="S6.Ex6.m1.2.2.1.3" 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id="S6.Ex6.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1"><times id="S6.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S6.Ex6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.3">𝜔</ci><ci id="S6.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1"><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.2">product</csymbol><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><minus id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2"><plus id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3"><divide id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1"></divide><ci id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1c.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1"><leq id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Ex6.m1.4.4.1.1.2.cmml" id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1"></share><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1"><plus id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1"></plus><ci id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex6.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S6.Ex6.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex6.m1.2.2.1"><times id="S6.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex6.m1.2.2.1.2"></times><cn id="S6.Ex6.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex6.m1.2.2.1.3">2</cn><ci id="S6.Ex6.m1.2.2.1.4.cmml" 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ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{d\mid W}% \widetilde{A}(d)+O\Bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{(C+1)^{2\omega(d)}}{d}\Bigg{)}+O_{C}(\exp(-(\log N% )^{1/2}/10))." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E7.m1.8"><semantics id="S6.E7.m1.8a"><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.cmml"><msub id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.3.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.3.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.3.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.cmml"><munder id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1a" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.3.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.3.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.3.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.3.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.3.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.3.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E7.m1.4.4" xref="S6.E7.m1.4.4.cmml">p</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.3.2.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E7.m1.5.5" xref="S6.E7.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.4.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.cmml"><munder id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1a" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.3.cmml">W</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.3.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.cmml">(</mo><mi id="S6.E7.m1.6.6" xref="S6.E7.m1.6.6.cmml">d</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.E7.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E7.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.E7.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.E7.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.E7.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E7.m1.3.3" xref="S6.E7.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S6.E7.m1.3.3a" xref="S6.E7.m1.3.3.cmml"><msup id="S6.E7.m1.3.3.2" xref="S6.E7.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S6.E7.m1.3.3.2.2.1" xref="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">ω</mi><mo id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.5.2" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mi id="S6.E7.m1.3.3.4" xref="S6.E7.m1.3.3.4.cmml">d</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.3a" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><msub id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E7.m1.7.7" xref="S6.E7.m1.7.7.cmml">exp</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">10</mn></mrow></mrow><mo id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.3.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2"><times id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.1"></times><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2"><ci id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.1">~</ci><ci id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.4.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S6.E7.m1.6.6.cmml" xref="S6.E7.m1.6.6">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1"><times id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2"></times><ci id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></sum><list id="S6.E7.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" 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id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.3.3">𝐶</ci></apply><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1"><exp id="S6.E7.m1.7.7.cmml" xref="S6.E7.m1.7.7"></exp><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E7.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">10</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E7.m1.8c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{p\leq w}f(p,n)=\sum_{d\mid W}% \widetilde{A}(d)+O\Bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{(C+1)^{2\omega(d)}}{d}\Bigg{)}+O_{C}(\exp(-(\log N% )^{1/2}/10)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E7.m1.8d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_W end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_d ) + italic_O ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ( italic_C + 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_ω ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d end_ARG ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 10 ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.5.p5.12">The sum in the error term can be bounded using e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib4" title="">4</a>, Lemma 7.5]</cite>, which yields</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx78"> <tbody id="S6.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\frac{(C+1)^{2\omega(d)}}{d}\ll_{C}e^{-s/4}\ll\exp(-(% \log N)^{1/2}/10)." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E8.m1.5"><semantics id="S6.E8.m1.5a"><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.3" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><munder id="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1a" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.E8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.E8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.E8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.E8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.E8.m1.3.3" xref="S6.E8.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S6.E8.m1.3.3a" xref="S6.E8.m1.3.3.cmml"><msup id="S6.E8.m1.3.3.2" xref="S6.E8.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S6.E8.m1.3.3.2.2.1" xref="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.E8.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">ω</mi><mo id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.5.2" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S6.E8.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mi id="S6.E8.m1.3.3.4" xref="S6.E8.m1.3.3.4.cmml">d</mi></mfrac></mstyle></mrow><msub id="S6.E8.m1.5.5.1.1.4" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">≪</mo><mi id="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.3" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.3.cmml">C</mi></msub><msup id="S6.E8.m1.5.5.1.1.5" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.cmml"><mi id="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.2" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.cmml"><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3a" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.cmml">−</mo><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.2" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.2.2" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.2.2.cmml">s</mi><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.2.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.2.3" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.cmml">4</mn></mrow></mrow></msup><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.6" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.6.cmml">≪</mo><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E8.m1.4.4" xref="S6.E8.m1.4.4.cmml">exp</mi><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1a" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">10</mn></mrow></mrow><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E8.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E8.m1.5b"><apply id="S6.E8.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1"><and id="S6.E8.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1"></and><apply id="S6.E8.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1"><apply id="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.4">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.2">much-less-than</csymbol><ci id="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.3.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.4.3">𝐶</ci></apply><apply id="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.3"><apply id="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.E8.m1.5.5.1.1.3.1.2"></sum><list id="S6.E8.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" 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italic_s / 4 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 10 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.5.p5.8">By the multiplicativity of <math alttext="\widetilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.8.m1.1"><semantics id="S6.5.p5.8.m1.1a"><mover accent="true" id="S6.5.p5.8.m1.1.1" xref="S6.5.p5.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.5.p5.8.m1.1.1.2" xref="S6.5.p5.8.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S6.5.p5.8.m1.1.1.1" xref="S6.5.p5.8.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.5.p5.8.m1.1b"><apply id="S6.5.p5.8.m1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.8.m1.1.1"><ci id="S6.5.p5.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.8.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S6.5.p5.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.5.p5.8.m1.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.8.m1.1c">\widetilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.8.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math>, the main term on the right-hand side of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E7" title="In Proof. ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.7</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx79"> <tbody id="S6.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{p\leq w}\left(1+\widetilde{A}(p)\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex7.m1.2"><semantics id="S6.Ex7.m1.2a"><mrow id="S6.Ex7.m1.2.2.1" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml"><munder id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2a" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex7.m1.1.1" xref="S6.Ex7.m1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex7.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex7.m1.2b"><apply id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1"><apply id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3"><leq id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1"><plus id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><times id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S6.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S6.Ex7.m1.1.1">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex7.m1.2c">\displaystyle\prod_{p\leq w}\left(1+\widetilde{A}(p)\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex7.m1.2d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_p ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.5.p5.9">The claim (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E2" title="In Proof. ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.2</span></a>) now follows by noting that <math alttext="1+\widetilde{A}(p)=1+\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}a(p,n)=\mathbb{E}_% {n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}f(p,n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.5.p5.9.m1.5"><semantics id="S6.5.p5.9.m1.5a"><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.cmml"><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.cmml"><mn id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.2.cmml">1</mn><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.cmml"><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.3.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.cmml"><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.1.1" xref="S6.5.p5.9.m1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.cmml"><mn id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.2.cmml">1</mn><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.cmml"><msub id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.cmml"><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.3.cmml">a</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.1a" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.1.cmml"><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.3.3" xref="S6.5.p5.9.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.5" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.5.cmml">=</mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.cmml"><msub id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.cmml"><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.cmml"><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.cmml"><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.cmml"><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.1" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.1.cmml"></mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.3" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.3.cmml">f</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.1a" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.1.cmml"></mo><mrow id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.1.cmml"><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.1.cmml">(</mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.4.4" xref="S6.5.p5.9.m1.4.4.cmml">p</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.2.2" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.1.cmml">,</mo><mi id="S6.5.p5.9.m1.5.5" xref="S6.5.p5.9.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.2.3" stretchy="false" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.5.p5.9.m1.5b"><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6"><and id="S6.5.p5.9.m1.5.6a.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6"></and><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6b.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6"><eq id="S6.5.p5.9.m1.5.6.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.3"></eq><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2"><plus id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.1"></plus><cn id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.2">1</cn><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3"><times id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.1"></times><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2"><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.1">~</ci><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.2.3.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S6.5.p5.9.m1.1.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.1.1">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4"><plus id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.1"></plus><cn id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.2.cmml" type="integer" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.2">1</cn><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3"><times id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.1"></times><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.2">𝔼</ci><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3"><in id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.1"></in><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3"><times id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.1"></times><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2"><divide id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.1"></divide><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.2.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.3">𝑎</ci><interval closure="open" id="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.4.3.4.2"><ci id="S6.5.p5.9.m1.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.2.2">𝑝</ci><ci id="S6.5.p5.9.m1.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.3.3">𝑛</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6c.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6"><eq id="S6.5.p5.9.m1.5.6.5.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.5.p5.9.m1.5.6.4.cmml" id="S6.5.p5.9.m1.5.6d.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6"></share><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6"><times id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.1"></times><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2">subscript</csymbol><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.2">𝔼</ci><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3"><in id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.1"></in><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3"><times id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.1"></times><apply id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2"><divide id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.1"></divide><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.2.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.2.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.3.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.3">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.1.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.6.6.4.2"><ci id="S6.5.p5.9.m1.4.4.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.4.4">𝑝</ci><ci id="S6.5.p5.9.m1.5.5.cmml" xref="S6.5.p5.9.m1.5.5">𝑛</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.5.p5.9.m1.5c">1+\widetilde{A}(p)=1+\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}a(p,n)=\mathbb{E}_% {n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}f(p,n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.5.p5.9.m1.5d">1 + over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_p ) = 1 + blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT italic_a ( italic_p , italic_n ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_p , italic_n )</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="S6.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem2.1.1.1">Corollary 6.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem2.2.2"> </span>(A factorisation lemma for correlations)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S6.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.Thmtheorem2.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6">Let <math alttext="k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> and <math alttext="C\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1"><geq id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">C\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">italic_C ≥ 1</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="N\geq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1"><geq id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1"></geq><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1c">N\geq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1d">italic_N ≥ 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="w_{1},\ldots,w_{k},Q\leq\exp((\log N)^{1/2}/100)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6a"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.cmml"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.3.cmml"><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.4" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.5" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.3.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.3.3.cmml">Q</mi></mrow><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.4" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.4.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.2.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1a" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.2.cmml"><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.3.cmml">100</mn></mrow><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6b"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6"><leq id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.4.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.4"></leq><list id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.2">…</ci><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.5.5.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.3.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.3.3">𝑄</ci></list><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1"><exp id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1"></exp><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1"><divide id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.2"></divide><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1"><log id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3"><divide id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6.6.3.1.1.1.3">100</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6c">w_{1},\ldots,w_{k},Q\leq\exp((\log N)^{1/2}/100)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.6d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 100 )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="W_{j}=\prod_{p\leq w_{j}}p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></msub><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1"><eq id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3"><leq id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.1"></leq><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1c">W_{j}=\prod_{p\leq w_{j}}p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="a_{1},\ldots,a_{k}\in[-N^{C},N^{C}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5a"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.cmml"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.3.cmml"><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">a</mi><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.4" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.5" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.5.cmml">∈</mo><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.3.cmml"><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.3" stretchy="false" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.3.cmml">[</mo><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.cmml"><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1a" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.cmml">−</mo><msup id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.2.cmml">N</mi><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.3.cmml">C</mi></msup></mrow><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.4" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.3.cmml">,</mo><msup id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.3.cmml">C</mi></msup><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.5" stretchy="false" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5b"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5"><in id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.5.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.5"></in><list id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1">…</ci><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><interval closure="closed" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1"><minus id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1"></minus><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.1.1.2.3">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5.5.4.2.2.3">𝐶</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5c">a_{1},\ldots,a_{k}\in[-N^{C},N^{C}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.5d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ - italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT , italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> be integers. Then we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx80"> <tbody id="S6.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(% Qn+a_{j})\\ &\quad=\prod_{p}\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_% {(p,W_{j})}(Qn+a_{j})+O_{C,k}(\exp(-(\log N)^{1/2}/10)),\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E9.m1.51"><semantics id="S6.E9.m1.51a"><mtable columnspacing="0pt" id="S6.E9.m1.51.51.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S6.E9.m1.51.51.3a"><mtd id="S6.E9.m1.51.51.3b" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E9.m1.51.51.3c"><mrow id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15"><msub id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.17"><mi id="S6.E9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S6.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S6.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S6.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S6.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S6.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.16" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.2"><munderover id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.2a"><mo id="S6.E9.m1.3.3.3.3.3.3" movablelimits="false" xref="S6.E9.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">∏</mo><mrow id="S6.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S6.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml"><mi id="S6.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.2" xref="S6.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.cmml">j</mi><mo id="S6.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.1" xref="S6.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.3" xref="S6.E9.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S6.E9.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S6.E9.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.1"><msub id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.1.3"><mi id="S6.E9.m1.6.6.6.6.6.6" mathvariant="normal" xref="S6.E9.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">Λ</mi><msub id="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mi id="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.2" xref="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">W</mi><mi id="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.3" xref="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.1.2" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.1.1.1"><mo id="S6.E9.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.1.1.1.1"><mrow id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.1.1.1.1.1"><mi id="S6.E9.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S6.E9.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">Q</mi><mo id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E9.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S6.E9.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">n</mi></mrow><mo id="S6.E9.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S6.E9.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">+</mo><msub id="S6.E9.m1.50.50.2.49.15.15.15.1.1.1.1.2"><mi id="S6.E9.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S6.E9.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">a</mi><mi id="S6.E9.m1.13.13.13.13.13.13.1" xref="S6.E9.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S6.E9.m1.14.14.14.14.14.14" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E9.m1.51.51.3d"><mtd id="S6.E9.m1.51.51.3e" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E9.m1.51.51.3f"><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35"><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1"><mi id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.3" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S6.E9.m1.15.15.15.1.1.1" lspace="1.278em" xref="S6.E9.m1.15.15.15.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2"><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.2"><munder id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.2a"><mo id="S6.E9.m1.16.16.16.2.2.2" movablelimits="false" xref="S6.E9.m1.16.16.16.2.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S6.E9.m1.17.17.17.3.3.3.1" xref="S6.E9.m1.17.17.17.3.3.3.1.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1"><msub id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.3"><mi id="S6.E9.m1.18.18.18.4.4.4" xref="S6.E9.m1.18.18.18.4.4.4.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.cmml"><mi id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.2" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.1" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.cmml"><mrow id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.cmml"><mi id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.2" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.1" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.3" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.1" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.3" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.2" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.2"><munderover id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.2a"><mo id="S6.E9.m1.20.20.20.6.6.6" movablelimits="false" xref="S6.E9.m1.20.20.20.6.6.6.cmml">∏</mo><mrow id="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1" xref="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.cmml"><mi id="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.2" xref="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.2.cmml">j</mi><mo id="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.1" xref="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.3" xref="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S6.E9.m1.22.22.22.8.8.8.1" xref="S6.E9.m1.22.22.22.8.8.8.1.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.1"><msub id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S6.E9.m1.23.23.23.9.9.9" mathvariant="normal" xref="S6.E9.m1.23.23.23.9.9.9.cmml">Λ</mi><mrow id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.3.cmml"><mo id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.2" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.1" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.3" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.3.cmml">,</mo><msub id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.cmml"><mi id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.2" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.2.cmml">W</mi><mi id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.3" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.4" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.E9.m1.25.25.25.11.11.11" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.E9.m1.26.26.26.12.12.12" xref="S6.E9.m1.26.26.26.12.12.12.cmml">Q</mi><mo id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E9.m1.27.27.27.13.13.13" xref="S6.E9.m1.27.27.27.13.13.13.cmml">n</mi></mrow><mo id="S6.E9.m1.28.28.28.14.14.14" xref="S6.E9.m1.28.28.28.14.14.14.cmml">+</mo><msub id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S6.E9.m1.29.29.29.15.15.15" xref="S6.E9.m1.29.29.29.15.15.15.cmml">a</mi><mi id="S6.E9.m1.30.30.30.16.16.16.1" xref="S6.E9.m1.30.30.30.16.16.16.1.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S6.E9.m1.31.31.31.17.17.17" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E9.m1.32.32.32.18.18.18" xref="S6.E9.m1.32.32.32.18.18.18.cmml">+</mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2"><msub id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.3"><mi id="S6.E9.m1.33.33.33.19.19.19" xref="S6.E9.m1.33.33.33.19.19.19.cmml">O</mi><mrow id="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.4" xref="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.3.cmml"><mi id="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.1" xref="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.1.cmml">C</mi><mo id="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.4.1" xref="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.3.cmml">,</mo><mi id="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.2" xref="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.2" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1"><mo id="S6.E9.m1.35.35.35.21.21.21" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1"><mi id="S6.E9.m1.36.36.36.22.22.22" xref="S6.E9.m1.36.36.36.22.22.22.cmml">exp</mi><mo id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1a" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="S6.E9.m1.37.37.37.23.23.23" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><msup id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S6.E9.m1.39.39.39.25.25.25" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S6.E9.m1.40.40.40.26.26.26" xref="S6.E9.m1.40.40.40.26.26.26.cmml">log</mi><mo id="S6.E9.m1.51.51.3.50.35.35.35.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.E9.m1.41.41.41.27.27.27" xref="S6.E9.m1.41.41.41.27.27.27.cmml">N</mi></mrow><mo id="S6.E9.m1.42.42.42.28.28.28" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1" xref="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.cmml"><mn id="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.2" xref="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.2.cmml">1</mn><mo id="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.1" xref="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.1.cmml">/</mo><mn id="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.3" xref="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E9.m1.44.44.44.30.30.30" xref="S6.E9.m1.44.44.44.30.30.30.cmml">/</mo><mn id="S6.E9.m1.45.45.45.31.31.31" xref="S6.E9.m1.45.45.45.31.31.31.cmml">10</mn></mrow></mrow><mo id="S6.E9.m1.46.46.46.32.32.32" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E9.m1.47.47.47.33.33.33" stretchy="false" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E9.m1.48.48.48.34.34.34" xref="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E9.m1.51b"><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><eq id="S6.E9.m1.15.15.15.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.15.15.15.1.1.1"></eq><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><times id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"></times><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.3.1.cmml" 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xref="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.2">𝑊</ci><ci id="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.7.7.7.7.7.7.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><plus id="S6.E9.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S6.E9.m1.11.11.11.11.11.11"></plus><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><times id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"></times><ci id="S6.E9.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S6.E9.m1.9.9.9.9.9.9">𝑄</ci><ci id="S6.E9.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" xref="S6.E9.m1.10.10.10.10.10.10">𝑛</ci></apply><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b">subscript</csymbol><ci id="S6.E9.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S6.E9.m1.12.12.12.12.12.12">𝑎</ci><ci id="S6.E9.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml" 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id="S6.E9.m1.18.18.18.4.4.4.cmml" xref="S6.E9.m1.18.18.18.4.4.4">𝔼</ci><apply id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1"><in id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.1"></in><ci id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.2">𝑛</ci><apply id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3"><times id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.1.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.1"></times><apply id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2"><divide id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.1"></divide><ci id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.3.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.3.cmml" xref="S6.E9.m1.19.19.19.5.5.5.1.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b">superscript</csymbol><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.E9.m1.20.20.20.6.6.6.cmml" xref="S6.E9.m1.20.20.20.6.6.6">product</csymbol><apply id="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.cmml" xref="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1"><eq id="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.1"></eq><ci id="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.2">𝑗</ci><cn id="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E9.m1.21.21.21.7.7.7.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E9.m1.22.22.22.8.8.8.1.cmml" xref="S6.E9.m1.22.22.22.8.8.8.1">𝑘</ci></apply><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><times id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"></times><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b">subscript</csymbol><ci id="S6.E9.m1.23.23.23.9.9.9.cmml" xref="S6.E9.m1.23.23.23.9.9.9">Λ</ci><interval closure="open" id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2"><ci id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.1">𝑝</ci><apply id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.cmml" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.2">𝑊</ci><ci id="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.24.24.24.10.10.10.1.2.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><plus id="S6.E9.m1.28.28.28.14.14.14.cmml" xref="S6.E9.m1.28.28.28.14.14.14"></plus><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><times id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"></times><ci id="S6.E9.m1.26.26.26.12.12.12.cmml" xref="S6.E9.m1.26.26.26.12.12.12">𝑄</ci><ci id="S6.E9.m1.27.27.27.13.13.13.cmml" xref="S6.E9.m1.27.27.27.13.13.13">𝑛</ci></apply><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b">subscript</csymbol><ci id="S6.E9.m1.29.29.29.15.15.15.cmml" xref="S6.E9.m1.29.29.29.15.15.15">𝑎</ci><ci id="S6.E9.m1.30.30.30.16.16.16.1.cmml" xref="S6.E9.m1.30.30.30.16.16.16.1">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><times id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"></times><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b">subscript</csymbol><ci id="S6.E9.m1.33.33.33.19.19.19.cmml" xref="S6.E9.m1.33.33.33.19.19.19">𝑂</ci><list id="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.3.cmml" xref="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.4"><ci id="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.1">𝐶</ci><ci id="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.34.34.34.20.20.20.1.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><exp id="S6.E9.m1.36.36.36.22.22.22.cmml" xref="S6.E9.m1.36.36.36.22.22.22"></exp><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><minus id="S6.E9.m1.38.38.38.24.24.24.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"></minus><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><divide id="S6.E9.m1.44.44.44.30.30.30.cmml" xref="S6.E9.m1.44.44.44.30.30.30"></divide><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b">superscript</csymbol><apply id="S6.E9.m1.49.49.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.51.51.3b"><log id="S6.E9.m1.40.40.40.26.26.26.cmml" xref="S6.E9.m1.40.40.40.26.26.26"></log><ci id="S6.E9.m1.41.41.41.27.27.27.cmml" xref="S6.E9.m1.41.41.41.27.27.27">𝑁</ci></apply><apply id="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.cmml" xref="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1"><divide id="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.1.cmml" xref="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.1"></divide><cn id="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.2">1</cn><cn id="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E9.m1.43.43.43.29.29.29.1.3">2</cn></apply></apply><cn id="S6.E9.m1.45.45.45.31.31.31.cmml" type="integer" xref="S6.E9.m1.45.45.45.31.31.31">10</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E9.m1.51c">\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\leq N}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(% Qn+a_{j})\\ &\quad=\prod_{p}\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_% {(p,W_{j})}(Qn+a_{j})+O_{C,k}(\exp(-(\log N)^{1/2}/10)),\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E9.m1.51d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q italic_n + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q italic_n + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 10 ) ) , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.Thmtheorem2.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3">where <math alttext="\Lambda_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1a"><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1b"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.2">Λ</ci><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1c">\Lambda_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.7.1.m1.1d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1a"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1b"><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.8.2.m2.1d">italic_p</annotation></semantics></math> prime is as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.E3" title="In Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>) and <math alttext="\Lambda_{1}\coloneqq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1"><semantics id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.1.cmml">≔</mo><mn id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1b"><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1"><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.1">≔</ci><apply id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.2">Λ</ci><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1c">\Lambda_{1}\coloneqq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem2.p1.9.3.m3.1d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≔ 1</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S6.6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S6.6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.6.p1.5">This follows from Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem1" title="Proposition 6.1 (A local-to-global principle for mean values). ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a>, taking <math alttext="f(p,n)=\prod_{j=1}^{k}1_{(p,W_{j})\nmid Qn+a_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.6.p1.1.m1.4"><semantics id="S6.6.p1.1.m1.4a"><mrow id="S6.6.p1.1.m1.4.5" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.2" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.2.cmml">f</mi><mo id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.1" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.2" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.6.p1.1.m1.3.3" xref="S6.6.p1.1.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.2.2" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.6.p1.1.m1.4.4" xref="S6.6.p1.1.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.6.p1.1.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.cmml"><msubsup id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.2" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.2" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.1" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.3" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.3" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.3.cmml">k</mi></msubsup><msub id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2.cmml"><mn id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2.2" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S6.6.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.6.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∤</mo><mrow id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml"><mrow id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1.cmml"></mo><mi id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">+</mo><msub id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">a</mi><mi id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.3" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.6.p1.1.m1.4b"><apply id="S6.6.p1.1.m1.4.5.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5"><eq id="S6.6.p1.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.1"></eq><apply id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2"><times id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.1"></times><ci id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.2.3.2"><ci id="S6.6.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.3.3">𝑝</ci><ci id="S6.6.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.4">𝑛</ci></interval></apply><apply id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3"><apply id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3"><eq id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2">subscript</csymbol><cn id="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.6.p1.1.m1.4.5.3.2.2">1</cn><apply id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.3">not-divides</csymbol><interval closure="open" id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1"><ci id="S6.6.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply></interval><apply id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4"><plus id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.1"></plus><apply id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2"><times id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1"></times><ci id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.2">𝑄</ci><ci id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.2">𝑎</ci><ci id="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S6.6.p1.1.m1.2.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.6.p1.1.m1.4c">f(p,n)=\prod_{j=1}^{k}1_{(p,W_{j})\nmid Qn+a_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.6.p1.1.m1.4d">italic_f ( italic_p , italic_n ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ∤ italic_Q italic_n + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> there (and multiplying both sides of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.E9" title="In Corollary 6.2 (A factorisation lemma for correlations). ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.9</span></a>) by <math alttext="\prod_{p}\prod_{j=1}^{k}\frac{\varphi((p,W_{j}))}{(p,W_{j})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.6.p1.2.m2.4"><semantics id="S6.6.p1.2.m2.4a"><mrow id="S6.6.p1.2.m2.4.5" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.cmml"><msub id="S6.6.p1.2.m2.4.5.1" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.cmml"><mo id="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.2" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.3" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.3.cmml">p</mi></msub><mrow id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.cmml"><msubsup id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml"><mo id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.2" lspace="0.167em" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.cmml"><mi id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.2" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.1" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.3" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.3" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.3.cmml">k</mi></msubsup><mfrac id="S6.6.p1.2.m2.4.4" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.4.cmml">φ</mi><mo id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.6.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S6.6.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.3.cmml"><mo id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S6.6.p1.2.m2.3.3.3.1" xref="S6.6.p1.2.m2.3.3.3.1.cmml">p</mi><mo id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.3" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.cmml"><mi id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.2" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.2.cmml">W</mi><mi id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.3" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.4" stretchy="false" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.6.p1.2.m2.4b"><apply id="S6.6.p1.2.m2.4.5.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5"><apply id="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.2">product</csymbol><ci id="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.3.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2"><apply id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1">superscript</csymbol><apply id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.2">product</csymbol><apply id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3"><eq id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.3.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.5.2.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S6.6.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4"><divide id="S6.6.p1.2.m2.4.4.5.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4"></divide><apply id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2"><times id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.3"></times><ci id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.4.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.4">𝜑</ci><interval closure="open" id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1"><ci id="S6.6.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply><interval closure="open" id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.3.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2"><ci id="S6.6.p1.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.3.3.3.1">𝑝</ci><apply id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.2">𝑊</ci><ci id="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.3.cmml" xref="S6.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.6.p1.2.m2.4c">\prod_{p}\prod_{j=1}^{k}\frac{\varphi((p,W_{j}))}{(p,W_{j})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.6.p1.2.m2.4d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_φ ( ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ) end_ARG start_ARG ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math>). Properties (1)–(3) required of <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.6.p1.3.m3.1"><semantics id="S6.6.p1.3.m3.1a"><mi id="S6.6.p1.3.m3.1.1" xref="S6.6.p1.3.m3.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.6.p1.3.m3.1b"><ci id="S6.6.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.3.m3.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.6.p1.3.m3.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.6.p1.3.m3.1d">italic_f</annotation></semantics></math> in Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem1" title="Proposition 6.1 (A local-to-global principle for mean values). ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a> are immediate (with <math alttext="C\ll_{k}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.6.p1.4.m4.1"><semantics id="S6.6.p1.4.m4.1a"><mrow id="S6.6.p1.4.m4.1.1" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.6.p1.4.m4.1.1.2" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.2.cmml">C</mi><msub id="S6.6.p1.4.m4.1.1.1" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.cmml"><mo id="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.2" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.2.cmml">≪</mo><mi id="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.3" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mn id="S6.6.p1.4.m4.1.1.3" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.6.p1.4.m4.1b"><apply id="S6.6.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1"><apply id="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.2">much-less-than</csymbol><ci id="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S6.6.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S6.6.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.6.p1.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.6.p1.4.m4.1c">C\ll_{k}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.6.p1.4.m4.1d">italic_C ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="P(y)=\prod_{j=1}^{k}(Qy+a_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.6.p1.5.m5.2"><semantics id="S6.6.p1.5.m5.2a"><mrow id="S6.6.p1.5.m5.2.2" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.cmml"><mi id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.2" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.1" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.3.2" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.cmml"><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S6.6.p1.5.m5.1.1" xref="S6.6.p1.5.m5.1.1.cmml">y</mi><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.2" rspace="0.111em" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.cmml"><msubsup id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.2" rspace="0em" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.2" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.1" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.3" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.3" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.3.cmml">k</mi></msubsup><mrow id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.6.p1.5.m5.2b"><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2"><eq id="S6.6.p1.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.2"></eq><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3"><times id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.1"></times><ci id="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S6.6.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.1.1">𝑦</ci></apply><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1"><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3"><eq id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><plus id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2"><times id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑦</ci></apply><apply id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.6.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.6.p1.5.m5.2c">P(y)=\prod_{j=1}^{k}(Qy+a_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.6.p1.5.m5.2d">italic_P ( italic_y ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q italic_y + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.1">We end this section by proving a lemma that bounds the moments of a sum that arises as an error term when truncating the definition of <math alttext="\Lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.p2.1.m1.1a"><msub id="S6.p2.1.m1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S6.p2.1.m1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mi id="S6.p2.1.m1.1.1.3" xref="S6.p2.1.m1.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.1.m1.1b"><apply id="S6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.2">Λ</ci><ci id="S6.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.1.m1.1c">\Lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.1.m1.1d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This will be needed in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7" title="7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S6.Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem3.1.1.1">Lemma 6.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S6.Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.Thmtheorem3.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5">Let <math alttext="C\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1"><geq id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1c">C\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1d">italic_C ≥ 1</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="w\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1"><geq id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1c">w\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1d">italic_w ≥ 2</annotation></semantics></math> and write <math alttext="W=\prod_{p\leq w}p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.2" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.2" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.3" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></msub><mi id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1"><eq id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3"><apply id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3"><leq id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.1"></leq><ci id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><ci id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1c">W=\prod_{p\leq w}p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1d">italic_W = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_p</annotation></semantics></math>. Then for any <math alttext="N\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1"><geq id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.1"></geq><ci id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1c">N\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1d">italic_N ≥ 2</annotation></semantics></math> and <math alttext="s\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1"><geq id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1"></geq><ci id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1c">s\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1d">italic_s ≥ 1</annotation></semantics></math> we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx81"> <tbody id="S6.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n\leq N}\Bigg{|}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\mu(d)1_{d\mid n}\Bigg{|}^{C}\ll_{C}Ne^{-s}(\log w)^{2^{% C+4}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex8.m1.3"><semantics id="S6.Ex8.m1.3a"><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><munder id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><msup id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex8.m1.2.2" xref="S6.Ex8.m1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msub id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mn id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></msup></mrow><msub id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">C</mi></msub><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"></mo><msup id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3.cmml"><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3a" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2a" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"></mo><msup id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.2" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.1" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.3" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.3.cmml">4</mn></mrow></msup></msup></mrow></mrow><mo id="S6.Ex8.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex8.m1.3b"><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1"><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.3.3">𝐶</ci></apply><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3"><leq id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><abs id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></sum><list id="S6.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><gt id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></gt><ci id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S6.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><cn id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">1</cn><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2"><times id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2"></times><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3">𝑁</ci><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3"><minus id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3"></minus><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.4.3.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><log id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><cn id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.2">2</cn><apply id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3"><plus id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.1"></plus><ci id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.2">𝐶</ci><cn id="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex8.m1.3c">\displaystyle\sum_{n\leq N}\Bigg{|}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\mu(d)1_{d\mid n}\Bigg{|}^{C}\ll_{C}Ne^{-s}(\log w)^{2^{% C+4}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex8.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_d ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_n end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT italic_N italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log italic_w ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_C + 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S6.8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S6.7.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.7.p1.2">Let <math alttext="2\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.7.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.7.p1.1.m1.1a"><mrow id="S6.7.p1.1.m1.1.1" xref="S6.7.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.7.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.7.p1.1.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.7.p1.1.m1.1.1.1" xref="S6.7.p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.7.p1.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S6.7.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ℓ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.7.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.7.p1.1.m1.1.1"><times id="S6.7.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.7.p1.1.m1.1.1.1"></times><cn id="S6.7.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.7.p1.1.m1.1.1.2">2</cn><ci id="S6.7.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.7.p1.1.m1.1.1.3">ℓ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.7.p1.1.m1.1c">2\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.7.p1.1.m1.1d">2 roman_ℓ</annotation></semantics></math> be the least even integer that is <math alttext="\geq C" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.7.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.7.p1.2.m2.1a"><mrow id="S6.7.p1.2.m2.1.1" xref="S6.7.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.7.p1.2.m2.1.1.2" xref="S6.7.p1.2.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S6.7.p1.2.m2.1.1.1" xref="S6.7.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="S6.7.p1.2.m2.1.1.3" xref="S6.7.p1.2.m2.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.7.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.7.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.7.p1.2.m2.1.1"><geq id="S6.7.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.7.p1.2.m2.1.1.1"></geq><csymbol cd="latexml" id="S6.7.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.7.p1.2.m2.1.1.2">absent</csymbol><ci id="S6.7.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.7.p1.2.m2.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.7.p1.2.m2.1c">\geq C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.7.p1.2.m2.1d">≥ italic_C</annotation></semantics></math>. Then, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx82"> <tbody id="S6.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\Bigg{|}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\mu(d)1_{d\mid n}\Bigg{|}^{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex9.m1.3"><semantics id="S6.Ex9.m1.3a"><mrow id="S6.Ex9.m1.3.3" xref="S6.Ex9.m1.3.3.cmml"><msub id="S6.Ex9.m1.3.3.3" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex9.m1.3.3.3.2" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.Ex9.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.1" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.2" xref="S6.Ex9.m1.3.3.2.cmml"></mo><msup id="S6.Ex9.m1.3.3.1" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex9.m1.2.2" xref="S6.Ex9.m1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msub id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.cmml"><mn id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S6.Ex9.m1.3.3.1.3" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.3.cmml">C</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex9.m1.3b"><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3"><times id="S6.Ex9.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.2"></times><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex9.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.2">𝔼</ci><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.3"><leq id="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.1"></leq><ci id="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1"><abs id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2"></abs><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></sum><list id="S6.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><gt id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></gt><ci id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S6.Ex9.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><cn id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.2">1</cn><apply id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S6.Ex9.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S6.Ex9.m1.3.3.1.3">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex9.m1.3c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N}\Bigg{|}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W\\ d>w^{s}\end{subarray}}\mu(d)1_{d\mid n}\Bigg{|}^{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex9.m1.3d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_d ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_n end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\mathbb{E}_{n\leq N}\Bigg{|}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W% \\ d>w^{s}\end{subarray}}\mu(d)1_{d\mid n}\Bigg{|}^{2\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex9.m2.3"><semantics id="S6.Ex9.m2.3a"><mrow id="S6.Ex9.m2.3.3" xref="S6.Ex9.m2.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex9.m2.3.3.3" xref="S6.Ex9.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S6.Ex9.m2.3.3.2" xref="S6.Ex9.m2.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Ex9.m2.3.3.1" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.cmml"><msub id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.2" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.2" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.1" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.3" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex9.m2.3.3.1.2" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.2.cmml"></mo><msup id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" 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id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex9.m2.2.2" xref="S6.Ex9.m2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msub id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mn id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">d</mi><mo id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" 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id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3"><leq id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.1"></leq><ci id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1"><abs id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></sum><list id="S6.Ex9.m2.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><gt id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></gt><ci id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2"><times id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S6.Ex9.m2.2.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><cn id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.2">1</cn><apply id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.1">conditional</csymbol><ci id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.3"><times id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.3.1"></times><cn id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex9.m2.3.3.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex9.m2.3c">\displaystyle\leq\mathbb{E}_{n\leq N}\Bigg{|}\sum_{\begin{subarray}{c}d\mid W% \\ d>w^{s}\end{subarray}}\mu(d)1_{d\mid n}\Bigg{|}^{2\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex9.m2.3d">≤ blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT | ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_d ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_n end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\sum_{\begin{subarray}{c}d_{1},\ldots,d_{2\ell}\mid W\\ d_{1},\ldots,d_{2\ell}>w^{s}\end{subarray}}\mathbb{E}_{n\leq N}\mu^{2}(d_{1})% \cdots\mu^{2}(d_{2\ell})\prod_{j=1}^{2\ell}1_{d_{j}\mid n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex10.m1.3"><semantics id="S6.Ex10.m1.3a"><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.4" xref="S6.Ex10.m1.3.3.4.cmml"></mi><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.3.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.3.cmml"><munder id="S6.Ex10.m1.3.3.2.3a" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.3.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.3.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml"><msub id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml"><msub id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.1" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3.cmml">W</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.3.cmml"><msub id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.4" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.1" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.4" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.4.cmml">></mo><msup id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.2" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.2.cmml">w</mi><mi id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.3" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.1" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3.cmml"></mo><msup id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3a" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3b" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.6.cmml">⋯</mi><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3c" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3.cmml"></mo><msup id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3d" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.1" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3e" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.cmml"><munderover id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1a" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.cmml"><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.1" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.1" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></munderover></mstyle><msub id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.cmml"><mn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.cmml"><msub id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.2" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.1" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.3" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex10.m1.3b"><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3"><leq id="S6.Ex10.m1.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.3"></leq><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex10.m1.3.3.4.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.4">absent</csymbol><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2"><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.3">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex10.m1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.3.2"></sum><list id="S6.Ex10.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1"><list id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3"><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1">conditional</csymbol><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3"><times id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3">𝑊</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3"><gt id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.4.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.4"></gt><list id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2"><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1">…</ci><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3"><times id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply></list><apply id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.2">𝑤</ci><ci id="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2"><times id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.3"></times><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.2">𝔼</ci><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3"><leq id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.1"></leq><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.4.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.2">𝜇</ci><cn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.5.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.6.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.6">⋯</ci><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.2">𝜇</ci><cn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.7.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3"><times id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.2.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8"><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.2">product</csymbol><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3"><eq id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.1"></eq><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3"><times id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.1"></times><cn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2">subscript</csymbol><cn id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.2">1</cn><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.1">conditional</csymbol><apply id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex10.m1.3.3.2.2.8.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex10.m1.3c">\displaystyle\leq\sum_{\begin{subarray}{c}d_{1},\ldots,d_{2\ell}\mid W\\ d_{1},\ldots,d_{2\ell}>w^{s}\end{subarray}}\mathbb{E}_{n\leq N}\mu^{2}(d_{1})% \cdots\mu^{2}(d_{2\ell})\prod_{j=1}^{2\ell}1_{d_{j}\mid n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex10.m1.3d">≤ ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ⋯ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\sum_{\begin{subarray}{c}d_{1},\ldots,d_{2\ell}\mid W\\ d_{1},\ldots,d_{2\ell}>w^{s}\end{subarray}}\frac{\mu^{2}(d_{1})\cdots\mu^{2}(d% _{2\ell})}{[d_{1},\ldots,d_{2\ell}]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex11.m1.6"><semantics id="S6.Ex11.m1.6a"><mrow id="S6.Ex11.m1.6.7" xref="S6.Ex11.m1.6.7.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.6.7.2" xref="S6.Ex11.m1.6.7.2.cmml"></mi><mo id="S6.Ex11.m1.6.7.1" xref="S6.Ex11.m1.6.7.1.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Ex11.m1.6.7.3" xref="S6.Ex11.m1.6.7.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex11.m1.6.7.3.1" xref="S6.Ex11.m1.6.7.3.1.cmml"><munder id="S6.Ex11.m1.6.7.3.1a" xref="S6.Ex11.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex11.m1.6.7.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex11.m1.6.7.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml"><msub id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml"><msub id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.1" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3.cmml">W</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.cmml"><mrow id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.3.cmml"><msub id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.4" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.1" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.4" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.4.cmml">></mo><msup id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.2" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.2.cmml">w</mi><mi id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.3" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex11.m1.6.6" xref="S6.Ex11.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S6.Ex11.m1.6.6a" xref="S6.Ex11.m1.6.6.cmml"><mrow id="S6.Ex11.m1.3.3.2" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.cmml"><msup id="S6.Ex11.m1.3.3.2.4" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.2" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.3" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex11.m1.3.3.2.3" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex11.m1.3.3.2.3a" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.3.cmml"></mo><mi id="S6.Ex11.m1.3.3.2.5" mathvariant="normal" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S6.Ex11.m1.3.3.2.3b" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.3.cmml"></mo><msup id="S6.Ex11.m1.3.3.2.6" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.2" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.3" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex11.m1.3.3.2.3c" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.1" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.4.cmml"><mo id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.3" stretchy="false" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.4.cmml">[</mo><msub id="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1" xref="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.2" xref="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.3" xref="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.4" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.4.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex11.m1.4.4.3.1" mathvariant="normal" xref="S6.Ex11.m1.4.4.3.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.5" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.4.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.2" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.2" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.1" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.6" stretchy="false" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.4.cmml">]</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex11.m1.6b"><apply id="S6.Ex11.m1.6.7.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.7"><leq id="S6.Ex11.m1.6.7.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.7.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex11.m1.6.7.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.7.2">absent</csymbol><apply id="S6.Ex11.m1.6.7.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.7.3"><apply id="S6.Ex11.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.6.7.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.7.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex11.m1.6.7.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.7.3.1.2"></sum><list id="S6.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><list id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3"><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1">conditional</csymbol><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3"><times id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3">𝑊</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3"><gt id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.4.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.4"></gt><list id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2"><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1">…</ci><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3"><times id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.3.2.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply></list><apply id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.2">𝑤</ci><ci id="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.3.3.5.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S6.Ex11.m1.6.6.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6"><divide id="S6.Ex11.m1.6.6.6.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6"></divide><apply id="S6.Ex11.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2"><times id="S6.Ex11.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.3"></times><apply id="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex11.m1.3.3.2.5.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.5">⋯</ci><apply id="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.6">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.2">𝜇</ci><cn id="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.6.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3"><times id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.3.3.2.2.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply><list id="S6.Ex11.m1.6.6.5.4.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3"><apply id="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.5.5.4.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex11.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.4.4.3.1">…</ci><apply id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3"><times id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex11.m1.6.6.5.3.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex11.m1.6c">\displaystyle\leq\sum_{\begin{subarray}{c}d_{1},\ldots,d_{2\ell}\mid W\\ d_{1},\ldots,d_{2\ell}>w^{s}\end{subarray}}\frac{\mu^{2}(d_{1})\cdots\mu^{2}(d% _{2\ell})}{[d_{1},\ldots,d_{2\ell}]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex11.m1.6d">≤ ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT > italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ⋯ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG [ italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ] end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq e^{-s}\sum_{d_{1},\ldots,d_{2\ell}\mid W}\mu^{2}(d_{1})% \cdots\mu^{2}(d_{2\ell})\frac{(d_{1}\cdots d_{2\ell})^{1/(2\ell\log w)}}{[d_{1% },\ldots,d_{2\ell}]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex12.m1.10"><semantics id="S6.Ex12.m1.10a"><mrow id="S6.Ex12.m1.10.10" xref="S6.Ex12.m1.10.10.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.10.10.4" xref="S6.Ex12.m1.10.10.4.cmml"></mi><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.3" xref="S6.Ex12.m1.10.10.3.cmml">≤</mo><mrow id="S6.Ex12.m1.10.10.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.cmml"><msup id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3.cmml"><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3a" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.3" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3.cmml"><munder id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3a" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml"><msub id="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1" xref="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.3" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex12.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.4" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.cmml"><msub id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.2" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.2" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.1" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.1" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.3" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.3.cmml">W</mi></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.cmml"><msup id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.3" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3a" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.5.cmml">⋯</mi><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3b" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3.cmml"></mo><msup id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.2.cmml">μ</mi><mn id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.3" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3c" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3d" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3.cmml"></mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex12.m1.8.8" xref="S6.Ex12.m1.8.8.cmml"><mfrac id="S6.Ex12.m1.8.8a" xref="S6.Ex12.m1.8.8.cmml"><msup id="S6.Ex12.m1.5.5.2" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.3" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml">⋯</mi><mo id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.1a" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.2" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.cmml"><mn id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.2" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.1" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ℓ</mi><mo id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">log</mi><mo id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"></mo><mi id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">w</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mrow id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.4.cmml"><mo id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.3" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.4.cmml">[</mo><msub id="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1" xref="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.2" xref="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.2.cmml">d</mi><mn id="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.3" xref="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.4" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.4.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex12.m1.6.6.3.1" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.6.6.3.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.5" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.4.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.2" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.2" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.1" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.6" stretchy="false" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.4.cmml">]</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex12.m1.10b"><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10"><leq id="S6.Ex12.m1.10.10.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.3"></leq><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex12.m1.10.10.4.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.4">absent</csymbol><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2"><times id="S6.Ex12.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.3"></times><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3"><minus id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3"></minus><ci id="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.4.3.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2"><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.3.2"></sum><list id="S6.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3"><apply id="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.1">conditional</csymbol><apply id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3"><times id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply><ci id="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.3.3.3.3.2.3">𝑊</ci></apply></list></apply><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2"><times id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.3"></times><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.2">𝜇</ci><cn id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.5.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.5">⋯</ci><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.2">𝜇</ci><cn id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.6.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.10.10.2.2.2.2.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex12.m1.8.8.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8"><divide id="S6.Ex12.m1.8.8.6.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8"></divide><apply id="S6.Ex12.m1.5.5.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1"><times id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.1"></times><apply id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.3">⋯</ci><apply id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3"><times id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.1"></times><cn id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.5.5.2.2.1.1.4.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1"><divide id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3">1</cn><apply id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">ℓ</ci><apply id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4"><log id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1"></log><ci id="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑤</ci></apply></apply></apply></apply><list id="S6.Ex12.m1.8.8.5.4.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3"><apply id="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.2">𝑑</ci><cn id="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.7.7.4.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex12.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.6.6.3.1">…</ci><apply id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3"><times id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex12.m1.8.8.5.3.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex12.m1.10c">\displaystyle\leq e^{-s}\sum_{d_{1},\ldots,d_{2\ell}\mid W}\mu^{2}(d_{1})% \cdots\mu^{2}(d_{2\ell})\frac{(d_{1}\cdots d_{2\ell})^{1/(2\ell\log w)}}{[d_{1% },\ldots,d_{2\ell}]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex12.m1.10d">≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_W end_POSTSUBSCRIPT italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ⋯ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ) divide start_ARG ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⋯ italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / ( 2 roman_ℓ roman_log italic_w ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG [ italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ] end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S6.8.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.8.p2.1">Writing the previous expression as an Euler product and applying Mertens’s theorem, we see that it is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx83"> <tbody id="S6.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=e^{-s}\prod_{p\leq w}\Bigg{(}1+\sum_{(a_{1},\ldots,a_{2\ell})\in% \{0,1\}^{2\ell}\setminus\{\mathbf{0}\}}p^{(a_{1}+\cdots+a_{2\ell})/(2\ell\log w% )-\max_{i}\{a_{i}\}}\Bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex13.m1.11"><semantics id="S6.Ex13.m1.11a"><mrow id="S6.Ex13.m1.11.11" xref="S6.Ex13.m1.11.11.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.11.11.3" xref="S6.Ex13.m1.11.11.3.cmml"></mi><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.11.11.1" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.cmml"><msup id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3a" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.1.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.cmml"><munder id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2a" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.6.6.6" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.cmml"><mrow id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.3.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.3.cmml">(</mo><msub id="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1" xref="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.2" xref="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml">a</mi><mn id="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.4" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.3.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex13.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S6.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.5" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.1" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.6" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.7" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.7.cmml">∈</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.cmml"><msup id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.cmml"><mrow id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.1.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.1.cmml">{</mo><mn id="S6.Ex13.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex13.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.2.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.1.cmml">,</mo><mn id="S6.Ex13.m1.3.3.3.3" xref="S6.Ex13.m1.3.3.3.3.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.1.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.1" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.1" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.1.cmml">∖</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.3.2" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.3.1.cmml">{</mo><mn id="S6.Ex13.m1.4.4.4.4" xref="S6.Ex13.m1.4.4.4.4.cmml">𝟎</mn><mo id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></munder></mstyle><msup id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S6.Ex13.m1.10.10.4" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.cmml"><mrow id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mn id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">⋯</mi><mo id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.cmml">a</mi><mrow id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mn id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.3" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.3.cmml">/</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.cmml">ℓ</mi><mo id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.4" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.4.1" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.4.1.cmml">log</mi><mo id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.4.cmml"></mo><mi id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.4.2" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.4.2.cmml">w</mi></mrow></mrow><mo id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex13.m1.10.10.4.5" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.5.cmml">−</mo><mrow id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.3.cmml"><msub id="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1" xref="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1.2.cmml">max</mi><mi id="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2a" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.3.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.3.cmml"><mo id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.3.cmml">{</mo><msub id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.2" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.2.cmml">a</mi><mi id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.3" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex13.m1.11b"><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11"><eq id="S6.Ex13.m1.11.11.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex13.m1.11.11.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.3">absent</csymbol><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1"><times id="S6.Ex13.m1.11.11.1.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.2"></times><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3"><minus id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3"></minus><ci id="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.3.3.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1"><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3"><leq id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.2.3.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1"><plus id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3"><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S6.Ex13.m1.6.6.6.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6"><in id="S6.Ex13.m1.6.6.6.7.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.7"></in><vector id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2"><apply id="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.5.5.5.5.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3"><times id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.6.2.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply></vector><apply id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8"><setdiff id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.1"></setdiff><apply id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2">superscript</csymbol><set id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.2.2"><cn id="S6.Ex13.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.2.2.2.2">0</cn><cn id="S6.Ex13.m1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.3.3.3.3">1</cn></set><apply id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3"><times id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply><set id="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.3.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.6.6.6.8.3.2"><cn id="S6.Ex13.m1.4.4.4.4.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.4.4.4.4">0</cn></set></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><apply id="S6.Ex13.m1.10.10.4.cmml" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4"><minus id="S6.Ex13.m1.10.10.4.5.cmml" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.5"></minus><apply id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2"><divide id="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.8.8.2.2.3"></divide><apply id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1"><plus id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2">𝑎</ci><cn id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.3">⋯</ci><apply id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2">𝑎</ci><apply id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><cn id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex13.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" 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xref="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1.2"></max><ci id="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.9.9.3.3.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.2">𝑎</ci><ci id="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex13.m1.10.10.4.4.2.2.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex13.m1.11c">\displaystyle=e^{-s}\prod_{p\leq w}\Bigg{(}1+\sum_{(a_{1},\ldots,a_{2\ell})\in% \{0,1\}^{2\ell}\setminus\{\mathbf{0}\}}p^{(a_{1}+\cdots+a_{2\ell})/(2\ell\log w% )-\max_{i}\{a_{i}\}}\Bigg{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex13.m1.11d">= italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + ∑ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ∖ { bold_0 } end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + ⋯ + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ) / ( 2 roman_ℓ roman_log italic_w ) - roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT { italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ll e^{-s}\prod_{p\leq w}\left(1+(2^{2\ell}-1)\frac{e}{p}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex14.m1.1"><semantics id="S6.Ex14.m1.1a"><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex14.m1.1.1.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex14.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.3a" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">w</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mstyle displaystyle="true" id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mi id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex14.m1.1b"><apply id="S6.Ex14.m1.1.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex14.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.2">much-less-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex14.m1.1.1.3.cmml" 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id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3"><leq id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><cn id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><cn id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply><cn id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><ci id="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex14.m1.1c">\displaystyle\ll e^{-s}\prod_{p\leq w}\left(1+(2^{2\ell}-1)\frac{e}{p}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex14.m1.1d">≪ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + ( 2 start_POSTSUPERSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) divide start_ARG italic_e end_ARG start_ARG italic_p end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ll_{\ell}e^{-s}(\log w)^{(2^{2\ell}-1)e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex15.m1.2"><semantics id="S6.Ex15.m1.2a"><mrow id="S6.Ex15.m1.2.2" xref="S6.Ex15.m1.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex15.m1.2.2.3" xref="S6.Ex15.m1.2.2.3.cmml"></mi><msub id="S6.Ex15.m1.2.2.2" xref="S6.Ex15.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S6.Ex15.m1.2.2.2.2" xref="S6.Ex15.m1.2.2.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S6.Ex15.m1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mrow id="S6.Ex15.m1.2.2.1" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.2" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3a" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3.2" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex15.m1.2.2.1.2" 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id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex15.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S6.Ex15.m1.1.1.1.3" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.3.cmml">e</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex15.m1.2b"><apply id="S6.Ex15.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2"><apply id="S6.Ex15.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex15.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex15.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S6.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.2.3">ℓ</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex15.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S6.Ex15.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1"><times id="S6.Ex15.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3"><minus id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3"></minus><ci id="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.3.3.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex15.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex15.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1"><log id="S6.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply><apply id="S6.Ex15.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1"><times id="S6.Ex15.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><cn id="S6.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) italic_e end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S6.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ll e^{-s}(\log w)^{2^{C+4}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Ex16.m1.1"><semantics id="S6.Ex16.m1.1a"><mrow id="S6.Ex16.m1.1.1.1" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi></mrow><mo id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></mrow></msup></msup></mrow></mrow><mo id="S6.Ex16.m1.1.1.1.2" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex16.m1.1b"><apply id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.2">much-less-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1"><times id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><ci id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply><apply id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐶</ci><cn id="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex16.m1.1c">\displaystyle\ll e^{-s}(\log w)^{2^{C+4}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex16.m1.1d">≪ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log italic_w ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_C + 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.8.p2.2">as desired. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S7"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">7. </span>Prime correlations along polynomial patterns</h2> <section class="ltx_subsection" id="S7.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">7.1. </span>Overview of proof</h3> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p1.1">In this section we prove Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2) and deduce Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1" title="Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> from it. We begin with a brief sketch to indicate the main tools and why we need to work with the Siegel model, defined in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem4" title="Definition 4.4 (The Siegel model). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p2.12">Suppose for simplicity that we want to estimate</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx84"> <tbody id="S7.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle S\coloneqq\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda% (n)\Lambda(n+m^{3})\Lambda(n+2m^{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E1.m1.3"><semantics id="S7.E1.m1.3a"><mrow id="S7.E1.m1.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.cmml"><mi id="S7.E1.m1.3.3.4" xref="S7.E1.m1.3.3.4.cmml">S</mi><mo id="S7.E1.m1.3.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.3.cmml">≔</mo><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E1.m1.3.3.2.4" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.cmml"><mfrac id="S7.E1.m1.3.3.2.4a" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.cmml"><mn id="S7.E1.m1.3.3.2.4.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.2.cmml">1</mn><msup id="S7.E1.m1.3.3.2.4.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.cmml"><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.3.cmml">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><munder id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3a" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.1" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><munder id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3a" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.1" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.5.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E1.m1.1.1" xref="S7.E1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3a" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3b" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3c" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.7" mathvariant="normal" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.7.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3d" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E1.m1.3b"><apply id="S7.E1.m1.3.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3"><ci id="S7.E1.m1.3.3.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.3">≔</ci><ci id="S7.E1.m1.3.3.4.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.4">𝑆</ci><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2"><times id="S7.E1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.3"></times><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4"><divide id="S7.E1.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4"></divide><cn id="S7.E1.m1.3.3.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.2">1</cn><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E1.m1.3.3.2.4.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2"><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.2"></sum><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3"><leq id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2"><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.2"></sum><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3"><leq id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2"><times id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.3"></times><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.4.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.4">Λ</ci><ci id="S7.E1.m1.1.1.cmml" xref="S7.E1.m1.1.1">𝑛</ci><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.6.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.6">Λ</ci><apply id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.7.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.7">Λ</ci><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1"><plus id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2">2</cn><apply id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E1.m1.3c">\displaystyle S\coloneqq\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda% (n)\Lambda(n+m^{3})\Lambda(n+2m^{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E1.m1.3d">italic_S ≔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n ) roman_Λ ( italic_n + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) roman_Λ ( italic_n + 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p2.5">up to an <math alttext="O_{A}((\log N)^{-A})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1"><times id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.2"></times><apply id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.1.m1.1c">O_{A}((\log N)^{-A})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.1.m1.1d">italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> error. Let <math alttext="w_{3}=\exp((\log\log N)^{C_{k}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.2.m2.2"><semantics id="S7.SS1.p2.2.m2.2a"><mrow id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.3" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.2" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1a" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msup><mo id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.2.m2.2b"><apply id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2"><eq id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.2"></eq><apply id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.3.3">3</cn></apply><apply id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1"><exp id="S7.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.1.1"></exp><apply id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.2.m2.2c">w_{3}=\exp((\log\log N)^{C_{k}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.2.m2.2d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = roman_exp ( ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for a large constant <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S7.SS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S7.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S7.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S7.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.3.m3.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.3.m3.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.3.m3.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="W_{j}=\prod_{p\leq w_{j}}p" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S7.SS1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.1" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><msub id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.2.cmml">w</mi><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></msub><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1"><eq id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3"><apply id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3"><leq id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.1"></leq><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><apply id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.2">𝑤</ci><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.4.m4.1c">W_{j}=\prod_{p\leq w_{j}}p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.4.m4.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p</annotation></semantics></math>. Writing <math alttext="\Lambda=\widetilde{\Lambda}_{W_{3}}+E_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S7.SS1.p2.5.m5.1a"><mrow id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.1" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.3" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mn id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.5.m5.1b"><apply id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1"><eq id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3"><plus id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2"><ci id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.2">𝐸</ci><cn id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.5.m5.1c">\Lambda=\widetilde{\Lambda}_{W_{3}}+E_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.5.m5.1d">roman_Λ = over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we see that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx85"> <tbody id="S7.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle S" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex1.m1.1"><semantics id="S7.Ex1.m1.1a"><mi id="S7.Ex1.m1.1.1" xref="S7.Ex1.m1.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex1.m1.1b"><ci id="S7.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S7.Ex1.m1.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex1.m1.1c">\displaystyle S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex1.m1.1d">italic_S</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda(n)\Lambda% (n+m^{3})\widetilde{\Lambda}_{W_{3}}(n+2m^{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex1.m2.3"><semantics id="S7.Ex1.m2.3a"><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.4" xref="S7.Ex1.m2.3.3.4.cmml"></mi><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.cmml"><mfrac id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4a" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.cmml"><mn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.2.cmml">1</mn><msup id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.3.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.3.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.3.3.cmml">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.cmml"><munder id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3a" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.cmml"><munder id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3a" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.5.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex1.m2.1.1" xref="S7.Ex1.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3a" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3b" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3c" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.1" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3d" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex1.m2.3b"><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3"><eq id="S7.Ex1.m2.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex1.m2.3.3.4.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.4">absent</csymbol><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2"><times id="S7.Ex1.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.3"></times><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4"><divide id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4"></divide><cn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.2">1</cn><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.2"></sum><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3"><leq id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2"><times id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.3"></times><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.4.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.4">Λ</ci><ci id="S7.Ex1.m2.1.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.1.1">𝑛</ci><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.6.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.6">Λ</ci><apply id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex1.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2"><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1"><plus id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2">2</cn><apply id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex1.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex1.m2.3c">\displaystyle=\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda(n)\Lambda% (n+m^{3})\widetilde{\Lambda}_{W_{3}}(n+2m^{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex1.m2.3d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n ) roman_Λ ( italic_n + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad+\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq 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xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><munder id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3a" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.5.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex2.m1.1.1" xref="S7.Ex2.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3a" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.6.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3b" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3c" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.2.cmml">E</mi><mn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3d" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex2.m1.3b"><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3"><plus id="S7.Ex2.m1.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3"></plus><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2"><times id="S7.Ex2.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.3"></times><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.4"><divide id="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.4"></divide><cn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.2">1</cn><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.3.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.3.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.4.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2"><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.2"></sum><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3"><leq id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2"><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.2"></sum><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3"><leq id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2"><times id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" 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cd="ambiguous" id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.2">𝐸</ci><cn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.7.3">3</cn></apply><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1"><plus id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2">2</cn><apply id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex2.m1.3c">\displaystyle\quad+\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda(n)% \Lambda(n+m^{3})E_{3}(n+2m^{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex2.m1.3d">+ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n ) roman_Λ ( italic_n + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq S_{1}+S_{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex3.m1.1"><semantics id="S7.Ex3.m1.1a"><mrow id="S7.Ex3.m1.1.1.1" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mn id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S7.Ex3.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex3.m1.1b"><apply id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1"><ci id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.1">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><cn id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><cn id="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex3.m1.1c">\displaystyle\coloneqq S_{1}+S_{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex3.m1.1d">≔ italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_S start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p2.11">Combining Propositions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem6" title="Proposition 4.6 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of Λ). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a>, we have <math alttext="|S_{2}|\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.6.m1.2"><semantics id="S7.SS1.p2.6.m1.2a"><mrow id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><msub id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.3" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3a" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.6.m1.2b"><apply id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2"><apply id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1"><abs id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1"><log id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3"><minus id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3"></minus><ci id="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.6.m1.2.2.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.6.m1.2c">|S_{2}|\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.6.m1.2d">| italic_S start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. To estimate <math alttext="S_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.7.m2.1"><semantics id="S7.SS1.p2.7.m2.1a"><msub id="S7.SS1.p2.7.m2.1.1" xref="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.7.m2.1b"><apply id="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.7.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.7.m2.1c">S_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.7.m2.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we choose some <math alttext="w_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.8.m3.1"><semantics id="S7.SS1.p2.8.m3.1a"><msub id="S7.SS1.p2.8.m3.1.1" xref="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.8.m3.1b"><apply id="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.8.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.8.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.8.m3.1c">w_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.8.m3.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> that is moderately large in terms of <math alttext="w_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.9.m4.1"><semantics id="S7.SS1.p2.9.m4.1a"><msub id="S7.SS1.p2.9.m4.1.1" xref="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.9.m4.1b"><apply id="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.9.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.9.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.9.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.9.m4.1c">w_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.9.m4.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="w_{2}=w_{3}^{(\log\log N)^{C}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.10.m5.1"><semantics id="S7.SS1.p2.10.m5.1a"><mrow id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.cmml"><msub id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.2" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.3" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.1" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.1.cmml">=</mo><msubsup id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.2" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.3" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.3.cmml">3</mn><msup id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.3.cmml">C</mi></msup></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.10.m5.1b"><apply id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2"><eq id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.1"></eq><apply id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.2.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><ci id="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.10.m5.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.10.m5.1c">w_{2}=w_{3}^{(\log\log N)^{C}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.10.m5.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_w start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> works) and write <math alttext="\Lambda=\widetilde{\Lambda}_{W_{2}}+E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.11.m6.1"><semantics id="S7.SS1.p2.11.m6.1a"><mrow id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.1" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.cmml"><msub id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.1" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.2" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.3" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.1" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.2" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mn id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.11.m6.1b"><apply id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1"><eq id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.1"></eq><ci id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3"><plus id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2"><ci id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.2">𝐸</ci><cn id="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.11.m6.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.11.m6.1c">\Lambda=\widetilde{\Lambda}_{W_{2}}+E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.11.m6.1d">roman_Λ = over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx86"> <tbody id="S7.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle S_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex4.m1.1"><semantics id="S7.Ex4.m1.1a"><msub id="S7.Ex4.m1.1.1" xref="S7.Ex4.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex4.m1.1.1.2" xref="S7.Ex4.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S7.Ex4.m1.1.1.3" xref="S7.Ex4.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex4.m1.1b"><apply id="S7.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S7.Ex4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex4.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex4.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex4.m1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S7.Ex4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex4.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex4.m1.1c">\displaystyle S_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex4.m1.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda(n)% \widetilde{\Lambda}_{W_{2}}(n+m^{3})\widetilde{\Lambda}_{W_{3}}(n+2m^{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex4.m2.3"><semantics id="S7.Ex4.m2.3a"><mrow id="S7.Ex4.m2.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.4" xref="S7.Ex4.m2.3.3.4.cmml"></mi><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex4.m2.3.3.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex4.m2.3.3.2.4" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.cmml"><mfrac id="S7.Ex4.m2.3.3.2.4a" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.cmml"><mn id="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.2.cmml">1</mn><msup id="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.3.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.3.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.4.3.3.cmml">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.cmml"><munder id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3a" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.cmml"><munder id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3a" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.3.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.4.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.5.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex4.m2.1.1" xref="S7.Ex4.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.3a" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.2.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.2.1" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.3.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.3.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.3.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.6.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.3b" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.3c" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.1" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.3" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.cmml"><mi id="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.2" xref="S7.Ex4.m2.3.3.2.2.2.2.7.3.2.cmml">W</mi><mn 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id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2"><times id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.3"></times><ci id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.4.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.4">Λ</ci><ci id="S7.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.1.1">𝑛</ci><apply id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.6.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.6.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.6.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.6.2">𝐸</ci><cn id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.6.3">2</cn></apply><apply id="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.2"><ci id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.2.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.2.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.3.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.3.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.3.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.7.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1"><plus id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2">2</cn><apply id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex5.m1.3c">\displaystyle\quad+\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda(n)E_% {2}(n+m^{3})\widetilde{\Lambda}_{W_{3}}(n+2m^{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex5.m1.3d">+ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n ) italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq S_{3}+S_{4}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex6.m1.1"><semantics id="S7.Ex6.m1.1a"><mrow id="S7.Ex6.m1.1.1.1" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mn id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S7.Ex6.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex6.m1.1b"><apply id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1"><ci id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.1">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><cn id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><cn id="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex6.m1.1c">\displaystyle\coloneqq S_{3}+S_{4}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex6.m1.1d">≔ italic_S start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_S start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p3.2">Using Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem3" title="Lemma 6.3. ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.3</span></a>, we see that <math alttext="\widetilde{\Lambda}_{W_{3}}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.1" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.1" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2"><times id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2"><ci id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.2.2.3.3">3</cn></apply></apply><ci id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.1.m1.1c">\widetilde{\Lambda}_{W_{3}}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.1.m1.1d">over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> is up to negligible error (in the <math alttext="L^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S7.SS1.p3.2.m2.1a"><msup id="S7.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.2.m2.1c">L^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> norm) equal to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S7.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(1-\widetilde{\chi}(n)n^{\widetilde{\beta}-1})\frac{W_{3}}{\varphi(W_{3})}\sum% _{\begin{subarray}{c}t\mid W_{3}\\ t\leq w_{3}^{(\log\log N)^{2}}\end{subarray}}\mu(t)1_{t\mid n}." class="ltx_Math" display="block" id="S7.Ex7.m1.5"><semantics id="S7.Ex7.m1.5a"><mrow id="S7.Ex7.m1.5.5.1" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" 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encoding="MathML-Content" id="S7.Ex7.m1.5b"><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1"><times id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.2"></times><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1"><minus id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.Ex7.m1.3.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.3.3">𝑛</ci><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3"><minus id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.1"></minus><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.2"><ci id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.2.2">𝛽</ci></apply><cn id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2"><divide id="S7.Ex7.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2"></divide><apply id="S7.Ex7.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex7.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.Ex7.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex7.m1.2.2.3.3">3</cn></apply><apply id="S7.Ex7.m1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.1"><times id="S7.Ex7.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S7.Ex7.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.1.3">𝜑</ci><apply id="S7.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S7.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex7.m1.2.2.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3"><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.1.2"></sum><list id="S7.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></leq><ci id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑤</ci><cn id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">3</cn></apply><apply id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><cn id="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.1"></times><ci id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="S7.Ex7.m1.4.4.cmml" xref="S7.Ex7.m1.4.4">𝑡</ci><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><cn id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.2">1</cn><apply id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2">𝑡</ci><ci id="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3.cmml" xref="S7.Ex7.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex7.m1.5c">(1-\widetilde{\chi}(n)n^{\widetilde{\beta}-1})\frac{W_{3}}{\varphi(W_{3})}\sum% _{\begin{subarray}{c}t\mid W_{3}\\ t\leq w_{3}^{(\log\log N)^{2}}\end{subarray}}\mu(t)1_{t\mid n}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex7.m1.5d">( 1 - over~ start_ARG italic_χ end_ARG ( italic_n ) italic_n start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) divide start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_φ ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_t ∣ italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_t ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_t ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∣ italic_n end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p3.6">Substituting this into <math alttext="S_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.3.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p3.3.m1.1a"><msub id="S7.SS1.p3.3.m1.1.1" xref="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.3.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.3.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.3.m1.1c">S_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.3.m1.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and applying the triangle inequality, and denoting by <math alttext="\widetilde{q}\leq w_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.4.m2.1"><semantics id="S7.SS1.p3.4.m2.1a"><mrow id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.1" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.4.m2.1b"><apply id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1"><leq id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.1"></leq><apply id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2"><ci id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><apply id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.4.m2.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.4.m2.1c">\widetilde{q}\leq w_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.4.m2.1d">over~ start_ARG italic_q end_ARG ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the modulus of <math alttext="\widetilde{\chi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.5.m3.1"><semantics id="S7.SS1.p3.5.m3.1a"><mover accent="true" id="S7.SS1.p3.5.m3.1.1" xref="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.5.m3.1b"><apply id="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.5.m3.1.1"><ci id="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.5.m3.1.1.2">𝜒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.5.m3.1c">\widetilde{\chi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.5.m3.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG</annotation></semantics></math>, we see that for some <math alttext="1\leq a,t\leq\widetilde{q}w_{3}^{(\log\log N)^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.6.m4.3"><semantics id="S7.SS1.p3.6.m4.3a"><mrow id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.3.cmml"><mrow id="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.cmml"><mn id="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.3" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.2.cmml">q</mi><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.1.cmml"></mo><msubsup id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.3" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.3.cmml">3</mn><msup id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.6.m4.3b"><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.3a.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1"><leq id="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.1"></leq><cn id="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.2.2.1.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2"><leq id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.1"></leq><ci id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.2">𝑡</ci><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3"><times id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.1"></times><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2"><ci id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.2.2">𝑞</ci></apply><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.6.m4.3.3.2.2.3.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><cn id="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.6.m4.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.6.m4.3c">1\leq a,t\leq\widetilde{q}w_{3}^{(\log\log N)^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.6.m4.3d">1 ≤ italic_a , italic_t ≤ over~ start_ARG italic_q end_ARG italic_w start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx87"> <tbody id="S7.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|S_{4}|\ll\frac{W_{3}}{\varphi(W_{3})}\frac{\widetilde{q}w_{3}^{(% \log\log N)^{2}}}{N^{4}}\left|\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda(n)E_{2}(% n+m^{3})1_{n+2m^{3}\equiv a\pmod{t}}\right|." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex8.m1.6"><semantics id="S7.Ex8.m1.6a"><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.3.cmml">≪</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex8.m1.2.2" xref="S7.Ex8.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S7.Ex8.m1.2.2a" xref="S7.Ex8.m1.2.2.cmml"><msub id="S7.Ex8.m1.2.2.3" xref="S7.Ex8.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.2.2.3.2" xref="S7.Ex8.m1.2.2.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.Ex8.m1.2.2.3.3" xref="S7.Ex8.m1.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub><mrow id="S7.Ex8.m1.2.2.1" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.2.2.1.3" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S7.Ex8.m1.2.2.1.2" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"></mo><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex8.m1.3.3" xref="S7.Ex8.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S7.Ex8.m1.3.3a" xref="S7.Ex8.m1.3.3.cmml"><mrow id="S7.Ex8.m1.3.3.1" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex8.m1.3.3.1.3" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.2" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.2.cmml">q</mi><mo id="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.1" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S7.Ex8.m1.3.3.1.2" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.2.cmml"></mo><msubsup id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.2" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.2.cmml">w</mi><mn id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.3" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.3.cmml">3</mn><msup id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></msubsup></mrow><msup id="S7.Ex8.m1.3.3.3" xref="S7.Ex8.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.3.3.3.2" xref="S7.Ex8.m1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.Ex8.m1.3.3.3.3" xref="S7.Ex8.m1.3.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.2a" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><munder id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2a" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2a" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex8.m1.5.5" xref="S7.Ex8.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2a" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2.cmml">E</mi><mn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2b" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2c" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6.cmml"><mn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6.2" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.Ex8.m1.4.4.2" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.2" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.1" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.cmml"><mn id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.2" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.1" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.2" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.3" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.4.4.2.3" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.3.cmml">≡</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.4.4.2.5" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.5.cmml"><mi id="S7.Ex8.m1.4.4.2.5.2" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.5.2.cmml">a</mi><mspace id="S7.Ex8.m1.4.4.2.5a" width="0.949em" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.5.cmml"></mspace><mrow id="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S7.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.3" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex8.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex8.m1.6b"><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.3">much-less-than</csymbol><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1"><abs id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2"><times id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.2"></times><apply id="S7.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2"><divide id="S7.Ex8.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2"></divide><apply id="S7.Ex8.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.Ex8.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.2.2.3.3">3</cn></apply><apply id="S7.Ex8.m1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1"><times id="S7.Ex8.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S7.Ex8.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.3">𝜑</ci><apply id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3"><divide id="S7.Ex8.m1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3"></divide><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1"><times id="S7.Ex8.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.3"><ci id="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.1">~</ci><ci id="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.3.2">𝑞</ci></apply><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.2">𝑤</ci><cn id="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.4.2.3">3</cn></apply><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><cn id="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex8.m1.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.3.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.Ex8.m1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.3.3.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1"><abs id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.2"></abs><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1"><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3"><leq id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><leq id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3">Λ</ci><ci id="S7.Ex8.m1.5.5.cmml" xref="S7.Ex8.m1.5.5">𝑛</ci><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2">𝐸</ci><cn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.3">2</cn></apply><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><cn id="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.6.2">1</cn><apply id="S7.Ex8.m1.4.4.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2"><equivalent id="S7.Ex8.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.3"></equivalent><apply id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4"><plus id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.1"></plus><ci id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3"><times id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.1"></times><cn id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.2">2</cn><apply id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.4.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex8.m1.4.4.2.5.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.5"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex8.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.5">annotated</csymbol><ci id="S7.Ex8.m1.4.4.2.5.2.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.5.2">𝑎</ci><apply id="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.2.2"><ci id="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.4.4.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S7.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex8.m1.6c">\displaystyle|S_{4}|\ll\frac{W_{3}}{\varphi(W_{3})}\frac{\widetilde{q}w_{3}^{(% \log\log N)^{2}}}{N^{4}}\left|\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\Lambda(n)E_{2}(% n+m^{3})1_{n+2m^{3}\equiv a\pmod{t}}\right|.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex8.m1.6d">| italic_S start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT | ≪ divide start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_φ ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG divide start_ARG over~ start_ARG italic_q end_ARG italic_w start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( italic_n ) italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ≡ italic_a start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_t end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT | .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p3.13">Splitting the <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.7.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p3.7.m1.1a"><mi id="S7.SS1.p3.7.m1.1.1" xref="S7.SS1.p3.7.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.7.m1.1b"><ci id="S7.SS1.p3.7.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.7.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.7.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.7.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math> variable into progressions modulo <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.8.m2.1"><semantics id="S7.SS1.p3.8.m2.1a"><mi id="S7.SS1.p3.8.m2.1.1" xref="S7.SS1.p3.8.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.8.m2.1b"><ci id="S7.SS1.p3.8.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.8.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.8.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.8.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> and applying Propositions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem6" title="Proposition 4.6 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of Λ). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote7"><sup class="ltx_note_mark">7</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">7</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">7</span>Note that we are applying Propositions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> with the coefficients of the polynomials involved bounded by <math alttext="O(t^{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote7.m1.1"><semantics id="footnote7.m1.1b"><mrow id="footnote7.m1.1.1" xref="footnote7.m1.1.1.cmml"><mi id="footnote7.m1.1.1.3" xref="footnote7.m1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="footnote7.m1.1.1.2" xref="footnote7.m1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="footnote7.m1.1.1.1.1" xref="footnote7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnote7.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="footnote7.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="footnote7.m1.1.1.1.1.1" xref="footnote7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="footnote7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="footnote7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="footnote7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="footnote7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msup><mo id="footnote7.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="footnote7.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote7.m1.1c"><apply id="footnote7.m1.1.1.cmml" xref="footnote7.m1.1.1"><times id="footnote7.m1.1.1.2.cmml" xref="footnote7.m1.1.1.2"></times><ci id="footnote7.m1.1.1.3.cmml" xref="footnote7.m1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="footnote7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote7.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote7.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="footnote7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="footnote7.m1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="footnote7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="footnote7.m1.1.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote7.m1.1d">O(t^{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote7.m1.1e">italic_O ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Hence, Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> involves a loss of <math alttext="t^{O(1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote7.m2.1"><semantics id="footnote7.m2.1b"><msup id="footnote7.m2.1.2" xref="footnote7.m2.1.2.cmml"><mi id="footnote7.m2.1.2.2" xref="footnote7.m2.1.2.2.cmml">t</mi><mrow id="footnote7.m2.1.1.1" xref="footnote7.m2.1.1.1.cmml"><mi id="footnote7.m2.1.1.1.3" xref="footnote7.m2.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="footnote7.m2.1.1.1.2" xref="footnote7.m2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="footnote7.m2.1.1.1.4.2" xref="footnote7.m2.1.1.1.cmml"><mo id="footnote7.m2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="footnote7.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="footnote7.m2.1.1.1.1" xref="footnote7.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="footnote7.m2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="footnote7.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote7.m2.1c"><apply id="footnote7.m2.1.2.cmml" xref="footnote7.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote7.m2.1.2.1.cmml" xref="footnote7.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="footnote7.m2.1.2.2.cmml" xref="footnote7.m2.1.2.2">𝑡</ci><apply id="footnote7.m2.1.1.1.cmml" xref="footnote7.m2.1.1.1"><times id="footnote7.m2.1.1.1.2.cmml" xref="footnote7.m2.1.1.1.2"></times><ci id="footnote7.m2.1.1.1.3.cmml" xref="footnote7.m2.1.1.1.3">𝑂</ci><cn id="footnote7.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="footnote7.m2.1.1.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote7.m2.1d">t^{O(1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote7.m2.1e">italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_O ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, but we win back this loss thanks to the strong bound on the Gowers norm of <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote7.m3.1"><semantics id="footnote7.m3.1b"><msub id="footnote7.m3.1.1" xref="footnote7.m3.1.1.cmml"><mi id="footnote7.m3.1.1.2" xref="footnote7.m3.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="footnote7.m3.1.1.3" xref="footnote7.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote7.m3.1c"><apply id="footnote7.m3.1.1.cmml" xref="footnote7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote7.m3.1.1.1.cmml" xref="footnote7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="footnote7.m3.1.1.2.cmml" xref="footnote7.m3.1.1.2">𝐸</ci><cn id="footnote7.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="footnote7.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote7.m3.1d">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote7.m3.1e">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></span></span>, we conclude that <math alttext="|S_{4}|\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.9.m3.2"><semantics id="S7.SS1.p3.9.m3.2a"><mrow id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><msub id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.3" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3a" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.9.m3.2b"><apply id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2"><apply id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1"><abs id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.9.m3.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply></apply><apply id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1"><log id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3"><minus id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3"></minus><ci id="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.9.m3.2.2.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.9.m3.2c">|S_{4}|\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.9.m3.2d">| italic_S start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Performing again a similar splitting <math alttext="\Lambda=\widetilde{\Lambda}_{W_{1}}+E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.10.m4.1"><semantics id="S7.SS1.p3.10.m4.1a"><mrow id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.1" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.3" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.1" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.2" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mn id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.10.m4.1b"><apply id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1"><eq id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.1"></eq><ci id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3"><plus id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2"><ci id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.2">𝐸</ci><cn id="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.10.m4.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.10.m4.1c">\Lambda=\widetilde{\Lambda}_{W_{1}}+E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.10.m4.1d">roman_Λ = over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="w_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.11.m5.1"><semantics id="S7.SS1.p3.11.m5.1a"><msub id="S7.SS1.p3.11.m5.1.1" xref="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.11.m5.1b"><apply id="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.11.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.11.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.11.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.11.m5.1c">w_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.11.m5.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> large in terms of <math alttext="w_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.12.m6.1"><semantics id="S7.SS1.p3.12.m6.1a"><msub id="S7.SS1.p3.12.m6.1.1" xref="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.12.m6.1b"><apply id="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.12.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.12.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.12.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.12.m6.1c">w_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.12.m6.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="w_{1}=w_{2}^{(\log\log N)^{C}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.13.m7.1"><semantics id="S7.SS1.p3.13.m7.1a"><mrow id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.cmml"><msub id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.2" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.3" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.1" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.1.cmml">=</mo><msubsup id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.2" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.3" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.3.cmml">2</mn><msup id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.3.cmml">C</mi></msup></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.13.m7.1b"><apply id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2"><eq id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.1"></eq><apply id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><ci id="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.13.m7.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.13.m7.1c">w_{1}=w_{2}^{(\log\log N)^{C}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.13.m7.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> works) and arguing as above, we conclude that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx88"> <tbody id="S7.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle S=\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\widetilde{% \Lambda}_{W_{1}}(n)\widetilde{\Lambda}_{W_{2}}(n+m^{3})\widetilde{\Lambda}_{W_% {3}}(n+2m^{3})+O_{A}((\log N)^{-A})." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E2.m1.2"><semantics id="S7.E2.m1.2a"><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.5" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.5.cmml">S</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.4" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><mfrac id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4a" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml">1</mn><msup id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.3.cmml">4</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><munder id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3a" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><munder id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3a" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.5.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E2.m1.1.1" xref="S7.E2.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3a" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml"><mover accent="true" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3b" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3c" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.cmml"><mover accent="true" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3d" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.4" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><msub id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3a" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E2.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E2.m1.2b"><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1"><eq id="S7.E2.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.4"></eq><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.5">𝑆</ci><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3"><plus id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.4"></plus><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2"><times id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3"></times><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4"><divide id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4"></divide><cn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.2">1</cn><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml" 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xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2"></sum><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3"><leq id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.1"></leq><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2"><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.1">~</ci><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.E2.m1.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.1.1">𝑛</ci><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6">subscript</csymbol><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2"><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.1">~</ci><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.6.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7">subscript</csymbol><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2"><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.1">~</ci><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.7.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1"><plus id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2">2</cn><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3"><times id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2"></times><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.2">𝑂</ci><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1"><log id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3"><minus id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E2.m1.2c">\displaystyle S=\frac{1}{N^{4}}\sum_{m\leq N}\sum_{n\leq N^{3}}\widetilde{% \Lambda}_{W_{1}}(n)\widetilde{\Lambda}_{W_{2}}(n+m^{3})\widetilde{\Lambda}_{W_% {3}}(n+2m^{3})+O_{A}((\log N)^{-A}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E2.m1.2d">italic_S = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p3.17">Now the remaining task is to evaluate the correlations of the Siegel model with error terms that save an arbitrary power of logarithm. Writing <math alttext="\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}=\Lambda_{W_{j}}+E_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.14.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p3.14.m1.1a"><mrow id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.cmml"><msub id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.1" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.3" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.1" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.14.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1"><eq id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.1"></eq><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2"><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3"><plus id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.14.m1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.14.m1.1c">\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}=\Lambda_{W_{j}}+E_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.14.m1.1d">over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the right-hand side of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E2" title="In 7.1. Overview of proof ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.2</span></a>) splits into a sum of <math alttext="8" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.15.m2.1"><semantics id="S7.SS1.p3.15.m2.1a"><mn id="S7.SS1.p3.15.m2.1.1" xref="S7.SS1.p3.15.m2.1.1.cmml">8</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.15.m2.1b"><cn id="S7.SS1.p3.15.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.15.m2.1.1">8</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.15.m2.1c">8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.15.m2.1d">8</annotation></semantics></math> averages. The average involving each of the functions <math alttext="\Lambda_{W_{1}},\Lambda_{W_{2}},\Lambda_{W_{3}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.16.m3.3"><semantics id="S7.SS1.p3.16.m3.3a"><mrow id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.4.cmml"><msub id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.4" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.3" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.5" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.2" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.2.cmml">W</mi><mn id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.3" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.16.m3.3b"><list id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.4.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3"><apply id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.16.m3.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.16.m3.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.2">𝑊</ci><cn id="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.16.m3.3.3.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.16.m3.3c">\Lambda_{W_{1}},\Lambda_{W_{2}},\Lambda_{W_{3}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.16.m3.3d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be evaluated using Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem2" title="Corollary 6.2 (A factorisation lemma for correlations). ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.2</span></a>, and it gives us our main term. All the other averages involving at least one copy of <math alttext="E_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.17.m4.1"><semantics id="S7.SS1.p3.17.m4.1a"><msubsup id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.3" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.17.m4.1b"><apply id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p3.17.m4.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.17.m4.1c">E_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.17.m4.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> involve the correlations of a Dirichlet character of large conductor, and (after some work) they can be shown to be small by using the Weil bound.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p4.6">If we tried to run the same argument with the simpler model <math alttext="\Lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p4.1.m1.1a"><msub id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mi id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.2">Λ</ci><ci id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.1.m1.1c">\Lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.1.m1.1d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we would run into serious trouble, since we can only save an arbitrary power of logarithm in the Gowers norm <math alttext="\|\Lambda-\Lambda_{W_{j}}\|_{U^{s}[N]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.2.m2.2"><semantics id="S7.SS1.p4.2.m2.2a"><msub id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow><mo id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.2" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.2.m2.2b"><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1"><minus id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1"><times id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.2.m2.2c">\|\Lambda-\Lambda_{W_{j}}\|_{U^{s}[N]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.2.m2.2d">∥ roman_Λ - roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, whereas we would need to save at least <math alttext="w_{j+1}^{C(\log\log N)^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S7.SS1.p4.3.m3.1a"><msubsup id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.1" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.3" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2">𝑤</ci><apply id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3"><plus id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1"><times id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><cn id="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.3.m3.1c">w_{j+1}^{C(\log\log N)^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.3.m3.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which is bigger since <math alttext="w_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S7.SS1.p4.4.m4.1a"><msub id="S7.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.4.m4.1b"><apply id="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.4.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.4.m4.1c">w_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.4.m4.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> needs to be at least a large power of logarithm. The use of the Siegel model rectifies this, since we have a much better quasipolynomial bound on <math alttext="\|\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}\|_{U^{k}[N]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.5.m5.2"><semantics id="S7.SS1.p4.5.m5.2a"><msub id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow><mo id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.cmml"><msup id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.2" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.5.m5.2b"><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1"><minus id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2"><ci id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1"><times id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2"></times><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.5.m5.2c">\|\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}\|_{U^{k}[N]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.5.m5.2d">∥ roman_Λ - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as a function of <math alttext="w_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.6.m6.1"><semantics id="S7.SS1.p4.6.m6.1a"><msub id="S7.SS1.p4.6.m6.1.1" xref="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.6.m6.1b"><apply id="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.6.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.6.m6.1c">w_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.6.m6.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S7.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">7.2. </span>Correlations of the Siegel model</h3> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.p1.1">In what follows, we will need the following simple lemma.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S7.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.Thmtheorem1.1.1.1">Lemma 7.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.Thmtheorem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S7.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.Thmtheorem1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6">Let <math alttext="k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> be fixed, and let <math alttext="P_{1},...,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><msub id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.4" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4"><in id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3"></in><list id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4"><times id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.1"></times><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4c">P_{1},...,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> be fixed polynomials. Let <math alttext="\beta_{p}(m),\beta_{p}^{\prime}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4"><semantics id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4a"><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml"><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.cmml"><msub id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.3.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.cmml"><msubsup id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4b"><list id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2"><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1"><times id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1"></times><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2"><times id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.1"></times><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2">𝑚</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4c">\beta_{p}(m),\beta_{p}^{\prime}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m )</annotation></semantics></math> be as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.E5" title="In item 2 ‣ Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.5</span></a>). For any <math alttext="N\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"><geq id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1"></geq><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1c">N\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1d">italic_N ≥ 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2"><in id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.1"></in><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="A>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"><gt id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1"></gt><ci id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1c">A>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1d">italic_A > 0</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx89"> <tbody id="S7.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{p>(\log N)^{2A}}\beta_{p}(m)=1+O_{A}((\log N)^{-A}),\quad% \prod_{p>(\log N)^{2A}}\beta^{\prime}(m)=1+O_{A}((\log N)^{-A})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex9.m1.6"><semantics id="S7.Ex9.m1.6a"><mrow id="S7.Ex9.m1.6.6.2" xref="S7.Ex9.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S7.Ex9.m1.5.5.1.1" xref="S7.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex9.m1.5.5.1.1.3" xref="S7.Ex9.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S7.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1a" 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xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.1" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.3.2" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.cmml"><mo id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex9.m1.4.4" xref="S7.Ex9.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.2" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mn id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.3" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.2" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.1" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.1.3.2" xref="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.Ex9.m1.6.6.2.2.1.1.3.3" 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ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.1.p1.4">Note first that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx90"> <tbody id="S7.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{p}{p-1}\right)^{k}\left(1-\frac{k}{p}\right)\leq\beta% _{p}(m)\leq\begin{cases}\left(\frac{p}{p-1}\right)^{k}\left(1-\frac{k}{p}% \right),\quad&p\nmid\prod_{1\leq i<j\leq k}(P_{i}(m)-P_{j}(m))\\ \left(\frac{p}{p-1}\right)^{k},\quad&p\mid\prod_{1\leq i<j\leq k}(P_{i}(m)-P_{% j}(m)).\end{cases}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex10.m1.7"><semantics id="S7.Ex10.m1.7a"><mrow id="S7.Ex10.m1.7.7" xref="S7.Ex10.m1.7.7.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.7.7.1" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.cmml"><msup id="S7.Ex10.m1.7.7.1.3" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.2.2" xref="S7.Ex10.m1.5.5.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.2.2.1" xref="S7.Ex10.m1.5.5.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex10.m1.5.5" xref="S7.Ex10.m1.5.5.cmml"><mfrac id="S7.Ex10.m1.5.5a" xref="S7.Ex10.m1.5.5.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.5.5.2" xref="S7.Ex10.m1.5.5.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.Ex10.m1.5.5.3" xref="S7.Ex10.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.5.5.3.2" xref="S7.Ex10.m1.5.5.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex10.m1.5.5.3.1" xref="S7.Ex10.m1.5.5.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex10.m1.5.5.3.3" xref="S7.Ex10.m1.5.5.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.2.2.2" xref="S7.Ex10.m1.5.5.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.3" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.1.2" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3a" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.3" xref="S7.Ex10.m1.7.7.3.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.7.7.4" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.cmml"><msub id="S7.Ex10.m1.7.7.4.2" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.2" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.3" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.4.1" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex10.m1.7.7.4.3.2" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex10.m1.6.6" xref="S7.Ex10.m1.6.6.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.7.7.5" xref="S7.Ex10.m1.7.7.5.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.4.4a" xref="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.4.4a.5" xref="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S7.Ex10.m1.4.4.4a" rowspacing="0pt" xref="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.cmml"><mtr id="S7.Ex10.m1.4.4.4aa" xref="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.Ex10.m1.4.4.4ab" xref="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msup id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.1" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mfrac></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.Ex10.m1.4.4.4ac" xref="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.5" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.5.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.4" rspace="0.111em" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.4.cmml">∤</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2" rspace="0em" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml"><mn id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.3" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.4" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.5" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.5.cmml"><</mo><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.6" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.6.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.7" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.7.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.8" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.8.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.Ex10.m1.4.4.4ad" xref="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.Ex10.m1.4.4.4ae" xref="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><msup id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S7.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" 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xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.5" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.5.cmml"><</mo><mi id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.6" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.6.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.7" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.7.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.8" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2.3.8.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.2" lspace="0em" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex10.m1.7b"><apply id="S7.Ex10.m1.7.7.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7"><and id="S7.Ex10.m1.7.7a.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7"></and><apply id="S7.Ex10.m1.7.7b.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7"><leq id="S7.Ex10.m1.7.7.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.3"></leq><apply id="S7.Ex10.m1.7.7.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1"><times id="S7.Ex10.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.2"></times><apply id="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.3">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex10.m1.5.5.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.2.2"><divide id="S7.Ex10.m1.5.5.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.2.2"></divide><ci id="S7.Ex10.m1.5.5.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.5.5.2">𝑝</ci><apply id="S7.Ex10.m1.5.5.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.5.5.3"><minus id="S7.Ex10.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.5.5.3.1"></minus><ci id="S7.Ex10.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.5.5.3.2">𝑝</ci><cn id="S7.Ex10.m1.5.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex10.m1.5.5.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1"><minus id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3"><divide id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex10.m1.7.7.4.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4"><times id="S7.Ex10.m1.7.7.4.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.1"></times><apply id="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.4.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.Ex10.m1.6.6.cmml" xref="S7.Ex10.m1.6.6">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex10.m1.7.7c.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7"><leq id="S7.Ex10.m1.7.7.5.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.Ex10.m1.7.7.4.cmml" id="S7.Ex10.m1.7.7d.cmml" xref="S7.Ex10.m1.7.7"></share><apply id="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.4.4a"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex10.m1.7.7.6.1.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.4.4a.5">cases</csymbol><apply id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2"></times><apply id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" 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id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><divide id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.4">not-divides</csymbol><ci id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.5.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.5">𝑝</ci><apply id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3"><apply id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2">product</csymbol><apply id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3"><and id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3a.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3"></and><apply id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3b.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3"><leq id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.3"></leq><cn id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.2">1</cn><ci id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.4.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3c.cmml" xref="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3"><lt id="S7.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.5.cmml" 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xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex10.m1.7c">\displaystyle\left(\frac{p}{p-1}\right)^{k}\left(1-\frac{k}{p}\right)\leq\beta% _{p}(m)\leq\begin{cases}\left(\frac{p}{p-1}\right)^{k}\left(1-\frac{k}{p}% \right),\quad&p\nmid\prod_{1\leq i<j\leq k}(P_{i}(m)-P_{j}(m))\\ \left(\frac{p}{p-1}\right)^{k},\quad&p\mid\prod_{1\leq i<j\leq k}(P_{i}(m)-P_{% j}(m)).\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex10.m1.7d">( divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_p - 1 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - divide start_ARG italic_k end_ARG start_ARG italic_p end_ARG ) ≤ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ≤ { start_ROW start_CELL ( divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_p - 1 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - divide start_ARG italic_k end_ARG start_ARG italic_p end_ARG ) , end_CELL start_CELL italic_p ∤ ∏ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_p - 1 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL start_CELL italic_p ∣ ∏ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.1.p1.3">Since <math alttext="\prod_{p>(\log N)^{2A}}(\frac{p}{p-1})^{k}(1-\frac{k}{p})=1+O_{A}((\log N)^{-2% A})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4"><semantics id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4a"><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">></mo><msup id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1" 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id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow></msub><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2.1" lspace="0em" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mfrac></mrow><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.cmml"><mn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.cmml"><msub id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3a" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">A</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4b"><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4"><eq id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.3"></eq><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1"><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1"><gt id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.2"></gt><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1"><times id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2"></times><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2"><divide id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2"></divide><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2">𝑝</ci><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3"><minus id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.1"></minus><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><divide id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2"><plus id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.2"></plus><cn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.3">1</cn><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1"><times id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.2"></times><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"><minus id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2"><times id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4c">\prod_{p>(\log N)^{2A}}(\frac{p}{p-1})^{k}(1-\frac{k}{p})=1+O_{A}((\log N)^{-2% A})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.1.p1.1.m1.4d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p > ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_p - 1 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - divide start_ARG italic_k end_ARG start_ARG italic_p end_ARG ) = 1 + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_A end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, the claim follows by observing that for any <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.1" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2"><in id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.2.m2.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.1.p1.2.m2.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="1\leq i<j\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.4" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.5" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.6" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.6.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.7" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.8" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.8.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1b"><apply id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1"><and id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1a.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1"></and><apply id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1b.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1"><leq id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.3"></leq><cn id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1c.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1"><lt id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.4.cmml" id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1d.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1"></share><ci id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.6">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1e.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1"><leq id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.7.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.6.cmml" id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1f.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1"></share><ci id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.8.cmml" xref="S7.SS2.1.p1.3.m3.1.1.8">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1c">1\leq i<j\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.1.p1.3.m3.1d">1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx91"> <tbody id="S7.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{\begin{subarray}{c}p\mid P_{i}(m)-P_{j}(m)\\ p>(\log N)^{2A}\end{subarray}}\left(\frac{p}{p-1}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex11.m1.2"><semantics id="S7.Ex11.m1.2a"><mrow id="S7.Ex11.m1.2.3" xref="S7.Ex11.m1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex11.m1.2.3.1" xref="S7.Ex11.m1.2.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex11.m1.2.3.1a" xref="S7.Ex11.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex11.m1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex11.m1.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mtable id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">∣</mo><mrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml"><msub id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml"><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml"><msub id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml"><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2.2" stretchy="false" 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xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex11.m1.2.3.2.2" xref="S7.Ex11.m1.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex11.m1.2.3.2.2.1" xref="S7.Ex11.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex11.m1.2.2" xref="S7.Ex11.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S7.Ex11.m1.2.2a" xref="S7.Ex11.m1.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m1.2.2.2" xref="S7.Ex11.m1.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.Ex11.m1.2.2.3" xref="S7.Ex11.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex11.m1.2.2.3.2" xref="S7.Ex11.m1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex11.m1.2.2.3.1" xref="S7.Ex11.m1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex11.m1.2.2.3.3" xref="S7.Ex11.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S7.Ex11.m1.2.3.2.2.2" xref="S7.Ex11.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex11.m1.2b"><apply id="S7.Ex11.m1.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.3"><apply id="S7.Ex11.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex11.m1.2.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.3.1.2">product</csymbol><list id="S7.Ex11.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑝</ci><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5"><minus id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1"></minus><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2"><times id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1"></times><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3"><times id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1"></times><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1"><gt id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2"></gt><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><times id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1"></times><cn id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S7.Ex11.m1.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.3.2.2"><divide id="S7.Ex11.m1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.3.2.2"></divide><ci id="S7.Ex11.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.2.2">𝑝</ci><apply id="S7.Ex11.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.2.3"><minus id="S7.Ex11.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.2.3.1"></minus><ci id="S7.Ex11.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex11.m1.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S7.Ex11.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex11.m1.2c">\displaystyle\prod_{\begin{subarray}{c}p\mid P_{i}(m)-P_{j}(m)\\ p>(\log N)^{2A}\end{subarray}}\left(\frac{p}{p-1}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex11.m1.2d">∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p > ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_p - 1 end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\exp\left(\sum_{\begin{subarray}{c}p\mid P_{i}(m)-P_{j}(m)\\ p>(\log N)^{2A}\end{subarray}}\frac{1}{p-1}\right)\leq\exp\left(\frac{2\log(|P% _{i}(m)-P_{j}(m)|+2)}{(\log N)^{2A}-1}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex11.m2.9"><semantics id="S7.Ex11.m2.9a"><mrow id="S7.Ex11.m2.9.9" xref="S7.Ex11.m2.9.9.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.9.9.3" xref="S7.Ex11.m2.9.9.3.cmml"></mi><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.4" xref="S7.Ex11.m2.9.9.4.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.7.7" xref="S7.Ex11.m2.7.7.cmml">exp</mi><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1a" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.2" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1a" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1b" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">∣</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml"><msub id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2" 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xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1c" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1d" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml">></mo><msup id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2a" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.1" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.5" xref="S7.Ex11.m2.9.9.5.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.9.9.6.2" xref="S7.Ex11.m2.9.9.6.1.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.8.8" xref="S7.Ex11.m2.8.8.cmml">exp</mi><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.6.2a" xref="S7.Ex11.m2.9.9.6.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m2.9.9.6.2.1" xref="S7.Ex11.m2.9.9.6.1.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.6.2.1.1" xref="S7.Ex11.m2.9.9.6.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex11.m2.6.6" xref="S7.Ex11.m2.6.6.cmml"><mfrac id="S7.Ex11.m2.6.6a" xref="S7.Ex11.m2.6.6.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.cmml"><mn id="S7.Ex11.m2.5.5.4.6" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.6.cmml">2</mn><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.5" lspace="0.167em" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.5.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.4.4.3.3" xref="S7.Ex11.m2.4.4.3.3.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1a" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.2.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex11.m2.2.2.1.1" xref="S7.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex11.m2.3.3.2.2" xref="S7.Ex11.m2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.2" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mn id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.3" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S7.Ex11.m2.6.6.5" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.cmml"><msup id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.cmml"><mrow id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.2" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.1" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.3" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.3.cmml">A</mi></mrow></msup><mo id="S7.Ex11.m2.6.6.5.2" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.2.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex11.m2.6.6.5.3" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S7.Ex11.m2.9.9.6.2.1.2" xref="S7.Ex11.m2.9.9.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex11.m2.9b"><apply id="S7.Ex11.m2.9.9.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9"><and id="S7.Ex11.m2.9.9a.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9"></and><apply id="S7.Ex11.m2.9.9b.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9"><leq id="S7.Ex11.m2.9.9.4.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.4"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex11.m2.9.9.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.3">absent</csymbol><apply id="S7.Ex11.m2.9.9.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1"><exp id="S7.Ex11.m2.7.7.cmml" xref="S7.Ex11.m2.7.7"></exp><apply id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2"></sum><list id="S7.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑝</ci><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5"><minus id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1"></minus><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2"><times id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1"></times><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3"><times id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1"></times><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1"><gt id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2"></gt><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><times id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1"></times><cn id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2"><divide id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.2">1</cn><apply id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3"><minus id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex11.m2.9.9c.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9"><leq id="S7.Ex11.m2.9.9.5.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.Ex11.m2.9.9.1.cmml" id="S7.Ex11.m2.9.9d.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9"></share><apply id="S7.Ex11.m2.9.9.6.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.9.9.6.2"><exp id="S7.Ex11.m2.8.8.cmml" xref="S7.Ex11.m2.8.8"></exp><apply id="S7.Ex11.m2.6.6.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6"><divide id="S7.Ex11.m2.6.6.6.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6"></divide><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4"><times id="S7.Ex11.m2.5.5.4.5.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.5"></times><cn id="S7.Ex11.m2.5.5.4.6.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.6">2</cn><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1"><log id="S7.Ex11.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.4.4.3.3"></log><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1"><plus id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.2"></plus><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1"><abs id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S7.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.2.2.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex11.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.3.3.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply><cn id="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m2.5.5.4.4.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex11.m2.6.6.5.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5"><minus id="S7.Ex11.m2.6.6.5.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.2"></minus><apply id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1"><log id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3"><times id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.1"></times><cn id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.2">2</cn><ci id="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply><cn id="S7.Ex11.m2.6.6.5.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex11.m2.6.6.5.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex11.m2.9c">\displaystyle\leq\exp\left(\sum_{\begin{subarray}{c}p\mid P_{i}(m)-P_{j}(m)\\ p>(\log N)^{2A}\end{subarray}}\frac{1}{p-1}\right)\leq\exp\left(\frac{2\log(|P% _{i}(m)-P_{j}(m)|+2)}{(\log N)^{2A}-1}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex11.m2.9d">≤ roman_exp ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p > ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p - 1 end_ARG ) ≤ roman_exp ( divide start_ARG 2 roman_log ( | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | + 2 ) end_ARG start_ARG ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_A end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ll(\log N)^{-A}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex12.m1.1"><semantics id="S7.Ex12.m1.1a"><mrow id="S7.Ex12.m1.1.1.1" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.2.cmml">≪</mo><msup id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S7.Ex12.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex12.m1.1b"><apply id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.2">much-less-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex12.m1.1c">\displaystyle\ll(\log N)^{-A}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex12.m1.1d">≪ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.1.p1.5">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.p2.1">We proceed to calculate the correlations of the Siegel model <math alttext="\widetilde{\Lambda}_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S7.SS2.p2.1.m1.1a"><msub id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2"><ci id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2">Λ</ci></apply><ci id="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.p2.1.m1.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.p2.1.m1.1c">\widetilde{\Lambda}_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.p2.1.m1.1d">over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (given in Definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem4" title="Definition 4.4 (The Siegel model). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>)) along polynomial progressions; this will give the main term in Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S7.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.Thmtheorem2.1.1.1">Lemma 7.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.Thmtheorem2.2.2"> </span>(Siegel model correlations)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.Thmtheorem2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S7.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.Thmtheorem2.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7">Let <math alttext="k,d\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.2.cmml">d</mi></mrow><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3"><in id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><list id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.2">𝑑</ci></list><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2c">k,d\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.2d">italic_k , italic_d ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> be fixed, and let <math alttext="P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><msub id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.4" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4"><in id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.3"></in><list id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4"><times id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.1"></times><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.2">ℤ</ci><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4c">P_{1},\ldots,P_{k}\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> be fixed polynomials of degree at most <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1d">italic_d</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="N\geq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1"><geq id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.1"></geq><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1c">N\geq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1d">italic_N ≥ 3</annotation></semantics></math>, <math alttext="A>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1"><gt id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1"></gt><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1c">A>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1d">italic_A > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\log N)^{A}\leq w_{1},\ldots,w_{k}\leq\exp((\log N)^{1/2}/(100k))" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4"><semantics id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4a"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.cmml"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.cmml"><msup id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.2.cmml">,</mo><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.cmml">…</mi></mrow></mrow><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.cmml"><msub id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.2.cmml">w</mi><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1a" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">/</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">100</mn><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4b"><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.3a.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1"><leq id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.3.cmml" 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xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.2.2">…</ci></list></apply><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2"><leq id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.2"></leq><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.3.3.cmml" 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xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">100</cn><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4c">(\log N)^{A}\leq w_{1},\ldots,w_{k}\leq\exp((\log N)^{1/2}/(100k))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.4d">( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / ( 100 italic_k ) )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="W_{j}=\prod_{p\leq w_{j}}p" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml"><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.1" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.1.cmml">≤</mo><msub id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.2.cmml">w</mi><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.3" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></msub><mi id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.2" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1"><eq id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3"><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3"><leq id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.1"></leq><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><apply id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.2">𝑤</ci><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.3.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1c">W_{j}=\prod_{p\leq w_{j}}p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p</annotation></semantics></math>.</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S7.I1"> <li class="ltx_item" id="S7.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(1)</span> <div class="ltx_para" id="S7.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.I1.i1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.I1.i1.p1.3.1">We have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx92"> <tbody id="S7.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\widetilde{\Lambda}_{W_{j}% }(n+P_{j}(m))=\prod_{p}\beta_{p}(m)+O_{A}((\log N)^{-A})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex13.m1.4"><semantics id="S7.Ex13.m1.4a"><mrow id="S7.Ex13.m1.4.4" xref="S7.Ex13.m1.4.4.cmml"><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S7.Ex13.m1.3.3.1.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.3.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.3.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2a" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex13.m1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex13.m1.4.4.3" xref="S7.Ex13.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex13.m1.4.4.2" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S7.Ex13.m1.4.4.2.3" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex13.m1.4.4.2.3.1" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex13.m1.4.4.2.3.1a" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex13.m1.4.4.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mi 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id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.3.2" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.3.3" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.2" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex13.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" 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ltx_font_italic" id="S7.I1.i1.p1.2.1">for all but </span><math alttext="\ll_{A}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><apply id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1"><divide id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1c">\ll_{A}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.I1.i1.p1.1.m1.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.I1.i1.p1.2.2"> integers </span><math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.1" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2"><in id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.1"></in><ci id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.I1.i1.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S7.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(2)</span> <div class="ltx_para" id="S7.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.I1.i2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.I1.i2.p1.3.1">We have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx93"> <tbody id="S7.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{m\leq N}\prod_{j=1}^{k}\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}(n+% P_{j}(m))=\prod_{p}\beta_{p}^{\prime}(n)+O_{A}((\log N)^{-A})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex14.m1.4"><semantics id="S7.Ex14.m1.4a"><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4" xref="S7.Ex14.m1.4.4.cmml"><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S7.Ex14.m1.3.3.1.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.3.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.3.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2a" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex14.m1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.3" xref="S7.Ex14.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.1" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.1a" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.1.3" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.cmml"><msubsup id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.2.2.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.2.2.3" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.2.3" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.1" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.3.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.cmml"><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex14.m1.2.2" xref="S7.Ex14.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.cmml"><msub id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.3" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.3.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.3.3" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex14.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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P_{j}(m))=\prod_{p}\beta_{p}^{\prime}(n)+O_{A}((\log N)^{-A})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex14.m1.4d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.I1.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.I1.i2.p1.2.1">for all but </span><math alttext="\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><apply id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1"><divide id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1c">\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.I1.i2.p1.1.m1.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.I1.i2.p1.2.2"> integers </span><math alttext="n\in[N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><in id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2"></in><ci id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1c">n\in[N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_n ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.I1.i2.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S7.SS2.8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.SS2.2.p1.5.1">Proof of part (1).</span> By definition, we can decompose</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx94"> <tbody id="S7.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}(n)=\Lambda_{W_{j}}(n)-\Lambda_{W_{j}}% (n)|n|^{\widetilde{\beta}_{j}-1}\widetilde{\chi}_{j}(|n|)." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex15.m1.6"><semantics id="S7.Ex15.m1.6a"><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.2.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.3.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex15.m1.1.1" xref="S7.Ex15.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex15.m1.2.2" xref="S7.Ex15.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.4.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex15.m1.3.3" xref="S7.Ex15.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.1.cmml"><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S7.Ex15.m1.4.4" xref="S7.Ex15.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.cmml"><msub id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.2b" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.3" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.2c" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S7.Ex15.m1.5.5" xref="S7.Ex15.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex15.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex15.m1.6b"><apply id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1"><eq id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.2.cmml" 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cd="ambiguous" id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.2"><abs id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.2.2.1"></abs><ci id="S7.Ex15.m1.4.4.cmml" xref="S7.Ex15.m1.4.4">𝑛</ci></apply><apply id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3"><minus id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.1"></minus><apply id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2"><ci id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.5.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2"><ci id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.6.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"><abs id="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex15.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></abs><ci id="S7.Ex15.m1.5.5.cmml" xref="S7.Ex15.m1.5.5">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex15.m1.6c">\displaystyle\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}(n)=\Lambda_{W_{j}}(n)-\Lambda_{W_{j}}% (n)|n|^{\widetilde{\beta}_{j}-1}\widetilde{\chi}_{j}(|n|).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex15.m1.6d">over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) - roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) | italic_n | start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( | italic_n | ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.2.p1.6">Substituting this into the left-hand side of the first statement, we see that it suffices to show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx95"> <tbody id="S7.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(n+P_{j}(m)% )=\prod_{p}\beta_{p}(m)+O_{A}((\log N)^{-A})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E3.m1.4"><semantics id="S7.E3.m1.4a"><mrow id="S7.E3.m1.4.4" xref="S7.E3.m1.4.4.cmml"><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S7.E3.m1.3.3.1.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.3.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2a" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E3.m1.1.1" xref="S7.E3.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E3.m1.4.4.3" xref="S7.E3.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2.3" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E3.m1.4.4.2.3.1" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.cmml"><munder id="S7.E3.m1.4.4.2.3.1a" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.cmml"><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.3" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.cmml"><msub id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.3" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.1" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.3.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.cmml"><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E3.m1.2.2" xref="S7.E3.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2.1" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.cmml"><msub id="S7.E3.m1.4.4.2.1.3" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.3" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.1.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3a" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup><mo id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E3.m1.4b"><apply id="S7.E3.m1.4.4.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4"><eq id="S7.E3.m1.4.4.3.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.3"></eq><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1"><times id="S7.E3.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3"><leq id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.1"></leq><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1"><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3"><eq id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1"><times id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.2">Λ</ci><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E3.m1.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2"><plus id="S7.E3.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.2"></plus><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3"><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.2">product</csymbol><ci id="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.3.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2"><times id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.1"></times><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.3.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.3.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.E3.m1.2.2.cmml" xref="S7.E3.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1"><times id="S7.E3.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.2"></times><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.3.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"><minus id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E3.m1.4c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(n+P_{j}(m)% )=\prod_{p}\beta_{p}(m)+O_{A}((\log N)^{-A})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E3.m1.4d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.2.p1.2">for all <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1"><semantics id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.2" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.1" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1b"><apply id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2"><in id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.1.m1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.2.p1.1.m1.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math>, and that, for any nonempty set <math alttext="\mathcal{J}\subset[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1"><semantics id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.2" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.2.cmml">𝒥</mi><mo id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.1" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⊂</mo><mrow id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1b"><apply id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2"><subset id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.1"></subset><ci id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.2">𝒥</ci><apply id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.2.m2.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1c">\mathcal{J}\subset[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.2.p1.2.m2.1d">caligraphic_J ⊂ [ italic_k ]</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx96"> <tbody id="S7.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(n+P_{j}(m)% )\prod_{j\in\mathcal{J}}|n+P_{j}(m)|^{\widetilde{\beta}_{j}-1}\widetilde{\chi}% _{j}(|n+P_{j}(m)|)\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E4.m1.7"><semantics id="S7.E4.m1.7a"><mrow id="S7.E4.m1.7.7" xref="S7.E4.m1.7.7.cmml"><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.cmml"><msub id="S7.E4.m1.6.6.3.5" xref="S7.E4.m1.6.6.3.5.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.5.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.5.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.5.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.3.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.3.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.5.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.4" xref="S7.E4.m1.6.6.3.4.cmml"></mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E4.m1.6.6.3.3.4" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.cmml"><munderover id="S7.E4.m1.6.6.3.3.4a" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.cmml"><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.3.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.3.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.3.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.4.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.cmml"><msub id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.2" mathvariant="normal" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.3.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.3.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.5.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.4" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.4.cmml"></mo><mrow id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E4.m1.1.1" xref="S7.E4.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.4a" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.4.cmml"></mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.cmml"><munder id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3a" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.cmml"><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.2" movablelimits="false" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.cmml"><msup id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E4.m1.2.2" xref="S7.E4.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S7.E4.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.2.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.2.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.2.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.3a" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.cmml"><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E4.m1.3.3" xref="S7.E4.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><msub id="S7.E4.m1.7.7.5" xref="S7.E4.m1.7.7.5.cmml"><mo id="S7.E4.m1.7.7.5.2" xref="S7.E4.m1.7.7.5.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.E4.m1.7.7.5.3" xref="S7.E4.m1.7.7.5.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.E4.m1.7.7.4" xref="S7.E4.m1.7.7.4.cmml"><mrow id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.1" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.2" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E4.m1.7.7.4.3" xref="S7.E4.m1.7.7.4.3.cmml"><mo id="S7.E4.m1.7.7.4.3a" xref="S7.E4.m1.7.7.4.3.cmml">−</mo><mi id="S7.E4.m1.7.7.4.3.2" xref="S7.E4.m1.7.7.4.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E4.m1.7b"><apply id="S7.E4.m1.7.7.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7"><apply id="S7.E4.m1.7.7.5.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E4.m1.7.7.5.1.cmml" 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cd="ambiguous" id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E4.m1.6.6.3.3.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E4.m1.3.3.cmml" xref="S7.E4.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E4.m1.7.7.4.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E4.m1.7.7.4.2.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.4">superscript</csymbol><apply id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1"><log id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.4.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E4.m1.7.7.4.3.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.4.3"><minus id="S7.E4.m1.7.7.4.3.1.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.4.3"></minus><ci id="S7.E4.m1.7.7.4.3.2.cmml" xref="S7.E4.m1.7.7.4.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E4.m1.7c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(n+P_{j}(m)% )\prod_{j\in\mathcal{J}}|n+P_{j}(m)|^{\widetilde{\beta}_{j}-1}\widetilde{\chi}% _{j}(|n+P_{j}(m)|)\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E4.m1.7d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT | italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( | italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | ) ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.2.p1.4">for all but <math alttext="\ll_{A}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1"><semantics id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.3" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1b"><apply id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1"><apply id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1"><divide id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1c">\ll_{A}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.2.p1.3.m1.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1"><semantics id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.2" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.1" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.2" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.1" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1b"><apply id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2"><in id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.2.p1.4.m2.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.2.p1.4.m2.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math>. Note that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E3" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.3</span></a>) follows directly from Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem2" title="Corollary 6.2 (A factorisation lemma for correlations). ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.2</span></a> in view of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.Thmtheorem1" title="Lemma 7.1. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.1</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.3.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.3.p2.11">We are left with showing (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E4" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.4</span></a>). Using the identity</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx97"> <tbody id="S7.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle y^{\widetilde{\beta}-1}=1+\int_{1}^{CN^{d}}(\widetilde{\beta}-1)% u^{\widetilde{\beta}-2}1_{u\leq y}\textnormal{ d}u" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E5.m1.1"><semantics id="S7.E5.m1.1a"><mrow id="S7.E5.m1.1.1" xref="S7.E5.m1.1.1.cmml"><msup id="S7.E5.m1.1.1.3" xref="S7.E5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E5.m1.1.1.3.2" xref="S7.E5.m1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="S7.E5.m1.1.1.3.3" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E5.m1.1.1.3.3.2" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.1" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S7.E5.m1.1.1.3.3.1" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.E5.m1.1.1.3.3.3" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S7.E5.m1.1.1.2" xref="S7.E5.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.E5.m1.1.1.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.E5.m1.1.1.1.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.E5.m1.1.1.1.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2a" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msubsup></mstyle><mrow id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mrow id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">u</mi><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mtext id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.5a.cmml"> d</mtext><mo id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2c" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.6" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E5.m1.1b"><apply id="S7.E5.m1.1.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1"><eq id="S7.E5.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.2"></eq><apply id="S7.E5.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="S7.E5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3"><minus id="S7.E5.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.2"><ci id="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci></apply><cn id="S7.E5.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E5.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1"><plus id="S7.E5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.2"></plus><cn id="S7.E5.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.E5.m1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1"><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2"></int><cn id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐶</ci><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1"><times id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci></apply><cn id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci></apply><cn id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><apply id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3"><leq id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.1"></leq><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑢</ci><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.5a.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.5"><mtext id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.5"> d</mtext></ci><ci id="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S7.E5.m1.1.1.1.1.1.6">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E5.m1.1c">\displaystyle y^{\widetilde{\beta}-1}=1+\int_{1}^{CN^{d}}(\widetilde{\beta}-1)% u^{\widetilde{\beta}-2}1_{u\leq y}\textnormal{ d}u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E5.m1.1d">italic_y start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = 1 + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG italic_β end_ARG - 1 ) italic_u start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG - 2 end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_u ≤ italic_y end_POSTSUBSCRIPT d italic_u</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.3.p2.3">for <math alttext="1\leq y\leq CN^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1"><semantics id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.4" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.4.cmml">y</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.5" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.2" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.2.cmml">C</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.1" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.3" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1b"><apply id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1"><and id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1a.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1"></and><apply id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1b.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1"><leq id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.4">𝑦</ci></apply><apply id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1c.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1"><leq id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.4.cmml" id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1d.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1"></share><apply id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6"><times id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.1"></times><ci id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.2">𝐶</ci><apply id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.1.m1.1.1.6.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1c">1\leq y\leq CN^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.1.m1.1d">1 ≤ italic_y ≤ italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and exchanging the order of integration and summation, we reduce to showing that for all but <math alttext="\ll_{A}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1"><semantics id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1b"><apply id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1"><apply id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1"><divide id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.2.m2.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1c">\ll_{A}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.2.m2.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> choices of <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1"><semantics id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.1" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1b"><apply id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2"><in id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.3.m3.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.3.m3.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx98"> <tbody id="S7.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(n+P_{j}(m)% )\prod_{j\in\mathcal{J}}1_{|n+P_{j}(m)|\geq u_{j}}\widetilde{\chi}_{j}(|n+P_{j% }(m)|)\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex16.m1.7"><semantics id="S7.Ex16.m1.7a"><mrow id="S7.Ex16.m1.7.7" xref="S7.Ex16.m1.7.7.cmml"><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.cmml"><msub id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.cmml"><munderover id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3a" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.3.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.3.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.3.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.cmml"><msub id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex16.m1.3.3" xref="S7.Ex16.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.3a" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><munder id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2a" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml"><msub id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.Ex16.m1.2.2.2" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex16.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.Ex16.m1.2.2.2.3" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.3.cmml">≥</mo><msub id="S7.Ex16.m1.2.2.2.4" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.2" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.2.cmml">u</mi><mi id="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.3" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow></msub><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><msub id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.2a" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex16.m1.4.4" xref="S7.Ex16.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><msub id="S7.Ex16.m1.7.7.4" xref="S7.Ex16.m1.7.7.4.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.7.7.4.2" xref="S7.Ex16.m1.7.7.4.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.Ex16.m1.7.7.4.3" xref="S7.Ex16.m1.7.7.4.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.Ex16.m1.7.7.3" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.cmml"><mrow id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex16.m1.7.7.3.3" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.3.cmml"><mo id="S7.Ex16.m1.7.7.3.3a" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.3.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex16.m1.7.7.3.3.2" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex16.m1.7b"><apply id="S7.Ex16.m1.7.7.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7"><apply id="S7.Ex16.m1.7.7.4.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.7.7.4.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.4">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex16.m1.7.7.4.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.4.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.Ex16.m1.7.7.4.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.4.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2"><times id="S7.Ex16.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.3"></times><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.2">𝔼</ci><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3"><leq id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.1"></leq><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.4.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2"><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.3.2.2.cmml" 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id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1"><plus id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex16.m1.3.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2"><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3"><in id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.1"></in><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.3">𝒥</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1"><times id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><cn id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.3.2">1</cn><apply id="S7.Ex16.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2"><geq id="S7.Ex16.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.3"></geq><apply id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1"><abs id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.2"></abs><apply id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.1.1.1.1">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.2">𝑢</ci><ci id="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.2.2.2.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2"><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex16.m1.4.4.cmml" xref="S7.Ex16.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex16.m1.7.7.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex16.m1.7.7.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1"><log id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex16.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.3"><minus id="S7.Ex16.m1.7.7.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.3"></minus><ci id="S7.Ex16.m1.7.7.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex16.m1.7.7.3.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex16.m1.7c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(n+P_{j}(m)% )\prod_{j\in\mathcal{J}}1_{|n+P_{j}(m)|\geq u_{j}}\widetilde{\chi}_{j}(|n+P_{j% }(m)|)\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex16.m1.7d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT | italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | ≥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( | italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | ) ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.3.p2.9">for all <math alttext="u_{j}\in[1,N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2"><semantics id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.cmml"><msub id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.3" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S7.SS2.3.p2.4.m1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2b"><apply id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2"><in id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.2"></in><apply id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="closed" id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1"><cn id="S7.SS2.3.p2.4.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.1.1">1</cn><apply id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.4.m1.2.2.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2c">u_{j}\in[1,N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.4.m1.2d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 1 , italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. Since the condition <math alttext="|n+P_{j}(m)|\geq u_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2"><semantics id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.3.p2.5.m2.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.2.cmml">≥</mo><msub id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.3" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2b"><apply id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2"><geq id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.2"></geq><apply id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1"><abs id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1"><plus id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3"><times id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS2.3.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.1.1">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.5.m2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2c">|n+P_{j}(m)|\geq u_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.5.m2.2d">| italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | ≥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is equivalent to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.6.m3.1"><semantics id="S7.SS2.3.p2.6.m3.1a"><mi id="S7.SS2.3.p2.6.m3.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.6.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.6.m3.1b"><ci id="S7.SS2.3.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.6.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.6.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.6.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math> belonging to a union of two intervals and since <math alttext="\widetilde{\chi}_{j}(-n)=\widetilde{\chi}_{j}(-1)\widetilde{\chi}_{j}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3"><semantics id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.cmml"><mrow id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.cmml"><msub id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.3" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1a" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.3" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.cmml"><msub id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.3" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1a" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.2a" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.2.cmml"></mo><msub id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.3" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.2b" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.5.2" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.3.p2.7.m4.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3b"><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3"><eq id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.3"></eq><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1"><times id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.2"></times><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2"><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1"><minus id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2"><times id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.2"></times><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2"><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1"><minus id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1"></minus><cn id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2"><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.3.3.2.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS2.3.p2.7.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.7.m4.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3c">\widetilde{\chi}_{j}(-n)=\widetilde{\chi}_{j}(-1)\widetilde{\chi}_{j}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.7.m4.3d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( - italic_n ) = over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( - 1 ) over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>, we reduce to showing that for all but <math alttext="\ll_{A}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1"><semantics id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.3" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1b"><apply id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1"><apply id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1"><divide id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.8.m5.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1c">\ll_{A}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.8.m5.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> choices of <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1"><semantics id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.1" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1b"><apply id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2"><in id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.9.m6.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.9.m6.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx99"> <tbody id="S7.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq t}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(n+P_{j}(m))% \prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j}(n+P_{j}(m))\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E6.m2.5"><semantics id="S7.E6.m2.5a"><mrow id="S7.E6.m2.5.5" xref="S7.E6.m2.5.5.cmml"><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.cmml"><msub id="S7.E6.m2.4.4.2.4" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.4.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.4.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.cmml"><munderover id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3a" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E6.m2.1.1" xref="S7.E6.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.3a" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><munder id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2a" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.cmml"><msub id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E6.m2.2.2" xref="S7.E6.m2.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><msub id="S7.E6.m2.5.5.4" xref="S7.E6.m2.5.5.4.cmml"><mo id="S7.E6.m2.5.5.4.2" xref="S7.E6.m2.5.5.4.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.E6.m2.5.5.4.3" xref="S7.E6.m2.5.5.4.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.E6.m2.5.5.3" xref="S7.E6.m2.5.5.3.cmml"><mrow id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.1" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.2" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E6.m2.5.5.3.3" xref="S7.E6.m2.5.5.3.3.cmml"><mo id="S7.E6.m2.5.5.3.3a" xref="S7.E6.m2.5.5.3.3.cmml">−</mo><mi id="S7.E6.m2.5.5.3.3.2" xref="S7.E6.m2.5.5.3.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E6.m2.5b"><apply id="S7.E6.m2.5.5.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5"><apply id="S7.E6.m2.5.5.4.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E6.m2.5.5.4.1.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.4">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E6.m2.5.5.4.2.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.4.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.E6.m2.5.5.4.3.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.4.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2"><times id="S7.E6.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.3"></times><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.4.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E6.m2.4.4.2.4.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.4.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.2">𝔼</ci><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.3"><leq id="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.1"></leq><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.2">𝑛</ci><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2"><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3"><eq id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2"><times id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.3"></times><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.2">Λ</ci><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.E6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1"><plus id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E6.m2.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E6.m2.2.2.cmml" xref="S7.E6.m2.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E6.m2.5.5.3.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E6.m2.5.5.3.2.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.3">superscript</csymbol><apply id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1"><log id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.3.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E6.m2.5.5.3.3.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.3.3"><minus id="S7.E6.m2.5.5.3.3.1.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.3.3"></minus><ci id="S7.E6.m2.5.5.3.3.2.cmml" xref="S7.E6.m2.5.5.3.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E6.m2.5c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq t}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(n+P_{j}(m))% \prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j}(n+P_{j}(m))\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E6.m2.5d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.3.p2.10">for all <math alttext="t\in[N^{d}/(\log N)^{A},N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2"><semantics id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2a"><mrow id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.4" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.3" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow><mo id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.4" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2b"><apply id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2"><in id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.3"></in><ci id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.4.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2"><apply id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.3.p2.10.m1.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2c">t\in[N^{d}/(\log N)^{A},N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.3.p2.10.m1.2d">italic_t ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT , italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.4.p3"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.4.p3.17">Let</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S7.Ex17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Q=[\widetilde{q}_{1},\ldots\widetilde{q}_{k}]," class="ltx_Math" display="block" id="S7.Ex17.m1.1"><semantics id="S7.Ex17.m1.1a"><mrow id="S7.Ex17.m1.1.1.1" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.4" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.4.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">[</mo><msub id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"></mo><msub id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">q</mi><mo id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex17.m1.1.1.1.2" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex17.m1.1b"><apply id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1"><eq id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.3"></eq><ci id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.4">𝑄</ci><interval closure="closed" id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><cn id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">…</ci><apply id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2"><ci id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex17.m1.1c">Q=[\widetilde{q}_{1},\ldots\widetilde{q}_{k}],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex17.m1.1d">italic_Q = [ over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.4.p3.2">where we recall that <math alttext="\widetilde{q}_{j}\leq w_{j}\leq\exp((\log N)^{1/2}/(100k))" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2"><semantics id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">q</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.3" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.4" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.4.cmml">≤</mo><msub id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.2" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.2.cmml">w</mi><mi id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.3" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.6" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.6.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.1.m1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1a" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2"><ci id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.2">𝑤</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2c.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2"><leq id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.6.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.5.cmml" id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2d.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2"></share><apply id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1"><exp id="S7.SS2.4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.1.1"></exp><apply id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1"><divide id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><divide id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1"><times id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1"></times><cn id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">100</cn><ci id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2c">\widetilde{q}_{j}\leq w_{j}\leq\exp((\log N)^{1/2}/(100k))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.1.m1.2d">over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / ( 100 italic_k ) )</annotation></semantics></math> is the modulus of the character <math alttext="\widetilde{\chi}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1a"><msub id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.1" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2"><ci id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1c">\widetilde{\chi}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx100"> <tbody id="S7.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\log N)^{A}\ll_{A}Q\leq\exp((\log N)^{1/2}/100)," class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E7.m1.2"><semantics id="S7.E7.m1.2a"><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup><msub id="S7.E7.m1.2.2.1.1.4" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">A</mi></msub><mi id="S7.E7.m1.2.2.1.1.5" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.5.cmml">Q</mi><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.6" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.6.cmml">≤</mo><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.E7.m1.1.1" xref="S7.E7.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1a" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><msup id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml">100</mn></mrow><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E7.m1.2.2.1.2" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E7.m1.2b"><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1"><and id="S7.E7.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1"></and><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1"><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.4.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1"><log id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.1.3">𝐴</ci></apply><ci id="S7.E7.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.5">𝑄</ci></apply><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1"><leq id="S7.E7.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E7.m1.2.2.1.1.5.cmml" id="S7.E7.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1"></share><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1"><exp id="S7.E7.m1.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.1.1"></exp><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"><divide id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3"><divide id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.E7.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3">100</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E7.m1.2c">\displaystyle(\log N)^{A}\ll_{A}Q\leq\exp((\log N)^{1/2}/100),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E7.m1.2d">( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 100 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.4.p3.7">with the lower bound coming from Siegel’s bound. Splitting the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.3.m1.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.3.m1.1a"><mi id="S7.SS2.4.p3.3.m1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.3.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.3.m1.1b"><ci id="S7.SS2.4.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.3.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.3.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.3.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> variable in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E6" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.6</span></a>) into progressions <math alttext="\pmod{Q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2"><semantics id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.2.2.1" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.4.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml">Q</mi></mrow><mo id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2b"><apply id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.2.2"><ci id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.4.m2.1.1.1.1">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2c">\pmod{Q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.4.m2.2d">start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_Q end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> it suffices to show that for all <math alttext="1\leq a\leq Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.cmml"><mn id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.4" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.5" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.6" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.6.cmml">Q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1"><and id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1a.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1"></and><apply id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1b.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1"><leq id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.3"></leq><cn id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.4.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.4">𝑎</ci></apply><apply id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1c.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1"><leq id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.5.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.4.cmml" id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1d.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1"></share><ci id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.6.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.5.m3.1.1.6">𝑄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1c">1\leq a\leq Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.5.m3.1d">1 ≤ italic_a ≤ italic_Q</annotation></semantics></math> and all but <math alttext="\ll_{A}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.3" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1"><apply id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1"><divide id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.6.m4.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1c">\ll_{A}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.6.m4.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.1" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.2" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2"><in id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.7.m5.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.7.m5.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx101"> <tbody id="S7.Ex18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{a\leq Q}\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j}(a% +P_{j}(m))\mathbb{E}_{n\leq t/Q}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{W_{j}}(Qn+a+P_{j}(m))% \ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex18.m1.5"><semantics id="S7.Ex18.m1.5a"><mrow id="S7.Ex18.m1.5.5" xref="S7.Ex18.m1.5.5.cmml"><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S7.Ex18.m1.4.4.2.4" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.3.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.3.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.3.2.cmml">a</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.3.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.3.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.3.3.cmml">Q</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.cmml"><munder id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3a" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.3.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.2.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.2.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex18.m1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.3a" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.3.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.3.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.3.1.cmml">/</mo><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.3.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.5.3.3.3.cmml">Q</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.3b" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><munderover id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2a" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml"><msub id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.3.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.3.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.1" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex18.m1.2.2" xref="S7.Ex18.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><msub id="S7.Ex18.m1.5.5.4" xref="S7.Ex18.m1.5.5.4.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.5.5.4.2" xref="S7.Ex18.m1.5.5.4.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.Ex18.m1.5.5.4.3" xref="S7.Ex18.m1.5.5.4.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.Ex18.m1.5.5.3" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex18.m1.5.5.3.3" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.3.cmml"><mo id="S7.Ex18.m1.5.5.3.3a" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.3.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex18.m1.5.5.3.3.2" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex18.m1.5b"><apply id="S7.Ex18.m1.5.5.cmml" xref="S7.Ex18.m1.5.5"><apply id="S7.Ex18.m1.5.5.4.cmml" xref="S7.Ex18.m1.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex18.m1.5.5.4.1.cmml" xref="S7.Ex18.m1.5.5.4">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex18.m1.5.5.4.2.cmml" xref="S7.Ex18.m1.5.5.4.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.Ex18.m1.5.5.4.3.cmml" xref="S7.Ex18.m1.5.5.4.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.Ex18.m1.4.4.2.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2"><times id="S7.Ex18.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.3"></times><apply id="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex18.m1.4.4.2.4.1.cmml" 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xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑎</ci><apply id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4"><times id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S7.Ex18.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex18.m1.2.2.cmml" xref="S7.Ex18.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex18.m1.5.5.3.cmml" xref="S7.Ex18.m1.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex18.m1.5.5.3.2.cmml" 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end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_t / italic_Q end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q italic_n + italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.4.p3.9">for all <math alttext="t\in[N^{d}/(\log N)^{A},N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2"><semantics id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.4" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.3" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2b"><apply id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2"><in id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.3"></in><ci id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.4.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2"><apply id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.8.m1.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2c">t\in[N^{d}/(\log N)^{A},N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.8.m1.2d">italic_t ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT , italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. By Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem2" title="Corollary 6.2 (A factorisation lemma for correlations). ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.2</span></a>, the inner average over <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.9.m2.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.9.m2.1a"><mi id="S7.SS2.4.p3.9.m2.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.9.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.9.m2.1b"><ci id="S7.SS2.4.p3.9.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.9.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.9.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.9.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> here is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx102"> <tbody id="S7.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{p}\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{k}% \Lambda_{(p,W_{j})}(Qn+a+P_{j}(m))+O_{d,k}(\exp(-(\log N)^{1/2})/10)." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E8.m1.7"><semantics id="S7.E8.m1.7a"><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><munder id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2a" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mrow id="S7.E8.m1.2.2.2.2" xref="S7.E8.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E8.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E8.m1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S7.E8.m1.2.2.2.2.3" xref="S7.E8.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S7.E8.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E8.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S7.E8.m1.5.5" xref="S7.E8.m1.5.5.cmml">m</mi><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msub id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.E8.m1.4.4.2.4" xref="S7.E8.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S7.E8.m1.3.3.1.1" xref="S7.E8.m1.3.3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.E8.m1.4.4.2.4.1" xref="S7.E8.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.E8.m1.4.4.2.2" xref="S7.E8.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E8.m1.6.6" xref="S7.E8.m1.6.6.cmml">exp</mi><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3.cmml">10</mn></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E8.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E8.m1.7b"><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1"><plus id="S7.E8.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.3"></plus><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1"><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.2">product</csymbol><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1"><times id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1"><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2">Λ</ci><interval closure="open" id="S7.E8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E8.m1.2.2.2.2"><ci id="S7.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.E8.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.2">𝑊</ci><ci id="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.E8.m1.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑎</ci><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E8.m1.5.5.cmml" xref="S7.E8.m1.5.5">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2"><times id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.2"></times><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.3.2">𝑂</ci><list id="S7.E8.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.E8.m1.4.4.2.4"><ci id="S7.E8.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.3.3.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.E8.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S7.E8.m1.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1"><divide id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1"><exp id="S7.E8.m1.6.6.cmml" xref="S7.E8.m1.6.6"></exp><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.E8.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3">10</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E8.m1.7c">\displaystyle\prod_{p}\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{k}% \Lambda_{(p,W_{j})}(Qn+a+P_{j}(m))+O_{d,k}(\exp(-(\log N)^{1/2})/10).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E8.m1.7d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q italic_n + italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( roman_exp ( - ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) / 10 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.4.p3.11">If <math alttext="p\nmid Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.1.cmml">∤</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.1">not-divides</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.10.m1.1.1.3">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1c">p\nmid Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.10.m1.1d">italic_p ∤ italic_Q</annotation></semantics></math>, the factor depending on <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.11.m2.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.11.m2.1a"><mi id="S7.SS2.4.p3.11.m2.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.11.m2.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.11.m2.1b"><ci id="S7.SS2.4.p3.11.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.11.m2.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.11.m2.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.11.m2.1d">italic_p</annotation></semantics></math> here is by a change of variables equal to</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx103"> <tbody id="S7.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{(p% ,W_{j})}(n+P_{j}(m))," class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex19.m1.4"><semantics id="S7.Ex19.m1.4a"><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mrow id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex19.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex19.m1.3.3" xref="S7.Ex19.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex19.m1.4.4.1.2" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex19.m1.4b"><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1"><times id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.2"></times><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3"><in id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.1"></in><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3"><times id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2"><divide id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1"></divide><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.3.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3"><eq id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">Λ</ci><interval closure="open" id="S7.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.2"><ci id="S7.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.2">𝑊</ci><ci id="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex19.m1.3.3.cmml" xref="S7.Ex19.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex19.m1.4c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{(p% ,W_{j})}(n+P_{j}(m)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex19.m1.4d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.4.p3.12">and if instead <math alttext="p\mid Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.12.m1.1.1.3">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1c">p\mid Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.12.m1.1d">italic_p ∣ italic_Q</annotation></semantics></math> it is equal to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S7.Ex20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{(p,W_{j})}(a+P_{j}(m))." class="ltx_Math" display="block" id="S7.Ex20.m1.4"><semantics id="S7.Ex20.m1.4a"><mrow id="S7.Ex20.m1.4.4.1" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml"><munderover id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.1" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover><mrow id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mrow id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex20.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex20.m1.3.3" xref="S7.Ex20.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex20.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex20.m1.4b"><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1"><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3"><eq id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1"><times id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2">Λ</ci><interval closure="open" id="S7.Ex20.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.2"><ci id="S7.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.2">𝑊</ci><ci id="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex20.m1.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1"><plus id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.Ex20.m1.3.3.cmml" xref="S7.Ex20.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex20.m1.4c">\prod_{j=1}^{k}\Lambda_{(p,W_{j})}(a+P_{j}(m)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex20.m1.4d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.4.p3.14">Now, separating the contributions of <math alttext="p\mid Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.13.m1.1.1.3">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1c">p\mid Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.13.m1.1d">italic_p ∣ italic_Q</annotation></semantics></math> and <math alttext="p\nmid Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.1.cmml">∤</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.1">not-divides</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.14.m2.1.1.3">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1c">p\nmid Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.14.m2.1d">italic_p ∤ italic_Q</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E8" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.8</span></a>), it suffices to show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx104"> <tbody id="S7.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{a\leq Q}\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j}(a% +P_{j}(m))\prod_{p\mid Q}\prod_{j=1}^{k}1_{a+P_{j}(m)\not\equiv 0\pmod{(p,W_{j% })}}\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E9.m1.6"><semantics id="S7.E9.m1.6a"><mrow id="S7.E9.m1.6.6" xref="S7.E9.m1.6.6.cmml"><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.cmml"><msub id="S7.E9.m1.5.5.1.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.3.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.3.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.3.cmml">Q</mi></mrow></msub><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.cmml"><munder id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2a" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E9.m1.4.4" xref="S7.E9.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml"><munder id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1a" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.cmml"><munderover id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1a" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.1" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.3" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.2.2" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.E9.m1.3.3.3" xref="S7.E9.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S7.E9.m1.3.3.3.5" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.cmml"><mi id="S7.E9.m1.3.3.3.5.2" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.2.cmml">a</mi><mo id="S7.E9.m1.3.3.3.5.1" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.cmml"><msub id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.cmml"><mi id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.2" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.3" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.1" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.3.2" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.cmml"><mo id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E9.m1.3.3.3.3" xref="S7.E9.m1.3.3.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E9.m1.3.3.3.4" xref="S7.E9.m1.3.3.3.4.cmml">≢</mo><mrow id="S7.E9.m1.3.3.3.6" xref="S7.E9.m1.3.3.3.6.cmml"><mn id="S7.E9.m1.3.3.3.6.2" xref="S7.E9.m1.3.3.3.6.2.cmml">0</mn><mspace id="S7.E9.m1.3.3.3.6a" width="0.949em" xref="S7.E9.m1.3.3.3.6.cmml"></mspace><mrow id="S7.E9.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S7.E9.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E9.m1.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S7.E9.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E9.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S7.E9.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mrow id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E9.m1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><msub id="S7.E9.m1.6.6.3" xref="S7.E9.m1.6.6.3.cmml"><mo id="S7.E9.m1.6.6.3.2" xref="S7.E9.m1.6.6.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.E9.m1.6.6.3.3" xref="S7.E9.m1.6.6.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.E9.m1.6.6.2" xref="S7.E9.m1.6.6.2.cmml"><mrow id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.1" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E9.m1.6.6.2.3" xref="S7.E9.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S7.E9.m1.6.6.2.3a" xref="S7.E9.m1.6.6.2.3.cmml">−</mo><mi id="S7.E9.m1.6.6.2.3.2" xref="S7.E9.m1.6.6.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E9.m1.6b"><apply id="S7.E9.m1.6.6.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6"><apply id="S7.E9.m1.6.6.3.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E9.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.E9.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1"><times id="S7.E9.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.2"></times><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.3"><leq id="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.1"></leq><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.2">𝑎</ci><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.3.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1"><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3"><in id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.1"></in><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.2.3.3">𝒥</ci></apply></apply><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1"><times id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2"><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E9.m1.4.4.cmml" xref="S7.E9.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4"><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.2">product</csymbol><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2"><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3"><eq id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E9.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci 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xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.2.cmml" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.3.cmml" xref="S7.E9.m1.3.3.3.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E9.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.E9.m1.3.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.E9.m1.3.3.3.6.cmml" xref="S7.E9.m1.3.3.3.6"><csymbol cd="latexml" id="S7.E9.m1.3.3.3.6.1.cmml" xref="S7.E9.m1.3.3.3.6">annotated</csymbol><cn id="S7.E9.m1.3.3.3.6.2.cmml" type="integer" xref="S7.E9.m1.3.3.3.6.2">0</cn><apply id="S7.E9.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E9.m1.2.2.2.2.2.2"><ci id="S7.E9.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><interval closure="open" id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑊</ci><ci id="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S7.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E9.m1.6.6.2.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E9.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.2">superscript</csymbol><apply id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1"><log id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E9.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.2.3"><minus id="S7.E9.m1.6.6.2.3.1.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.2.3"></minus><ci id="S7.E9.m1.6.6.2.3.2.cmml" xref="S7.E9.m1.6.6.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E9.m1.6c">\displaystyle\mathbb{E}_{a\leq Q}\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j}(a% +P_{j}(m))\prod_{p\mid Q}\prod_{j=1}^{k}1_{a+P_{j}(m)\not\equiv 0\pmod{(p,W_{j% })}}\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E9.m1.6d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_a ≤ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ≢ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.4.p3.16">for all but <math alttext="\ll_{A}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.3" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1" 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id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1"><divide id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.15.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1c">\ll_{A}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.15.m1.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1"><semantics id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.2" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.1" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.2" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.1" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1b"><apply id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2"><in id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.4.p3.16.m2.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.4.p3.16.m2.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.5.p4"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.5.p4.5">For any <math alttext="j\in[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1"><semantics id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.1" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1b"><apply id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2"><in id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.1.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1c">j\in[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.1.m1.1d">italic_j ∈ [ italic_k ]</annotation></semantics></math> and any prime power <math alttext="p^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1"><semantics id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1a"><msup id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1b"><apply id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.2.m2.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1c">p^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, write <math alttext="\widetilde{\chi}_{j,p^{r}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2"><semantics id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2a"><msub id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.1" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">p</mi><mi id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.3" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml">r</mi></msup></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2b"><apply id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2"><ci id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.3.2.2">𝜒</ci></apply><list id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2"><ci id="S7.SS2.5.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><apply id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.3.m3.2.2.2.2.1.3">𝑟</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2c">\widetilde{\chi}_{j,p^{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.3.m3.2d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the character <math alttext="\pmod{(p^{r},\widetilde{q}_{j})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2"><semantics id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2a"><mrow id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mrow id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><msup id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.4" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2b"><apply id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.2.2"><ci id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.2.2.2.2.2">pmod</ci><interval closure="open" id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2"><apply id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2c">\pmod{(p^{r},\widetilde{q}_{j})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.4.m4.2d">start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> induced by <math alttext="\widetilde{\chi}_{j}\pmod{\widetilde{q}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.5.m5.2"><semantics id="S7.SS2.5.p4.5.m5.2a"><mrow id="S7.SS2.5.p4.5.m5.2.3" xref="S7.SS2.5.p4.5.m5.2.3.cmml"><msub id="S7.SS2.5.p4.5.m5.2.3.2" 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encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.5.m5.2d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math>. Then, by the Chinese remainder theorem, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E9" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.9</span></a>) factorises as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx105"> <tbody id="S7.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.10)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{p^{r}\mid\mid Q}\mathbb{E}_{a\in\mathbb{Z}/p^{r}\mathbb{Z}% }\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j,p^{r}}(a+P_{j}(m))\prod_{j=1}^{k}1% _{a+P_{j}(m)\not\equiv 0\pmod{(p,W_{j})}}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S7.E10.m1.7"><semantics id="S7.E10.m1.7a"><mrow id="S7.E10.m1.7.7.1"><mrow id="S7.E10.m1.7.7.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2"><munder id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2a"><mo id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2.3"><msup id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2.3.1"><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2.3.1.2">p</mi><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2.3.1.3">r</mi></msup><mo id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2.3.2" lspace="0em" rspace="0.0835em">∣</mo><mo id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2.3.3" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.2.3.4">Q</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1"><msub id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3"><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.2">𝔼</mi><mrow id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3"><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3.2">a</mi><mo id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3.1">∈</mo><mrow id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3.3"><mrow id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2"><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2.2">ℤ</mi><mo id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2.1">/</mo><msup id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2.3"><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2.3.2">p</mi><mi 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id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1"><munderover id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1a"><mo id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.3"><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2">j</mi><mo id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1">=</mo><mn id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.3">k</mi></munderover></mstyle><msub id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2"><mn id="S7.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2">1</mn><mrow id="S7.E10.m1.5.5.3"><mrow id="S7.E10.m1.5.5.3.5"><mi id="S7.E10.m1.5.5.3.5.2">a</mi><mo id="S7.E10.m1.5.5.3.5.1">+</mo><mrow id="S7.E10.m1.5.5.3.5.3"><msub id="S7.E10.m1.5.5.3.5.3.2"><mi id="S7.E10.m1.5.5.3.5.3.2.2">P</mi><mi id="S7.E10.m1.5.5.3.5.3.2.3">j</mi></msub><mo id="S7.E10.m1.5.5.3.5.3.1"></mo><mrow id="S7.E10.m1.5.5.3.5.3.3.2"><mo id="S7.E10.m1.5.5.3.5.3.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E10.m1.5.5.3.3">m</mi><mo id="S7.E10.m1.5.5.3.5.3.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E10.m1.5.5.3.4">≢</mo><mrow id="S7.E10.m1.5.5.3.6"><mn id="S7.E10.m1.5.5.3.6.2">0</mn><mspace id="S7.E10.m1.5.5.3.6a" width="0.949em"></mspace><mrow id="S7.E10.m1.4.4.2.2.2.2"><mo id="S7.E10.m1.4.4.2.2.2.2.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E10.m1.4.4.2.2.2.2.1"><mo id="S7.E10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0em">mod</mo><mrow id="S7.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S7.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1">p</mi><mo id="S7.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">,</mo><msub id="S7.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><mi id="S7.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">W</mi><mi id="S7.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">j</mi></msub><mo id="S7.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E10.m1.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E10.m1.7.7.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E10.m1.7b">\displaystyle\prod_{p^{r}\mid\mid Q}\mathbb{E}_{a\in\mathbb{Z}/p^{r}\mathbb{Z}% }\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j,p^{r}}(a+P_{j}(m))\prod_{j=1}^{k}1% _{a+P_{j}(m)\not\equiv 0\pmod{(p,W_{j})}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E10.m1.7c">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ∣ ∣ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_a ∈ blackboard_Z / italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ≢ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.5.p4.10">Since <math alttext="\widetilde{\chi}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1"><semantics id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1a"><msub id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.1" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1b"><apply id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2"><ci id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.6.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1c">\widetilde{\chi}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.6.m1.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are primitive real characters, their moduli are of the form <math alttext="2^{b_{j}}q_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1"><semantics id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.cmml"><msup id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.cmml"><mn id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.2.cmml">2</mn><msub id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.2" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.3" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msup><mo id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.1.cmml"></mo><msubsup id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mi id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.3" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.3" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1b"><apply id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1"><times id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.1"></times><apply id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2">superscript</csymbol><cn id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.2">2</cn><apply id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.2">𝑏</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.2">𝑞</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.7.m2.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1c">2^{b_{j}}q_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.7.m2.1d">2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="q_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1"><semantics id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1a"><msubsup id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.2.cmml">q</mi><mi id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.3" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.3" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1b"><apply id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.2">𝑞</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.8.m3.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1c">q_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.8.m3.1d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> squarefree and <math alttext="b_{j}\leq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1"><semantics id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1a"><mrow id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.cmml"><msub id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.2" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.2.cmml">b</mi><mi id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.3" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.3" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1b"><apply id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1"><leq id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.1"></leq><apply id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.5.p4.9.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1c">b_{j}\leq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.9.m4.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ 3</annotation></semantics></math>. Hence, for any prime <math alttext="p>2" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1"><semantics id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1a"><mrow id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.2" xref="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.1" xref="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.3" xref="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1b"><apply id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1"><gt id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.1"></gt><ci id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.5.p4.10.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1c">p>2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.5.p4.10.m5.1d">italic_p > 2</annotation></semantics></math> the average in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E10" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.10</span></a>) equals to</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx106"> <tbody id="S7.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.11)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j\in\mathcal{J}}% \widetilde{\chi}_{j,p}(a+P_{j}(m))+O_{d,k}(1/p)." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E11.m1.6"><semantics id="S7.E11.m1.6a"><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S7.E11.m1.2.2.2.4" xref="S7.E11.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E11.m1.1.1.1.1" xref="S7.E11.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S7.E11.m1.2.2.2.4.1" xref="S7.E11.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.E11.m1.2.2.2.2" xref="S7.E11.m1.2.2.2.2.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E11.m1.5.5" xref="S7.E11.m1.5.5.cmml">m</mi><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msub id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.E11.m1.4.4.2.4" xref="S7.E11.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S7.E11.m1.3.3.1.1" xref="S7.E11.m1.3.3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.E11.m1.4.4.2.4.1" xref="S7.E11.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.E11.m1.4.4.2.2" xref="S7.E11.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mn id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E11.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E11.m1.6b"><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1"><plus id="S7.E11.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.3"></plus><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1"><times id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3"><in id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.1"></in><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.2">𝑎</ci><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3"><times id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2"><divide id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.1"></divide><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1"><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"><in id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3">𝒥</ci></apply></apply><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜒</ci></apply><list id="S7.E11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E11.m1.2.2.2.4"><ci id="S7.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S7.E11.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E11.m1.2.2.2.2">𝑝</ci></list></apply><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E11.m1.5.5.cmml" xref="S7.E11.m1.5.5">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2"><times id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.2"></times><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.3.2">𝑂</ci><list id="S7.E11.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.E11.m1.4.4.2.4"><ci id="S7.E11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.3.3.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.E11.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S7.E11.m1.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1"><divide id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E11.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E11.m1.6c">\displaystyle\mathbb{E}_{a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j\in\mathcal{J}}% \widetilde{\chi}_{j,p}(a+P_{j}(m))+O_{d,k}(1/p).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E11.m1.6d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_a ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 / italic_p ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.6.p5"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.6.p5.5">From the Weil bound <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#bib.bib10" title="">10</a>, Corollary 11.24]</cite>, the average in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E11" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.11</span></a>) is <math alttext="\leq Kp^{-1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.1" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3a" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mn id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1"><leq id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3"><times id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.2">𝐾</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3"><minus id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3"></minus><apply id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2"><divide id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.1"></divide><cn id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.2">1</cn><cn id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.1.m1.1.1.3.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1c">\leq Kp^{-1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.1.m1.1d">≤ italic_K italic_p start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in modulus for some constant <math alttext="K=K_{d,k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2"><semantics id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.1" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mrow id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.4" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2b"><apply id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3"><eq id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.1"></eq><ci id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.2">𝐾</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.3.3.2">𝐾</ci><list id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S7.SS2.6.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.2.m2.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2c">K=K_{d,k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.2.m2.2d">italic_K = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> unless there exist <math alttext="i\neq j" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1"><neq id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.1"></neq><ci id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.3.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1c">i\neq j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.3.m3.1d">italic_i ≠ italic_j</annotation></semantics></math> such that <math alttext="P_{i}(m)-P_{j}(m)\equiv 0\pmod{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4"><semantics id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.cmml"><msub id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.4.m4.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.cmml"><msub id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.1" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.4" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.4.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.1" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.1.cmml">≡</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3.cmml"><mn id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3.2.cmml">0</mn><mspace id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3a" width="0.949em" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3.cmml"></mspace><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.4.m4.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4b"><apply id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5"><equivalent id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.1"></equivalent><apply id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2"><minus id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.1"></minus><apply id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2"><times id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.1"></times><apply id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S7.SS2.6.p5.4.m4.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3"><times id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.1"></times><apply id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.4.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.4">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3">annotated</csymbol><cn id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.4.5.3.2">0</cn><apply id="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.2.2"><ci id="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.4.m4.1.1.1.1">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4c">P_{i}(m)-P_{j}(m)\equiv 0\pmod{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.4.m4.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ≡ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_p end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math>. Hence, for some <math alttext="1\leq i<j\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.4" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.5" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.6" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.6.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.7" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.8" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.8.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1"><and id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1a.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1"></and><apply id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1b.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1"><leq id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.3"></leq><cn id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1c.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1"><lt id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.4.cmml" id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1d.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1"></share><ci id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.6">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1e.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1"><leq id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.7.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.6.cmml" id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1f.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1"></share><ci id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.8.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.5.m5.1.1.8">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1c">1\leq i<j\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.5.m5.1d">1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k</annotation></semantics></math>, the expression (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E10" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.10</span></a>) is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx107"> <tbody id="S7.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.12)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ll\left(\prod_{p\mid Q}Kp^{-1/2}\right)\left(\prod_{\begin{% subarray}{c}p\mid P_{i}(m)-P_{j}(m)\\ p\mid Q\end{subarray}}p^{1/2}\right)^{k^{2}}\ll_{d,k}Q^{-1/2+o(1)}\left(\prod_% {\begin{subarray}{c}p\mid P_{i}(m)-P_{j}(m)\\ p\mid Q\end{subarray}}p^{1/2}\right)^{k^{2}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E12.m1.6"><semantics id="S7.E12.m1.6a"><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.5" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.6" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.6.cmml">≪</mo><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3a" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><mn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"></mo><msup id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><munder id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mtable id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.E12.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.E12.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S7.E12.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">∣</mo><mrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml"><msub id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml"><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml"><msub id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml"><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S7.E12.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S7.E12.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><msup id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></msup></mrow><msub id="S7.E12.m1.6.6.1.1.7" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.7.cmml"><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.7.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.7.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.E12.m1.4.4.2.4" xref="S7.E12.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S7.E12.m1.3.3.1.1" xref="S7.E12.m1.3.3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.E12.m1.4.4.2.4.1" xref="S7.E12.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.E12.m1.4.4.2.2" xref="S7.E12.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msup id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.E12.m1.5.5.1" xref="S7.E12.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.5.5.1.3" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.cmml"><mo id="S7.E12.m1.5.5.1.3a" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.E12.m1.5.5.1.3.2" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.cmml"><mn id="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.2" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.1" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.3" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mo id="S7.E12.m1.5.5.1.2" xref="S7.E12.m1.5.5.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.E12.m1.5.5.1.4" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4.cmml"><mi id="S7.E12.m1.5.5.1.4.2" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4.2.cmml">o</mi><mo id="S7.E12.m1.5.5.1.4.1" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E12.m1.5.5.1.4.3.2" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4.cmml"><mo id="S7.E12.m1.5.5.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4.cmml">(</mo><mn id="S7.E12.m1.5.5.1.1" xref="S7.E12.m1.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S7.E12.m1.5.5.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"></mo><msup id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1a" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mtable id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.E12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S7.E12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S7.E12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">∣</mo><mrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml"><msub id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml"><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml"><msub id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml"><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S7.E12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S7.E12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><msup id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.3" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup></msup></mrow></mrow><mo id="S7.E12.m1.6.6.1.2" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E12.m1.6b"><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1"><and id="S7.E12.m1.6.6.1.1a.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1"></and><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1b.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.6.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.6">much-less-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.5.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.5">absent</csymbol><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2"><times id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.3"></times><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1"><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">product</csymbol><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><minus id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3"></minus><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2"><divide id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1"></divide><cn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">1</cn><cn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1"><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2">product</csymbol><list id="S7.E12.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">conditional</csymbol><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑝</ci><apply id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5"><minus id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1"></minus><apply id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2"><times id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1"></times><apply id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3"><times id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1"></times><apply id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S7.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">𝑄</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><divide id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1"></divide><cn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1c.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1"><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.7.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.7.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.7">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.7.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.7.2">much-less-than</csymbol><list id="S7.E12.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.4.4.2.4"><ci id="S7.E12.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.3.3.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.E12.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E12.m1.6.6.1.1.2.cmml" id="S7.E12.m1.6.6.1.1d.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1"></share><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3"><times id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.2"></times><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.3.2">𝑄</ci><apply id="S7.E12.m1.5.5.1.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1"><plus id="S7.E12.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1.2"></plus><apply id="S7.E12.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3"><minus id="S7.E12.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3"></minus><apply id="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.2"><divide id="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.1"></divide><cn id="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.2">1</cn><cn id="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.5.5.1.3.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S7.E12.m1.5.5.1.4.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4"><times id="S7.E12.m1.5.5.1.4.1.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4.1"></times><ci id="S7.E12.m1.5.5.1.4.2.cmml" xref="S7.E12.m1.5.5.1.4.2">𝑜</ci><cn id="S7.E12.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.5.5.1.1">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1"><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.2">product</csymbol><list id="S7.E12.m1.2.2.1a.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3">conditional</csymbol><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑝</ci><apply id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5"><minus id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1"></minus><apply id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2"><times id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.1"></times><apply id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3"><times id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.1"></times><apply id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S7.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3">𝑄</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3"><divide id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1"></divide><cn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E12.m1.6.6.1.1.3.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E12.m1.6c">\displaystyle\ll\left(\prod_{p\mid Q}Kp^{-1/2}\right)\left(\prod_{\begin{% subarray}{c}p\mid P_{i}(m)-P_{j}(m)\\ p\mid Q\end{subarray}}p^{1/2}\right)^{k^{2}}\ll_{d,k}Q^{-1/2+o(1)}\left(\prod_% {\begin{subarray}{c}p\mid P_{i}(m)-P_{j}(m)\\ p\mid Q\end{subarray}}p^{1/2}\right)^{k^{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E12.m1.6d">≪ ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT italic_K italic_p start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_Q end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 + italic_o ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_Q end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.6.p5.11">since <math alttext="Q/2^{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.1.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1"><divide id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.1"></divide><ci id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.2">𝑄</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.6.m1.1.1.3.3">𝑏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1c">Q/2^{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.6.m1.1d">italic_Q / 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is squarefree for some <math alttext="b\leq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1"><leq id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.1"></leq><ci id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.7.m2.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1c">b\leq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.7.m2.1d">italic_b ≤ 3</annotation></semantics></math>. From (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E7" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.7</span></a>), we see that <math alttext="Q^{-1/10}\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.cmml"><msup id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3a" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">10</mn></mrow></mrow></msup><msub id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3a" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1"><apply id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.2">𝑄</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3"><minus id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3"></minus><apply id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2"><divide id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.1"></divide><cn id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.2">1</cn><cn id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.3.3.2.3">10</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3"><minus id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.8.m3.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1c">Q^{-1/10}\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.8.m3.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 10 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, so it suffices to show that for any nonzero polynomial <math alttext="R\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.1" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.1.cmml">y</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2"><in id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.2">𝑅</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3"><times id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.1"></times><ci id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.2">ℤ</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.9.m4.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1c">R\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.9.m4.1d">italic_R ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> for all but <math alttext="\ll_{A,R}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3"><semantics id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.4" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.10.m5.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.4.1" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.2.cmml">R</mi></mrow></msub><mrow id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3b"><apply id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3"><apply id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.2.2">much-less-than</csymbol><list id="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.4"><ci id="S7.SS2.6.p5.10.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.1.1.1.1">𝐴</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.2.2.2.2">𝑅</ci></list></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1"><divide id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.2"></divide><ci id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.10.m5.3.3.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3c">\ll_{A,R}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.10.m5.3d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A , italic_R end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2"><in id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.11.m6.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.11.m6.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx108"> <tbody id="S7.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.13)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{\begin{subarray}{c}p\mid R(m)\\ p\mid Q\end{subarray}}p\leq Q^{1/(3k^{2})}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E13.m1.3"><semantics id="S7.E13.m1.3a"><mrow id="S7.E13.m1.3.3.1" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S7.E13.m1.3.3.1.1" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><munder id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1a" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml">∏</mo><mtable id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.E13.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.E13.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S7.E13.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">R</mi><mo id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S7.E13.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S7.E13.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mi id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.E13.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E13.m1.3.3.1.1.3" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E13.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.E13.m1.2.2.1" xref="S7.E13.m1.2.2.1.cmml"><mn id="S7.E13.m1.2.2.1.3" xref="S7.E13.m1.2.2.1.3.cmml">1</mn><mo id="S7.E13.m1.2.2.1.2" xref="S7.E13.m1.2.2.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S7.E13.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E13.m1.3b"><apply id="S7.E13.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1"><leq id="S7.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.1"></leq><apply id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2"><apply id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.1.2">product</csymbol><list id="S7.E13.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑅</ci><ci id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑚</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S7.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑄</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><ci id="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S7.E13.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E13.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E13.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E13.m1.3.3.1.1.3.2">𝑄</ci><apply id="S7.E13.m1.2.2.1.cmml" xref="S7.E13.m1.2.2.1"><divide id="S7.E13.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S7.E13.m1.2.2.1.2"></divide><cn id="S7.E13.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.E13.m1.2.2.1.3">1</cn><apply id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1"><times id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><cn id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2">3</cn><apply id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E13.m1.3c">\displaystyle\prod_{\begin{subarray}{c}p\mid R(m)\\ p\mid Q\end{subarray}}p\leq Q^{1/(3k^{2})}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E13.m1.3d">∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_R ( italic_m ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_Q end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT 1 / ( 3 italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.6.p5.18">Note that, by Lagrange’s theorem, for any polynomial <math alttext="R\in\mathbb{Z}[y]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.1" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.1.cmml">y</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2"><in id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3"><times id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.1"></times><ci id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.2">ℤ</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.12.m1.1.1">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1c">R\in\mathbb{Z}[y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.12.m1.1d">italic_R ∈ blackboard_Z [ italic_y ]</annotation></semantics></math> of degree <math alttext="d\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1"><in id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.1"></in><ci id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.13.m2.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1c">d\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.13.m2.1d">italic_d ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, the congruence <math alttext="R(m)\equiv 0\pmod{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3"><semantics id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.2.cmml">R</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.1" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.1.cmml">≡</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3.cmml"><mn id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3.2.cmml">0</mn><mspace id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3a" width="0.949em" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3.cmml"></mspace><mrow id="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.2.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.14.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.1.1.1.1.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3b"><apply id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4"><equivalent id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.1"></equivalent><apply id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2"><times id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.1"></times><ci id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.2.2">𝑅</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3">annotated</csymbol><cn id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.3.4.3.2">0</cn><apply id="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.2.2"><ci id="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.2.2.2.2.2">pmod</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.14.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.14.m3.1.1.1.1">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3c">R(m)\equiv 0\pmod{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.14.m3.3d">italic_R ( italic_m ) ≡ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_p end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> has <math alttext="\leq d" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1"><leq id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.2">absent</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.15.m4.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1c">\leq d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.15.m4.1d">≤ italic_d</annotation></semantics></math> solutions for all primes <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.16.m5.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.16.m5.1a"><mi id="S7.SS2.6.p5.16.m5.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.16.m5.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.16.m5.1b"><ci id="S7.SS2.6.p5.16.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.16.m5.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.16.m5.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.16.m5.1d">italic_p</annotation></semantics></math> that are large enough in terms of <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.17.m6.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.17.m6.1a"><mi id="S7.SS2.6.p5.17.m6.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.17.m6.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.17.m6.1b"><ci id="S7.SS2.6.p5.17.m6.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.17.m6.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.17.m6.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.17.m6.1d">italic_R</annotation></semantics></math>. Now, by Markov’s inequality, the number of <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2"><in id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.18.m7.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.18.m7.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> violating (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E13" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.13</span></a>) is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx109"> <tbody id="S7.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq Q^{-1/(3k^{2})}\sum_{m\leq N}(R(m),Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex21.m1.4"><semantics id="S7.Ex21.m1.4a"><mrow id="S7.Ex21.m1.4.4" xref="S7.Ex21.m1.4.4.cmml"><mi id="S7.Ex21.m1.4.4.3" xref="S7.Ex21.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.2" xref="S7.Ex21.m1.4.4.2.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex21.m1.4.4.1" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.cmml"><msup id="S7.Ex21.m1.4.4.1.3" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex21.m1.4.4.1.3.2" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.Ex21.m1.1.1.1" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex21.m1.1.1.1a" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.2" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.cmml"><munder id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2a" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.1" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex21.m1.2.2" xref="S7.Ex21.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex21.m1.3.3" xref="S7.Ex21.m1.3.3.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex21.m1.4b"><apply id="S7.Ex21.m1.4.4.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4"><leq id="S7.Ex21.m1.4.4.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex21.m1.4.4.3.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="S7.Ex21.m1.4.4.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1"><times id="S7.Ex21.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S7.Ex21.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex21.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex21.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.3.2">𝑄</ci><apply id="S7.Ex21.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1"><minus id="S7.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1"></minus><apply id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1"><divide id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn><apply id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1"><apply id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2"></sum><apply id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3"><leq id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S7.Ex21.m1.2.2.cmml" xref="S7.Ex21.m1.2.2">𝑚</ci></apply><ci id="S7.Ex21.m1.3.3.cmml" xref="S7.Ex21.m1.3.3">𝑄</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex21.m1.4c">\displaystyle\leq Q^{-1/(3k^{2})}\sum_{m\leq N}(R(m),Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex21.m1.4d">≤ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / ( 3 italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_R ( italic_m ) , italic_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq Q^{-1/(3k^{2})}\sum_{t\mid Q}t\sum_{\begin{subarray}{c}m\leq N% \\ t\mid R(m)\end{subarray}}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex22.m1.2"><semantics id="S7.Ex22.m1.2a"><mrow id="S7.Ex22.m1.2.3" xref="S7.Ex22.m1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex22.m1.2.3.2" xref="S7.Ex22.m1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S7.Ex22.m1.2.3.1" xref="S7.Ex22.m1.2.3.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex22.m1.2.3.3" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.cmml"><msup id="S7.Ex22.m1.2.3.3.2" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex22.m1.2.3.3.2.2" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.Ex22.m1.2.2.1" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S7.Ex22.m1.2.2.1a" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex22.m1.2.3.3.1" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1a" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.2" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.1" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.3" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.1" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1a" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">R</mi><mo id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mn id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.2" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex22.m1.2b"><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3"><leq id="S7.Ex22.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex22.m1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.2">absent</csymbol><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3"><times id="S7.Ex22.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.1"></times><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex22.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex22.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.2.2">𝑄</ci><apply id="S7.Ex22.m1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1"><minus id="S7.Ex22.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1"></minus><apply id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1"><divide id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.2"></divide><cn id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.3">1</cn><apply id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">3</cn><apply id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex22.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3"><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.2"></sum><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2"><times id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.1"></times><ci id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.2">𝑡</ci><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3"><apply id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.1.2"></sum><list id="S7.Ex22.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></leq><ci id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑅</ci><ci id="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑚</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><cn id="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex22.m1.2.3.3.3.2.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex22.m1.2c">\displaystyle\leq Q^{-1/(3k^{2})}\sum_{t\mid Q}t\sum_{\begin{subarray}{c}m\leq N% \\ t\mid R(m)\end{subarray}}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex22.m1.2d">≤ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / ( 3 italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∣ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT italic_t ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m ≤ italic_N end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_t ∣ italic_R ( italic_m ) end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ll_{R}Q^{-1/(3k^{2})}\sum_{t\mid Q}d^{\Omega(t)}N" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex23.m1.2"><semantics id="S7.Ex23.m1.2a"><mrow id="S7.Ex23.m1.2.3" xref="S7.Ex23.m1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex23.m1.2.3.2" xref="S7.Ex23.m1.2.3.2.cmml"></mi><msub id="S7.Ex23.m1.2.3.1" xref="S7.Ex23.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex23.m1.2.3.1.2" xref="S7.Ex23.m1.2.3.1.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.Ex23.m1.2.3.1.3" xref="S7.Ex23.m1.2.3.1.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="S7.Ex23.m1.2.3.3" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.cmml"><msup id="S7.Ex23.m1.2.3.3.2" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex23.m1.2.3.3.2.2" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.Ex23.m1.1.1.1" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex23.m1.1.1.1a" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex23.m1.2.3.3.1" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1a" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.2" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.1" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.3" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.cmml"><msup id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2.2" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S7.Ex23.m1.2.2.1" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S7.Ex23.m1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.3.cmml">Ω</mi><mo id="S7.Ex23.m1.2.2.1.2" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex23.m1.2.2.1.4.2" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S7.Ex23.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex23.m1.2.2.1.1" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex23.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.1" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.3" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.3.cmml">N</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex23.m1.2b"><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3"><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex23.m1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex23.m1.2.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.1.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.Ex23.m1.2.3.1.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.1.3">𝑅</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex23.m1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.2">absent</csymbol><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3"><times id="S7.Ex23.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.1"></times><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex23.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex23.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.2.2">𝑄</ci><apply id="S7.Ex23.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1"><minus id="S7.Ex23.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1"></minus><apply id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1"><divide id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn><apply id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3"><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.2"></sum><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2"><times id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.1"></times><apply id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S7.Ex23.m1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1"><times id="S7.Ex23.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S7.Ex23.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.3">Ω</ci><ci id="S7.Ex23.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex23.m1.2.3.3.3.2.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex23.m1.2c">\displaystyle\ll_{R}Q^{-1/(3k^{2})}\sum_{t\mid Q}d^{\Omega(t)}N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex23.m1.2d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / ( 3 italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∣ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT roman_Ω ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_N</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq Q^{-1/(3k^{2})}\tau(Q)d^{\Omega(Q)}N" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex24.m1.3"><semantics id="S7.Ex24.m1.3a"><mrow id="S7.Ex24.m1.3.4" xref="S7.Ex24.m1.3.4.cmml"><mi id="S7.Ex24.m1.3.4.2" xref="S7.Ex24.m1.3.4.2.cmml"></mi><mo id="S7.Ex24.m1.3.4.1" xref="S7.Ex24.m1.3.4.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex24.m1.3.4.3" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.cmml"><msup id="S7.Ex24.m1.3.4.3.2" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex24.m1.3.4.3.2.2" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.Ex24.m1.1.1.1" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex24.m1.1.1.1a" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex24.m1.3.4.3.1" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex24.m1.3.4.3.3" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S7.Ex24.m1.3.4.3.1a" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex24.m1.3.4.3.4.2" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.cmml"><mo id="S7.Ex24.m1.3.4.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex24.m1.3.3" xref="S7.Ex24.m1.3.3.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex24.m1.3.4.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex24.m1.3.4.3.1b" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex24.m1.3.4.3.5" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.5.cmml"><mi id="S7.Ex24.m1.3.4.3.5.2" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.5.2.cmml">d</mi><mrow id="S7.Ex24.m1.2.2.1" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S7.Ex24.m1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1.3.cmml">Ω</mi><mo id="S7.Ex24.m1.2.2.1.2" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex24.m1.2.2.1.4.2" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S7.Ex24.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex24.m1.2.2.1.1" 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id="S7.Ex24.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1"></minus><apply id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1"><divide id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn><apply id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S7.Ex24.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.3">𝜏</ci><ci id="S7.Ex24.m1.3.3.cmml" xref="S7.Ex24.m1.3.3">𝑄</ci><apply id="S7.Ex24.m1.3.4.3.5.cmml" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex24.m1.3.4.3.5.1.cmml" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.5">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex24.m1.3.4.3.5.2.cmml" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.5.2">𝑑</ci><apply id="S7.Ex24.m1.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1"><times id="S7.Ex24.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S7.Ex24.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1.3">Ω</ci><ci id="S7.Ex24.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex24.m1.2.2.1.1">𝑄</ci></apply></apply><ci id="S7.Ex24.m1.3.4.3.6.cmml" xref="S7.Ex24.m1.3.4.3.6">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex24.m1.3c">\displaystyle\leq Q^{-1/(3k^{2})}\tau(Q)d^{\Omega(Q)}N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex24.m1.3d">≤ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / ( 3 italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ( italic_Q ) italic_d start_POSTSUPERSCRIPT roman_Ω ( italic_Q ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_N</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ll Q^{-1/(3k^{2})+o(1)}N," class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex25.m1.3"><semantics id="S7.Ex25.m1.3a"><mrow id="S7.Ex25.m1.3.3.1" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.1.cmml">≪</mo><mrow id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msup id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.Ex25.m1.2.2.2" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2a" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mn id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.3" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.2" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.2.cmml">o</mi><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.1" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.cmml"><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex25.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.3" 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id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2"><minus id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2"></minus><apply id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1"><divide id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.2"></divide><cn id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn><apply id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><cn id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">3</cn><apply id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4"><times id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.1"></times><ci id="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S7.Ex25.m1.2.2.2.4.2">𝑜</ci><cn id="S7.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S7.Ex25.m1.1.1.1.1">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex25.m1.3.3.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex25.m1.3c">\displaystyle\ll Q^{-1/(3k^{2})+o(1)}N,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex25.m1.3d">≪ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / ( 3 italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_o ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_N ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.6.p5.25">since <math alttext="\Omega(Q)\leq\omega(Q)+O(1)\ll(\log Q)/(\log\log Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5"><semantics id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.2.cmml">Ω</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.1.1.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.5" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.5.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.2.cmml">O</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.cmml">(</mo><mn id="S7.SS2.6.p5.19.m1.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.7" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.7.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.3" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.3.cmml">/</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml">Q</mi></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5b"><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5"><and id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5a.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5"></and><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5b.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5"><leq id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.5.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.5"></leq><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4"><times id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.1"></times><ci id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.4.2">Ω</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.19.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.1.1">𝑄</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6"><plus id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.1"></plus><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2"><times id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.1"></times><ci id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.2.2">𝜔</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.19.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3"><times id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.1"></times><ci id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.3.2">𝑂</ci><cn id="S7.SS2.6.p5.19.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5c.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.7.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.7">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.6.cmml" id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5d.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5"></share><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2"><divide id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.3"></divide><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1"><log id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑄</ci></apply><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1"><log id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.1"></log><apply id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2"><log id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.1"></log><ci id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.19.m1.5.5.2.2.1.1.2.2">𝑄</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5c">\Omega(Q)\leq\omega(Q)+O(1)\ll(\log Q)/(\log\log Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.19.m1.5d">roman_Ω ( italic_Q ) ≤ italic_ω ( italic_Q ) + italic_O ( 1 ) ≪ ( roman_log italic_Q ) / ( roman_log roman_log italic_Q )</annotation></semantics></math> by the fact that <math alttext="Q/2^{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.1.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.3.cmml">b</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1"><divide id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.1"></divide><ci id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.2">𝑄</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.20.m2.1.1.3.3">𝑏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1c">Q/2^{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.20.m2.1d">italic_Q / 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is squarefree for some <math alttext="b\leq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1"><leq id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.1"></leq><ci id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.6.p5.21.m3.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1c">b\leq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.21.m3.1d">italic_b ≤ 3</annotation></semantics></math>. By (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E7" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.7</span></a>), we conclude that the number of <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2"><in id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.22.m4.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.22.m4.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math> not satisfying (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E13" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.13</span></a>) is <math alttext="\ll_{A,R}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3"><semantics id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.3" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.4" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.23.m5.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.4.1" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.2.cmml">R</mi></mrow></msub><mrow id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.3" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3b"><apply id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3"><apply id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.2.2">much-less-than</csymbol><list id="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.4"><ci id="S7.SS2.6.p5.23.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.1.1.1.1">𝐴</ci><ci id="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.2.2.2.2">𝑅</ci></list></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1"><divide id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.2"></divide><ci id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.23.m5.3.3.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3c">\ll_{A,R}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.23.m5.3d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A , italic_R end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Hence these integers <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1a"><mrow id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.2" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.1" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.2" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1b"><apply id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2"><in id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.24.m6.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.24.m6.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math>, may be included in the exceptional set of <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.6.p5.25.m7.1"><semantics id="S7.SS2.6.p5.25.m7.1a"><mi id="S7.SS2.6.p5.25.m7.1.1" xref="S7.SS2.6.p5.25.m7.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.6.p5.25.m7.1b"><ci id="S7.SS2.6.p5.25.m7.1.1.cmml" xref="S7.SS2.6.p5.25.m7.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.6.p5.25.m7.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.6.p5.25.m7.1d">italic_m</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.7.p6"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.7.p6.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.SS2.7.p6.3.1">Proof of part (2)</span> The proof proceeds the same way as for Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.Thmtheorem2" title="Lemma 7.2 (Siegel model correlations). ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.2</span></a>(1), up to a swapping of the averaging variable, until (in analogy with (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E9" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.9</span></a>)) we we are left with showing that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx110"> <tbody id="S7.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.14)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{b\leq Q}\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j}(n% +P_{j}(b))\prod_{p\mid Q}\prod_{j=1}^{k}1_{n+P_{j}(b)\not\equiv 0\pmod{(p,W_{j% })}}\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E14.m1.6"><semantics id="S7.E14.m1.6a"><mrow id="S7.E14.m1.6.6" xref="S7.E14.m1.6.6.cmml"><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.cmml"><msub id="S7.E14.m1.5.5.1.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.3.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.3.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.2.cmml">b</mi><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.3.cmml">Q</mi></mrow></msub><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml"><munder id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2a" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E14.m1.4.4" xref="S7.E14.m1.4.4.cmml">b</mi><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml"><munder id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1a" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.cmml"><munderover id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1a" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.1" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.3" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.2.2" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.E14.m1.3.3.3" xref="S7.E14.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S7.E14.m1.3.3.3.5" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.cmml"><mi id="S7.E14.m1.3.3.3.5.2" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E14.m1.3.3.3.5.1" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.cmml"><msub id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.cmml"><mi id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.2" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.3" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.1" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.3.2" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.cmml"><mo id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E14.m1.3.3.3.3" xref="S7.E14.m1.3.3.3.3.cmml">b</mi><mo id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E14.m1.3.3.3.4" xref="S7.E14.m1.3.3.3.4.cmml">≢</mo><mrow id="S7.E14.m1.3.3.3.6" xref="S7.E14.m1.3.3.3.6.cmml"><mn id="S7.E14.m1.3.3.3.6.2" xref="S7.E14.m1.3.3.3.6.2.cmml">0</mn><mspace id="S7.E14.m1.3.3.3.6a" width="0.949em" xref="S7.E14.m1.3.3.3.6.cmml"></mspace><mrow id="S7.E14.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S7.E14.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E14.m1.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E14.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S7.E14.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.E14.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S7.E14.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mrow id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E14.m1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><msub id="S7.E14.m1.6.6.3" xref="S7.E14.m1.6.6.3.cmml"><mo id="S7.E14.m1.6.6.3.2" xref="S7.E14.m1.6.6.3.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.E14.m1.6.6.3.3" xref="S7.E14.m1.6.6.3.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.E14.m1.6.6.2" xref="S7.E14.m1.6.6.2.cmml"><mrow id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.1" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E14.m1.6.6.2.3" xref="S7.E14.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S7.E14.m1.6.6.2.3a" xref="S7.E14.m1.6.6.2.3.cmml">−</mo><mi id="S7.E14.m1.6.6.2.3.2" xref="S7.E14.m1.6.6.2.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E14.m1.6b"><apply id="S7.E14.m1.6.6.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6"><apply id="S7.E14.m1.6.6.3.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E14.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.3.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.E14.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1"><times id="S7.E14.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.2"></times><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.3"><leq id="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.1"></leq><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.2">𝑏</ci><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.3.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1"><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3"><in id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.1"></in><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.2.3.3">𝒥</ci></apply></apply><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1"><times id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2"><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E14.m1.4.4.cmml" xref="S7.E14.m1.4.4">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4"><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.2">product</csymbol><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2"><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.1.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.2.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.cmml" xref="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3"><eq id="S7.E14.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.2.3.1.cmml" 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id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3"><times id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.1"></times><apply id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.1.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.2.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.3.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E14.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S7.E14.m1.3.3.3.6.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.6"><csymbol cd="latexml" id="S7.E14.m1.3.3.3.6.1.cmml" xref="S7.E14.m1.3.3.3.6">annotated</csymbol><cn id="S7.E14.m1.3.3.3.6.2.cmml" type="integer" xref="S7.E14.m1.3.3.3.6.2">0</cn><apply id="S7.E14.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E14.m1.2.2.2.2.2.2"><ci id="S7.E14.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.2.2.2.2.2.2.2">pmod</ci><interval closure="open" id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑊</ci><ci id="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S7.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E14.m1.6.6.2.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E14.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.2">superscript</csymbol><apply id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1"><log id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E14.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.2.3"><minus id="S7.E14.m1.6.6.2.3.1.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.2.3"></minus><ci id="S7.E14.m1.6.6.2.3.2.cmml" xref="S7.E14.m1.6.6.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E14.m1.6c">\displaystyle\mathbb{E}_{b\leq Q}\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j}(n% +P_{j}(b))\prod_{p\mid Q}\prod_{j=1}^{k}1_{n+P_{j}(b)\not\equiv 0\pmod{(p,W_{j% })}}\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E14.m1.6d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_b ≤ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ≢ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.7.p6.2">for all but <math alttext="\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1"><semantics id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.3" 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id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1b"><apply id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1"><apply id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1"><divide id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.1.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1c">\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.7.p6.1.m1.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="n\in[N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1"><semantics id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1b"><apply id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1"><in id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.2"></in><ci id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.7.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1c">n\in[N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.7.p6.2.m2.1d">italic_n ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS2.8.p7"> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.8.p7.5">As in the proof of part (1), for any <math alttext="j\in[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2"><in id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.1.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1c">j\in[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.1.m1.1d">italic_j ∈ [ italic_k ]</annotation></semantics></math> and any prime power <math alttext="p^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1a"><msup id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.2.m2.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1c">p^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, write <math alttext="\widetilde{\chi}_{j,p^{r}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2"><semantics id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2a"><msub id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.3.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">p</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml">r</mi></msup></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2b"><apply id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2"><ci id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.3.2.2">𝜒</ci></apply><list id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2"><ci id="S7.SS2.8.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.3.m3.2.2.2.2.1.3">𝑟</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2c">\widetilde{\chi}_{j,p^{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.3.m3.2d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the character <math alttext="\pmod{(p^{r},\widetilde{q}_{j})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2"><semantics id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><msup id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.4" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2b"><apply id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.2.2"><ci id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.2.2.2.2.2">pmod</ci><interval closure="open" id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2"><apply id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.4.m4.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2c">\pmod{(p^{r},\widetilde{q}_{j})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.4.m4.2d">start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math> induced by <math alttext="\widetilde{\chi}_{j}\pmod{\widetilde{q}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2"><semantics id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.cmml"><msub id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mspace id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3a" width="0.949em" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.2.2.2.2" stretchy="false" 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xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3">annotated</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2"><ci id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.2.2.2"><ci id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.2.2.2.2.2">pmod</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.2"><ci id="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.5.m5.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2c">\widetilde{\chi}_{j}\pmod{\widetilde{q}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.5.m5.2d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math>. Then, by the Chinese remainder theorem, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E9" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.9</span></a>) factorises as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx111"> <tbody id="S7.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.15)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{p^{r}\mid\mid Q}\mathbb{E}_{b\in\mathbb{Z}/p^{r}\mathbb{Z}% }\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j,p^{r}}(n+P_{j}(b))\prod_{j=1}^{k}1% _{n+P_{j}(b)\not\equiv 0\pmod{(p,W_{j})}}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S7.E15.m1.7"><semantics id="S7.E15.m1.7a"><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1"><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2"><munder id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2a"><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2.3"><msup id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2.3.1"><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2.3.1.2">p</mi><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2.3.1.3">r</mi></msup><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2.3.2" lspace="0em" rspace="0.0835em">∣</mo><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2.3.3" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.2.3.4">Q</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1"><msub id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3"><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.2">𝔼</mi><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3"><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.2">b</mi><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.1">∈</mo><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.3"><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2"><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2.2">ℤ</mi><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2.1">/</mo><msup id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2.3"><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.2.3.2">p</mi><mi 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id="S7.E15.m1.3.3.2.2.1.2">p</mi><mi id="S7.E15.m1.3.3.2.2.1.3">r</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2">n</mi><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><msub id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">P</mi><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">j</mi></msub><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></mo><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E15.m1.6.6">b</mi><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.2a"></mo><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1"><munderover id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1a"><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.3"><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2">j</mi><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1">=</mo><mn id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.3">k</mi></munderover></mstyle><msub id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2"><mn id="S7.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2">1</mn><mrow id="S7.E15.m1.5.5.3"><mrow id="S7.E15.m1.5.5.3.5"><mi id="S7.E15.m1.5.5.3.5.2">n</mi><mo id="S7.E15.m1.5.5.3.5.1">+</mo><mrow id="S7.E15.m1.5.5.3.5.3"><msub id="S7.E15.m1.5.5.3.5.3.2"><mi id="S7.E15.m1.5.5.3.5.3.2.2">P</mi><mi id="S7.E15.m1.5.5.3.5.3.2.3">j</mi></msub><mo id="S7.E15.m1.5.5.3.5.3.1"></mo><mrow id="S7.E15.m1.5.5.3.5.3.3.2"><mo id="S7.E15.m1.5.5.3.5.3.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E15.m1.5.5.3.3">b</mi><mo id="S7.E15.m1.5.5.3.5.3.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E15.m1.5.5.3.4">≢</mo><mrow id="S7.E15.m1.5.5.3.6"><mn id="S7.E15.m1.5.5.3.6.2">0</mn><mspace id="S7.E15.m1.5.5.3.6a" width="0.949em"></mspace><mrow id="S7.E15.m1.4.4.2.2.2.2"><mo id="S7.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E15.m1.4.4.2.2.2.2.1"><mo id="S7.E15.m1.4.4.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0em">mod</mo><mrow id="S7.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S7.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1">p</mi><mo id="S7.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">,</mo><msub id="S7.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><mi id="S7.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">W</mi><mi id="S7.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">j</mi></msub><mo id="S7.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E15.m1.7.7.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E15.m1.7b">\displaystyle\prod_{p^{r}\mid\mid Q}\mathbb{E}_{b\in\mathbb{Z}/p^{r}\mathbb{Z}% }\prod_{j\in\mathcal{J}}\widetilde{\chi}_{j,p^{r}}(n+P_{j}(b))\prod_{j=1}^{k}1% _{n+P_{j}(b)\not\equiv 0\pmod{(p,W_{j})}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E15.m1.7c">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ∣ ∣ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_b ∈ blackboard_Z / italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ≢ 0 start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG ( italic_p , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.8.p7.10">Since <math alttext="\widetilde{\chi}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1a"><msub id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2"><ci id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.2.2">𝜒</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.6.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1c">\widetilde{\chi}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.6.m1.1d">over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are primitive real characters, their moduli are of the form <math alttext="2^{b_{j}}q_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.cmml"><msup id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.cmml"><mn id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.2.cmml">2</mn><msub id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.3" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msup><mo id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.1.cmml"></mo><msubsup id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.3" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1"><times id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.1"></times><apply id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2">superscript</csymbol><cn id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.2">2</cn><apply id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.2">𝑏</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.2">𝑞</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.7.m2.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1c">2^{b_{j}}q_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.7.m2.1d">2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="q_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1a"><msubsup id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.2.cmml">q</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.2">𝑞</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.8.m3.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1c">q_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.8.m3.1d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> squarefree and <math alttext="b_{j}\leq 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.cmml"><msub id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.2.cmml">b</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1"><leq id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.1"></leq><apply id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.9.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1c">b_{j}\leq 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.9.m4.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ 3</annotation></semantics></math>. Hence, for any prime <math alttext="p>2" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1"><gt id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.1"></gt><ci id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.10.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1c">p>2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.10.m5.1d">italic_p > 2</annotation></semantics></math> the average in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E15" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.15</span></a>) equals to</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx112"> <tbody id="S7.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.16)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{b\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j\in\mathcal{J}}% \widetilde{\chi}_{j,p}(n+P_{j}(b))+O_{d,k}(1/p)." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E16.m1.6"><semantics id="S7.E16.m1.6a"><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">χ</mi><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S7.E16.m1.2.2.2.4" xref="S7.E16.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E16.m1.1.1.1.1" xref="S7.E16.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S7.E16.m1.2.2.2.4.1" xref="S7.E16.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.E16.m1.2.2.2.2" xref="S7.E16.m1.2.2.2.2.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E16.m1.5.5" xref="S7.E16.m1.5.5.cmml">b</mi><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msub id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.E16.m1.4.4.2.4" xref="S7.E16.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S7.E16.m1.3.3.1.1" xref="S7.E16.m1.3.3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.E16.m1.4.4.2.4.1" xref="S7.E16.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.E16.m1.4.4.2.2" xref="S7.E16.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mn id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E16.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E16.m1.6b"><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1"><plus id="S7.E16.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.3"></plus><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1"><times id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3"><in id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.1"></in><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.2">𝑏</ci><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3"><times id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2"><divide id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.1"></divide><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1"><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"><in id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.3">𝒥</ci></apply></apply><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜒</ci></apply><list id="S7.E16.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E16.m1.2.2.2.4"><ci id="S7.E16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S7.E16.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E16.m1.2.2.2.2">𝑝</ci></list></apply><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E16.m1.5.5.cmml" xref="S7.E16.m1.5.5">𝑏</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2"><times id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.2"></times><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.3.2">𝑂</ci><list id="S7.E16.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.E16.m1.4.4.2.4"><ci id="S7.E16.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.3.3.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.E16.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S7.E16.m1.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1"><divide id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E16.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E16.m1.6c">\displaystyle\mathbb{E}_{b\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\prod_{j\in\mathcal{J}}% \widetilde{\chi}_{j,p}(n+P_{j}(b))+O_{d,k}(1/p).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E16.m1.6d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_b ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ caligraphic_J end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 / italic_p ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.8.p7.21">By the Weyl bound, this is <math alttext="\leq Kp^{-1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.1" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3a" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mn id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1"><leq id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3"><times id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.2">𝐾</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3"><minus id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3"></minus><apply id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2"><divide id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.1"></divide><cn id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.2">1</cn><cn id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.11.m1.1.1.3.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1c">\leq Kp^{-1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.11.m1.1d">≤ italic_K italic_p start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in modulus for some constant <math alttext="K=K_{d,k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2"><semantics id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.1" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mrow id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.4" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.12.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.4.1" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2b"><apply id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3"><eq id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.1"></eq><ci id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.2">𝐾</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.3.3.2">𝐾</ci><list id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.4"><ci id="S7.SS2.8.p7.12.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.12.m2.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2c">K=K_{d,k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.12.m2.2d">italic_K = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> unless the polynomial <math alttext="f_{n}(y)\coloneqq(P_{1}(y)+n)\cdots(P_{k}(y)+n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5"><semantics id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.cmml"><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.cmml"><msub id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.2.cmml">f</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.1.1.cmml">y</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.3" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.3.cmml">≔</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.cmml"><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mn id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.2.2.cmml">y</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.3.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.4" mathvariant="normal" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.4.cmml">⋯</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.3a" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.3.3" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.3.3.cmml">y</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5b"><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5"><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.3">≔</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4"><times id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.1"></times><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.2">𝑓</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.4.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.1.1">𝑦</ci></apply><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2"><times id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.3"></times><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1"><plus id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2"><times id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2">𝑃</ci><cn id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.2.2">𝑦</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.4.4.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.4.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.4">⋯</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1"><plus id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2"><times id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.3.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.3.3">𝑦</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.13.m3.5.5.2.2.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5c">f_{n}(y)\coloneqq(P_{1}(y)+n)\cdots(P_{k}(y)+n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.13.m3.5d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ) ≔ ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ) + italic_n ) ⋯ ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ) + italic_n )</annotation></semantics></math> is of the form <math alttext="cg(y)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.3.cmml">g</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.1a" xref="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.4" 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xref="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.1">𝑦</ci><cn id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.14.m4.1.2.4.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1c">cg(y)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.14.m4.1d">italic_c italic_g ( italic_y ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> modulo <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.15.m5.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.15.m5.1a"><mi id="S7.SS2.8.p7.15.m5.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.15.m5.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.15.m5.1b"><ci id="S7.SS2.8.p7.15.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.15.m5.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.15.m5.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.15.m5.1d">italic_p</annotation></semantics></math> for some <math alttext="c\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.1" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.3" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1"><in id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.1"></in><ci id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.2">𝑐</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3"><times id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.1"></times><apply id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2"><divide id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.1"></divide><ci id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.16.m6.1.1.3.3">ℤ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1c">c\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.16.m6.1d">italic_c ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z</annotation></semantics></math> and some polynomial <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.17.m7.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.17.m7.1a"><mi id="S7.SS2.8.p7.17.m7.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.17.m7.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.17.m7.1b"><ci id="S7.SS2.8.p7.17.m7.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.17.m7.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.17.m7.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.17.m7.1d">italic_g</annotation></semantics></math>. This can only happen if <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.18.m8.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.18.m8.1a"><mi id="S7.SS2.8.p7.18.m8.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.18.m8.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.18.m8.1b"><ci id="S7.SS2.8.p7.18.m8.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.18.m8.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.18.m8.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.18.m8.1d">italic_p</annotation></semantics></math> divides the discriminant <math alttext="\Delta(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2"><times id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.1"></times><ci id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.2.2">Δ</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.19.m9.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1c">\Delta(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.19.m9.1d">roman_Δ ( italic_n )</annotation></semantics></math> of <math alttext="f_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1a"><msub id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.20.m10.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1c">f_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.20.m10.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The discriminant <math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.21.m11.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.21.m11.1a"><mi id="S7.SS2.8.p7.21.m11.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS2.8.p7.21.m11.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.21.m11.1b"><ci id="S7.SS2.8.p7.21.m11.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.21.m11.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.21.m11.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.21.m11.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math> is some polynomial with integer coefficients. Hence, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E15" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.15</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx113"> <tbody id="S7.Ex26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ll\left(\prod_{p\mid Q}Kp^{-1/2}\right)\left(\prod_{\begin{% subarray}{c}p\mid\Delta(n)\\ p\mid Q\end{subarray}}p^{1/2}\right)\ll_{d,k}Q^{-1/2+o(1)}\left(\prod_{\begin{% subarray}{c}p\mid\Delta(n)\\ p\mid Q\end{subarray}}p^{1/2}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex26.m1.6"><semantics id="S7.Ex26.m1.6a"><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.5" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.6" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.6.cmml">≪</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3a" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><mn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><munder id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1a" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mtable id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Δ</mi><mo id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><msup id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msub id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.4.4.2.4" xref="S7.Ex26.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.3.3.1.1" xref="S7.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.Ex26.m1.4.4.2.4.1" xref="S7.Ex26.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex26.m1.4.4.2.2" xref="S7.Ex26.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msup id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.Ex26.m1.5.5.1" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3a" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.cmml"><mn id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.2" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.1" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.3" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mo id="S7.Ex26.m1.5.5.1.2" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.2" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.2.cmml">o</mi><mo id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.1" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.3.2" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex26.m1.5.5.1.1" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><munder id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1a" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mtable id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Δ</mi><mo id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><msup id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.1" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.3" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex26.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex26.m1.6b"><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1"><and id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1a.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1"></and><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1b.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.6.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.6">much-less-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.5.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.5">absent</csymbol><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2"><times id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.3"></times><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">product</csymbol><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><minus id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3"></minus><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2"><divide id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1"></divide><cn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">1</cn><cn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1"><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2">product</csymbol><list id="S7.Ex26.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">Δ</ci><ci id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑄</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3"><divide id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.1"></divide><cn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1c.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1"><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.7.2">much-less-than</csymbol><list id="S7.Ex26.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.4.4.2.4"><ci id="S7.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.3.3.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.Ex26.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.Ex26.m1.6.6.1.1.2.cmml" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1d.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1"></share><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3"><times id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.2"></times><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.2">𝑄</ci><apply id="S7.Ex26.m1.5.5.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1"><plus id="S7.Ex26.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.2"></plus><apply id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3"><minus id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3"></minus><apply id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2"><divide id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.1"></divide><cn id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.2">1</cn><cn id="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.3.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4"><times id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.1"></times><ci id="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.4.2">𝑜</ci><cn id="S7.Ex26.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.5.5.1.1">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1"><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.1.2">product</csymbol><list id="S7.Ex26.m1.2.2.1a.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">Δ</ci><ci id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑄</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3"><divide id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.1"></divide><cn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex26.m1.6c">\displaystyle\ll\left(\prod_{p\mid Q}Kp^{-1/2}\right)\left(\prod_{\begin{% subarray}{c}p\mid\Delta(n)\\ p\mid Q\end{subarray}}p^{1/2}\right)\ll_{d,k}Q^{-1/2+o(1)}\left(\prod_{\begin{% subarray}{c}p\mid\Delta(n)\\ p\mid Q\end{subarray}}p^{1/2}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex26.m1.6d">≪ ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT italic_K italic_p start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ roman_Δ ( italic_n ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_Q end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 + italic_o ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ roman_Δ ( italic_n ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_Q end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS2.8.p7.24">Now we may use (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E13" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.13</span></a>) to conclude that this is <math alttext="\ll Q^{-1/10}\ll_{A}(\log N)^{-A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.4" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.4.cmml">≪</mo><msup id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.2" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.2.cmml">Q</mi><mrow id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3a" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.cmml"><mn id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.1" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.3.cmml">10</mn></mrow></mrow></msup><msub id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.2" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.3" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3a" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1"><and id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1a.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1"></and><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1b.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.4.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.4">much-less-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.2">𝑄</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3"><minus id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3"></minus><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2"><divide id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.1"></divide><cn id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.2">1</cn><cn id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.3.2.3">10</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1c.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1"><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.6.3">𝐴</ci></apply><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.5.cmml" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1d.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1"></share><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3"><minus id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.22.m1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1c">\ll Q^{-1/10}\ll_{A}(\log N)^{-A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.22.m1.1d">≪ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 10 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for all but <math alttext="\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.2" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.3" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.2" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.3" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1"><apply id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1"><divide id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.23.m2.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1c">\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.23.m2.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="n\in[N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1"><semantics id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1a"><mrow id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1b"><apply id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1"><in id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.2"></in><ci id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS2.8.p7.24.m3.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1c">n\in[N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS2.8.p7.24.m3.1d">italic_n ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S7.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">7.3. </span>Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2)</h3> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.p1.1">We are now ready to prove Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2) and to deduce Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1" title="Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> from it. We begin with the latter task.</p> </div> <div class="ltx_proof" id="S7.SS3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem1" title="Theorem 1.1 (Quantitative polynomial patterns in the primes). ‣ 1.1. Möbius and von Mangoldt averages along polynomial progressions ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> assuming Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2).</h6> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.1.p1.3">Using the triangle inequality, we only need to prove that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx114"> <tbody id="S7.Ex27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{m\leq N}\prod_{p}\beta_{p}(m)=\prod_{p}\beta_{p}+O_{A% }((\log N)^{-A})." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex27.m1.2"><semantics id="S7.Ex27.m1.2a"><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1a" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.3" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex27.m1.1.1" xref="S7.Ex27.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><munder 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id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝔼</ci><apply id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3"><leq id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.1"></leq><ci id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3"><apply id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.2">product</csymbol><ci id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" 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xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex27.m1.2c">\displaystyle\mathbb{E}_{m\leq N}\prod_{p}\beta_{p}(m)=\prod_{p}\beta_{p}+O_{A% }((\log N)^{-A}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex27.m1.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.1.p1.2">Since <math alttext="\beta_{p}(m),\beta_{p}=1+O_{d,k}(1/p^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6"><semantics id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6a"><mrow id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2" 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id="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.4" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.cmml"><mn id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.3" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.3.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.2" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.cmml"><msub id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3.2" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.2" 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id="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3">𝑝</ci></apply></list><apply id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3"><plus id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.2"></plus><cn id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.3">1</cn><apply id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1"><times id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.2"></times><apply id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.3.2">𝑂</ci><list id="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S7.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1"><divide id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><cn id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.1.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6c">\beta_{p}(m),\beta_{p}=1+O_{d,k}(1/p^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.1.p1.1.m1.6d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = 1 + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 / italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\beta_{p}=\mathbb{E}_{m\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\beta_{p}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.1" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><msub id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.1" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.1" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.3" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.1" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.3" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml"></mo><msub id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.2.cmml">β</mi><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.3" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1a" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.4.2" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.1" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2"><eq id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3"><times id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1"></times><apply id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2">𝔼</ci><apply id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3"><in id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.1"></in><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3"><times id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.1"></times><apply id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2"><divide id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.1"></divide><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.3.3">ℤ</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.2">𝛽</ci><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.1.p1.2.m2.1.1">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1c">\beta_{p}=\mathbb{E}_{m\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\beta_{p}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.1.p1.2.m2.1d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m )</annotation></semantics></math>, it in fact suffices to show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx115"> <tbody id="S7.Ex28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{m\leq N}\prod_{p\leq\exp((\log N)^{1/2})}\beta_{p}(m)% =\prod_{p\leq\exp((\log N)^{1/2})}\mathbb{E}_{m\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\beta% _{p}(m)+O_{A}((\log N)^{-A})." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex28.m1.7"><semantics id="S7.Ex28.m1.7a"><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.3.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.3.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.1a" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.2.2.2" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.2.2.2.4" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex28.m1.2.2.2.3" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1a" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><msup id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex28.m1.5.5" xref="S7.Ex28.m1.5.5.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1a" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.4.4.2" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.4.4.2.4" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.4.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex28.m1.4.4.2.3" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.3.3.1.1" xref="S7.Ex28.m1.3.3.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1a" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><msup id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.2.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.2.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.2.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><msub id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.2.cmml">β</mi><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.1a" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.4.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex28.m1.6.6" xref="S7.Ex28.m1.6.6.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex28.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex28.m1.7b"><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1"><eq id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.2"></eq><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3"><times id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci 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xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1"><exp id="S7.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.1.1.1.1"></exp><apply id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><divide id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply 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xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.1.2">product</csymbol><apply id="S7.Ex28.m1.4.4.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2"><leq id="S7.Ex28.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.3"></leq><ci id="S7.Ex28.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.4">𝑝</ci><apply id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1"><exp id="S7.Ex28.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.3.3.1.1"></exp><apply id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><divide id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2"><times id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2">𝔼</ci><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3"><in id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.1"></in><ci 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id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.2">𝛽</ci><ci id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.Ex28.m1.6.6.cmml" xref="S7.Ex28.m1.6.6">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1"><times id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex28.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex28.m1.7c">\displaystyle\mathbb{E}_{m\leq N}\prod_{p\leq\exp((\log N)^{1/2})}\beta_{p}(m)% =\prod_{p\leq\exp((\log N)^{1/2})}\mathbb{E}_{m\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\beta% _{p}(m)+O_{A}((\log N)^{-A}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex28.m1.7d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_Z / italic_p blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.2.p2.4">This estimate follows from Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem1" title="Proposition 6.1 (A local-to-global principle for mean values). ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a> with <math alttext="f(p,n)=\beta_{p}(n)1_{p\leq\exp((\log N)^{1/2})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5"><semantics id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5a"><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.cmml"><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.cmml"><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.2.cmml">f</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.3.3" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.2.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.4.4" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.cmml"><msub id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.3" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.3.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.cmml"><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.5" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.1a" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.1.cmml"></mo><msub id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4.cmml"><mn id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.4" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.3" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1a" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><msup id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5b"><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6"><eq id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.1"></eq><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2"><times id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.1"></times><ci id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.2.3.2"><ci id="S7.SS3.2.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.3.3">𝑝</ci><ci id="S7.SS3.2.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.4.4">𝑛</ci></interval></apply><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3"><times id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.1"></times><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.5.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.5">𝑛</ci><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4">subscript</csymbol><cn id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.5.6.3.4.2">1</cn><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2"><leq id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.3"></leq><ci id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.4">𝑝</ci><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1"><exp id="S7.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.1"></exp><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><divide id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5c">f(p,n)=\beta_{p}(n)1_{p\leq\exp((\log N)^{1/2})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.2.p2.1.m1.5d">italic_f ( italic_p , italic_n ) = italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_p ≤ roman_exp ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; properties (1)–(3) required by the proposition are easily verified (with <math alttext="C\ll_{k}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">C</mi><msub id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.2" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mn id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1b"><apply id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1"><apply id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1c">C\ll_{k}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.2.p2.2.m2.1d">italic_C ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math> and with <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S7.SS3.2.p2.3.m3.1a"><mi id="S7.SS3.2.p2.3.m3.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.3.m3.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.2.p2.3.m3.1b"><ci id="S7.SS3.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.3.m3.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.2.p2.3.m3.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.2.p2.3.m3.1d">italic_P</annotation></semantics></math> being <math alttext="\prod_{1\leq i<j\leq k}(P_{i}-P_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1"><semantics id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mn id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.4" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.5" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.5.cmml"><</mo><mi id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.6" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.6.cmml">j</mi><mo id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.7" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.7.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.8" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.8.cmml">k</mi></mrow></msub><mrow id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1b"><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1"><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3"><and id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3a.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3"></and><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3b.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3"><leq id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.3"></leq><cn id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.4.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3c.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3"><lt id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.5.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.4.cmml" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3d.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3"></share><ci id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.6.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.6">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3e.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3"><leq id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.7.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.6.cmml" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3f.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3"></share><ci id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.8.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.8">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1"><minus id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1c">\prod_{1\leq i<j\leq k}(P_{i}-P_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.2.p2.4.m4.1d">∏ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i < italic_j ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>). ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S7.SS3.13"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S1.Thmtheorem3" title="Theorem 1.3. ‣ 1.2. One-dimensional averages ‣ 1. Introduction ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.3</span></a>(2).</h6> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.3.p1.2">Shifting the collection <math alttext="\{P_{1},\ldots,P_{k}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3"><semantics id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">{</mo><msub id="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.4" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.3.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.5" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.3" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3b"><set id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2"><apply id="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.SS3.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.1.m1.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3c">\{P_{1},\ldots,P_{k}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.3.p1.1.m1.3d">{ italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> by a constant if necessary, we may assume that none of the <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1"><semantics id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1a"><msub id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1" xref="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1b"><apply id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.3.p1.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the zero polynomial.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.4.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.4.p2.1">For <math alttext="j\in[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1"><semantics id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.2" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.1" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.1" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1b"><apply id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2"><in id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.1.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1c">j\in[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.4.p2.1.m1.1d">italic_j ∈ [ italic_k ]</annotation></semantics></math>, let</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx116"> <tbody id="S7.E17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.17)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle w_{j}\coloneqq\exp((\log\log N)^{C^{k+1-j}})," class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E17.m1.2"><semantics id="S7.E17.m1.2a"><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S7.E17.m1.2.2.1.1.3" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.2" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E17.m1.1.1" xref="S7.E17.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><msup id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">+</mo><mn id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup></msup><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E17.m1.2.2.1.2" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E17.m1.2b"><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1"><ci id="S7.E17.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.2">≔</ci><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1"><exp id="S7.E17.m1.1.1.cmml" xref="S7.E17.m1.1.1"></exp><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><plus id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1"></plus><ci id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E17.m1.2c">\displaystyle w_{j}\coloneqq\exp((\log\log N)^{C^{k+1-j}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E17.m1.2d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≔ roman_exp ( ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 - italic_j end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.4.p2.2">where <math alttext="C=C(d,k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2"><semantics id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.2" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.1" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.2" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.1" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.2" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.4.p2.2.m1.1.1" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.2" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2b"><apply id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3"><eq id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.1"></eq><ci id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.2">𝐶</ci><apply id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3"><times id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.1"></times><ci id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.2">𝐶</ci><interval closure="open" id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.3.3.3.2"><ci id="S7.SS3.4.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.4.p2.2.m1.2.2">𝑘</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2c">C=C(d,k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.4.p2.2.m1.2d">italic_C = italic_C ( italic_d , italic_k )</annotation></semantics></math> is a large enough constant. Then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx117"> <tbody id="S7.Ex29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle w_{j+1}=\exp((\log w_{j})^{1/C})," class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex29.m1.2"><semantics id="S7.Ex29.m1.2a"><mrow id="S7.Ex29.m1.2.2.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mrow id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex29.m1.1.1" xref="S7.Ex29.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><msup id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mi id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">C</mi></mrow></msup><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex29.m1.2.2.1.2" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex29.m1.2b"><apply id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1"><eq id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.2">𝑤</ci><apply id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3"><plus id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1"><exp id="S7.Ex29.m1.1.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.1.1"></exp><apply id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex29.m1.2c">\displaystyle w_{j+1}=\exp((\log w_{j})^{1/C}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex29.m1.2d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT = roman_exp ( ( roman_log italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_C end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.4.p2.3">which will eventually allow us to apply Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem6" title="Proposition 4.6 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of Λ). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.5.p3"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.5.p3.1">For some unimodular <math alttext="\theta_{1},\theta_{2}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2"><semantics id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.2" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.1.cmml">→</mo><mi id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.3" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2b"><apply id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2"><ci id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.3">:</ci><list id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><cn id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><apply id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4"><ci id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.1">→</ci><ci id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.2">ℤ</ci><ci id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.1.m1.2.2.4.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2c">\theta_{1},\theta_{2}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.5.p3.1.m1.2d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT : blackboard_Z → blackboard_C</annotation></semantics></math>, we can write</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx118"> <tbody id="S7.E18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.18)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{m\leq N}\left|\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}% \prod_{j=1}^{k}\Lambda(n+P_{j}(m))-\prod_{p}\beta_{p}(m)\right|\\ &\quad=\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{1}(m)\left(\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j% =1}^{k}\Lambda(n+P_{j}(m))-\prod_{p}\beta_{p}(m)\right)\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E18.m1.64"><semantics id="S7.E18.m1.64a"><mtable columnspacing="0pt" id="S7.E18.m1.64.64.4" rowspacing="0pt" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mtr id="S7.E18.m1.64.64.4a" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mtd id="S7.E18.m1.64.64.4b" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E18.m1.64.64.4c" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><msub id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.30" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.29" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">|</mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><msub id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.3" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S7.E18.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml"><mi id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.2" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.cmml"><mi id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.2" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.3" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><munderover id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.2a" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.6.6.6.6.6.6" movablelimits="false" xref="S7.E18.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mi id="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.2" xref="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.1" xref="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.3" xref="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E18.m1.8.8.8.8.8.8.1" xref="S7.E18.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.9.9.9.9.9.9" mathvariant="normal" xref="S7.E18.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S7.E18.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">n</mi><mo id="S7.E18.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S7.E18.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">+</mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><msub id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S7.E18.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">P</mi><mi id="S7.E18.m1.14.14.14.14.14.14.1" xref="S7.E18.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E18.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S7.E18.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">m</mi><mo id="S7.E18.m1.17.17.17.17.17.17" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E18.m1.18.18.18.18.18.18" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E18.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S7.E18.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">−</mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.2.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><munder id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.2.1a" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.20.20.20.20.20.20" movablelimits="false" xref="S7.E18.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">∏</mo><mi id="S7.E18.m1.21.21.21.21.21.21.1" xref="S7.E18.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.2.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><msub id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.2.2.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S7.E18.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">β</mi><mi id="S7.E18.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S7.E18.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.2.2.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.63.63.3.61.28.28.28.1.1.2.2.3" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.24.24.24.24.24.24" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E18.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S7.E18.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">m</mi><mo id="S7.E18.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E18.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">|</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E18.m1.64.64.4d" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mtd id="S7.E18.m1.64.64.4e" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E18.m1.64.64.4f" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.35" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mi><mo id="S7.E18.m1.28.28.28.1.1.1" lspace="1.278em" xref="S7.E18.m1.28.28.28.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><msub id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.3" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.29.29.29.2.2.2" xref="S7.E18.m1.29.29.29.2.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1" xref="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.cmml"><mi id="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.2" xref="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.1" xref="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.3" xref="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><msub id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.4" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.31.31.31.4.4.4" xref="S7.E18.m1.31.31.31.4.4.4.cmml">θ</mi><mn id="S7.E18.m1.32.32.32.5.5.5.1" xref="S7.E18.m1.32.32.32.5.5.5.1.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.2a" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.5" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.33.33.33.6.6.6" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E18.m1.34.34.34.7.7.7" xref="S7.E18.m1.34.34.34.7.7.7.cmml">m</mi><mo id="S7.E18.m1.35.35.35.8.8.8" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.2b" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.36.36.36.9.9.9" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><msub id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.3" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.37.37.37.10.10.10" xref="S7.E18.m1.37.37.37.10.10.10.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1" xref="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.cmml"><mi id="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.2" xref="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.1" xref="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.3" xref="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.3.cmml"><mi id="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.3.2" xref="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.3.3" xref="S7.E18.m1.38.38.38.11.11.11.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><munderover id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.2a" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.39.39.39.12.12.12" movablelimits="false" xref="S7.E18.m1.39.39.39.12.12.12.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E18.m1.40.40.40.13.13.13.1" xref="S7.E18.m1.40.40.40.13.13.13.1.cmml"><mi id="S7.E18.m1.40.40.40.13.13.13.1.2" xref="S7.E18.m1.40.40.40.13.13.13.1.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E18.m1.40.40.40.13.13.13.1.1" xref="S7.E18.m1.40.40.40.13.13.13.1.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E18.m1.40.40.40.13.13.13.1.3" xref="S7.E18.m1.40.40.40.13.13.13.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E18.m1.41.41.41.14.14.14.1" xref="S7.E18.m1.41.41.41.14.14.14.1.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.42.42.42.15.15.15" mathvariant="normal" xref="S7.E18.m1.42.42.42.15.15.15.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.43.43.43.16.16.16" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">(</mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.44.44.44.17.17.17" xref="S7.E18.m1.44.44.44.17.17.17.cmml">n</mi><mo id="S7.E18.m1.45.45.45.18.18.18" xref="S7.E18.m1.45.45.45.18.18.18.cmml">+</mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><msub id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.46.46.46.19.19.19" xref="S7.E18.m1.46.46.46.19.19.19.cmml">P</mi><mi id="S7.E18.m1.47.47.47.20.20.20.1" xref="S7.E18.m1.47.47.47.20.20.20.1.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.48.48.48.21.21.21" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E18.m1.49.49.49.22.22.22" xref="S7.E18.m1.49.49.49.22.22.22.cmml">m</mi><mo id="S7.E18.m1.50.50.50.23.23.23" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E18.m1.51.51.51.24.24.24" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E18.m1.52.52.52.25.25.25" xref="S7.E18.m1.52.52.52.25.25.25.cmml">−</mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.2.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><munder id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.2.1a" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.53.53.53.26.26.26" movablelimits="false" xref="S7.E18.m1.53.53.53.26.26.26.cmml">∏</mo><mi id="S7.E18.m1.54.54.54.27.27.27.1" xref="S7.E18.m1.54.54.54.27.27.27.1.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.2.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><msub id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.2.2.2" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mi id="S7.E18.m1.55.55.55.28.28.28" xref="S7.E18.m1.55.55.55.28.28.28.cmml">β</mi><mi id="S7.E18.m1.56.56.56.29.29.29.1" xref="S7.E18.m1.56.56.56.29.29.29.1.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.2.2.1" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E18.m1.64.64.4.62.34.34.34.1.1.1.2.2.3" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml"><mo id="S7.E18.m1.57.57.57.30.30.30" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E18.m1.58.58.58.31.31.31" xref="S7.E18.m1.58.58.58.31.31.31.cmml">m</mi><mo id="S7.E18.m1.59.59.59.32.32.32" stretchy="false" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E18.m1.60.60.60.33.33.33" xref="S7.E18.m1.62.62.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E18.m1.64b"><apply id="S7.E18.m1.62.62.2.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><eq id="S7.E18.m1.28.28.28.1.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.28.28.28.1.1.1"></eq><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><times id="S7.E18.m1.61.61.1.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"></times><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.3.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.61.61.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4">subscript</csymbol><ci id="S7.E18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.1.1.1.1.1.1">𝔼</ci><apply id="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1"><leq id="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"></leq><ci id="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑚</ci><ci id="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.E18.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><abs id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"></abs><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><minus id="S7.E18.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S7.E18.m1.19.19.19.19.19.19"></minus><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><times id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"></times><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4">subscript</csymbol><ci id="S7.E18.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S7.E18.m1.4.4.4.4.4.4">𝔼</ci><apply id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1"><leq id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.1"></leq><ci id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.cmml" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.cmml" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.2.cmml" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.3.cmml" xref="S7.E18.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4">superscript</csymbol><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E18.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="S7.E18.m1.6.6.6.6.6.6">product</csymbol><apply id="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml" xref="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1"><eq id="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.1"></eq><ci id="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.2">𝑗</ci><cn id="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.E18.m1.7.7.7.7.7.7.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.E18.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml" xref="S7.E18.m1.8.8.8.8.8.8.1">𝑘</ci></apply><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><times id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"></times><ci id="S7.E18.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S7.E18.m1.9.9.9.9.9.9">Λ</ci><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><plus id="S7.E18.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S7.E18.m1.12.12.12.12.12.12"></plus><ci id="S7.E18.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S7.E18.m1.11.11.11.11.11.11">𝑛</ci><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><times id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"></times><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4">subscript</csymbol><ci id="S7.E18.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="S7.E18.m1.13.13.13.13.13.13">𝑃</ci><ci id="S7.E18.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml" xref="S7.E18.m1.14.14.14.14.14.14.1">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E18.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="S7.E18.m1.16.16.16.16.16.16">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><apply id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.61.61.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E18.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" 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cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.62.62.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4">subscript</csymbol><ci id="S7.E18.m1.29.29.29.2.2.2.cmml" xref="S7.E18.m1.29.29.29.2.2.2">𝔼</ci><apply id="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1"><leq id="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.1"></leq><ci id="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.2.cmml" xref="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.2">𝑚</ci><ci id="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.3.cmml" xref="S7.E18.m1.30.30.30.3.3.3.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.E18.m1.62.62.2.2.4.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E18.m1.62.62.2.2.4.1.cmml" xref="S7.E18.m1.64.64.4">subscript</csymbol><ci id="S7.E18.m1.31.31.31.4.4.4.cmml" xref="S7.E18.m1.31.31.31.4.4.4">𝜃</ci><cn id="S7.E18.m1.32.32.32.5.5.5.1.cmml" type="integer" xref="S7.E18.m1.32.32.32.5.5.5.1">1</cn></apply><ci id="S7.E18.m1.34.34.34.7.7.7.cmml" xref="S7.E18.m1.34.34.34.7.7.7">𝑚</ci><apply id="S7.E18.m1.62.62.2.2.1.1.1.cmml" 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=1}^{k}\Lambda(n+P_{j}(m))-\prod_{p}\beta_{p}(m)\right)\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E18.m1.64d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT | blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ( blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT 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display="inline" id="S7.Ex30.m2.3"><semantics id="S7.Ex30.m2.3a"><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.cmml"><msub id="S7.Ex30.m2.3.3.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.3.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.3.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.3.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.3.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub 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xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.1a" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.1.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex30.m2.2.2" xref="S7.Ex30.m2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex30.m2.3.3.1.1.3" xref="S7.Ex30.m2.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex30.m2.3b"><apply id="S7.Ex30.m2.3.3.cmml" xref="S7.Ex30.m2.3.3"><times id="S7.Ex30.m2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex30.m2.3.3.2"></times><apply id="S7.Ex30.m2.3.3.3.cmml" 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italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.E19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.19)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad=\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\theta_{2}(n)\left(\mathbb{E}_{m% \leq N}\prod_{j=1}^{k}\Lambda(n+P_{j}(m))-\prod_{p}\beta^{\prime}_{p}(n)\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E19.m1.4"><semantics id="S7.E19.m1.4a"><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.2" lspace="1.278em" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.5.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.E19.m1.1.1" xref="S7.E19.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.2b" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E19.m1.2.2" xref="S7.E19.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow 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id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E19.m1.3.3" xref="S7.E19.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E19.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E19.m1.4b"><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1"><eq id="S7.E19.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S7.E19.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.cmml" 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id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.2">𝜃</ci><cn id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.4.3">2</cn></apply><ci id="S7.E19.m1.1.1.cmml" xref="S7.E19.m1.1.1">𝑛</ci><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1"><minus id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" 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xref="S7.E19.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2">product</csymbol><ci id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S7.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.E19.m1.3.3.cmml" xref="S7.E19.m1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E19.m1.4c">\displaystyle\quad=\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\theta_{2}(n)\left(\mathbb{E}_{m% \leq N}\prod_{j=1}^{k}\Lambda(n+P_{j}(m))-\prod_{p}\beta^{\prime}_{p}(n)\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E19.m1.4d">= blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ( blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.5.p3.3">From Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.Thmtheorem1" title="Lemma 7.1. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.1</span></a> and the estimates <math alttext="\beta_{p}(m),\beta_{p}^{\prime}(m)=1+O_{k}(1/p)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5"><semantics id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5a"><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.cmml"><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.cmml"><msubsup id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.4" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.cmml"><mn id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.3.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.cmml"><msub id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5b"><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5"><eq id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.4.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.4"></eq><list id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2"><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1"><times id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2"><times id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.1"></times><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.4.4.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.2.2">𝑚</ci></apply></list><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3"><plus id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.2"></plus><cn id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.3">1</cn><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1"><times id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.2"></times><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1"><divide id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5c">\beta_{p}(m),\beta_{p}^{\prime}(m)=1+O_{k}(1/p)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.5.p3.2.m1.5d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m ) = 1 + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 / italic_p )</annotation></semantics></math>, we see that the expressions inside the brackets here are <math alttext="\ll(\log N)^{O_{k}(1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2"><semantics id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2a"><mrow id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.3" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.2" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.2.cmml">≪</mo><msup id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.2" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.4.2" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2b"><apply id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.2">much-less-than</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1"><log id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1"><times id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><cn id="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.5.p3.3.m2.1.1.1.1">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2c">\ll(\log N)^{O_{k}(1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.5.p3.3.m2.2d">≪ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.6.p4"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.6.p4.1">We split the average on the right-hand side of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E18" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.18</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.Ex30" title="Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.3</span></a>) into a sum of <math alttext="2^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1"><semantics id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1a"><msup id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mi id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1b"><apply id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1">superscript</csymbol><cn id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.2">2</cn><ci id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1c">2^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.1.m1.1d">2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> different averages by substituting</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S7.Ex31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Lambda=\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}+E_{j}" class="ltx_Math" display="block" id="S7.Ex31.m1.1"><semantics id="S7.Ex31.m1.1a"><mrow id="S7.Ex31.m1.1.1" xref="S7.Ex31.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex31.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex31.m1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex31.m1.1.1.1" xref="S7.Ex31.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex31.m1.1.1.3" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.Ex31.m1.1.1.3.1" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S7.Ex31.m1.1.1.3.3" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mi id="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.3" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex31.m1.1b"><apply id="S7.Ex31.m1.1.1.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1"><eq id="S7.Ex31.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.1"></eq><ci id="S7.Ex31.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S7.Ex31.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3"><plus id="S7.Ex31.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2"><ci id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex31.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex31.m1.1c">\Lambda=\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}+E_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex31.m1.1d">roman_Λ = over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.6.p4.3">in the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.2.m1.1"><semantics id="S7.SS3.6.p4.2.m1.1a"><mi id="S7.SS3.6.p4.2.m1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.2.m1.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.6.p4.2.m1.1b"><ci id="S7.SS3.6.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.2.m1.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.2.m1.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.2.m1.1d">italic_j</annotation></semantics></math>th factor in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E18" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.18</span></a>), where <math alttext="\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1"><semantics id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1a"><msub id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.1" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.2" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.3" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1b"><apply id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2"><ci id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.3.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1c">\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.3.m2.1d">over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is as in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem4" title="Definition 4.4 (The Siegel model). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>. Note for later use that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx120"> <tbody id="S7.E20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.20)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|E_{j}(n)|\ll\log|n|+\log N." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E20.m1.3"><semantics id="S7.E20.m1.3a"><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1.1" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.E20.m1.1.1" xref="S7.E20.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2a" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml"><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S7.E20.m1.2.2" xref="S7.E20.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"></mo><mi id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">N</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E20.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E20.m1.3b"><apply id="S7.E20.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.E20.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.2">much-less-than</csymbol><apply id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1"><abs id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E20.m1.1.1.cmml" xref="S7.E20.m1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2"><log id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.1"></log><apply id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.2"><abs id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1"></abs><ci id="S7.E20.m1.2.2.cmml" xref="S7.E20.m1.2.2">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3"><log id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1"></log><ci id="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E20.m1.3c">\displaystyle|E_{j}(n)|\ll\log|n|+\log N.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E20.m1.3d">| italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) | ≪ roman_log | italic_n | + roman_log italic_N .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.6.p4.10">Then it suffices to show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx121"> <tbody id="S7.E21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.21)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\widetilde{\Lambda}_{W_{j}% }(n+P_{j}(m))=\prod_{p}\beta_{p}(m)+O_{A}((\log N)^{-A})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E21.m1.4"><semantics id="S7.E21.m1.4a"><mrow id="S7.E21.m1.4.4" xref="S7.E21.m1.4.4.cmml"><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S7.E21.m1.3.3.1.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.3.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2a" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E21.m1.1.1" xref="S7.E21.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E21.m1.4.4.3" xref="S7.E21.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2.3" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E21.m1.4.4.2.3.1" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.1.cmml"><munder id="S7.E21.m1.4.4.2.3.1a" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.1.cmml"><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S7.E21.m1.4.4.2.3.1.3" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2.3.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.cmml"><msub id="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.2.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.2.3" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.1" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.3.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.cmml"><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E21.m1.2.2" xref="S7.E21.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.4.4.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2.1" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.cmml"><msub id="S7.E21.m1.4.4.2.1.3" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S7.E21.m1.4.4.2.1.3.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.E21.m1.4.4.2.1.3.3" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.1.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" 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id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1"><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3"><eq id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1"><times id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2"><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci 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id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"><minus id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E21.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E21.m1.4c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\prod_{j=1}^{k}\widetilde{\Lambda}_{W_{j}% }(n+P_{j}(m))=\prod_{p}\beta_{p}(m)+O_{A}((\log N)^{-A})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E21.m1.4d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.6.p4.5">for all but <math alttext="\ll_{A}N/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1"><semantics id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1a"><mrow id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.4.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1c">\ll_{A}N/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.4.m1.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="m\in[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1"><semantics id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1a"><mrow id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.2" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.1" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.2" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1b"><apply id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2"><in id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.1"></in><ci id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.5.m2.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1c">m\in[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.5.m2.1d">italic_m ∈ [ italic_N ]</annotation></semantics></math>, and that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx122"> <tbody id="S7.E22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.22)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{m\leq N}\prod_{j=1}^{k}\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}(n+% P_{j}(m))=\prod_{p}\beta_{p}^{\prime}(m)+O_{A}((\log N)^{-A})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E22.m1.4"><semantics id="S7.E22.m1.4a"><mrow id="S7.E22.m1.4.4" xref="S7.E22.m1.4.4.cmml"><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S7.E22.m1.3.3.1.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.3.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1.3.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2a" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E22.m1.1.1" xref="S7.E22.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E22.m1.4.4.3" xref="S7.E22.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.E22.m1.4.4.2" xref="S7.E22.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S7.E22.m1.4.4.2.3" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E22.m1.4.4.2.3.1" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.1.cmml"><munder id="S7.E22.m1.4.4.2.3.1a" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.1.cmml"><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S7.E22.m1.4.4.2.3.1.3" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.cmml"><msubsup id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.2.2.2" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.2.2.3" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.2.3" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.1" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.3.2" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.cmml"><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E22.m1.2.2" xref="S7.E22.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E22.m1.4.4.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.2" xref="S7.E22.m1.4.4.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.E22.m1.4.4.2.1" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.cmml"><msub id="S7.E22.m1.4.4.2.1.3" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S7.E22.m1.4.4.2.1.3.2" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="S7.E22.m1.4.4.2.1.3.3" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.1.2" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.E22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" 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cd="ambiguous" id="S7.E22.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E22.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.3"><leq id="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.1"></leq><ci id="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S7.E22.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1"><apply id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S7.E22.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" 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N)^{-A})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E22.m1.4d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.6.p4.9">for all but <math alttext="\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1"><semantics id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1a"><mrow id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.3.cmml"></mi><msub id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1"><divide id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.6.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1c">\ll_{A}N^{d}/(\log N)^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.6.m1.1d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> integers <math alttext="n\in[N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1"><semantics id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1a"><mrow id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1b"><apply id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1"><in id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.2"></in><ci id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.7.m2.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1c">n\in[N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.7.m2.1d">italic_n ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, and that for any <math alttext="0\leq\ell\leq k-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1"><semantics id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1a"><mrow id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.4.cmml">ℓ</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.5" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.2" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.1" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.1.cmml">−</mo><mn id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.3" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1b"><apply id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1"><and id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1a.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1"></and><apply id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1b.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1"><leq id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.3"></leq><cn id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.2">0</cn><ci id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.4.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.4">ℓ</ci></apply><apply id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1c.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1"><leq id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.5.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.4.cmml" id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1d.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1"></share><apply id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6"><minus id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.1"></minus><ci id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.2">𝑘</ci><cn id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.6.p4.8.m3.1.1.6.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1c">0\leq\ell\leq k-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.8.m3.1d">0 ≤ roman_ℓ ≤ italic_k - 1</annotation></semantics></math> and any unimodular <math alttext="\theta_{1},\theta_{2}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2"><semantics id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2a"><mrow id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.3.cmml"><msub id="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.cmml"><mi id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.2" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.2.cmml">ℤ</mi><mo id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.1.cmml">→</mo><mi id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.3" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.3.cmml">ℂ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2b"><apply id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2"><ci id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.3">:</ci><list id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2"><apply id="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><cn id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><apply id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4"><ci id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.1">→</ci><ci id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.2">ℤ</ci><ci id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.3.cmml" xref="S7.SS3.6.p4.9.m4.2.2.4.3">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2c">\theta_{1},\theta_{2}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.6.p4.9.m4.2d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT : blackboard_Z → blackboard_C</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx123"> <tbody id="S7.E23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.23)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_% {1}(m)\theta_{2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j}(m))E_{k-\ell}(n+P_{k-% \ell}(m))\prod_{j=k-\ell+1}^{k}\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}(n+P_{j}(m))\\ &\quad\ll_{A}(\log N)^{-A}.\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E23.m1.65"><semantics id="S7.E23.m1.65a"><mtable columnspacing="0pt" id="S7.E23.m1.65.65.5" rowspacing="0pt"><mtr id="S7.E23.m1.65.65.5a"><mtd id="S7.E23.m1.65.65.5b" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E23.m1.65.65.5c"><mrow id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55"><msub id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.57"><mi id="S7.E23.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.3" xref="S7.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.56" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.58"><mi id="S7.E23.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S7.E23.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E23.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S7.E23.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml"><mi id="S7.E23.m1.4.4.4.4.4.4.1.2" xref="S7.E23.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E23.m1.4.4.4.4.4.4.1.1" xref="S7.E23.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E23.m1.4.4.4.4.4.4.1.3" xref="S7.E23.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.56a" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.59"><mi id="S7.E23.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S7.E23.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">θ</mi><mn id="S7.E23.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S7.E23.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.56b" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.60"><mo id="S7.E23.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.E23.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S7.E23.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">m</mi><mo id="S7.E23.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.56c" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.61"><mi id="S7.E23.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S7.E23.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">θ</mi><mn id="S7.E23.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="S7.E23.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.56d" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.62"><mo id="S7.E23.m1.12.12.12.12.12.12" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.E23.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S7.E23.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">n</mi><mo id="S7.E23.m1.14.14.14.14.14.14" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.56e" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.4"><munderover id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.4a"><mo id="S7.E23.m1.15.15.15.15.15.15" movablelimits="false" xref="S7.E23.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1" xref="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml"><mi id="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.2" xref="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.1" xref="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.1.cmml">=</mo><mn id="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.3" xref="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml"><mi id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.2" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.2.cmml">k</mi><mo id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.1" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.1.cmml">−</mo><mi id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.3.cmml">ℓ</mi><mo id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.1a" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.1.cmml">−</mo><mn id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.4" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.4.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3"><mi id="S7.E23.m1.18.18.18.18.18.18" mathvariant="normal" xref="S7.E23.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.4" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E23.m1.62.62.2.61.53.53.53.1.1.1"><mo id="S7.E23.m1.19.19.19.19.19.19" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E23.m1.62.62.2.61.53.53.53.1.1.1.1"><mi id="S7.E23.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S7.E23.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">n</mi><mo id="S7.E23.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S7.E23.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">+</mo><mrow id="S7.E23.m1.62.62.2.61.53.53.53.1.1.1.1.1"><msub id="S7.E23.m1.62.62.2.61.53.53.53.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E23.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S7.E23.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">P</mi><mi id="S7.E23.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S7.E23.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E23.m1.62.62.2.61.53.53.53.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E23.m1.62.62.2.61.53.53.53.1.1.1.1.1.3"><mo id="S7.E23.m1.24.24.24.24.24.24" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.E23.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S7.E23.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">m</mi><mo id="S7.E23.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E23.m1.27.27.27.27.27.27" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.4a" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.5"><mi id="S7.E23.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S7.E23.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">E</mi><mrow id="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1" xref="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml"><mi id="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.2" xref="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml">k</mi><mo id="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.1" xref="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml">−</mo><mi id="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.4b" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E23.m1.63.63.3.62.54.54.54.2.2.1"><mo id="S7.E23.m1.30.30.30.30.30.30" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E23.m1.63.63.3.62.54.54.54.2.2.1.1"><mi id="S7.E23.m1.31.31.31.31.31.31" xref="S7.E23.m1.31.31.31.31.31.31.cmml">n</mi><mo id="S7.E23.m1.32.32.32.32.32.32" xref="S7.E23.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">+</mo><mrow id="S7.E23.m1.63.63.3.62.54.54.54.2.2.1.1.1"><msub id="S7.E23.m1.63.63.3.62.54.54.54.2.2.1.1.1.2"><mi id="S7.E23.m1.33.33.33.33.33.33" xref="S7.E23.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">P</mi><mrow id="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1" xref="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml"><mi id="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.2" xref="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.2.cmml">k</mi><mo id="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.1" xref="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.1.cmml">−</mo><mi id="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.E23.m1.63.63.3.62.54.54.54.2.2.1.1.1.1" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E23.m1.63.63.3.62.54.54.54.2.2.1.1.1.3"><mo id="S7.E23.m1.35.35.35.35.35.35" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.E23.m1.36.36.36.36.36.36" xref="S7.E23.m1.36.36.36.36.36.36.cmml">m</mi><mo id="S7.E23.m1.37.37.37.37.37.37" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E23.m1.38.38.38.38.38.38" stretchy="false" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.4c" xref="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.3"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.3.2"><munderover id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.3.2a"><mo id="S7.E23.m1.39.39.39.39.39.39" movablelimits="false" xref="S7.E23.m1.39.39.39.39.39.39.cmml">∏</mo><mrow id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.cmml"><mi id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.2" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.2.cmml">j</mi><mo id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.1" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.cmml"><mrow id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.2" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.1" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.1" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.3" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="S7.E23.m1.41.41.41.41.41.41.1" xref="S7.E23.m1.41.41.41.41.41.41.1.cmml">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.3.1"><msub id="S7.E23.m1.64.64.4.63.55.55.55.3.3.1.3"><mover accent="true" id="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42" xref="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.cmml"><mi id="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.2" mathvariant="normal" xref="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.1" xref="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1" xref="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1.cmml"><mi id="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1.2" 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xref="S7.E23.m1.13.13.13.13.13.13">𝑛</ci><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">superscript</csymbol><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E23.m1.15.15.15.15.15.15.cmml" xref="S7.E23.m1.15.15.15.15.15.15">product</csymbol><apply id="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml" xref="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1"><eq id="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.1"></eq><ci id="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.2.cmml" xref="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.2">𝑗</ci><cn id="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.E23.m1.16.16.16.16.16.16.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1"><minus id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.1"></minus><ci id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.2.cmml" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.2">𝑘</ci><ci id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.3">ℓ</ci><cn id="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.4.cmml" type="integer" xref="S7.E23.m1.17.17.17.17.17.17.1.4">1</cn></apply></apply><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><times id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"></times><ci id="S7.E23.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S7.E23.m1.18.18.18.18.18.18">Λ</ci><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><plus id="S7.E23.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S7.E23.m1.21.21.21.21.21.21"></plus><ci id="S7.E23.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S7.E23.m1.20.20.20.20.20.20">𝑛</ci><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><times id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"></times><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">subscript</csymbol><ci id="S7.E23.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S7.E23.m1.22.22.22.22.22.22">𝑃</ci><ci id="S7.E23.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml" xref="S7.E23.m1.23.23.23.23.23.23.1">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E23.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S7.E23.m1.25.25.25.25.25.25">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.6.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.6.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">subscript</csymbol><ci id="S7.E23.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S7.E23.m1.28.28.28.28.28.28">𝐸</ci><apply id="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml" xref="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1"><minus id="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.1"></minus><ci id="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml" xref="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.2">𝑘</ci><ci id="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.29.29.29.29.29.29.1.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><plus id="S7.E23.m1.32.32.32.32.32.32.cmml" xref="S7.E23.m1.32.32.32.32.32.32"></plus><ci id="S7.E23.m1.31.31.31.31.31.31.cmml" xref="S7.E23.m1.31.31.31.31.31.31">𝑛</ci><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><times id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"></times><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">subscript</csymbol><ci id="S7.E23.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S7.E23.m1.33.33.33.33.33.33">𝑃</ci><apply id="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml" xref="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1"><minus id="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.1"></minus><ci id="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.2.cmml" xref="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.2">𝑘</ci><ci id="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.34.34.34.34.34.34.1.3">ℓ</ci></apply></apply><ci id="S7.E23.m1.36.36.36.36.36.36.cmml" xref="S7.E23.m1.36.36.36.36.36.36">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">superscript</csymbol><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.E23.m1.39.39.39.39.39.39.cmml" xref="S7.E23.m1.39.39.39.39.39.39">product</csymbol><apply id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1"><eq id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.1"></eq><ci id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.2.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.2">𝑗</ci><apply id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3"><plus id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.1.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.1"></plus><apply id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2"><minus id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.1"></minus><ci id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><cn id="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E23.m1.40.40.40.40.40.40.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S7.E23.m1.41.41.41.41.41.41.1.cmml" xref="S7.E23.m1.41.41.41.41.41.41.1">𝑘</ci></apply><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><times id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"></times><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">subscript</csymbol><apply id="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.cmml" xref="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42"><ci id="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml" xref="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.1">~</ci><ci id="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.2.cmml" xref="S7.E23.m1.42.42.42.42.42.42.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1.cmml" xref="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1">subscript</csymbol><ci id="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1.2.cmml" xref="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1.2">𝑊</ci><ci id="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.43.43.43.43.43.43.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><plus id="S7.E23.m1.46.46.46.46.46.46.cmml" xref="S7.E23.m1.46.46.46.46.46.46"></plus><ci id="S7.E23.m1.45.45.45.45.45.45.cmml" xref="S7.E23.m1.45.45.45.45.45.45">𝑛</ci><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><times id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"></times><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">subscript</csymbol><ci id="S7.E23.m1.47.47.47.47.47.47.cmml" xref="S7.E23.m1.47.47.47.47.47.47">𝑃</ci><ci id="S7.E23.m1.48.48.48.48.48.48.1.cmml" xref="S7.E23.m1.48.48.48.48.48.48.1">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E23.m1.50.50.50.50.50.50.cmml" xref="S7.E23.m1.50.50.50.50.50.50">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.4.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b">superscript</csymbol><apply id="S7.E23.m1.61.61.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.65.65.5b"><log id="S7.E23.m1.56.56.56.4.4.4.cmml" xref="S7.E23.m1.56.56.56.4.4.4"></log><ci id="S7.E23.m1.57.57.57.5.5.5.cmml" xref="S7.E23.m1.57.57.57.5.5.5">𝑁</ci></apply><apply id="S7.E23.m1.59.59.59.7.7.7.1.cmml" xref="S7.E23.m1.59.59.59.7.7.7.1"><minus id="S7.E23.m1.59.59.59.7.7.7.1.1.cmml" xref="S7.E23.m1.59.59.59.7.7.7.1"></minus><ci id="S7.E23.m1.59.59.59.7.7.7.1.2.cmml" xref="S7.E23.m1.59.59.59.7.7.7.1.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E23.m1.65c">\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_% {1}(m)\theta_{2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j}(m))E_{k-\ell}(n+P_{k-% \ell}(m))\prod_{j=k-\ell+1}^{k}\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}(n+P_{j}(m))\\ &\quad\ll_{A}(\log N)^{-A}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E23.m1.65d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.6.p4.11">The estimates (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E21" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.21</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E22" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.22</span></a>) follow directly from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.Thmtheorem2" title="Lemma 7.2 (Siegel model correlations). ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.2</span></a>. Hence, the remaining task is proving (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E23" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.23</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.7.p5"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.7.p5.1">Suppose first that <math alttext="\ell=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1"><semantics id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1b"><apply id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1"><eq id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.7.p5.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1c">\ell=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.7.p5.1.m1.1d">roman_ℓ = 0</annotation></semantics></math>. In this case, the claim (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E23" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.23</span></a>) simplifies as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx124"> <tbody id="S7.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{1}(m)\theta_{% 2}(n)\prod_{j=1}^{k-1}\Lambda(n+P_{j}(m))\cdot E_{k}(n+P_{k}(m))\ll_{A}(\log N% )^{-A}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex32.m1.5"><semantics id="S7.Ex32.m1.5a"><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msub id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3a" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.6" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.6.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.6.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.6.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.6.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.6.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3b" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.7.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.7.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex32.m1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.7.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3c" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.8" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.8.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.8.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.8.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.8.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.8.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3d" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.9.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.9.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex32.m1.2.2" xref="S7.Ex32.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.9.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3e" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><munderover id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3a" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex32.m1.3.3" xref="S7.Ex32.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⋅</mo><msub id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">E</mi><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex32.m1.4.4" xref="S7.Ex32.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><msub id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.4" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.4.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.4.3.cmml">A</mi></msub><msup id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mo id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3a" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup></mrow><mo 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id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3"><leq id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.1"></leq><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.2">𝔼</ci><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3"><leq id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.5.3.1.cmml" 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id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3"><minus id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2"><times id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.3"></times><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">⋅</ci><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">Λ</ci><apply 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xref="S7.Ex32.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐸</ci><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1"><plus id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S7.Ex32.m1.4.4.cmml" xref="S7.Ex32.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1"><log id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3"><minus id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3"></minus><ci id="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex32.m1.5.5.1.1.3.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex32.m1.5c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{1}(m)\theta_{% 2}(n)\prod_{j=1}^{k-1}\Lambda(n+P_{j}(m))\cdot E_{k}(n+P_{k}(m))\ll_{A}(\log N% )^{-A}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex32.m1.5d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋅ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.7.p5.2">By Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> (and the bounds <math alttext="\Lambda(n)\ll\log|n|" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2"><semantics id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.1" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.3.2" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.7.p5.2.m1.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.1" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.1.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.1" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3a" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.2" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.2" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2b"><apply id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.1">much-less-than</csymbol><apply id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2"><times id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.2.2">Λ</ci><ci id="S7.SS3.7.p5.2.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3"><log id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.1"></log><apply id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.2"><abs id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.3.3.2.2.1"></abs><ci id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.2.m1.2.2">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2c">\Lambda(n)\ll\log|n|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.7.p5.2.m1.2d">roman_Λ ( italic_n ) ≪ roman_log | italic_n |</annotation></semantics></math> and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E20" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.20</span></a>)), this holds unless</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx125"> <tbody id="S7.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|E_{k}\|_{U^{s}[CN^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d}(1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex33.m1.6"><semantics id="S7.Ex33.m1.6a"><mrow id="S7.Ex33.m1.6.6" xref="S7.Ex33.m1.6.6.cmml"><msub id="S7.Ex33.m1.5.5.1" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mi id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S7.Ex33.m1.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.Ex33.m1.1.1.1.3" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S7.Ex33.m1.1.1.1.2" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex33.m1.6.6.3" xref="S7.Ex33.m1.6.6.3.cmml">≫</mo><msup id="S7.Ex33.m1.6.6.2" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.cmml"><mrow id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex33.m1.4.4.3" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S7.Ex33.m1.4.4.3a" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.cmml"><msub id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2.cmml"><mi id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2.2" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.4" xref="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex33.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex33.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.4.1" xref="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.1" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.3.2" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.cmml"><mo id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex33.m1.4.4.3.3" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex33.m1.6b"><apply id="S7.Ex33.m1.6.6.cmml" xref="S7.Ex33.m1.6.6"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex33.m1.6.6.3.cmml" xref="S7.Ex33.m1.6.6.3">much-greater-than</csymbol><apply id="S7.Ex33.m1.5.5.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex33.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝐸</ci><ci id="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex33.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1"><times id="S7.Ex33.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex33.m1.6.6.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex33.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1"><log id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.6.6.2.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex33.m1.4.4.3.cmml" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3"><minus id="S7.Ex33.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3"></minus><apply id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.cmml" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5"><times id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.1"></times><apply id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.5.2.2">𝑂</ci><list id="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.4"><ci id="S7.Ex33.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex33.m1.2.2.1.1.1.1">𝐴</ci><ci id="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex33.m1.3.3.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><cn id="S7.Ex33.m1.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex33.m1.4.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex33.m1.6c">\displaystyle\|E_{k}\|_{U^{s}[CN^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d}(1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex33.m1.6d">∥ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ≫ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.7.p5.6">for some <math alttext="1\leq s,C\ll_{P_{1},\ldots,P_{k}}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5"><semantics id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5a"><mrow id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.2" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.3" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.3" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.2" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.2.cmml">C</mi><msub id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mo id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1.2" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.4.cmml"><msub id="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">P</mi><mn id="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.3" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.7.p5.3.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.4" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.3" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msub><mn id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.3" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5b"><apply id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.3a.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1"><leq id="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.1"></leq><cn id="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.4.4.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2"><apply id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.1.2">much-less-than</csymbol><list id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3"><apply id="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.2">𝑃</ci><cn id="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.SS3.7.p5.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.3.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply><ci id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.7.p5.3.m1.5.5.2.2.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5c">1\leq s,C\ll_{P_{1},\ldots,P_{k}}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.7.p5.3.m1.5d">1 ≤ italic_s , italic_C ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math>. But since <math alttext="E_{k}=\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1"><semantics id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1a"><mrow id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.2" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.3" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.1" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.1" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.2" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.3" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1b"><apply id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1"><eq id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.1"></eq><apply id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3"><minus id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.1"></minus><ci id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.2">Λ</ci><apply id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2"><ci id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.4.m2.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1c">E_{k}=\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.7.p5.4.m2.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = roman_Λ - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, this contradicts Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem6" title="Proposition 4.6 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of Λ). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a> (recalling (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E17" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.17</span></a>) and that <math alttext="C=C(d,k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2"><semantics id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2a"><mrow id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.2" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.1" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.2" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.1" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.2" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.7.p5.5.m3.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.2" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2b"><apply id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3"><eq id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.1"></eq><ci id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.2">𝐶</ci><apply id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3"><times id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.2">𝐶</ci><interval closure="open" id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.3.3.3.2"><ci id="S7.SS3.7.p5.5.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.5.m3.2.2">𝑘</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2c">C=C(d,k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.7.p5.5.m3.2d">italic_C = italic_C ( italic_d , italic_k )</annotation></semantics></math> is large enough there). We may suppose from now on that <math alttext="1\leq\ell\leq k-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1"><semantics id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1a"><mrow id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.2" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.3" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.4.cmml">ℓ</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.5" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.cmml"><mi id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.2" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.1" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.1.cmml">−</mo><mn id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.3" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1b"><apply id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1"><and id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1a.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1"></and><apply id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1b.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1"><leq id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.3"></leq><cn id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.4.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.4">ℓ</ci></apply><apply id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1c.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1"><leq id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.5.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.4.cmml" id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1d.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1"></share><apply id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6"><minus id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.1.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.1"></minus><ci id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.2.cmml" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.2">𝑘</ci><cn id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.7.p5.6.m4.1.1.6.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1c">1\leq\ell\leq k-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.7.p5.6.m4.1d">1 ≤ roman_ℓ ≤ italic_k - 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.8.p6"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.8.p6.12">Let</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S7.Ex34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="r=(\log\log N)^{2}." class="ltx_Math" display="block" id="S7.Ex34.m1.1"><semantics id="S7.Ex34.m1.1a"><mrow id="S7.Ex34.m1.1.1.1" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S7.Ex34.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex34.m1.1b"><apply id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1"><eq id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.2"></eq><ci id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.3">𝑟</ci><apply id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><cn id="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex34.m1.1c">r=(\log\log N)^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex34.m1.1d">italic_r = ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.8.p6.1">For <math alttext="W,V\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2"><semantics id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.1.m1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.1.1.cmml">W</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.2.cmml">V</mi></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.1" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.3" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2b"><apply id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3"><geq id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.1"></geq><list id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S7.SS3.8.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.1.1">𝑊</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.2">𝑉</ci></list><cn id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.8.p6.1.m1.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2c">W,V\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.1.m1.2d">italic_W , italic_V ≥ 1</annotation></semantics></math>, define the truncated function</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx126"> <tbody id="S7.E24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.24)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Lambda_{W,\leq V}(n)\coloneqq\frac{W}{\varphi(W)}\sum_{\begin{% subarray}{c}d\mid W\\ d\leq V\end{subarray}}\mu(d)1_{d\mid n};" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E24.m1.7"><semantics id="S7.E24.m1.7a"><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1.1" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msub id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">Λ</mi><mrow id="S7.E24.m1.3.3.2.2" xref="S7.E24.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S7.E24.m1.2.2.1.1" xref="S7.E24.m1.2.2.1.1.cmml">W</mi><mo id="S7.E24.m1.3.3.2.2.2" xref="S7.E24.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.E24.m1.3.3.2.2.1" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">V</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E24.m1.5.5" xref="S7.E24.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.1" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E24.m1.4.4" xref="S7.E24.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S7.E24.m1.4.4a" xref="S7.E24.m1.4.4.cmml"><mi id="S7.E24.m1.4.4.3" xref="S7.E24.m1.4.4.3.cmml">W</mi><mrow id="S7.E24.m1.4.4.1" xref="S7.E24.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S7.E24.m1.4.4.1.3" xref="S7.E24.m1.4.4.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S7.E24.m1.4.4.1.2" xref="S7.E24.m1.4.4.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E24.m1.4.4.1.4.2" xref="S7.E24.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S7.E24.m1.4.4.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S7.E24.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S7.E24.m1.4.4.1.1" xref="S7.E24.m1.4.4.1.1.cmml">W</mi><mo id="S7.E24.m1.4.4.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S7.E24.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml"><munder id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1a" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S7.E24.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.E24.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S7.E24.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S7.E24.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S7.E24.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">V</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S7.E24.m1.6.6" xref="S7.E24.m1.6.6.cmml">d</mi><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1a" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml"></mo><msub id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.cmml"><mn id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml">d</mi><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.1" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.3" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E24.m1.7.7.1.2" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E24.m1.7b"><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1"><ci id="S7.E24.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.1">≔</ci><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2"><times id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.1"></times><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2">Λ</ci><list id="S7.E24.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2"><ci id="S7.E24.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.2.2.1.1">𝑊</ci><apply id="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2.1"><leq id="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="S7.E24.m1.3.3.2.2.1.3">𝑉</ci></apply></list></apply><ci id="S7.E24.m1.5.5.cmml" xref="S7.E24.m1.5.5">𝑛</ci></apply><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3"><times id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E24.m1.4.4.cmml" xref="S7.E24.m1.4.4"><divide id="S7.E24.m1.4.4.2.cmml" xref="S7.E24.m1.4.4"></divide><ci id="S7.E24.m1.4.4.3.cmml" xref="S7.E24.m1.4.4.3">𝑊</ci><apply id="S7.E24.m1.4.4.1.cmml" xref="S7.E24.m1.4.4.1"><times id="S7.E24.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S7.E24.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S7.E24.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S7.E24.m1.4.4.1.3">𝜑</ci><ci id="S7.E24.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.4.4.1.1">𝑊</ci></apply></apply><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2"><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.2"></sum><list id="S7.E24.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></leq><ci id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S7.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑉</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2"><times id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.2">𝜇</ci><ci id="S7.E24.m1.6.6.cmml" xref="S7.E24.m1.6.6">𝑑</ci><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><cn id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.2">1</cn><apply id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.1">conditional</csymbol><ci id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.2">𝑑</ci><ci id="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml" xref="S7.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E24.m1.7c">\displaystyle\Lambda_{W,\leq V}(n)\coloneqq\frac{W}{\varphi(W)}\sum_{\begin{% subarray}{c}d\mid W\\ d\leq V\end{subarray}}\mu(d)1_{d\mid n};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E24.m1.7d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W , ≤ italic_V end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ≔ divide start_ARG italic_W end_ARG start_ARG italic_φ ( italic_W ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_d ∣ italic_W end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d ≤ italic_V end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_d ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∣ italic_n end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.8.p6.3">then by the Möbius inversion formula we have <math alttext="\Lambda_{W}(n)=\Lambda_{W,\leq V}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4"><semantics id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.cmml"><mrow id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.cmml"><msub id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.2.m1.3.3" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.1" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.cmml"><msub id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2.2.cmml">Λ</mi><mrow id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.2.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.1.1.1.1.cmml">W</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">V</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.1" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.4" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4b"><apply id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5"><eq id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.1"></eq><apply id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2"><times id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.1"></times><apply id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.2">Λ</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.2.2.3">𝑊</ci></apply><ci id="S7.SS3.8.p6.2.m1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3"><times id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.1"></times><apply id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.5.3.2.2">Λ</ci><list id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2"><ci id="S7.SS3.8.p6.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.1.1.1.1">𝑊</ci><apply id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1"><leq id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.2.2.2.2.1.3">𝑉</ci></apply></list></apply><ci id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.4.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.2.m1.4.4">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4c">\Lambda_{W}(n)=\Lambda_{W,\leq V}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.2.m1.4d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W , ≤ italic_V end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> for any <math alttext="V\geq n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1"><semantics id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.3" xref="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1b"><apply id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1"><geq id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.1"></geq><ci id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.3.m2.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1c">V\geq n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.3.m2.1d">italic_V ≥ italic_n</annotation></semantics></math>. Write</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx127"> <tbody id="S7.E25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.25)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}(n)=\Lambda_{W_{j},\leq w_{j}^{r}}(n)% \cdot(1-|n|^{\widetilde{\beta}-1}\widetilde{\chi}(|n|))+\mathcal{E}_{j}(n)." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E25.m1.8"><semantics id="S7.E25.m1.8a"><mrow id="S7.E25.m1.8.8.1" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S7.E25.m1.8.8.1.1" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.2" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.2.1" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.3" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.3.2" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.3.3" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.1" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E25.m1.3.3" xref="S7.E25.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.1.2" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mrow 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class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.2.cmml">ℰ</mi><mi id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.1" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E25.m1.7.7" xref="S7.E25.m1.7.7.cmml">n</mi><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E25.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.E25.m1.8b"><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1"><eq id="S7.E25.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.2"></eq><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.3"><times id="S7.E25.m1.8.8.1.1.3.1.cmml" 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id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2"><leq id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.2">absent</csymbol><apply id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑤</ci><ci id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.E25.m1.2.2.2.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply></list></apply><ci id="S7.E25.m1.4.4.cmml" xref="S7.E25.m1.4.4">𝑛</ci></apply><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><minus id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><cn id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><abs id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></abs><ci id="S7.E25.m1.5.5.cmml" xref="S7.E25.m1.5.5">𝑛</ci></apply><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci></apply><cn id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><ci id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1">~</ci><ci id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜒</ci></apply><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><abs id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></abs><ci id="S7.E25.m1.6.6.cmml" xref="S7.E25.m1.6.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3"><times id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.1"></times><apply id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.2">ℰ</ci><ci id="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.E25.m1.8.8.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.E25.m1.7.7.cmml" xref="S7.E25.m1.7.7">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E25.m1.8c">\displaystyle\widetilde{\Lambda}_{W_{j}}(n)=\Lambda_{W_{j},\leq w_{j}^{r}}(n)% \cdot(1-|n|^{\widetilde{\beta}-1}\widetilde{\chi}(|n|))+\mathcal{E}_{j}(n).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E25.m1.8d">over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ⋅ ( 1 - | italic_n | start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG ( | italic_n | ) ) + caligraphic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.8.p6.8">Now split (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E23" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.23</span></a>) into a sum of <math alttext="2^{\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1"><semantics id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1a"><msup id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mi id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1b"><apply id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1">superscript</csymbol><cn id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.2">2</cn><ci id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.4.m1.1.1.3">ℓ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1c">2^{\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.4.m1.1d">2 start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> different averages by writing (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E25" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.25</span></a>) in the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.5.m2.1"><semantics id="S7.SS3.8.p6.5.m2.1a"><mi id="S7.SS3.8.p6.5.m2.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.5.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.5.m2.1b"><ci id="S7.SS3.8.p6.5.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.5.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.5.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.5.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math>th factor of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E23" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.23</span></a>) for <math alttext="k-\ell+1\leq j\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1"><semantics id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.cmml"><mrow id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.3" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.4" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.4.cmml">j</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.5" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.6" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.6.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1b"><apply id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1"><and id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1a.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1"></and><apply id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1b.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1"><leq id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.3"></leq><apply id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2"><plus id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.1"></plus><apply id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2"><minus id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.1"></minus><ci id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.2.3">ℓ</ci></apply><cn id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.4.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.4">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1c.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1"><leq id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.5.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.4.cmml" id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1d.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1"></share><ci id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.6.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.6.m3.1.1.6">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1c">k-\ell+1\leq j\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.6.m3.1d">italic_k - roman_ℓ + 1 ≤ italic_j ≤ italic_k</annotation></semantics></math>. Using the bounds <math alttext="|\Lambda_{W_{j}}(n)|,|E_{j}(n)|\ll_{C,d}\log N" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6"><semantics id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.cmml"><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><msub id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.3.3" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.3.3.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.4.4" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.4.4.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><msub id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.4" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.1.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.4.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mrow id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.1" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4a" lspace="0.167em" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.2" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6b"><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6"><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.3.2">much-less-than</csymbol><list id="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.4"><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><list id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2"><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1"><abs id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.2">Λ</ci><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.3.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1"><abs id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.2"></abs><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1"><times id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.2.2.2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.4.4.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.4.4">𝑛</ci></apply></apply></list><apply id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4"><log id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.1"></log><ci id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.7.m4.6.6.4.2">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6c">|\Lambda_{W_{j}}(n)|,|E_{j}(n)|\ll_{C,d}\log N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.7.m4.6d">| roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) | , | italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) | ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C , italic_d end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_N</annotation></semantics></math> for <math alttext="|n|\leq CN^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1"><semantics id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.cmml"><mrow id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.1.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.1" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.3" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1b"><apply id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2"><leq id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.1"></leq><apply id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.2"><abs id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3"><times id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.1"></times><ci id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.2">𝐶</ci><apply id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.8.m5.1.2.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1c">|n|\leq CN^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.8.m5.1d">| italic_n | ≤ italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx128"> <tbody id="S7.Ex35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq CN^{d}}|\Lambda_{W_{j},\leq w_{j}^{r}}(n)|^{k}% \leq\left(\frac{W_{j}}{\varphi(W_{j})}\right)^{k}\mathbb{E}_{n\leq CN^{d}}\tau% (n)^{k}\ll_{C}(\log N)^{2^{k}-1+o(1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex35.m1.8"><semantics id="S7.Ex35.m1.8a"><mrow id="S7.Ex35.m1.8.8" xref="S7.Ex35.m1.8.8.cmml"><mrow id="S7.Ex35.m1.7.7.1" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.cmml"><msub id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.2" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.2" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.1" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.2" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.1" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.3" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.3.2" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.3.3" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.3.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex35.m1.7.7.1.2" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.2.cmml"></mo><msup id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mrow id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S7.Ex35.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex35.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex35.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex35.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex35.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"></mi><mo id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><msubsup id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">w</mi><mi id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi><mi id="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex35.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex35.m1.5.5" xref="S7.Ex35.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.3" xref="S7.Ex35.m1.7.7.1.1.3.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S7.Ex35.m1.8.8.4" xref="S7.Ex35.m1.8.8.4.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex35.m1.8.8.5" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.cmml"><msup id="S7.Ex35.m1.8.8.5.2" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.2.cmml"><mrow id="S7.Ex35.m1.8.8.5.2.2.2" xref="S7.Ex35.m1.3.3.cmml"><mo id="S7.Ex35.m1.8.8.5.2.2.2.1" xref="S7.Ex35.m1.3.3.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex35.m1.3.3" xref="S7.Ex35.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S7.Ex35.m1.3.3a" xref="S7.Ex35.m1.3.3.cmml"><msub id="S7.Ex35.m1.3.3.3" xref="S7.Ex35.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.3.3.3.2" xref="S7.Ex35.m1.3.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex35.m1.3.3.3.3" xref="S7.Ex35.m1.3.3.3.3.cmml">j</mi></msub><mrow id="S7.Ex35.m1.3.3.1" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.3.3.1.3" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S7.Ex35.m1.3.3.1.2" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S7.Ex35.m1.8.8.5.2.2.2.2" xref="S7.Ex35.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.Ex35.m1.8.8.5.2.3" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S7.Ex35.m1.8.8.5.1" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.1.cmml"></mo><msub id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.2" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.2" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.1" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.2" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.1" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.3" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.3.2" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.3.3" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.3.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex35.m1.8.8.5.1a" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex35.m1.8.8.5.4" xref="S7.Ex35.m1.8.8.5.4.cmml">τ</mi><mo 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xref="S7.Ex35.m1.4.4.1.1">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex35.m1.8c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq CN^{d}}|\Lambda_{W_{j},\leq w_{j}^{r}}(n)|^{k}% \leq\left(\frac{W_{j}}{\varphi(W_{j})}\right)^{k}\mathbb{E}_{n\leq CN^{d}}\tau% (n)^{k}\ll_{C}(\log N)^{2^{k}-1+o(1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex35.m1.8d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) | start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ≤ ( divide start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_φ ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_τ ( italic_n ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT - 1 + italic_o ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.8.p6.13">and Hölder’s inequality, it suffices to show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx129"> <tbody id="S7.E26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.26)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_% {1}(m)\theta_{2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j}(m))\cdot E_{k-\ell}(n% +P_{k-\ell}(m))\\ &\quad\cdot\prod_{j=k-\ell+1}^{k}\Lambda_{W_{j},\leq w_{j}^{r}}(n+P_{j}(m))(1-% |n+P_{j}(m)|^{\widetilde{\beta}_{j}-1}\widetilde{\chi}_{j}(|n+P_{j}(m)|))\\ &\quad\quad\quad\ll_{A}(\log N)^{-A},\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S7.E26.m1.92"><semantics id="S7.E26.m1.92a"><mtable columnspacing="0pt" id="S7.E26.m1.92.92.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S7.E26.m1.92.92.3a"><mtd id="S7.E26.m1.92.92.3b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E26.m1.92.92.3c"><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41"><msub id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.43"><mi id="S7.E26.m1.1.1.1.1.1.1">𝔼</mi><mrow id="S7.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1"><mi id="S7.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">n</mi><mo id="S7.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1.1">≤</mo><msup id="S7.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1.3"><mi id="S7.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2">N</mi><mi id="S7.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.3">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.42"></mo><msub id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.44"><mi id="S7.E26.m1.3.3.3.3.3.3">𝔼</mi><mrow id="S7.E26.m1.4.4.4.4.4.4.1"><mi id="S7.E26.m1.4.4.4.4.4.4.1.2">m</mi><mo id="S7.E26.m1.4.4.4.4.4.4.1.1">≤</mo><mi id="S7.E26.m1.4.4.4.4.4.4.1.3">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.42a"></mo><msub id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.45"><mi id="S7.E26.m1.5.5.5.5.5.5">θ</mi><mn id="S7.E26.m1.6.6.6.6.6.6.1">1</mn></msub><mo id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.42b"></mo><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.46"><mo id="S7.E26.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E26.m1.8.8.8.8.8.8">m</mi><mo id="S7.E26.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.42c"></mo><msub id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.47"><mi id="S7.E26.m1.10.10.10.10.10.10">θ</mi><mn id="S7.E26.m1.11.11.11.11.11.11.1">2</mn></msub><mo id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.42d"></mo><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.48"><mo id="S7.E26.m1.12.12.12.12.12.12" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E26.m1.13.13.13.13.13.13">n</mi><mo id="S7.E26.m1.14.14.14.14.14.14" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.42e"></mo><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.3"><munderover id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.3a"><mo id="S7.E26.m1.15.15.15.15.15.15" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E26.m1.16.16.16.16.16.16.1"><mi id="S7.E26.m1.16.16.16.16.16.16.1.2">j</mi><mo id="S7.E26.m1.16.16.16.16.16.16.1.1">=</mo><mn id="S7.E26.m1.16.16.16.16.16.16.1.3">1</mn></mrow><mrow id="S7.E26.m1.17.17.17.17.17.17.1"><mi id="S7.E26.m1.17.17.17.17.17.17.1.2">k</mi><mo id="S7.E26.m1.17.17.17.17.17.17.1.1">−</mo><mi id="S7.E26.m1.17.17.17.17.17.17.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi><mo id="S7.E26.m1.17.17.17.17.17.17.1.1a">−</mo><mn id="S7.E26.m1.17.17.17.17.17.17.1.4">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.2"><mrow id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1"><mrow id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.1"><mi id="S7.E26.m1.18.18.18.18.18.18" mathvariant="normal">Λ</mi><mo id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E26.m1.19.19.19.19.19.19" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E26.m1.20.20.20.20.20.20">n</mi><mo id="S7.E26.m1.21.21.21.21.21.21">+</mo><mrow id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E26.m1.22.22.22.22.22.22">P</mi><mi id="S7.E26.m1.23.23.23.23.23.23.1">j</mi></msub><mo id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><mrow id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S7.E26.m1.24.24.24.24.24.24" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E26.m1.25.25.25.25.25.25">m</mi><mo id="S7.E26.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E26.m1.27.27.27.27.27.27" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E26.m1.28.28.28.28.28.28" rspace="0.222em">⋅</mo><msub id="S7.E26.m1.90.90.1.90.40.40.40.1.1.2"><mi id="S7.E26.m1.29.29.29.29.29.29">E</mi><mrow id="S7.E26.m1.30.30.30.30.30.30.1"><mi id="S7.E26.m1.30.30.30.30.30.30.1.2">k</mi><mo id="S7.E26.m1.30.30.30.30.30.30.1.1">−</mo><mi id="S7.E26.m1.30.30.30.30.30.30.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.2.3"></mo><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.2.2.1"><mo id="S7.E26.m1.31.31.31.31.31.31" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.2.2.1.1"><mi id="S7.E26.m1.32.32.32.32.32.32">n</mi><mo id="S7.E26.m1.33.33.33.33.33.33">+</mo><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.2.2.1.1.1"><msub id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.2.2.1.1.1.2"><mi id="S7.E26.m1.34.34.34.34.34.34">P</mi><mrow id="S7.E26.m1.35.35.35.35.35.35.1"><mi id="S7.E26.m1.35.35.35.35.35.35.1.2">k</mi><mo id="S7.E26.m1.35.35.35.35.35.35.1.1">−</mo><mi id="S7.E26.m1.35.35.35.35.35.35.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.2.2.1.1.1.1"></mo><mrow id="S7.E26.m1.91.91.2.91.41.41.41.2.2.1.1.1.3"><mo id="S7.E26.m1.36.36.36.36.36.36" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E26.m1.37.37.37.37.37.37">m</mi><mo id="S7.E26.m1.38.38.38.38.38.38" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E26.m1.39.39.39.39.39.39" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E26.m1.92.92.3d"><mtd id="S7.E26.m1.92.92.3e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E26.m1.92.92.3f"><mrow id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a"><mo id="S7.E26.m1.40.40.40.1.1.1" rspace="0.222em">⋅</mo><mstyle displaystyle="true" id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.43"><munderover id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.43a"><mo id="S7.E26.m1.41.41.41.2.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1"><mi id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.2">j</mi><mo id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.1">=</mo><mrow id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.3"><mrow id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.3.2"><mi id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.3.2.2">k</mi><mo id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.3.2.1">−</mo><mi id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.3.2.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.3.1">+</mo><mn id="S7.E26.m1.42.42.42.3.3.3.1.3.3">1</mn></mrow></mrow><mi id="S7.E26.m1.43.43.43.4.4.4.1">k</mi></munderover></mstyle><msub id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.44"><mi id="S7.E26.m1.44.44.44.5.5.5" mathvariant="normal">Λ</mi><mrow id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2"><msub id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.1.1"><mi id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.1.1.2">W</mi><mi id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.1.1.3">j</mi></msub><mo id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2.3">,</mo><mrow id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2.2"><mi id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2.2.2"></mi><mo id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2.2.1">≤</mo><msubsup id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2.2.3"><mi id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2.2.3.2.2">w</mi><mi id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2.2.3.2.3">j</mi><mi id="S7.E26.m1.45.45.45.6.6.6.1.2.2.3.3">r</mi></msubsup></mrow></mrow></msub><mrow id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.45"><mo id="S7.E26.m1.46.46.46.7.7.7" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E26.m1.47.47.47.8.8.8">n</mi><mo id="S7.E26.m1.48.48.48.9.9.9">+</mo><msub id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.45.1"><mi id="S7.E26.m1.49.49.49.10.10.10">P</mi><mi id="S7.E26.m1.50.50.50.11.11.11.1">j</mi></msub><mrow id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.45.2"><mo id="S7.E26.m1.51.51.51.12.12.12" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E26.m1.52.52.52.13.13.13">m</mi><mo id="S7.E26.m1.53.53.53.14.14.14" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E26.m1.54.54.54.15.15.15" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.46"><mo id="S7.E26.m1.55.55.55.16.16.16" stretchy="false">(</mo><mn id="S7.E26.m1.56.56.56.17.17.17">1</mn><mo id="S7.E26.m1.57.57.57.18.18.18" rspace="0em">−</mo><mo fence="false" id="S7.E26.m1.58.58.58.19.19.19" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S7.E26.m1.59.59.59.20.20.20">n</mi><mo id="S7.E26.m1.60.60.60.21.21.21">+</mo><msub id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.46.1"><mi id="S7.E26.m1.61.61.61.22.22.22">P</mi><mi id="S7.E26.m1.62.62.62.23.23.23.1">j</mi></msub><mrow id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.46.2"><mo id="S7.E26.m1.63.63.63.24.24.24" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E26.m1.64.64.64.25.25.25">m</mi><mo id="S7.E26.m1.65.65.65.26.26.26" stretchy="false">)</mo></mrow><msup id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.46.3"><mo fence="false" id="S7.E26.m1.66.66.66.27.27.27" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mrow id="S7.E26.m1.67.67.67.28.28.28.1"><msub id="S7.E26.m1.67.67.67.28.28.28.1.2"><mover accent="true" id="S7.E26.m1.67.67.67.28.28.28.1.2.2"><mi id="S7.E26.m1.67.67.67.28.28.28.1.2.2.2">β</mi><mo id="S7.E26.m1.67.67.67.28.28.28.1.2.2.1">~</mo></mover><mi id="S7.E26.m1.67.67.67.28.28.28.1.2.3">j</mi></msub><mo id="S7.E26.m1.67.67.67.28.28.28.1.1">−</mo><mn id="S7.E26.m1.67.67.67.28.28.28.1.3">1</mn></mrow></msup><msub id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.46.4"><mover accent="true" id="S7.E26.m1.68.68.68.29.29.29"><mi id="S7.E26.m1.68.68.68.29.29.29.2">χ</mi><mo id="S7.E26.m1.68.68.68.29.29.29.1">~</mo></mover><mi id="S7.E26.m1.69.69.69.30.30.30.1">j</mi></msub><mrow id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.46.5"><mo id="S7.E26.m1.70.70.70.31.31.31" stretchy="false">(</mo><mo fence="false" id="S7.E26.m1.71.71.71.32.32.32" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S7.E26.m1.72.72.72.33.33.33">n</mi><mo id="S7.E26.m1.73.73.73.34.34.34">+</mo><msub id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.46.5.1"><mi id="S7.E26.m1.74.74.74.35.35.35">P</mi><mi id="S7.E26.m1.75.75.75.36.36.36.1">j</mi></msub><mrow id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42a.46.5.2"><mo id="S7.E26.m1.76.76.76.37.37.37" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E26.m1.77.77.77.38.38.38">m</mi><mo id="S7.E26.m1.78.78.78.39.39.39" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S7.E26.m1.79.79.79.40.40.40" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mo id="S7.E26.m1.80.80.80.41.41.41" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E26.m1.81.81.81.42.42.42" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E26.m1.92.92.3g"><mtd id="S7.E26.m1.92.92.3h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E26.m1.92.92.3i"><mrow id="S7.E26.m1.92.92.3.92.9.9.9"><mrow id="S7.E26.m1.92.92.3.92.9.9.9.1"><mi id="S7.E26.m1.92.92.3.92.9.9.9.1.3"></mi><msub id="S7.E26.m1.92.92.3.92.9.9.9.1.2"><mo id="S7.E26.m1.82.82.82.1.1.1" lspace="3.278em">≪</mo><mi id="S7.E26.m1.83.83.83.2.2.2.1">A</mi></msub><msup id="S7.E26.m1.92.92.3.92.9.9.9.1.1"><mrow id="S7.E26.m1.92.92.3.92.9.9.9.1.1.1.1"><mo id="S7.E26.m1.84.84.84.3.3.3" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E26.m1.92.92.3.92.9.9.9.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E26.m1.85.85.85.4.4.4">log</mi><mo id="S7.E26.m1.92.92.3.92.9.9.9.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em"></mo><mi id="S7.E26.m1.86.86.86.5.5.5">N</mi></mrow><mo id="S7.E26.m1.87.87.87.6.6.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S7.E26.m1.88.88.88.7.7.7.1"><mo id="S7.E26.m1.88.88.88.7.7.7.1a">−</mo><mi id="S7.E26.m1.88.88.88.7.7.7.1.2">A</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S7.E26.m1.89.89.89.8.8.8">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E26.m1.92b">\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_% {1}(m)\theta_{2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j}(m))\cdot E_{k-\ell}(n% +P_{k-\ell}(m))\\ &\quad\cdot\prod_{j=k-\ell+1}^{k}\Lambda_{W_{j},\leq w_{j}^{r}}(n+P_{j}(m))(1-% |n+P_{j}(m)|^{\widetilde{\beta}_{j}-1}\widetilde{\chi}_{j}(|n+P_{j}(m)|))\\ &\quad\quad\quad\ll_{A}(\log N)^{-A},\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E26.m1.92c">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋅ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ⋅ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ( 1 - | italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( | italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.8.p6.9">and that for any <math alttext="j\in[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1"><semantics id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1b"><apply id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2"><in id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.1"></in><ci id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.9.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1c">j\in[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.9.m1.1d">italic_j ∈ [ italic_k ]</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx130"> <tbody id="S7.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.27)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}|\mathcal{E}_{j}(n+P_% {j}(m))|^{k}\ll_{A}(\log N)^{-A}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.E27.m1.2"><semantics id="S7.E27.m1.2a"><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><msub id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.3.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.3.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℰ</mi><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.E27.m1.1.1" xref="S7.E27.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" 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.</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.8.p6.11">The bound (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E27" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.27</span></a>) follows by making the change of variables <math alttext="n^{\prime}=n+P_{j}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1"><semantics id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.cmml"><msup id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.1" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.cmml"><msub id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.3" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.1" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.3.2" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1b"><apply id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2"><eq id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.1"></eq><apply id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.2">𝑛</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3"><plus id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.1"></plus><ci id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3"><times id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.1"></times><apply id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.2.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.10.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1c">n^{\prime}=n+P_{j}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.10.m1.1d">italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m )</annotation></semantics></math> and applying Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S6.Thmtheorem3" title="Lemma 6.3. ‣ 6. A local-to-global principle for mean values ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.3</span></a> with <math alttext="s=r=(\log\log N)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1"><semantics id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1a"><mrow id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.3" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.4" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.4.cmml">=</mo><mi id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.5" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.5.cmml">r</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.6" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.6.cmml">=</mo><msup id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.3" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1b"><apply id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1"><and id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1a.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1"></and><apply id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1b.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1"><eq id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.4.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.4"></eq><ci id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.3">𝑠</ci><ci id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.5.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.5">𝑟</ci></apply><apply id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1c.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1"><eq id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.6.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.5.cmml" id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1d.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1"></share><apply id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci></apply></apply><cn id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.8.p6.11.m2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1c">s=r=(\log\log N)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.8.p6.11.m2.1d">italic_s = italic_r = ( roman_log roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The remaining task is then to prove (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E26" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.26</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.9.p7"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.9.p7.4">For proving (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E26" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.26</span></a>), our aim is to split <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.9.p7.1.m1.1"><semantics id="S7.SS3.9.p7.1.m1.1a"><mi id="S7.SS3.9.p7.1.m1.1.1" xref="S7.SS3.9.p7.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.9.p7.1.m1.1b"><ci id="S7.SS3.9.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.9.p7.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.9.p7.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math> and <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.9.p7.2.m2.1"><semantics id="S7.SS3.9.p7.2.m2.1a"><mi id="S7.SS3.9.p7.2.m2.1.1" xref="S7.SS3.9.p7.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.9.p7.2.m2.1b"><ci id="S7.SS3.9.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.9.p7.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.9.p7.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> into progressions in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E26" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.26</span></a>) to make the last product over <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.9.p7.3.m3.1"><semantics id="S7.SS3.9.p7.3.m3.1a"><mi id="S7.SS3.9.p7.3.m3.1.1" xref="S7.SS3.9.p7.3.m3.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.9.p7.3.m3.1b"><ci id="S7.SS3.9.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.3.m3.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.9.p7.3.m3.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.9.p7.3.m3.1d">italic_j</annotation></semantics></math> there constant, after which Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> can be applied. Expanding out the definition of <math alttext="\Lambda_{W_{j},\leq w_{j}^{r}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2"><semantics id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2a"><msub id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3.2.cmml">Λ</mi><mrow id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml"><msub id="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml"></mi><mo id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><msubsup id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">w</mi><mi id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi><mi id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.3" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2b"><apply id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.3.2">Λ</ci><list id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2"><apply id="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2"><leq id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2">absent</csymbol><apply id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑤</ci><ci id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2c">\Lambda_{W_{j},\leq w_{j}^{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.9.p7.4.m4.2d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the estimate (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E26" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.26</span></a>) reduces to showing that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx131"> <tbody id="S7.Ex36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{1}(m)\theta_{% 2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j}(m))\cdot E_{k-\ell}(n+P_{k-\ell}(m))" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex36.m1.6"><semantics id="S7.Ex36.m1.6a"><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6" xref="S7.Ex36.m1.6.6.cmml"><msub id="S7.Ex36.m1.6.6.4" xref="S7.Ex36.m1.6.6.4.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.4.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.4.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.1.cmml">≤</mo><msup id="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.3.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.3.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.4.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex36.m1.6.6.5" xref="S7.Ex36.m1.6.6.5.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.5.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.5.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.5.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.5.3.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.5.3.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.5.3.2.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.5.3.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.5.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.5.3.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.5.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.3a" xref="S7.Ex36.m1.6.6.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex36.m1.6.6.6" xref="S7.Ex36.m1.6.6.6.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.6.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.6.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.Ex36.m1.6.6.6.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.6.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.3b" xref="S7.Ex36.m1.6.6.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.7.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.cmml"><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.7.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.6.6.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex36.m1.1.1" xref="S7.Ex36.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.7.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.3c" xref="S7.Ex36.m1.6.6.3.cmml"></mo><msub id="S7.Ex36.m1.6.6.8" xref="S7.Ex36.m1.6.6.8.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.8.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.8.2.cmml">θ</mi><mn id="S7.Ex36.m1.6.6.8.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.8.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.3d" xref="S7.Ex36.m1.6.6.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.9.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.cmml"><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.9.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.6.6.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex36.m1.2.2" xref="S7.Ex36.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.9.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.3e" xref="S7.Ex36.m1.6.6.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.cmml"><munderover id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3a" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.3.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.3.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.3.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.3.cmml">ℓ</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.1a" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.4" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.3.3.4.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.cmml"><mrow id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">Λ</mi><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex36.m1.3.3" xref="S7.Ex36.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⋅</mo><msub id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">E</mi><mrow id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.3.1" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex36.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.1" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex36.m1.6.6.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" 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xref="S7.Ex36.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex36.m1.6c">\displaystyle\mathbb{E}_{n\leq N^{d}}\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{1}(m)\theta_{% 2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j}(m))\cdot E_{k-\ell}(n+P_{k-\ell}(m))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex36.m1.6d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋅ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\cdot\prod_{j=k-\ell+1}^{k}1_{d_{j}\mid n+P_{j}(m)}(1-|n+P_{% j}(m)|^{\widetilde{\beta}_{j}-1}\widetilde{\chi}_{j}(|n+P_{j}(m)|))" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S7.Ex37.m1.2"><semantics id="S7.Ex37.m1.2a"><mrow id="S7.Ex37.m1.2b"><mo id="S7.Ex37.m1.2.2" rspace="0.222em">⋅</mo><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex37.m1.2.3"><munderover id="S7.Ex37.m1.2.3a"><mo id="S7.Ex37.m1.2.3.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3"><mi id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.2">j</mi><mo id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.1">=</mo><mrow id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.3"><mrow id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.3.2"><mi id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.3.2.2">k</mi><mo id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.3.2.1">−</mo><mi id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.3.2.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.3.1">+</mo><mn id="S7.Ex37.m1.2.3.2.3.3.3">1</mn></mrow></mrow><mi id="S7.Ex37.m1.2.3.3">k</mi></munderover></mstyle><msub id="S7.Ex37.m1.2.4"><mn id="S7.Ex37.m1.2.4.2">1</mn><mrow id="S7.Ex37.m1.1.1.1"><msub id="S7.Ex37.m1.1.1.1.3"><mi id="S7.Ex37.m1.1.1.1.3.2">d</mi><mi id="S7.Ex37.m1.1.1.1.3.3">j</mi></msub><mo id="S7.Ex37.m1.1.1.1.2">∣</mo><mrow id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4"><mi id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.2">n</mi><mo id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.1">+</mo><mrow id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.3"><msub id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.3.2"><mi id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.3.2.2">P</mi><mi id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.3.2.3">j</mi></msub><mo id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.3.1"></mo><mrow id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.3.3.2"><mo id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.3.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.Ex37.m1.1.1.1.1">m</mi><mo id="S7.Ex37.m1.1.1.1.4.3.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></msub><mrow id="S7.Ex37.m1.2.5"><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S7.Ex37.m1.2.5.2">1</mn><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.3" rspace="0em">−</mo><mo fence="false" id="S7.Ex37.m1.2.5.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.5">n</mi><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.6">+</mo><msub id="S7.Ex37.m1.2.5.7"><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.7.2">P</mi><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.7.3">j</mi></msub><mrow id="S7.Ex37.m1.2.5.8"><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.8.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.8.2">m</mi><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.8.3" stretchy="false">)</mo></mrow><msup id="S7.Ex37.m1.2.5.9"><mo fence="false" id="S7.Ex37.m1.2.5.9.2" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mrow id="S7.Ex37.m1.2.5.9.3"><msub id="S7.Ex37.m1.2.5.9.3.2"><mover accent="true" id="S7.Ex37.m1.2.5.9.3.2.2"><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.9.3.2.2.2">β</mi><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.9.3.2.2.1">~</mo></mover><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.9.3.2.3">j</mi></msub><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.9.3.1">−</mo><mn id="S7.Ex37.m1.2.5.9.3.3">1</mn></mrow></msup><msub id="S7.Ex37.m1.2.5.10"><mover accent="true" id="S7.Ex37.m1.2.5.10.2"><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.10.2.2">χ</mi><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.10.2.1">~</mo></mover><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.10.3">j</mi></msub><mrow id="S7.Ex37.m1.2.5.11"><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.11.1" stretchy="false">(</mo><mo fence="false" id="S7.Ex37.m1.2.5.11.2" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.11.3">n</mi><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.11.4">+</mo><msub id="S7.Ex37.m1.2.5.11.5"><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.11.5.2">P</mi><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.11.5.3">j</mi></msub><mrow id="S7.Ex37.m1.2.5.11.6"><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.11.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.Ex37.m1.2.5.11.6.2">m</mi><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.11.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S7.Ex37.m1.2.5.11.7" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.11.8" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.Ex37.m1.2.5.12" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex37.m1.2c">\displaystyle\quad\cdot\prod_{j=k-\ell+1}^{k}1_{d_{j}\mid n+P_{j}(m)}(1-|n+P_{% j}(m)|^{\widetilde{\beta}_{j}-1}\widetilde{\chi}_{j}(|n+P_{j}(m)|))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex37.m1.2d">⋅ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) end_POSTSUBSCRIPT ( 1 - | italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( | italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) | ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S7.Ex38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\quad\ll_{A}\frac{(\log N)^{-A}}{[d_{k-\ell+1},\ldots,d_{k}]}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex38.m1.5"><semantics id="S7.Ex38.m1.5a"><mrow id="S7.Ex38.m1.5.5.1" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.2" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.2.cmml"></mi><msub id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2" lspace="2.278em" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">≪</mo><mi id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">A</mi></msub><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex38.m1.4.4" xref="S7.Ex38.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S7.Ex38.m1.4.4a" xref="S7.Ex38.m1.4.4.cmml"><msup id="S7.Ex38.m1.1.1.1" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex38.m1.1.1.1.3" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex38.m1.1.1.1.3a" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex38.m1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></msup><mrow id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.4.cmml"><mo id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.3" stretchy="false" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.4.cmml">[</mo><msub id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.cmml"><mi id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.2" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.cmml"><mrow id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.2" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.1" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.1" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.3" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.4" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.4.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex38.m1.2.2.2.1" mathvariant="normal" xref="S7.Ex38.m1.2.2.2.1.cmml">…</mi><mo id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.5" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.4.cmml">,</mo><msub id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.2" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.3" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.6" stretchy="false" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.4.cmml">]</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S7.Ex38.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex38.m1.5b"><apply id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1"><apply id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2">much-less-than</csymbol><ci id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.1.3">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.5.5.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S7.Ex38.m1.4.4.cmml" xref="S7.Ex38.m1.4.4"><divide id="S7.Ex38.m1.4.4.5.cmml" xref="S7.Ex38.m1.4.4"></divide><apply id="S7.Ex38.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex38.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1"><log id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex38.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.3"><minus id="S7.Ex38.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.Ex38.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.1.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply><list id="S7.Ex38.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.3"><apply id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.2">𝑑</ci><apply id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3"><plus id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.1"></plus><apply id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2"><minus id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.1"></minus><ci id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><cn id="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex38.m1.3.3.3.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.Ex38.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.2.2.2.1">…</ci><apply id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex38.m1.4.4.4.3.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex38.m1.5c">\displaystyle\quad\quad\ll_{A}\frac{(\log N)^{-A}}{[d_{k-\ell+1},\ldots,d_{k}]}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex38.m1.5d">≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG [ italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ] end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.9.p7.5">for any natural numbers <math alttext="d_{j}\leq w_{j}^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1"><semantics id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1a"><mrow id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mi id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.1" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><msubsup id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.2" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mi id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.3" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mi id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1b"><apply id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1"><leq id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.1"></leq><apply id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.2">𝑤</ci><ci id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.9.p7.5.m1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1c">d_{j}\leq w_{j}^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.9.p7.5.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.10.p8"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.10.p8.1">Using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E5" title="In Proof. ‣ 7.2. Correlations of the Siegel model ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.5</span></a>) and exchanging the order of integration and summation, and splitting the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.10.p8.1.m1.1"><semantics id="S7.SS3.10.p8.1.m1.1a"><mi id="S7.SS3.10.p8.1.m1.1.1" xref="S7.SS3.10.p8.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.10.p8.1.m1.1b"><ci id="S7.SS3.10.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.10.p8.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.10.p8.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> variable into short segments, we reduce to</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx132"> <tbody id="S7.E28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.28)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{1}(m)\theta_{2}(n)% \mathbb{E}_{n\in I}\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j}(m))\cdot E_{k-\ell}(n% +P_{k-\ell}(m))\prod_{j=k-\ell+1}^{k}1_{d_{j}\mid n+P_{j}(m)}\widetilde{\chi}_% {j}(n+P_{j}(m))\\ &\quad\quad\ll_{A}\frac{(\log N)^{-A}}{[d_{k-\ell+1},\ldots,d_{k}]}\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S7.E28.m1.61"><semantics id="S7.E28.m1.61a"><mtable columnspacing="0pt" id="S7.E28.m1.61.61.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S7.E28.m1.61.61.3a"><mtd id="S7.E28.m1.61.61.3b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E28.m1.61.61.3c"><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58"><msub id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.60"><mi id="S7.E28.m1.1.1.1.1.1.1">𝔼</mi><mrow id="S7.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1"><mi id="S7.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">m</mi><mo id="S7.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.1">≤</mo><mi id="S7.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">N</mi></mrow></msub><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.59"></mo><msub id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.61"><mi id="S7.E28.m1.3.3.3.3.3.3">θ</mi><mn id="S7.E28.m1.4.4.4.4.4.4.1">1</mn></msub><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.59a"></mo><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.62"><mo id="S7.E28.m1.5.5.5.5.5.5" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E28.m1.6.6.6.6.6.6">m</mi><mo id="S7.E28.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.59b"></mo><msub id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.63"><mi id="S7.E28.m1.8.8.8.8.8.8">θ</mi><mn id="S7.E28.m1.9.9.9.9.9.9.1">2</mn></msub><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.59c"></mo><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.64"><mo id="S7.E28.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E28.m1.11.11.11.11.11.11">n</mi><mo id="S7.E28.m1.12.12.12.12.12.12" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.59d"></mo><msub id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.65"><mi id="S7.E28.m1.13.13.13.13.13.13">𝔼</mi><mrow id="S7.E28.m1.14.14.14.14.14.14.1"><mi id="S7.E28.m1.14.14.14.14.14.14.1.2">n</mi><mo id="S7.E28.m1.14.14.14.14.14.14.1.1">∈</mo><mi id="S7.E28.m1.14.14.14.14.14.14.1.3">I</mi></mrow></msub><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.59e"></mo><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.4"><munderover id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.4a"><mo id="S7.E28.m1.15.15.15.15.15.15" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E28.m1.16.16.16.16.16.16.1"><mi id="S7.E28.m1.16.16.16.16.16.16.1.2">j</mi><mo id="S7.E28.m1.16.16.16.16.16.16.1.1">=</mo><mn id="S7.E28.m1.16.16.16.16.16.16.1.3">1</mn></mrow><mrow id="S7.E28.m1.17.17.17.17.17.17.1"><mi id="S7.E28.m1.17.17.17.17.17.17.1.2">k</mi><mo id="S7.E28.m1.17.17.17.17.17.17.1.1">−</mo><mi id="S7.E28.m1.17.17.17.17.17.17.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi><mo id="S7.E28.m1.17.17.17.17.17.17.1.1a">−</mo><mn id="S7.E28.m1.17.17.17.17.17.17.1.4">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3"><mrow id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1"><mrow id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.1"><mi id="S7.E28.m1.18.18.18.18.18.18" mathvariant="normal">Λ</mi><mo id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E28.m1.19.19.19.19.19.19" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E28.m1.20.20.20.20.20.20">n</mi><mo id="S7.E28.m1.21.21.21.21.21.21">+</mo><mrow id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E28.m1.22.22.22.22.22.22">P</mi><mi id="S7.E28.m1.23.23.23.23.23.23.1">j</mi></msub><mo id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><mrow id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S7.E28.m1.24.24.24.24.24.24" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E28.m1.25.25.25.25.25.25">m</mi><mo id="S7.E28.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E28.m1.27.27.27.27.27.27" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E28.m1.28.28.28.28.28.28" rspace="0.222em">⋅</mo><msub id="S7.E28.m1.59.59.1.59.56.56.56.1.1.2"><mi id="S7.E28.m1.29.29.29.29.29.29">E</mi><mrow id="S7.E28.m1.30.30.30.30.30.30.1"><mi id="S7.E28.m1.30.30.30.30.30.30.1.2">k</mi><mo id="S7.E28.m1.30.30.30.30.30.30.1.1">−</mo><mi id="S7.E28.m1.30.30.30.30.30.30.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.4"></mo><mrow id="S7.E28.m1.60.60.2.60.57.57.57.2.2.1"><mo id="S7.E28.m1.31.31.31.31.31.31" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E28.m1.60.60.2.60.57.57.57.2.2.1.1"><mi id="S7.E28.m1.32.32.32.32.32.32">n</mi><mo id="S7.E28.m1.33.33.33.33.33.33">+</mo><mrow id="S7.E28.m1.60.60.2.60.57.57.57.2.2.1.1.1"><msub id="S7.E28.m1.60.60.2.60.57.57.57.2.2.1.1.1.2"><mi id="S7.E28.m1.34.34.34.34.34.34">P</mi><mrow id="S7.E28.m1.35.35.35.35.35.35.1"><mi id="S7.E28.m1.35.35.35.35.35.35.1.2">k</mi><mo id="S7.E28.m1.35.35.35.35.35.35.1.1">−</mo><mi id="S7.E28.m1.35.35.35.35.35.35.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.E28.m1.60.60.2.60.57.57.57.2.2.1.1.1.1"></mo><mrow id="S7.E28.m1.60.60.2.60.57.57.57.2.2.1.1.1.3"><mo id="S7.E28.m1.36.36.36.36.36.36" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E28.m1.37.37.37.37.37.37">m</mi><mo id="S7.E28.m1.38.38.38.38.38.38" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E28.m1.39.39.39.39.39.39" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.4a"></mo><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.2"><munderover id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.2a"><mo id="S7.E28.m1.40.40.40.40.40.40" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1"><mi id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.2">j</mi><mo id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.1">=</mo><mrow id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.3"><mrow id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.3.2"><mi id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.3.2.2">k</mi><mo id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.3.2.1">−</mo><mi id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.3.2.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.3.1">+</mo><mn id="S7.E28.m1.41.41.41.41.41.41.1.3.3">1</mn></mrow></mrow><mi id="S7.E28.m1.42.42.42.42.42.42.1">k</mi></munderover></mstyle><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1"><msub id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.3"><mn id="S7.E28.m1.43.43.43.43.43.43">1</mn><mrow id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1"><msub id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.3"><mi id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.3.2">d</mi><mi id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.3.3">j</mi></msub><mo id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.2">∣</mo><mrow id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4"><mi id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.2">n</mi><mo id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.1">+</mo><mrow id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3"><msub id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.2"><mi id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.2.2">P</mi><mi id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.2.3">j</mi></msub><mo id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.1"></mo><mrow id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.3.2"><mo id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.1">m</mi><mo id="S7.E28.m1.44.44.44.44.44.44.1.4.3.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.2"></mo><msub id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.4"><mover accent="true" id="S7.E28.m1.45.45.45.45.45.45"><mi id="S7.E28.m1.45.45.45.45.45.45.2">χ</mi><mo id="S7.E28.m1.45.45.45.45.45.45.1">~</mo></mover><mi id="S7.E28.m1.46.46.46.46.46.46.1">j</mi></msub><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.2a"></mo><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.1.1"><mo id="S7.E28.m1.47.47.47.47.47.47" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.1.1.1"><mi id="S7.E28.m1.48.48.48.48.48.48">n</mi><mo id="S7.E28.m1.49.49.49.49.49.49">+</mo><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.1.1.1.1"><msub id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E28.m1.50.50.50.50.50.50">P</mi><mi id="S7.E28.m1.51.51.51.51.51.51.1">j</mi></msub><mo id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.1.1.1.1.1"></mo><mrow id="S7.E28.m1.61.61.3.61.58.58.58.3.3.1.1.1.1.1.3"><mo id="S7.E28.m1.52.52.52.52.52.52" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E28.m1.53.53.53.53.53.53">m</mi><mo id="S7.E28.m1.54.54.54.54.54.54" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E28.m1.55.55.55.55.55.55" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E28.m1.61.61.3d"><mtd id="S7.E28.m1.61.61.3e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E28.m1.61.61.3f"><mrow id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3a"><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3a.5"></mi><msub id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3a.4"><mo id="S7.E28.m1.56.56.56.1.1.1" lspace="2.278em">≪</mo><mi id="S7.E28.m1.57.57.57.2.2.2.1">A</mi></msub><mstyle displaystyle="true" id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3"><mfrac id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3a"><msup id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1"><mrow id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.1.1"><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.1.1.1"><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.1.1.1.1">log</mi><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.1.1.1a" lspace="0.167em"></mo><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.1.1.1.2">N</mi></mrow><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.3"><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.3a">−</mo><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.1.3.2">A</mi></mrow></msup><mrow id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.4.3"><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.4.3.3" stretchy="false">[</mo><msub id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1"><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1.2">d</mi><mrow id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1.3"><mrow id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1.3.2"><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1.3.2.2">k</mi><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1.3.2.1">−</mo><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1.3.2.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1.3.1">+</mo><mn id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.3.2.1.3.3">1</mn></mrow></msub><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.4.3.4">,</mo><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.2.1" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.4.3.5">,</mo><msub id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.4.3.2"><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.4.3.2.2">d</mi><mi id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.4.3.2.3">k</mi></msub><mo id="S7.E28.m1.58.58.58.3.3.3.4.3.6" stretchy="false">]</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E28.m1.61b">\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{m\leq N}\theta_{1}(m)\theta_{2}(n)% \mathbb{E}_{n\in I}\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j}(m))\cdot E_{k-\ell}(n% +P_{k-\ell}(m))\prod_{j=k-\ell+1}^{k}1_{d_{j}\mid n+P_{j}(m)}\widetilde{\chi}_% {j}(n+P_{j}(m))\\ &\quad\quad\ll_{A}\frac{(\log N)^{-A}}{[d_{k-\ell+1},\ldots,d_{k}]}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E28.m1.61c">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ⋅ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_χ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG [ italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ] end_ARG end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.10.p8.4">for any interval <math alttext="I\subset[N^{d}/(\log N)^{A},N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.10.p8.2.m1.2"><semantics id="S7.SS3.10.p8.2.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.4" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.4.cmml">I</mi><mo id="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.3" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.3.cmml">⊂</mo><mrow id="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.2.2" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><msup id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.2.2.2.2"><apply id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS3.10.p8.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.3"><times id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.10.p8.3.m2.1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1c">N^{d}/(\log N)^{2A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.10.p8.3.m2.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT / ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and all unimodular weights <math alttext="\theta_{1},\theta_{2}\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.10.p8.4.m3.2"><semantics id="S7.SS3.10.p8.4.m3.2a"><mrow id="S7.SS3.10.p8.4.m3.2.2" xref="S7.SS3.10.p8.4.m3.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS3.10.p8.4.m3.2.2.2.2" xref="S7.SS3.10.p8.4.m3.2.2.2.3.cmml"><msub id="S7.SS3.10.p8.4.m3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.10.p8.4.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi 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ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Q^{\prime}=\prod_{j=k-\ell+1}^{k}\widetilde{q}_{j},\quad D=[d_{k% -\ell+1},\ldots,d_{k}]." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex39.m1.2"><semantics id="S7.Ex39.m1.2a"><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1"><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1a" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml"><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml">D</mi><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.4" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex39.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.Ex39.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.5" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex39.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex39.m1.2b"><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3"><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑗</ci><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3"><plus id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.1"></plus><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2"><minus id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.1"></minus><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><cn id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2"><eq id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.3"></eq><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.4">𝐷</ci><list id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3"><plus id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2"><minus id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1"></minus><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><cn id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S7.Ex39.m1.1.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.1.1">…</ci><apply id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex39.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex39.m1.2c">\displaystyle Q^{\prime}=\prod_{j=k-\ell+1}^{k}\widetilde{q}_{j},\quad D=[d_{k% -\ell+1},\ldots,d_{k}].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex39.m1.2d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_D = [ italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.11.p9.2">Splitting the averaging variables in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E28" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.28</span></a>) into residue classes <math alttext="\pmod{DQ^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2"><semantics id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.3.1.cmml">mod</mo><mrow id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2b"><apply id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.2.2"><ci id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.2.2.2.2.2">pmod</ci><apply id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1"><times id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.1.m1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2c">\pmod{DQ^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.11.p9.1.m1.2d">start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) end_MODIFIER</annotation></semantics></math>, it suffices to show that for any <math alttext="1\leq a_{1},a_{2}\leq DQ^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2"><semantics id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2a"><mrow id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.1" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2b"><apply id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1"><leq id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><cn id="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2"><leq id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.1"></leq><apply id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><cn id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3"><times id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.2.m2.2.2.2.2.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2c">1\leq a_{1},a_{2}\leq DQ^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.11.p9.2.m2.2d">1 ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx134"> <tbody id="S7.E29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.29)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\in I}\mathbb{E}_{m\leq N/(DQ^{\prime}% )}1_{n+P_{1}(DQ^{\prime}m+a_{2})\equiv a_{1}+P_{1}(a_{2})\pmod{DQ^{\prime}}}\\ &\quad\quad\cdot\theta_{1}(m)\theta_{2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j% }(DQ^{\prime}m+a_{2}))E_{k-\ell}(n+P_{k-\ell}(DQ^{\prime}m+a_{2}))\\ &\quad\quad\ll_{A}\frac{(\log N)^{-A}}{DQ^{\prime}}.\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S7.E29.m1.60"><semantics id="S7.E29.m1.60a"><mtable columnspacing="0pt" id="S7.E29.m1.60.60.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S7.E29.m1.60.60.3a"><mtd id="S7.E29.m1.60.60.3b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E29.m1.60.60.3c"><mrow id="S7.E29.m1.6.6.6.6.6a"><msub id="S7.E29.m1.6.6.6.6.6a.8"><mi id="S7.E29.m1.2.2.2.2.2.2">𝔼</mi><mrow id="S7.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1"><mi id="S7.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1.2">n</mi><mo id="S7.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1.1">∈</mo><mi id="S7.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1.3">I</mi></mrow></msub><mo id="S7.E29.m1.6.6.6.6.6a.7"></mo><msub id="S7.E29.m1.6.6.6.6.6a.9"><mi id="S7.E29.m1.4.4.4.4.4.4">𝔼</mi><mrow id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1"><mi id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.3">m</mi><mo id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.2">≤</mo><mrow id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1"><mi id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.3">N</mi><mo id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.2">/</mo><mrow id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1"><mo id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.2">D</mi><mo id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.3.2">Q</mi><mo id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.3.3">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.E29.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="S7.E29.m1.6.6.6.6.6a.7a"></mo><msub id="S7.E29.m1.6.6.6.6.6a.10"><mn id="S7.E29.m1.6.6.6.6.6.6">1</mn><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a"><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.3">n</mi><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.2">+</mo><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1"><msub id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.3"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.3.2">P</mi><mn id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.3.3">1</mn></msub><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.2"></mo><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1"><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1"><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.2">D</mi><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.1"></mo><msup id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.3"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.3.2">Q</mi><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.3.3">′</mo></msup><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.1a"></mo><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.4">m</mi></mrow><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.3.2">a</mi><mn id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.5">≡</mo><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4"><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1"><msub id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.3"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.3.2">a</mi><mn id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.3.3">1</mn></msub><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.2">+</mo><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1"><msub id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.3"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.3.2">P</mi><mn id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.3.3">1</mn></msub><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1"><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.1.2">a</mi><mn id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.1.3">2</mn></msub><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4a" width="0.949em"></mspace><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2"><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2.1"><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em">mod</mo><mrow id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">D</mi><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Q</mi><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S7.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E29.m1.60.60.3d"><mtd id="S7.E29.m1.60.60.3e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E29.m1.60.60.3f"><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49"><mi id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.50"></mi><mo id="S7.E29.m1.7.7.7.1.1.1" lspace="2.222em" rspace="0.222em">⋅</mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49"><msub id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.4"><mi id="S7.E29.m1.8.8.8.2.2.2">θ</mi><mn id="S7.E29.m1.9.9.9.3.3.3.1">1</mn></msub><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.3"></mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.5"><mo id="S7.E29.m1.10.10.10.4.4.4" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E29.m1.11.11.11.5.5.5">m</mi><mo id="S7.E29.m1.12.12.12.6.6.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.3a"></mo><msub id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.6"><mi id="S7.E29.m1.13.13.13.7.7.7">θ</mi><mn id="S7.E29.m1.14.14.14.8.8.8.1">2</mn></msub><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.3b"></mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.7"><mo id="S7.E29.m1.15.15.15.9.9.9" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E29.m1.16.16.16.10.10.10">n</mi><mo id="S7.E29.m1.17.17.17.11.11.11" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.3c"></mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.3"><munderover id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.3a"><mo id="S7.E29.m1.18.18.18.12.12.12" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E29.m1.19.19.19.13.13.13.1"><mi id="S7.E29.m1.19.19.19.13.13.13.1.2">j</mi><mo id="S7.E29.m1.19.19.19.13.13.13.1.1">=</mo><mn id="S7.E29.m1.19.19.19.13.13.13.1.3">1</mn></mrow><mrow id="S7.E29.m1.20.20.20.14.14.14.1"><mi id="S7.E29.m1.20.20.20.14.14.14.1.2">k</mi><mo id="S7.E29.m1.20.20.20.14.14.14.1.1">−</mo><mi id="S7.E29.m1.20.20.20.14.14.14.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi><mo id="S7.E29.m1.20.20.20.14.14.14.1.1a">−</mo><mn id="S7.E29.m1.20.20.20.14.14.14.1.4">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2"><mi id="S7.E29.m1.21.21.21.15.15.15" mathvariant="normal">Λ</mi><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.3"></mo><mrow id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1"><mo id="S7.E29.m1.22.22.22.16.16.16" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E29.m1.23.23.23.17.17.17">n</mi><mo id="S7.E29.m1.24.24.24.18.18.18">+</mo><mrow id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1"><msub id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E29.m1.25.25.25.19.19.19">P</mi><mi id="S7.E29.m1.26.26.26.20.20.20.1">j</mi></msub><mo id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E29.m1.27.27.27.21.21.21" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E29.m1.28.28.28.22.22.22">D</mi><mo id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E29.m1.29.29.29.23.23.23">Q</mi><mo id="S7.E29.m1.30.30.30.24.24.24.1">′</mo></msup><mo id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a"></mo><mi id="S7.E29.m1.31.31.31.25.25.25">m</mi></mrow><mo id="S7.E29.m1.32.32.32.26.26.26">+</mo><msub id="S7.E29.m1.58.58.1.58.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E29.m1.33.33.33.27.27.27">a</mi><mn id="S7.E29.m1.34.34.34.28.28.28.1">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.E29.m1.35.35.35.29.29.29" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E29.m1.36.36.36.30.30.30" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.3a"></mo><msub id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.4"><mi id="S7.E29.m1.37.37.37.31.31.31">E</mi><mrow id="S7.E29.m1.38.38.38.32.32.32.1"><mi id="S7.E29.m1.38.38.38.32.32.32.1.2">k</mi><mo id="S7.E29.m1.38.38.38.32.32.32.1.1">−</mo><mi id="S7.E29.m1.38.38.38.32.32.32.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.3b"></mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1"><mo id="S7.E29.m1.39.39.39.33.33.33" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1"><mi id="S7.E29.m1.40.40.40.34.34.34">n</mi><mo id="S7.E29.m1.41.41.41.35.35.35">+</mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1"><msub id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.3"><mi id="S7.E29.m1.42.42.42.36.36.36">P</mi><mrow id="S7.E29.m1.43.43.43.37.37.37.1"><mi id="S7.E29.m1.43.43.43.37.37.37.1.2">k</mi><mo id="S7.E29.m1.43.43.43.37.37.37.1.1">−</mo><mi id="S7.E29.m1.43.43.43.37.37.37.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E29.m1.44.44.44.38.38.38" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E29.m1.45.45.45.39.39.39">D</mi><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E29.m1.46.46.46.40.40.40">Q</mi><mo id="S7.E29.m1.47.47.47.41.41.41.1">′</mo></msup><mo id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a"></mo><mi id="S7.E29.m1.48.48.48.42.42.42">m</mi></mrow><mo id="S7.E29.m1.49.49.49.43.43.43">+</mo><msub id="S7.E29.m1.59.59.2.59.49.49.49.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E29.m1.50.50.50.44.44.44">a</mi><mn id="S7.E29.m1.51.51.51.45.45.45.1">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.E29.m1.52.52.52.46.46.46" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E29.m1.53.53.53.47.47.47" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E29.m1.60.60.3g"><mtd id="S7.E29.m1.60.60.3h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E29.m1.60.60.3i"><mrow id="S7.E29.m1.60.60.3.60.5.5.5"><mrow id="S7.E29.m1.60.60.3.60.5.5.5.1"><mi id="S7.E29.m1.60.60.3.60.5.5.5.1.2"></mi><msub id="S7.E29.m1.60.60.3.60.5.5.5.1.1"><mo id="S7.E29.m1.54.54.54.1.1.1" lspace="2.278em">≪</mo><mi id="S7.E29.m1.55.55.55.2.2.2.1">A</mi></msub><mstyle displaystyle="true" id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3"><mfrac id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3a"><msup id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1"><mrow id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.1.1"><mo id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.1.1.1"><mi id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.1.1.1.1">log</mi><mo id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.1.1.1a" lspace="0.167em"></mo><mi id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.1.1.1.2">N</mi></mrow><mo id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.3"><mo id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.3a">−</mo><mi id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.1.3.2">A</mi></mrow></msup><mrow id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.3"><mi id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.3.2">D</mi><mo id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.3.1"></mo><msup id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.3.3"><mi id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.3.3.2">Q</mi><mo id="S7.E29.m1.56.56.56.3.3.3.3.3.3">′</mo></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S7.E29.m1.57.57.57.4.4.4" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E29.m1.60b">\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\in I}\mathbb{E}_{m\leq N/(DQ^{\prime}% )}1_{n+P_{1}(DQ^{\prime}m+a_{2})\equiv a_{1}+P_{1}(a_{2})\pmod{DQ^{\prime}}}\\ &\quad\quad\cdot\theta_{1}(m)\theta_{2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(n+P_{j% }(DQ^{\prime}m+a_{2}))E_{k-\ell}(n+P_{k-\ell}(DQ^{\prime}m+a_{2}))\\ &\quad\quad\ll_{A}\frac{(\log N)^{-A}}{DQ^{\prime}}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E29.m1.60c">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ italic_I end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N / ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_m + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ≡ italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ⋅ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_m + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_m + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.11.p9.5">By splitting the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.11.p9.3.m1.1"><semantics id="S7.SS3.11.p9.3.m1.1a"><mi id="S7.SS3.11.p9.3.m1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.3.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.11.p9.3.m1.1b"><ci id="S7.SS3.11.p9.3.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.3.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.11.p9.3.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.11.p9.3.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> average into shorter segments if necessary, it suffices to show that for all <math alttext="1\leq a_{1},a_{2}\leq DQ^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2"><semantics id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2a"><mrow id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.1" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2b"><apply id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.3a.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1"><leq id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><cn id="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2"><leq id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.1"></leq><apply id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><cn id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3"><times id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.4.m2.2.2.2.2.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2c">1\leq a_{1},a_{2}\leq DQ^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.11.p9.4.m2.2d">1 ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="x\in[N^{d}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1"><semantics id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1a"><mrow id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.3" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.2" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1b"><apply id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1"><in id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.2"></in><ci id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.11.p9.5.m3.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1c">x\in[N^{d}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.11.p9.5.m3.1d">italic_x ∈ [ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx135"> <tbody id="S7.E30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.30)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\leq(N/(DQ^{\prime}))^{d}}\mathbb{E}_{% m\leq N/(DQ^{\prime})}1_{x+n+P_{1}(DQ^{\prime}m+a_{2})\equiv a_{1}+P_{1}(a_{2}% )\pmod{DQ^{\prime}}}\\ &\quad\quad\cdot\theta_{1}(m)\theta_{2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(x+n+P_% {j}(DQ^{\prime}m+a_{2}))E_{k-\ell}(x+n+P_{k-\ell}(DQ^{\prime}m+a_{2}))\\ &\quad\quad\ll_{A}\frac{(\log N)^{-A}}{DQ^{\prime}}.\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S7.E30.m1.64"><semantics id="S7.E30.m1.64a"><mtable columnspacing="0pt" id="S7.E30.m1.64.64.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S7.E30.m1.64.64.3a"><mtd id="S7.E30.m1.64.64.3b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E30.m1.64.64.3c"><mrow id="S7.E30.m1.6.6.6.6.6a"><msub id="S7.E30.m1.6.6.6.6.6a.8"><mi id="S7.E30.m1.2.2.2.2.2.2">𝔼</mi><mrow id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1"><mi id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.3">n</mi><mo id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.2">≤</mo><msup id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1"><mrow id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3">N</mi><mo id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2">/</mo><mrow id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">D</mi><mo id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Q</mi><mo id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S7.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3">d</mi></msup></mrow></msub><mo id="S7.E30.m1.6.6.6.6.6a.7"></mo><msub id="S7.E30.m1.6.6.6.6.6a.9"><mi id="S7.E30.m1.4.4.4.4.4.4">𝔼</mi><mrow id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1"><mi id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.3">m</mi><mo id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.2">≤</mo><mrow id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1"><mi id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.3">N</mi><mo id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.2">/</mo><mrow id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.2">D</mi><mo id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.3.2">Q</mi><mo id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.3.3">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.E30.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="S7.E30.m1.6.6.6.6.6a.7a"></mo><msub id="S7.E30.m1.6.6.6.6.6a.10"><mn id="S7.E30.m1.6.6.6.6.6.6">1</mn><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a"><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.3">x</mi><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.2">+</mo><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.4">n</mi><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.2a">+</mo><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1"><msub id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.3"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.3.2">P</mi><mn id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.3.3">1</mn></msub><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.2"></mo><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1"><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.2">D</mi><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.1"></mo><msup id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.3"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.3.2">Q</mi><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.3.3">′</mo></msup><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.1a"></mo><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.2.4">m</mi></mrow><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.1">+</mo><msub id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.3.2">a</mi><mn id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.1.3.3">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.5">≡</mo><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4"><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1"><msub id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.3"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.3.2">a</mi><mn id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.3.3">1</mn></msub><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.2">+</mo><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1"><msub id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.3"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.3.2">P</mi><mn id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.3.3">1</mn></msub><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.1.2">a</mi><mn id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.1.3">2</mn></msub><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.4a" width="0.949em"></mspace><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2"><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2.1"><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2.1.1" lspace="0em" rspace="0.167em">mod</mo><mrow id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">D</mi><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Q</mi><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S7.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.2.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E30.m1.64.64.3d"><mtd id="S7.E30.m1.64.64.3e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E30.m1.64.64.3f"><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53"><mi id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.54"></mi><mo id="S7.E30.m1.7.7.7.1.1.1" lspace="2.222em" rspace="0.222em">⋅</mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53"><msub id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.4"><mi id="S7.E30.m1.8.8.8.2.2.2">θ</mi><mn id="S7.E30.m1.9.9.9.3.3.3.1">1</mn></msub><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.3"></mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.5"><mo id="S7.E30.m1.10.10.10.4.4.4" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E30.m1.11.11.11.5.5.5">m</mi><mo id="S7.E30.m1.12.12.12.6.6.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.3a"></mo><msub id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.6"><mi id="S7.E30.m1.13.13.13.7.7.7">θ</mi><mn id="S7.E30.m1.14.14.14.8.8.8.1">2</mn></msub><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.3b"></mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.7"><mo id="S7.E30.m1.15.15.15.9.9.9" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E30.m1.16.16.16.10.10.10">n</mi><mo id="S7.E30.m1.17.17.17.11.11.11" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.3c"></mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2"><mstyle displaystyle="true" id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.3"><munderover id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.3a"><mo id="S7.E30.m1.18.18.18.12.12.12" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S7.E30.m1.19.19.19.13.13.13.1"><mi id="S7.E30.m1.19.19.19.13.13.13.1.2">j</mi><mo id="S7.E30.m1.19.19.19.13.13.13.1.1">=</mo><mn id="S7.E30.m1.19.19.19.13.13.13.1.3">1</mn></mrow><mrow id="S7.E30.m1.20.20.20.14.14.14.1"><mi id="S7.E30.m1.20.20.20.14.14.14.1.2">k</mi><mo id="S7.E30.m1.20.20.20.14.14.14.1.1">−</mo><mi id="S7.E30.m1.20.20.20.14.14.14.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi><mo id="S7.E30.m1.20.20.20.14.14.14.1.1a">−</mo><mn id="S7.E30.m1.20.20.20.14.14.14.1.4">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2"><mi id="S7.E30.m1.21.21.21.15.15.15" mathvariant="normal">Λ</mi><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.3"></mo><mrow id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.22.22.22.16.16.16" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.23.23.23.17.17.17">x</mi><mo id="S7.E30.m1.24.24.24.18.18.18">+</mo><mi id="S7.E30.m1.25.25.25.19.19.19">n</mi><mo id="S7.E30.m1.24.24.24.18.18.18a">+</mo><mrow id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1"><msub id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E30.m1.27.27.27.21.21.21">P</mi><mi id="S7.E30.m1.28.28.28.22.22.22.1">j</mi></msub><mo id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.29.29.29.23.23.23" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.30.30.30.24.24.24">D</mi><mo id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E30.m1.31.31.31.25.25.25">Q</mi><mo id="S7.E30.m1.32.32.32.26.26.26.1">′</mo></msup><mo id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a"></mo><mi id="S7.E30.m1.33.33.33.27.27.27">m</mi></mrow><mo id="S7.E30.m1.34.34.34.28.28.28">+</mo><msub id="S7.E30.m1.62.62.1.62.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E30.m1.35.35.35.29.29.29">a</mi><mn id="S7.E30.m1.36.36.36.30.30.30.1">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.E30.m1.37.37.37.31.31.31" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E30.m1.38.38.38.32.32.32" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.3a"></mo><msub id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.4"><mi id="S7.E30.m1.39.39.39.33.33.33">E</mi><mrow id="S7.E30.m1.40.40.40.34.34.34.1"><mi id="S7.E30.m1.40.40.40.34.34.34.1.2">k</mi><mo id="S7.E30.m1.40.40.40.34.34.34.1.1">−</mo><mi id="S7.E30.m1.40.40.40.34.34.34.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.3b"></mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1"><mo id="S7.E30.m1.41.41.41.35.35.35" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1"><mi id="S7.E30.m1.42.42.42.36.36.36">x</mi><mo id="S7.E30.m1.43.43.43.37.37.37">+</mo><mi id="S7.E30.m1.44.44.44.38.38.38">n</mi><mo id="S7.E30.m1.43.43.43.37.37.37a">+</mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1"><msub id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.3"><mi id="S7.E30.m1.46.46.46.40.40.40">P</mi><mrow id="S7.E30.m1.47.47.47.41.41.41.1"><mi id="S7.E30.m1.47.47.47.41.41.41.1.2">k</mi><mo id="S7.E30.m1.47.47.47.41.41.41.1.1">−</mo><mi id="S7.E30.m1.47.47.47.41.41.41.1.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.2"></mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.48.48.48.42.42.42" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.49.49.49.43.43.43">D</mi><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E30.m1.50.50.50.44.44.44">Q</mi><mo id="S7.E30.m1.51.51.51.45.45.45.1">′</mo></msup><mo id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a"></mo><mi id="S7.E30.m1.52.52.52.46.46.46">m</mi></mrow><mo id="S7.E30.m1.53.53.53.47.47.47">+</mo><msub id="S7.E30.m1.63.63.2.63.53.53.53.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S7.E30.m1.54.54.54.48.48.48">a</mi><mn id="S7.E30.m1.55.55.55.49.49.49.1">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.E30.m1.56.56.56.50.50.50" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.E30.m1.57.57.57.51.51.51" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S7.E30.m1.64.64.3g"><mtd id="S7.E30.m1.64.64.3h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S7.E30.m1.64.64.3i"><mrow id="S7.E30.m1.64.64.3.64.5.5.5"><mrow id="S7.E30.m1.64.64.3.64.5.5.5.1"><mi id="S7.E30.m1.64.64.3.64.5.5.5.1.2"></mi><msub id="S7.E30.m1.64.64.3.64.5.5.5.1.1"><mo id="S7.E30.m1.58.58.58.1.1.1" lspace="2.278em">≪</mo><mi id="S7.E30.m1.59.59.59.2.2.2.1">A</mi></msub><mstyle displaystyle="true" id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3"><mfrac id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3a"><msup id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1"><mrow id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.1.1"><mo id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.1.1.1"><mi id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.1.1.1.1">log</mi><mo id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.1.1.1a" lspace="0.167em"></mo><mi id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.1.1.1.2">N</mi></mrow><mo id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.3"><mo id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.3a">−</mo><mi id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.1.3.2">A</mi></mrow></msup><mrow id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.3"><mi id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.3.2">D</mi><mo id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.3.1"></mo><msup id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.3.3"><mi id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.3.3.2">Q</mi><mo id="S7.E30.m1.60.60.60.3.3.3.3.3.3">′</mo></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S7.E30.m1.61.61.61.4.4.4" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E30.m1.64b">\displaystyle\begin{split}&\mathbb{E}_{n\leq(N/(DQ^{\prime}))^{d}}\mathbb{E}_{% m\leq N/(DQ^{\prime})}1_{x+n+P_{1}(DQ^{\prime}m+a_{2})\equiv a_{1}+P_{1}(a_{2}% )\pmod{DQ^{\prime}}}\\ &\quad\quad\cdot\theta_{1}(m)\theta_{2}(n)\prod_{j=1}^{k-\ell-1}\Lambda(x+n+P_% {j}(DQ^{\prime}m+a_{2}))E_{k-\ell}(x+n+P_{k-\ell}(DQ^{\prime}m+a_{2}))\\ &\quad\quad\ll_{A}\frac{(\log N)^{-A}}{DQ^{\prime}}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E30.m1.64c">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ ( italic_N / ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_m ≤ italic_N / ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_x + italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_m + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ≡ italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_MODIFIER ( roman_mod start_ARG italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) end_MODIFIER end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ⋅ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m ) italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Λ ( italic_x + italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_m + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x + italic_n + italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_m + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.12.p10"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.12.p10.9">We now apply Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> to the collection of <math alttext="k-\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1"><semantics id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.3.cmml">ℓ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1b"><apply id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1"><minus id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.1"></minus><ci id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.1.m1.1.1.3">ℓ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1c">k-\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.1.m1.1d">italic_k - roman_ℓ</annotation></semantics></math> polynomials <math alttext="(P_{1}(DQ^{\prime}y+a_{2}),\ldots,P_{k-\ell}(DQ^{\prime}y+a_{2}))" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3"><semantics id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3a"><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">P</mi><mn id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml">y</mi></mrow><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.4" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.5" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.cmml"><msub id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">P</mi><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.3.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.3.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.4" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.4.cmml">y</mi></mrow><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3b"><vector id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2"><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1"><times id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1"><plus id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4">𝑦</ci></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><cn id="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2"><times id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" 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xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2"><times id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.4">𝑦</ci></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2">𝑎</ci><cn id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.12.p10.2.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3c">(P_{1}(DQ^{\prime}y+a_{2}),\ldots,P_{k-\ell}(DQ^{\prime}y+a_{2}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.2.m2.3d">( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="m_{1},\ldots,m_{k-\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3"><semantics id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3a"><mrow id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.3.cmml"><msub id="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.3" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.4" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">m</mi><mrow id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.1" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3b"><list id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2"><apply id="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.SS3.12.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.1.1">…</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.2">𝑚</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3"><minus id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.1"></minus><ci id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.3.m3.3.3.2.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3c">m_{1},\ldots,m_{k-\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.3.m3.3d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the leading coefficients of these polynomials. Then <math alttext="m_{i}\asymp_{P_{1},\ldots,P_{k}}(DQ^{\prime})^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4"><semantics id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4a"><mrow id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.cmml"><msub id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.2.cmml">m</mi><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.3.cmml">i</mi></msub><msub id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2.cmml"><mo id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2.2.cmml">≍</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.4.cmml"><msub id="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.2.cmml">P</mi><mn id="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.4" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msub><msup id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.3.cmml">d</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4b"><apply id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4"><apply id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.2.2">asymptotically-equals</csymbol><list id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.4.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3"><apply id="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.2">𝑃</ci><cn id="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.1.1.1.1">…</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.3.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.2">𝑚</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1"><times id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><ci id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.4.m4.4.4.1.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4c">m_{i}\asymp_{P_{1},\ldots,P_{k}}(DQ^{\prime})^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.4.m4.4d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≍ start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq i\leq k-\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1"><semantics id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1a"><mrow id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.4" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.5" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.2" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.1" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.3.cmml">ℓ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1b"><apply id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1"><and id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1a.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1"></and><apply id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1b.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1"><leq id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.3"></leq><cn id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1c.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1"><leq id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.4.cmml" id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1d.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1"></share><apply id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6"><minus id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.1"></minus><ci id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.5.m5.1.1.6.3">ℓ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1c">1\leq i\leq k-\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.5.m5.1d">1 ≤ italic_i ≤ italic_k - roman_ℓ</annotation></semantics></math>. In particular, this means that <math alttext="m_{i}\asymp_{P_{1},\ldots,P_{k}}c_{k-\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3"><semantics id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3a"><mrow id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.cmml"><msub id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.2.cmml">m</mi><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.3" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.3.cmml">i</mi></msub><msub id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1.cmml"><mo id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1.2.cmml">≍</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.4.cmml"><msub id="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.2.cmml">P</mi><mn id="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.4" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.3" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msub><msub id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.2.cmml">c</mi><mrow id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.2" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.1" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3b"><apply id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4"><apply id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.1.2">asymptotically-equals</csymbol><list id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.4.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3"><apply id="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.2">𝑃</ci><cn id="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.1.1.1.1">…</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.2">𝑚</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.2">𝑐</ci><apply id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3"><minus id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.1"></minus><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.6.m6.3.4.3.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3c">m_{i}\asymp_{P_{1},\ldots,P_{k}}c_{k-\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.6.m6.3d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≍ start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="1\leq i\leq k-\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1"><semantics id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1a"><mrow id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.cmml"><mn id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.4" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.5" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.2" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.1" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.3.cmml">ℓ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1b"><apply id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1"><and id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1a.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1"></and><apply id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1b.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1"><leq id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.3"></leq><cn id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.2">1</cn><ci id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.4.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1c.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1"><leq id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.5.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.4.cmml" id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1d.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1"></share><apply id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6"><minus id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.1"></minus><ci id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.7.m7.1.1.6.3">ℓ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1c">1\leq i\leq k-\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.7.m7.1d">1 ≤ italic_i ≤ italic_k - roman_ℓ</annotation></semantics></math>. In addition, by the assumption on <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1"><semantics id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1a"><msub id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1b"><apply id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.8.m8.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.8.m8.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we know that the <math alttext="m_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1"><semantics id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1a"><msub id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1" xref="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.2" xref="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.3" xref="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1b"><apply id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.12.p10.9.m9.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1c">m_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.12.p10.9.m9.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are distinct.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS3.13.p11"> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.13.p11.1">Now, by Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S3.Thmtheorem1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. Gowers norm control of polynomial averages ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> (and the bounds <math alttext="\Lambda(n)\ll\log|n|" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2"><semantics id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.1" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.1.m1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.1.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3a" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2b"><apply id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.1">much-less-than</csymbol><apply id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2"><times id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.2.2">Λ</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3"><log id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.1"></log><apply id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.2"><abs id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.3.3.2.2.1"></abs><ci id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.1.m1.2.2">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2c">\Lambda(n)\ll\log|n|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.1.m1.2d">roman_Λ ( italic_n ) ≪ roman_log | italic_n |</annotation></semantics></math> and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E20" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.20</span></a>)) we see that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E30" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.30</span></a>) holds unless</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx136"> <tbody id="S7.E31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7.31)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|E_{k-\ell}(x+\cdot)\|_{U^{s}[-C(N/(DQ^{\prime}))^{d},C(N/(DQ^{% \prime}))^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d,k}(1)}(DQ^{\prime})^{-O_{d,k}(1)}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S7.E31.m1.9"><semantics id="S7.E31.m1.9a"><mrow id="S7.E31.m1.9b"><mo id="S7.E31.m1.9.10" rspace="0.167em">∥</mo><msub id="S7.E31.m1.9.11"><mi id="S7.E31.m1.9.11.2">E</mi><mrow id="S7.E31.m1.9.11.3"><mi id="S7.E31.m1.9.11.3.2">k</mi><mo id="S7.E31.m1.9.11.3.1">−</mo><mi id="S7.E31.m1.9.11.3.3" mathvariant="normal">ℓ</mi></mrow></msub><mrow id="S7.E31.m1.9.12"><mo id="S7.E31.m1.9.12.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E31.m1.9.12.2">x</mi><mo id="S7.E31.m1.9.12.3" rspace="0em">+</mo><mo id="S7.E31.m1.9.12.4" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S7.E31.m1.9.12.5" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="S7.E31.m1.9.13"><mo id="S7.E31.m1.9.13.2" lspace="0em" rspace="0.0835em">∥</mo><mrow id="S7.E31.m1.2.2.2"><msup id="S7.E31.m1.2.2.2.4"><mi id="S7.E31.m1.2.2.2.4.2">U</mi><mi id="S7.E31.m1.2.2.2.4.3">s</mi></msup><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.3"></mo><mrow id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2"><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false">[</mo><mrow id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1a">−</mo><mrow id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">C</mi><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></mo><msup id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">N</mi><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">/</mo><mrow id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">D</mi><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Q</mi><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S7.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.4">,</mo><mrow id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2"><mi id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.3">C</mi><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.2"></mo><msup id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1"><mrow id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><mi id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">N</mi><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">/</mo><mrow id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">D</mi><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></mo><msup id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Q</mi><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">d</mi></msup></mrow><mo id="S7.E31.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S7.E31.m1.9.14" lspace="0.0835em">≫</mo><msup id="S7.E31.m1.9.15"><mrow id="S7.E31.m1.9.15.2"><mo id="S7.E31.m1.9.15.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E31.m1.9.15.2.2">log</mi><mi id="S7.E31.m1.9.15.2.3">N</mi><mo id="S7.E31.m1.9.15.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S7.E31.m1.6.6.4"><mo id="S7.E31.m1.6.6.4a">−</mo><mrow id="S7.E31.m1.6.6.4.6"><msub id="S7.E31.m1.6.6.4.6.2"><mi id="S7.E31.m1.6.6.4.6.2.2">O</mi><mrow id="S7.E31.m1.5.5.3.3.3.5"><mi id="S7.E31.m1.3.3.1.1.1.1">A</mi><mo id="S7.E31.m1.5.5.3.3.3.5.1">,</mo><mi id="S7.E31.m1.4.4.2.2.2.2">d</mi><mo id="S7.E31.m1.5.5.3.3.3.5.2">,</mo><mi id="S7.E31.m1.5.5.3.3.3.3">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.E31.m1.6.6.4.6.1"></mo><mrow id="S7.E31.m1.6.6.4.6.3.2"><mo id="S7.E31.m1.6.6.4.6.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S7.E31.m1.6.6.4.4">1</mn><mo id="S7.E31.m1.6.6.4.6.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><msup id="S7.E31.m1.9.16"><mrow id="S7.E31.m1.9.16.2"><mo id="S7.E31.m1.9.16.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S7.E31.m1.9.16.2.2">D</mi><msup id="S7.E31.m1.9.16.2.3"><mi id="S7.E31.m1.9.16.2.3.2">Q</mi><mo id="S7.E31.m1.9.16.2.3.3">′</mo></msup><mo id="S7.E31.m1.9.16.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S7.E31.m1.9.9.3"><mo id="S7.E31.m1.9.9.3a">−</mo><mrow id="S7.E31.m1.9.9.3.5"><msub id="S7.E31.m1.9.9.3.5.2"><mi id="S7.E31.m1.9.9.3.5.2.2">O</mi><mrow id="S7.E31.m1.8.8.2.2.2.4"><mi id="S7.E31.m1.7.7.1.1.1.1">d</mi><mo id="S7.E31.m1.8.8.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S7.E31.m1.8.8.2.2.2.2">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.E31.m1.9.9.3.5.1"></mo><mrow id="S7.E31.m1.9.9.3.5.3.2"><mo id="S7.E31.m1.9.9.3.5.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S7.E31.m1.9.9.3.3">1</mn><mo id="S7.E31.m1.9.9.3.5.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.E31.m1.9c">\displaystyle\|E_{k-\ell}(x+\cdot)\|_{U^{s}[-C(N/(DQ^{\prime}))^{d},C(N/(DQ^{% \prime}))^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d,k}(1)}(DQ^{\prime})^{-O_{d,k}(1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.E31.m1.9d">∥ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x + ⋅ ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C ( italic_N / ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C ( italic_N / ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ≫ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.13.p11.3">for some <math alttext="1\leq s\ll_{d,k}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2"><semantics id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.cmml"><mn id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.4" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.4.cmml">s</mi><msub id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5.2" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.4" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.2.m1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.4.1" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mn id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.6" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2b"><apply id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3"><and id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3a.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3"></and><apply id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3b.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3"><leq id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.3"></leq><cn id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.2">1</cn><ci id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.4.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.4">𝑠</ci></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3c.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3"><apply id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.5.2">much-less-than</csymbol><list id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.4"><ci id="S7.SS3.13.p11.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.4.cmml" id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3d.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3"></share><cn id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.6.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.2.m1.2.3.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2c">1\leq s\ll_{d,k}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.2.m1.2d">1 ≤ italic_s ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="1\leq C\ll_{P_{1},\ldots,P_{k}}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3"><semantics id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.cmml"><mn id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.2" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.2.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.3" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.4" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.4.cmml">C</mi><msub id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5.2" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5.2.cmml">≪</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.4.cmml"><msub id="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">P</mi><mn id="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.3.m2.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.4" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msub><mn id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.6" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3b"><apply id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4"><and id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4a.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4"></and><apply id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4b.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4"><leq id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.3"></leq><cn id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.2">1</cn><ci id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.4.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.4">𝐶</ci></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4c.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4"><apply id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.5.2">much-less-than</csymbol><list id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3"><apply id="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.2">𝑃</ci><cn id="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S7.SS3.13.p11.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.1.1.1.1">…</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.4.cmml" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4d.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4"></share><cn id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.6.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.3.m2.3.4.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3c">1\leq C\ll_{P_{1},\ldots,P_{k}}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.3.m2.3d">1 ≤ italic_C ≪ start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math>. By a change of variables, the previous inequality implies that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx137"> <tbody id="S7.Ex40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|E_{k-\ell}\cdot 1_{[-x-C(N/(DQ^{\prime}))^{d},-x+C(N/(DQ^{% \prime}))^{d}]}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d,k}(1)}(DQ^{% \prime})^{-O_{d,k}(1)-\frac{s+1}{2^{s}}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex40.m1.12"><semantics id="S7.Ex40.m1.12a"><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><msub id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mo><msup id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.4" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3a" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><msup id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S7.Ex40.m1.4.4.2" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.cmml"><msup id="S7.Ex40.m1.4.4.2.4" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.2" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.2.cmml">U</mi><mi id="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.3" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S7.Ex40.m1.4.4.2.3" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1a" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.4" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.4.cmml">≫</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.cmml"><msup id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex40.m1.8.8.4" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.8.8.4a" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.cmml"><msub id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.2" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.2.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.2.2" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.2.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.Ex40.m1.7.7.3.3.3.5" xref="S7.Ex40.m1.7.7.3.3.3.4.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S7.Ex40.m1.7.7.3.3.3.5.1" xref="S7.Ex40.m1.7.7.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex40.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S7.Ex40.m1.7.7.3.3.3.5.2" xref="S7.Ex40.m1.7.7.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex40.m1.7.7.3.3.3.3" xref="S7.Ex40.m1.7.7.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.1" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.3.2" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex40.m1.8.8.4.4" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.4.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.3" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.3.cmml"></mo><msup id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex40.m1.11.11.3" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5a" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.cmml"><msub id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.4" xref="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S7.Ex40.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.4.1" xref="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.2" xref="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.1" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.3.2" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.cmml"><mo id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex40.m1.11.11.3.3" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.11.11.3.4" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.4.cmml">−</mo><mfrac id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.cmml"><mrow id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.cmml"><mi id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.2" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.2.cmml">s</mi><mo id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.1" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.1.cmml">+</mo><mn id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.3" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.cmml"><mn id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.2" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.2.cmml">2</mn><mi id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.3" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.3.cmml">s</mi></msup></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex40.m1.12.12.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex40.m1.12b"><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.4">much-greater-than</csymbol><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1"><ci id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1">⋅</ci><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐸</ci><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><cn id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><interval closure="closed" id="S7.Ex40.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2"><apply id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply><apply id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><ci id="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2"><plus id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.2"></plus><apply id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3"><minus id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3"></minus><ci id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝑥</ci></apply><apply id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1"><times id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.3">𝐶</ci><apply id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><divide id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><ci id="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.2.2.2.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></interval></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex40.m1.4.4.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2"><times id="S7.Ex40.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.3"></times><apply id="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.4">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.4.3">𝑠</ci></apply><interval closure="closed" id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2"><apply id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2"><times id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.1"></times><ci id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.4.4.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3"><times id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.3"></times><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1"><log id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex40.m1.8.8.4.cmml" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4"><minus id="S7.Ex40.m1.8.8.4.5.cmml" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4"></minus><apply id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.cmml" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6"><times id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.1"></times><apply id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.8.8.4.6.2.1.cmml" 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id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex40.m1.11.11.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3"><minus id="S7.Ex40.m1.11.11.3.4.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.4"></minus><apply id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5"><minus id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5"></minus><apply id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2"><times id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.1"></times><apply id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.5.2.2.2">𝑂</ci><list id="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.4"><ci id="S7.Ex40.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.9.9.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.10.10.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><cn id="S7.Ex40.m1.11.11.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6"><divide id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6"></divide><apply id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2"><plus id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.1"></plus><ci id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.2.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.2">𝑠</ci><cn id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.2.3">1</cn></apply><apply id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.1.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3">superscript</csymbol><cn id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.2">2</cn><ci id="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.3.cmml" xref="S7.Ex40.m1.11.11.3.6.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex40.m1.12c">\displaystyle\|E_{k-\ell}\cdot 1_{[-x-C(N/(DQ^{\prime}))^{d},-x+C(N/(DQ^{% \prime}))^{d}]}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d,k}(1)}(DQ^{% \prime})^{-O_{d,k}(1)-\frac{s+1}{2^{s}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex40.m1.12d">∥ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ⋅ 1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_x - italic_C ( italic_N / ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , - italic_x + italic_C ( italic_N / ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ≫ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) - divide start_ARG italic_s + 1 end_ARG start_ARG 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.13.p11.7">Let <math alttext="B=B(d,k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2"><semantics id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.4.m1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2b"><apply id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3"><eq id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.1"></eq><ci id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.2">𝐵</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3"><times id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.1"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.2">𝐵</ci><interval closure="open" id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.3.3.3.2"><ci id="S7.SS3.13.p11.4.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.4.m1.2.2">𝑘</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2c">B=B(d,k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.4.m1.2d">italic_B = italic_B ( italic_d , italic_k )</annotation></semantics></math> be large. Using Vinogradov’s Fourier expansion (Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S2.Thmtheorem1" title="Lemma 2.1. ‣ 2.3. Vinogradov’s Fourier expansion ‣ 2. Notation and preliminaries ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>) to approximate <math alttext="1_{[-x,C(N/(DQ^{\prime}))^{d}-x]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2"><semantics id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2a"><msub id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3.cmml"><mn id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1a" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.4" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.2.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2b"><apply id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3">subscript</csymbol><cn id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.3.2">1</cn><interval closure="closed" id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2"><apply id="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2"><minus id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.2"></minus><apply id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1"><times id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.3">𝐶</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><divide id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><ci id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply><ci id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.5.m2.2.2.2.2.2.3">𝑥</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2c">1_{[-x,C(N/(DQ^{\prime}))^{d}-x]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.5.m2.2d">1 start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_x , italic_C ( italic_N / ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT - italic_x ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by a trigonometric polynomial with <math alttext="O((DQ^{\prime})^{B})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1"><semantics id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">B</mi></msup><mo id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1b"><apply id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1"><times id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.2"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><ci id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.6.m3.1.1.1.1.1.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1c">O((DQ^{\prime})^{B})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.6.m3.1d">italic_O ( ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> terms and with coefficients bounded by <math alttext="O(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1"><semantics id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.1" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.cmml">(</mo><mn id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1b"><apply id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2"><times id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.1"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.2.2">𝑂</ci><cn id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.7.m4.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1c">O(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.7.m4.1d">italic_O ( 1 )</annotation></semantics></math>, we conclude that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx138"> <tbody id="S7.Ex41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|E_{k-\ell}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d,k}(1)}% (DQ^{\prime})^{-O_{d,k}(1)}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex41.m1.10"><semantics id="S7.Ex41.m1.10a"><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S7.Ex41.m1.2.2.2" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.cmml"><msup id="S7.Ex41.m1.2.2.2.4" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.2" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.2.cmml">U</mi><mi id="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.3" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S7.Ex41.m1.2.2.2.3" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.3.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.4" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.4.cmml">≫</mo><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.cmml"><msup id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex41.m1.6.6.4" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.6.6.4a" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.cmml"><msub id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2.2" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.5" xref="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.4.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.5.1" xref="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex41.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S7.Ex41.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.5.2" xref="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.3" xref="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.1" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.3.2" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex41.m1.6.6.4.4" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.4.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.3" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.3.cmml"></mo><msup id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex41.m1.9.9.3" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.9.9.3a" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.cmml"><msub id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2.2" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.4" xref="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex41.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S7.Ex41.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.4.1" xref="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.2" xref="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.1" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.3.2" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.cmml"><mo id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex41.m1.9.9.3.3" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex41.m1.10.10.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex41.m1.10b"><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.4">much-greater-than</csymbol><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2">𝐸</ci><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex41.m1.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2"><times id="S7.Ex41.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.4.3">𝑠</ci></apply><interval closure="closed" id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝐶</ci><apply id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3"><times id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.3"></times><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1"><log id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex41.m1.6.6.4.cmml" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4"><minus id="S7.Ex41.m1.6.6.4.5.cmml" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4"></minus><apply id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.cmml" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6"><times id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.1"></times><apply id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.6.2.2">𝑂</ci><list id="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.4.cmml" xref="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.5"><ci id="S7.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1">𝐴</ci><ci id="S7.Ex41.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.4.4.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.5.5.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><cn id="S7.Ex41.m1.6.6.4.4.cmml" type="integer" xref="S7.Ex41.m1.6.6.4.4">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1"><times id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.10.10.1.1.3.2.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex41.m1.9.9.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3"><minus id="S7.Ex41.m1.9.9.3.4.cmml" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3"></minus><apply id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.cmml" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5"><times id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.1"></times><apply id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.5.2.2">𝑂</ci><list id="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.4"><ci id="S7.Ex41.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex41.m1.7.7.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex41.m1.8.8.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><cn id="S7.Ex41.m1.9.9.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex41.m1.9.9.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex41.m1.10c">\displaystyle\|E_{k-\ell}\|_{U^{s}[-CN^{d},CN^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d,k}(1)}% (DQ^{\prime})^{-O_{d,k}(1)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex41.m1.10d">∥ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ - italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ≫ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.13.p11.8">Since <math alttext="E_{k-\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1"><semantics id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1a"><msub id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.2.cmml">E</mi><mrow id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1b"><apply id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.2">𝐸</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3"><minus id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.8.m1.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1c">E_{k-\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.8.m1.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an even function, this yields</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S7.EGx139"> <tbody id="S7.Ex42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|E_{k-\ell}\|_{U^{s}[CN^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d,k}(1)}(DQ^{% \prime})^{-O_{d,k}(1)}." class="ltx_Math" display="inline" id="S7.Ex42.m1.9"><semantics id="S7.Ex42.m1.9a"><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.cmml"><msub id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S7.Ex42.m1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S7.Ex42.m1.1.1.1.3" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S7.Ex42.m1.1.1.1.2" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><mo id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.4" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.4.cmml">≫</mo><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.cmml"><msup id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"></mo><mi id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex42.m1.5.5.4" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.cmml"><mo id="S7.Ex42.m1.5.5.4a" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.cmml"><msub id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2.2" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.5" xref="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.4.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.5.1" xref="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex42.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S7.Ex42.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.5.2" xref="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.1" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.3.2" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.cmml"><mo id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex42.m1.5.5.4.4" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.4.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.3" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.3.cmml"></mo><msup id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"></mo><msup id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.Ex42.m1.8.8.3" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.cmml"><mo id="S7.Ex42.m1.8.8.3a" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.cmml">−</mo><mrow id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.cmml"><msub id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2.2" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2.2.cmml">O</mi><mrow id="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.4" xref="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex42.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S7.Ex42.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.4.1" xref="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.1" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.1.cmml"></mo><mrow id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.3.2" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.cmml"><mo id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex42.m1.8.8.3.3" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.3.cmml">1</mn><mo id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S7.Ex42.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex42.m1.9b"><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.4">much-greater-than</csymbol><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2">𝐸</ci><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex42.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1"><times id="S7.Ex42.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3"><times id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.3"></times><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1"><log id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply><apply id="S7.Ex42.m1.5.5.4.cmml" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4"><minus id="S7.Ex42.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4"></minus><apply id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.cmml" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6"><times id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.1"></times><apply id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.6.2.2">𝑂</ci><list id="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.4.cmml" xref="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.5"><ci id="S7.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1">𝐴</ci><ci id="S7.Ex42.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.3.3.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.4.4.3.3.3.3">𝑘</ci></list></apply><cn id="S7.Ex42.m1.5.5.4.4.cmml" type="integer" xref="S7.Ex42.m1.5.5.4.4">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1"><times id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.9.9.1.1.3.2.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S7.Ex42.m1.8.8.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3"><minus id="S7.Ex42.m1.8.8.3.4.cmml" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3"></minus><apply id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.cmml" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5"><times id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.1"></times><apply id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2">subscript</csymbol><ci id="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.5.2.2">𝑂</ci><list id="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.4"><ci id="S7.Ex42.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex42.m1.6.6.1.1.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S7.Ex42.m1.7.7.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><cn id="S7.Ex42.m1.8.8.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex42.m1.8.8.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex42.m1.9c">\displaystyle\|E_{k-\ell}\|_{U^{s}[CN^{d}]}\gg(\log N)^{-O_{A,d,k}(1)}(DQ^{% \prime})^{-O_{d,k}(1)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex42.m1.9d">∥ italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_C italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ≫ ( roman_log italic_N ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_A , italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS3.13.p11.13">Let <math alttext="c_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1"><semantics id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1a"><msub id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1b"><apply id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.9.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1c">c_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.9.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the constant in Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem6" title="Proposition 4.6 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of Λ). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a>. We may assume that <math alttext="C=C(d,k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2"><semantics id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.1.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.10.m2.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2b"><apply id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3"><eq id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.1"></eq><ci id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.2">𝐶</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3"><times id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.1"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.2">𝐶</ci><interval closure="open" id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.3.3.3.2"><ci id="S7.SS3.13.p11.10.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.1.1">𝑑</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.10.m2.2.2">𝑘</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2c">C=C(d,k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.10.m2.2d">italic_C = italic_C ( italic_d , italic_k )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E17" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.17</span></a>) is chosen large enough in terms of <math alttext="c_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1"><semantics id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1a"><msub id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1b"><apply id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.11.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1c">c_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.11.m3.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then we have <math alttext="DQ^{\prime}\ll w_{k-\ell+1}^{2r}<\exp((\log w_{k-\ell})^{c_{k}/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2"><semantics id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.cmml"><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.1.cmml"></mo><msup id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.4" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.4.cmml">≪</mo><msubsup id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.cmml"><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.cmml"><mn id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.2.cmml">2</mn><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.1.cmml"></mo><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.3.cmml">r</mi></mrow></msubsup><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.6" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.6.cmml"><</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1a" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.2.cmml"></mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mo><msub id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2b"><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2"><and id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2a.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2"></and><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2b.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.4.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.4">much-less-than</csymbol><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3"><times id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.1"></times><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.2">𝐷</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.2">𝑄</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.3.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.2">𝑤</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3"><plus id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.1"></plus><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2"><minus id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.1"></minus><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.2.3">ℓ</ci></apply><cn id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3"><times id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.1"></times><cn id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.2">2</cn><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2c.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2"><lt id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.6.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.6"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.5.cmml" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2d.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2"></share><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1"><exp id="S7.SS3.13.p11.12.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.1.1"></exp><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1"><log id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></log><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><apply id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS3.13.p11.12.m4.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2c">DQ^{\prime}\ll w_{k-\ell+1}^{2r}<\exp((\log w_{k-\ell})^{c_{k}/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.12.m4.2d">italic_D italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≪ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_r end_POSTSUPERSCRIPT < roman_exp ( ( roman_log italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Now, recalling that <math alttext="E_{k-\ell}=\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W_{k-\ell}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1"><semantics id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1a"><mrow id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.cmml"><msub id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.2" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.2.cmml">E</mi><mrow id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.1" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.1" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.2" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.1" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1b"><apply id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1"><eq id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.1"></eq><apply id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.2">𝐸</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3"><minus id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3"><minus id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.1"></minus><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.2">Λ</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2"><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.2.2">Λ</ci></apply><apply id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.2">𝑊</ci><apply id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3"><minus id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S7.SS3.13.p11.13.m5.1.1.3.3.3.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1c">E_{k-\ell}=\Lambda-\widetilde{\Lambda}_{W_{k-\ell}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS3.13.p11.13.m5.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT = roman_Λ - over~ start_ARG roman_Λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_k - roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>we obtain a contradiction with Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S4.Thmtheorem6" title="Proposition 4.6 (Quantitative 𝑈^𝑘-uniformity of Λ). ‣ 4. Gowers norms of the Möbius and von Mangoldt functions ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a>. Hence, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2405.12190v2#S7.E31" title="In Proof of Theorem 1.3(2). ‣ 7.3. Proof of Theorem 1.3(2) ‣ 7. Prime correlations along polynomial patterns ‣ Quantitative asymptotics for polynomial patterns in the primes"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7.31</span></a>) cannot hold, so the proof is complete. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> S. Baier and L. Zhao. </span> <span class="ltx_bibblock">Primes in quadratic progressions on average. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">Math. Ann.</span>, 338(4):963–982, 2007. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> F. Balestrieri and N. Rome. </span> <span class="ltx_bibblock">Average Bateman-Horn for Kummer polynomials. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib2.1.1">Acta Arith.</span>, 207(4):315–350, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"> P. T. Bateman and R. A. Horn. </span> <span class="ltx_bibblock">A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib3.1.1">Math. Comp.</span>, 16:363–367, 1962. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"> T. Browning, E. Sofos, and J. Teräväinen. </span> <span class="ltx_bibblock">Bateman-Horn, polynomial Chowla and the Hasse principle with probability 1. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib4.1.1">arXiv e-prints, </span>arXiv:2212.10373, December 2022. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[5]</span> <span class="ltx_bibblock"> J. Friedlander and H. Iwaniec. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.1.1">Opera de Cribro</span>, volume 57 of <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.2.2">American Mathematical Society Colloquium Publications</span>. </span> <span class="ltx_bibblock">American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[6]</span> <span class="ltx_bibblock"> B. Green and T. Tao. </span> <span class="ltx_bibblock">The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib6.1.1">Ann. of Math. (2)</span>, 167(2):481–547, 2008. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[7]</span> <span class="ltx_bibblock"> B. Green and T. Tao. </span> <span class="ltx_bibblock">Linear equations in primes. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib7.1.1">Ann. of Math. (2)</span>, 171(3):1753–1850, 2010. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[8]</span> <span class="ltx_bibblock"> B. Green and T. Tao. </span> <span class="ltx_bibblock">The Möbius function is strongly orthogonal to nilsequences. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib8.1.1">Ann. of Math. (2)</span>, 175(2):541–566, 2012. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[9]</span> <span class="ltx_bibblock"> B. Green, T. Tao, and T. Ziegler. </span> <span class="ltx_bibblock">An inverse theorem for the Gowers <math alttext="U^{s+1}[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib9.1.m1.1"><semantics id="bib.bib9.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib9.1.m1.1.2" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.cmml"><msup id="bib.bib9.1.m1.1.2.2" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.2" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mrow id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.2" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.1" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.3" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="bib.bib9.1.m1.1.2.1" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="bib.bib9.1.m1.1.2.3.2" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="bib.bib9.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="bib.bib9.1.m1.1.1" xref="bib.bib9.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="bib.bib9.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib9.1.m1.1b"><apply id="bib.bib9.1.m1.1.2.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2"><times id="bib.bib9.1.m1.1.2.1.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.1"></times><apply id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.2">𝑈</ci><apply id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3"><plus id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.2">𝑠</ci><cn id="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="bib.bib9.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="bib.bib9.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="bib.bib9.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib9.1.m1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib9.1.m1.1c">U^{s+1}[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib9.1.m1.1d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + 1 end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N ]</annotation></semantics></math>-norm. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib9.2.1">Ann. of Math. (2)</span>, 176(2):1231–1372, 2012. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib10"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[10]</span> <span class="ltx_bibblock"> H. Iwaniec and E. Kowalski. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib10.1.1">Analytic number theory</span>, volume 53 of <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib10.2.2">American Mathematical Society Colloquium Publications</span>. </span> <span class="ltx_bibblock">American Mathematical Society, Providence, RI, 2004. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib11"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[11]</span> <span class="ltx_bibblock"> B. Landreau. </span> <span class="ltx_bibblock">A new proof of a theorem of van der Corput. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib11.1.1">Bull. London Math. Soc.</span>, 21(4):366–368, 1989. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib12"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[12]</span> <span class="ltx_bibblock"> J. Leng. </span> <span class="ltx_bibblock">Efficient Equidistribution of Nilsequences. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib12.1.1">arXiv e-prints, </span>arXiv:2312.10772, February 2024. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib13"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[13]</span> <span class="ltx_bibblock"> J. Leng, A. Sah, and M. Sawhney. </span> <span class="ltx_bibblock">Quasipolynomial bounds on the inverse theorem for the Gowers <math alttext="U^{s+1}[N]" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib13.1.m1.1"><semantics id="bib.bib13.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib13.1.m1.1.2" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.cmml"><msup id="bib.bib13.1.m1.1.2.2" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.2" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mrow id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.2" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.1" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.3" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="bib.bib13.1.m1.1.2.1" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.1.cmml"></mo><mrow id="bib.bib13.1.m1.1.2.3.2" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="bib.bib13.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="bib.bib13.1.m1.1.1" xref="bib.bib13.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="bib.bib13.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib13.1.m1.1b"><apply id="bib.bib13.1.m1.1.2.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2"><times id="bib.bib13.1.m1.1.2.1.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.1"></times><apply id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.2">𝑈</ci><apply id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3"><plus id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.2">𝑠</ci><cn id="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="bib.bib13.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="bib.bib13.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="bib.bib13.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib13.1.m1.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib13.1.m1.1c">U^{s+1}[N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib13.1.m1.1d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + 1 end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_N ]</annotation></semantics></math>-norm. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib13.2.1">arXiv e-prints, </span>arXiv:2402.17994, February 2024. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib14"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[14]</span> <span class="ltx_bibblock"> F. Manners. </span> <span class="ltx_bibblock">Quantitative bounds in the inverse theorem for the Gowers <math alttext="U^{s+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib14.1.m1.1"><semantics id="bib.bib14.1.m1.1a"><msup id="bib.bib14.1.m1.1.1" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib14.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mrow id="bib.bib14.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="bib.bib14.1.m1.1.1.3.2" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="bib.bib14.1.m1.1.1.3.1" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="bib.bib14.1.m1.1.1.3.3" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib14.1.m1.1b"><apply id="bib.bib14.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib14.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib14.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib14.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="bib.bib14.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.2">𝑈</ci><apply id="bib.bib14.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.3"><plus id="bib.bib14.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="bib.bib14.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="bib.bib14.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib14.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib14.1.m1.1c">U^{s+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib14.1.m1.1d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-norms over cyclic groups. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib14.2.1">arXiv e-prints, </span>arXiv:1811.00718, November 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib15"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[15]</span> <span class="ltx_bibblock"> K. Matomäki, M. Radziwiłł, T. Tao, J. Teräväinen, and T. Ziegler. </span> <span class="ltx_bibblock">Higher uniformity of bounded multiplicative functions in short intervals on average. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib15.1.1">Ann. of Math. (2)</span>, 197(2):739–857, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib16"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[16]</span> <span class="ltx_bibblock"> S. Peluse. </span> <span class="ltx_bibblock">Bounds for sets with no polynomial progressions. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib16.1.1">Forum Math. Pi</span>, 8:e16, 55, 2020. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib17"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[17]</span> <span class="ltx_bibblock"> J. Pintz. </span> <span class="ltx_bibblock">Elementary methods in the theory of <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib17.1.m1.1"><semantics id="bib.bib17.1.m1.1a"><mi id="bib.bib17.1.m1.1.1" xref="bib.bib17.1.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib17.1.m1.1b"><ci id="bib.bib17.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib17.1.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib17.1.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib17.1.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math>-functions. V. The theorems of Landau and Page. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib17.2.1">Acta Arith.</span>, 32(2):163–171, 1977. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib18"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[18]</span> <span class="ltx_bibblock"> T. Tao and J. Teräväinen. </span> <span class="ltx_bibblock">Quantitative bounds for Gowers uniformity of the Möbius and von Mangoldt functions. </span> <span class="ltx_bibblock">To appear in <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib18.1.1">J. Eur. Math. Soc.</em> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib19"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[19]</span> <span class="ltx_bibblock"> T. Tao and T. Ziegler. </span> <span class="ltx_bibblock">The primes contain arbitrarily long polynomial progressions. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib19.1.1">Acta Math.</span>, 201(2):213–305, 2008. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib20"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[20]</span> <span class="ltx_bibblock"> T. Tao and T. Ziegler. </span> <span class="ltx_bibblock">Polynomial patterns in the primes. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib20.1.1">Forum Math. Pi</span>, 6:e1, 60, 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib21"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[21]</span> <span class="ltx_bibblock"> I. M. Vinogradov. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib21.1.1">The method of trigonometrical sums in the theory of numbers</span>. </span> <span class="ltx_bibblock">Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004. </span> <span class="ltx_bibblock">Translated from the Russian, revised and annotated by K. F. Roth and Anne Davenport, Reprint of the 1954 translation. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib22"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[22]</span> <span class="ltx_bibblock"> N. H. Zhou. </span> <span class="ltx_bibblock">Primes in higher-order progressions on average. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib22.1.1">Int. J. Number Theory</span>, 14(7):1943–1959, 2018. </span> </li> </ul> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Tue Oct 15 22:09:22 2024 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>